question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
วงรี $x^2+4y^2=4$ และไฮเพอร์โบลา $x^2-m(y+2)^2 = 1$ สัมผัสกัน จงหาค่าของ $m$ | เราพยายามแก้สมการ $x^2+4y^2=4$ และ $x^2-m(y+2)^2=1$ พร้อมกัน เพื่อกำจัด $x$ เราสามารถลบสมการที่สองจากสมการแรกได้ ซึ่งจะได้ \[4y^2 + m(y+2)^2 = 3,\]หรือ \[(m+4)y^2 + (4m) y + (4m-3) = 0.\]เพื่อให้วงรีและไฮเพอร์โบลาสัมผัสกัน สมการนี้ต้องมีคำตอบสำหรับ $y$ เพียงคำตอบเดียว ดังนั้น เงื่อนไขจำเป็นต้องเป็นศูนย์: \[(4m)^2 - 4(m+4)(4m-3) = 0,\]ซึ่งจะทำให้ได้ \[48 - 52m = 0.\]ดังนั้น $m = \boxed{\frac{12}{13}}.$[asy]
size(8cm);
void axes(real x0, real x1, real y0, real y1)
{
draw((x0,0)--(x1,0),EndArrow);
draw((0,y0)--(0,y1),EndArrow);
label("$x$",(x1,0),E);
label("$y$",(0,y1),N);
for (int i=floor(x0)+1; i<x1; ++i)
draw((i,.1)--(i,-.1));
for (int i=floor(y0)+1; i<y1; ++i)
draw((.1,i)--(-.1,i));
}
path[] yh(real a, real b, real h, real k, real x0, real x1, bool draw)
{
real f(real x) { return k + a / b * sqrt(1 + (x-h)^2); }
real g(real x) { return k - a / b * sqrt(1 + (x-h)^2); }
path [] arr = {graph(f, x0, x1), graph(g, x0, x1)};
if (draw) for (path p : arr) { draw(p, Arrows); }
return arr;
}
void xh(real a, real b, real h, real k, real y0, real y1)
{
path [] arr = yh(a, b, k, h, y0, y1, false);
for (path p : arr) { draw(reflect((0,0),(1,1))*p, Arrows); }
}
void e(real a, real b, real h, real k)
{
draw(shift((h,k))*scale(a,b)*unitcircle);
}
axes(-4, 4, -5, 3);
e(2,1,0,0);
xh(1,sqrt(13/12),0,-2,-4,1.5);
[/asy] | y | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $(1 + i)^4.$ | เรามีว่า
\[(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i,\]ดังนั้น $(1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}.$ | (1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนจริงบวก $x$ ที่สอดคล้องกับ \[
\sqrt[3]{1-x^3} + \sqrt[3]{1+x^3} = 1.
\]จงหาค่าของ $x^6.$ | ยกกำลังสามของสมการที่กำหนดให้ จะได้ \[
1 = (1-x^3) + 3\sqrt[3]{(1-x^3)(1+x^3)}\left(\sqrt[3]{1-x^3} + \sqrt[3]{1+x^3}\right) + (1+x^3) = 2 + 3\sqrt[3]{1-x^6}.
\]ดังนั้น $\frac{-1}{3} = \sqrt[3]{1-x^6},$ ดังนั้น $\frac{-1}{27} = 1-x^6$ และ $x^6 = \boxed{\frac{28}{27}}.$ | x^6 = \boxed{\frac{28}{27}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $2005$ แต่ละพจน์ถัดมาเป็นผลรวมของเลขยกกำลังสามของหลักของพจน์ก่อนหน้า พจน์ที่ ${2005}^{\text{th}}$ ของลำดับนี้คือเท่าใด? | พจน์ไม่กี่พจน์แรกของลำดับคือ
\[2005, 133, 55, 250, 133.\]เนื่องจากแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าเท่านั้น และพจน์ที่ห้าตรงกับพจน์ที่สอง ลำดับจะกลายเป็นคาบ มีคาบ 3
ดังนั้น พจน์ที่ 2005 เท่ากับพจน์ที่ 4 ซึ่งคือ $\boxed{250}.$ | \boxed{250}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $x + y + z = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.\] | โดย AM-HM,
\[\frac{x + y + z}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}.\]ดังนั้น,
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x + y + z} = 9.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = \frac{1}{3},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{9}.$ | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ
\[f(x + f(y)) = x + y\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | กำหนดให้ $x = -f(y),$ เราได้
\[f(0) = -f(y) + y,\]ดังนั้น $f(y) = y - f(0)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จากนั้นสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดจะกลายเป็น
\[f(x + y - f(0)) = x + y,\]หรือ $x + y - f(0) - f(0) = x + y$ ดังนั้น $f(0) = 0,$ ดังนั้น $f(x) = x$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดให้ จึงมีคำตอบ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โดยการแยกตัวประกอบเศษส่วน
\[\frac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{x + 3} + \frac{E}{x + 4}\]สำหรับค่าคงที่บางค่า $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ และ $E.$ จงหา $A + B + C + D + E.$ | ลบส่วนของเศษส่วนออก เราจะได้
\begin{align*}
1 &= A(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Bx(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Cx(x + 1)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Dx(x + 1)(x + 2)(x + 4) \\
&\quad + Ex(x + 1)(x + 2)(x + 3).
\end{align*}เราสามารถใช้เทคนิคทั่วไปในการแก้หาค่าคงที่แต่ละตัว หรือเราสามารถสังเกตว่าทั้งสองข้างของสมการแทนด้วยพหุนามเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าพหุนามทางด้านขวาต้องลดรูปเป็น 1 นอกจากนี้ $A + B + C + D + E$ คือสัมประสิทธิ์ของ $x^4$ ทางด้านขวามือ ดังนั้น $A + B + C + D + E = \boxed{0}.$ | A + B + C + D + E = \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[f(a,b) = \left\{
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{array}{cl}
\dfrac{ab - a + 2}{2a} & \text{ถ้า $a + b \le 3$}, \\
\dfrac{ab - b - 2}{-2b} & \text{ถ้า $a + b > 3$}.
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\right.\]จงหาค่าของ $f(2,1) + f(2,4).$ | เราได้ว่า
\[f(2,1) = \frac{2 \cdot 1 - 2 + 2}{4} = \frac{1}{2},\]และ
\[f(2,4) = \frac{2 \cdot 4 - 4 - 2}{-8} = -\frac{1}{4},\]ดังนั้น $f(2,1) + f(4,2) = \boxed{\frac{1}{4}}.$ | f(2,1) + f(4,2) = \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
แก้อสมการ
\[\frac{x}{x + 3} \ge 0.\]แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | เราสามารถสร้างแผนภูมิเครื่องหมายได้ดังนี้:
\[
\begin{array}{c|ccc}
& x < -3 & -3 < x < 0 & 0 < x \\ \hline
x + 3 & - & + & + \\
x & - & - & + \\
\frac{x}{x + 3} & + & - & +
\end{array}
\]นอกจากนี้ $\frac{x}{x + 3} = 0$ สำหรับ $x = 0.$
ดังนั้นคำตอบคือ $x \in \boxed{(-\infty,-3) \cup [0,\infty)}.$ | x \in \boxed{(-\infty,-3) \cup [0,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ประเภทของภาคตัดกรวยที่อธิบายโดยสมการ \[(x+5)^2 = (4y-3)^2 - 140?\]พิมพ์ "C" สำหรับวงกลม "P" สำหรับพาราโบลา "E" สำหรับวงรี "H" สำหรับไฮเปอร์โบลา และ "N" สำหรับไม่มีข้อใดข้างต้น | ถ้าเราขยายสมการที่กำหนดและย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้ายมือ เราจะมีพจน์ $x^2$ และพจน์ $-16y^2$ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2$ และ $y^2$ มีเครื่องหมายตรงข้าม ภาคตัดกรวยนี้ต้องเป็น $\boxed{(\text{H})}$ ไฮเปอร์โบลา | \boxed{(\text{H})} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามกำลังสอง $p(x)$ ที่สอดคล้องกับ $p(-3) = 10,$ $p(0) = 1,$ และ $p(2) = 5.$ | ให้ $p(x) = ax^2 + bx + c.$ จากข้อมูลที่กำหนดให้,
\begin{align*}
9a - 3b + c &= 10, \\
c &= 1, \\
4a + 2b + c &= 5.
