question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ผู้รับเหมาสตีฟตกลงที่จะเสร็จสิ้นงานใน 30 วัน หลังจาก 6 วัน เขาพบว่า 8 คนที่ได้รับมอบหมายให้ทำงานได้ทำเสร็จไปแล้ว $\frac{1}{3}$ ของงาน หากทุกคนทำงานด้วยอัตราเดียวกัน จำนวนคนน้อยที่สุดที่เขาต้องเก็บไว้เพื่อให้แน่ใจว่างานจะเสร็จตามเวลาคือเท่าไร | เหลือ 24 วัน ซึ่งเป็น 4 เท่าของวันที่ผ่านมา ดังนั้น หากสตีฟเก็บคนงานไว้ 8 คน พวกเขาจะทำ $4\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ เขาต้องการให้ทำ $\frac{2}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ หรือครึ่งหนึ่งของ $\frac{4}{3}$ ดังนั้นเขาต้องเก็บคนงานไว้ให้ได้อย่างน้อยครึ่งหนึ่ง: $\boxed{4}$ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับวงรีที่แสดงด้านล่าง จงหาความห่างระหว่างจุดโฟกัส
[asy]
unitsize(0.3 cm);
int i, n = 10;
for (i = -n; i <= n; ++i) {
draw((i,-n)--(i,n),gray(0.7));
draw((-n,i)--(n,i),gray(0.7));
}
draw((0,-n)--(0,n));
draw((-n,0)--(n,0));
draw(shift((1,1))*xscale(2)*yscale(6)*Circle((0,0),1),red);
dot((1,1));
[/asy] | เราเห็นว่าแกนกึ่งเอกมีค่า $a = 6$ และแกนกึ่งโทมีค่า $b = 2$ ดังนั้น $c = \sqrt{a^2 - b^2} = 4 \sqrt{2}$ ดังนั้น ความห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{8 \sqrt{2}}$ | 2c = \boxed{8 \sqrt{2}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ
\[\binom{100}{0} - \binom{100}{1} + \binom{100}{2} - \dots + \binom{100}{100}.\] | จากทฤษฎีบททวินาม
\[(x + y)^{100} = \binom{100}{0} x^{100} + \binom{100}{1} x^{99} y + \binom{100}{2} x^{98} y^2 + \dots + \binom{100}{100} y^{100}.\]แทนค่า $x = 1$ และ $y = -1,$ เราได้
\[\binom{100}{0} - \binom{100}{1} + \binom{100}{2} - \dots + \binom{100}{100} = \boxed{0}.\] | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $b,c$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งรากของพหุนาม $x^2-x-1$ เป็นรากของพหุนาม $x^5-bx-c$ ด้วย จงหาผลคูณ $bc$ | กำหนดให้ $r$ เป็นรากของ $x^2-x-1$ ดังนั้น เมื่อจัดรูปใหม่ จะได้
$$r^2 = r+1.$$คูณทั้งสองข้างด้วย $r$ และแทนค่า จะได้
\begin{align*}
r^3 &= r^2+r \\
&= (r+1)+r \\
&= 2r+1.
\end{align*}ทำซ้ำกระบวนการนี้สองครั้ง จะได้
\begin{align*}
r^4 &= r(2r+1) \\
&= 2r^2+r \\
&= 2(r+1)+r \\
&= 3r+2
\end{align*}และ
\begin{align*}
r^5 &= r(3r+2) \\
&= 3r^2+2r \\
&= 3(r+1)+2r \\
&= 5r+3.
\end{align*}ดังนั้น รากของ $x^2-x-1$ แต่ละราก เป็นรากของ $x^5-5x-3$ ด้วย ซึ่งจะได้ $bc = 5\cdot 3 = \boxed{15}$.
(ทิ้งไว้ให้ผู้อ่านตรวจสอบว่าทำไมคำตอบนี้จึงเป็นคำตอบเดียว) | bc = 5\cdot 3 = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - 4x + 5 = 0.$ คำนวณ
\[a^3 + a^4 b^2 + a^2 b^4 + b^3.\] | จากสูตรของ Vieta's, $a + b = 4$ และ $ab = 5.$ ดังนั้น
\begin{align*}
a^3 + b^3 &= (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\
&= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab) \\
&= (a + b)((a + b)^2 - 3ab) \\
&= 4 \cdot (4^2 - 3 \cdot 5) \\
&= 4,
\end{align*}และ
\begin{align*}
a^4 b^2 + a^2 b^4 &= a^2 b^2 (a^2 + b^2) \\
&= (ab)^2 ((a + b)^2 - 2ab) \\
&= 5^2 (4^2 - 2 \cdot 5) \\
&= 150,
\end{align*}ดังนั้น $a^3 + a^4 b^2 + a^2 b^4 + b^3 = \boxed{154}.$ | a^3 + a^4 b^2 + a^2 b^4 + b^3 = \boxed{154}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การสลายเศษส่วนบางส่วนของ
\[\frac{x^2 - 19}{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}\]คือ
\[\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 3}.\]จงหาผลคูณ $ABC.$ | เรามีว่า
\[\frac{x^2 - 19}{x^3 - 2x^2 - 5x + 6} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 3}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x + 2)(x - 3),$ เราได้
\[x^2 - 19 = A(x + 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x + 2).\]แทนค่า $x = 1,$ เราได้ $-6A = -18$, ดังนั้น $A = 3.$
แทนค่า $x = -2,$ เราได้ $15B = -15,$ ดังนั้น $B = -1.$
แทนค่า $x = 3,$ เราได้ $10C = -10,$ ดังนั้น $C = -1.$ ดังนั้น $ABC = \boxed{3}.$ | ABC = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดพาราโบลาที่มีสมการ $y=ax^2+bx+c$ ถูกสะท้อนเกี่ยวกับแกน x พาราโบลาและการสะท้อนถูกเลื่อนขนานแกน x ห้าหน่วยในทิศทางตรงกันข้ามเพื่อให้เป็นกราฟของ $y=f(x)$ และ $y=g(x)$ ตามลำดับ ข้อใดต่อไปนี้กล่าวถึงกราฟของ $y=(f+g)(x)$?
(A) พาราโบลาสัมผัสแกน x
(B) พาราโบลาไม่สัมผัสแกน x
(C) เส้นตรงแนวนอน
(D) เส้นตรงที่ไม่แนวนอน
(E) กราฟของฟังก์ชันลูกบาศก์ | เขียนสมการของพาราโบลาเดิมเป็น $y = a(x - h)^2 + k,$ โดยที่ $a \neq 0.$ จากนั้นสมการของพาราโบลารูปสะท้อนคือ
\[y = -a(x - h)^2 - k.\]เมื่อพาราโบลาถูกเลื่อนขนานแกน x โดย 5 หน่วย ในทิศทางตรงกันข้าม สมการของมันจะกลายเป็น
\[y = a(x - h \pm 5)^2 + k \quad \text{and} \quad y = -a(x - h \mp 5)^2 - k.\]ผลรวมของนิพจน์เหล่านี้คือ
\[\pm 20ax \mp 20ah = \pm 20a (x - h),\]ซึ่งเป็นสมการของเส้นตรงที่ไม่แนวนอน คำตอบคือ $\boxed{\text{(D)}}.$ | \boxed{\text{(D)}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(1)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(1)$ จงหา $n \times s.$ | กำหนดให้ $x = 0,$ เราได้
\[f(y + f(0)) = f(y) + 1\]สำหรับจำนวนจริง $y$ ทั้งหมด
กำหนดให้ $y = f(0),$ เราได้
\[f(f(x) + f(0)) = f(x + f(0)) + xf(f(0)) - xf(0) - x + 1\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด เนื่องจาก $f(f(x) + f(0)) = f(f(x)) + 1,$ $f(x + f(0)) = f(x) + 1,$ และ $f(f(0)) = f(0) + 1,$
\[f(f(x)) + 1 = f(x) + 1 + x(f(0) + 1) - xf(0) - x + 1.\]ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น
\[f(f(x)) = f(x) + 1.\]กำหนดให้ $y = 0,$ เราได้
\[f(f(x)) = f(x) + xf(0) - x + 1.\]แต่ $f(f(x)) = f(x) + 1,$ ดังนั้น $xf(0) - x = 0$ สำหรับ $x$ ทั้งหมด หมายความว่า $f(0) = 1.$ ดังนั้น,
\[f(x + 1) = f(x) + 1\]สำหรับ $x$ ทั้งหมด
แทนที่ $x$ ด้วย $x + 1,$ เราได้
\[f(f(x + 1) + y) = f(x + y + 1) + (x + 1) f(y) - (x + 1) y - x + 1.\]เนื่องจาก $f(f(x + 1) + y) = f(f(x) + y + 1) = f(f(x) + y) + 1$ และ $f(x + y + 1) = f(x + y),$ เราสามารถเขียนเป็น
\[f(f(x) + y) + 1 = f(x + y) + 1 + (x + 1) f(y) - (x + 1) y - x + 1.\]ลบ $f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1,$ เราได้
\[1 = f(y) - y,\]ดังนั้น $f(x) = x + 1$ สำหรับ $x$ ทั้งหมด เราสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันนี้ทำงาน
ดังนั้น $n = 1$ และ $s = 2,$ ดังนั้น $n \times s = \boxed{2}.$ | n \times s = \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อพหุนาม $6x^3-15x^2+21x-23$ หารด้วย $3x-6$ แล้วจะเหลือเศษเท่าใด | เนื่องจาก $3x - 6 = 3(x - 2)$ ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ เราสามารถหาเศษเหลือได้โดยการแทน $x = 2$ ดังนั้นเศษเหลือคือ
\[6 \cdot 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 21 \cdot 2 - 23 = \boxed{7}.\] | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $5x^2 + 10xy = x^3 + 2x^2 y,$ จงหาค่าของ $x$? | สังเกตว่าเราสามารถแยกตัวประกอบ $5x$ ออกจากพจน์ทางซ้ายมือได้เป็น $5x(x+2y)$ และแยกตัวประกอบ $x^2$ ออกจากพจน์ทางขวามือได้เป็น $x^2(x+2y)$ ดังนั้นเราจึงมี $5x(x+2y) = x^2(x+2y)$ เนื่องจาก $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $x(x+2y)$ ได้อย่างปลอดภัย ซึ่งจะได้ $x = \boxed{5}$ | x = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $a^2 + b^2 + c^2,$ โดยที่ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ \[2x^3 - x^2 + 4x + 10 = 0.\] | จากสูตรของ Vieta's เราทราบว่า \[\begin{aligned} a+b+c &= \frac12, \\ ab+bc+ca &= \frac42 = 2, \\ abc &= -\frac{10}2 = -5. \end{aligned}\]เรา squaring ทั้งสองข้างของ $a+b+c=\frac12,$ ซึ่งจะทำให้เกิดพจน์ $a^2+b^2+c^2$: \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = \frac14.\]แทน $ab+bc+ca=2,$ เราได้ \[a^2+b^2+c^2+2(2)=\frac14,\]ดังนั้น \[a^2+b^2+c^2=\frac14-4=\boxed{-\frac{15}4}.\] | ab+bc+ca=2, | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการอสมการ
\[2 - \frac{1}{2x + 3} < 4.\] | สมการอสมการที่กำหนดเทียบเท่ากับ
\[\frac{1}{2x + 3} + 2 > 0,\]หรือ
\[\frac{4x + 7}{2x + 3} > 0.\]ถ้า $x < -\frac{7}{4},$ แล้ว $4x + 7 < 0$ และ $2x + 3 < 0,$ ดังนั้นอสมการเป็นจริง
ถ้า $-\frac{7}{4} < x < -\frac{3}{2},$ แล้ว $4x + 7 > 0$ และ $2x + 3 < 0,$ ดังนั้นอสมการไม่เป็นจริง
ถ้า $x > -\frac{3}{2},$ แล้ว $4x + 7 > 0$ และ $2x + 3 > 0,$ ดังนั้นอสมการเป็นจริง ดังนั้นคำตอบคือ
\[x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{7}{4} \right) \cup \left( -\frac{3}{2}, \infty \right)}.\] | 2x + 3 > 0, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการ $\sqrt[3]{20x + \sqrt[3]{20x + 13}} = 13.$ | สังเกตว่า $f(x) = \sqrt[3]{20x + \sqrt[3]{20x + 13}}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ดังนั้นคำตอบของ
\[\sqrt[3]{20x + \sqrt[3]{20x + 13}} = 13\]จึงมีค่าเดียว ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า $\sqrt[3]{20x + 13} = 13,$ แล้ว $x$ จะเป็นคำตอบของสมการที่กำหนด ดังนั้น $20x + 13 = 13^3 = 2197,$ ดังนั้น $x = \boxed{\frac{546}{5}}.$ | x = \boxed{\frac{546}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{2018}$ เป็นรากของพหุนาม
\[x^{2018} + x^{2017} + \dots + x^2 + x - 1345 = 0.\]จงคำนวณ
\[\sum_{n = 1}^{2018} \frac{1}{1 - a_n}.\] | กำหนดให้ $b_n = \frac{1}{1 - a_n}.$ แก้สมการหา $a_n,$ เราจะได้
\[a_n = \frac{b_n - 1}{b_n}.\]แทนค่าลงไป จะได้
\[\left( \frac{b_n - 1}{b_n} \right)^{2018} + \left( \frac{b_n - 1}{b_n} \right)^{2017} + \dots + \left( \frac{b_n - 1}{b_n} \right)^2 + \frac{b_n - 1}{b_n} - 1345 = 0.\]ดังนั้น,
\[(b_n - 1)^{2018} + b_n (b_n - 1)^{2017} + \dots + b_n^{2016} (b_n - 1)^2 + b_n^{2017} (b_n - 1) - 1345 b_n^{2018} = 0.\]ดังนั้น $b_i$ เป็นรากของพหุนาม
