question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
แก้สมการหาค่า t: $3 \cdot 3^t + \sqrt{9 \cdot 9^t} = 18$. | เราสังเกตว่า $\sqrt{9 \cdot 9^t} = 3 \cdot 3^t$ สมการจะกลายเป็น: \begin{align*}
3 \cdot 3^t + 3 \cdot 3^t &= 18\\
\Rightarrow 6 \cdot 3^t &= 18 \\
\Rightarrow 3^t &= 3.
\end{align*}ดังนั้น $t = \boxed{1}$. | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $m$ และ $n$ สอดคล้องกับ $mn=4$ และ $m+n=5$ จงหาค่าของ $|m-n|$ | เรามีสมการสองสมการและตัวแปรสองตัว ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแก้หา $m$ และ $n$ โดยตรง จากนั้นคำนวณ $|m-n|$ เพื่อหาคำตอบ อย่างไรก็ตาม การทำเช่นนั้นจะยุ่งยาก ดังนั้นเราจึงมองหาแนวทางอื่น เรา squaring สมการที่สองเพื่อให้ได้ $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 25$ เนื่องจาก $mn=4$ เราสามารถลบ $4mn = 16$ ออกได้ ซึ่งจะได้ $$m^2 -2mn +n^2 = 9\Longrightarrow (m-n)^2=9$$ นี่หมายความว่า $m-n =\pm3$ ดังนั้น $|m-n|=\boxed{3}$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กระจายผลคูณของ ${(x+5)(x+7)}$ | เมื่อใช้สมบัติการกระจายเป็นครั้งแรก เราจะบวกผลคูณของ $x+5$ และ $x$ กับผลคูณของ $x+5$ และ 7: \begin{align*}
(x+5)(x+7) &= (x+5) \cdot x + (x+5) \cdot 7\\
&= x(x+5) + 7(x+5).
\end{align*}เราใช้สมบัติการกระจายอีกครั้งและรวมพจน์ที่คล้ายกัน: \begin{align*}
x(x+5) + 7(x+5) &= x^2 + 5x + 7x+ 35\\
&= \boxed{x^2 + 12x + 35}.
\end{align*} | x^2 + 12x + 35 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามกระป๋องอะลูมิเนียมสามารถนำมารีไซเคิลเพื่อทำกระป๋องใหม่ได้ กระป๋องอะลูมิเนียม 243 กระป๋อง สามารถทำกระป๋องใหม่ได้ทั้งหมดกี่กระป๋อง (จงจำไว้ว่า กระป๋องใหม่ที่ทำขึ้นสามารถนำมารีไซเคิลเพื่อทำกระป๋องใหม่ได้อีก!) ไม่ต้องรวมกระป๋องเดิม 243 กระป๋อง ในการนับ | เราเริ่มต้นด้วย $243 = 3^5$ กระป๋อง หลังจากรีไซเคิลกระป๋องเหล่านี้แล้ว เราจะได้กระป๋องใหม่ $243\cdot\frac13 = 3^4$ กระป๋อง เราสามารถนำกระป๋องใหม่เหล่านี้มารีไซเคิลเพื่อทำกระป๋องใหม่ $3^4\cdot\frac13 = 3^3$ กระป๋อง ต่อไปนี้ เราต้องการหาผลรวม $3^4 + 3^3 + 3^2 + 3^1 + 3^0$ นี่คืออนุกรมเรขาคณิตจำกัดที่มีพจน์แรก 81 อัตราส่วนร่วม $1/3$ และมี 5 พจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $\frac{81\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13} = \boxed{121}$ | 121 | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $n$ ที่สอดคล้องกับ $\frac{1}{n+1} + \frac{2}{n+1} + \frac{n}{n+1} = 3$. | รวมเศษส่วนทางซ้ายมือให้เป็น $\dfrac{n+3}{n+1} = 3$. คูณทั้งสองข้างด้วย $n+1$ จะได้ $n+3 = 3(n+1)$. กระจายข้างขวาจะได้ $n+3 = 3n+3$. ลบ $n$ และ 3 จากทั้งสองข้างจะได้ $0=2n$ ดังนั้น $n=\boxed{0}$. | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ความชันของเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง $2x - 4y = 9$ มีค่าเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | รูปแบบสมการเส้นตรงคือ $y = mx + b$ โดยที่ $m$ คือความชัน ดังนั้น ถ้าเราเอา $y$ ไปอยู่ฝั่งตรงข้ามกับ $x$ และทำให้สัมประสิทธิ์ของ $y$ เท่ากับ 1 ความชันของเส้นตรงก็จะเป็นสัมประสิทธิ์ของ $x$ ดังนั้นเราบวก $4y$ เข้าทั้งสองข้าง และหารทุกอย่างด้วย 4 ซึ่งจะทำให้สัมประสิทธิ์ของ $x$ เท่ากับ $\boxed{\frac{1}{2}}$ | \frac{1}{2} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดจำนวนจริง $x$ ให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
x+2 &\text{ if }x>3, \\
2x+a &\text{ if }x\le 3.
\end{array}
\right.\]ค่าของ $a$ ที่ทำให้ฟังก์ชันแบบทีละส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษ) คือเท่าใด? | เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง ทั้งสองนิพจน์ต้องมีค่าเท่ากันเมื่อ $x=3$ ดังนั้น $3+2=2(3)+a$ แก้สมการได้ $a=\boxed{-1}$ | -1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ $n$ ที่ทำให้ $3x^2 + nx + 72$ สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม | เมื่อเราแยกตัวประกอบ $3x^2 + nx + 72$ ตัวประกอบของเราจะมีรูปแบบ $(3x + A)(x+B)$ โดยที่ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนเต็ม เราต้องมี $AB = 72$ และเราต้องการให้ $3B + A$ มีค่ามากที่สุด (เพราะ $3B+A$ คือสัมประสิทธิ์ของ $x$ เมื่อ $(3x+A)(x+B)$ ถูกขยาย) เราทำให้ $3B + A$ มีค่ามากที่สุดโดยให้ $B=72$ และ $A=1$ ; การเลือกอื่นๆ จะทำให้ $3B$ ลดลงมากเกินไปเมื่อเทียบกับการเพิ่ม $A$ ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้สูงสุดของ $n$ คือ $3B+A = 3(72) +1 =\boxed{217}$ | 217 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนเท่ากับ 50 และผลต่างของสองจำนวนนั้นเท่ากับ 6 จงหาผลคูณของสองจำนวนนั้น | เริ่มต้นด้วยการเขียนปัญหาในรูปสมการ:
\begin{align*}
x + y &= 50, \\
x - y &= 6.
\end{align*}
เราต้องการหา $xy$ ดังนั้นให้หา $x$ และ $y$ แยกกัน
เริ่มต้นด้วยการบวกสมการทั้งสอง: \begin{align*}
2x &= 56 \\
x &= 28
\end{align*} ตอนนี้ลบสมการทั้งสอง \begin{align*}
2y &= 44 \\
y &= 22
\end{align*}
ดังนั้น $x \cdot y = 22 \cdot 28 = \boxed{616}$ | 616 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลบวกของหกพจน์แรกในลำดับเรขาคณิต $\frac12,\frac14,\frac18,\dots$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | อนุกรมเรขาคณิต 6 พจน์นี้มีพจน์แรก $a_0 = \frac12$ และอัตราส่วน $\frac12$ ดังนั้นมีค่า \begin{align*}
\frac{\frac12(1-\left(\frac12\right)^{6})}{1-\frac12} &= 1-\left(\frac12\right)^{6}\\
&= 1-\frac1{64}\\
&= \boxed{\frac{63}{64}}.
