question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
แต่ละพจน์ของลำดับ (หลังจากพจน์แรก) มีค่าเป็นสัดส่วนผกผันกับพจน์ก่อนหน้า และค่าคงที่แห่งสัดส่วนยังคงเท่าเดิม ถ้าพจน์แรกคือ 2 และพจน์ที่สองคือ 5 พจน์ที่ 12 คือเท่าไร | จงจำไว้ว่าปริมาณสองปริมาณมีสัดส่วนผกผันกันถ้าผลคูณของมันคงที่ ดังนั้น ผลคูณของพจน์คู่ใดๆ ของลำดับเท่ากัน เนื่องจากพจน์แรกและพจน์ที่สองคือ 2 และ 5 ผลคูณของพจน์คู่ใดๆ คือ 10 ดังนั้น พจน์ที่สามคือ $10/5=2$ พจน์ที่สี่คือ $10/2=5$ และอื่นๆ เราเห็นว่าพจน์ที่ $n$ คือ 5 สำหรับทุกๆ $n$ ที่เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น พจน์ที่ 12 คือ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วานด้ากำลังพยายามหาจุด Fermat $P$ ของ $\triangle ABC$ โดยที่ $A$ อยู่ที่จุดกำเนิด $B$ อยู่ที่ $(8,-1)$ และ $C$ อยู่ที่ $(5,4)$ (จุด Fermat คือจุดที่ผลรวมของระยะทางจากจุดยอดของสามเหลี่ยมน้อยที่สุด) เธอเดาว่าจุดนั้นอยู่ที่ $P = (4,2)$ และคำนวณผลรวมของระยะทางจาก $P$ ไปยังจุดยอดของ $\triangle ABC$ หากเธอได้ $m + n\sqrt{5}$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $m + n$ มีค่าเท่าใด?
[asy]
string sp(pair P1, string P2){return "$" + P2 + "\,(" + string(P1.x) + "," + string(P1.y) + ")$";}
size(150); defaultpen(fontsize(10)); draw((-3,0)--(10,0),Arrows(4)); draw((0,-3)--(0,8),Arrows(4)); pair A=(0,0),B=(8,-1),C=(5,4),P=(4,2); draw(A--B--C--cycle, linewidth(0.7)); draw(A--P, dashed); draw(B--P, dashed); draw(C--P, dashed); label(sp(A,"A"),A,NW); label(sp(B,"B"),B,S); label(sp(C,"C"),C,N); label(sp(P,"P"),P,(-0.5,-2.8)); dot(A); dot(B); dot(C); dot(P);
[/asy] | โดยสูตรระยะทาง \begin{align*}
AP &= \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5} \\
BP &= \sqrt{(4-8)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \\
CP &= \sqrt{(4-5)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}
\end{align*}ดังนั้น $AP + BP + CP = 5 + 3\sqrt{5}$ และ $m+n = \boxed{8}$. | m+n = \boxed{8} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับ $y=\frac{x+2}{5x-7}$ มีค่า $x$ ใดที่เส้นกำลุ่งตั้งฉาก? | เส้นกำลุ่งตั้งฉากจะเกิดขึ้นเมื่อส่วนของเศษส่วนเท่ากับ 0 ทำให้ $y$ ไม่นิยาม เพื่อให้ส่วนเท่ากับ 0 เราได้ $5x-7=0\Rightarrow x=\boxed{\frac{7}{5}}$ | 5x-7=0\Rightarrow x=\boxed{\frac{7}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x-y=15$ และ $xy=4$ จงหาค่าของ $x^2+y^2$ | ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการแรก เราจะได้ $x^2-2xy+y^2=225$ ดังนั้นเราทราบว่า $x^2+y^2=225+2xy$ เนื่องจาก $xy=4$ เราพบว่า $x^2+y^2=225+2(4)=\boxed{233}$ | x^2+y^2=225+2(4)=\boxed{233} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มบวกถูกสร้างขึ้นโดยมีพจน์แรกคือ 2 และพจน์ที่ห้าคือ 162 พจน์ที่หกของลำดับนี้คือเท่าใด | ให้ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วม $r$ เราทราบว่า $2\cdot r^4=162$ หรือ $r=3$ ดังนั้นพจน์ที่หกคือ $2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486}$ | 2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มบวกถูกสร้างขึ้น โดยพจน์แรกคือ 3 และพจน์ที่สี่คือ 192 จงหาพจน์ที่สามของลำดับนี้ | ให้ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วม $r$ เราทราบว่า $3\cdot r^3=192$ หรือ $r=4$ ดังนั้น พจน์ที่สามคือ $3 \cdot r^2 = 3 \cdot 4^2 = \boxed{48}$ | 3 \cdot r^2 = 3 \cdot 4^2 = \boxed{48} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=-4x+6y-12$ และจุด $(1,7)$ | ย้ายพจน์ไปทาง LHS เราจะได้ $x^2+4x+y^2-6y=-12$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(4/2)^2=4$ ทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(6/2)^2=9$ ทั้งสองข้าง เราจะได้สมการ $x^2+4x+4+y^2-6y+9=1 \Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=1$ ดังนั้นวงกลมมีจุดศูนย์กลาง $(-2,3)$ ความยาวระหว่างจุดศูนย์กลางนี้และจุด $(1,7)$ คือ $\sqrt{(1-(-2))^2+(7-3)^2}=\boxed{5}$ | \sqrt{(1-(-2))^2+(7-3)^2}=\boxed{5} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $2^8=4^x$ จงหาค่าของ $x$ | เขียน $4$ ใหม่เป็น $2^2$ เพื่อให้ได้ $4^x=2^{2x}$ เนื่องจาก $2^8=2^{2x}$ เราได้ $2x=8$ ซึ่งหมายความว่า $x=\boxed{4}$ | x=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ที่ 100 ของลำดับเลขคณิต 6, 10, 14, 18, ... | ผลต่างร่วมคือ $10 - 6 = 4$ ดังนั้นพจน์ที่ 100 คือ $6+99\cdot 4=\boxed{402}$ | 6+99\cdot 4=\boxed{402} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้าระบบสมการ egin{align*}
3x+y&=a,\\
2x+5y&=2a,
\end{align*} มีคำตอบ $(x,y)$ เมื่อ $x=2$ จงคำนวณค่า $a$ | แทนค่า $x=2$ ลงในสมการ จะได้สมการ
\begin{align*}
y+6&=a,\\
5y+4&=2a.
\end{align*}
คูณสมการแรกด้วย $5$ แล้วลบออกจากสมการที่สอง จะได้
$$-26=-3a\Rightarrow a=\boxed{\frac{26}{3}}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ผลต่างบวกระหว่าง $120\%$ ของ 30 และ $130\%$ ของ 20 คือเท่าไร | หนึ่งร้อยยี่สิบเปอร์เซ็นต์ของ 30 คือ $120\cdot30\cdot\frac{1}{100}=36$ และ $130\%$ ของ 20 คือ $ 130\cdot 20\cdot\frac{1}{100}=26$. ผลต่างระหว่าง 36 และ 26 คือ $\boxed{10}$. | \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กราฟของ $y=\frac{2}{x^2+x-6}$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งกี่เส้น? | ตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะตัวนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ เนื่องจากตัวเศษไม่เป็นศูนย์เสมอ จึงจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งเมื่อตัวส่วนเป็น 0 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x = 2$ และ $x = -3$ ดังนั้นกราฟจึงมี $\boxed{2}$ เส้นกำลุ่งแนวตั้ง | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในวันหนึ่งที่เมืองซอลท์เลค รัฐยูทาห์ อุณหภูมิถูกกำหนดโดย $-t^2 +12t+50$ โดยที่ $t$ คือเวลาที่ผ่านไปหลังเที่ยง (เป็นชั่วโมง) จงหาค่า $t$ ที่มากที่สุดที่อุณหภูมิเท่ากับ 77 องศา? | เราตั้งสมการอุณหภูมิเท่ากับ 77 องศา: \begin{align*}
-t^2 +12t+50&=77\\
t^2-12t+27&=0\\
(t-3)(t-9)&=0
\end{align*}เราเห็นว่าอุณหภูมิเท่ากับ 77 องศา สองครั้ง: ที่ $t=3$ และ $t=9$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้นิพจน์ต่อไปนี้ใน $x$ ง่ายขึ้น: \[2x+8x^2+9-(4-2x-8x^2).\] เขียนคำตอบของคุณในรูป $ax^2 +bx+c$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นตัวเลข | นิพจน์ที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $2x+8x^2+9-4+2x+8x^2$ การรวมพจน์ที่คล้ายกัน นิพจน์สุดท้ายนี้เท่ากับ $(2x+2x)+(8x^2+8x^2)+(9-4)=\boxed{16x^2+4x+5}$ | (2x+2x)+(8x^2+8x^2)+(9-4)=\boxed{16x^2+4x+5} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $i^5+i^{-25}+i^{45}$ | เราทราบว่า $i^5 = i^4\cdot i = 1\cdot (i) = i$. เรายังทราบอีกว่า $i^{-25} = 1/i^{25} = 1/(i^{24}\cdot i) = 1/[1\cdot (i)] = 1/i = \frac1{i}\cdot\frac{i}{i} = i/(-1) = -i$ และ $i^{45} = (i^{44})\cdot i= 1\cdot i =i$ ดังนั้น การบวกผลลัพธ์ทั้งสามนี้จะได้ $i^5 + i^{-25} + i^{45} = i+-i+i = \boxed{i}$ | $i^5 + i^{-25} + i^{45} = i+-i+i = \boxed{i}$ | [
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $a^3\cdot a^2$ เมื่อ $a= 5$. | นิพจน์ที่กำหนดให้เท่ากับ $a^{3+2}=a^5$. แทนค่า $a$ ลงในนิพจน์ จะได้ $5^5=\boxed{3125}$ | 5^5=\boxed{3125} | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(2x+5)(x-3)=14$ จงหาผลรวมของค่า $x$ ที่เป็นไปได้ | ขยายด้านซ้ายของสมการที่กำหนดให้ เราได้ $2x^2-x-15=14 \Rightarrow 2x^2-x-29=0$ เนื่องจากในสมการกำลังสองที่มีรูปแบบ $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของรากคือ $-b/a$ ผลรวมของรากของสมการที่กำหนดคือ $1/2=\boxed{.5}$ | 1/2=\boxed{.5} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาช่วงของฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt{x^2}$. | เราสามารถเห็นได้ว่า $f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$. (โปรดทราบว่า $f(x) \not = x$ เนื่องจาก $x$ อาจเป็นลบ) เนื่องจาก $|x|$ มีค่าเป็นจำนวนไม่เป็นลบทั้งหมด ช่วงของฟังก์ชันคือ $\boxed{[0,\infty)}$. | \boxed{[0,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในขวดน้ำวิตามินขนาด 8 ออนซ์ มีแคลอรี 125 แคลอรี ขวดน้ำวิตามินขนาด 12 ออนซ์ จะมีแคลอรีกี่แคลอรี แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เรารู้ว่ามี 125 แคลอรี ใน 8 ออนซ์ของน้ำวิตามิน ดังนั้นเราสามารถตั้งสัดส่วน $\frac{125}{8}=\frac{x}{12}$ โดยที่ $x$ คือจำนวนแคลอรีที่บรรจุในขวด 12 ออนซ์ เมื่อแก้สมการหา $x$ เราจะพบว่า $x=\left(\frac{125}{8}\right)(12)=\boxed{187.5}$ แคลอรี | x=\left(\frac{125}{8}\right)(12)=\boxed{187.5} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $(17^6-17^5)\div16=17^x$ | แยกตัวประกอบ $17^5$ ออกจากสองพจน์ในวงเล็บ เราได้ $17^5(17-1)\div16=17^5$ ดังนั้น $x=\boxed{5}$ | x=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ที่อุณหภูมิคงที่ ความดันของตัวอย่างก๊าซเป็นสัดส่วนผกผันกับปริมาตรของมัน ฉันมีไฮโดรเจนอยู่ในภาชนะ 3.67 ลิตร ที่ความดัน 4 kPa ถ้าฉันย้ายทั้งหมดไปยังภาชนะ 1.835 ลิตร ที่อุณหภูมิเดียวกัน ความดันใหม่จะเป็นเท่าไรในหน่วย kPa | เนื่องจากความดัน $p$ ของไฮโดรเจนและปริมาตร $v$ เป็นสัดส่วนผกผันกัน $pv=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า จากภาชนะแรก เราทราบว่า $k=3.67\cdot4=14.68$ ดังนั้น เมื่อเราเคลื่อนย้ายไปยังภาชนะ 1.835 ลิตร เราจะได้ว่า $1.835p=14.68$ ดังนั้น $p=\boxed{8}$ kPa | p=\boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สิบ treeks มีน้ำหนักเท่ากับสาม squigs และหนึ่ง goolee. สอง treeks และหนึ่ง goolee มีน้ำหนักเท่ากับหนึ่ง squig. treeks กี่ตัวจะมีน้ำหนักเท่ากับหนึ่ง squig? | ให้ $t,s,g$ แทนน้ำหนักของ treek หนึ่งตัว, น้ำหนักของ squig หนึ่งตัว และน้ำหนักของ goolee หนึ่งตัว ตามลำดับ จากข้อมูลที่กำหนดให้เราจะได้ \begin{align*}
10t &=3s+g\\
2t +g &= s.