\[(x - 1)^{2018} + x(x - 1)^{2017} + \dots + x^{2016} (x - 1)^2 + x^{2017} (x - 1) - 1345x^{2018} = 0.\]สัมประสิทธิ์ของ $x^{2018}$ คือ $2019 - 1346 = 673.$ สัมประสิทธิ์ของ $x^{2017}$ คือ $-1 - 2 - \dots - 2018 = -\frac{2018 \cdot 2019}{2}.$ ดังนั้น ผลบวกของ $b_i$ คือ
\[\frac{2018 \cdot 2019}{2 \cdot 673} = \boxed{3027}.\] | 3027 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับ $b_1, b_2, \ldots$ โดย $b_1 = 1$, $b_2 = 2$, และ $b_{n+1} = b_n b_{n-1}$. จงคำนวณ $b_{20}$ | สังเกตว่าทุกพจน์ $b_n$ จะเป็นกำลังของ 2 โดยเลขยกกำลังจะเป็นผลรวมของเลขยกกำลังของสองพจน์ก่อนหน้า ดังนั้น จงสร้างลำดับ $a_1, a_2, \ldots$ โดย $a_1 = 0$, และ $a_2 = 1$, และ $a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$. แน่นอนว่า $a_{20}$ เทียบเท่ากับพจน์ที่ 19 ของลำดับฟีโบนักชี คือ 4181 ดังนั้น $b_{20} = 2^{a_{20}} = \boxed{2^{4181}}$. | b_{20} = 2^{a_{20}} = \boxed{2^{4181}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่าสูงสุดของผลบวก $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เรามีว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]แล้ว $2010 < 3M,$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
สมการเกิดขึ้นถ้า $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$ $d = 1,$ และ $e = 669,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $M$ คือ $\boxed{671}.$ | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน
\[g(x) = \frac{x^3 + 11x - 2}{|x - 3| + |x + 1|}.\] | นิพจน์ถูกนิยามก็ต่อเมื่อส่วน $|x - 3| + |x + 1|$ ไม่เท่ากับ 0 เนื่องจากฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์มีค่าไม่เป็นลบเสมอ ดังนั้น $|x - 3| + |x + 1| = 0$ ก็ต่อเมื่อ $|x - 3|$ และ $|x + 1|$ เท่ากับ 0 ในทางกลับกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $x = 3$ และ $x = -1$ ชัดเจนว่า $x$ ไม่สามารถเป็น 3 และ $-1$ ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นส่วนจึงไม่เป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น โดเมนของฟังก์ชันคือ $\boxed{(-\infty,\infty)}.$ | \boxed{(-\infty,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $k$ และ $m$ เป็นจำนวนจริง และสมมติว่ารากของสมการ \[x^3 - 7x^2 + kx - m = 0\]เป็นจำนวนเต็มบวกที่ต่างกันสามจำนวน จงคำนวณ $k + m.$ | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของสมการเท่ากับ $7.$ นอกจากนี้ สามสิ่งของจำนวนเต็มบวกที่ต่างกันที่มีผลรวมเท่ากับ $7$ คือ $\{1, 2, 4\}.$ เพื่อเห็นสิ่งนี้ โปรดทราบว่าค่าสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับจำนวนเต็มบวกใด ๆ ในสามจำนวนคือ $7 - 1 - 2 = 4,$ และวิธีเดียวที่จะเลือกสามจำนวนใน $1, 2, 3, 4$ เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ $7$ คือ เลือก $1,$ $2,$ และ $4.$
ดังนั้น รากของสมการต้องเป็น $1,$ $2,$ และ $4.$ ตาม Vieta \[k = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 14\]และ \[m = 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8,\]ดังนั้น $k+m = 14+8 = \boxed{22}.$ | k+m = 14+8 = \boxed{22}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ ค่าเฉลี่ยของพจน์ $n$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิตเท่ากับ $n$ พจน์ที่ 2008 ของลำดับเลขคณิตนี้มีค่าเท่าใด | ให้ $a_n$ แทนพจน์ที่ $n$ แล้ว
\[\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{2008}}{2008} = 2008,\]ดังนั้น $a_1 + a_2 + \dots + a_{2008} = 2008^2.$
นอกจากนี้
\[\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{2007}}{2007} = 2007,\]ดังนั้น $a_1 + a_2 + \dots + a_{2007} = 2007^2.$ ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[a_{2008} = 2008^2 - 2007^2 = (2008 + 2007)(2008 - 2007) = \boxed{4015}.\] | 4015 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว สมมติว่าสมการ \[\frac{(x+a)(x+b)(x+12)}{(x+3)^2} = 0\]มีรากที่แตกต่างกัน 3 ราก ในขณะที่สมการ \[\frac{(x+2a)(x+3)(x+6)}{(x+b)(x+12)} = 0\]มีรากที่แตกต่างกัน 1 ราก จงคำนวณ $100a + b.$ | เราเริ่มต้นด้วยสมการแรก ค่าของ $x$ ใดๆ ที่ทำให้สมการแรกเป็นจริง จะต้องทำให้ \[(x+a)(x+b)(x+12) = 0\]เป็นจริงด้วย ดังนั้น รากที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวของสมการแรกคือ $-a,$ $-b,$ และ $-12.$ เนื่องจากสมการแรกมีรากที่แตกต่างกัน 3 ราก ดังนั้น $-a,$ $-b,$ และ $-12$ ต้องแตกต่างกัน และต้องเป็นคำตอบของสมการแรก นั่นหมายความว่า $-a,$ $-b,$ และ $-12$ ไม่สามารถเท่ากับ $-3$ ได้ เพราะเมื่อ $x=-3$ ในสมการแรก ตัวส่วนของเศษส่วนจะเป็นศูนย์ สรุปได้ว่า จากสมการแรกที่มีรากที่แตกต่างกัน 3 ราก เราทราบว่าตัวเลข $-a,$ $-b,$ $-12,$ และ $-3$ ต่างกันทั้งหมด นั่นคือ ตัวเลข $a,$ $b,$ $3,$ และ $12$ ต่างกันทั้งหมด
จากนั้น $-3$ จะต้องเป็นรากของสมการที่สอง เพราะเมื่อ $x = -3,$ ตัวเศษเป็นศูนย์ ในขณะที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น $-3$ จะต้องเป็นรากเพียงอย่างเดียวของสมการที่สอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $-2a$ และ $-6$ ไม่สามารถเป็นรากที่แตกต่างกันอีกได้ แม้ว่าจะเป็นรากของตัวเศษ
เนื่องจาก $-6 \neq -3$ ดังนั้น $-6$ จึงไม่ใช่รากของสมการที่สองเลย เพราะมันทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ ดังนั้นเราต้องมี $-6 + b = 0$ ดังนั้น $b = 6$
สำหรับ $-2a$ ที่จะไม่เป็นรากที่แตกต่างกัน เราต้องมี $-2a = -3$ (เพื่อให้ $-2a$ เป็นรากของสมการที่สอง แต่เท่ากับรากอื่น $-3$) หรือ $x = -2a$ จะต้องทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ ตัวส่วนคือ $(x+6)(x+12)=0$ ดังนั้น หรือ $-2a + 6 = 0$ หรือ $-2a + 12 = 0$ ซึ่งหมายความว่า $a = 3$ หรือ $a = 6$ แต่เรารู้ว่า $a,$ $b,$ $3,$ และ $12$ ต่างกัน และ $b=6$ ดังนั้น นี่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น $-2a = -3$ ดังนั้น $a = \tfrac{3}{2}$
สรุปได้ว่าสมการทั้งสองคือ \[\frac{(x+\tfrac32)(x+6)(x+12)}{(x+3)^2} = 0\]และ \[\frac{(x+3)(x+3)(x+6)}{(x+6)(x+12)} = 0,\]ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข: สมการแรกมีราก $x = -\tfrac32, -6, -12$ ในขณะที่สมการที่สองมีรากเพียงรากเดียว $x = -3$ ดังนั้น \[100a + b = 100 \left(\tfrac32\right) + 6 = \boxed{156}.\] | 156 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a, b, c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริง และ $a+b+c=ab+bc+ca=abc=3$ จงหาค่า $a$ | จากสูตรของ Vieta's $a, b, c$ เป็นรากของพหุนาม \[x^3 - 3x^2 + 3x - 3 = 0.\]บวก 2 ทั้งสองข้าง เราสามารถแยกตัวประกอบสมการนี้ได้เป็น \[(x-1)^3 = 2.\]สำหรับค่า $x = a$ ที่เป็นจำนวนจริง เราได้ $a - 1 = \sqrt[3]{2}$ ดังนั้น $a = \boxed{1 + \sqrt[3]{2}}$. | a = \boxed{1 + \sqrt[3]{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบทั้งหมดของสมการ $2^{|x|} + 3|x| = 18.$ | ถ้า $x$ เป็นคำตอบแล้ว $-x$ ก็เป็นคำตอบเช่นกัน ดังนั้นเราสามารถจับคู่คำตอบทั้งหมดเข้าด้วยกัน และผลรวมของมันคือ $\boxed{0}.$
ให้ $f(x) = 2^{|x|} + 3|x|.$ เนื่องจาก $f(0) = 0$ และ $f(4) = 28,$ สมการ $f(x) = 18$ มีอย่างน้อยหนึ่งคำตอบในช่วง $0 \le x \le 4.$ สิ่งนี้รับประกันว่าผลรวมที่โจทย์ต้องการนั้นไม่ใช่ผลรวมที่ "ว่างเปล่า" | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4.\]จงหาค่าสูงสุดของ $a^3 + b^3 + c^3 + d^3.$ | จากสมการ $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4,$ จะได้ว่า $a^2 \le 4,$ ดังนั้น $a \le 2,$ หรือ $2 - a \ge 0.$ ดังนั้น
\[(2 - a) a^2 \ge 0,\]ดังนั้น $a^3 \le 2a^2.$ ทำนองเดียวกัน $b^3 \le 2b^2,$ $c^3 \le 2c^2,$ และ $d^3 \le 2d^2.$ บวกอสมการทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะได้
\[a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \le 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 8.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = 2$ และ $b = c = d = 0,$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{8}.$ | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $xyz = 32.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2.\] | เริ่มต้นจาก $x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2.$ โดย AM-GM,
\[x + 2y \ge 2 \sqrt{2xy},\]ดังนั้น $(x + 2y)^2 \ge 8xy.$ ดังนั้น,
\[x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2 \ge 8xy + 2z^2.\]ถ้าเราใช้ AM-GM โดยตรงกับ $8xy$ และ $2z^2,$ โดยไม่สนใจค่าคงตัว, เราจะได้พจน์ $\sqrt{xyz^2}.$ แต่เงื่อนไขคือ $xyz = 32.$ ดังนั้นแทนที่จะทำแบบนั้น, เราเขียน $8xy + 2z^2$ เป็น $4xy + 4xy + 2z^2.$ จากนั้นโดย AM-GM,
\begin{align*}
4xy + 4xy + 2z^2 &\ge 3 \sqrt[3]{(4xy)(4xy)(2z^2)} \\
&= 3 \sqrt[3]{32x^2 y^2 z^2} \\
&= 3 \sqrt[3]{32 \cdot 32^2} \\
&= 96.
\end{align*}ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = 2y$ และ $4xy = 2z^2.$ ร่วมกับเงื่อนไข $xyz = 32,$ เราสามารถแก้สมการได้ $x = 4,$ $y = 2,$ และ $z = 4,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{96}.$ | \boxed{96}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[\frac{\frac{2016}{1} + \frac{2015}{2} + \frac{2014}{3} + \dots + \frac{1}{2016}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2017}}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
\frac{2016}{1} + \frac{2015}{2} + \frac{2014}{3} + \dots + \frac{1}{2016} &= \frac{2017 - 1}{1} + \frac{2017 - 2}{2} + \frac{2017 - 3}{3} + \dots + \frac{2017 - 2016}{2016} \\
&= \frac{2017}{1} - 1 +\frac{2017}{2} - 1 + \frac{2017}{3} - 1 + \dots + \frac{2017}{2016} - 1 \\
&= \frac{2017}{1} + \frac{2017}{2} + \frac{2017}{3} + \dots + \frac{2017}{2016} - 2016 \\
&= 2017 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2016} \right) + 1 \\
&= 2017 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2016} + \frac{1}{2017} \right).