\end{align*} | \frac{63}{64} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor 3.2\rfloor$. | เนื่องจาก 3 เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 3.2 เราจึงได้ว่า $\lfloor 3.2\rfloor = \boxed{3}.$ | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $26\times33+67\times26$。 | จัดรูปใหม่จะได้ $26\times(33+67)=26\times(100)=\boxed{2600}$ | 2600 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(8, 5)$ และ $(2, -1)$ | เราพบว่าจุดกึ่งกลางคือ $\left(\frac{8+2}{2},\frac{5-1}{2}\right) = (5, 2)$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $5 + 2 = \boxed{7}$ | 7 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ดร.ฟู มันชู มีบัญชีธนาคารที่มีอัตราดอกเบี้ยรายปี 6 เปอร์เซ็นต์ แต่คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นรายเดือน หากเทียบเท่ากับบัญชีธนาคารที่คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นรายปีที่อัตรา $r$ เปอร์เซ็นต์ แล้ว $r$ มีค่าเท่าใด (ให้ปัดเศษคำตอบเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด) | บัญชีธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นรายเดือนที่อัตราดอกเบี้ย $6/12 = 0.5$ เปอร์เซ็นต์ ดังนั้น ในช่วงเวลาหนึ่งปี บัญชีธนาคารจะคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นรายปีที่อัตรา $1.005^{12} = 1.061678 \dots$ ปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด อัตราดอกเบี้ยคือ $\boxed{6.17}$ เปอร์เซ็นต์ | 6.17 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $A=2+i$, $O=-4$, $P=-i$, และ $S=2+4i$, จงหา $A-O+P+S$. | นำส่วนจริงและส่วนจินตภาพมาบวกกันแยกกัน เราได้ $(2-(-4)+0+2)+(1+0-1+4)i=\boxed{8+4i}$. | 8+4i | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของแปดพจน์ในลำดับเลขคณิต $-2, 3, \dots, 33$ | ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $\dfrac{-2 + 33}{2} \cdot 8 = \boxed{124}$ | 124 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนจริงบวก $r,s$ สอดคล้องกับสมการ $r^2 + s^2 = 1$ และ $r^4 + s^4= \frac{7}{8}$. จงหาค่าของ $rs$. | เรามี $2r^2s^2 = (r^4 + 2r^2s^2 + s^4) - (r^4 + s^4) = (r^2 + s^2)^2 - (r^4 + s^4) = (1)^2 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$, ดังนั้น $r^2s^2 = \frac{1}{16}$. นั่นหมายความว่า $rs = \boxed{\frac{1}{4}}$. | \frac{1}{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ เป็นค่าที่ทำให้ $8x^2 + 7x - 1 = 0$ และ $24x^2+53x-7 = 0.$ จงหาค่าของ $x$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราแก้สมการแต่ละสมการแยกกัน ก่อนอื่นเรามี $8x^2 + 7x - 1 = (8x-1)(x+1) = 0.$ เราสามารถเห็นได้ว่า $24x^2+53x-7 = (8x-1)(3x+7) = 0.$ เป็นที่ชัดเจนว่าทั้งสองสมการจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ $8x - 1 = 0,$ ดังนั้น $x = \boxed{\dfrac{1}{8}}.$ | \dfrac{1}{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เสื้อตัวหนึ่งมีราคาปกติ $30$ ดอลลาร์ ลดราคา $20\%$ แมรี่มีคูปองที่จะลดราคาอีก $25\%$ จากราคาลดแล้ว ส่วนลดเดียวที่เท่ากับราคาสุดท้ายจากส่วนลดสองครั้งคือเท่าไร | การลดราคา $20\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $1-20\%=1-0.2=\frac{4}{5}$ เช่นเดียวกัน การลดราคา $25\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $\frac{3}{4}$ เมื่อนำส่วนลดทั้งสองมาใช้ เราคูณด้วย $\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5}=0.6$ เนื่องจาก $1-0.6=0.4=40\%$ การคูณด้วย 0.6 จะให้ส่วนลด $\boxed{40\%}$ | 40\% | [
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $k$ ใดที่เส้นตรงที่แทนด้วยสมการ $-\frac{1}{2}-2kx = 5y$ ผ่านจุด $\left(\frac{1}{4},-6\right)$? | เนื่องจากจุด $\left(\frac{1}{4}, -6\right)$ อยู่บนเส้นตรง เราแทนค่า $x = \frac{1}{4}$ และ $y = -6$ ลงในสมการเพื่อให้ได้ \begin{align*}
-\frac{1}{2} - \frac{k}{2} &= 5(-6)\\
\Rightarrow\qquad -1-k = -60\\
\Rightarrow\qquad k=\boxed{59}.
\end{align*} | 59 | [
"ประยุกต์"
] |
ฉันวางแผนที่จะทำงาน 20 ชั่วโมงต่อสัปดาห์เป็นเวลา 12 สัปดาห์ในฤดูร้อนนี้เพื่อหาเงิน $3000$ เพื่อซื้อรถมือสอง แต่ว่าฉันป่วยใน 2 สัปดาห์แรกของฤดูร้อนและไม่ได้ทำงานเลย ฉันจะต้องทำงานกี่ชั่วโมงต่อสัปดาห์ในส่วนที่เหลือของฤดูร้อนถ้าฉันยังคงต้องการซื้อรถคันนั้น? | ถ้าจำนวนเงินทั้งหมดที่ฉันหาได้ในฤดูร้อนคงที่ จำนวนชั่วโมงที่ฉันทำงานต่อสัปดาห์และจำนวนสัปดาห์ทั้งหมดที่ฉันทำงานจะเป็นปริมาณผกผันกัน ดังนั้น ถ้าฉันทำงานเพียง $\frac{10}{12}=\frac56$ เท่าของจำนวนสัปดาห์ ฉันต้องทำงาน $\frac{6}{5}$ เท่าของจำนวนชั่วโมงต่อสัปดาห์ $\frac{6}{5}\cdot20=24$ ดังนั้นฉันต้องทำงาน $\boxed{24}$ ชั่วโมงต่อสัปดาห์ | 24 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\Phi$ และ $\varphi$ เป็นคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบของสมการ $x^2=x+1$ แล้วค่าของ $(\Phi-\varphi)^2$ มีค่าเท่าใด? | เพื่อหาคำตอบทั้งสองคำตอบ เราใช้สูตรกำลังสอง เราสามารถเขียนสมการของเราเป็น $x^2-x-1=0$ ทำให้สัมประสิทธิ์ชัดเจนขึ้น เรามีสมการ $$(1)x^2 + (-1)x + (-1) = 0.$$สูตรกำลังสองจะให้ $$x = \frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$ให้ $\Phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ และ $\varphi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ เราได้ \begin{align*}
\Phi-\varphi &= \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right) \\
&= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt5}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt5}{2}\right) \\
&= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt5}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt5}{2} \\
&= \frac{\sqrt5}{2} + \frac{\sqrt5}{2} \\
&= \sqrt5.
\end{align*}ปัญหาไม่ได้บอกเราว่าคำตอบใดคือ $\Phi$ แต่ไม่สำคัญ: หาก $\Phi$ และ $\varphi$ ถูกสลับกัน $(\Phi-\varphi)=-\sqrt5$ แต่ไม่ว่าจะด้วยวิธีใด $(\Phi-\varphi)^2 = \boxed{5}$. | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x - y = 12$ และ $x + y = 6$ จงหาค่าของ $y$ | เราได้ $y=\frac{1}{2}\left((x+y)-(x-y)\right)=\frac{1}{2}(6-12)=\boxed{-3}$. | -3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $ rac{1}{4}$ ของ $2^{30}$ เท่ากับ $2^x$ แล้ว $x$ มีค่าเท่าใด? | เรามี \[\frac{1}{4}\cdot 2^{30} = \frac{2^{30}}{4} = \frac{2^{30}}{2^2} = 2^{30-2} = 2^{28},\] ดังนั้น $x = \boxed{28}$. | 28 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการสำหรับ $m$: $(m-4)^3 = \left(\frac 18\right)^{-1}$. | เรามี $\left(\frac{1}{8}\right)^{-1}=8=2^3$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดให้เป็น $$(m-4)^3=2^3.$$ ดังนั้น $m-4 = 2$ ดังนั้น $m=\boxed{6}$. | 6 | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
תחום של הפונקציה $$\ell(y) = \frac{1}{(y-2)+(y-8)}~?$$ הביעו את תשובתכם בסימון מרווח. | אנחנו יכולים לפשט: $$\ell(y) = \frac{1}{2y-10}.$$ השבר $\frac{1}{2y-10}$ אינו מוגדר רק אם המכנה הוא אפס. זה קורה כאשר $y$ הוא הפתרון של המשוואה $$2y-10=0,$$ שהוא $y=5$. לכן תחום של $\ell(y)$ הוא $\boxed{(-\infty,5)\cup (5,\infty)}$. | (-\infty,5)\cup (5,\infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 50 และผลต่างของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนนั้นเท่ากับ 12 จงหาค่าของผลต่างบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มทั้งสอง | กำหนดให้จำนวนเต็มทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนที่มากกว่า โดยที่เราทราบว่า $x+y = 50$ และ $x-y = 12$ และเราต้องการหาค่าของ $x^2 - y^2$ เนื่องจาก $x^2 - y^2$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x+y)(x-y)$ เราสามารถแทนค่าได้ $x^2 - y^2 = 50 \cdot 12 = \boxed{600}$ | 600 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ $x$ : $$81^{2x} = 27^{3x - 4}.$$ | เขียนใหม่ทั้งสองข้างโดยใช้ $3$ เป็นฐาน เราได้ $81^{2x} = (3^4)^{2x} = 3^{8x}$ และ $27^{3x-4} = (3^3)^{3x - 4} = 3^{9x - 12}$ ดังนั้นสมการของเราคือ $$3^{8x} = 3^{9x - 12}.$$จากนั้นตั้งเลขชี้กำลังให้เท่ากัน เราได้ $$8x = 9x - 12.$$ นี่คือคำตอบของเรา $\boxed{x = 12}.$ | x = 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $t$ ที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้ \[\frac{t^2 - t -56}{t-8} = \frac{3}{t+5}.\] | เราอาจจะคูณไขว้ แต่ดูเหมือนจะไม่สนุกเท่าไหร่ เราจะแยกตัวประกอบของพหุนามก่อน ซึ่งจะได้ \[\frac{(t-8)(t+7)}{t-8} = \frac{3}{t+5}.\]ตัดตัวประกอบร่วมทางซ้ายมือจะได้ \[t+7 = \frac{3}{t+5}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $t+5$ จะได้ $(t+7)(t+5) = 3$. ขยายผลคูณทางซ้ายมือจะได้ $t^2 + 12t + 35 = 3$ และจัดรูปสมการใหม่จะได้ $t^2 +12 t + 32 = 0$. แยกตัวประกอบจะได้ $(t+4)(t+8) = 0$ ซึ่งมีคำตอบ $t=-4$ และ $t=-8$. ค่า $t$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{-8}$. | -8 | [
"unknown"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $(2x - 5)(x + 7) - (x + 5)(2x - 1)$ | เราขยายผลคูณแต่ละตัวแยกกัน: \begin{align*}
(2x-5)(x+7) &= 2x(x) + 2x(7) -5(x) -5(7)\\
&=2x^2 +14x - 5x -35\\
&= 2x^2 +9x - 35
\end{align*}และ \begin{align*}
(x+5)(2x-1) &=x(2x) + x(-1) +5(2x) + 5(-1)\\
&=2x^2 -x + 10x -5\\
&=2x^2 +9x - 5.
