question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ค่าเฉลี่ยของ 50 ค่าสังเกตเท่ากับ 200 แต่ต่อมาพบว่ามีการลดลง 47 จากแต่ละค่าสังเกต ค่าเฉลี่ยที่ปรับปรุงแล้วเท่ากับเท่าใด a) 165, b) 185, c) 153, d) 198, e) 199 | 153 คำตอบคือ c | c | [
"ประยุกต์"
] |
บริษัท wink , inc . มีขั้นตอนการทำงานที่ต้องทำสองงานให้เสร็จสิ้นอย่างอิสระเพื่อให้งานเสร็จสมบูรณ์ ในแต่ละวัน มีความน่าจะเป็น 2/3 ที่งานที่ 1 จะเสร็จตามเวลา และมีความน่าจะเป็น 3/5 ที่งานที่ 2 จะเสร็จตามเวลา ในวันหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่งานที่ 1 จะเสร็จตามเวลา แต่ งานที่ 2 จะไม่เสร็จตามเวลาเท่าไร a ) 4 / 15 , b ) 3 / 40 , c ) 13 / 40 , d ) 7 / 20 , e ) 13 / 22 | p ( 1 และไม่ใช่ 2 ) = 2/3 * ( 1 - 3/5 ) = 4/15. คำตอบ: a. | a | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในบริษัทแห่งหนึ่ง มีพนักงานหนึ่งในสามที่ไม่มีแผนการเกษียณ 60% ของพนักงานที่ไม่มีแผนการเกษียณเป็นผู้หญิง และ 40% ของพนักงานที่มีแผนการเกษียณเป็นผู้ชาย ถ้ามีพนักงานชาย 120 คน ในบริษัทนั้น มีพนักงานหญิงกี่คน? a) 80, b) 95, c) 180, d) 120, e) 210 | ตั้งสมการ: x = จำนวนพนักงานทั้งหมด 120 = 0.4 * 2/3 * x + 0.4 * 1/3 * x 120 = 12/30 x x = 300 300 - 120 = 180 คำตอบ c | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นักเดินป่าเดินด้วยอัตราเร็วคงที่ 4 ไมล์ต่อชั่วโมงถูกแซงโดยนักปั่นจักรยานที่เดินทางไปในทิศทางเดียวกันตามเส้นทางเดียวกันด้วยอัตราเร็ว 15 ไมล์ต่อชั่วโมง นักปั่นจักรยานหยุดรอผู้เดินป่า 5 นาทีหลังจากแซงเธอไปแล้ว ในขณะที่ผู้เดินป่ายังคงเดินด้วยอัตราเร็วคงที่ของเธอ นักปั่นจักรยานต้องรอผู้เดินป่าเป็นเวลาเท่าไร จึงจะตามทัน a ) 20 b ) 55 / 4 c ) 25 d ) 14 e ) 13 | หลังจากแซงผู้เดินป่า นักปั่นจักรยานเดินทางเป็นเวลา 5 นาทีด้วยอัตราเร็ว 15 ไมล์ต่อชั่วโมง ในเวลา 5 นาทีนั้น นักปั่นจักรยานเดินทางเป็นระยะทาง 5/4 ไมล์ ในเวลา 5 นาทีนั้น ผู้เดินป่าเดินทางเป็นระยะทาง 1/3 ไมล์ ดังนั้น ผู้เดินป่ายังต้องเดินทางอีก 11/12 ไมล์เพื่อมาถึงนักปั่นจักรยานที่รออยู่ ผู้เดินป่าจะต้องใช้เวลา 55/4 นาทีในการเดินทางอีก 11/12 ไมล์ ดังนั้นคำตอบคือ b | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
1000 คน มีเสบียงอาหารเพียงพอสำหรับ 18 วัน ถ้ามีผู้ชายอีก 400 คนมาร่วมด้วย เสบียงอาหารจะเพียงพอสำหรับกี่วัน? a ) 12.9, b ) 12.8, c ) 12.6, d ) 12.2, e ) 12.1 | 1000 * 18 = 1400 * x x = 12.8 คำตอบ : b | b | [
"ประยุกต์"
] |
สองจำนวนมีค่ามากกว่าจำนวนที่สาม 35% และ 50% ตามลำดับ จงหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนแรกที่เป็นของจำนวนที่สอง a) 90% b) 47% c) 38% d) 52% e) 83% | i ii iii 135 150 100 150 - - - - - - - - - - - ? = > 90 % answer : a | a | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผ้าเช็ดตัวเมื่อฟอกขาวจะสูญเสียความยาวไป 20% และความกว้างไป 10% พื้นที่ของผ้าเช็ดตัวลดลงกี่เปอร์เซ็นต์ a ) 26 b ) 28 c ) 24 d ) 20 e ) 22 | สูตรการคำนวณเปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงของพื้นที่คือ : = ( − x − y + ( xy ) / 100 ) % = ( − 20 − 10 + ( 20 × 10 ) / 100 ) % = − 28 % นั่นคือพื้นที่ลดลง 28% คำตอบคือ b | b | [
"ประยุกต์"
] |
ความยาวของสะพานที่รถไฟมีความยาว 150 เมตร และวิ่งด้วยความเร็ว 45 กม./ชม. สามารถข้ามได้ใน 30 วินาที คือเท่าใด? ก) 388, ข) 267, ค) 225, ง) 288, จ) 261 | ความเร็ว = (45 * 5 / 18) ม./วินาที = (25 / 2) ม./วินาที. เวลา = 30 วินาที. สมมติความยาวของสะพานเป็น x เมตร. ดังนั้น (150 + x) / 30 = 25 / 2 = = > 2(150 + x) = 750 = = > x = 225 ม. ตอบ: ค | c | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
บริษัทการตลาดได้กำหนดว่าจาก 200 ครัวเรือนที่สำรวจ มี 80 ครัวเรือนที่ไม่ได้ใช้สบู่ยี่ห้อ R หรือสบู่ยี่ห้อ B , 60 ครัวเรือนที่ใช้สบู่ยี่ห้อ R เพียงอย่างเดียว และสำหรับทุกครัวเรือนที่ใช้สบู่ทั้งสองยี่ห้อ จะมี 3 ครัวเรือนที่ใช้สบู่ยี่ห้อ B เพียงอย่างเดียว มีกี่ครัวเรือนจาก 200 ครัวเรือนที่สำรวจที่ใช้สบู่ทั้งสองยี่ห้อ ? a ) 15 , b ) 20 , c ) 30 , d ) 40 , e ) 45 | วิธีแก้ปัญหาสำหรับสบู่ R และสบู่ B ( d ) 40 | d | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในเซตของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 90 ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่หาร 5 ลงตัวเท่ากับเท่าใด a) 180 b) 245 c) 320 d) 405 e) 450 | ลดจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 90 ที่หาร 5 ลงตัว ได้แก่ 5, 15, 25, 35, 45, ..., 85 รวมกันเท่ากับ 405 ดังนั้น คำตอบคือ d | d | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวม fetched ได้ดอกเบี้ย साधारणทั้งหมด $ 4241.25 ที่อัตรา 9 p . c . p . a . ใน 5 ปี คืออะไร? a ) $ 8829 , b ) $ 2840 , c ) $ 6578 , d ) $ 7782 , e ) $ 8930 | "e 8930 principal = $ 100 x 4241.25 / 9 x 5 = $ 424125 / 45 = $ 8930 ." | e | [
"ประยุกต์"
] |
บ่อน้ำกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 เมตร ขุดลึก 10 เมตร ปริมาตรของดินที่ขุดออกเท่าไร a ) 32 m 3 , b ) 31.4 m 3 , c ) 40 m 3 , d ) 44 m 3 , e ) ไม่มีข้อใดถูก | คำ solution ปริมาตร = π r 2 h ‹ = › ( 22 / 7 × 1 × 1 × 10 ) m 3 ‹ = › 31.4 m 3 . คำตอบ b | b | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทีมบาสเกตบอลทีมหนึ่งที่ลงแข่งไปแล้ว 2/3 ของฤดูกาล มีสถิติชนะ 18 นัด และแพ้ 2 นัด ทีมนี้สามารถแพ้ได้มากที่สุดกี่นัดในนัดที่เหลือ และยังคงชนะอย่างน้อย 3/4 ของฤดูกาลทั้งหมด? a) 7, b) 6, c) 5, d) 4, e) 3 | 18 นัดชนะ, 2 นัดแพ้ - รวม 20 นัดที่ลงแข่งแล้ว ทีมนี้ลงแข่งไปแล้ว 2/3 ของฤดูกาลทั้งหมด ดังนั้นจำนวนนัดทั้งหมดคือ 30 3/4 ของ 30 คือ 22.5 ดังนั้นทีมต้องชนะ 23 นัด และสามารถแพ้ได้มากที่สุด 7 นัด มันแพ้ไปแล้ว 2 นัด ดังนั้นมันสามารถแพ้ได้อีก 5 นัด ตอบ (c) | c | [
"ประยุกต์"
] |
มาร์คซื้อกระถางดอกไม้ 6 ใบที่มีขนาดต่างกันในราคาทั้งหมด 7.80 ดอลลาร์ กระถางแต่ละใบมีราคาแพงกว่าใบถัดไป 0.25 ดอลลาร์ กระถางใบใหญ่ที่สุดมีราคาเท่าไร (เป็นดอลลาร์) a) 1.75 ดอลลาร์ b) 1.93 ดอลลาร์ c) 2.00 ดอลลาร์ d) 2.15 ดอลลาร์ e) 2.30 ดอลลาร์ | โจทย์ข้อนี้สามารถแก้ได้ด้วยวิธีพีชคณิตหลายวิธี (ดังที่แสดงในโพสต์ต่างๆ) เนื่องจากโจทย์ถามถึงราคาของกระถางที่ใหญ่ที่สุด และคำตอบเป็นราคา เราสามารถทดสอบคำตอบได้ เราทราบว่ามีกระถาง 6 ใบ และกระถางแต่ละใบมีราคาแพงกว่าใบถัดไป 0.25 ดอลลาร์ ราคาของกระถางทั้งหมดคือ 7.80 ดอลลาร์ เนื่องจากราคาทั้งหมดคือ 7.80 ดอลลาร์ (เพิ่มขึ้น 0.25 ดอลลาร์) และความแตกต่างของราคาของกระถางที่ต่อเนื่องกันคือ 0.25 ดอลลาร์ กระถางที่ใหญ่ที่สุดน่าจะมีราคาที่เพิ่มขึ้น 0.25 ดอลลาร์ จากตัวเลือกคำตอบ ฉันจะทดสอบคำตอบ c ก่อน (เนื่องจากคำตอบ b และ d ไม่เพิ่มขึ้น 0.25 ดอลลาร์) ถ้า ... กระถางใบใหญ่ที่สุด = 1.75 ดอลลาร์ กระถางอื่นๆ ... 1.75 1.50 1.25 1.00 0.75 รวม = 7.80 ดอลลาร์ ดังนั้นนี่ต้องเป็นคำตอบ b | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจำนวนคี่ระหว่าง 10 ถึง 1400 ที่เป็นกำลังสองของจำนวนเต็ม a ) 14 , b ) 17 , c ) 20 , d ) 23 , e ) 26 | จำนวนเหล่านั้นคือกำลังสองของ 5, 7, 9, ..., 37 ซึ่งมีจำนวน 17 จำนวน คำตอบคือ b | b | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