\end{align*}ดังนั้น,
\[\frac{\frac{2016}{1} + \frac{2015}{2} + \frac{2014}{3} + \dots + \frac{1}{2016}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2017}} = \boxed{2017}.\] | 2017 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของรากของสมการ \[x\sqrt{x} - 6x + 7\sqrt{x} - 1 = 0,\]โดยที่รากทั้งหมดเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบ | สมการที่กำหนดให้ไม่ใช่สมการพหุนาม ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้สูตรของ Vieta ได้โดยตรง เพื่อสร้างสมการพหุนามที่เกี่ยวข้อง เราแทน $y = \sqrt{x},$ หรือ $x = y^2,$ ซึ่งจะได้ \[y^3 - 6y^2 + 7y - 1 = 0.\]สำหรับค่าของ $y$ แต่ละค่าที่สอดคล้องกับสมการนี้ ค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการเดิมคือ $x = y^2.$ ดังนั้นเราต้องการหาผลบวกของกำลังสองของรากของสมการนี้
เพื่อทำเช่นนั้น ให้ $r,$ $s,$ และ $t$ แทนรากของสมการนี้ จากสูตรของ Vieta $r+s+t=6$ และ $rs+st+tr=7,$ ดังนั้น \[r^2+s^2+t^2=(r+s+t)^2-2(rs+st+tr) = 6^2 - 2 \cdot 7 = \boxed{22}.\] | 22 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อพหุนาม $x^{1000}$ หารด้วยพหุนาม $(x^2 + 1)(x + 1)$ | สังเกตว่า $(x^2 + 1)(x + 1)$ เป็นตัวประกอบของ $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) = x^4 - 1.$ เนื่องจาก
\[x^{1000} - 1 = (x^4 - 1)(x^{996} + x^{992} + x^{988} + \dots + x^8 + x^4 + 1),\]เศษที่เหลือเมื่อ $x^{1000}$ หารด้วย $(x^2 + 1)(x + 1)$ คือ $\boxed{1}.$ | \boxed{1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = \lfloor x \rfloor + \frac{1}{2}$ เป็นฟังก์ชันคู่, คี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
พิมพ์ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | เนื่องจาก $f \left( \frac{1}{2} \right) = \left\lfloor \frac{1}{2} \right\rfloor + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ และ $f \left( -\frac{1}{2} \right) = \left\lfloor -\frac{1}{2} \right\rfloor + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2},$ ดังนั้นถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่หรือคี่ $f$ ต้องเป็นฟังก์ชันคี่
แต่ $f(0) = \lfloor 0 \rfloor + \frac{1}{2}.$ ทุกฟังก์ชันคี่ $f(x)$ สอดคล้องกับ $f(0) = 0,$ ดังนั้น $f(x)$ เป็น $\boxed{\text{ไม่เป็นทั้งคู่และคี่}}.$ | \boxed{\text{ไม่เป็นทั้งคู่และคี่}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่าจำนวน $a$ สอดคล้องกับสมการ $4 = a + a^{ - 1}.$ จงหาค่าของ $a^{4} + a^{ - 4}?$ | ยกกำลังสองสมการ $4 = a+a^{-1},$ เราได้ \[16 = \left(a+a^{-1}\right)^2 = a^2 + 2a a^{-1} + a^{-2} = a^2 + 2 + a^{-2},\]ดังนั้น $14 = a^2 + a^{-2}.$ เพื่อหาค่าที่ต้องการ เรายกกำลังสองอีกครั้ง \[196 = a^4 + 2a^2 a^{-2} + a^{-4} = a^4 + 2 + a^{-4}.\]ดังนั้น $\boxed{194} = a^4 + a^{-4}.$ | \boxed{194} = a^4 + a^{-4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $x$ และ $y$ ที่สอดคล้องกับ $\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = \frac{1}{7}$ จงหาค่าของ $xy$ ที่น้อยที่สุด | คูณทั้งสองข้างด้วย $14xy$ จะได้ $14y + 7x = 2xy$ ดังนั้น $2xy - 7x - 14y = 0$ จากนั้นนำ $49$ บวกทั้งสองข้าง จะได้ $2xy - 7x - 14y + 49 = 49$ จากนั้นแยกตัวประกอบได้ $$(x-7)(2y-7) = 49$$เนื่องจาก $49$ หารด้วย $7 \cdot 7$ และ $x$ และ $y$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก จึงมีคำตอบ $(x,y)$ ที่เป็นไปได้คือ $(8, 28), (14,7), \text{and } (56,4)$ จากคำตอบเหล่านี้ ค่า $xy$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{98}$ | \boxed{98} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $2x^3 + bx + 7$ มีตัวประกอบอยู่ในรูป $x^2 + px + 1$ จงหาค่า $b$ | เราเห็นว่า $2x^3 + bx + 7$ ต้องเป็นผลคูณของ $x^2 + px + 1$ และตัวประกอบเชิงเส้น นอกจากนี้ ตัวประกอบเชิงเส้นนี้ต้องเป็น $2x + 7$ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสามและพจน์คงที่ตรงกัน ดังนั้น
\[(2x^3 + bx + 7) = (x^2 + px + 1)(2x + 7).\]เมื่อขยายจะได้
\[2x^3 + bx + 7 = 2x^3 + (2p + 7) x^2 + (7p + 2) x + 7.\]จากนั้น $2p + 7 = 0$ และ $7p + 2 = b.$ เมื่อแก้สมการจะได้ $p = -\frac{7}{2}$ และ $b = \boxed{-\frac{45}{2}}.$ | b = \boxed{-\frac{45}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทำให้ง่ายขึ้น
\[\frac{1}{\log_{15} 2 + 1} + \frac{1}{\log_{10} 3 + 1} + \frac{1}{\log_6 5 + 1}.\] | โดยสูตรการเปลี่ยนฐาน
\begin{align*}
\frac{1}{\log_{15} 2 + 1} + \frac{1}{\log_{10} 3 + 1} + \frac{1}{\log_6 5 + 1} &= \frac{1}{\frac{\log 2}{\log 15} + 1} + \frac{1}{\frac{\log 3}{\log 10} + 1} + \frac{1}{\frac{\log 5}{\log 6} + 1} \\
&= \frac{\log 15}{\log 2 + \log 15} + \frac{\log 10}{\log 3 + \log 10} + \frac{\log 6}{\log 5 + \log 6} \\
&= \frac{\log 15}{\log 30} + \frac{\log 10}{\log 30} + \frac{\log 6}{\log 30} \\
&= \frac{\log 15 + \log 10 + \log 6}{\log 30} \\
&= \frac{\log 900}{\log 30} = \frac{2 \log 30}{\log 30} = \boxed{2}.
\end{align*} | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าสองในสามรากของสมการ \[2x^3 + 8x^2 - 120x + k = 0\] มีค่าเท่ากัน จงหาค่าของ $k$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนบวก | สมมติให้รากทั้งสามของสมการคือ $a,$ $a,$ และ $b$ จากสูตรของ Vieta \[\begin{aligned}a+a+b&=-\tfrac82=-4, \\ ab+ab+a^2 &= \tfrac{120}2 = -60. \end{aligned}\] สมการเหล่านี้จะลดรูปเป็น $2a+b=-4$ และ $2ab+a^2=-60$ จากสมการแรก เราได้ $b=-4-2a$ และแทนค่าลงในสมการที่สองจะได้ \[2a(-4-2a)+a^2=-60,\] หรือ \[3a^2+8a-60=0.\] สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น \[(a+6)(3a-10)=0,\] ดังนั้น $a=-6$ หรือ $a=\tfrac{10}{3}$ ถ้า $a=-6$ แล้ว $b=-4-2a=8$ ดังนั้นจาก Vieta $k = -2a^2b=-576$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนบวก ถ้า $a=\tfrac{10}{3}$ แล้ว $b=-4-2a=-\tfrac{32}{3}$ ดังนั้นจาก Vieta $k=-2a^2b=\boxed{\tfrac{6400}{27}}$ ซึ่งเป็นคำตอบ | k=-2a^2b=\boxed{\tfrac{6400}{27}}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของสมการ \[ x^2 + 4y^2 - 10x + 56y = k\]เป็นวงรีที่ไม่เสื่อมสภาพก็ต่อเมื่อ $k > a.$ ค่าของ $a$ คืออะไร? | เพื่อที่จะพยายามเขียนสมการที่กำหนดให้อยู่ในรูปมาตรฐาน เราจะเติมกำลังสองในตัวแปรแต่ละตัว: \[\begin{aligned} (x^2-10x) + 4(y^2+14y) &= k \\ (x^2-10x+25) + 4(y^2+14y+49) &= k + 25 + 4(49) = k + 221 \\ (x-5)^2 + 4(y+7)^2 &= k + 221. \end{aligned}\]เราจะเห็นว่าถ้า $k + 221 > 0,$ แล้วเราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $k + 221$ เพื่อให้ได้รูปมาตรฐานของสมการวงรี ในทางกลับกัน ถ้า $k + 221 = 0,$ สมการนี้จะถูกต้องก็ต่อเมื่อ $x-5 = 0$ และ $y+7=0,$ ดังนั้นกราฟของสมการประกอบด้วยจุดเดียวเท่านั้น และถ้า $k + 221 < 0,$ จุด $(x, y)$ ไม่มีจุดใดที่สอดคล้องกับสมการนี้ ดังนั้นกราฟจะเป็นวงรีที่ไม่เสื่อมสภาพก็ต่อเมื่อ $k + 221 > 0,$ นั่นคือ $k > -221.$ ดังนั้น $a = \boxed{-221}.$ | a = \boxed{-221}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่สอดคล้องกับ \[1+\left\lfloor\dfrac{100n}{101}\right\rfloor=\left\lceil\dfrac{99n}{100}\right\rceil.\] | กำหนดให้
\[f(n) = \left\lceil \frac{99n}{100} \right\rceil - \left\lfloor \frac{100n}{101} \right\rfloor.\]สังเกตว่า
\begin{align*}
f(n + 10100) &= \left\lceil \frac{99 (n + 10100)}{100} \right\rceil - \left\lfloor \frac{100 (n + 10100)}{101} \right\rfloor \\
&= \left\lceil \frac{99n}{100} + 101 \right\rceil - \left\lfloor \frac{100n}{101} + 100 \right\rfloor \\
&= \left\lceil \frac{99n}{100} \right\rceil + 101 - \left\lfloor \frac{100n}{101} \right\rfloor - 100 \\
&= \left\lceil \frac{99n}{100} \right\rceil - \left\lfloor \frac{100n}{101} \right\rfloor + 1 \\
&= f(n) + 1.
\end{align*}นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละชั้นสมภาค $r$ โมดูโล 10100 จะมีจำนวนเต็ม $n$ ตัวเดียวที่ทำให้ $f(n) = 1$ และ $n \equiv r \pmod{10100}.$ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{10100}.$ | \boxed{10100}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[\frac{x - 4}{(x - 2)^2} < 0.\]แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | สังเกตว่า $(x - 2)^2 > 0$ สำหรับทุก $x \neq 2.$ ดังนั้น สำหรับ $x \neq 2,$ $\frac{x - 4}{(x - 2)^2}$ มีเครื่องหมายเดียวกับ $x - 4.$ ดังนั้น คำตอบคือ $x \in \boxed{(-\infty,2) \cup (2,4)}.$ | x \in \boxed{(-\infty,2) \cup (2,4)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าบวกของ $t$ ที่สอดคล้องกับ $ab = t-2i$ โดยที่ $|a|=2$ และ $|b|=\sqrt{26}$ | จากข้อมูลที่กำหนดให้ เราทราบว่า $|a| |b| = |ab| = 2\sqrt{26}$ เราสามารถเขียน $|ab|$ ได้เป็น $|t-2i| = \sqrt{t^2 + 4}$ เมื่อเทียบกัน เราได้ $$\sqrt{t^2 + 4} = 2\sqrt{26} \Rightarrow
t^2 + 4 = 104.$$ ค่าบวกของ $t$ คือ $t = \boxed{10}$. | t = \boxed{10} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการ
\[(x^3 + 3x^2 \sqrt{2} + 6x + 2 \sqrt{2}) + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น
\[(x + \sqrt{2})^3 + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ดังนั้น
\[(x + \sqrt{2})[(x + \sqrt{2})^2 + 1] = 0,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2}$ หรือ $(x + \sqrt{2})^2 = -1.$ สำหรับสมการหลัง
\[x + \sqrt{2} = \pm i,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2} \pm i.$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}.$ | \boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}. | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอยู่ในรูป
\[9x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 15 = 0.\]จงหาจำนวนของรากตรรกยะที่เป็นไปได้ต่าง ๆ ของพหุนามนี้ | โดยทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวมีรูปแบบ $\pm \frac{a}{b},$ โดยที่ $a$ หาร 15 ลงตัว และ $b$ หาร 9 ลงตัว ดังนั้น รากตรรกยะที่เป็นไปได้คือ
\[\pm 1, \ \pm 3, \ \pm 5, \ \pm 15, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm \frac{5}{3}, \ \pm \frac{1}{9}, \ \pm \frac{5}{9}.\]ดังนั้น มีรากตรรกยะที่เป็นไปได้ $\boxed{16}$ ราก | \boxed{16} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ $|x_i| < 1$ สำหรับ $i = 1, 2, \dots, n,$ และ \[|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n|.\] จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $n$ | ด้านซ้ายมือสอดคล้องกับ \[|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| < 1 + 1 + \dots + 1 = n,\]ในขณะที่ด้านขวามือสอดคล้องกับ \[19 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n| \ge 19.\]ดังนั้น $n > 19$ ดังนั้น $n \ge 20.$ เป็นไปได้ที่ $n=20$ เนื่องจากตัวอย่างเช่น เราสามารถเลือก \[\begin{aligned} x_1 = x_2 = \dots = x_{10} &= \tfrac{19}{20}, \\ x_{11} =x_{12} = \dots =x_{20}& = -\tfrac{19}{20}, \end{aligned}\]ซึ่งทำให้ $|x_1| + |x_2| + \dots = |x_{20}| = 19$ และ $|x_1 + x_2 + \dots + x_{20}| = 0.$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{20}.$ | \boxed{20}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[\frac{a}{b} + \frac{a}{b^2} + \frac{a}{b^3} + \dots = 4.\]จงหาค่าของ
\[\frac{a}{a + b} + \frac{a}{(a + b)^2} + \frac{a}{(a + b)^3} + \dotsb.\] | จากสูตรอนุกรมเรขาอนันต์
\[\frac{a/b}{1 - 1/b} = 4.\]ดังนั้น $\frac{a}{b - 1} = 4,$ จึงได้ว่า $a = 4(b - 1).$
จากสูตรอนุกรมเรขาอนันต์อีกครั้ง
\begin{align*}
\frac{a}{a + b} + \frac{a}{(a + b)^2} + \frac{a}{(a + b)^3} + \dotsb &= \frac{a/(a + b)}{1 - 1/(a + b)} \\
&= \frac{a}{a + b - 1} \\
&= \frac{4(b - 1)}{4(b - 1) + (b - 1)} \\
&= \frac{4(b - 1)}{5(b - 1)} = \boxed{\frac{4}{5}}.
\end{align*} | a = 4(b - 1). | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}}.\] | ก่อนอื่น เราสามารถแยกตัวประกอบของส่วนได้:
\[1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1} = (1 + 2^n) + 2^{n + 1} (1 + 2^n) = (1 + 2^n)(1 + 2^{n + 1}).\]จากนั้น เราสามารถเขียนตัวเศษ $2^n$ เป็น $(1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n) = 2^n,$ ดังนั้น
\[\frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}} = \frac{(1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n)}{(1 + 2^n)(1 + 2^{n + 1})} = \frac{1}{1 + 2^n} - \frac{1}{1 + 2^{n + 1}}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}} &= \left( \frac{1}{1 + 2} - \frac{1}{1 + 2^2} \right) + \left( \frac{1}{1 + 2^2} - \frac{1}{1 + 2^3} \right) + \left( \frac{1}{1 + 2^3} - \frac{1}{1 + 2^4} \right) + \dotsb \\
&= \boxed{\frac{1}{3}}.