\end{align*}ดังนั้น เราได้ \begin{align*}&\ \ \ \ (2x-5)(x+7) - (x+5)(2x-1) \\&= 2x^2+9x -35 - (2x^2 +9x -5) = \boxed{-30}.\end{align*} | -30 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มาคיאเวลลีบวก $1+3i$ และ $2-4i$ เข้าด้วยกัน เขาได้จำนวนอะไร? | บวกส่วนจริงและส่วนจินตภาพแยกกัน เราได้ $(1+2)+(3-4)i=\boxed{3-i}$ | 3-i | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลำดับ $6075, 2025, 675 \ldots$, สร้างขึ้นจากการหารด้วย 3 ซ้ำๆ มีจำนวนเต็มกี่จำนวนในลำดับนี้? | $6075$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $3^55^2$ - ดังนั้น เนื่องจากเราหารด้วย 3 ซ้ำๆ จะมี $\boxed{6}$ พจน์จำนวนเต็ม | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระยะทางระหว่างจุด $(3, -2)$ และ $(7, 5)$ หน่วย | เราใช้สูตรระยะทาง: $$\sqrt{(7 - 3)^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \boxed{\sqrt{65}}.$$ | \sqrt{65} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และ \[f(z) = \left\{
\begin{array}{cl}
z^{2}&\text{ ถ้า }z\text{ ไม่ใช่จำนวนจริง}, \\
-z^2 &\text{ ถ้า }z\text{ เป็นจำนวนจริง}.
\end{array}
\right.\] จงหาค่าของ $f(f(f(f(1+i))))$. | เราคำนวณจากด้านในออกไป เนื่องจาก $1+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(1+i)=(1+i)^2=1+2i-1=2i$ ดังนั้น $f(f(f(f(1+i))))=f(f(f(2i)))$. เนื่องจาก $2i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(2i)=(2i)^2=-4$ ดังนั้น $f(f(f(2i)))=f(f(-4))$. เนื่องจาก $-4$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $f(-4)=-(-4)^2=-16$ ดังนั้น $f(f(-4))=f(-16)$. เนื่องจาก $-16$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $f(-16)=\boxed{-256}$. | -256 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จุดบนแกน $y$ ที่ห่างจากจุด $A(-2,0)$ และ $B(-1,4)$ เท่ากัน มีพิกัด $y$ เท่าใด | เนื่องจากจุดที่เราต้องการหาอยู่บนแกน $y$ เราทราบว่ามันอยู่ในรูป $(0,y)$ เราใช้สูตรระยะทาง ระยะทางจาก $A$ คือ \[\sqrt{(-2-0)^2+(0-y)^2} = \sqrt{y^2+4}\]ระยะทางจาก $B$ คือ \[\sqrt{(-1-0)^2 + (4-y)^2} = \sqrt{y^2-8y+17}\]เนื่องจากจุดห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน เราตั้งสมการระยะทางทั้งสองเท่ากัน: $y^2-8y+17 = y^2 + 4$ เมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $8y=13$ หรือ $y = \boxed{\frac{13}{8}}$ | \frac{13}{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a\star b = a^b+ab$ ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และ $a\star b =15$ จงหา $a+b$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก และเนื่องจาก $b$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 2 เราทราบว่าค่าสูงสุดของ $a$ คือ 3 (เพราะ $4^2+4(2)=24>15$) เนื่องจาก $a$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 2 $a$ มีเพียงสองค่าที่เป็นไปได้เท่านั้น ถ้า $a=2$ เราจะได้ $2^b+2b=15$ หรือ $2(2^{b-1}+b)=15$ หรือ $2^{b-1}+b=7.5$ อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก $b$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก $2^{b-1}+b$ ก็ต้องเป็นจำนวนเต็มเช่นกัน และเราได้ข้อขัดแย้ง ดังนั้น $a=3$ และเราได้ $3^b+3b=15$ การตรวจสอบอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่า $3^2+3(2)=15$ หรือ $b=2$ ดังนั้นวิธีการแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้สำหรับ $a\star b = 15$ คือ $3\star2$ ซึ่งทำให้ $a+b=3+2=\boxed{5}$ | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าผลบวกของพจน์ที่สองและพจน์ที่สี่ของลำดับเลขคณิตเท่ากับ 6 พจน์ที่สามของลำดับนี้เท่ากับเท่าใด | กำหนดให้พจน์ที่สองเป็น $a$ และผลต่างระหว่างพจน์ที่อยู่ติดกันสองพจน์เป็น $x$ ดังนั้นพจน์ที่สามคือ $a+x$ และพจน์ที่สี่คือ $a+2x$ การบวกพจน์ที่สองและพจน์ที่สี่จะได้ $2a+2x$ ซึ่งก็คือสองเท่าของพจน์ที่สาม ดังนั้นพจน์ที่สามคือ $\frac{6}{2} = \boxed{3}$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของสามจำนวนคู่ต่อเนื่องคือเท่าไร ถ้าผลรวมของจำนวนคู่แรกและจำนวนคู่ที่สามเท่ากับ 128 | ผลรวมของลำดับเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคูณด้วยจำนวนพจน์ ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ $\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{128}{2}=64$ และจำนวนพจน์คือ 3 เราคูณกันได้ $64\cdot3=\boxed{192}$ | 192 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ $c$ ที่ทำให้ $-2$ อยู่ในช่วงของ $f(x)=x^2+3x+c$ | เราจะเห็นว่า $-2$ อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + 3x + c$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2+3x+c=-2$ มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + 3x + (c + 2) = 0$ ตัวเลือกของสมการกำลังสองนี้คือ $3^2 - 4(c + 2) = 1 - 4c$ สมการกำลังสองจะมีรากจริงก็ต่อเมื่อตัวเลือกไม่เป็นลบ ดังนั้น $1 - 4c \ge 0$ แล้ว $c \le 1/4$ ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้สูงสุดของ $c$ คือ $\boxed{\frac{1}{4}}$ | \frac{1}{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ร้านขายของชำจัดแสดงกระป๋องในลักษณะที่แถวบนสุดมีกระป๋อง 1 กระป๋อง และแต่ละแถวที่อยู่ต่ำกว่าจะมีกระป๋องมากกว่าแถวที่อยู่เหนือมัน 2 กระป๋อง ถ้าการจัดแสดงมีกระป๋อง 100 กระป๋อง มีทั้งหมดกี่แถว? | จำนวนกระป๋องในแต่ละแถวสร้างเป็นลำดับเลขคณิต โดยมีพจน์แรกคือ 1 และต่างผลต่างคือ 2 ถ้ามี $n$ พจน์ แล้วพจน์เหล่านั้นคือ 1, 3, $\dots$, $2n - 1$.