\end{align*}ดังนั้น $9a - 3b = 9$ และ $4a + 2b = 4,$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $3a - b = 3$ และ $2a + b = 2.$ บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ $5a = 5$ ดังนั้น $a = 1.$ จากนั้น $4 + 2b = 4$ ดังนั้น $b = 0.$ ดังนั้น $p(x) = \boxed{x^2 + 1}.$ | p(x) = \boxed{x^2 + 1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r$ เป็นคำตอบจริงบวกของสมการ $x^3 + \frac{2}{5} x - 1 = 0.$ จงหาค่าของ
\[r^2 + 2r^5 + 3r^8 + 4r^{11} + \dotsb.\] | กำหนดให้ $S = r^2 + 2r^5 + 3r^8 + 4r^{11} + \dotsb.$ แล้ว
\[r^3 S = r^5 + 2r^8 + 3r^{11} + 4r^{13} + \dotsb.\]ลบสมการนี้จาก $S = r^2 + 2r^5 + 3r^8 + 4r^{11} + \dotsb,$ เราได้
\[S (1 - r^3) = r^2 + r^5 + r^8 + r^{11} + \dotsb = \frac{r^2}{1 - r^3}.\]ดังนั้น,
\[S = \frac{r^2}{(1 - r^3)^2}.\]เนื่องจาก $r^3 + \frac{2}{5} r - 1 = 0,$ $1 - r^3 = \frac{2}{5} r.$ ดังนั้น,
\[S = \frac{r^2}{\frac{4}{25} r^2} = \boxed{\frac{25}{4}}.\] | 25/4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงพิจารณาบริเวณ $A^{}_{}$ ในระนาบเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยจุด $z^{}_{}$ ทั้งหมดที่ทำให้ทั้ง $\frac{z^{}_{}}{40}$ และ $\frac{40^{}_{}}{\overline{z}}$ มีส่วนจริงและส่วนจินตภาพอยู่ระหว่าง $0^{}_{}$ และ $1^{}_{}$, รวมทั้งสองค่า จงหาพื้นที่ของ $A.$ | ให้ $z = x + yi.$ แล้ว $\frac{z}{40} = \frac{x}{40} + \frac{y}{40} \cdot i,$ ดังนั้น
\[0 \le \frac{x}{40} \le 1\]และ
\[0 \le \frac{y}{40} \le 1.\]กล่าวคือ $0 \le x \le 40$ และ $0 \le y \le 40.$
นอกจากนี้,
\[\frac{40}{\overline{z}} = \frac{40}{x - yi} = \frac{40 (x + yi)}{x^2 + y^2} = \frac{40x}{x^2 + y^2} + \frac{40y}{x^2 + y^2} \cdot i,\]ดังนั้น
\[0 \le \frac{40x}{x^2 + y^2} \le 1\]และ
\[0 \le \frac{40y}{x^2 + y^2} \le 1.\]เนื่องจาก $x \ge 0,$ อสมการแรกเทียบเท่ากับ $40x \le x^2 + y^2.$ ทำการเติมกำลังสอง, เราได้
\[(x - 20)^2 + y^2 \ge 20^2.\]เนื่องจาก $y \ge 0,$ อสมการที่สองเทียบเท่ากับ $40y \le x^2 + y^2.$ ทำการเติมกำลังสอง, เราได้
\[x^2 + (y - 20)^2 \ge 20^2.\]ดังนั้น $A$ คือบริเวณภายในสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอด $0,$ $40,$ $40 + 40i,$ และ $40i,$ แต่ภายนอกวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $20$ และรัศมี $20,$ และภายนอกวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $20i$ และรัศมี $20.$
[asy]
unitsize (0.15 cm);
fill((40,0)--(40,40)--(0,40)--arc((0,20),20,90,0)--arc((20,0),20,90,0)--cycle,gray(0.7));
draw((0,0)--(40,0)--(40,40)--(0,40)--cycle);
draw(arc((20,0),20,0,180));
draw(arc((0,20),20,-90,90));
draw((20,0)--(20,40),dashed);
draw((0,20)--(40,20),dashed);
label("$0$", 0, SW);
label("$40$", (40,0), S);
label("$40 + 40i$", (40,40), NE);
label("$40i$", (0,40), NW);
dot("$20$", (20,0), S);
dot("$20i$", (0,20), W);
[/asy]
เพื่อหาพื้นที่ของ $A,$ เราแบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสี่ส่วน พื้นที่ที่ถูกแรเงาในส่วนบนซ้ายคือ
\[20^2 - \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 20^2 = 400 - 100 \pi.\]พื้นที่ที่ถูกแรเงาในส่วนล่างขวาเป็น $400 - 100 \pi$ เช่นกัน ดังนั้น พื้นที่ของ $A$ คือ
\[2(400 - 100 \pi) + 400 = \boxed{1200 - 200 \pi}.\] | A | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คูณ $(2x^3-5y^2)(4x^6+10x^3y^2+25y^4)$ | ผลคูณที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ในรูป $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ซึ่งเป็นการแยกตัวประกอบของ $a^3-b^3$ เมื่อ $a=2x^3$ และ $b=5y^2$ ดังนั้น นิพจน์สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6}$ | a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[b^2 f(a) = a^2 f(b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ ทั้งหมด ถ้า $f(2) \neq 0$ จงหา
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)}.\] | กำหนด $a = 5$ และ $b = 2$ เราได้
\[4f(5) = 25f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(5)}{f(2)} = \frac{25}{4}.$
กำหนด $a = 1$ และ $b = 2$ เราได้
\[4f(1) = f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(1)}{f(2)} = \frac{1}{4}.$ ดังนั้น
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = \boxed{6}.\] | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง จงคำนวณค่าจำนวนเต็มสูงสุดของ
\[\frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}.\] | ראשית, เราสามารถเขียนได้
\[\frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7} = \frac{(3x^2 + 9x + 7) + 10}{3x^2 + 9x + 7} = 1 + \frac{10}{3x^2 + 9x + 7}.\]ดังนั้น เราต้องการลดค่า $3x^2 + 9x + 7$ ลงให้น้อยที่สุด
การเติมกำลังสอง เราได้
\[3x^2 + 9x + 7 = 3 \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{1}{4},\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $3x^2 + 9x + 7$ คือ $\frac{1}{4}.$
ดังนั้น ค่าจำนวนเต็มสูงสุดของ
\[1 + \frac{10}{3x^2 + 9x + 7}\]คือ $1 + \frac{10}{1/4} = \boxed{41}.$ | 1 + \frac{10}{1/4} = \boxed{41}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกสองจำนวน ซึ่ง $x + y = 35.$ จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ที่ทำให้ $x^5 y^2$ มีค่ามากที่สุด | โดย AM-GM,
\begin{align*}
x + y &= \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \\
&\ge 7 \sqrt[7]{\left( \frac{x}{5} \right)^5 \left( \frac{y}{2} \right)^2} \\
&= 7 \sqrt[7]{\frac{x^5 y^2}{5^5 \cdot 2^2}}.
\end{align*}เนื่องจาก $x + y = 35,$ เราจะได้
\[x^5 y^2 \le 5^7 \cdot 5^5 \cdot 2^2,\]และสมการเกิดขึ้นเมื่อ $x + y = 35$ และ $\frac{x}{5} = \frac{y}{2}.$ เราสามารถแก้สมการได้ $(x,y) = \boxed{(25,10)}.$ | (x,y) = \boxed{(25,10)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง และ $k$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ เรารู้ว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม $\binom{x}{k}$ นิยามโดยสูตร
\[
\binom{x}{k} = \frac{x(x - 1)(x - 2) \dots (x - k + 1)}{k!} \, .
\]จงคำนวณค่าของ
\[
\frac{\binom{1/2}{2014} \cdot 4^{2014}}{\binom{4028}{2014}} \, .
