question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ถ้า $f(x) = 3-\!\sqrt{x}$ และ $g(x) = 5x + 2x^2$ จงหาค่าของ $f(g(-5))$ | เราได้ว่า $g(-5) = 5(-5) + 2(-5)^2 = -25 + 50 = 25$ ดังนั้น $f(g(-5)) = f(25) = 3 - \!\sqrt{25} = 3-5=\boxed{-2}$ | f(g(-5)) = f(25) = 3 - \!\sqrt{25} = 3-5=\boxed{-2} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
นิพจน์ $x^2 + 15x + 54$ สามารถเขียนได้ในรูป $(x + a)(x + b)$ และนิพจน์ $x^2 - 17x + 72$ เขียนได้ในรูป $(x - b)(x - c)$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $a + b + c$ | การแยกตัวประกอบ เราพบว่า $x^2 + 15x + 54 = (x + 9)(x + 6)$ และ $x^2 - 17x + 72 = (x - 9)(x - 8)$ เราจะเห็นว่า $b = 9$ ดังนั้น $a = 6$ และ $c = 8$ และ $a + b + c = \boxed{23}.$ | a + b + c = \boxed{23}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $9^4+9^4+9^4=3^x$ | เขียนข้างซ้ายของสมการใหม่เป็น $3\cdot 9^4=3\cdot (3^2)^4=3\cdot 3^8=3^9$. แก้สมการ $3^9=3^x$ เราได้ $x=\boxed{9}$ | x=\boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวน $x$ สอดคล้องกับ $5x^2 + 4 = 3x + 9$ จงหาค่าของ $(10x - 3)^2$ | ראשית, เราเคลื่อนย้ายพจน์ทั้งหมดไปข้างหนึ่งเพื่อให้ได้ $5x^2 - 3x - 5 = 0.$ เห็นว่าการแยกตัวประกอบจะไม่ทำงาน เราจึงใช้สูตรกำลังสอง: \begin{align*}
x &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(5)(-5)}}{2 (5)}\\
&= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 100}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{109}}{10}.
\end{align*}ตอนนี้เราเห็นว่า $10x = 3 \pm \sqrt{109... | (10x - 3)^2 = 100x^2 - 60x + 9 = 20(5x^2 - 3x) + 9 = 20 \cdot 5 + 9 = \boxed{109} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $r$ ที่ทำให้ \[\frac{r^2 - 5r + 4}{r^2-8r+7} = \frac{r^2 - 2r -15}{r^2 -r - 20}.\] | เราไม่ควรคูณไขว้กันโดยตรงเพราะดูยุ่งยาก เราจะเริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบของพหุนามแต่ละตัว หวังว่าจะได้การลบล้างที่สะดวก การแยกตัวประกอบของพหุนามทั้ง 4 ตัวจะได้ \[\frac{(r-4)(r-1)}{(r-7)(r-1)} = \frac{(r-5)(r+3)}{(r-5)(r+4)}.\]การลบล้างตัวประกอบร่วมกันในแต่ละด้านจะได้ \[\frac{r-4}{r-7} = \frac{r+3}{r+4}.\]คูณไขว้จะ... | r=\boxed{-5/4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการหาค่า $m$: $(m-4)^3 = \left(\frac 18\right)^{-1}$. | เรามี $\left(\frac{1}{8}\right)^{-1}=8=2^3$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น $$(m-4)^3=2^3.$$ ดังนั้น $m-4 = 2$ ดังนั้น $m=\boxed{6}$. | m=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โรงเรียนชนบทในสหรัฐอเมริกา มีนักเรียนลงทะเบียน 105 คน มีนักเรียนชาย 60 คน และนักเรียนหญิง 45 คน ถ้า $\frac{1}{10}$ ของนักเรียนชาย และ $\frac{1}{3}$ ของนักเรียนหญิง ลาหยุดในวันหนึ่ง นักเรียนที่ลาหยุดคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด | $\frac{1}{10}$ ของ $60$ นักเรียนชาย คือ $60/10=6$ คน ในขณะที่ $\frac{1}{3}$ ของ $45$ นักเรียนหญิง คือ $45/3=15$ คน ดังนั้นมีนักเรียน $21$ คน ที่ลาหยุดในวันนั้น เนื่องจากเราทราบว่า $\frac{21}{105}=\frac{1}{5}$ และ $\frac{1}{5}$ เท่ากับ $20\%$ ดังนั้น $\boxed{20 \%}$ ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด ลาหยุด | \boxed{20 \%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$. ถ้า $\alpha = -3$ เมื่อ $\beta = -6$ จงหา $\alpha$ เมื่อ $\beta = 8$ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วน | เนื่องจาก $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$ ตามนิยาม $\alpha\beta = k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า แทนค่าลงไป เราจะได้ $(-3)\cdot (-6) = k$ ดังนั้น $k = 18$ ดังนั้น เมื่อ $\beta = 8$ เราได้ว่า $8\alpha = 18$ หรือ $\alpha = \boxed{\frac{9}{4}}$ | \alpha = \boxed{\frac{9}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการกำลังสอง $ax^2 + bx + c$ สามารถเขียนในรูป $2(x - 4)^2 + 8$ เมื่อสมการกำลังสอง $3ax^2 + 3bx + 3c$ เขียนในรูป $n(x - h)^2 + k$ ค่าของ $h$ คือเท่าใด | เราทราบว่า $ax^2 + bx + c = 2(x - 4)^2 + 8$ คูณทั้งสองข้างด้วย 3 จะได้ \[3ax^2 + 3bx + 3c = 6(x - 4)^2 + 24.\]ค่าของ $h$ ซึ่งก็คือ $\boxed{4}$ จะยังคงเหมือนเดิม | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการกำลังสอง $x^2+mx+n=0$ มีรากที่เป็นสองเท่าของรากของ $x^2+px+m=0,$ และ $m,$ $n,$ และ $p$ ไม่เป็นศูนย์ ใด ๆ ค่าของ $n/p$ เท่ากับเท่าใด | ให้ $r_1$ และ $r_2$ เป็นรากของ $x^2+px+m=0.$ เนื่องจากรากของ $x^2+mx+n=0$ คือ $2r_1$ และ $2r_2$ เราได้ความสัมพันธ์ดังนี้: \[
m=r_1 r_2,\quad n=4r_1 r_2,\quad p=-(r_1+r_2), \quad\text{and}\quad
m=-2(r_1+r_2).
\] ดังนั้น \[
n = 4m, \quad p = \frac{1}{2}m,
\quad\text{and}\quad
\frac{n}{p}=\frac{4m}{\frac{1}{2}m}=\boxed{8}... | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันมีรูปภาพที่มีขนาด $x$ และ $y$ (หน่วยเป็นนิ้ว) โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ฉันต้องการวางรูปภาพนี้ในกรอบรูปทรงยาวที่มีขนาด $(2x + 3)$ และ $(y+2)$ ถ้าฉันวัดพื้นที่ของกรอบรูปได้ 34 ตารางนิ้ว พื้นที่ของรูปภาพเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นตารางนิ้ว) (หมายเหตุว่า "พื้นที่ของกรอบรูป" หมายถึงบริเวณที่แรเงาในรูปด้านล่... | พื้นที่ของกรอบรูปเท่ากับ \begin{align*}
(2x + 3) \cdot (y+2) - x \cdot y &= 2xy + 4x + 3y + 6 - xy \\
&= xy + 4x + 3y + 6 \\
&= 34.
