Vikhrmodels/programming_books_rus · Datasets at Hugging Face

text stringlengths 0 1.95k

нения зависит от числа 𝑛 вершин и 𝑚 ребер в графе.

RAM-машина. Для подсчета числа операций, выполняемых алгорит-
мом, необходимо формально описать систему команд некоторого исполни-
теля. В качестве такого исполнителя будем использовать модель однопро-
цессорной вычислительной машины с произвольным доступом к памяти
(Random Access Machine — RAM) [1, 2]. Условимся, что машина обладает
неограниченной памятью и функционирует по следующим правилам:

– для выполнения арифметических и логических операций (+, −, *, /, %)

требуется один временной шаг (такт процессора);

– каждое обращение к ячейке в оперативной памяти для чтения или

записи занимает один временной шаг;

– выполнение условного перехода (𝑖𝑓 -𝑡ℎ𝑒𝑛-𝑒𝑙𝑠𝑒) требует вычисления ло-

гического выражения и выполнения одной из ветвей 𝑖𝑓 -𝑡ℎ𝑒𝑛-𝑒𝑙𝑠𝑒;

– выполнение цикла (𝑓 𝑜𝑟, 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝑑𝑜) подразумевает выполнение всех его

1.3. Подсчет числа операций алгоритма

13

итераций, в свою очередь, выполнение каждой итерации требует вы-
числения условия завершения цикла и выполнение его тела.

Пример. Суммирование элементов массива. Вычислим количество
операций алгоритма SUMARRAY, реализующего вычисление суммы 𝑛 эле-
ментов массива.

𝑠𝑢𝑚 = 0
for 𝑖 = 1 to 𝑛 do

Алгоритм 1.2. Суммирование элементов массива
1 function SUMARRAY(𝑎[1..𝑛])
2
3
4
5
6
7 end function

end for
return 𝑠𝑢𝑚

𝑠𝑢𝑚 = 𝑠𝑢𝑚 + 𝑎[𝑖]

Время работы алгоритма SUMARRAY зависит только от размера 𝑛 массива.
В строке 2 выполняется одна операция записи в память. Далее, перед вы-
полнением каждой из 𝑛 итераций цикла происходят проверка условия его
окончания 𝑖 = 𝑛 и переход на строку 4 или 6. На каждой итерации в стро-
ке 4 выполняется четыре операции: чтение из памяти значений 𝑠𝑢𝑚 и 𝑎[𝑖],
их сложение и запись результата в память. В конце алгоритма выполня-
ется возврат результирующего значения – одна операция. Таким образом,
количество операций 𝑇 (𝑛), выполняемых алгоритмом SUMARRAY, есть

𝑇 (𝑛) = 4𝑛 + 2.

Далее мы убедимся, что такой точный анализ числа операций алгоритма
во многих случаях не требуется. Достаточно ограничиться подсчетом лишь
тех операций, суммарное количество которых зависит от размера входных
данных. Так, в алгоритме SUMARRAY строки 2 и 6 не имеют значимого
влияния на итоговое время выполнения, которое фактически определяется
только операциями в строке 4.

При анализе вычислительной сложности алгоритмов мы будем игно-
рировать операции, связанные с проверкой условия окончания цикла 𝑓 𝑜𝑟 и
автоматическим увеличением его счетчика.

Пример. Линейный поиск. Существует большое количество алго-
ритмов, время выполнения которых зависит не только от размера входных
данных, но и от их значений. В качестве примера рассмотрим алгоритм
LINEARSEARCH линейного поиска заданного значения 𝑥 в массиве из 𝑛 эле-
ментов.

Количество операций алгоритма LINEARSEARCH может существенно
различаться для одного и того же размера 𝑛 входных данных. Рассмот-
рим три возможных случая.

14

Глава 1. Алгоритмы и их эффективность

for 𝑖 = 1 to 𝑛 do

Алгоритм 1.3. Линейный поиск
1 function LINEARSEARCH(𝑎[1..𝑛], 𝑥)
2
3
4
5
end for
6
return −1
7

нения зависит от числа 𝑛 вершин и 𝑚 ребер в графе.

