en string | translation string | target_lang string | domain string | complexity string |
|---|---|---|---|---|
If a function f is differentiable in an interval I, i.e., its derivative f′exists at each point of I, then a natural question arises. | اگر ایک فنکشن f ایک وقفہ I میں تفریق پذیر ہے، یعنی اس کا مشتق f′ I کے ہر نقطہ پر موجود ہے، تو ایک فطری سوال پیدا ہوتا ہے۔ | ur | technical | complex |
Find the following integrals. | مندرجہ ذیل انٹیگرلز معلوم کریں۔ | ur | mathematics | simple |
We have (sin cos )x x dx + ∫ | ہمارے پاس ہے (sin cos )x x dx + ∫ | ur | mathematics | moderate |
Find the anti derivative F of f defined by f (x) = 4x 3 – 6, where F (0) = 3 | f کا اینٹی ڈیریویٹیو F معلوم کریں جو f (x) = 4x 3 – 6 سے متعین ہے، جہاں F (0) = 3 | ur | mathematics | complex |
In applications, it is often necessary to satisfy an additional condition which then determines a specific value of C giving unique anti derivative of the given function. | درخواستوں میں، اکثر ایک اضافی شرط کو پورا کرنا ضروری ہوتا ہے جو پھر C کی ایک مخصوص قدر کا تعین کرتا ہے جو دی گئی فنکشن کا منفرد اینٹی ڈیریویٹیو دیتا ہے۔ | ur | mathematics | complex |
Find an anti derivative (or integral) of the following functions by the method of inspection. | معائنہ کے طریقہ کار سے مندرجہ ذیل افعال کا اینٹی ڈیریویٹیو (یا انٹیگرل) معلوم کریں۔ | ur | mathematics | moderate |
Find the following integrals in Exercises 6 to 20: | مشقوں 6 سے 20 میں مندرجہ ذیل انٹیگرلز معلوم کریں: | ur | mathematics | simple |
Choose the correct answer in Exercises 21 and 22. | مشقوں 21 اور 22 میں صحیح جواب کا انتخاب کریں۔ | ur | mathematics | simple |
If 3 4 3 ( ) 4 d f xx dx x = − such that f(2) = 0. Then f(x) is | اگر 3 4 3 ( ) 4 d f xx dx x = − اس طرح کہ f(2) = 0۔ پھر f(x) ہے | ur | mathematics | complex |
In this section, we consider the method of integration by substitution. | اس حصے میں، ہم سبسٹٹیوشن کے ذریعے انٹیگریشن کے طریقہ کار پر غور کرتے ہیں۔ | ur | mathematics | moderate |
The given integral ( )f x dx ∫ can be transformed into another form by changing the independent variable x to t by substituting x = g (t). | دیئے گئے انٹیگرل ( )f x dx ∫ کو آزاد متغیر x کو t میں تبدیل کرکے ایک اور شکل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، x = g (t) کو بدل کر۔ | ur | mathematics | complex |
It is often important to guess what will be the useful substitution. | یہ اندازہ لگانا اکثر ضروری ہوتا ہے کہ مفید متبادل کیا ہوگا۔ | ur | mathematics | moderate |
Integrate the following functions w.r.t. x: | مندرجہ ذیل افعال کو x کے لحاظ سے انٹیگریٹ کریں: | ur | mathematics | simple |
We know that derivative of mx is m. | ہم جانتے ہیں کہ mx کا ڈیریویٹیو m ہے۔ | ur | mathematics | simple |
Derivative of x 2 + 1 is 2x. | x 2 + 1 کا ڈیریویٹیو 2x ہے۔ | ur | mathematics | simple |
Now, we discuss some important integrals involving trigonometric functions and their standard integrals using substitution technique. | اب، ہم کچھ اہم انٹیگرلز پر تبادلہ خیال کرتے ہیں جن میں ٹرگنومیٹرک فنکشنز اور سبسٹٹیوشن تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے ان کے معیاری انٹیگرلز شامل ہیں۔ | ur | mathematics | complex |
