question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ขยาย $(2t^2 -3t+2)(-3t^2 + t-5)$ | เราใช้สมบัติการ distributive เพื่อหา \begin{align*}
&(2t^2 -3t+2)(-3t^2 + t-5)\\
&=2t^2(-3t^2 + t-5) -3t(-3t^2 + t-5) + 2(-3t^2 + t-5)\\
&=(-6t^4 + 2t^3-10t^2) +(9t^3 - 3t^2+15t) + (-6t^2 + 2t-10)\\
&=-6t^4 + (2+9)t^3 + (-10 -3 -6)t^2 + (15+2)t - 10\\
&=\boxed{-6t^4 +11t^3 -19t^2 +17t -10}.
\end{align*} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-10x +y^2-4y-7=0$ และ $x^2+14x +y^2+6y+49=0$ | เราทำให้สมการตัวแรกสมบูรณ์กำลังสองโดยสังเกตว่าสมการตัวแรกเทียบเท่ากับ \[
(x^2-10x +25) +(y^2-4y +4)=36,
\] ซึ่งเทียบเท่ากับ \[
(x-5)^2 +(y-2)^2 =6^2.
\] เช่นเดียวกัน สมการของวงกลมที่สองคือ \[
(x+7)^2 +(y+3)^2 =3^2.
\] ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(5,2)$ และ $(-7,-3)$ และรัศมีของวงกลมเท่ากับ 6 และ 3 ตามลำดับ ระยะทางระหว่างจุด $(5,2)$ และ $(-7,-3)$ โดยสูตรระยะทางคือ $\sqrt{(5-(-7))^2+(2-(-3))^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$. ดังนั้น เพื่อหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างวงกลมทั้งสอง เราต้องลบผลรวมของรัศมีของวงกลมทั้งสองออกจาก 13. ดังนั้น ความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างวงกลมคือ $13-3-6 = \boxed{4}$. | 13-3-6 = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $23^2 + 2(23)(2) + 2^2$ | นี่คือกำลังสองของทวินาม: $23^2 + 2(23)(2) + 2^2 = (23+2)^2 = 25^2 = \boxed{625}$. | 23^2 + 2(23)(2) + 2^2 = (23+2)^2 = 25^2 = \boxed{625} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ประเมินค่าของ $\left\lceil\left(-\frac{5}{3}\right)^2\right\rceil$。 | ค่าภายในวงเล็บเพดานเท่ากับ $$\left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} = 3 - \frac{2}{9}$$เนื่องจากค่านี้เป็นจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนที่ไม่เป็นลบ น้อยกว่าหนึ่ง จึงทำให้เพดานของค่านี้เท่ากับจำนวนเต็ม $\boxed{3}$。 | \boxed{3} | [
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของสองจำนวนคือ $12$ และผลต่างของสองจำนวนนั้นคือ $20$ จำนวนที่น้อยกว่าคือเท่าใด? | ให้ $x$ เป็นจำนวนที่มากกว่า และ $y$ เป็นจำนวนที่น้อยกว่า แล้วเราจะมี $x+y=12$ และ $x-y=20$ ถ้าเราลบสมการที่สองจากสมการแรก เราจะได้ $$x+y-(x-y)=12-20\qquad\Rightarrow 2y=-8\qquad\Rightarrow y=-4.$$ จำนวนที่น้อยกว่าคือ $\boxed{-4}$. | \boxed{-4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของสามจำนวนคู่ต่อเนื่องคือเท่าใด ถ้าผลรวมของจำนวนคู่แรกและจำนวนคู่ที่สามเท่ากับ 128 | ผลรวมของลำดับเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคูณด้วยจำนวนพจน์ ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ $\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{128}{2}=64$ และจำนวนพจน์คือ 3 เราคูณกันได้ $64\cdot3=\boxed{192}$ | 64\cdot3=\boxed{192} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองจำนวนเต็มบวกต่างกัน 6 และผลคูณของมันคือ 135 จงหาจำนวนเต็มที่ใหญ่กว่า | 135 หารเป็นตัวประกอบได้สี่คู่: $(1,135)$, $(3,45)$, $(5,27)$ และ $(9,15)$ คู่เดียวที่ต่างกัน 6 คือ $(9,15)$ ซึ่งมีจำนวนเต็มที่ใหญ่กว่าคือ $\boxed{15}$ | \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของทุกจำนวน $x$ ที่สอดคล้องกับ $x+25/x = 10.$ | คูณทั้งสองข้างด้วย $x$ แล้วลบ $10x$ จากแต่ละข้างจะได้ $x^2 - 10 x + 25 = 0.$ พหุนามกำลังสองตัวนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(x-5)^2 = 0,$ ดังนั้น $x-5 = 0,$ และ $x=5$ เป็นคำตอบเดียว ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{5}.$
หมายเหตุ: เราอาจต้องการใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของคำตอบของพหุนามกำลังสอง $ax^2+bx+c = 0$ ถูกกำหนดโดย $-b/a,$ แต่โปรดระวัง! ข้อเท็จจริงนั้นนับรากคู่สองครั้งสำหรับวัตถุประสงค์ของผลรวม แต่ปัญหาข้อนี้มีการนับเพียงครั้งเดียว เนื่องจาก $x=5$ เป็นคำตอบเดียวเท่านั้น | x=5 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $3+a=4-b$ และ $4+b=7+a$ แล้ว $3-a$ มีค่าเท่าไร? | เริ่มต้นด้วยการแก้ระบบสมการ \begin{align*}
3+a&=4-b, \\
4+b&=7+a.
\end{align*}บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน เราได้ $3+a+4+b=4-b+7+a$ ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $7+a+b=11+a-b$ ยกเลิก $a$ จากทั้งสองข้าง เราได้ $7+b=11-b$ แก้หา $b$ เราพบว่า $b=2$ แทนค่า $b$ ลงในสมการแรกข้างต้น เราได้ $3+a=4-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $3-a=\boxed{4}$ | 3-a=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กราฟของ $y=f(x)$ ซึ่งประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงห้าส่วน แสดงไว้ในสีแดงด้านล่าง (ระยะห่างระหว่างเส้นตารางคือ $1$)
ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดทั้งหมดที่ $f(x) = x+1$ คือเท่าใด? | เราซ้อนกราฟของ $y=x+1$ บนแกนเดียวกันกับกราฟเดิม:
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real wholetickdown=tickdown;
void rr_cartesian_axes(real xleft, real xright, real ybottom, real ytop, real xstep=1, real ystep=1, bool useticks=false, bool complexplane=false, bool usegrid=true) {
import graph;
real i;
if(complexplane) {
label("$\textnormal{Re}$",(xright,0),SE);
label("$\textnormal{Im}$",(0,ytop),NW);
} else {
label("$x$",(xright+0.4,-0.5));
label("$y$",(-0.5,ytop+0.2));
}
ylimits(ybottom,ytop);
xlimits( xleft, xright);
real[] TicksArrx,TicksArry;
for(i=xleft+xstep; i<xright; i+=xstep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArrx.push(i);
}
}
for(i=ybottom+ystep; i<ytop; i+=ystep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArry.push(i);
}
}
if(usegrid) {
xaxis(BottomTop(extend=false), Ticks("%", TicksArrx ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
yaxis(LeftRight(extend=false),Ticks("%", TicksArry ,pTick=gray(0.22),extend=true), p=invisible);//,Arrows);
}
if(useticks) {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, Ticks("%",TicksArry , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, Ticks("%",TicksArrx , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
} else {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
}
};
rr_cartesian_axes(-5,5,-5,5);
draw((-4,-5)--(-2,-1)--(-1,-2)--(1,2)--(2,1)--(4,5),red);
draw((-5,-4)--(4,5),green);
[/asy]
มีจุดตัดสามจุด ที่ $(-2,-1),$ $(1,2),$ และ $(4,5)$ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $(-2)+1+4=oxed{3}$ | (-2)+1+4=\boxed{3} | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับเรขาคณิตเริ่มต้นด้วย $16$, $-24$, $36$, $-54$ อัตราส่วนร่วมของลำดับนี้คือเท่าใด | อัตราส่วนร่วมคือ $(-24)/16 = \boxed{-\frac{3}{2}}$. | (-24)/16 = \boxed{-\frac{3}{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{5x+1}{x-1}$, จงหาค่าของ $f(7)$ | เราสามารถหาคำตอบนี้ได้โดยการแทนค่า 7 ลงในฟังก์ชัน: \begin{align*} f(7)& = \dfrac{5(7)+1}{7-1}
\\ & = \dfrac{35+1}{6}
\\ & = \dfrac{36}{6}
\\ & = \boxed{6}
\end{align*} | 6 | [
"นำไปใช้"
] |
ค่าของ $k$ ใดจะทำให้ $x^2 - 16x + k$ เป็นกำลังสองของทวินาม? | เราทราบว่า $x^2 - 16x + k = (x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$ สำหรับบางค่าของ $b.$ เนื่องจาก $2bx = -16x$ เราจึงอนุมานได้ว่า $b = -8.$ ตอนนี้การขยาย $(x - 8)^2$ จะให้ผลเป็น $x^2 - 16x + 64$ ดังนั้น $k = \boxed{64}.$ | k = \boxed{64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\left\lceil\sqrt{2}\,\right\rceil+\left\lceil\sqrt{22}\,\right\rceil+\left\lceil\sqrt{222}\,\right\rceil$. | เนื่องจากอสมการต่อไปนี้เป็นจริง \[\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4} \Rightarrow 1<\sqrt{2}<2\]\[\sqrt{16}<\sqrt{22}<\sqrt{25} \Rightarrow 4<\sqrt{22}<5\]\[\sqrt{196}<\sqrt{222}<\sqrt{225} \Rightarrow 14<\sqrt{222}<15\]จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\sqrt{2}$ คือ $2$, จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\sqrt{22}$ คือ $5$ และจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\sqrt{222}$ คือ $15$ ดังนั้น $2+5+15=\boxed{22}$. | 2+5+15=\boxed{22} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
หลังจากแซลลี่ยิง 20 ครั้ง เธอทำได้ $55\%$ ของการยิงของเธอ หลังจากที่เธอทำการยิงอีก 5 ครั้ง เธอเพิ่มเปอร์เซ็นต์การยิงของเธอเป็น $56\%$. เธอทำได้กี่ครั้งใน 5 ครั้งสุดท้าย? | ถ้าแซลลี่ทำได้ $55\%$ จากการยิง 20 ครั้ง เธอทำได้ $0.55 \times 20 = 11$ ครั้ง ถ้าแซลลี่ทำได้ $56\%$ จากการยิง 25 ครั้ง เธอทำได้ $0.56 \times 25 = 14$ ครั้ง ดังนั้นเธอทำได้ $14-11=\boxed{3}$ ครั้งใน 5 ครั้งสุดท้าย | 14-11=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันของ $5^5 - 5^3$ | กำลังสูงสุดของ $5$ ที่หารทั้งสองพจน์ได้คือ $5^3$ เราแยกตัวประกอบ $5^3$ ออกดังนี้: \begin{align*}
5^5 - 5^3 &= 5^3 \cdot 5^2 - 5^3 \cdot 1 \\
&= 5^3(5^2 - 1)
\end{align*} $5^2 - 1 = 24$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $2^3 \cdot 3$ ดังนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะคือ ${2^3 \cdot 3 \cdot 5^3}$ และผลรวมของตัวประกอบเฉพาะคือ $2+3+5 = \boxed{10}$ | 2+3+5 = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดเส้นตรงต่อไปนี้ \begin{align*}
y&=3x+5 \\ 2y&=4x+5 \\ 3y&=9x-2 \\ 2y&=x-3 \\ 4y&=x-5.