\] | $$\begin{aligned} \binom{1/2}{2014} &= \frac{(1/2)(1/2-1)(1/2-2)\dotsm(1/2-2014+1)}{2014!} \\
&= \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)\dotsm(-4025/2)}{2014!} \\
&= \frac{(-1)(-3)\dotsm(-4025)}{(2014!)2^{2014}} \\
&= -\frac{(1)(3)\dotsm(4025)}{(2014!)2^{2014}} \cdot \frac{2\cdot4\cdot6\cdot\dots\cdot 4026}{2\cdot4\cdot6\cdot\dots\cdot 4026} \\
&= -\frac{4026!} {(2014!)2^{2014+2013}(2013!)} \\
\end{aligned}$$ดังนั้น
$$\begin{aligned} \frac{\binom{1/2}{2014}\cdot 4^{2014}}{{4028 \choose 2014}} &= -\frac{4026!\cdot 4^{2014}} {(2014!)2^{2014+2013}(2013!){4028 \choose 2014}} \\
&= -\frac{4026!\cdot 2^{4028}(2014!)(2014!)} {(2014!)2^{4027}(2013!)(4028!)} \\
&= \boxed{-\frac{1} { 4027}}. \\
\end{aligned}$$ | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] | |
เส้นกำเอียงเฉียงของนิพจน์เชิงตรรกยะ $y = \frac{2x^2 + 3x - 7}{x-3}$ คือเส้นตรงที่กราฟของสมการนี้เข้าใกล้เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $\infty$ หรือ $-\infty$. ถ้าเส้นตรงนี้มีรูปแบบ $y = mx + b$ จงหา $m+b$. | เพื่อแก้ปัญหานี้ เราสามารถใช้การหารยาวหรือการหารสังเคราะห์เพื่อประเมินผลหารของนิพจน์เชิงตรรกยะที่กำหนด หรือเราสามารถเขียนตัวเศษใหม่เป็น $2x^2 + 3x - 7$ $ = 2x^2 + 3x - 7 - 9x + 9x$ $ = 2x(x-3) + 9x - 7 - 20 + 20$ $ = 2x(x-3) + 9(x-3) + 20$. ดังนั้น $$y = \frac{2x^2 + 3x - 7}{x-3} = \frac{(2x+9)(x-3) + 20}{x-3} = 2x+9 +\frac{20}{x-3}.$$เมื่อ $x$ เข้าใกล้ 无限 หรือ ลบ 无限 ค่าของเศษส่วนจะเข้าใกล้ $0$ และ $y$ จะเข้าใกล้ $2x + 9$. ดังนั้น $m+b = \boxed{11}.$ [asy]
import graph; size(7cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-27.84,xmax=46.9,ymin=-33.28,ymax=45.43;
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis(xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=20.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis(ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=20.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); real f1(real x){return (2*x^2+3*x-7)/(x-3);} draw(graph(f1,-27.83,2.99),linewidth(1)); draw(graph(f1,3.01,46.89),linewidth(1)); draw((xmin,2*xmin+9)--(xmax,2*xmax+9), linetype("2 2"));
label("$y = \frac{2x^2 + 3x - 7}{x - 3}$",(5.67,-27.99),NE*lsf); label("$y = 2x + 9$",(18.43,35.5),NE*lsf);
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] | 11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(1) = 1$ และ
\[f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right),$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s.$ | กำหนดให้ $y = 0,$ เราได้
\[f(f(x)) = xf(0) + f(x)\]สำหรับ $x$ ทั้งหมด. โดยเฉพาะ $f(f(0)) = f(0).$
กำหนดให้ $x = f(0)$ และ $y = 0,$ เราได้
\[f(f(f(0))) = f(0)^2 + f(f(0)).\]สังเกตว่า $f(f(f(0))) = f(f(0)) = f(0)$ และ $f(f(0)) = f(0),$ ดังนั้น $f(0) = f(0)^2 + f(0).$ จากนั้น $f(0)^2 = 0,$ ดังนั้น $f(0) = 0.$ ดังนั้น
\[f(f(x)) = f(x)\]สำหรับ $x$ ทั้งหมด.
กำหนดให้ $x = 1$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดให้, เราได้
\[f(y + 1) = f(y) + 1\]สำหรับ $y$ ทั้งหมด. แทนที่ $y$ ด้วย $f(x),$ เราได้
\[f(f(x) + 1) = f(f(x)) + 1 = f(x) + 1.\]สำหรับ $x$ ที่ไม่เท่ากับ 0, กำหนดให้ $y = \frac{1}{x}$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดให้. จากนั้น
\[f(1 + f(x)) = x f \left( \frac{1}{x} \right) + f(x).\]จากนั้น $x f \left( \frac{1}{x} \right) + f(x) = f(x) + 1,$ ดังนั้น $xf \left( \frac{1}{x} \right) = 1,$ ซึ่งหมายความว่า
\[f \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x}\]สำหรับ $x$ ทั้งหมดที่ไม่เท่ากับ 0.
เราสรุปได้ว่า $f(x) = x$ สำหรับ $x$ ทั้งหมด. ดังนั้น $n = 1$ และ $s = \frac{1}{2},$ ดังนั้น $n \times s = \boxed{\frac{1}{2}}.$ | n \times s = \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2 - 6x.$ | จงจำไว้ว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของทุกจุดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน โดยการเติมกำลังสองบน $x,$ เราได้
\[y = -3(x + 1)^2 + 3.\]เพื่อให้พีชคณิตง่ายขึ้น เราสามารถหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2,$ เลื่อนพาราโบลาไปทางซ้าย 1 หน่วยเพื่อให้ได้ $y = -3(x + 1)^2,$ และจากนั้นเลื่อนขึ้น 3 หน่วยเพื่อหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3(x + 1)^2 + 3.$
เนื่องจากพาราโบลา $y = -3x^2$ สมมาตรรอบแกน $y,$ จุดโฟกัสอยู่ที่จุดที่มีรูปแบบ $(0,f).$ ให้ $y = d$ เป็นสมการของไดเร็คทริกซ์.
[asy]
unitsize(1.5 cm);
pair F, P, Q;
F = (0,-1/4);
P = (1,-1);
Q = (1,1/4);
real parab (real x) {
return(-x^2);
}
draw(graph(parab,-1.5,1.5),red);
draw((-1.5,1/4)--(1.5,1/4),dashed);
draw(P--F);
draw(P--Q);
dot("$F$", F, SW);
dot("$P$", P, E);
dot("$Q$", Q, N);
[/asy]
ให้ $(x,-3x^2)$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y = -3x^2.$ จากนั้น
\[PF^2 = x^2 + (-3x^2 - f)^2\]และ $PQ^2 = (-3x^2 - d)^2.$ ดังนั้น,
\[x^2 + (-3x^2 - f)^2 = (-3x^2 - d)^2.\]ขยาย, เราได้
\[x^2 + 9x^4 + 6fx^2 + f^2 = 9x^4 + 6dx^2 + d^2.\]จับสัมประสิทธิ์ให้ตรงกัน, เราได้
\begin{align*}
1 + 6f &= 6d, \\
f^2 &= d^2.
\end{align*}จากสมการแรก, $d - f = \frac{1}{6}.$ เนื่องจาก $f^2 = d^2,$ $f = d$ หรือ $f = -d.$ เราไม่สามารถมี $f = d$ ได้, ดังนั้น $f = -d.$ จากนั้น $-2f = \frac{1}{6},$ ดังนั้น $f = -\frac{1}{12}.$
ดังนั้น, จุดโฟกัสของ $y = -3x^2$ คือ $\left( 0, -\frac{1}{12} \right),$ และจุดโฟกัสของ $y = -3(x + 1)^2$ คือ $\left( -1, -\frac{1}{12} \right),$ ดังนั้นจุดโฟกัสของ $y = -3(x - 1)^2 + 3$ คือ $\boxed{\left( -1, \frac{35}{12} \right)}.$ | \boxed{\left( -1, \frac{35}{12} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \ge 1 + \log_2 \frac{2014}{2015}.\] | ก่อนอื่น
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) = \log_2 \left[ \prod_{k = 0}^n \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \right].\]เราต้องการประเมินค่า
\[(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n})\]ที่ $x = \frac{1}{2}.$ โดยใช้ผลต่างกำลังสอง
\begin{align*}
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n}) &= \frac{1 - x^2}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^4}{1 - x^2} \cdot \frac{1 - x^8}{1 - x^4} \dotsm \frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x^{2^n}} \\
&= \frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x}.