\end{align*}เพื่อใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอน เราบวก 6 เข้ากับทั้งสองข้างของสมการ: $$xy + 4x + 3y + 12 = 40,$$ดังนั้น $$(x + 3)(y+4) = 40.$$พิจารณาคู่ตัวประกอบของ 40 เราจะเห็... | x \times y = \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันมีถุงที่มีลูกแก้วสีน้ำเงินและสีเหลืองอยู่ข้างใน ในขณะนี้ อัตราส่วนของลูกแก้วสีน้ำเงินต่อลูกแก้วสีเหลืองคือ 8:5 ถ้าฉันเอาลูกแก้วสีน้ำเงินออก 12 ลูก และเติมลูกแก้วสีเหลือง 21 ลูก อัตราส่วนจะเป็น 1:3 มีลูกแก้วสีน้ำเงินกี่ลูกในถุงก่อนที่ฉันจะเอาออก? | ให้ $x$ แทนจำนวนลูกแก้วสีน้ำเงินและ $y$ แทนจำนวนลูกแก้วสีเหลืองก่อนที่ฉันจะเติมเพิ่ม เราทราบว่าอัตราส่วนของลูกแก้วสีน้ำเงินต่อลูกแก้วสีเหลืองคือ 8:5 ดังนั้น $\dfrac{x}{y}=\dfrac{8}{5}$ นอกจากนี้ หลังจากที่เราเอาลูกแก้วสีน้ำเงินออกและเติมลูกแก้วสีเหลือง จำนวนลูกแก้วสีน้ำเงินและลูกแก้วสีเหลืองทั้งหมดจะเป็น $x-12$ และ $y+... | \boxed{24} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าเส้นตรงที่มีสมการ $y = 8x + 2$ และ $y = (2c)x - 4$ ขนานกัน จงหาค่าของ $c$ | เส้นตรงขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน ความชันของเส้นตรงที่มีสมการ $y = mx + b$ คือ $m$ ดังนั้น $8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4}$ | 8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y=\frac{7}{13}$ และ $x-y=\frac{1}{91}$ จงหาค่าของ $x^2-y^2$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราทราบว่า $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ แทนค่าลงไปจะได้ $x^2 - y^2 = \frac{7}{13}\cdot\frac{1}{91} = \boxed{\frac{1}{169}}$ | $x^2 - y^2 = \frac{7}{13}\cdot\frac{1}{91} = \boxed{\frac{1}{169}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x+\frac{1}{y}=1$ และ $y+\frac{1}{z}=1$ แล้วผลคูณของ $xyz$ มีค่าเท่าใด | คูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย $y$ และคูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย $z$ จะได้ \begin{align*}
xy+1 &= y \\
yz+1 &= z.
\end{align*} แทน $xy+1$ ด้วย $y$ ในสมการที่สอง จะได้ \[
(xy+1)z+1=z,
\] ซึ่งสามารถลดรูปเป็น \[
xyz+z+1=z.
\] ลบ $z+1$ จากทั้งสองข้าง จะได้ว่า $xyz=z-(z+1)=\boxed{-1}.$ | xyz=z-(z+1)=\boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากจุดห้าจุด (3, 10), (6, 20), (12, 35), (18, 40) และ (20, 50) ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดที่อยู่เหนือเส้นตรง $y = 2x + 7$ ในระนาบพิกัดคือเท่าไร | จุดจะอยู่เหนือ $y=2x+7$ ถ้าพิกัด $y$ ของจุดนั้นมากกว่า 2 เท่าของพิกัด $x$ บวก 7 เมื่อตรวจสอบจุดที่กำหนดให้ เราพบว่า $(6,20)$, $(12,35)$ และ $(20,50)$ สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $6+12+20=\boxed{38}$ | 6+12+20=\boxed{38} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $p(x) = x^4 - 3x + 2$ แล้วสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^3$ ในพหุนาม $(p(x))^3$ คือเท่าใด | โดยการสังเกต เมื่อขยายพจน์ของผลคูณ $(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)$ พจน์เดียวที่เป็นดีกรี 3 จะเป็นพจน์ที่ได้จากการคูณพจน์เชิงเส้นทั้งสามเข้าด้วยกัน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือ $(-3)(-3)(-3)=\boxed{-27}$ | (-3)(-3)(-3)=\boxed{-27} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และ \[f(z) = \left\{
\begin{array}{cl}
z^{2}&\text{ ถ้า }z\text{ ไม่ใช่จำนวนจริง}, \\
-z^2 &\text{ ถ้า }z\text{ เป็นจำนวนจริง}.
\end{array}
\right.\] จงหาค่าของ $f(f(f(f(1+i))))$. | เราคำนวณจากด้านในออกไป เนื่องจาก $1+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(1+i)=(1+i)^2=1+2i-1=2i$ ดังนั้น $f(f(f(f(1+i))))=f(f(f(2i)))$ เนื่องจาก $2i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(2i)=(2i)^2=-4$ ดังนั้น $f(f(f(2i)))=f(f(-4))$ เนื่องจาก $-4$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $f(-4)=-(-4)^2=-16$ ดังนั้น $f(f(-4))=f(-16)$ เนื่องจาก $-16$ เป็นจ... | f(-16)=\boxed{-256} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าจำนวนเต็มที่มากที่สุดของ $b$ ที่ทำให้ $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $y=x^2+bx+12$ | เราจะเห็นว่า $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + bx + 12$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2 + bx + 12 = -4$ ไม่มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + bx + 16 = 0$ ดีเทอร์มิแนนต์ของสมการกำลังสองนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 16 = b^2 - 64$ สมการกำลังสองไม่มีรากจริงก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 64 < 0$ หรือ $b^2 < 64$ ... | b = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลอร่าแก้สมการ $|x-5| = 2$ ในขณะที่เจนแก้สมการที่มีรูปแบบ $x^2+ bx + c = 0$ ซึ่งมีคำตอบของ $x$ เหมือนกับสมการของลอร่า จงหาคู่ลำดับ $(b, c)$ | เริ่มต้นด้วยการแก้สมการของลอร่า ถ้า $x-5$ เป็นบวก: $$|x-5|=x-5=2$$ $$x=7$$ ในทางกลับกัน ถ้า $x-5$ เป็นลบ: $$|x-5|=5-x=2$$ $$x=3$$ สมการกำลังสองของเจนต้องมีรากของ 7 และ 3 ในรูปที่แยกตัวประกอบ สมการกำลังสองนี้จะมีลักษณะดังนี้: $$(x-3)(x-7)=0$$ ขยายออกเราจะพบสมการของเจนคือ: $$x^2-10x+21=0$$ คู่ลำดับคือ $\boxed{(-10,21)}$. | \boxed{(-10,21)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $100^3 = 10^x$ | เนื่องจาก $100 = 10^2$ เราได้ \[10^x = 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2\cdot 3} = 10^6,\] ดังนั้น $x = \boxed{6}$. | x = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อนุกรมเรขาอนันต์มีอัตราส่วนร่วม $1/8$ และผลบวก 60 จงหาพจน์แรกของอนุกรม | ให้พจน์แรกเป็น $a$ เนื่องจากผลบวกของอนุกรมคือ 60 เราได้ $$60= \frac{a}{1-(1/8)} = \frac{a}{7/8} = \frac{8a}{7}.$$ดังนั้น $a=\frac{7}{8}\cdot60=\boxed{\frac{105}{2}}$. | a=\frac{7}{8}\cdot60=\boxed{\frac{105}{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
รyuosuke กำลังไปรับเพื่อนที่ทำงาน อ่านเลขไมล์ได้ 74,568 เมื่อเขาไปรับเพื่อน และอ่านเลขไมล์ได้ 74,592 เมื่อเขาไปส่งเพื่อนที่บ้าน รถของ Ryosuke วิ่งได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน และราคาของน้ำมัน 1 แกลลอนคือ $4.05 ค่าใช้จ่ายในการใช้น้ำมันในการขับรถพาเพื่อนกลับบ้านจากที่ทำงานคือเท่าไร (แสดงคำตอบเป็นดอลลาร์และปัดเศษเป็นสองตำแหน่งท... | Ryosuke ขับรถไประยะทาง 74,592 - 74,568 = 24 ไมล์ ระหว่างที่เขาไปรับเพื่อนและส่งเพื่อนถึงบ้าน เนื่องจากรถของเขาวิ่งได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน เขาใช้ 24/28 หรือ 12/14 ของแกลลอน ด้วยราคา $4.05 ต่อแกลลอน ค่าใช้จ่ายในการเดินทางประมาณ 12/14 × 4.05 ≈ $3.47 | 3.47 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กล่องหนึ่งมีช็อกโกแลต 25 เม็ด ราคา 6 ดอลลาร์ ถ้าต้องการซื้อช็อกโกแลต 600 เม็ด จะต้องจ่ายเงินเท่าไร | 600 เม็ดช็อกโกแลตเป็น $\frac{600}{25} = 24$ เท่าของ 25 เม็ด ดังนั้นการคูณจำนวนช็อกโกแลตด้วย 24 จะทำให้ราคาคูณ 24 ด้วยเช่นกัน ดังนั้น 600 เม็ดช็อกโกแลตราคา $24\cdot 6 = \boxed{144}$ ดอลลาร์ | 24\cdot 6 = \boxed{144} | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจุด $(3,6)$ อยู่บนกราฟของ $y=g(x)$ และ $h(x)=(g(x))^2$ สำหรับทุก $x$ แล้วจะมีจุดหนึ่งที่ต้องอยู่บนกราฟของ $y=h(x)$ จุดนั้นมีผลรวมของพิกัดเท่ากับเท่าใด | ข้อเท็จจริงที่ว่า $(3,6)$ อยู่บนกราฟของ $y=g(x)$ หมายความว่า $g(3)=6$ ดังนั้น $h(3)=(g(3))^2=6^2=36$ ซึ่งบอกเราว่า $(3,36)$ อยู่บนกราฟของ $y=h(x)$ ผลรวมของพิกัดของจุดนี้คือ $\boxed{39}$ | \boxed{39} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมมีจุดยอดที่พิกัด (2,2), (5,6) และ (6,2) ความยาวของด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมีจำนวนหน่วยเท่าใด? | เราต้องหาความ distanced ระหว่างคู่ของจุด
ระยะห่างระหว่าง (2, 2) และ (6, 2) คือ 4 เนื่องจากจุดทั้งสองนี้มีพิกัด y เท่ากัน
ระยะห่างระหว่าง (2, 2) และ (5, 6) คือ $\sqrt{(5 - 2)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
ระยะห่างระหว่าง (5, 6) และ (6, 2) คือ $\sqrt{(6 - 5)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.