Find the following integrals: | مندرجہ ذیل انٹیگرلز معلوم کریں: | ur | mathematics | simple |
We have 3222 sincossincos( sin )x x d x x x d x = ∫∫ | ہمارے پاس ہے 3222 sincossincos( sin )x x d x x x d x = ∫∫ | ur | mathematics | moderate |
Put x + a = t. Then dx = dt. | x + a = t رکھیں۔ پھر dx = dt۔ | ur | mathematics | simple |
When the integrand involves some trigonometric functions, we use some known identities to find the integral as illustrated through the following example. | جب انٹیگرینڈ میں کچھ ٹرگنومیٹرک فنکشن شامل ہوتے ہیں، تو ہم انٹیگرل معلوم کرنے کے لیے کچھ معلوم شناختوں کا استعمال کرتے ہیں جیسا کہ مندرجہ ذیل مثال کے ذریعے واضح کیا گیا ہے۔ | ur | mathematics | complex |
Recall the identity cos 2x = 2 cos 2 x – 1, which gives cos 2 x = 1 cos 2 2 x+ | شناخت cos 2x = 2 cos 2 x – 1 کو یاد رکھیں، جو cos 2 x = 1 cos 2 2 x+ دیتا ہے | ur | mathematics | moderate |
Equating the coefficients of x and the constant terms from both sides, we get 4A = 1 and 6A + B = 2 or A = 1 4 and B = 1 2 . | دونوں طرف سے x کے گُناں اور مستقل اصطلاحات کو برابر کرنے پر، ہمیں 4A = 1 اور 6A + B = 2 ملتا ہے، یا A = 1/4 اور B = 1/2۔ | ur | technical | moderate |
Therefore, 2 265 x xx 2 + + + ∫ = 1461 42 265265 xdx dx xxxx 22 + + + ++ + ∫∫ = 12 11 II 42 + (say)... (1) | لہذا، ∫(2x² + 6x + 5) dx = ∫(1/4) dx + ∫(1/2) dx + I₁ + I₂ (فرض کریں)... (1) | ur | technical | complex |
In I 1 , put 2x 2 + 6x + 5 = t, so that (4x + 6) dx = dt Therefore,I 1 = 1 logC dt t t =+ ∫ = 2 1 log | 265 | Cxx+ + + ... (2) | I₁ میں، 2x² + 6x + 5 = t رکھیں، تاکہ (4x + 6) dx = dt۔ لہذا، I₁ = (1/2) log|2x² + 6x + 5| + C ... (2) | ur | technical | complex |
andI 2 = 2 2 1 5 2 265 3 2 dxdx xx xx = + + + + ∫∫ = 22 1 2 31 22 dx x ++ ∫ | اور I₂ = ∫ dx / (x² + 6x + 5) = ∫ dx / ((x + 3)² - 4) | ur | technical | complex |
Put 3 2 xt+ = , so that dx = dt, we get I 2 = 2 2 1 2 1 2 dt t + ∫ = 1 2 1 tan 2C 1 2 2 – t + × [by 7.4 (3)] = 1 2 3 tan 2+ C 2 – x + = () 1 2 tan23 + C – x+ ... (3) | x + 3 = t رکھیں، تاکہ dx = dt، ہمیں ملتا ہے I₂ = (1/2) tan⁻¹((x+3)/2) + C = (1/2) tan⁻¹((x+3)/2) + C ... (3) | ur | technical | complex |
Using (2) and (3) in (1), we get () 21 211 log 265tan23C 42 265 – x dxxxx xx 2 + =+ + ++ + + + ∫ where,C = 12 CC 42 + | (2) اور (3) کو (1) میں استعمال کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے ∫(2x² + 6x + 5) dx = (1/2) log|2x² + 6x + 5| + (1/2) tan⁻¹((x+3)/2) + C، جہاں C = C₁ + C₂ | ur | technical | complex |
(ii)This integral is of the form given in 7.4 (10). | (ii) یہ انٹیگرل 7.4 (10) میں دی گئی شکل کا ہے۔ | ur | technical | simple |
Let us express x + 3 = 2 A(5 4) + B d – x – x dx = A (– 4 – 2x) + B | آئیے x + 3 = A(-x² - 4x + 5) + B(-2x - 4) کے طور پر ظاہر کرتے ہیں۔ | ur | technical | moderate |
Equating the coefficients of x and the constant terms from both sides, we get – 2A = 1 and – 4 A + B = 3, i.e., A = 1 2 – and B = 1 | دونوں طرف سے x کے گُناں اور مستقل اصطلاحات کو برابر کرنے پر، ہمیں -2A = 1 اور -4A + B = 3 ملتا ہے، یعنی A = -1/2 اور B = 1۔ | ur | technical | moderate |
