en string | translation string | target_lang string | domain string | complexity string |
|---|---|---|---|---|
Let P(x, y) be any point on the parabola such that PF = PB,... (1) where PB is perpendicular to l. | دع P(س، ص) تكون أي نقطة على القطع المكافئ بحيث PF = PB،... (1) حيث PB عمودي على ل. | ar | technical | complex |
The coordinates of B are (– a, y). | إحداثيات B هي (– أ، ص). | ar | technical | simple |
By the distance formula, we have PF = 22 ()x – ay+ and PB = 2 ()x a+. | بواسطة صيغة المسافة، لدينا PF = 22 ()س – أي+ و PB = 2 ()س أ+. | ar | technical | moderate |
Since PF = PB, we have 222 ()()x – ayxa+=+ i.e.(x – a) 2 + y 2 = (x + a) 2 orx 2 – 2ax + a 2 + y 2 = x 2 + 2ax + a 2 ory 2 = 4ax ( a > 0). | بما أن PF = PB، لدينا 222 ()()س – أي سأ+=+ أي (س – أ) 2 + ص 2 = (س + أ) 2 أو س 2 – 2أس + أ 2 + ص 2 = س 2 + 2أس + أ 2 أو ص 2 = 4أس ( أ > 0). | ar | technical | complex |
Hence, any point on the parabola satisfies y 2 = 4ax.... (2) | وبالتالي، فإن أي نقطة على القطع المكافئ تحقق ص 2 = 4أس.... (2) | ar | technical | moderate |
Conversely, let P(x, y) satisfy the equation (2) PF= 22 ()x – ay+ = 2 ()4x – aax+ = 2 ()xa+ = PB... (3) | وعلى العكس من ذلك، دع P(س، ص) تحقق المعادلة (2) PF= 22 ()س – أي+ = 2 ()4س – أأس+ = 2 ()سأ+ = PB... (3) | ar | technical | complex |
Thus, from (2) and (3) we have proved that the equation to the parabola with vertex at the origin, focus at (a,0) and directrix x = – a is y 2 = 4ax. | وبالتالي، من (2) و (3) أثبتنا أن معادلة القطع المكافئ الذي يقع رأسه عند نقطة الأصل، وبؤرته عند (أ،0) والدليل س = – أ هي ص 2 = 4أس. | ar | technical | complex |
In equation (2), since a > 0, x can assume any positive value or zero but no negative value and the curve extends indefinitely far into the first and the fourth quadrants. | في المعادلة (2)، بما أن أ > 0، يمكن لس أن يفترض أي قيمة موجبة أو صفرًا ولكن ليس قيمة سالبة، وتمتد المنحنى إلى ما لا نهاية في الربعين الأول والرابع. | ar | technical | complex |
The axis of the parabola is the positive x-axis. | محور القطع المكافئ هو المحور السيني الموجب. | ar | technical | simple |
Similarly, we can derive the equations of the parabolas in: Fig 11.15 (b) as y 2 = – 4ax, Fig 11.15 (c) as x 2 = 4ay, Fig 11.15 (d) as x 2 = – 4 ay, | وبالمثل، يمكننا اشتقاق معادلات القطع المكافئ في: الشكل 11.15 (ب) كـ ص 2 = – 4أس، الشكل 11.15 (ج) كـ س 2 = 4أي، الشكل 11.15 (د) كـ س 2 = – 4 أي، | ar | technical | moderate |
These four equations are known as standard equations of parabolas. | تُعرف هذه المعادلات الأربع باسم المعادلات القياسية للقطع المكافئ. | ar | technical | simple |
Parabola is symmetric with respect to the axis of the parabola. | القطع المكافئ متماثل بالنسبة إلى محور القطع المكافئ. | ar | technical | simple |
If the equation has a y 2 term, then the axis of symmetry is along the x-axis and if the equation has an x 2 term, then the axis of symmetry is along the y-axis. | إذا كانت المعادلة تحتوي على حد ص 2، فإن محور التماثل يقع على طول المحور السيني، وإذا كانت المعادلة تحتوي على حد س 2، فإن محور التماثل يقع على طول المحور الصادي. | ar | technical | moderate |