\end{align*} เนื่องจากเราต้องการหา $s$ ในรูปของ $t$ เราจึงต้องการกำจัด $g$ บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ \begin{align*}
10t+2t+g &= 3s+g+s\\
\Rightarrow 10t+2t &= 3s+s\\
\Rightarrow 4s &= 12t\\
\Rightarrow s &=3t.
\end{align*} ดังนั้นหนึ่ง squig มีน้ำหนักเท่ากับ $\boxed{3}$ treeks. | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่ารากของพหุนาม $x^2 - mx + n$ เป็นจำนวนเฉพาะบวก (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) โดยที่ $m < 20$ มีค่าที่เป็นไปได้ของ $n$ กี่ค่า? | ให้ $p$ และ $q$ เป็นรากที่เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วเราทราบว่า $m = p+q$ และ $n = pq$ เนื่องจาก $m < 20$ จำนวนเฉพาะ $p$ และ $q$ ต้องน้อยกว่า $20$ ทั้งคู่
จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า $20$ คือ $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ $19$ ตอนนี้เรา liệt kêคู่ $(p, q)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ โดยที่ $p + q < 20$ และอย่าลืมรวมกรณีที่ $p=q$ ด้วย: \[\begin{aligned} & (2,2),(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17) \\
&(3,3),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13) \\
&(5,5),(5,7),(5,11),(5,13) \\
&(7,7),(7,11) \end{aligned}\]มีคู่ทั้งหมด $7 + 5 + 4 + 2 = 18$ คู่ แต่ละคู่จะสร้างค่าสำหรับ $n$ และยิ่งไปกว่านั้น ค่าเหล่านี้ต่างกันทั้งหมด เพราะจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนมีการแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน ดังนั้นจึงมี $\boxed{18}$ ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ $n$. | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุด $(a, b)$ อยู่บนเส้นตรงที่มีสมการ $3x + 2y = 12.$ เมื่อ $a = 4$ จงหาค่าของ $b$ | เราแทนค่า $x = 4$: \begin{align*}
3(4) + 2y &= 12\\
12 + 2y &= 12\\
y &= 0.
\end{align*}
ดังนั้น $b = \boxed{0}$. | b = \boxed{0} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงแก้สมการสำหรับ $w$ และแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่าย: $\frac{1\frac16}w=\frac{42}3$. | การทำให้ข้างซ้ายมือง่ายขึ้นจะได้ \[\frac{1\frac16}{w} = \frac{\frac{7}{6}}{w} = \frac{7}{6}\cdot\frac1w = \frac{7}{6w},\] ดังนั้นสมการคือ \[\frac{7}{6w} = \frac{42}{3} = 14.\] คูณทั้งสองข้างด้วย $6w$ จะได้ $7=14(6w)$. หารทั้งสองข้างด้วย 7 จะได้ $1=2(6w)$ และหารทั้งสองข้างด้วย 12 จะได้ $w = \boxed{\frac{1}{12}}$. | w = \boxed{\frac{1}{12}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $(1+2i)6-3i$. | กระจาย 6 เข้าไป และทำการลดรูป: $(1+2i)6-3i=6+12i-3i=\boxed{6+9i}$ | (1+2i)6-3i=6+12i-3i=\boxed{6+9i} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
ขยาย $(2x^5 + 3x^2)(x^4 - 4x^2 + 3x - 8)$ | โดยใช้สมบัติการ distributive เรามี \begin{align*}
&(2x^5 + 3x^2)(x^4 - 4x^2 + 3x - 8) \\
&\qquad= 2x^5(x^4 - 4x^2 + 3x - 8) + 3x^2(x^4 - 4x^2 + 3x - 8) \\
&\qquad= 2x^9 - 8x^7 + 6x^6 - 16x^5 + 3x^6 - 12x^4 + 9x^3 - 24x^2 \\
&\qquad= \boxed{2x^9 - 8x^7 + 9x^6 - 16x^5 - 12x^4 + 9x^3 - 24x^2}.
\end{align*} | [
"นำไปใช้"
] | |
กำหนดให้ $(x,y)$ เป็นคู่ลำดับของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+y^2=14x+48y$ จงหาค่าสูงสุดของ $y$ | ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายมือ เราจะได้สมการ $x^2-14x+y^2-48y=0$ ทำการเติมกำลังสองในพจน์กำลังสองของ $x$ เราบวก $(14/2)^2=49$ เข้าไปในทั้งสองข้าง ทำการเติมกำลังสองในพจน์กำลังสองของ $y$ เราบวก $(48/2)^2=576$ เข้าไปในทั้งสองข้าง เราได้สมการ \[(x^2-14x+49)+(y^2-48y+576)=625 \Rightarrow (x-7)^2+(y-24)^2=625\] จัดรูปใหม่ เราได้ $(y-24)^2=625-(x-7)^2$ หาค่ารากที่สองและแก้สมการสำหรับ $y$ เราได้ $y=\pm \sqrt{625-(x-7)^2}+24$ เนื่องจาก $\sqrt{625-(x-7)^2}$ เป็นค่าไม่เป็นลบเสมอ ค่าสูงสุดของ $y$ จะเกิดขึ้นเมื่อเราใช้เครื่องหมายบวกหน้ารากที่สอง ตอนนี้ เราต้องการค่าที่ใหญ่ที่สุดของรากที่สอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการเพิ่มค่า $625-(x-7)^2$ ให้มากที่สุด เนื่องจาก $(x-7)^2$ เป็นค่าไม่เป็นลบเสมอ $625-(x-7)^2$ จะถูกเพิ่มให้มากที่สุดเมื่อ $(x-7)^2=0$ หรือเมื่อ $x=7$ ที่จุดนี้ $625-(x-7)^2=625$ และ $y=\sqrt{625}+24=49$ ดังนั้น ค่า $y$ สูงสุดคือ $\boxed{49}$.
--OR--
คล้ายกับวิธีแก้ปัญหาข้างต้น เราสามารถเติมกำลังสองเพื่อให้ได้สมการ $(x-7)^2+(y-24)^2=625$ สมการนี้แสดงถึงวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(7,24)$ และรัศมี $\sqrt{625}=25$ ค่าสูงสุดของ $y$ จะเกิดขึ้นที่จุดบนสุดของวงกลม ซึ่งตั้งอยู่ที่ $(7,24+25)=(7,49)$ ดังนั้น ค่า $y$ สูงสุดคือ $\boxed{49}$ | \boxed{49} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของกำลังสองของคำตอบของสมการ $2x^2 + 13x + 6 = 0$ | จากสูตรของเวียต้า ผลคูณของคำตอบคือ $6/2 = 3$ ดังนั้น ผลคูณของกำลังสองของคำตอบคือ $3^2 = \boxed{9}$ | 3^2 = \boxed{9}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $a = 8$ จงหาค่าของ $\left(16\sqrt[3]{a^2}\right)^{\frac 13}$ | สังเกตว่า $a^2 = 64$ และ $\sqrt[3]{64} = 4$ ดังนั้น $$\left(16\sqrt[3]{a^2}\right)^{\frac {1}{3}} = \left(16 \times 4\right)^{\frac{1}{3}} = 64^\frac{1}{3} = \boxed{4}.$$ | 4 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(1)=2$, $f(4)=3$, $f(7)=4$ และ $f^{-1}(x)$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f(x)$ จงหาค่าของ $f^{-1}(f^{-1}(3))$ | เราสังเกตได้ว่า $f(4)=3$ ดังนั้น $f^{-1}(3)=4$ ดังนั้นเราจึงมี $f^{-1}(f^{-1}(3))=f^{-1}(4)$ จากตรงนี้เราเห็นว่า $f(7)=4$ ดังนั้น $f^{-1}(4)=7$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(3))=\boxed{7}$ | f^{-1}(f^{-1}(3))=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $x$ ใดจะทำให้ค่าของ $x^2- 14x + 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
x^2-14x+3&= x^2-14x +\left(\frac{14}{2}\right)^2 - \left(\frac{14}{2}\right)^2 + 3\\
& = x^2 -14x + 7^2 - 49 + 3\\
&=(x-7)^2 - 46.\end{align*}เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าอย่างน้อย 0 เราได้ $$(x-7)^2\ge 0,$$โดยที่ $(x-7)^2 =0$ เฉพาะเมื่อ $x=7$. ดังนั้น $(x-7)^2 - 46$ มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ $x=\boxed{7}.$ | x=\boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $m$ และ $n$ สอดคล้องกับ $mn=7$ และ $m+n=8$ จงหาค่าของ $|m-n|$ | เรามีสมการสองสมการและตัวแปรสองตัว ดังนั้นเราสามารถแก้สมการหา $m$ และ $n$ ได้โดยตรง จากนั้นคำนวณ $|m-n|$ ได้ อย่างไรก็ตาม การทำแบบนั้นจะยุ่งยาก ดังนั้นเราจึงมองหาแนวทางอื่น เรา squaring สมการที่สองเพื่อให้ได้ $(m+n)^2 = m^2 + 2mn +n^2 = 64$ เราทราบว่า $mn=7$ ดังนั้นเราสามารถลบสมการ $4mn=28$ เพื่อให้ได้ $m^2 -2mn + n^2 = (m-n)^2 = 36$ ซึ่งจะได้ $m-n=\pm 6$ ดังนั้น $|m-n|=\boxed{6}$ | |m-n|=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ฉันเลือกจำนวนเต็ม $n$ สุ่มระหว่าง $1$ ถึง $10$ (รวม) ความน่าจะเป็นที่ $n$ ที่ฉันเลือก จะไม่มีคำตอบจริงของสมการ $x(x+5) = -n$ คือเท่าไร? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ก่อนอื่นเราหาเซตคำตอบที่ทำให้สมการไม่มีคำตอบจริง เราเริ่มจากจัดเรียงสมการ $x(x+5) = -n$ เป็น $x^2 + 5x + n = 0$ ถ้า $b^2 - 4ac < 0$ สมการจะไม่มีคำตอบจริง ดังนั้นเราต้องการแก้สมการ $25 - 4n < 0$ บวก $4n$ ทั้งสองข้างและหารด้วย $4$ เราจะได้ $n>6.25$ ความน่าจะเป็นที่ฉันเลือกตัวเลข $7, 8, 9$ หรือ $10$ คือ $\boxed{\frac{2}{5}}$ | \boxed{\frac{2}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำตอบของ $x(x-3)=1$ สามารถแสดงในรูป $ rac{a+\sqrt{b}}{c}$ และ $ rac{a-\sqrt{b}}{c}$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหา $abc$ | กระจายด้านซ้ายมือและลบ 1 จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $x^2-3x-1=0$ การตรวจสอบจะพบว่า $x^2-3x-1$ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายๆ ดังนั้นเราจึงแทนค่าสัมประสิทธิ์ 1, $-3$ และ $-1$ ลงในสูตรกำลังสอง: \[
\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-(4)(1)(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.
\]ดังนั้น $a=3$, $b=13$ และ $c=2$ ดังนั้น $abc=(3)(13)(2)=\boxed{78}$ | abc=(3)(13)(2)=\boxed{78} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ $
\root 3 \of {x \root 3 \of {x \root 3 \of {x \sqrt{x}}}}.
$ เป็นรูปรากที่ง่ายที่สุดในรูปของ $x$ | เรามี
\begin{align*}
\root 3 \of {x \root 3 \of {x \root 3 \of {x\sqrt{x}}}}
&= (x(x(x\cdot x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} \\
&= (x(x(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} \\
&= (x(x \cdot x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}\\
&= (x(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} = (x\cdot x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}
= (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}=\boxed{\sqrt{x}}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
สูตรอาหารต้องการเกลือ $ rac{1}{4}$ ช้อนชา สำหรับน้ำ 1 ควอร์ต จะใช้ปริมาณน้ำกี่ควอร์ตสำหรับเกลือ 2 ช้อนชา? | การใช้เกลือ 2 ช้อนชา จะต้องใช้เกลือ $ rac{1}{4}$ ช้อนชา จำนวน 8 ครั้ง ดังนั้นจะใช้ $oxed{8}$ ควอร์ตของน้ำ | $oxed{8}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a\ast b = 2a+5b-ab$, จงหาค่าของ $3\ast10$ | จากนิยามของฟังก์ชันที่กำหนดให้ $3\ast 10 = 2(3)+5(10)-(3)(10) = 6+50-30=\boxed{26}$ | 26 | [
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของเลขห้าหลักสองจำนวน $AMC10$ และ $AMC12$ เท่ากับ $123422.$ จงหาค่าของ $A + M + C?$ | เนื่องจากหลักสุดท้ายสองหลักของ $AMC10$ และ $AMC12$ บวกกันได้ $22$ ดังนั้น \[
AMC + AMC = 2(AMC) = 1234.