จำนวนกระป๋องทั้งหมดจึงเป็นผลรวมของอนุกรมเลขคณิต \[1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1).\]ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $[1 + (2n - 1)]/2 \cdot n = n^2$.
จาก $n^2 = 100$ เราได้ $n = \boxed{10}$ | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนบวกกับผลบวกของมันเท่ากับ 103 จำนวนเต็มทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และแต่ละจำนวนน้อยกว่า 20 ผลบวกของจำนวนเต็มทั้งสองเท่ากับเท่าใด | ให้จำนวนของเราเป็น $a$ และ $b$ โดยที่ $a>b.$ แล้ว $ab+a+b=103$. โดยใช้ Simon's Favorite Factoring Trick เราบวก 1 เข้าไปในทั้งสองข้างและได้ $ab+a+b+1 = 104$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(a+1)(b+1)=104$. เราพิจารณาคู่ $(a+1, b+1)$ ของตัวประกอบของ 104: $(104,1), (52,2), (26,4), (13,8)$. เนื่องจาก $a<20$ เราสามารถตัดคู่แรก 3 คู่แรกออกได้ ซึ่งจะได้ $a=12$ และ $b=7$ ดังนั้น $a+b=\boxed{19}$. | 19 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $n$ ที่เป็นบวก ซึ่งทำให้สมการ $9x^2+nx+1=0$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว | ถ้าสมการกำลังสองทางซ้ายมือมีราก $x$ เพียงรากเดียว ดังนั้นสมการนั้นจะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ หาร 9 ทั้งสองข้างของสมการ จะได้ $x^2+\frac{n}{9}x+\frac{1}{9}=0$ เพื่อให้สมการทางซ้ายมือเป็นกำลังสองสมบูรณ์ สมการจะต้องแยกตัวประกอบเป็น $\left(x+\frac{1}{3}\right)^2=x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$ หรือ $\left(x-\frac{1}{3}\right)^2=x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และค่าคงที่ถูกกำหนดไว้แล้ว) มีเพียงกรณีแรกเท่านั้นที่ให้ค่า $n$ เป็นบวก ซึ่ง $n=\frac{2}{3}\cdot9=\boxed{6}$ | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าที่มากที่สุดของ $n$ ที่ทำให้ $5x^2+nx+48$ สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม | ตัวประกอบสองตัวของ $5x^2+nx+48$ ต้องอยู่ในรูป $(5x+A)(x+B)$ โดย $A$ และ $B$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกเพื่อให้ได้ค่าที่มากที่สุดของ $n$ ดังนั้น $AB=48$ และ $5B+A=n$ เพื่อให้ได้ค่าที่มากที่สุดของ $n$ $B$ ต้องเท่ากับ $48$ ดังนั้น $A=1$ \[5B+A=5(48)+1=\boxed{241}\] | 241 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $x = \frac{5}{7}$ เป็นคำตอบของสมการ $56 x^2 + 27 = 89x - 8,$ ค่า $x$ อื่นที่เป็นคำตอบของสมการนี้คือเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ראשית, เรามาจัดให้ทุกอย่างอยู่ข้างเดียวกัน: \begin{align*}
56x^2 + 27 &= 89x - 8\\
56x^2 - 89x + 35 &= 0.
\end{align*}ตอนนี้เราต้องแยกตัวประกอบทราบว่า $x = \frac{5}{7}$ เป็นคำตอบของสมการนี้ เราสามารถอนุมานได้ว่า $(7x - 5)$ ต้องเป็นหนึ่งในตัวประกอบของ $56x^2 - 89x + 35$ ซึ่งหมายความว่า $(8x - 7)$ ต้องเป็นตัวประกอบอีกตัวหนึ่ง เนื่องจากพจน์เชิงเส้นต้องคูณกันเป็น $56x^2$ และพจน์คงตัวต้องคูณกันเป็น $35.$
เราสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ว่า $56x^2 - 89x + 35 = (7x - 5)(8x - 7),$ ดังนั้น $x = \boxed{\frac{7}{8}}$ เป็นคำตอบของเรา | \frac{7}{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดค่าของฟังก์ชัน $f(x)$ ในตารางต่อไปนี้ \begin{tabular}{|r||c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 \\ \hline $f(x)$ & 3 & 13 & 8 & 1 & 0 & 5 \\ \hline \end{tabular} ถ้า $f^{-1}$ มีอยู่ จงหาค่าของ $f^{-1}\left(\frac{f^{-1}(5) +f^{-1}(13)}{f^{-1}(1)}\right)$? | สำหรับ $f^{-1}(5)$, $f^{-1}(13)$, และ $f^{-1}(1)$ เราอ่านจากตาราง \[f(13)=5\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(5)=13,\]\[f(2)=13\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(13)=2,\quad \text{และ}\]\[f(5)=1\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(1)=5.\]ดังนั้น, \[f^{-1}\left(\frac{f^{-1}(5) +f^{-1}(13)}{f^{-1}(1)}\right)=f^{-1}\left(\frac{13+2}{5}\right)=f^{-1}(3)\]เนื่องจาก $f(1)=3$, $f^{-1}(3)=\boxed{1}$. | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a\ast b = 3a+4b-ab$, จงหาค่าของ $5\ast2$ | จากนิยามของฟังก์ชันที่กำหนดให้ เราทราบว่า $5\ast 2 = 3(5)+4(2)-(5)(2)=15+8-10=13$ | 13 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของกำลังสองของสัมประสิทธิ์ของ $4(x^4 + 3x^2 + 1)$ | เราทำการกระจาย $4$ เพื่อให้ได้ $4x^4 + 12x^2 + 4$ ดังนั้น ผลรวมของกำลังสองของสัมประสิทธิ์คือ $4^2 + 12^2 + 4^2 = 176$ | 176 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(x) = \displaystyle \frac{1}{ax+b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์ จงหาคำตอบทั้งหมดของ $f^{-1}(x) = 0$ แสดงคำตอบในรูปของ $a$ และ/หรือ $b$ | สมการ $f^{-1}(x)=0$ เทียบเท่ากับ $x=f(0)$ ถ้าเราแทนค่านี้ลงในนิยามเดิมของ $f$ เราจะได้ \[x=f(0)=\frac1{a\cdot0+b}=\boxed{\frac1b}.\] | \frac1b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รถยนต์คันหนึ่งสามารถเดินทางได้ไกลเท่าใดใน 20 นาที หากรถยนต์คันนี้เดินทางด้วยความเร็ว $ \, \frac{3}{4} \, $ เท่าของความเร็วของรถไฟที่วิ่งด้วยความเร็ว 80 ไมล์ต่อชั่วโมง? | รถยนต์วิ่งด้วยความเร็ว $$\frac{3}{4}\times80\text{ ไมล์ต่อชั่วโมง}=3\times20=60\text{ ไมล์ต่อชั่วโมง}.$$ ใน 20 นาที รถยนต์จะเดินทาง $$ \frac{60 \text{ ไมล์}}{60\text{ นาที}}\times20\text{ นาที}=1\times20=\boxed{20\text{ ไมล์}}.$$ | 20\text{ ไมล์} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $\sqrt{2+\sqrt x}=3$, แล้ว $x$ มีค่าเท่าใด? | ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการที่กำหนดให้ เราจะได้ \[2 + \sqrt{x} = 9.\]ดังนั้น $\sqrt{x} = 9-2 = 7.$ ยกกำลังสองอีกครั้งจะได้ $x = 49.$
เราตรวจสอบคำตอบของเราโดยการแทน $x = 49$ ลงในสมการที่กำหนดให้: \[\sqrt{2+\sqrt{x}} = \sqrt{2 + \sqrt{49}} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3.\]ดังนั้น $x = \boxed{49}$ เป็นคำตอบที่ถูกต้อง (ขั้นตอนการตรวจสอบคำตอบมีความจำเป็นเนื่องจากการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการบางครั้งอาจนำไปสู่รากที่ไม่เกี่ยวข้อง - คำตอบที่ไม่เป็นไปตามสมการเดิม) | 49 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาช่วงของ $y=|x+7|-|x-2|$. | ถ้า $x<-7$ ทั้ง $x+7$ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=-(x+7)-(-x+2)=-9.$$ ถ้า $x\geq 2$ ทั้ง $x+7$ และ $x-2$ เป็นไม่เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-x+2=9.$$ ถ้า $-7\leq x< 2$, $x+7$ เป็นไม่เป็นลบ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-(-x+2)=2x+5.$$ แล้ว $2(-7)+5=-9$, และ $2(2)+5=9$. ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและต่อเนื่อง ดังนั้นค่าทั้งหมดระหว่าง $-9$ และ $9$ ถูกสร้างขึ้น และไม่มีค่าอื่นๆ ช่วงของ $y$ คือ $y \in \boxed{[-9, 9]}$. | [-9, 9] | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $x$, $y$, และ $z$ เป็นจำนวนบวกที่สอดคล้องกับ \[
x+\frac{1}{y}=4,\ \ \ y+\frac{1}{z}=1,\text{ and }z+\frac{1}{x}=\frac{7}{3},
\]จงหาค่าของ $xyz$. | วิธีที่ 1. สังเกตว่า \[\begin{aligned} \left(x+\frac{1}{y} \right) \left(y+\frac{1}{z} \right) \left(z+\frac{1}{x} \right) &= xyz + x+y+z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{xyz} \\&= xyz + \left(x+\frac{1}{y} \right) + \left(y+\frac{1}{z} \right) + \left(z+\frac{1}{x} \right) + \frac{1}{xyz}.\end{aligned}\]แทนค่าที่กำหนดให้ เราได้ \[4 \cdot 1 \cdot \frac{7}{3} = xyz + 4 + 1 + \frac{7}{3} + \frac{1}{xyz}\]หรือ \[\frac{28}{3} = xyz + \frac{22}{3} + \frac{1}{xyz}.\]ดังนั้น $xyz + \frac{1}{xyz} = 2$. คูณด้วย $xyz$ และจัดรูปใหม่ เราได้ $(xyz-1)^2 = 0$ ดังนั้น $xyz=\boxed{1}$.
