question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ผลต่างบวกระหว่างพจน์ที่ 2000 และพจน์ที่ 2005 ของลำดับเลขคณิต $-8,$ $-2,$ $4,$ $10,$ $\ldots$ คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $-2 - (-8) = 6$ พจน์ที่ 2000 คือ $a + 1999d$ และพจน์ที่ 2005 คือ $a + 2004d$ ดังนั้น ผลต่างบวกระหว่างสองพจน์นี้คือ $(a + 2004d) - (a + 1999d) = 5d = 5 \cdot 6 = 30$ | 30 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\displaystyle\frac{109^2-100^2}{9}$ | เคล็ดลับของโจทย์ข้อนี้คือการสังเกตว่า $109^2 - 100^2$ ตัวประกอบเป็น $(109+100)(109-100)$ ดังนั้นเศษส่วนของเราจะกลายเป็น $\frac{(109+100)(109-100)}{9} = \frac{209 \cdot 9}{9}$ ซึ่งจะทำให้ง่ายขึ้นเป็น $\boxed{209}$ | 209 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $2x - y = 5$ และ $x + 2y = 5$ จงหาค่าของ $x$ | เพื่อหาค่าของ $x$ เราต้องการกำจัด $y$ คูณสมการแรกด้วย $2$ แล้วบวกกับสมการที่สอง: \begin{align*}
(4x-2y) + (x+2y) &= 10+5\\
5x &= 15\\
x &= \boxed{3}
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ค่าของฟังก์ชัน $f(x)$ มีค่าดังตารางต่อไปนี้
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline $x$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $f(x)$ & 3 & 1 & 5 & 4 & 2 \\ \hline
\end{tabular}ถ้า $f^{-1}$ มีอยู่ แล้ว $f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1)))$ มีค่าเท่าใด | เราสังเกตว่า $f(2) = 1$ ดังนั้น $f^{-1}(1) = 2$ ดังนั้น $$f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = f^{-1}(f^{-1}(2)).$$ต่อไป $f(5) = 2$ ดังนั้น $f^{-1}(2) = 5$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(2)) = f^{-1}(5)$ สุดท้าย $f(3) = 5$ ดังนั้น $f^{-1}(5) = 3$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = \boxed{3}.$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $y(y-3x)$ เมื่อ $x=3$ และ $y=0$。 | เนื่องจาก 0 คูณกับจำนวนใดๆ จะเท่ากับ 0 เมื่อ $y=0$ เราได้ว่า $y(y-3x) = 0(y-3x) = \boxed{0}$。 | 0 | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใด $3^{2x^{2}-5x+2} = 3^{2x^{2}+7x-4}$? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ถ้า $3^{2x^{2}-5x+2} = 3^{2x^{2}+7x-4}$ แล้ว $2x^{2}-5x+2 = 2x^{2}+7x-4$. เราสามารถลบพจน์ $2x^2$ ออกจากทั้งสองข้างและแก้สมการ $-5x+2=7x-4$ เพื่อหาค่า $x$ ซึ่งจะได้ $x=\boxed{\frac{1}{2}}$. | \frac{1}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x$ เมื่อ $3(x - 4) + 4(7 - 2x^2 + 5x) - 8(2x - 1)$ ถูกทำให้เรียบง่าย | สัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $3(x - 4) + 4(7 - 2x^2 + 5x) - 8(2x - 1)$ คือ $3 + 4 \cdot 5 - 8 \cdot 2 = \boxed{7}$ | 7 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $\log_{12}3x=2$ | เขียนสมการในรูปเลขชี้กำลังจะได้ $12^2=3x$ เนื่องจาก $3x=144$ ดังนั้น $x=\boxed{48}$ | 48 | [
"ประยุกต์"
] |
กราฟของสมการสองสมการต่อไปนี้มีจุดตัดกันกี่จุด: \begin{align*}
y &=|2x + 5|, \\
y &= -|3x - 2|
\end{align*} | ฟังก์ชันตัวแรกมีค่าต่ำสุดเท่ากับ 0 ในขณะที่ฟังก์ชันตัวที่สองมีค่าสูงสุดเท่ากับ 0 นอกจากนี้ จุดศูนย์ของฟังก์ชันทั้งสองเกิดขึ้นที่ตำแหน่งที่ต่างกัน (ในกรณีแรก ที่ $x = -\frac{5}{2}$ และในกรณีที่สอง ที่ $x = \frac{2}{3}$ ) ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันทั้งสองจึงไม่ตัดกัน ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{0}.$ | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนคู่ลำดับ $(m,n)$ ของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันกี่คู่ ซึ่งผลรวมของส่วนกลับของ $m$ และ $n$ เท่ากับ $\frac14$? | เขียนเป็นสมการ $\frac 1m + \frac 1n = \frac 14$ คูณทั้งสองข้างด้วย $4mn$ เพื่อลบตัวส่วนออกจะได้ $4n + 4m = mn$ จัดรูปใหม่และใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอน จะได้ว่า $$mn - 4m - 4n + 16 = (m-4)(n-4) = 16.$$ดังนั้น $m-4$ และ $n-4$ เป็นคู่ของตัวประกอบของ $16$ เพื่อให้สอดคล้องกับเงื่อนไขบวกทั้งสองตัวประกอบต้องเป็นบวกเช่นกัน ดังนั้น $$(m-4,n-4) = (1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1),$$ให้จำนวนคู่ลำดับที่แตกต่างกัน $\boxed{5}$ คู่ | 5 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 - 2x + 3 $ และ $B$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 + 4x + 10 $. จงหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ | การเติมกำลังสองในแต่ละสมการจะได้สมการ $y=(x - 1)^2 + 2 $ และ $y=(x + 2)^2 + 6$. ดังนั้น $A = (1, 2)$ และ $B = (-2, 6)$. เราสามารถหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ ได้เป็น $\sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5}$. | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สระว่ายน้ำแห่งหนึ่งสามารถเติมน้ำได้โดยใช้ท่อใดท่อหนึ่งจากท่อ A, B หรือ C ท่อ A และ B ร่วมกันใช้เวลา 4 ชั่วโมงในการเติมน้ำเต็มสระ ท่อ A และ C ร่วมกันใช้เวลา 5 ชั่วโมงในการเติมน้ำเต็มสระ ท่อ B และ C ร่วมกันใช้เวลา 6 ชั่วโมงในการเติมน้ำเต็มสระ ใช้เวลาเท่าไรถ้าท่อ A, B และ C ทำงานร่วมกันในการเติมน้ำเต็มสระ แสดงคำตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | ให้อัตราที่ท่อ $A$ เติมน้ำสระเท่ากับ $A$ และทำเช่นเดียวกันสำหรับท่อ B และ C จากนั้นให้ $P$ เท่ากับปริมาตรของสระ จากข้อมูลที่กำหนด เราสามารถเขียนสมการ $P=4(A+B)$ ซึ่งหมายความว่าปริมาตรของสระเท่ากับอัตราที่เติมน้ำคูณด้วยเวลาที่ใช้ในการเติม เราสามารถเขียนใหม่เป็น $\frac{P}{4}=A+B$ ทำเช่นเดียวกันกับข้อมูลที่เหลือเราสามารถเขียนสมการสามสมการได้: $$\frac{P}{4}=A+B$$ $$\frac{P}{5}=A+C$$ $$\frac{P}{6}=B+C$$ บวกสมการทั้งสามสมการเข้าด้วยกัน เราสามารถทำให้ง่ายขึ้นดังนี้: \begin{align*}
\frac{P}{4}+\frac{P}{5}+\frac{P}{6}&=(A+B)+(A+C)+(B+C)\\
\Rightarrow\qquad \frac{15P}{60}+\frac{12P}{60}+\frac{10P}{60}&=2(A+B+C)\\
\Rightarrow\qquad 37P&=120(A+B+C)\\
\Rightarrow\qquad P&=\frac{120}{37}(A+B+C)
\end{align*} พิจารณาอย่างระมัดระวังจากนิพจน์สุดท้ายนี้ เราจะเห็นว่า $A+B+C$ คืออัตราที่สระจะถูกเติมน้ำเมื่อทั้งสามท่อทำงานร่วมกัน ดังนั้น $\frac{120}{37}\approx \boxed{3.24}$ เท่ากับจำนวนชั่วโมงที่ใช้ในการเติมน้ำเต็มสระโดยใช้ทั้งสามท่อ | 3.24 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนกำลังของ 3 ที่ต่อเนื่องกันถูกบวกกันเพื่อสร้างลำดับนี้: $3^0,3^0+ 3^1, 3^0+ 3^1+ 3^2$, และอื่นๆ ค่าของพจน์ที่สี่ของลำดับนี้เมื่อทำให้ง่ายที่สุดคือเท่าใด? | พจน์ที่สี่ในลำดับคือ $3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40}$ | 40 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลบวกของจำนวนเต็มต่อเนื่อง 49 จำนวนเท่ากับ $7^5$ จงหาค่ามัธยฐานของจำนวนเต็มเหล่านี้ | ผลบวกของเซตของจำนวนเต็มเท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ยของจำนวนเต็มและจำนวนของจำนวนเต็ม และค่ามัธยฐานของเซตของจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกันจะเท่ากับค่าเฉลี่ย ดังนั้นค่ามัธยฐานต้องเท่ากับ $7^5/49=7^3$ หรือ $\boxed{343}$ | 343 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามจุด $(3,-5)$, $(-a + 2, 3)$, และ $(2a+3,2)$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จงหาค่าของ $a$ | เนื่องจากสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน อัตราส่วนความชันระหว่างจุดแรกและจุดที่สองเท่ากับอัตราส่วนความชันระหว่างจุดแรกและจุดที่สาม ซึ่งจะได้สมการ: \begin{align*}
\frac{3-(-5)}{(-a+2) -3} &= \frac{2- (-5)}{(2a+3) - 3} \\
\frac{8}{-a-1} &= \frac{7}{2a} \\
8(2a) &= 7(-a-1) \\
23a &= -7 \\
&a = \boxed{\frac{-7}{23}}.