When the axis of symmetry is along the x-axis the parabola opens to the (a)right if the coefficient of x is positive, (b)left if the coefficient of x is negative. | عندما يقع محور التماثل على طول المحور السيني، يفتح القطع المكافئ إلى (أ) اليمين إذا كان معامل س موجبًا، (ب) اليسار إذا كان معامل س سالبًا. | ar | technical | moderate |
When the axis of symmetry is along the y-axis the parabola opens (c)upwards if the coefficient of y is positive. (d)downwards if the coefficient of y is negative. | عندما يقع محور التماثل على طول المحور الصادي، يفتح القطع المكافئ (ج) لأعلى إذا كان معامل ص موجبًا. (د) لأسفل إذا كان معامل ص سالبًا. | ar | technical | moderate |
Latus rectum of a parabola is a line segment perpendicular to the axis of the parabola, through the focus and whose end points lie on the parabola. | الوتر البؤري للقطع المكافئ هو قطعة مستقيمة عمودية على محور القطع المكافئ، تمر عبر البؤرة ونقاط نهايتها تقع على القطع المكافئ. | ar | technical | moderate |
In order to find the distance of the line (1) from the point P (4, 1) along another line, we have to find the point of intersection of both the lines. | من أجل إيجاد مسافة الخط (1) من النقطة P (4, 1) على طول خط آخر، يجب علينا إيجاد نقطة تقاطع كلا الخطين. | ar | technical | moderate |
Slope of second line is tan 135° = –1. | ميل الخط الثاني هو ظل 135 درجة = -1. | ar | technical | simple |
Equation of the line with slope – 1 through the point P (4, 1) is y – 1 = – 1 (x – 4) or x + y – 5 = 0 ... (2) | معادلة الخط ذي الميل -1 عبر النقطة P (4, 1) هي y - 1 = -1 (x - 4) أو x + y - 5 = 0 ... (2) | ar | technical | moderate |
Solving (1) and (2), we get x = 1 and y = 4 so that point of intersection of the two lines is Q (1, 4). | بحل (1) و (2)، نحصل على x = 1 و y = 4 بحيث تكون نقطة تقاطع الخطين هي Q (1, 4). | ar | technical | moderate |
Now, distance of line (1) from the point P (4, 1) along the line (2) = the distance between the points P (4, 1) and Q (1, 4). | الآن، مسافة الخط (1) من النقطة P (4, 1) على طول الخط (2) = المسافة بين النقطتين P (4, 1) و Q (1, 4). | ar | technical | moderate |
Assuming that straight lines work as the plane mirror for a point, find the image of the point (1, 2) in the line x – 3y + 4 = 0. | بافتراض أن الخطوط المستقيمة تعمل كمرآة مستوية لنقطة، أوجد صورة النقطة (1، 2) في الخط x - 3y + 4 = 0. | ar | technical | complex |
Let Q (h, k) is the image of the point P (1, 2) in the line x – 3y + 4 = 0... (1) | دع Q (h, k) هي صورة النقطة P (1, 2) في الخط x - 3y + 4 = 0 ... (1) | ar | technical | moderate |
Therefore, the line (1) is the perpendicular bisector of line segment PQ (Fig 9.17). | لذلك، الخط (1) هو المنصف العمودي لقطعة الخط PQ (الشكل 9.17). | ar | technical | moderate |
Hence Slope of line PQ = 1 Slope of line3 4 0xy − −+ = , so that 21 or 35 1 1 3 k h k h −− =+ = − ... (2) | وبالتالي، ميل الخط PQ = 1 ميل الخط 3 4 0xy − −+ = ، بحيث 21 أو 35 1 1 3 k h k h −− =+ = − ... (2) | ar | technical | complex |
and the mid-point of PQ, i.e., point ++ 2 2 , 2 1kh will satisfy the equation (1) so that 33or04 2 2 3 2 1 −=−=+ + − + kh kh ... (3) | ونقطة المنتصف لـ PQ، أي النقطة ++ 2 2 , 2 1kh ستفي بالمعادلة (1) بحيث 33or04 2 2 3 2 1 −=−=+ + − + kh kh ... (3) | ar | technical | complex |
Solving (2) and (3), we get h = 5 6 and k = 5 7 . | بحل (2) و (3)، نحصل على h = 5 6 و k = 5 7 . | ar | technical | moderate |
