question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาพื้นที่ของวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-6x +y^2-14y +33=0$ ที่อยู่ใต้เส้นตรง $y=7$ | บวก $( rac{-6}{2})^2$ และ $( rac{-14}{2})^2$ เข้ากับทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ \[
(x^2-6x +9) +(y^2-14y +49)=25,
\] ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $(x-3)^2 +(y-7)^2 =5^2$. จุดศูนย์กลางของวงกลมนี้คือ $(3,7)$ ดังนั้นเส้นตรง $y=7$ ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น พื้นที่ของวงกลมที่อยู่ใต้ $y=7$ คือครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของวงกลม รัศมีของวงกลมคือ $\sqrt{25} = 5$ ดังนั้นวงกลมมีพื้นที่ $25\pi$ ดังนั้นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของวงกลมคือ $\boxed{\frac{25\pi}{2}}$ | \frac{25\pi}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนแกลลอนของกาแฟที่นักคณิตศาสตร์ดื่มในแต่ละวันนั้นเป็นสัดส่วนผกผันกับจำนวนชั่วโมงที่เขานอนหลับในคืนก่อนหน้า ในวันจันทร์ เขาได้นอนหลับ 9 ชั่วโมง และดื่มกาแฟ 2 แกลลอน ในวันอังคาร เขาได้นอนหลับ 6 ชั่วโมง เขาได้ดื่มกาแฟกี่แกลลอน | ให้ $h$ แทนจำนวนชั่วโมงที่นักคณิตศาสตร์นอนหลับ และ $g$ แทนจำนวนแกลลอนของกาแฟที่เขาดื่ม เนื่องจาก $g$ และ $h$ เป็นสัดส่วนผกผันกัน หมายความว่า $gh=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า จากสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับวันจันทร์ เราสามารถสรุปได้ว่า $k=9\cdot2=18$ ดังนั้น สำหรับวันอังคาร เราได้ $6g=18$ ดังนั้น $g=\boxed{3}$ | 3 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แซมสันได้ประโยชน์ตามความสัมพันธ์ $$ \text{ประโยชน์} = \text{ชั่วโมงที่ทำคณิตศาสตร์} \times \text{ชั่วโมงที่เล่น frisbee}.$$ ในวันจันทร์เขาเล่น frisbee $t$ ชั่วโมง และใช้เวลา $8 - t$ ชั่วโมงในการทำคณิตศาสตร์ ในวันอังคารเขาได้รับประโยชน์เท่ากับวันจันทร์ในขณะที่ใช้เวลา $2-t$ ชั่วโมงในการเล่น frisbee และ $t+3$ ชั่วโมงในการทำคณิตศาสตร์ จงหา $t$ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจากเขาได้รับประโยชน์เท่ากันในทั้งสองวัน เราจึงมี $$t (8 - t) = (2 - t)(t + 3),$$ ดังนั้น $$8t - t^2 = -t^2 -t + 6.$$ การทำให้สมการง่ายขึ้นจะได้ $t = \boxed{\frac{2}{3}}$. | \frac{2}{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $f(x) = x^{-1} + \frac{x^{-1}}{1+x^{-1}}$ จงหาค่าของ $f(f(-2))$ เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เรามี \[f(x) = x^{-1} + \frac{x^{-1}}{1+x^{-1}} = \frac1x + \frac{1/x}{1+\frac{1}{x}}.\] ดังนั้น เราได้ \begin{align*}f(-2) &= \frac{1}{-2} + \frac{\frac{1}{-2}}{1 + \frac{1}{-2}} \\&= -\frac{1}{2} + \frac{-1/2}{1 - \frac{1}{2}} \\&= -\frac12 + \frac{-1/2}{1/2} \\&= -\frac12-1 = -\frac{3}{2}.\end{align*} ดังนั้น เราได้ \begin{align*}
f(f(-2)) = f(-3/2) &= \frac{1}{-3/2} + \frac{1/(-3/2)}{1 + \frac{1}{-3/2}} \\
&= -\frac23 + \frac{-2/3}{1 -\frac23} = -\frac23 + \frac{-2/3}{1/3}\\
&= -\frac23 - 2 = \boxed{-\frac83}.\end{align*} | -\frac83 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $z=3+4i$ จงหา $z^2$. (หมายเหตุ $i^2 = -1.$) | เราคูณ $(3+4i)(3+4i)=9+12i+12i-16=\boxed{-7+24i}$. | -7+24i | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $(2x + 5)^2$ เมื่อ $x = 3$ | เราได้ว่า $(2x+5)^2 = (2\cdot 3 + 5)^2 = 11^2 = \boxed{121}$ | 121 | [
"ประยุกต์"
] |
บาวได้รับเงิน $\$1,\!000$ ในวันเกิดของเขา เขาตัดสินใจที่จะลงทุนเงินในบัญชีธนาคารที่ให้ผลตอบแทน $10\%$ ต่อปี ผสมทบทุกปี ในอีก 3 ปีข้างหน้า บาวจะได้รับดอกเบี้ยทั้งหมดเป็นเงินเท่าไร (เป็นดอลลาร์) | จำนวนเงินในบัญชีจะถูกคูณด้วย 1.1 ทุกปี ดังนั้นหลังจาก 3 ปี จำนวนเงินคือ $1000(1.1)^3=11^3=1331$ ดอลลาร์ ดอกเบี้ยที่ได้รับคือ $1331-1000=\boxed{331}$ ดอลลาร์ | 331 | [
"ประยุกต์"
] |
จำนวนใดที่สามารถบวกเข้ากับตัวเศษและตัวส่วนของ $\frac{3}{5}$ เพื่อให้เศษส่วนที่ได้มีค่าเท่ากับ $\frac{5}{6}$? | เราต้องการหาจำนวน $n$ ที่ทำให้ $\frac{3+n}{5+n} = \frac{5}{6}$ คูณทั้งสองข้างด้วย $5+n$ และ 6 จะได้ $(3+n)(6) = 5(5+n)$ กระจายทั้งสองข้างจะได้ $18 + 6n = 25 + 5n$ ทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $n = \boxed{7}$ | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สุนัขชื่อ Phoenix เดินทางบนเส้นทาง Rocky Path สัปดาห์ที่แล้วใช้เวลา 4 วันในการเดินทางครบ เส้นทางในวันที่ 1 และ 2 รวมกันได้ 22 ไมล์ วันที่ 2 และ 3 เธอเดินเฉลี่ย 13 ไมล์ต่อวัน วันที่ 3 และ 4 รวมกันได้ 30 ไมล์ เส้นทางในวันที่ 1 และ 3 รวมกันได้ 26 ไมล์ เส้นทางนี้ยาวเท่าไร | ให้จำนวนไมล์ที่ Phoenix เดินในแต่ละวันเป็น $a$, $b$, $c$ และ $d$ ตามลำดับ เราได้สมการ\begin{align*}
a+b&=22\\
(b+c)/2&=13 \Rightarrow b+c&=26\\
c+d&=30\\
a+c&=26
\end{align*}สังเกตว่าเราไม่จำเป็นต้องแก้สมการใดๆ เราสามารถบวก $a + b = 22$ กับ $c + d = 30$ และพบว่า $a + b + c + d = 11 + 11 + 15 + 15 = 52$ ดังนั้นเส้นทางทั้งหมดยาว $\boxed{52}$ ไมล์ | 52 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปหลายเหลี่ยม 33 เหลี่ยม $P_1$ ถูกวาดในระนาบデカร์ต ผลบวกของพิกัด $x$ ของจุดยอดทั้ง 33 จุด เท่ากับ 99 จุดกึ่งกลางของด้านของ $P_1$ สร้างรูปหลายเหลี่ยม 33 เหลี่ยมรูปที่สอง $P_2$ สุดท้าย จุดกึ่งกลางของด้านของ $P_2$ สร้างรูปหลายเหลี่ยม 33 เหลี่ยมรูปที่สาม $P_3$ จงหาผลบวกของพิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_3$ | ให้พิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_1$ เป็น $x_1,x_2,\ldots,x_{33}$ จากสูตรของจุดกึ่งกลาง พิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_2$ คือ $\frac{x_1+x_2}2,\frac{x_2+x_3}2,\ldots,\frac{x_{33}+x_1}2 $. ผลบวกของพิกัดเหล่านี้เท่ากับ $\frac{2x_1+2x_2+\cdots +2x_{33}}2=x_1+x_2+\cdots+x_{33}$. ในทำนองเดียวกัน ผลบวกของพิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_3$ เท่ากับผลบวกของพิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_2$ ดังนั้น คำตอบที่ต้องการคือ $\boxed{99}$ | 99 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าจริงของ $v$ ใด $\frac{-21-\sqrt{301}}{10}$ เป็นรากของ $5x^2+21x+v$ หรือไม่? | เราสามารถแทน $(-21-\sqrt{301})/10$ ด้วย $x$ ในสมการได้ แต่สูตรกำลังสองบ่งชี้ว่ามีวิธีที่รวดเร็วกว่า การแทน $5$, $21$ และ $v$ ลงในสูตรกำลังสองจะได้ \[
\frac{-(21)\pm\sqrt{(21)^2-4(5)(v)}}{2(5)}= \frac{-21\pm\sqrt{441-20v}}{10}.
