question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
แปลงจุด $(4, 4, 4 \sqrt{6})$ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นระบบพิกัดทรงกลม ใส่คำตอบในรูป $(\rho,\theta,\phi),$ โดยที่ $\rho > 0,$ $0 \le \theta < 2 \pi,$ และ $0 \le \phi \le \pi.$ | เรามีว่า $\rho = \sqrt{4^2 + 4^2 + (4 \sqrt{6})^2} = 8 \sqrt{2}.$ เราต้องการให้ $\phi$ สอดคล้องกับ
\[4 \sqrt{6} = 8 \sqrt{2} \cos \phi,\]ดังนั้น $\phi = \frac{\pi}{6}.$
เราต้องการให้ $\theta$ สอดคล้องกับ
\begin{align*}
4 &= 8 \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{6} \cos \theta, \\
4 &= 8 \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta.
\end{align*}ดังนั้น $\theta = \frac{\pi}{4},$ ดังนั้นพิกัดทรงกลมคือ $\boxed{\left( 8 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} \right)}.$ | \boxed{\left( 8 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} \right)}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
สัมประสิทธิ์ของพหุนาม $p(x)$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมด ถ้า $p(1) = 4$ และ $p(5) = 136$ แล้วจงหา $p(6)$ | กำหนดให้
\[p(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0.\]เนื่องจาก $p(1) = 4$ และสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของ $p(x)$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ $a_i$ แต่ละตัวของ $p(x)$ มีค่ามากที่สุด 4 เราทราบอีกว่า
\[p(5) = a_n 5^n + a_{n - 1} 5^{n - 1} + \dots + a_1 5 + a_0 = 136.\]เนื่องจาก $5^4 = 625 > 136$ องศา $n$ ของพหุนามสามารถมีค่ามากที่สุด 3 และเราสามารถเขียนได้ว่า
\[p(5) = 125a_3 + 25a_2 + 5a_1 + a_0 = 136.\]ค่าที่เป็นไปได้ของ $a_3$ คือ 0 และ 1 เนื่องจาก
\[25a_2 + 5a_1 + a_0 \le 25 \cdot 4 + 5 \cdot 4 + 4 = 124 < 136,\]$a_3$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ ดังนั้น $a_3 = 1$ จากนั้น
\[25a_2 + 5a_1 + a_0 = 136 - 125 = 11.\]สิ่งนี้บังคับให้ $a_2 = 0$ ดังนั้น
\[5a_1 + a_0 = 11.\]จากนั้นเราสามารถเติมค่า $a_1 = 2$ และ $a_0 = 1$ ได้ ดังนั้น
\[p(x) = x^3 + 2x + 1.\](โปรดทราบว่าเราแสดง 136 ในระบบเลขฐาน 5: $136 = 1021_5.$)
ดังนั้น $p(6) = 6^3 + 2 \cdot 6 + 1 = \boxed{229}.$ | p(6) = 6^3 + 2 \cdot 6 + 1 = \boxed{229}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ เป็นตัวประกอบของ $x^9 + px^6 + qx^3 + r.$ ใส่องค์ประกอบสาม $(p,q,r)$ | ให้ $\alpha$ เป็นรากของ $x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = 0,$ ดังนั้น $\alpha^3 = 3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1.$ จากนั้น
\[\alpha^4 = 3 \alpha^3 - 4 \alpha^2 + \alpha = 3 (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1) - 4 \alpha^2 + \alpha = 5 \alpha^2 - 11 \alpha + 3.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\alpha^6 &= (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1)^2 \\
&= 9 \alpha^4 - 24 \alpha^3 + 22 \alpha^2 - 8 \alpha + 1 \\
&= 9 (5 \alpha^2 - 11 \alpha + 3) - 24 (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1) + 22 \alpha^2 - 8 \alpha + 1 \\
&= -5 \alpha^2 - 11 \alpha + 4,
\end{align*}และ
\begin{align*}
\alpha^9 &= \alpha^3 \cdot \alpha^6 \\
&= (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1)(-5 \alpha^2 - 11 \alpha + 4) \\
&= -15 \alpha^4 - 13 \alpha^3 + 51 \alpha^2 - 27 \alpha + 4 \\
&= -15 (5 \alpha^2 - 11 \alpha + 3) - 13 (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1) + 51 \alpha^2 - 27 \alpha + 4 \\
&= -63 \alpha^2 + 190 \alpha - 54.
\end{align*}จากนั้น
\begin{align*}
\alpha^9 + p \alpha^6 + q \alpha^3 + r &= (-63 \alpha^2 + 190 \alpha - 54) + p (-5 \alpha^2 - 11 \alpha + 4) + q (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1) + r \\
&= (-5p + 3q - 63) \alpha^2 + (-11p - 4q + 190) \alpha + (4p + q + r - 54).
\end{align*}เราต้องการให้สิ่งนี้ลดลงเป็น 0 ดังนั้นเราตั้ง
\begin{align*}
-5p + 3q &= 63, \\
11p + 4q &= 190, \\
4p + q + r &= 54.
\end{align*}แก้สมการแล้วเราพบ $(p,q,r) = \boxed{(6,31,-1)}.$ สำหรับค่าเหล่านี้ $\alpha^9 + p \alpha^6 + q \alpha^3 + r$ จะลดลงเป็น 0 สำหรับราก $\alpha$ ใดๆ ของ $x^3 - 3x^2 + 4x - 1,$ ดังนั้น $x^9 + px^6 + qx^3 + r$ จะหารด้วย $x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ ได้ | (6, 31, -1) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $a+b+c+d+e+f$ สำหรับการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{4}{37}+\frac{3}{11}+\frac{23}{9}=2.abcdef\ldots$? | เราสามารถใช้การหารยาวเพื่อหาการแทนค่าทศนิยมของเศษส่วนทั้งสามได้ แต่มีวิธีที่ฉลาดกว่า
เราเริ่มต้นด้วยการหาเศษส่วนที่เทียบเท่ากันซึ่งตัวส่วนเป็น 1 น้อยกว่ากำลังของ 10 ตัวอย่างเช่น $\frac{3}{11}$ เราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 9 เพื่อเขียนตัวเลขนี้ใหม่เป็น $\frac{27}{99}$ ตอนนี้เราสามารถเขียนเศษส่วนนี้ใหม่เป็น $0.\overline{27}$ เพื่อดูว่าทำไม ลองให้ $x=0.\overline{27}$ และลบ $x$ ออกจาก $100x$: $$\begin{array}{r r c r@{}l}
&100x &=& 27&.272727\ldots \\
- &x &=& 0&.272727\ldots \\
\hline
&99x &=& 27 &
\end{array}$$ นี่แสดงให้เห็นว่า $0.\overline{27} = \frac{27}{99}$
เราสามารถใช้เทคนิคเดียวกันกับเศษส่วนอื่นๆ ของเรา สำหรับ $\frac{4}{37}$ เราต้องรู้ว่า $37\cdot 27 = 999$ ซึ่งช่วยให้เราเขียน $\frac{4}{37}$ เป็น $\frac{4\cdot 27}{37\cdot 27} = \frac{108}{999}$ ตอนนี้เทคนิคข้างต้นจะได้ $\frac{4}{37} = 0.\overline{108}$
เพื่อจัดการกับ $\frac{23}{9}$ เราเขียนเป็น $2+\frac{5}{9}$ ก่อน จากนั้นเทคนิคที่เราใช้กับเศษส่วนอื่นๆ จะได้ $\frac{23}{9} = 2+0.\overline{5} = 2.\overline{5}$
สุดท้าย เราหาหกหลักแรกหลังจุดทศนิยมของผลบวก $$ \begin{array}{c@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}& & 2 &. &\stackrel{1}{5} & \stackrel{1}{5} & \stackrel{1}{5} & 5 & \stackrel{2}{5} & 5\\& & &. &2 &7 & 2 & 7& 2 & 7\\&+ & &. & 1 &0 & 8 & 1 & 0 & 8\\ \hline & &2 & .& 9 &3 & 6 & 3 & 9 & 0\\ \end{array} $$ เราควรตรวจสอบว่าเมื่อบวกหลักที่เจ็ดหลังจุดทศนิยมไม่มีตัวเลขใดถูกพกพาไปส่งผลต่อหลักที่หก สังเกตว่าการบวกหลักหลังจุดทศนิยมเกินกว่าหกหลักจะทำให้เกิดบล็อกซ้ำของหลักหกหลักเดียวกัน ($.555555+.272727+.108108=.936390$) นั่นหมายความว่าหลักที่เจ็ดจะเป็น 9 (เหมือนกับหลักแรกหลังจุดทศนิยม) และไม่มีตัวเลขใดถูกพกพาไปส่งผลต่อหลักที่หก ดังนั้นผลรวม $a+b+c+d+e+f$ คือ $9+3+6+3+9+0=\boxed{30}$. | 9+3+6+3+9+0=\boxed{30} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $C_1$ และ $C_2$ เป็นวงกลมที่กำหนดโดย $(x-10)^2 + y^2 = 36$ และ $(x+15)^2 + y^2 = 81$ ตามลำดับ จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรง $PQ$ ที่สั้นที่สุด ซึ่งสัมผัสกับ $C_1$ ที่ $P$ และสัมผัสกับ $C_2$ ที่ $Q$ | วงกลม $C_1$ มีจุดศูนย์กลาง $(10,0)$ และรัศมี 6. ให้ $A = (10,0).$ วงกลม $C_2$ มีจุดศูนย์กลาง $(-15,0)$ และรัศมี 9. ให้ $B = (-15,0).$
[asy]
unitsize(0.2 cm);
pair A, B, D, P, Q, R;
A = (10,0);
B = (-15,0);
D = (0,0);
P = intersectionpoint(Circle(A,6),arc((A + D)/2, abs(A - D)/2, 180, 360));
Q = intersectionpoint(Circle(B,9),arc((B + D)/2, abs(B - D)/2, 0, 180));
R = extension(B,Q,A,A + P - Q);
draw(Circle(A,6));
draw(Circle(B,9));
draw(P--Q);
draw((-26,0)--(18,0));
draw(B--R--A);
draw(A--P);
draw(rightanglemark(B,Q,D,40));
draw(rightanglemark(A,P,D,40));
draw(rightanglemark(B,R,A,40));
dot("$A$", A, NE);
dot("$B$", B, S);
label("$D$", D, SW);
dot("$P$", P, SW);
dot("$Q$", Q, N);
label("$R$", R, N);
[/asy]
ส่วนของเส้นตรง $\overline{PQ}$ ที่สั้นที่สุดจะเป็นเส้นสัมผัสภายในร่วมของวงกลมทั้งสอง และ $\angle BQD = \angle APD = 90^\circ.$ ต่อ $\overline{BQ}$ ผ่าน $Q$ ไปยัง $R$ เพื่อให้ $QR = PA.$ แล้ว $APQR$ จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.
เราได้ว่า $BR = BQ + QR = BQ + PA = 9 + 6 = 15$ และ $AB = 25.$ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก $ARB,$
\[AR = \sqrt{AB^2 - BR^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20.\]ดังนั้น $PQ = AR = \boxed{20}.$ | PQ = AR = \boxed{20}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2$. | $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}.$ | \left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}. | [
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ $\sin 180^\circ$. | การหมุนจุด $(1,0)$ ทวนเข็มนาฬิกา $180^\circ$ รอบจุดกำเนิด จะได้จุด $(-1,0)$ ดังนั้น $\sin 180^\circ = \boxed{0}$. | \sin 180^\circ = \boxed{0} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณ $\left(\sqrt{97969}\right)^2$. | สำหรับจำนวนไม่เป็นลบ $n$ ใดๆ ค่าของ $\sqrt{n}$ คือจำนวนซึ่งกำลังสองของมันเท่ากับ $n$ ดังนั้น เมื่อเรา squaring $\sqrt{n}$ เราจะได้ $n$ ดังนั้น $\left(\sqrt{97969}\right)^2 = \boxed{97969}$ | $\left(\sqrt{97969}\right)^2 = \boxed{97969}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $x\neq0$ จงหาค่าบวกของ $b$ ที่ทำให้สมการ $\frac 3x+\frac x3=b$ มีคำตอบเดียว | คูณทั้งสองข้างด้วย $3x$ จะได้ $9 + x^2 = 3bx$ ดังนั้น $x^2 -3bx +9=0$ สมการจะมีคำตอบเดียวก็ต่อเมื่อ discriminant ของ $x^2 -3bx + 9$ เท่ากับ 0 discriminant ของสมการกำลังสองนี้คือ $(-3b)^2 -4(9) = 9b^2 - 36$ กำหนดให้เท่ากับ 0 จะได้ $9b^2 = 36$ ดังนั้น $b^2=4$ คำตอบบวกของสมการนี้คือ $b=\boxed{2}$ | b=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บิลเดินทางจากซานฟรานซิสโกไปลอสแอนเจลิสเป็นระยะทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมง แซมเดินทางระยะทางเท่ากันด้วยความเร็ว 40 ไมล์ต่อชั่วโมง แซมใช้เวลานานกว่าบิลกี่ชั่วโมงในการเดินทาง 400 ไมล์ | บิลเดินทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมงใช้เวลา $\frac{400}{50} = 8$ ชั่วโมง แซมเดินทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็ว 40 ไมล์ต่อชั่วโมงใช้เวลา $\frac{400}{40} = 10$ ชั่วโมง ดังนั้น แซมใช้เวลานานกว่าบิล $\boxed{2}$ ชั่วโมง | \boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของสี่จำนวนคู่บวกติดต่อกันเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลรวมที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | ให้ $2n-2$, $2n$, $2n+2$ และ $2n+4$ เป็นสี่จำนวนคู่บวกติดต่อกัน ถ้า $(2n-2)+(2n)+(2n+2)+(2n+4)=8n+4=2^2(2n+1)=m^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$ บางจำนวน แล้ว $2n+1$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์คี่ $2n+1=1^2$ จะได้ $n=0$ ซึ่งเราปฏิเสธเพราะจำนวนเต็มของเราเป็นบวก $2n+1=3^2$ จะได้ $n=4$ ซึ่งให้ผลรวมเป็น $8\times4+4=36$ ดังนั้นผลรวมที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{36}$ | \boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้สมการของกราฟดังต่อไปนี้เป็นพาราโบลา วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา จุด เส้น สองเส้น หรือว่างเปล่า
$y^2 - x +5y - 25 = 0$ | เราสามารถจัดเรียงสมการนี้ใหม่เป็น $x = y^2 + 5y - 25$ ซึ่งเป็นพาราโบลาที่เปิดออกด้านข้าง
$\boxed{\text{parabola}}$ | \boxed{\text{parabola}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฟิลิปพลิกเหรียญที่ไม่ยุติธรรม 8 ครั้ง เหรียญนี้มีโอกาสออกหัวเป็นสองเท่าของก้อย จงหาว่าฟิลิปมีโอกาสได้หัวちょうど 3 ครั้ง มากกว่าได้หัวちょうど 2 ครั้ง เท่าไร | ความน่าจะเป็นที่ฟิลิปพลิกเหรียญได้ $k$ หัวคือ $$\binom8k\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}=\frac1{3^8}\binom8k2^k,$$ เนื่องจากมี $\binom{8}{k}$ วิธีที่ $k$ ใน $8$ เหรียญจะออกหัว และแต่ละวิธีการเรียง $k$ หัวจาก $8$ เหรียญนี้จะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น $\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}$. ดังนั้น อัตราส่วนของความน่าจะเป็นสองค่าในปัญหาเท่ากับ $$\frac{\binom832^3}{\binom822^2}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{2\cdot1}{8\cdot7}\cdot\frac{2^3}{2^2}=\frac{6}{3}\cdot2=\boxed{4}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
k(x) &\text{ถ้า }x>3, \\
x^2-6x+12&\text{ถ้า }x\leq3.