\end{align*}ให้เราเรียกคู่ของเส้นตรงว่า $\emph{ดี}$ ถ้าเส้นตรงทั้งสองเส้นขนานกันหรือตั้งฉากกัน จากเส้นตรงทั้งหมดที่แสดงให้ดู มีกี่คู่ที่เป็นคู่ที่ดี? | เราหาความชันของแต่ละเส้นตรง ความชันของเส้นตรงคือ $\frac31=3$, $\frac42=2$, $\frac93=3$, $\frac12$ และ $\frac14$.
เส้นตรงที่ขนานกันจะมีความชันเท่ากัน ดังนั้นเส้นตรง $a$ และ $c$ ขนานกัน เส้นตรงตั้งฉากกันจะมีความชันที่เป็นส่วนกลับของค่าลบของกันและกัน ไม่มีเส้นตรงใดที่มีความชันเป็นส่วนกลับของค่าลบของกันและกัน ดังนั้นไม่มีเส้นตรงตั้งฉากกัน มี $1+0=\boxed{1}$ คู่ของเส้นตรงที่ขนานกันหรือตั้งฉากกัน | 1+0=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามในสี่มุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $(5, 11)$, $(16, 11)$ และ $(16, -2)$ พื้นที่ของส่วนที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าตัดกับบริเวณภายในกราฟของสมการ $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 9$ มีค่าเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | ด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกับแกน ดังนั้นจุดที่สี่ต้องทำเส้นแนวตั้งกับ (5,11) และเส้นแนวนอนกับ (16,-2); นั่นหมายความว่าจุดที่สี่คือ (5,-2) กราฟของบริเวณภายในสมการคือวงกลมที่มีรัศมี 3 และจุดศูนย์กลาง (5,-2): [asy]
size(150);
defaultpen(linewidth(.8pt));
fill(Arc((5,-2),3,0,90)--(5,-2)--cycle,gray);
draw(Circle((5,-2),3));
draw((5,-2)--(16,-2)--(16,11)---(5,11)--cycle);
[/asy] เนื่องจากมุมแต่ละมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด $90^{\circ}$ และมุม coincide กับจุดศูนย์กลางของวงกลม สี่เหลี่ยมผืนผ้าครอบคลุมวงกลมเพียงหนึ่งในสี่ พื้นที่ของส่วนที่ตัดกันคือ $\frac14r^2\pi=\frac14\cdot3^2\pi=\boxed{\frac94\pi}$. | \frac14r^2\pi=\frac14\cdot3^2\pi=\boxed{\frac94\pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_\frac{1}{3}9$. | ให้ $x = \log_\frac{1}{3}9$ ดังนั้นเราจะต้องมี $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 9$ ดังนั้น $x=\boxed{-2}$ | x=\boxed{-2} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a \ne b$ เป็นจำนวนจริงคู่หนึ่ง และนิยามการดำเนินการ $\star$ ดังนี้ \[
(a \star b) = \frac{a + b}{a - b}.
\]จงหาค่าของ $((1 \star 2) \star 3)$ | ก่อนอื่นเรามี \[
(1 \star 2) = \frac{1 + 2}{1 - 2} = -3.
\]จากนั้น \[
((1 \star 2) \star 3) = (-3 \star 3) = \frac{-3 + 3}{-3 - 3} = \frac{0}{-6} = \boxed{0}.
\] | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
จงหาจำนวนเงินที่อัลมีในตอนเริ่มต้น | กำหนดให้จำนวนเงินเริ่มต้นของอัล เบ็ตตี้ และแคลร์ เป็น $a$, $b$ และ $c$ ตามลำดับ ดังนั้น \[
a + b + c = 1000\quad\text{และ}\quad a-100 + 2(b+c) = 1500.
\] แทน $b+c=1000-a$ ในสมการที่สอง เราจะได้ \[
a -100 + 2(1000-a)=1500.
\] ซึ่งจะได้ $a=\boxed{400}$ ซึ่งเป็นจำนวนเงินที่อัลมีในตอนเริ่มต้น
โปรดทราบว่าแม้ว่าเราจะทราบว่า $b+c = 600$ แต่เราก็ไม่สามารถหาค่า $b$ หรือ $c$ ได้ | 400 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าจริงของ $b$ ใด นิพจน์ $\frac{1}{2}b^2 + 5b - 3$ จะมีค่าน้อยที่สุด | เราเติมกำลังสอง: \begin{align*}
\frac{1}{2}b^2 + 5b - 3 & = (\frac{1}{2}b^2 + 5b) - 3\\
&= \frac{1}{2}(b^2 + 10b + 25) - 3 -25 \cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{1}{2}(b + 5)^2 - \frac{31}{2}.
\end{align*} ค่าต่ำสุดของ $\frac{1}{2}(b + 5)^2$ คือ $0$ เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงไม่เป็นลบ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของนิพจน์เกิดขึ้นที่ $b = \boxed{-5}$ | b = \boxed{-5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อคูณพหุนาม $(3x+2y+1)(x+4y+5)$ แล้ว ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มี $y$ ในกำลังที่ไม่ใช่ศูนย์ คือเท่าใด | เราใช้สมบัติการ distributive property คูณออกดังนี้:
\begin{align*}
&\phantom{==}(3x+2y+1)(x+4y+5)\\
&=3x(x+4y+5)+2y(x+4y+5)+1(x+4y+5)\\
&=3x^2+12xy+15x+2xy+8y^2+10y+x+4y+5\\
&=3x^2+14xy+16x+8y^2+14y+5.
