question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ปริมาตรของลูกบาศก์เท่ากับหกเท่าของผลรวมของความยาวของด้านของมันเป็นตัวเลข ปริมาตรของลูกบาศก์เป็นลูกบาศก์หน่วยเท่าใด แสดงคำตอบของคุณในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ให้ $s$ เป็นความยาวด้านของลูกบาศก์ ปริมาตรของลูกบาศก์คือ $s^3$ และผลรวมของความยาวของด้านของลูกบาศก์คือ $12s$ ดังนั้นเราต้องมี $s^3 = 6\cdot 12s$ ดังนั้น $s^3=72s$ ลบ $72s$ จากทั้งสองข้างจะได้
\[
s^3-72s=0,
\]ดังนั้น \[
s(s^2-72)=0,
\]ซึ่งหมายความว่า \[
s = 0 \text{ or } s=\pm \sqrt{72}
\] ปฏิเสธคำตอบที่ไม่เป็นบวก เราพบว่า $s=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ ปริมาตรของลูกบาศก์คือ $s^3=6^3\cdot(\sqrt{2})^3=\boxed{432\sqrt{2}}$ ลูกบาศก์หน่วย | s^3=6^3\cdot(\sqrt{2})^3=\boxed{432\sqrt{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงประเมินค่าของ $(x+y)(x-y)$ เมื่อ $x=13$ และ $y = 5$. | เราสามารถประเมินค่าโดยตรงหรือใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสอง: $(x+y)(x-y) = x^2-y^2 = 13^2-5^2 = 169-25 =\boxed{144}$. | (x+y)(x-y) = x^2-y^2 = 13^2-5^2 = 169-25 =\boxed{144} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในลำดับเรขาคณิต $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots,$ โดยที่ทุกพจน์เป็นบวก $a_5 - a_4 = 576$ และ $a_2 - a_1 = 9.$ จงหา $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5.$ | กำหนดให้ $a$ เป็นพจน์แรก และ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม แล้ว $ar^4 - ar^3 = 576,$ ดังนั้น $ar^3 (r - 1) = 576.$ นอกจากนี้ $ar - a = 9,$ ดังนั้น $a(r - 1) = 9.$ ดังนั้น $9r^3 = 576,$ ดังนั้น $r = 4.$ ดังนั้น $3a = 9,$ ดังนั้น $a = 3.$ ดังนั้น
\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + 3 \cdot 4^4 = \frac{3 (4^5 - 1)}{4 - 1} = \boxed{1023}.\] | a = 3. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z,$ จงคำนวณค่าต่ำสุดของ
\[|z + 5 - 3i| + |z - 7 + 2i|.\] | ทางเรขาคณิต $|z + 5 - 3i|$ คือระยะห่างระหว่างจำนวนเชิงซ้อน $z$ และ $-5 + 3i$ ในระนาบเชิงซ้อน และ $|z - 7 + 2i|$ คือระยะห่างระหว่าง $z$ และ $7 - 2i.$
[asy]
unitsize(0.4 cm);
pair A, B, Z;
A = (-5,3);
B = (7,-2);
Z = (6,6);
draw(A--B);
draw(A--Z--B);
dot("$-5 + 3i$", A, NW);
dot("$7 - 2i$", B, SE);
dot("$z$", Z, NE);
[/asy]
โดยอสมการสามเหลี่ยม ผลรวมของระยะห่างจะน้อยที่สุดเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจำนวนเชิงซ้อน $-5 + 3i$ และ $7- 2i$ ซึ่งในกรณีนี้ ผลรวมของระยะห่างคือ $| (5 - 3i) - (-7 + 2i)| = |12 - 5i| = \boxed{13}.$ | |(5 - 3i) - (-7 + 2i)| = |12 - 5i| = \boxed{13}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ โดยที่ $f(1) = 2$ และ
\[f(xy) = f(x) f(y) - f(x + y) + 1\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{Q}.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = 2f(x) - f(x + 1) + 1,\]ดังนั้น $f(x + 1) = f(x) + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$ แล้ว
\begin{align*}
f(x + 2) &= f(x + 1) + 1 = f(x) + 2, \\
f(x + 3) &= f(x + 2) + 1 = f(x) + 3,
\end{align*}และอื่นๆ. โดยทั่วไป,
\[f(x + n) = f(x) + n\]สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}$ และทุกจำนวนเต็ม $n.$
เนื่องจาก $f(1) = 2,$ ดังนั้น
\[f(n) = n + 1\]สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n.$
ให้ $x = \frac{a}{b},$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq 0.$ กำหนด $x = \frac{a}{b}$ และ $y = b,$ เราได้
\[f(a) = f \left( \frac{a}{b} \right) f(b) - f \left( \frac{a}{b} + b \right) + 1.\]เนื่องจาก $f(a) = a + 1,$ $f(b) = b + 1,$ และ $f \left( \frac{a}{b} + b \right) = f \left( \frac{a}{b} \right) + b,$
\[a + 1 = (b + 1) f \left( \frac{a}{b} \right) - f \left( \frac{a}{b} \right) - b + 1.\]แก้สมการ, เราพบ
\[f \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{a + b}{b} = \frac{a}{b} + 1.\]ดังนั้น $f(x) = x + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$
เราสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันนี้ทำงานได้ ดังนั้น $n = 1$ และ $s = \frac{3}{2},$ ดังนั้น $n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}.$ | n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกตักไอศกรีมตักไอศกรีมทรงกลมที่มีรัศมี 1 นิ้ว ถ้าลูกตักไอศกรีมละลายลงในโคนไอศกรีมแล้ว ต้องใช้ลูกตักกี่ลูกจึงจะเต็มโคนไอศกรีมที่มีรัศมี 2 นิ้ว และสูง 5 นิ้ว | ลูกตักไอศกรีมแต่ละลูกมีปริมาตร $\frac{4}{3}\pi (1^3) = \frac{4}{3}\pi$ ลูกบาศก์นิ้ว โคนไอศกรีมจุได้ $\frac{1}{3}\pi (2^2)(5) = \frac{20}{3}\pi$ ลูกบาศก์นิ้ว $\frac{\frac{20}{3}\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 5$ ดังนั้นเราต้องการลูกตัก $\boxed{5}$ ลูกเพื่อเติมโคน | \boxed{5} | [
"ประยุกต์"
] |
รถเมล์จะมาถึงป้ายรถเมล์ของเจอร์รี่ทุกๆ 20 นาที เริ่มต้นเวลา 05:13 น. หากเจอร์รี่มาถึงเวลา 08:35 น. เขาจะต้องรอรถเมล์คันต่อไปนานเท่าไร | เนื่องจาก 20 นาทีหาร 60 นาที (ซึ่งเท่ากับ 1 ชั่วโมง) ลงตัว รถเมล์จะจอดทุกๆ 13 นาที, $13 + 20 = 33$ นาที และ $33 + 20 = 53$ นาทีหลังจากชั่วโมง ดังนั้นหลังจากเวลา 08:35 น. ครั้งต่อไปที่รถเมล์จะจอดคือ 08:53 น. ดังนั้นเจอร์รี่ต้องรอ $53 - 35 = \boxed{18}$ นาที | 53 - 35 = \boxed{18} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มที่เลือกมาแบบสุ่มจากเซต $$\{1,2,3,\ldots,100\}$$ หารด้วย 2 ลงตัวและไม่หารด้วย 3 ลงตัว แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจาก $100 = 50\cdot 2$ มีจำนวนเต็ม 50 จำนวนในเซตที่หารด้วย 2 ลงตัว จำนวนที่หารด้วย 2 และ 3 ลงตัวคือตัวที่หารด้วย 6 ลงตัว การหาร 100 ด้วย 6 จะได้ $16\frac23$ ดังนั้นมี 16 จำนวนที่หารด้วย 6 ลงตัว เหลือ $50-16 = 34$ จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว แต่ไม่หารด้วย 3 ลงตัว มีจำนวนเต็ม 100 จำนวนในเซต ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $\dfrac{34}{100} = \boxed{\dfrac{17}{50}}$. | \dfrac{34}{100} = \boxed{\dfrac{17}{50}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาขนาดของมุม $\theta$ ที่น้อยที่สุดในเชิงบวก (หน่วยเป็นองศา) ซึ่งทำให้ $\sin 3 \theta = \cos 7 \theta.$ | สังเกตว่า $\cos 7 \theta = \sin (90^\circ - 7 \theta),$ ดังนั้น
\[\sin 3 \theta = \sin (90^\circ - 7 \theta).\]ถ้า $3 \theta = 90^\circ - 7 \theta,$ แล้ว $\theta = 9^\circ.$
ถ้า $0^\circ < \theta < 9^\circ,$ แล้ว $\sin 3 \theta < \sin 27^\circ$ และ $\sin (90^\circ - 7 \theta) > \sin 27^\circ,$ ดังนั้นคำตอบที่น้อยที่สุดในเชิงบวกคือ $\boxed{9^\circ}.$ | \boxed{9^\circ}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำตอบของสมการ $(x+1)(x+2) = x+3$ สามารถเขียนในรูป $m+\sqrt n$ และ $m-\sqrt n$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $m+n$ | ขั้นแรก เราขยายด้านซ้ายของสมการเพื่อให้ได้ $$x^2+3x+2 = x+3.$$จากนั้นเราลบ $x+3$ ออกจากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้สมการกำลังสองในรูปมาตรฐาน: $$x^2+2x-1 = 0.$$สมการนี้ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อย่างชัดเจน ดังนั้นเราจึงใช้สูตรกำลังสอง ซึ่งจะให้คำตอบของ $$x = \frac{-(2) \pm\sqrt{(2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}.$$เราสามารถทำให้ง่ายขึ้น โดยหาร $2$ ออกจากตัวเศษและตัวส่วน เพื่อให้ได้ $$x = -1\pm\sqrt{2}.$$ดังนั้น จำนวนเต็ม $m$ และ $n$ ที่อ้างถึงในปัญหาคือ $m=-1$, $n=2$ และผลรวมของมันคือ $-1+2=\boxed{1}$. | -1+2=\boxed{1} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $z = a + bi,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า
\[z^3 + |z|^2 + z = 0,\]จงหาค่าของ $(a,b)$ | เราสามารถเขียน $|z|^2 = z \overline{z},$ ดังนั้นสมการจะกลายเป็น
\[z^3 + z \overline{z} + z = 0.\]เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก $z = a + bi$ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการด้วย $z$ ซึ่งจะได้
\[z^2 + \overline{z} + 1 = 0.\]จากนั้น $(a + bi)^2 + \overline{a + bi} + 1 = 0,$ หรือ
\[a^2 + 2abi - b^2 + a - bi + 1 = 0.\] equate real and imaginary parts, we get
\begin{align*}
a^2 - b^2 + a + 1 &=0, \\
2ab - b &= 0.