วิธีที่ 2. แทนค่าซ้ำๆ เพื่อสร้างสมการที่มีตัวแปรตัวเดียว สมการที่สองให้ $y = 1- \frac{1}{z}$, และสมการที่สามให้ $z = \frac{7}{3} - \frac{1}{x}$, ดังนั้น \[4 =x + \frac{1}{y} = x + \frac{1}{1-\frac{1}{z}} = x + \frac{z}{z - 1} = x + \frac{\frac{7}{3} - \frac{1}{x}}{\frac{4}{3} - \frac{1}{x}}.\]ทำให้เป็นรูปอย่างง่ายและคูณเพื่อลบตัวส่วน เราได้สมการกำลังสอง $(2x-3)^2 = 0$. ดังนั้น $x = \frac{3}{2}$, ดังนั้น $z = \frac{7}{3} - \frac{1}{x} = \frac{5}{3}$ และ $y = 1- \frac{1}{z} = \frac{2}{5}$. ดังนั้น คำตอบคือ \[xyz = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \boxed{1}.\] | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $5^x=100$ แล้ว $5^{x+2}$ มีค่าเท่าใด | เพื่อที่จะได้ $5^{x+2}$ จาก $5^x$ เราสามารถคูณด้วย $5^2$ ได้ คูณด้านขวามือของสมการที่กำหนดด้วย $5^2$ เราจะได้ $5^{x+2}=\boxed{2500}$ | 2500 | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt{4}$ ในรูปของจำนวนเต็มบวก | ทั้งสามตัวประกอบมีค่าเท่ากับ 2 ดังนั้นผลคูณคือ $2\cdot2\cdot2=\boxed{8}$ | 8 | [
"นำไปใช้",
"ประเมิน"
] |
ถ้าเราแสดง $x^2 - 5x$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด? | เราทำการเติมกำลังสอง เราสามารถยกกำลังสองของ $x - \frac{5}{2}$ เพื่อให้ได้ $x^2 - 5x + \frac{25}{4}$ ดังนั้น $x^2 - 5x = \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4}$ เราจะเห็นว่า $k = \boxed{-\frac{25}{4}}$ | -\frac{25}{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $a$ กี่ค่าที่เส้นตรง $y=x+a$ ผ่านจุดยอดของพาราโบลา $y=x^2+a^2$ ? | พาราโบลาที่กำหนดมีจุดยอดที่ $(0,a^2)$ เส้นตรง $y=x+a$ ผ่านจุดนี้ก็ต่อเมื่อ $a^2=0+a$ จัดสมการใหม่ได้ $a^2-a=0$ แยกตัวประกอบ $a$ ออกทางซ้ายมือได้ $a(a-1)=0$ ดังนั้น $a=0$ หรือ $a=1$ ดังนั้นมี $\boxed{2}$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จุด $A(3,5)$ และ $B(7,10)$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่วาดบนระนาบพิกัด มีพื้นที่ของวงกลมกี่ตารางหน่วย จงแสดงคำตอบในรูปของ $\pi$. | เราต้องหารัศมีของวงกลมเพื่อหาพื้นที่ เราทราบว่าจุด $A$ และ $B$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้นเราสามารถหาความยาวระหว่างจุดทั้งสองนี้ได้ โดยใช้สูตรระยะทาง: $\sqrt{(7-3)^2 + (10-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางมีความยาว $\sqrt{41}$ รัศมีจึงต้องมีความยาว $\sqrt{41}/2$ ดังนั้นคำตอบคือ $(\sqrt{41}/2)^2\pi = \boxed{\frac{41\pi}{4}}$. | \frac{41\pi}{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ปลายด้านของส่วนของเส้นตรงคือ (2, 3) และ (8, 15) ผลรวมของพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนคือเท่าใด | จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีปลายด้าน $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงนี้คือ $\left(\frac{2+8}{2}, \frac{3+15}{2} \right)$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $(5,9)$ ดังนั้น ผลรวมของพิกัดของจุดกึ่งกลางคือ $\boxed{14}$ | 14 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลคูณของเลขหน้าสองหน้าที่ต่อเนื่องกันเป็น 18,360. ผลรวมของเลขหน้าสองหน้านี้เท่ากับเท่าไร | ให้เลขหน้าสองหน้าที่ต่อเนื่องกันเป็น $n$ และ $n + 1.$ ดังนั้น ปัญหาสามารถสร้างเป็นสมการ $n(n+1) = 18360.$ เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $n^2 + n - 18360=0.$
จากนั้นโดยใช้สูตรกำลังสอง เราพบว่า $$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\cdot 18360}}{2}.$$ ดังนั้น $n = 135.$ ดังนั้น $n + (n + 1) = \boxed{271}.$
สมการนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน แต่ว่าจะไม่ช่วยประหยัดเวลาเท่าไร วิธีที่ดีที่สุดในการแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วคือสังเกตว่า 18,360 อยู่ระหว่าง $135^2=18225$ และ $136^2=18496,$ ดังนั้นเนื่องจากเรารู้ว่า $n$ เป็นจำนวนเต็ม เราจึงเดาว่า $n = 135.$ แทนค่ากลับเข้าไปในสมการ เราจะเห็นว่ามันใช้ได้ ดังนั้น $n + (n + 1) = \boxed{271}.$ | 271 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $\log_x32 = \dfrac{5}{2}$ | เขียนสมการในรูปเลขชี้กำลังจะได้ $x^{\frac{5}{2}} = (x^\frac{1}{2})^5 = 32 = 2^5$. แก้สมการ $x^\frac{1}{2} = 2$ จะได้ $x = \boxed{4}$. | 4 | [
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $a$ กี่ค่าที่เส้นตรง $y = x + a$ ผ่านจุดยอดของพาราโบลา $y = x^2 + a^2$ ? | จุดยอดของพาราโบลาคือ $(0, a^2)$ เส้นตรงจะผ่านจุดยอดก็ต่อเมื่อ $a^2 = 0 + a$ มี $\boxed{2}$ คำตอบของสมการนี้ คือ $a = 0$ และ $a = 1$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $g(x) = 3x + 7$ และ $f(x) = 5x - 9$ จงหาค่าของ $f(g(8))$ | $g(8)=3(8)+7=24+7=31$ ดังนั้น $f(g(8))=f(31)=5(31)-9=155-9=\boxed{146}$ | 146 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าของ $K$ ในสมการ $16^3\times8^3=2^K$ คือเท่าไร | ทำให้ง่ายขึ้น \[
16^3\times 8^3=(2^4)^3\times(2^3)^3=2^{12}\times2^{9}=2^{21}.