\] ดังนั้น $AMC=617$ ดังนั้น $A=6,$ $M=1,$ $C=7,$ และ $A+M+C = 6+1+7 = \boxed{14}.$ | A+M+C = 6+1+7 = \boxed{14}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับ 0, 1, 1, 3, 6, 9, 27, ..., พจน์แรกคือ 0. พจน์ต่อๆ มาได้มาจากการบวกและคูณด้วยจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกัน เริ่มต้นด้วย 1. ตัวอย่างเช่น พจน์ที่สองได้มาจากการบวก 1 กับพจน์แรก; พจน์ที่สามได้มาจากการคูณพจน์ที่สองด้วย 1; พจน์ที่สี่ได้มาจากการบวก 2 กับพจน์ที่สาม; และอื่นๆ. พจน์แรกที่มีค่ามากกว่า 125 มีค่าเท่าใด? | จากลำดับที่ 27 เราบวกสี่เพื่อให้ได้ 31 จากนั้นคูณ 31 ด้วยสี่เพื่อให้ได้ 124 จากนั้นบวกห้ากับ 124 เพื่อให้ได้ 129 ดังนั้น $\boxed{129}$ คือพจน์แรกที่มีค่ามากกว่า 125. | \boxed{129} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ประเมินค่าของ $\log_21$. | เรามี $2^0=1$ ดังนั้น $\log_2 1 = \boxed{0}$. | \log_2 1 = \boxed{0} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใด $\frac{2x-1}{2x+2}$ และ $\frac{x-3}{x-1}$ จะมีค่าเท่ากัน? | เรามีสมการ $\frac{2x-1}{2x+2}=\frac{x-3}{x-1}$ คูณไขว้และทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
(2x-1)(x-1)&=(2x+2)(x-3)\\
2x^2 - x - 2x + 1 &= 2x^2 + 2x - 3 \cdot 2x - 3 \cdot 2 \\
2x^2 - 3x + 1&=2x^2-4x-6\\
x&=\boxed{-7}
\end{align*} | -7 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ม้าตัวหนึ่งห่างจากศูนย์กลางของม้าหมุน 64 ฟุต ทำการหมุน 27 รอบ เพื่อที่จะเดินทางระยะทางเท่ากัน ม้าตัวหนึ่งที่ห่างจากศูนย์กลาง 16 ฟุต ต้องหมุนกี่รอบ? | รัศมีของเส้นทางวงกลมของม้าตัวที่อยู่ใกล้ศูนย์กลางมากกว่าคือ $\frac{1}{4}$ ของรัศมีของเส้นทางของม้าตัวที่อยู่ห่างจากศูนย์กลางมากขึ้น เนื่องจากเส้นรอบวงเป็นสัดส่วนโดยตรงกับรัศมี ความยาวของเส้นทางที่สั้นกว่าคือ $\frac{1}{4}$ ของความยาวของเส้นทางที่ยาวกว่า ดังนั้น จำนวนการหมุนที่ต้องทำ 4 เท่า เพื่อไประยะทางเท่ากัน ซึ่งคือ $27\times4=\boxed{108}$ รอบ | 27\times4=\boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $y = -4.9t^2 - 3.5t + 2.4$ แสดงความสัมพันธ์ระหว่างความสูง $y$ (หน่วยเป็นเมตร) กับเวลาที่ผ่านไป $t$ (หน่วยเป็นวินาที) ของลูกบอลที่ถูกโยนลงมาด้วยความเร็ว 3.5 เมตรต่อวินาที จากความสูง 2.4 เมตรจากพื้นดิน ลูกบอลจะใช้เวลากี่วินาทีในการตกลงถึงพื้นดิน? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษเป็นร้อยละ | กำหนดให้ $y$ เท่ากับศูนย์ เราจะได้ดังนี้: \begin{align*}
0& = -4.9t^2 -3.5t + 2.4\\
& = 49t^2 + 35t - 24\\
& = (7t-3)(7t + 8)\\
\end{align*}เนื่องจาก $t$ ต้องเป็นบวก เราจะเห็นว่า $t = \frac{3}{7} \approx \boxed{0.43}.$ | t = \frac{3}{7} \approx \boxed{0.43}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลรวมของพหุคูณของ 3 ทั้งหมดระหว่าง 100 ถึง 200 | พหุคูณของ 3 ที่น้อยที่สุดระหว่าง 100 ถึง 200 คือ 102 และพหุคูณที่มากที่สุดคือ 198 ดังนั้นเราต้องการหาผลรวมของอนุกรมเลขคณิต $102 + 105 + \dots + 198$.
พจน์ที่ $n$ ในลำดับเลขคณิตนี้คือ $102 + 3(n - 1) = 3n + 99$. ถ้า $3n + 99 = 198$ แล้ว $n = 33$ ดังนั้นจำนวนพจน์ในลำดับนี้คือ 33.
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $(102 + 198)/2 \cdot 33 = \boxed{4950}$. | (102 + 198)/2 \cdot 33 = \boxed{4950}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงแก้สมการหาค่า $x$ : $$(\sqrt{12x}+12)(\sqrt{3x}-6)=4(x+3)+x-34$$ | ก่อนอื่นเราสังเกตว่า $x$ ต้องไม่เป็นลบ เนื่องจาก $\sqrt{12x}$ ไม่นิยามถ้า $x<0$ จากนั้นเราทำให้อสมการทั้งสองข้างง่ายขึ้น โดยการขยายผลคูณทางซ้ายมือ จะได้ \begin{align*}
(\sqrt{12x} + 12)(\sqrt{3x} - 6) &= \sqrt{12x}(\sqrt{3x} - 6) + 12(\sqrt{3x} - 6)\\
&= \sqrt{36x^2} - 6\sqrt{12x} + 12\sqrt{3x} - 72.
\end{align*}ต่อไปเราสังเกตว่า เนื่องจาก $x>0$ เราได้ $\sqrt{36x^2} = 6x$ และ $\sqrt{12x} = \sqrt{4\cdot 3 x} = 2\sqrt{3x}$ ดังนั้น \[\sqrt{36x^2} - 6\sqrt{12x} + 12\sqrt{3x} - 72 = 6x -6(2\sqrt{3x}) + 12\sqrt{3x} - 72 = 6x- 72.\]ดังนั้น ข้างซ้ายมือของสมการเดิมเทียบเท่ากับ $6x-72$ ทำให้อสมการทางขวามือง่ายขึ้น จะได้ $$6x-72=5x-22.$$จากนั้นเราจัดกลุ่มพจน์ที่คล้ายกัน จะได้: $$x=\boxed{50}.$$ | 50 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่อยู่ในลำดับเลขคณิต 13, 20, 27, 34, $\dots$, 2008? | ผลต่างร่วมคือ $20 - 13 = 7$. ถ้าลำดับนี้มี $n$ พจน์ แล้ว $13 + 7(n - 1) = 2008$ แก้สมการเพื่อหา $n$ จะได้ $n = \boxed{286}$ | n = \boxed{286} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=\dfrac{x+5}{3}$ และ $g(x)=\dfrac{1}{f^{-1}(x)+1}$ จงหาค่าของ $g(3)$ | เราเริ่มต้นด้วยการคำนวณฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}(x)$ แทน $ f^{-1}(x)$ ลงในฟังก์ชัน $f(x) = \frac{x + 5}{3}$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=\dfrac{f^{-1}(x)+5}{3}.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x)) = x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=\dfrac{f^{-1}(x)+5}{3}.\]แก้สมการเพื่อหา $f^{-1}(x)$ จะได้ $$f^{-1}(x)=3x-5.$$ดังนั้นเราสามารถเขียน $g(x)$ ใหม่ได้เป็น $$g(x)=\dfrac{1}{3x-5+1}=\dfrac{1}{3x-4}.$$จากนั้น $$g(3)=\dfrac{1}{3 \cdot 3 - 4}=\boxed{\dfrac{1}{5}}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ \[\frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}},\]แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | ใช้สมบัติ $\log_a b^x = x \log_a b,$ เราได้ \[\begin{aligned} \frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}} &= \frac{2}{6\log_4 2000} + \frac{3}{6\log_5 2000} \\ &= \frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000}. \end{aligned}\]เนื่องจาก $\log_a b = \frac1{\log_b a}$, เราสามารถเขียนได้ \[\frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000} = \frac{1}{3}\log_{2000} 4 + \frac{1}{2}\log_{2000} 5,\]ซึ่งเท่ากับ \[\log_{2000} (4^{1/3} 5^{1/2})= \log_{2000} (2^{2/3} 5^{1/2}).\]เนื่องจาก $2000 = 2^4 5^3 = \left(2^{2/3} 5^{1/2}\right)^6$, ดังนั้นค่าของนิพจน์คือ $\boxed{\tfrac{1}{6}}$. | \boxed{\tfrac{1}{6}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์",
"ประเมิน"
] |
จากจุดสี่จุด $(2,2)$, $(9,11)$, $(5,7)$, และ $(11,17)$ มีสามจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดใดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงนั้น | พิจารณาจุด $P$, $Q$, และ $R$ ถ้าความชันระหว่างจุด $P$ และ $Q$ เท่ากับความชันระหว่างจุด $Q$ และ $R$ จุด $P$, $Q$, และ $R$ จะ共线กัน ดังนั้นเราต้องหาความชันระหว่างคู่ของจุดที่เป็นไปได้ทุกคู่ มาตั้งชื่อให้กับจุดเหล่านี้: $A=(2,2)$, $B=(9,11)$, $C=(5,7)$, และ $D=(11,17)$ เราสร้างตารางของคู่ของจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดและคำนวณความชัน:
\begin{tabular}{c|c}
จุด& ความชัน \\ \hline
\vspace{0.05in} A,B&$\frac{11-2}{9-2}=\frac{9}{7}$\\ \vspace{0.05in}
$A,C$&$\frac{7-2}{5-2}=\frac{5}{3}$\\ \vspace{0.05in}
$A,D$&$\frac{17-2}{11-2}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$\\ \vspace{0.05in}
$B,C$&$\frac{7-11}{5-9}=\frac{-4}{-4}=1$\\ \vspace{0.05in}
$B,D$&$\frac{17-11}{11-9}=\frac{6}{2}=3$\\ \vspace{0.05in}
$C,D$&$\frac{17-7}{11-5}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$
\end{tabular}ดังที่เห็น ความชันระหว่าง $A$ และ $C$, $A$ และ $D$, และ $C$ และ $D$ เท่ากัน ดังนั้น $A$, $C$, และ $D$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้น $B$ หรือจุด $\boxed{(9,11)}$ จึงไม่อยู่บนเส้นตรงนั้น | \boxed{(9,11)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการไฮเปอร์โบลา \[\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4} = 1\] มีเส้นกำกับ $y = \pm mx,$ โดยที่ $m$ เป็นค่าบวก จงหา $m$. | เพื่อหาสมการของเส้นกำกับ เราแทนที่ $1$ ทางด้านขวามือด้วย $0$ ซึ่งจะได้สมการ \[\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4} = 0.\](สังเกตว่าไม่มีจุด $(x, y)$ ใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการนี้และสมการที่กำหนด ดังนั้นตามที่คาดไว้ ไฮเปอร์โบลาจะไม่ตัดกับเส้นกำกับของมัน) สมการนี้เทียบเท่ากับ $\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{4},$ หรือ $\frac{y}{3} = \pm \frac{x}{2}.$ ดังนั้น $y = \pm \frac{3}{2} x,$ ดังนั้น $m = \boxed{\frac32}.$[asy]
void axes(real x0, real x1, real y0, real y1)
{
draw((x0,0)--(x1,0),EndArrow);
draw((0,y0)--(0,y1),EndArrow);
label("$x$",(x1,0),E);
label("$y$",(0,y1),N);
for (int i=floor(x0)+1; i<x1; ++i)
draw((i,.1)--(i,-.1));
for (int i=floor(y0)+1; i<y1; ++i)
draw((.1,i)--(-.1,i));
}
path[] yh(real a, real b, real h, real k, real x0, real x1, bool upper=true, bool lower=true, pen color=black)
{
real f(real x) { return k + a / b * sqrt(b^2 + (x-h)^2); }
real g(real x) { return k - a / b * sqrt(b^2 + (x-h)^2); }
if (upper) { draw(graph(f, x0, x1),color, Arrows); }
if (lower) { draw(graph(g, x0, x1),color, Arrows); }
path [] arr = {graph(f, x0, x1), graph(g, x0, x1)};
return arr;
}
void xh(real a, real b, real h, real k, real y0, real y1, bool right=true, bool left=true, pen color=black)
{
path [] arr = yh(a, b, k, h, y0, y1, false, false);
if (right) draw(reflect((0,0),(1,1))*arr[0],color, Arrows);
if (left) draw(reflect((0,0),(1,1))*arr[1],color, Arrows);
}
void e(real a, real b, real h, real k)
{
draw(shift((h,k))*scale(a,b)*unitcircle);
}
size(8cm);
axes(-7,7,-10,10);
yh(3,2,0,0,-5.7,5.7);
draw((6,9)--(-6,-9),dotted);
draw((-6,9)--(6,-9),dotted);
[/asy] | 3/2 | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $|z - 5 - i| = 5.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[|z - 1 + 2i|^2 + |z - 9 - 4i|^2.\] | กำหนดให้ $z = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง แล้ว $|x + yi - 5 - i| = |(x - 5) + (y - 1)i| = 5,$ ดังนั้น
\[(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 25.\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $x^2 - 10x + y^2 - 2y = -1.$
นอกจากนี้,
\begin{align*}
|z - 1 + 2i|^2 + |z - 9 - 4i|^2 &= |x + yi - 1 + 2i|^2 + |x + yi - 9 - 4i|^2 \\
&= |(x - 1) + (y + 2)i|^2 + |(x - 9) + (y - 4)i|^2 \\
&= (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (x - 9)^2 + (y - 4)^2 \\
&= 2x^2 - 20x + 2y^2 - 4y + 102 \\
&= 2(x^2 - 10x + y^2 - 2y) + 102 \\
&= 2(-1) + 102 = 100.