\end{align*}จากสมการที่สอง $b(2a - 1) = 0.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนจริงบวก $2a - 1 = 0,$ ดังนั้น $a = \frac{1}{2}.$ จากนั้นจากสมการแรก
\[b^2 = a^2 + a + 1 = \frac{7}{4}.\]เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนจริงบวก $b = \frac{\sqrt{7}}{2}.$ ดังนั้น $(a,b) = \boxed{\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} \right)}.$ | (a,b) = \boxed{\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $n$ ซึ่ง $n < 10{,}000$ จำนวน $n+2005$ มีตัวประกอบบวกที่ต่างกันちょうど 21 ตัว จงหาผลรวมของค่า $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | ให้ $k = n+2005$ เนื่องจาก $1 \le n \le 9999$ เราได้ $2006 \le k \le 12004$ เราทราบว่า $k$ มีตัวประกอบบวกที่ต่างกันちょうど 21 ตัว จำนวนตัวประกอบบวกของจำนวนเต็มบวกที่มีการแยกตัวประกอบเป็น thừa số质 $p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$ คือ $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)$ เนื่องจาก $21 = 7 \cdot 3$ และ 7 และ 3 เป็นจำนวน质 การแยกตัวประกอบเป็น thừa số质ของ $k$ มีรูปแบบ $p^{20}$ หรือ $p^6 q^2$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวน质ที่ต่างกัน เนื่องจาก $p^{20} \geq 2^{20} > 12004$ สำหรับจำนวน质 $p$ ใดๆ เราไม่สามารถมีรูปแบบแรกได้ ดังนั้น $k = p^6 q^2$ สำหรับจำนวน质 $p$ และ $q$ ที่ต่างกัน
ถ้า $p=2$ แล้ว $k=64q^2$ ดังนั้น $2006 \le 64q^2 \le 12004 \Rightarrow 31.34375 \le q^2 \le 187.5625$ สำหรับ $q$ เป็นจำนวนเต็ม นี่เป็นจริงเมื่อ $6 \le q \le 13$ เนื่องจาก $q$ เป็นจำนวน质 $q$ คือ 7, 11 หรือ 13 ดังนั้นถ้า $p=2$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $k$ คือ $2^6 7^2 = 3136$, $2^6 11^2 = 7744$ และ $2^6 13^2 = 10816$
ถ้า $p=3$ แล้ว $k = 729q^2$ ดังนั้น $2006 \le 729q^2 \le 12004 \Rightarrow 2.75\ldots \le q^2 \le 16.46\ldots$ สำหรับ $q$ เป็นจำนวนเต็ม นี่เป็นจริงเมื่อ $2 \le q \le 4$ เนื่องจาก $q$ เป็นจำนวน质ที่ต่างจาก $p=3$ เราได้ $q=2$ ดังนั้นถ้า $p=3$ $k = 3^6 2^2 = 2916$
ถ้า $p \ge 5$ แล้ว $k \ge 15625q^2 > 12004$ ซึ่งขัดแย้ง ดังนั้นเราพบค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $k$ ผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ของ $n = k - 2005$ คือ
\begin{align*}
&(3136-2005) \\
+ &(7744-2005)\\
+ &(10816-2005)\\
+ &(2916-2005)\\
= &\boxed{16592}.
\end{align*} | n = k - 2005 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรของคำว่า NINE | ก่อนอื่นเราจะนับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนถ้า N ทั้งสองตัวแตกต่างกัน ซึ่งก็คือ 4! จากนั้นเนื่องจาก N ทั้งสองตัวเหมือนกัน เราจึงหารด้วย $2!$ เพื่อนับการเรียงสับเปลี่ยนของ N ได้คำตอบคือ $\dfrac{4!}{2!} = \boxed{12}$ | \dfrac{4!}{2!} = \boxed{12} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(n)$ เป็นผลรวมของตัวหารจำนวนเต็มบวกของ $n$ ถ้า $n$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $f(f(n))$ ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน เรียก $n$ ว่าจำนวนเฉพาะชนิดกระดอน จงหาจำนวนเฉพาะชนิดกระดอนที่เล็กที่สุด | เราทดสอบจำนวนเฉพาะขนาดเล็ก ตัวเลขจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดคือ $2$ แต่โปรดทราบว่า $f(2) = 3$ และ $f(3) = 4$ จากนั้นเราทดสอบ $3$ และโปรดทราบว่า $f(4) = 7$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $\boxed{3}$ คือจำนวนเฉพาะชนิดกระดอนที่เล็กที่สุด | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีค่า $b$ เพียงค่าเดียวที่ทำให้สมการกำลังสอง $x^2 + 2bx + (a-b) = 0$ มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียว จงหาค่า $a$ | ถ้าสมการกำลังสองที่กำหนดมีคำตอบเดียว จะได้ว่าค่าจำแนกของสมการต้องเท่ากับ 0 ค่าจำแนกของสมการกำลังสองที่กำหนดคือ $(2b)^2 - 4(a-b)$ และการตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ จะได้สมการกำลังสองอีกสมการหนึ่งคือ $4b^2 + 4b - 4a = 0$ เนื่องจากค่าของ $b$ มีค่าเดียว ดังนั้น จะได้ว่าค่าจำแนกของสมการกำลังสองนี้ต้องเท่ากับ 0 ค่าจำแนกคือ $(4)^2 - 4(4)(-4a) = 16 + 64a = 0$ ดังนั้น จะได้ว่า $a = \boxed{-0.25}$ | a = \boxed{-0.25} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในถุงที่มีลูกแก้ว 20 ลูก มีลูกแก้วสีน้ำเงิน 5 ลูก ต้องเพิ่มลูกแก้วสีน้ำเงินกี่ลูกลงในถุง เพื่อให้ความน่าจะเป็นในการหยิบลูกแก้วสีน้ำเงินแบบสุ่มเป็น $\frac{1}{2}$? | ถ้าเราเพิ่มลูกแก้วสีน้ำเงิน $x$ ลูก แล้วเศษส่วนของลูกแก้วสีน้ำเงินในถุงจะเป็น $\frac{5 + x}{20 + x}$ เราต้องการให้ค่านี้เท่ากับ $1/2$ ดังนั้น $\frac{5 + x}{20 + x}= \frac{1}{2}$ เมื่อจัดรูปสมการจะได้ $10 + 2x = 20 + x$ แก้สมการหาค่า $x$ จะได้ $x = \boxed{10}$ | x = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $4x^2+7x+k$ เป็น $\frac{-7\pm i\sqrt{15}}{8}$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | โดยใช้สูตรกำลังสอง เราพบว่ารากของสมการกำลังสองคือ $\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(k)}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{49-16k}}{8}$ เนื่องจากโจทย์บอกว่ารากเหล่านี้ต้องเท่ากับ $\frac{-7\pm\sqrt{15}i}{8}$ ดังนั้น \begin{align*} \sqrt{49-16k}&=\sqrt{15}i
\\\Rightarrow\qquad \sqrt{49-16k}&=\sqrt{-15}
\\\Rightarrow\qquad 49-16k&=-15
\\\Rightarrow\qquad 16k&=64
\\\Rightarrow\qquad k&=\boxed{4}.
\end{align*} | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ในระนาบเดียวกัน และมีด้าน $\overline{AD}$ ร่วมกันดังแสดง มุม $BAC$ มีขนาดกี่องศา? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
[asy]
for(int i=0; i <=7; ++i) {
draw(dir(360*i/7+90)--dir(360*(i+1)/7+90));
}
pair A = dir(360*3/7+90);
pair F = dir(360*4/7+90);
pair C = A+dir(90)*(F-A);
pair D = C+F-A;
pair B = dir(360*2/7+90);
draw(A--C--D--F);
label("$A$",A,S);
label("$B$",B,W);
label("$C$",C,SE);
label("$D$",F,S);
[/asy] | ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมของรูป $n$-เหลี่ยมด้านเท่าคือ $180(n-2)/n$ องศา ดังนั้น มุม $\angle BAD$ มีขนาด $180(7-2)/7=\frac{900}7$ องศา และมุม $CAD$ มีขนาด 90 องศา ผลต่างของมุมทั้งสองคือ $\angle BAC$ มีขนาด \[\frac{900}7-\frac{630}7=\boxed{\frac{270}7\text{ องศา}}.\] | \angle BAC | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คอร์ดเส้นหนึ่งมีความยาว 6 หน่วย แบ่งวงกลมออกเป็นสองบริเวณที่ต่างกัน ถ้าวงกลมมีรัศมี 6 หน่วย พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่ามีค่าเท่าใดในหน่วยตาราง? แสดงคำตอบของคุณในรูปรากที่ง่ายที่สุดของ $\pi$ | วาดรัศมีไปยังจุดตัดของคอร์ดกับวงกลม สามเหลี่ยมด้านเท่าจะถูกสร้างขึ้นโดยมีพื้นที่ $\frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ อย่างไรก็ตาม ส่วนทั้งหมดมีพื้นที่ $\frac{36\pi}{6} = 6\pi$ ถ้าเราลบพื้นที่ของภาคออกจากพื้นที่ของวงกลมทั้งหมด และจากนั้นบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่ากลับเข้าไป เราจะได้พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่า พื้นที่จึงเท่ากับ $36\pi - 6\pi + 9\sqrt{3} = \boxed{30\pi + 9\sqrt{3}}$ | 36\pi - 6\pi + 9\sqrt{3} = \boxed{30\pi + 9\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $2x + 5 = 11$ | ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ:
$2x + 5 - 5 = 11 - 5$
$2x = 6$
หารทั้งสองข้างด้วย 2:
$\frac{2x}{2} = \frac{6}{2}$
$x = 3$ | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อโยนลูกเต๋าที่เป็นธรรม 2 ลูก ลูกเต๋าแต่ละลูกมี 6 หน้า ความน่าจะเป็นที่จะได้หน้าเดียวกันทั้งสองลูกเท่ากับเท่าใด แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ไม่ว่าผลของการโยนครั้งแรกจะเป็นอย่างไร จะมี 6 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่เท่ากันสำหรับการโยนครั้งที่สอง โดยมีเพียง 1 ผลลัพธ์เท่านั้นที่เหมือนกับการโยนครั้งแรก ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะแสดงหน้าเดียวกันคือ $\boxed{\frac{1}{6}}$ | \boxed{\frac{1}{6}} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
แสดงในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ: $$\frac{9 \cdot 3 + 8}{4 \cdot 3 + 8}.$$ | เราสังเกตตามลำดับการดำเนินการ: \begin{align*}
\frac{9 \cdot 3 + 8}{4 \cdot 3 + 8} &= \frac{27 + 8}{12 + 8} \\
&= \frac{35}{20} = \boxed{\frac{7}{4}}.