\end{align*}ที่ $x = \frac{1}{2},$
\[\frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{2^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right),\]และ
\[\log_2 \left[ 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right) \right] = \log_2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right) + 1.\]ดังนั้น เราต้องการจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้
\[1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \ge \frac{2014}{2015}.\]เทียบเท่ากับ
\[\frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \le \frac{1}{2015},\]หรือ $2^{2^{n + 1}} \ge 2015.$
สำหรับ $n = 2,$ $2^{2^{n + 1}} = 2^{2^3} = 2^8 = 256,$ และสำหรับ $n = 3,$ $2^{2^{n + 1}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65536,$ ดังนั้น $n$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(xy) = \frac{f(x)}{y}\]สำหรับจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(30) = 20$ จงหา $f(40).$ | กำหนด $x = 30$ และ $y = \frac{4}{3},$ เราได้
\[f(40) = \frac{f(30)}{4/3} = \frac{20}{4/3} = \boxed{15}.\] | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีค่าของ $a$ สองค่า ซึ่งสมการ $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว จงหาผลบวกของค่า $a$ เหล่านี้ | เราสามารถเขียนสมการกำลังสองได้เป็น
\[4x^2 + (a + 8)x + 9 = 0.\]ถ้าสมการกำลังสองมีคำตอบเดียว ดังนั้นตัวเลือกของมันจะต้องเป็นศูนย์:
\[(a + 8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0.\]ขยายนิพจน์ เราจะได้ $a^2 + 16a - 80 = 0.$ โดยใช้สูตรของ Vieta ผลบวกของรากคือ $\boxed{-16}.$ | \boxed{-16}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a + b = 1$ จงหาเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ | โดย AM-HM,
\[\frac{a + b}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.\]ดังนั้น,
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a + b} = 4.\]สมการเป็นจริงเมื่อ $a = b = \frac{1}{2}.$
สังเกตว่าเมื่อ $a$ เข้าใกล้ 0 และ $b$ เข้าใกล้ 1 ค่าของ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ จะมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ คือ $\boxed{[4,\infty)}.$ | \boxed{[4,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จำนวนสามจำนวนแรกสร้างเป็นลำดับเลขคณิต จำนวนสามจำนวนสุดท้ายสร้างเป็นลำดับเรขาคณิต และจำนวนแรกกับจำนวนที่สี่ต่างกัน 30 จงหาผลรวมของสี่จำนวนนั้น | กำหนดให้จำนวนสามจำนวนแรกเป็น $a,$ $a+d,$ และ $a+2d$ โดยที่ $a$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วจำนวนที่สี่คือ $a+30$ เนื่องจากจำนวนสามจำนวนสุดท้ายสร้างเป็นลำดับเรขาคณิต เราได้ \[(a+d)(a+30) = (a+2d)^2,\]หรือ \[a^2 + (30+d) a + 30d = a^2 + 4ad + 4d^2.\]แก้สมการหา $a$ เราได้ \[a = \frac{4d^2-30d}{30-3d} = \frac{2d(2d-15)}{3(10-d)}.\]เนื่องจาก $a$ เป็นจำนวนบวก เราต้องมี $f(d) = \frac{d(2d-15)}{10-d} > 0.$ เราสร้างตารางเครื่องหมายสำหรับนิพจน์นี้: \begin{tabular}{c|ccc|c} &$d$ &$2d-15$ &$-d+10$ &$f(d)$ \\ \hline$d<0$ &$-$&$-$&$+$&$+$\\ [.1cm]$0<d<\frac{15}{2}$ &$+$&$-$&$+$&$-$\\ [.1cm]$\frac{15}{2}<d<10$ &$+$&$+$&$+$&$+$\\ [.1cm]$d>10$ &$+$&$+$&$-$&$-$\\ [.1cm]\end{tabular}เนื่องจาก $d > 0,$ เราต้องมี $\tfrac{15}{2} < d < 10,$ ซึ่งให้ค่าจำนวนเต็มที่เป็นไปได้สองค่าสำหรับ $d$ คือ 8 และ 9 สำหรับ $d=8,$ เราได้ \[a = \frac{2 \cdot 8 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{8}{3},\]ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นเราต้องมี $d=9$ และ \[a = \frac{2 \cdot 9 \cdot 3}{3 \cdot 1} = 18.\]ดังนั้นผลรวมของสี่จำนวนคือ \[a + (a+d) + (a+2d) + (a+30) = 18 + 27 + 36 + 48 = \boxed{129}.\] | 129 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
วงรีมีจุดโฟกัสที่ $F_1 = (0,2)$ และ $F_2 = (3,0).$ วงรีตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่ง จงหาอีกจุดหนึ่งที่วงรีตัดแกน $x$ | ระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดกับ $F_1$ คือ 2 และระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดกับ $F_2$ คือ 3 ดังนั้นทุกจุด $P$ บนวงรีจะต้องสอดคล้องกับ
\[PF_1 + PF_2 = 5.\]ดังนั้น ถ้า $(x,0)$ เป็นจุดตัดของวงรี จะได้
\[\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(x - 3)^2} = 5.\]เราสามารถเขียนได้เป็น
\[\sqrt{x^2 + 4} + |x - 3| = 5.\]ถ้า $x \le 3,$ แล้ว
\[\sqrt{x^2 + 4} + (3 - x) = 5,\]ดังนั้น $\sqrt{x^2 + 4} = x + 2.$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้
\[x^2 + 4 = x^2 + 4x + 4,\]ซึ่งจะนำไปสู่ $x = 0.$ คำตอบนี้สอดคล้องกับจุดกำเนิด
ถ้า $x \ge 3,$ แล้ว
\[\sqrt{x^2 + 4} + (x - 3) = 5,\]ดังนั้น $\sqrt{x^2 + 4} = 8 - x.$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้
\[x^2 + 4 = 64 - 16x + x^2,\]ซึ่งจะนำไปสู่ $x = \frac{15}{4}.$ ดังนั้นอีกจุดหนึ่งที่วงรีตัดแกน $x$ คือ $\boxed{\left( \frac{15}{4}, 0 \right)}.$ | \boxed{\left( \frac{15}{4}, 0 \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x = (2 + \sqrt{3})^{1000},$ ให้ $n = \lfloor x \rfloor,$ และให้ $f = x - n.$ จงหาค่าของ
\[x(1 - f).\] | กำหนดให้ $\alpha = 2 + \sqrt{3}$ และ $\beta = 2 - \sqrt{3}.$ พิจารณาจำนวน
\begin{align*}
N &= \alpha^{1000} + \beta^{1000} \\
&= (2 + \sqrt{3})^{1000} + (2 - \sqrt{3})^{1000} \\
&= 2^{1000} + \binom{1000}{1} 2^{999} (\sqrt{3}) + \binom{1000}{2} 2^{998} (\sqrt{3})^2 + \binom{1000}{3} (\sqrt{3})^3 + \dotsb \\
&\quad + 2^{1000} - \binom{1000}{1} 2^{999} (\sqrt{3}) + \binom{1000}{2} 2^{998} (\sqrt{3})^2 - \binom{1000}{3} (\sqrt{3})^3 + \dotsb.
\end{align*}เมื่อนำ $(2 + \sqrt{3})^{1000}$ และ $(2 - \sqrt{3})^{1000}$ บวกกัน เราจะเห็นว่าพจน์ที่ประกอบด้วย $\sqrt{3}$ จะตัดกันหมด ซึ่งหมายความว่าเราจะเหลือเพียงจำนวนเต็ม
นอกจากนี้
\[\beta = 2 - \sqrt{3} = \frac{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} < 1,\]ดังนั้น $0 < \beta^{1000} < 1.$
ดังนั้น
\[N - 1 < \alpha^{1000} < N,\]ซึ่งหมายความว่า $n = \lfloor \alpha^{1000} \rfloor = N - 1.$
จากนั้น
\[f = x - n = \alpha^{1000} - (N - 1) = 1 - \beta^{1000},\]ดังนั้น $1 - f = \beta^{1000}.$ ดังนั้น
\begin{align*}
x(1 - f) &= \alpha^{1000} \beta^{1000} \\
&= (\alpha \beta)^{1000} \\
&= [(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})]^{1000} \\
&= 1^{1000} \\
&= \boxed{1}.