จาก 4, ... | \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ $30$ ส่วนต่างของสองจำนวนนั้นคือ $4$ จงหาจำนวนที่ใหญ่กว่า | ให้ $x,y$ เป็นจำนวนที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่า ตามลำดับ เรามี $x+y=30$ และ $x-y=4$ ดังนั้น: $x=\frac{1}{2}((x+y)+(x-y))=\frac{1}{2}(30+4)=\boxed{17}$ | x=\frac{1}{2}((x+y)+(x-y))=\frac{1}{2}(30+4)=\boxed{17} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้ระบบสมการต่อไปนี้: \begin{align*}
3x-5y&=-1.5,\\
7x+2y&=4.7.
\end{align*}แสดงคำตอบในรูปของคู่ลำดับ $(x,y)$ ของทศนิยม | เราสามารถหาค่า $x$ ได้โดยการบวกสมการแรกสองเท่าเข้ากับสมการที่สองห้าเท่า จาก \begin{align*}
2(3x-5y)+5(7x+2y)&=6x+35x\\&=41x,
\end{align*}และ \begin{align*}
2(3x-5y)+5(7x+2y)&=2(-1.5)+5(4.7)\\&=-3+23.5\\&=20.5,
\end{align*}เราจะได้ว่า $41x = 20.5$ หรือ $x=0.5.$
แทนค่า $x$ ลงในสมการที่สอง เราจะหาค่า $y$ ได้: \begin{alig... | \boxed{(0.5,0.6)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนบวก $a$ ถูกเลือกมาเพื่อให้พจน์ $20, a, \frac{5}{4}$ เป็นพจน์แรก พจน์ที่สอง และพจน์ที่สาม ตามลำดับ ของลำดับเรขาคณิต จงหาค่าของ $a$ ถ้า $a$ เป็นจำนวนบวก | ให้ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต เราได้สมการ $20\cdot r = a$ และ $a \cdot r = \frac{5}{4}$ จากสมการแรก เราแก้หา $r$ ได้ $r=\frac{a}{20}$ และแทนค่า $r$ ลงในสมการที่สองเพื่อกำจัด $r$ จะได้ $a \cdot \frac{a}{20} = \frac{5}{4}$ หรือ $a = \boxed{5}$ | a = \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กระจายผลคูณ $$(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$$ | โดยสมบัติการ distributive นี้เทียบเท่ากับ: $$x^2(x^2+2x+2)-2x(x^2+2x+2)+2(x^2+2x+2)$$ตอนนี้เราสามารถกระจายในแต่ละส่วนข้างต้น และจัดกลุ่มพจน์ที่คล้ายกัน: $$x^4+2x^3+2x^2-2x^3-4x^2-4x+2x^2+4x+4$$$$\boxed{x^4+4}$$ | [
"นำไปใช้"
] | |
กำหนดให้ $f(x)=2x^4+x^3+x^2-3x+r$ จงหาค่าของ $r$ ที่ทำให้ $f(2)=0$ | การแทนค่าจะได้ \[f(2)=2(2)^4+(2)^3+(2)^2-3(2)+r=32+8+4-6+r=38+r.\]ค่านี้เท่ากับ 0 เมื่อ $r=\boxed{-38}$. | r=\boxed{-38} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 - 2x + 3 $ และ $B$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 + 4x + 10 $. จงหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ | การเติมกำลังสองในแต่ละสมการจะได้สมการ $y=(x - 1)^2 + 2 $ และ $y=(x + 2)^2 + 6$. ดังนั้น $A = (1, 2)$ และ $B = (-2, 6)$. เราสามารถหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ ได้เป็น $\sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5}$. | \sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การลงทุนจำนวน $\$$10,000$ ถูกนำไปลงทุนในพันธบัตรของรัฐบาลที่ให้ผลตอบแทน 6$\%$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นประจำทุกปี ในสิ้นปีที่ 5 จะมีจำนวนเงินทั้งหมดเท่าไรในเงินลงทุนนี้ จงแสดงคำตอบของคุณเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | หลังจาก 5 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี เงินลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot 1.06^5 = \boxed{13382}$ เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | 10000 \cdot 1.06^5 = \boxed{13382} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
สังเกตว่า $9^2 = 81$ ซึ่งไม่มีเลขศูนย์ $99^2 = 9801$ ซึ่งมีเลขศูนย์ 1 ตัว และ $999^2 = 998,\!001$ ซึ่งมีเลขศูนย์ 2 ตัว สมมติว่ารูปแบบนี้ดำเนินต่อไป $99,\!999,\!999^2$ จะมีเลขศูนย์กี่ตัวในผลคูณ? | รูปแบบนี้บ่งชี้ว่าสำหรับจำนวนที่มีเลข 9 จำนวน $n$ ตัว จำนวนนั้นยกกำลังสองจะมีเลขศูนย์ $n-1$ ตัว ดังนั้น $99,\!999,\!999^2$ ควรมีเลขศูนย์ $8-1=7$ ตัว เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราสังเกตว่า $99,\!999,\!999=10^8-1$ ดังนั้น $99,\!999,\!999^2=(10^8-1)^2=10^{16}-2\cdot10^8+1$ พิจารณาการแสดงออกนี้ทีละพจน์ พจน์แรก $10^{16}$ สร้างจำน... | \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ ตามกราฟด้านล่างนี้ โดยแต่ละช่องเล็กๆ มีความกว้างและความสูงเท่ากับ 1
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
rea... | จากกราฟเราเห็นว่า $f(3)=6$ ดังนั้นลาร์รี่เขียน 6 ลงบนนิ้วชี้ เนื่องจาก $f(6)=5$ เราจึงเห็นว่าลาร์รี่เขียน 5 ลงบนนิ้วกลาง ถ้าเราใช้ $f$ อีกครั้ง เราจะเห็นว่าลาร์รี่เขียน \[f(5)=4\] ลงบนนิ้วนาง หลังจากนี้ ลาร์รี่เขียน $f(4)=3$ ลงบนนิ้วโป้ง ตอนนี้กระบวนการซ้ำ!