\end{align*} | [
"ความจำ",
"ความเข้าใจ"
] | |
จงหาจำนวนเส้นกำลุ่งแนวตั้งในกราฟของ
\[y = \frac{(x + 8) (x + 5)^2 (x + 1)^3 x^5 (x - 3)^2}{(x + 7) (x + 5)^2 (x + 1) x (x - 3)^3 (x - 4)}.\] | มีตัวประกอบของ $x + 5,$ $x + 1,$ และ $x$ ทั้งในตัวเศษและตัวส่วน และตัวประกอบในตัวส่วนยกเลิกตัวประกอบในตัวเศษ ดังนั้นกราฟมีรูที่ $x = -5,$ $x = -1,$ และ $x = 0.$
มีตัวประกอบของ $x + 7$ ในตัวส่วน ดังนั้นมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = -7.$ มีสามตัวประกอบของ $x - 3$ ในตัวส่วน และสองตัวประกอบของ $x - 3$ ในตัวเศษ ดังนั้นมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = 3.$ มีตัวประกอบของ $x - 4$ ในตัวส่วน ดังนั้นมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = 4.$
ดังนั้นมีเส้นกำลุ่งแนวตั้ง $\boxed{3}$ เส้น | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ
\[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6}\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | เห็นได้ชัดว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อ $x$ เป็นบวกและ $y$ เป็นลบ ให้ $z = -y$ ดังนั้น $z$ เป็นบวก และ $y = -z$ ดังนั้น
\[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6} = \frac{x + z}{x^4 + z^4 + 6}.\]โดย AM-GM,
\[x^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{x^4} = 4x,\]และ
\[z^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{z^4} = 4z.\]ดังนั้น $x^4 + z^4 + 6 \ge 4(x + z)$ ซึ่งหมายความว่า
\[\frac{x + z}{x^4 + z^4 + 6} \le \frac{1}{4}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x = z = 1$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{1}{4}}.$ | \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดว่า $x$, $\frac{1}{x}$, $y$, $\frac{1}{y}$, $z$ และ $\frac{1}{z}$ เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด มีค่าที่เป็นไปได้ต่าง ๆ ของ $x+ y+ z$ กี่ค่า? | เนื่องจาก $x$ และ $1/x$ เป็นจำนวนเต็ม เราทราบว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มที่หาร 1 ลงตัว ดังนั้นเราต้องมี $x = -1$ หรือ $x = 1$ เช่นเดียวกันกับ $y$ และ $z$ ดังนั้นผลรวมที่เป็นไปได้คือ $3(-1) = -3$, $2(-1) + 1 = -1$, $2(1) + -1 = 1$ หรือ $3(1) = 3$ ดังนั้นมี $\boxed{4}$ ค่าที่เป็นไปได้สำหรับผลรวม | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $4x^2+7x+k$ คือ $\frac{-7\pm i\sqrt{15}}{8}$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | จากสูตรกำลังสอง เราพบว่ารากของสมการกำลังสองคือ $\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(k)}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{49-16k}}{8}$ เนื่องจากโจทย์บอกว่ารากเหล่านี้เท่ากับ $\frac{-7\pm\sqrt{15}i}{8}$ ดังนั้น
\begin{align*} \sqrt{49-16k}&=\sqrt{15}i
\\\Rightarrow\qquad \sqrt{49-16k}&=\sqrt{-15}
\\\Rightarrow\qquad 49-16k&=-15
\\\Rightarrow\qquad 16k&=64
\\\Rightarrow\qquad k&=\boxed{4}.
\end{align*} | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าคงที่ $c,$ ในพิกัดกระบอก $(r,\theta,z),$ จงหารูปร่างที่อธิบายโดยสมการ
\[z = c.\](A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) ระนาบ
(D) ทรงกลม
(E) ทรงกระบอก
(F) กรวย
ใส่อักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | ในพิกัดกระบอก $z$ แสดงถึงพิกัด $z$ ของจุด ดังนั้น สำหรับพิกัด $z$ ที่คงที่ $c$ จุดทั้งหมดจะอยู่บนระนาบที่ขนานกับระนาบ $xy$ คำตอบคือ $\boxed{\text{(C)}}.$
[asy]
import three;
import solids;
size(200);
currentprojection = perspective(6,3,2);
currentlight = (1,0,1);
real theta = 120;
draw((-2,0,0)--(2,0,0));
draw((0,-2,0)--(0,2,0));
draw(surface((1,1,0.5)--(1,-1,0.5)--(-1,-1,0.5)--(-1,1,0.5)--cycle),gray(0.99));
draw((0,0,-2)--(0,0,0.2));
draw((0,0,0.5)--(0,0,2));
label("$x$", (2,0,0), SW);
label("$y$", (0,2,0), E);
label("$z$", (0,0,2), N);
label("$z = c$", (-1,1,0.5), E);
[/asy] | C | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มคี่ $t$ ที่เป็นจำนวนเดียวที่สอดคล้องกับเงื่อนไข $0 < t < 23$ และ $t + 2$ เป็นจำนวนผกผันของ $t$ modulo 23 | เราสามารถหาคำตอบได้โดยการทดลอง -- ทดสอบแต่ละค่าของ $t$ เพื่อดูว่า $t\cdot (t+2)\equiv 1\pmod{23}$ หรือไม่ อย่างไรก็ตาม มีวิธีอื่นดังนี้:
เราสามารถเห็นได้ง่ายๆ ว่า $4\cdot 6=24\equiv 1\pmod{23}$ ดังนั้น $4$ จึงเป็นไปตามเงื่อนไขหลักที่ว่าจำนวนผกผันของมันคือ $2$ มากกว่าค่าของมัน อย่างไรก็ตาม $4$ ไม่ใช่จำนวนคี่ แต่เรายังมี \begin{align*}
(-4)\cdot (-6) &= 4\cdot 6 \\
&\equiv 1\pmod{23},
\end{align*} ดังนั้น $-4$ และ $-6$ เป็นจำนวนผกผันของกันและกัน $\pmod{23}$ เนื่องจาก $-4\equiv 19\pmod{23}$ และ $-6\equiv 17\pmod{23}$ คำตอบ $t=\boxed{17}$ จึงเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา
(เราสามารถตรวจสอบได้ว่า $17\cdot 19 = 323 = 14\cdot 23 + 1$.) | 17\cdot 19 = 323 = 14\cdot 23 + 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $8-4 \div 2-1$ | ตามลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การหารต้องทำก่อนการลบ เราจะได้คำตอบดังนี้ \begin{align*}
8-4 \div 2 - 1 &= 8-2-1 \\
&= 6-1 \\
&= \boxed{5}.
\end{align*} | 5 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งไม่มีจำนวนใดเป็นพหุคูณของ 3 จงหาเศษที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้เมื่อ $a^2 + b^2$ หารด้วย 3 | สังเกตว่า $1^2 \equiv 2^2 \equiv 1 \pmod{3}$ เศษที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวเมื่อยกกำลังสองของจำนวนที่ไม่ใช่พหุคูณของ 3 หารด้วย 3 คือ 1 ดังนั้น $a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv \boxed{2} \pmod{3}$ | a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv \boxed{2} \pmod{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าคุณมีเหรียญที่ถ่วงน้ำหนัก โดยหัวมีโอกาสปรากฏ $ rac{3}{4}$ และก้อยมีโอกาสปรากฏ $ rac{1}{4}$ ถ้าคุณโยนหัว คุณจะได้เงิน 2 ดอลลาร์ แต่ถ้าคุณโยนก้อย คุณจะเสียเงิน 1 ดอลลาร์ ค่าที่คาดหวังของการโยนเหรียญคือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นทศนิยม | ตามนิยาม เราคูณผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็นของมัน และบวกเข้าด้วยกัน: $E = rac{3}{4}(+$2) + $ rac{1}{4}(-$$1) = $1.50 - $0.25 = $oxed{$1.25}$. | 1.25 | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $\mathbf{A}$ และ $\mathbf{B}$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$ โดยที่ $\det \mathbf{A} = -1$ และ $\det \mathbf{B} = 3.$ จงหา $\det (3 \mathbf{A} \mathbf{B}).$ | ก่อนอื่น
\[\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})(\det \mathbf{B}) = (-1)(3) = -3.\]โดยทั่วไป $\det (k \mathbf{M}) = k^2 \det \mathbf{M}.$ ดังนั้น
\[\det (3 \mathbf{A} \mathbf{B}) = 3^2 \cdot (-3) = \boxed{-27}.\] | -27 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จอห์นโยนลูกเต๋า 2 ลูก ลูกเต๋าแต่ละลูกมี 6 หน้า จงหาความน่าจะเป็นที่เลขที่โยนได้ของทั้งสองลูกจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | เราต้องใช้การพิจารณาตามกรณีเพื่อแก้ปัญหานี้ ถ้าลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 1 ลูกเต๋าที่สองสามารถเป็นเลขอะไรก็ได้ (6 กรณี) ถ้าลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 2 หรือ 4 ลูกเต๋าที่สองจะถูกจำกัดให้เป็น 1, 3 หรือ 5 ($2\cdot3 = 6$ กรณี) ถ้าลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 3 ลูกเต๋าที่สองสามารถเป็น 1, 2, 4 หรือ 5 (4 กรณี) ถ้าลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 5 ลูกเต๋าที่สองสามารถเป็นเลขอะไรก็ได้ยกเว้น 5 (5 กรณี) ถ้าลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 6 ลูกเต๋าที่สองสามารถเป็นเพียง 1 หรือ 5 (2 กรณี) มี 36 วิธีในการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 23 วิธีที่เป็นไปได้ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{\frac{23}{36}}$ | \boxed{\frac{23}{36}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีวิธีการเลือกไพ่ 5 ใบที่แตกต่างกันได้กี่วิธี จากสำรับไพ่ 52 ใบ โดยที่ลำดับที่ได้ไพ่ไม่สำคัญ | เราเลือกไพ่ 5 ใบ จากทั้งหมด 52 ใบ ซึ่งแทนด้วย ${{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960}$ | {{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เดนาลีและเนททำงานให้กับบริษัทเดินสุนัขและได้รับค่าจ้างสำหรับสุนัขที่พวกเขาพาเดิน เดนาลีรับผิดชอบ $16$ ตัว และเนทรับผิดชอบ $12$ ตัว ตามนโยบายใหม่ของบริษัท พวกเขาจะได้รับมอบหมายหรือยกเลิกสุนัขตัวใหม่เป็นกลุ่มละ $x$ ตัว อัตราส่วนของค่าจ้างของเดนาลีต่อค่าจ้างของเนทจะเหมือนกันหากเดนาลีเริ่มพาสุนัข $4x$ ตัวเพิ่ม และเนทยังคงอยู่ที่ $12$ ตัว หรือหาก $x$ ตัวของสุนัขของเนทถูกมอบหมายใหม่ให้เดนาลี จงหา $x$ หาก $x\neq0$. | การเขียนใหม่ประโยค "อัตราส่วนของค่าจ้างของเดนาลีต่อค่าจ้างของเนทจะเหมือนกันหากเดนาลีเริ่มพาสุนัข $4x$ ตัวเพิ่ม และเนทยังคงอยู่ที่ $12$ ตัว หรือหาก $x$ ตัวของสุนัขของเนทถูกมอบหมายใหม่ให้เดนาลี" เป็นสมการ เราได้ \[\frac{16+4x}{12}=\frac{16+x}{12-x}.\]ล้างตัวหาร, \begin{align*}
(16+4x)(12-x)&=(16+x)(12)\quad \Rightarrow\\
192-16x+48x-4x^2&=192+12x\quad \Rightarrow\\
32x-4x^2&=12x\quad \Rightarrow\\
0&=4x^2-20x\quad \Rightarrow\\
0&=4x(x-5).