Hence, the image of the point (1, 2) in the line (1) is 67 55 , . | لذلك، صورة النقطة (1، 2) في الخط (1) هي 67 55 , . | ar | technical | moderate |
Show that the area of the triangle formed by the lines y = m 1 x + c 1 , y = m 2 x + c 2 and x = 0 is () 2 12 12 2 cc mm – − . | أظهر أن مساحة المثلث المتكون من الخطوط y = m 1 x + c 1 ، y = m 2 x + c 2 و x = 0 هي () 2 12 12 2 cc mm – − . | ar | technical | complex |
Given lines are y = m 1 x + c 1 ... (1) y = m 2 x + c 2 ... (2) x = 0... (3) | الخطوط المعطاة هي y = m 1 x + c 1 ... (1) y = m 2 x + c 2 ... (2) x = 0... (3) | ar | technical | simple |
We know that line y = mx + c meets the line x = 0 (y-axis) at the point (0, c). | نعلم أن الخط y = mx + c يلتقي بالخط x = 0 (محور y) عند النقطة (0، c). | ar | technical | moderate |
Therefore, two vertices of the triangle formed by lines (1) to (3) are P (0, c 1 ) and Q (0, c 2 ) (Fig 9.18). | لذلك، رأسان من رؤوس المثلث المتكون من الخطوط (1) إلى (3) هما P (0، c 1) و Q (0، c 2) (الشكل 9.18). | ar | technical | moderate |
Third vertex can be obtained by solving equations (1) and (2). | يمكن الحصول على الرأس الثالث عن طريق حل المعادلات (1) و (2). | ar | technical | moderate |
A line is such that its segment between the lines 5x – y + 4 = 0 and 3x + 4y – 4 = 0 is bisected at the point (1, 5). | الخط هو بحيث يتم تنصيف قطعه بين الخطوط 5x – y + 4 = 0 و 3x + 4y – 4 = 0 عند النقطة (1، 5). | ar | technical | complex |
Let (h, k) is any point, whose distances from the lines (1) and (2) are equal. | دع (h, k) هي أي نقطة، تكون مسافاتها من الخطوط (1) و (2) متساوية. | ar | technical | moderate |
Therefore 523523or 49 523 49 523 −+=−− + −+ = + −− khkh khkh , which gives 3h – 2k – 5 = 3h + 2k – 5 or – (3h – 2k – 5) = 3h + 2k – 5. | لذلك 523523or 49 523 49 523 −+=−− + −+ = + −− khkh khkh ، مما يعطي 3h – 2k – 5 = 3h + 2k – 5 أو – (3h – 2k – 5) = 3h + 2k – 5. | ar | technical | complex |
f(x) and the right hand limit of f(x) are both equal to 1. | دالة (س) ونهاية دالة (س) من اليمين كلاهما يساوي 1. | ar | technical | simple |
This conclusion about the limit being equal to 1 is somewhat strengthened by seeing the graph of this function which is given in Fig 2.11, Chapter 2. | هذا الاستنتاج حول كون النهاية تساوي 1 يزداد قوة إلى حد ما برؤية رسم بياني لهذه الدالة الموضح في الشكل 2.11، الفصل 2. | ar | technical | moderate |
In this figure, we note that as x approaches 1 from either right or left, the graph of the function f(x) = x 3 approaches the point (1, 1). | في هذا الشكل، نلاحظ أنه عندما تقترب س من 1 من اليمين أو اليسار، فإن الرسم البياني للدالة د(س) = س³ يقترب من النقطة (1، 1). | ar | technical | moderate |
We observe, again, that the value of the function at x = 1 also happens to be equal to 1. | نلاحظ مرة أخرى أن قيمة الدالة عند س = 1 تساوي أيضًا 1. | ar | technical | simple |
Illustration 3 Consider the function f(x) = 3 x. | التوضيح 3: ضع في اعتبارك الدالة د(س) = 3 س. | ar | technical | simple |
Let us try to find the limit of this function at x = 2. | دعنا نحاول إيجاد نهاية هذه الدالة عند س = 2. | ar | technical | simple |
The following Table 12.6 is now self-explanatory. | الجدول 12.6 التالي يوضح نفسه الآن. | ar | technical | simple |