\end{align*} | \frac{-7}{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในอาณานิคมแบคทีเรียแห่งหนึ่ง จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทุกวัน อาณานิคมเริ่มต้นด้วยแบคทีเรีย 3 ตัว และมี 6 ตัวในตอนท้ายของวันที่ 1, 12 ตัวในตอนท้ายของวันที่ 2 และอื่นๆ วันแรกที่สิ้นสุดลงด้วยอาณานิคมที่มีแบคทีเรียมากกว่า 100 ตัวคือวันใด | จำนวนแบคทีเรียคูณด้วย 2 ในตอนท้ายของแต่ละวัน ดังนั้นจำนวนแบคทีเรียในตอนท้ายของวันที่ $n$ คือ $3\cdot2^n$ เราต้องการ $3\cdot2^n > 100$ หรือ $2^n > 33\frac{1}{3}$ $n$ ที่เล็กที่สุดที่ทำให้เกิดเหตุการณ์นี้คือ $n = \boxed{6}$ | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ค่า $x$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ และเป็นจำนวนจริงใดที่สอดคล้องกับสมการ $(5x)^4= (10x)^3$? เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | อาจจะง่ายกว่าถ้าเราปล่อยให้ทั้งสองข้างอยู่ในรูปที่แยกตัวประกอบ: \begin{align*}
(5x)^4&=(10x)^3\\
\Rightarrow\qquad 5^4 x^4&=10^3 x^3\\
\Rightarrow\qquad 5^4 x^4&=5^3 2^3 x^3
\end{align*} เนื่องจาก $x$ ไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถตัดตัวประกอบร่วมของ $x^3$ ได้: $$\Rightarrow\qquad 5^4 x=5^3 2^3$$ ตอนนี้ตัด $5^3$: \begin{align*}
5x&=8\\
\Rightarrow\qquad x&=\boxed{\frac{8}{5}}
\end{align*} | \frac{8}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{x-3}{x-4}$ แล้ว สำหรับค่าของ $x$ ใด $f^{-1}(x)$ ไม่นิยาม? | เราเริ่มต้นด้วยการหาฟังก์ชันผกผันของ $f$ ตามนิยาม เราทราบว่า $f(f^{-1}(x)) = x$ ดังนั้น $$\frac{f^{-1}(x)-3}{f^{-1}(x)-4} = x.$$เราสามารถแก้สมการนี้เพื่อหา $f^{-1}(x)$ ได้ เริ่มจากการคูณทั้งสองข้างด้วย $f^{-1}(x)-4$: $$f^{-1}(x)-3 = x\cdot(f^{-1}(x)-4).$$จากนั้นขยาย: $$f^{-1}(x)-3 = x\cdot f^{-1}(x)-4x.$$จัดเรียงใหม่เพื่อรวบรวมพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ $f^{-1}(x)$ ไว้ทางซ้าย: $$f^{-1}(x)-x\cdot f^{-1}(x) = 3-4x.$$เราสามารถแยกตัวประกอบทางซ้าย: $$f^{-1}(x)\cdot (1-x) = 3-4x.$$สุดท้าย หารทั้งสองข้างด้วย $1-x$ เพื่อให้ได้ฟังก์ชันผกผันของเรา $$f^{-1}(x) = \frac{3-4x}{1-x}.$$ฟังก์ชันนี้ถูกนิยามสำหรับค่า $x$ ทั้งหมด ยกเว้น $\boxed{1}$. | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{x^2+2x+3}{x+4}=x+5\]หาค่า $x$. | การคูณไขว้จะได้ \[x^2+2x+3=(x+4)(x+5)=x^2+9x+20.\]ดังนั้น \[0=7x+17\]และ $x=\boxed{-\frac{17}7}$. | -\frac{17}7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มบวกถูกสร้างขึ้น โดยพจน์แรกคือ 3 และพจน์ที่สี่คือ 192 พจน์ที่สามของลำดับนี้คือเท่าใด | ให้ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วม $r$ เราทราบว่า $3\cdot r^3=192$ หรือ $r=4$ ดังนั้น พจน์ที่สามคือ $3 \cdot r^2 = 3 \cdot 4^2 = \boxed{48}$ | 48 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\sqrt{75x} \cdot \sqrt{2x} \cdot \sqrt{14x}$ . แสดงคำตอบในรูปของรากที่ง่ายที่สุดในรูปของ $x$. | เขียนทุกอย่างในรูปของการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ, นิพจน์ที่กำหนดคือ $\sqrt{3 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot x^3} = \sqrt{(2^2 \cdot 5^2 \cdot x^2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot x)} = \boxed{10x \sqrt{21x}}$. | 10x \sqrt{21x} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x+y$ เมื่อ $x^{2} + y^{2} =90$ และ $xy=27$ | เรามี $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=90+2\cdot27=144$ ดังนั้น $x+y=12$ หรือ $x+y=-12$ เราต้องการค่าที่มากกว่า หรือ $x+y=\boxed{12}$ | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มาร์โกเดินไปบ้านเพื่อนในเวลา 10 นาที โดยใช้เส้นทางเดียวกันใช้เวลา 20 นาทีในการกลับบ้าน ถ้าอัตราการเดินเฉลี่ยของเธอสำหรับทั้งการเดินทางคือ 4 ไมล์ต่อชั่วโมง เธอเดินไปทั้งหมดกี่ไมล์ | มาร์โกเดินไปทั้งหมด $10+20=30$ นาที หรือ 0.5 ชั่วโมง เพื่อหาความยาวทั้งหมดที่เดินทาง เราสามารถคูณเวลาทั้งหมดด้วยอัตรา: \begin{align*}
\text{ระยะทาง}&=\text{อัตรา}\times \text{เวลา} \\
&=0.5\times 4 \\
&=\boxed{2}\text{ ไมล์}.
\end{align*} | 2 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดกำเนิดถึงวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-24x +y^2+10y +160=0$ | เราทำการเติมกำลังสองโดยสังเกตว่าสมการของวงกลมเทียบเท่ากับ \[(x^2-24x+144) +(y^2+10y+25) -9 =0,\] ซึ่งก็เทียบเท่ากับ \[(x-12)^2 +(y+5)^2=3^2.\] ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(12,-5)$ และโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $13$ (เราสามารถจำได้ว่าเรามีสามเหลี่ยม $5-12-13$ ) เนื่องจากรัศมีของวงกลมคือ $3$ ระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดกำเนิดถึงวงกลมคือผลต่างของระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงจุดกำเนิดลบรัศมีซึ่งคือ $13-3=\boxed{10}$ | 10 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=8x-6y-20$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัวจาก RHS ไป LHS เราได้ $x^2-8x+y^2+6y=-20$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(-8/2)^2=16$ ให้กับทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(6/2)^2=9$ ให้กับทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2-8x+y^2+6y&=-20\\
\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+6y+9&=5\\
\Rightarrow (x-4)^2+(y+3)^2&=5
\end{align*} ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุด $(4,-3)$ ดังนั้น $x+y=4+(-3)=oxed{1}$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $a^2\cdot a^5$ เมื่อ $a= 3$. | นิพจน์ที่กำหนดให้เท่ากับ $a^{2+5}=a^7$. แทนค่า $a$ ลงในนิพจน์จะได้ $3^7=\boxed{2187}$. | 2187 | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
2x + 9 &\text{if }x<-2, \\
5-2x&\text{if }x\ge -2.