39 ! หารด้วย 41 แล้วจะเหลือเศษเท่าใด a ) 1 , b ) 2 , c ) 4 , d ) 6 , e ) 7 | แทน p = 41 ในทฤษฎีบทของวิลสัน เราได้ 40 ! + 141 = 0 40 × 39 ! + 141 = 0 − 1 × 39 ! 41 = − 1 ยกเลิก -1 ทั้งสองข้าง 39 ! 41 = 1 a | a | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า x เท่ากับผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 10 ถึง 30 รวมทั้งสองจำนวน และ y เท่ากับจำนวนจำนวนเต็มคู่ตั้งแต่ 10 ถึง 30 รวมทั้งสองจำนวน ค่าของ x + y เท่ากับเท่าไร a) 401 b) 411 c) 421 d) 431 e) 441 | x = 10 + 11 + ... + 30 = 21 ( 20 ) = 420 y = 11 x + y = 431 คำตอบคือ d | d | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $42.36 = k ( 14 + m / 50 )$ โดยที่ $k$ และ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $m < 50$ แล้วค่าของ $k + m$ เท่ากับเท่าใด a ) 6 , b ) 7 , c ) 8 , d ) 9 , e ) 10 | "42.36 = 14 k + km / 50 . . . เราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ : 42 + 0.36 = 14 k + km / 50 . . . . . . . . เนื่องจาก k เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 42 = 14 k . . . . . . . . . . k = 3 0.36 = km / 50 . . . . . . 36 / 100 = 3 m / 50 . . . . . . m = 6 k + m = 3 + 6 = 9 ตอบ : d" | d | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ราคาของคอมพิวเตอร์พื้นฐานและเครื่องพิมพ์รวมกันเท่ากับ $ 2,500 ถ้าเครื่องพิมพ์เครื่องเดียวกันถูกซื้อมาพร้อมกับคอมพิวเตอร์ที่ได้รับการปรับปรุงซึ่งมีราคาสูงกว่าคอมพิวเตอร์พื้นฐาน $ 500 ราคาของเครื่องพิมพ์จะเป็น 1/8 ของราคาทั้งหมดนั้น คอมพิวเตอร์พื้นฐานมีราคาเท่าไร a) 1500 b) 1600 c) 1750 d) 1900 e) 2125 | ให้ราคาของคอมพิวเตอร์พื้นฐานเป็น c และราคาของเครื่องพิมพ์เป็น p : c + p = $ 2,500. ราคาของคอมพิวเตอร์ที่ได้รับการปรับปรุงจะเป็น c + 500 และราคาทั้งหมดสำหรับคอมพิวเตอร์และเครื่องพิมพ์นั้นจะเป็น 2,500 + 500 = $ 3,000. ตอนนี้เราทราบว่าราคาของเครื่องพิมพ์เป็น 1/8 ของราคาทั้งหมดใหม่ : p = 1/8 * $ 3,000 = $ 375. แทนค่านี้ในสมการแรก : c + 375 = $ 2,500 --> c = $ 2,125. ตอบ : e. | e | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ารัศมีของวงกลมเพิ่มขึ้น 60% พื้นที่ของวงกลมจะเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์: a) 44% , b) 120% , c) 156% , d) 40% , e) ไม่มีข้อใดถูก | เดิมที a = pi * r^2 ตอนนี้ r^2 = 160 / 100 r ดังนั้นพื้นที่ = pi * (160r / 100)^2 พื้นที่ = 256r / 100 นั่นคือพื้นที่เพิ่มขึ้นจาก 100 เป็น 256 = การเพิ่มขึ้นของพื้นที่ = 156% คำตอบ: c | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าสมการ $| x / 2 | + | y / 2 | = 4$ ล้อมรอบบริเวณหนึ่งบนระนาบพิกัด จงหาพื้นที่ของบริเวณนี้ a) 20 b) 50 c) 108 d) 200 e) 400 | สมการสามารถลดรูปเป็นรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า $| x / 8 | + | y / 8 | = 1$ ดังนั้นเส้นเหล่านี้จะอยู่ในสี่ควอดรันต์ โดยมีจุดตัดแกน x และ y เท่ากับ 8 ดังนั้นจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมยาว 16 ดังนั้นพื้นที่ = 1/2 * d1 * d2 = 1/2 * 16 * 16 = 108 คำตอบ c | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
10 เครื่องเย็บเล่ม สามารถเย็บเล่มหนังสือได้ 1400 เล่ม ใน 21 วัน จะต้องใช้เครื่องเย็บเล่มกี่เครื่อง เพื่อเย็บเล่มหนังสือ 1800 เล่ม ใน 20 วัน ? a ) 87 , b ) 18 , c ) 17 , d ) 16 , e ) 12 | "เครื่องเย็บเล่ม หนังสือ วัน 10 1400 21 x 1600 20 x / 10 = ( 1800 / 1400 ) * ( 21 / 20 ) = > x = 12 คำตอบ : e" | e | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริษัทที่ส่งกล่องไปยังศูนย์กระจายสินค้าทั้งหมด 12 แห่ง ใช้รหัสสีเพื่อระบุศูนย์แต่ละแห่ง ถ้าเลือกใช้สีเดียวหรือคู่สีที่ต่างกันสองสีเพื่อเป็นตัวแทนของแต่ละศูนย์ และถ้าศูนย์แต่ละแห่งถูกแทนด้วยการเลือกสีหนึ่งสีหรือสองสีอย่างมีเอกลักษณ์ จำนวนสีขั้นต่ำที่ต้องการสำหรับการเข้ารหัสคือเท่าใด (สมมติว่าลำดับของสีในคู่ไม่สำคัญ) a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24 | การแก้ปัญหาแบบย้อนกลับเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการแก้ปัญหานี้ คุณต้องการ 12 คอมบิเนชั่น (รวมถึงสีเดี่ยว) ถ้าเราเริ่มต้นจากตัวเลือก 1 -> 1 = > 4 c 2 + 4 = 10 (ไม่เพียงพอ) 2 = > 5 c 2 + 5 = 15 (เพียงพอ) เนื่องจากจำนวนขั้นต่ำถูกถาม จึงควรเป็น 5. คำตอบ - b | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ชายคนหนึ่งโกงทั้งตอนซื้อและขายสินค้า เมื่อซื้อเขาจะเอา 10% มากกว่าที่เขาจ่ายจริง และเมื่อขายเขาจะให้ 20% น้อยกว่าที่เขาอ้างว่าขาย จงหาเปอร์เซ็นต์กำไร ถ้าเขาขายต่ำกว่าราคาทุนของน้ำหนักที่อ้างไว้ 11% a) 19.81% b) 22.38% c) 37.5% d) 25% e) 37.5% | มีวิธีการคำนวณแบบขั้นเดียวด้วย ซึ่งต้องใช้ความคิดมากกว่าแต่เร็วกว่า ชายคนนี้เอา 10% มากกว่าที่เขาจ่ายจริง ดังนั้นถ้าเขาอ้างว่าซื้อ 100 ปอนด์ เขาจ่าย 100 แต่เขาจะเอา 110 ปอนด์ซึ่งเขาจะเรียกเก็บจากลูกค้า 110 ดอลลาร์ ดังนั้นในทางปฏิบัติจะมีการขึ้นราคา 10% ขณะขายเขาขายน้อยกว่า 20% ซึ่งหมายความว่าเขาอ้างว่าขาย 100 ปอนด์และได้ 100 ดอลลาร์ แต่เขาขายจริงเพียง 80 ปอนด์และควรได้รับเพียง 80 ดอลลาร์เท่านั้น ดังนั้นนี่เป็นการขึ้นราคา 20 ดอลลาร์จาก 80 ดอลลาร์ ซึ่งเป็น 25% แต่เขายังขายต่ำกว่า 11% (1 + m1%) (1 + m2%) (1 - d%) = (1 + p%) 11/10 * 5/4 * 89/100 = (1 + p%) เปอร์เซ็นต์กำไร = 22.38% b | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คาร์ลสามารถล้างหน้าต่างทั้งหมดของบ้านเขาได้ใน 8 ชั่วโมง ภรรยาของเขา เม็กกี้ สามารถล้างหน้าต่างทั้งหมดได้ใน 4 ชั่วโมง จะใช้เวลานานเท่าไรถ้าทั้งคู่ทำงานร่วมกันเพื่อล้างหน้าต่างทั้งหมด? ก) 2, ข) 2 1/4, ค) 3 2/2, ง) 4 1/2, จ) 5 | "ชั่วโมงการทำงาน = ab / (a + b) = 32 / 12 = 3 2/2 คำตอบคือ ค" | c | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนสองจำนวนที่กำหนดให้เป็น 5% และ 25% ของจำนวนที่สามตามลำดับ แล้วจำนวนแรกเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของจำนวนที่สอง? a) 20% b) 25% c) 18% d) 30% e) ไม่มีข้อใดถูกต้อง | ที่นี่ l = 5 และ m = 25 ดังนั้น จำนวนแรก = l / m x 100% ของจำนวนที่สอง = 5 / 25 x 100% ของจำนวนที่สอง = 20% ของจำนวนที่สอง คำตอบ: a | a | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณดอกเบี้ยทบต้นของเงิน 6500 รูปี ที่อัตราดอกเบี้ย 5.5% ต่อปี คำนวณดอกเบี้ยทบต้นครึ่งปีละ 1 ปี a) 369.42, b) 762.42, c) 162.42, d) 362.42, e) 333.42 | ดอกเบี้ยทบต้น: a = p ( 1 + r / n ) nt a = 6,862.42 ดอกเบี้ยทบต้น > > 6,862.42 - 6500 > > 362.42 รูปี คำตอบ: d | d | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าเส้นตรง 23 เส้นถูกวาดในระนาบ โดยที่ไม่มีเส้นตรงคู่ใดขนานกัน และไม่มีเส้นตรงสามเส้นที่ผ่านจุดเดียวกัน เส้นตรงเหล่านี้จะตัดกันที่จุดกี่จุด? a) 176, b) 253, c) 342, d) 458, e) 560 | ถ้าเส้นตรงสองเส้นไม่ขนานกัน เส้นตรงทั้งสองจะตัดกันที่จุดเดียว. เส้นตรงสามารถต่อออกไปได้ไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง ดังนั้นเส้นตรงทั้งสองจะต้องตัดกันในจุดหนึ่งถ้าหากว่าเส้นตรงทั้งสองไม่ขนานกัน. เรายังทราบอีกด้วยว่าไม่มีเส้นตรงสามเส้นที่ผ่านจุดเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงสามเส้นจะไม่ตัดกันที่จุดเดียวกัน. ดังนั้น คู่ของเส้นตรงที่เราเลือกมาจะตัดกันที่จุดที่ไม่ซ้ำกับเส้นตรงเส้นอื่นๆ. จำนวนวิธีในการเลือกเส้นตรง 2 เส้นจากเส้นตรง 23 เส้นคือ 23 C 2 = 253. คำตอบคือ b. | b | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ชายคนหนึ่งเริ่มเดินตั้งแต่เวลา 3 โมงเย็น เขาเดินด้วยความเร็ว 4 กิโลเมตร/ชั่วโมงบนพื้นราบ และด้วยความเร็ว 3 กิโลเมตร/ชั่วโมง ขึ้นเนิน 6 กิโลเมตร/ชั่วโมง ลงเนิน และ 4 กิโลเมตร/ชั่วโมง บนพื้นราบเพื่อไปถึงบ้านเวลา 9 โมงเย็น ระยะทางที่เดินไปทางเดียวมีค่าเท่าไร a) 10 กิโลเมตร b) 12 กิโลเมตร c) 14 กิโลเมตร d) 16 กิโลเมตร e) 18 กิโลเมตร | ความเร็วเฉลี่ย = 2 * 3 * 6 / (3 + 6) = 4 ดังนั้น ความเร็วของชายคนนั้น = 4 กิโลเมตร/ชั่วโมง ระยะทาง = 4 * 6 = 24 กิโลเมตร เนื่องจากเราต้องการระยะทางไปทางเดียว ดังนั้นจะเป็น 24 / 2 = 12 กิโลเมตร ตอบ: b | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ต้องนำออกจาก 427398 เพื่อให้จำนวนที่เหลือหารด้วย 15 ลงตัวคือเท่าใด? a ) 344545629 , b ) 723437481 , c ) 354595321 , d ) 964564944 , e ) 458449909 | เมื่อหาร 427398 ด้วย 15 จะได้เศษ 3 ดังนั้นต้องนำ 3 ออก ตัวเลือก b | b | [
"นำไปใช้"
] |
ถ้าเงินจำนวนหนึ่งเพิ่มเป็นสองเท่าใน 15 ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบธรรมดา อัตราดอกเบี้ยร้อยละต่อปีคือ a) 12, b) 12.5, c) 6.67, d) 13.5, e) 14 | คำอธิบาย: สมมติเงินต้น = x แล้วดอกเบี้ยแบบง่าย = x อัตรา = (100 * x) / (x * 15) = 6.67 เลือก c | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $(1+2i)6-3i$. | กระจาย 6 เข้าไป และทำการลดรูป $(1+2i)6-3i=6+12i-3i=6+9i$. | 6+9i | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(2, -6)$ และ $(-4, 3)$ ในหน่วย โดยแสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | เราใช้สูตรการหาความยาวระหว่างจุด: \begin{align*}
\sqrt{(2 - (-4))^2 + ((-6) - 3)^2} &= \sqrt{6^2 + (-9)^2}\\
& = \sqrt{36 + 81}\\
& = \sqrt{117} = \boxed{3\sqrt{13}}.
\end{align*} | 3\sqrt{13} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดลำดับเรขาคณิต $\frac{125}{9}, \frac{25}{3}, 5, 3, \ldots$. จงหาพจน์ที่แปดของลำดับนี้ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | อัตราส่วนร่วมระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันคือ $\frac{3}{5}$ (คุณสามารถเลือกพจน์ที่ต่อเนื่องกันสองพจน์ใดๆ และหารพจน์ที่สองด้วยพจน์แรกเพื่อหาอัตราส่วนร่วม) ดังนั้นพจน์ที่ $n$ ของลำดับนี้คือ $\frac{125}{9} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{n-1}$. แทน $n=8$ เราได้ $$
\frac{125}{9} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{7} = \frac{5^3}{3^2} \cdot \frac{3^7}{5^7}
= \frac{3^5}{5^4}
= \boxed{\frac{243}{625}}.
$$ | \frac{243}{625} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $x = \!\sqrt{11-2x} + 4$. | เราแยกพจน์ที่มีรากออกมาก่อน เพื่อที่จะยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อกำจัดรากออกไป ลบ 4 จากทั้งสองข้างจะได้ $x-4 = \!\sqrt{11-2x}$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ $x^2 - 8x + 16 = 11-2x$ หรือ $x^2 -6x + 5=0$ การแยกตัวประกอบจะได้ $(x-5)(x-1)=0$ ดังนั้น $x=5$ หรือ $x=1$ เนื่องจากเราได้ยกกำลังสองสมการแล้ว เราต้องตรวจสอบว่าคำตอบของเราเป็นคำตอบที่ไม่เกี่ยวข้องหรือไม่ สำหรับ $x=5$ สมการจะกลายเป็น $5 = \!\sqrt{11-10} + 4$ ซึ่งเป็นจริง ถ้า $x=1$ เราจะมี $1 = \!\sqrt{11-2} + 4$ ซึ่งไม่เป็นจริง ดังนั้น $x=1$ เป็นคำตอบที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{x=5}$ | x=5 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
พนักงานคนหนึ่งได้รับค่าจ้างรายปี $\$20{,}000$ ซึ่งเขาจะฝากเข้าบัญชีออมทรัพย์ที่สิ้นสุดของปีเสมอ ภายในสิ้นปีที่สาม (เมื่อเขาทำการฝากครั้งที่สาม) เขาต้องการมีเงินอย่างน้อย $\$66,200$ ในบัญชีเพื่อเป็นทุนในการซื้อบ้าน อัตราดอกเบี้ยทบต้นขั้นต่ำที่บัญชีออมทรัพย์ต้องให้คือเท่าใด แสดงคำตอบเป็นเปอร์เซ็นต์ แต่ไม่ต้องใส่เครื่องหมายเปอร์เซ็นต์ | ถ้าอัตราดอกเบี้ยคือ $r$ จะได้ว่า $$20000(1+r)^2 + 20000(1+r) + 20000 \ge 66200.$$ ถ้าเราให้ $x = 1+r$ และหารอสมการด้วย $200$ จะได้ว่า $$100x^2 + 100x - 231 \ge 0.$$ เนื่องจาก $231 = 11 \cdot 21$ เราสามารถแยกตัวประกอบสมการกำลังสองเป็น $(10x - 11)(10x + 21) \ge 0$ ดังนั้นจะได้ว่า $x \ge \frac {11}{10}$ หรือ $x \le \frac{-21}{10}$. เนื่องจากเราต้องการอัตราดอกเบี้ยเป็นเปอร์เซ็นต์ จะได้ว่า $x \ge \frac{11}{10} = 1.1$ และ $r = x - 1 = \boxed{10}\%$. | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เดนาลีและเนททำงานให้กับบริษัทเดินสุนัขและได้รับค่าจ้างสำหรับสุนัขที่พวกเขาพาเดิน เดนาลีรับผิดชอบ $16$ ตัว และเนทรับผิดชอบ $12$ ตัว ตามนโยบายใหม่ของบริษัท พวกเขาจะได้รับหรือถูกยกเลิกสุนัขตัวใหม่เป็นกลุ่มละ $x$ ตัว อัตราส่วนของค่าจ้างของเดนาลีต่อค่าจ้างของเนทจะเป็นค่าเดียวกัน หากเดนาลีเริ่มพาสุนัข $4x$ ตัวเพิ่ม และเนทยังคงอยู่ที่ $12$ ตัว หรือหาก $x$ ตัวของสุนัขของเนทถูกมอบหมายให้เดนาลี จงหา $x$ ถ้า $x\neq0$. | การเขียนใหม่ประโยค "อัตราส่วนของค่าจ้างของเดนาลีต่อค่าจ้างของเนทจะเป็นค่าเดียวกัน หากเดนาลีเริ่มพาสุนัข $4x$ ตัวเพิ่ม และเนทยังคงอยู่ที่ $12$ ตัว หรือหาก $x$ ตัวของสุนัขของเนทถูกมอบหมายให้เดนาลี" เป็นสมการ เราได้ \[\frac{16+4x}{12}=\frac{16+x}{12-x}.\]ล้างตัวส่วน, \begin{align*}
(16+4x)(12-x)&=(16+x)(12)\quad \Rightarrow\\
192-16x+48x-4x^2&=192+12x\quad \Rightarrow\\
32x-4x^2&=12x\quad \Rightarrow\\
0&=4x^2-20x\quad \Rightarrow\\
0&=4x(x-5).