\] แล้ว $2^{21}=2^K$ หมายความว่า $K=\boxed{21}$. | 21 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด (0,15) และ (8,0) | เราใช้สูตรระยะทาง: $$\sqrt{(8 - 0)^2 + (0 - 15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \boxed {17}.$$- OR -
เราสังเกตว่าจุด (0, 15), (8, 0) และ (0, 0) สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 8 และ 15 ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\boxed{17}$. | 17 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด (7, -24) มีค่าเท่ากับเท่าใด | เราใช้สูตรระยะทาง: $$\sqrt{(7-0)^2 + ((-24)-0)^2} = \sqrt{49+ 576} = \sqrt{625} = \boxed{25}.$$- OR -
สังเกตว่าจุดกำเนิด จุด (7, -24) และจุด (7, 0) ประกอบเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 7 และ 24 ซึ่งเป็นสามเท่าพีทาโกรัส ดังนั้นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $\boxed{25}$. | 25 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลคูณของ $7d^2-3d+g$ และ $3d^2+hd-8$ คือ $21d^4-44d^3-35d^2+14d-16$ จงหาค่า $g+h$ | พจน์คงตัวของผลคูณของพหุนามสองพหุนาม คือ ผลคูณของพจน์คงตัวของพหุนามทั้งสอง ดังนั้นเราทราบว่า $-16=-8g$ ดังนั้น $g=2$ เราพิจารณาพจน์อันดับที่หนึ่งของผลคูณของพหุนามของเรา กำหนดให้โดย $14d=(-3d\cdot-8)+g\cdot hd\Longrightarrow14d=24d+(2)hd\Longrightarrow h=-5$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $g+h=2+(-5)=oxed{-3}$ | -3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ $\frac {x^2-x-6}{x-3}$ เมื่อ $x=2$ แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | แทนค่า $x = 2$ ลงในนิพจน์ จะได้ $-4$ สำหรับตัวเศษ และ $-1$ สำหรับตัวส่วน ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{4}$ | 4 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
รากที่สองของ $x$ มากกว่า 2 และน้อยกว่า 4 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | เราได้: $4 > \sqrt{x} > 2$. ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราจะได้ $16 > x > 4$. ดังนั้น จำนวนเต็มตั้งแต่ 5 ถึง 15 รวมทั้งสิ้นที่สอดคล้องกับอสมการนี้ มีจำนวนทั้งหมด $15-5+1=\boxed{11}$ จำนวน | 11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $E(a,b,c) = a \cdot b^2 + c$ จงหาค่าของ $a$ ที่เป็นคำตอบของสมการ $E(a,4,5) = E(a,6,7)$ | $E(a,4,5) = a \cdot 4^2 + 5 = 16a + 5$ และ $E(a,6,7) = a \cdot 6^2 + 7 = 36a + 7.$ เราตั้งสมการให้เท่ากัน: $16a + 5 = 36a + 7.$ จากนั้นเรารวมพจน์และได้ $20a=-2$ ดังนั้น $a = \boxed{-\frac{1}{10}}.$ | -\frac{1}{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เมื่อ $3(x^2 - x^3) +2(x - 2x^2 + 3x^5) -(4x^3 - x^2)$ ถูกกระทำให้ง่ายขึ้น | เมื่อเราขยายพจน์จะได้ \begin{align*}
&3(x^2 - x^3) +2(x - 2x^2 + 3x^5) -(4x^3 - x^2) \\
&\qquad =3x^2 - 3x^3 +2x - 4x^2 + 6x^5 -4x^3 + x^2\\
&\qquad =6x^5-7x^3+2x.
\end{align*}สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $3-4+1=oxed{0}$ | 0 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กระจายนิพจน์ต่อไปนี้: $3(8x^2-2x+1)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 3 และ $8x^2$, 3 และ $-2x$, และ 3 และ 1: \begin{align*}
3(8x^2-2x+1) &= 3\cdot 8x^2+3\cdot (-2x) + 3 \cdot 1\\
&= \boxed{24x^2-6x+3}
\end{align*} | 24x^2-6x+3 | [
"นำไปใช้"
] |
สำหรับจำนวนจริง $a \ne b$ คู่หนึ่ง กำหนดให้การดำเนินการ $\star$ เป็น \[
(a \star b) = \frac{a + b}{a - b}.
\]ค่าของ $((1 \star 2) \star 3)$ มีค่าเท่าใด? | ก่อนอื่นเรามี \[
(1 \star 2) = \frac{1 + 2}{1 - 2} = -3.
\]แล้ว \[
((1 \star 2) \star 3) = (-3 \star 3) = \frac{-3 + 3}{-3 - 3} = \frac{0}{-6} = \boxed{0}.
\] | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ปากกาและหมึกเติมรวมกันมีราคา $\;\$1.10$ ปากกาจะมีราคา $\;\$1$ มากกว่าหมึกเติม ปากกาจะมีราคาเท่าไรเป็นดอลลาร์ | เริ่มต้นด้วยการกำหนดตัวแปร ให้ $p$=ราคาปากกา และ $i$=ราคาหมึกเติม จากสิ่งที่กำหนดให้
\begin{align*}
p+i&=1.10,\\
p&=1+i.
\end{align*} แทน $p$ ในสมการแรก เราจะพบว่า: $1+i+i=1.10$ ดังนั้น $2i=.10$ และ $i=.05$ ดังนั้น $p=1+i=\boxed{1.05}$ ดอลลาร์ | 1.05 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $23=x^4+\frac{1}{x^4}$ แล้วค่าของ $x^2+\frac{1}{x^2}$ มีค่าเท่าใด | เริ่มต้นด้วยการบวก 2 ลงทั้งสองข้างของสมการ, \begin{align*} 23&=x^4+\frac{1}{x^4}
\\\Rightarrow\qquad 25&=x^4+\frac{1}{x^4}+2
\\\Rightarrow\qquad 25&=x^4+2(x^2)\left(\frac{1}{x^2}\right)+\frac{1}{x^4}
\\\Rightarrow\qquad 25&=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2
\end{align*} ดังนั้น $x^2+\frac{1}{x^2}$ มีค่าเท่ากับ 5 หรือ -5 เนื่องจาก $x^2+\frac{1}{x^2}$ เป็นผลบวกของกำลังสองสองตัว จึงไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้น $x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{5}$ | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a*b=a^2+ab-b^2$ จงหาค่าของ $3*2$ | เราได้ว่า $3*2=3^2+3\cdot 2-2^2=9+6-4=\boxed{11}$ | 11 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\frac{5x+9y}{45xy}$, เมื่อกำหนดให้ $x = \frac{3}{5}$ และ $y = \frac{7}{9}$ | แทนค่า $x$ และ $y$ ลงในนิพจน์จะได้ $$\frac{5\left(\frac35\right)+9\left(\frac79\right)}{45\left(\frac35\right)\left(\frac79\right)}=\frac{3+7}{3\cdot7}=\boxed{\frac{10}{21}}.$$ | \frac{10}{21} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x+\frac{1}{y}=1$ และ $y+\frac{1}{z}=1$ ค่าของผลคูณ $xyz$ เท่ากับเท่าใด | คูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย $y$ และคูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย $z$ จะได้ \begin{align*}
xy+1 &= y \\
yz+1 &= z.
\end{align*} แทน $xy+1$ ด้วย $y$ ในสมการที่สอง จะได้ \[
(xy+1)z+1=z,
\] ซึ่งจะย่อให้เหลือ \[
xyz+z+1=z.