\end{cases}
\]จงหาค่าของ $f(-7).$ | เนื่องจาก $-7 < -2$ เราใช้กรณีแรกเพื่อหาค่า $f(-7) = 2(-7) + 9 = -5$. | -5 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กราฟของ $y=3-x^2+x^3$ และ $y=1+x^2+x^3$ ตัดกันที่จุดหลายจุด จงหาผลต่างสูงสุดระหว่างพิกัด $y$ ของจุดตัดเหล่านี้ | กราฟตัดกันเมื่อค่า $y$ ที่ $x$ เดียวกันมีค่าเท่ากัน เราสามารถหาค่านี้ได้โดยการแก้สมการ \[3-x^2+x^3=1+x^2+x^3.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น \[2(x^2-1)=0.\]สมการนี้มีคำตอบสองคำตอบ คือ $x=1$ และ $x=-1$ พิกัด $y$ ของจุดเหล่านี้คือ \[1+1^2+1^3=3\]และ \[1+(-1)^2+(-1)^3=1.\]ผลต่างระหว่างค่าเหล่านี้คือ $\boxed{2}$. | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\Diamond$ นิยามโดย $a\Diamond b=ab^2-b+1$ จงหาค่าของ $(-1)\Diamond 6$ | $$(-1)\Diamond 6=(-1)6^2-6+1=\boxed{-41}$$ | -41 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าใดของ $x$ จะทำให้ $-x^2- 6x + 12$ มีค่ามากที่สุด? | เราเริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
-x^2 -6x +12 &= -(x^2 + 6x) + 12\\ &= -(x^2 + 6x + (6/2)^2 - (6/2)^2) + 12\\ &= -((x+3)^2 -3^2) + 12 \\&= -(x+3)^2 +3^2 + 12 \\&= -(x+3)^2 + 21.\end{align*}เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าอย่างน้อย 0 ดังนั้น $(x+3)^2\ge 0$ ดังนั้น $-(x+3)^2 \le 0$. ดังนั้น $-(x+3)^2 + 21$ มีค่ามากที่สุด 21 เนื่องจาก $(x+3)^2 =0$ เมื่อ $x=-3$ ค่าสูงสุด 21 นี้จะเกิดขึ้นเมื่อ $x= \boxed{-3}$. | -3 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงแก้สมการหาค่า $c$: $$\sqrt{4+\sqrt{8+4c}}+ \sqrt{2+\sqrt{2+c}} = 2+2\sqrt{2}$$ | เราสามารถแยกตัวประกอบค่าคงตัวออกจากรากที่หนึ่งได้: \begin{align*}
\sqrt{4+\sqrt{8+4c}} &= \sqrt{4+\sqrt{4(2+c)}}\\
&= \sqrt{4+2\sqrt{2+c}}\\
&= \sqrt{2(2+\sqrt{2+c})}\\
&= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2+c}}.
\end{align*}จากนั้น เราสามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันและแก้สมการได้: \begin{align*}
\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2+c}}+ \sqrt{2+\sqrt{2+c}} &= 2+2\sqrt{2}\\
\Rightarrow \qquad (1+\sqrt{2})\sqrt{2+\sqrt{2+c}} &=2(1+\sqrt{2})\\
\Rightarrow \qquad \sqrt{2+\sqrt{2+c}} &= 2\\
\Rightarrow \qquad 2+\sqrt{2+c} &= 4\\
\Rightarrow \qquad \sqrt{2+c} &= 2\\
\Rightarrow \qquad 2+c &= 4\\
\Rightarrow \qquad c &= \boxed{2}
\end{align*} | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีองค์กรแห่งหนึ่งประกอบด้วยผู้นำ 5 คน และสมาชิกทั่วไปจำนวนหนึ่ง ในแต่ละปี ผู้นำคนปัจจุบันจะถูกไล่ออกจากองค์กร จากนั้นสมาชิกทั่วไปแต่ละคนจะต้องหาสมาชิกใหม่ 2 คนเข้าร่วมเป็นสมาชิกทั่วไป และสุดท้ายจะเลือกสมาชิกใหม่ 5 คนจากภายนอกองค์กรมาเป็นผู้นำ ในตอนเริ่มต้นมีผู้คนในองค์กรทั้งหมด 15 คน จะมีผู้คนทั้งหมดกี่คนในองค์กรห้าปีข้างหน้า | ให้ $a_k$ แทนจำนวนผู้คนในปีที่ $k$ (โดยเริ่มต้น $k=0$) จะสังเกตได้ว่าหลังจากผู้นำถูกไล่ออก จะมีสมาชิกทั่วไป $a_k-5$ คน จากนั้นจะมีสมาชิกทั่วไป $3(a_k-5)$ คนหลังจากสมาชิกทั่วไปใหม่เข้าร่วม ในที่สุดหลังจากผู้นำคนใหม่ได้รับเลือกแล้ว เราจะมีจำนวนผู้คนทั้งหมด $3(a_k-5)+5 = 3a_k-10$ คนในปีถัดไป อาจต้องการแก้สมการแบบวนซ้ำนี้โดยใช้ $a_0=15$ แต่มีวิธีที่ง่ายกว่า
สังเกตว่าจำนวนผู้นำจะคงที่ทุกปี และจำนวนสมาชิกทั่วไปจะเพิ่มขึ้นสามเท่า ดังนั้นจำนวนสมาชิกทั่วไปจะ 따르는ลำดับเรขาคณิต ในตอนเริ่มต้นจะมีสมาชิกทั่วไป $15-5=10$ คน ดังนั้นห้าปีต่อมาจะมีสมาชิกทั่วไป $ (3^5)(10)=2430$ คน จำนวนผู้คนทั้งหมดจะเป็น $5+2430=\boxed{2435}$ | 2435 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ซูซี่ Q มีเงิน 1000 ดอลลาร์สหรัฐที่จะลงทุน เธอลงทุนบางส่วนของเงินที่ธนาคาร Pretty Penny ซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นรายปีที่ 3 เปอร์เซ็นต์ เธอลงทุนส่วนที่เหลือที่ธนาคาร Five and Dime ซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นรายปีที่ 5 เปอร์เซ็นต์ หลังจาก 2 ปี ซูซี่มีเงินรวมเป็น 1090.02 ดอลลาร์สหรัฐ เธอลงทุนเงินดอลลาร์สหรัฐจำนวนเท่าใดที่ธนาคาร Pretty Penny ในตอนแรก | ให้ $x$ เป็นจำนวนเงินดอลลาร์สหรัฐที่ซูซี่ Q ลงทุนที่ธนาคาร Pretty Penny ดังนั้น เธอลงทุน $1000 - x$ ที่ธนาคาร Five and Dime หลังจาก 2 ปีบัญชีของเธอที่ธนาคาร Pretty Penny เติบโตเป็น $x \cdot 1.03^2$ และบัญชีของเธอที่ธนาคาร Five and Dime เติบโตเป็น $(1000 - x) \cdot 1.05^2$ ดังนั้น \[x \cdot 1.03^2 + (1000 - x) \cdot 1.05^2 = 1090.02.\]เราเห็นว่า $x \cdot 1.03^2 + (1000 - x) \cdot 1.05^2 = 1.0609x + 1102.5 - 1.1025x = 1102.5 - 0.0416x$ ดังนั้น \[1102.5 - 0.0416x = 1090.02.\]แล้ว \[x = \frac{1102.5 - 1090.02}{0.0416} = \boxed{300}.\] | 300 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor17.2\rfloor+\lfloor-17.2\rfloor$. | จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $17.2$ คือ $17$ และจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $-17.2$ คือ $-18$ ดังนั้น คำตอบคือ $-1$. | -1 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ดินชั้นบนมีราคา $\$6$ ต่อลูกบาศก์ฟุต จงหาค่าใช้จ่ายเป็นดอลลาร์ของดินชั้นบน 5 ลูกบาศก์หลา | เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ $1\text{ yd.}=3\text{ ft.}$ เราจะได้ $1\text{ yd.}^3=27\text{ ft.}^3$ ดังนั้นมี $27\cdot5$ ลูกบาศก์ฟุตใน 5 ลูกบาศก์หลา คูณจำนวนลูกบาศก์ฟุตด้วยราคาต่อลูกบาศก์ฟุต เราจะได้ว่าค่าใช้จ่ายทั้งหมดคือ $27\cdot5\cdot6=27\cdot30=\boxed{810}$ ดอลลาร์ | 810 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ความชันของเส้นตรงที่กำหนดโดยคำตอบสองคำตอบของสมการ $\frac{2}{x}+\frac{3}{y} = 0$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | เราสามารถเห็นได้อย่างรวดเร็วว่าเราสามารถหาคำตอบของสมการได้ถ้าเศษส่วนแรกเป็น 1 และเศษส่วนที่สองเป็น -1 ซึ่งจะได้ $(x, y) = (2, -3)$ ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราให้ $(x, y) = (-2, 3)$ เราจะได้เศษส่วนแรกเป็น $-1$ และเศษส่วนที่สองเป็น 1 ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดนี้คือ $\frac{-3 - 3}{2 - (-2)} = \boxed{- \frac 32}$ | - \frac 32 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $\frac{4}{3x^{-3}} \cdot \frac{3x^{2}}{2}$. | ก่อนอื่น เราสังเกตว่า $\frac{4}{3x^{-3}}$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $\frac{4x^3}{3}$ ดังนั้น เราจึงมี \begin{align*}
\frac{4}{3x^{-3}} \cdot \frac{3x^{2}}{2} & = \frac{4x^3}{3} \cdot \frac{3x^2}{2} \\
& = \frac{(4 \cdot 3)(x^3 \cdot x^2)}{3 \cdot 2} \\
& = 2x^{3+2} \\
& = \boxed{2x^5}.