\end{cases}
\] จงหาฟังก์ชัน $k(x)$ ที่ทำให้ $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง | สังเกตว่า เนื่องจากพจน์เชิงเส้นของกำลังสองคือ $-6$ จุดยอดของพาราโบลาที่เป็นด้านซ้ายของ $f$ อยู่ที่ $x=3$ ดังนั้นการเติมกำลังสองอาจมีประโยชน์ \[x^2-6x+12=(x^2-6x+9)+3=(x-3)^2+3.\]เราต้องการให้ $f(f(x))=x$ สำหรับทุก $x$ เนื่องจาก $f(f(3))=3$ เราทราบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเองที่ $x=3$ ดังนั้นเราสามารถจำกัดความสนใจของเราไว้ที่ $x\neq 3.$
เนื่องจาก $f$ ถูกนำไปใช้กับจำนวนใดๆ น้อยกว่า 3 จะส่งกลับจำนวนที่มากกว่า 3 และเราสามารถรับจำนวนทั้งหมดที่มากกว่า 3 ได้ในลักษณะนี้ การนำ $f$ ไปใช้กับจำนวนใดๆ ที่มากกว่า 3 จะต้องให้จำนวนน้อยกว่า 3 ดังนั้น $k(x)<3$ สำหรับทุก $x>3.$
ถ้า $x>3$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเองแล้ว \[x=f(f(x))=f(k(x))=3+\left(k(x)-3\right)^2,\]โดยที่ในขั้นตอนสุดท้ายเราใช้ว่า $k(x)<3.$ ลบ $3$ จากทั้งสองข้าง gives \[\left(k(x)-3\right)^2 = x-3.\]เนื่องจากเราต้องมี $k(x) < 3$ เราทราบว่า $k(x) - 3$ คือจำนวนลบซึ่งกำลังสองของมันคือ $x-3$ ดังนั้นเราจึงมี $k(x) - 3 = -\sqrt{x-3}.$ แก้สมการนี้สำหรับ $k(x)$ จะได้ \[k(x)=\boxed{-\sqrt{x-3}+3}.\] | k(x) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\dbinom{30}{27}$ | $\dbinom{30}{27}=\dbinom{30}{3}=\dfrac{30 \times 29 \times 28}{3!} = \boxed{4060}$ | $\dbinom{30}{27}=\dbinom{30}{3}=\dfrac{30 \times 29 \times 28}{3!} = \boxed{4060}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีเครื่องบินสีน้ำเงิน, สีแดง และสีขาว กำลังรอที่จะบินออกจากสนามบินที่มีรันเวย์ 2 สาย เครื่องบินต้องบินออกจากสนามบินทีละลำ แต่สามารถใช้รันเวย์ใดก็ได้ ในวิธีการใดที่สามารถกำหนดตารางการบินของเครื่องบินทั้งสามได้ (วิธีการหนึ่งคือ เครื่องบินสีน้ำเงินบินออกจากรันเวย์ A ตามด้วยเครื่องบินสีแดงจากรันเวย์ B และตามด้วยเครื่องบินสีขาวจากรันเวย์ B) | มี 3 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำแรก และ 2 วิธีในการเลือกที่ที่จะบินออกไป ในทำนองเดียวกัน มี 2 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำที่สองหลังจากเครื่องบินลำแรกบินออกไปแล้ว และ 2 วิธีในการเลือกที่ที่จะบินออกไป รวมถึง 1 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำสุดท้าย และ 2 วิธีในการเลือกรันเวย์ของมัน ค่าเหล่านี้คูณกันได้ทั้งหมด $3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot2=3\cdot2^4=\boxed{48}$ | 3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot2=3\cdot2^4=\boxed{48} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน 9 ด้าน มีเส้นทแยงมุมภายในกี่เส้น (เส้นทแยงมุมภายใน คือ เส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่มีด้านเชื่อมต่อระหว่างจุดยอดเหล่านั้น) | รูปรูปหลายเหลี่ยมมีจุดยอด 9 จุด ดังนั้นจากจุดยอดแต่ละจุด จึงมีจุดยอดอื่นๆ อีก 8 จุดที่เราอาจขยายเส้นทแยงมุมไปยังจุดเหล่านั้น อย่างไรก็ตาม 2 จุดจาก 8 จุดนี้ เชื่อมต่อกับจุดเดิมด้วยด้าน ดังนั้นจึงไม่มีเส้นทแยงมุมภายในเชื่อมต่อระหว่างจุดเหล่านี้ ดังนั้น จุดยอดแต่ละจุดจึงเชื่อมต่อกับจุดอื่นๆ อีก 6 จุดด้วยเส้นทแยงมุมภายใน ซึ่งให้จำนวนเส้นทแยงมุมเบื้องต้น $9 \times 6 = 54$ เส้น อย่างไรก็ตาม เราได้นับเส้นทแยงมุมแต่ละเส้นสองครั้ง (ครั้งหนึ่งสำหรับจุดปลายแต่ละด้าน) ดังนั้นเราต้องหารด้วย 2 เพื่อแก้ไขการนับซ้ำ และคำตอบคือ $\dfrac{9\times 6}{2} = \boxed{27}$ เส้น | \dfrac{9\times 6}{2} = \boxed{27} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$ หารด้วย 7 | เพื่อหาผลบวก เราพิจารณาเลขชี้กำลังของ 2 ตัวแรก modulo 7: \begin{align*}
2^0 &\equiv 1, \\
2^1 &\equiv 2, \\
2^2 &\equiv 4, \\
2^3 &\equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}
\end{align*}เนื่องจาก $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ เลขชี้กำลังของ 2 modulo 7 จะซ้ำในรอบของ 3 ดังนั้น \begin{align*}
&1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100} \\
&\quad\equiv 1 + 2 + 4 + 1 + 2 + 4 + \dots + 1 + 2 + 4 + 1 + 2 \\
&\quad\equiv (1 + 2 + 4) + (1 + 2 + 4) + \dots + (1 + 2 + 4) + 1 + 2 \\
&\quad\equiv \boxed{3} \pmod{7}.
\end{align*} | 2^3 \equiv 1 \pmod{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นรอบรูปของ $\triangle ABC$ เท่ากับ $32.$ ถ้า $\angle ABC=\angle ACB$ และ $BC=12,$ ความยาวของ $AB$ เท่ากับเท่าใด?
[asy]
draw((0,0)--(12,0)--(6,10)--cycle,black+linewidth(1));
MarkAngle((12,0),(0,0),(6,10),1,black+linewidth(1));
MarkAngle((6,10),(12,0),(0,0),1,black+linewidth(1));
label("$A$",(6,10),N);
label("$B$",(0,0),W);
label("$C$",(12,0),E);
label("12",(0,0)--(12,0),S);
[/asy] | เนื่องจาก $\angle ABC=\angle ACB,$ ดังนั้น $\triangle ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและ $AB=AC.$ กำหนดให้ $\triangle ABC$ มีเส้นรอบรูปเท่ากับ $32,$ ดังนั้น $AB+AC+12=32$ หรือ $AB+AC=20.$ แต่ $AB=AC$ ดังนั้น $2AB=20$ หรือ $AB=\boxed{10}.$ | AB=\boxed{10}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากัน 5 นิ้ว และฐาน 6 นิ้ว ถูกจารึกไว้ในวงกลม รัศมีของวงกลมเป็นเท่าไรในหน่วยนิ้ว แสดงคำตอบเป็นจำนวนผสม | สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งมุมฉากของฐานของมันก็เป็นแกนสมมาตร ซึ่งผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่สามเหลี่ยมถูกจารึกไว้: [asy]
unitsize(20);
draw(Circle((0,0),25/8));
draw(((-3,-7/8)--(3,-7/8)--(0,25/8)--cycle));
dot((0,0));
draw(((0,25/8)--(0,-7/8)),dotted);
draw(((0,-5/8)--(-1/4,-5/8)--(-1/4,-7/8)));
label("5",(-3/2,9/8),NW);
label("5",(3/2,9/8),NE);
draw(((0,-7/8)--(0,-9/8)));
label("3",(-3/2,-7/8),S);
label("3",(3/2,-7/8),S);
[/asy] โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความสูงที่แสดงคือ $\sqrt{5^2-3^2}=4$.
ตอนนี้เราสามารถวาดและใส่ป้ายชื่อรัศมีของวงกลมได้: [asy]
unitsize(20);
draw(Circle((0,0),25/8));
draw(((-3,-7/8)--(3,-7/8)--(0,25/8)--cycle));
dot((0,0));
draw(((0,25/8)--(0,0)),dotted);
draw(((0,-5/8)--(-1/4,-5/8)--(-1/4,-7/8)));
label("5",(-3/2,9/8),NW);
label("5",(3/2,9/8),NE);
draw(((0,0)--(0,-9/8)));
label("3",(-3/2,-7/8),S);
label("3",(3/2,-7/8),S);
label("$r$",(0,5/4),E);
label("$4-r$",(0,-7/16),E);
draw(((0,0)--(-3,-7/8)--(0,-7/8)--cycle),black+1.5);
label("$r$",(-3/2,0));
[/asy] สามเหลี่ยมที่แสดงเป็นตัวหนาเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นเราจึงนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใช้เพื่อให้ได้สมการ $$3^2 + (4-r)^2 = r^2.$$การขยายตัวจะได้ $$25 - 8r + r^2 = r^2$$และดังนั้น $$25-8r = 0;$$คำตอบคือ $r=\frac{25}{8}=\boxed{3\frac18}$. | r=\frac{25}{8}=\boxed{3\frac18} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ล้อที่แสดงถูกหมุนสองครั้ง เพื่อให้ตัวเลขที่ชี้โดยเข็มถูกกำหนดแบบสุ่ม (โดยที่ตัวเลขแต่ละตัวบนล้อมีความน่าจะเป็นเท่ากัน) ตัวเลขสองตัวที่กำหนดในลักษณะนี้จะถูกบันทึก ตัวเลขแรกถูกหารด้วย 4 เพื่อกำหนดเศษเหลือหนึ่งในสามตัว คือ 1, 2, 3 ซึ่งทำเครื่องหมายคอลัมน์ของกระดานหมากรุก ตัวเลขที่สองถูกหารด้วย 5 เพื่อกำหนดเศษเหลือหนึ่งในสี่ตัว คือ 1, 2, 3, 4 ซึ่งทำเครื่องหมายแถวของกระดานหมากรุก สุดท้าย จะวางหมากรุกบนช่องที่คอลัมน์และแถวนี้มาบรรจบกัน จงหาความน่าจะเป็นที่หมากรุกจะถูกวางบนช่องที่แรเงาของกระดานหมากรุก
[asy]
unitsize(1cm);
draw(Circle((0,0),2),linewidth(0.7));
draw((1.7,1)--(-1.7,-1),linewidth(0.7));
draw((1.7,-1)--(-1.7,1),linewidth(0.7));
draw((0,2)--(0,-2));
label("1",(0.8,0.5),NW);
label("2",(0.8,-0.5),SW);
label("6",(-0.8,0.5),NE);
label("9",(-0.8,-0.5),SE);
label("3",(-0.7,0),W);
label("7",(0.7,0),E);
draw((-2.8,0)--(-2.1,0),Arrow);
label("Pointer",(-2.8,0),W);
fill((3,0)--(3,1)--(4,1)--(4,0)--cycle,gray(0.7));
fill((3,-2)--(3,-1)--(4,-1)--(4,-2)--cycle,gray(0.7));
fill((4,1)--(4,2)--(5,2)--(5,1)--cycle,gray(0.7));
fill((4,-1)--(4,0)--(5,0)--(5,-1)--cycle,gray(0.7));
fill((5,0)--(5,1)--(6,1)--(6,0)--cycle,gray(0.7));
fill((5,-2)--(5,-1)--(6,-1)--(6,-2)--cycle,gray(0.7));
draw((3,-2)--(3,2)--(6,2)--(6,-2)--cycle,linewidth(0.7));
draw((3,-1)--(6,-1),linewidth(0.7));
draw((3,0)--(6,0),linewidth(0.7));
draw((3,1)--(6,1),linewidth(0.7));
draw((4,-2)--(4,2),linewidth(0.7));
draw((5,-2)--(5,2),linewidth(0.7));
label("1",(3.5,-2),S);
label("2",(4.5,-2),S);
label("3",(5.5,-2),S);
label("1",(3,-1.5),W);
label("2",(3,-0.5),W);
label("3",(3,0.5),W);
label("4",(3,1.5),W);
[/asy] | เศษเหลือตัวแรกเป็นจำนวนคู่ด้วยความน่าจะเป็น $2/6=1/3$ และเป็นจำนวนคี่ด้วยความน่าจะเป็น 2/3 เศษเหลือตัวที่สองเป็นจำนวนคู่ด้วยความน่าจะเป็น $3/6=1/2$ และเป็นจำนวนคี่ด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ความเท่ากันของเศษเหลือตัวแรกและความเท่ากันของเศษเหลือตัวที่สองเป็นอิสระกัน เนื่องจากถูกกำหนดโดยการหมุนล้อแยกกัน
ช่องที่แรเงาคือช่องที่แสดงว่าเศษเหลือทั้งสองเป็นจำนวนคี่หรือทั้งสองเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นช่องนั้นจึงถูกแรเงาด้วยความน่าจะเป็น \[
\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} =\boxed{\frac{1}{2}}.