\end{align*} | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดพหุนาม $P(x)=1-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x^{2}$, กำหนด
\[Q(x)=P(x)P(x^{3})P(x^{5})P(x^{7})P(x^{9})=\sum_{i=0}^{50} a_ix^{i}.\]จงหา $\sum_{i=0}^{50} |a_i|.$ | เรามี
\[\sum_{i = 0}^{50} a_i x^i = \left( 1 - \frac{1}{3} x + \frac{1}{6} x^2 \right) \left( 1 - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{6} x^6 \right) \dotsm \left( 1 - \frac{1}{3} x^9 + \frac{1}{6} x^{18} \right).\]ถ้าเราคูณสิ่งนี้ (ซึ่งเราจะไม่ทำ) จะต้องนำเทอมจากตัวประกอบตัวแรก $1 - \frac{1}{3} x + \frac{1}{6} x^2,$ เทอมจากตัวประกอบตัวที่สอง $1 - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{6} x^6,$ และอื่นๆ จนถึงตัวประกอบตัวที่ห้า $1 - \frac{1}{3} x^9 + \frac{1}{6} x^{18},$ และนำผลคูณของเทอมเหล่านี้มาใช้
สมมติว่าผลคูณของเทอมอยู่ในรูป $cx^n,$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนคู่ จากนั้น จำนวนเทอมของดีกรีคี่ เช่น $-\frac{1}{3} x$ และ $-\frac{1}{3} x^3,$ ที่มีส่วนร่วมจะต้องเป็นจำนวนคู่ เทอมเหล่านี้เป็นเทอมเดียวเท่านั้นจากแต่ละตัวประกอบที่เป็นลบ ดังนั้น $c$ ต้องเป็นบวก
ในทำนองเดียวกัน ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ จำนวนเทอมของดีกรีคี่ที่มีส่วนร่วมจะต้องเป็นจำนวนคี่ ดังนั้น $c$ เป็นลบ ดังนั้น
\begin{align*}
\sum_{i = 0}^{50} |a_i| &= |a_0| + |a_1| + |a_2| + \dots + |a_{50}| \\
&= a_0 - a_1 + a_2 - \dots + a_{50} \\
&= Q(-1) \\
&= P(-1)^5 \\
&= \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right)^5 \\
&= \boxed{\frac{243}{32}}.
\end{align*} | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อพหุนามถูกหารด้วย $2x^2 - 7x + 18$ ดีกรีของเศษที่เป็นไปได้คืออะไร ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | โดยทั่วไป เมื่อพหุนามถูกหารด้วยพหุนามดีกรี $d$ ดีกรีของเศษที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, $\dots,$ $d - 1.$ ดังนั้น ดีกรีของเศษที่เป็นไปได้ที่นี่คือ $\boxed{0,1}.$ | \boxed{0,1}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $h(x),$ สำหรับค่า $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก โดย \[h(x) = \left\{\begin{aligned} \log_2 x & \quad \text{ ถ้า } \log_2 x \text{ เป็นจำนวนเต็ม} \\ 1 + h(x + 1) & \quad \text{ มิฉะนั้น}. \end{aligned} \right.\] จงคำนวณค่า $h(100)$. | โดยใช้ส่วนที่สองของนิยาม เราได้ \[h(100) = 1 + h(101) = 2 + h(102) = 3 + h(103) = \dots = 28 + h(128).\]เนื่องจาก $128 = 2^7,$ เราใช้ส่วนแรกของนิยามเพื่อให้ได้ \[h(100) = 28 + 7 = \boxed{35}.\] | 35 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $P$ เป็นพาราโบลาที่มีสมการ $y=x^2$ และให้ $Q = (20, 14)$ มีจำนวนจริง $r$ และ $s$ โดยที่เส้นตรงที่ผ่าน $Q$ และมีความชัน $m$ จะไม่ตัด $P$ ก็ต่อเมื่อ $r < m < s.$ จงหาค่า $r + s$ | สมการของเส้นตรงที่ผ่าน $Q = (20,14)$ และมีความชัน $m$ คือ $y - 14 = m(x - 20).$ ดังนั้น เราต้องการหาค่า $m$ ที่ทำให้ระบบสมการ
\begin{align*}
y - 14 &= m(x - 20), \\
y &= x^2
\end{align*}ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
แทน $y = x^2$ ลงในสมการแรก เราจะได้
\[x^2 - 14 = m(x - 20).\]แล้ว $x^2 - mx + (20m - 14) = 0.$ สมการนี้ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเมื่อค่าพจน์ discriminant น้อยกว่าศูนย์:
\[m^2 - 4(20m - 14) < 0.\]แล้ว $m^2 - 80m + 56 < 0.$ ดังนั้น $r$ และ $s$ เป็นรากของ $m^2 - 80m + 56 = 0.$ จากสูตรของ Vieta's formulas, $r + s = \boxed{80}.$ | r + s = \boxed{80}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ
\[75x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 12 = 0\]และ
\[12x^5 + dx^4 + ex^3 + fx^2 + gx + 75 = 0\]มีรากร่วมเป็นจำนวนตรรกยะ $k$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็ม และเป็นลบ จงหาค่า $k$ | ให้ $k = \frac{m}{n}$ ในรูปที่ตัวย่อที่สุด โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม แล้วโดยทฤษฎีบทรากตรรกยะ $m$ หาร 12 ลงตัว และ $m$ หาร 75 ลงตัว ดังนั้น $m$ ต้องหาร $\gcd(12,75) = 3$ ลงตัว ในทำนองเดียวกัน $n$ หาร 75 ลงตัว และ $n$ หาร 12 ลงตัว ดังนั้น $n$ ต้องหาร $\gcd(75,12) = 3$ ลงตัว ดังนั้น $m,$ $n \in \{-3, -1, 1, 3\}.$
เราทราบว่า $k = \frac{m}{n}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม และเป็นลบ ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $k =\boxed{-\frac{1}{3}}.$ | k =\boxed{-\frac{1}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ
\[(x - \sqrt[3]{13})(x - \sqrt[3]{53})(x - \sqrt[3]{103}) = \frac{1}{3}\]มีคำตอบที่แตกต่างกัน 3 คำตอบ คือ $r,$ $s,$ และ $t.$ จงคำนวณค่าของ $r^3 + s^3 + t^3.$ | ให้รากของ $(x - \sqrt[3]{13})(x - \sqrt[3]{53})(x - \sqrt[3]{103}) = 0$ คือ $\alpha,$ $\beta,$ และ $\gamma.$ จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
r + s + t &= \alpha + \beta + \gamma, \\
rs + rt + st &= \alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma, \\
rst &= \alpha \beta \gamma + \frac{1}{3}.
\end{align*}เรามีการแยกตัวประกอบ
\[r^3 + s^3 + t^3 - 3rst = (r + s + t)((r + s + t)^2 - 3(rs + rt + st)).\]ดังนั้น จากสมการข้างต้น,
\[r^3 + s^3 + t^3 - 3rst = \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 - 3 \alpha \beta \gamma.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
r^3 + s^3 + t^3 &= \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 + 3(rst - \alpha \beta \gamma) \\
&= 13 + 53 + 103 + 1 \\
&= \boxed{170}.
\end{align*} | 170 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5,i)--(5,i),gray(0.7));
}
draw((-5,0)--(5,0),Arrows(6));
draw((0,-5)--(0,5),Arrows(6));
label("$x$", (5,0), E);
label("$y$", (0,5), N);
draw(graph(func,-3,3),red);
label("$y = f(x)$", (3,-2), UnFill);
[/asy]
กราฟของ $y = f(x) - 1$ คือ กราฟใด | กราฟของ $y = f(x) - 1$ ได้มาจากการนำกราฟของ $y = f(x)$ เลื่อนลง 1 หน่วย กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{C}}.$ | \boxed{\text{C}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2 - 6x.$ | จงจำไว้ว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน โดยการเติมกำลังสองของ $x$ เราจะได้
\[y = -3(x + 1)^2 + 3.\]เพื่อให้พีชคณิตง่ายขึ้น เราสามารถหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2$ เลื่อนพาราโบลาไปทางซ้าย 1 หน่วยเพื่อให้ได้ $y = -3(x + 1)^2$ และจากนั้นเลื่อนขึ้น 3 หน่วยเพื่อหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3(x + 1)^2 + 3.$
เนื่องจากพาราโบลา $y = -3x^2$ สมมาตรรอบแกน $y$ จุดโฟกัสอยู่ที่จุดที่มีรูปแบบ $(0,f).$ ให้ $y = d$ เป็นสมการของไดเร็คทริกซ์
[asy]
unitsize(1.5 cm);
pair F, P, Q;
F = (0,-1/4);
P = (1,-1);
Q = (1,1/4);
real parab (real x) {
return(-x^2);
}
draw(graph(parab,-1.5,1.5),red);
draw((-1.5,1/4)--(1.5,1/4),dashed);
draw(P--F);
draw(P--Q);
dot("$F$", F, SW);
dot("$P$", P, E);
dot("$Q$", Q, N);
[/asy]
ให้ $(x,-3x^2)$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y = -3x^2.$ จากนั้น
\[PF^2 = x^2 + (-3x^2 - f)^2\]และ $PQ^2 = (-3x^2 - d)^2.$ ดังนั้น,
\[x^2 + (-3x^2 - f)^2 = (-3x^2 - d)^2.\]ขยาย, เราจะได้
\[x^2 + 9x^4 + 6fx^2 + f^2 = 9x^4 + 6dx^2 + d^2.\]จับสัมประสิทธิ์ให้เท่ากัน, เราจะได้
\begin{align*}
1 + 6f &= 6d, \\
f^2 &= d^2.