\end{align*}ดังนั้น นิพจน์นี้มีค่าเท่ากับ $\boxed{100}$ เสมอ.
ในแง่เรขาคณิต เงื่อนไข $|z - 5 - i| = 5$ แสดงว่า $z$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $5 + i$ และมีรัศมี 5.
[asy]
unitsize(0.5 cm);
pair A, B, O, Z;
A = (1,-2);
B = (9,4);
O = (5,1);
Z = O + 5*dir(110);
draw(Circle(O,5));
draw(A--B);
draw(O--Z);
draw(A--Z--B);
draw(rightanglemark(A,Z,B,20));
dot("$1 - 2i$", A, SW);
dot("$9 + 4i$", B, NE);
dot("$5 + i$", O, SE);
dot("$z$", Z, NW);
[/asy]
สังเกตว่า $1 - 2i$ และ $9 + 4i$ อยู่ตรงข้ามกันบนวงกลมนี้ ดังนั้น เมื่อเราเชื่อม $z$ ไปยัง $1 - 2i$ และ $9 + 4i$ เราจะได้มุมฉาก ดังนั้น นิพจน์ในปัญหาเท่ากับกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งคือ $10^2 = 100.$ | 10^2 = 100. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $a+b=3$ และ $a^3+b^3=81$ จงหา $ab$. | นึกถึงการแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสาม $a^3+b^3= (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).$ เราแทนค่าจากสมการที่กำหนดให้ได้ $81=(3)(a^2-ab+b^2)$. ดังนั้น $a^2-ab+b^2=27$. เราทราบว่า $(a+b)^2=9=a^2+2ab+b^2$. เราใช้สมการทั้งสอง $$a^2+2ab+b^2=9$$และ $$a^2-ab+b^2=27.$$โดยการลบสมการที่สองจากสมการแรก เราได้ว่า $2ab+ab=9-27$. ดังนั้น $3ab=-18$ ดังนั้น $ab=\boxed{-6}$. | ab=\boxed{-6} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่าสูงสุดของผลรวม $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เราทราบว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]จากนั้น $2010 < 3M$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
สมการเป็นจริงถ้า $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$ $d = 1,$ และ $e = 669$ ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ คือ $\boxed{671}.$ | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ
\[(x - \sqrt[3]{13})(x - \sqrt[3]{53})(x - \sqrt[3]{103}) = \frac{1}{3}\]มีคำตอบที่แตกต่างกัน 3 คำตอบคือ $r,$ $s,$ และ $t.$ จงคำนวณค่าของ $r^3 + s^3 + t^3.$ | ให้รากของ $(x - \sqrt[3]{13})(x - \sqrt[3]{53})(x - \sqrt[3]{103}) = 0$ คือ $\alpha,$ $\beta,$ และ $\gamma.$ จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
r + s + t &= \alpha + \beta + \gamma, \\
rs + rt + st &= \alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma, \\
rst &= \alpha \beta \gamma + \frac{1}{3}.
\end{align*}เรามีการแยกตัวประกอบ
\[r^3 + s^3 + t^3 - 3rst = (r + s + t)((r + s + t)^2 - 3(rs + rt + st)).\]ดังนั้น จากสมการข้างต้น
\[r^3 + s^3 + t^3 - 3rst = \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 - 3 \alpha \beta \gamma.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
r^3 + s^3 + t^3 &= \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 + 3(rst - \alpha \beta \gamma) \\
&= 13 + 53 + 103 + 1 \\
&= \boxed{170}.
\end{align*} | 170 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และกำหนดให้
\[x = \frac{b}{c} + \frac{c}{b}, \quad y = \frac{a}{c} + \frac{c}{a}, \quad z = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}.\] จงทำให้ $x^2 + y^2 + z^2 - xyz$ ง่ายขึ้น | แทนค่าและขยายผล เราได้
\begin{align*}
x^2 + y^2 + z^2 - xyz &= \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right)^2 + \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right)^2 + \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^2 - \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right) \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \\
&= \frac{b^2}{c^2} + 2 + \frac{c^2}{b^2} + \frac{a^2}{c^2} + 2 + \frac{c^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2} - \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} + 1 + \frac{b^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + 1 + \frac{c^2}{b^2} + \frac{c^2}{a^2} \right) \\
&= \boxed{4}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $a > b.$ จงคำนวณ
\[\frac{1}{ba} + \frac{1}{a(2a - b)} + \frac{1}{(2a - b)(3a - 2b)} + \frac{1}{(3a - 2b)(4a - 3b)} + \dotsb.\] | พจน์ที่ $n$ คือ
\[\frac{1}{[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]}.\]เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
\frac{1}{[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]} &= \frac{a - b}{(a - b)[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]} \\
&= \frac{[na - (n - 1) b] - [(n - 1) a - (n - 2) b]}{(a - b)[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]} \\
&= \frac{1}{(a - b)[(n - 1)a - (n - 2)b]} - \frac{1}{(a - b)[na - (n - 1)b]}.
\end{align*}ดังนั้น,
\begin{align*}
&\frac{1}{ba} + \frac{1}{a(2a - b)} + \frac{1}{(2a - b)(3a - 2b)} + \frac{1}{(3a - 2b)(4a - 3b)} + \dotsb \\
&= \left( \frac{1}{(a - b)b} - \frac{1}{(a - b)a} \right) + \left( \frac{1}{(a - b)a} - \frac{1}{(a - b)(2a - b)} \right) + \left( \frac{1}{(a - b)(2a - b)} - \frac{1}{(a - b)(3a - 2b)} \right) + \dotsb \\
&= \boxed{\frac{1}{(a - b)b}}.
\end{align*} | n | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนจริง $a$ และ $b$ ถูกเลือกมาโดยที่ $1<a<b$ โดยที่ไม่มีรูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีพื้นที่เป็นบวกที่มีความยาวด้านเป็น $1, a,$ และ $b$ หรือ $\tfrac{1}{b}, \tfrac{1}{a},$ และ $1$. จงหาค่า $b$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | เราทราบว่า $1 < a < b.$ เรายังทราบอีกด้วยว่า 1, $a,$ และ $b$ ไม่สามารถเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งในอสมการต่อไปนี้
\begin{align*}
1 + a &> b, \\
1 + b &> a, \\
a + b &> 1
\end{align*}ไม่เป็นจริง. เราเห็นว่า $1 + b > b > a$ และ $a + b > a > 1,$ ดังนั้นอสมการที่ไม่เป็นจริงเพียงอสมการเดียวคือ $1 + a > b.$ ดังนั้นเราต้องมี $1 + a \le b.$
นอกจากนี้ เนื่องจาก $1 < a < b,$ $\frac{1}{b} < \frac{1}{a} < 1.$ ดังนั้นเราต้องมี
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \le 1.\]จากนั้น
\[\frac{1}{a} \le 1 - \frac{1}{b} = \frac{b - 1}{b},\]ดังนั้น
\[a \ge \frac{b}{b - 1}.\]จากนั้น
\[\frac{b}{b - 1} + 1 \le a + 1 \le b,\]ดังนั้น $b + b - 1 \le b(b - 1).$ สิ่งนี้จะทำให้เป็น
\[b^2 - 3b + 1 \ge 0.\]รากของ $b^2 - 3b + 1 = 0$ คือ
\[\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2},\]ดังนั้นคำตอบของ $b^2 - 3b + 1 \ge 0$ คือ $b \in \left( -\infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right] \cup \left[ \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \infty \right).$
เนื่องจาก $b > 1,$ ค่า $b$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}.$ | \boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนคำตอบจริงของสมการ
\[\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x - 3} + \dots + \frac{100}{x - 100} = x.\] | กำหนดให้
\[f(x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x - 3} + \dots + \frac{100}{x - 100}.\]พิจารณา กราฟของ $y = f(x).$
[asy]
unitsize(1 cm);
real func(real x) {
return((1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + 4/(x - 4) + 5/(x - 5) + 6/(x - 6))/15);
}
draw((-2,0)--(8,0));
draw((0,-2)--(0,2));
draw((1,-2)--(1,2),dashed);
draw((2,-2)--(2,2),dashed);
draw((3,-2)--(3,2),dashed);
draw((5,-2)--(5,2),dashed);
draw((6,-2)--(6,2),dashed);
draw((-2,-2/4)--(8,8/4));
draw(graph(func,-2,0.99),red);
draw(graph(func,1.01,1.99),red);
draw(graph(func,2.01,2.99),red);
draw(graph(func,5.01,5.99),red);
draw(graph(func,6.01,8),red);
limits((-2,-2),(8,2),Crop);
label("$1$", (1,0), SW);
label("$2$", (2,0), SW);
label("$3$", (3,0), SE);
label("$99$", (5,0), SW);
label("$100$", (6,0), SE);
label("$y = x$", (8,2), E);
label("$y = f(x)$", (8,func(8)), E, red);
[/asy]
กราฟของ $y = f(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = 1,$ $x = 2,$ $\dots,$ $x = 100.$ โดยเฉพาะ $f(x)$ เข้าใกล้ $-\infty$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $n$ จากทางซ้าย และ $f(x)$ เข้าใกล้ $\infty$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $n$ จากทางขวา สำหรับ $1 \le n \le 100.$ ยิ่งไปกว่านั้น $y = 0$ เป็นเส้นกำลุ่งแนวตั้ง โดยเฉพาะ $f(x)$ เข้าใกล้ 0 เมื่อ $x$ เข้าใกล้ทั้ง $\infty$ และ $-\infty.$
ดังนั้น กราฟของ $y = f(x)$ ตัดกับกราฟของ $y = x$ เพียงครั้งเดียวในแต่ละช่วง $(-\infty,1),$ $(1,2),$ $(2,3),$ $\dots,$ $(99,100),$ $(100,\infty).$ ดังนั้น มีคำตอบจริงทั้งหมด $\boxed{101}$ คำตอบ | \boxed{101} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[f(x) = \frac{x^2 - 6x + 6}{2x - 4}\]และ
\[g(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x - d}.\]ทราบว่า
$\bullet$ กราฟของ $f(x)$ และ $g(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งเหมือนกัน
$\bullet$ เส้นกำลุ่งเฉียงของ $f(x)$ และ $g(x)$ ตั้งฉากกัน และจุดตัดของเส้นกำลุ่งเฉียงทั้งสองอยู่บนแกน $y$
$\bullet$ กราฟของ $f(x)$ และ $g(x)$ มีจุดตัดกัน 2 จุด หนึ่งในนั้นอยู่บนเส้น $x = -2.$
จงหาจุดตัดของกราฟ $f(x)$ และ $g(x)$ ที่ไม่บนเส้น $x = -2.$ | เส้นกำลุ่งแนวตั้งของ $f(x)$ คือ $x = 2.$ ดังนั้น $d = 2.$
โดยการหารแบบยาว
\[f(x) = \frac{1}{2} x - 2 - \frac{2}{2x - 4}.\]ดังนั้น เส้นกำลุ่งเฉียงของ $f(x)$ คือ $y = \frac{1}{2} x - 2,$ ซึ่งผ่านจุด $(0,-2).$ ดังนั้น เส้นกำลุ่งเฉียงของ $g(x)$ คือ
\[y = -2x - 2.\]ดังนั้น
\[g(x) = -2x - 2 + \frac{k}{x - 2}\]สำหรับค่าคงที่ $k$ ใดๆ
สุดท้าย
\[f(-2) = \frac{(-2)^2 - 6(-2) + 6}{2(-6) - 4} = -\frac{11}{4},\]ดังนั้น
\[g(-2) = -2(-2) - 2 + \frac{k}{-2 - 2} = -\frac{11}{4}.\]แก้สมการได้ $k = 19.$ ดังนั้น
\[g(x) = -2x - 2 + \frac{19}{x - 2} = \frac{-2x^2 + 2x + 23}{x - 2}.\]เราต้องการแก้สมการ
\[\frac{x^2 - 6x + 6}{2x - 4} = \frac{-2x^2 + 2x + 23}{x - 2}.\]แล้ว $x^2 - 6x + 6 = -4x^2 + 4x + 46,$ หรือ $5x^2 - 10x - 40 = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $5(x + 2)(x - 4) = 0,$ ดังนั้นจุดตัดอีกจุดหนึ่งเกิดขึ้นที่ $x = 4.$ เนื่องจาก
\[f(4) = \frac{4^2 - 6 \cdot 4 + 6}{2(4) - 4} = -\frac{1}{2},\]จุดตัดอีกจุดหนึ่งคือ $\boxed{\left( 4, -\frac{1}{2} \right)}.$ | \boxed{\left( 4, -\frac{1}{2} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x = 2001^{1002} - 2001^{-1002}$ และ $y = 2001^{1002} + 2001^{-1002}.$ จงหา $x^2 - y^2.$ | เราทราบว่า
\begin{align*}
x^2 - y^2 &= (x + y)(x - y) \\
&= 2 \cdot 2001^{1002} \cdot (-2 \cdot 2001^{-1002}) \\
&= \boxed{-4}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
สมการพหุนาม \[x^3 + bx + c = 0,\]โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนตรรกยะ มี $3-\sqrt{7}$ เป็นราก สมการนี้ยังมีรากที่เป็นจำนวนเต็มอีกด้วย รากนั้นคืออะไร? | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุคของ $3-\sqrt{7}$ ซึ่งก็คือ $3+\sqrt{7}$ จะต้องเป็นรากของพหุนามเช่นกัน โดยทฤษฎีบทของ Vieta ผลรวมของรากของพหุนามนี้เท่ากับ $0$ ; เนื่องจาก $(3-\sqrt{7}) + (3+\sqrt{7}) = 6$ รากที่สามซึ่งเป็นจำนวนเต็มต้องเท่ากับ $0 - 6 = \boxed{-6}$. | 0 - 6 = \boxed{-6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\[a + b + c = ab + ac + bc = abc = 1.\]กรุณาใส่ค่า $a,$ $b,$ $c$ ที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค ในลำดับใดก็ได้ | จากสูตรของ Vieta's $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ
\[x^3 - x^2 + x - 1 = 0.\]เราสามารถเขียนได้ว่า $x^2 (x - 1) + (x - 1) = 0,$ หรือ $(x - 1)(x^2 + 1) = 0.$ รากคือ $\boxed{1,i,-i}.$ | \boxed{1,i,-i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของพจน์ในอนุกรมเรขาอนันต์เท่ากับ 15 และผลบวกของกำลังสองของพจน์เท่ากับ 45 จงหาพจน์แรก | ให้ $a$ เป็นพจน์แรก และ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม แล้ว
\begin{align*}
\frac{a}{1 - r} &= 15, \\
\frac{a^2}{1 - r^2} &= 45.