\end{align*} | 2x^5 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันของ $5^5 - 5^3$ | กำลังที่มากที่สุดของ $5$ ที่หารทั้งสองพจน์ได้คือ $5^3$ เราแยกตัวประกอบ $5^3$ ออกดังนี้: \begin{align*}
5^5 - 5^3 &= 5^3 \cdot 5^2 - 5^3 \cdot 1 \\
&= 5^3(5^2 - 1)
\end{align*} $5^2 - 1 = 24$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $2^3 \cdot 3$ ดังนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะคือ ${2^3 \cdot 3 \cdot 5^3}$ และผลรวมของตัวประกอบเฉพาะคือ $2+3+5 = \boxed{10}$ | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $\frac{A}{x-5}+B(x+1)=\frac{-3x^2+12x+22}{x-5}$ จงหาค่าของ $A+B$ | เราต้องการแยกเศษส่วนทางขวาออกเป็นพหุนามและพจน์ที่มีตัวเศษคงที่ เพื่อทำเช่นนั้น เราสังเกตว่า $-3x^2+15x$ เป็นพหุคูณของ $x-5$ ดังนั้น
\[\frac{-3x^2+12x+22}{x-5}=\frac{-3x^2+15x-15x+12x+22}{x - 5}=-3x+\frac{-3x+22}{x-5}.\]สังเกตว่า $-3x+15$ ก็เป็นพหุคูณของ $x-5$ เช่นกัน ดังนั้น
\[-3x+\frac{-3x+22}{x-5}=-3x+\frac{-3x+15+7}{x-5}=-3x-3+\frac{7}{x-5}.\]ดังนั้น $B=-3$ และ $A=7$ ดังนั้น $A+B=\boxed{4}$. | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วานด้าพยายามที่จะหาจุดเฟอร์มาต์ $P$ ของ $\triangle ABC$ โดยที่ $A$ อยู่ที่จุดกำเนิด $B$ อยู่ที่ $(10,0)$ และ $C$ อยู่ที่ $(3,5)$ (จุดเฟอร์มาต์คือจุดที่ผลรวมของระยะทางจากจุดยอดของสามเหลี่ยมน้อยที่สุด) เธอเดาว่าจุดนั้นอยู่ที่ $P = (4,2)$ และคำนวณผลรวมของระยะทางจาก $P$ ไปยังจุดยอดของ $\triangle ABC$ หากเธอได้ $m\sqrt5 + n\sqrt{10}$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $m + n$ มีค่าเท่าใด?
[asy]
string sp(pair P1, string P2){return "$" + P2 + "\,(" + string(P1.x) + "," + string(P1.y) + ")$";}
size(150);
defaultpen(fontsize(10));
draw((-3,0)--(10,0),Arrows(4));
draw((0,-3)--(0,8),Arrows(4));
pair A=(0,0),B=(10,0),C=(3,5),P=(4,2);
draw(A--B--C--cycle, linewidth(0.7));
draw(A--P, dashed);
draw(B--P, dashed);
draw(C--P, dashed);
label(sp(A,"A"),A,NW);
label(sp(B,"B"),B,S);
label(sp(C,"C"),C,N);
label(sp(P,"P"),P,(-0.5,-2.8));
dot(A); dot(B); dot(C); dot(P);
[/asy] | จากสูตรระยะทาง \begin{align*}
AP &= \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5} \\
BP &= \sqrt{(4-10)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36 + 4} = 2\sqrt{10} \\
CP &= \sqrt{(4-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}
\end{align*}ดังนั้น $AP + BP + CP = 2\sqrt{5} + 3\sqrt{10}$ และ $m+n = \boxed{5}$ | 5 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $f(x)=x^{2}-2x$ จงหาค่าของ $f(-1)$ | $f(-1)=(-1)^2-2(-1)=1+2=\boxed{3}$. | 3 | [
"ประยุกต์"
] |
พจน์แรกของลำดับเรขาคณิตคือ 729 และพจน์ที่ 7 คือ 64 ค่าของพจน์ที่ 5 ที่เป็นบวกและเป็นจำนวนจริงคือเท่าไร | อัตราส่วนร่วมบวกและเป็นจำนวนจริงเพียงตัวเดียวของลำดับนี้คือ $\frac{2}{3}$ ดังนั้น ถ้า $x$ คือพจน์ที่ 5 จะได้ว่า $\left(\frac{2}{3}\right)^2 x = 64$ ดังนั้น $x = \boxed{144}$ | 144 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $16x^2-106x-105$ สามารถเขียนในรูป $(8x + a)(2x + b)$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่า $a + 2b$ | เราเห็นว่า $16x^2-106x-105 = (8x + 7)(2x - 15)$ ดังนั้น $a = 7$ และ $b = -15$ และ $a + 2b = \boxed{-23}$. | -23 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $p(x) = x^4 - 3x + 2$ แล้วสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^3$ ในพหุนาม $(p(x))^3$ คือเท่าใด | โดยการสังเกต เมื่อขยายพจน์ของผลคูณ $(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)$ พจน์เดียวที่ มีดีกรี 3 จะเป็นพจน์ที่ได้จากการคูณพจน์เชิงเส้นทั้งสามเข้าด้วยกัน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือ $(-3)(-3)(-3)=\boxed{-27}$ | -27 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดใดต่อไปนี้ที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดมากที่สุด: $(0,5)$, $(1,2)$, $(3,-4)$, $(6,0)$, $(-1,-2)?$ | ระยะห่างจากจุด $(x,y)$ ไปยังจุดกำเนิดคือ $$\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \!\sqrt{x^2+y^2}.$$คำนวณค่านี้สำหรับจุดที่กำหนดทั้ง 5 จุด เราพบว่า $\boxed{(6,0)}$ อยู่ห่างจากจุดกำเนิดมากที่สุด | (6,0) | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
อนุกรมเรขาอนันต์มีอัตราส่วนร่วม $\frac{-1}{3}$ และผลรวม 25 จงหาพจน์ที่สองของลำดับ | การคำนวณพจน์ที่สองโดยตรงดูเหมือนจะยาก ดังนั้นเราจะหาค่าของพจน์แรกก่อน สมมติว่าพจน์แรกคือ $a$ เนื่องจากผลรวมของอนุกรมคือ 25 เราได้ \[25= \frac{a}{1-\left(\frac{-1}{3}\right)} = \frac{a}{\frac{4}{3}} = \frac{3a}{4}.\]ดังนั้น $a=\frac{100}{3}$ ตอนนี้เราสามารถคำนวณพจน์ที่สองได้โดยทราบค่าของพจน์แรก พจน์ที่สอง $ar$ คือ \[ar=\left( \frac{100}{3} \right)\left(\frac{-1}{3}\right)=\boxed{\frac{-100}{9}} .\] | \frac{-100}{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การแข่งขันคณิตศาสตร์จัดขึ้นในห้องที่มีโต๊ะหลายโต๊ะ และมีเก้าอี้ 6 ตัวที่แต่ละโต๊ะ เก้าอี้แต่ละตัวมี 3 ขา และโต๊ะแต่ละโต๊ะมี 4 ขา ถ้ามีขาทั้งหมด 484 ขาที่โต๊ะและเก้าอี้ทั้งหมดในห้อง จะมีโต๊ะกี่ตัวในห้อง? | ให้ $s$ แทนจำนวนเก้าอี้ในห้อง และ $t$ แทนจำนวนโต๊ะ เราต้องการหาค่าของ $t$ เราสามารถตั้งระบบสมการเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนดดังนี้:
\begin{align*}
s &= 6t \\
3s + 4t &= 484 \\
\end{align*}เพื่อหาค่า $t$ เราต้องกำจัด $s$ จากสมการข้างต้น แทนสมการแรกด้วยสมการที่สองเพื่อกำจัด $s$ จะได้ $3(6t)+4t=484$ หรือ $t=22$ ดังนั้นมีโต๊ะ $\boxed{22}$ ตัวในห้อง | 22 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มาร์เซลล์และแจ็คlynn แต่ละคนคิดถึงพหุนาม พหุนามของพวกเขามีดีกรี 4 และมีสัมประสิทธิ์ของ $z$ เท่ากัน และมีค่าคงที่บวกเท่ากัน ผลคูณของพหุนามของพวกเขาคือ \[z^8 +3z^7 +z^6 +3z^5 +4z^4 +6z^3 +2z^2 +4.\]ค่าคงที่ของพหุนามของแจ็คlynn คือเท่าไร? | เนื่องจากค่าคงที่ของพหุนามทั้งสองในผลคูณเป็นบวก เท่ากัน และคูณกันได้ 4 ดังนั้นค่าคงที่ของพหุนามแต่ละตัวต้องเท่ากับ $\sqrt{4} = \boxed{2}$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $-\frac{15}{4}$ คือจำนวนใด | $-\frac{15}{4} = -3\frac{3}{4}$ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $-3\frac{3}{4}$ คือ $-4$ | -4 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ต่อไปนี้:
$$\left| \, |{ -|{-1 + 1}| - 1 }| + 1\right|.$$ | เราคำนวณดังนี้:
$$|\,|{-|{-1+1}|-1}|+1| = \left|\, |0-1|+1\right| = |1+1| = \boxed{2}$$ | 2 | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r=3^s-s$ และ $s=2^n+1$ จงหาค่าของ $r$ เมื่อ $n=2$ | เริ่มต้นโดยแทนค่า $n=2$ ลงในนิพจน์ของ $s$ เพื่อหาค่า $s=2^2+1=5$ จากนั้นแทนค่า $s=5$ ลงในนิพจน์ของ $r$ เพื่อหาค่า $r=3^5-5=243-5=\boxed{238}$ | 238 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนเท่ากับ 22 ส่วนต่างของสองจำนวนนั้นเท่ากับ 4 จงหาจำนวนที่มากกว่า | กำหนดให้สองจำนวนนั้นเป็น $x$ และ $y$ โดยที่ $x>y$ เราต้องการหาค่า $x$ ปัญหาสามารถเขียนใหม่เป็นระบบสมการ: \begin{align*}
x+y&= 22\\
x-y&= 4
\end{align*} นำสมการทั้งสองบวกกันจะได้: \begin{align*}
2x &= 26\\
x &=\boxed{13}.