\end{align*}พจน์ที่มี $y$ ในกำลังที่ไม่ใช่ศูนย์ คือ $14xy$, $8y^2$, และ $14y$ และผลรวมของสัมประสิทธิ์คือ $14+8+14=\boxed{36}$ | 14+8+14=\boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จุดตาข่ายในระนาบ $x,y$ คือจุดที่พิกัดทั้งสองเป็นจำนวนเต็ม (ไม่จำเป็นต้องเป็นบวก) มีจุดตาข่ายกี่จุดที่อยู่บนกราฟของสมการ $x^2-y^2=47$? | ใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสอง เราจะเห็นว่าจุดใดๆ ที่สอดคล้องกับ $(x+y)(x-y)=47$ ทั้งสองตัวประกอบเป็นจำนวนเต็ม คู่ของตัวประกอบของ $47$ คือ $(47,1)$ และ $(-47,-1)$ ดังนั้นพิกัดของจุดจะต้องสอดคล้องกับระบบสมการใดระบบหนึ่งในสี่ระบบต่อไปนี้: (i) $x+y=47$, $x-y=1$; (ii) $x+y=-47$, $x-y=-1$; (iii) $x+y=1$, $x-y=47$; (iv) $x+y=-1$, $x-y=-47$ การแก้ระบบสมการทั้ง 4 ระบบนี้จะได้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มสำหรับแต่ละระบบเพียงคำตอบเดียว ดังนั้นมีจุดตาข่าย $\boxed{4}$ จุดบนกราฟ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีพจน์กี่พจน์ในลำดับเลขคณิต 88, 85, 82, $\dots$ ที่ปรากฏก่อนที่จะปรากฏจำนวน $-17$ | ผลต่างร่วม $d$ คือ $85-88 = -3$ ดังนั้นพจน์ที่ $n^{\text{th}}$ ในลำดับเลขคณิตคือ $88 - 3(n - 1) = 91 - 3n$ ถ้า $91 - 3n = -17$ แล้ว $3n = (91 + 17) = 108$ ดังนั้น $n = 108/3 = 36$ ดังนั้น $-17$ คือพจน์ที่ $36^{\text{th}}$ ในลำดับเลขคณิตนี้ ซึ่งหมายความว่ามี $36 - 1 = \boxed{35}$ พจน์ปรากฏก่อน $-17$ | 35 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $A$ และ $B$ ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
\[\frac{5x+2}{x^2-7x-30}=\frac{A}{x-10}+\frac{B}{x+3}.\]เขียนคำตอบในรูป $(A,B)$. | เราแยกตัวประกอบของตัวส่วนทางซ้ายมือเพื่อให้ได้ \[\frac{5x+2}{(x-10)(x+3)}= \frac{A}{x - 10} + \frac{B}{x + 3}.\]จากนั้นคูณทั้งสองข้างด้วย $(x - 10)(x + 3)$ เพื่อให้ได้ \[5x + 2 = A(x + 3) + B(x - 10).\]เราสามารถแก้หา $A$ และ $B$ ได้โดยการแทนค่าของ $x$ ที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น การเซ็ต $x = 10$ สมการจะกลายเป็น $52 = 13A$ ดังนั้น $A = 4$ การเซ็ต $x = -3$ สมการจะกลายเป็น $-13 = -13B$ ดังนั้น $B = 1$ ดังนั้น $(A,B) = \boxed{(4,1)}$. | (A,B) = \boxed{(4,1)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $k$ ใดที่เส้นตรงที่แทนด้วยสมการ $1-kx = -3y$ ผ่านจุด $(4,-3)$? | เนื่องจาก $(4, -3)$ อยู่บนเส้นตรง เราแทน $x = 4$ และ $y = -3$ ลงในสมการเพื่อให้ได้ $1 - 4k = -3\cdot -3 \Rightarrow k = \boxed{-2}$ | 1 - 4k = -3\cdot -3 \Rightarrow k = \boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a=-3$ และ $b=2$ แล้วค่าของ $-a-b^3+ab$ เท่ากับเท่าใด | แทนค่าที่กำหนดให้จะได้ $-a-b^3+ab=-(-3)-2^3+(-3)(2)=3-8-6=oxed{-11}$ | -a-b^3+ab=-(-3)-2^3+(-3)(2)=3-8-6=\boxed{-11} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เส้นตรงที่ผ่านจุด $(2, -9)$ และ $(j, 17)$ ขนานกับเส้นตรง $2x + 3y = 21$ จงหาค่าของ $j$ | ความชันของเส้นตรงที่กำหนดให้คือ $-\frac23$ และเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองต้องมีค่าความชันเท่ากัน นั่นหมายความว่า \[
\frac{17-(-9)}{j-2}=-\frac23
\] เราสามารถคูณด้วยตัวส่วนทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $3(26)=-2(j-2)$ หรือ $-39=j-2$ และ $j=\boxed{-37}$ | j=\boxed{-37} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = 2x^2 - 4x + 9$ จงหาค่าของ $2f(3) + 3f(-3)$ | เราได้ว่า $f(3) = 2(3^2) - 4\cdot 3 + 9 = 18 - 12 + 9 = 15$ และ $f(-3) = 2(-3)^2 - 4(-3) + 9 = 18 +12+9 = 39$ ดังนั้น $2f(3)+3f(-3) = 2(15) + 3(39) = 30 + 117 = \boxed{147}$ | 2f(3)+3f(-3) = 2(15) + 3(39) = 30 + 117 = \boxed{147} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
-x - 3 & \text{ถ้า } x \le 1, \\
\frac{x}{2} + 1 & \text{ถ้า } x > 1.
\end{array}
\right.\] จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(x) = 0$. | เราแก้สมการ $f(x) = 0$ ในโดเมน $x \le 1$ และ $x > 1.$
ถ้า $x \le 1,$ แล้ว $f(x) = -x - 3,$ ดังนั้นเราต้องการแก้สมการ $-x - 3 = 0.$ วิธีแก้คือ $x = -3,$ ซึ่งสอดคล้องกับ $x \le 1.$
ถ้า $x > 1,$ แล้ว $f(x) = \frac{x}{2} + 1,$ ดังนั้นเราต้องการแก้สมการ $\frac{x}{2} + 1 = 0.$ วิธีแก้คือ $x = -2,$ แต่ค่านี้ไม่สอดคล้องกับ $x > 1.$
ดังนั้นวิธีแก้ที่เป็นไปได้เพียงวิธีเดียวคือ $x = \boxed{-3}.$ | x = \boxed{-3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าเราแสดง $3x^2 - 6x - 2$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้ว $a + h + k$ มีค่าเท่าใด? | เราทำการเติมกำลังสอง ก่อนอื่น เราแยกตัวประกอบ 3 ออกจากพจน์ $3x^2 - 6x$ เพื่อให้ได้ $3(x^2 - 2x)$ เราสามารถยกกำลังสองของ $x - 1$ เพื่อให้ได้ $x^2 - 2x + 1$ ดังนั้น $3(x^2 - 2x) = 3[(x - 1)^2 - 1] = 3(x - 1)^2 - 3$ และ \[3(x^2 - 2x) - 2 = 3(x - 1)^2 - 3 - 2 = 3(x - 1)^2 - 5.\]เราเห็นว่า $a = 3$, $h = 1$ และ $k = -5$ ดังนั้น $a + h + k = 3 + 1 + (-5) = \boxed{-1}$ | a + h + k = 3 + 1 + (-5) = \boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของสามจำนวนที่ต่างกันคือ 67 จำนวนที่ใหญ่กว่าสองจำนวนต่างกันโดย 7 และจำนวนที่เล็กกว่าสองจำนวนต่างกันโดย 3 จงหาค่าของจำนวนที่ใหญ่ที่สุด | $\textbf{วิธีที่ 1}$: กำหนดให้สามจำนวนเป็น $a$, $b$, และ $c$ และ WLOG สมมติว่า $a\le b \le c$ เราได้สามสมการ \begin{align*}
a+b+c&=67\\
c-b&=7\\
b-a&=3
\end{align*} จากสมการที่สองเราได้ $c=b+7$ แทนค่านี้ลงในสมการแรกเพื่อกำจัด $c$ เราได้ $a+b+(b+7)=67\Rightarrow a+2b=60$ บวกสมการสุดท้ายนี้กับสมการที่สาม เราได้ $a+2b+b-a=60+3\Rightarrow b=21$ แทนค่านี้ลงในสมการที่สองเพื่อหา $c$ เราได้ $c=b+7=28$ ดังนั้นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดคือ $\boxed{28}$.
$\textbf{วิธีที่ 2}$: กำหนดให้จำนวนตรงกลางเป็น $x.$ แล้วจำนวนที่ใหญ่ที่สุดคือ $x+7$ และจำนวนที่เล็กที่สุดคือ $x-3.$ จำนวนเหล่านี้มีผลรวมเท่ากับ 67 ดังนั้นเราได้สมการ $$(x-3) + (x) + (x+7) = 67.$$ ทำให้สมการง่ายขึ้น เราได้ $$3x + 4 = 67$$ $$\implies x = 21.$$ ดังนั้นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดคือ $x+7 = 21+7 = \boxed{28}.$ | x+7 = 21+7 = \boxed{28}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการหาค่า $m$: $(m-4)^3 = \left(\frac 18\right)^{-1}$. | เราทราบว่า $\left(\frac{1}{8}\right)^{-1}=8=2^3$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น $$(m-4)^3=2^3.$$ ดังนั้น $m-4 = 2$ ดังนั้น $m=\boxed{6}$. | m=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โรงเรียนชนบทในสหรัฐอเมริกา มีนักเรียน 105 คน มีนักเรียนชาย 60 คน และนักเรียนหญิง 45 คน ถ้า $\frac{1}{10}$ ของนักเรียนชาย และ $\frac{1}{3}$ ของนักเรียนหญิง ขาดเรียนในวันหนึ่ง นักเรียนที่ขาดเรียนคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด | $\frac{1}{10}$ ของ $60$ นักเรียนชาย คือ $60/10=6$ คน ในขณะที่ $\frac{1}{3}$ ของ $45$ นักเรียนหญิง คือ $45/3=15$ คน ดังนั้นมีนักเรียน $21$ คน ที่ขาดเรียนในวันนั้น เนื่องจากเราทราบว่า $\frac{21}{105}=\frac{1}{5}$ และ $\frac{1}{5}$ เท่ากับ $20\%$ เราจึงทราบว่า $\boxed{20 \%}$ ของจำนวนนักเรียนทั้งหมดขาดเรียน | \boxed{20 \%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$. ถ้า $\alpha = -3$ เมื่อ $\beta = -6$ จงหา $\alpha$ เมื่อ $\beta = 8$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วน | เนื่องจาก $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$ ตามนิยาม $\alpha\beta = k$ สำหรับค่าคงตัว $k$ บางค่า แทนค่าลงไป เราจะได้ $(-3)\cdot (-6) = k$ ดังนั้น $k = 18$ ดังนั้น เมื่อ $\beta = 8$ เราจะได้ $8\alpha = 18$ หรือ $\alpha = \boxed{\frac{9}{4}}$ | \alpha = \boxed{\frac{9}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลคูณ \[ (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3), \] เมื่อ $n=2$. | เราสามารถคำนวณได้ดังนี้ \begin{align*}
(n-1) \cdot n &\cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3)\\
&= (2-1) \cdot 2 \cdot (2+1) \cdot (2+2) \cdot (2+3) \\
&= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5,
\end{align*} ซึ่งเท่ากับ $5!$, หรือ $\boxed{120}$.
เราสามารถคูณนิพจน์สุดท้ายด้วยมือได้ดังนี้: \begin{align*}
(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 4 \cdot 5 &= 6 \cdot 4 \cdot 5 \\
&= 6 \cdot 20 \\
&= 120 .