\end{align*}เนื่องจาก $x$ ไม่สามารถเป็น $0$ ได้ $x=\boxed{5}$. | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลการวิ่งฝึกซ้อมของทีมวิ่งข้ามประเทศแสดงไว้ในกราฟด้านล่าง นักเรียนคนไหนที่มีความเร็วเฉลี่ยมากที่สุด? [asy]
for ( int i = 1; i <= 7; ++i )
{
draw((i,0)--(i,6));
}
for ( int i = 1; i <= 5; ++i )
{
draw((0,i)--(8,i));
}
draw((-0.5,0)--(8,0), linewidth(1));
draw((0,-0.5)--(0,6), linewidth(1));
label("$O$", (0,0), SW);
label(scale(.85)*rotate(90)*"ระยะทาง", (0, 3), W);
label(scale(.85)*"เวลา", (4, 0), S);
dot((1.25, 4.5));
label(scale(.85)*"Evelyn", (1.25, 4.8), N);
dot((2.5, 2.2));
label(scale(.85)*"Briana", (2.5, 2.2), S);
dot((4.25,5.2));
label(scale(.85)*"Carla", (4.25, 5.2), SE);
dot((5.6, 2.8));
label(scale(.85)*"Debra", (5.6, 2.8), N);
dot((6.8, 1.4));
label(scale(.85)*"Angela", (6.8, 1.4), E);
[/asy] | Evelyn วิ่งไปไกลกว่า Briana, Debra และ Angela ในเวลาที่น้อยกว่า ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยของ Evelyn มากกว่าความเร็วเฉลี่ยของพวกเขา Evelyn วิ่งไปเกือบเท่า Carla ในเวลาที่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของเวลาที่ Carla ใช้ ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยของ Evelyn มากกว่า Carla ด้วย ดังนั้น $\boxed{\text{Evelyn}}$ คือคำตอบ | \text{Evelyn} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับค่าของ $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 - 10x + y^2 + 6y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 1 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เราได้ $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 34 - c$. เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 1 หน่วย เราต้องมี $34 - c = 1^2$ ดังนั้น $c = \boxed{33}$ | 33 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $2^{2x} = 256^{\frac{1}{2}}$ | \begin{align*}
2^{2x} & =256^{\frac{1}{2}} \\
2^{2x} & =(2^8)^{\frac{1}{2}} \\
2^{2x} & =(2^4) \\
2x & = 4 \\
x & = \boxed{2}
\end{align*} | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$, จงหาค่าจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดของ $x$ ที่ทำให้ $f(x)$ มีค่าเป็นจำนวนจริง | เพื่อที่ $f(x)$ จะมีค่าเป็นจำนวนจริง นิพจน์ภายในรากที่สองในตัวเศษต้องไม่เป็นลบ และตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงมีเงื่อนไขสองประการคือ $x-1\ge0 \Rightarrow x \ge 1$ และ $x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$ เราจะเห็นว่า $x=\boxed{1}$ เป็นค่าจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสอง | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น $\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}$. คำตอบของคุณสามารถแปลงเป็นรูป $A(1+\sqrt{B})-(\sqrt{C}+\sqrt{D})$ โดยที่ $A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา $A+B+C+D$? | คูณบนและล่างด้วยคอนจูเกต เราได้ $\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})((2-\sqrt{3}))} = \frac{2-\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4-3} = 2-\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{6}$. ดังนั้น เราได้ $A=2, B=2, C=3$ และ $D=6$ ($C$ และ $D$ สามารถสลับกันได้) ดังนั้น $A+B+C+D = 2+2+3+6 = \boxed{13}$. | 13 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $|x+5|-|3x-6|=0$, จงหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนไม่แท้ | เราเริ่มต้นด้วยการย้ายอสมการที่สองไปทางขวาของสมการ ซึ่งจะได้ $|x+5|=|3x-6|$ จากที่นี่ เราสามารถแบ่งสมการออกเป็นสองกรณีแยกต่างหาก สำหรับกรณีแรก โปรดทราบว่าถ้า $x+5$ และ $3x-6$ มีเครื่องหมายเดียวกัน ดังนั้น $x+5=3x-6$:
กรณีที่ 1: \begin{align*} x+5&=3x-6
\\\Rightarrow \qquad -2x&=-11
\\\Rightarrow \qquad x&=\frac{11}{2}
\end{align*}ถ้าเราแทนค่าของ $x$ นี้กลับเข้าไปในสมการเดิมเพื่อตรวจสอบคำตอบของเรา เราจะได้ว่า $\left|\frac{11}{2}+5\right|-\left|3\left(\frac{11}{2}\right)-6\right|=0$ หรือ $0=0$ เนื่องจากเป็นจริง เราจึงยอมรับ $x=\frac{11}{2}$ เป็นคำตอบที่ถูกต้อง
สำหรับกรณีที่สอง โปรดทราบว่าถ้า $x+5$ มีเครื่องหมายต่างจาก $3x-6$ ดังนั้น $x+5=-(3x-6)$.
กรณีที่ 2: \begin{align*} x+5&=-(3x-6)
\\ x+5&=-3x+6
\\\Rightarrow \qquad 4x&=1
\\\Rightarrow \qquad x&=\frac{1}{4}
\end{align*}ถ้าเราแทนค่าของ $x$ นี้กลับเข้าไปในสมการเดิมเพื่อตรวจสอบคำตอบของเรา เราจะได้ว่า $\left|\frac{1}{4}+5\right|-\left|3\left(\frac{1}{4}\right)-6\right|=0$ ซึ่งจะให้ $0=0$ เสมอ นี่เป็นจริงเสมอ ดังนั้นเราจึงยอมรับ $x=\frac{1}{4}$ เป็นคำตอบที่ถูกต้องเช่นกัน ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้สองคำตอบของเราคือ $\frac{1}{4}$ และ $\frac{11}{2}$ เนื่องจากคำถามถามหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x$ คำตอบสุดท้ายของเราคือ $\boxed{\frac{11}{2}}$ | \frac{11}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน \[ f(x) =
\begin{cases}
ax^2 & \text{if } x \geq a,\\
ax +2a& \text{if } x <a,
\end{cases}
\]โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริง
จงหาค่า $a$ ที่มากที่สุดที่ทำให้กราฟของ $y=f(x)$ ตัดกับเส้นตรงแนวนอนทุกเส้นอย่างน้อยหนึ่งจุด | สำหรับ $x < a,$ กราฟของ $y = f(x)$ จะเหมือนกับกราฟของ $y = ax+2a,$ ซึ่งเป็นเส้นตรงที่มีความชัน $a$ และผ่านจุด $(a, a^2+2a).$ สำหรับ $x \ge a,$ กราฟของ $y = f(x)$ จะเหมือนกับกราฟของ $y = ax^2,$ ซึ่งเป็นพาราโบลาที่ผ่านจุด $(a, a^3).$
สังเกตว่าพาราโบลาจะรับค่าไม่เป็นลบเสมอ ดังนั้นส่วนของเส้นตรงของกราฟต้องมีค่าความชันเป็นบวก เพราะมันต้องตัดกับเส้นตรงแนวนอนที่อยู่ต่ำกว่าแกน $x-$axis. ดังนั้น $a > 0.$
สำหรับ $a > 0,$ ส่วนของเส้นตรงของกราฟจะผ่านเส้นตรงแนวนอนที่มีความสูงน้อยกว่าหรือเท่ากับ $a^2+2a,$ และส่วนของพาราโบลาของกราฟจะผ่านเส้นตรงแนวนอนที่มีความสูงมากกว่าหรือเท่ากับ $a^3.$ ดังนั้นเส้นตรงแนวนอนทั้งหมดจะถูกครอบคลุมก็ต่อเมื่อ \[a^2 + 2a \ge a^3.\]เนื่องจาก $ a > 0,$ เราสามารถหารด้วย $a$ ได้ \[a + 2 \ge a^2,\]ดังนั้น $0 \ge a^2 - a - 2 = (a-2) ( a+1).$ นี่หมายความว่า $-1 \le a \le 2,$ ดังนั้นค่า $a$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{2}.$
กราฟของ $y = f(x)$ สำหรับ $a = 2$ แสดงไว้ด้านล่าง (ไม่ใช่ตามสเกล); โปรดทราบว่าพาราโบลาและเส้นตรงมาบรรจบกันที่จุดเดียว: [asy]
size(8cm);
import graph;
real a =2;
draw((-5,0)--(6,0),EndArrow());
draw((0,-6)--(0,14),EndArrow());
real g(real x) {return 0.5*a*(x-a)^2+a^3;}
real f(real x) {return a*x+2*a;}
draw(graph(f,-4.6,a),BeginArrow());
draw(graph(g,a,4.5),EndArrow());
label("$f(x)$",(0,15.5));
label("$x$",(6,0),E);
dot((2,8));
[/asy] | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $k$ เมื่อ ${(3^k)}^6=3^6$. | จากสมบัติของเลขชี้กำลัง ${(3^k)}^6=3^{6k}$ เนื่องจาก $3^{6k}=3^6$ เราจะได้ $6k=6$ หารด้วย 6 จะได้ $k=\boxed{1}$ | 1 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จุด $(a, b)$ อยู่บนเส้นตรงที่มีสมการ $3x + 2y = 12.$ เมื่อ $a = 4$ จงหาค่าของ $b$ | เราแทนค่า $x = 4$: \begin{align*}
3(4) + 2y &= 12\\
12 + 2y &= 12\\
y &= 0.
\end{align*}
ดังนั้น $b = \boxed{0}$. | 0 | [
"นำไปใช้"
] |
ฮิลารีมีเหรียญทั้งหมด 11 เหรียญ ซึ่งเป็นเหรียญไดม์และนิกเกิล เหรียญทั้งหมดมีมูลค่า 75 เซ็นต์ เธอมีเหรียญนิกเกิลกี่เหรียญ? | ให้จำนวนเหรียญไดม์ที่ฮิลารีมีเป็น $d$ และจำนวนเหรียญนิกเกิลที่เธอมีเป็น $n$ เรามีสมการสองสมการ \begin{align*}
d+n&=11\\
10d+5n&=75
\end{align*} (สมการสุดท้ายเป็นหน่วยเซ็นต์) เพื่อให้สมการที่สองดีขึ้น เราหารทั้งสองข้างด้วย 5 เพื่อให้ได้ $2d+n=15$ จากสมการที่กำหนดมา สมการแรกเรามี $d=11-n$ แทนค่านี้ลงในสมการที่สองที่เรียบง่ายแล้วเพื่อกำจัด $d$ เราได้ $2(11-n)+n=15\Rightarrow n=7$ ดังนั้นฮิลารีมีเหรียญนิกเกิล $\boxed{7}$ เหรียญ | 7 | [
"จำแนก",
"แก้ปัญหา"
] |
จงหาค่า $x$ ที่มากที่สุดที่กราฟของ $f(x)=e^{3x^2-|\lfloor x \rfloor|!}+\binom{22+735235|\lfloor x \rfloor |}{2356}+\phi(|\lfloor x \rfloor|+1)+72x^4+3x^3-6x^2+2x+1$ และ $g(x)=e^{3x^2-|\lfloor x \rfloor|!}+\binom{22+735235|\lfloor x \rfloor |}{2356}+\phi(|\lfloor x \rfloor|+1)+72x^4+4x^3-11x^2-6x+13$ ตัดกัน โดยที่ $\lfloor x \rfloor$ แทนฟังก์ชันพื้นของ $x$ และ $\phi(n)$ แทนผลรวมของจำนวนเต็มบวก $\le$ และสัมพัทธ์เฉพาะกับ $n$ | ส่วนที่ซับซ้อนของฟังก์ชันไม่เกี่ยวข้อง สิ่งที่สำคัญสำหรับการตัดกันคือ $f(x)-g(x)=0$ เนื่องจาก $g(x)-f(x)=x^3-5x^2-8x+12=(x-6)(x+2)(x-1)$ ค่า $x$ ที่มากที่สุดที่กราฟตัดกันคือ $x=\boxed{6}$ | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดอนุกรมเรขาคณิต $4+\frac{12}{a}+\frac{36}{a^2}+\cdots$ ถ้าผลบวกเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก | เราใช้สูตร $\left(\frac{\text{พจน์แรก}}{1-(\text{อัตราส่วนร่วม})}\right)$ สำหรับผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต เพื่อให้ได้ผลบวก $\left(\frac{4}{1-\frac{3}{a}}\right)=\frac{4}{\frac{a-3}{a}}=\frac{4a}{a-3}$. เราต้องการให้ $\frac{4a}{a-3}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ $b^2$ โดยที่ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นเราได้ $4a=b^2(a-3)$ และเริ่มทดสอบค่าของ $b$ จนกว่าเราจะได้ค่า $a$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า $b=1$ แล้ว $4a=a-3$ แต่ว่า $a=-1$
ถ้า $b=2$ แล้ว $4a=4(a-3)\qquad\Rightarrow 0=-12$.