\]การตั้งค่า $(-21+\sqrt{441-20v})/10$ และ $(-21-\sqrt{441-20v})/10$ ให้เท่ากับ $(-21-\sqrt{301})/10$ เราพบว่าไม่มีคำตอบในกรณีแรก และ $441-20v=301$ ในกรณีที่สอง การแก้สมการจะได้ $v=(301-441)/(-20)=(-140)/(-20)=\boxed{7}$. | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูคกำลังยืมเงิน $\$10{,}000$ จากธนาคาร ธนาคารเสนอให้เขาเลือกแผนการชำระเงินเป็นเวลา 10 ปี:
${\bf แผน~1.}$ หนี้ของลูคจะสะสมดอกเบี้ยร้อยละ 10 ต่อปี ซึ่งคิดเป็นไตรมาส ลูคชำระหนี้ครึ่งหนึ่งหลังจาก 5 ปี และส่วนที่เหลือในสิ้นปีที่ 10
${\bf แผน~2.}$ หนี้ของลูคจะสะสมดอกเบี้ยร้อยละ 10 ต่อปี ซึ่งคิดเป็นรายปี ลูคชำระหนี้ทั้งหมดในสิ้นปีที่ 10
ความแตกต่างที่เป็นบวกระหว่างยอดชำระทั้งหมดของลูคภายใต้แผนที่ 1 และยอดชำระทั้งหมดภายใต้แผนที่ 2 เท่าไร? ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | สำหรับแผนที่ 1 เราใช้สูตร $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ โดยที่ $A$ คือยอดคงเหลือ $P$ คือเงินต้น $r$ คืออัตราดอกเบี้ย $t$ คือจำนวนปี และ $n$ คือจำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ยในหนึ่งปี
ก่อนอื่นเราจะหาว่าเขาจะต้องจ่ายหนี้เท่าไรใน 5 ปี $$A=\$10,\!000\left(1+\frac{0.1}{4}\right)^{4 \cdot 5} \approx \$16,\!386.16$$เขาชำระหนี้ครึ่งหนึ่งใน 5 ปี ซึ่งเท่ากับ $\frac{\$16,\!386.16}{2}=\$8,\!193.08$ เขาเหลือ $\$8,\!193.08$ ที่ต้องคิดดอกเบี้ยในอีก 5 ปีถัดไป ซึ่งจะกลายเป็น $$\$8,\!193.08\left(1+\frac{0.1}{4}\right)^{4 \cdot 5} \approx \$13,\!425.32$$เขาต้องชำระเงินทั้งหมด $\$8,\!193.08+\$13,\!425.32=\$21,\!618.40$ ในสิบปีถ้าเขาเลือกแผนที่ 1
สำหรับแผนที่ 2 เขาจะต้องชำระ $\$10,000\left(1+0.1\right)^{10} \approx \$25,\!937.42$ ใน 10 ปี
ดังนั้นเขาควรเลือกแผนที่ 1 และประหยัด $25,\!937.42-21,\!618.40=4319.02 \approx \boxed{4319 \text{ ดอลลาร์}}$ | 4319 \text{ ดอลลาร์} | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต $1+\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \dots$. แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | อนุกรมเรขาคณิตอนันต์นี้มีพจน์แรก $a=1$ และอัตราส่วนร่วม $r=\frac{1}{3}$ ดังนั้นผลรวมคือ: $$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac13} = \frac{1}{\frac{2}{3}}=\boxed{\frac{3}{2}}.$$ | \frac{3}{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในนิพจน์ $c \cdot a^b - d$ ค่าของ $a$, $b$, $c$ และ $d$ คือ 0, 1, 2 และ 3 แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลลัพธ์คือเท่าใด | ถ้า $d \neq 0$ ค่าของนิพจน์สามารถเพิ่มได้โดยการสลับ 0 กับค่าของ $d$ ดังนั้นค่าสูงสุดต้องเกิดขึ้นเมื่อ $d=0$ ถ้า $a = 1$ ค่าคือ $c$ ซึ่งคือ 2 หรือ 3 ถ้า $b=1$ ค่าคือ $c \cdot a = 6$ ถ้า $c=1$ ค่าคือ $a^b$ ซึ่งคือ $2^3 = 8$ หรือ $3^2 = 9$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{9}$ | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับ $\frac{\sqrt{5x}}{\sqrt{3(x-1)}}=2$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราเริ่มต้นด้วยการคูณตัวส่วนออก และยกกำลังสองทั้งสองข้าง \begin{align*}
\frac{\sqrt{5x}}{\sqrt{3(x-1)}}&=2\\
(\sqrt{5x})^2 &=\left(2\sqrt{3(x-1)}\right)^2\\
5x &= 12(x-1)\\
12& =7x\\
x&=\boxed{\frac{12}{7}}.\\
\end{align*}ตรวจสอบดูแล้ว เราพบว่าค่าของ $x$ นี้สอดคล้องกับสมการเดิม ดังนั้นจึงไม่ใช่คำตอบภายนอก | \frac{12}{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $x$, $y$ และ $z$ เป็นจำนวนบวก โดยที่ $xy=24$, $xz = 48$ และ $yz=72$ จงหาค่าของ $x+y+z$ | เนื่องจาก $$x=\frac{24}{y}=\frac{48}{z}$$ เราได้ว่า $z = 2y$. ดังนั้น $72
= 2y^2$ ซึ่งหมายความว่า $y=6$, $x = 4$ และ $z = 12$. ดังนั้น $x+y+z = \boxed{22}$. | 22 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนบวกผลบวกของมันเท่ากับ 95 จำนวนเต็มทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันและแต่ละจำนวนน้อยกว่า 20 ผลบวกของจำนวนเต็มทั้งสองเท่ากับเท่าใด | ให้จำนวนของเราเป็น $a$ และ $b$ โดยที่ $a>b.$ แล้ว $ab+a+b=95$. ด้วย Simon's Favorite Factoring Trick ในใจ เราบวก $1$ เข้าไปในทั้งสองข้างและได้ $ab+a+b+1 = 96$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(a+1)(b+1)=96$. เราพิจารณาคู่ $(a+1, b+1)$ ของตัวประกอบของ $96$: $(96,1), (48,2), (32,3), (24,4), (16,6), \text{และ} (12,8)$. เนื่องจาก $a<20$ เราสามารถตัดคู่แรก 4 คู่ทิ้งได้ คู่ $(16,6)$ ให้ $a=15, b=5$ ซึ่งไม่ถูกต้องเพราะ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน ดังนั้นเราจึงเหลือคู่สุดท้าย ซึ่งให้ $a=11$ และ $b=7$ ดังนั้น $a+b=\boxed{18}$. | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$ และ $d$ มีค่าเป็น 1, 2, 3 และ 4 แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนั้น จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลรวมของสี่ผลคูณ $ab$, $bc$, $cd$ และ $da$ | พิจารณาผลคูณเป็นคู่ๆ เราได้ \[
(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd),
\]ดังนั้น \[
ab+bc+cd+da=\frac{(a+b+c+d)^2-a^2-b^2-c^2-d^2}{2}-(ac+bd).
\]เนื่องจากเศษส่วนทางด้านขวามือไม่ขึ้นอยู่กับว่าค่าของ $a$, $b$, $c$ และ $d$ ถูกกำหนดอย่างไร เราจึงเพิ่มค่า $ab+bc+cd+da$ โดยการลดค่า $ac+bd$ ลง โดยการตรวจสอบค่าที่แตกต่างกันสามค่าสำหรับ $ac+bd$ เราพบว่า $1\cdot4+2\cdot3=10$ เป็นค่าต่ำสุด ดังนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $ab+bc+cd+da$ คือ $$\frac{(1+2+3+4)^2-1^2-2^2-3^2-4^2}{2}-10=\boxed{25}.$$ | 25 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $3^n = 3 \cdot 9^3 \cdot 81^2$ แล้ว $n$ มีค่าเท่าใด | เราต้องการเขียนทุกอย่างในรูปของกำลังของ 3 ทำให้ได้ $3^n = 3 \cdot (3^2)^3 \cdot (3^4)^2$ ซึ่งจะทำให้ง่ายขึ้นเป็น $3^n = 3 \cdot 3^6 \cdot 3^8$ ดังนั้น $3^n = 3^{15}$ ดังนั้น $n = \boxed{15}$ | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $x+y = 10$ และ $2x+y = 13$ จงหาค่าของ $x^2-y^2$. | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง เราจะได้ $2x+y-(x+y)=13-10 \Rightarrow x=3$ แทนค่า $x$ ลงในสมการแรกเพื่อหาค่า $y$ เราจะได้ $y=10-x=7$ ดังนั้น $x^2-y^2=3^2-7^2=\boxed{-40}$. | -40 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับเรขาคณิตเริ่มต้นด้วย $16$, $-24$, $36$, $-54$ อัตราส่วนร่วมของลำดับนี้คือเท่าใด | อัตราส่วนร่วมคือ $(-24)/16 = \boxed{-\frac{3}{2}}$. | -\frac{3}{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คริสตาฝากเงิน 1 เซ็นต์ลงในบัญชีธนาคารใหม่ของเธอในวันอาทิตย์เช้า ในวันจันทร์ เธอฝากเงิน 2 เซ็นต์ลงในบัญชีธนาคารของเธอ ในวันอังคาร เธอฝากเงิน 4 เซ็นต์ลงในบัญชีธนาคารของเธอ และเธอยังคงเพิ่มจำนวนเงินที่ฝากลงในบัญชีธนาคารของเธอเป็นสองเท่าทุกวันเป็นเวลาสองสัปดาห์ ในวันใดของสัปดาห์ที่จำนวนเงินทั้งหมดในบัญชีธนาคารของเธอเกิน $2 เหรียญเป็นครั้งแรก? | สูตรสำหรับอนุกรมเรขาคณิตคือ $\frac{a-ar^n}{1-r}$. โดยให้ $a$ เป็นเงินฝากเริ่มต้น 1 เซ็นต์ และ $n$ เป็นจำนวนวันที่มีเงินในบัญชีธนาคารของคริสตา เราได้อสมการ $$\frac{1-2^n}{1-2}\geq 200 \Rightarrow 1-2^n\leq -200 \Rightarrow 201 \leq 2^n.$$กำลังของ 2 ที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 201 คือ $2^8$. ดังนั้น $n=8$ และ $\boxed{\text{วันอาทิตย์}}$ อยู่ห่างจากวันแรก 7 วัน | \text{วันอาทิตย์} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\spadesuit$ เป็น $a\,\spadesuit\,b = |a- b|$ ค่าของ $2\, \spadesuit\,(4\,\spadesuit\,7)$ คือเท่าไร | คำนวณจากด้านในออก: \begin{align*}
2\,\spadesuit\,(4\,\spadesuit\, 7)&=2\,\spadesuit\,(|4-7|) \\
&=2\,\spadesuit\,|-3|\\
&=2\,\spadesuit\, 3 \\
&= |2-3| \\
&= \boxed{1}.