\end{align*}จากสมการแรก $a = 15(1 - r).$ แทนค่าลงในสมการที่สอง เราได้
\[\frac{225 (1 - r)^2}{1 - r^2} = 45.\]ส่วนของตัวส่วนแยกตัวประกอบได้เป็น $(1 + r)(1 - r),$ ดังนั้นสมการจึงลดรูปเป็น
\[\frac{5 (1 - r)}{1 + r} = 1.\]ดังนั้น $5 - 5r = 1 + r,$ ดังนั้น $r = \frac{2}{3}.$ แล้ว $a = 15 \left( 1 - \frac{2}{3} \right) = \boxed{5}.$ | a = 15 \left( 1 - \frac{2}{3} \right) = \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้สมการจริง \[\frac{x^3+2x^2}{x^2+3x+2} + x = -6.\]เขียนคำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสังเกตได้ว่าเราสามารถทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น: \[\frac{x^3+2x^2}{x^2+3x+2} = \frac{x^2(x+2)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2}{x+1},\]โดยที่ $x \neq -2.$ ดังนั้นเราจึงมี \[\frac{x^2}{x+1} + x = -6.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $x+1$ จะได้ \[x^2 + x(x+1) = -6(x+1),\]หรือ \[2x^2+7x+6=0.\]สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น \[(2x+3)(x+2) = 0,\]ดังนั้น $x = -\tfrac32$ หรือ $x = -2.$ แต่ตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ $x = -2$ เป็นไปไม่ได้เพราะทำให้ตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์ ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวคือ $x = \boxed{-\tfrac32}.$ | x = \boxed{-\tfrac32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ
$$\sum_{k=1}^{1000} k(\lceil \log_{\sqrt{2}}{k}\rceil- \lfloor\log_{\sqrt{2}}{k} \rfloor).$$ | สังเกตว่า \[\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor =
\begin{cases}1 & \text{ถ้า $x$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม}, \\ 0 & \text{ถ้า $x$ เป็นจำนวนเต็ม}. \end{cases} \]ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ ใดๆ \[\lceil \log_{\sqrt{2}}{k}\rceil-\lfloor \log_{\sqrt{2}}{k}\rfloor=
\begin{cases}1 & \text{ถ้า $k$ ไม่เป็นกำลังเต็มของ $\sqrt{2}$}, \\
0 & \text{ถ้า $k$ เป็นกำลังเต็มของ $\sqrt{2}$}. \end{cases}\]จำนวนเต็ม $k$, $1 \leq k \leq 1000$, ที่เป็นกำลังเต็มของ $\sqrt{2}$ ถูกอธิบายโดย $k = 2^j$, $0 \leq j \leq 9$. ดังนั้น \[\sum_{k=1}^{1000} k (\lceil \log_{\sqrt{2}}{k}\rceil - \lfloor
\log_{\sqrt{2}}{k}\rfloor) = \sum_{k=1}^{1000}k - \sum_{j=0}^9 2^j = \frac{1000 \cdot 1001}{2} - 1023 = \boxed{499477}.\] | 0 \leq j \leq 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสามหลักสุดท้ายของ $9^{105}.$ | เราสามารถเขียน $9^{105} = (10 - 1)^{105}.$ จากทฤษฎีบททวินาม,
\[(10 - 1)^{105} = 10^{105} - \binom{105}{1} 10^{104} + \binom{105}{2} 10^{103} - \dots + \binom{105}{102} 10^3 - \binom{105}{103} 10^2 + \binom{105}{104} 10 - 1.\]พจน์ทั้งหมดจนถึง $\binom{105}{102} 10^3$ หารด้วย $10^3$ ลงตัว ดังนั้นเพื่อหาสามหลักสุดท้าย เราสามารถละเว้นพจน์เหล่านั้นได้ เราเหลือเพียง
\begin{align*}
-\binom{105}{103} 10^2 + \binom{105}{104} 10 - 1 &= -\binom{105}{2} 10^2 + \binom{105}{1} 10 - 1 \\
&= -\frac{105 \cdot 104}{2} \cdot 10^2 + 105 \cdot 10 - 1 \\
&= -546000 + 1050 - 1 \\
&= -546000 + 1049.
\end{align*}ดังนั้น สามหลักสุดท้ายคือ $\boxed{049}.$ | \boxed{049}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ต่างกัน โดยที่
\[\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b} = 0.\]จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{a}{(b - c)^2} + \frac{b}{(c - a)^2} + \frac{c}{(a - b)^2}.\]ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | กำหนดให้ $x = b - c,$ $y = c - a,$ และ $z = a - b,$ ดังนั้น
\[\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0.\]จากนั้น
\[\left( \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \right) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = 0.\]เมื่อขยายออกจะได้
\[\frac{a}{x^2} + \frac{b}{y^2} + \frac{c}{z^2} + \frac{a + b}{xy} + \frac{a + c}{xz} + \frac{b + c}{yz} = 0.\]สังเกตว่า
\begin{align*}
\frac{a + b}{xy} + \frac{a + c}{xz} + \frac{b + c}{yz} &= \frac{(a + b)z + (a + c)y + (b + c)x}{xyz} \\
&= \frac{(a + b)(a - b) + (a + c)(c - a) + (b + c)(b - c)}{xyz} \\
&= \frac{a^2 - b^2 + c^2 - a^2 + b^2 - c^2}{xyz} \\
&= 0,
\end{align*}ดังนั้น
\[\frac{a}{(b - c)^2} + \frac{b}{(c - a)^2} + \frac{c}{(a - b)^2} = \frac{a}{x^2} + \frac{b}{y^2} + \frac{c}{z^2} = \boxed{0}.\] | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\min_{y \in \mathbb{R}} \max_{0 \le x \le 1} |x^2 - xy|.\] | กราฟของ
\[x^2 - xy = \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 - \frac{y^2}{4}\]เป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ $\left( \frac{y}{2}, -\frac{y^2}{4} \right).$
เราแบ่งเป็นกรณีตามค่าของ $y.$
ถ้า $y \le 0,$ แล้ว
\[|x^2 - xy| = x^2 - xy\]สำหรับ $0 \le x \le 1.$ เนื่องจาก $x^2 - xy$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วงนี้ ค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นที่ $x = 1,$ ซึ่งคือ $1 - y.$
ถ้า $0 \le y \le 1,$ แล้ว
\[|x^2 - xy| = \left\{
\begin{array}{cl}
xy - x^2 & \text{สำหรับ $0 \le x \le y$}, \\
x^2 - xy & \text{สำหรับ $y \le x \le 1$}.
\end{array}
\right.\]ดังนั้น สำหรับ $0 \le x \le y,$ ค่าสูงสุดคือ $\frac{y^2}{4},$ และสำหรับ $y \le x \le 1,$ ค่าสูงสุดคือ $1 - y.$
ถ้า $y \ge 1,$ แล้ว
\[|x^2 - xy| = xy - x^2\]สำหรับ $0 \le x \le 1.$ ถ้า $1 \le y \le 2,$ ค่าสูงสุดคือ $\frac{y^2}{4},$ และถ้า $y \ge 2,$ ค่าสูงสุดคือ $y - 1.$
สำหรับ $y \le 0,$ ค่าสูงสุดคือ $1 - y,$ ซึ่งมีค่าอย่างน้อย 1. สำหรับ $1 \le y \le 2,$ ค่าสูงสุดคือ $\frac{y^2}{4},$ ซึ่งมีค่าอย่างน้อย $\frac{1}{4}.$ สำหรับ $y \ge 2,$ ค่าสูงสุดคือ $y - 1,$ ซึ่งมีค่าอย่างน้อย 1.
สำหรับ $0 \le y \le 1,$ เราต้องการเปรียบเทียบ $\frac{y^2}{4}$ และ $1 - y.$ อสมการ
\[\frac{y^2}{4} \ge 1 - y\]จะลดรูปเป็น $y^2 + 4y - 4 \ge 0.$ คำตอบของ $y^2 + 4y - 4 = 0$ คือ $-2 \pm 2 \sqrt{2}.$ ดังนั้น ถ้า $0 \le y \le -2 + 2 \sqrt{2},$ ค่าสูงสุดคือ $1 - y,$ และถ้า $-2 + 2 \sqrt{2} \le y \le 1,$ ค่าสูงสุดคือ $\frac{y^2}{4}.$ สังเกตว่า $1 - y$ เป็นฟังก์ชันลดลงสำหรับ $0 \le y \le -2 + 2 \sqrt{2},$ และ $\frac{y^2}{4}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นสำหรับ $-2 + 2 \sqrt{2} \le y \le 1,$ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นที่ $y = -2 + 2 \sqrt{2},$ ซึ่งคือ
\[1 - (-2 + 2 \sqrt{2}) = 3 - 2 \sqrt{2}.\]เนื่องจากค่านี้มีค่าน้อยกว่า $\frac{1}{4},$ ค่าต่ำสุดโดยรวมคือ $\boxed{3 - 2 \sqrt{2}}.$ | \boxed{3 - 2 \sqrt{2}}. | [
"unknown"
] |
จงหาคำตอบจริงของสมการ
\[x^4 - 2x^3 - x + 2 = 0.\] | เราสามารถแยกตัวประกอบพหุนามได้ดังนี้
\begin{align*}
x^4 - 2x^3 - x + 2 &= (x - 2) x^3 - (x - 2) \\
&= (x - 2)(x^3 - 1) \\
&= (x - 2)(x - 1)(x^2 + x + 1).