\end{align*} | (1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n) = 2^n, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกสองจำนวนซึ่ง $x + y = 35$ จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ที่ทำให้ $x^5 y^2$ มีค่ามากที่สุด | โดย AM-GM,
\begin{align*}
x + y &= \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \\
&\ge 7 \sqrt[7]{\left( \frac{x}{5} \right)^5 \left( \frac{y}{2} \right)^2} \\
&= 7 \sqrt[7]{\frac{x^5 y^2}{5^5 \cdot 2^2}}.
\end{align*}เนื่องจาก $x + y = 35,$ เราได้
\[x^5 y^2 \le 5^7 \cdot 5^5 \cdot 2^2,\]และสมการเกิดขึ้นเมื่อ $x + y = 35$ และ $\frac{x}{5} = \frac{y}{2}.$ เราสามารถแก้สมการได้ $(x,y) = \boxed{(25,10)}.$ | (x,y) = \boxed{(25,10)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ
\[\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}.\] | พิจารณาแต่ละพจน์อยู่ในรูป $x^4 + 324$ เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้:
\[\begin{aligned} x^4 + 324 &= (x^4 + 36x^2 + 324) - 36x^2\\& = (x^2+18)^2 - 36x^2 \\& = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18) \\ &= (x(x-6)+18)(x(x+6)+18). \end{aligned}\]ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดจึงเท่ากับ
\[\frac{(10\cdot4+18)(10\cdot16+18)(22\cdot16+18)(22\cdot28+18) \dotsm (58\cdot52+18)(58\cdot64+18)}{(4\cdot(-2)+18)(4\cdot10+18)(16\cdot10+18)(16\cdot22+18) \dotsm (52\cdot46+18)(52\cdot58+18)}.\]พจน์ส่วนใหญ่จะตัดกันออก เหลือเพียง
\[\frac{58 \cdot 64 + 18}{4 \cdot (-2) + 18} = \boxed{373}.\]หมายเหตุ: การแยกตัวประกอบ $x^4+324 = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18)$ เป็นกรณีพิเศษของเอกลักษณ์ Sophie Germain ซึ่งได้มาในลักษณะเดียวกัน; มันระบุว่า
\[a^4 + 4b^4 = (a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).\] | 373 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนาม โดยที่
\[P(x) = P(0) + P(1) x + P(2) x^2\]และ $P(-1) = 1.$ จงหา $P(x).$ | แทนค่า $x = -1,$ $x = 1,$ และ $x = 2,$ เราได้
\begin{align*}
1 = P(-1) &= P(0) - P(1) + P(2), \\
P(1) &= P(0) + P(1) + P(2), \\
P(2) &= P(0) + 2P(1) + 4P(2),
\end{align*}ตามลำดับ แก้ระบบสมการนี้สำหรับ $P(0),$ $P(1),$ และ $P(2),$ เราได้ $P(0) = -1,$ $P(1) = -1,$ และ $P(2) = 1,$ ดังนั้น
\[P(x) = \boxed{x^2 - x - 1}.\] | P(2) = 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จอห์นอายุน้อยกว่าพ่อ 24 ปี ผลรวมอายุของทั้งสองคนเท่ากับ 68 ปี จอห์นอายุเท่าไร | ให้ $j$ แทนอายุของจอห์น และ $d$ แทนอายุของพ่อ เราพยายามที่จะหาค่าของ $j$ เราสามารถสร้างระบบสมการสองสมการเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนดไว้ ดังนี้
\begin{align*}
j &= d - 24 \\
j + d &= 68 \\
\end{align*}เราต้องการหา $j$ ดังนั้นเราต้องกำจัด $d$ ออกจากสมการข้างต้น การเขียนสมการแรกใหม่ เราได้ $d = j+24$ แทนค่านี้ลงในสมการที่สองเพื่อกำจัด $d$ เราได้ $j+(j+24)=68$ หรือ $j=22$ ดังนั้นจอห์นอายุ $\boxed{22}$ ปี | \boxed{22} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในลำดับหนึ่ง พจน์แรกคือ $a_1 = 2007$ และพจน์ที่สองคือ $a_2 = 2008.$ โดยที่ค่าของพจน์ที่เหลือถูกเลือกมาเพื่อให้
\[a_n + a_{n + 1} + a_{n + 2} = n\]สำหรับทุก ๆ $n \ge 1.$ จงหาค่าของ $a_{1000}.$ | เรารู้ว่า $a_n + a_{n + 1} + a_{n + 2} = n$ และ $a_{n - 1} + a_n + a_{n + 1} = n - 1.$ การลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[a_{n + 2} - a_{n - 1} = 1,\]ดังนั้น $a_{n + 2} = a_{n - 1} + 1.$
ดังนั้น พจน์
\[a_1 = 2007, \ a_4, \ a_7, \ a_{10}, \ \dots, \ a_{1000}\]จะสร้างลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมกันเท่ากับ 1 ผลต่างร่วมกันของ 1 ถูกบวกเข้าไป $\frac{1000 - 1}{3} = 333$ ครั้ง ดังนั้น $a_{1000} = 2007 + 333 = \boxed{2340}.$ | a_{1000} = 2007 + 333 = \boxed{2340}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากตัวเลือกต่อไปนี้ ตัวเลขใดมีค่ามากที่สุด? (เขียน A, B หรือ C) \[ A.\ \ \frac{2006}{2005}+\frac{2006}{2007} \qquad B.\ \ \frac{2006}{2007}+\frac{2008}{2007} \qquad C.\ \ \frac{2007}{2006}+\frac{2007}{2008} \] | ข้อนี้แสดงให้เห็นว่าพีชคณิตสามารถทำให้การคำนวณเลขคณิตง่ายขึ้น การเปรียบเทียบปริมาณเหล่านี้โดยตรงนั้นยุ่งยาก แทนที่จะทำเช่นนั้น เราสังเกตว่าตัวเลือกแรกและตัวเลือกที่สามมีรูปแบบ $\frac{n}{n-1}+\frac{n}{n+1}$ โดยที่ $n=2006$ และ $n=2007$ ตามลำดับ การเขียนนิพจน์นี้ในรูปพีชคณิตจะได้ \[ \frac{n(n+1)}{n^2-1}+\frac{n(n-1)}{n^2-1} = \frac{2n^2}{n^2-1} = 2 + \frac{2}{n^2-1}. \]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวเลือก A และ C ทั้งคู่มีค่ามากกว่า 2 สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ว่าตัวเลือก B มีค่าเท่ากับ 2 ดังนั้นจึงไม่ใช่คำตอบ สุดท้าย โปรดทราบว่าค่า $n$ ที่มีขนาดใหญ่ขึ้นจะทำให้ผลลัพธ์มีขนาดเล็กลง ซึ่งหมายความว่า $\boxed{\text{A}}$ มีค่ามากที่สุด (นอกจากนี้ยังสามารถเดาคำตอบได้โดยการทดลองตัวอย่างที่ใช้ตัวเลขที่เล็กกว่ามาก) | \boxed{\text{A}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดสมการไฮเปอร์โบลา \[-x^2+2y^2-10x-16y+1=0\] มีโฟกัสสองจุด จงหาพิกัดของโฟกัสจุดใดจุดหนึ่ง (ใส่คำตอบเป็นคู่ลำดับ จงใส่เพียงโฟกัสจุดเดียว ไม่ใช่ทั้งสองจุด) | เพื่อหาสมการมาตรฐานของสมการไฮเปอร์โบลา เราจะทำการเติมกำลังสองในตัวแปรทั้งสอง: \[\begin{aligned} -(x^2+10x) + 2(y^2-8y) + 1 &= 0 \\ -(x^2+10x+25) + 2(y^2-8y+16) + 1 &= -25 + 32 \\ -(x+5)^2 + 2(y-4)^2 &= 6 \\ \frac{(y-4)^2}{3} - \frac{(x+5)^2}{6} &= 1. \end{aligned}\]สมการนี้ตรงกับสมการมาตรฐานของไฮเปอร์โบลา \[\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1,\]โดยที่ $a=\sqrt{3},$ $b=\sqrt{6},$ $h=-5,$ และ $k=4.$ ดังนั้นจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลาคือจุด $(h,k)=(-5, 4).$ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $y^2$ เป็นบวก และสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เป็นลบ โฟกัสจึงอยู่ในแนวตั้งฉากกับจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา. เราได้ \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3+6} = 3,\]ซึ่งเป็นระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลาถึงโฟกัสแต่ละจุด. ดังนั้น โฟกัสสองจุดของไฮเปอร์โบลาคือ $(-5, 4 \pm 3),$ ซึ่งให้จุดสองจุด: $\boxed{(-5, 7)}$ และ $\boxed{(-5, 1)}.$ (สามารถเลือกจุดใดจุดหนึ่งเป็นคำตอบ) | (-5, 7) | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $|z| = 2.$ จงหาระยะห่างที่มากที่สุดระหว่าง $(3 + 4i)z^3$ และ $z^5$ เมื่อพล็อตในระนาบเชิงซ้อน | เราต้องการหาค่าสูงสุดของ
\[|(3 + 4i)z^3 - z^5| = |z^3| |3 + 4i - z^2| = |z|^3 |3 + 4i - z^2| = 8 |3 + 4i - z^2|.\]换句话说，我们想要最大化 $3 + 4i$ 和 $z^2$ 之间的距离。
เนื่องจาก $|z| = 2,$ เซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีรูปแบบ $z^2$ จะอยู่บนวงกลมที่มีรัศมี $|z|^2 = 4.$ ระยะห่างระหว่าง $3 + 4i$ และ $z^2$ จะมากที่สุดเมื่อ $z^2$ อยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและ $3 + 4i.$ (เส้นตรงนี้ตัดวงกลมที่จุดสองจุด ดังนั้นเราจึงเลือกจุดที่อยู่ห่างจาก $3 + 4i$ มากกว่า)
[asy]
unitsize(0.5 cm);
draw(Circle((0,0),4));
draw((-4.5,0)--(4.5,0));
draw((0,-4.5)--(0,4.5));
draw((0,0)--(3,4));
draw((0,0)--(-4/5)*(3,4));
label("$4$", (-4/5)*(3,4)/2, NW);
dot("$3 + 4i$", (3,4), NE);
dot("$z^2$", (-4/5)*(3,4), SW);
[/asy]
สำหรับจำนวนนี้ ระยะห่างระหว่าง $3 + 4i$ และ $z^2$ คือ $4 + 5 = 9,$ ดังนั้นค่าสูงสุดของ $8 |3 + 4i - z^2|$ คือ $8 \cdot 9 = \boxed{72}.$ | 8 \cdot 9 = \boxed{72}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
\[|z^2 + 4| = |z(z + 2i)|.\]จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $|z + i|.$ | สังเกตว่า $z^2 + 4 = (z + 2i)(z - 2i),$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดได้เป็น
\[|z + 2i||z - 2i| = |z||z + 2i|.\]ถ้า $|z + 2i| = 0,$ แล้ว $z = -2i,$ ในกรณีนี้ $|z + i| = |-i| = 1.$ มิฉะนั้น $|z + 2i| \neq 0,$ ดังนั้นเราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $|z + 2i|,$ เพื่อให้ได้
\[|z - 2i| = |z|.\]เงื่อนไขนี้ระบุว่า $z$ มีระยะห่างเท่ากันจากจุดกำเนิดและ $2i$ ในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้น $z$ ต้องอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ ซึ่งเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่ส่วนจินตภาพเท่ากับ 1.
[asy]
unitsize(1 cm);
draw((-2.5,0)--(2.5,0));
draw((0,-2.5)--(0,2.5));
draw((-2.5,1)--(2.5,1),red);
dot("$0$", (0,0), NE);
dot("$2i$", (0,2), NE);
label("Re", (2.5,0), E);
label("Im", (0,2.5), N);
[/asy]
กล่าวอีกนัยหนึ่ง $z = x + i$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ จากนั้น
\[|z + i| = |x + 2i| = \sqrt{x^2 + 4} \ge 2.\]ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดของ $|z + i|$ คือ $\boxed{1},$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $z = -2i.$ | z = -2i. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n)=\log_{2002} n^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด จงหาค่าของ $f(11)+f(13)+f(14)$ | เรามีว่า
\begin{align*}
f(11) + f(13) + f(14) &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 + \log_{2002} 14^2 \\
&= \log_{2002} (11^2 \cdot 13^2 \cdot 14^2) \\
&= \log_{2002} 2002^2 \\
&= \boxed{2}.