\end{align*} | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\left\lfloor n^2/4 \right\rfloor - \lfloor n/2 \rfloor^2 = 2$ แล้ว จงหาค่าของ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด | ถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน $n = 2m$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางตัว แทนค่า $$\left \lfloor (2m)^2/4 \right\rfloor - \left\lfloor (2m)/2 \right\rfloor^2 = m^2 - m^2 = 0.$$ดังนั้น $n$ ต้องเป็นจำนวนคี่ เราสามารถเขียน $n = 2m+1$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางตัว แทนค่า \begin{align*}
&\left \lfloor (2m+1)^2/4 \right. \rfloor - \left\lfloor (2m+1)/2 \right\rfloor^2\\
&\qquad= \left \lfloor (4m^2 + 4m + 1)/4 \right\rfloor - \left\lfloor (2m+1)/2 \right\rfloor^2 \\
&\qquad= \left\lfloor m^2 + m + \frac 14 \right\rfloor - \left\lfloor m + \frac 12 \right\rfloor^2 \\
&\qquad= m^2 + m - m^2\\
& = m.
\end{align*}ดังนั้น เราพบว่า $m = 2$ และ $n = \boxed{5}$ เป็นคำตอบจำนวนเต็มที่ไม่ซ้ำ | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่เป็นคำตอบของสมการ $$(x-2)^{(25-x^2)}=1?$$ | เราต้องการข้อเท็จจริงพื้นฐานบางอย่างจากทฤษฎีจำนวน: $a^0 = 1$ สำหรับ $a$ ใดๆ, $1^b = 1$ สำหรับ $b$ ใดๆ และ $(-1)^c = 1$ ถ้า $c$ เป็นจำนวนคู่. เว้นแต่ฐานจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน (ซึ่งถูกแยกออกเนื่องจากเรา đang tìm kiếmคำตอบจำนวนเต็ม) ไม่มีวิธีอื่นที่จะได้ RHS เป็น $1.$ ดังนั้น หรือเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ (ให้สมการ $25 - x^2 = 0),$ ฐานเป็น $1$ (ให้ $x -2 = 1),$ หรือฐานเป็น $-1$ และเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ (ให้สมการพร้อมกัน $x - 2 = -1$ และ $25 - x^2 = 2n$ สำหรับจำนวนเต็ม $n$ บางจำนวน). การแก้สมการแรกให้ $x = \pm 5,$ และการแก้สมการที่สองให้ $x = 3.$ สมการที่สามหมายความว่า $x = 1,$ ในกรณีนี้ $25 - x^2 = 24$ เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น $x = 1$ เป็นคำตอบที่ถูกต้อง ในทั้งหมด มี $\boxed{4}$ คำตอบจำนวนเต็ม. | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $m$ ที่น้อยที่สุดและเป็นบวก ที่ทำให้สมการ $10x^2 - mx + 420 = 0$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม | ให้ $p$ และ $q$ เป็นคำตอบของสมการ $10x^2 - mx + 420 = 0$ เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลบวกและผลคูณของรากของสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c = 0$ กำหนดโดย $-b/a$ และ $c/a$ ตามลำดับ ดังนั้น $p+q = m/10$ และ $pq = 420/10 = 42$ เนื่องจาก $m = 10(p+q)$ เราจึงย่อ $m$ โดยย่อผลบวก $p+q$ เนื่องจาก $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มและคูณกันได้ 42 ค่าที่เป็นไปได้ของ $(p,q)$ คือ $(1,42),(2,21),(3,14),(6,7),(7,6),(14,3),(21,2),(42,1)$ (โปรดทราบว่าถ้า $p$ และ $q$ เป็นลบทั้งคู่ $p+q$ จะเป็นลบ ดังนั้น $m$ จะเป็นลบ ซึ่งถูกยกเว้นโดยปัญหา) ผลบวก $p+q$ น้อยที่สุดเมื่อ $(p,q) = (6,7)$ หรือ $(7,6)$ ในกรณีใดก็ตาม $m = 10(p+q) = 10(6+7) = 130$ | 130 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
3x + 5 &\text{if }x<-3, \\
7-4x&\text{if }x\ge -3.
\end{cases}
\]จงหาค่าของ $f(5)$. | เนื่องจาก $5\ge -3$ เราใช้กรณีที่สองเพื่อกำหนดค่า $f(5) = 7-4(5) = \boxed{-13}$. | -13 | [
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$, $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนบวกที่สอดคล้องกับ: \begin{align*}
a^2/b &= 1, \\
b^2/c &= 2, \text{ และ}\\
c^2/a &= 3.
\end{align*} จงหาค่า $a$. | สังเกตว่าการคูณสมการเดิมทั้งสามเข้าด้วยกันจะบอกเราว่า $(a^2b^2c^2)/(abc) = 6$ ซึ่งหมายความว่า $abc=6$ การเขียนสมการแรกและสมการที่สามใหม่เป็น $b = a^2$ และ $c = \sqrt{3a}$ และแทนค่าลงใน $abc=6$ จะได้ $a \cdot a^2\cdot \sqrt{3a} = 6$ โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ เราจะได้ $3a^7 = 36 \Rightarrow a = \boxed{12^{1/7}}$ | 12^{1/7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โจแอนกินลูกอมทั้งหมด 100 ลูกใน 5 วัน เธอจะกินลูกอมเพิ่มขึ้น 6 ลูกในแต่ละวันหลังจากวันที่แรก เธอจะกินลูกอมกี่ลูกในวันที่สาม? | ให้จำนวนลูกอมที่โจแอนกินในวันที่แรกเป็น $a-12$ ดังนั้นเธอจะกิน $a-6$ ลูกในวันที่สอง $a$ ลูกในวันที่สาม และอื่นๆ กิน $(a-12)+(5-1)\cdot 6=a+12$ ลูกในวันที่สุดท้าย จำนวนลูกอมทั้งหมดคือ $5a$ ซึ่งเราทราบว่าเป็น 100 ดังนั้น $5a=100$ และ $a=20$ เนื่องจาก $a$ คือจำนวนลูกอมที่โจแอนกินในวันที่สาม คำตอบของเราคือ $\boxed{20}$ ลูก | 20 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ากำหนดให้ $A\ \clubsuit\ B$ หมายถึง $A\ \clubsuit\ B = 3A + 2B + 5$ จงหาค่าของ $A$ ที่ทำให้ $A\ \clubsuit\ 4 = 58$ | จากนิยามของ $A\; \clubsuit \;B$ เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้:
\begin{align*}
A\;\clubsuit \;4=3A+2(4)+5&=58\\
\Rightarrow\qquad 3A+13&=58\\
\Rightarrow\qquad 3A&=45\\
\Rightarrow\qquad A&=15
\end{align*}ค่าของ $A$ สุดท้ายคือ $\boxed{15}$. | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\displaystyle\frac{1-i}{2+3i}$, โดยที่ $i^2 = -1$. | คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน เราได้ \begin{align*}
\frac{1-i}{2+3i} \cdot \frac{2-3i}{2-3i} &= \frac{1(2) + 1(-3i) - i(2) - i(-3i)}{2(2) + 2(-3i) + 3i(2) -3i(3i)}\\
& = \frac{-1-5i}{13} \\
&= \boxed{-\frac{1}{13} - \frac{5}{13}i}.
\end{align*} | -\frac{1}{13} - \frac{5}{13}i | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันเลือกจำนวนเต็ม $p$ ระหว่าง $1$ ถึง $10$ โดยสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ฉันจะเลือก $p$ ซึ่งมีจำนวนเต็ม $q$ ที่ทำให้ $p$ และ $q$ สอดคล้องกับสมการ $pq - 4p - 2q = 2$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | เราใช้วิธีการแก้สมการ $pq - 4p - 2q = 2$ โดยเพิ่ม $8$ เข้าไปในทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ $pq - 4p - 2q + 8 = 10$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(p-2)(q-4)=10$$ จากนั้นเราจะเห็นว่าจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ $p-2$ หาร $10$ ลงตัว ดังนั้นจะมี $4$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $p$ ระหว่าง $1$ ถึง $10$ (คือ $1,3,4$ และ $7$) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลือก $p$ ที่สอดคล้องเงื่อนไขคือ $\boxed{\frac{2}{5}}$ | \frac{2}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามในสี่มุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $(5, 11)$, $(16, 11)$ และ $(16, -2)$ จงหาพื้นที่ของส่วนที่สี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ทับซ้อนกับบริเวณภายในกราฟของสมการ $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 9$ แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | ด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกับแกน ดังนั้นจุดที่สี่ต้องทำเส้นแนวตั้งกับ (5,11) และเส้นแนวนอนกับ (16,-2); นั่นหมายความว่าจุดที่สี่คือ (5,-2) กราฟของบริเวณภายในสมการเป็นวงกลมที่มีรัศมี 3 และจุดศูนย์กลาง (5,-2): [asy]
size(150);
defaultpen(linewidth(.8pt));
fill(Arc((5,-2),3,0,90)--(5,-2)--cycle,gray);
draw(Circle((5,-2),3));
draw((5,-2)--(16,-2)--(16,11)---(5,11)--cycle);