เนื่องจากนิ้วหัวแม่มือมี 3 อยู่ และนิ้วที่ห้าก็มี 3 (หลังจาก... | f(3)=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $525^2 - 475^2$ | $525^2 - 475^2$ สามารถเขียนในรูป $(525+475)(525-475)$ ได้ ซึ่งจะเท่ากับ $1000 \cdot 50$ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{50000}$ | \boxed{50000} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการหาค่า $x$: $\frac{5x}{(x+3)} - \frac3{(x+3)} = \frac1{(x+3)}$ | ก่อนอื่น ให้รวมเศษส่วนทางซ้ายมือให้ได้ $\frac{5x-3}{x+3} = \frac{1}{x+3}$ จากนั้น คูณทั้งสองข้างด้วย $x+3$ เพื่อกำจัดตัวส่วนและจะได้ $5x-3 = 1$ บวก 3 ทั้งสองข้างจะได้ $5x=4$ ดังนั้น $x = \boxed{\frac{4}{5}}$ | x = \boxed{\frac{4}{5}} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
ax+3 & \text{ if }x>0, \\
ab & \text{ if }x=0, \\
bx+c & \text{ if }x<0.
\end{array}
\right.\]ถ้า $f(2)=5$, $f(0)=5$, และ $f(-2)=-10$ และ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $2>0$ เราทราบว่า $f(2)=a(2)+3=5$. แก้สมการหา $a$ จะได้ $a=1$. เมื่อ $x=0$ เราได้ว่า $f(0)=ab=5$. เราทราบแล้วว่า $a=1$ ดังนั้น $b=5$. เนื่องจาก -2 เป็นจำนวนลบ เราทราบว่า $f(-2)=b(-2)+c=(5)(-2)+c=-10$. นี่บอกเราว่า $c=0$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $a+b+c=1+5+0=\boxed{6}$ | a+b+c=1+5+0=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a\star b = a^b+ab$ ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และ $a\star b =15$ จงหา $a+b$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก และเนื่องจาก $b$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 2 เราทราบว่าค่าสูงสุดของ $a$ คือ 3 (เพราะ $4^2+4(2)=24>15$) เนื่องจาก $a$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 2 $a$ มีค่าที่เป็นไปได้เพียง 2 ค่าเท่านั้น ถ้า $a=2$ เราจะได้ $2^b+2b=15$ หรือ $2(2^{b-1}+b)=15$ หรือ $2^{b-1}+b=7.5$ อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก... | a+b=3+2=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เลขจำนวนใดที่ได้จากการเพิ่ม 50 ขึ้น $120\%$? | เนื่องจาก $120\%$ ของ 50 เท่ากับ $1.2(50) = 60$ เมื่อเพิ่ม 50 ขึ้น $120\%$ เราจะได้ $50 + 60 = \boxed{110}$ หรืออีกวิธีหนึ่ง เราสามารถหาคำตอบได้โดยการคูณ 50 ด้วย $1 + 1.2 = 2.2$ ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น $\boxed{110}$ เช่นกัน | \boxed{110} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ $x>0$ และ $5x^2+9x-18=0$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | $5x^2+9x-18$ สามารถเขียนได้เป็น $(5x-6)(x+3)$ เนื่องจาก $x$ ต้องเป็นบวก ตัวประกอบที่ต้องพิจารณาคือ $(5x-6)$ ดังนั้น: \begin{align*}
5x-6&=0\\
5x&=6\\
x&=\boxed{\frac{6}{5}}
\end{align*} | \frac{6}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ต้นไม้ต้นหนึ่งสูงขึ้นเป็นสองเท่าทุกปี จนกระทั่งสูง 32 ฟุตที่สิ้นสุดปีที่ 6 ต้นไม้สูงเท่าไรในปีที่ 3 | ถอยหลังกลับไป เราจะเห็นว่าต้นไม้สูง $32/2 = 16$ ฟุตที่สิ้นสุดปีที่ 5, $16/2 = 8$ ฟุตที่สิ้นสุดปีที่ 4 และ $8/2 = \boxed{4 \text{ ฟุต}}$ ที่สิ้นสุดปีที่ 3 | 8/2 = \boxed{4 \text{ ฟุต}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $E(a,b,c) = a \times b^c$. ค่า $r$ ที่เป็นบวกใดที่เป็นคำตอบของสมการ $E(r,r,3) = 625$? | $E(r,r,3)=r(r^3)=r^4$. ดังนั้น $r^4=625=5^4$, และ $r=\boxed{5}$. | r=\boxed{5} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
แอนโทเนตได้คะแนน $70\%$ จากข้อสอบ 10 ข้อ, $80\%$ จากข้อสอบ 20 ข้อ และ $90\%$ จากข้อสอบ 30 ข้อ ถ้ารวมข้อสอบทั้งสามเป็นข้อสอบเดียวที่มี 60 ข้อ เธอได้คะแนนร้อยละเท่าใดเมื่อปัดเศษเป็นจำนวนเต็มร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด | สังเกตว่า $70\%$ ของ 10 คือ 7, $80\%$ ของ 20 คือ 16 และ $90\%$ ของ 30 คือ 27 แอนโทเนตตอบถูก $7+16+27=50$ ข้อ จากทั้งหมด 60 ข้อ คะแนนรวมของเธอคือ $\frac{50}{60}$ หรือ $83.\overline{3}\%$. เมื่อปัดเศษเป็นจำนวนเต็มร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด คำตอบคือ $\boxed{83\%}$. | \boxed{83\%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a+b=24$ จงหาค่าของ $ab$ เมื่อ $2ab + 10a = 3b + 222$ | เราเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการใหม่เป็น $2ab + 10a - 3b = 222$ จากนั้นเราใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอนโดยการลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ $2ab + 10a - 3b - 15 = 207$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(2a - 3)(b + 5) = 207$$เราทราบว่าการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ $207 = 3^2 \cdot 23$ และ $a$ และ $b$ เป็... | ab = \boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการหาค่า $x$ เมื่อ $8^{4x-6}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}$. | เนื่องจาก $8=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ สมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3(4x-6)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}$. จากสมการนี้ เราเห็นว่า $-3(4x-6)=x+5$. เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
-12x+18&=x+5\\
\Rightarrow -13x+18&=5\\
\Rightarrow -13x&=-13\\
\Rightarrow x&=\boxed{1}.
\end{al... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $f(x)=\frac{1}{2x+b}$. สำหรับค่าของ $b$ ใด $f^{-1}(x)=\frac{1-2x}{2x}$? | แทน $f(x)$ ลงในสมการ $f^{-1}(x) = \frac{1 - 2x}{2x}$ และสังเกตว่า $f^{-1}(f(x)) = x$ สำหรับ $x$ ทั้งหมดในโดเมนของ $f$ เราได้ \[x = \frac{1 - 2f(x)}{2f(x)}.\] แก้สมการเพื่อหา $f(x)$ เราได้ \[f(x) = \frac{1}{2x + 2}.\] ดังนั้น $b = \boxed{2}$. | b = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $i^{11} + i^{111}$ | เลขยกกำลังของ $i$ จะซ้ำทุกๆ สี่กำลัง: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, $i^5=i$, $i^6=-1$ และอื่นๆ ดังนั้นเพื่อที่จะหาค่าของ $i^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม เราเพียงแค่ต้องหาเศษที่เหลือเมื่อ $n$ หารด้วย 4 เศษที่เหลือเมื่อ 11 และ 111 หารด้วย 4 คือ 3 ดังนั้น $i^{11} + i^{111} = i^3 + i^3 = -i + (-i) = \boxed{-2i}$ | i^{11} + i^{111} = i^3 + i^3 = -i + (-i) = \boxed{-2i} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบจำนวนเต็มทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $1<(x-2)^2<25$ | ให้ $y = x - 2,$ ดังนั้น $1 < y^2 < 25.$ คำตอบจำนวนเต็มของ $y$ คือ $-4,$ $-3,$ $-2, 2, 3, 4,$ ดังนั้นคำตอบของ $x$ คือ $-4 + 2 = -2,$ $-3 + 2 = -1,$ $-2 + 2 = 0,$ $2 + 2 = 4,$ $3 + 2 = 5,$ และ $4 + 2 = 6.$ ผลรวมของคำตอบเหล่านี้คือ $(-2) + (-1) + 0 + 4 + 5 + 6 = \boxed{12}.$ | (-2) + (-1) + 0 + 4 + 5 + 6 = \boxed{12}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เรามี $3 \cdot f(x) + 4 \cdot g(x) = h(x)$ โดยที่ $f(x),$ $g(x),$ และ $h(x)$ เป็นพหุนามใน $x$ ทั้งหมด ถ้าดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ $8$ และดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ แล้วดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $g(x)$ คือเท่าใด | ถ้าดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ นั่นหมายความว่ามีพจน์ $x^9$ ใน $h(x)$ พจน์นั้นไม่สามารถมาจาก $f(x)$ ได้ เนื่องจากดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ $8$ ดังนั้นพจน์นั้นต้องมาจาก $g(x)$ นั่นหมายความว่าดีกรีของ $g(x)$ ต้องมีค่าอย่างน้อย $\boxed{9}$ และในความเป็นจริงแล้วดีกรีของมันสามารถเป็นเพียง $9$ เท่านั้น | 9. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $g(x) = x^2$ และ $f(x) = 2x - 1$ จงหาค่าของ $f(g(2))$ | \[
f(g(2))=f\left(2^2\right)=f(4)=2\cdot4-1=\boxed{7}
\] | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $f(x) = 3x + 1$ แล้ว $f(3)$ มีค่าเท่าใด | เราได้ว่า $f(3) = 3(3) + 1 = \boxed{10}$ | f(3) = 3(3) + 1 = \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(x)=4x+5$ จงหาค่าของ $f^{-1}(f^{-1}(9))$ | แทน $f^{-1}(x)$ เข้าใน $f$ เราได้ $f(f^{-1}(x)) =4f^{-1}(x) + 5$ ดังนั้น $x = 4f^{-1}(x) + 5$ แก้สมการนี้หา $f^{-1}(x)$ ได้ $f^{-1}(x) = \frac{x-5}{4}$ ดังนั้น \begin{align*}
f^{-1}(f^{-1}(9)) & = f^{-1}\left(\frac{9-5}{4}\right) \\
& = f^{-1}(1) \\
& = \frac{1-5}{4} \\
& = \boxed{-1}.