\end{align*}ตัวประกอบกำลังสอง $x^2 + x + 1$ ไม่มีคำตอบจริง ดังนั้นคำตอบจริงคือ $\boxed{1,2}.$ | \boxed{1,2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนหนึ่งของกราฟของ $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ แสดงไว้ ค่าของ $b$ คือเท่าใด?
[asy]
unitsize(1.5 cm);
real func(real x) {
return((x + 1)*(x - 1)*(x - 2));
}
draw(graph(func,-1.1,1.5));
draw((-1.5,0)--(1.5,0),Arrows(6));
draw((0,-1)--(0,2.5),Arrows(6));
label("$x$", (1.5,0), E);
label("$f(x)$", (0,2.5), N);
dot("$(-1,0)$", (-1,0), SE, fontsize(10));
dot("$(1,0)$", (1,0), SW, fontsize(10));
dot("$(0,2)$", (0,2), NE, fontsize(10));
[/asy] | เรามี \[
0 = f(-1) = -a+b-c+d\]และ \[0 = f(1) = a+b+c+d,
\]ดังนั้น $b+d=0$. 또한 $d=f(0) = 2$ ดังนั้น $b=\boxed{-2}$. | b=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อใดที่กราฟของ $y=ax^2+3x+1$ และ $y=-x-1$ ตัดกันที่จุดเดียว? | กราฟของ $y=ax^2+3x+1$ และ $y=-x-1$ ตัดกันที่จุดเดียวเมื่อสมการ
$$ax^2+3x+1=-x-1$$มีคำตอบเดียว สมการนี้จะลดรูปเป็น $ax^2+4x+2=0$ ซึ่งมีคำตอบเดียวเมื่อค่าพิจารณา (discriminant) เท่ากับ 0, กล่าวคือ,
$$4^2-4(a)(2)=0.$$แก้สมการเพื่อหาค่า $a$ จะได้ $a=\boxed{2}$. | a=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $x + y + z = 6.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x^2 + y^2}{x + y} + \frac{x^2 + z^2}{x + z} + \frac{y^2 + z^2}{y + z}.\] | โดยอสมการ QM-AM,
\[\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}} \ge \frac{x + y}{2}.\]ดังนั้น
\[\frac{x^2 + y^2}{2} \ge \left( \frac{x + y}{2} \right)^2,\]ซึ่งเราสามารถจัดรูปใหม่เป็น
\[\frac{x^2 + y^2}{x + y} \ge \frac{x + y}{2}.\]ทำนองเดียวกัน,
\begin{align*}
\frac{x^2 + y^2}{x + y} &\ge \frac{x + y}{2}, \\
\frac{y^2 + z^2}{y + z} &\ge \frac{y + z}{2}.
\end{align*}ดังนั้น,
\[\frac{x^2 + y^2}{x + y} + \frac{x^2 + z^2}{x + z} + \frac{y^2 + z^2}{y + z} \ge \frac{x + y}{2} + \frac{x + z}{2} + \frac{y + z}{2} = x + y + z = 6.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = 2,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{6}.$ | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ดาวเคราะห์ชื่อ เซเวียร์ มีวงโคจรเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่ง เมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (จุดใกล้ดวงอาทิตย์) จะอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ 2 หน่วยดาราศาสตร์ (AU) และเมื่ออยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ที่สุด (จุดไกลดวงอาทิตย์) จะอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ 12 AU เมื่อเซเวียร์อยู่ตรงกลางวงโคจรตามที่แสดง ให้หาว่าเซเวียร์อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์เท่าไร ในหน่วย AU
[asy]
unitsize(1 cm);
path ell = xscale(2)*arc((0,0),1,-85,265);
filldraw(Circle((0,-1),0.1));
filldraw(Circle((-1.4,0),0.2),yellow);
draw(ell,Arrow(6));
[/asy] | ให้ $A$ เป็นจุดใกล้ดวงอาทิตย์, ให้ $B$ เป็นจุดไกลดวงอาทิตย์, ให้ $F$ เป็นจุดโฟกัสที่ดวงอาทิตย์อยู่, ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงรี และให้ $M$ เป็นตำแหน่งปัจจุบันของเซเวียร์
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, F, M, O;
path ell = xscale(2)*Circle((0,0),1);
A = (-2,0);
B = (2,0);
F = (-sqrt(3),0);
O = (0,0);
M = (0,-1);
draw(ell);
draw(A--M);
draw(O--M);
draw(F--M);
draw(A--B);
dot("$A$", A, W);
dot("$B$", B, E);
dot("$F$", F, N);
dot("$M$", M, S);
dot("$O$", O, N);
[/asy]
แล้ว $AB$ เป็นแกนเอกของวงรี และ $AB = 2 + 12 = 14.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจุดกึ่งกลาง $MF = AO = \frac{14}{2} = \boxed{7}.$ | MF = AO = \frac{14}{2} = \boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่เพียงพอที่
\[2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \dots + n \cdot 2^n = 2^{n + 10}.\] | กำหนดให้
\[S = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \dots + n \cdot 2^n.\]แล้ว
\[2S = 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^5 + \dots + n \cdot 2^{n + 1}.\]ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\begin{align*}
S &= (2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^5 + \dots + n \cdot 2^{n + 1}) - (2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \dots + n \cdot 2^n) \\
&= -2 \cdot 2^2 - 2^3 - 2^4 - \dots - 2^n + n \cdot 2^{n + 1} \\
&= -8 - 2^3 (1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n - 3}) + n \cdot 2^{n + 1} \\
&= -8 - 2^3 (2^{n - 2} - 1) + n \cdot 2^{n + 1} \\
&= -8 - 2^{n + 1} + 8 + n \cdot 2^{n + 1} \\
&= (n - 1) 2^{n + 1}.
\end{align*}ดังนั้น $(n - 1) 2^{n + 1} = 2^{n + 10},$ ดังนั้น $n - 1 = 2^9 = 512,$ ซึ่ง $n = \boxed{513}.$ | n = \boxed{513}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้จุด $P,$ $Q,$ และ $R$ แทนด้วยจำนวนเชิงซ้อน $z,$ $(1 + i) z,$ และ $2 \overline{z},$ ตามลำดับ โดยที่ $|z| = 1.$ เมื่อ $P,$ $Q$, และ $R$ ไม่共线 ให้ $S$ เป็นจุดยอดที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน $PQSR.$ จงหาความยาวสูงสุดระหว่าง $S$ กับจุดกำเนิดบนระนาบเชิงซ้อน | ให้ $w$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับจุด $S.$ เนื่องจาก $PQSR$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
\[w = (1 + i) z + 2 \overline{z} - z,\]ดังนั้น $w = 2 \overline{z} + iz.$ แล้ว $\overline{w} = 2z - i \overline{z},$ ดังนั้น
\begin{align*}
|w|^2 &= w \overline{w} \\
&= (2 \overline{z} + iz)(2z - i \overline{z}) \\
&= 4 z \overline{z} + 2iz^2 - 2i \overline{z}^2 + z \overline{z} \\
&= 5|z|^2 + 2i (z^2 - \overline{z}^2) \\
&= 2i (z^2 - \overline{z}^2) + 5.
\end{align*}ให้ $z = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง. เนื่องจาก $|z| = 1,$ $x^2 + y^2 = 1.$ นอกจากนี้
\begin{align*}
2i (z^2 - \overline{z}^2) &= 2i ((x + yi)^2 - (x - yi)^2) \\
&= 2i (4ixy) \\
&= -8xy,
\end{align*}ดังนั้น $|w|^2 = 5 - 8xy.$
โดยอสมการเชิงสามเหลี่ยม $(x + y)^2 \ge 0.$ ดังนั้น $x^2 + 2xy + y^2 \ge 0,$ ดังนั้น $2xy + 1 \ge 0.$ ดังนั้น $-8xy \le 4,$ ดังนั้น
\[|w|^2 = 5 - 8xy \le 9,\]ซึ่งหมายความว่า $|w| \le 3.$
ความเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $z = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}},$ ดังนั้นความยาวสูงสุดระหว่าง $S$ กับจุดกำเนิดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ไฮเปอร์โบลา มีโฟกัสสองจุดอยู่ที่ $(5, 0)$ และ $(9, 4).$ จงหาพิกัดของจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา | จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อโฟกัสทั้งสอง จุด ดังนั้นจุดศูนย์กลางมีพิกัด $\left(\frac{5+9}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \boxed{(7,2)}.$ | \left(\frac{5+9}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \boxed{(7,2)}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}\]สำหรับ $x > 0.$ | โดย AM-GM,
\[2 \sqrt{x} + \frac{1}{x} = \sqrt{x} + \sqrt{x} + \frac{1}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}} = 3.\]สมการเป็นจริงเมื่อ $x = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ $\frac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{2}+1} + \dfrac{2}{\sqrt{3}-1}}$ ง่ายขึ้น | เราทำให้นิพจน์เศษส่วนย่อยๆ ง่ายขึ้นโดยการคูณด้วยสังยุคของส่วน: \[\frac{1}{\sqrt2+1} = \frac{1}{\sqrt2+1} \cdot \frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \sqrt2-1\]และ \[\frac{2}{\sqrt3-1} = \frac{2}{\sqrt3-1} \cdot \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1} = \sqrt3+1.\]ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดจึงกลายเป็น \[\frac{1}{(\sqrt2-1)+(\sqrt3+1)} = \frac1{\sqrt2+\sqrt3}.\]คูณด้วยสังยุคอีกครั้งหนึ่ง เรามี \[\frac1{\sqrt2+\sqrt3} = \frac1{\sqrt2+\sqrt3} \cdot \frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2} = \boxed{\sqrt3-\sqrt2}.\] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
พหุนาม $x^3 - 2004 x^2 + mx + n$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีศูนย์ที่แตกต่างกัน 3 ตัว ซึ่งเป็นจำนวนบวก ศูนย์ตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม และเป็นผลบวกของอีกสองศูนย์ มีค่าของ $n$ ที่เป็นไปได้กี่ค่า? | ให้ $a$ แทนศูนย์ที่เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ คือ 1 จึงไม่มีศูนย์ตรรกยะอื่น ดังนั้นอีกสองศูนย์ต้องเป็น $\frac{a}{2} \pm r$ สำหรับจำนวนอตรรกยะ $r$ พหุนามจะเป็น \[(x-a) \left( x - \frac{a}{2} - r \right) \left( x - \frac{a}{2} + r \right) = x^3 - 2ax^2 + \left( \frac{5}{4}a^2 - r^2 \right) x - a \left( \frac{1}{4}a^2 - r^2 \right).\]ดังนั้น $a=1002$ และพหุนามจะเป็น \[x^3 - 2004 x^2 + (5(501)^2 - r^2)x - 1002((501)^2-r^2).\]สัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ $r^2$ เป็นจำนวนเต็ม และศูนย์เป็นจำนวนบวกและแตกต่างกันก็ต่อเมื่อ $1 \leq r^2
\leq 501^2 - 1 = 251000$ เนื่องจาก $r$ ไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มได้ จึงมี $251000 - 500 = \boxed{250500}$ ค่าของ $n$ ที่เป็นไปได้ | n | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับสาม $(x,y,z)$ ของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ
\begin{align*}
x + yz &= 7, \\
y + xz &= 10, \\
z + xy &= 10.
\end{align*}เป็น $(x_1,y_1,z_1),$ $(x_2,y_2,z_2),$ $\dots,$ $(x_n,y_n,z_n).$ จงหา $x_1 + x_2 + \dots + x_n.$ | ลบสมการ $y + xz = 10$ และ $z + xy = 10$ เราได้
\[y + xz - z - xy = 0.\]แล้ว $y - z + x(z - y) = 0,$ ดังนั้น $(y - z)(1 - x) = 0.$ ดังนั้น $y = z$ หรือ $x = 1.$
ถ้า $x = 1,$ แล้ว $yz = 6$ และ $y + z = 10.$ จากสูตรของ Vieta's $y$ และ $z$ เป็นรากของ $t^2 - 10t + 6 = 0.$ ดังนั้น $x = 1$ สำหรับลำดับสาม $(x,y,z)$ สองคู่
ถ้า $y = z,$ แล้ว
\begin{align*}
x + y^2 &= 7, \\
y + xy &= 10.