\end{align*}เนื่องจาก $x$ ไม่สามารถเป็น $0$ ได้ $x=\boxed{5}$. | x=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งถูกวาดในรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า สร้างรูปแปดเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมขึ้นมา จงหาค่าของ $x$?
[asy]
import markers;
for(int i=0; i <=10; ++i) {
draw(dir(360*i/10+90)--dir(360*(i+1)/10+90));
}
pair A = dir(360*0/10+90);
pair F = dir(360*7/10+90);
pair G = dir(360*8/10+90);
pair H = dir(360*9/10+90);
draw(A--F);
markangle(Label("$x$",Relative(0.5)),n=1,radius=18,G,F,A);
[/asy] | มุมของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า มีขนาด $\left(\frac{180(n-2)}n\right)^\circ$ ดังนั้น มุมในรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า มีขนาด \[y=\frac{180\cdot8}{10}=144\]องศา
เราสังเกตว่า เนื่องจากมุมที่ใหญ่กว่าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน และด้านที่สอดคล้องกันสามด้านเท่ากัน รูปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหน้าจั่ว ดังนั้นเราได้มุมดังนี้:
[asy]
import markers;
for(int i=0; i <=10; ++i) {
draw(dir(360*i/10+90)--dir(360*(i+1)/10+90));
}
pair A = dir(360*0/10+90);
pair F = dir(360*7/10+90);
pair G = dir(360*8/10+90);
pair H = dir(360*9/10+90);
draw(A--F);
markangle(Label("$x$",Relative(0.5)),n=1,radius=13,G,F,A);
markangle(Label("$x$",Relative(0.5)),n=1,radius=13,F,A,H);
markangle(Label("$y$",Relative(0.5)),n=1,radius=9,A,H,G);
markangle(Label("$y$",Relative(0.5)),n=1,radius=9,H,G,F);
[/asy]
ผลรวมของขนาดมุมในรูปสี่เหลี่ยมเสมอ $360^\circ$ ดังนั้นเราได้ \[360=x+x+y+y=x+x+144+144.\]ดังนั้น \[x+x=360-144-144=72\]องศา ดังนั้น $x=\boxed{36}$ องศา | x=\boxed{36} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มี 10 คนมาร่วมงานเลี้ยง ในงานเลี้ยงนี้ทุกคนจับมือกับทุกคน มีการจับมือกันกี่ครั้งในงานเลี้ยงนี้ | เราสามารถเลือก 2 คนจากกลุ่ม 10 คนเพื่อจับมือกันได้โดยไม่คำนึงถึงลำดับใน $\binom{10}{2} = \boxed{45}$ วิธี | \binom{10}{2} = \boxed{45} | [
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มสองหลักหารด้วย $n$ ลงตัว และหลักสุดท้ายของจำนวนนั้นคือ $n$ จงหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $n$ | เราต้องการหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของหลัก $n$ ดังนั้นมาดูกันว่า $n=9$ เป็นไปได้หรือไม่ 99 หารด้วย 9 ลงตัว ดังนั้นค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $n$ คือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $$\left(\left(\left(\left(\left(-345\right)^{4}\right)^{2}\right)^{0}\right)^{-2}\right)^{-4}.$$ | จงจำไว้ว่า $x^0 = 1$ สำหรับทุกจำนวน $x$ ดังนั้น \[\left(\left(\left(-345\right)^{4}\right)^{2}\right)^{0}=1,\]และนิพจน์ที่กำหนดจะกลายเป็น $$\left(1^{-2}\right)^{-4}.$$เนื่องจาก 1 ยกกำลังจำนวนเต็มใดๆ เท่ากับ 1 เราได้ $$\left(1^{-2}\right)^{-4} = 1^{-4} = \boxed{1}.$$ | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] | |
จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของคำว่า ``Hawaii'' ที่มี 6 ตัวอักษร | ถ้าตัวอักษรทุกตัวใน ``Hawaii'' แตกต่างกัน จะมี $6! = 6\cdot 5 \cdots 2 \cdot 1$ วิธีเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกัน เนื่องจากสำหรับตัวอักษรตัวแรกของการเรียงสับเปลี่ยน จะมีตัวอักษร 6 ตัวให้เลือก สำหรับตัวที่สองจะมี 5 ตัว เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ``Hawaii" มี 2 ตัวอักษร $a$ และ 2 ตัวอักษร $i$ ดังนั้นเราต้องหารด้วย 2 เพื่อกำจัดการนับซ้ำที่เกิดจาก 2 ตัวอักษร $a$ ที่เหมือนกัน และเราต้องหารด้วย 2 อีกครั้งเพื่อกำจัดการนับซ้ำที่เกิดจาก 2 ตัวอักษร $i$ ที่เหมือนกัน จำนวนสุดท้ายของเราคือ $\frac{6!}{2\cdot 2}$ ยกเลิก 4 บนและล่างจะได้ $6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \cdot 6 = \boxed{180}$ | 6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \cdot 6 = \boxed{180} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $\mathbf{R}$ เป็นเมทริกซ์การสะท้อนผ่านเวกเตอร์ $\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}.$ จงหา $\det \mathbf{R}.$ | เมทริกซ์การสะท้อนจะมีรูปแบบดังนี้
\[\begin{pmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{pmatrix},\]โดยเวกเตอร์ที่สะท้อนผ่านมีเวกเตอร์ทิศทาง $\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}.$ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือ
\[(\cos 2 \theta)(-\cos 2 \theta) - \sin^2 2 \theta = -\cos^2 2 \theta - \sin^2 2 \theta = \boxed{-1}.\](ทำไมจึงสมเหตุสมผลทางเรขาคณิต?) | \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
สามรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาว 6 หน่วยทับซ้อนกันดังแสดงในรูปด้านล่าง จุดที่ด้านตัดกันเป็นจุดกึ่งกลาง จงหาพื้นที่ของรูปสีเทาเป็นตารางหน่วย
[asy]
size(3cm,3cm);
fill((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--cycle,lightgray);
fill((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--cycle,lightgray);
fill((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1,1)--cycle,lightgray);
draw((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--(0,1));
draw((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--(0.5,0.5));
draw((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1,1)--(1,0));
draw((-0.4,1)--(-0.4,2),Bars);
label("6",(-0.4,1.5),UnFill(1));
[/asy] | แบ่งรูปโดยต่อด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส``ตรงกลาง'' ดังที่แสดงทางด้านขวา แต่ละรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก $3 \times 3$ สี่รูป รูปที่แรเงาประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก $3 \times 3$ สิบรูป ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ $10 \times 9 = \boxed{90\text{ ตารางหน่วย}}$
[asy]
size(3cm,3cm);
fill((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--cycle,lightgray);
fill((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--cycle,lightgray);
fill((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1,1)--cycle,lightgray);
draw((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--(0,1));
draw((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--(0.5,0.5));
draw((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1,1)--(1,0));
draw((-0.4,1)--(-0.4,2),Bars);
label("6",(-0.4,1.5),UnFill(1));
draw((0.5,1.5)--(0.5,2));
draw((0,1.5)--(0.5,1.5));
draw((1.5,0.5)--(2,0.5));
draw((1.5,0)--(1.5,0.5));
label("3",(0.25,2),N);
label("3",(0.75,2),N);
[/asy] | 10 \times 9 = \boxed{90\text{ ตารางหน่วย}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจุด $(3,4)$ สะท้อนในแกน $x$ จุดภาพจะมีพิกัดเท่าใด?