\end{align*} | -1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการ $2(3^x) = 162$ เพื่อหาค่า $x$ | หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 เพื่อให้ได้ $3^x = 81$ เนื่องจาก $3$ ยกกำลัง 4 เท่ากับ 81 ดังนั้น $x = \boxed{4}$ | x=\boxed{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ จงหาค่าของ $y$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง: \begin{align*}
(x+y)-(x-y) &= 12-6\\
2y &= 6\\
y &= \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(1,1)$ และ $(4,7)$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ระยะทางแนวนอนระหว่าง $(1,1)$ และ $(4,7)$ คือ $4-1=3$ หน่วย ระยะทางแนวตั้งระหว่างจุดทั้งสองคือ $7-1=6$ หน่วย ดังนั้น เส้นที่จุดปลายเป็น $(1,1)$ และ $(4,7)$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 หน่วย และ 6 หน่วย ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเส้นนี้คือ $\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\box... | \sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{3\sqrt{5}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แต่ละเล่มในสิบเล่มของผลงานที่รวบรวมของธีโอดอร์ สเตอร์จอน มีจำหน่ายในรูปแบบปกอ่อนราคา $15 หรือปกแข็งราคา $25 เทเรซ่าซื้อหนังสือแต่ละเล่มในสิบเล่มนี้ทั้งหมดเป็นเงิน $220 เธอซื้อเล่มปกแข็งกี่เล่ม? | สมมติว่าเธอซื้อเล่มปกแข็ง $h$ เล่ม และเล่มปกอ่อน $p$ เล่ม เธอซื้อหนังสือทั้งหมด 10 เล่ม ดังนั้น $h+p=10$ ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเธอ $25h+15p$ เท่ากับ $220 หรือหารด้วย 5 ได้ $5h+3p=44$ คูณสมการแรกด้วย 3 แล้วลบออกจากสมการที่สอง เราได้ $5h-3h+3p-3p=2h=44-30=14$ หรือ $h=\boxed{7}$ | h=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มี 12 คู่ลำดับของจำนวนเต็ม $(x,y)$ ที่สอดคล้องกับ $x^2 + y^2 = 25$ ผลรวม $x+y$ ที่มากที่สุดเท่ากับเท่าใด | กราฟของ $x^2 + y^2 = 25$ เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(0,0)$ และมีรัศมี $\sqrt{25}=5$ เริ่มจาก $(-5, 0)$ และหมุนไปรอบ ๆ วงกลม เราจะได้ 12 จุดบนวงกลมดังนี้:
$(-5, 0)$, $(-4, 3)$, $(-3, 4)$, $(0, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 0)$, $(4, -3)$, $(3, -4)$, $(0, -5)$, $(-3, -4)$, $(-4, -3)$.
ผลรวมที่มากที่สุดที่เป็นไป... | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยบริเวณที่กำหนดโดยสมการ $x^2+y^2+10x+24y=0$ | เราเติมกำลังสองใน $x$ โดยการบวก $(10/2)^2=25$ ทั้งสองข้าง และเติมกำลังสองใน $y$ โดยการบวก $(24/2)^2=144$ ทั้งสองข้าง เรามีสมการ \[(x^2+10x+25)+(y^2+24y+144)=169 \Rightarrow (x+5)^2+(y+12)^2=169\]เราเห็นว่านี่คือสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $(-5,-12)$ และรัศมี 13 ดังนั้น พื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยวงกลมนี้คือ $\pi... | \pi \cdot 13^2=\boxed{169\pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเส้นตรงเริ่มต้นที่ $(1, 3)$ มีความยาว 5 หน่วย และสิ้นสุดที่จุด $(4, x)$ โดยที่ $x > 0$ จงหาค่าของ $x$ | เราใช้สูตรระยะทาง: $$\sqrt{(4 - 1)^2 + (x - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (x - 3)^2} = \sqrt{x^2 - 6x + 18} = 5.$$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างและจัดรูปพจน์ใหม่ เราพบว่า \begin{align*}
x^2 - 6x + 18 &= 25 \\
x^2 - 6x - 7 &= 0\\
(x - 7)(x + 1) &= 0
\end{align*} ดังนั้น $x = 7$ หรือ $x = -1$ เราได้รับว่า $x > 0$ ดังนั้น $x = \boxed{7}$.
... | x = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x^2+bx+16$ มีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $b$ แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | พิจารณาสูตรกำลังสอง $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ เพื่อให้สมการกำลังสองมีรากจริง นิพจน์ใต้รากที่สอง (ตัวเลือก) ต้องเป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราได้อสมการ \begin{align*} b^2-4ac&\ge0
\\\Rightarrow\qquad b^2-4(1)(16)&\ge0
\\\Rightarrow\qquad b^2-64&\ge0
\\\Rightarrow\qquad (b+8)(b-8)&\ge0
\end{align*} ดังนั้นเร... | b\in\boxed{(-\infty,-8]\cup [8,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x = 3$ จงหาค่าของ $2x + 3$ | $2x + 3 = 2(3) + 3 = 6 + 3 = \boxed{9}$. | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: \[(6a^3+92a^2-7)-(-7a^3+a^2-7)\] | ก่อนอื่น ให้รวมพจน์ที่คล้ายกันในนิพจน์: \begin{align*}
&(6a^3+92a^2-7)-(-7a^3+a^2-7)\\
& \qquad=6a^3+92a^2-7+7a^3-a^2+7\\
&\qquad=13a^3+91a^2.