[/asy] เนื่องจากมุมแต่ละมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด $90^{\circ}$ และมุม coincide กับจุดศูนย์กลางของวงกลม สี่เหลี่ยมผืนผ้าครอบคลุมวงกลมเพียงหนึ่งในสี่ พื้นที่ของส่วนที่ทับซ้อนกันคือ $\frac14r^2\pi=\frac14\cdot3^2\pi=\boxed{\frac94\pi}$. | \frac94\pi | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลม $O$ อยู่บนระนาบพิกัด โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,3)$ จุดปลายด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่ที่ $(-1,-1)$ จุดปลายอีกด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางมีพิกัดเท่าใด จงแสดงคำตอบเป็นคู่ลำดับ | [asy]
draw((-7,0)--(11,0),Arrows);
draw((0,-5)--(0,11),Arrows);
label("$x$",(12,0)); label("$y$",(-1,11));
draw(Circle((2,3),5));
dot((2,3)); dot((-1,-1));
label("(2,3)",(2,3),W);
label("(-1,-1)",(-1,-1),W);
draw((-1,-1)--(2,-1),dashed+red); draw((2,-1)--(2,3),dashed+blue);
draw((2,3)--(5,3),dashed+red); draw((5,3)--(5,7),dashed+blue);
dot((5,7));
label("(?,?)",(5,7),E);
[/asy]
ดูแผนภาพข้างต้น เนื่องจากปลายตรงข้ามของเส้นผ่านศูนย์กลางสมมาตรกันเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางของวงกลม เราต้องเดินทางไปในระยะทางและทิศทางเดียวกันจาก $(-1,-1)$ ถึง $(2,3)$ เช่นเดียวกับที่เราทำจาก $(2,3)$ ถึงปลายอีกด้านหนึ่ง เพื่อไปจาก $(-1,-1)$ ถึง $(2,3)$ เราวิ่ง $3$ (เส้นทึบสีแดง) และขึ้น $4$ (เส้นทึบสีน้ำเงิน) ดังนั้นปลายอีกด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางมีพิกัด $(2+3,3+4)=\boxed{(5,7)}$ | (5,7) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมิน $$64^{1/2}\cdot27^{-1/3}\cdot16^{1/4}.$$ | ประเมินปัจจัยแต่ละตัว: $64^{1/2}=(8^2)^{1/2}=8$ , ในขณะที่ $27^{-1/3}=\frac{1}{(3^3)^{1/3}}=\frac13$ และ $16^{1/4}=(2^4)^{1/4}=2$. คูณปัจจัยที่เรียบง่ายเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้คำตอบ $$ \boxed{\frac{16}{3}}$$. | \frac{16}{3} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $5(9x^2+9x+10) = x(9x-40)$ มีค่ามากที่สุด แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เมื่อขยายสมการจะได้ $45x^2 +45x + 50 = 9x^2 - 40x.$ ดังนั้น $36x^2 + 85x + 50 = (4x+5)(9x+10) = 0.$ ดังนั้น $x = -\dfrac{5}{4}$ หรือ $x = -\dfrac{10}{9}.$ ค่า $x$ ที่มากกว่าคือ $x = \boxed{-\dfrac{10}{9}}.$ | -\dfrac{10}{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เมื่อ $\sqrt[3]{2700}$ ถูกทำให้เรียบง่าย ผลลัพธ์จะเป็น $a\sqrt[3]{b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $b$ มีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จงหาค่าของ $a+b$ | เรามี $$\sqrt[3]{2700} = \sqrt[3]{27}\times \sqrt[3]{100} = \sqrt[3]{3^3}\times \sqrt[3]{100} = 3\sqrt[3]{100}.$$ เนื่องจากการแยกตัวประกอบของ 100 เป็น $2^2\cdot5^2$ เราไม่สามารถทำให้ $\sqrt[3]{100}$ ง่ายลงได้อีก ดังนั้น $a+b = \boxed{103}$. | 103 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลคูณของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $|4x|+3=35$ | เริ่มต้นด้วยการลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ เพื่อแยกค่าสัมบูรณ์ เราจะได้ $|4x|=35-3=32$ ซึ่งเราสามารถแยกเป็นสองกรณี: $4x=32$ และ $4x=-32$ สำหรับกรณีแรก การแก้หา $x$ จะได้ $x=\frac{32}{4}=8$ สำหรับกรณีที่สอง เราจะได้ $x=-\frac{32}{4}=-8$ ดังนั้น ค่า $x$ ทั้งสองที่สอดคล้องกับสมการเริ่มต้นคือ $x=8$ และ $x=-8$ เนื่องจากโจทย์ต้องการผลคูณของค่าเหล่านี้ วิธีแก้ปัญหาของเราคือ $(8)(-8)=\boxed{-64}$ | -64 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Alex มีเพื่อน 12 คน และมีเหรียญ 63 เหรียญ เขาต้องการเหรียญอย่างน้อยกี่เหรียญเพิ่ม เพื่อที่เขาจะสามารถให้เหรียญแก่เพื่อนแต่ละคนอย่างน้อย 1 เหรียญ และไม่มีเพื่อนสองคนใดที่ได้รับจำนวนเหรียญเท่ากัน? | Alex ต้องการลดจำนวนเหรียญที่เขาให้กับเพื่อนของเขาโดยไม่ให้เพื่อนสองคนใดได้รับจำนวนเหรียญเท่ากัน จำนวนเหรียญที่น้อยที่สุดที่เขาสามารถให้กับเพื่อนได้คือ 1 เหรียญ จากนั้นเขาให้ 2 เหรียญแก่เพื่อนอีกคนหนึ่ง จากนั้น 3 เหรียญ จากนั้น 4 เหรียญ และอื่นๆ จนถึงเพื่อนคนสุดท้ายที่ได้รับ 12 เหรียญ จำนวนเหรียญทั้งหมดที่ Alex แจกไปคือ $1+2+3+\cdots+12 = \frac{12 \cdot 13}{2}=78$. ดังนั้น Alex ต้องการ $78-63=\boxed{15}$ เหรียญเพิ่ม | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลคูณ \[ (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3), \] เมื่อ $n=2$. | เราสามารถคำนวณได้ดังนี้ \begin{align*}
(n-1) \cdot n &\cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3)\\
&= (2-1) \cdot 2 \cdot (2+1) \cdot (2+2) \cdot (2+3) \\
&= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5,
\end{align*} ซึ่งเท่ากับ $5!$, หรือ $\boxed{120}$.
เราสามารถคูณค่าสุดท้ายด้วยมือได้ดังนี้: \begin{align*}
(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 4 \cdot 5 &= 6 \cdot 4 \cdot 5 \\
&= 6 \cdot 20 \\
&= 120 .
\end{align*} | 120 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $$\frac{c}{3} \le 2+c < -2(1+c).$$แสดงคำตอบในรูปของช่วงของจำนวนจริง โดยทำให้ง่ายที่สุดสำหรับเศษส่วนที่ปรากฏในคำตอบ | เรามีอสมการสองอสมการที่ $c$ ต้องสอดคล้อง เราพิจารณาอสมการเหล่านี้ทีละอัน
อสมการแรกคือ $\frac{c}{3}\le 2+c$. คูณทั้งสองข้างด้วย $3$ เราได้ $$c\le 6+3c.$$ลบ $3c$ จากทั้งสองข้างให้ $$-2c\le 6.$$เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $-2$ ได้ แต่เราต้องกลับทิศทางของอสมการเนื่องจาก $-2$ เป็นลบ ซึ่งจะได้ $c\ge -3$.
อสมการที่สองคือ $2+c < -2(1+c)$. ขยายข้างขวาให้ได้ $$2+c < -2-2c.$$บวก $2c-2$ เข้ากับทั้งสองข้างให้ $$3c<-4.$$หารทั้งสองข้างด้วย $3$ ให้ $c<-\frac{4}{3}$.
ดังนั้น $c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสองจะอยู่ในช่วง $-3\le c<-\frac{4}{3}$ หรือในรูปของช่วงของจำนวนจริงคือ $c\in\boxed{\left[-3,-\frac{4}{3}\right)}$. | \left[-3,-\frac{4}{3}\right) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวและความกว้างเป็นจำนวนเต็ม มีเส้นรอบรูป 100 หน่วย จำนวนหน่วยตารางในพื้นที่ที่น้อยที่สุดคือเท่าไร | สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูปคงที่จะมีพื้นที่น้อยที่สุดเมื่อมิติหนึ่งยาวที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และอีกมิติหนึ่งสั้นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เพื่อดูสิ่งนี้ ให้ $x$ เป็นมิติที่สั้นกว่า และ $y$ เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และสังเกตว่า $y=x(50-x)$ กราฟของ $y=x(50-x)$ เป็นพาราโบลาที่หงายลงที่มีจุดยอดที่ $(25,625)$ และดังนั้นจึงมีขนาดเล็กที่สุดเมื่อ $x$ มีขนาดเล็กที่สุด เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนเต็ม ค่าต่ำสุดของมันคือ 1 ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เกี่ยวข้องที่มีพื้นที่น้อยที่สุดคือ 1 x 49 พื้นที่ของมันคือ $49\cdot 1=\boxed{49}$ หน่วยตาราง | 49 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีสลากจำนวนเท่าไรที่เป็นคำตอบที่ไม่เป็นลบของสมการ $x^2 = -4x$? | เราสามารถจัดรูปสมการใหม่เป็น $x^2 + 4x = 0$. การแยกตัวประกอบจะได้ $x(x+4)=0$ ซึ่งมีคำตอบ $x=0$ และ $x=-4$ มีเพียง $oxed{1}$ คำตอบเท่านั้นที่เป็นจำนวนไม่เป็นลบ | 1 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $y=\dfrac{x^3-27}{x+27}$ นิยาม (แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง) | ค่าของ $x$ ที่ทำให้เศษส่วนนี้ไม่นิยามคือค่าที่ทำให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์ ดังนั้น เศษส่วนนี้ไม่นิยามเมื่อ $x+27=0$ หรือ $x=-27$ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{(-\infty,-27)\cup(-27,\infty)}$. | (-\infty,-27)\cup(-27,\infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างกำลังสองของ 101 และ 99 | $101^2>99^2$, ดังนั้น $|101^2-99^2|=101^2-99^2$. ผลต่างของกำลังสองนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(101-99)(101+99)=2\cdot200=\boxed{400}$. | 400 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กราฟของสมการกำลังสอง $y = ax^2 + bx + c$ เป็นรูปโค้ง抛 parabola ที่มีจุดยอด $(-4,0)$ และผ่านจุด $(1,-75)$ จงหาค่าของ $a$ | เนื่องจากจุดยอดของ parabola คือ $(-4,0)$ สมการกำลังสองต้องอยู่ในรูป $y = a(x + 4)^2$ parabola ผ่านจุด $(1,-75)$ ซึ่งจะให้สมการ $-75 = 25a$ ดังนั้น $a = -75/25 = -3$ | -3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}-\frac{1}{81}+\frac{1}{243}$ เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | นี่คืออนุกรมเรขาคณิตที่มี 5 พจน์ พจน์แรกคือ $1/3$ และอัตราส่วนร่วมคือ $-1/3$ ผลรวมของอนุกรมนี้คือ $\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{3})^5}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^6}{1+\frac{1}{3}}=\boxed{\frac{61}{243}}$ | \frac{61}{243} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าต่ำสุดของ $y$ คือเท่าใด ถ้า $y=3x^2+6x+9?$ | ראשית, จบกำลังสองดังนี้: $$y=3x^2+6x+9=3\left(x^2+2x\right)+9.$$ เพื่อให้การจบกำลังสองสมบูรณ์ เราต้องบวก $\left(\frac{2}{2}\right)^2=1$ หลังจาก $2x.$ ดังนั้นเราได้ $$y+3=3\left(x^2+2x+1\right)+9.$$ นี่จะให้ $$y=3\left(x+1\right)^2+6.$$ ตอนนี้เนื่องจาก $\left(x+1\right)^2\ge0$ ค่าต่ำสุดคือเมื่อพจน์กำลังสองเท่ากับ $0.$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $$y=3\left(x+1\right)^2+6=3\cdot0+6=\boxed{6}.$$ | 6 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{5x+1}{x-1}$, จงหาค่าของ $f(7)$ | เราสามารถหาคำตอบนี้ได้โดยการแทนค่า 7 ลงในฟังก์ชัน: \begin{align*} f(7)& = \dfrac{5(7)+1}{7-1}
\\ & = \dfrac{35+1}{6}
\\ & = \dfrac{36}{6}
\\ & = \boxed{6}
\end{align*} | 6 | [
"นำไปใช้"
] |
ค่าเฉลี่ยของอายุของแอมี่ เบน และคริสคือ 9 ปี เมื่อ 4 ปีก่อน คริสมีอายุเท่ากับแอมี่ในปัจจุบัน ในอีก 3 ปี อายุของเบนจะเป็น $ rac{2}{3}$ ของอายุแอมี่ในขณะนั้น แอมี่อายุเท่าไร? | ให้ $a$, $b$, และ $c$ แทนอายุของแอมี่ เบน และคริสตามลำดับ เรามีสมการดังนี้ \begin{align*} \tag{1}
\frac{a+b+c}{3}=9 \Rightarrow a+b+c&=27 \\ \tag{2}
c-4&=a\\ \tag{3}
b+3&=\frac{2}{3}(a+3)
\end{align*} จากสมการ (3) เราได้ $b=\frac{2}{3}(a+3)-3$ แทนสมการ (2) ลงในสมการ (3) เพื่อกำจัด $a$ เราจะได้ $b=\frac{2}{3}(c-1)-3$ แทนสมการนี้และสมการ (2) ลงในสมการ (1) เพื่อกำจัด $a$ และ $b$ เราจะได้ \[[c-4]+[\frac{2}{3}(c-1)-3]+c=27\] แก้สมการหา $c$ เราจะพบว่า $c=13$ ดังนั้นอายุของคริสคือ $\boxed{13}$ | 13 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $2a+3b$ เมื่อ $a=2-i$ และ $b=-1+i$ | แทนค่า $a$ และ $b$ ลงไป จะได้ $2(2-i)+3(-1+i)$ กระจายออกมาจะได้ $4-2i-3+3i$ เมื่อบวกกันจะได้ $\boxed{1+i}$ | 1+i | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ผลรวมของจำนวนเต็มลบ $N$ และกำลังสองของมันเท่ากับ 6 จงหาค่าของ $N$ | กำหนดให้ $N^2 + N = 6$ จัดรูปใหม่ได้ $N^2 + N - 6 =0$ และการแยกตัวประกอบของสมการกำลังสองทางซ้ายมือจะได้ $(N+3)(N-2) = 0$ คำตอบเชิงลบเพียงอย่างเดียวของสมการนี้คือ $N = \boxed{-3}$ | -3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(6, 12)$ และ $(0, -6)$ | จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงคือ $\left(\frac{6+0}{2}, \frac{12+(-6)}{2}\right)$, ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $(3,3)$. ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ $\boxed{6}$. | 6 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กราฟของสมการ $y = |x| - 3$ ถูกเลื่อนไปทางซ้าย 2 หน่วย และลงไปทางล่าง 3 หน่วย จุดต่ำสุดของกราฟใหม่มีพิกัดเท่าใด | เนื่องจาก $|x|$ มีค่าไม่เป็นลบ ดังนั้นจะน้อยที่สุดเมื่อเท่ากับ 0 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x=0$ ดังนั้น จุดต่ำสุดของกราฟ $y=|x| - 3$ คือ $(0,-3)$ เมื่อเลื่อนไปทางซ้าย 2 หน่วย และลงไปทางล่าง 3 หน่วย จะได้จุด $\boxed{(-2,-6)}$ | (-2,-6) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า 4 ช่างทาสีทำงานด้วยอัตราเร็วเท่ากันใช้เวลา $1.25$ วันทำการในการทำงานเสร็จ ถ้ามีช่างทาสีเพียง 3 คน จะใช้เวลาเท่าไรในการทำงานเสร็จ โดยทำงานด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม แสดงคำตอบเป็นจำนวนผสม | จำนวนช่างทาสีจะแปรผกผันกับเวลาที่ต้องใช้ในการทำงานเสร็จ นั่นคือ ผลคูณของ $(\text{จำนวนช่างทาสี})\times(\text{วันทำการในการทำงานเสร็จ})$ จะเป็นค่าคงที่ ในกรณีนี้ ค่าคงที่นี้จะเป็น: $$4\times 1.25=5$$ สำหรับ 3 ช่างทาสี ผลคูณจะยังคงเท่าเดิม ให้ $D$ เท่ากับจำนวนวันทำการที่ 3 ช่างทาสีต้องการในการทำงานเสร็จ แล้ว \begin{align*}
3\times D&=5\\
\Rightarrow\qquad D&=5/3=\boxed{1\frac{2}{3}} \text{วันทำการ}.
\end{align*} | 1\frac{2}{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของเศษส่วนสองจำนวนเท่ากับ $\frac{11}{12}$ และผลคูณของเศษส่วนสองจำนวนเท่ากับ $\frac{1}{6}$ เศษส่วนที่มีค่าน้อยกว่าคือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราสามารถใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของรากของสมการกำลังสอง $ax^2 + bx + c = 0$ คือ $-b/a$ และผลคูณของรากคือ $c/a$ เลือก $a$, $b$, และ $c$ เพื่อให้ $-b/a=11/12$ และ $c/a=1/6$ เราพบว่าเศษส่วนเหล่านี้เป็นคำตอบของสมการ $12x^2 - 11x + 2=0$ การแยกตัวประกอบนี้จะได้ \[ 12x^2 - 11x + 2 = (3x - 2)(4x - 1). \] ดังนั้นคำตอบของ $12x^2 - 11x + 2=0$ คือ $x=\frac{1}{4}$ และ $x=\frac{2}{3}$ เศษส่วนที่มีค่าน้อยกว่าคือ $\boxed{\frac{1}{4}}$
วิธีอื่นในการหาสมการ $12x^2 - 11x + 2=0$ คือเริ่มต้นจากสมการที่กำหนด $x+y=\frac{11}{12}$ และ $xy=\frac{1}{6}$ แก้สมการแรกสำหรับ $y$ และแทน $y=\frac{11}{12}-x$ ลงในสมการที่สอง การกระจาย, การล้างตัวส่วน และการจัดเรียงใหม่จะได้ $12x^2 - 11x + 2=0$ จากนั้นเราดำเนินการตามที่กล่าวไว้ | \frac{1}{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้สำหรับทุกๆ $q>0$ เราจะมี $$\frac{3(pq^2+p^2q+3q^2+3pq)}{p+q}>2p^2q?$$ แสดงคำตอบในรูปช่วงปิดในรูปทศนิยม | ก่อนอื่นเราจะทำให้อัตราส่วนซ้ายมือนั้นง่ายขึ้น เราพยายามแยกตัวประกอบตัวเศษของด้านซ้าย: \begin{align*}
pq^2+p^2q+3q^2+3pq &= q(pq + p^2 + 3q + 3p) \\
&= q[ p(q+p) + 3(q+p) ] \\
&= q(p+3)(q+p).
\end{align*}การแทนที่ตัวนี้ในตัวเศษของอสมการของเราจะได้ $$\frac{3q(p+3)(p+q)}{p+q}>2p^2q.$$เราสังเกตว่าด้านซ้ายมือมี $p+q$ อยู่ทั้งตัวเศษและตัวส่วน เราสามารถยกเลิกเทอมเหล่านี้ได้ก็ต่อเมื่อ $p+q \neq 0.$ เนื่องจากเราต้องการหาค่าของ $p$ ที่ทำให้ความไม่เท่ากันเป็นจริงสำหรับทุกๆ $q > 0,$ เราต้องการ $p \geq 0$ เพื่อให้ $p + q \neq 0.$
นอกจากนี้ เนื่องจากสิ่งนี้ต้องเป็นจริงสำหรับทุกๆ $q>0$ เราสามารถยกเลิก $q$ ทางด้านซ้ายและขวาได้ นี่จะได้ \begin{align*}
3(p+3)&>2p^2\Rightarrow\\
3p+9&>2p^2 \Rightarrow\\
0&>2p^2-3p-9.