\end{align*} | \boxed{120} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ห้องรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด 12 ฟุต x 6 ฟุต ต้องใช้พรมกี่ตารางหลาในการปูพื้นห้อง? | พื้นที่ของห้องคือ $(12\text{ ft.}) (6\text{ ft.})=72$ ตารางฟุต เนื่องจาก 1 หลาเท่ากับ 3 ฟุต 1 ตารางหลาเท่ากับ 9 ตารางฟุต ดังนั้น $72/9=\boxed{8}$ ตารางหลาจึงต้องใช้ในการปูพื้น | 72/9=\boxed{8} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
รูปสี่เหลี่ยมมีจุดยอดที่ $(0,1)$, $(3,4)$, $(4,3)$ และ $(3,0)$ เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมนี้สามารถแสดงได้ในรูป $a\sqrt2+b\sqrt{10}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม ผลรวมของ $a$ และ $b$ เท่ากับเท่าใด | เราใช้สูตรระยะทางเพื่อหาความยาวของแต่ละด้าน
ระยะทางจาก $(0, 1)$ ถึง $(3, 4)$ คือ $\sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 1)^2} = 3\sqrt{2}$.
ระยะทางจาก $(3, 4)$ ถึง $(4, 3)$ คือ $\sqrt{(4 - 3)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{2}$.
ระยะทางจาก $(4, 3)$ ถึง $(3, 0)$ คือ $\sqrt{(3 - 4)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{10}$.
ระยะทางจาก $(3, 0)$ ถึง $(0, 1)$ คือ $\sqrt{(0 - 3)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{10}$.
เมื่อนำความยาวของด้านทั้งหมดมาบวกกัน เราพบว่าเส้นรอบรูปมีค่าเท่ากับ $4\sqrt{2} + 2\sqrt{10}$ ดังนั้น คำตอบสุดท้ายคือ $4 + 2 = \boxed{6}$ | 4 + 2 = \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ฉันมีรูปภาพที่มีขนาด $x$ และ $y$ (หน่วยเป็นนิ้ว) โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ฉันต้องการใส่รูปภาพนี้ในกรอบรูปที่มีขนาด $(2x + 3)$ และ $(y+2)$ ถ้าฉันวัดพื้นที่ของกรอบรูปได้ 34 ตารางนิ้ว พื้นที่ของรูปภาพเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นตารางนิ้ว) (หมายเหตุว่า "พื้นที่ของกรอบรูป" หมายถึงบริเวณที่ถูกแรเงาที่แสดงไว้ด้านล่าง) [asy]
size(5cm);
defaultpen(linewidth(0.7));
real eps=0.2;
filldraw((0,0)--(2,0)--(2,1)--(0,1)--cycle,gray);
filldraw((0,0)+(eps,eps)--(2,0)+(-eps,eps)--(2,1)+(-eps,-eps)--(0,1)+(eps,-eps)--cycle,white);
label("picture",(1,0.5));
label("frame",(1,1-eps/2));
[/asy] | พื้นที่ของกรอบรูปเท่ากับ \begin{align*}
(2x + 3) \cdot (y+2) - x \cdot y &= 2xy + 4x + 3y + 6 - xy \\
&= xy + 4x + 3y + 6 \\
&= 34.
\end{align*}เพื่อใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอน เราบวก 6 เข้ากับทั้งสองข้างของสมการ: $$xy + 4x + 3y + 12 = 40,$$ดังนั้น $$(x + 3)(y+4) = 40.$$พิจารณาคู่ตัวประกอบของ 40 เราจะเห็นว่า คู่ลำดับ $(x+3, y+4)$ ต้องอยู่ในกลุ่ม $$(1,40),(2,20),(4,10),(5,8),(8,5),(10,4),(20,2),(40,1).$$แก้สมการสำหรับ $x$ และ $y$ สำหรับแต่ละคู่ของตัวประกอบ เราพบว่า $(x,y)$ ต้องอยู่ในกลุ่ม $$(-2,36), (-1,16), (1,6), (2,4), (5,1), (7,0), (17,-2), (37,-3).$$จากนี้มีเพียง $(x,y) = (2,4)$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า $x$ และ $y$ ทั้งคู่ต้องมากกว่า 1 พื้นที่ของรูปภาพจึงเท่ากับ $x \times y = \boxed{8}$ ตารางนิ้ว. | x \times y = \boxed{8} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าเส้นตรงที่มีสมการ $y = 8x + 2$ และ $y = (2c)x - 4$ ขนานกัน จงหาค่าของ $c$ | เส้นตรงขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน ความชันของเส้นตรงที่มีสมการ $y = mx + b$ คือ $m$ ดังนั้น $8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4}$ | 8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของจำนวนจริงทั้งหมดที่เมื่อนำมาบวกกับส่วนกลับของมันแล้วจะเท่ากับสองเท่าของจำนวนนั้น | กำหนดให้จำนวนจริงนั้นเป็น $x$ เราจะได้ว่า $x+\frac{1}{x}=2x$ หรือ $x=\frac{1}{x} \Rightarrow x^2-1=0$ ดังนั้น ผลคูณของคำตอบ (ซึ่งเป็นจำนวนจริงทั้งคู่) คือ $-1\cdot 1=\boxed{-1}$ | -1\cdot 1=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y=\frac{7}{13}$ และ $x-y=\frac{1}{91}$ จงหาค่าของ $x^2-y^2$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราทราบว่า $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ แทนค่าลงไปจะได้ $x^2 - y^2 = \frac{7}{13}\cdot\frac{1}{91} = \boxed{\frac{1}{169}}$ | $x^2 - y^2 = \frac{7}{13}\cdot\frac{1}{91} = \boxed{\frac{1}{169}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x+\frac{1}{y}=1$ และ $y+\frac{1}{z}=1$ จงหาค่าของผลคูณ $xyz$ | คูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย $y$ และคูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย $z$ จะได้ \begin{align*}
xy+1 &= y \\
yz+1 &= z.
\end{align*} แทน $xy+1$ ด้วย $y$ ในสมการที่สอง จะได้ \[
(xy+1)z+1=z,
\] ซึ่งจะย่อให้เหลือ \[
xyz+z+1=z.
\] ลบ $z+1$ จากทั้งสองข้าง จะได้ว่า $xyz=z-(z+1)=\boxed{-1}.$ | xyz=z-(z+1)=\boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากจุดห้าจุด (3, 10), (6, 20), (12, 35), (18, 40) และ (20, 50) ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดที่อยู่เหนือเส้นตรง $y = 2x + 7$ บนระนาบพิกัด คือเท่าใด | จุดใดอยู่เหนือ $y=2x+7$ หากพิกัด $y$ ของจุดนั้นมากกว่า 2 เท่าของพิกัด $x$ บวก 7. ตรวจสอบจุดที่กำหนดให้ เราพบว่า $(6,20)$, $(12,35)$ และ $(20,50)$ สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $6+12+20=\boxed{38}$ | 6+12+20=\boxed{38} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $w$, $x$, $y$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ: \begin{align*}
w+x+y &= -2, \\
w+x+z &= 4, \\
w+y+z &= 19, \text{ และ} \\
x+y+z &= 12,
\end{align*} แล้ว $wx + yz$ มีค่าเท่าใด | นำสมการทั้งสี่มาบวกกันจะได้ $3w+3x+3y+3z = 33 \Rightarrow w+x+y+z = 11$ ลบสมการเดิมทั้งสี่จากผลบวกนี้จะได้: $z = 11-(-2) = 13$, $y = 11-4 = 7$, $x = 11-19 = -8$ และ $w = 11-12 = -1$ ตามลำดับ ดังนั้น $wx + yz = -1\cdot-8 + 7\cdot13 = 8+91 = \boxed{99}$ | wx + yz = -1\cdot-8 + 7\cdot13 = 8+91 = \boxed{99} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z$ ทั้งหมด ให้ \[f(z) = \left\{
\begin{array}{cl}
z^{2}&\text{ ถ้า }z\text{ ไม่ใช่จำนวนจริง}, \\
-z^2 &\text{ ถ้า }z\text{ เป็นจำนวนจริง}.