\end{align*} | 13 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของจำนวนสองจำนวน $x$ และ $y$ เท่ากับ 399 และค่าของเศษส่วน $\frac{x}{y}$ เท่ากับ 0.9 จงหาค่าของ $y - x$ | เรามีระบบสมการดังนี้: \begin{align*}
x + y &= 399 \\
\frac{x}{y} &= 0.9 \\
\end{align*} จากสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างด้วย $y$ จะได้ $x=.9y$ จากนั้น แทนสมการที่สองลงในสมการแรกเพื่อกำจัด $x$ จะได้ $.9y+y=399$ หรือ $y=210$ แทนค่านี้ลงในสมการแรกของระบบสมการเดิมจะได้ $x+210=399$ หรือ $x=189$ ดังนั้น $y-x=210-189=21$ | 21 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $w$, $x$, $y$, และ $z$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ: \begin{align*}
w+x+y &= -2, \\
w+x+z &= 4, \\
w+y+z &= 19, \text{ และ} \\
x+y+z &= 12,
\end{align*} แล้ว $wx + yz$ มีค่าเท่าใด? | นำสมการทั้งสี่มาบวกกัน จะได้ $3w+3x+3y+3z = 33 \Rightarrow w+x+y+z = 11$. นำสมการเดิมทั้งสี่ลบออกจากผลบวกนี้ จะได้: $z = 11-(-2) = 13$, $y = 11-4 = 7$, $x = 11-19 = -8$, และ $w = 11-12 = -1$ ตามลำดับ ดังนั้น $wx + yz = -1\cdot-8 + 7\cdot13 = 8+91 = \boxed{99}$ | 99 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ระยะห่างระหว่างจุด $(2a, a-4)$ และ $(4, -1)$ มีค่า $2\sqrt{10}$ หน่วย จงหาผลคูณของค่า $a$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | จากสูตรระยะทาง ระยะห่างจาก $(2a, a-4)$ ถึง $(4, -1)$ คือ $\sqrt{(2a-4)^2+((a-4)-(-1))^2}$. กำหนดให้เท่ากับ $2\sqrt{10}$ เราจะได้ \begin{align*}
(2a-4)^2+(a-3)^2 &= \sqrt{40}^2\\
4a^2-16a+16+a^2-6a+9&= 40\\
5a^2-22a-15&=0\\
(a-5)(5a+3)&=0
\end{align*}ค่า $a$ ที่เป็นไปได้คือ $5$ และ $-\frac{3}{5}$ ดังนั้น คำตอบคือ $5\times-\frac{3}{5}=\boxed{-3}$. | -3 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ นิยามบน $2 \le x \le 10$ โดยที่ $$p(x) = \begin{cases} x + 1 &\quad \lfloor x \rfloor\text{ เป็นจำนวนเฉพาะ} \\ p(y) + (x + 1 - \lfloor x \rfloor) &\quad \text{มิฉะนั้น} \end{cases}$$ โดยที่ $y$ เป็นตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดของ $\lfloor x\rfloor.$ จงแสดงช่วงของ $p$ ในสัญกรณ์ช่วง | จากนิยามของ $p$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $x$ ใดๆ ที่ $2 \le x \le 10$ จะได้ว่า $[x+1,x+2) \subset \text{range}\,(p)$. ดังนั้น $[3,4) \cup [4,5) \cup [6,7) \cup [8,9) \subset \text{range}\,(p)$. เนื่องจากตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดของจำนวนประกอบที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $10$ คือ $5$ ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของ $p$ บนจำนวนประกอบคือ $p(10) = p(5)+1 = 7$. นอกจากนี้ เราสังเกตว่า $[5,6) \subset \text{range}\,(p)$ เนื่องจากสำหรับ $x \in [6,7)$ ใดๆ จะได้ว่า $p(x) = p(3) + (x + 1 - \lfloor x \rfloor) = 5 + x - \lfloor x \rfloor$. เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกัน จะได้ว่าช่วงของ $p$ เท่ากับ $[3,5) \cup [6,7) \cup [8,9) \cup \{7\} \cup [5,6) = \boxed{[3,7] \cup [8,9)}$. | [3,7] \cup [8,9) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ $\$$ $b$ แทน $a(b + 1) + ab$. จงหาค่าของ $(-2)$ $\$$ $3$? | $(-2)\ \$\ 3=-2(3+1)-6=-8-6=\boxed{-14}$. | -14 | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x \diamondsuit y = 3x + 5y$ สำหรับทุกค่าของ $x$ และ $y$ แล้วค่าของ $2 \diamondsuit 7$ เท่ากับเท่าใด | เราได้ว่า $2 \diamondsuit 7 = 3(2)+5(7) = 6+35 = 41$ | 41 | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
2x^2 - 3&\text{ถ้า } x\le 2, \\
ax + 4 &\text{ถ้า } x>2.
\end{cases}
\]จงหาค่า $a$ ถ้ากราฟของ $y=f(x)$ ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษ) | ถ้ากราฟของ $f$ ต่อเนื่อง กราฟของทั้งสองกรณีจะต้องมาบรรจบกันเมื่อ $x=2$ ซึ่ง (ในความหมายที่คลุมเครือ) เป็นจุดแบ่งระหว่างสองกรณี ดังนั้นเราต้องมี $2\cdot 2^2 -3 = 2a + 4.$ แก้สมการนี้จะได้ $a = \boxed{\frac{1}{2}}.$ | \frac{1}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของทุกจำนวน $x$ ที่สอดคล้องกับ $x+25/x = 10.$ | คูณทั้งสองข้างด้วย $x$ แล้วลบ $10x$ จากแต่ละข้างจะได้ $x^2 - 10 x + 25 = 0.$ พหุนามกำลังสองตัวนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(x-5)^2 = 0,$ ดังนั้น $x-5 = 0,$ และ $x=5$ เป็นคำตอบเดียว ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{5}.$
หมายเหตุ: เราอาจต้องการใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของคำตอบของพหุนามกำลังสอง $ax^2+bx+c = 0$ ให้อยู่ในรูป $-b/a,$ แต่ระวัง! ข้อเท็จจริงนั้นนับรากคู่สองครั้งสำหรับผลรวม แต่ปัญหาข้อนี้มีการนับเพียงครั้งเดียว เนื่องจาก $x=5$ เป็นคำตอบเดียวเท่านั้น. | 5 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ตัวแปร $a$ และ $b$ มีค่าเป็นสัดส่วนผกผันกัน เมื่อผลรวมของ $a$ และ $b$ เท่ากับ 24 ผลต่างของ $a$ และ $b$ เท่ากับ 6 จงหาค่าของ $b$ เมื่อ $a$ เท่ากับ 5 | เราทราบว่าเมื่อ $a+b=24$, $a-b=6$ การบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ $2a=30$ หรือ $a=15$ และการลบสมการที่สองจากสมการแรกจะได้ $2b=18$ หรือ $b=9$ เนื่องจาก $a$ และ $b$ มีค่าเป็นสัดส่วนผกผันกัน ผลคูณ $ab$ จะมีค่าคงที่เสมอ เรียกค่าคงที่นี้ว่า $C$ จากค่าของ $a$ และ $b$ ที่เราได้รับ เราทราบว่า $C=ab=(15)(9)=135$ เพื่อหาค่าของ $b$ เมื่อ $a=5$ เราแก้สมการ $(5)(b)=135$ ซึ่งจะได้ $b=\boxed{27}$ | 27 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ระยะทางระหว่างจุด $(2,5)$ และ $(-6,-1)$ มีหน่วยเท่าไร | เราใช้สูตรการหาความยาวของส่วนของเส้นตรง: $\sqrt{(-6 - 2)^2 + (-1 - 5)^2},$ ดังนั้นเราจะได้ว่า $\sqrt{64 + 36} = \boxed{10}$.