\] ลบ $z+1$ จากทั้งสองข้าง จะได้ว่า $xyz=z-(z+1)=\boxed{-1}.$ | -1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สิ่งมีชีวิตชนิดหนึ่งเริ่มต้นด้วยเซลล์ 3 เซลล์ เซลล์แต่ละเซลล์จะแบ่งตัวเป็น 2 เซลล์ในเวลา 2 วัน ในอีก 2 วันถัดมา เซลล์ทุกเซลล์ของสิ่งมีชีวิตจะแบ่งตัวเป็น 2 เซลล์ กระบวนการนี้ดำเนินไปเป็นเวลา 8 วัน และไม่มีเซลล์ใดตายในช่วงเวลานี้ มีเซลล์ทั้งหมดกี่เซลล์ในตอนท้ายของวันที่ 8 | นี่เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรกเท่ากับ 3 และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 ในตอนท้ายของวันที่ 8 เราอยู่ที่พจน์ที่ 5 ของลำดับนี้ ดังนั้นจะมีเซลล์ $3\cdot2^4=\boxed{48}$ เซลล์ | 48 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
อายุของบิลลี่เป็นสองเท่าของอายุของโจ และผลรวมของอายุของพวกเขาเท่ากับ 45 ปี บิลลี่อายุเท่าไร? | ให้ $B$ และ $J$ แทนอายุของบิลลี่และโจตามลำดับ เราสามารถเขียนสมการได้ $B=2J$ และ $B+J=45$ เราใช้สมการที่สองเพื่อแก้หา $J$ ในรูปของ $B$ และได้ $J=45-B$ ตอนนี้เราแทนค่านี้ของ $J$ ลงในสมการแรก $$B=2(45-B)=90-2B\qquad\Rightarrow 3B=90\qquad\Rightarrow B=30$$ ดังนั้นบิลลี่อายุ $\boxed{30}$ ปี | 30 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมสูงสุดที่เป็นไปได้ของจำนวนเต็มสองจำนวนที่ต่อเนื่องกัน ซึ่งผลคูณของจำนวนทั้งสองน้อยกว่า 400 | ให้จำนวนเต็มสองจำนวนเป็น $n$ และ $n + 1,$ ดังนั้น $n(n + 1) < 400.$ ดังนั้น ค่า $n$ ที่เป็นไปได้มากที่สุดจะอยู่ใกล้กับรากที่สองของ 400 ซึ่งคือ $\sqrt{400} = 20.$ สำหรับ $n = 19,$ $n(n + 1) = 19 \cdot 20 = 380,$ และสำหรับ $n = 20,$ $n(n + 1) = 20 \cdot 21 = 420,$ ดังนั้น ผลรวมสูงสุดที่เป็นไปได้ของจำนวนเต็มสองจำนวนที่ต่อเนื่องกัน ซึ่งผลคูณของจำนวนทั้งสองน้อยกว่า 400 คือ $19 + 20 = \boxed{39}.$ | 39 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เวนดี้มีรั้วยาว 180 ฟุต เธอต้องการล้อมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่เป็น 10 เท่าของเส้นรอบรูป ถ้าเธอใช้รั้วทั้งหมด ความยาวด้านที่ยาวที่สุดของล้อมนั้นยาวเท่าไร? | ให้ความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $l$ และความกว้างเป็น $w$ โดยทั่วไป เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถแสดงได้เป็นผลรวมของด้านทั้งสี่ ดังนั้นจึงเท่ากับ $2l+2w$ ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $lw$ เนื่องจากเราทราบว่าเวนดี้ใช้รั้วทั้งหมด เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เธอล้อมจะต้องเท่ากับ 180 ฟุต พื้นที่ซึ่งเป็น 10 เท่าของเส้นรอบรูปนั้นจะเท่ากับ 1800 ตารางฟุต นี่ทำให้เราได้ระบบสมการสองสมการ: \begin{align*} 2l+2w& =180
\\lw& =1800. \end{align*}ถ้าเราแก้สมการสำหรับ $l$ ในรูปของ $w$ โดยใช้สมการแรก เราจะพบว่า $180-2w=2l$ หรือ $l=90-w$ เราสามารถแทนค่านี้กลับเข้าไปในสมการที่สอง ซึ่งจะได้ \begin{align*} (90-w)(w)& =1800
\\ 90w-w^2& =1800
\\ \Rightarrow\qquad w^2-90w+1800& =0
\\ \Rightarrow\qquad (w-60)(w-30)& =0 \end{align*}ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $w$ คือ 60 ฟุต และ 30 ฟุต เนื่องจาก $l=90-w$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $l$ ต้องเป็น 30 ฟุต หรือ 60 ฟุต (ตามลำดับ) เนื่องจากโจทย์ถามหาความยาวด้านที่ยาวที่สุด คำตอบสุดท้ายคือ $\boxed{60}$ | 60 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ $46x^3-115x^7.$ | เนื่องจาก $46=2\cdot23$ และ $115=5\cdot23$ เราสามารถแยกตัวประกอบ $23x^3$ จากนิพจน์ได้ ซึ่งจะได้ \[46x^3-115x^7=23x^3(2-5x^4)=\boxed{-23x^3(5x^4-2)},\] นี่คือคำตอบของเรา. | -23x^3(5x^4-2) | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $\#$ เป็นความสัมพันธ์ที่นิยามโดย $A \# B = A^2 + B^2$ ถ้า $A \# 5 = 169$ ค่าของ $A$ ที่เป็นบวกคือเท่าใด | จากนิยามที่กำหนดในโจทย์ เราได้ว่า $A^2+5^2=169=13^2$ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก 5-12-13 ดังนั้น $A=\boxed{12}$ | 12 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่า $n$ ที่เป็นจำนวนจริงสองค่า สมการ $4x^2 + nx + 25 = 0$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว ค่า $n$ ที่เป็นบวกมีค่าเท่าใด | สมการกำลังสองจะมีคำตอบที่แตกต่างกันเพียงคำตอบเดียวเมื่อค่าพจน์ discriminant เท่ากับ 0 ค่า discriminant ของ $4x^2 + nx + 25$ คือ $n^2 - 4(4)(25)$ เมื่อกำหนดให้เท่ากับ 0 จะได้ $n^2 - 400 = 0$ ดังนั้น $n^2 = 400$ คำตอบที่เป็นบวกของสมการนี้คือ $n = 20$ | 20 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = ax+b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัวจำนวนจริง และ $g(x) = 2x - 5$ สมมติว่าสำหรับทุกค่าของ $x$ เป็นจริงว่า $g(f(x)) = 3x + 4$ จงหาค่าของ $a+b$ | แม้ว่าเราสามารถแก้หา $a$ และ $b$ ได้แยกกัน แต่ก็ง่ายกว่าที่จะสังเกตว่า $f(1) = a + b$ ดังนั้น แทน $1$ ลงในสมการที่กำหนด เราจะได้ $$g(f(1)) = 3 \cdot 1 + 4 = 7.$$ ดังนั้น $$g(f(1)) = 2 \cdot f(1) - 5 = 7 \Longrightarrow f(1) = \boxed{6}.$$ | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คำนวณค่าที่แน่นอนของนิพจน์ $\left|\pi - | \pi - 7 | \right|$. เขียนคำตอบของคุณโดยใช้จำนวนเต็มและ $\pi$ เท่านั้น โดยไม่ต้องใช้เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เราเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบปริมาณ $|\pi - 7|$. เนื่องจาก $\pi$ น้อยกว่า 4 จะเห็นได้ชัดว่า $\pi-7$ จะเป็นลบ ดังนั้นเราต้องลบปริมาณนี้เพื่อให้ได้ค่าสัมบูรณ์ ซึ่งจะต้องเป็นค่าบวกเสมอ กล่าวคือ \[ |\pi - 7| = -(\pi - 7) = 7- \pi. \]ต่อไป เราพิจารณา นิพจน์ $\pi-|\pi - 7|$ ซึ่งลดลงเป็น $2\pi - 7$ ตามการคำนวณข้างต้น เนื่องจาก $\pi$ น้อยกว่า 3.5 ปริมาณนี้จึงเป็นลบเช่นกัน ดังนั้นเราต้องลบออกเช่นเดียวกันเมื่อนำค่าสัมบูรณ์ ทำให้ได้คำตอบสุดท้ายของเราคือ $\boxed{7-2\pi}.$ | 7-2\pi | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ที่สิบในลำดับเรขาคณิต $9,3,1,\frac 13, \ldots$ | เราสามารถเขียนพจน์ทั้งหมดจนถึงพจน์ที่สิบได้ แต่เราสามารถหาสูตรสำหรับพจน์ที่ $n$ ในลำดับเรขาคณิตได้ เนื่องจาก 9 เป็นพจน์แรกและเราคูณด้วย $\frac{1}{3}$ เพื่อหาพจน์ถัดไป เราจึงได้ว่าสูตรสำหรับลำดับเรขาคณิตคือ $a_n=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}$ นั่นหมายความว่า $a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2}{3^9}=\frac{1}{3^7}=\boxed{\frac{1}{2187}}$ | \frac{1}{2187} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $A$ และ $B$ ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
\[\frac{5x+2}{x^2-7x-30}=\frac{A}{x-10}+\frac{B}{x+3}.\]เขียนคำตอบของคุณในรูป $(A,B)$. | เราแยกตัวประกอบส่วนของเศษซ้ายมือเพื่อให้ได้ \[\frac{5x+2}{(x-10)(x+3)}= \frac{A}{x - 10} + \frac{B}{x + 3}.\]จากนั้นคูณทั้งสองข้างด้วย $(x - 10)(x + 3)$ เพื่อให้ได้ \[5x + 2 = A(x + 3) + B(x - 10).\]เราสามารถแก้หา $A$ และ $B$ ได้โดยการแทนค่า $x$ ที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น การแทน $x = 10$ สมการจะกลายเป็น $52 = 13A$ ดังนั้น $A = 4$ การแทน $x = -3$ สมการจะกลายเป็น $-13 = -13B$ ดังนั้น $B = 1$ ดังนั้น $(A,B) = \boxed{(4,1)}$. | (4,1) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนผู้เข้าร่วมลีกฟุตบอลท้องถิ่นเพิ่มขึ้น $10\%$ จากปีที่แล้ว ในปีนี้ จำนวนผู้ชายเพิ่มขึ้น $5\%$ และจำนวนผู้หญิงเพิ่มขึ้น $20\%$ จากปีที่แล้ว ปีที่แล้วมีผู้ชายเข้าร่วมลีก $20$ คน สัดส่วนของผู้เข้าร่วมลีกที่เป็นผู้หญิงในปีนี้เป็นเท่าไร? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | เนื่องจากมีผู้ชาย $20$ คนในปีที่แล้ว ดังนั้นในปีนี้จะมีผู้ชาย $1.05 \cdot 20 =21$ คน
ให้จำนวนผู้หญิงในปีที่แล้วเป็น $x$ คน นั่นหมายความว่าในปีนี้มีผู้หญิง $1.2x$ คน
โดยรวมแล้ว ในปีที่แล้วมี $20+x$ คนเข้าร่วมลีก และในปีนี้มี $1.1 \cdot (20+x)$ คน เราจึงมี: \begin{align*}
22+1.1x &= 21+1.2x \\
1 &= 0.1x \\
x &= 10.