\] | 1/2 | [
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] |
คำนวณ: $\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}$ | แยกตัวประกอบ $3^3$ ออกจากตัวเศษ และ $3^2$ ออกจากตัวส่วน ก่อนที่จะลบกัน: \[
\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}=\frac{3^3(3-1)}{3^2(3-1)}=\boxed{3}.
\] | 3 | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
สามเหลี่ยม $PAB$ และสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ อยู่ในระนาบตั้งฉากกัน โดยที่ $PA=3$, $PB=4$, และ $AB=5$ จงหาค่าของ $PD$ [asy]
size(100); defaultpen(linewidth(0.8)); dotfactor=4;
draw((0,-0.5)--(0,3)--(5,3)--(5,-0.5)--cycle);
filldraw((0,0)--(-2,-2)--(3,-2)--(5,0)--cycle,white,defaultpen);
draw((1.5,0)--(3.5,0)--(3.5,2)--(1.5,2)--cycle);
draw((1.5,0)--(1.6,-0.5)--(3.5,0));
dot("$B$",(1.5,0),SW); dot("$A$",(3.5,0),SE); dot("$C$",(1.5,2),W); dot("$D$",(3.5,2),E); dot("$P$",(1.6,-0.5),S);
[/asy] | เนื่องจากส่วนของเส้นตรง $AD$ ตั้งฉากกับระนาบของ $PAB$ มุม $PAD$ เป็นมุมฉาก ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $PAD, PA=3$ และ $AD=AB=5$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส $PD = \sqrt{3^2+5^2}=\boxed{\sqrt{34}}$ ข้อเท็จจริงที่ว่า $PB=4$ ไม่จำเป็นต้องใช้ | PB=4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมวงใหญ่มีจุดศูนย์กลาง $O$ และผ่านจุด $D$ วงกลมวงเล็กมีเส้นผ่านศูนย์กลาง $OD$ พื้นที่สีเทาเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของพื้นที่วงกลมวงใหญ่?
[asy]import graph;
draw(Circle((0,0),30),black);
fill(Circle((0,-15),15),gray(.6));
draw(Circle((0,-15),15),black);
draw((0,0)--(0,-30),black);
label("O",(0,0),N);
label("D",(0,-30),S);
[/asy] | อัตราส่วนของรัศมีของวงกลมวงเล็กต่อวงกลมวงใหญ่คือ $\frac{1}{2}$ เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางมีขนาดครึ่งหนึ่ง ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่ของวงกลมวงเล็กต่อวงกลมวงใหญ่คือ $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ ดังนั้น พื้นที่สีเทาคือ $\boxed{25\%}$ ของพื้นที่วงกลมวงใหญ่
เพื่อให้เข้มงวดขึ้น: ถ้ารัศมีของวงกลมวงใหญ่คือ $r$ รัศมีของวงกลมวงเล็กคือ $\frac{1}{2} r$ ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่ของวงกลมวงเล็กต่อวงกลมวงใหญ่คือ: $\frac{\pi (\frac{1}{2} r)^2}{\pi r^2} = \frac{1}{4}$ | \frac{\pi (\frac{1}{2} r)^2}{\pi r^2} = \frac{1}{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฟาร์มของเอลเลียตมีไซโลสำหรับเก็บของ ไซโลเป็นทรงกระบอกวงกลมตรงที่มีกรวยวงกลมตรงอยู่ด้านบน ซึ่งมีรัศมีเท่ากัน ความสูงของกรวยครึ่งหนึ่งของความสูงของทรงกระบอก เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของไซโลมี 10 เมตร และความสูงของไซโลทั้งหมด 27 เมตร ปริมาตรของไซโลเป็นเท่าไรในหน่วยลูกบาศก์เมตร? แสดงคำตอบของคุณในรูปของ $\pi$.
[asy]
size(150);
draw((0,0)--(0,18)--(5,27)--(10,18)--(10,0),linewidth(1));
draw((0,0)..(5,-1)..(10,0),linewidth(1));
draw((0,0)..(5,1)..(10,0),linetype("0 4")+linewidth(1));
draw((0,18)..(5,17)..(10,18),linewidth(1));
draw((0,18)..(5,19)..(10,18),linetype("0 4")+linewidth(1));
draw((15,27)--(16,27),linewidth(1));
draw((15,0)--(16,0),linewidth(1));
draw((15.5,27)--(15.5,16),linewidth(1));
draw((15.5,0)--(15.5,11),linewidth(1));
label("27 meters",(15.5,13.5));
[/asy] | เริ่มต้นด้วยการสังเกตว่าถ้าอัตราส่วนของความสูงของกรวยต่อความสูงของทรงกระบอกเป็น 1:2 แล้ว อัตราส่วนของความสูงของกรวยต่อความสูงของไซโลทั้งหมดคือ 1:3 ดังนั้นความสูงของกรวยคือ $27/3=9$ เมตร และความสูงของทรงกระบอกคือ $18$ เมตร เราสามารถใช้สูตรสำหรับปริมาตรของทรงกระบอกและสูตรสำหรับปริมาตรของกรวย ที่มีรัศมีที่กำหนดคือ 5 ได้: $$V_{cone}=\frac{1}{3}\cdot b \cdot h=\frac{1}{3}\cdot (\pi\cdot 5^2)\cdot 9=75\pi$$$$V_{cylinder}=\pi r^2\cdot h=\pi 5^2\cdot 18=450\pi$$$$V_{silo}=V_{cone}+V_{cylinder}=75\pi+450\pi=\boxed{525\pi}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
สระ $A, B, C, J$ และ $K$ แทนสระน้ำ ซุงลอยออกจากสระ $A$ และลอยตามรางน้ำ (แสดงด้วยลูกศร) จนถึงสระ $B$ หรือสระ $C$ ในที่สุด เมื่อออกจากสระ ซุงมีโอกาสเท่ากันที่จะใช้รางน้ำที่ออกจากสระนั้นใดๆ ซุงสามารถลอยได้เฉพาะตามทิศทางที่ลูกศรชี้เท่านั้น จงหาความน่าจะเป็นที่ซุงในสระ $A$ จะไปสิ้นสุดที่สระ $B$ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
[asy]
label("$A$",(10,22),S);
label("$B$",(10,2),S);
label("$C$",(10,-7),S);
label("$J$",(2,13),S);
label("$K$",(10,12),S);
path a=(10,-10)..(20,0)--(0,0)..cycle;
path b=(10,-7)..(3,0)--(17,0)..cycle;
draw(a);
draw(b);
fill((3.1,0.1)--(16.9,0.1)--(16.9,-0.1)--(3.1,-0.1)--cycle,white);
draw(Circle((10,0),3));
draw(Circle((10,10),3));
draw(Circle((10,20),3));
draw((10,16.9)--(10,13.1),Arrow);
draw((10,6.9)--(10,3.1),Arrow);
draw(Circle((2,10),3));
draw((2,7)--(2.5,0),Arrow);
draw((1.5,7)--(0.2,0),Arrow);
draw((10,16.9)--(2,13.2),Arrow);
draw((10,16.9)--(19.8,0),Arrow);
draw((10,6.9)--(17.2,0),Arrow);
draw((3,8)--(10,3.1),Arrow);
[/asy] | มีเส้นทาง 2 เส้นทางจาก $A$ ไป $B$: $A$ ไป $K$ ไป $B$ และ $A$ ไป $J$ ไป $B$ ความน่าจะเป็นที่ซุงจะไปจาก $A$ ไป $K$ ไป $B$ คือ ความน่าจะเป็นที่มันจะเลือกรางน้ำตรงกลางในตอนแรก คูณด้วยความน่าจะเป็นที่มันจะเลือกรางน้ำทางขวาเมื่อกำหนดว่ามันเลือกใช้รางน้ำตรงกลางในตอนแรก: $\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}$ . ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่ซุงจะไปจาก $A$ ไป $J$ ไป $B$ คือ $\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}$ . รวมทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่ซุงจะไปถึง $B$ คือ $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}=\boxed{\frac{5}{18}}$. | \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}=\boxed{\frac{5}{18}} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีผู้คน 10 คน เข้าร่วมงานเลี้ยง ในระหว่างงานเลี้ยงทุกคนจับมือกับทุกคน มีการจับมือกันกี่ครั้งในงานเลี้ยง | เราสามารถเลือก 2 คนจากกลุ่ม 10 คนเพื่อจับมือกันโดยไม่คำนึงถึงลำดับใน $\binom{10}{2} = \boxed{45}$ วิธี | \binom{10}{2} = \boxed{45} | [
"ประยุกต์"
] |
เริ่มต้นที่จุด $A$ ในแผนภาพด้านล่าง โดราเลือกทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสี่ทิศทางที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ทุกครั้งที่เธอมาถึงทางแยก เธอจะเลือกทิศทางที่เป็นไปได้แบบสุ่มอีกครั้ง ความน่าจะเป็นที่เธอจะเดินวนรอบสี่เหลี่ยมสีเทาในสี่ก้าวแรกของเธอคือเท่าใด แสดงคำตอบของคุณเป็นเศษส่วนสามัญ [asy]size(100);
fill((1,1)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--cycle, gray(.6));
draw((0,0)--(0,3)--(3,3)--(3,0)--cycle, linewidth(1.5));
draw((0,1)--(3,1), linewidth(1.5));
draw((0,2)--(3,2), linewidth(1.5));
draw((1,0)--(1,3), linewidth(1.5));
draw((2,0)--(2,3), linewidth(1.5));
dot(MP("A", (1,2), NW));
[/asy] | วิธีเดียวที่โดราจะกลับมาที่จุดเริ่มต้นของเธอในสี่ก้าวคือการเดินตามด้านของสี่เหลี่ยมสีเทาทั้งสี่ด้าน เธอสามารถทำได้ในสองวิธี: ตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา ความน่าจะเป็นของแต่ละเส้นทางนี้คือ $\left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{1}{256}$ . ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เธอจะกลับมาที่จุดเริ่มต้นคือ $\dfrac{1}{256}+\dfrac{1}{256}=\boxed{\dfrac{1}{128}}$. | \dfrac{1}{256}+\dfrac{1}{256}=\boxed{\dfrac{1}{128}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนของคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนเต็ม ซึ่งพหุนาม $x^2 - ax + 24$ และ $x^2 - bx + 36$ มีรากร่วมกันหนึ่งราก | ให้ $r$ เป็นรากร่วมกัน ดังนั้น
\begin{align*}
r^2 - ar + 24 &= 0, \\
r^2 - br + 36 &= 0.
\end{align*}ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้ $(a - b) r + 12 = 0,$ ดังนั้น $r = \frac{12}{b - a}.$ แทนค่าลงใน $x^2 - ax + 24 = 0,$ เราได้
\[\frac{144}{(b - a)^2} - a \cdot \frac{12}{b - a} + 24 = 0.\]จากนั้น
\[144 - 12a(b - a) + 24(b - a)^2 = 0,\]ดังนั้น $12 - a(b - a) + 2(b - a)^2 = 0.$ จากนั้น
\[a(b - a) - 2(b - a)^2 = 12,\]ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(b - a)(3a - 2b) = 12.$
ให้ $n = b - a,$ ซึ่งต้องเป็นตัวประกอบของ 12. จากนั้น $3a - 2b = \frac{12}{n}.$ แก้สมการหา $a$ และ $b,$ เราได้
\[a = 2n + \frac{12}{n}, \quad b = 3n + \frac{12}{n}.\]เนื่องจาก $n$ เป็นตัวประกอบของ 12, $\frac{12}{n}$ ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ซึ่งหมายความว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น เราสามารถเลือก $n$ เป็นตัวหารของ 12 (รวมถึงตัวหารบวกและลบ) ได้ 12 ตัว ซึ่งนำไปสู่จำนวนคู่ $(a,b)$ เท่ากับ $oxed{12}$ คู่ | (a,b). | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามลูกบาศก์ $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ที่มีรากที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองราก มีสมบัติดังต่อไปนี้:
(i) ผลรวมของรากทั้งหมดเท่ากับสองเท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(ii) ผลรวมของกำลังสองของรากทั้งหมดเท่ากับสามเท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(iii) $f(1) = 1.$
จงหาค่าของ $c.$ | ให้ $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของพหุนามลูกบาศก์ จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
r + s + t &= -a, \\
rs + rt + st &= b, \\
rst &= -c.