[asy]
draw((-5.5,0)--(5.5,0),linewidth(1));
draw((-5.5,0)--(5.5,0),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),linewidth(1));
draw((-5,-5)--(-5,5)--(5,5)--(5,-5)--cycle);
draw((-4,-5)--(-4,5));
draw((-3,-5)--(-3,5));
draw((-2,-5)--(-2,5));
draw((-1,-5)--(-1,5));
draw((1,-5)--(1,5));
draw((2,-5)--(2,5));
draw((3,-5)--(3,5));
draw((4,-5)--(4,5));
draw((-5,-4)--(5,-4));
draw((-5,-3)--(5,-3));
draw((-5,-2)--(5,-2));
draw((-5,-1)--(5,-1));
draw((-5,1)--(5,1));
draw((-5,2)--(5,2));
draw((-5,3)--(5,3));
draw((-5,4)--(5,4));
dot((3,4));
label("$x$",(5.5,0),E);
label("$y$",(0,5.5),N);
label("$(3,4)$",(3,4),NE);
[/asy] | หลังจากสะท้อนจุด $(3,4)$ ในแกน $x$ พิกัด $x$ ของจุดภาพจะเหมือนกับพิกัด $x$ ของจุดเดิม $x=3$ จุดเดิมอยู่ห่างจากแกน $x$ เป็นระยะ $4$ หน่วย จุดภาพจะอยู่ห่างจากแกน $x$ เท่ากัน แต่ต่ำกว่าแกน $x$ ดังนั้น จุดภาพจะมีพิกัด $y$ เป็น $-4$ พิกัดของจุดภาพคือ $\boxed{(3,-4)}.$ [asy]
draw((-5.5,0)--(5.5,0),linewidth(1));
draw((-5.5,0)--(5.5,0),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),linewidth(1));
draw((-5,-5)--(-5,5)--(5,5)--(5,-5)--cycle);
draw((-4,-5)--(-4,5));
draw((-3,-5)--(-3,5));
draw((-2,-5)--(-2,5));
draw((-1,-5)--(-1,5));
draw((1,-5)--(1,5));
draw((2,-5)--(2,5));
draw((3,-5)--(3,5));
draw((4,-5)--(4,5));
draw((-5,-4)--(5,-4));
draw((-5,-3)--(5,-3));
draw((-5,-2)--(5,-2));
draw((-5,-1)--(5,-1));
draw((-5,1)--(5,1));
draw((-5,2)--(5,2));
draw((-5,3)--(5,3));
draw((-5,4)--(5,4));
dot((3,4));
label("$x$",(5.5,0),E);
label("$y$",(0,5.5),N);
label("$(3,4)$",(3,4),NE);
draw((3,4)--(3,-4),dotted+linewidth(1));
dot((3,-4));
label("$(3,-4)$",(3,-4),NE);
[/asy] | (3,-4) | [
"จำ",
"ความเข้าใจ"
] |
50% ของ $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือเท่าไร | $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือ 12 และ 50% ของ 12 คือ $oxed{6}$ | $oxed{6}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $3 \times 11 \times 13 \times 21 = 2005 +b$ จงหาค่าของ $b$ | เพื่อที่จะคูณฝั่งซ้ายให้เร็วขึ้น เราสังเกตว่าใน 4 จำนวนนี้ เราสามารถคูณ $11 \times 13 \times 7 = 11 \times 91 = 1001$ ได้ จากนั้นเราเหลือ 9 ดังนั้นผลคูณทั้งหมดคือ 9009 และเมื่อลบออกด้วย 2005 เราจะได้ $\boxed{7004}$ | \boxed{7004} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
เมื่อเขียนอยู่ในรูปมาตรฐาน จะมีศูนย์กี่ตัวในผลคูณของ $(9.2 imes 10^2)(8 imes 10^6)$ | ก่อนอื่น ให้ทำให้ง่ายขึ้น $(9.2 imes 10^2)(8 imes 10^6)=73.6 imes 10^8$. ตัวประกอบ $10^8$ บอกเราว่าให้เลื่อนจุดทศนิยมใน 73.6 สิบตำแหน่งไปทางขวา ขั้นตอนแรกเลื่อนจุดทศนิยมผ่าน 6 และขั้นตอนถัดไปอีก $\boxed{7}$ ขั้นตอนแต่ละขั้นตอนจะใส่วิธี 0 | \boxed{7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ของ น.ส. แฮมิลตัน ต้องการเข้าร่วมการแข่งขันบาสเกตบอลแบบทีมละ 3 คนประจำปี Lance, Sally, Joy และ Fred ได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกทีม มีวิธีการเลือกผู้เล่นตัวจริง 3 คนได้กี่วิธี? | เมื่อมีผู้เล่น 3 คนเป็นตัวจริง จะมี 1 คนเป็นตัวสำรอง เนื่องจากผู้เล่นทั้ง 4 คนสามารถเป็นตัวสำรองได้ จึงมี 4 วิธีในการเลือกทีมตัวจริง: Lance-Sally-Joy, Lance-Sally-Fred, Lance-Joy-Fred และ Sally-Joy-Fred หรือเราสามารถสังเกตได้ว่าเรามี $\boxed{4}$ ตัวเลือกสำหรับการเลือกผู้เล่นที่ไม่ลงสนาม! | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดระหว่าง $-\frac{\pi}{2}$ และ $\frac{\pi}{2}$ ที่ทำให้ $1 - \sin^4 x - \cos^2 x = \frac{1}{16}.$ ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เนื่องจาก $1 - \cos^2 x = \sin^2 x,$ สมการจะกลายเป็น $\sin^2 x - \sin^4 x = \frac{1}{16},$ หรือ
\[\sin^4 x - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ในรูปสมการกำลังสองของ $\sin^2 x$:
\[(\sin^2 x)^2 - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]โดยใช้สูตรกำลังสอง,
\[\sin^2 x = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}.\]แล้ว
\[\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.\]คำตอบในช่วง $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ คือ $\boxed{-\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}}.$ | \boxed{-\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และให้ $k$ เป็นจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ ซึ่งผกผันได้ modulo $2^n$ ถ้า $2^n\equiv 3\pmod{13}$ แล้วเศษเหลือเมื่อ $k$ หารด้วย $13$ คือเท่าใด? | เนื่องจาก $2^n$ เป็นกำลังของ $2$ ดังนั้นตัวประกอบเฉพาะเพียงตัวเดียวคือ $2$ ดังนั้นจำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนผกผันได้ modulo $2^n$ และจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนไม่ผกผันได้ modulo $2^n$ ในจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ มีจำนวนเต็มคี่อยู่ $\frac{2^n}{2}=2^{n-1}$ ตัว ดังนั้น \[k=2^{n-1}\equiv 2^{-1}2^n\equiv 7\cdot 3\equiv 21\equiv \boxed{8}\pmod {13}\] | \frac{2^n}{2}=2^{n-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $g(x) = x^2 - 11x + 30,$ และให้ $f(x)$ เป็นพหุนามซึ่งทำให้
\[g(f(x)) = x^4 - 14x^3 + 62x^2 - 91x + 42.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(10^{100}).$ | กำหนดให้ $d$ เป็นดีกรีของ $f(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $g(f(x))$ คือ $2d = 4,$ ดังนั้น $d = 2.$
ดังนั้น ให้ $f(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\begin{align*}
g(f(x)) &= g(ax^2 + bx + c) \\
&= (ax^2 + bx + c)^2 - 11(ax^2 + bx + c) + 30 \\
&= a^2 x^4 + 2abx^3 + (2ac + b^2 - 11a) x^2 + (2bc - 11b) x + c^2 - 11c + 30.
\end{align*}เปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้
\begin{align*}
a^2 &= 1, \\
2ab &= -14, \\
2ac + b^2 - 11a &= 62, \\
2cb - 11b &= -91, \\
c^2 - 11c + 30 &= 42.
\end{align*}จาก $a^2 = -1,$ $a = 1$ หรือ $a = -1.$
ถ้า $a = 1,$ จากสมการ $2ab = -14,$ $b = -7.$ จากนั้น จากสมการ $2cb - 11b = -91,$ $c = 12.$ สังเกตว่า $(a,b,c) = (1,-7,12)$ สอดคล้องกับสมการทั้งหมด
ถ้า $a = -1,$ จากสมการ $2ab = -14,$ $b = 7.$ จากนั้น จากสมการ $2cb - 11b = -91,$ $c = -1.$ สังเกตว่า $(a,b,c) = (-1,7,-1)$ สอดคล้องกับสมการทั้งหมด
ดังนั้น พหุนาม $f(x)$ ที่เป็นไปได้คือ $x^2 - 7x + 12$ และ $-x^2 + 7x - 1.$ เนื่องจาก
\[x^2 - 7x + 12 + (-x^2 + 7x - 1) = 11\]สำหรับทุก $x,$ ผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(10^{100})$ คือ $\boxed{11}.$ | \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมนูนคือ $(-1, -1), (-3, 4), (1, 7), (6, 5)$ และ $(3, -1)$ จงหาพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมนี้ [asy]
import graph; size(150); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-4.5,xmax=7.5,ymin=-2.5,ymax=8.5;
pen zzzzzz=rgb(0.6,0.6,0.6);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+zzzzzz; real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10); string blank(real x){return "";}
xaxis(xmin,xmax,defaultpen+zzzzzz+linewidth(1.2),above=true); yaxis(ymin,ymax,defaultpen+zzzzzz+linewidth(1.2),above=true); draw((-1,-1)--(3,-1)); draw((3,-1)--(6,5)); draw((1,7)--(6,5)); draw((-1,-1)--(-3,4)); draw((-3,4)--(1,7));
dot((-1,-1),ds); dot((-3,4),ds); dot((6,5),ds); dot((3,-1),ds); dot((1,7),ds);
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] | วาดสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจุดยอด $(-3,7),(-3,-1),(6,-1),(6,7)$ รอบรูปห้าเหลี่ยมดังแสดงด้านล่าง: [asy]
import graph; size(4.45cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-4.5,xmax=7.5,ymin=-2.5,ymax=8.5;
pen zzzzzz=rgb(0.6,0.6,0.6);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+zzzzzz; real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10); string blank(real x){return "";}
xaxis(xmin,xmax,defaultpen+zzzzzz+linewidth(1.2),above=true); yaxis(ymin,ymax,defaultpen+zzzzzz+linewidth(1.2),above=true); draw((-1,-1)--(3,-1)); draw((3,-1)--(6,5)); draw((1,7)--(6,5)); draw((-1,-1)--(-3,4)); draw((-3,4)--(1,7)); draw((-3,7)--(-3,-1)--(6,-1)--(6,7)--cycle,linewidth(1.4));
dot((-1,-1),ds); dot((-3,4),ds); dot((6,5),ds); dot((3,-1),ds); dot((1,7),ds);
pen sm = fontsize(12);
label("$A_2$",(-3,7),SE,sm); label("$A_3$",(-3,-1),NE,sm); label("$A_4$",(6,-1),NW,sm); label("$A_1$",(6,7),SW,sm);
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมเท่ากับผลต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยมด้านฉาก 4 รูปที่เกิดขึ้นที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมผืนผ้า เราพบว่า \begin{align*}
A_1 &= \frac 12 \cdot 5 \cdot 2 = 5, \\
A_2 &= \frac 12 \cdot 4 \cdot 3 = 6, \\
A_3 &= \frac 12 \cdot 2 \cdot 5 = 5, \\
A_4 &= \frac 12 \cdot 3 \cdot 6 = 9,
\end{align*} ในขณะที่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดคือ $9 \times 8 = 72$ ดังนั้นพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมเท่ากับ $72 -5 - 6 -5 - 9 = \boxed{47}$ ตารางหน่วย | 72 -5 - 6 -5 - 9 = \boxed{47} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
x/2 &\quad \text{if } x \text{ เป็นจำนวนคู่}, \\
3x+1 &\quad \text{if } x \text{ เป็นจำนวนคี่}.