\end{align*} ดังนั้นในปีที่แล้วมีผู้หญิง $10$ คน นั่นหมายความว่าในปีนี้มีผู้หญิง $1.2 \cdot 10 =12$ คน ดังนั้นสัดส่วนของผู้หญิงในผู้เข้าร่วมลีกในปีนี้คือ $\frac{12}{12+21}=\frac{12}{33}=\boxed{\frac{4}{11}}$ | \frac{4}{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ห้องรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด 12 ฟุต x 6 ฟุต ต้องใช้พรมกี่ตารางหลาในการปูพื้นห้อง? | พื้นที่ของห้องคือ $(12\text{ ft.}) (6\text{ ft.})=72$ ตารางฟุต เนื่องจาก 1 หลาเท่ากับ 3 ฟุต 1 ตารางหลาเท่ากับ 9 ตารางฟุต ดังนั้น $72/9=\boxed{8}$ ตารางหลาจึงต้องใช้ในการปูพื้น | 8 | [
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ: $(243)^{\frac35}$ | เราเริ่มต้นด้วยการหาการแยกตัวประกอบของ 243. เราพบว่า $243 = 3^5$ ดังนั้น $(243)^{\frac35} = (3^5)^{\frac35} = 3^{5\cdot \frac{3}{5}} = 3^3 = \boxed{27}$ | 27 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $k$ ที่ทำให้สมการ $kx^2 -5x-12 = 0$ มีคำตอบ $x=3$ และ $ x = -\frac{4}{3}$ | ให้ความจำว่าสำหรับสมการในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ ผลบวกของรากเท่ากับ $-b/a$ และผลคูณของรากเท่ากับ $c/a$.
ดังนั้น เราสามารถเขียนระบบสมการได้ดังนี้\begin{align*}
3 - \frac{4}{3} &= \frac{5}{k} \\
-4 &= \frac{-12}{k}
\end{align*}
สมการที่สองบอกเราทันทีว่า $k = \boxed{3}$. | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับค่าจริงของ $b$ ใดที่ทำให้ค่าของนิพจน์ $\frac{1}{2}b^2 + 5b - 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เราทำการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
\frac{1}{2}b^2 + 5b - 3 & = (\frac{1}{2}b^2 + 5b) - 3\\
&= \frac{1}{2}(b^2 + 10b + 25) - 3 -25 \cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{1}{2}(b + 5)^2 - \frac{31}{2}.
\end{align*} ค่าต่ำสุดของ $\frac{1}{2}(b + 5)^2$ คือ $0$ เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงไม่เป็นลบ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของนิพจน์เกิดขึ้นที่ $b = \boxed{-5}$ | -5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $2x + y = 4$ และ $x + 2y = 5$ จงหา $5x^2 + 8xy + 5y^2$ | เราสามารถแก้หา $x$ และ $y$ แล้วแทนค่าเพื่อหาคำตอบได้ อย่างไรก็ตาม มีวิธีที่ง่ายกว่า ลองสังเกตว่า \begin{align*}
5x^2 + 8xy + 5y^2 &= (4x^2 + 4xy + y^2) + (x^2 + 4xy + 4y^2) \\
&= (2x + y)^2 + (x + 2y)^2 = 4^2 + 5^2 = \boxed{41}.
\end{align*}. | 41 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีพจน์กี่พจน์ของลำดับเลขคณิต 88, 85, 82, $\dots$ ที่ปรากฏมาก่อนที่เลข $-17$ จะปรากฏ? | ผลต่างร่วม $d$ คือ $85-88 = -3$ ดังนั้นพจน์ที่ $n$ ของลำดับเลขคณิตคือ $88 - 3(n - 1) = 91 - 3n$ ถ้า $91 - 3n = -17$ แล้ว $3n = (91 + 17) = 108$ ดังนั้น $n = 108/3 = 36$ ดังนั้น $-17$ คือพจน์ที่ $36$ ของลำดับเลขคณิตนี้ ซึ่งหมายความว่ามี $36 - 1 = \boxed{35}$ พจน์ที่ปรากฏมาก่อน $-17$ | 35 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x) = x^4 + x^2 + 5x$ จงหาค่าของ $f(5) - f(-5)$ | จงจำไว้ว่า ถ้าฟังก์ชัน $f$ สอดคล้องกับ $f(x)=f(-x)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด เรียกว่าฟังก์ชันคู่ ในทำนองเดียวกัน ถ้า $f(x)=-f(-x)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด $f$ เรียกว่าฟังก์ชันคี่ มาให้เรา定義 $g(x)=x^4+x^2$ และ $h(x)=5x$ สังเกตว่า $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่ $h(x)$ เป็นฟังก์ชันคี่ และ $f(x)=g(x)+h(x)$ เราได้ \begin{align*}
f(5)-f(-5)&=g(5)+h(5)-g(-5)-h(-5) \\
&= (g(5)-g(-5)) + h(5)-h(-5) \\
&= 0 + 2h(5) \\
&= 2(5(5)) \\
&=\boxed{50}.
\end{align*} | 50 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
รามานุจันและฮาร์ดีเล่นเกมโดยทั้งคู่เลือกจำนวนเชิงซ้อน ถ้าผลคูณของจำนวนของพวกเขาคือ $32-8i$ และฮาร์ดีเลือก $5+3i$ รามานุจันเลือกจำนวนใด | ให้จำนวนของฮาร์ดีเป็น $h$ และของรามานุจันเป็น $r$ เราได้สมการ: \begin{align*}
rh&=32-8i,\\
h&=5+3i.
\end{align*} ดังนั้น \[r=\frac{32-8i}{5+3i}.\] คูณบนและล่างด้วยคอนจูเกตของ $5+3i$ เราได้ \[r=\frac{(32-8i)(5-3i)}{34}\] หรือ \[r=\frac{136-136i}{34}=\boxed{4-4i}\] | 4-4i | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $2^x+ 2^x+ 2^x+ 2^x= 128$ จงหาค่าของ $(x + 1)(x - 1)$ | ראשית, เราทำให้นิพจน์ทางซ้ายมือง่ายขึ้น และเราได้ \[2^x+2^x+2^x+2^x = 4\cdot 2^x = 2^2\cdot 2^x = 2^{x+2}.\]เนื่องจาก $128 = 2^7$ สมการของเราตอนนี้คือ $2^{x+2} = 2^7$ ดังนั้น $x+2 = 7$ ดังนั้น $x=5$ และ $(x+1)(x-1) = (6)(4) = \boxed{24}$ | 24 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=x^3+3$ และ $g(x) = 2x^2 + 2x +1$. จงหาค่าของ $g(f(-2))$ | เราทราบว่า $f(-2)=(-2)^3+3=-5$ ดังนั้น $g(f(-2))=g(-5)=2\cdot(-5)^2+2\cdot(-5)+1=41$. ดังนั้น คำตอบของเราคือ $\boxed{41}$. | 41 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คำนวณผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต $1+\left(\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \dots$. แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | อนุกรมเรขาคณิตอนันต์นี้มีพจน์แรกเท่ากับ 1 และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ $1/5$ ดังนั้นผลบวกเท่ากับ $\frac{1}{1-\frac15} = \boxed{\frac{5}{4}}$. | \frac{5}{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.