- หรือ -
เราสังเกตว่าจุด $(2, 5)$, $(-6, -1)$, และ $(2, -1)$ สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 และ 8 ซึ่งเป็นสามเท่าพีทาโกรัส ดังนั้นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากต้องเท่ากับ $\boxed{10}$. | 10 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
บิลของเจนน่าถูกปรับค่าปรับล่าช้า 1% ในวันที่ 30 หลังจากวันครบกำหนด จากนั้นยอดรวมที่ได้ถูกเพิ่มขึ้นอีก 1% เนื่องจากเธอยังไม่ได้ชำระบิลในอีก 30 วันถัดไป บิลเดิมของเธอมีมูลค่า 400 ดอลลาร์ บิลตอนนี้มีมูลค่าเท่าไร | ค่าปรับล่าช้าครั้งแรกทำให้บิลมีมูลค่า $400 \cdot 1.01 = 400 + 4 = 404$ ดอลลาร์ ค่าปรับล่าช้าครั้งที่สองทำให้บิลมีมูลค่า $404 \cdot 1.01 = 404 + 4.04 = \boxed{408.04}$ ดอลลาร์
-OR-
การเพิ่มขึ้นแต่ละครั้งคูณบิลด้วย $1+1\%=1.01$ ดังนั้นบิลสุดท้ายของเธอมีมูลค่า $\$400(1.01)^2=\$408.04$. | 408.04 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ที่โรงเรียนวิชาการ เพื่อที่จะผ่านการทดสอบพีชคณิต คุณต้องได้คะแนนอย่างน้อย $80\%$. ถ้ามี 35 ข้อในข้อสอบ ข้อมากที่สุดที่คุณสามารถพลาดได้และยังผ่านอยู่คือเท่าไร? | ถ้าคุณต้องได้คะแนนอย่างน้อย $80 \%$, คุณจึงไม่สามารถพลาดได้มากกว่า $20 \% = 1/5$ ของข้อปัญหา $1/5$ ของ $35$ เท่ากับ $7$ ดังนั้นคุณสามารถพลาดได้มากที่สุด $\boxed{7}$ ข้อและยังผ่านอยู่ | 7 | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x = \frac13$, $y = \frac23$, และ $z = -9$ จงหาค่าของ $x^2y^3z$ | เราคำนวณได้ว่า \[x^2 y^3 z = \left(\frac13\right)^2 \left(\frac23\right)^3(-9) = \frac{1}{9}\cdot \frac{8}{27}\cdot (-9) = -\frac{8}{27}\left(\frac19\cdot 9\right) = \boxed{-\frac{8}{27}}.\] | -\frac{8}{27} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในเกม Frood การทิ้ง Frood $n$ ตัวจะได้คะแนนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก $n$ ตัวแรก ตัวอย่างเช่น การทิ้ง Frood ห้าตัวจะได้คะแนน $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ คะแนน การกิน Frood $n$ ตัวจะได้ $10n$ คะแนน ตัวอย่างเช่น การกิน Frood ห้าตัวจะได้ $10(5) = 50$ คะแนน จำนวน Frood น้อยที่สุดที่ต้องทิ้งเพื่อให้ได้คะแนนมากกว่าการกินคือเท่าไร? | การทิ้ง Frood $n$ ตัวจะได้ $1 + 2 +\ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ คะแนน การกิน Frood $n$ ตัวจะได้ $10n$ คะแนน ดังนั้นเราต้องการหา $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $\frac{n(n+1)}{2} > 10n$ แก้สมการจะได้ว่า $n > 19$ ดังนั้น $n = \boxed{20}$ เป็นคำตอบที่ต้องการ | 20 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของ $\left(\dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^4$ คือเท่าใด | อนุกรมเรขาคณิต 4 พจน์นี้ มีพจน์แรก $a_0 = \frac13$ และอัตราส่วน $r=\frac13$ ดังนั้นค่าของอนุกรมคือ \begin{align*}
\dfrac{\dfrac13\left(1-\left(\dfrac13\right)^{4}\right)}{1-\frac13} &= \dfrac{\dfrac13(1-\left(\dfrac13\right)^{4})}{\dfrac23}\\
&=\dfrac12\left(1-\left(\dfrac13\right)^{4}\right)\\
&=\dfrac12\left(\dfrac{80}{81}\right)\\
&=\boxed{\dfrac{40}{81}}.
\end{align*} | \dfrac{40}{81} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
อัตราส่วนของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปคือ $\frac{192}{80}$ หลังจากทำให้รากที่สองของส่วนของตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม อัตราส่วนของความยาวด้านของมันสามารถแสดงในรูปอย่างง่าย $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม ค่าของผลรวม $a+b+c$ คือเท่าใด | เราเริ่มต้นด้วยการทำให้อัตราส่วน $\frac{192}{80}$ ง่ายขึ้นเป็น $\frac{12}{5}$ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับความยาวด้านยกกำลังสอง ดังนั้นเราสามารถหาอัตราส่วนของความยาวด้านโดยการหาค่ารากที่สองของอัตราส่วนของพื้นที่: $$\sqrt{\frac{12}{5}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}.$$ดังนั้นคำตอบของเราคือ $2+15+5=\boxed{22}$ ถ้าคุณเริ่มต้นด้วยการหาค่ารากที่สองของ $\frac{192}{80}$ โดยตรงโดยไม่ต้องทำให้เป็นจำนวนเต็มก่อน คุณก็จะได้คำตอบเดียวกัน $$\sqrt{\frac{192}{80}}=\frac{\sqrt{192}}{\sqrt{80}}=\frac{8\sqrt{3}}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}.$$ | 22 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการกำลังสอง $x^2+mx+n=0$ มีรากที่เป็นสองเท่าของรากของ $x^2+px+m=0,$ และไม่มี $m,$ $n,$ หรือ $p$ ใดเป็นศูนย์ ค่าของ $n/p$ เท่ากับเท่าใด | ให้ $r_1$ และ $r_2$ เป็นรากของ $x^2+px+m=0.$ เนื่องจากรากของ $x^2+mx+n=0$ เป็น $2r_1$ และ $2r_2$ เราได้ความสัมพันธ์ดังนี้: \[
m=r_1 r_2,\quad n=4r_1 r_2,\quad p=-(r_1+r_2), \quad\text{and}\quad
m=-2(r_1+r_2).
\] ดังนั้น \[
n = 4m, \quad p = \frac{1}{2}m,
\quad\text{and}\quad
\frac{n}{p}=\frac{4m}{\frac{1}{2}m}=\boxed{8}.
\]
อีกวิธีหนึ่ง รากของ \[
\left(\frac{x}{2}\right)^2 + p\left(\frac{x}{2}\right) + m = 0
\] เป็นสองเท่าของรากของ $x^2 + px + m = 0.$ เนื่องจากสมการแรกเทียบเท่ากับ $x^2 + 2px + 4m = 0,$ เราได้ \[
m = 2p \quad\text{and}\quad n = 4m, \quad\text{so}\quad \frac{n}{p} = \boxed{8}.\] | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
\frac{x}{21} & \text{ ถ้า }x\text{ หารด้วย 3 และ 7 ลงตัว}, \\
3x & \text{ ถ้า }x\text{ หารด้วย 7 ลงตัว}, \\
7x & \text{ ถ้า }x\text{ หารด้วย 3 ลงตัว}, \\
x+3 & \text{ ถ้า }x\text{ ไม่หารด้วย 3 หรือ 7 ลงตัว}.