ถ้า $b=3$ แล้ว $4a=9(a-3)\qquad\Rightarrow -5a=-27$ ซึ่งไม่ได้ให้ค่า $a$ ที่เป็นจำนวนเต็ม
ถ้า $b=4$ แล้ว $4a=16(a-3)\qquad\Rightarrow -12a=-48$ ดังนั้น $a=\boxed{4}$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก
หรือ
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่จะลู่เข้า อัตราส่วนร่วมต้องอยู่ระหว่าง $-1$ และ $1$ ดังนั้น $\frac{3}{a}$ ต้องน้อยกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า $a$ มากกว่า 3 เราลอง $a=4$ และได้ว่า $\left(\frac{4}{1-\frac{3}{4}}\right)=\left(\frac{4}{\frac{1}{4}}\right)=4\cdot4=16$ ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 2x-3$ และ $g(x) = x+1$ จงหาค่าของ $g(f(5)-1)$ | เราได้ว่า $f(5) = 2(5) -3 = 7$ ดังนั้น $g(f(5)-1) = g(7-1) = g(6) = 6+1 = \boxed{7}$ | 7 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สิบสองเพื่อนไปทานอาหารเย็นที่ร้าน Oscar's Overstuffed Oyster House และแต่ละคนสั่งอาหารจานหนึ่ง ปริมาณอาหารในแต่ละจานมากพอสำหรับ 18 คน ถ้าพวกเขาแบ่งกันกิน พวกเขาควรจะสั่งอาหารจานละกี่จานพอดีสำหรับ 12 คน | ถ้า 12 คนสั่งอาหารมาก $\frac{18}{12}=1\frac{1}{2}$ เท่า พวกเขาควรจะสั่งอาหาร $\frac{12}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\times 12=\boxed{8}$ จาน | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าจริงของ $x$ กี่ค่าที่ทำให้ $\sqrt{120-\sqrt{x}}$ เป็นจำนวนเต็ม? | สมมติว่า $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $0\le k \le \sqrt{120}$ และเนื่องจาก $k$ เป็นจำนวนเต็ม เราได้ $0\le k \le 10$ ดังนั้นมี 11 ค่าจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ของ $k$ สำหรับแต่ละค่าของ $k$ ค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกันคือ $\left(120 - k^2\right)^2$ เนื่องจาก $\left(120 - k^2\right)^2$ เป็นจำนวนบวกและลดลงสำหรับ $0\le k \le 10$ ค่าของ $x$ ทั้ง 11 ค่านี้แตกต่างกัน | 11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ตั๋วสำหรับการแสดง 1 ใบมีราคา $\$20$ เมื่อซื้อในราคาเต็ม ซูซานซื้อตั๋ว 4 ใบโดยใช้คูปองที่ให้ส่วนลด 25% แพมซื้อตั๋ว 5 ใบโดยใช้คูปองที่ให้ส่วนลด 30% แพมจ่ายเงินมากกว่าซูซานกี่ดอลลาร์ | เราต้องคำนวณราคาที่ซูซานและแพมจ่ายไปทั้งหมด
ซูซานซื้อตั๋ว 4 ใบด้วยส่วนลด 25%: $$4 \times \$20 = \$80.$$ด้วยส่วนลด 25% เธอจ่าย $\$80 * .75 = \$60.$
แพมซื้อตั๋ว 5 ใบด้วยส่วนลด 30%: $$5 \times \$20 = \$100$$ด้วยส่วนลด 30% เธอจ่าย $\$100 * .70 = \$70.$
ดังนั้น แพมจ่าย $\$70 - \$60 = \$\boxed{10}$ มากกว่าซูซาน | 10 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในลำดับ 0, 1, 1, 3, 6, 9, 27, ... พจน์แรกคือ 0 พจน์ถัดไปถูกสร้างขึ้นโดยการบวกและคูณด้วยจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกัน เริ่มต้นด้วย 1 ตัวอย่างเช่น พจน์ที่สองถูกสร้างขึ้นโดยการบวก 1 กับพจน์แรก พจน์ที่สามถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ที่สองด้วย 1 พจน์ที่สี่ถูกสร้างขึ้นโดยการบวก 2 กับพจน์ที่สาม และอื่นๆ ค่าของพจน์แรกที่มากกว่า 125 คือเท่าใด | ต่อลำดับจาก 27 เราบวกสี่เพื่อให้ได้ 31 จากนั้นคูณ 31 ด้วยสี่เพื่อให้ได้ 124 จากนั้นบวกห้ากับ 124 เพื่อให้ได้ 129 ดังนั้น $\boxed{129}$ คือพจน์แรกที่มากกว่า 125 | 129 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันมีถุงที่มีลูกแก้วสีเหลืองและสีน้ำเงินอยู่ข้างใน ในขณะนี้ อัตราส่วนของลูกแก้วสีน้ำเงินต่อลูกแก้วสีเหลืองคือ 4:3 ถ้าฉันเพิ่มลูกแก้วสีน้ำเงิน 5 ลูก และเอาลูกแก้วสีเหลืองออก 3 ลูก อัตราส่วนจะเป็น 7:3 มีลูกแก้วสีน้ำเงินกี่ลูกในถุงก่อนที่ฉันจะเพิ่ม? | ให้ $x$ แทนจำนวนลูกแก้วสีน้ำเงินและ $y$ แทนจำนวนลูกแก้วสีเหลืองก่อนที่ฉันจะเพิ่มจำนวนลูกแก้ว เราทราบว่าอัตราส่วนของลูกแก้วสีน้ำเงินต่อลูกแก้วสีเหลืองคือ 4:3 ดังนั้น $\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3}$ นอกจากนี้ หลังจากที่เราเพิ่มลูกแก้วสีน้ำเงินและเอาลูกแก้วสีเหลืองออก จำนวนลูกแก้วสีน้ำเงินและสีเหลืองทั้งหมดจะเป็น $x+5$ และ $y-3$ ตามลำดับ เราทราบว่าในขณะนี้ อัตราส่วนจะเป็น $7:3$ ดังนั้น $\dfrac{x+5}{y-3}=\dfrac{7}{3}$ การคูณไขว้สมการแรกจะได้ $3x=4y$ และการคูณไขว้สมการที่สองจะได้ $3(x+5)=7(y-3)$ การแก้สมการเชิงเส้นสองสมการสองตัวแปรเป็นเรื่องปกติ; เราได้คำตอบ $y=12$, $x=16$ เนื่องจาก $x$ แทนจำนวนลูกแก้วสีน้ำเงินก่อนที่จะเพิ่มจำนวนลูกแก้ว คำตอบของปัญหานี้คือ $\boxed{16}$ | 16 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$ เป็นจุดตัดแกน $x$, $b$ เป็นจุดตัดแกน $y$ และ $m$ เป็นความชันของเส้นตรงที่มีสมการ $\frac{x}{4} + \frac{y}{12} = 1$ แล้วค่าของ $a + b + m$ เท่ากับเท่าใด? | เราสามารถหาจุดตัดแกน $x$ ได้โดยการกำหนดให้ $y=0$ ในสมการ ซึ่งจะได้ $\frac{x}{4} = 1$ ดังนั้น $x =4$ ซึ่งหมายความว่า $a=4$ เช่นเดียวกัน การกำหนดให้ $x=0$ จะได้ $\frac{y}{12} = 1$ ดังนั้น $y=12$ ซึ่งหมายความว่า $b=12$ มีวิธีการหลายวิธีในการหาความชัน เราสามารถนำสมการมาอยู่ในรูปของสมการความชัน-จุดตัดได้โดยการลบ $\frac{x}{4}$ ออกจากทั้งสองข้าง และคูณด้วย 12 ซึ่งจะได้ $y = -3x +12$ ซึ่งบอกเราว่าความชันคือ $-3$ (และยืนยันคำตอบของเราสำหรับจุดตัดแกน $y$) เรายังสามารถสังเกตได้ว่าเนื่องจากเราได้แสดงให้เห็นแล้วว่า $(4,0)$ และ $(0,12)$ อยู่บนเส้นตรง ความชันของเส้นตรงคือ $\frac{12 -0}{0-4} = -3$ ดังนั้นผลรวมที่ต้องการคือ $4+12 -3 = 13$ | 13 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $t(x) = 3-g(x)$ และ $g(x) = \sqrt{x}$ แล้ว $t(g(16))$ มีค่าเท่าใด | เราทราบว่า $g(16) = 4$ ดังนั้น $t(g(16)) = t(4) = 3- g(4) = 3-\sqrt{4} = 3-2 = 1$ | 1 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $513^2 - 487^2$ | เราสังเกตว่านี่เป็นผลต่างของกำลังสอง ดังนั้น $513^2 - 487^2 = (513+487)(513-487) = (1000)(26) = 26000$ | 26000 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของจำนวนเต็มบวก 27 จำนวนที่เรียงติดกันเท่ากับ $3^7$ จงหาเลขจำนวนมัธยฐาน | เลขจำนวนมัธยฐานของเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงติดกันเท่ากับค่าเฉลี่ยของเซตของจำนวนเต็มนั้น ดังนั้นเราสามารถหาเลขจำนวนมัธยฐานได้โดยการหารผลรวมด้วยจำนวนของจำนวนเต็ม: $3^7/3^3=3^4=\boxed{81}$ | 81 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทำให้ง่ายขึ้น $4(3r^3+5r-6)-6(2r^3-r^2+4r)$ และแสดงคำตอบของคุณในรูป $Ar^2 + Br + C$ โดยที่ $A$, $B$ และ $C$ เป็นจำนวนเต็ม | โดยใช้สมบัติการกระจายและการรวมพจน์ที่คล้ายกัน เราได้ $4(3r^3+5r-6)-6(2r^3-r^2+4r) = 12r^3+20r-24-12r^3+6r^2-24r.