\end{cases}
\]จงหาค่าของ $f(f(f(f(1))))$? | คำนวณค่าทีละขั้นตอน: $f(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$; $f(f(1)) = f(4) = 4/2 = 2$; $f(f(f(1))) = f(2) = 2/2 = 1$; และสุดท้าย $f(f(f(f(1)))) = f(1) = \boxed{4}$. | f(f(f(f(1)))) = f(1) = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ประเมินค่าของ $\left\lceil3\left(6-\frac12\right)\right\rceil$. | ก่อนอื่น $3\left(6-\frac12\right)=18-1-\frac12=17-\frac12$. เนื่องจาก $0\le\frac12<1$ เราได้ว่า $\left\lceil17-\frac12\right\rceil=\boxed{17}$. | \left\lceil17-\frac12\right\rceil=\boxed{17} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จุด $(-1,4)$ และ $(2,-3)$ เป็นจุดยอดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส | ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนด หรือ $\sqrt{(-1 - 2)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}$ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือกำลังสองของความยาวด้าน หรือ $\boxed{58}$ | \boxed{58} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แองกี้ตัดสินใจใช้ห้องเรียนของเธอเป็นตัวอย่างเพื่อคาดการณ์จำนวนนักเรียนทั้งหมดในโรงเรียนของเธอที่สวมเสื้อสีแดงในวันวาเลนไทน์ เธอพบว่ามีนักเรียน 11 คนสวมเสื้อสีแดงในห้องเรียนของเธอที่มีนักเรียน 24 คน โดยใช้สัดส่วนนี้ แองกี้จะประมาณว่ามีนักเรียนจำนวนเท่าใดในจำนวน 480 คนในโรงเรียนของเธอที่สวมเสื้อสีแดง? | เราสามารถใช้ข้อมูลที่กำหนดให้สร้างอัตราส่วนและแก้หาจำนวนเด็กในโรงเรียนที่สวมเสื้อสีแดง ให้ $x$ เท่ากับจำนวนนักเรียนทั้งหมดที่สวมเสื้อสีแดงในโรงเรียน จากข้อมูลที่กำหนดให้ เรามี $$ \frac{11}{24}=\frac{x}{480},$$ดังนั้น $$x=\frac{480\cdot 11}{24},$$ซึ่งหมายความว่า $$x=20\cdot 11=\boxed{220}.$$ | 220 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระหว่างปีการศึกษา สมาชิกชมรมหมากรุก 10 คน เล่นหมากรุกกันทั้งหมด 900 เกม ในการฝึกซ้อม แต่ละคนเล่นกับสมาชิกคนอื่น ๆ $N$ ครั้ง ค่าของ $N$ คือเท่าไร | เนื่องจากมีสมาชิกชมรม 10 คน จึงมีการจับคู่สมาชิกทั้งหมด $\binom{10}{2} = \frac{10\cdot 9}{2} = 45$ คู่ ดังนั้นแต่ละคู่ต้องเล่น $\frac{900}{45} = \boxed{20}$ เกม | \frac{900}{45} = \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษ) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ จะต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ จะต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ จะต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังนั้น $a+b=-3+3=\boxed{0}$ | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทิมต้องการลงทุนเงินจำนวนหนึ่งในธนาคารซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกไตรมาสด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปี $7\%$. โดยประมาณถึงบาท terdekat ทิมควรลงทุนเงินเท่าไรถ้าเขาต้องการยอดเงินทั้งหมด $\$60,\!000$ ที่สิ้นสุดของ $5$ ปี? | นึกถึงสูตร $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ โดยที่ $A$ คือยอดคงเหลือสุดท้าย, $P$ คือเงินต้น, $r$ คืออัตราดอกเบี้ย, $t$ คือจำนวนปี และ $n$ คือจำนวนครั้งที่ดอกเบี้ยถูกคิดทบต้นในหนึ่งปี สูตรนี้แสดงถึงแนวคิดที่ว่าดอกเบี้ยถูกคิดทบต้นทุกๆ $1/n$ ปีด้วยอัตรา $r/n$.
แทนค่าข้อมูลที่กำหนดให้ เราได้ \[60,\!000=P\left(1+\frac{0.07}{4}\right)^{4 \cdot 5}.\]แก้สมการเพื่อหา $P$ จะได้ $P=42409.474...$ ซึ่งปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดคือ $\boxed{\$42409}$. | \boxed{\ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการ $x$ : $(x-4)^3=\left(\frac18\right)^{-1}$ | ก่อนอื่น เราสังเกตว่า $\left(\frac18\right)^{-1} = 8$ ดังนั้นสมการคือ $(x-4)^3 = 8$ การหารากที่สามของทั้งสองข้างจะได้ $x-4 = 2$ ดังนั้น $x=\boxed{6}$ | x=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในเมืองซอลต์เลค, UT ในวันหนึ่ง อุณหภูมิถูกกำหนดโดย $-t^2 +12t+50$ โดยที่ $t$ คือเวลาเป็นชั่วโมงที่ผ่านมาตั้งแต่เที่ยง ค่า $t$ ที่ใหญ่ที่สุดที่อุณหภูมิเท่ากับ 77 องศาคือเท่าใด? | เราตั้งอุณหภูมิให้เท่ากับ 77 องศา: \begin{align*}
-t^2 +12t+50&=77\\
t^2-12t+27&=0\\
(t-3)(t-9)&=0
\end{align*}เราเห็นว่าอุณหภูมิเท่ากับ 77 องศา สองครั้ง: ที่ $t=3$ และ $t=9$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการ $x$ : $$5^{x + 4} = 125^x.$$ | เขียนข้างขวาด้วยฐาน $5$ เราได้ $125^x = (5^3)^x = 5^{3x}$ ดังนั้นสมการของเราคือ: $$5^{x + 4} = 5^{3x}.$$ จากนั้นตั้งเลขชี้กำลังให้เท่ากัน เราได้ $$x + 4 = 3x.$$ นำไปสู่ $2x = 4 \implies \boxed{x = 2}$ | 2x = 4 \implies \boxed{x = 2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4)$ | เราสามารถคูณตรงๆ ได้ แต่จะยุ่งยาก เราจะคูณนิพจน์ทั้งหมดด้วย $\frac{2-1}{2-1}$ และใช้ผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\ \ \ \ \frac{1}{2-1}(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^2 - 1^2)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^4 - 1^4)(2^4 + 1^4) \\
&= 2^8 - 1^8 \\
&= \boxed{255}.
\end{align*} | 255 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ $2x(x-3) + 3(x-3)$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x-3$ ออกจากแต่ละพจน์: \[2x(x-3) + 3(x-3) = 2x\cdot (x-3) + 3\cdot (x-3) = \boxed{(2x+3)(x-3)}.\] ถ้าคุณไม่เข้าใจว่ามันทำงานอย่างไร ลองแทน $A$ แทน $x-3$ ทุกที่ในนิพจน์เดิม แล้วเราจะเห็นการแยกตัวประกอบได้ชัดเจนขึ้น: \[2xA +3A = 2x\cdot A + 3\cdot A = (2x+3)A.\] แทน $x-3$ กลับเข้าไปใน $A$ เราจะได้การแยกตัวประกอบ: $(2x+3)(x-3)$. | (2x+3)(x-3) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ากราฟของเส้นตรง $y = ax + b$ ผ่านจุด $(4,5)$ และ $(8,17)$ แล้ว $a - b$ มีค่าเท่าใด | ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด $(x_1,y_1)$ และ $(x_2,y_2)$ คือ \[\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\]ให้ $(x_1,y_1) = (4,5)$ และ $(x_2,y_2) = (8,17)$ ดังนั้นความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองคือ \[\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{17 - 5}{8 - 4} = \frac{12}{4} = 3.\]ดังนั้น $a = 3$.
$b$ สอดคล้องกับ $y = 3x + b$ สำหรับจุดทั้งหมดบนกราฟของมัน เนื่องจาก $(4,5)$ อยู่บนกราฟของ $y = 3x + 5$ เราสามารถแทน $x = 4$ และ $y = 5$ เพื่อแก้หา $b$ ได้ $5 = 3(4) + b$ และลบ 12 จากทั้งสองข้างจะได้ $b = -7$ ดังนั้น $a - b = 3 - (-7) = \boxed{10}$. | a - b = 3 - (-7) = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่ากราฟของ $y=h(x)$ และ $y=j(x)$ ตัดกันที่ $(2,2),$ $(4,6),$ $(6,12),$ และ $(8,12)$ มีจุดหนึ่งที่กราฟของ $y=h(2x)$ และ $y=2j(x)$ ต้องตัดกัน จงหาผลรวมของพิกัดของจุดนั้น | ข้อมูลที่กำหนดให้เราทราบว่า $$\begin{array}{c@{\qquad}c}
h(2)=j(2)=2, & h(4)=j(4)=6, \\
h(6)=j(6)=12, & h(8)=j(8)=12.
\end{array}$$ถ้ากราฟของ $y=h(2x)$ และ $y=2j(x)$ ตัดกันที่ $(a,b),$ แล้ว $$h(2a)=2j(a)= b.$$ตรวจสอบความเป็นไปได้ในตารางด้านบน เราจะเห็นว่า $h(8)=2j(4)=12.$ ดังนั้น กราฟของ $y=h(2x)$ และ $y=2j(x)$ ตัดกันที่ $(4,12)$ ผลรวมของพิกัดของจุดนี้คือ $\boxed{16}.$ | \boxed{16}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุด $(0,4)$ และ $(1,3)$ อยู่บนวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน $x$ รัศมีของวงกลมยาวเท่าใด | สมมติให้จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(x,0)$ ดังนั้นระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยัง $(0,4)$ และจากจุดศูนย์กลางไปยัง $(1,3)$ จะเท่ากัน ใช้สูตรระยะทาง เราได้ \begin{align*}
\sqrt{(x-0)^2+(0-4)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+(0-3)^2}\\
\Rightarrow\qquad \sqrt{x^2+16}&=\sqrt{(x-1)^2+9}\\
\Rightarrow\qquad x^2+16&=(x-1)^2+9\\
\Rightarrow\qquad x^2+16&=x^2-2x+1+9\\
\Rightarrow\qquad 16&=-2x+10\\
\Rightarrow\qquad 6&=-2x\\
\Rightarrow\qquad x&=-3
\end{align*} ตอนนี้เรารู้แล้วว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(-3,0)$ และเราต้องการหาค่ารัศมี ใช้สูตรระยะทางอีกครั้ง: \begin{align*} \sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}&=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}\\&=\sqrt{9+16}\\&=\sqrt{25}=\boxed{5}.\end{align*} | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดของ $9879$ | เราเห็นว่า
$$9879=10000-121=100^2-11^2$$ดังนั้น
$$9879=(100-11)(100+11)=89(111)=3*37*89$$ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{89}$ | \boxed{89} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยาย $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ | เราเห็นว่า \begin{align*}
(x-2)(x+2)(x^2+4) &= (x^2-4)(x^2+4) \\
&= \boxed{x^4-16}
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
คำนวณ: $55\times1212-15\times1212$ . | เราได้ว่า $55 \times 1212 - 15 \times 1212 = 1212(55-15) = 1212(40) = 4848(10) = \boxed{48480}$. | 55 \times 1212 - 15 \times 1212 = 1212(55-15) = 1212(40) = 4848(10) = \boxed{48480} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เบรนดาเดินทางจาก $(-4,5)$ ไปยัง $(5,-4)$ แต่เธอก็ต้องแวะที่จุดกำเนิดระหว่างทาง เธอต้องเดินทางไกลเท่าไหร่? | การเดินทางของเบรนดาแบ่งออกเป็นสองส่วน: จาก $(-4,5)$ ไปยัง $(0,0)$ และจาก $(0,0)$ ไปยัง $(5,-4)$ โดยใช้สูตรระยะทาง ระยะทางทั้งหมดคือ \begin{align*}
\sqrt{(-4-0)^2+(5-0)^2}&+\sqrt{(5-0)^2+(-4-0)^2}\\
&=\sqrt{16+25}+\sqrt{25+16}\\
&=\boxed{2\sqrt{41}}.