\end{align*} | 2 | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $k$ ที่ทำให้เส้นตรง $3x + 5y + k = 0$ เป็นเส้นสัมผัสของพาราโบลา $y^2 = 24x.$ | แก้สมการ $3x + 5y + k = 0$ เพื่อหาค่า $x$ จะได้
\[x = -\frac{5y + k}{3}.\]แทนค่าลงใน $y^2 = 24x,$ จะได้
\[y^2 = -40y - 8k,\]หรือ $y^2 + 40y + 8k = 0.$ เนื่องจากเส้นตรงเป็นเส้นสัมผัส สมการกำลังสองนี้จะมีรากซ้ำ หมายความว่าตัวจำแนกของสมการนี้จะเป็น 0. จะได้ $40^2 - 4(8k) = 0,$ ดังนั้น $k = \boxed{50}.$ | k = \boxed{50}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ
\[f(x + f(y)) = x + y\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | กำหนด $x = -f(y),$ เราได้
\[f(0) = -f(y) + y,\]ดังนั้น $f(y) = y - f(0)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จากนั้นสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดจะกลายเป็น
\[f(x + y - f(0)) = x + y,\]หรือ $x + y - f(0) - f(0) = x + y.$ ดังนั้น $f(0) = 0,$ ดังนั้น $f(x) = x$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด จึงมีคำตอบ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $x - \frac{1}{x} = i \sqrt{2},$ จงหา $x^{2187} - \frac{1}{x^{2187}}.$ | ยกกำลังสอง $x - \frac{1}{x} = i \sqrt{2},$ เราได้
\[x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = -2.\]ดังนั้น $x^2 + \frac{1}{x^2} = 0,$ ดังนั้น $x^4 + 1 = 0,$ หรือ $x^4 = -1.$
แล้ว
\[x^{2187} = (x^4)^{546} \cdot x^3 = x^3,\]ดังนั้น
\begin{align*}
x^{2187} - \frac{1}{x^{2187}} &= x^3 - \frac{1}{x^3} \\
&= \left( x - \frac{1}{x} \right) \left( x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} \right) \\
&= \boxed{i \sqrt{2}}.
\end{align*} | x^4 = -1. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ
\[\frac{1}{x + 1} + \frac{6}{x + 5} \ge 1.\] | ลบ 1 จากทั้งสองข้าง และนำทุกเทอมไปหารด้วยตัวหารร่วมกัน เราจะได้
\[\frac{-x^2 + x + 6}{(x + 1)(x + 5)} \ge 0.\]เทียบเท่ากับ
\[\frac{x^2 - x - 6}{(x + 1)(x + 5)} \le 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบของเศษส่วนได้ดังนี้
\[\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 1)(x + 5)} \le 0.\]เราสร้างตารางเครื่องหมายตามลำดับ
\begin{tabular}{c|cccc|c} &$x-3$ &$x+2$ &$x+1$ &$x+5$ &$f(x)$ \\ \hline$x<-5$ &$-$&$-$&$-$&$-$&$+$\\ [.1cm]$-5<x<-2$ &$-$&$-$&$-$&$+$&$-$\\ [.1cm]$-2<x<-1$ &$-$&$+$&$-$&$+$&$+$\\ [.1cm]$-1<x<3$ &$-$&$+$&$+$&$+$&$-$\\ [.1cm]$x>3$ &$+$&$+$&$+$&$+$&$+$\\ [.1cm]\end{tabular}นอกจากนี้ โปรดทราบว่า $\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 1)(x + 5)} = 0$ สำหรับ $x = -2$ และ $x = 3.$ ดังนั้นคำตอบคือ
\[x \in \boxed{(-5,-2] \cup (-1,3]}.\] | x = 3. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นรากของ $x^2 + px + 1 = 0,$ และให้ $\gamma$ และ $\delta$ เป็นรากของ $x^2 + qx + 1 = 0.$ จงแสดง
\[(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)\]ในรูปของ $p$ และ $q.$ | เนื่องจาก $\alpha$ และ $\beta$ เป็นรากของ $x^2 + px + 1 = 0,$
\[(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 + px + 1.\]แทน $x = \gamma,$ เราได้
\[(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta) = \gamma^2 + p \gamma + 1.\]หรือ $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma) = \gamma^2 + p \gamma + 1.$
แทน $x = -\delta,$ เราได้
\[(-\delta - \alpha)(-\delta - \beta) = \delta^2 - p \delta + 1,\]หรือ $(\alpha + \beta)(\beta + \delta) = \delta^2 - p \delta + 1.$
เนื่องจาก $\gamma$ และ $\delta$ เป็นรากของ $x^2 + qx + 1 = 0,$ $\gamma^2 + q \gamma + 1 = 0$ และ $\delta^2 + q \delta + 1 = 0.$ ดังนั้น
\[\gamma^2 + p \gamma + 1 = (p - q) \gamma\]และ
\[\delta^2 - p \delta + 1 = -(p + q) \delta.\]สุดท้าย โดยสูตรของ Vieta, $\gamma \delta = 1,$ ดังนั้น
\[(p - q) \gamma \cdot (-(p + q)) \delta = (q - p)(q + p) = \boxed{q^2 - p^2}.\] | \gamma \delta = 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)}.\] | ก่อนอื่น เราจะแยก $ rac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)}$ เป็นเศษส่วนย่อย ให้
\[\frac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2}.\]แล้ว
\[2n + 1 = A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1).\]เมื่อ $n = 0,$ เราได้ $2A = 1,$ ดังนั้น $A = \frac{1}{2}.$
เมื่อ $n = -1,$ เราได้ $-B = -1,$ ดังนั้น $B = 1.$
เมื่อ $n = -2,$ เราได้ $2C = -3,$ ดังนั้น $C = -\frac{3}{2}.$ ดังนั้น,
\[\frac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1/2}{n} + \frac{1}{n + 1} - \frac{3/2}{n + 2}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)} &= \sum_{n = 1}^\infty \left( \frac{1/2}{n} + \frac{1}{n + 1} - \frac{3/2}{n + 2} \right) \\
&= \left( \frac{1/2}{1} + \frac{1}{2} - \frac{3/2}{3} \right) + \left( \frac{1/2}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3/2}{4} \right) + \left( \frac{1/2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3/2}{5} \right) + \dotsb \\
&= \frac{1/2}{1} + \frac{3/2}{2} \\
&= \boxed{\frac{5}{4}}.
\end{align*} | C = -\frac{3}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชันตรรกยะ $\frac{p(x)}{q(x)}$ ดังแสดง โดยมีเส้นกำทัดแนวนอน $y = 0$ และเส้นกำทัดแนวตั้ง $ x=-1 $ ถ้า $q(x)$ เป็นกำลังสอง $p(2)=1$, และ $q(2) = 3$ จงหา $p(x) + q(x).$
[asy]
size(8cm);
import graph;
Label f;
f.p=fontsize(6);
real f(real x) {return (x-1)/((x-1)*(x+1));}
int gridsize = 5;
draw((-gridsize,0)--(gridsize,0), black+1bp, Arrows(8));
draw((0,-gridsize)--(0, gridsize), black+1bp, Arrows(8));
label("$x$", (gridsize, 0), E);
label("$y$", (0, gridsize), N);
label("$0$", (0,0),SE, p=fontsize(8pt));
for (int i=-gridsize+1; i<0; ++i){
label("$"+string(i)+"$",(i,0),S, p=fontsize(8pt));
label("$"+string(i)+"$",(0,i),E, p=fontsize(8pt));}
for (int i=1; i<=gridsize-1; ++i){
label("$"+string(i)+"$",(i,0),S, p=fontsize(8pt));
label("$"+string(i)+"$",(0,i),E, p=fontsize(8pt));}
draw(graph(f,-5,-1.2));
draw(graph(f,-.8,0.85));
draw(graph(f,1.15,5));
draw((-1,-5)--(-1,5), dashed);
draw(circle((1,.5),.15));
[/asy] | เนื่องจาก $q(x)$ เป็นกำลังสอง และเรามีเส้นกำทัดแนวนอนที่ $y=0$ เราทราบว่า $p(x)$ ต้องเป็นเส้นตรง
เนื่องจากเรามีรูที่ $x=1$ จะต้องมีตัวประกอบ $x-1$ ใน $p(x)$ และ $q(x)$ นอกจากนี้ เนื่องจากมีเส้นกำทัดแนวตั้งที่ $x=-1$ ตัวส่วน $q(x)$ จะต้องมีตัวประกอบ $x+1$ ดังนั้น $p(x) = a(x-1)$ และ $q(x) = b(x+1)(x-1)$ สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ ใดๆ
เนื่องจาก $p(2) = 1$ เราได้ $a(2-1) = 1$ ดังนั้น $a=1$ เนื่องจาก $q(2) = 3$ เราได้ $b(2+1)(2-1) = 3$ ดังนั้น $b=1$
ดังนั้น $p(x) = x - 1$ และ $q(x) = (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$ ดังนั้น $p(x) + q(x) = \boxed{x^2 + x - 2}.$ | p(x) + q(x) = \boxed{x^2 + x - 2}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5,i)--(5,i),gray(0.7));
}
draw((-5,0)--(5,0),Arrows(6));
draw((0,-5)--(0,5),Arrows(6));
label("$x$", (5,0), E);
label("$y$", (0,5), N);
draw(graph(func,-3,3),red);
label("$y = f(x)$", (3,-2), UnFill);
[/asy]
กราฟของ $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$ คือ กราฟใด?
[asy]
unitsize(0.5 cm);
picture[] graf;
int i, n;
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
real funcc(real x) {
return(1/2*func(x) + 3);
}
for (n = 1; n <= 5; ++n) {
graf[n] = new picture;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw(graf[n],(i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw(graf[n],(-5,i)--(5,i),gray(0.7));
}
draw(graf[n],(-5,0)--(5,0),Arrows(6));
draw(graf[n],(0,-5)--(0,5),Arrows(6));
label("$x$", (5,0), E);
label("$y$", (0,5), N);
draw(graph(funcc,-3,3),red);
label("$y = f(x)$", (3,-2), UnFill);
label(graf[1], "A", (0,-6));
label(graf[2], "B", (0,-6));
label(graf[3], "C", (0,-6));
label(graf[4], "D", (0,-6));
label(graf[5], "E", (0,-6));
add(graf[1]);
add(shift((12,0))*(graf[2]));
add(shift((24,0))*(graf[3]));
add(shift((6,-12))*(graf[4]));
add(shift((18,-12))*(graf[5]));
[/asy]
ระบุตัวอักษรของกราฟของ $y = \frac{1}{2} f(x) + 3.$ | กราฟของ $y = \frac{1}{2} f(x)$ ได้มาจากการนำกราฟของ $y = f(x)$ มาบีบอัดลงในแนวตั้งโดยมีค่า $\frac{1}{2}$ จากนั้นเราจะได้กราฟของ $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$ โดยการเลื่อนขึ้นไปด้านบนสามหน่วย กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{C}}.$ | \boxed{\text{C}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 + 6x + y^2 - 4y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 4 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เราได้ $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 13 - c$ เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 4 หน่วย เราต้องมี $13 - c = 4^2$ ดังนั้น $c = \boxed{-3}$ | c = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $x - \frac{1}{x} = i \sqrt{2},$ จงหา $x^{2187} - \frac{1}{x^{2187}}.$ | ยกกำลังสอง $x - \frac{1}{x} = i \sqrt{2},$ เราได้
\[x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = -2.\]ดังนั้น $x^2 + \frac{1}{x^2} = 0,$ ดังนั้น $x^4 + 1 = 0,$ หรือ $x^4 = -1.$
แล้ว
\[x^{2187} = (x^4)^{546} \cdot x^3 = x^3,\]ดังนั้น
\begin{align*}
x^{2187} - \frac{1}{x^{2187}} &= x^3 - \frac{1}{x^3} \\
&= \left( x - \frac{1}{x} \right) \left( x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} \right) \\
&= \boxed{i \sqrt{2}}.
\end{align*} | x^4 = -1. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $2(x^2 + y^2) = x + y.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x - y.$ | เราสามารถเขียน $2(x^2 + y^2) = x + y$ เป็น $2x^2 + 2y^2 = x + y.$ ดังนั้น $2x^2 + 4xy + 2y^2 = x + y + 4xy,$ ดังนั้น
\[4xy = 2(x^2 + 2xy + y^2) - (x + y) = 2(x + y)^2 - (x + y).\]นอกจากนี้,
\begin{align*}
(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 \\
&= (x + y)^2 - 4xy \\
&= (x + y) - (x + y)^2.
\end{align*}ทำการเติมกำลังสองใน $x + y,$ เราได้
\[(x - y)^2 = \frac{1}{4} - \left( x + y - \frac{1}{2} \right)^2 \le \frac{1}{4},\]ดังนั้น $x - y \le \frac{1}{2}.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x = \frac{1}{2}$ และ $y = 0,$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{1}{2}}.$ | \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $k$ และ $m$ เป็นจำนวนจริง และสมมติว่ารากของสมการ \[x^3 - 7x^2 + kx - m = 0\]เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสามจำนวน จงคำนวณ $k + m.$ | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของสมการคือ $7.$ นอกจากนี้ สามสิ่งของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันที่มีผลรวมเท่ากับ $7$ คือ $\{1, 2, 4\}.$ เพื่อเห็นสิ่งนี้ โปรดทราบว่าค่าสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ จากสามจำนวนคือ $7 - 1 - 2 = 4,$ และวิธีเดียวในการเลือกสามจำนวนจาก $1, 2, 3, 4$ เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ $7$ คือเลือก $1,$ $2,$ และ $4.$
ดังนั้น รากของสมการต้องเป็น $1,$ $2,$ และ $4.$ ตาม Vieta \[k = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 14\]และ \[m = 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8,\]ดังนั้น $k+m = 14+8 = \boxed{22}.$ | k+m = 14+8 = \boxed{22}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พาราโบลาหนึ่งมีจุดโฟกัส $(3,3)$ และไดเร็คทริกซ์ $3x + 7y = 21.$ จงแสดงสมการของพาราโบลาในรูป
\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0,\]โดยที่ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ เป็นจำนวนเต็ม, $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $\gcd(|a|,|b|,|c|,|d|,|e|,|f|) = 1.$ | ให้ $(x,y)$ เป็นจุดบนพาราโบลา ระยะห่างจาก $(x,y)$ ถึงจุดโฟกัสคือ
\[\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 3)^2}.\]ระยะห่างจาก $(x,y)$ ถึงเส้นตรง $3x + 7y - 21 = 0$ คือ
\[\frac{|3x + 7y - 21|}{\sqrt{3^2 + 7^2}} = \frac{|3x + 7y - 21|}{\sqrt{58}}.\]ตามนิยามของพาราโบลา ระยะห่างเหล่านี้เท่ากัน ดังนั้น
\[\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 3)^2} = \frac{|3x + 7y - 21|}{\sqrt{58}}.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้
\[(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = \frac{(3x + 7y - 21)^2}{58}.\]ซึ่งจะทำให้ได้ $\boxed{49x^2 - 42xy + 9y^2 - 222x - 54y + 603 = 0}.$ | \boxed{49x^2 - 42xy + 9y^2 - 222x - 54y + 603 = 0}. | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x + y = 3.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[x^4 y + x^3 y + x^2 y + xy + xy^2 + xy^3 + xy^4.\] | ก่อนอื่น เราสามารถแยกตัวประกอบ $xy$ ออกมาได้ดังนี้
\[xy (x^3 + x^2 + x + 1 + y + y^2 + y^3) = xy(x^3 + y^3 + x^2 + y^2 + x + y + 1).\]เราทราบว่า $x + y = 3.$ ให้ $p = xy.$ ดังนั้น
\[9 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2,\]ดังนั้น $x^2 + y^2 = 9 - 2p.$
นอกจากนี้
\[27 = (x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3,\]ดังนั้น $x^3 + y^3 = 27 - 3xy(x + y) = 27 - 9p.$
ดังนั้น
\begin{align*}
xy (x^3 + y^3 + x^2 + y^2 + x + y + 1) &= p (27 - 9p + 9 - 2p + 3 + 1) \\
&= p(40 - 11p) \\
&= -11p^2 + 40p \\
&= -11 \left( p - \frac{20}{11} \right)^2 + \frac{400}{11} \\
&\le \frac{400}{11}.