\end{array}
\right.\]ถ้า $f^a(x)$ หมายถึงฟังก์ชันซ้อนกัน $a$ ครั้ง (ตัวอย่างเช่น $f^2(x)=f(f(x))$), จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $a$ ที่มากกว่า 1 ซึ่งทำให้ $f(2)=f^a(2)$ | เนื่องจาก 2 ไม่หารด้วย 3 หรือ 7 ลงตัว ดังนั้น $f(2)=2+3=5$ และเราต้องการหา $a$ ที่ทำให้ $f^a(2)=5$ ดังนั้นเราติดตามว่าเราประเมิน $f$ ของผลลัพธ์ก่อนหน้าของเราเป็นจำนวนครั้งเท่าใด จนกว่าจะได้ 5. \begin{align*}
f(2)&=5\\
f(f(2))&=f(5)=5+3=8 \qquad 5 \text{ ไม่หารด้วย 3 หรือ 7 ลงตัว.}\\
f(f(f(2)))&=f(8)=8+3=11 \qquad 8 \text{ ไม่หารด้วย 3 หรือ 7 ลงตัว.}\\
f^4(2)&=11+3=14 \qquad 11 \text{ ไม่หารด้วย 3 หรือ 7 ลงตัว.}\\
f^5(2)&=3\cdot14=42 \qquad 14 \text{ หารด้วย 7 ลงตัว.}\\
f^6(2)&=\frac{42}{21}=2 \qquad 42 \text{ หารด้วย 3 และ 7 ลงตัว.}\\
f^7(2)&=2+3=5 \qquad 2 \text{ ไม่หารด้วย 3 หรือ 7 ลงตัว.}
\end{align*}ดังนั้นค่า $a>1$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $f^a(2)=f(2)$ คือ $a=\boxed{7}$. | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-3,5)$ และ $(2,-5)$ | เราได้ว่า $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} = \dfrac{-5-5}{2-(-3)} = \dfrac{-10}{5} = \boxed{-2}$. | -2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้าเราแสดง $2x^2 + 6x + 11$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้ว $h$ มีค่าเท่าใด | เราเติมกำลังสอง ก่อนอื่น เราแยก 2 ออกจากพจน์ $2x^2 + 6x$ เพื่อให้ได้ $2(x^2 + 3x)$ เราสามารถยกกำลังสองของ $x + 3/2$ เพื่อให้ได้ $x^2 + 3x + 9/4$ ดังนั้น $h = \boxed{-\frac{3}{2}}$ | -\frac{3}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่มีหลักรวมกันเท่ากับ 11 และเรียงลำดับจากน้อยไปมาก: $29, 38, 47, ...$ จำนวนที่ 11 ในรายการนี้คือจำนวนใด | เพื่อสร้างจำนวน 2 หลักถัดไปในรายการนี้ เราเพียงเพิ่มหลักสิบของจำนวนปัจจุบันขึ้น 1 และลดหลักหน่วยลง 1 ดังนั้น จำนวนที่ 8 ในรายการจะเป็น 92 จำนวน 3 หลักแรกคือ 119 ซึ่งเป็นจำนวนที่ 9 ในรายการ ต่อไปตามรูปแบบเดิม จำนวนที่ 10 คือ 128 และจำนวนที่ 11 คือ $\boxed{137}$ | 137 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ (2,3) และ (7,15) มีความยาวเท่าไร | เราใช้สูตรระยะทาง: \[\sqrt{(7 - 2)^2 + (15 - 3)^2} = \sqrt{25 + 144} = \boxed{13}.\]
- หรือ -
เราสังเกตว่าจุด (2, 3), (7, 15) และ (7, 3) สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 5 และ 12 ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\boxed{13}$. | 13 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\displaystyle\frac{235^2-221^2}{14}$ | เคล็ดลับของโจทย์ข้อนี้คือการสังเกตว่า $235^2 - 221^2$ สามารถแยกตัวประกอบเป็น $(235+221)(235-221)$ ดังนั้นเศษส่วนของเราจะกลายเป็น $\frac{(235+221)(235-221)}{14} = \frac{456 \cdot 14}{14}$ ซึ่งจะ सरุปเป็น $\boxed{456}$ | 456 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แต่ละเล่มในสิบเล่มของผลงานที่รวบรวมของธีโอดอร์ สเตอร์จอน มีจำหน่ายในรูปแบบปกอ่อนราคา $\$$15 หรือปกแข็งราคา $\$$25 เทอเรซาซื้อหนังสือแต่ละเล่มจากสิบเล่มนี้ทั้งหมดเป็นเงิน $\$$220 เธอซื้อเล่มปกแข็งกี่เล่ม? | สมมติว่าเธอซื้อเล่มปกแข็ง $h$ เล่ม และเล่มปกอ่อน $p$ เล่ม เธอซื้อหนังสือทั้งหมด 10 เล่ม ดังนั้น $h+p=10$ ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเธอ $25h+15p$ เท่ากับ $220 หรือหารด้วย 5 ได้ $5h+3p=44$ คูณสมการแรกด้วย 3 และลบออกจากสมการที่สอง เราได้ $5h-3h+3p-3p=2h=44-30=14$ หรือ $h=\boxed{7}$ | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้ทำให้ง่ายขึ้น: $(9x^9+7x^8+4x^7) + (x^{11}+x^9+2x^7+3x^3+5x+8).$ แสดงคำตอบในรูปของพหุนามโดยมีดีกรีของพจน์เรียงตามลำดับจากมากไปน้อย | เรามี \begin{align*}
&(9x^9+7x^8+4x^7) + (x^{11}+x^9+2x^7+3x^3+5x+8)\\
&=x^{11}+(9+1)x^9+7x^8+(4+2)x^7+3x^3+5x+8\\
&=\boxed{x^{11}+10x^9+7x^8+6x^7+3x^3+5x+8}\\
\end{align*} | x^{11}+10x^9+7x^8+6x^7+3x^3+5x+8 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดส่วนหนึ่งของกราฟของฟังก์ชัน $y=E(x)$ ดังนี้:
[asy]
import graph; size(8cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-4.5,xmax=4.5,ymin=-0.99,ymax=6.5;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return sqrt(abs(x+1))+(9/pi)*atan(sqrt(abs(x)));}
draw(graph(f1,xmin,xmax),linewidth(1));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
label("$y=E(x)$",(xmax+0.25,f1(xmax)),E);
[/asy]
ค่าของ $E(3)$ เป็นจำนวนเต็ม ค่าของ $E(3)$ คือเท่าใด | จุด $(3,5)$ อยู่บนกราฟ นั่นหมายความว่า $E(3)=\boxed{5}$ | 5 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x+y = 6$ และ $x^2-y^2 = 12$ แล้ว $x-y$ มีค่าเท่าไร? | เนื่องจากเราสามารถเขียนได้ว่า $12 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 6(x-y)$ ดังนั้น $x-y = oxed{2}$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $\left\lfloor |{-34.1}|\right\rfloor$. | เรามี $|{-34.1}| = 34.1$ ดังนั้น $\lfloor |{-34.1}|\rfloor = \lfloor 34.1\rfloor = 34$ | 34 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_3 27\sqrt3$ และแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนเกิน | เรามี $ 27\sqrt3 = (3^3)(3^\frac12)=3^{(3+\frac12)}=3^{\frac72}$. ดังนั้น $\log_3 27\sqrt3=\boxed{\frac72}$. | \frac72 | [
"ประยุกต์"
] |
ค่า $x$ ใดทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง: $$2x + 4 = |{-17 + 3}|$$ | สังเกตว่า $|{-17 + 3}| = |{-14}| = 14$. ดังนั้นเราต้องแก้สมการ $2x + 4 = 14$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $2x = 10$ หรือ $x = \boxed{5}$ | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินผลคูณ \[ (a-10) \cdot (a-9) \cdot \dotsm \cdot (a-1) \cdot a, \] เมื่อ $a=2$. | สังเกตว่า $a-2 = 0$ เนื่องจาก $a = 2$ ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการคือ \[ (a -10) \dotsm (a-3) \cdot (a-2) \cdot (a-1) \cdot a = (a-10) \dotsm (a-3) \cdot 0 \cdot (a-1) \cdot a, \] ซึ่งมีค่าเท่ากับ $\boxed{0}$ เนื่องจากศูนย์คูณด้วยจำนวนจริงใดๆ จะเท่ากับศูนย์ | 0 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(-3, -4)$ และ $(4, -5)$ ในหน่วย โดยแสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | เราใช้สูตรการหาความยาวระหว่างจุด: \begin{align*}
\sqrt{(4 - (-3))^2 + ((-5) - (-4))^2} &= \sqrt{7^2 + (-1)^2} \\
&= \sqrt{49 + 1} \\
&= \sqrt{50} \\
&= \boxed{5\sqrt{2}}.
\end{align*} | 5\sqrt{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แครอลขับรถอย่างต่อเนื่องตั้งแต่เวลา 09:40 น. จนถึง 13:20 น. ของวันเดียวกัน และครอบคลุมระยะทาง 165 ไมล์ เธอมีอัตราเร็วเฉลี่ยเท่าไรในหน่วยไมล์ต่อชั่วโมง | อัตราเร็วเฉลี่ยถูกนิยามว่าเป็นระยะทางที่เดินทางหารด้วยเวลาที่เดินทาง แครอลขับรถ 165 ไมล์ใน $3\frac{40}{60}=3\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$ ชั่วโมง ดังนั้นอัตราเร็วเฉลี่ยของเธอคือ $\frac{165}{\frac{11}{3}}=3\cdot15=\boxed{45}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | 45 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
อัลลีและเบ็ตตี้เล่นเกมโดยผลัดกันทอยลูกเต๋า 6 หน้า ถ้าผู้เล่นทอยได้ $n$ เธอจะได้รับ $f(n)$ คะแนน โดยที่ \[f(n) = \left\{
\begin{array}{cl} 6 & \text{ if }n\text{ is a multiple of 2 and 3}, \\
2 & \text{ if }n\text{ is only a multiple of 2}, \\
0 & \text{ if }n\text{ is not a multiple of 2}.
\end{array}
\right.\]อัลลีทอยลูกเต๋า 4 ครั้งและได้ 5, 4, 1 และ 2 เบ็ตตี้ทอยและได้ 6, 3, 3 และ 2 ผลคูณของคะแนนรวมของอัลลีและเบ็ตตี้คือเท่าไร? | สำหรับอัลลี 5 และ 1 ทำให้เธอไม่ได้คะแนนเนื่องจากไม่ใช่พหุคูณของ 2 ในขณะที่ 4 และ 2 เป็นพหุคูณของ 2 และแต่ละอันทำให้เธอได้ 2 คะแนน รวมเป็น 4 คะแนน สำหรับเบ็ตตี้ 3 และ 3 ทำให้เธอไม่ได้คะแนน 2 ทำให้เธอได้ 2 คะแนน และ 6 เป็นพหุคูณของ 2 และ 3 ดังนั้นจึงทำให้เธอได้ 6 คะแนน ดังนั้นเบ็ตตี้มีคะแนนรวม 8 คะแนน และผลคูณของคะแนนรวมของอัลลีและเบ็ตตี้คือ $4\cdot8=\boxed{32}$ | 32 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $1-iz = -1 + iz$ (โดยที่ $i^2 = -1$) เพื่อหาค่า $z$ และทำให้ง่ายที่สุด | $1 - iz = -1 + iz \Rightarrow 2 = 2iz \Rightarrow z = \frac{1}{i}$. คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย $-i$ เราได้ $z = \frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{1} = \boxed{-i}$. | -i | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ $x(x+2)+(x+2)$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x+2$ ออกจากแต่ละเทอมได้: \begin{align*}
x(x+2)+(x+2) &= x \cdot (x+2)+1 \cdot (x+2)\\
&= \boxed{(x+1)(x+2)}
\end{align*} | (x+1)(x+2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนจริง $p>1$ และ $q>1$ ที่ทำให้ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ และ $pq = 4$ จงหาค่าของ $q$ | แก้สมการ $pq = 4$ เพื่อหาค่า $p$ เราจะได้ $p = \frac{4}{q}$ แทนค่านี้ลงใน $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ เราจะได้ \[ \frac{q}{4} + \frac{1}{q} = 1 \Rightarrow q^2 - 4q +4 = 0 .\] แยกตัวประกอบสมการนี้ เราจะได้ \[ (q-2)(q-2) = 0 \] ซึ่งหมายความว่า $q = \boxed{2}$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กองซุงมีซุง 12 ก้อนที่แถวล่างสุด และแถวถัดไปมีซุงน้อยลง 1 ก้อน จนถึงแถวบนสุดที่มีซุง 3 ก้อน มีซุงทั้งหมดกี่ก้อนในกอง? | เราสามารถบวก $3+4+\cdots+12$ ด้วยตนเอง หรือใช้สูตรสำหรับผลรวมของอนุกรมเลขคณิต เราคูณค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย $\frac{3+12}{2}$ ด้วยจำนวนพจน์ $12-3+1=10$ ค่าของผลรวมคือ $\frac{15}{2}\cdot10=15\cdot5=75$ ดังนั้นมี $\boxed{75}$ ก้อนในกองซุง | 75 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $\sqrt{10p} \cdot \sqrt{5p^2} \cdot \sqrt{6p^4}$ . จงแสดงคำตอบในรูปของรากที่ง่ายที่สุดในรูปของ $p$.