\end{align*}จากเงื่อนไข (i), $-a = -2c,$ ดังนั้น $a = 2c.$
ยกกำลังสองสมการ $r + s + t = -a,$ เราจะได้
\[r^2 + s^2 + t^2 + 2(rs + rt + st) = a^2.\]ดังนั้น
\[r^2 + s^2 + t^2 = a^2 - 2(rs + rt + st) = a^2 - 2b.\]จากเงื่อนไข (ii), $a^2 - 2b = -3c,$ ดังนั้น
\[b = \frac{a^2 + 3c}{2} = \frac{4c^2 + 3c}{2}.\]สุดท้าย จากเงื่อนไข (iii), $f(1) = 1 + a + b + c = 1,$ ดังนั้น $a + b + c = 0.$ แทนค่าลงไปเราจะได้
\[2c + \frac{4c^2 + 3c}{2} + c = 0.\]สมการนี้สามารถลดรูปเป็น $4c^2 + 9c = 0.$ ดังนั้น $c(4c + 9) = 0,$ ดังนั้น $c = 0$ หรือ $c = -\frac{9}{4}.$
ถ้า $c = 0,$ แล้ว $a = b = 0,$ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขที่ว่า $f(x)$ มีรากที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองราก ดังนั้น $c = \boxed{-\frac{9}{4}}.$ | c = \boxed{-\frac{9}{4}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $\det \mathbf{A} = 4$ และ $\det \mathbf{B} = -5,$ แล้วจงหา $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}).$ | เราทราบว่า $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})(\det \mathbf{B}) = (4)(-5) = \boxed{-20}.$ | \det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})(\det \mathbf{B}) = (4)(-5) = \boxed{-20}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามเหลี่ยม $AXY$ มีความคล้ายคลึงกับสามเหลี่ยม $ZBC$ ถ้า $AX = 6$ เซนติเมตร, $ZB = 18$ เซนติเมตร และ $ZC = 63$ เซนติเมตร ความยาวของส่วน $AY$ เป็นเท่าไร, หน่วยเป็นเซนติเมตร? | เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกัน $\frac{AX}{ZB} = \frac{AY}{ZC}$ ดังนั้น $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แซลลี่มีลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน $s$ หน่วย โดยจำนวนหน่วยตารางในพื้นที่ผิวของลูกบาศก์เท่ากับ $\frac{1}{6}$ ของจำนวนหน่วยลูกบาศก์ในปริมาตร เธอยังต้องการทำสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จำนวนหน่วยตารางในพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับจำนวนหน่วยลูกบาศก์ในปริมาตรของลูกบาศก์ ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสควรเป็นเท่าไร? | ก่อนอื่นเราทราบว่าพื้นที่ผิวคือ 6 เท่าของพื้นที่ของแต่ละหน้า หรือ $6s^2$ และเราตั้งค่านี้เท่ากับ $\frac{1}{6}$ ของปริมาตร $$6s^2=\frac{1}{6}s^3\qquad\Rightarrow 36s^2=s^3 \qquad\Rightarrow s=36$$ตอนนี้เราต้องการสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน $a$ และพื้นที่ $a^2$ ที่มีพื้นที่เท่ากับปริมาตรของลูกบาศก์ $$a^2=s^3=36^3=(6^2)^3=6^6\qquad\Rightarrow a=\sqrt{6^6}=6^3=216$$ดังนั้นความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสควรเป็น $\boxed{216}$ | \boxed{216} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สลัดผลไม้สามารถทำได้จากผลไม้ 3 ชนิด จากผลไม้ 5 ชนิด ได้แก่ แอปเปิ้ล กล้วย องุ่น สตรอเบอร์รี่ และパイñaapple ถ้าสตรอเบอร์รี่และパイñaapple ไม่เข้ากัน และองุ่นกับกล้วยไม่น่ารับประทานด้วยกัน มีสลัดผลไม้กี่ชนิดที่อร่อยและน่ารับประทาน | จำนวนวิธีการเลือกผลไม้ที่เป็นไปได้คือ $\binom{5}{3} = 10$ อย่างไรก็ตาม หากสตรอเบอร์รี่และパイñaapple ไม่สามารถอยู่ด้วยกันได้ จำนวนการผสมผสานจะลดลง 3 วิธี (เพราะพวกมันสามารถจับคู่กับแอปเปิ้ล องุ่น หรือกล้วย) ในทำนองเดียวกัน หากองุ่นและกล้วยไม่สามารถอยู่ด้วยกันได้ จำนวนการผสมผสานจะลดลงอีก 3 วิธี ดังนั้น $10 - 3 - 3 = \boxed{4}$ สลัดผลไม้ดังกล่าวเป็นไปได้ | 10 - 3 - 3 = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งส่วนจริงของ $\frac{1}{z}$ เท่ากับ $\frac{1}{6}$ เซตนี้จะสร้างเป็นเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ของบริเวณภายในเส้นโค้ง | โดยทั่วไป ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน $z$ กำหนดโดย
\[\frac{z + \overline{z}}{2}.\]ดังนั้น ส่วนจริงของ $1/z$ เท่ากับ 1/6 ก็ต่อเมื่อ
\[\frac{\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}}}{2} = \frac{1}{6},\]หรือ
\[\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{3}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $3z \overline{z}$ เราได้
\[3z + 3 \overline{z} = z \overline{z}.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่เป็น
\[z \overline{z} - 3z - 3 \overline{z} + 9 = 9.\]ข้างซ้ายมือแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(z - 3)(\overline{z} - 3) = 9.\]เนื่องจาก $\overline{z} - 3$ เป็นสังยุคของ $z - 3$ สมการนี้กลายเป็น
\[|z - 3|^2 = 9.\][asy]
unitsize(0.5 cm);
draw(Circle((3,0),3),red);
draw((-0.5,0)--(6.5,0));
draw((0,-3)--(0,3));
filldraw(Circle((0,0),0.1),white,red);
label("Re", (6.5,0), NE);
label("Im", (0,3), NE);
dot("$3$", (3,0), N);
[/asy]
ดังนั้น $S$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีระยะห่าง 3 จากจำนวนเชิงซ้อน 3 (ยกเว้น 0) ซึ่งเป็นวงกลมรัศมี 3 ดังนั้น พื้นที่ของบริเวณภายในวงกลมคือ $\boxed{9 \pi}$. | \boxed{9 \pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พื้นที่ของสามเหลี่ยม $XYZ$ เท่ากับ 8 ตารางนิ้ว จุด $A$ และ $B$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง $\overline{XY}$ และ $\overline{XZ}$ ที่มีความยาวเท่ากัน ตามลำดับ ส่วนสูง $\overline{XC}$ แบ่ง $\overline{YZ}$ เป็นสองส่วนเท่ากัน จงหาพื้นที่ (เป็นตารางนิ้ว) ของบริเวณที่แรเงา [asy]
/* AMC8 2002 #20 Problem */
draw((0,0)--(10,0)--(5,4)--cycle);
draw((2.5,2)--(7.5,2));
draw((5,4)--(5,0));
fill((0,0)--(2.5,2)--(5,2)--(5,0)--cycle, mediumgrey);
label(scale(0.8)*"$X$", (5,4), N);
label(scale(0.8)*"$Y$", (0,0), W);
label(scale(0.8)*"$Z$", (10,0), E);
label(scale(0.8)*"$A$", (2.5,2.2), W);
label(scale(0.8)*"$B$", (7.5,2.2), E);
label(scale(0.8)*"$C$", (5,0), S);
fill((0,-.8)--(1,-.8)--(1,-.95)--cycle, white);
[/asy] | ส่วนของเส้นตรง $\overline{AD}$ และ $\overline{BE}$ ถูกวาดตั้งฉากกับ $\overline{YZ}$ ส่วนของเส้นตรง $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ และ $\overline{BC}$ แบ่ง $\triangle XYZ$ ออกเป็นสี่สามเหลี่ยมที่เท่ากัน ส่วนของเส้นตรงแนวตั้ง $\overline{AD}$, $\overline{XC}$ และ $\overline{BE}$ แบ่งแต่ละส่วนออกเป็นครึ่งหนึ่ง สามในแปดสามเหลี่ยมเล็กๆ ถูกแรเงา หรือ $ rac{3}{8}$ ของ $\triangle XYZ$ พื้นที่ที่แรเงาคือ $ rac{3}{8}(8) = \boxed{3}$. [asy]
/* AMC8 2002 #20 Solution */
draw((0,0)--(10,0)--(5,4)--cycle);
draw((2.5,2)--(7.5,2));
fill((0,0)--(2.5,2)--(5,2)--(5,0)--cycle, mediumgrey);
draw((5,4)--(5,0), linewidth(0.8));
label(scale(0.8)*"$X$", (5,4), N);
label(scale(0.8)*"$Y$", (0,0), W);
label(scale(0.8)*"$Z$", (10,0), E);
label(scale(0.8)*"$A$", (2.5,2.2), W);
label(scale(0.8)*"$B$", (7.5,2.2), E);
label(scale(0.8)*"$C$", (5,0), S);
label(scale(0.8)*"$D$", (2.5,0), S);
label(scale(0.8)*"$E$", (7.5,0), S);
draw((2.5,0)--(2.5,2)--(7.5,2)--(7.5,0));
draw((2.5,2)--(5,0)--(7.5,2));
fill((0,-.8)--(1,-.8)--(1,-.95)--cycle, white);
[/asy] | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่น้อยกว่า $100\pi$? | จากความรู้เกี่ยวกับการ展开ทศนิยมของ $\pi$ เราสามารถประมาณได้ว่า $100 \pi \approx 314.15$ ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $100\pi$ คือ 314. ดังนั้นจำนวนเต็มบวกคือ 1, 2, 3, $\ldots$, 313, 314 รวมทั้งหมด $\boxed{314}$ จำนวน | \boxed{314} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเฉพาะที่มากที่สุด (ในรูปทศนิยม) ที่หารผลบวก $$ 1_2 + 10_2 + 100_2 + \cdots + 100000000_2. $$ ลงตัว | เราสามารถเห็นได้ว่า \begin{align*}
1_2 + 10_2 + 100_2 + \cdots + 100000000_2 &= 111111111_2 \\
&= 1000000000_2 - 1\\
& = 2^9 - 1.
\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $2^9 - 1 = 8^3 - 1$ เป็นผลต่างของกำลังสามเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น: $$ 8^3 - 1 = (8 - 1)(8^2 + 8 + 1) = 7 \cdot 73. $$เนื่องจาก $\boxed{73}$ เป็นจำนวนเฉพาะ จึงเป็นตัวหารเฉพาะที่มากที่สุดของผลบวก | \boxed{73} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามคู่ไปดูหนัง พวกเขาต้องการนั่งด้วยกันเพื่อความเพลิดเพลินสูงสุด แต่กลับเข้าแถวแบบสุ่มในแถวที่มีหกที่นั่ง ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะนั่งในรูปแบบที่เหมาะสมทางสังคม คือ แต่ละคนนั่งอยู่ติดกับคู่ของตนเองคือเท่าไร? | มี $\binom{6}{2} = 15$ วิธีในการเลือกคนที่จะนั่งในสองที่นั่งแรก และมี 3 วิธีสำหรับสองคนที่เป็นคู่ มีความน่าจะเป็น $3/15 = 1/5$ ที่สองที่นั่งแรกจะเป็นคู่ หากคู่หนึ่งนั่งสำเร็จ มี $\binom{4}{2} = 6$ วิธีในการนั่งในสองที่นั่งถัดไป และมี 2 วิธีสำหรับสองคนที่เป็นคู่ (คุณสามารถเลือกคู่ใดคู่หนึ่งจากสองคู่ที่เหลือ) ความน่าจะเป็น $2/6 = 1/3$ ที่สองที่นั่งนั้นเป็นคู่ หากสองคู่แรกนั่งสำเร็จ สองที่นั่งสุดท้ายจะได้รับการการันตีว่าจะเป็นของคู่สุดท้าย ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ทุกอย่างเป็นไปด้วยดีคือ $1/5 \cdot 1/3 = \boxed{\frac{1}{15}}$. | 1/5 \cdot 1/3 = \boxed{\frac{1}{15}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ $\sin 30^\circ$. | กำหนดให้ $P$ เป็นจุดบนวงกลมหน่วยซึ่งอยู่ห่างจาก $(1,0)$ ไปทางทวนเข็มนาฬิกา $30^\circ$ และให้ $D$ เป็นจุดที่ตั้งฉากจาก $P$ ลงบนแกน $x$ ดังภาพด้านล่าง
[asy]
pair A,C,P,O,D;
draw((0,-1.2)--(0,1.2),p=black+1.2bp,Arrows(0.15cm));
draw((-1.2,0)--(1.2,0),p=black+1.2bp,Arrows(0.15cm));
A = (1,0);
O= (0,0);
label("$x$",(1.2,0),SE);
label("$y$",(0,1.2),NE);
P = rotate(30)*A;
D = foot(P,A,-A);
draw(O--P--D);
draw(rightanglemark(O,D,P,2));
draw(Circle(O,1));
label("$O$",O,SE);
label("$P$",P,NE);
//label("$A$",A,SE);
label("$D$",D,S);
[/asy]
สามเหลี่ยม $POD$ เป็นสามเหลี่ยม 30-60-90 ดังนั้น $DO = \frac{\sqrt{3}}{2}$ และ $DP = \frac12$ ดังนั้นพิกัดของ $P$ คือ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac12\right)$ ดังนั้น $\sin 30^\circ = \boxed{\frac{1}{2}}$ | $\sin 30^\circ = \boxed{\frac{1}{2}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีผู้คน 190 คนอยู่ที่ชายหาด 110 คนสวมแว่นกันแดด 70 คนสวมชุดว่ายน้ำ และ 95 คนสวมหมวก ทุกคนสวมอย่างน้อยหนึ่งรายการในสามรายการนี้ 30 คนสวมทั้งชุดว่ายน้ำและแว่นกันแดด 25 คนสวมทั้งชุดว่ายน้ำและหมวก 40 คนสวมทั้งแว่นกันแดดและหมวก มีกี่คนที่สวมทั้งสามรายการ? | ให้ $x$ เป็นจำนวนคนที่สวมทั้งสามรายการ เนื่องจากมี 30 คนสวมชุดว่ายน้ำและแว่นกันแดด เราทราบว่า $30 - x$ คนสวมเพียงชุดว่ายน้ำและแว่นกันแดดเท่านั้น ในทำนองเดียวกัน $25 - x$ คนสวมเพียงชุดว่ายน้ำและหมวก ในขณะที่ $40 - x$ คนสวมเพียงแว่นกันแดดและหมวก
เพื่อหาจำนวนคนที่สวมแว่นกันแดดเท่านั้น เราลบจำนวนคนที่สวมแว่นกันแดดพร้อมกับรายการอื่นๆ ออกจากจำนวนทั้งหมดของคนที่สวมแว่นกันแดด ซึ่งก็คือ $110 - (30 - x) - (40 - x) - x = 40 + x$ ในทำนองเดียวกัน จำนวนคนที่สวมหมวกเท่านั้นคือ $30 + x$ ในขณะที่จำนวนคนที่สวมชุดว่ายน้ำเท่านั้นคือ $15 + x$
เนื่องจากจำนวนผู้คนทั้งหมดที่ชายหาดคือ 190 คน และทุกคนสวมหนึ่งในรายการเหล่านี้ เราจึงมี: \begin{align*}
190 &= (15 + x) + (40 + x) + (30 + x) \\
&\qquad+ (25 - x ) + (30 - x) + (40 - x) + x\\
&= 180 + x.