\end{align*}ยกกำลังสองสมการที่สอง เราได้ $(x + 1)^2 y^2 = 100.$ แล้ว $(x + 1)^2 (7 - x) = 100,$ ซึ่งเรียบง่ายเป็น $x^3 - 5x^2 - 13x + 93 = 0.$ จากสูตรของ Vieta's ผลบวกของรากคือ 5 ดังนั้นผลบวกของ $x_i$ ทั้งหมดคือ $2 + 5 = \boxed{7}.$ | 2 + 5 = \boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ต่างกัน 3 จำนวน ซึ่ง $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเรขาคณิต และ
\[\log_c a, \ \log_b c, \ \log_a b\]เป็นลำดับเลขคณิต จงหาผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต | เนื่องจาก $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น $b = \sqrt{ac}.$ ดังนั้น ลอการิทึมทั้งสามจะกลายเป็น
\[\log_c a, \ \log_{\sqrt{ac}} c, \ \log_a \sqrt{ac}.\]กำหนดให้ $x = \log_c a.$ ดังนั้น โดยสูตรการเปลี่ยนฐาน
\[\log_{\sqrt{ac}} c = \frac{\log_c c}{\log_c \sqrt{ac}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \log_c ac} = \frac{2}{\log_c a + \log_c c} = \frac{2}{x + 1},\]และ
\[\log_a \sqrt{ac} = \frac{1}{2} \log_a ac = \frac{\log_c ac}{2 \log_c a} = \frac{\log_c a + \log_c c}{2 \log_c a} = \frac{x + 1}{2x}.\]กำหนดให้ $d$ เป็นผลต่างร่วม ดังนั้น
\[d = \frac{2}{x + 1} - x = \frac{x + 1}{2x} - \frac{2}{x + 1}.\]ดังนั้น
\[4x - 2x^2 (x + 1) = (x + 1)^2 - 4x,\]ซึ่งจะกลายเป็น $2x^3 + 3x^2 - 6x + 1 = 0.$ สมการนี้จะแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 1)(2x^2 + 5x - 1) = 0.$
ถ้า $x = 1,$ แล้ว $\log_c a = 1,$ ดังนั้น $a = c.$ แต่ $a$ และ $c$ เป็นจำนวนที่ต่างกัน ดังนั้น $2x^2 + 5x - 1 = 0,$ ดังนั้น $x^2 = \frac{1 - 5x}{2}.$ ดังนั้น
\[d = \frac{2}{x + 1} - x = \frac{2 - x^2 - x}{x + 1} = \frac{2 - \frac{1 - 5x}{2} - x}{x + 1} = \frac{3x + 3}{2(x + 1)} = \boxed{\frac{3}{2}}.\] | x^2 = \frac{1 - 5x}{2}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดบนวงกลม $x^2 + y^2 - 12x + 31 = 0,$ และ $B$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y^2 = 4x.$ จงหาค่าของระยะทาง $AB$ ที่น้อยที่สุด | ทำการเติมกำลังสองใน $x^2 + y^2 - 12x + 31 = 0,$ เราได้
\[(x - 6)^2 + y^2 = 5.\]ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(6,0),$ และรัศมีของวงกลมคือ $\sqrt{5}.$
สังเกตว่าพาราโบลา $y^2 = 4x$ เปิดออกทางด้านขวา. กำหนดให้ $2t$ เป็นพิกัด $y$ ของ $B.$ ดังนั้น
\[x = \frac{y^2}{4} = \frac{(2t)^2}{4} = t^2,\]ดังนั้น $B = (t^2,2t).$
กำหนดให้ $C = (6,0),$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม.
[asy]
unitsize(0.6 cm);
real upperparab (real x) {
return (sqrt(4*x));
}
real lowerparab (real x) {
return (-sqrt(4*x));
}
pair A, B, C;
C = (6,0);
A = C + sqrt(5)*dir(140);
B = (5,upperparab(5));
draw(Circle(C,sqrt(5)));
draw(graph(upperparab,0,8));
draw(graph(lowerparab,0,8));
draw(A--B--C--cycle);
dot("$A$", A, NW);
dot("$B$", B, N);
dot("$C$", C, S);
[/asy]
โดยอสมการรูปสามเหลี่ยม $AB + AC \ge BC,$ ดังนั้น
\[AB \ge BC - AC.\]เนื่องจาก $A$ เป็นจุดบนวงกลม $AC = \sqrt{5},$ ดังนั้น
\[AB \ge BC - \sqrt{5}.\]ดังนั้น เราพยายามที่จะย่อ $BC.$
เราได้ว่า
\begin{align*}
BC^2 &= (t^2 - 6)^2 + (2t)^2 \\
&= t^4 - 12t^2 + 36 + 4t^2 \\
&= t^4 - 8t^2 + 36 \\
&= (t^2 - 4)^2 + 20 \\
&\ge 20,
\end{align*}ดังนั้น $BC \ge \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}.$ ดังนั้น $AB \ge 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}.$
ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นเมื่อ $A = (5,2)$ และ $B = (4,4),$ ดังนั้นค่าของระยะทาง $AB$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{\sqrt{5}}.$ | \boxed{\sqrt{5}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
วงรีมีจุดโฟกัสที่ $(0, 2)$ และ $(3, 0)$ มันมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด หนึ่งในนั้นคือจุดกำเนิด จุดตัดแกน $x$ อีกจุดคืออะไร? ป้อนคำตอบของคุณเป็นคู่ลำดับ | ผลรวมของระยะทางจาก $(0,0)$ ถึงจุดโฟกัสทั้งสองคือ $ 2 + 3 = 5.$ ตามนิยามของวงรี ผลรวมของระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรีถึงจุดโฟกัสทั้งสองต้องเท่ากับ $5$ ด้วย ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $(x, 0)$ เป็นจุดตัดแกน $x$ อีกจุด หนึ่งในนั้นคือจุดกำเนิด จุดตัดแกน $x$ อีกจุดคืออะไร? ป้อนคำตอบของคุณเป็นคู่ลำดับ | \boxed{\left(\tfrac{15}{4},0\right)}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{4}{7} \cdots \frac{49}{52} \cdot \frac{50}{53}$. เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สังเกตว่าตั้งแต่ $\frac{4}{7}$ ถึง $\frac{50}{53}$ ตัวเศษของแต่ละเศษส่วนจะตัดกันกับตัวส่วนของเศษส่วนสามเทอมก่อนหน้า ดังนั้นผลคูณจะ सरล์ตัดเป็น \[\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{51\cdot 52\cdot 53 }= \boxed{\frac{1}{23426}}.\] | \frac{1}{23426} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = ax^7 + bx^3 + cx - 5.$ ถ้า $f(-7) = 7,$ จงหา $f(7).$ | สังเกตว่า
\begin{align*}
f(x) + f(-x) &= (ax^7 + bx^3 + cx - 5) + (a(-x)^7 + b(-x)^3 + c(-x) - 5) \\
&= (ax^7 + bx^3 + cx - 5) + (-ax^7 - bx^3 - cx - 5) \\
&= -10.
\end{align*}โดยเฉพาะ $f(7) + f(-7) = -10,$ ดังนั้น $f(7) = -10 - f(-7) = \boxed{-17}.$ | f(7) = -10 - f(-7) = \boxed{-17}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $(x, y)$ เป็นคำตอบของระบบสมการ \[\begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \{y\} &= 2.4, \\ \{x\} + \lfloor y \rfloor &= 5.1. \end{aligned} \] จงคำนวณ $|x - y|.$ | พิจารณาสมการแรก \[\lfloor x \rfloor + \{y\} = 2.4.\] เนื่องจาก $\lfloor x \rfloor$ เป็นจำนวนเต็ม ในขณะที่ $0 \le \{y\} < 1$ ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $\lfloor x \rfloor = 2$ และ $\{y\} = 0.4.$ เช่นเดียวกัน จากสมการที่สอง เราได้ $\{x\} = 0.1$ และ $\lfloor y \rfloor = 5.$ ดังนั้น \[x = \lfloor x \rfloor + \{x\} = 2.1 \]และ \[y = \lfloor y \rfloor + \{y\} = 5.4,\] ดังนั้น $|x-y| = |2.1-5.4| = \boxed{3.3}.$ | |x-y| = |2.1-5.4| = \boxed{3.3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}}.\] | ก่อนอื่น เราสามารถแยกตัวประกอบของส่วนได้:
\[1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1} = (1 + 2^n) + 2^{n + 1} (1 + 2^n) = (1 + 2^n)(1 + 2^{n + 1}).\]จากนั้นเราสามารถเขียนตัวเศษ $2^n$ เป็น $(1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n) = 2^n,$ ดังนั้น
\[\frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}} = \frac{(1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n)}{(1 + 2^n)(1 + 2^{n + 1})} = \frac{1}{1 + 2^n} - \frac{1}{1 + 2^{n + 1}}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}} &= \left( \frac{1}{1 + 2} - \frac{1}{1 + 2^2} \right) + \left( \frac{1}{1 + 2^2} - \frac{1}{1 + 2^3} \right) + \left( \frac{1}{1 + 2^3} - \frac{1}{1 + 2^4} \right) + \dotsb \\
&= \boxed{\frac{1}{3}}.
\end{align*} | (1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n) = 2^n, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $1 \le a \le b \le c \le 4.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[(a - 1)^2 + \left( \frac{b}{a} - 1 \right)^2 + \left( \frac{c}{b} - 1 \right)^2 + \left( \frac{4}{c} - 1 \right)^2.\] | โดยอสมการ QM-AM,
\begin{align*}
\sqrt{\frac{(a - 1)^2 + (\frac{b}{a} - 1)^2 + (\frac{c}{b} - 1)^2 + (\frac{4}{c} - 1)^2}{4}} &\ge \frac{(a - 1) + (\frac{b}{a} - 1) + (\frac{c}{b} - 1) + (\frac{4}{c} - 1)}{4} \\
&= \frac{a + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{4}{c} - 4}{4}.
\end{align*}โดยอสมการ AM-GM,
\[a + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{4}{c} \ge 4 \sqrt[4]{4} = 4 \sqrt{2},\]ดังนั้น
\[\sqrt{\frac{(a - 1)^2 + (\frac{b}{a} - 1)^2 + (\frac{c}{b} - 1)^2 + (\frac{4}{c} - 1)^2}{4}} \ge \sqrt{2} - 1,\]และ
\[(a - 1)^2 + \left( \frac{b}{a} - 1 \right)^2 + \left( \frac{c}{b} - 1 \right)^2 + \left( \frac{4}{c} - 1 \right)^2 \ge 4 (\sqrt{2} - 1)^2 = 12 - 8 \sqrt{2}.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = \sqrt{2},$ $b = 2,$ และ $c = 2 \sqrt{2},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{12 - 8 \sqrt{2}}.$ | \boxed{12 - 8 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก และให้ $a_0, a_1, \dots , a_m$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_0 = 37$, $a_1 = 72$, $a_m=0$, และ $$ a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k} $$สำหรับ $k = 1,
2, \dots, m-1$. จงหาค่า $m$. | เราเขียนการถดถอยที่กำหนดใหม่เป็น \[a_ka_{k+1} = a_{k-1}a_k - 3.\]สิ่งนี้บ่งบอกว่าจำนวน $a_0a_1, a_1a_2, a_2a_3, \ldots$ รูปแบบลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ $-3$ เราได้ $a_0a_1 = 37 \cdot 72$ และ $a_{m-1}a_m = 0$ (เพราะ $a_m = 0$) เนื่องจากสองพจน์นี้ห่างกัน $m-1$ พจน์ เราได้ \[a_{m-1}a_m - a_0a_1 = 0 - 37 \cdot 72 = -3 (m-1),\]ดังนั้น \[m = 37 \cdot 24 + 1 = \boxed{889}.\] | m-1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
\[\frac{xy}{x^2 + y^2}\]ในโดเมน $\frac{2}{5} \le x \le \frac{1}{2}$ และ $\frac{1}{3} \le y \le \frac{3}{8}.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{\frac{x^2 + y^2}{xy}} = \frac{1}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}.\]ให้ $t = \frac{x}{y},$ ดังนั้น $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = t + \frac{1}{t}.$ เราต้องการเพิ่มค่าของตัวส่วนนี้
ให้
\[f(t) = t + \frac{1}{t}.\]สมมติว่า $0 < t < u.$ แล้ว
\begin{align*}
f(u) - f(t) &= u + \frac{1}{u} - t - \frac{1}{t} \\
&= u - t + \frac{1}{u} - \frac{1}{t} \\
&= u - t + \frac{t - u}{tu} \\
&= (u - t) \left( 1 - \frac{1}{tu} \right) \\
&= \frac{(u - t)(tu - 1)}{tu}.