หมายเหตุ: เมื่อป้อนรากที่สองที่มีตัวอักษรมากกว่าหนึ่งตัว คุณต้องใช้วงเล็บหรือวงเล็บเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น คุณควรป้อน $\sqrt{14}$ เป็น "sqrt(14)" หรือ "sqrt{14}". | เขียนทุกอย่างในรูปของการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ การแสดงออกที่กำหนดคือ \begin{align*}
\sqrt{2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot p^7} &= \sqrt{(2^2 \cdot 5^2 \cdot p^6) \cdot (3 \cdot p)} \\
&= \boxed{10p^3 \sqrt{3p}}.
\end{align*} | 10p^3 \sqrt{3p} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $\lfloor{\sqrt{x}}\rfloor=6$ มีจำนวนเต็ม $x$ ที่เป็นไปได้กี่จำนวน? | เนื่องจาก $\lfloor{\sqrt{x}}\rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $\sqrt{x}$ ค่า $x$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ $6^2$ หรือ $36$ จำนวนเต็มถัดไปที่มากกว่า $6$ คือ $7$ ดังนั้นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด (มากกว่า $36$) ที่ไม่ทำให้ $\lfloor{\sqrt{x}}\rfloor=6$ คือ $7^2$ หรือ $49$ ดังนั้นจำนวนเต็มใดๆ ที่อยู่ในช่วง $36\le{x}<49$ จะเป็นค่า $x$ ที่เป็นไปได้ เนื่องจากมีจำนวน 13 จำนวนในช่วงนี้ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{13}$ | 13 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่สอดคล้องกับอสมการ $-8\pi\le n\le10\pi$ | จำนวน $\pi$ อยู่ระหว่าง $3.14$ และ $3.15$ ดังนั้น $-8\pi$ อยู่ระหว่าง $-8(3.15) = 25.2$ และ $-8(3.14) = 25.12$ เช่นเดียวกัน $10\pi$ อยู่ระหว่าง $31.4$ และ $31.5$ ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะสรุปได้ว่าจำนวนเต็ม $n$ ที่อยู่ระหว่าง $-8\pi$ และ $10\pi$ คือ $$-25, -24, -23, -22, \ldots, 28, 29, 30, 31.$$ มีจำนวนเต็มลบ $25$ จำนวนในรายการนี้ จำนวนเต็มบวก $31$ จำนวน และจำนวนเต็มอีก $1$ จำนวน ($0$) รวมเป็น $\boxed{57}$ จำนวน | 57 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ $5=\frac{x^3-2x^2-8x}{x+2}$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x$ ออกจากตัวเศษ เพื่อให้เหลือ $$\frac{x(x^2-2x-8)}{x+2}=\frac{x(x-4)(x+2)}{x+2}$$หลังจากยกเลิก $x+2$ จากตัวเศษและตัวส่วนแล้ว เราจะได้ $x(x-4)=5$. แก้สมการกำลังสองนี้ เราจะได้ $x^2-4x-5=0$ ซึ่งจะให้ $(x-5)(x+1)=0$ และ $x=5$ หรือ $x=-1$ ผลรวมของค่าเหล่านี้คือ $\boxed{4}$ ซึ่งเป็นคำตอบของเรา
หรืออีกวิธีหนึ่ง เนื่องจากผลรวมของคำตอบสำหรับสมการกำลังสองที่มีสมการ $ax^2+bx+c=0$ คือ $-b/a$ ผลรวมของศูนย์ของสมการกำลังสอง $x^2-4x-5$ คือ $4/1=\boxed{4}$ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดตัดของเส้นตรง $9x-4y=30$ และ $7x+y=11$ แสดงคำตอบในรูปของลำดับคู่ $(x,y)$ | เราสามารถหาค่า $x$ ได้โดยนำสมการที่สองคูณด้วย 4 แล้วบวกกับสมการแรก: $$4(7x+y)+(9x-4y)=28x+9x=37x=4(11)+30=74\implies x=2.$$แทนค่า $x=2$ ลงในสมการที่สองเพื่อหาค่า $y$: $$7x+y=11\implies y=11-7x=11-7(2)=-3.$$ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{(2,-3)}.$ | (2,-3) | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
โจเอาจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 100 มารวมกัน เคททำแบบเดียวกันกับจำนวนเต็มบวก 100 ตัวแรก แต่เธอจะปัดเศษทุกจำนวนให้เป็นทวีคูณที่ใกล้เคียงที่สุดของ 10 (ปัดเศษ 5 ขึ้น) ก่อน จากนั้นจึงนำค่า 100 ค่ามารวมกัน ผลต่างบวกระหว่างผลบวกของโจกับผลบวกของเคทเท่าไร | พิจารณาตัวเลข $1, 2, 3,..., 10$. โจจะบวกจำนวนเต็มเหล่านี้ตามที่เป็นอยู่ ในขณะที่เคทจะปัดเศษสี่ตัวแรกลงเป็น 0 ลดผลบวกของเธอลง $1+2+3+4=10$ และจะปัดเศษหกตัวสุดท้ายขึ้นเป็น 10 เพิ่มผลบวกของเธอขึ้น $5+4+3+2+1+0=15$ ดังนั้นผลบวกของเธอมากกว่าผลบวกของโจ 5 สำหรับตัวเลข $1, 2, 3,..., 10$ ตรรกะเดียวกันนี้ใช้กับตัวเลข $11, 12, 13,..., 20$ ด้วย และโดยทั่วไปใช้กับทุกสิบตัวเลขที่มากกว่า 20 เนื่องจากมีสิบชุดของสิบตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 ผลบวกของเคทมากกว่าผลบวกของโจ $10 \cdot 5 = \boxed{50}$ | 50 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาขอบเขตของนิพจน์ $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{5-x}}$. | นิพจน์ภายในรากที่สองแต่ละตัวต้องไม่เป็นลบ ดังนั้น $x-2 \ge 0$ ดังนั้น $x\ge2$ และ $5 - x \ge 0$ ดังนั้น $x \le 5$ นอกจากนี้ ตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้น $5-x>0$ ซึ่งจะได้ $x<5$ ดังนั้น ขอบเขตของนิพจน์คือ $\boxed{[2,5)}$. | [2,5) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของส่วนกลับของรากของ $x^2-13x+4=0$. | ให้ $r_1$ และ $r_2$ เป็นรากของพหุนามนี้ ดังนั้น $r_1+r_2=13$ และ $r_1r_2=4$. สังเกตว่าผลบวกของส่วนกลับของรากสามารถหาได้โดยการหารสมการแรกด้วยสมการที่สอง: $\frac{r_1+r_2}{r_1r_2}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}=\boxed{\frac{13}{4}}$. | \frac{13}{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $\#N$ โดยสูตร $\#N = .5(N) + 1$ จงคำนวณ $\#(\#(\#50))$ | เราได้ \begin{align*}
\#(\#(\#50))&=\#(\#(.5(50)+1))=\#(\#(26))\\
&=\#(.5(26)+1)=\#(14)=(.5(14)+1)=\boxed{8}.
\end{align*} | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เมื่อเฟรเดอริกเกิด ปู่ย่าตายายของเขาให้ของขวัญเป็นเงิน $\$2000 ซึ่งถูกฝากไว้ในบัญชีที่ให้ดอกเบี้ยร้อยละ $5$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายปี เฟรเดอริกจะมีเงินเท่าไรเมื่อเขาไปรับเงินเมื่ออายุ $18$ ปี? ให้คำตอบของคุณเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | การเติบโตร้อยละห้าหมายถึงการคูณด้วย $1+5\%=1.05$ ดังนั้น จำนวนเงินที่เฟรเดอริกจะมีใน $18$ ปี คือ $2000(1+.05)^{18}=\boxed{\$4813.24}$ | \$4813.24 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.