\end{array}
\right.\]จงหา $f(f(f(f(1+i))))$. | เราคำนวณจากด้านในออกไป เนื่องจาก $1+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง $f(1+i)=(1+i)^2=1+2i-1=2i$ ดังนั้น $f(f(f(f(1+i))))=f(f(f(2i)))$. เนื่องจาก $2i$ ไม่ใช่จำนวนจริง $f(2i)=(2i)^2=-4$ ดังนั้น $f(f(f(2i)))=f(f(-4))$. เนื่องจาก $-4$ เป็นจำนวนจริง $f(-4)=-(-4)^2=-16$ ดังนั้น $f(f(-4))=f(-16)$. เนื่องจาก $-16$ เป็นจำนวนจริง $f(-16)=\boxed{-256}$. | f(-16)=\boxed{-256} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $p(x) = x^4 - 3x + 2$ แล้วสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^3$ ในพหุนาม $(p(x))^3$ คือเท่าใด | โดยการสังเกต เมื่อขยายพจน์ของผลคูณ $(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)$ พจน์เดียวที่ มีดีกรีเท่ากับ $3$ จะเป็นพจน์ที่ได้จากการคูณพจน์เชิงเส้นทั้งสามเข้าด้วยกัน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือ $(-3)(-3)(-3)=\boxed{-27}$ | (-3)(-3)(-3)=\boxed{-27} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อนุกรมเรขาอนันต์มีอัตราส่วนร่วม $1/8$ และผลรวม 60 จงหาพจน์แรกของอนุกรม | ให้พจน์แรกเป็น $a$ เนื่องจากผลรวมของอนุกรมคือ 60 เราได้ $$60= \frac{a}{1-(1/8)} = \frac{a}{7/8} = \frac{8a}{7}.$$ดังนั้น $a=\frac{7}{8}\cdot60=\boxed{\frac{105}{2}}$. | a=\frac{7}{8}\cdot60=\boxed{\frac{105}{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $N,O$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $N(x) = 2\sqrt{x}$, และ $O(x) = x^2$ จงหาค่าของ $N(O(N(O(N(O(3))))))$ | สังเกตว่าสำหรับค่า $x$ ใดๆ $N(O(x)) = N(x^2) = 2\sqrt{x^2} = 2x$ ดังนั้น $$N(O(N(O(N(O(3)))))) = N(O(N(O(6)))) = N(O(12)) = \boxed{24}.$$ | 24 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,2)$ และ $(17,10)$ ทั้งคู่สัมผัสแกน $x$ ระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองเท่ากับเท่าไร? | รัศมีของวงกลมวงแรกคือ 2 และรัศมีของวงกลมวงที่สองคือ 10 ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\sqrt{(17 - 2)^2 + (10 - 2)^2} = 17,$ ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองคือ $17 - 2 - 10 = \boxed{5}.$
[asy]
unitsize(0.3 cm);
draw((2,2)--(2,0),dashed);
draw((17,10)--(17,0),dashed);
draw((-1,0)--(28,0));
draw((0,-1)--(0,20));
draw(Circle((2,2),2));
draw(Circle((17,10),10));
draw((2,2)--(17,10));
label("$2$", (2,1), E);
label("$10$", (17,5), E);
dot("$(2,2)$", (2,2), NW);
dot("$(17,10)$", (17,10), NE);
[/asy] | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a \bowtie b = a+\sqrt{b+\sqrt{b+\sqrt{b+...}}}$. ถ้า $4\bowtie y = 10$ จงหาค่าของ $y$. | เรารู้ว่า $$4\bowtie y = 4+\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}=10.$$ดังนั้น $\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}=6$. เนื่องจากอนุกรมของ $\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}$ เป็นอนุกรมอนันต์ เราสามารถแทน $6$ ลงในอนุกรมสำหรับ $\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}$ ใดๆ ก็ได้ ดังนั้น $$ \sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}=6$$ หมายความว่า $$ \sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}=\sqrt{y+6}=6.$$ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการใหม่นี้ เราได้ $y+6=36$ หรือ $y=\boxed{30}$. | y=\boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รยูซูเกะกำลังไปรับเพื่อนที่ทำงาน อ่านเลขไมล์ได้ 74,568 ไมล์เมื่อเขาไปรับเพื่อน และอ่านได้ 74,592 ไมล์เมื่อเขาส่งเพื่อนกลับถึงบ้าน รถของรยูซูเกะได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน และราคาของน้ำมัน 1 แกลลอนคือ $4.05. ค่าใช้จ่ายในการใช้น้ำมันในการขับรถของรยูซูเกะเพื่อพาเพื่อนกลับบ้านจากที่ทำงานคือเท่าไร? (แสดงคำตอบเป็นดอลลาร์และปัดเศษเป็นเซ็นต์ที่ใกล้ที่สุด) | รยูซูเกะเดินทางไประยะทาง $74,592 - 74,568 = 24$ ไมล์ ระหว่างเวลาที่เขาไปรับเพื่อนและเวลาที่เขาส่งเพื่อนกลับถึงบ้าน เนื่องจากรถของเขาได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน เขาจึงใช้ 24/28 หรือ 12/14 ของแกลลอน ด้วยราคา $4.05 ต่อแกลลอน ค่าใช้จ่ายในการเดินทางประมาณ $12/14 \times 4.05 \approx \boxed{\$3.47}$. | 3.47 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $2^8=16^x$ จงหาค่า $x$ | เราสามารถเขียน $16$ เป็น $2^4$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการของเราใหม่เป็น $2^8 = 2^{4 \cdot x}$ แก้สมการจะได้ว่า $x = \boxed{2}$ | x = \boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในอาณานิคมแบคทีเรียแห่งหนึ่ง จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มเป็นสองเท่าทุกวัน อาณานิคมเริ่มต้นด้วยแบคทีเรีย 3 ตัว และมี 6 ตัวในตอนท้ายของวันที่ 1, 12 ตัวในตอนท้ายของวันที่ 2 และอื่นๆ วันแรกที่สิ้นสุดลงด้วยอาณานิคมที่มีแบคทีเรียมากกว่า 100 ตัวคือวันใด | จำนวนแบคทีเรียจะถูกคูณด้วย 2 ในตอนท้ายของแต่ละวัน ดังนั้นจำนวนแบคทีเรียในตอนท้ายของวันที่ $n$ คือ $3\cdot2^n$ เราต้องการ $3\cdot2^n > 100$ หรือ $2^n > 33\frac{1}{3}$ $n$ ที่เล็กที่สุดที่สิ่งนี้เกิดขึ้นคือ $n = \boxed{6}$ | n = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลรวมของจำนวนเต็ม 49 จำนวนที่เรียงติดกันคือ $7^5$ จงหาค่ามัธยฐานของจำนวนเหล่านั้น | ผลรวมของเซตของจำนวนเต็มเท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ยของจำนวนเต็มและจำนวนของจำนวนเต็ม และค่ามัธยฐานของเซตของจำนวนเต็มที่เรียงติดกันจะเท่ากับค่าเฉลี่ย ดังนั้นค่ามัธยฐานต้องเท่ากับ $7^5/49=7^3$ หรือ $\boxed{343}$ | \boxed{343} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น $\displaystyle\frac{1-i}{2+3i}$, โดยที่ $i^2 = -1.$ | คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน เราได้ \begin{align*}
\frac{1-i}{2+3i} \cdot \frac{2-3i}{2-3i} &= \frac{1(2) + 1(-3i) - i(2) - i(-3i)}{2(2) + 2(-3i) + 3i(2) -3i(3i)}\\
& = \frac{-1-5i}{13} \\
&= \boxed{-\frac{1}{13} - \frac{5}{13}i}.
\end{align*} | [
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 - 2x + 3 $ และ $B$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 + 4x + 10 $. จงหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$? | การเติมกำลังสองในแต่ละสมการจะได้สมการ $y=(x - 1)^2 + 2 $ และ $y=(x + 2)^2 + 6$. ดังนั้น $A = (1, 2)$ และ $B = (-2, 6)$. เราสามารถหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ ได้เป็น $\sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5}$. | \sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์สูงสุดเท่ากับ 1 โดยที่ $f(0)=4$ และ $f(1)=10$ ถ้า $f(x)$ มีดีกรี 2 จงหา $f(x)$ แสดงคำตอบในรูป $ax^2+bx+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนจริง | เนื่องจาก $f(x)$ มีดีกรี 2 เราทราบว่า $f(x)$ มีรูป $ax^2+bx+c$ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์สูงสุดเท่ากับ 1 คือพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์หน้าพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดเท่ากับ 1 ดังนั้น $a=1$ เนื่องจาก $f(0)=4$ เราทราบว่า $1(0)^2+b(0)+c=4$ ดังนั้น $c=4$ เนื่องจาก $f(1)=10$ เราทราบว่า $1(1)^2+b(1)+4=10$ ดังนั้น $b+5=10$ และ $b=5$ ดังนั้น $f(x)=\boxed{x^2+5x+4}$ | f(x)=\boxed{x^2+5x+4} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เควินเคนกูรูเริ่มกระโดดบนเส้นจำนวนที่ 0 เขาต้องการไปที่ 1 แต่เขาสามารถกระโดดได้เพียง $\frac{1}{3}$ ของระยะทางเท่านั้น แต่ละครั้งที่กระโดดจะทำให้เขาเหนื่อยจนเขาต้องกระโดด $\frac{1}{3}$ ของระยะทางที่เหลือ เขาได้กระโดดไปไกลเท่าไรหลังจากกระโดดห้าครั้ง? แสดงคำตอบของคุณในรูปเศษส่วนธรรมดา | เควินกระโดด $1/3$ ของระยะทางที่เหลือในแต่ละครั้ง การกระโดดครั้งแรกของเขาจะทำให้เขาเข้าใกล้ขึ้น $1/3$ สำหรับการกระโดดครั้งที่สอง เขาเหลือระยะทาง $2/3$ ที่ต้องเดินทาง ดังนั้นเขาจึงกระโดดไปข้างหน้า $(2/3)(1/3)$ สำหรับการกระโดดครั้งที่สาม เขาเหลือระยะทาง $(2/3)^2$ ที่ต้องเดินทาง ดังนั้นเขาจึงกระโดดไปข้างหน้า $(2/3)^2(1/3)$ โดยทั่วไป เควินกระโดดไปข้างหน้า $(2/3)^{k-1}(1/3)$ ในการกระโดดครั้งที่ $k$ เราต้องการหาว่าเขาได้กระโดดไปไกลเท่าไรหลังจากกระโดดห้าครั้ง นี่เป็นอนุกรมเรขาคณิตจำกัดที่มีพจน์แรก $1/3$ อัตราส่วนร่วม $2/3$ และห้าพจน์ ดังนั้น เควินได้กระโดด $\frac{\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^5\right)}{1-\frac{2}{3}} = \boxed{\frac{211}{243}}$. | \frac{\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^5\right)}{1-\frac{2}{3}} = \boxed{\frac{211}{243}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เอลโมทำแซนวิช $N$ ชิ้นสำหรับการระดมทุน สำหรับแต่ละแซนวิช เขาใช้เนยถั่ว $B$ ก้อนละ 4 เซ็นต์ และแยม $J$ ก้อนละ 5 เซ็นต์ ค่าใช้จ่ายของเนยถั่วและแยมในการทำแซนวิชทั้งหมดคือ $\$2.53$ สมมติว่า $B$, $J$ และ $N$ เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ $N>1$ ค่าใช้จ่ายของแยมที่เอลโมใช้ในการทำแซนวิชเป็นเท่าไร (เป็นดอลลาร์) | ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเนยถั่วและแยมคือ $N(4B+5J) = 253$ เซ็นต์ ดังนั้น $N$ และ $4B + 5J$ เป็นตัวประกอบของ $253 =
11\cdot23$ เนื่องจาก $N>1$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $N$ คือ 11, 23 และ 253 ถ้า $N=253$ แล้ว $4B+5J = 1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก $B$ และ $J$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า $N=23$ แล้ว $4B + 5J = 11$ ซึ่งก็ไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มบวกเช่นกัน ดังนั้น $N = 11$ และ $4B+5J=23$ ซึ่งมีคำตอบจำนวนเต็มบวกที่ไม่ซ้ำกันคือ $B=2$ และ $J=3$ ดังนั้นค่าใช้จ่ายของแยมคือ $11(3)(5\text{ cents})=\boxed{\$1.65}$. | 11(3)(5\text{ cents})=\boxed{\ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $x^2 - 5x + 6 = 0$ | เราสามารถแยกตัวประกอบสมการนี้ได้เป็น $(x-2)(x-3) = 0$ ดังนั้น $x = 2$ หรือ $x = 3$ | x = 2 หรือ x = 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงขยายผลคูณของ $(9x+2)(4x^2+3)$ | การคูณออกของนิพจน์ เราพบว่า $(9x+2)(4x^2+3)=\boxed{36x^3+8x^2+27x+6}$ | (9x+2)(4x^2+3)=\boxed{36x^3+8x^2+27x+6} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $525^2 - 475^2$ | $525^2 - 475^2$ สามารถเขียนในรูป $(525+475)(525-475)$ ได้ ซึ่งจะเท่ากับ $1000 \cdot 50$ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{50000}$ | \boxed{50000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $5(3-i)+3i(5-i)$. | $5(3-i) + 3i(5-i) = 15-5i + 15i - 3i^2 = 15 +10i -3(-1) = \boxed{18+10i}$. | 18+10i | [
"นำไปใช้"
] |
แสดงค่าของนิพจน์ต่อไปนี้ในรูปเศษส่วน $$1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5}}$$ | เราใช้ลำดับของการดำเนินการ เพื่อดูว่าหมายถึงการบวกตัวส่วนก่อน เราสามารถเขียนนิพจน์ได้เป็น \[1 + 2/\left(3 + \frac{4}{5}\right).\] ดังนั้น เรามี \begin{align*}
1 + \frac{2}{3+\frac{4}{5}} &= 1 + \frac{2}{\frac{15}{5} + \frac{4}{5}}\\
&= 1 + \frac{2}{\frac{19}{5}} \\
&= 1 + 2\cdot\frac{5}{19} =1 + \frac{10}{19}=\frac{19}{19} + \frac{10}{19} = \boxed{\frac{29}{19}}.