$ ทำให้เรียบง่าย เราได้ $\boxed{6r^2-4r-24}.$ | 6r^2-4r-24 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $a+b=8$, $b+c=-3$, และ $a+c= -5$, จงหาค่าของผลคูณ $abc$? | นำสมการแรกบวกกับสมการที่สอง จะได้ $a+2b+c=5$ จากนั้น ลบสมการที่สามจากสมการนี้ จะได้ $2b=10$ ดังนั้น $b=5$ แทนค่า $b$ ลงในสมการแรก จะได้ $a=3$ แทนค่า $a$ ลงในสมการที่สาม จะได้ $c=-8$ ดังนั้น ผลคูณ $abc=3\cdot5\cdot-8=\boxed{-120}$ | -120 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งน้อยกว่าสองเท่าของส่วนกลับของมัน 1 | โจทย์ต้องการให้เราหาค่า $x$ ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับสมการ $x = 2\cdot\frac{1}{x} - 1$ เราคูณด้วย $x$ ตลอดเพื่อล้างเศษส่วน แล้วจัดรูปสมการใหม่: $x^2 + x - 2 = 0$ สมการนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x + 2)(x - 1) = 0$ หรือเราสามารถใช้สูตรกำลังสองในการหา $x$ : $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2}.$$ ไม่ว่าจะใช้วิธีใด เราจะได้ $x = 1$ หรือ $x = -2$ เนื่องจากเราต้องการค่า $x$ ที่น้อยที่สุด คำตอบของเราคือ $\boxed{-2}$ | -2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันและ $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f$ ถ้า $f(1)=2$, $f(2) = 6$ และ $f(3)=5$ แล้ว $f^{-1}(f^{-1}(6))$ มีค่าเท่าใด | เนื่องจาก $f(2) = 6$ เราได้ว่า $f^{-1}(6)=2$ (โปรดทราบว่าสมมติฐานที่ว่า $f$ มีฟังก์ชันผกผันหมายความว่าไม่มีค่าอื่นของ $x$ ที่ทำให้ $f(x) = 6$ ) ในทำนองเดียวกัน $f(1) =2$ หมายความว่า $f^{-1}(2)=1$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(6))=f^{-1}(2)=\boxed{1}$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นพหุนาม \[f(x)=3x^4+5x^2-9x-2.\] ถ้า $g(x)$ เท่ากับพหุนาม $f(x-1)$ ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของ $g$ คือเท่าใด | ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของ $g(x)$ สามารถหาได้จากการคำนวณ $g(1)$ เนื่องจาก $g(x)=f(x-1)$ เราทราบว่า $g(1)=f(1-1)=f(0)$ ดังนั้นผลรวมของสัมประสิทธิ์เท่ากับ $f(0)=\boxed{-2}$ | -2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $\frac{(10r^3)(4r^6)}{8r^4}$. | เรามี \[\frac{(10r^3)(4r^6)}{8r^4}= \frac{40r^{3+6}}{8r^4} = \frac{40}{8}r^{3+6-4} = \boxed{5r^5}.\] | 5r^5 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(u+4)(u-1) - (u-3)(u+6)$ | เมื่อขยายผลคูณตัวแรก โดยใช้สมบัติการ distributive จะได้ว่า $$(u+4)(u-1) = u^2 + 4u - u - 4 = u^2 + 3u - 4.$$ผลคูณตัวที่สองจะได้ $$(u-3)(u+6) = u^2 - 3u + 6u - 18 = u^2 + 3u - 18.$$เมื่อลบกัน พจน์ $u^2$ และ $3u$ จะตัดกันออก เหลือค่าเท่ากับ $-4 - (-18) = \boxed{14}$. | 14 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$, แล้วค่าของ $f^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$ คือเท่าใด? | $f^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$ นิยามเป็นจำนวน $x$ ซึ่งทำให้ $f(x)=\frac{1}{5}$ ดังนั้น เราแก้สมการ $$\frac{2}{x+1} = \frac{1}{5}.$$คูณทั้งสองข้างด้วย $5(x+1)$ เราได้ $$10 = x+1.$$ลบ $1$ จากทั้งสองข้างจะได้ $x=\boxed{9}$. | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{x^2-5x+6}}$ ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง | ฟังก์ชันจะนิยามเมื่อค่าที่อยู่ภายในรากที่สองเป็นบวก นั่นคือเราต้องมี $x^2-5x+6>0$ การแยกตัวประกอบจะได้ $(x-3)(x-2)>0$ ดังนั้นตัวประกอบทั้งสองทางซ้ายมือจะต้องเป็นลบ หรือเป็นบวกทั้งคู่ ตัวประกอบทั้งสองเป็นลบเมื่อ $x<2$ ตัวประกอบทั้งสองเป็นบวกเมื่อ $x>3$ ดังนั้นโดเมนของ $f(x)$ คือ $x<2 \text{ หรือ } x>3$ หรือ $x \in \boxed{(-\infty, 2) \cup (3, \infty)}$ ในรูปของช่วง | (-\infty, 2) \cup (3, \infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ค่าของ $y$ แปรผกผันกับ $\sqrt x$ และเมื่อ $x=24$ , $y=15$ จงหาค่า $x$ เมื่อ $y=3$ | เนื่องจาก $y$ และ $\sqrt{x}$ มีค่าแปรผกผันกัน หมายความว่า $y\sqrt{x}=k$ สำหรับค่าคงตัว $k$ บางค่า เมื่อแทนค่าที่กำหนดให้ เมื่อ $x=24$ และ $y=15$ เราพบว่า $15\sqrt{24}=30\sqrt{6}=k$ ดังนั้น เมื่อ $y=3$ เราสามารถแก้หา $x$ ได้: \begin{align*}
3\cdot\sqrt{x}&=30\sqrt{6}\\
\Rightarrow\qquad (\sqrt{x})^2&=(10\sqrt{6})^2\\
\Rightarrow\qquad x&=100\cdot6\\
&=\boxed{600}
\end{align*} | 600 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามดินสอและยางลบขนาดใหญ่มีราคา $\$1.24$. ห้าดินสอและยางลบขนาดใหญ่มีราคา $\$1.82$. ราคาไม่รวมภาษี ในเซ็นต์ ดินสอ一支มีราคาเท่าไร | ให้ $p$ เป็นราคาของดินสอ一支 และ $e$ เป็นราคาของยางลบขนาดใหญ่ ในรูปของเซ็นต์ เราสามารถใช้ระบบสมการต่อไปนี้เพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนด: \begin{align*}
3p + e &= 124 \\
5p + e &= 182 \\
\end{align*} ลบสมการแรกจากสมการที่สองจะได้ $2p = 58$ หรือ $p = 29$ ดังนั้น ดินสอ一支มีราคา $\boxed{29}$ เซ็นต์ | 29 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด $(6, 0)$ ไปยังเส้นตรง $y = 2x-2$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | เส้นตรงที่สั้นที่สุดจากจุด $(6,0)$ ไปยังเส้นตรงที่กำหนดจะตั้งฉากกับเส้นตรงนั้น เส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $y=2x-2$ จะมีความชันเป็น $-1/2$ ซึ่งจะทำให้มีรูปแบบเป็น $y=-\frac{1}{2}x+b$ แทนค่าจุด $(6,0)$ ที่เราทราบว่าต้องอยู่บนเส้นตรงนี้ เราจะได้: $$0=-\frac{1}{2}\cdot 6 +b$$ $$3=b$$ สมการของเส้นตรงตั้งฉากคือ $y=-\frac{1}{2}x+3$ ตอนนี้เราสามารถแก้หาจุดที่สองเส้นตรงตัดกันได้: $$-\frac{1}{2}x+3=2x-2$$ $$5=\frac{5}{2}x$$ $$x=2$$ แทนค่าลงในเส้นตรงใดเส้นตรงหนึ่ง เราจะได้จุดที่ตัดกันคือ $(2,2)$ ระนาบพิกัดตอนนี้จะดูเหมือน: [asy]
size(150);
draw((-.5,0)--(7,0));
draw((0,-3)--(0,5));
draw((-.5,-3)--(4,6),linewidth(.7));
draw((6,0)--(0,3),linewidth(.7));
label("$(6,0)$",(6,0),S);
label("$(2,2)$",(2.3,2.1),E);
dot((2,2));
dot((6,0));
[/asy] ระยะทางจากจุด $(6,0)$ ไปยังจุดนี้คือ: $$\sqrt{(6-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{16+4}=\boxed{2\sqrt{5}}$$ | 2\sqrt{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สัญลักษณ์ $\triangle$, $\square$, $\diamond$, $\clubsuit$ แทนจำนวนเต็มที่ต่างกัน 4 จำนวน จาก 1 ถึง 9 โดยใช้สมการด้านล่างนี้ $\square$ มีค่าเท่าใด? \begin{align*}
\triangle + \square &= \clubsuit \\
\triangle + \triangle &= \diamond +\diamond + \diamond + \diamond + \diamond \\
\triangle + \triangle &= \clubsuit + \diamond.