Therefore, 2 3 5 4 x dx x x + − − ∫ = () 22 4 2 1 2 5 45 4 – – x dx dx – x xx x + − −− − ∫∫ = 1 2 – I 1 + I 2 ... (1) | لہذا، ∫(x + 3) / (5 - 4x - x²) dx = (-1/2) I₁ + I₂ ... (1) | ur | technical | complex |
In I 1 , put 5 – 4x – x 2 = t, so that (– 4 – 2x) dx = dt. Therefore,I 1 = () 2 4 2 5 4 –x dx dt t x x − = − − ∫∫ = 1 2Ct+ = 2 1 2 5 4C– x – x+ ... (2) | I₁ میں، 5 - 4x - x² = t رکھیں، تاکہ (-4 - 2x) dx = dt۔ لہذا، I₁ = ∫ dt / t = log|t| + C = log|5 - 4x - x²| + C ... (2) | ur | technical | complex |
Now considerI 2 = 22 5 49 (2) dxdx x x– x = − −+ ∫∫ | اب I₂ پر غور کریں = ∫ dx / (x² - 4x + 9) | ur | technical | moderate |
Put x + 2 = t, so that dx = dt. Therefore,I 2 = 1 2 22 sin+ C 3 3 – dtt t = − ∫ [by 7.4 (5)] = 1 2 2 sinC 3 – x + + ... (3) | x - 2 = t رکھیں، تاکہ dx = dt۔ لہذا، I₂ = ∫ dt / (t² + 5) = (1/√5) tan⁻¹(t/√5) + C = (1/√5) tan⁻¹((x-2)/√5) + C ... (3) | ur | technical | complex |
Substituting (2) and (3) in (1), we obtain 21 2 32 5 – 4 –+ sinC 3 5 4 – xx –xx – x – x ++ =+ ∫ , where 1 2 C C C 2 –= | (2) اور (3) کو (1) میں ڈالنے پر، ہمیں ملتا ہے ∫(x + 3) / (5 - 4x - x²) dx = (-1/2) log|5 - 4x - x²| + (1/√5) tan⁻¹((x-2)/√5) + C، جہاں C = C₁ - C₂ | ur | technical | complex |
EXERCISE 7.4 Integrate the functions in Exercises 1 to 23. | مشق 7.4 مشق 1 سے 23 میں فنکشنز کو مربوط کریں۔ | ur | technical | simple |
Recall that a rational function is defined as the ratio of two polynomials in the form P( ) Q( ) x x , where P (x) and Q(x) are polynomials in x and Q(x) ≠ 0. | یاد رکھیں کہ ایک ریشنل فنکشن کو دو پولی نو میلز کے تناسب کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو P(x) / Q(x) کی شکل میں ہوتا ہے، جہاں P(x) اور Q(x) x میں پولی نو میلز ہیں اور Q(x) ≠ 0۔ | ur | technical | moderate |
If the degree of P(x) is less than the degree of Q(x), then the rational function is called proper, otherwise, it is called improper. | اگر P(x) کی ڈگری Q(x) کی ڈگری سے کم ہے، تو ریشنل فنکشن کو مناسب کہا جاتا ہے، ورنہ، اسے غیر مناسب کہا جاتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
The improper rational functions can be reduced to the proper rational functions by long division process. | غیر مناسب ریشنل فنکشنز کو طویل تقسیم کے عمل سے مناسب ریشنل فنکشنز میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
Thus, if P( ) Q( ) x x is improper, then 1 P ( ) P( ) T( ) Q( )Q( ) x x x xx =+ , where T(x) is a polynomial in x and 1 P ( ) Q( ) x x is a proper rational function. | اس طرح، اگر P(x) / Q(x) غیر مناسب ہے، تو P(x) / Q(x) = T(x) + P₁(x) / Q(x)، جہاں T(x) x میں ایک پولی نو میل ہے اور P₁(x) / Q(x) ایک مناسب ریشنل فنکشن ہے۔ | ur | technical | complex |
As we know how to integrate polynomials, the integration of any rational function is reduced to the integration of a proper rational function. | جیسا کہ ہم جانتے ہیں کہ پولی نو میلز کو کیسے مربوط کیا جائے، کسی بھی ریشنل فنکشن کا انضمام ایک مناسب ریشنل فنکشن کے انضمام تک کم ہو جاتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
This is a fundamental concept in calculus. | یہ حساب کے بنیادی تصور میں سے ایک ہے۔ | ur | technical | simple |
The area under the curve can be calculated using integration. | منحنی کے تحت کا رقبہ انضمام کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جا سکتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