\end{align*} | [
"ประยุกต์"
] | |
แก้สมการ $x>0$ และ $5x^2+9x-18=0$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | $5x^2+9x-18$ สามารถเขียนได้เป็น $(5x-6)(x+3)$ เนื่องจาก $x$ ต้องเป็นบวก ตัวประกอบที่ต้องพิจารณาคือ $(5x-6)$ ดังนั้น: \begin{align*}
5x-6&=0\\
5x&=6\\
x&=\boxed{\frac{6}{5}}
\end{align*} | \frac{6}{5} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีเส้นรอบรูป 24 นิ้ว จงหาจำนวนตารางนิ้วของพื้นที่สูงสุดที่เป็นไปได้ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ | ให้คู่ขนานด้านหนึ่งมีความยาว $x$ และอีกคู่ขนานด้านหนึ่งมีความยาว $12-x$ นี่หมายความว่าเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $x+x+12-x+12-x=24$ ตามที่โจทย์ระบุ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้คือ $12x-x^2$ การเติมกำลังสองจะได้ $-(x-6)^2+36\le 36$ เนื่องจาก $(x-6)^2\ge 0$ ดังนั้นพื้นที่สูงสุดของ $\boxed{36}$ จะได้เมื่อสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 6 นิ้ว | \boxed{36} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
ax+3 & \text{ if }x>0, \\
ab & \text{ if }x=0, \\
bx+c & \text{ if }x<0.
\end{array}
\right.\]ถ้า $f(2)=5$, $f(0)=5$, และ $f(-2)=-10$ และ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $2>0$ เราทราบว่า $f(2)=a(2)+3=5$. แก้สมการหา $a$ ได้ $a=1$. เมื่อ $x=0$ เราได้ว่า $f(0)=ab=5$. เราทราบแล้วว่า $a=1$ ดังนั้น $b=5$. เนื่องจาก $-2$ เป็นลบ เราทราบว่า $f(-2)=b(-2)+c=(5)(-2)+c=-10$. นี่บอกเราว่า $c=0$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $a+b+c=1+5+0=\boxed{6}$. | a+b+c=1+5+0=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a\star b = a^b+ab$ ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และ $a\star b =15$ จงหา $a+b$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก และเนื่องจาก $b$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 2 เราทราบว่าค่าสูงสุดของ $a$ คือ 3 (เพราะ $4^2+4(2)=24>15$) เนื่องจาก $a$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 2 $a$ มีเพียงสองค่าที่เป็นไปได้เท่านั้น ถ้า $a=2$ เราจะได้ $2^b+2b=15$ หรือ $2(2^{b-1}+b)=15$ หรือ $2^{b-1}+b=7.5$ อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก $b$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก $2^{b-1}+b$ ก็ต้องเป็นจำนวนเต็มเช่นกัน และเราได้ข้อขัดแย้ง ดังนั้น $a=3$ และเราได้ $3^b+3b=15$ การตรวจสอบอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่า $3^2+3(2)=15$ หรือ $b=2$ ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาเดียวที่ $a\star b = 15$ คือ $3\star2$ ซึ่งทำให้ $a+b=3+2=\boxed{5}$ | a+b=3+2=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $E(a,b,c) = a \times b^c$. ค่า $r$ ที่เป็นบวกใดที่เป็นคำตอบของสมการ $E(r,r,3) = 625$? | $E(r,r,3)=r(r^3)=r^4$. ดังนั้น $r^4=625=5^4$, และ $r=\boxed{5}$. | r=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $f(x)=\frac{1}{2x+b}$. ค่าของ $b$ ที่ทำให้ $f^{-1}(x)=\frac{1-2x}{2x}$ คือเท่าใด? | แทน $f(x)$ ลงในสมการ $f^{-1}(x) = \frac{1 - 2x}{2x}$ และสังเกตว่า $f^{-1}(f(x)) = x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f$ เราได้ \[x = \frac{1 - 2f(x)}{2f(x)}.\] แก้สมการหา $f(x)$ เราได้ \[f(x) = \frac{1}{2x + 2}.\] ดังนั้น $b = \boxed{2}$. | b = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แอนโทเนตต์ได้คะแนน $70\%$ จากข้อสอบ 10 ข้อ, $80\%$ จากข้อสอบ 20 ข้อ และ $90\%$ จากข้อสอบ 30 ข้อ ถ้ารวมข้อสอบทั้งสามเป็นข้อสอบ 60 ข้อ แอนโทเนตต์ได้คะแนนร้อยละเท่าใดเมื่อปัดเศษเป็นจำนวนเต็มร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด | สังเกตว่า $70\%$ ของ 10 เท่ากับ 7, $80\%$ ของ 20 เท่ากับ 16 และ $90\%$ ของ 30 เท่ากับ 27 แอนโทเนตต์ตอบถูก $7+16+27=50$ ข้อ จากทั้งหมด 60 ข้อ คะแนนรวมของแอนโทเนตต์คือ $ rac{50}{60}$ หรือ $83.\overline{3}\%$. เมื่อปัดเศษเป็นจำนวนเต็มร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด คำตอบคือ $oxed{83\%}$. | $oxed{83\%}$ | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a+b=24$ จงหาค่าของ $ab$ เมื่อ $2ab + 10a = 3b + 222$ | เราเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการใหม่เป็น $2ab + 10a - 3b = 222$ จากนั้นเราใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอน โดยการลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ $2ab + 10a - 3b - 15 = 207$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(2a - 3)(b + 5) = 207$$เราทราบว่าการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะของ $207 = 3^2 \cdot 23$ และ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวของ $(a,b)$ คือ $$(a,b) = \{(13,4),(6,18),(2,202),(3,64)\}$$จากนี้มีเพียง $(6,18)$ เท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไขที่ว่า $a+b=24$ ดังนั้น $ab = \boxed{108}$ | ab = \boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $i^{11} + i^{111}$ | เลขยกกำลังของ $i$ จะวนซ้ำทุกสี่กำลัง: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, $i^5=i$, $i^6=-1$ และอื่นๆ ดังนั้นเพื่อที่จะหาค่า $i^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม เราเพียงแค่ต้องหาเศษที่ได้จากการหาร $n$ ด้วย 4 เท่านั้น เศษที่ได้จากการหาร 11 และ 111 ด้วย 4 คือ 3 ดังนั้น $i^{11} + i^{111} = i^3 + i^3 = -i + (-i) = \boxed{-2i}$ | $i^{11} + i^{111} = i^3 + i^3 = -i + (-i) = \boxed{-2i}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลม $O$ อยู่บนระนาบพิกัด โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,3)$ จุดปลายด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่ที่ $(-1,-1)$ จุดปลายอีกด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางมีพิกัดเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปของคู่ลำดับ | [asy]
draw((-7,0)--(11,0),Arrows);
draw((0,-5)--(0,11),Arrows);
label("$x$",(12,0)); label("$y$",(-1,11));
draw(Circle((2,3),5));
dot((2,3)); dot((-1,-1));
label("(2,3)",(2,3),W);
label("(-1,-1)",(-1,-1),W);
draw((-1,-1)--(2,-1),dashed+red); draw((2,-1)--(2,3),dashed+blue);
draw((2,3)--(5,3),dashed+red); draw((5,3)--(5,7),dashed+blue);
dot((5,7));
label("(?,?)",(5,7),E);
[/asy]