As before we observe that as x approaches 2 from either left or right, the value of f(x) seem to approach 6. | كما لاحظنا سابقًا، عندما تقترب س من 2 من اليسار أو اليمين، يبدو أن قيمة د(س) تقترب من 6. | ar | technical | moderate |
Its graph shown in Fig 12.4 strengthens this fact. | الرسم البياني الموضح في الشكل 12.4 يعزز هذه الحقيقة. | ar | technical | simple |
Here again we note that the value of the function at x = 2 coincides with the limit at x = 2. | هنا مرة أخرى نلاحظ أن قيمة الدالة عند س = 2 تتزامن مع النهاية عند س = 2. | ar | technical | moderate |
Illustration 4 Consider the constant function f(x) = 3. | التوضيح 4: ضع في اعتبارك الدالة الثابتة د(س) = 3. | ar | technical | simple |
Let us try to find its limit at x = 2. | دعنا نحاول إيجاد نهايتها عند س = 2. | ar | technical | simple |
This function being the constant function takes the same Fig 12.4 2024-25 224MATHEMATICS value (3, in this case) everywhere, i.e., its value at points close to 2 is 3. | هذه الدالة، كونها دالة ثابتة، تأخذ نفس القيمة (3، في هذه الحالة) في كل مكان، أي أن قيمتها عند النقاط القريبة من 2 هي 3. | ar | technical | complex |
Hence ()()() 22 2 limlimlim3 xx x f xf xf x + →→ → === | وبالتالي، ()()() 22 2 limlimlim3 xx x f xf xf x + →→ → === | ar | technical | simple |
Graph of f(x) = 3 is anyway the line parallel to x-axis passing through (0, 3) and is shown in Fig 2.9, Chapter 2. | الرسم البياني للدالة د(س) = 3 هو على أي حال الخط الموازي لمحور س ويمر عبر (0، 3) وموضح في الشكل 2.9، الفصل 2. | ar | technical | moderate |
From this also it is clear that the required limit is 3. | من هذا أيضًا يتضح أن النهاية المطلوبة هي 3. | ar | technical | simple |
In fact, it is easily observed that () lim3 xa f x → = for any real number a. | في الواقع، يلاحظ بسهولة أن () lim3 xa f x → = لأي عدد حقيقي أ. | ar | technical | moderate |
Illustration 5 Consider the function f(x) = x 2 + x. | التوضيح 5: ضع في اعتبارك الدالة د(س) = س² + س. | ar | technical | simple |
We want to find () 1 lim x f x → . | نريد إيجاد () 1 lim x f x → . | ar | technical | simple |
We tabulate the values of f(x) near x = 1 in Table 12.7. | نقوم بجدولة قيم د(س) بالقرب من س = 1 في الجدول 12.7. | ar | technical | simple |
Find the coordinates of F. | أوجد إحداثيات النقطة ف. | ar | mathematics | simple |
The distance measured along OY is zero. | المسافة المقاسة على طول المحور OY تساوي صفرًا. | ar | mathematics | moderate |
Find the octant in which the points (-3,1,2) and (-3,1,-2) lie. | أوجد الربع الذي تقع فيه النقطتان (-3,1,2) و (-3,1,-2). | ar | mathematics | moderate |
A point is on the x-axis. What are its y-coordinate and z-coordinates? | نقطة تقع على المحور السيني. ما هي الإحداثيات الصادية والعينية لها؟ | ar | mathematics | moderate |
A point is in the XZ-plane. What can you say about its y-coordinate? | نقطة تقع في المستوى XZ. ماذا يمكنك أن تقول عن الإحداثي الصادي لها؟ | ar | mathematics | moderate |
Name the octants in which the following points lie: (1, 2, 3), (4, –2, 3), (4, –2, –5), (4, 2, –5), (– 4, 2, –5), (– 4, 2, 5), (–3, –1, 6) (– 2, – 4, –7). | سم الأرباع التي تقع فيها النقاط التالية: (1, 2, 3), (4, –2, 3), (4, –2, –5), (4, 2, –5), (– 4, 2, –5), (– 4, 2, 5), (–3, –1, 6) (– 2, – 4, –7). | ar | mathematics | complex |