\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $13a^2$ ออกจากนิพจน์ได้ ซึ่งจะได้ \[13a^3+91a^2=\boxed{13a^2(a+7)}.\] | 13a^2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $X,$ $Y,$ และ $Z$ เป็นจุดที่ $\frac{XZ}{XY} = \frac{ZY}{XY} = \frac{1}{2}.$ ถ้า $Y = (1, 7)$, $Z = (-1, -7)$, แล้วผลรวมของพิกัดของ $X$ เท่ากับเท่าใด | จากโจทย์ เราจะเห็นว่า $XZ = ZY$ และ $XZ + ZY = XY$ ซึ่งหมายความว่า $X,$ $Y,$ และ $Z$ สร้างรูปสามเหลี่ยมเสื่อม กล่าวคือ $Z$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $XY$. เนื่องจากจาก $Y$ ไป $Z$ เราไป 2 หน่วยทางซ้ายและ 14 หน่วยลง เราทำเช่นเดียวกันเพื่อไปยัง $X = (-1 - 2, -7 -14) = (-3, -21).$ ดังนั้น ผลรวมของพิกัดของ $X$ คือ $\boxed{-24}.$ | \boxed{-24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $y(y-3x)$ เมื่อ $x=3$ และ $y=0$ | เนื่องจาก 0 คูณกับจำนวนใดๆ จะได้ 0 ดังนั้น เมื่อ $y=0$ เราได้ $y(y-3x) = 0(y-3x) = \boxed{0}$ | y(y-3x) = 0(y-3x) = \boxed{0} | [
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใดบ้างที่ทำให้ $x^2 - 5x - 4 \le 10$ เป็นจริง? แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | จัดรูปใหม่ $x^2 - 5x - 14 \le 0$. พหุนามกำลังสองทางซ้ายมือสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) \le 0$. ดังนั้น $x-7$ และ $x+2$ จะมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ดังนั้น $-2 \le x \le 7$ และ $\boxed{x \in [-2,7]}$. | \boxed{x \in [-2,7]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของสัมประสิทธิ์ในพหุนาม $-2(x^7 - x^4 + 3x^2 - 5) + 4(x^3 + 2x) - 3(x^5 - 4)$ | ผลรวมของสัมประสิทธิ์ในพหุนาม $-2(x^7 - x^4 + 3x^2 - 5) + 4(x^3 + 2x) - 3(x^5 - 4)$ คือ $-2 (1 - 1 + 3 - 5) + 4 (1 + 2) - 3 (1 - 4) = (-2) \cdot (-2) + 4 \cdot 3 - 3 \cdot (-3) = \boxed{25}$ (ผลรวมของสัมประสิทธิ์ในพหุนามสามารถหาได้โดยการแทนตัวแปรด้วย 1) | -2 (1 - 1 + 3 - 5) + 4 (1 + 2) - 3 (1 - 4) = (-2) \cdot (-2) + 4 \cdot 3 - 3 \cdot (-3) = \boxed{25} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลคูณของกำลังสองของคำตอบของสมการ $2x^2 + 13x + 6 = 0$ คือเท่าใด | จากสูตรของ Vieta ผลคูณของคำตอบคือ $6/2 = 3$ ดังนั้น ผลคูณของกำลังสองของคำตอบคือ $3^2 = \boxed{9}$ | 3^2 = \boxed{9}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
תחוםของฟังก์ชัน $$k(y) = \frac{1}{2y+1}~?$$ แสดงคำตอบในสัญกรณ์ช่วง | เศษส่วน $\frac{1}{2y+1}$ ไม่นิยามก็ต่อเมื่อส่วนตัวเป็นศูนย์ เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อ $y$ เป็นคำตอบของสมการ $$2y+1=0,$$ ซึ่งก็คือ $y=-\frac 12$ ดังนั้นโดเมนของ $k(y)$ คือ $$\boxed{\left(-\infty,-\frac 12\right)\cup \left(-\frac 12,\infty\right)}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
อัตราส่วนของจำนวนสองจำนวนคือ $3:5$ เมื่อนำ 4 ลบออกจากจำนวนที่น้อยกว่า และนำ 8 บวกเข้ากับจำนวนที่มากกว่า อัตราส่วนใหม่จะเป็น $2:7$ จำนวนที่มากกว่าของจำนวนทั้งสองก่อนที่จะนำ 8 บวกเข้าไปคือเท่าไร | ให้ $a$ เป็นจำนวนที่น้อยกว่า และ $b$ เป็นจำนวนที่มากกว่า จากนั้น $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$ ดังนั้น $5a=3b$ นอกจากนี้ $\dfrac{a-4}{b+8}=\dfrac{2}{7}$ ดังนั้นการคูณไขว้จะได้ $7(a-4)=2(b+8)$ ตอนนี้เรามีระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ การแก้สมการจะได้ $a=12$, $b=20$ เนื่องจากคำถามถามถึงค่าของ $b$ คำตอบของเราคือ $\boxed{20}$ | \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $x$ ใดจะทำให้ $x^2- 14x + 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เราเริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
x^2-14x+3&= x^2-14x +\left(\frac{14}{2}\right)^2 - \left(\frac{14}{2}\right)^2 + 3\\
& = x^2 -14x + 7^2 - 49 + 3\\
&=(x-7)^2 - 46.\end{align*}เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าอย่างน้อย 0 เราได้ $$(x-7)^2\ge 0,$$โดยที่ $(x-7)^2 =0$ เฉพาะเมื่อ $x=7$. ดังนั้น $(x-7)^2 - 46... | x=\boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $x$ ใดที่ทำให้ $\frac{2x-1}{2x+2}$ และ $\frac{x-3}{x-1}$ มีค่าเท่ากัน? | เรามีสมการ $\frac{2x-1}{2x+2}=\frac{x-3}{x-1}$ คูณไขว้และทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
(2x-1)(x-1)&=(2x+2)(x-3)\\
2x^2 - x - 2x + 1 &= 2x^2 + 2x - 3 \cdot 2x - 3 \cdot 2 \\
2x^2 - 3x + 1&=2x^2-4x-6\\
x&=\boxed{-7}
\end{align*} | -7 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
อัตราส่วนของ $x$ ต่อ $y$ เป็น $1$ ต่อ $2$ ค่าของ $x$ คือเท่าใด ถ้า $y=4x-36$? | ให้เขียนประโยคแรกในรูปสมการ: \begin{align*}
\frac{x}{y} &= \frac{1}{2}, \\
2x &= y.
\end{align*}
จากนั้น แทนค่านี้ลงในสมการที่กำหนดเพื่อหาค่า $x$: \begin{align*}
2x &= 4x - 36, \\
36 &= 2x, \\
\boxed{18} &= x.
\end{align*} | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าจริงของ $k$ ใด $\frac{13-\sqrt{131}}{4}$ เป็นรากของ $2x^2-13x+k$? | เราสามารถแทน $(13-\sqrt{131})/4$ สำหรับ $x$ ในสมการได้ แต่สูตรกำลังสองบ่งชี้ถึงวิธีการที่รวดเร็วกว่า การแทน $2$, $-13$ และ $k$ ลงในสูตรกำลังสองจะได้ \[
\frac{-(-13)\pm\sqrt{(-13)^2-4(2)(k)}}{2(2)}= \frac{13\pm\sqrt{169-8k}}{4}.