\end{align*} จากนั้นเราสามารถแก้สมการเพื่อหาค่า $x$ ดังนั้นจำนวนคนที่ชายหาดสวมทั้งสามรายการคือ $x = \boxed{10}$. | x = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงคำนวณค่าของ $\sin 90^\circ$. | การหมุนจุด $(1,0)$ รอบจุดกำเนิดทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ จะได้จุด $(0,1)$ ดังนั้น $\sin 90^\circ = \boxed{1}$. | \sin 90^\circ = \boxed{1} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จักรยานกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 20 ฟุตต่อนาที จงหาความเร็วของจักรยานที่แสดงเป็นนิ้วต่อวินาที | มี 12 นิ้วใน 1 ฟุต ดังนั้นจักรยานกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 12(20) = 240 นิ้วต่อนาที มี 60 วินาทีใน 1 นาที ดังนั้นจักรยานกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $\frac{240}{60}=\boxed{4}$ นิ้วต่อวินาที | $\frac{240}{60}=\boxed{4}$ | [
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 1000 ที่มีจำนวนหารบวกที่แตกต่างกันちょうど 3 ตัว มีกี่จำนวน | จากสูตรสำหรับจำนวนหารบวกทั้งหมด จำนวนธรรมชาติที่มีเพียง 3 หารบวกเท่านั้นจะอยู่ในรูป $p^{2}$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ บางจำนวน ดังนั้นเราต้องนับจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 และ $\sqrt{1000}$ (กำลังสองของจำนวนเฉพาะเหล่านี้คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 1000 ที่มีเพียง 3 หารบวก) มีจำนวนเฉพาะ $\boxed{11}$ จำนวน: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 และ 31 | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $\frac12x^2+99x+c=0$ คือ $x=-99+\sqrt{8001}$ และ $x=-99-\sqrt{8001}$ แล้วค่าของ $c$ คือเท่าใด | โดยสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ $$x=\frac{-(99)\pm\sqrt{(99)^2-4(\frac12)c}}{2(\frac12)},$$ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $$x=-99\pm\sqrt{9801-2c}.$$ค่านี้เหมือนกับที่เราต้องการ ยกเว้นว่าเราต้องทำให้ค่า $9801-2c$ ใต้รากที่สองเท่ากับ $8001$ ดังนั้น เราแก้สมการ $9801-2c=8001$ ซึ่งจะได้ $c=\boxed{900}$ | c=\boxed{900} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบอลสีเขียว 5 ลูก และลูกบอลสีแดง 2 ลูก มีน้ำหนักรวม 10 ปอนด์ และลูกบอลสีเขียว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 4 ลูก มีน้ำหนักรวม 7 ปอนด์ ถ้าลูกบอลสีแดงทั้งหมดมีน้ำหนักเท่ากัน และลูกบอลสีเขียวทั้งหมดมีน้ำหนักเท่ากัน แล้วลูกบอลสีแดง 8 ลูก และลูกบอลสีเขียว 8 ลูก มีน้ำหนักรวมกันเท่าไร | จงหาผลรวมของน้ำหนักของลูกบอลสีเขียวและลูกบอลสีแดง 1 ลูก
ดังที่กล่าวมาแล้ว $5g + 2r =10$ และ $g+4r=7.$ ก่อนที่จะแก้ระบบสมการนี้ เราสังเกตว่าเราต้องการ $8g+8r,$ ซึ่งเท่ากับ $8(g+r).$ ดังนั้น ถ้าเราสามารถหา $g+r$ ได้ เราก็สามารถหา น้ำหนักรวมของลูกบอลได้ $\emph{โดยไม่ต้องหา น้ำหนักของลูกบอลแต่ละลูก}.$ เมื่อพิจารณาสมการของเรา เราเห็น $6g$ และ $6r$ บนด้านซ้าย ดังนั้น การบวกทั้งสองสมการจะทำให้เราได้ $g+r.$ การบวกสมการจะได้ $6g+6r = 17,$ และการหารทั้งสองข้างด้วย $6$ จะได้ $$g+r = \frac{17}{6}.$$ ดังนั้น เรามี $$8g+8r= 8(g+r) = 8\cdot\frac{17}{6} = \boxed{\frac{68}{3}\text{ ปอนด์}}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7,\]จงหาค่าของ
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix}.\] | เราทราบว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7.\]ถ้าเราคูณแถวที่สองด้วย 2 เราจะได้
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d & 2e & 2f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]การบวกห้าเท่าของแถวที่สามเข้ากับแถวที่สองจะไม่เปลี่ยนค่าของดีเทอร์มิแนนต์:
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]จากนั้นการคูณแถวที่สามด้วย $-1$ จะให้เรา
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix} = \boxed{14}.\] | 14 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หกจุดถูกกระจายอย่างเท่าๆ กันรอบวงกลมที่มีรัศมี 1 หน่วย สามจุดในหกจุดนี้เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหรือรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เท่ากับเท่าไร | รูปสามเหลี่ยมหน้าไม่เท่า (ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหรือรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ที่เป็นไปได้เพียงรูปเดียว (ไม่นับถึงความสมภาค) ที่สามารถสร้างจากจุดที่กำหนดให้แสดงไว้ด้านล่าง: [asy] markscalefactor /= 2;size(4cm); draw(unitcircle); for(int i=0; i<6; ++i) dot(dir(60*i)); draw(dir(120)--dir(60)--dir(-60)--cycle); dot((0,0)); draw((0,0)--dir(60),dotted); draw(rightanglemark(dir(-60),dir(60),dir(120)));[/asy] (เพื่อดูว่านี่คือรูปสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียว โปรดทราบว่าถ้าไม่มีจุดใดๆ สองจุดที่อยู่ติดกัน รูปสามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น จุดสองจุดต้องอยู่ติดกัน แต่จุดที่สามไม่สามารถอยู่ติดกับจุดใดจุดหนึ่งในสองจุดนั้นได้ เพราะจะสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) เนื่องจากด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม รูปสามเหลี่ยมนี้จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านอื่นๆ ของรูปสามเหลี่ยมมีขนาด 1 และ $\sqrt{3}$ ตามลำดับ เนื่องจากมันล้อมรอบส่วนโค้ง $60^\circ$ และ $120^\circ$ ของวงกลม ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ \[\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \boxed{\frac{\sqrt3}{2}}.\] | 120^\circ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แปลง $1230_4$ เป็นเลขฐานสิบ | เราได้ว่า \begin{align*} 1230_4 &= 1(4^3)+ 2(4^2) +3(4^1)+ 0(4^0) \\
&= 1(64)+2(16)+3(4)+0(1)\\
&= 64 + 32 + 12 + 0\\
&= \boxed{108}.
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
ชมรมของเรามีสมาชิก 25 คน และต้องการเลือกประธาน เลขานุการ และเหรัญญิก โดยสมาชิกแต่ละคนสามารถดำรงตำแหน่งได้ไม่เกิน 1 ตำแหน่ง มีวิธีเลือกคณะกรรมการได้กี่วิธี? | ประธานสามารถเป็นได้ 25 คน เลขานุการสามารถเป็นได้ 24 คนที่เหลือ และเหรัญญิกสามารถเป็นได้ 23 คนที่เหลือ ดังนั้นมี $25\times 24\times 23=\boxed{13,\!800}$ วิธี | 25\times 24\times 23=\boxed{13,\!800} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $a$ ทั้งหมดที่ทำให้กราฟของ $y=x^2+a$ และกราฟของ $y=ax$ ตัดกัน. แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | ถ้ากราฟทั้งสองตัดกัน จุดตัดจะเกิดขึ้นเมื่อ \[x^2+a=ax,\] หรือ \[x^2-ax+a=0.\] สมการกำลังสองนี้จะมีคำตอบเมื่อและเฉพาะเมื่อ เงื่อนไขของการมีคำตอบไม่เป็นลบ: \[(-a)^2-4\cdot1\cdot a\geq0.\] ซึ่งจะลดรูปเป็น \[a(a-4)\geq0.\] สมการกำลังสอง (ใน $a$) นี้ไม่เป็นลบเมื่อ $a$ และ $a-4$ เป็นทั้ง $\ge 0$ หรือทั้ง $\le 0$. นี่เป็นจริงสำหรับ $a$ ใน $$(-\infty,0]\cup[4,\infty).$$ ดังนั้นเส้นตรงและพาราโบลาตัดกันเมื่อ $a$ อยู่ใน $\boxed{(-\infty,0]\cup[4,\infty)}$. | \boxed{(-\infty,0]\cup[4,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ามุมทั้งหมดวัดเป็นองศา อัตราส่วนของสามเท่าของขนาดของ $\angle A$ ต่อสี่เท่าของขนาดของส่วนประกอบของ $\angle A$ ต่อครึ่งหนึ่งของขนาดของส่วนเสริมของ $\angle A$ คือ $3:14:4$ ขนาดของส่วนประกอบของ $\angle A$ มีค่าเท่าใดเป็นองศา | ให้ $x$ เป็นจำนวนองศาในขนาดของ $\angle A$ จากข้อมูล "อัตราส่วนของสามเท่าของขนาดของ $\angle A$ ต่อสี่เท่าของขนาดของส่วนประกอบของ $\angle A$ คือ $3:14$ " เราได้ \[
\frac{3x}{4(90-x)}=\frac{3}{14},
\]คูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{2}{3}$ และล้างตัวส่วน เราพบ $$7x=180-2x\implies 9x=180\implies x=20.$$ขนาดของส่วนประกอบของ 20 องศาคือ $\boxed{70}$ องศา
หมายเหตุ: สมมติฐาน "ถ้ามุมทั้งหมดวัดเป็นองศา" ไม่จำเป็น มุมถูกกำหนดโดยข้อมูลที่กำหนดไว้โดยไม่คำนึงถึงหน่วยที่ใช้ | \boxed{70} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พื้นที่ผิวข้างของส่วนกรวยตัดของกรวยรูปทรงปริซึมด้านขวาเป็นผลคูณของครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นเอียง ($L$) และผลรวมของเส้นรอบวงของหน้าวงกลมทั้งสอง มีพื้นที่ผิวทั้งหมดของส่วนกรวยตัดที่แสดงอยู่เท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร แสดงคำตอบของคุณในรูปของ $\pi$.
[asy]
draw( scale(1,.2)*arc(origin,10,180,360) ) ;
draw( scale(1,.2)*arc(origin,10,15,165) , dashed ) ; //yes, there is a gap
draw( (-10,0)--(10,0) , dotted ) ;
label("20cm",(0,0),S);
draw((0,0)--(0,8));
label("8cm",(0,4),E);
draw( shift(0,8)*scale(1,.2)*circle(origin,4) ) ;
draw( (-4,8)--(4,8) , dotted ) ;
label("8cm",(0,8),N);
draw((-10,0)--(-4,8));
draw((10,0)--(4,8));
label("$L$",(5,4),NE);
[/asy] | เส้นรอบวงของฐานมีค่า $2 \pi \cdot 4 = 8 \pi$ และ $2 \pi \cdot 10 = 20 \pi$ เพื่อหาความยาวเส้นเอียง เราลากเส้นตั้งฉาก
[asy]
unitsize(0.3 cm);
draw((-10,0)--(10,0)--(4,8)--(-4,8)--cycle);
draw((4,0)--(4,8));
draw((-4,0)--(-4,8));
label("$8$", (0,0), S);
label("$6$", (7,0), S);
label("$6$", (-7,0), S);
label("$8$", (0,8), N);
label("$8$", (4,4), W);
label("$L$", (7,4), NE);
[/asy]
เราได้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 และ 8 ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $L = 10$.
ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดของส่วนกรวยตัด รวมทั้งฐานทั้งสอง มีค่าเท่ากับ \[\pi \cdot 4^2 + \pi \cdot 10^2 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (8 \pi + 20 \pi) = \boxed{256 \pi}.\] | L = 10 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนใดที่เท่ากับ $$\frac{\sqrt{25-16}}{\sqrt{25}-\sqrt{16}}$$? | คำนวณ $$\frac{\sqrt{25-16}}{\sqrt{25}-\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{9}}{5-4}=\frac{3}{1}=\boxed{3}.$$ | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
อัตราส่วนของ $x$ ต่อ $y$ เป็น $1$ ต่อ $2$ ค่าของ $x$ คือเท่าใด ถ้า $y=4x-36$? | ให้เขียนประโยคแรกเป็นสมการ: \begin{align*}
\frac{x}{y} &= \frac{1}{2}, \\
2x &= y.
\end{align*}
จากนั้น แทนค่านี้ลงในสมการที่กำหนดเพื่อหาค่า $x$: \begin{align*}
2x &= 4x - 36, \\
36 &= 2x, \\
\boxed{18} &= x.