\end{align*}จากสมการแรก $d - f = \frac{1}{6}.$ เนื่องจาก $f^2 = d^2,$ $f = d$ หรือ $f = -d.$ เราไม่สามารถมี $f = d$ ได้ ดังนั้น $f = -d.$ จากนั้น $-2f = \frac{1}{6},$ ดังนั้น $f = -\frac{1}{12}.$
ดังนั้น จุดโฟกัสของ $y = -3x^2$ คือ $\left( 0, -\frac{1}{12} \right),$ และจุดโฟกัสของ $y = -3(x + 1)^2$ คือ $\left( -1, -\frac{1}{12} \right),$ ดังนั้นจุดโฟกัสของ $y = -3(x - 1)^2 + 3$ คือ $\boxed{\left( -1, \frac{35}{12} \right)}.$ | \boxed{\left( -1, \frac{35}{12} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $t$ เป็นพารามิเตอร์ที่แปรค่าเหนือจำนวนจริงทั้งหมด พาราโบลาใดๆ ที่อยู่ในรูป
\[y = 3x^2 + tx - 2t\]ผ่านจุดคงที่ จงหาจุดคงที่นี้ | เพื่อที่จะได้จุดคงที่ เราต้องการที่จะกำจัด $t$ ในสมการ
\[y = 3x^2 + tx - 2t.\]เราสามารถทำได้โดยการแทน $x = 2.$ จะได้ $y = 3 \cdot 2^2 = 12,$ ดังนั้นจุดคงที่คือ $\boxed{(2,12)}.$ | \boxed{(2,12)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่าจริงทั้งหมดของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dotsb.\] | จากสูตรอนุกรมเรขาอนันต์
\[1 - x + x^2 - x^3 + \dotsb = \frac{1}{1 + x}.\]ดังนั้น เราต้องการแก้สมการ
\[x = \frac{1}{1 + x}.\]สมการนี้สามารถลดรูปเป็น $x^2 + x - 1 = 0.$ โดยใช้สูตรกำลังสอง
\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.\]อนุกรมเรขาอนันต์
\[1 - x + x^2 - x^3 + \dotsb\]ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ $|x| < 1,$ ดังนั้น ค่าของ $x$ ที่เป็นคำตอบมีเพียงค่าเดียวคือ $\boxed{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}.$ | \boxed{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่ามากที่สุดของผลบวก $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เรามีว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น,
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]แล้ว $2010 < 3M,$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
สมการเกิดขึ้นถ้า $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$ $d = 1,$ และ $e = 669,$ ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ คือ $\boxed{671}.$ | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ บนจำนวนเต็มบวกดังนี้:
\[f(n) = \left\{
\begin{array}{cl}
n + 10 & \text{ถ้า $n < 10$}, \\
f(n - 5) & \text{ถ้า $n \ge 10$}.
\end{array}
\right.\]จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน | เราเห็นว่า $f(n) = n + 10$ สำหรับ $n = 1,$ 2, 3, $\dots,$ 9. จากนั้น
\begin{align*}
f(10) &= f(5) = 15, \\
f(11) &= f(6) = 16, \\
f(12) &= f(7) = 17, \\
f(13) &= f(8) = 18, \\
f(14) &= f(9) = 19, \\
f(15) &= f(10) = 15,
\end{align*}และอื่นๆ. ณ จุดนี้ ฟังก์ชันกลายเป็นคาบ ด้วยคาบ 5. ดังนั้น ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ $\boxed{19}.$ | \boxed{19}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $Q(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ $0\le a_i<3$ สำหรับทุก $0\le i\le n$.
กำหนดว่า $Q(\sqrt{3})=20+17\sqrt{3}$, จงคำนวณ $Q(2)$. | เรามีว่า
\[Q(\sqrt{3}) = a_0 + a_1 \sqrt{3} + 3a_2 + 3a_3 \sqrt{3} + \dotsb = 20 + 17 \sqrt{3},\]ดังนั้น
\begin{align*}
a_0 + 3a_2 + 9a_4 + 81a_6 + \dotsb &= 20, \\
a_1 + 3a_3 + 9a_5 + 81a_7 + \dotsb &= 17.
\end{align*}เนื่องจาก $0 \le a_i < 3,$ ปัญหาจะลดเหลือการแสดง 20 และ 17 ในระบบเลขฐาน 3. เนื่องจาก $20 = 2 \cdot 9 + 0 \cdot 3 + 2$ และ $17 = 9 + 2 \cdot 3 + 2,$
\[Q(x) = x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x + 2.\]โดยเฉพาะ $Q(2) = \boxed{86}.$ | Q(2) = \boxed{86}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor.
\](หมายเหตุ: $\lfloor x \rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$.) | เรามี \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left(2007 \cdot 2006 + \frac{1}{2005}\right)\cdot 2005!}{(2006+1)\cdot 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{2007\cdot 2006 + \frac{1}{2005}}{2007}\right\rfloor = \left\lfloor 2006 + \frac{1}{2005 \cdot 2007}\right\rfloor = \boxed{2006}.
\] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กราฟ $y = 3(x-h)^2 + j$ และ $y = 2(x-h)^2 + k$ มีจุดตัดแกน $y$ เท่ากับ $2013$ และ $2014$ ตามลำดับ และแต่ละกราฟมีจุดตัดแกน $x$ เป็นจำนวนเต็มบวกสองจุด จงหาค่า $h$ | แทน $x=0$ ในทั้งสองสมการ เราจะได้ \[2013 = 3h^2 + j \quad \text{และ} \quad 2014 = 2h^2 + k.\]แก้สมการหาค่า $j$ และ $k$ เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น \[y = 3(x-h)^2 + (2013-3h^2) \quad \text{and} \quad y = 2(x-h)^2 + (2014-2h^2),\]หรือ \[y = 3x^2 - 6xh + 2013 = 3(x^2-2hx+671) \quad \text{ and } \quad y = 2x^2 - 4hx + 2014 = 2(x^2 - 2hx + 1007).\]สมการทางซ้ายมือมีรากเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งต้องคูณกันได้ $671$ และผลบวกของรากเท่ากับ $2h$ เช่นเดียวกัน สมการทางขวามือมีรากเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งต้องคูณกันได้ $1007$ และผลบวกของรากเท่ากับ $2h$ เนื่องจาก $671 = 61 \cdot 11$ และ $1007 = 19 \cdot 53$ เราจะได้ \[2h = 61 + 11 = 19 + 53 = 72,\]ดังนั้น $h = \boxed{36}.$ | h = \boxed{36}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $|z| = 13.$ จงหา $z \times \overline{z}.$ | โดยทั่วไปแล้ว
\[z \overline{z} = |z|^2\]สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z$ ทุกจำนวน
ดังนั้น ถ้า $|z| = 13$ แล้ว $z \overline{z} = 13^2 = \boxed{169}.$ | z \overline{z} = 13^2 = \boxed{169}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $3x + 2y \le 7$ และ $2x + 4y \le 8.$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y.$ | หารอสมการที่สองด้วย 2 จะได้ $x + 2y \le 4.$ นำอสมการ $3x + 2y \le 7$ บวกกับอสมการ $x + 2y \le 4$ จะได้
\[4x + 4y \le 11,\]ดังนั้น $x + y \le \frac{11}{4}.$
ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = \frac{3}{2}$ และ $y = \frac{5}{4}$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y$ คือ $\boxed{\frac{11}{4}}.$ | \boxed{\frac{11}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใดที่ฟังก์ชัน $f(x) = \frac{2x^2 - 5x - 7}{x^2 - 4x + 1}$ ตัดกับเส้นกำกับแนวนอนของมัน? | เส้นกำกับแนวนอนของ $f$ คือเส้นตรงแนวนอนที่ $f$ เข้าใกล้เมื่อ $x \to \pm \infty$. เมื่อพจน์นำของตัวเศษและตัวส่วนมีดีกรีเท่ากัน เส้นนั้นจะอยู่ที่ค่าเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ ซึ่งก็คือ $y = 2/1 = 2$. กำหนดให้เท่ากับ $f(x)$, $$f(x) = 2 = \frac{2x^2 - 5x - 7}{x^2 - 4x + 1}.$$ลบตัวส่วนออก, $$2(x^2 - 4x + 1) = 2x^2 - 8x + 2 = 2x^2 - 5x - 7 \Longrightarrow 3x = 9 \Longrightarrow x = \boxed{3}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดสมการ
\[ax^3 + (a + 2b) x^2 + (b - 3a) x + (8 - a) = 0\]มีรากเป็น $-2$ และ 3 จงหาอีกหนึ่งราก | เนื่องจาก $-2$ และ 3 เป็นราก ดังนั้น
\begin{align*}
a(-2)^3 + (a + 2b) (-2)^2 + (b - 3a)(-2) + (8 - a) &= 0, \\
a(3)^3 + (a + 2b) 3^2 + (b - 3a)(3) + (8 - a) &= 0.