\end{align*}ตอนนี้เราต้องแก้สมการอสมการกำลังสองนี้ เราสามารถแยกตัวประกอบของสมการกำลังสองเป็น $2p^2-3p-9=(2p+3)(p-3)$. รากคือ $p=3$ และ $p=-1.5$. เนื่องจากกราฟของพาราโบลาจะเปิดออกด้านบน เราจึงทราบว่าค่าของ $2p^2 - 3p - 9$ เป็นลบระหว่างราก ดังนั้นคำตอบของอสมการของเราคือ $-1.5<p<3.$ แต่เรายังต้องการ $0 \leq p,$ ดังนั้นคำตอบในรูปช่วงปิดคือ $\boxed{[0,3)}$. | [0,3) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $x^2 + 5x + 6 = 0$ | เราสามารถแยกตัวประกอบสมการนี้ได้เป็น $(x+2)(x+3) = 0$ ดังนั้น $x = -2$ หรือ $x = -3$ | $x = -2$ หรือ $x = -3$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
การขยายของ \[(a+b+c)(d+e+f+g)\] มีเทอมทั้งหมดกี่เทอม? | เราสร้างผลคูณโดยการคูณแต่ละเทอมใน $a+b+c$ (ซึ่งมี 3 เทอม) ด้วยแต่ละเทอมใน $d+e+f+g$ (ซึ่งมี 4 เทอม) ซึ่งจะได้ $3\cdot 4 = 12$ ผลคูณของคู่ของตัวแปร และไม่มีคู่ใดที่ซ้ำกันใน 12 ผลคูณนี้ ดังนั้น ไม่มี 2 เทอมใดที่สามารถรวมกันได้ ดังนั้นจึงมี $\boxed{12}$ เทอมในผลคูณ | 12 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าของ $x$ ที่ทำให้ $|3x+5|$ ไม่เป็นบวก คือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | วิธีเดียวที่ $|3x+5|$ จะไม่เป็นบวกก็ต่อเมื่อมันเท่ากับ 0 เราจะมี $|3x+5| = 0$ ก็ต่อเมื่อ $3x+5 = 0$ การแก้สมการนี้จะได้ $x = \boxed{-\frac{5}{3}}$ | -\frac{5}{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
תחוםของฟังก์ชัน $$f(t) = \frac{1}{(t-1)^2+(t+1)^2}~?$$ แสดงคำตอบในสัญกรณ์ช่วง | เศษส่วน $\frac{1}{(t-1)^2+(t+1)^2}$ ไม่นิยามก็ต่อเมื่อส่วนเป็นศูนย์ แต่ $(t-1)^2$ และ $(t+1)^2$ เป็นค่าบวกเสมอสำหรับทุก $t$ และไม่เคยเป็นศูนย์พร้อมกัน ดังนั้นผลบวกของมันจึงเป็นค่าบวกเสมอ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่เป็นศูนย์) ดังนั้นโดเมนของ $f(t)$ คือจำนวนจริงทั้งหมดหรือในสัญกรณ์ช่วง $\boxed{(-\infty,\infty)}$. | (-\infty,\infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สี่ปีที่แล้ว คุณลงทุนเงินจำนวนหนึ่งที่อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 10 คุณมีเงินอยู่ $439.23 ในบัญชีตอนนี้ หากดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายปี คุณลงทุนไปเท่าไรเมื่อสี่ปีที่แล้ว? | ให้ $x$ เป็นจำนวนเงินเริ่มต้น หลังจากสี่ปี ที่อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 10 ต่อปี การลงทุนจะเติบโตเป็น $x \cdot 1.1^4$ ดังนั้น $x \cdot 1.1^4 = 439.23$ จากนั้น $x = 439.23/1.1^4 = \boxed{300}$ | 300 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $\frac{x^4-4x^3+6x^2-4x+1}{x^2-4}$ | เนื่องจากเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ค่าของ $x$ ที่ทำให้ส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์จะต้องถูกตัดออกจากโดเมน ดังนั้น เราต้องหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $x^2-4=0$ ก่อน เนื่องจากสมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(x+2)(x-2)=0$ ค่าที่เราต้องตัดออกจากโดเมนมีเพียง 2 ค่า คือ 2 และ $-2$ ซึ่งจะได้คำตอบ $x\in\boxed{(-\infty,-2)\cup(-2, 2)\cup(2,\infty)}$ | (-\infty,-2)\cup(-2, 2)\cup(2,\infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
อะมีบาตัวหนึ่งถูกนำไปไว้ในแอ่งน้ำในวันหนึ่ง และในวันเดียวกันก็แบ่งตัวเป็นสองอะมีบา วันรุ่งขึ้น แต่ละอะมีบาใหม่ก็แบ่งตัวเป็นสองอะมีบาใหม่ และเช่นนั้นเรื่อยไป ดังนั้นในแต่ละวัน อะมีบาที่ยังมีชีวิตอยู่ทุกตัวจะแบ่งตัวเป็นสองอะมีบาใหม่ หลังจากผ่านไปหนึ่งสัปดาห์ จะมีอะมีบาอยู่ในแอ่งน้ำกี่ตัว (สมมติว่าแอ่งน้ำไม่มีอะมีบาอยู่ก่อนที่ตัวแรกจะถูกนำไปไว้ในแอ่งน้ำ) | สิ้นสุดของวันที่หนึ่ง มีอะมีบา 2 ตัว สิ้นสุดของวันที่สอง มีอะมีบา $2\cdot 2 = 2^2$ ตัว สิ้นสุดของวันที่สาม มีอะมีบา $2\cdot 2^2 = 2^3$ ตัว และเช่นนั้นเรื่อยไป ดังนั้น หลังจากวันที่เจ็ด จะมีอะมีบา $2^7= \boxed{128}$ ตัว | 128 | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
บนระนาบデカร์ต จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด $A(a,b)$ และ $B(c,d)$ คือ $M(m,n)$ ถ้า $A$ ถูกเลื่อนขึ้นไปทางแนวตั้ง 8 หน่วย และเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย และ $B$ ถูกเลื่อนลงไปทางแนวตั้ง 2 หน่วย และเลื่อนไปทางซ้าย 10 หน่วย จุดกึ่งกลางใหม่ระหว่าง $A$ และ $B$ คือ $M'$ ระยะทางระหว่าง $M$ และ $M'$ คือเท่าใด | ก่อนที่จะเคลื่อนย้าย จุดกึ่งกลาง (ในรูปของ $a$, $b$, $c$, และ $d$) คือ $M(m,n)=\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)$. $A$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(a+2,b+8)$. $B$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(c-10,d-2)$. เราพบว่าจุดกึ่งกลางใหม่ $M'$ คือ \begin{align*}
\left(\frac{a+2+c-10}{2},\frac{b+8+d-2}{2}\right)&=\left(\frac{a+c}{2}-4,\frac{b+d}{2}+3\right)\\
&=(m-4,n+3).
\end{align*}ดังนั้น ระยะทางระหว่าง $M$ และ $M'$ เทียบเท่ากับระยะทางระหว่าง $(m,n)$ และ $(m-4,n+3)$ หรือ $$\sqrt{(m-4-m)^2+(n+3-n)^2}=\boxed{5}.$$ | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้กำลังสองของจำนวนเต็ม $x$ เท่ากับ 1521 จงหาค่าของ $(x+1)(x-1)$ | โดยใช้การแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสอง เราจะได้ว่า $(x+1)(x-1) = x^2-1$ เนื่องจากเราทราบว่า $x^2= 1521$ เราสามารถคำนวณ $x^2-1 = 1521-1 = 1520$ ได้ | 1520 | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $E(a,b,c) = a \times b^c$. ค่า $r$ ที่เป็นบวกใดเป็นคำตอบของสมการ $E(r,r,3) = 625$? | $E(r,r,3)=r(r^3)=r^4$. ดังนั้น $r^4=625=5^4$, และ $r=\boxed{5}$. | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กล่องรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีปริมาตร 108 ลูกบาศก์ฟุต มีกี่ลูกบาศก์หลาในปริมาตรของกล่องนี้ | เนื่องจากมี 3 ฟุตต่อหลา ดังนั้นมี $3^3=27$ ลูกบาศก์ฟุตต่อลูกบาศก์หลา ดังนั้นมี $108/27=\boxed{4}$ ลูกบาศก์หลาในปริมาตรของกล่อง | 4 | [
"นำไปใช้"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $7x^2+3x+k$ คือ $\frac{-3\pm i\sqrt{299}}{14}$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | โดยใช้สูตรกำลังสอง เราพบว่ารากของสมการกำลังสองคือ $\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4(7)(k)}}{14}=\frac{-3\pm\sqrt{9-28k}}{14}$ เนื่องจากโจทย์บอกว่ารากเหล่านี้ต้องเท่ากับ $\frac{-3\pm i\sqrt{299}}{14}$ เราได้ \begin{align*} \sqrt{9-28k}&=i\sqrt{299}
\\\Rightarrow\qquad 9-28k&=-299
\\\Rightarrow\qquad -28k&=-308
\\\Rightarrow\qquad k&=\boxed{11}.
\end{align*} | 11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จอห์นเชื่อว่าจำนวนชั่วโมงที่เขานอนหลับในคืนก่อนสอบและคะแนนสอบของเขาสัมพันธ์กันแบบผกผัน ในการสอบครั้งแรกของเขา เขาได้นอนหลับ 8 ชั่วโมง และได้คะแนน 70 ในการสอบ เขาต้องนอนหลับกี่ชั่วโมงในคืนก่อนการสอบครั้งที่สอง เพื่อให้คะแนนเฉลี่ยของการสอบทั้งสองครั้งเป็น 80 (ปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่ง) | ก่อนอื่นเพื่อให้คะแนนเฉลี่ยเป็น 80 เขาต้องได้คะแนน 90 ในการสอบครั้งที่สอง เนื่องจากคะแนนและจำนวนชั่วโมงการนอนหลับสัมพันธ์กันแบบผกผัน ผลคูณของมันจึงเป็นค่าคงที่ ดังนั้น $70 \cdot 8 = 90 \cdot h \Rightarrow h = 56/9 \approx \boxed{6.2}$ | 6.2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของนิพจน์ \[(2^{1004}+5^{1005})^2-(2^{1004}-5^{1005})^2\]คือ $k\cdot10^{1004}$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ จงหา $k$ | เมื่อทำการกระจายกำลังสอง เราจะได้ \begin{align*}
&(2^{1004}+5^{1005})^2-(2^{1004}-5^{1005})^2\\
&\qquad=2^{2008}+2\cdot2^{1004}\cdot5^{1005}+5^{2010}\\
&\qquad\qquad-2^{2008}+2\cdot2^{1004}\cdot5^{1005}-5^{2010}\\
&\qquad=4\cdot2^{1004}\cdot5^{1005}
\end{align*}เนื่องจาก $4\cdot2^{1004}=2\cdot2^{1005}$ เราสามารถเขียนนิพจน์ใหม่ได้เป็น \[2\cdot2^{1005}\cdot5^{1005}=2\cdot10^{1005}=20\cdot10^{1004}\]ดังนั้น $k=\boxed{20}$. | 20 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้ระบบสมการต่อไปนี้: \begin{align*}
3x-5y&=-11,\\
7x+2y&=-12.
\end{align*}แสดงคำตอบในรูปของคู่ลำดับ $(x,y).$ | เราสามารถหาค่า $x$ ได้โดยการบวกสมการแรกสองเท่าเข้ากับสมการที่สองห้าเท่า จาก \begin{align*}
2(3x-5y)+5(7x+2y)&=6x+35x\\&=41x,
\end{align*}และ \begin{align*}
2(3x-5y)+5(7x+2y)&=2(-11)+5(-12)\\&=-22-60\\&=-82,
\end{align*}เราจะได้ว่า $41x = -82$ หรือ $x=-2.$
แทนค่า $x$ ลงในสมการที่สอง เราจะได้ค่า $y:$ \begin{align*}
7x+2y&=-12 \\ \implies y&=\frac{1}{2}(-12-7(-2))\\&=\frac{1}{2}(-12+14)\\&=\frac{1}{2}(2)\\&=1.