\end{align*} | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าที่ง่ายที่สุดของ $\frac{10! + 11! + 12!}{10! + 11!}$ | เราทำการแยกตัวประกอบเล็กน้อย โดยใช้สมบัติของแฟกทอเรียล:
\[\frac{10! + 11! + 12!}{10! + 11!} = \frac{10!(1+11+11\cdot 12)}{10!(1+11)} = \frac{1+11+11\cdot 12}{12} = \frac{12 + 11 \cdot 12}{12} = \frac{12\cdot 12}{12} = \boxed{12}.\] | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค.ร.น. ของ $6!$ และ $(4!)^2.$ | เราใช้การแยกตัวประกอบของ $6!$ และ $(4!)^2$ เพื่อหา ค.ร.น. (เช่นเดียวกับที่เราทำกับคู่ของจำนวนเต็มส่วนใหญ่): $$ \begin{array}{rcrcr} 6! &=& 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &=& 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \\ (4!)^2 &=& (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)^2 &=& 2^6 \cdot 3^2 \\ \text{lcm}[6!, (4!)^2] &=& 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^1 &=& \boxed{2880} \end{array} $$ | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] | |
จงหา khoảng cáchระหว่างโฟกัสของไฮเปอร์โบลา
\[\frac{x^2}{50} - \frac{y^2}{22} = 2.\] | ก่อนอื่น เราหารทั้งสองข้างด้วย 2 เพื่อได้
\[\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{44} = 1.\]จากนั้น $a^2 = 100$ และ $b^2 = 44$ ดังนั้น $c^2 = 144$ และ $c = 12$ ดังนั้น ระยะห่างระหว่างโฟกัสคือ $2c = \boxed{24}.$ | 2c = \boxed{24}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาการฉายของเวกเตอร์ $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ไปบนเวกเตอร์ $\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}.$ | จากสูตรการฉายเวกเตอร์,
\[\operatorname{proj}_{\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}}{\left\| \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} \right\|^2} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{6}{65} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 48/65 \\ 6/65 \end{pmatrix}}.\] | [
"นำไปใช้"
] | |
จงหาค่าของ
\[\prod_{n = 1}^{2004} \frac{n^2 + 2n - 1}{n^2 + n + \sqrt{2} - 2}.\] | เราสามารถนำหลักการของผลต่างกำลังสองมาใช้กับตัวเศษ:
\[n^2 + 2n - 1 = (n + 1)^2 - 2 = (n + 1 + \sqrt{2})(n + 1 - \sqrt{2}).\]เราสามารถแยกตัวประกอบตัวส่วนได้ดังนี้:
\[n^2 + n + \sqrt{2} - 2 = (n + \sqrt{2}) + (n^2 - 2) = (n + \sqrt{2}) + (n + \sqrt{2})(n - \sqrt{2}) = (n + \sqrt{2})(n - \sqrt{2} + 1).\]ดังนั้น,
\[\frac{n^2 + 2n - 1}{n^2 + n + \sqrt{2} - 2} = \frac{(n + 1 + \sqrt{2})(n + 1 - \sqrt{2})}{(n + \sqrt{2})(n - \sqrt{2} + 1)} = \frac{n + 1 + \sqrt{2}}{n + \sqrt{2}}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\prod_{n = 1}^{2004} \frac{n^2 + 2n - 1}{n^2 + n + \sqrt{2} - 2} &= \prod_{n = 1}^{2004} \frac{n + 1 + \sqrt{2}}{n + \sqrt{2}} \\
&= \frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{3 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} \dotsm \frac{2005 + \sqrt{2}}{2004 + \sqrt{2}} \\
&= \frac{2005 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \\
&= \frac{(2005 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} \\
&= \frac{2004 \sqrt{2} - 2003}{1} \\
&= \boxed{2004 \sqrt{2} - 2003}.
\end{align*} | 2004√2 - 2003 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลรวม $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} +\cdots + \frac{1}{9900}$ เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ก่อนอื่น ตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้บางครั้งเรียกว่า ``จำนวนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า'' เนื่องจากสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างน้อยกว่าความยาว 1 หน่วย: $1 \times 2 = 2, 2 \times 3 = 6, 3 \times 4 = 12, 4 \times 5 = 20$ เป็นต้น ตัวส่วนตัวสุดท้ายในนิพจน์คือ $99 \times 100 = 9900$ มาลองหาผลรวมของพจน์ทีละไม่กี่พจน์และดูว่าเราสังเกตเห็นรูปแบบหรือไม่
\begin{align*}
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} &= \frac{2}{3}, \\
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} &= \frac{3}{4}, \\
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} &= \frac{4}{5},
\end{align*}และอื่นๆ ผลรวมของพจน์ $n$ ตัวแรกดูเหมือนจะเป็น $\frac{n}{n + 1}.$
สมมติว่า
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{(n - 1)n} + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}.\]แล้ว
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{(n - 1)n} = \frac{n - 1}{n} = 1 - \frac{1}{n}.\]ลบสมการเหล่านี้ เราจะได้
\[\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}.\]โปรดทราบว่าเราสามารถตรวจสอบเอกลักษณ์นี้ทางพีชคณิตได้:
\[\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n(n + 1)} - \frac{n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}.\]ดังนั้น ผลรวมของเศษส่วน 99 ตัวในนิพจน์คือ
\begin{align*}
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} +\cdots + \frac{1}{9900} &= \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \\
&= 1 - \frac{1}{100} = \boxed{\frac{99}{100}}.
\end{align*} | \frac{99}{100} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $|{-1+i\sqrt3}|$. | เราคำนวณ $|{-1+i\sqrt3}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt4 = \boxed{2}$. | 2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับจำนวนจริง $t,$ จุด
\[(x,y) = (\cos t, \cos 2t)\]ถูกพล็อตลงบนกราฟ จุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่บนเส้นโค้งประเภทใด?
(A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) พาราโบลา
(D) วงรี
(E) ไฮเพอร์โบลา
กรุณาใส่ตัวอักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง. | สังเกตว่า
\[y = \cos 2t = 2 \cos^2 t - 1 = 2x^2 - 1,\]ดังนั้นจุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดจะอยู่บนพาราโบลา ตอบ $\boxed{\text{(C)}}.$ | \boxed{\text{(C)}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $n$ กี่จำนวนที่ $2 \le n \le 100$ ซึ่ง $\binom{n}{2}$ เป็นจำนวนคี่? | $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ เพื่อให้เศษส่วนนี้เป็นจำนวนคี่ $n$ หรือ $n-1$ ไม่สามารถหารด้วย $4$ ได้ เพราะว่า $n$ และ $n-1$ จะมีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่เป็นจำนวนคู่ มีจำนวนเต็ม $25$ จำนวนที่ $n$ หารด้วย $4$ ได้ ซึ่งเป็นตัวคูณของ $4$ ตั้งแต่ $4$ ถึง $100$ มีจำนวนเต็ม $24$ จำนวนที่ $n-1$ หารด้วย $4$ ได้ เราสามารถหาจำนวนเต็มเหล่านี้ได้โดยการเพิ่มค่าของตัวคูณของ $4$ ทั้งหมดด้วย $1$ แต่เราต้องไม่รวม $100$ เนื่องจาก $100+1 = 101 > 100$ ดังนั้นมีจำนวนเต็มที่ไม่ถูกต้อง $49$ จำนวน ดังนั้นมีจำนวนเต็มที่ถูกต้อง $99 - 49 = \boxed{50}$ จำนวน | 99 - 49 = \boxed{50} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คณะกรรมการวุฒิสภาประกอบด้วยพรรคเดโมแครต 5 คน พรรครีพับลิกัน 5 คน และอิสระ 1 คน มีวิธีจัดที่นั่งรอบโต๊ะกลมกี่วิธี หากสมาชิกในแต่ละพรรคต้องนั่งติดกัน (การนั่งที่ถือว่าเหมือนกันคือการหมุนโต๊ะ) | เลือกที่นั่งใดๆ ที่จะให้สมาชิกอิสระนั่ง -- ไม่สำคัญว่าจะเลือกที่นั่งไหน เพราะเราสามารถหมุนโต๊ะได้ เมื่อเลือกที่นั่งของสมาชิกอิสระแล้ว พรรคเดโมแครตจะนั่งทางซ้ายทั้งหมด และพรรครีพับลิกันจะนั่งทางขวา หรือในทางกลับกัน ในกรณีใดๆ ก็ตาม จะมี $5!$ วิธีในการจัดที่นั่งของพรรคเดโมแครต และ $5!$ วิธีในการจัดที่นั่งของพรรครีพับลิกัน ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดที่นั่งรอบโต๊ะคือ $2\cdot5!\cdot5!=2\cdot120\cdot120=\boxed{28800}$ | 2\cdot5!\cdot5!=2\cdot120\cdot120=\boxed{28800} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\left(2^{\left(1\frac{1}{4}\right)}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(4^{\left(3\frac{1}{8}\right)}\right)^{\frac{2}{25}}$. | นอกจากความรู้เกี่ยวกับการใช้จำนวนผสมแล้ว การแก้ปัญหานี้ยังต้องอาศัยสมบัติของเลขชี้กำลังสองประการ: \[a^b \cdot a^c = a^{b+c}\] และ \[\left(l^m\right)^n = l^{m \cdot n}.\] โดยคำนึงถึงสมบัติเหล่านี้ เราสามารถดำเนินการต่อไปเพื่อทำให้ 식 सरลง \begin{align*}
\left(2^{\left(1\frac{1}{4}\right)}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(4^{\left(3\frac{1}{8}\right)}\right)^{\frac{2}{25}}
&= \left(2^{\frac{5}{4}}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(4^{\frac{25}{8}}\right)^{\frac{2}{25}}\\
&= 2^{\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5}} \cdot 4^{\frac{25}{8} \cdot \frac{2}{25}}\\
&= 2^{\frac{2}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{2}{8}}\\
&= 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{2 \cdot \frac{1}{4}}\\
&= 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}\\
&= 2^{(\frac{1}{2} + \frac{1}{2})}\\
&= \boxed{2}.
\end{align*} | 2 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ A = 1, B = 2, C = 3, ..., Z = 26 ค่าของคำคือผลคูณของค่าของตัวอักษรในคำนั้น ตัวอย่างเช่น คำ CAB มีค่าเท่ากับ 3 × 1 × 2 = 6 คำภาษาอังกฤษทั่วไปคำไหนจะมีค่าเท่ากับ 715 คำนี้ไม่จำเป็นต้องมีความยาว 3 ตัวอักษร | แยกตัวประกอบ 715 เป็น $715=5\cdot11\cdot13$. วิธีเดียวที่จะเขียน 715 เป็นผลคูณของจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 คือการจัดกลุ่มตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน: \begin{align*}
(5)\cdot (11) \cdot (13) &= 5\cdot 11\cdot 13 \\
(5\cdot11)\cdot 13&=55\cdot 13 \\
5\cdot(11\cdot 13) &= 5\cdot 143 \\
(5\cdot 13) \cdot 11 &= 65 \cdot 11\text{, and}\\
(5\cdot11\cdot13)&=715,
\end{align*} โดยวิธีสุดท้ายเป็นผลคูณที่มีตัวประกอบเพียงตัวเดียว เนื่องจากตัวอักษรไม่สามารถแทนจำนวนที่มากกว่า 26 ได้ ดังนั้น $5\cdot11\cdot 13$ เท่านั้นที่สามารถคำนวณได้จากค่าของคำ ตัวอักษรตัวที่ 5, 11 และ 13 ของตัวอักษรคือ E, K และ M เนื่องจาก E, K และ M ไม่ได้สร้างคำ เราจึงนำตัวอักษร A (ซึ่งไม่ส่งผลต่อผลคูณเนื่องจากค่าของมันคือ 1) มาสร้างคำ $\boxed{\text{MAKE}}$. | \boxed{\text{MAKE}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อ $35^{12}$ เขียนในรูปทศนิยมหลักหน่วยจะเป็นเท่าใด | หลักหน่วยของ $35^{12}$ เหมือนกับหลักหน่วยของ $5^{12}$ หลักหน่วยของ 5 ยกกำลังด้วยจำนวนเต็มบวกใดๆ จะเท่ากับ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \begin{cases}
-x^2 - 1 &\text{if }x<0, \\
2&\text{if }0 \le x< 4, \\
\sqrt{x}&\text{if }x \ge 4.
\end{cases}
\]จงหา $f(\pi)$. | เนื่องจาก $\pi$ มีค่าประมาณ 3.14 เราใช้กรณีที่สอง ดังนั้น $f(\pi) = \boxed{2}$ | f(\pi) = \boxed{2} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ \[ x = \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} ?\] | สังเกตว่า \[ \frac{1}{x} = 2 - \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} = 2 - x, \] เราเพียงแค่แก้สมการกำลังสอง $x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = 0$ ดังนั้นเราจะได้ $x = \boxed{1}$ | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $\arcsin(\sin 66^\circ-\sin 54^\circ)$ เป็นองศา | จากสูตรผลต่างผลบวก
\[ \sin x- \sin z = 2\sin \frac{x-z}{2}\cos\frac{x+z}{2}.\]นำไปใช้กับ $x = 66^{\circ}$ และ $z = 54^{\circ}$ เราจะได้
\begin{align*}
\arcsin(\sin 66^\circ-\sin54^\circ)&=\arcsin \Big(2\sin\frac{66^\circ -54^\circ }{2}\cos\frac{66^\circ +54^\circ }{2} \Big)\\
&=\arcsin(2\sin6^\circ\cos 60^\circ)\\
&=\arcsin(\sin 6^\circ) \\
&= \boxed{6^{\circ}}.
\end{align*} | 6^{\circ} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
มีวิธีการเขียน 9 เป็นผลบวกของ 1, 2 และ 4 ได้กี่วิธี โดยที่ลำดับของตัวตั้งสำคัญ? ตัวอย่างเช่น $4 + 4 + 1$ และ $1 + 4 + 4$ เป็นสองวิธีที่ต่างกัน | ก่อนอื่น เราหาจำนวนวิธีที่จะเขียน 9 เป็นผลบวกของ 1, 2 และ 4 โดยที่ลำดับของตัวตั้งไม่สำคัญ เราจะได้กรณีดังนี้: \begin{align*}
&4+4+1 \\
&4+2+2+1 \\
&4+2+1+1+1 \\
&4+1+1+1+1+1 \\
&2+2+2+2+1 \\
&2+2+2+1+1+1 \\
&2+2+1+1+1+1+1 \\
&2+1+1+1+1+1+1+1 \\
&1+1+1+1+1+1+1+1+1
\end{align*}มี $3!/2!=3$ วิธีที่แตกต่างกันสำหรับผลบวกตัวแรก, $4!/2!=12$ สำหรับผลบวกตัวที่สอง, $5!/3!=20$ สำหรับผลบวกตัวที่สาม, $6!/5!=6$ สำหรับผลบวกตัวที่สี่, $5!/4!=5$ สำหรับผลบวกตัวที่ห้า, $6!/3!3!=20$ สำหรับผลบวกตัวที่หก, $7!/5!2!=21$ สำหรับผลบวกตัวที่เจ็ด, $8!/7!=8$ สำหรับผลบวกตัวที่แปด และ $1$ สำหรับผลบวกตัวสุดท้าย รวมทั้งหมดมี $oxed{96}$ วิธีที่แตกต่างกันในการเขียน 9 เป็นผลบวกของ 1, 2 และ 4 | 96 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ: $\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}$ | แยกตัวประกอบ $3^3$ ออกจากตัวเศษ และ $3^2$ ออกจากตัวส่วน ก่อนที่จะลบ: \[
\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}=\frac{3^3(3-1)}{3^2(3-1)}=\boxed{3}.
\] | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน วงกลมวงในมีรัศมี 1 นิ้ว และวงกลมวงนอกมีรัศมี 10 นิ้ว จงหาพื้นที่ (หน่วยเป็นตารางนิ้ว) ที่อยู่ภายนอกวงกลมวงใน แต่ภายในวงกลมวงนอก แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | พื้นที่ของวงกลมวงในคือ $\pi$ พื้นที่ของวงกลมวงนอกคือ $100\pi$ ดังนั้น เมื่อลบ $\pi$ ออกจาก $100\pi$ เราจะได้ $\boxed{99\pi \text{ square inches}}$ | \boxed{99\pi \text{ square inches}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
던지기 두 개의 공정한 6면체 주사위. 2개의 주사위 눈의 합이 3과 11 사이(포함)인 확률은 얼마입니까? | 대신 주사위 눈의 합이 3과 11 사이가 아닌 확률을 찾습니다. 각 주사위의 면에는 숫자 1~6이 있으므로 2개의 1 또는 2개의 6을 굴릴 때만 이 경우가 발생할 수 있습니다. 따라서 합이 3과 11 사이가 아닌 확률은 $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ 또는 $\frac{1}{18}$입니다. 따라서 우리가 원하는 확률은 $1-\frac{1}{18} = \boxed{\frac{17}{18}}$입니다. | 1-\frac{1}{18} = \boxed{\frac{17}{18}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จำนวนเต็มบวกบางจำนวนมีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัว ตัวอย่างเช่น 35 มีเพียง 1, 5, 7 และ 35 เป็นตัวประกอบ จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก 5 จำนวนแรกที่แต่ละจำนวนมีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัว | จำนวนเต็มบวกที่มีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัวสามารถเขียนได้ในรูป $pq$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างกัน หรือ $p^3$ โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ
โดยใช้สิ่งนี้ เราจะเห็นว่าจำนวนเต็มบวก 5 จำนวนแรกที่มีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัวคือ $2\cdot 3 = 6$, $2^3 = 8$, $2\cdot 5 = 10$, $2\cdot 7 = 14$ และ $3\cdot 5 = 15$ การบวกจำนวนเหล่านี้จะได้ $6 + 8 + 10 + 14 + 15 = \boxed{53}$ | 6 + 8 + 10 + 14 + 15 = \boxed{53} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีเส้นทางก้าว 9 ก้าวจาก $E$ ไป $G$ กี่เส้นทาง ?[asy]size(4cm,4cm);int w=6;int h=5;int i;for (i=0; i<h; ++i){draw((0,i) -- (w-1,i));}for (i=0; i<w; ++i){draw((i, 0)--(i,h-1));}label("$G$", (w-1,0), SE);label("$E$", (0,h-1), NW);[/asy] | มี 5 ก้าวไปทางขวา และ 4 ก้าวลง 9 ก้าวนี้สามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้ ดังนั้นคำตอบคือ $\dbinom{9}{4} = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{126}$ | \dbinom{9}{4} = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{126} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทิมต้องการสร้างกราฟวงกลมแสดงจำนวนแพทย์ผู้เชี่ยวชาญด้านการแพทย์อวกาศ เขา 알아요 다음 정보를.
$\bullet$ แพทย์ชาย 53 คนอายุต่ำกว่า 35 ปี
$\bullet$ แพทย์หญิง 8 คนอายุต่ำกว่า 35 ปี
$\bullet$ แพทย์ชาย 155 คนอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี
$\bullet$ แพทย์หญิง 17 คนอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี
$\bullet$ แพทย์ชาย 145 คนอายุระหว่าง 45 ถึง 54 ปี
$\bullet$ แพทย์หญิง 10 คนอายุระหว่าง 45 ถึง 54 ปี
$\bullet$ แพทย์ชาย 98 คนอายุเกิน 54 ปี
$\bullet$ แพทย์หญิง 2 คนอายุเกิน 54 ปี
ถ้าเขาต้องการรวมกลุ่มทั้ง 8 กลุ่มในกราฟของเขา เขาจะใช้กี่องศาสำหรับมุมศูนย์กลางของภาค "ชายอายุ 45-54 ปี"? แสดงคำตอบของคุณเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | โดยรวมแล้วมีแพทย์ด้านการแพทย์อวกาศ $53+8+155+17+145+10+98+2=488$ คน แพทย์ชายอายุ 45-54 ปีคิดเป็น $145/488$ ของประชากรนี้ ดังนั้นพวกเขาควรคิดเป็นสัดส่วนของมุมศูนย์กลางของกราฟวงกลมด้วย เนื่องจากมี 360 องศาในมุมศูนย์กลางที่จะแบ่งออกเป็นกลุ่ม กลุ่มแพทย์ชายอายุ 45-54 ปีควรได้รับ $\frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107}$ องศา | \frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บนเส้นจำนวน จุด $A$ อยู่ที่ 0 จุด $B$ อยู่ที่ 4 และจุด $C$ อยู่ที่ 6 [asy]
defaultpen(1);
draw((0,0)--(6,0));
for (int i=0;i<7;++i){
draw((i,-.1)--(i,.1));
label(string(i),(i,-.1),(0,-1));
}
label("\(A\)",(0,0),(0,1));
label("\(B\)",(4,0),(0,1));
label("\(C\)",(6,0),(0,1));
[/asy] ลูกธนูตกลงบนเส้นจำนวนแบบสุ่มระหว่าง $A$ และ $C$ ความน่าจะเป็นที่ลูกธนูจะตกลงใกล้ $B$ มากกว่า $A$ หรือ $C$ คือเท่าไร? | สมมติว่าลูกธนูตกลงระหว่าง $A$ และ $B$ มันมีโอกาส 1/2 ที่จะอยู่ใกล้ $A$ มากกว่า $B$ และมันจะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $C$ เสมอ ดังนั้นมันจึงอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $A$ และ $C$ ด้วยความน่าจะเป็น 1/2
ในทางกลับกัน หากมันตกลงระหว่าง $B$ และ $C$ มันจะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $A$ แน่นอน และมีโอกาส 1/2 ที่จะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $C$ เช่นเดียวกับที่ผ่านมา มันอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $A$ และ $C$ ด้วยความน่าจะเป็น ${1/2}$.
[asy]
defaultpen(.7);
draw((0,0)--(6,0));
for(int i=0;i<=6;++i){
draw((i,-.1)--(i,.1));
label(string(i),(i,-.1),(0,-1));
}
label("\(A\)",(0,0),(0,1));
label("\(B\)",(4,0),(0,1));
label("\(C\)",(6,0),(0,1));
draw((2,0)--(5,0),linewidth(3.5));
[/asy] ในกรณีใด ๆ ความน่าจะเป็นที่ลูกธนูตกลงใกล้ $B$ ที่สุดคือ 1/2 ดังนั้นความน่าจะเป็นโดยรวมคือ $\boxed{\frac{1}{2}}$. | \boxed{\frac{1}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ตัวอักษร $A, B$ และ $C$ ถูกนำมาใช้ในการสร้างคำสามตัวอักษรที่เป็นไปได้ทุกคำ เมื่อคำเหล่านี้ถูกเรียงตามลำดับตัวอักษรและถูกกำหนดหมายเลขเพื่อให้ $AAA$ เป็นคำที่ 1 และ $CCC$ เป็นคำที่ 27 คำที่ 27 คำใดจะสอดคล้องกับตำแหน่งของคำ $BAB$ บนรายการ | มี 9 คำที่เป็นไปได้ที่เริ่มต้นด้วย A ในรายการ ดังนั้นคำแรกที่เริ่มต้นด้วย B, BAA คือคำที่ 10 BAB คือคำถัดไปหลังจาก BAA หรือคำที่ $\boxed{11}$. | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกเต๋าแปดหน้าที่เป็นธรรมที่มีหน้าหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 ถูกโยน 6 ครั้ง และบันทึกลำดับของตัวเลขที่ปรากฏขึ้น มีลำดับที่เป็นไปได้กี่ลำดับ? | แต่ละครั้งที่โยนลูกเต๋าจะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 8 แบบ ดังนั้นจำนวนลำดับที่เป็นไปได้คือ $$8^6=\boxed{262144}$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่เป็นผลคูณของ $9^3$ และมีค่ามากกว่า $9^4$ แต่มีค่าน้อยกว่า $9^5$? | เนื่องจาก $9^4=9(9^3)$ และ $9^5=9^2\cdot9^3=81(9^3)$ เราต้องนับจำนวนเต็มระหว่าง 10 ถึง 80 รวมทั้ง 10 และ 80 ด้วย จำนวนนั้นคือ $80-10+1=71$ ดังนั้นมีจำนวน $\boxed{71}$ จำนวนที่เป็นผลคูณของ $9^3$ และมีค่ามากกว่า $9^4$ แต่มีค่าน้อยกว่า $9^5$ | 71 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a\star b = 9a+2b-ab+5$ จงหาค่าของ $5\star1$ | จากนิยามของฟังก์ชันที่กำหนดให้ $5\star 1 = 9(5)+2(1)-(5)(1)+5= 45+2-5+5=\boxed{47}$ | 47 | [
"นำไปใช้"
] |
หนังสือคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนหน้าเป็นเลขสองหลักถูกแบ่งออกเป็นภาคต่างๆ แต่ละภาคมีหน้าอยู่ $12$ หน้า ยกเว้นภาคประมวลซึ่งมี $11$ หน้า ทุกหน้าอยู่ในภาค และในส่วนท้ายของหน้าที่ $5$ ของแต่ละภาคจะมีข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ตั้งแต่หน้าที่ $5$ เป็นต้นไป ถ้าข้อเท็จจริงปรากฏอยู่ที่ส่วนท้ายของหน้าที่สองจากหน้าสุดท้าย หนังสือเล่มนี้มีกี่หน้า? | สมมติว่าหนังสือเล่มนี้มี $p$ หน้า จะได้ว่า $p \equiv 11 \pmod{12}$ นอกจากนี้ เนื่องจากหน้าที่สองจากหน้าสุดท้ายมีข้อเท็จจริง ดังนั้น $p-1$ หารด้วย $5$ ลงตัว ดังนั้น $p \equiv 1 \pmod{5}$ ตามทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน เนื่องจาก $11 \equiv 1 \pmod{5}$ จะได้ว่า $p \equiv 11 \pmod{60}$ ตอนนี้ $p$ เป็นเลขสองหลัก ดังนั้นต้องเป็น $11$ หรือ $71$ อย่างไรก็ตาม ภาคประมวลมี $11$ หน้าอยู่แล้ว ดังนั้นหนังสือเล่มนี้ต้องมี $\boxed{71}$ หน้า | \boxed{71} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ:
\[
\sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{7\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12}.
\] | สังเกตว่าปัญหาประกอบด้วยสามคู่ที่มีรูปแบบ $\sin \theta + \sin(\pi - \theta).$ สูตรผลรวมเป็นผลคูณให้
\begin{align*}
\sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{5\pi}{12} \\
&= 2 \cos \frac{5\pi}{12}, \\
\sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{4} \\
&= \sqrt{2}, \\
\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{7\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{12} \\
&= 2 \cos \frac{\pi}{12}.
\end{align*}นำสูตรผลรวมเป็นผลคูณมาใช้ซ้ำอีกครั้งจะได้
\begin{align*}
& \sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{7\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12} \\
&= \sqrt{2} + 2 \Big(\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} \Big) \\
&= \sqrt{2} + 4 \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} \\
&= \sqrt{2} + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\
&= \boxed{\sqrt{2} + \sqrt{6}}.
\end{align*} | \sin \theta + \sin(\pi - \theta). | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
รูปหกเหลี่ยมปกติถูกตัดแต่งเพื่อสร้างรูปสิบสองเหลี่ยมปกติโดยการนำสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันออกจากมุมทั้งหกของมัน ร้อยละเท่าใดของพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมเดิมถูกนำออก แสดงคำตอบของคุณเป็นทศนิยมตำแหน่งที่ใกล้เคียงที่สุด | โดยไม่เสียความ générales ให้ความยาวด้านของรูปหกเหลี่ยมเท่ากับ 1 หน่วย และให้ $u$ เป็นความยาวของด้านที่เท่ากันในสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ถูกนำออก กำหนดจุด $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, และ $F$ ดังที่แสดงในแผนภาพ สามเหลี่ยม $CDB$ เป็นสามเหลี่ยม 30-60-90 ดังนั้น $CD=u/2$ และ $DB=u\sqrt{3}/2$ นอกจากนี้ $AB=1-2u$ เพราะ $CF=1$ และ $CB=AF=u$ เพื่อให้รูปสิบสองเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเป็นรูปปกติ เราต้องมี $AB=2\cdot BD$ เราพบว่า \begin{align*}
1-2u&=u\sqrt{3} \implies \\
1&=2u+u\sqrt{3} \implies \\
1&=u(2+\sqrt{3}) \implies \\
\frac{1}{2+\sqrt{3}}&=u.