อ้างอิงจากรูปภาพข้างต้น เนื่องจากจุดปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลางสมมาตรกันเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางของวงกลม เราต้องเดินทางไปในระยะทางและทิศทางเดียวกันจาก $(-1,-1)$ ถึง $(2,3)$ เช่นเดียวกับที่เราทำจาก $(2,3)$ ถึงจุดปลายอีกด้านหนึ่ง เพื่อไปจาก $(-1,-1)$ ถึง $(2,3)$ เราวิ่ง $3$ (เส้นประสีแดงซ้าย) และขึ้น $4$ (เส้นประสีน้ำเงินซ้าย) ดังนั้นจุดปลายอีกด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางมีพิกัด $(2+3,3+4)=\boxed{(5,7)}$ | (2+3,3+4)=\boxed{(5,7)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x) = 3x + 1$ จงหาค่าของ $f(3)$ | เราได้ $f(3) = 3(3) + 1 = \boxed{10}$ | f(3) = 3(3) + 1 = \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ $2(3^x) = 162$ เพื่อหาค่า $x$ | หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 เพื่อให้ได้ $3^x=81$ เนื่องจาก $3$ ยกกำลัง 4 เท่ากับ 81 ดังนั้น $x=\boxed{4}$ | x=\boxed{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $g(x) = x^2$ และ $f(x) = 2x - 1$ จงหาค่าของ $f(g(2))$ | \[
f(g(2))=f\left(2^2\right)=f(4)=2\cdot4-1=\boxed{7}
\] | 7 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาอนันต์: $$\frac{-3}{5}-\frac{5}{3}-\frac{125}{27}-\dots$$ | เราหาราติอของพจน์ต่อเนื่องกัน: $\cfrac{\cfrac{-5}{3}}{\cfrac{-3}{5}}=\frac{-5}{3}\cdot \frac{-5}{3}=\boxed{\frac{25}{9}}$. | \cfrac{\cfrac{-5}{3}}{\cfrac{-3}{5}}=\frac{-5}{3}\cdot \frac{-5}{3}=\boxed{\frac{25}{9}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $f(x)=4x+5$ จงหาค่าของ $f^{-1}(f^{-1}(9))$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงใน $f$ เราได้ $f(f^{-1}(x)) =4f^{-1}(x) + 5$ ดังนั้น $x = 4f^{-1}(x) + 5$ แก้สมการนี้หา $f^{-1}(x)$ เราได้ $f^{-1}(x) = \frac{x-5}{4}$ ดังนั้น \begin{align*}
f^{-1}(f^{-1}(9)) & = f^{-1}\left(\frac{9-5}{4}\right) \\
& = f^{-1}(1) \\
& = \frac{1-5}{4} \\
& = \boxed{-1}.
\end{align*} | f^{-1}(x) = \frac{x-5}{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนบวกกับผลบวกของมันคือ 103 จำนวนเต็มทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันและแต่ละจำนวนน้อยกว่า 20 ผลบวกของจำนวนเต็มทั้งสองคือเท่าไร | ให้จำนวนของเราเป็น $a$ และ $b$ โดยที่ $a>b.$ แล้ว $ab+a+b=103$. ด้วย Simon's Favorite Factoring Trick ในใจ เราบวก $1$ เข้าไปในทั้งสองข้าง และได้ $ab+a+b+1 = 104$ ซึ่งแยกตัวประกอบเป็น $(a+1)(b+1)=104$. เราพิจารณาคู่ $(a+1, b+1)$ ของตัวประกอบของ $104$: $(104,1), (52,2), (26,4), (13,8)$. เนื่องจาก $a<20$ เราสามารถตัดคู่แรก 3 คู่แรกออกได้ ซึ่งจะได้ $a=12$ และ $b=7$ ดังนั้น $a+b=\boxed{19}$. | a+b=\boxed{19} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Alex มีเพื่อน 12 คน และมีเหรียญ 63 เหรียญ เขาต้องการเหรียญอย่างน้อยกี่เหรียญเพิ่ม เพื่อที่เขาจะสามารถให้เหรียญแก่เพื่อนแต่ละคนอย่างน้อย 1 เหรียญ และไม่มีเพื่อนสองคนใดที่ได้รับจำนวนเหรียญเท่ากัน? | Alex ต้องการลดจำนวนเหรียญที่เขาให้กับเพื่อนของเขาโดยไม่ให้เพื่อนสองคนใดได้รับจำนวนเหรียญเท่ากัน จำนวนเหรียญที่น้อยที่สุดที่เขาสามารถให้กับเพื่อนได้คือ 1 เหรียญ จากนั้นเขาให้ 2 เหรียญแก่เพื่อนอีกคนหนึ่ง จากนั้น 3 เหรียญ จากนั้น 4 เหรียญ และอื่นๆ จนถึงเพื่อนคนสุดท้ายที่ได้รับ 12 เหรียญ จำนวนเหรียญทั้งหมดที่ Alex ให้ไปคือ $1+2+3+\cdots+12 = \frac{12 \cdot 13}{2}=78$. ดังนั้น Alex ต้องการ $78-63=\boxed{15}$ เหรียญเพิ่ม | 78-63=\boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $i^{600} + i^{599} + \cdots + i + 1$ เมื่อ $i^2=-1$ | แต่ละกลุ่มของ 4 พจน์ติดต่อกันของ $i$ จะรวมกันเป็น 0: $i + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i +1 = 0$, $i^5+i^6+i^7+i^8 = i^4(i+i^2+i^3+i^4) = 1(0) = 0$ และอื่นๆ เนื่องจาก 600 หารด้วย 4 ลงตัว เราทราบว่าถ้าเราเริ่มจัดกลุ่มกำลังของ $i$ ตามที่กลุ่มแรกและกลุ่มที่สองของเราแสดงไว้ เราจะไม่มีกำลังของ $i$ ที่ `เหลือ' นอกเหนือจาก $i^{600}$ เราจะมี 1 เพิ่มเติมอยู่ข้างหน้า $i$ ดังนั้น: \[i^{600} + i^{599} + \cdots + i + 1 = (0) + (0) + \cdots + (0) + 1 = \boxed{1}.\] | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น $(2x^3)^3$ | กระจายเลขยกกำลังและใช้กฎของเลขยกกำลังของเลขยกกำลัง เราได้ $(2x^3)^3=(2^3)((x^{3})^3)=8(x^{3\ast3})=\boxed{8x^9}$ | (2x^3)^3=(2^3)((x^{3})^3)=8(x^{3\ast3})=\boxed{8x^9} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมการกำลังสอง $ax^2 - 2ax + b = 0$ มีคำตอบจริงสองคำตอบ จงหาค่าเฉลี่ยของคำตอบทั้งสอง | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากคือ
\[\frac{2a}{a} = 2,\]ดังนั้นค่าเฉลี่ยของรากคือ $\boxed{1}.$ | \boxed{1}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มาร์คและแซนดี้กำลังเดินไปที่ร้านสะดวกซื้อที่จุดกึ่งกลางของพิกัดของพวกเขา มาร์คยืนอยู่ที่ $(0,7)$ และแซนดี้ยืนอยู่ที่ $(-4,-1)$ พวกเขาจะพบกันที่พิกัดใด? | พิกัดที่ทั้งสองจะพบกันคือจุดกึ่งกลางของพิกัดที่กำหนดให้ เราใช้สูตรจุดกึ่งกลางเพื่อหา $$\left(\frac{-4+0}{2},\frac{-1+7}{2}\right)=\boxed{(-2,3)}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
ช่วงของฟังก์ชัน $g(x) = \frac{2}{2+4x^2}$ สามารถเขียนเป็นช่วง $(a,b]$. ค่าของ $a+b$ คือเท่าใด | ส่วนของเศษ $2+4x^2$ มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 2 ดังนั้น $\frac{2}{2+4x^2}$ มีค่ามากที่สุดเท่ากับ $\frac 22=1$ และสามารถมีค่าบวกที่น้อยกว่านี้ได้ ดังนั้นช่วงของ $g(x)$ คือ $(0,1]$ ซึ่งจะได้ $a+b=\boxed{1}$ | a+b=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: \[(6a^3+92a^2-7)-(-7a^3+a^2-7)\] | ก่อนอื่น เราจะรวมพจน์ที่คล้ายกันในนิพจน์: \begin{align*}
&(6a^3+92a^2-7)-(-7a^3+a^2-7)\\
& \qquad=6a^3+92a^2-7+7a^3-a^2+7\\
&\qquad=13a^3+91a^2.
\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $13a^2$ ออกจากนิพจน์ได้ ซึ่งจะได้ \[13a^3+91a^2=\boxed{13a^2(a+7)}.\] | 13a^2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดบนแกน $x$ ที่ห่างจากจุด $A(-2,0)$ และ $B(0,4)$ เท่ากัน มีพิกัด $x$ เท่าใด | เนื่องจากจุดที่เราต้องการหาอยู่บนแกน $x$ เราทราบว่ามีรูปแบบ $(x,0)$ เราใช้สูตรระยะทาง ระยะทางจาก $A$ คือ \begin{align*}
\sqrt{(-2-x)^2+(0-0)^2} &= \sqrt{x^2+4x+4}
\end{align*} ระยะทางจาก $B$ คือ \begin{align*}
\sqrt{(0-x)^2 + (4-0)^2} &= \sqrt{x^2+16}
\end{align*} เนื่องจากจุดห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน เราตั้งสมการระยะทางทั้งสองให้เท่ากัน: $x^2+4x+4 = x^2 + 16$ เมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $4x = 12$ หรือ $x = \boxed{3}$ | x = \boxed{3} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
รูปสามเหลี่ยมทุกรูปมีค่าเท่ากัน และวงกลมทุกวงมีค่าเท่ากัน ค่าของสามวงกลมรวมกันเท่ากับเท่าไร? \begin{align*}
\Delta + \bigcirc + \Delta + \bigcirc + \Delta&= 21\\
\bigcirc + \Delta+\bigcirc+\Delta+\bigcirc &= 19\\
\bigcirc + \bigcirc + \bigcirc &= \ ?