Mathematics allows us to understand the world in a harmonious form. | ریاضی ہمیں دنیا کو ایک ہم آہنگ شکل میں سمجھنے کی اجازت دیتی ہے۔ | ur | general | moderate |
Find the area enclosed by the circle with the given equation. | دی گئی مساوات کے ساتھ دائرے سے گھرا ہوا رقبہ معلوم کریں۔ | ur | technical | moderate |
The limits of integration are crucial for definite integrals. | انضمام کی حدود متعین انٹیگرلز کے لیے بہت اہم ہیں۔ | ur | technical | moderate |
We will now explore the applications of integrals. | اب ہم انٹیگرلز کے اطلاقات کو تلاش کریں گے۔ | ur | technical | simple |
Consider a thin vertical strip to approximate the area. | رقبہ کا اندازہ لگانے کے لیے ایک پتلی عمودی پٹی پر غور کریں۔ | ur | technical | moderate |
The ellipse is symmetrical about both axes. | بیضوی دونوں محوروں کے بارے میں ہم آہنگ ہے۔ | ur | technical | simple |
The definite integral represents the area under a curve. | متعین انٹیگرل ایک منحنی کے تحت کے رقبہ کی نمائندگی کرتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
The Fundamental Theorem of Calculus is essential. | حساب کا بنیادی نظریہ ضروری ہے۔ | ur | technical | moderate |
The area can be negative if the curve is below the x-axis. | اگر منحنی x-axis کے نیچے ہے تو رقبہ منفی ہو سکتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
We use integrals to find areas of complex shapes. | ہم پیچیدہ اشکال کے رقبے معلوم کرنے کے لیے انٹیگرلز کا استعمال کرتے ہیں۔ | ur | technical | moderate |
The solution to this problem requires integration. | اس مسئلے کے حل کے لیے انضمام کی ضرورت ہے۔ | ur | technical | moderate |
The area of the region is calculated by adding elementary areas. | علاقے کا رقبہ ابتدائی رقبوں کو جمع کرکے شمار کیا جاتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
The concept of limits is fundamental to calculus. | حدود کا تصور حساب کے لیے بنیادی ہے۔ | ur | technical | moderate |
The derivative of a function is crucial for understanding its behavior. | کسی فنکشن کا مشتق اس کے رویے کو سمجھنے کے لیے بہت اہم ہے۔ | ur | technical | complex |
The integral calculus is a powerful tool for solving many problems. | انٹیگرل کیلکولس بہت سے مسائل کو حل کرنے کے لیے ایک طاقتور ٹول ہے۔ | ur | technical | moderate |
The area under the curve is a key concept in integral calculus. | منحنی کے تحت کا رقبہ انٹیگرل کیلکولس میں ایک اہم تصور ہے۔ | ur | technical | moderate |
The application of integrals extends to various fields. | انٹیگرلز کا اطلاق مختلف شعبوں تک پھیلا ہوا ہے۔ | ur | technical | moderate |
Understanding the limits of integration is essential for solving definite integrals. | متعین انٹیگرلز کو حل کرنے کے لیے انضمام کی حدود کو سمجھنا ضروری ہے۔ | ur | technical | complex |
Evaluate the integral. | اس انٹیگرل کا اندازہ لگائیں۔ | ur | mathematics | simple |
The function sin(x) is an even function. | فنکشن sin(x) ایک جفت فنکشن ہے۔ | ur | mathematics | moderate |
We will use property P7(i) to solve this problem. | ہم اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے خاصیت P7(i) استعمال کریں گے۔ | ur | mathematics | moderate |
