Vikhrmodels/programming_books_rus · Datasets at Hugging Face

text stringlengths 0 1.95k
8 end function

if 𝑎[𝑖] = 𝑥 then
return 𝑖

end if

Лучший случай (best case) – экземпляр задачи (набор входных дан-
ных), на котором алгоритм выполняет наименьшее число операций. В на-
шем примере – входной массив, первый элемент которого содержит иско-
мое значение 𝑥. В этой ситуации требуется выполнить

𝑇𝐵𝑒𝑠𝑡(𝑛) = 3

операции: проверка условия окончания цикла, условие в цикле (строка 3)
и возврат найденного значения (строка 4). Таким образом, время работы
алгоритма в лучшем случае – теоретическая нижняя граница времени его
работы.

Худший случай (worst case) – экземпляр задачи, на котором алгоритм
выполняет наибольшее число операций. Для рассматриваемого алгоритма
– массив, в котором отсутствует искомый элемент или он расположен в
последней ячейке. В этой ситуации требуется выполнить

𝑇𝑊 𝑜𝑟𝑠𝑡(𝑛) = 2𝑛 + 1

операций: 𝑛 раз проверить условие окончания цикла и условие в нем, за-
тем вернуть значение −1. Время работы алгоритма в худшем случае –
теоретическая верхняя граница времени его работы.

Средний случай (average case) – «средний» экземпляр задачи, набор
«усредненных» входных данных. В среднем случае оценивается математи-
ческое ожидание количества операций, выполняемых алгоритмом. Стоит
заметить, что не всегда очевидно, какие входные данные считать «усред-
ненными» для задачи. Часто делается предположение, что все наборы дан-
ных поступают на вход алгоритма с одинаковой вероятностью.

Вернемся к нашему примеру и проведем анализ его эффективности
для среднего случая. Обозначим вероятность успешного поиска элемента
в массиве через 𝑝 ∈ [0, 1]. Тогда вероятность отсутствия значения 𝑥 в
массиве равна 1 − 𝑝. Будем считать, что искомый элемент с одинаковой
вероятностью 𝑝/𝑛 может находится в любой из 𝑛 ячеек массива.

Если искомый элемент 𝑥 находится в ячейке 1, то для его поиска тре-

1.3. Подсчет числа операций алгоритма

15

буется выполнить 3 операции (проверить условие окончания цикла, усло-
вие в цикле и вернуть значение 1); если элемент находится в ячейке 2,
то требуется 5 операций, и т.д. В общем случае, если искомый элемент 𝑥
расположен в ячейке 𝑖, то это требует выполнения 2𝑖 + 1 операций.

Запишем математическое ожидание (среднее значение) числа опера-
ций, выполняемых алгоритмом. По определению, математическое ожида-
ние есть сумма произведений значения дискретной случайной величины
на вероятность принятия случайной величиной этого значения. Наша слу-
чайная величина – число операций, выполняемых алгоритмом. Как мы
условились выше, она может принимать с одинаковой вероятностью 𝑝/𝑛
следующие значения: 3, 5, . . . , (2𝑖 + 1), . . . , 2𝑛 + 1. Поэтому

𝑇𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒(𝑛) = 3

𝑝
𝑛

+ 5

𝑝
𝑛

+ · · · + (2𝑖 + 1)

𝑝
𝑛

+ · · · + (2𝑛 + 1)

𝑝
𝑛

.

В нашей оценке мы должны учесть тот факт, что искомое значение 𝑥
с вероятностью 1 − 𝑝 может отсутствовать в массиве. Тогда выражение
примет следующий вид:

𝑇𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒(𝑛) =

𝑝
𝑛

[3 + 5 + · · · + (2𝑖 + 1) + · · · + (2𝑛 + 1)] + (1 − 𝑝)(2𝑛 + 1).