\end{align*}เมื่อแก้สมการจะได้ $a = \frac{8}{9}$ และ $b = -\frac{40}{27}.$ โดยทฤษฎีบทของเวียตา ผลบวกของรากคือ
\[-\frac{a + 2b}{a} = \frac{7}{3},\]ดังนั้นอีกหนึ่งรากคือ $\frac{7}{3} - (-2) - 3 = \boxed{\frac{4}{3}}.$ | \frac{7}{3} - (-2) - 3 = \boxed{\frac{4}{3}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $x + y + z = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.\] | โดย AM-HM,
\[\frac{x + y + z}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}.\]ดังนั้น,
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x + y + z} = 9.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = \frac{1}{3},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{9}.$ | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
การกระจายของ $(x+1)^n$ มี 3 พจน์ต่อเนื่องกันที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในอัตราส่วน $1:2:3$ ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป\[{n\choose k} : {n\choose k+1} : {n \choose k+2}\] จงหาผลรวมของค่า $n+k$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
| ตามนิยาม ${n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ อัตราส่วนของพจน์สองพจน์แรกให้เราว่า\begin{align*}\frac{1}{2} &= \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}} = \frac{k+1}{n-k}\\ 2&=n-3k\end{align*}อัตราส่วนของพจน์ที่สองและที่สามให้เราว่า\begin{align*}\frac{2}{3} &= \frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}{\frac{n!}{(k+2)!(n-k-2)!}} = \frac{k+2}{n-k-1}\\ 8&=2n-5k\end{align*}นี่คือระบบสมการเชิงเส้นสองสมการสองตัวแปร แสดงว่ามีคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน การแก้โดยการแทนค่าหรือการคูณสมการบนและลบกัน เราพบว่า $k = 4, n = 14$ ดังนั้น $n+k=\boxed{18}$. | n+k=\boxed{18} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{1}{x + 1} + \frac{6}{x + 5} \ge 1.\] | ลบ 1 จากทั้งสองข้าง และนำทุกเทอมไปหารด้วยตัวส่วนร่วมกัน เราจะได้
\[\frac{-x^2 + x + 6}{(x + 1)(x + 5)} \ge 0.\]เทียบเท่ากับ
\[\frac{x^2 - x - 6}{(x + 1)(x + 5)} \le 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบของเศษส่วนได้
\[\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 1)(x + 5)} \le 0.\]เราสร้างตารางเครื่องหมายตามลำดับ
\begin{tabular}{c|cccc|c} &$x-3$ &$x+2$ &$x+1$ &$x+5$ &$f(x)$ \\ \hline$x<-5$ &$-$&$-$&$-$&$-$&$+$\\ [.1cm]$-5<x<-2$ &$-$&$-$&$-$&$+$&$-$\\ [.1cm]$-2<x<-1$ &$-$&$+$&$-$&$+$&$+$\\ [.1cm]$-1<x<3$ &$-$&$+$&$+$&$+$&$-$\\ [.1cm]$x>3$ &$+$&$+$&$+$&$+$&$+$\\ [.1cm]\end{tabular}นอกจากนี้ โปรดทราบว่า $\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 1)(x + 5)} = 0$ สำหรับ $x = -2$ และ $x = 3.$ ดังนั้นคำตอบคือ
\[x \in \boxed{(-5,-2] \cup (-1,3]}.\] | x = 3. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[\frac{x + 6}{x^2 + 2x + 7} \ge 0.\]แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | เนื่องจาก $x^2 + 2x + 7 = (x + 1)^2 + 6 > 0$ สำหรับทุกค่า $x$ ดังนั้นเครื่องหมายของ $\frac{x + 6}{x^2 + 2x + 7}$ จะเหมือนกับเครื่องหมายของ $x + 6$ ดังนั้นคำตอบคือ $x \in \boxed{[-6,\infty)}.$ | x \in \boxed{[-6,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ $7^{x+7} = 8^x$ สามารถแสดงคำตอบของสมการในรูป $x = \log_b 7^7$ ค่าของ $b$ คือเท่าใด | เราสามารถเขียนได้ดังนี้ \begin{align*} 7^{x+7} &= 8^x \\
7^x\cdot 7^7 &= 8^x \\
\left(\frac{8}{7}\right)^x &= 7^7 \\
x &= \log_{8/7}7^7 \end{align*}เนื่องจากเราต้องการหาฐานของลอการิทึม คำตอบของเราคือ $\boxed{\frac{8}{7}}$ | \boxed{\frac{8}{7}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการอสมการ
\[-4x^2 + 7x + 2 < 0.\] | สมการอสมการตัวนี้แยกตัวประกอบได้เป็น
\[-(4x + 1)(x - 2) < 0.\]ดังนั้นคำตอบคือ $x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}.$ | x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามดีกรี 13 หารด้วย $d(x)$ ได้ผลหารดีกรี 7 และเศษเหลือ $3x^3+4x^2-x+12$ ดีกรีของ $d(x)$ คือเท่าใด | ให้ $f(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 13 และให้ $q(x)$ เป็นผลหารเมื่อ $f(x)$ หารด้วย $d(x)$ ให้ $r(x) = 3x^3+4x^2-x+12$ ดังนั้นเราได้
$$f(x) = d(x)\cdot q(x) + r(x).$$โดยที่ $\deg q = 7$.