\end{align*} คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย $2-\sqrt{3}$ เพื่อทำให้ตัวส่วนเป็นตรรกยะ เราได้ $u=2-\sqrt{3}$ พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติที่มีความยาวด้าน $s$ คือ $3s^2\sqrt{3}/2$ ดังนั้นพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมคือ $3\sqrt{3}/2$ พื้นที่ที่ถูกนำออกคือ $6\times \frac{1}{2}(CD)(2\cdot BD)=3u^2\sqrt{3}/2$ ดังนั้นเศษส่วนของพื้นที่ที่ถูกนำออกคือ $u^2$ ซึ่งเป็นเปอร์เซ็นต์ที่ใกล้เคียงที่สุดถึงทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่งคือ $0.072=\boxed{7.2\%}$. [asy]
size(250);
real r = sqrt(6-3*sqrt(3));
pair A=r*dir(15), B=r*dir(45), C=dir(60), D=sqrt(3)/2*dir(60), Ep=(0,0), F=dir(0);
pair[] dots = {A,B,C,D,Ep,F};
dot(dots);
label("$A$",A,A);
label("$B$",B,B);
label("$C$",C,C);
label("$D$",D,1.6*(W+0.3*SW));
label("$E$",Ep,SW);
label("$F$",F,E);
int i;
for(i=0;i<=5;++i)
{
draw(dir(60*i)--dir(60*(i+1)));
}
for(i=0;i<=11;++i)
{
draw(r*dir(15+30*i)--r*dir(15+30*(i+1)));
}
draw((0,0)--dir(60));
label("$u$",dir(60)+0.12*SE);
label("$1-2u$",dir(30));[/asy] | 7.2% | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในกลุ่มนักเรียนมัธยมศึกษา 30 คน มีนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส 8 คน เรียนภาษาสเปน 12 คน และเรียนทั้งสองภาษา 3 คน มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศสและภาษาสเปน? | แผนภาพเวนน์มีประโยชน์ในการอธิบายวิธีแก้ปัญหา ให้วงรีแทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส และอีกวงรีแทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาสเปน ในแผนภาพ สังเกตว่าจุดตัด (ส่วนทับซ้อน) ของวงรีทั้งสองแทนเซตของนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศสและภาษาสเปน (ดูบริเวณ B) เริ่มต้นด้วยการวาง 3 x ในบริเวณ B แทนนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศสและภาษาสเปน บริเวณ A แทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศสเพียงอย่างเดียว เนื่องจากจำนวนทั้งหมดในบริเวณ A และ B ต้องเป็น 8 เราจึงวาง 5 x ในบริเวณ A เช่นเดียวกัน วาง 9 x ในบริเวณ C D แทนเซตของนักเรียนที่เรียน neither ภาษาฝรั่งเศสหรือภาษาสเปน ในแผนภาพเวนน์ที่สอง แต่ละ x แทนนักเรียน สังเกตว่าจำนวน x ทั้งหมดในบริเวณ A, B และ C เท่ากับ 17 ดังนั้น D มี $30-17=\boxed{13}$ นักเรียน
[asy]
size(7cm,7cm);
draw(shift(0,0)*yscale(0.6)*Circle((0,0), 1));
draw(shift(1,0)*yscale(0.6)*Circle((0,0), 1));
draw((-2,-1)--(3,-1)--(3,1)--(-2,1)--(-2,-1));
label("A",(-0.5,0));
label("B",(0.5,0));
label("C",(1.5,0));
label("D",(2.3,-0.5));
label("ภาษาฝรั่งเศส",(-1.2,0.7));
label("ภาษาสเปน",(2,0.7));
[/asy]
[asy]
size(7cm,7cm);
draw(shift(0,0)*yscale(0.6)*Circle((0,0), 1));
draw(shift(1,0)*yscale(0.6)*Circle((0,0), 1));
draw((-2,-1)--(3,-1)--(3,1)--(-2,1)--(-2,-1));
label("A",(-0.5,0));
label("B",(0.5,0));
label("C",(1.5,0));
label("D",(2.3,-0.5));
label("ภาษาฝรั่งเศส",(-1.2,0.7));
label("ภาษาสเปน",(2,0.7));
label("xxx",(-0.2,-0.2));
label("xx",(-0.2,-0.4));
label("xx",(0.5,-0.2));
label("x",(0.5,-0.4));
label("xxxxx",(1.4,-0.2));
label("xxxx",(1.3,-0.4));
[/asy] | 30-17=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(-125)^{4/3}$ | เรามี \[(-125)^{4/3} = ((-5)^3)^{4/3} = (-5)^{3\cdot (4/3)} = (-5)^4 = \boxed{625}.\] | 625 | [
"ประยุกต์"
] |
ในงานเลี้ยงมีการจับมือกันทั้งหมด 78 ครั้ง ถ้าแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ จะมีกี่คนในงานเลี้ยง | เนื่องจากแต่ละคนจับมือกับคนอื่นๆ ทุกคน ดังนั้นจำนวนการจับมือ 78 ครั้งแทนจำนวนคู่ของผู้คน ซึ่งเราสามารถนับได้เป็น ${n \choose 2}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนผู้คนในงานเลี้ยง ดังนั้น $n(n-1) = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 6 \cdot 13 = 12 \cdot 13$ ดังนั้น $n=13$ จะให้เราจำนวนผู้คนในงานเลี้ยงเท่ากับ $\boxed{13}$ คน | \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่ $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่, คี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
กรอก "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | เนื่องจาก $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่
\[f(-x)g(-x) = f(x)g(x),\]ดังนั้น $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชัน $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $4^{a}=5$, $5^{b}=6$, $6^{c}=7,$ และ $7^{d}=8$. จงหาค่าของ $a\cdot b\cdot c\cdot d$? | เนื่องจาก \[
4^{a\cdot b\cdot c\cdot d}
= \left(\left(\left(4^a\right)^b\right)^c\right)^d
= \left(\left( 5^b\right)^c\right)^d
= \left(6^c\right)^d = 7^d = 8 = 4^{3/2},
\]เราได้ $a\cdot b\cdot c\cdot d = \boxed{\frac{3}{2}}$. | a\cdot b\cdot c\cdot d = \boxed{\frac{3}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พาราโบลาหนึ่งมีจุดยอดที่ $(4,-5)$ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ถ้าพาราโบลาเป็นกราฟของ $y = ax^2 + bx + c$ สัมประสิทธิ์ใดใน $a,$ $b,$ และ $c$ ที่ต้องเป็นบวก?
ใส่สัมประสิทธิ์ที่ต้องเป็นบวก แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณคิดว่า $a$ และ $c$ ต้องเป็นบวก ให้ใส่ "$a,$ $c$" โดยไม่ต้องใส่เครื่องหมายอัญประกาศ | พิกัด $y$ ของจุดยอดเป็นลบ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด ดังนั้นพาราโบลาต้องหงายขึ้น ซึ่งหมายความว่า $a$ ต้องเป็นบวก นอกจากนี้ จุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ดังนั้น จุดตัดแกน $y$ $c$ ต้องเป็นลบ
พิกัด $x$ ของจุดยอดเป็นบวก ซึ่งก็คือ $-\frac{b}{2a}$ เนื่องจาก $a$ เป็นบวก $b$ จึงเป็นลบ
ดังนั้น สัมประสิทธิ์เพียงตัวเดียวที่ต้องเป็นบวกคือ $\boxed{a}$. | \boxed{a}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จัตุภาคมุมฉากที่มีความยาวด้าน $s > 0$ มีสมบัติที่พื้นที่ผิวของมันเท่ากับผลรวมของปริมาตรของมันและห้าเท่าของความยาวด้านของมัน จงคำนวณผลรวมของค่า $s$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
[asy]
size(5cm,5cm);
pair A,B,C,D,E,F,G,H;
A=(0,0);
B=(1,0);
C=(1,1);
D=(0,1);
E=(0.3,1.5);
F=C+(E-D);
G=B+(E-D);
H=A+(E-D);
draw(A--B--C--D--A--H--E);
draw(D--C--F);
draw(H--G);
draw(D--E--F--G--B);
dot(A);
dot(B);
dot(C);
dot(D);
dot(E);
dot(F);
dot(G);
dot(H);
[/asy] | ปริมาตรของจัตุภาคมุมฉากคือ $s^3$ และพื้นที่ผิวของมันคือ $6s^2$ ดังนั้นเราได้ $6s^2=s^3+5s$ หรือ $0=s^3-6s^2+5s=s(s-1)(s-5)$ ดังนั้นค่า $s$ ที่เป็นไปได้ที่ไม่ใช่ศูนย์สองค่าคือ 1 และ 5 ผลรวมของค่าเหล่านี้คือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $BDC$ และ $ACD$ อยู่ในระนาบเดียวกันและเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ถ้าเราทราบว่า $m\angle ABC = 70^\circ$ จงหา $m\angle BAC$ ในหน่วยองศา
[asy]
unitsize(2 cm);
defaultpen(linewidth(1pt)+fontsize(10pt));
pair a,b,c,d;
b = (0,0);
c = (1,0);
d = c+dir(140);
a = d+dir(70);
draw(a--b--c--cycle);
draw(d--c);
pair s,t;
s = (.5,0)+(0,.05);
t = (.5,0)+(0,-.05);
draw(s--t);
s = .5*(c+d) + .05*dir(50);
t = .5*(c+d) - .05*dir(50);
draw(s--t);
s = .5*(a+d) + .05*dir(160);
t = .5*(a+d) - .05*dir(160);
draw(s--t);
label("A",a,N);
label("B",b,SW);
label("C",c,SE);
label("D",d,NW);
label("$70^\circ$",b+(.05,.03),NE);
[/asy] | เนื่องจาก $\overline{BC}\cong\overline{DC}$ ดังนั้น $\angle DBC\cong\angle BDC$ และ $$m\angle DBC=m\angle BDC=70^\circ.$$ เราเห็นว่า $\angle BDC$ และ $\angle ADC$ ต้องบวกกันได้ $180^\circ$ ดังนั้น $m\angle ADC=180-70=110^\circ$. สามเหลี่ยม $ACD$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้นมุมฐานต้องเท่ากัน ถ้ามุมฐานแต่ละมุมมีขนาด $x^\circ$ ดังนั้น $m\angle ADC+2x=180^\circ.$ เราจะได้ $$110+2x=180,$$ ดังนั้น $2x=70$ และ $x=35.$ เนื่องจาก $\angle BAC$ เป็นหนึ่งในมุมฐาน ดังนั้นมุมนี้มีขนาด $\boxed{35^\circ}$. | \boxed{35^\circ} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนหนึ่งคูณด้วยห้า ผลลัพธ์จะเท่ากับยี่สิบเอ็ดบวกสองเท่าของจำนวนเดิม จำนวนเดิมมีค่าเท่าใด | ให้จำนวนนั้นเป็น $x$ เราทราบว่า $5x=2x+21$ ลบ $2x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $3x=21$ จากนั้นหารทั้งสองข้างด้วย 3 จะได้ $x=\boxed{7}$ | x=\boxed{7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้ามุม $x$ อยู่ในควอดรันที่สามและ $\cos x = -\frac{20}{29},$ จงหา $\tan x.$ | เนื่องจากมุม $x$ อยู่ในควอดรันที่สาม $\sin x$ เป็นลบ และ
\[\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{400}{841} = \frac{441}{841},\]ดังนั้น $\sin x = -\frac{21}{29}.$ ดังนั้น
\[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \boxed{\frac{21}{20}}.\] | \sin x = -\frac{21}{29}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปดาวห้าแฉกถูกวาดบนหน้าปัดนาฬิกาโดยการวาดคอร์ดจากตัวเลขแต่ละตัวไปยังตัวเลขที่ห้าที่นับตามเข็มนาฬิกาจากตัวเลขนั้น นั่นคือ คอร์ดถูกวาดจาก 12 ถึง 5, จาก 5 ถึง 10, จาก 10 ถึง 3 และอื่นๆ จนสิ้นสุดที่ 12 มุมที่แต่ละจุดยอดของรูปดาวห้าแฉกมีขนาดเท่าไร? | พิจารณาคอร์ดสองเส้นที่มีจุดปลายที่ 5 ส่วนโค้งที่ถูกคอร์ดเหล่านี้กำหนดมีส่วนโค้งจาก 10 ถึง 12 ดังนั้นขนาดของส่วนโค้งเป็น $(2/12)(360)=60$ องศา ตามทฤษฎีบทมุมศูนย์กลาง ขนาดของมุมนี้เป็น $(1/2)(60)=30$ องศา ตามสมมาตร ขนาดของมุมที่แต่ละจุดยอดคือ $\boxed{30}$ องศา | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ถ้า $p(\sqrt{7}) = 22$ และ $p(\sqrt{11}) = 30,$ จงหา $p(\sqrt{17}).$ | กำหนดให้ $p(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\begin{align*}
7a + b \sqrt{7} + c &= 22, \\
11a + b \sqrt{11} + c &= 30.
\end{align*}เนื่องจาก $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนตรรกยะ สมการข้างต้นจะ成立ได้ก็ต่อเมื่อ $b = 0.$ แล้ว
\begin{align*}
7a + c &= 22, \\
11a + c &= 30.
\end{align*}แก้ระบบสมการนี้ เราจะได้ $a = 2$ และ $c = 8.$
ดังนั้น $p(x) = 2x^2 + 8,$ ดังนั้น $p(\sqrt{17}) = 2 \cdot 17 + 8 = \boxed{42}.$ | p(\sqrt{17}) = 2 \cdot 17 + 8 = \boxed{42}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $\triangle{RST}$ ที่แสดง $\sin{R}=\frac{2}{5}$ ค่าของ $\sin{T}$ คือเท่าใด?
[asy]
pair R,S,T;
T = (0,0);
S = (2,0);
R = (2,sqrt(21));
draw(R--S--T--R);
draw(rightanglemark(R,S,T,10));
label("$T$",T,SW);
label("$S$",S,SE);
label("$R$",R,NE);
label("$5$",(R+T)/2,NW);
[/asy] | เนื่องจาก $\triangle RST$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $\sin R = \frac{ST}{RT}$ ดังนั้น $\sin R = \frac{2}{5} = \frac{ST}{5}$ แล้ว $ST=2$.
เรารู้ว่า $\sin T = \frac{RS}{RT}$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส $RS = \sqrt{RT^2 - ST^2} = \sqrt{25-4} = \sqrt{21}$ ดังนั้น $\sin T = \boxed{\frac{\sqrt{21}}{5}}$. | \sin T = \boxed{\frac{\sqrt{21}}{5}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้เส้นตรง $L$ เป็นจุดตัดระหว่างระนาบ $x + y + z - 6 = 0$ และ $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ จงหาสมการของระนาบซึ่งมีเส้นตรง $L$ และจุด $(1,1,1)$ อยู่บนระนาบนั้น แสดงคำตอบในรูป
\[Ax + By + Cz + D = 0,\]โดยที่ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง $A > 0$ และ $\gcd(|A|,|B|,|C|,|D|) = 1.$ | พิจารณาสมการ
\[a(x + y + z - 6) + b(2x + 3y + 4z + 5) = 0,\]โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัวจริง เนื่องจาก $L$ อยู่บนระนาบทั้งสอง $L$ จึงเป็นไปตามสมการ $x + y + z - 6 = 0$ และ $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ ดังนั้น $L$ จึงเป็นไปตามสมการข้างต้น
เราต้องการให้จุด $(1,1,1)$ เป็นไปตามสมการด้วย ดังนั้นเราแทนค่าเหล่านี้ลงไป จะได้
\[-3a + 14b = 0.\]เราสามารถเลือก $a = 14$ และ $b = 3$ ได้ ซึ่งจะให้
\[14(x + y + z - 6) + 3(2x + 3y + 4z + 5) = 0,\]ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น $\boxed{20x + 23y + 26z - 69 = 0}.$ | \boxed{20x + 23y + 26z - 69 = 0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.