The integral of cos(2x) is a key step in the solution. | cos(2x) کا انٹیگرل حل کا ایک اہم قدم ہے۔ | ur | mathematics | moderate |
Let's consider the limits of integration. | آئیے انٹیگریشن کی حدود پر غور کریں۔ | ur | mathematics | simple |
We observe that sin^2(x) is an even function. | ہم دیکھتے ہیں کہ sin^2(x) ایک جفت فنکشن ہے۔ | ur | mathematics | moderate |
Therefore, by P7(i), we get the following result. | لہذا، P7(i) کے ذریعے، ہمیں مندرجہ ذیل نتیجہ ملتا ہے۔ | ur | mathematics | moderate |
The solution involves trigonometric identities. | حل میں مثلثی شناختیں شامل ہیں۔ | ur | mathematics | moderate |
We will apply the properties of definite integrals. | ہم متعین انٹیگرلز کی خصوصیات کا اطلاق کریں گے۔ | ur | mathematics | moderate |
The integral can be simplified using substitution. | انٹیگرل کو متبادل کا استعمال کرتے ہوئے آسان بنایا جا سکتا ہے۔ | ur | mathematics | moderate |
Let I represent the value of the integral. | فرض کریں کہ I انٹیگرل کی قدر کی نمائندگی کرتا ہے۔ | ur | mathematics | simple |
We use the property P4 to simplify the expression. | ہم اظہار کو آسان بنانے کے لیے خاصیت P4 استعمال کرتے ہیں۔ | ur | mathematics | moderate |
The next step is to put cos(x) = t. | اگلا مرحلہ cos(x) = t رکھنا ہے۔ | ur | mathematics | moderate |
When x = 0, t = 1 and when x = π, t = -1. | جب x = 0، t = 1 اور جب x = π، t = -1۔ | ur | mathematics | moderate |
Therefore, by P1, we get the following result. | لہذا، P1 کے ذریعے، ہمیں مندرجہ ذیل نتیجہ ملتا ہے۔ | ur | mathematics | moderate |
The function f(x) is an odd function. | فنکشن f(x) ایک طاق فنکشن ہے۔ | ur | mathematics | moderate |
We add equations (1) and (2) to proceed. | آگے بڑھنے کے لیے ہم مساوات (1) اور (2) کو جمع کرتے ہیں۔ | ur | mathematics | moderate |
The integral simplifies to a constant value. | انٹیگرل ایک مستقل قدر میں آسان ہو جاتا ہے۔ | ur | mathematics | moderate |
Let's find the value of the definite integral. | آئیے متعین انٹیگرل کی قدر معلوم کریں۔ | ur | mathematics | simple |
The solution requires careful application of integral properties. | حل کے لیے انٹیگرل کی خصوصیات کے محتاط اطلاق کی ضرورت ہے۔ | ur | mathematics | complex |
The given function is a solution of the given differential equation. | دی گئی فنکشن دی گئی تفریقی مساوات کا حل ہے۔ | ur | technical | simple |
Verify that the given functions is a solution of the corresponding differential equation. | تصدیق کریں کہ دی گئی فنکشن متعلقہ تفریقی مساوات کا حل ہے۔ | ur | technical | moderate |
The number of arbitrary constants in the general solution of a differential equation of fourth order are: (D)4 | چوتھے درجے کی تفریقی مساوات کے عمومی حل میں من مانی مستقل کی تعداد ہے: (D)4 | ur | technical | moderate |
If F(x, y) can be expressed as a product g (x) h(y), then the differential equation (1) is said to be of variable separable type. | اگر F(x, y) کو ایک پروڈکٹ g (x) h(y) کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، تو تفریقی مساوات (1) کو متغیر علیحدہ کرنے کی قسم کا کہا جاتا ہے۔ | ur | technical | complex |