The x-axis and y-axis taken together determine a plane known as______. | المحور السيني والمحور الصادي معًا يحددان مستوى يُعرف باسم ______. | ar | mathematics | moderate |
The coordinates of points in the XY-plane are of the form ______. | إحداثيات النقاط في المستوى XY هي على شكل ______. | ar | mathematics | moderate |
Coordinate planes divide the space into ______ octants. | تقسم المستويات الإحداثية الفضاء إلى ______ أرباع. | ar | mathematics | simple |
Let us now extend this study to three-dimensional system. | دعنا الآن نوسع هذه الدراسة إلى نظام ثلاثي الأبعاد. | ar | mathematics | moderate |
Find the distance between the points P(1, –3, 4) and Q (– 4, 1, 2). | أوجد المسافة بين النقطتين P(1, –3, 4) و Q (– 4, 1, 2). | ar | mathematics | moderate |
Show that the points P (–2, 3, 5), Q (1, 2, 3) and R (7, 0, –1) are collinear. | أثبت أن النقاط P (–2, 3, 5), Q (1, 2, 3) و R (7, 0, –1) تقع على استقامة واحدة. | ar | mathematics | complex |
Are the points A (3, 6, 9), B (10, 20, 30) and C (25, – 41, 5), the vertices of a right angled triangle? | هل النقاط A (3, 6, 9), B (10, 20, 30) و C (25, – 41, 5) هي رؤوس مثلث قائم الزاوية؟ | ar | mathematics | complex |
Find the equation of set of points P such that PA² + PB² = 2k², where A and B are the points (3, 4, 5) and (–1, 3, –7), respectively. | أوجد معادلة مجموعة النقاط P بحيث PA² + PB² = 2k²، حيث A و B هما النقطتان (3, 4, 5) و (–1, 3, –7) على التوالي. | ar | mathematics | complex |
Find the distance between the following pairs of points: (2, 3, 5) and (4, 3, 1). | أوجد المسافة بين أزواج النقاط التالية: (2, 3, 5) و (4, 3, 1). | ar | mathematics | moderate |
Show that the points (–2, 3, 5), (1, 2, 3) and (7, 0, –1) are collinear. | أثبت أن النقاط (–2, 3, 5), (1, 2, 3) و (7, 0, –1) تقع على استقامة واحدة. | ar | mathematics | complex |
Verify the following: (0, 7, –10), (1, 6, – 6) and (4, 9, – 6) are the vertices of an isosceles triangle. | تحقق مما يلي: (0, 7, –10), (1, 6, – 6) و (4, 9, – 6) هي رؤوس مثلث متساوي الساقين. | ar | mathematics | complex |
Find the equation of the set of points which are equidistant from the points (1, 2, 3) and (3, 2, –1). | أوجد معادلة مجموعة النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن النقطتين (1, 2, 3) و (3, 2, –1). | ar | mathematics | complex |
Find the equation of the set of points P, the sum of whose distances from A (4, 0, 0) and B (– 4, 0, 0) is equal to 10. | أوجد معادلة مجموعة النقاط P، التي يكون مجموع مسافاتها من A (4, 0, 0) و B (– 4, 0, 0) يساوي 10. | ar | mathematics | complex |
Show that the points A (1, 2, 3), B (–1, –2, –1), C (2, 3, 2) and D (4, 7, 6) are the vertices of a parallelogram ABCD, but it is not a rectangle. | أثبت أن النقاط A (1, 2, 3), B (–1, –2, –1), C (2, 3, 2) و D (4, 7, 6) هي رؤوس متوازي أضلاع ABCD، ولكنه ليس مستطيلًا. | ar | mathematics | complex |
The derivative of a constant function is always zero. | مشتق الدالة الثابتة دائمًا ما يكون صفرًا. | ar | technical | simple |
Find the derivative of f(x) = x^2 + 3x - 5. | أوجد مشتقة الدالة f(x) = x^2 + 3x - 5. | ar | technical | moderate |