\end{align*}ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $xy = p = \frac{20}{11}.$ โดยสูตรของ Vieta's $x$ และ $y$ เป็นรากของ
\[t^2 - 3t + \frac{20}{11} = 0.\]ดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสองนี้เป็นบวก ดังนั้นค่าเท่ากันเป็นไปได้ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{400}{11}}.$ | \boxed{\frac{400}{11}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $r$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $r^5 = 1$ และ $r \neq 1.$ จงคำนวณค่าของ
\[(r - 1)(r^2 - 1)(r^3 - 1)(r^4 - 1).\] | เราสามารถเขียน $r^5 - 1 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(r - 1)(r^4 + r^3 + r^2 + r + 1) = 0.\]เนื่องจาก $r \neq 1,$ ดังนั้น $r^4 + r^3 + r^2 + r + 1 = 0.$
เพื่อคำนวณผลคูณ เราสามารถจัดเรียงตัวประกอบเป็นคู่:
\begin{align*}
(r - 1)(r^2 - 1)(r^3 - 1)(r^4 - 1) &= [(r - 1)(r^4 - 1)][(r^2 - 1)(r^3 - 1)] \\
&= (r^5 - r - r^4 + 1)(r^5 - r^2 - r^3 + 1) \\
&= (1 - r - r^4 + 1)(1 - r^2 - r^3 + 1) \\
&= (2 - r - r^4)(2 - r^2 - r^3) \\
&= 4 - 2r^2 - 2r^3 - 2r + r^3 + r^4 - 2r^4 + r^6 + r^7 \\
&= 4 - 2r^2 - 2r^3 - 2r + r^3 + r^4 - 2r^4 + r + r^2 \\
&= 4 - r - r^2 - r^3 - r^4 \\
&= 5 - (1 + r + r^2 + r^3 + r^4) = \boxed{5}.
\end{align*} | 5 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนคู่ลำดับของจำนวนเต็ม $(a,b)$ โดยที่ $1 \leq a \leq 100$ และ $b \geq 0$ ซึ่งพหุนาม $x^2+ax+b$ สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม | เนื่องจากพหุนามกำลังสองที่กำหนดมีสัมประสิทธิ์นำเป็น 1 ตัวประกอบทั้งสองต้องอยู่ในรูป $x-c$ (หรือ $-x+c$) ดังนั้นการแยกตัวประกอบดังกล่าวมีอยู่ก็ต่อเมื่อ $x^2 + ax + b$ มีรากจำนวนเต็มสองราก สมมติว่า $r$ และ $s$ แทนรากเหล่านี้ ตามสูตรของ Vieta's เรามี \[\begin{aligned} r+s &= -a, \\ rs &= b. \end{aligned}\]เนื่องจาก $r+s = -a$ เป็นลบ แต่ $rs = b$ เป็นไม่เป็นลบ ดังนั้น $r$ และ $s$ ทั้งสองต้องเป็นลบหรือศูนย์ สำหรับแต่ละค่าของ $a$ จะมีคู่ $(r, s)$ ที่เป็นไปได้ $a+1$ คู่ ซึ่งคือ $(0, -a)$, $(-1, -a+1)$, $\ldots$, $(-a, 0)$. อย่างไรก็ตาม เนื่องจากลำดับของ $r$ และ $s$ ไม่มีความสำคัญ เราจึงได้พหุนาม $x^2+ax+b$ ที่แตกต่างกัน $\lceil \tfrac{a+1}{2} \rceil$ ตัว สำหรับแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ ดังนั้นจำนวนพหุนามเหล่านี้คือ \[\sum_{a=1}^{100} \left\lceil \frac{a+1}{2} \right\rceil = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + \dots + 50 + 50 + 51 = \boxed{2600}\]เนื่องจากถ้าเราจับคู่คำศัพท์ในผลรวมนี้เข้าด้วยกันปลายต่อปลาย แต่ละคู่จะมีผลรวมเป็น $52 = 2 \cdot 26$. | 52 = 2 \cdot 26 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
$\zeta_1, \zeta_2,$ และ $\zeta_3$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\[\zeta_1+\zeta_2+\zeta_3=1\]\[\zeta_1^2+\zeta_2^2+\zeta_3^2=3\]\[\zeta_1^3+\zeta_2^3+\zeta_3^3=7\]
จงคำนวณ $\zeta_1^{7} + \zeta_2^{7} + \zeta_3^{7}$.
| กำหนด $e_1 = \zeta_1 + \zeta_2 + \zeta_3,\ e_2 = \zeta_1\zeta_2 + \zeta_2\zeta_3 + \zeta_3\zeta_1,\ e_3 = \zeta_1\zeta_2\zeta_3$ (ผลบวกกำลังสมมาตรเบื้องต้น) จากนั้น เราสามารถเขียนสมการข้างต้นใหม่ได้เป็น\[\zeta_1+\zeta_2+\zeta_3=e_1 = 1\]\[\zeta_1^2+\zeta_2^2+\zeta_3^2= e_1^2 - 2e_2 = 3\]จากสมการนี้จะได้ว่า $e_2 = -1$ สมการที่สามสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น\[7 =\zeta_1^3+\zeta_2^3+\zeta_3^3 = (\zeta_1+\zeta_2+\zeta_3)(\zeta_1^2+\zeta_2^2+\zeta_3^2-\zeta_1\zeta_2-\zeta_2\zeta_3 -\zeta_3\zeta_1)+3\zeta_1\zeta_2\zeta_3\\ = e_1^3 - 3e_1e_2 + 3e_3,\]จากสมการนี้จะได้ว่า $e_3 = 1$ ดังนั้น โดยการนำสูตรของ Vieta มาใช้ย้อนกลับ $\zeta_1, \zeta_2,$ และ $\zeta_3$ เป็นรากของพหุนาม\[x^3 - x^2 - x - 1 = 0 \Longleftrightarrow x^3 = x^2 + x + 1\]กำหนด $s_n = \zeta_1^n + \zeta_2^n + \zeta_3^n$ (ผลบวกกำลัง) จาก $(1)$ เราได้การเรียกซ้ำ $s_{n+3} = s_{n+2} + s_{n+1} + s_n$ ดังนั้น $s_4 = 7 + 3 + 1 = 11, s_5 = 21, s_6 = 39, s_7 = \boxed{71}$. | s_4 = 7 + 3 + 1 = 11, s_5 = 21, s_6 = 39, s_7 = \boxed{71} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $w,$ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนไม่เป็นลบซึ่งผลรวมเท่ากับ 100 จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ
\[wx + xy + yz.\] | เราทราบว่า
\[wx + xy + yz \le wx + xy + yz + zw = (w + y)(x + z).\]โดยอสมการ AM-GM,
\[(w + y)(x + z) \le \left( \frac{(w + y) + (x + z)}{2} \right)^2 = 2500.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $w = x = 50$ และ $y = z = 0,$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{2500}.$ | \boxed{2500}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $x + y + z = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x + y}{xyz}.\] | โดยอสมการ AM-HM
\[\frac{x + y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{2xy}{x + y},\]ดังนั้น $\frac{x + y}{xy} \ge \frac{4}{x + y}.$ นั่นคือ
\[\frac{x + y}{xyz} \ge \frac{4}{(x + y)z}.\]โดยอสมการ AM-GM
\[\sqrt{(x + y)z} \le \frac{x + y + z}{2} = \frac{1}{2},\]ดังนั้น $(x + y)z \le \frac{1}{4}.$ นั่นคือ
\[\frac{4}{(x + y)z} \ge 16.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = \frac{1}{4}$ และ $z = \frac{1}{2},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{16}$. | \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาว่ารากที่มากที่สุดของ $f(x) = 15x^4-13x^2+2$ คือเท่าไร | เราสังเกตว่า $f(x)$ มีเพียงพจน์ที่มีกำลังของ $x$ เป็นเลขคู่เท่านั้น ดังนั้น ถ้าเราให้ $y = x^2$ เราสามารถเขียนได้ว่า
$$f(x)=15x^4-13x^2+2=15y^2-13y+2 = (3y-2)(5y-1) .$$แทน $x^2$ กลับเข้าไปใน $y$ เราจะได้ $$f(x) = (3x^2-2)(5x^2-1).$$ดังนั้น รากของ $f(x)$ คือ รากของ $3x^2-2$ และ $5x^2-1$ ซึ่งคือ $\sqrt{\frac{2}{3}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{1}{\sqrt{5}},$ และ $ -\frac{1}{\sqrt{5}}$ ดังนั้น รากที่มากที่สุดคือ $\sqrt{\frac 23} = \boxed{\frac{\sqrt{6}}{3}}.$ | \sqrt{\frac 23} = \boxed{\frac{\sqrt{6}}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $k$ และ $m$ เป็นจำนวนจริง และสมมติว่ารากของสมการ \[x^3 - 7x^2 + kx - m = 0\]เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสามจำนวน จงคำนวณ $k + m.$ | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของสมการนี้เท่ากับ $7.$ ยิ่งไปกว่านั้น สามสิ่งของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันที่มีผลรวมเท่ากับ $7$ คือ $\{1, 2, 4\}.$ เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าค่าสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ จากสามจำนวนนี้คือ $7 - 1 - 2 = 4,$ และวิธีเดียวที่จะเลือกสามจำนวนจาก $1, 2, 3, 4$ เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ $7$ คือเลือก $1,$ $2,$ และ $4.$
ดังนั้น รากของสมการต้องเป็น $1,$ $2,$ และ $4.$ ตาม Vieta \[k = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 14\]และ \[m = 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8,\]ดังนั้น $k+m = 14+8 = \boxed{22}.$ | k+m = 14+8 = \boxed{22}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้ $x^4 + a^2$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็ม $x$ ใดๆ | สำหรับ $1 \le a \le 7,$ เราให้ค่าของ $x$ ซึ่งทำให้ $x^4 + a^2$ เป็นจำนวนเฉพาะ:
\[
\begin{array}{c|c|c}
a & x & a^4 + x^2 \\ \hline
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 5 \\
3 & 10 & 10009 \\
4 & 1 & 17 \\
5 & 2 & 41 \\
6 & 1 & 37 \\
7 & 20 & 160049
\end{array}
\]สำหรับ $a = 8,$
\begin{align*}
x^4 + a^2 &= x^4 + 64 \\
&= x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 \\
&= (x^2 + 8)^2 - (4x)^2 \\
&= (x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8).
\end{align*}สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ ทั้งสองตัวประกอบ $x^2 + 4x + 8$ และ $x^2 - 4x + 8$ มีค่ามากกว่า 1 ดังนั้น $x^4 + 64$ เป็นจำนวนประกอบเสมอ ดังนั้น $a$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{8}.$ | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{2n - 1}{n(n + 1)(n + 2)}.\] | ก่อนอื่น เราแยก $\frac{2n - 1}{n(n + 1)(n + 2)}$ เป็นเศษส่วนย่อย โดยเขียน
\[\frac{2n - 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2}.\]แล้ว $2n - 1 = A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1).$
แทน $n = 0,$ เราได้ $-1 = 2A,$ ดังนั้น $A = -\frac{1}{2}.$
แทน $n = -1,$ เราได้ $-3 = -B,$ ดังนั้น $B = 3.$
แทน $n = -2,$ เราได้ $2C = -5,$ ดังนั้น $C = -\frac{5}{2}.$ ดังนั้น,
\[\frac{2n - 1}{n(n + 1)(n + 2)} = -\frac{1/2}{n} + \frac{3}{n + 1} - \frac{5/2}{n + 2}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{2n - 1}{n(n + 1)(n + 2)} &= \left( -\frac{1/2}{1} + \frac{3}{2} - \frac{5/2}{3} \right) + \left( -\frac{1/2}{2} + \frac{3}{3} - \frac{5/2}{4} \right) \\
&\quad + \left( -\frac{1/2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5/2}{5} \right) + \left( -\frac{1/2}{4} + \frac{3}{5} - \frac{5/2}{6} \right) + \dotsb \\
&= -\frac{1}{2} + \frac{5/2}{2} = \boxed{\frac{3}{4}}.