Нетрудно заметить, что в квадратных скобках записана сумма членов
арифметической прогрессии (см. приложение). Вычислим ее:

𝑇𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒(𝑛) =

8 end function

if 𝑎[𝑖] = 𝑥 then

return 𝑖

end if

Лучший случай (best case) – экземпляр задачи (набор входных дан-

ных), на котором алгоритм выполняет наименьшее число операций. В на-

шем примере – входной массив, первый элемент которого содержит иско-

мое значение 𝑥. В этой ситуации требуется выполнить

𝑇𝐵𝑒𝑠𝑡(𝑛) = 3

операции: проверка условия окончания цикла, условие в цикле (строка 3)

и возврат найденного значения (строка 4). Таким образом, время работы

алгоритма в лучшем случае – теоретическая нижняя граница времени его

работы.

Худший случай (worst case) – экземпляр задачи, на котором алгоритм

выполняет наибольшее число операций. Для рассматриваемого алгоритма

– массив, в котором отсутствует искомый элемент или он расположен в

последней ячейке. В этой ситуации требуется выполнить

𝑇𝑊 𝑜𝑟𝑠𝑡(𝑛) = 2𝑛 + 1

операций: 𝑛 раз проверить условие окончания цикла и условие в нем, за-

тем вернуть значение −1. Время работы алгоритма в худшем случае –

теоретическая верхняя граница времени его работы.

Средний случай (average case) – «средний» экземпляр задачи, набор

«усредненных» входных данных. В среднем случае оценивается математи-

ческое ожидание количества операций, выполняемых алгоритмом. Стоит

заметить, что не всегда очевидно, какие входные данные считать «усред-

ненными» для задачи. Часто делается предположение, что все наборы дан-

ных поступают на вход алгоритма с одинаковой вероятностью.

Вернемся к нашему примеру и проведем анализ его эффективности

для среднего случая. Обозначим вероятность успешного поиска элемента

в массиве через 𝑝 ∈ [0, 1]. Тогда вероятность отсутствия значения 𝑥 в

массиве равна 1 − 𝑝. Будем считать, что искомый элемент с одинаковой

вероятностью 𝑝/𝑛 может находится в любой из 𝑛 ячеек массива.

Если искомый элемент 𝑥 находится в ячейке 1, то для его поиска тре-

1.3. Подсчет числа операций алгоритма

15

буется выполнить 3 операции (проверить условие окончания цикла, усло-

вие в цикле и вернуть значение 1); если элемент находится в ячейке 2,

то требуется 5 операций, и т.д. В общем случае, если искомый элемент 𝑥

расположен в ячейке 𝑖, то это требует выполнения 2𝑖 + 1 операций.

Запишем математическое ожидание (среднее значение) числа опера-

ций, выполняемых алгоритмом. По определению, математическое ожида-

ние есть сумма произведений значения дискретной случайной величины

на вероятность принятия случайной величиной этого значения. Наша слу-

чайная величина – число операций, выполняемых алгоритмом. Как мы

условились выше, она может принимать с одинаковой вероятностью 𝑝/𝑛

следующие значения: 3, 5, . . . , (2𝑖 + 1), . . . , 2𝑛 + 1. Поэтому

𝑇𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒(𝑛) = 3

𝑝

𝑛

+ 5

𝑝

𝑛

+ · · · + (2𝑖 + 1)

𝑝

𝑛

+ · · · + (2𝑛 + 1)

𝑝

𝑛

.

В нашей оценке мы должны учесть тот факт, что искомое значение 𝑥

с вероятностью 1 − 𝑝 может отсутствовать в массиве. Тогда выражение

примет следующий вид:

𝑇𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒(𝑛) =

𝑝

𝑛

[3 + 5 + · · · + (2𝑖 + 1) + · · · + (2𝑛 + 1)] + (1 − 𝑝)(2𝑛 + 1).

Нетрудно заметить, что в квадратных скобках записана сумма членов

арифметической прогрессии (см. приложение). Вычислим ее:

𝑇𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒(𝑛) =