\end{align*}นั่นหมายความว่าถ้า $1 \le t < u,$ แล้ว
\[f(u) - f(t) = \frac{(u - t)(tu - 1)}{tu} > 0,\]ดังนั้น $f(u) > f(t).$ ดังนั้น $f(t)$ เพิ่มขึ้นบนช่วง $[1,\infty).$
ในทางกลับกัน ถ้า $0 \le t < u \le 1,$ แล้ว
\[f(u) - f(t) = \frac{(u - t)(tu - 1)}{tu} < 0,\]ดังนั้น $f(u) < f(t).$ ดังนั้น $f(t)$ ลดลงบนช่วง $(0,1].$
ดังนั้น เพื่อเพิ่มค่าของ $t + \frac{1}{t} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x},$ เราควรดูที่ค่าสุดขั้วของ $\frac{x}{y},$ นั่นคือค่าต่ำสุดและสูงสุด
ค่าต่ำสุดเกิดขึ้นที่ $x = \frac{2}{5}$ และ $y = \frac{3}{8}.$ สำหรับค่าเหล่านี้,
\[\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{240}{481}.\]ค่าสูงสุดเกิดขึ้นที่ $x = \frac{1}{2}$ และ $y = \frac{1}{3}.$ สำหรับค่าเหล่านี้,
\[\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{6}{13}.\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{6}{13}}.$ | \boxed{\frac{6}{13}}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2 - 6x.$ | จงจำไว้ว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน การเติมกำลังสองบน $x$ เราได้
\[y = -3(x + 1)^2 + 3.\]เพื่อให้พีชคณิตง่ายขึ้น เราสามารถหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2$ เลื่อนพาราโบลาไปทางซ้าย 1 หน่วยเพื่อให้ได้ $y = -3(x + 1)^2$ และจากนั้นเลื่อนขึ้น 3 หน่วยเพื่อหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3(x + 1)^2 + 3.$
เนื่องจากพาราโบลา $y = -3x^2$ สมมาตรรอบแกน $y$ จุดโฟกัสอยู่ที่จุดที่มีรูปแบบ $(0,f).$ ให้ $y = d$ เป็นสมการของไดเร็คทริกซ์
[asy]
unitsize(1.5 cm);
pair F, P, Q;
F = (0,-1/4);
P = (1,-1);
Q = (1,1/4);
real parab (real x) {
return(-x^2);
}
draw(graph(parab,-1.5,1.5),red);
draw((-1.5,1/4)--(1.5,1/4),dashed);
draw(P--F);
draw(P--Q);
dot("$F$", F, SW);
dot("$P$", P, E);
dot("$Q$", Q, N);
[/asy]
ให้ $(x,-3x^2)$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y = -3x^2.$ จากนั้น
\[PF^2 = x^2 + (-3x^2 - f)^2\]และ $PQ^2 = (-3x^2 - d)^2.$ ดังนั้น,
\[x^2 + (-3x^2 - f)^2 = (-3x^2 - d)^2.\]ขยาย, เราได้
\[x^2 + 9x^4 + 6fx^2 + f^2 = 9x^4 + 6dx^2 + d^2.\]จับสัมประสิทธิ์ให้ตรงกัน, เราได้
\begin{align*}
1 + 6f &= 6d, \\
f^2 &= d^2.
\end{align*}จากสมการแรก, $d - f = \frac{1}{6}.$ เนื่องจาก $f^2 = d^2,$ $f = d$ หรือ $f = -d.$ เราไม่สามารถมี $f = d$ ได้ ดังนั้น $f = -d.$ จากนั้น $-2f = \frac{1}{6},$ ดังนั้น $f = -\frac{1}{12}.$
ดังนั้น จุดโฟกัสของ $y = -3x^2$ คือ $\left( 0, -\frac{1}{12} \right),$ และจุดโฟกัสของ $y = -3(x + 1)^2$ คือ $\left( -1, -\frac{1}{12} \right),$ ดังนั้น จุดโฟกัสของ $y = -3(x - 1)^2 + 3$ คือ $\boxed{\left( -1, \frac{35}{12} \right)}.$ | \boxed{\left( -1, \frac{35}{12} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าเส้นตรง $2y - 2a = 6x$ และ $y + 1 = (a + 6)x$ ขนานกัน จงหาค่าของ $a$ | เมื่อจัดสมการเส้นตรงแรกให้อยู่ในรูป $y = mx + c$ จะได้ $y = 3x + a$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ 3. ทำนองเดียวกัน สมการเส้นตรงที่สองจะอยู่ในรูป $y = (a + 6)x - 1$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ $a + 6$. เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองขนานกัน ค่าความชันของเส้นตรงทั้งสองจะเท่ากัน: $3 = a + 6 \Rightarrow a = \boxed{-3}$. | 3 = a + 6 \Rightarrow a = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x = 101$ และ $x^3y - 2x^2y + xy = 101000$ จงหาค่าของ $y$ | สังเกตว่าด้านซ้ายมือของสมการที่สองสามารถแยกตัวประกอบได้: $(x^2 - 2x + 1)xy = (x - 1)^2xy = 101000$ กำหนดให้ $x = 101$ ดังนั้น $(101- 1)^2(101)y = 1010000y = 101000$ จะได้ว่า $y = \boxed{\frac{1}{10}}$ | y = \boxed{\frac{1}{10}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าคงที่ $A$, $B$, และ $C$ ที่ทำให้
$$\frac{-x^2+3x-4}{x^3+x}= \frac{A}{x} +\frac{Bx+C}{x^2+1} $$แสดงคำตอบในรูปของสามลำดับ $(A,B,C)$. | โดยการแยกตัวประกอบเศษส่วน,
$$\frac{-x^2+3x-4}{x^3+x}=\frac{-x^2+3x-4}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} +\frac{Bx+C}{x^2+1} $$การคูณด้วย $x(x^2+1)$ จะได้
$$-x^2+3x-4 = (A+B)x^2 +Cx + A.$$โดยการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ เราจะเห็นว่า $A=-4$ และ $C=3.$ จากนั้น $-4+B=-1$ ซึ่งหมายความว่า $B=3$.
ดังนั้น,
$$\frac{-x^2+3x-4}{x^3+x} = \frac{-4}{x}+\frac{3x+3}{x^2+1}.$$และ $(A,B,C) = \boxed{(-4,3,3)}.$ | (A,B,C) = \boxed{(-4,3,3)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริงที่ต่างกัน ซึ่งรากของสมการ $x^2 - 10ax - 11b = 0$ คือ $c$ และ $d$ และรากของสมการ $x^2 - 10cx - 11d = 0$ คือ $a$ และ $b$ จงหาค่าของ $a + b + c + d$ | โดยสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
c + d &= 10a, \\
cd &= -11b, \\
a + b &= 10c, \\
ab &= -11d.
\end{align*}จากสมการแรก,
\[d = 10a - c.\]จากสมการที่สาม,
\[b = 10c - a.\]แทนค่าลงในสมการที่สองและสี่ ได้
\begin{align*}
c(10a - c) &= -11(10c - a), \\
a(10c - a) &= -11(10a - c).
\end{align*}กระจายสมการได้
\begin{align*}
10ac - c^2 &= -110c + 11a, \\
10ac - a^2 &= -110a + 11c.
\end{align*}ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน ได้
\[a^2 - c^2 = 121a - 121c,\]ดังนั้น $(a + c)(a - c) = 121(a - c).$ เนื่องจาก $a$ และ $c$ เป็นจำนวนที่ต่างกัน เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $a - c$ ได้
\[a + c = 121.\]ดังนั้น $a + b + c + d = 10c + 10a = 10(a + c) = \boxed{1210}.$ | a + b + c + d = 10c + 10a = 10(a + c) = \boxed{1210}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สัมประสิทธิ์ของพหุนาม
\[x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\]เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด ให้ $n$ เป็นจำนวนรากจำนวนเต็มของพหุนาม นับ multiplicity ตัวอย่างเช่น พหุนาม $(x + 3)^2 (x^2 + 4x + 11) = 0$ มีรากจำนวนเต็ม 2 ราก นับ multiplicity เพราะราก $-3$ ถูกนับ 2 ครั้ง
ใส่มูลค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $n$ ที่คั่นด้วยจุลภาค | พหุนาม $x^4 + 1 = 0$ แสดงว่า $n$ สามารถเป็น 0
พหุนาม $x(x^3 + 2)$ แสดงว่า $n$ สามารถเป็น 1.
พหุนาม $x^2 (x^2 + 1)$ แสดงว่า $n$ สามารถเป็น 2.
พหุนาม $x^4$ แสดงว่า $n$ สามารถเป็น 4.
สมมติว่าพหุนามมีรากจำนวนเต็ม 3 ราก ตามสูตรของ Vieta ผลรวมของรากเป็น $-b$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นรากที่สี่ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีรากจำนวนเต็มเพียง 3 ราก
ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $n$ คือ $\boxed{0, 1, 2, 4}.$ | \boxed{0, 1, 2, 4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $\frac{1}{x+1} + \frac{3}{x+7} \ge \frac23.$ (แสดงคำตอบในรูปของช่วง) | ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายมือ เราได้ \[\frac{1}{x+1} + \frac{3}{x+7} -\frac23 \ge 0.\]เพื่อแก้สมการนี้ เราหาตัวหารร่วม: \[\frac{3(x+7) + 3 \cdot 3(x+1) - 2(x+1)(x+7)}{3(x+1)(x+7)} \ge 0,\]ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น \[-\frac{2(x+4)(x-2)}{3(x+1)(x+7)} \ge 0.\]ดังนั้น เราต้องการค่าของ $x$ ที่ทำให้ \[f(x) = \frac{(x+4)(x-2)}{(x+1)(x+7)} \le 0.\]เพื่อทำเช่นนั้น เราสร้างตารางเครื่องหมายดังนี้: \begin{tabular}{c|cccc|c} &$x+4$ &$x-2$ &$x+1$ &$x+7$ &$f(x)$ \\ \hline$x<-7$ &$-$&$-$&$-$&$-$&$+$\\ [.1cm]$-7<x<-4$ &$-$&$-$&$-$&$+$&$-$\\ [.1cm]$-4<x<-1$ &$+$&$-$&$-$&$+$&$+$\\ [.1cm]$-1<x<2$ &$+$&$-$&$+$&$+$&$-$\\ [.1cm]$x>2$ &$+$&$+$&$+$&$+$&$+$\\ [.1cm]\end{tabular}เนื่องจากอสมการ $f(x) \le 0$ ไม่เข้มงวด เราต้องรวมค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(x) = 0$ ด้วย ซึ่งคือ $x=-4$ และ $x=2.$ รวมทุกอย่างเข้าด้วยกัน สoluzione ของอสมการคือ \[x \in \boxed{(-7, -4] \cup (-1, 2]}.\] | x ∈ (-7, -4] ∪ (-1, 2] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงรี $x^2+4y^2=4$ และไฮเปอร์โบลา $x^2-m(y+2)^2 = 1$ สัมผัสกัน จงหาค่า $m$ | เราพยายามที่จะแก้สมการ $x^2+4y^2=4$ และ $x^2-m(y+2)^2=1$ พร้อมกัน เพื่อกำจัด $x$ เราสามารถลบสมการที่สองจากสมการแรกได้ ซึ่งจะได้ \[4y^2 + m(y+2)^2 = 3,\]หรือ \[(m+4)y^2 + (4m) y + (4m-3) = 0.\]เพื่อที่วงรีและไฮเปอร์โบลาจะสัมผัสกัน สมการนี้ต้องมีคำตอบสำหรับ $y$ เพียงคำตอบเดียว ดังนั้น เงื่อนไขจำเป็นต้องเป็นศูนย์: \[(4m)^2 - 4(m+4)(4m-3) = 0,\]ซึ่งจะ सरุปเป็น \[48 - 52m = 0.\]ดังนั้น $m = \boxed{\frac{12}{13}}.$[asy]
size(8cm);
void axes(real x0, real x1, real y0, real y1)
{
draw((x0,0)--(x1,0),EndArrow);
draw((0,y0)--(0,y1),EndArrow);
label("$x$",(x1,0),E);
label("$y$",(0,y1),N);
for (int i=floor(x0)+1; i<x1; ++i)
draw((i,.1)--(i,-.1));
for (int i=floor(y0)+1; i<y1; ++i)
draw((.1,i)--(-.1,i));
}
path[] yh(real a, real b, real h, real k, real x0, real x1, bool draw)
{
real f(real x) { return k + a / b * sqrt(1 + (x-h)^2); }
real g(real x) { return k - a / b * sqrt(1 + (x-h)^2); }
path [] arr = {graph(f, x0, x1), graph(g, x0, x1)};
if (draw) for (path p : arr) { draw(p, Arrows); }
return arr;
}
void xh(real a, real b, real h, real k, real y0, real y1)
{
path [] arr = yh(a, b, k, h, y0, y1, false);
for (path p : arr) { draw(reflect((0,0),(1,1))*p, Arrows); }
}
void e(real a, real b, real h, real k)
{
draw(shift((h,k))*scale(a,b)*unitcircle);
}
axes(-4, 4, -5, 3);
e(2,1,0,0);
xh(1,sqrt(13/12),0,-2,-4,1.5);
[/asy] | $ rac{12}{13}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.