\end{align*} | C = -\frac{5}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าจริงบางค่าของ $a, b, c,$ และ $d_{},$ สมการ $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ มีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงสี่ราก ผลคูณของรากสองรากนี้คือ $13+i$ และผลบวกของอีกสองรากคือ $3+4i,$ โดยที่ $i^2 = -1.$ จงหา $b.$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริงทั้งหมด รากที่ไม่ใช่จำนวนจริงทั้งสี่จะต้องมาเป็นคู่สังยุค ให้ $z$ และ $w$ เป็นสองรากที่คูณกันได้ $13+i$ เนื่องจาก $13+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง $z$ และ $w$ ไม่สามารถเป็นสังยุคของกันและกัน (เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนใดๆ คูณด้วยสังยุคของมันจะเป็นจำนวนจริง) ดังนั้นรากอีกสองรากต้องเป็น $\overline{z}$ และ $\overline{w}$, สังยุคของ $z$ และ $w$ ดังนั้นเราจึงมี \[zw = 13+i \quad \text{and} \quad \overline{z} + \overline{w} = 3+4i.\]เพื่อหา $b$ เราใช้สูตรของ Vieta: $b$ เท่ากับผลบวกสมมาตรอันดับสองของราก ซึ่งคือ \[b = zw + z\overline{z} + z\overline{w} + w\overline{z} + w\overline{w} + \overline{z} \cdot \overline{w}.\]เพื่อประเมินนิพจน์นี้ เราสังเกตพจน์ $zw$ และ $\overline{z} \cdot \overline{w}$ ก่อน เราได้ $zw = 13+i$ ดังนั้น $\overline{z} \cdot \overline{w} = \overline{zw} = 13-i$ ดังนั้น \[b = 26 + (z\overline{z} + z\overline{w} + w\overline{z} + w\overline{w}).\]เพื่อให้เสร็จ เราสามารถแยกตัวประกอบพจน์ที่เหลือโดยการจัดกลุ่ม: \[ b = 26 + (z+w)(\overline{z}+\overline{w}).\]จาก $\overline{z} + \overline{w} = 3+4i$ เราได้ $z + w = 3-4i$ ดังนั้น \[b = 26 + (3-4i)(3+4i) = \boxed{51}.\] | 51 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $*$ นิยามโดย
\[a * b = \frac{a - b}{1 - ab}.\]จงคำนวณ
\[1 * (2 * (3 * (\dotsb (999 * 1000) \dotsb))).\] | กำหนดให้ $x = 2 * (3 * ( \dotsb (999 * 1000) \dotsb ))).$ แล้ว
\[1 * (2 * (3 * (\dotsb (999 * 1000) \dotsb))) = 1 * x = \frac{1 - x}{1 - x} = \boxed{1}.\]เพื่อความรอบคอบ เราควรพิสูจน์ว่า $x \neq 1.$ ข้อนี้ให้ผู้อ่านพิสูจน์เอง | x \neq 1. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของอสมการ \[\frac{(2x-7)(x-3)}{x} \ge 0.\] (แสดงคำตอบในรูปช่วง) | ให้ $f(x)$ แทนปริมาณทางซ้ายมือ สร้างตารางเครื่องหมาย เราจะได้ \begin{tabular}{c|ccc|c} &$2x-7$ &$x-3$ &$x$ &$f(x)$ \\ \hline$x<0$ &$-$&$-$&$-$&$-$\\ [.1cm]$0<x<3$ &$-$&$-$&$+$&$+$\\ [.1cm]$3<x<\frac{7}{2}$ &$-$&$+$&$+$&$-$\\ [.1cm]$x>\frac{7}{2}$ &$+$&$+$&$+$&$+$\\ [.1cm]\end{tabular}ดังนั้น $f(x) > 0$ เมื่อ $0 < x < 3$ หรือ $x > \tfrac72.$ เนื่องจากอสมการไม่เข้มงวด เราต้องรวมค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(x) = 0,$ ซึ่งคือ $x=3$ และ $x=\tfrac72.$ ดังนั้นเซตคำตอบคือ \[x \in \boxed{(0, 3] \cup [\tfrac72, \infty)}.\] | x=\tfrac72. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{a + b}{c} + \frac{a + c}{b} + \frac{b + c}{a}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{a + b}{c} + \frac{a + c}{b} + \frac{b + c}{a} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}.\]โดย AM-GM,
\[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} \ge 6 \sqrt[6]{\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{a}} = 6.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = b = c,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{6}.$ | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่ามากที่สุดของผลรวม $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เรามีว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]แล้ว $2010 < 3M,$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
เกิดความเท่ากันถ้า $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$ $d = 1,$ และ $e = 669,$ ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ คือ $\boxed{671}.$ | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $a,$ $b,$ $c,$ และ $d$ สอดคล้องกับ
\[a^2 + b^2 + c^2 + 1 = d + \sqrt{a + b + c - d}.\]จงหาค่า $d.$ | ให้ $x = \sqrt{a + b + c - d}.$ ดังนั้น $x^2 = a + b + c - d,$ ดังนั้น $d = a + b + c - x^2,$ และเราสามารถเขียนได้ว่า
\[a^2 + b^2 + c^2 + 1 = a + b + c - x^2 + x.\]จากนั้น
\[a^2 - a + b^2 - b + c^2 - c + x^2 - x + 1 = 0.\]ทำการเติมกำลังสองใน $a,$ $b,$ $c,$ และ $x,$ เราได้
\[\left( a - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( b - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( c - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 = 0.\]ดังนั้น $a = b = c = x = \frac{1}{2},$ ดังนั้น
\[d = a + b + c - x^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \boxed{\frac{5}{4}}.\] | a = b = c = x = \frac{1}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมวงหนึ่งอยู่ภายในพาราโบลาที่มีสมการ $y = x^2$ โดยสัมผัสพาราโบลาที่จุดสองจุด จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่สูงกว่าจุดสัมผัสเท่าใด? | สมมติให้จุดสัมผัสจุดหนึ่งคือ $(a,a^2).$ เนื่องจากสมมาตร จุดสัมผัสอีกจุดคือ $(-a,a^2).$ และเนื่องจากสมมาตร จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่บนแกน $y.$ สมมติให้จุดศูนย์กลางคือ $(0,b),$ และให้รัศมีเท่ากับ $r.$
[asy]
unitsize(1.5 cm);
real func (real x) {
return(x^2);
}
pair A = (1,1), O = (0,3/2);
draw(Circle(O,sqrt(5)/2));
draw(graph(func,-1.5,1.5));
draw((-1.5,0)--(1.5,0));
draw((0,-0.5)--(0,3));
dot("$(a,a^2)$", A, SE);
dot("$(-a,a^2)$", (-1,1), SW);
dot("$(0,b)$", O, E);
[/asy]
สมการของพาราโบลาคือ $y = x^2.$ สมการของวงกลมคือ $x^2 + (y - b)^2 = r^2.$ แทนค่า $y = x^2,$ เราได้
\[x^2 + (x^2 - b)^2 = r^2.\]ซึ่งขยายเป็น
\[x^4 + (1 - 2b)x^2 + b^2 - r^2 = 0.\]เนื่องจาก $(a,a^2)$ และ $(-a,a^2)$ เป็นจุดสัมผัส $x = a$ และ $x = -a$ เป็นรากคู่ของสมการกำลังสี่นี้ กล่าวคือ มันเหมือนกับ
\[(x - a)^2 (x + a)^2 = (x^2 - a^2)^2 = x^4 - 2a^2 x^2 + a^4 = 0.\]เทียบสัมประสิทธิ์ เราได้
\begin{align*}
1 - 2b &= -2a^2, \\
b^2 - r^2 &= a^4.
\end{align*}ดังนั้น $2b - 2a^2 = 1.$ ดังนั้น ความต่างระหว่างพิกัด $y$ ของจุดศูนย์กลางของวงกลม $(0,b)$ และจุดสัมผัส $(a,a^2)$ คือ
\[b - a^2 = \boxed{\frac{1}{2}}.\] | (a,a^2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = |g(x^3)|$ ถ้า $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $f$ เป็นฟังก์ชันคี่, ฟังก์ชันคู่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง?
ใส่ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งสองอย่าง" | $$f(-x) = |g((-x)^3)| = |g(-x^3)|$$เนื่องจาก $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $g(-x) = -g(x)$ ดังนั้น,
$$f(-x) = |-g(x^3)| = |g(x^3)| = f(x).$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดว่า $2+\sqrt{3}$ เป็นรากของสมการ \[x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0\]และ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ จงคำนวณ $b$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุค $2-\sqrt{3}$ ต้องเป็นรากของพหุนามด้วย จากสูตรของ Vieta ผลคูณของรากของพหุนามนี้คือ $-10,$ และผลคูณของรากทั้งสองนี้คือ $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3) = 1,$ ดังนั้นรากที่เหลือต้องเป็น $\frac{-10}{1} = -10.$ จากนั้นโดยสูตรของ Vieta อีกครั้ง เราได้ \[b = (-10)(2-\sqrt3) + (-10)(2+\sqrt3) + (2+\sqrt3)(2-\sqrt3) = \boxed{-39}.\] | \frac{-10}{1} = -10. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ $w^4-16$ ให้มากที่สุด โดยให้ตัวประกอบเป็นพหุนามเอกซ์โมนิกที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง | เนื่องจาก $w^4$ และ 16 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ เราสามารถใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสองได้: \[w^4-16=(w^2)^2 - 4^2 = (w^2-4)(w^2+4)\]. เรายังไม่เสร็จ! นิพจน์ $w^2 - 4$ ก็เป็นผลต่างของกำลังสองเช่นกัน ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $w^2 - 4=(w-2)(w+2)$ ดังนั้น \[w^4-16 = (w^2-4)(w^2+4) = \boxed{(w-2)(w+2)(w^2+4)}\]. | w^2 - 4=(w-2)(w+2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ถ้า
\[1 + 5x + 9x^2 + 13x^3 + \dotsb = 85.\] | เรามีว่า
\[1 + 5x + 9x^2 + 13x^3 + \dotsb = 85.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $x,$ เราได้
\[x + 5x^2 + 9x^3 + 13x^4 + \dotsb = 85x.\]ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[1 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 + \dotsb = 85 - 85x.\]แล้ว
\[1 + \frac{4x}{1 - x} = 85 - 85x.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $1 - x,$ เราได้
\[1 - x + 4x = (85 - 85x)(1 - x).\]สมการนี้จะเท่ากับ $85x^2 - 173x + 84 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(5x - 4)(17x - 21) = 0.$ ดังนั้น $x = \frac{4}{5}$ หรือ $x = \frac{21}{17}.$
เพื่อให้อนุกรม $1 + 5x + 9x^2 + 13x^3 + \dotsb$ ลู่เข้า ค่าของ $x$ ต้องอยู่ระหว่าง $-1$ และ 1 อย่างเคร่งครัด ดังนั้น $x = \boxed{\frac{4}{5}}.$ | x = \boxed{\frac{4}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ ที่นำจำนวนเต็มไม่เป็นลบไปยังจำนวนจริง โดยที่ $f(1) = 1,$ และ
\[f(m + n) + f(m - n) = \frac{f(2m) + f(2n)}{2}\]สำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบ $m \ge n$ ทั้งหมด จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(10).$ | กำหนด $m = n = 0,$ เราได้
\[2f(0) = f(0),\]ดังนั้น $f(0) = 0.$
กำหนด $n = 0,$ เราได้
\[2f(m) = \frac{f(2m)}{2}.\]ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดไว้เป็น
\[f(m + n) + f(m - n) = 2f(m) + 2f(n).\]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำหนด $n = 1,$ เราได้
\[f(m + 1) + f(m - 1) = 2 + 2f(m),\]ดังนั้น
\[f(m + 1) = 2f(m) - f(m - 1) + 2\]สำหรับ $m \ge 1$ ทั้งหมด.
จากนั้น
\begin{align*}
f(2) &= 2f(1) - f(0) + 2 = 4, \\
f(3) &= 2f(2) - f(1) + 2 = 9, \\
f(4) &= 2f(3) - f(2) + 2 = 16,
\end{align*}และอื่นๆ.
โดยการพิสูจน์อุปนัยอย่างง่าย
\[f(m) = m^2\]สำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบ $m$ ทั้งหมด โปรดทราบว่าฟังก์ชันนี้ตรงตามสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดไว้ ดังนั้นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(10)$ คือ $\boxed{100}.$ | \boxed{100}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $x + \frac{45}{x-4} = -10$.
ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | คูณทั้งสองข้างด้วย $x-4$ จะได้ $x(x-4) + 45 = -10(x-4)$ หรือ $x^2-4x+45 = -10x+40$ ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $x^2+6x + 5 = 0$ สมการกำลังสองนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(x+1)(x+5) = 0$ ดังนั้น $x=-1$ หรือ $x=-5$ ซึ่งเราสามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้องทั้งสองค่า ดังนั้นคำตอบคือ \[x = \boxed{-1, \; -5}.\] | x=-5, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ
\[|z - 3i| + |z - 4| = 5.\]จงหาค่าต่ำสุดของ $|z|.$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม,
\[|z - 3i| + |z - 4| = |z - 4| + |3i - z| \ge |(z - 4) + (3i - z)| = |-4 + 3i| = 5.\]แต่เราทราบว่า $|z - 3i| + |z - 4| = 5.$ วิธีเดียวที่ความเสมอภาคจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ 4 และ $3i$ ในระนาบเชิงซ้อน.