RAM-машина. Для подсчета числа операций, выполняемых алгорит-

мом, необходимо формально описать систему команд некоторого исполни-

теля. В качестве такого исполнителя будем использовать модель однопро-

цессорной вычислительной машины с произвольным доступом к памяти

(Random Access Machine — RAM) [1, 2]. Условимся, что машина обладает

неограниченной памятью и функционирует по следующим правилам:

– для выполнения арифметических и логических операций (+, −, *, /, %)

требуется один временной шаг (такт процессора);

– каждое обращение к ячейке в оперативной памяти для чтения или

записи занимает один временной шаг;

– выполнение условного перехода (𝑖𝑓 -𝑡ℎ𝑒𝑛-𝑒𝑙𝑠𝑒) требует вычисления ло-

гического выражения и выполнения одной из ветвей 𝑖𝑓 -𝑡ℎ𝑒𝑛-𝑒𝑙𝑠𝑒;

– выполнение цикла (𝑓 𝑜𝑟, 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝑑𝑜) подразумевает выполнение всех его

1.3. Подсчет числа операций алгоритма

13

итераций, в свою очередь, выполнение каждой итерации требует вы-

числения условия завершения цикла и выполнение его тела.

Пример. Суммирование элементов массива. Вычислим количество

операций алгоритма SUMARRAY, реализующего вычисление суммы 𝑛 эле-

ментов массива.

𝑠𝑢𝑚 = 0

for 𝑖 = 1 to 𝑛 do

Алгоритм 1.2. Суммирование элементов массива

1 function SUMARRAY(𝑎[1..𝑛])

2

3

4

5

6

7 end function

end for

return 𝑠𝑢𝑚

𝑠𝑢𝑚 = 𝑠𝑢𝑚 + 𝑎[𝑖]

Время работы алгоритма SUMARRAY зависит только от размера 𝑛 массива.

В строке 2 выполняется одна операция записи в память. Далее, перед вы-

полнением каждой из 𝑛 итераций цикла происходят проверка условия его

окончания 𝑖 = 𝑛 и переход на строку 4 или 6. На каждой итерации в стро-

ке 4 выполняется четыре операции: чтение из памяти значений 𝑠𝑢𝑚 и 𝑎[𝑖],

их сложение и запись результата в память. В конце алгоритма выполня-

ется возврат результирующего значения – одна операция. Таким образом,

количество операций 𝑇 (𝑛), выполняемых алгоритмом SUMARRAY, есть

𝑇 (𝑛) = 4𝑛 + 2.

Далее мы убедимся, что такой точный анализ числа операций алгоритма

во многих случаях не требуется. Достаточно ограничиться подсчетом лишь

тех операций, суммарное количество которых зависит от размера входных

данных. Так, в алгоритме SUMARRAY строки 2 и 6 не имеют значимого

влияния на итоговое время выполнения, которое фактически определяется

только операциями в строке 4.

При анализе вычислительной сложности алгоритмов мы будем игно-

рировать операции, связанные с проверкой условия окончания цикла 𝑓 𝑜𝑟 и

автоматическим увеличением его счетчика.

Пример. Линейный поиск. Существует большое количество алго-

ритмов, время выполнения которых зависит не только от размера входных

данных, но и от их значений. В качестве примера рассмотрим алгоритм

LINEARSEARCH линейного поиска заданного значения 𝑥 в массиве из 𝑛 эле-

ментов.

Количество операций алгоритма LINEARSEARCH может существенно

различаться для одного и того же размера 𝑛 входных данных. Рассмот-

рим три возможных случая.

14

Глава 1. Алгоритмы и их эффективность

for 𝑖 = 1 to 𝑛 do

Алгоритм 1.3. Линейный поиск

1 function LINEARSEARCH(𝑎[1..𝑛], 𝑥)

2

3

4

5

end for

6

return −1

7