The limit of a function as x approaches a is the value that the function approaches as x gets closer and closer to a. | نهاية الدالة عندما تقترب x من a هي القيمة التي تقترب منها الدالة عندما تقترب x أكثر فأكثر من a. | ar | technical | moderate |
Calculate the derivative of sin(x) using the first principle. | احسب مشتقة sin(x) باستخدام المبدأ الأول. | ar | technical | complex |
The concept of limits and derivatives is fundamental to calculus. | مفهوم النهايات والمشتقات أساسي في حساب التفاضل والتكامل. | ar | technical | moderate |
If the function is continuous at a point, then the limit exists at that point. | إذا كانت الدالة متصلة عند نقطة ما، فإن النهاية موجودة عند تلك النقطة. | ar | technical | moderate |
The slope of the tangent line to a curve at a point is the derivative of the function at that point. | ميل الخط المماس لمنحنى عند نقطة ما هو مشتقة الدالة عند تلك النقطة. | ar | technical | moderate |
Determine the values of a and b such that the function is differentiable. | حدد قيم a و b بحيث تكون الدالة قابلة للاشتقاق. | ar | technical | complex |
The derivative of a product of two functions can be found using the product rule. | يمكن إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين باستخدام قاعدة الضرب. | ar | technical | moderate |
Find the limit of (x^2 - 1) / (x - 1) as x approaches 1. | أوجد نهاية (x^2 - 1) / (x - 1) عندما تقترب x من 1. | ar | technical | moderate |
The quotient rule is used to find the derivative of a quotient of two functions. | تُستخدم قاعدة القسمة لإيجاد مشتقة حاصل قسمة دالتين. | ar | technical | moderate |
The chain rule is essential for differentiating composite functions. | قاعدة السلسلة ضرورية لتمييز الدوال المركبة. | ar | technical | moderate |
Evaluate the limit of the function as x tends to infinity. | قيّم نهاية الدالة عندما تقترب x من اللانهاية. | ar | technical | moderate |
The concept of continuity is closely related to the concept of limits. | مفهوم الاتصال وثيق الصلة بمفهوم النهايات. | ar | technical | moderate |
Find the derivative of the function f(x) = e^x. | أوجد مشتقة الدالة f(x) = e^x. | ar | technical | moderate |
The derivative of a function represents its instantaneous rate of change. | تمثل مشتقة الدالة معدل التغير اللحظي لها. | ar | technical | moderate |
Determine if the function is differentiable at a given point. | حدد ما إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة. | ar | technical | moderate |
The derivative of a polynomial function is another polynomial function. | مشتقة دالة كثيرة الحدود هي دالة كثيرة حدود أخرى. | ar | technical | simple |
The limit of a constant is the constant itself. | نهاية الثابت هي الثابت نفسه. | ar | technical | simple |
The derivative of tan(x) is sec^2(x). | مشتقة tan(x) هي sec^2(x). | ar | technical | simple |
Compute derivative of f(x) = sin 2x. | احسب مشتقة الدالة f(x) = sin 2x. | ar | technical | moderate |
Recall the trigonometric formula sin 2x = 2 sin x cos x. | تذكر الصيغة المثلثية sin 2x = 2 sin x cos x. | ar | technical | moderate |
Find the derivative of 5 cos x - sin x / x. | أوجد مشتقة 5 cos x - sin x / x. | ar | technical | moderate |
We use the quotient rule on this function wherever it is defined. | نستخدم قاعدة القسمة على هذه الدالة أينما تم تعريفها. | ar | technical | moderate |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.