[asy]
unitsize(1 cm);
pair Z = interp((0,3),(4,0),0.6);
pair P = ((0,0) + reflect((4,0),(0,3))*(0,0))/2;
draw((4,0)--(0,3),red);
draw((-1,0)--(5,0));
draw((0,-1)--(0,4));
draw((0,0)--Z);
draw((0,0)--P);
draw(rightanglemark((0,0),P,(4,0),8));
dot("$4$", (4,0), S);
dot("$3i$", (0,3), W);
dot("$z$", Z, NE);
label("$h$", P/2, NW);
[/asy]
เราต้องการลดค่า $|z|$ ลงให้มากที่สุด เราเห็นว่า $|z|$ น้อยที่สุดเมื่อ $z$ ตรงกับการฉายภาพของจุดกำเนิดบนส่วนของเส้นตรง
พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด 0, 4 และ $3i$ คือ
\[\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6.\]พื้นที่นี้ก็คือ
\[\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h = \frac{5h}{2},\]ดังนั้น $h = \boxed{\frac{12}{5}}.$ | h = \boxed{\frac{12}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n)$ เป็นลอการิทึมฐาน 10 ของผลรวมของสมาชิกในแถวที่ $n$ ของสามเหลี่ยมปาสกาล จงแสดง $\frac{f(n)}{\log_{10} 2}$ ในรูปของ $n$ จงจำไว้ว่าสามเหลี่ยมปาสกาลเริ่มต้นดังนี้
\begin{tabular}{rccccccccc}
$n=0$:& & & & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
$n=1$:& & & & 1 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
$n=2$:& & & 1 & & 2 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
$n=3$:& & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
$n=4$:& 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
& & & & & $\vdots$ & & & &
\end{tabular} | การคำนวณผลรวมของสมาชิกในแถวแรกๆ แสดงให้เห็นว่าผลรวมของสมาชิกในแถวที่ $n$ คือ $2^n$ ในความเป็นจริง หนึ่งในวิธีการพิสูจน์สูตรนี้คือการสังเกตว่าสมาชิกที่ $k$ ของแถวที่ $n$ คือ $\binom{n}{k}$ (ถ้าเราบอกว่าสมาชิกในแถวที่ $n$ มีหมายเลข $k=0,1,\dots,n$) เราได้ \[
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\dots +\binom{n}{n} = 2^n,
\]เนื่องจากทั้งสองข้างคำนวณจำนวนวิธีในการเลือกเซตย่อยของวัตถุ $n$ ตัว ดังนั้น $f(n)=\log_{10} (2^n)$ ซึ่งหมายความว่า $\frac{f(n)}{\log_{10} 2}=\frac{\log_{10} (2^n)}{\log_{10} 2}$ การใช้สูตรการแปลงฐานทำให้เราได้ $\log_2 (2^n)=\boxed{n}$. | \log_2 (2^n)=\boxed{n} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในตารางวิเศษ, ผลรวมของจำนวนทั้งสามในแถว, คอลัมน์ หรือเส้นทแยงมุมใดๆ จะมีค่าเท่ากัน รูปแสดงด้านล่างแสดงรายการจำนวนสี่รายการของตารางวิเศษ จงหา $x$.
[asy]
size(2cm);
for (int i=0; i<=3; ++i) draw((i,0)--(i,3)^^(0,i)--(3,i));
label("$x$",(0.5,2.5));label("$19$",(1.5,2.5));
label("$96$",(2.5,2.5));label("$1$",(0.5,1.5));
[/asy] | กำหนดให้รายการที่เหลือเป็น $d, e, f, g, h,$ ดังแสดง: [asy]
size(2cm);
for (int i=0; i<=3; ++i) draw((i,0)--(i,3)^^(0,i)--(3,i));
label("$x$",(0.5,2.5));label("$19$",(1.5,2.5));
label("$96$",(2.5,2.5));label("$1$",(0.5,1.5));
label("$d$",(1.5,1.5));label("$e$",(2.5,1.5));
label("$f$",(0.5,0.5));label("$g$",(1.5,0.5));label("$h$",(2.5,0.5));
[/asy] วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้อย่างหนึ่งดำเนินการในสามขั้นตอนดังนี้:
คอลัมน์ซ้ายสุดและเส้นทแยงมุมด้านบนขวาจะมีผลรวมเท่ากัน ดังนั้น $x + 1 + f = 96 + d + f,$ ซึ่งจะได้ $d = x - 95.$
เส้นทแยงมุมด้านขวาและคอลัมน์ด้านขวาจะมีผลรวมเท่ากัน ดังนั้น $x + (x-95) + h = 96 + e + h,$ ซึ่งจะได้ $e = 2x - 191.$
สุดท้าย แถวแรกและผลรวมที่สองจะมีผลรวมเท่ากัน ดังนั้น \[x + 19 + 96 = 1 + (x-95) + (2x-191),\]ซึ่งจะได้ $x = \boxed{200}.$ | x = \boxed{200}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ พจน์สามพจน์แรกสร้างลำดับเลขคณิต พจน์สามพจน์สุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต และพจน์แรกกับพจน์ที่สี่ต่างกัน 30 จงหาผลรวมของสี่พจน์ | กำหนดให้พจน์สามพจน์แรกเป็น $a,$ $a+d,$ และ $a+2d$ โดยที่ $a$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วพจน์ที่สี่คือ $a+30$ เนื่องจากพจน์สามพจน์สุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต เราได้ \[(a+d)(a+30) = (a+2d)^2,\]หรือ \[a^2 + (30+d) a + 30d = a^2 + 4ad + 4d^2.\]แก้สมการหา $a$ เราได้ \[a = \frac{4d^2-30d}{30-3d} = \frac{2d(2d-15)}{3(10-d)}.\]เนื่องจาก $a$ เป็นจำนวนบวก เราต้องมี $f(d) = \frac{d(2d-15)}{10-d} > 0.$ เราสร้างตารางเครื่องหมายสำหรับนิพจน์นี้: \begin{tabular}{c|ccc|c} &$d$ &$2d-15$ &$-d+10$ &$f(d)$ \\ \hline$d<0$ &$-$&$-$&$+$&$+$\\ [.1cm]$0<d<\frac{15}{2}$ &$+$&$-$&$+$&$-$\\ [.1cm]$\frac{15}{2}<d<10$ &$+$&$+$&$+$&$+$\\ [.1cm]$d>10$ &$+$&$+$&$-$&$-$\\ [.1cm]\end{tabular}เนื่องจาก $d > 0$ เราต้องมี $\tfrac{15}{2} < d < 10$ ซึ่งให้ค่าจำนวนเต็มที่เป็นไปได้สองค่าสำหรับ $d$ คือ 8 และ 9 สำหรับ $d=8$ เราได้ \[a = \frac{2 \cdot 8 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{8}{3},\]ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นเราต้องมี $d=9$ และ \[a = \frac{2 \cdot 9 \cdot 3}{3 \cdot 1} = 18.\]ดังนั้นผลรวมของสี่พจน์คือ \[a + (a+d) + (a+2d) + (a+30) = 18 + 27 + 36 + 48 = \boxed{129}.\] | 129 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $|z| = 13.$ จงหาค่าของ $z \times \overline{z}.$ | โดยทั่วไปแล้ว
\[z \overline{z} = |z|^2\]สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z$ ทุกจำนวน
ดังนั้น ถ้า $|z| = 13$ แล้ว $z \overline{z} = 13^2 = \boxed{169}.$ | z \overline{z} = 13^2 = \boxed{169}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}.\] | โดย AM-GM,
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} = 3.\]สม equaity เกิดขึ้นเมื่อ $a = b = c,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $f^{-1}(g(x))=x^3-1$ และ $g$ มีอินเวอร์ส จงหา $g^{-1}(f(7))$ | เราทราบว่า $f^{-1}(u)=v$ เทียบเท่ากับ $u=f(v)$ ดังนั้น $f^{-1}(g(x))=x^3-1$ เทียบเท่ากับ \[g(x)=f(x^3-1).\]เราสามารถใช้ $g(s)=t$ เทียบเท่ากับ $s=g^{-1}(t)$ ได้ \[x=g^{-1}(f(x^3-1)).\]สิ่งนี้ให้การแสดงออกที่ประกอบด้วย $g^{-1}\circ f$.
ดังนั้น $g^{-1}(f(7))$ คือค่าของ $x$ ที่ทำให้ $x^3 - 1 = 7$ แก้สมการสำหรับ $x$ เราพบ $x = \boxed{2}$. | x = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\[a + b + c = ab + ac + bc = abc = 1.\]จงใส่ค่า $a,$ $b,$ $c$ ที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ในลำดับใดก็ได้ | จากสูตรของ Vieta's $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ
\[x^3 - x^2 + x - 1 = 0.\]เราสามารถเขียนได้เป็น $x^2 (x - 1) + (x - 1) = 0,$ หรือ $(x - 1)(x^2 + 1) = 0.$ รากคือ $\boxed{1,i,-i}.$ | \boxed{1,i,-i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A,$ $R,$ $M,$ และ $L$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\begin{align*}
\log_{10} (AL) + \log_{10} (AM) &= 2, \\
\log_{10} (ML) + \log_{10} (MR) &= 3, \\
\log_{10} (RA) + \log_{10} (RL) &= 4.
\end{align*}จงหาค่าของผลคูณ $ARML.$ | เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น
\begin{align*}
\log_{10} (A^2 ML) &= 2, \\
\log_{10} (RM^2 L) &= 3, \\
\log_{10} (AR^2 L) &= 4.
\end{align*}ดังนั้น $A^2 ML = 10^2,$ $RM^2 L = 10^3,$ และ $AR^2 L = 10^4.$ เมื่อคูณสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ $A^3 R^3 M^3 L^3 = 10^9$ ดังนั้น $ARML = 10^3 = \boxed{1000}.$ | ARML = 10^3 = \boxed{1000}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $x^3 -ax^2 + bx -2010$ มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งสามราก จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a$ | จากสูตรของ Vieta's เราทราบว่า $a$ คือผลรวมของรากทั้งสามของพหุนาม $x^3-ax^2+bx-2010$ สูตรของ Vieta's บอกอีกว่า $2010$ คือผลคูณของรากจำนวนเต็มทั้งสาม นอกจากนี้ $2010$ หารด้วย $2\cdot3\cdot5\cdot67$ แต่เนื่องจากพหุนามมีรากเพียงสามราก ดังนั้นสองในสี่ของตัวประกอบเฉพาะจะต้องถูกคูณกันเพื่อให้เหลือรากสามราก เพื่อให้ $a$ มีค่าน้อยที่สุด $2$ และ $3$ ควรจะถูกคูณกัน ซึ่งหมายความว่า $a$ จะเท่ากับ $=\boxed{78}.$ | 6+5+67=\boxed{78}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าบวกของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[\log_5 (x - 2) + \log_{\sqrt{5}} (x^3 - 2) + \log_{\frac{1}{5}} (x - 2) = 4.\] | จากสูตรการแปลงฐาน เราได้ว่า
\[\log_{\sqrt{5}} (x^3 - 2) = \frac{\log_5 (x^3 - 2)}{\log_5 \sqrt{5}} = \frac{\log_5 (x^3 - 2)}{1/2} = 2 \log_5 (x^3 - 2),\]และ
\[\log_{\frac{1}{5}} (x - 2) = \frac{\log_5 (x - 2)}{\log_5 \frac{1}{5}} = -\log_5 (x - 2),\]ดังนั้นสมการที่กำหนดจึงกลายเป็น
\[2 \log_5 (x^3 - 2) = 4.\]แล้ว $\log_5 (x^3 - 2) = 2,$ ดังนั้น $x^3 - 2 = 5^2 = 25.$ ดังนั้น $x^3 = 27,$ ดังนั้น $x = \boxed{3}.$ | x = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สัมประสิทธิ์ของพหุนาม
\[a_{10} x^{10} + a_9 x^9 + a_8 x^8 + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0\]เป็นจำนวนเต็ม และราก $r_1,$ $r_2,$ $\dots,$ $r_{10}$ เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด นอกจากนี้ รากของพหุนาม
\[a_0 x^{10} + a_1 x^9 + a_2 x^8 + \dots + a_8 x^2 + a_9 x + a_{10} = 0\]ก็คือ $r_1,$ $r_2,$ $\dots,$ $r_{10}$ เช่นกัน จงหาจำนวนของเซตหลายสมาชิก $S = \{r_1, r_2, \dots, r_{10}\}.$
(เซตหลายสมาชิกต่างจากเซตตรงที่สามารถมีสมาชิกซ้ำกันได้ ตัวอย่างเช่น $\{-2, -2, 5, 5, 5\}$ และ $\{5, -2, 5, 5, -2\}$ เป็นเซตหลายสมาชิกเดียวกัน แต่ต่างจาก $\{-2, 5, 5, 5\}.$ และตามปกติ $a_{10} \neq 0$ และ $a_0 \neq 0.$) | ให้ $r$ เป็นรากจำนวนเต็มของพหุนามตัวแรก $p(x) = a_{10} x^{10} + a_9 x^9 + a_8 x^8 + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,$ ดังนั้น
\[a_{10} r^{10} + a_9 r^9 + \dots + a_1 r + a_0 = 0.\]เนื่องจาก $a_0$ ไม่เท่ากับ 0, $r$ ไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้ ดังนั้น เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $r^{10},$ เพื่อให้ได้
\[a_{10} + a_9 \cdot \frac{1}{r} + \dots + a_1 \cdot \frac{1}{r^9} + a_0 \cdot \frac{1}{r^{10}} = 0.\]ดังนั้น $\frac{1}{r}$ เป็นรากของพหุนามตัวที่สอง $q(x) = a_0 x^{10} + a_1 x^9 + a_2 x^8 + \dots + a_8 x^2 + a_9 x + a_{10} = 0.$ นั่นหมายความว่า $\frac{1}{r}$ ต้องเป็นจำนวนเต็มด้วย
จำนวนเต็ม $r$ เพียงตัวเดียวที่ทำให้ $\frac{1}{r}$ เป็นจำนวนเต็มด้วย คือ $r = 1$ และ $r = -1.$ นอกจากนี้ $r = \frac{1}{r}$ สำหรับค่าเหล่านี้ ดังนั้น ถ้ารากของ $p(x)$ คือ 1 และ $-1$ เท่านั้น เซตหลายสมาชิกของรากของ $q(x)$ จะเหมือนกับเซตหลายสมาชิกของรากของ $p(x)$ ดังนั้น เซตหลายสมาชิกที่เป็นไปได้คือเซตที่ประกอบด้วยค่า 1 จำนวน $k$ และค่า $-1$ จำนวน $10 - k,$ สำหรับ $0 \le k \le 10.$ มี 11 ค่าที่เป็นไปได้ของ $k,$ ดังนั้นมี $\boxed{11}$ เซตหลายสมาชิกที่เป็นไปได้. | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.