\end{align*}ดังนั้น คำตอบของเราคือ $\boxed{(-2,1)}.$ | (-2,1) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,2)$ และ $(17,10)$ ทั้งสองวงสัมผัสแกน $x$ ระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองคือเท่าไร? | รัศมีของวงกลมวงแรกคือ 2 และรัศมีของวงกลมวงที่สองคือ 10 ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\sqrt{(17 - 2)^2 + (10 - 2)^2} = 17,$ ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองคือ $17 - 2 - 10 = \boxed{5}.$
[asy]
unitsize(0.3 cm);
draw((2,2)--(2,0),dashed);
draw((17,10)--(17,0),dashed);
draw((-1,0)--(28,0));
draw((0,-1)--(0,20));
draw(Circle((2,2),2));
draw(Circle((17,10),10));
draw((2,2)--(17,10));
label("$2$", (2,1), E);
label("$10$", (17,5), E);
dot("$(2,2)$", (2,2), NW);
dot("$(17,10)$", (17,10), NE);
[/asy] | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุด $(-1,4)$ และ $(2,-3)$ เป็นจุดยอดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส | ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนด หรือ $\sqrt{(-1 - 2)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}$ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือกำลังสองของความยาวด้าน หรือ $\boxed{58}$ | 58 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $f(x) = x^k$ เมื่อ $k > 0$ จงหาช่วงของ $f(x)$ บนช่วง $[1, \infty)$ | เนื่องจาก $k > 0$ ดังนั้น $f(x)$ จึงเพิ่มขึ้นบนช่วง $[1, \infty)$ เราเห็นว่า $f(1) = 1^k = 1$ และเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $f(x) = x^k$ ก็จะเพิ่มขึ้นไม่มีขอบเขต ดังนั้นบนช่วง $[1,\infty)$ $f(x)$ จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่าช่วงของ $f(x)$ คือ $\boxed{[1,\infty)}$ | [1,\infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
รากหนึ่งของสมการ $5x^2+kx=4$ คือ 2. รากอีกตัวคืออะไร? | จัดสมการที่กำหนดใหม่ เราได้ $5x^2+kx-4=0$ นั่นหมายความว่าผลคูณของรากของสมการคือ $-4/5$ ถ้ารากหนึ่งของสมการคือ 2 อีกตัวต้องเป็น $(-4/5)/2=\boxed{-\frac{2}{5}}$ | -\frac{2}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริงบวก $x$ เพียงจำนวนเดียวที่ทำให้ $\displaystyle \frac{x-4}{9} = \frac{4}{x-9}$ | วิธีการที่เรานึกถึงเป็นอันดับแรกก็อาจจะเป็นวิธีที่ดีที่สุด ดังนั้นเราคูณไขว้เพื่อให้ได้ $(x-4)(x-9) = 36$ การคูณออกทางซ้ายมือและยกเลิก 36 จะได้ $x^2-13x = 0$ หรือ $x(x-13)=0$ สมการนี้มีคำตอบสองคำตอบคือ $x=0$ และ 13 เนื่องจากเราต้องการคำตอบที่เป็นบวก เราจึงเลือก $x=\boxed{13}$ | 13 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $y = -6t^2 - 10t + 56$ อธิบายความสูง (เป็นฟุต) ของลูกบอลที่ถูกโยนลงมาด้วยความเร็ว 10 ฟุตต่อวินาที จากความสูง 56 ฟุตจากพื้นผิวดาวอังคาร ในเวลา bao nhiêu วินาที ลูกบอลจะตกลงถึงพื้น? แสดงคำตอบของคุณเป็นทศนิยมปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด | กำหนดให้ $y$ เท่ากับศูนย์ เราจะได้ดังนี้:
\begin{align*}
-6t^2 - 10t + 56 &= 0 \\
\Rightarrow \quad 6t^2 + 10t - 56 &= 0 \\
\Rightarrow \quad 3t^2 + 5t - 28 &= 0 \\
\Rightarrow \quad (3t-7)(t+4) &= 0.
\end{align*}เนื่องจาก $t$ ต้องเป็นบวก เราจะเห็นว่า $t = \frac{7}{3} \approx \boxed{2.33}.$ | 2.33 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ส่วนกลับของรากของ $5x^2 + 3x + 4$ คือ $\alpha$ และ $\beta$ จงหาค่าของ $\alpha + \beta$. | กำหนดให้รากของ $5x^2 + 3x +4$ คือ $a$ และ $b$ เราได้ว่า $\alpha = \frac{1}{a}$ และ $\beta = \frac{1}{b}$ ดังนั้น $$\alpha + \beta = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}.$$
เราทราบว่า $a + b = \frac{-3}{5}$ และ $ab = \frac{4}{5}$ จากความสัมพันธ์ระหว่างผลบวก/ผลคูณของรากและสัมประสิทธิ์ของพหุนาม
ดังนั้น $\alpha + \beta = \dfrac{a + b}{ab} = \boxed{-\dfrac{3}{4}}$. | -\dfrac{3}{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวน 2, 4, 6 และ 8 เป็นเซตของจำนวนคู่ที่ต่อเนื่องกันสี่จำนวน ถ้าผลรวมของจำนวนคู่ที่ต่อเนื่องกันห้าจำนวนเท่ากับ 320 แล้ว จำนวนที่น้อยที่สุดในห้าจำนวนนั้นคือจำนวนใด | $\underline{\text{วิธีที่ 1}}$
พจน์กึ่งกลางของลำดับเลขคณิตที่มีจำนวนพจน์เป็นเลขคี่ จะเป็นค่าเฉลี่ยของพจน์ในลำดับเสมอ ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยของจำนวนคือ $\frac{320}{5} = 64$ ซึ่งเป็นพจน์ที่สามด้วย การนับถอยหลังทีละสอง จะพบว่าจำนวนที่ต้องการคือ $\boxed{60}$.
$\underline{\text{วิธีที่ 2}}$
ให้แทนพจน์กึ่งกลางด้วย $n$ แล้วจำนวนคู่ห้าจำนวนที่ต่อเนื่องกันคือ $n-4, n-2, n, n+2$ และ $n+4$ ผลรวมของจำนวนทั้งห้าคือ $5n$ เนื่องจาก $5n=320$ ดังนั้น $n=64$ ดังนั้น จำนวนแรกคือ $n - 4 = \boxed{60}$ | 60 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\log_2 (4^2)$. | $\log_24=\boxed{2}$, ดังนั้น $\log_2(4^2) = \log_2((2^2)^2) = \log_2 (2^4) = \boxed{4}$ | 4 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลคูณของค่า $t$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $t^2 = 36$ | มีจำนวนสองจำนวนที่กำลังสองเท่ากับ 36 จำนวนเหล่านั้นคือ 6 และ $-6$ และผลคูณของมันคือ $-36$ | -36 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดลำดับเลขคณิตที่มี 20 พจน์ โดยพจน์แรกและพจน์สุดท้ายมีค่าเท่ากับ 2 และ 59 ตามลำดับ จงหาพจน์ที่ 5 ของลำดับนี้ | จากพจน์แรกถึงพจน์ที่ 20 ผลต่างร่วมถูกบวก 19 ครั้ง ดังนั้น ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตคือ $(59-2)/19=3$ พจน์ที่ 5 คือ $2+3\cdot(5-1)=\boxed{14}$ | 14 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $(x + y)^2 = 25$ และ $xy = 6$ จงหาค่าของ $x^2 + y^2$ | เราทราบว่า $(x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 25$ กำหนดให้ $xy = 6$ ดังนั้นโดยการแทนค่า $x^2 + y^2 + 2xy = x^2 + y^2 + 2(6) = 25$ ดังนั้น $x^2 + y^2 = 25 - 12 = 13$ | 13 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วางเลขโดด 6, 7, 8 และ 9 ลงในช่องสี่เหลี่ยมแต่ละช่อง โดยให้ได้ผลคูณที่น้อยที่สุด ผลคูณนี้มีค่าเท่าไร? [asy]draw((0,.5)--(10,.5),linewidth(1));
draw((4,1)--(6,1)--(6,3)--(4,3)--(4,1),linewidth(1));
draw((7,1)--(9,1)--(9,3)--(7,3)--(7,1),linewidth(1));
draw((7,4)--(9,4)--(9,6)--(7,6)--(7,4),linewidth(1));
draw((4,4)--(6,4)--(6,6)--(4,6)--(4,4),linewidth(1));
draw((1,3)--(2,4),linewidth(1));
draw((1,4)--(2,3),linewidth(1)); [/asy] | เราต้องการให้เลขโดดที่เล็กลงอยู่ที่หลักสิบ ดังนั้น 6 และ 7 จะอยู่ทางซ้าย และ 8 และ 9 จะอยู่ทางขวา เรามี 2 กรณี: $68\times79=5372$ และ $69\times78=5382$ กรณีที่น้อยกว่าคือ $\boxed{5372}$ ซึ่งเป็นคำตอบของเรา | 5372 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชัน $y=u(x)$ ดังนี้:
[asy]
import graph; size(5.5cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.25,xmax=3.25,ymin=-3.25,ymax=3.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return -x+3*sin(x*pi/3);}
draw(graph(f1,-3.25,3.25),linewidth(1));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy]
จงหาค่าของ $u(-2.33)+u(-0.81)+u(0.81)+u(2.33)$ | เราไม่สามารถอ่านค่าที่แน่นอนของ $u(-2.33)$ หรือ $u(-0.81)$ หรือ $u(0.81)$ หรือ $u(2.33)$ จากกราฟได้ อย่างไรก็ตาม ความสมมาตรของกราฟ (ภายใต้การหมุน $180^\circ$ รอบจุดกำเนิด) บอกเราว่า $u(-x) = -u(x)$ สำหรับค่า $x$ ทั้งหมดในช่วงที่มองเห็น ดังนั้น โดยเฉพาะ $$u(-2.33)+u(2.33) = 0\phantom{.}$$และ $$u(-0.81)+u(0.81) = 0.$$ดังนั้น ค่าที่แน่นอนของ $u(-2.33)+u(-0.81)+u(0.81)+u(2.33)$ คือ $\boxed{0}$. | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $x$ และ $y$ สอดคล้องสมการ $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น
\[x^2 - 10x + y^2 + 6y + 34 = 0.\]เติมกำลังสองสมบูรณ์ใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 0.\]ดังนั้น $x = 5$ และ $y = -3,$ ดังนั้น $x + y = \boxed{2}.$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x) = x^{2}-2x+5$ และ $g(x) =x+3$ จงหาค่าของ $f(g(5)) -g(f(5))$ | เนื่องจาก $g(5) = 5+3=8$ และ $f(5) = 5^2 - 2(5) + 5 = 25-10+5 = 20$ เราได้ว่า $f(g(5)) -g(f(5)) = f(8) - g(20) = 8^2 - 2(8) + 5 - (20+3) = 64 - 16 + 5 - 23 = 30$ | 30 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $(3,17)$ และ $(9,-4)$ เป็นพิกัดของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จงหาผลรวมของพิกัด $y$ ของอีก 2 จุดยอด | จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะตรงกัน ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่ต่อจุด $(3,17)$ และ $(9,-4)$ ก็เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่ต่ออีก 2 จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย พิกัด $y$ ของจุดกึ่งกลางเท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของจุดปลายทั้งสอง ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของ $(3,17)$ และ $(9,-4)$ เท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของจุดยอดที่หายไป เนื่องจากผลรวมเป็นสองเท่าของค่าเฉลี่ย ผลรวมของพิกัด $y$ ของจุดยอดที่หายไปจึงเท่ากับผลรวมของจุดยอดที่กำหนดไว้: $17+(-4)=\boxed{13}$ | 13 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดรั้ว 40 ฟุต จงหาพื้นที่สูงสุด (หน่วยเป็นตารางฟุต) ของคอกสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ล้อมรอบด้วยรั้วนี้ | เนื่องจากเส้นรอบรูปเท่ากับ 40 ดังนั้นด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะรวมกันได้ $40/2 = 20$ ให้ $x$ เป็นความยาวด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นความยาวด้านอีกด้านหนึ่งคือ $20 - x$ ดังนั้นพื้นที่คือ
\[x(20 - x) = 20x - x^2.\]ทำการเติมกำลังสอง เราจะได้
\[-x^2 + 20x = -x^2 + 20x - 100 + 100 = 100 - (x - 10)^2.\]ดังนั้นพื้นที่สูงสุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $\boxed{100}$ ตารางฟุต ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส $10 \times 10$ | 100 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $a$ ที่ทำให้เส้นตรงที่มีสมการดังต่อไปนี้ตั้งฉากกัน \begin{align*}
y &= 2x+13 \\
6y+ax &= 6.