\end{align*} | (5,-4) | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $$\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+\frac{1}{3^{6}}?$$ | อนุกรมเรขาอนันต์นี้มีพจน์แรก $\frac{1}{3}$, อัตราส่วนร่วม $\frac{1}{3}$ และมี 6 พจน์ ดังนั้นผลบวกคือ: $$\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{6}}\right)}{1-\frac{1}{3}}
=\frac{\frac{3^{6}-1}{3^{7}}}{\frac{2}{3}}
= \frac{3^{6}-1}{2\cdot3^{6}}=\frac{729-1}{2\cdot 729} = \boxed{\frac{364}{729}}.$$ | $ rac{364}{729}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=3x-8$ ถ้า $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f$ จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x)=f^{-1}(x)$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=3f^{-1}(x)-8.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=3f^{-1}(x)-8.\]หรือ \[f^{-1}(x)=\frac{x+8}3.\]เราต้องการแก้สมการ $f(x) = f^{-1}(x)$ ดังนั้น \[3x-8=\frac{x+8}3.\]หรือ \[9x-24=x+8.\]แก้สมการหา $x$ เราได้ $x = \boxed{4}$. | x = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2$ ในการกระจายของผลคูณ $$(2x^2 +3x +4)(5x^2 +6x +7).$$ | การกระจายแสดงว่า \begin{align*}
&(2x^2 +3x +4)(5x^2 +6x +7) \\
&\qquad= 2x^2(5x^2+6x+7) + 3x(5x^2+6x+7) \\
&\qquad\qquad+4(5x^2+6x+7) \\
& \qquad= 10x^4 +27x^3 +52x^2 +42x+7.
\end{align*}สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสองคือ 52. แทนที่จะกระจายผลคูณของพหุนามทั้งสอง เราสามารถสังเกตได้ว่าพจน์กำลังสองในผลคูณจะได้มาจากผลรวมของพจน์ในรูป $(ax^2)(b)$ และ $(cx)(dx)$ โดยที่ $a,b,c,$ และ $d$ เป็นค่าคงที่. ในกรณีนี้ พจน์กำลังสองจะได้มาจากการกระจาย $2x^2 \cdot 7 + 3x \cdot 6x + 4 \cdot 5x^2 = 52x^2$. ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{52}$. | \boxed{52} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{2x-1}{x+5}$ ผกผันของ $f(x)$ สามารถเขียนได้ในรูป $f^{-1}(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ โดยที่ $a$, $b$, $c$, และ $d$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่า $a/c$ | ถ้าเราแทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราจะได้ \[f(f^{-1}(x))=\frac{2f^{-1}(x)-1}{f^{-1}(x)+5}.\]เนื่องจาก $f^{-1}(f(x))=x$ เราจะได้ \begin{align*}
\frac{2f^{-1}(x)-1}{f^{-1}(x)+5}&=x \\
\Rightarrow \quad 2f^{-1}(x)-1&=x(f^{-1}(x)+5) \\
\Rightarrow \quad 2f^{-1}(x)-1&=x f^{-1}(x)+5x.
\end{align*}ย้ายพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ $f^{-1}(x)$ ไปทางซ้ายและพจน์ที่เหลือไปทางขวาเพื่อให้ได้ \begin{align*}
2f^{-1}(x)-x f^{-1}(x)&=5x+1 \\
\Rightarrow \quad f^{-1}(x)(2-x)&=5x+1 \\
\Rightarrow \quad f^{-1}(x) &= \frac{5x+1}{-x+2}.
\end{align*}ตอนนี้เราจะเห็นว่า $(a,b,c,d)=(5,1,-1,2)$ สำหรับการแทนค่านี้ของ $f^{-1}(x)$ ดังนั้น $a/c=5/(-1) = \boxed{-5}$.
(หมายเหตุ: ถ้าเราต้องการแสดงว่า $a/c$ มีค่าเท่ากันสำหรับการแทนค่าทั้งหมดของ $f^{-1}(x)$ ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าสำหรับการแทนค่าแต่ละค่า $(a,b,c,d)$ จะเท่ากับ $(5b,b,-b,2b)$ สำหรับสิ่งนี้ ให้ตั้ง $(ax+b)/(cx+d)$ เท่ากับ $(5x+1)/(-x+2)$ ล้างตัวส่วนและสังเกตว่าพหุนามกำลังสองที่ได้มีค่าเท่ากันสำหรับค่าของ $x$ ทั้งหมด ยกเว้น 2 และ $-d/c$ นี่หมายความว่าสัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากัน และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ได้จะให้ $(a,b,c,d)=(5b,b,-b,2b)$.) | (a,b,c,d)=(5b,b,-b,2b) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_4 64$ | เนื่องจาก $4^3 = 64$ ดังนั้น $\log_4 64 = \boxed{3}$ | $\log_4 64 = \boxed{3}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทำให้ง่ายขึ้น: $(\sqrt{5})^4$. | เรามี \[(\sqrt{5})^4 = (5^{\frac12})^4 = 5 ^{\frac12\cdot 4} = 5^2 = \boxed{25}.\] | [
"ความจำ",
"ความเข้าใจ"
] | |
จุด $M(4,4)$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนเส้นตรง $\overline{AB}$ ถ้าจุด $A$ มีพิกัด $(8,4)$ ผลรวมของพิกัดของจุด $B$ เท่ากับเท่าใด | ให้จุด $B$ มีพิกัด $(x,y)$ เราได้สมการ $(x+8)/2=4$ และ $(y+4)/2=4$ หรือ $x=0$ และ $y=4$ ดังนั้น ผลรวมของพิกัดของจุด $B$ คือ $0+4=\boxed{4}$ | 0+4=\boxed{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาเศษส่วนที่เท่ากับ $0.\overline{73}$ | เราได้ว่า \[0.\overline{73} = \frac{73}{100} + \frac{73}{10000} + \frac{73}{1000000} + \cdots.\]อนุกรมเรขาอนันต์นี้มีพจน์แรก $73/100$ และอัตราส่วนร่วม $1/100$ ดังนั้น \[0.\overline{73} = \frac{73/100}{1-1/100} = \boxed{\frac{73}{99}}.\] | 73/99 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบของสมการ $(3x+5)(2x-9) = 0$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เมื่อขยายด้านซ้ายมือของสมการที่กำหนด เราได้ $6x^2-17x-45=0$ เนื่องจากสำหรับสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของคำตอบคือ $-b/a$ ผลรวมของคำตอบของสมการที่กำหนดคือ $-\frac{-17}{6}=\boxed{\frac{17}{6}}$ (เราสามารถสังเกตได้ว่ารากคือ $-5/3$ และ $9/2$ และบวกเข้าด้วยกันได้ แต่ใครชอบบวกเศษส่วนกันล่ะ?) | 17/6 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\dagger$ นิยามโดย $\frac{m}{n}\dagger\frac{p}{q} = (m)(p)(\frac{q}{n}).$ จงหาค่าของ $\frac{7}{12}\dagger\frac{8}{3}$ ที่เรียบง่ายแล้ว | เรามี $\frac{7}{12}\dagger\frac{8}{3}=(7)(8)\left(\frac{3}{12}\right)=(7)(2)=\boxed{14}$. | 14 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $x^2 < 7x$ จริง? | ก่อนอื่น เราเห็นว่า 0 ไม่สอดคล้องกับอสมการ ดังนั้นเราสามารถหารด้วย $x$ ได้ ถ้า $x$ เป็นบวก เราสามารถหารเพื่อให้ได้ $x < 7$ และมีจำนวนเต็มบวก 6 จำนวนที่สอดคล้องกับสิ่งนี้ ถ้า $x$ เป็นลบ เราหารเพื่อให้ได้ $x > 7$ ซึ่งไม่มีจำนวนเต็มลบจำนวนใดที่สอดคล้อง ดังนั้นจำนวนของคำตอบจำนวนเต็มคือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = 2x - 5$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(x)$ เท่ากับ $f^{-1}(x)$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=2f^{-1}(x)-5.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=2f^{-1}(x)-5.\]หรือ \[f^{-1}(x)=\frac{x+5}2.\]เราต้องการแก้สมการ $f(x) = f^{-1}(x)$ ดังนั้น \[2x-5=\frac{x+5}2.\]หรือ \[4x-10=x+5.\]แก้สมการหา $x$ เราได้ $x = \boxed{5}$. | x = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีค่าของ $a$ สองค่าที่ทำให้สมการ $4x^2+ax+8x+9=0$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว ค่าของผลบวกของค่า $a$ ทั้งสองนั้นคือเท่าใด | จากสูตรกำลังสอง \[x=\frac{-(a+8)\pm \sqrt{(a+8)^2-4\cdot 4\cdot 9}}{2\cdot 4}. \]สมการจะมีคำตอบเดียวเมื่อค่าของ discriminant, $(a+8)^2-144$, เท่ากับ 0 นั่นคือ $a=-20$ หรือ $a=4$ และผลบวกของค่า $a$ ทั้งสองคือ $\boxed{-16}$. | \boxed{-16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(3,17)$ และ $(9,-4)$ เป็นพิกัดของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จงหาผลรวมของพิกัด $y$ ของอีก 2 จุดยอด | จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะตรงกัน ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่ต่อจุด $(3,17)$ และ $(9,-4)$ ก็เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่ต่ออีก 2 จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พิกัด $y$ ของจุดกึ่งกลางเท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของจุดปลายทั้งสอง ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของ $(3,17)$ และ $(9,-4)$ เท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของจุดยอดที่หายไป เนื่องจากผลรวมเป็นสองเท่าของค่าเฉลี่ย ผลรวมของพิกัด $y$ ของจุดยอดที่หายไปจึงเท่ากับผลรวมของจุดยอดที่กำหนดไว้: $17+(-4)=\boxed{13}$ | 17+(-4)=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $Q = 5+2i$, $E = i$, และ $D = 5-2i$ จงหา $Q\cdot E \cdot D$. | \begin{align*}
QED &= (5+2i)(i)(5-2i)\\
&=i(25-(2i)^2)\\
&=i(25+4)\\
&=\boxed{29i}.