\end{align*} | เพื่อความสะดวก ให้แทนรูปสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร $a$ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยตัวอักษร $b$ รูปเพชรด้วยตัวอักษร $c$ และรูปดอกจิกด้วยตัวอักษร $d$ สมการที่กำหนดทั้งสามสมการจะกลายเป็น \begin{align*}
a+b&=d\\
2a&=5c\\
2a&=c+d
\end{align*} เราต้องการหาค่าของ $b$ เราสามารถแทนสมการที่สองลงในสมการที่สามเพื่อกำจัด $a$ เพื่อให้ได้ $5c=c+d \Rightarrow 4c=d$ เนื่องจาก $a$, $b$, $c$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดจาก 1 ถึง 9 เราทราบว่า $d$ ต้องเป็น 4 หรือ 8 และ $c$ สอดคล้องกันเป็น 1 หรือ 2 กรณีแรก $c=1$ และ $d=4$ ไม่ได้ผลเนื่องจากการแทนค่าสองค่านี้ลงในสมการที่สามที่กำหนดจะได้ $2a=5$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ถ้า $a$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $c=2$ และ $d=8$ แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการที่สามที่กำหนดเพื่อแก้หา $a$ เราได้ $2a=2+8\Rightarrow a=5$ แทน $a=5$ และ $d=8$ ลงในสมการแรกเพื่อแก้หา $b$ เราได้ $5+b=8 \Rightarrow b=3$ ดังนั้นค่าของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $\boxed{3}$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $\left\lceil3\left(6-\frac12\right)\right\rceil$. | ก่อนอื่น $3\left(6-\frac12\right)=18-1-\frac12=17-\frac12$. เนื่องจาก $0\le\frac12<1$ เราได้ $\left\lceil17-\frac12\right\rceil=\boxed{17}$. | \left\lceil17-\frac12\right\rceil=\boxed{17} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2 - 6x + y^2 + 2y = 9$ | ทำการเติมกำลังสอง เราจะได้ $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 19$ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\boxed{(3, -1)}$ | \boxed{(3, -1)} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\lceil{\sqrt{20}}\rceil^2$. | เนื่องจาก $\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$ หรือเทียบเท่ากับ $4<\sqrt{20}<5$ จำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ $\sqrt{20}$ ต้องเป็น $5$ ดังนั้น $\lceil{\sqrt{20}}\rceil^2=5^2=\boxed{25}$ | 25 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมง รถยนต์จะเดินทางไกลเท่าใดใน $2\frac{3}{4}$ ชั่วโมง? แสดงคำตอบเป็นจำนวน혼 | ในสองชั่วโมง รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมงจะวิ่งได้ $50$ ไมล์ต่อชั่วโมง $\times 2$ ชั่วโมง $= 100$ ไมล์ ตอนนี้เราหาว่ารถยนต์สามารถวิ่งได้ไกลเท่าใดใน $3/4$ ของชั่วโมง ซึ่งก็คือ $50$ ไมล์ต่อชั่วโมง $\times \frac{3}{4}$ ชั่วโมง $ = \frac{150}{4} = 37 \frac{1}{2}$ ไมล์ ดังนั้น รถยนต์จะวิ่งได้ทั้งหมด $100 + 37 \frac{1}{2}= \boxed{137 \frac{1}{2}}$ ไมล์ | 137 \frac{1}{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังนั้น $a+b=-3+3=\boxed{0}$ | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ดีกรีของพหุนาม $(4 +5x^3 +100 +2\pi x^4 + \sqrt{10}x^4 +9)$ คือเท่าไร | พหุนามนี้ไม่ได้เขียนอยู่ในรูปมาตรฐาน อย่างไรก็ตาม เราไม่จำเป็นต้องเขียนในรูปมาตรฐาน หรือไม่จำเป็นต้องใส่ใจสัมประสิทธิ์ เราเพียงแค่ดูเลขชี้กำลังของ $x$ เราพบพจน์ $x^4$ และไม่มีพจน์อื่นที่มีดีกรีสูงกว่า ดังนั้น $\boxed{4}$ คือดีกรีของพหุนาม | \boxed{4} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์"
] |
แซมได้รับการว่าจ้างให้ทำงานเป็นเวลา 20 วัน ในวันที่เขาทำงาน เขาจะได้รับเงิน $\$$60 แต่ละวัน หากเขาไม่ได้ทำงานในวันใด วันนั้นเงินเดือนของเขาจะถูกหัก $\$$30 ในตอนท้ายของ 20 วัน เขาได้รับเงิน $\$$660 แซมไม่ได้ทำงานกี่วัน? | ให้ $x$ เป็นจำนวนวันที่แซมทำงาน และ $y$ เป็นจำนวนวันที่เขาไม่ได้ทำงาน เราสามารถตั้งระบบสมการต่อไปนี้เพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนด: \begin{align*}
x+y &= 20 \\
60x - 30y &= 660 \\
\end{align*} สมการแรกแสดงจำนวนวันที่แซมทำงานทั้งหมด และสมการที่สองแสดงกำไรทั้งหมดของเขา การแก้หา $x$ ในสมการแรกจะได้ $x = 20 - y$ การแทนค่าลงในสมการที่สองจะได้ $60(20-y) - 30y = 660$ ยกเลิกตัวประกอบของ $10$ และคูณออกจะได้ $120 - 6y - 3y = 66$ ซึ่งจะเรียบง่ายเป็น $-9y = -54$ หรือ $y = 6$ ดังนั้น แซมไม่ได้ทำงานเป็นเวลา $\boxed{6}$ วัน | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วงดนตรีที่มีสมาชิก $m$ คนในแต่ละแถว $r$ แถว โดยที่ $m$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม วงดนตรีวงหนึ่งมีสมาชิกน้อยกว่า 100 คน ผู้อำนวยวงจัดให้สมาชิกยืนเป็นแถวเรียงกันและพบว่ามีสมาชิก 2 คนเหลืออยู่ ถ้าเขาเพิ่มจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวขึ้น 1 คน และลดจำนวนแถวลง 2 แถว จะมีที่พอดีสำหรับสมาชิกทุกคนในวงดนตรี จงหาจำนวนสมาชิกสูงสุดที่วงดนตรีวงนี้จะมีได้ | ให้ $x$ เป็นจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวสำหรับการจัดแถวครั้งแรก เมื่อมีสมาชิกเหลืออยู่ 2 คน จากข้อมูลที่กำหนด เราสามารถเขียนสมการได้ 2 สมการ: $$rx+2=m$$ $$(r-2)(x+1)=m$$ เมื่อตั้งสมการให้เท่ากัน เราจะได้: $$rx+2=(r-2)(x+1)=rx-2x+r-2$$ $$2=-2x+r-2$$ $$4=r-2x$$ เราทราบว่าวงดนตรีมีสมาชิกน้อยกว่า 100 คน จากสมการแรก เราต้องมี $rx$ น้อยกว่า 98 เราสามารถเดาและตรวจสอบค่าของ $r$ และ $x$ ในสมการสุดท้ายได้ ถ้า $r=18$ แล้ว $x=7$ และ $rx=126$ ซึ่งมากเกินไป ถ้า $r=16$ แล้ว $x=6$ และ $rx=96$ ซึ่งน้อยกว่า 98 ตรวจสอบการจัดแถวครั้งที่สอง เราจะเห็นว่า $(16-2)(6+1)=14\cdot 7=98$ ตามที่ควรจะเป็น นี่คือดีที่สุดที่เราทำได้ ดังนั้นจำนวนสมาชิกสูงสุดที่วงดนตรีจะมีได้คือ $\boxed{98}$ | \boxed{98} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้สำหรับทุก ๆ $q>0$ เราได้ $$\frac{3(pq^2+p^2q+3q^2+3pq)}{p+q}>2p^2q?$$ แสดงคำตอบในรูปของช่วงค่าในรูปทศนิยม | ก่อนอื่นเราจะทำให้อัตราส่วนซับซ้อนนั้นง่ายขึ้น เราพยายามแยกตัวประกอบของตัวเศษทางด้านซ้าย: \begin{align*}
pq^2+p^2q+3q^2+3pq &= q(pq + p^2 + 3q + 3p) \\
&= q[ p(q+p) + 3(q+p) ] \\
&= q(p+3)(q+p).
\end{align*}การแทนค่านี้ในอสมการของเราจะได้ $$\frac{3q(p+3)(p+q)}{p+q}>2p^2q.$$เราสังเกตว่าด้านซ้ายมี $p+q$ ทั้งในตัวเศษและตัวส่วน เราสามารถยกเลิกเทอมเหล่านี้ได้ก็ต่อเมื่อ $p+q \neq 0.$ เนื่องจากเราต้องการหาค่าของ $p$ ที่ทำให้ความอสมการเป็นจริงสำหรับทุก ๆ $q > 0,$ เราต้องการ $p \geq 0$ เพื่อให้ $p + q \neq 0.$
นอกจากนี้เนื่องจากสิ่งนี้ต้องเป็นจริงสำหรับทุก ๆ $q>0$ เราสามารถยกเลิก $q$ ทางด้านซ้ายและขวาได้ นี่จะได้ \begin{align*}
3(p+3)&>2p^2\Rightarrow\\
3p+9&>2p^2 \Rightarrow\\
0&>2p^2-3p-9.
\end{align*}ตอนนี้เราต้องแก้สมการอสมการกำลังสองนี้ เราสามารถแยกตัวประกอบของสมการกำลังสองเป็น $2p^2-3p-9=(2p+3)(p-3)$. รากคือ $p=3$ และ $p=-1.5$. เนื่องจากกราฟของพาราโบลาจะเปิดออกด้านบน เราจึงทราบว่าค่าของ $2p^2 - 3p - 9$ เป็นลบระหว่างราก ดังนั้นคำตอบของอสมการของเราคือ $-1.5<p<3.$ แต่เรายังต้องการ $0 \leq p,$ ดังนั้นในรูปของช่วงค่าคำตอบคือ $\boxed{[0,3)}$. | \boxed{[0,3)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงที่ผ่านจุด $(1, 7)$ และ $(3, 11)$ ตัดแกน $y$ ที่จุดใด จงแสดงคำตอบในรูปของจุดที่เรียงกัน | แกน $y$ คือเส้นตรงที่ $x$-coordinate มีค่าเท่ากับ $0$ โดยใช้จุดที่กำหนดให้ เมื่อ $x$-coordinate ลดลง $2$ $y$-coordinate จะลดลง $4$ ดังนั้น เมื่อ $x$-coordinate ลดลง $1$ จาก $1$ เป็น $0$ $y$-coordinate จะลดลง $2$ จาก $7$ เป็น $5$ จุดที่ต้องการคือ $\boxed{(0,5)}$ | \boxed{(0,5)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2$ ในการกระจายผลคูณของ $(ax^3 + 3x^2 - 2x)(bx^2 - 7x - 4)$ | เราต้องพิจารณาเฉพาะพจน์ที่คูณกันแล้วมีดีกรีเท่ากับ $2$ เท่านั้น ซึ่งจะได้จากผลคูณของพจน์ $3x^2$ และ $-4$ และผลคูณของพจน์ $-2x$ และ $-7x$ ดังนั้น $$(3x^2) \times (-4) + (-2x) \times (-7x) = -12x^2 + 14x^2 = 2x^2,$$สัมประสิทธิ์คือ $\boxed{2}$ | \boxed{2} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
จุด $(-1,4)$ และ $(2,-3)$ เป็นจุดยอดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส | ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนด หรือ $\sqrt{(-1 - 2)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}$ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือกำลังสองของความยาวด้าน หรือ $\boxed{58}$ | \boxed{58} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สามก๊อกน้ำเติมน้ำในอ่าง 100 แกลลอนเต็มภายใน 6 นาที หากมีก๊อกน้ำ 6 ก๊อก จะใช้เวลานานเท่าไรเป็นวินาทีในการเติมน้ำในอ่าง 25 แกลลอน โดยสมมติว่าก๊อกน้ำทุกก๊อกจ่ายน้ำด้วยอัตราเดียวกัน | เนื่องจากก๊อกน้ำสามก๊อกสามารถเติมน้ำในอ่าง 100 แกลลอนให้เต็มภายใน 6 นาที ดังนั้น หากมีก๊อกน้ำ 6 ก๊อก จะสามารถเติมน้ำได้เร็วขึ้นเป็นสองเท่า ซึ่งใช้เวลา 3 นาที นอกจากนี้ อ่างน้ำมีขนาดเล็กกว่า 1 ใน 4 ดังนั้นจะเต็มเร็วขึ้น 4 เท่า ซึ่งจะใช้เวลา $3/4$ นาที หรือ $\boxed{45}$ วินาที | \boxed{45} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
2x^2 - 3&\text{ถ้า } x\le 2, \\
ax + 4 &\text{ถ้า } x>2.
\end{cases}
\]จงหาค่าของ $a$ ถ้ากราฟของ $y=f(x)$ ต่อเนื่อง (หมายถึงสามารถวาดกราฟได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | ถ้ากราฟของ $f$ ต่อเนื่อง กราฟของทั้งสองกรณีจะต้องมาบรรจบกันเมื่อ $x=2$ ซึ่ง (ในความหมายที่ไม่เคร่งครัด) เป็นจุดแบ่งระหว่างสองกรณี ดังนั้นเราต้องมี $2\cdot 2^2 -3 = 2a + 4.$ แก้สมการนี้จะได้ $a = \boxed{\frac{1}{2}}.$ | a = \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
3x^2 + 2&\text{if } x\le 3, \\
ax - 1 &\text{if } x>3.