\end{align*} | เส้นตรงตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากับ $-1$ สมการเส้นตรงแรกอยู่ในรูป $y=mx+b$ ดังนั้นความชันของเส้นตรงแรกคือ 2 ลบ $ax$ และหารด้วย 6 ในสมการเส้นตรงที่สองเพื่อให้ได้อยู่ในรูป $y=mx+b$ เช่นกัน: $y=-\frac{a}{6}x+1$ ส่วนกลับของ 2 คือ $-1/2$ ดังนั้นการตั้ง $-a/6=-1/2$ เราพบว่า $a=\boxed{3}$ คือค่าที่ทำให้เส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกัน | 3 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0.$ สมมติว่า $a+(1/b)$ และ $b+(1/a)$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0.$ จงหาค่าของ $q?$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - mx + 2 = 0,$ เราได้ \[
x^2 - mx + 2 = (x-a)(x-b)\quad \text{และ} \quad ab = 2.
\] ในทำนองเดียวกัน พจน์คงตัวของ $x^2 - px + q$ คือ ผลคูณของ $a + (1/b)$ และ $b + (1/a),$ ดังนั้น \[
q=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)= ab+1+1+\frac{1}{ab}=\boxed{\frac{9}{2}}.
\] | \frac{9}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $(2008+x)^2=x^2$ | นำรากที่สองของทั้งสองข้าง $2008+x=\pm x.$ ไม่มีคำตอบเมื่อข้างขวาเท่ากับ $x$ (ผลลัพธ์คือ $2008=0$) ดังนั้นเราพิจารณา $2008+x=-x.$ แก้สมการ $x=\boxed{-1004}.$ | -1004 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ริชาร์ดกำลังสร้างสนามหลังบ้านรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยใช้รั้ว 360 ฟุต รั้วต้องครอบคลุมสามด้านของสนามหลังบ้าน (ด้านที่สี่ติดกับบ้านของริชาร์ด) พื้นที่สูงสุดของสนามหลังบ้านนี้คือเท่าไร? | ให้ความยาวของสนามหลังบ้านเป็น $l$ และความกว้างเป็น $w$ เราได้สมการ $l+2w=360$ เราต้องการเพิ่มพื้นที่สูงสุดของสนามหลังบ้านรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ ซึ่งกำหนดโดย $lw$ จากสมการของเรา เราทราบว่า $l=360-2w$ แทนค่านี้ลงในนิพจน์ของพื้นที่ เราได้ \[(360-2w)(w)=360w-2w^2\]เราจะทำให้สมบูรณ์แบบเพื่อหาค่าสูงสุดของนิพจน์นี้ คูณ $-2$ เข้าไป เราได้ \[-2(w^2-180w)\]เพื่อให้ค่าภายในวงเล็บเป็นกำลังสองที่สมบูรณ์ เราต้องบวกและลบ $(180/2)^2=8100$ เข้าไปในวงเล็บ ทำให้ได้ \[-2(w^2-180w+8100-8100) \Rightarrow -2(w-90)^2+16200\]เนื่องจากค่าสูงสุดของ $-2(w-90)^2$ คือ 0 (กำลังสองที่สมบูรณ์แบบเป็นบวกเสมอ) ค่าสูงสุดของนิพจน์ทั้งหมดคือ 16200 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $w=90$ และ $l=360-2w=180$ ดังนั้น พื้นที่สูงสุดของสนามหลังบ้านคือ $\boxed{16200}$ ตารางฟุต | 16200 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามขั้นตอนแรกของรูปแบบแสดงไว้ด้านล่าง โดยที่แต่ละส่วนของเส้นตรงแทนไม้จิ้มฟัน หากรูปแบบดำเนินต่อไปในลักษณะที่ในแต่ละขั้นตอนที่ต่อเนื่องกัน จะมีไม้จิ้มฟันเพิ่มเข้ามา 3 อันในรูปแบบก่อนหน้า จะต้องใช้ไม้จิ้มฟันกี่อันในการสร้างรูปแบบสำหรับขั้นตอนที่ 250?
[asy]
size(150);
defaultpen(linewidth(0.7));
void drawSquare(pair A){
draw((A.x + 0.1,A.y)--(A.x + 0.9,A.y));
draw((A.x,A.y + 0.1)--(A.x,A.y + 0.9));
draw((A.x + 1,A.y + 0.1)--(A.x + 1,A.y + 0.9));
draw((A.x + 0.1,A.y + 1)--(A.x + 0.9,A.y + 1));
}
int k = 0;
for(int i = 1; i <= 3; ++i){
for(int j = 0; j < i; ++j){
drawSquare((k,0));
++k;
}
draw((k+0.1,0.5)--(k+0.9,0.5),EndArrow);
++k;
}
label("$\cdots$",(k,0.5));
[/asy] | จำนวนไม้จิ้มฟันในแต่ละขั้นตอนสร้างเป็นลำดับเลขคณิต พจน์แรกในลำดับเลขคณิตนี้คือ 4 และผลต่างร่วมคือ 3 (จำนวนไม้จิ้มฟันที่เพิ่มเข้าไปเพื่อไปยังขั้นตอนถัดไป) ดังนั้นจำนวนไม้จิ้มฟันที่ใช้ในขั้นตอนที่ 250 คือ $4 + 3 \cdot 249 = \boxed{751}$ | 751 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $23^2 + 2(23)(2) + 2^2$ | นี่คือกำลังสองของทวินาม: $23^2 + 2(23)(2) + 2^2 = (23+2)^2 = 25^2 = \boxed{625}$ | 625 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ครึ่งหนึ่งของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างกำลังสองของ 18 และ 16 คือเท่าไร | $$\frac{18^2-16^2}{2}=\frac{(18-16)(18+16)}{2}=\frac{(2)(34)}{2}=\boxed{34}$$ | 34 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $3x + 5 = 14$ | ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ:
$3x + 5 - 5 = 14 - 5$
$3x = 9$
หารทั้งสองข้างด้วย 3:
$3x / 3 = 9 / 3$
$x = 3$ | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แอมมี่ทำงาน 36 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ เป็นเวลา 10 สัปดาห์ในช่วงฤดูร้อน โดยได้เงิน $3000 ถ้าเธอทำงาน 30 สัปดาห์ในช่วงปีการศึกษาด้วยอัตราค่าจ้างเท่าเดิม และต้องการได้เงินอีก $3000 เธอต้องทำงานกี่ชั่วโมงต่อสัปดาห์ | เนื่องจากเธอต้องการได้เงินเท่าเดิม หากเธอทำงานนานขึ้น 3 เท่า เธอสามารถทำงานได้น้อยลง 3 เท่า นั่นคือ เธอสามารถทำงาน $\frac{1}{3} \cdot 36 = \boxed{12}$ ชั่วโมงต่อสัปดาห์ | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการ $r$ จากสมการ $$\frac{r+3}{r-2} = \frac{r-1}{r+1}.$$แสดงคำตอบในรูปเศษส่วน | การคูณไขว้ (ซึ่งเทียบเท่ากับการคูณทั้งสองข้างด้วย $r-2$ และ $r+1$) จะได้ \[(r+3)(r+1) = (r-1)(r-2).\]เมื่อขยายผลคูณทั้งสองข้าง จะได้ \[r^2 + 3r + r + 3 = r^2 -r - 2r + 2.\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $r^2 + 4r + 3 = r^2 - 3r + 2$. ลบ $r^2$ จากทั้งสองข้างและจัดกลุ่มพจน์ จะได้ $7r = -1$ ดังนั้น $r = \boxed{-\frac{1}{7}}$. | -\frac{1}{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.