\end{align*} | แทนรูปสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร $a$ และวงกลมด้วยตัวอักษร $b$ สมการสองสมการที่กำหนดจะกลายเป็น \begin{align*}
3a+2b&=21\\
2a+3b&=19.
\end{align*}คูณสมการแรกด้วย $2$ จะได้ $6a+4b=42$ คูณสมการที่สองด้วย $3$ จะได้ $6a+9b=57$ ลบสมการทั้งสองเพื่อกำจัด $a$ จะได้ $5b=15$ คูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{3}{5}$ จะได้ $$\frac{3}{5}\cdot 5b = \frac{3}{5} \cdot 15 \Rightarrow 3b=9.$$ดังนั้น สามวงกลมมีค่าเท่ากับ $\boxed{9}.$ | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของกำลังสองของคำตอบของสมการ $2x^2 + 13x + 6 = 0$ คือเท่าใด | จากสูตรของ Vieta ผลคูณของคำตอบคือ $6/2 = 3$ ดังนั้น ผลคูณของกำลังสองของคำตอบคือ $3^2 = \boxed{9}$ | 3^2 = \boxed{9}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใดที่ทำให้ $\frac{2x-1}{2x+2}$ และ $\frac{x-3}{x-1}$ มีค่าเท่ากัน? | เรามีสมการ $\frac{2x-1}{2x+2}=\frac{x-3}{x-1}$ คูณไขว้และทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
(2x-1)(x-1)&=(2x+2)(x-3)\\
2x^2 - x - 2x + 1 &= 2x^2 + 2x - 3 \cdot 2x - 3 \cdot 2 \\
2x^2 - 3x + 1&=2x^2-4x-6\\
x&=\boxed{-7}
\end{align*} | -7 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
תחוםของฟังก์ชัน $$k(y) = \frac{1}{2y+1}~?$$ แสดงคำตอบในสัญกรณ์ช่วง | เศษส่วน $\frac{1}{2y+1}$ ไม่นิยามก็ต่อเมื่อส่วนเป็นศูนย์ เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อ $y$ เป็นคำตอบของสมการ $$2y+1=0,$$ ซึ่งก็คือ $y=-\frac 12$ ดังนั้นโดเมนของ $k(y)$ คือ $$\boxed{\left(-\infty,-\frac 12\right)\cup \left(-\frac 12,\infty\right)}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ค่าของ $x$ ใดจะทำให้ $x^2- 14x + 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เราเริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
x^2-14x+3&= x^2-14x +\left(\frac{14}{2}\right)^2 - \left(\frac{14}{2}\right)^2 + 3\\
& = x^2 -14x + 7^2 - 49 + 3\\
&=(x-7)^2 - 46.\end{align*}เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าอย่างน้อย 0 เราได้ $$(x-7)^2\ge 0,$$โดยที่ $(x-7)^2 =0$ เฉพาะเมื่อ $x=7$. ดังนั้น $(x-7)^2 - 46$ มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ $x=\boxed{7}.$ | x=\boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อัตราส่วนของจำนวนสองจำนวนคือ $3:5$ เมื่อนำ 4 ลบออกจากจำนวนที่น้อยกว่า และนำ 8 บวกเข้ากับจำนวนที่มากกว่า อัตราส่วนใหม่คือ $2:7$ จำนวนที่มากกว่าของสองจำนวนก่อนที่จะนำ 8 บวกเข้ากับมันคือเท่าไร | ให้ $a$ เป็นจำนวนที่น้อยกว่า และให้ $b$ เป็นจำนวนที่มากกว่า จากนั้น $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$ ดังนั้น $5a=3b$ นอกจากนี้ $\dfrac{a-4}{b+8}=\dfrac{2}{7}$ ดังนั้นการคูณไขว้จะได้ $7(a-4)=2(b+8)$ ตอนนี้เรามีระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ การแก้สมการจะได้ $a=12$, $b=20$ เนื่องจากคำถามถามถึงค่าของ $b$ คำตอบของเราคือ $\boxed{20}$ | \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$ และ $b$ เป็นคำตอบของสมการ $x^{2} - 5x + 9= 0$ แล้วค่าของ $(a - 1)(b - 1)$ มีค่าเท่าใด | เราสามารถหาคำตอบของสมการนี้ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - (4)(1)(9)}}{2} = \frac{5 \pm i\sqrt{11}}{2}.$$ เราต้องการหา $(a - 1)(b - 1)$ ซึ่งเป็น \begin{align*}
\left(\frac{5 + i\sqrt{11}}{2} - 1\right)\left(\frac{5 - i\sqrt{11}}{2} - 1\right) &= \left(\frac{3 + i\sqrt{11}}{2}\right)\left(\frac{3 - i\sqrt{11}}{2}\right) \\
&= \frac{9 + 11}{4}\\
&= \boxed{5}
\end{align*}
$$\text{- OR -}$$
เราต้องการหา $(a - 1)(b - 1) = ab - (a + b) + 1$. ถ้า $a$ และ $b$ เป็นคำตอบของสมการกำลังสองนี้ ตามสูตรของ Vieta's เราจะได้ว่า $ab = 9$ และ $a + b = 5$. แทนค่าเหล่านี้ลงไป เราจะพบว่า $(a - 1)(b - 1) = 9 - 5 + 1 = \boxed{5}$. | (a - 1)(b - 1) = 9 - 5 + 1 = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าจริงของ $k$ ใด $\frac{13-\sqrt{131}}{4}$ เป็นรากของ $2x^2-13x+k$? | เราสามารถแทน $(13-\sqrt{131})/4$ สำหรับ $x$ ในสมการได้ แต่สูตรกำลังสองแนะนำวิธีที่รวดเร็วกว่า การแทน $2$, $-13$ และ $k$ ลงในสูตรกำลังสองจะได้ \[
\frac{-(-13)\pm\sqrt{(-13)^2-4(2)(k)}}{2(2)}= \frac{13\pm\sqrt{169-8k}}{4}.
\]การตั้ง $(13+\sqrt{169-8k})/4$ และ $(13-\sqrt{169-8k})/4$ เท่ากับ $(13-\sqrt{131})/4$ เราพบว่าไม่มีคำตอบในกรณีแรก และ $169-8k=131$ ในกรณีที่สอง การแก้สมการจะได้ $k=(169-131)/8=38/8=\boxed{\frac{19}{4}}$. | k=(169-131)/8=38/8=\boxed{\frac{19}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในสวนสนุกแห่งหนึ่งมีส่วนลดสำหรับการซื้อตั๋วจำนวนมาก หากซื้อตั๋วไม่เกิน 60 ใบในหนึ่งครั้ง ราคาของแต่ละใบจะเท่ากับ 70 ดอลลาร์ แต่ถ้าซื้อตั๋วมากกว่า 60 ใบในครั้งเดียว ราคาของตั๋วแต่ละใบจะลดลง 1 ดอลลาร์สำหรับตั๋วที่ซื้อเพิ่มขึ้นอีก 1 ใบ ถ้า $t$ คือจำนวนตั๋วที่ซื้อเป็นจำนวนมากในครั้งเดียว จงหาค่า $t$ ที่มากที่สุดซึ่งจะทำให้สวนสนุกมีกำไรมากกว่า 4200 ดอลลาร์ | ให้ $t$ แทนจำนวนตั๋วที่ขายในครั้งเดียว เราจะได้อสมการต่อไปนี้: \begin{align*} 4200&<(70-(t-60))(t)
\\4200&<(130-t)(t)
\\4200&<130t-t^2
\\\Rightarrow\qquad t^2-130t+4200&<0
\\\Rightarrow\qquad (t-60)(t-70)&<0
\end{align*}เนื่องจากรากของสมการทางซ้ายมือคือ 60 และ 70 อสมการจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดสองจุดนี้ สำหรับ $t<60$ ทั้งสองตัวประกอบของอสมการเป็นลบ ทำให้เป็นบวก สำหรับ $60<t<70$ มีเพียง $t-70$ เท่านั้นที่เป็นลบ ดังนั้นอสมการเป็นลบ สุดท้าย สำหรับ $t>70$ ทั้งสองตัวประกอบเป็นบวก ทำให้เป็นบวกอีกครั้ง สิ่งนี้บอกเราว่าช่วงของ $t$ ที่จะทำให้ได้กำไรมากกว่า 4200 ดอลลาร์คือ $(60,70)$ เนื่องจากจำนวนตั๋วที่ซื้อในครั้งเดียวต้องเป็นจำนวนเต็ม จำนวนตั๋วที่มากที่สุดที่ทำให้ได้กำไรมากกว่า 4200 ดอลลาร์คือ $t=\boxed{69}$ | t=\boxed{69} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $h(x) = \sqrt{\frac{x+3}{2}}$ จงหาค่าของ $h(-1)$ | เราได้ว่า $h(-1) = \sqrt{\frac{-1+3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = \boxed{1}$ | h(-1) = \sqrt{\frac{-1+3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = \boxed{1} | [
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.