\]การตั้ง $(13+\sqrt{169-8k})/4$ และ $(13-\sqrt{169-8k})/4$ เท่ากับ $(13-\sqrt{131})/4$ เรา... | k=(169-131)/8=38/8=\boxed{\frac{19}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรง $j$ ตั้งฉากกับ $\frac{y}{3}+\frac{2x}{5}=2$ ความชันของเส้นตรง $j$ คือเท่าใด | ก่อนอื่น เราหาความชันของ $\frac{y}{3}+\frac{2x}{5}=2$ เราแปลงเป็นรูปสมการเชิงเส้น คูณทั้งสองข้างด้วย 3 จะได้ $y+\frac{6x}{5}=6$ ย้าย $x$ ไปทางขวา จะได้ $y=-\frac{6x}{5}+6$ ความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกันเป็นส่วนกลับของกันและกัน ดังนั้น ความชันของเส้นตรง $j$ คือส่วนกลับของ $-\frac{6}{5}$ ซึ่งก็คือ $\boxed{\frac56}$ | \boxed{\frac56} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $$(1 + 2 + 3 + \cdots+ n)^2 < 1^3 + 2^3 + \cdots+ 7^3?$$ | จงจำไว้ว่า $$(1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 +\ldots + n^3.$$ ดังนั้น สำหรับ $n\geq 7$, $(1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 +\ldots + n^3 \geq 1^3 + 2^3 +\ldots + 7^3$, ในขณะที่ $(1 + 2 + 3 + \ldots + 6)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 +\ldots + 6^3$, ซึ่งน้อยกว่าผลรวมที่ต้องการ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed... | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $y$ แปรผกผันกับ $\sqrt x$ และเมื่อ $x=24$ , $y=15$ $x$ มีค่าเท่าใดเมื่อ $y=3$? | เนื่องจาก $y$ และ $\sqrt{x}$ มีค่าแปรผกผันกัน หมายความว่า $y\sqrt{x}=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า แทนค่าที่กำหนดให้ เมื่อ $x=24$ และ $y=15$ เราพบว่า $15\sqrt{24}=30\sqrt{6}=k$ ดังนั้น เมื่อ $y=3$ เราสามารถแก้หา $x$ ได้: \begin{align*}
3\cdot\sqrt{x}&=30\sqrt{6}\\
\Rightarrow\qquad (\sqrt{x})^2&=(10\sqrt{6})^2\\
\Righta... | 600 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับเรขาคณิต $\frac{16}{9}, \frac{8}{3}, 4, 6, 9, \ldots$ พจน์ที่แปดของลำดับนี้คืออะไร แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | อัตราส่วนร่วมระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันคือ $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ (เราสามารถเลือกพจน์ที่ต่อเนื่องกันสองพจน์ใดๆ และหารพจน์ที่สองด้วยพจน์แรกเพื่อหาอัตราส่วนร่วม; เราเลือก 4 และ 6 เพราะดูเหมือนจะง่าย) ดังนั้นพจน์ที่ $n$ ของลำดับนี้คือ $\frac{16}{9} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$ แทน $n=8$ เราได้ $$
\frac{16... | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ถ้า $h(x) = \sqrt{\frac{x+3}{2}}$ จงหาค่าของ $h(-1)$ | เราได้ว่า $h(-1) = \sqrt{\frac{-1+3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = \boxed{1}$ | h(-1) = \sqrt{\frac{-1+3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = \boxed{1} | [
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรง $l$ มีสมการ $y = 4x - 7$ และเส้นตรง $m$ มีสมการ $y = ax + b$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $l$ ที่จุด $(2,1)$ จงหาพิกัด $y$ ของจุดบน $m$ ที่มีพิกัด $x$ เท่ากับ 6 | เราหาสมการของ $m$ ก่อน เนื่องจากตั้งฉากกับ $l$ ความชันของมันต้องเป็น $-1\times(4)^{-1}$ ดังนั้น $a = -1/4$ เนื่องจาก $m$ ยังผ่านจุด $(2,1)$ เราสามารถหาสมการของเส้นตรง $m$ ได้โดยการแทนค่า 2 สำหรับ $x$ และ $1$ สำหรับ $y$ ในรูปแบบจุด-ความชันของ $m$: $1 = 2\times-\frac{1}{4} + t$ โดยที่ $(0,t)$ เป็นจุดตัดแกน $y$ ของ $m$. $... | -6\times\frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
k(x) &\text{ถ้า }x>3, \\
x^2-6x+12&\text{ถ้า }x\leq3.
\end{cases}
\] จงหาฟังก์ชัน $k(x)$ ที่ทำให้ $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง | สังเกตว่า เนื่องจากพจน์เชิงเส้นของกำลังสองคือ $-6$ จุดยอดของพาราโบลาที่เป็นด้านซ้ายของ $f$ อยู่ที่ $x=3$ ดังนั้นการเติมกำลังสองอาจมีประโยชน์ \[x^2-6x+12=(x^2-6x+9)+3=(x-3)^2+3.\]เราต้องการให้ $f(f(x))=x$ สำหรับทุก $x$ เนื่องจาก $f(f(3))=3$ เราทราบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเองที่ $x=3$ ดังนั้นเราสามารถจำกัดความสนใจ... | k(x) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของ $1 + 2 + 3 + \cdots + 98 + 99 + 100$ | สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 100 = 100 \cdot 101/2 = \boxed{5050}$ | 1 + 2 + \dots + 100 = 100 \cdot 101/2 = \boxed{5050} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แต่ละพจน์ในลำดับ $243, 81, x,
y, 3, \ldots$ ได้มาจากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัว ค่าของ $x + y$ เท่ากับเท่าใด | อัตราส่วนร่วม $r$, เท่ากับ $\frac{1}{3}$ (คุณสามารถหาค่านี้ได้โดยการหาร 81 ด้วย 243) ดังนั้น $ x = 27$, $y = 9$, และ $x+y = \boxed{36}$ | x+y = \boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทำให้ง่ายขึ้น $4(3r^3+5r-6)-6(2r^3-r^2+4r)$, และแสดงคำตอบของคุณในรูป $Ar^2 + Br + C$ โดยที่ $A$, $B$, และ $C$ เป็นจำนวนเต็ม | โดยใช้สมบัติการ distributive และการรวมพจน์ที่คล้ายกัน เราได้ $4(3r^3+5r-6)-6(2r^3-r^2+4r) = 12r^3+20r-24-12r^3+6r^2-24r.$ ทำให้เรียบง่าย เราได้ $\boxed{6r^2-4r-24}.$ | \boxed{6r^2-4r-24}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
อเล็กซ์, บ๊อบ, แคมิลล์ และแดเนียลล์ แม่ของพวกเขากำลังเปรียบเทียบอายุของลูกๆ ของพวกเขา พวกเขาสังเกตว่าผลรวมของอายุของอเล็กซ์ บ๊อบ และแดเนียลล์เท่ากับ 14 เท่าของอายุแคมิลล์ พวกเขายังทราบอีกว่าผลรวมของอายุของอเล็กซ์และบ๊อบเท่ากับ 6 เท่าของอายุแคมิลล์ และอายุของบ๊อบน้อยกว่าผลต่างของอายุของแดเนียลล์และอเล็กซ์ 2 ปี แคมิลล์อา... | ให้ $a$ เป็นอายุของอเล็กซ์ $b$ เป็นอายุของบ๊อบ $c$ เป็นอายุของแคมิลล์ และ $d$ เป็นอายุของแดเนียลล์ เราสามารถแสดงข้อมูลที่กำหนดในปัญหาด้วยระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:
\begin{align*}
a + b + d &= 14c \\
a + b &= 6c \\
b &= d - a - 2
\end{align*} การแทนที่ $a+b$ ในรูปของ $c$ ลงในสมการแรกจะได้ $d = 8c$. การจัดเรียงสมการที่สา... | c = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนเท่ากับ 40 และผลต่างของสองจำนวนนั้นเท่ากับ 12 จงหาผลคูณของสองจำนวนนั้น | เริ่มต้นด้วยการเขียนปัญหาใหม่ในรูปสมการ:
\begin{align*}
x + y &= 40, \\
x - y &= 12.