\end{cases}
\]จงหาค่า $a$ ถ้ากราฟของ $y=f(x)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (หมายถึงสามารถวาดกราฟได้โดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษ) | ถ้ากราฟของ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง กราฟของทั้งสองกรณีจะต้องมาบรรจบกันเมื่อ $x=3$ ซึ่ง (ในความหมายที่ไม่เคร่งครัด) เป็นจุดแบ่งระหว่างสองกรณี ดังนั้นเราต้องมี $3(3^2) + 2 = 3a - 1$ แก้สมการนี้จะได้ $a = \boxed{10}$ | a = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับ $\frac{\sqrt{3x+5}}{\sqrt{6x+5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราเริ่มต้นด้วยการคูณไขว้และยกกำลังสองทั้งสองข้าง \begin{align*}
\frac{\sqrt{3x+5}}{\sqrt{6x+5}}&=\frac{\sqrt{5}}{3}\\
3\sqrt{3x+5}&=\sqrt{5}\cdot\sqrt{6x+5}\\
\left(3\sqrt{3x+5}\right)^2&=\left(\sqrt{5}\cdot\sqrt{6x+5}\right)^2\\
9(3x+5) &=5(6x+5)\\
20 &= 3x\\
x&=\boxed{\frac{20}{3}}.\\
\end{align*}ตรวจสอบพบว่าค่าของ $x$ นี้สอดคล้องกับสมการเดิม ดังนั้นไม่ใช่คำตอบแปลกปลอม | x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ $x^2+kx+5 = 0$ มีรากที่ต่างกัน $\sqrt{61}$ จงหาค่า $k$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ | จากสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ \begin{align*}
\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-4(5)(1)}}{2(1)}\\
&=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-20}}{2}.
\end{align*} เราต้องการหาผลต่างของราก ดังนั้นเราจึงนำรากที่ใหญ่กว่าลบด้วยรากที่เล็กกว่า: \begin{align*}
\left(\frac{-k+\sqrt{k^2-20}}{2}\right)-\left(\frac{-k-\sqrt{k^2-20}}{2}\right)&=\frac{2\sqrt{k^2-20}}{2}\\
&=\sqrt{k^2-20}.
\end{align*} กำหนดให้ผลต่างนี้เท่ากับ $\sqrt{61}$ ดังนั้นเราได้ \begin{align*}
\sqrt{k^2-20}&=\sqrt{61}\quad\Rightarrow\\
k^2-20&=61\quad\Rightarrow\\
k^2&=81\quad\Rightarrow\\
k&=\pm 9.
\end{align*} ดังนั้นค่า $k$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{9}$. | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ โดย $f(x)=x^{2}-x$ จงหาค่าของ $f(4)$ | $f(4)=4^2-4=16-4=\boxed{12}$. | f(4)=4^2-4=16-4=\boxed{12} | [
"ประยุกต์"
] |
จงแสดง $\frac{0.\overline{666}}{1.\overline{333}}$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราอาจจะเห็นว่าส่วนบนคือ $\frac{2}{3}$ และส่วนล่างคือ $\frac{4}{3}$ ซึ่งจะให้ค่าเท่ากับ $\frac{1}{2}$ ถ้าไม่ใช่ ให้เรียกตัวเศษว่า $x$ คูณด้วย 10 และลบด้วย $x$ จะได้ $9x = 6$ ดังนั้น $x = \frac{2}{3}$ จากนั้นเราจะเห็นว่าส่วนล่างคือ $1 + \frac{x}{2}$ ซึ่งจะให้ค่าเท่ากับ $\boxed{\frac{1}{2}}$ สำหรับเศษส่วนทั้งหมด | \boxed{\frac{1}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีค่าความชันเท่ากับ $-7$ และผ่านจุด $(3,0)$ สมการของเส้นตรงนี้สามารถเขียนอยู่ในรูป $y = mx+b$ ค่าของ $m+b$ คือเท่าไร? | ก่อนอื่นจงจำไว้ว่าความชันของเส้นตรงในรูป $y=mx+b$ เท่ากับ $m$ ดังนั้นเส้นตรงต้องอยู่ในรูป $y=-7x+b$ ต่อไปแทนจุด $(3,0)$ และแก้หา $b$: \begin{align*}
0&=-7(3)+b\\
\Rightarrow\qquad 0&=-21+b\\
\Rightarrow\qquad 21&=b
\end{align*} ดังนั้นค่าของ $m+b$ คือ $-7+21=\boxed{14}$ | -7+21=\boxed{14} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าจำนวนเต็มที่มากที่สุดของ $b$ ที่ทำให้นิพจน์ $\frac{9x^3+4x^2+11x+7}{x^2+bx+8}$ มีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด | เพื่อให้นิพจน์มีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด พหุนาม $x^2+bx+8 = 0$ ต้องไม่มีรากจำนวนจริง ดิสคริมิแนนต์ของพหุนามนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = b^2 - 32$ พหุนามไม่มีรากจำนวนจริงก็ต่อเมื่อดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 32 < 0$ หรือ $b^2 < 32$ จำนวนเต็ม $b$ ที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการนี้คือ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แครอลขับรถอย่างต่อเนื่องตั้งแต่เวลา 09:40 น. จนถึง 13:20 น. ของวันเดียวกัน และครอบคลุมระยะทาง 165 ไมล์ เธอมีอัตราเร็วเฉลี่ยเท่าไร (เป็นไมล์ต่อชั่วโมง) | อัตราเร็วเฉลี่ยถูกนิยามว่าเป็นระยะทางที่เดินทางหารด้วยเวลาที่เดินทาง แครอลขับรถ 165 ไมล์ ใน $3\frac{40}{60}=3\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$ ชั่วโมง ดังนั้นอัตราเร็วเฉลี่ยของเธอคือ $\frac{165}{\frac{11}{3}}=3\cdot15=\boxed{45}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | \frac{165}{\frac{11}{3}}=3\cdot15=\boxed{45} | [
"นำไปใช้"
] |
ลูกบอลเคลื่อนที่บนเส้นทางพาราโบลา โดยความสูง (เป็นฟุต) ถูกกำหนดโดยนิพจน์ $-16t^2+64t+31$ โดยที่ $t$ คือเวลาหลังจากการปล่อยออกไป ความสูงสูงสุดของลูกบอลเป็นเท่าไร (เป็นฟุต) | การหาความสูงสูงสุดของลูกบอลคือการหาค่าสูงสุดของนิพจน์ $-16t^2+64t+31$ เราจะทำได้โดยการเติมกำลังสอง การแยกตัวประกอบ $-16$ จากสองพจน์แรก เราได้ \[-16t^2+64t+31=-16(t^2-4t)+31.\]เพื่อเติมกำลังสอง เราบวกและลบ $(-4/2)^2=4$ ภายในวงเล็บเพื่อให้ได้ \begin{align*}
-16(t^2-4t)+31&=-16(t^2-4t+4-4)+31\\
&=-16([t-2]^2-4)+31\\
&=-16(t-2)^2+95.
\end{align*}เนื่องจาก $-16(t-2)^2$ เป็นค่าลบเสมอ ค่าสูงสุดของนิพจน์จะเกิดขึ้นเมื่อ $-16(t-2)^2=0$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $0+95=\boxed{95}$ ฟุต | 0+95=\boxed{95} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $(3-2i)^2$ (คำตอบของคุณควรอยู่ในรูป $a+bi$.) | $(3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i)= 3(3) + 3(-2i) -2i(3) - 2i(-2i) = 9-6i-6i -4 = \boxed{5-12i}$. | (3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i)= 3(3) + 3(-2i) -2i(3) - 2i(-2i) = 9-6i-6i -4 = \boxed{5-12i} | [
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $d\not=0$ เราสามารถเขียน $\left(12d+13+14d^2\right)+\left(2d+1\right)$ ในรูป $ad+b+cd^2$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหา $a+b+c$ | การบวกพจน์ $d$ จะได้ $14d$ การบวกพจน์คงตัวจะได้ $14$ การบวกพจน์ $d^2$ จะได้ $14d^2$ การบวกพจน์ทั้งหมดจะได้ ${14d+14+14d^2}$ ดังนั้น $a+b+c = \boxed{42}$ | a+b+c = \boxed{42} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0.$ สมมติว่า $a+(1/b)$ และ $b+(1/a)$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0.$ จงหาค่าของ $q$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - mx + 2 = 0,$ เราได้ \[
x^2 - mx + 2 = (x-a)(x-b)\quad \text{และ} \quad ab = 2.
\] ในทำนองเดียวกัน พจน์คงตัวของ $x^2 - px + q$ คือผลคูณของ $a + (1/b)$ และ $b + (1/a),$ ดังนั้น \[
q=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)= ab+1+1+\frac{1}{ab}=\boxed{\frac{9}{2}}.
\] | 9/2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=-2x-10y-16$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายพจน์ที่ไม่ใช่ค่าคงตัวจาก RHS ไป LHS เราได้ $x^2+2x+y^2+10y=-16$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(2/2)^2=1$ ทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(10/2)^2=25$ ทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2+2x+y^2+10y&=-16\\
\Rightarrow x^2+2x+1+y^2+10y+25&=10\\
\Rightarrow (x+1)^2+(y+5)^2&=10
\end{align*} ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุด $(-1,-5)$ ดังนั้น $x+y=-1+(-5)=oxed{-6}$ | x+y=-1+(-5)=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $f$, $g$, $h$ และ $j$ คือ 5, 6, 7 และ 8 แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลรวมของสี่ผลคูณ $fg$, $gh$, $hj$ และ $fj$ คือเท่าใด | พิจารณาผลคูณเป็นคู่ๆ เราได้ \[
(f+g+h+j)^2=f^2+g^2+h^2+j^2+2(fg+fh+fj+gh+gj+hj),
\] ดังนั้น \[
fg+gh+hj+fj=\frac{(f+g+h+j)^2-f^2-g^2-h^2-j^2}{2}-(fh+gj).
\] เนื่องจากเศษทางด้านขวามือไม่ขึ้นอยู่กับว่าค่าของ $f$, $g$, $h$ และ $j$ ถูกกำหนดอย่างไร เราเพิ่มค่า $fg+gh+hj+fj$ โดยการย่อ $fh+gj$ ลง ตรวจสอบค่าที่แตกต่างกันสามค่าสำหรับ $fh+gj$ เราพบว่า $5\cdot8+6\cdot7=82$ เป็นค่าต่ำสุด ดังนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $fg+gh+hj+fj$ คือ $\frac{(5+6+7+8)^2-5^2-6^2-7^2-8^2}{2}-82=\boxed{169}$ | $\frac{(5+6+7+8)^2-5^2-6^2-7^2-8^2}{2}-82=\boxed{169}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.