\end{align*} | [
"ประยุกต์"
] | |
แยกตัวประกอบ $9y^2-30y+25$ | พหุนามกำลังสองนี้เป็นกำลังสองของ $3y$ , 항คงตัวเป็นกำลังสองของ $-5$ และ 항เส้นตรงเท่ากับ $2(3y)(-5)$ ดังนั้นเราได้ $9y^2 -30y + 25 = \boxed{(3y - 5)^2}$ | $9y^2 -30y + 25 = \boxed{(3y - 5)^2}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลบวก: $1+2+3+4+\dots +48+49$ | สำหรับทุกจำนวน $n$, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 49 = 49 \cdot 50/2 = \boxed{1225}$ | 1 + 2 + \dots + 49 = 49 \cdot 50/2 = \boxed{1225} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณ $139+27+23+11$ | เนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เราสามารถจัดเรียงพจน์ใหม่ได้ดังนี้:
$139+27+23+11=(139+11)+(27+23)=150+50=\boxed{200}$ | 139+27+23+11=(139+11)+(27+23)=150+50=\boxed{200} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้าเราจะเขียน $2x^2 + 6x + 11$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้ว $h$ มีค่าเท่าใด | เราทำการเติมกำลังสอง ก่อนอื่น เราแยกตัวประกอบ 2 ออกจากพจน์ $2x^2 + 6x$ เพื่อให้ได้ $2(x^2 + 3x)$ เราสามารถยกกำลังสองของ $x + 3/2$ เพื่อให้ได้ $x^2 + 3x + 9/4$ ดังนั้น $h = \boxed{-\frac{3}{2}}$ | h = \boxed{-\frac{3}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวก: $(-39) + (-37) + \cdots + (-1)$ | ผลบวกเป็นอนุกรมเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2. ให้ $n$ เป็นจำนวนพจน์ แล้วพจน์ที่ $n$ เท่ากับ $-1$ ดังนั้น $-39 + (n-1)(2) = -1$ หรือ $n = 20$ ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลบวกคือ $[(-39) + (-1)]/2 \cdot 20 = \boxed{-400}$ | [(-39) + (-1)]/2 \cdot 20 = \boxed{-400} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\log_{7}{2400}$ ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | เราทราบว่า $\log_{7}343=3$ และ $\log_{7}2401=4$. เนื่องจาก $\log_{7}x$ เพิ่มขึ้นเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น เราทราบว่า $\log_{7}343<\log_{7}2400<\log_{7}2401$ ซึ่งหมายความว่า $3<\log_{7}2400<4$. นอกจากนี้ เราสามารถเห็นได้ว่า $2400$ ใกล้เคียงกับ $2401$ มากกว่า $343$ ดังนั้น $\log_{7}2400$ ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดคือ $\boxed{4}$. | \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดว่าจุด $(9,7)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ มีจุดหนึ่งที่ต้องอยู่บนกราฟของ $2y=\frac{f(2x)}2+2$ จุดนั้นมีผลรวมของพิกัดเท่ากับเท่าใด | เนื่องจาก $(9,7)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ เราทราบว่า \[7=f(9).\]ถ้าเราแทน $x=\frac92$ ลงใน $2y=\frac{f(2x)}2+2$ เราจะได้ \[2y=\frac{f(2\cdot9/2)}2+2=\frac72+2=\frac{11}2.\]ดังนั้น $(x,y)=\left(\frac92,\frac{11}4\right)$ อยู่บนกราฟของ \[2y=\frac{f(2x)}2+2.\]ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ \[\frac92+\frac{11}4=\boxed{\frac{29}4}.\] | (x,y)=\left(\frac92,\frac{11}4\right) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน $-1\le x\le 1$ โดยสูตร $$f(x)=1-\sqrt{1-x^2}.$$นี่คือกราฟของ $y=f(x)$: [asy]
import graph; size(4cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-1.5,xmax=1.5,ymin=-1.5,ymax=1.5;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return 1-sqrt(1-x^2);} draw(graph(f1,-1,1),linewidth(1.2));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] ถ้ากราฟของ $x=f(y)$ ถูกทับลงบนกราฟข้างต้น จะมีบริเวณที่ถูกปิดล้อมอย่างสมบูรณ์ 1 บริเวณ ซึ่งถูกสร้างขึ้นโดยกราฟทั้งสอง บริเวณนั้นมีพื้นที่เท่าไร (ปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด)? | กราฟของ $x=f(y)$ สามารถวาดได้โดยสะท้อนกราฟของ $y=f(x)$ ข้ามเส้น $y=x$: [asy]
import graph; size(4cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-1.5,xmax=1.5,ymin=-1.5,ymax=1.5;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
fill(((0,0)..(sqrt(1/2),1-sqrt(1/2))..(1,1)--cycle),gray);
fill(((0,0)..(1-sqrt(1/2),sqrt(1/2))..(1,1)--cycle),gray);
draw(((-1.5,-1.5)--(1.5,1.5)),red+dashed);
real f1(real x){return 1-sqrt(1-x^2);} draw(graph(f1,-1,1),linewidth(1.2));
real f2(real x){return sqrt(1-(x-1)^2);} draw(graph(f2,0,1),linewidth(1.2));
real f3(real x){return -f2(x);} draw(graph(f3,0,1),linewidth(1.2));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] บริเวณที่ถูกปิดล้อม ซึ่งแสดงไว้ในสีเทา มีขอบเขตโดยส่วนโค้งของวงกลม 2 ส่วน บริเวณที่อยู่เหนือและทางซ้ายของเส้นทแยงมุมสีแดงมีพื้นที่ $\frac\pi 4-\frac 12$ เนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งในสี่ของดิสก์หน่วย ลบด้วยสามเหลี่ยมด้านขวาที่มีฐานและความสูงเท่ากับ 1 บริเวณที่อยู่ด้านล่างและทางขวาของเส้นทแยงมุมสีแดงเหมือนกัน ดังนั้นบริเวณที่ถูกปิดล้อมทั้งหมดมีพื้นที่ $\frac \pi 2-1$ ปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุดได้ $\boxed{0.57}$ | \boxed{0.57} | [
"unknown"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor 3.2\rfloor$. | เนื่องจาก $3$ เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $3.2$ เราจึงได้ว่า $\lfloor 3.2\rfloor = \boxed{3}.$ | $\lfloor 3.2\rfloor = \boxed{3}.$ | [
"จำ"
] |
จงหาจุดตัดแกน x ของเส้นตรง $3x+5y=20$ แสดงคำตอบเป็นลำดับคู่ และแสดงพิกัด x และ y เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเมื่อจำเป็น | ให้ $y=0$ ใน $3x+5y=20$ จะได้ $3x=20$ ดังนั้นพิกัด x ของจุดตัดแกน x คือ $20/3$ ดังนั้น จุดตัดแกน x คือ $\boxed{\left(\frac{20}{3},0\right)}$. | \boxed{\left(\frac{20}{3},0\right)} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
ถ้า $7^{4x}=343$ จงหาค่าของ $7^{4x-3}$ | $7^{4x-3}$ สามารถเขียนได้ในรูป $7^{4x}\cdot 7^{-3}$ เนื่องจากเราทราบว่า $7^{4x}=343$ ดังนั้น $7^{4x-3}=343\cdot 7^{-3}=343\cdot \frac{1}{343}=\boxed{1}$ | 7^{4x-3}=343\cdot 7^{-3}=343\cdot \frac{1}{343}=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของ $y = (x-5)(x^2+5x+6)$ มีจุดตัดแกน $x$ กี่จุด? | จุดตัดแกน $x$ เกิดขึ้นเมื่อ $y=0$ ดังนั้น จุดตัดแกน $x$ คือคำตอบของสมการ $0 = (x-5)(x^2+5x+6)$ จากสมการนี้ เราเห็นว่าคำตอบเกิดขึ้นเมื่อ $x-5=0$ และเมื่อ $x^2+5x+6=0$ ตอนนี้ $x^2+5x+6$ แยกตัวประกอบได้เป็น $(x+3)(x+2)$ ดังนั้น คำตอบคือ $5, -2, -3$ ซึ่งมีจำนวนจุดตัดแกน $x$ เท่ากับ $\boxed{3}$ จุด | \boxed{3} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคู่ลำดับ $(x,y)$ ถ้า
\begin{align*}
x+y&=(5-x)+(5-y),\\
x-y&=(x-1)+(y-1).
\end{align*} | นำสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้
$$2x=8\Rightarrow x=4.$$แทนค่า $x=4$ ลงในสมการแรก จะได้
$$4+y=1+5-y\Rightarrow y=1.$$ดังนั้น คู่ลำดับ $(x,y)$ คือ $\boxed{(4,1)}$. | \boxed{(4,1)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\#$ เป็นความสัมพันธ์ที่นิยามโดย $A \# B = A^2 + B^2$ ถ้า $A \# 5 = 169$ ค่า $A$ ที่เป็นบวกมีค่าเท่าใด | จากนิยามที่กำหนดในโจทย์ เราได้ว่า $A^2+5^2=169=13^2$ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากด้าน 5-12-13 ดังนั้น $A=\boxed{12}$ | A=\boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อเวลา $t=0,$ ลูกบอลถูกโยนลงมาด้วยความเร็ว 24 ฟุตต่อวินาที จากความสูง 160 ฟุตเหนือพื้นดิน สมการ $h = -16t^2 - 24t +160$ อธิบายความสูง (เป็นฟุต) ของลูกบอล ในเวลา $t$ วินาที ลูกบอลจะกระทบพื้นดินในเวลาเท่าไร? แสดงคำตอบเป็นทศนิยม | กำหนดให้ $h$ เท่ากับศูนย์ เราจะได้ดังนี้: \begin{align*}
0& = -16t^2 - 24t + 160\\
& = 2t^2 +3t - 20\\
& = (2t-5)(t+4)\\
\end{align*}ค่า $t$ ที่เป็นลบเป็นค่าที่ไม่ต้องการ ดังนั้นเราจะได้ $t=\boxed{2.5}$ | t=\boxed{2.5} | [
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.