\end{align*}เราต้องการหา $xy$ ดังนั้นให้หา $x$ และ $y$ แยกกัน
เริ่มต้นด้วยการบวกสมการทั้งสอง: \begin{align*}
2x &= 52 \\
x &= 26
\end{align*}จากนั้นลบสมการทั้งสอง \begin{align*}
2y &= 28 \\
y &= 14
\end{align*}ดังนั้น $x \cdot y = 2... | x \cdot y = 26 \cdot 14 = \boxed{364} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สัญลักษณ์ $\triangle$, $\square$, $\diamond$, $\clubsuit$ แทนจำนวนเต็มที่ต่างกัน 4 จำนวน จาก 1 ถึง 9 โดยใช้สมการต่อไปนี้ $\square$ มีค่าเท่าใด? \begin{align*}
\triangle + \square &= \clubsuit \\
\triangle + \triangle &= \diamond +\diamond + \diamond + \diamond + \diamond \\
\triangle + \triangle &= \clubsuit + \diamon... | เพื่อความสะดวก ให้แทนรูปสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร $a$ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยตัวอักษร $b$ รูปเพชรด้วยตัวอักษร $c$ และรูปดอกจิกด้วยตัวอักษร $d$ สมการที่กำหนดทั้งสามจะกลายเป็น \begin{align*}
a+b&=d\\
2a&=5c\\
2a&=c+d
\end{align*} เราต้องการหาค่าของ $b$ เราสามารถแทนสมการที่สองลงในสมการที่สามเพื่อกำจัด $a$ เพื่อให้ได้ $5c=c... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงระหว่าง $(x,y)$ และ $(2,4)$ คือ $(-7,0)$ จงหา $(x,y)$ | การนำสูตรของจุดกึ่งกลางมาใช้จะได้ $$\left(\frac{2+x}{2},\frac{4+y}{2}\right)=(-7,0).$$แก้สมการ $\frac{2+x}{2}=-7$ เพื่อหา $x$ และ $\frac{4+y}{2} = 0$ เพื่อหา $y$ เราจะได้ $(x,y)$ เป็น $\boxed{(-16,-4)}$. | \boxed{(-16,-4)} | [
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบ $-16x^4+x^2+2x+1$ เป็นพหุนามกำลังสองสองพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จงแสดงคำตอบในรูป $(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$ โดยที่ $a<d$ | สังเกตว่า $-16x^4+x^2+2x+1=(x+1)^2-(4x^2)^2=\boxed{(-4x^2+x+1)(4x^2+x+1)}$ โดยที่เราใช้เอกลักษณ์ผลต่างกำลังสองสำหรับสมการที่สอง | -16x^4+x^2+2x+1=(x+1)^2-(4x^2)^2=\boxed{(-4x^2+x+1)(4x^2+x+1)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มทั้งหมดที่เป็นคำตอบของ $|x-2|\leq5.6$ | กำจัดค่าสัมบูรณ์ เราได้ $-5.6 \le x-2 \le 5.6$ หรือ $-3.6 \le x \le 7.6$ ดังนั้น $x$ สามารถเป็นจำนวนเต็มใดๆ ตั้งแต่ -3 ถึง 7 รวมทั้งหมด มีจำนวนเต็ม $7-(-3)+1=\boxed{11}$ จำนวน ในช่วงนี้ | 7-(-3)+1=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $3^{x+8}=9^{x+3}$, จงหาค่าของ $x$ | เราเขียน $9$ เป็นกำลังของ $3$ และได้ $9^{x+3}=(3^2)^{x+3}=3^{2(x+3)} = 3^{2x+6}$. ดังนั้นสมการเดิมคือ $3^{x+8} = 3^{2x+6}$. เมื่อเทียบเลขชี้กำลังทั้งสอง เราได้ $x+8=2x+6$. แก้สมการได้ $x=\boxed{2}$. | x=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $p(t)$ และ $q(t)$ เป็นพหุนามดีกรีเจ็ดทั้งคู่ใน $t$ ดีกรีของ $p(t)\cdot q(t)$ คือเท่าใด | พจน์ $t^7$ คูณกันจะได้พจน์ $t^{14}$ พจน์อื่นๆ คูณกันจะได้พจน์ที่มีดีกรีต่ำกว่า ดังนั้น ดีกรีของผลคูณของพหุนามคือ $\boxed{14}$ | \boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการหาค่า $a$: $$\sqrt{4+\sqrt{16+16a}}+ \sqrt{1+\sqrt{1+a}} = 6.$$ | เราสามารถแยกตัวประกอบค่าคงตัวออกจากรากที่หนึ่งได้:
\begin{align*}
\sqrt{4+\sqrt{16+16a}} &= \sqrt{4+\sqrt{16(1+a)}}\\
&= \sqrt{4+4\sqrt{1+a}}\\
&= \sqrt{4(1+\sqrt{1+a})}\\
&= 2\sqrt{1+\sqrt{1+a}}
\end{align*}จากนั้นเราสามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันและแก้สมการได้:
\begin{align*}
2\sqrt{1+\sqrt{1+a}}+ \sqrt{1+\sqrt{1+a}} &= 6... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
คำนวณ: $\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}$ | แยกตัวประกอบ $3^3$ ออกจากตัวเศษ และ $3^2$ ออกจากตัวส่วน ก่อนที่จะนำมาลบกัน: \[
\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}=\frac{3^3(3-1)}{3^2(3-1)}=\boxed{3}.
\] | 3 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สวิอตอสลาฟแก้สมการกำลังสอง $x^2-x-1=0$ โดยวิธีการเติมกำลังสอง ในกระบวนการนี้ เขาได้สมการที่สมมูลกัน $$(x+a)^2 = b,$$โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
$b$ มีค่าเท่าใด? | กำลังสองที่สอดคล้องกับ $x^2-x-1$ ยกเว้นพจน์คงตัวคือ $\left(x-\frac 12\right)^2$ ซึ่งเท่ากับ $x^2-x+\frac 14$ และเท่ากับ $(x^2-x-1) + \frac 54$
ดังนั้น โดยการบวก $\frac 54$ เข้ากับแต่ละข้าง สวิอตอสลาฟจึงเขียนสมการใหม่ $x^2-x-1 = 0$ เป็น $$\left(x-\frac 12\right)^2 = \frac 54.$$เราได้ $a=-\frac 12$ และ $b=\boxed{\frac ... | b=\boxed{\frac 54} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด $(6, 0)$ ไปยังเส้นตรง $y = 2x-2$ แสดงคำตอบในรูปของรากที่ง่ายที่สุด | เส้นตรงที่สั้นที่สุดจากจุด $(6,0)$ ไปยังเส้นตรงที่กำหนดจะตั้งฉากกับเส้นตรงนั้น เส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $y=2x-2$ จะมีความชันเป็น $-1/2$ ซึ่งจะทำให้มีรูปแบบเป็น $y=-\frac{1}{2}x+b$ แทนค่าจุด $(6,0)$ ที่เราทราบว่าต้องอยู่บนเส้นตรงนี้ เราจะได้: $$0=-\frac{1}{2}\cdot 6 +b$$ $$3=b$$ สมการของเส้นตรงตั้งฉากคือ $y=-\frac{1}{2}x+3... | 2√5 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชันค่าจริง \[f(x)=\sqrt{-6x^2+11x-4}.\] แสดงจุดปลายในคำตอบของท่านเป็นเศษส่วนสามัญ (ไม่ใช่จำนวน hỗ benevolence หรือทศนิยม) | เราต้องการ $-6x^2+11x-4\geq 0$. พหุนามกำลังสองตัวนี้แยกตัวประกอบได้เป็น \[(2x-1)(-3x+4) \ge 0.\] ดังนั้นศูนย์ของพหุนามกำลังสองอยู่ที่ $\frac{1}{2}$ และ $\frac{4}{3}$. เนื่องจากพหุนามกำลังสองหงายลงด้านล่าง ดังนั้นค่าไม่เป็นลบระหว่างศูนย์ ดังนั้นโดเมนคือ $x \in \boxed{\left[\frac{1}{2}, \frac{4}{3}\right]}$. | x \in \boxed{\left[\frac{1}{2}, \frac{4}{3}\right]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน $f(x)$ และ $g(x)$ แสดงไว้ในระบบพิกัดเดียวกัน: [asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real ... | จุด $(1,-2)$ อยู่บนกราฟของ $y=g(x)$ และจุด $(-2,3)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ ดังนั้น $$f(g(1)) = f(-2) = 3.$$ จุด $(1,1.5)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ และจุด $(1.5,-1)$ อยู่บนกราฟของ $y=g(x)$ ดังนั้น $$g(f(1)) = g(1.5) = -1.$$ ดังนั้น $$f(g(1))\cdot g(f(1)) = (3)(-1) = \boxed{-3}.$$ | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] | |
จงทำให้ง่ายสุด $(x+3)(x-1) - x(x+2)$ | สองพจน์แรกคูณกันได้ $x^2 + 2x - 3$ และสองพจน์สุดท้ายคูณกันได้ $x^2 + 2x$ ดังนั้น $x^2$ และ $2x$ จะตัดกันออกไป เหลือคำตอบ $\boxed{-3}$ | \boxed{-3} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดว่า $x < 5$ จงเขียน $5x - |x - 5|$ โดยไม่ใช้เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เนื่องจาก $x<5,$ $x-5<0.$ ดังนั้น $|x-5|=-(x-5),$ และสมการสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้เป็น \[5x-|x-5|=5x+(x-5)=\boxed{6x-5}.\] | |x-5|=-(x-5), | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.