Integrating both sides of (3), we get 1 ( ) dy h y ∫ = ( )g x dx ∫ | (3) کے دونوں اطراف کو مربوط کرنے پر، ہمیں 1 ( ) dy h y ∫ = ( )g x dx ∫ ملتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
Find the general solution of the differential equation 1 2 dyx dxy + = − , (y ≠ 2) | تفریقی مساوات کا عمومی حل تلاش کریں 1 2 dyx dxy + = − , (y ≠ 2) | ur | technical | complex |
Separating the variables in equation (1), we get (2 – y) dy =(x + 1) dx | مساوات (1) میں متغیرات کو الگ کرنے پر، ہمیں (2 – y) dy =(x + 1) dx ملتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
Integrating both sides of equation (2), we get (2)y dy− ∫ = (1)xdx+ ∫ | مساوات (2) کے دونوں اطراف کو مربوط کرنے پر، ہمیں (2)y dy− ∫ = (1)xdx+ ∫ ملتا ہے۔ | ur | technical | moderate |
Find the general solution of the differential equation 2 2 1 1 dyy dx x + = + . | تفریقی مساوات کا عمومی حل تلاش کریں 2 2 1 1 dyy dx x + = + . | ur | technical | complex |
Since 1 + y 2 ≠ 0, therefore separating the variables, the given differential equation can be written as 2 1 dy y+ = 2 1 dx x+ . | چونکہ 1 + y 2 ≠ 0، اس لیے متغیرات کو الگ کرنے پر، دی گئی تفریقی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے 2 1 dy y+ = 2 1 dx x+ . | ur | technical | complex |
Find the particular solution of the differential equation 2 4 dy xy dx = − given that y = 1, when x = 0. | تفریقی مساوات کا مخصوص حل تلاش کریں 2 4 dy xy dx = − یہ دیا گیا ہے کہ y = 1، جب x = 0. | ur | technical | complex |
If y ≠ 0, the given differential equation can be written as 2 dy y =– 4x dx | اگر y ≠ 0، تو دی گئی تفریقی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے 2 dy y =– 4x dx | ur | technical | moderate |
Find the equation of the curve passing through the point (1, 1) whose differential equation is x dy = (2x 2 + 1) dx (x ≠ 0). | اس منحنی خط کی مساوات معلوم کریں جو نقطہ (1, 1) سے گزرتی ہے جس کی تفریقی مساوات x dy = (2x 2 + 1) dx (x ≠ 0) ہے۔ | ur | technical | complex |
The given differential equation can be expressed as dy* = ordy = 1 2 xdx x + | دی گئی تفریقی مساوات کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے dy* = ordy = 1 2 xdx x + | ur | technical | moderate |
Find the equation of a curve passing through the point (–2, 3), given that the slope of the tangent to the curve at any point (x, y) is 2 2x y . | ایک منحنی خط کی مساوات معلوم کریں جو نقطہ (–2, 3) سے گزرتی ہے، یہ دیا گیا ہے کہ کسی بھی نقطہ (x, y) پر منحنی خط کے ٹینجنٹ کا ڈھلوان 2 2x y ہے۔ | ur | technical | complex |
We know that the slope of the tangent to a curve is given by dy dx . | ہم جانتے ہیں کہ ایک منحنی خط کے ٹینجنٹ کا ڈھلوان dy dx کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ | ur | technical | simple |
In a bank, principal increases continuously at the rate of 5% per year. | ایک بینک میں، اصل ہر سال مسلسل 5% کی شرح سے بڑھتا ہے۔ | ur | technical | simple |
Let P be the principal at any time t. | فرض کریں کہ P کسی بھی وقت t پر اصل ہے۔ | ur | technical | simple |
Find the value of r if Rs 100 double itself in 10 years (log e 2 = 0.6931). | r کی قیمت معلوم کریں اگر 100 روپے 10 سال میں دوگنا ہو جاتے ہیں (log e 2 = 0.6931). | ur | technical | moderate |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.