เนื่องจาก $\deg r = 3$ เราต้องมี $\deg(d\cdot q) = \deg f$ ซึ่งหมายความว่า $\deg d + \deg q = \deg f$ ดังนั้น $\deg d = 13-7 = \boxed{6}$. | $\deg d = 13-7 = \boxed{6}$. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่าสูงสุดของผลบวก $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เรามีว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น,
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]แล้ว $2010 < 3M,$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
ค่าเท่ากันเกิดขึ้นถ้า $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$ $d = 1,$ และ $e = 669,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $M$ คือ $\boxed{671}.$ | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ
\[\prod_{n = 1}^{13} \frac{n(n + 2)}{(n + 4)^2}.\] | เขียนผลคูณออกมา เราจะได้
\[\frac{1 \cdot 3}{5^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{6^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{7^2} \dotsm \frac{11 \cdot 13}{15^2} \cdot \frac{12 \cdot 14}{16^2} \cdot \frac{13 \cdot 15}{17^2}.\]ปัจจัย 5 สองตัวในตัวเศษจะตัดกับปัจจัย 3 สองตัวในตัวส่วน ปรากฏการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นกับปัจจัย 6 สองตัว และอื่นๆ จนถึงปัจจัย 13 สองตัว เราจะเหลือ
\[\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 4^2}{14 \cdot 15 \cdot 16^2 \cdot 17^2} = \boxed{\frac{3}{161840}}.\] | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
กำหนดให้ $p(x) = x^2 + bx + c,$ โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม ถ้า $p(x)$ เป็นตัวประกอบของ $x^4 + 6x^2 + 25$ และ $3x^4 + 4x^2 + 28x + 5$ จงหาค่าของ $p(1)$ | เนื่องจาก $p(x)$ เป็นตัวประกอบของ $x^4 + 6x^2 + 25$ และ $3x^4 + 4x^2 + 28x + 5$ ดังนั้น $p(x)$ ต้องเป็นตัวประกอบของ
\[3(x^4 + 6x^2 + 25) - (3x^4 + 4x^2 + 28x + 5) = 14x^2 - 28x + 70 = 14(x^2 - 2x + 5).\]ดังนั้น $p(x) = x^2 - 2x + 5,$ และ $p(1) = 1 - 2 + 5 = \boxed{4}.$ | p(1) = 1 - 2 + 5 = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $5x^2 + 10xy = x^3 + 2x^2 y,$ จงหาค่าของ $x$ | สังเกตว่าเราสามารถแยกตัวประกอบ $5x$ ออกจากพจน์ทางซ้ายมือได้เป็น $5x(x+2y)$ และแยกตัวประกอบ $x^2$ ออกจากพจน์ทางขวามือได้เป็น $x^2(x+2y)$ ดังนั้น เราจึงมี $5x(x+2y) = x^2(x+2y)$ เนื่องจาก $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $x(x+2y)$ ได้อย่างปลอดภัย ซึ่งจะได้ $x = \boxed{5}$ | x = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[3f(x) - 2 f \left( \frac{1}{x} \right) = x\]สำหรับทุก $x \neq 0.$ จงหา $f(4).$ | แทน $x = 4,$ เราได้
\[3f(4) - 2 f \left( \frac{1}{4} \right) = 4.\]แทน $x = \frac{1}{4},$ เราได้
\[3 f \left( \frac{1}{4} \right) - 2f(4) = \frac{1}{4}.\]เราสามารถมองสมการเหล่านี้เป็นระบบสมการใน $f(4)$ และ $f \left( \frac{1}{4} \right).$ เมื่อแก้ระบบสมการนี้ เราพบว่า $f(4) = \boxed{\frac{5}{2}}.$ | f(4) = \boxed{\frac{5}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f,$ $g,$ และ $h$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $abcd = 4$ และ $efgh = 9.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[(ae)^2 + (bf)^2 + (cg)^2 + (dh)^2.\] | โดย AM-GM,
\begin{align*}
(ae)^2 + (bf)^2 + (cg)^2 + (dh)^2 &\ge 4 \sqrt[4]{(ae)^2 (bf)^2 (cg)^2 (dh)^2} \\
&= 4 \sqrt[4]{(abcdefgh)^2} \\
&= 24.
\end{align*}ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $(ae)^2 = (bf)^2 = (cg)^2 = (dh)^2,$ $abcd = 4,$ และ $efgh = 9.$ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเลือก $a = b = c = d = \sqrt{2}$ และ $e = f = g = h = \sqrt{3}.$ ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{24}.$ | \boxed{24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการของเส้นกำกับเอียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$ คืออะไร?
กรุณาใส่คำตอบในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามยาวให้ผลลัพธ์ดังนี้
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า
$$\frac{2x^2+7x+10}{2x+3} = x + 2 + \frac{4}{2x+3}.$$ดังนั้น เราจะเห็นว่าเมื่อ $x$ ห่างจาก $0$ มากขึ้น กราฟของฟังก์ชันจะเข้าใกล้เส้น $\boxed{y = x+2}$ มากขึ้นเรื่อยๆ | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $x$ สอดคล้องกับ $x^2 - 5x + 6 < 0.$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $x^2 + 5x + 6.$ | อสมการ $x^2 - 5x + 6 < 0$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 2)(x - 3) < 0,$ ดังนั้นคำตอบคือ $2 < x < 3.$ เนื่องจาก $x^2 + 5x + 6$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงนี้ เราได้ว่า
\[x^2 + 5x + 6 > 2^2 + 5 \cdot 2 + 6 = 20\]และ
\[x^2 + 5x + 6 < 3^2 + 5 \cdot 3 + 6 = 30.\]ดังนั้น เซตของค่าที่เป็นไปได้ของ $x^2 + 5x + 6$ คือ $\boxed{(20,30)}.$ | \boxed{(20,30)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่นำจำนวนเต็มบวกไปยังจำนวนเต็มบวก โดยที่
(i) $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (นั่นคือ $f(n + 1) > f(n)$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด)
(ii) $f(mn) = f(m) f(n)$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$ และ $n$ ทั้งหมด และ
(iii) ถ้า $m \neq n$ และ $m^n = n^m,$ แล้ว $f(m) = n$ หรือ $f(n) = m.$
จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(30).$ | สังเกตว่า $2^4 = 4^2,$ ดังนั้นจาก (iii), $f(2) = 4$ หรือ $f(4) = 2.$ แต่จาก (i),
\[f(4) > f(3) > f(2) > f(1),\]ดังนั้น $f(4) \ge 4.$ ดังนั้น $f(2) = 4.$ โดยการนำ (ii) มาใช้ซ้ำๆ เราพบว่า
\[f(2^n) = 2^{2n}\]สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด.
จาก (i) และ (iii),
\[f(3)^2 = f(9) > f(8) = 64,\]ดังนั้น $f(3) \ge 9.$
ในทำนองเดียวกัน,
\[f(3)^8 = f(3^8) < f(2^{13}) = 2^{26},\]ดังนั้น $f(3) \le 9.$ ดังนั้น $f(3) = 9.$ ตามมาว่า $f(3^n) = 3^{2n}$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด.
ตอนนี้,
\[f(5)^3 = f(5^3) < f(2^7) = 2^{14},\]ดังนั้น $f(5) \le 25.$
นอกจากนี้,
\[f(5)^{11} = f(5^{11}) > f(3^{16}) = 3^{32},\]ดังนั้น $f(5) \ge 25.$ ดังนั้น $f(5) = 25.$
ดังนั้น,
\[f(30) = f(2) f(3) f(5) = 4 \cdot 9 \cdot 25 = \boxed{900}.\]สังเกตว่าฟังก์ชัน $f(n) = n^2$ สอดคล้องกับคุณสมบัติที่กำหนดไว้ทั้งหมด. (สามารถแสดงได้ว่าคำตอบเดียวของ $n^m = m^n$ โดยที่ $m \neq n$ คือ $(2,4)$ และ $(4,2).$) | 900 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $0 \le a,$ $b,$ $c,$ $d \le 1.$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ของนิพจน์
\[\sqrt{a^2 + (1 - b)^2} + \sqrt{b^2 + (1 - c)^2} + \sqrt{c^2 + (1 - d)^2} + \sqrt{d^2 + (1 - a)^2}.\] | โดยอสมการ QM-AM,
\[\sqrt{\frac{a^2 + (1 - b)^2}{2}} \ge \frac{a + (1 - b)}{2},\]ดังนั้น $\sqrt{a^2 + (1 - b)^2} \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (a + (1 - b)).$ ทำนองเดียวกัน,
\begin{align*}
\sqrt{b^2 + (1 - c)^2} &\ge \frac{1}{\sqrt{2}} (b + (1 - c)), \\
\sqrt{c^2 + (1 - d)^2} &\ge \frac{1}{\sqrt{2}} (c + (1 - d)), \\
\sqrt{d^2 + (1 - a)^2} &\ge \frac{1}{\sqrt{2}} (d + (1 - a)).
\end{align*}บวกอสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[\sqrt{a^2 + (1 - b)^2} + \sqrt{b^2 + (1 - c)^2} + \sqrt{c^2 + (1 - d)^2} + \sqrt{d^2 + (1 - a)^2} \ge 2 \sqrt{2}.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = b = c = d = \frac{1}{2}.$
เนื่องจาก $a$ และ $1 - b$ เป็นจำนวนไม่เป็นลบ,
\[\sqrt{a^2 + (1 - b)^2} \le \sqrt{a^2 + 2a(1 - b) + (1 - b)^2} = \sqrt{(a + (1 - b))^2} = a + 1 - b.\]ทำนองเดียวกัน,
\begin{align*}
\sqrt{b^2 + (1 - c)^2} &\le b + 1 - c, \\
\sqrt{c^2 + (1 - d)^2} &\le c + 1 - d, \\
\sqrt{d^2 + (1 - a)^2} &\le d + 1 - a.
\end{align*}บวกอสมการทั้งหมดเข้าด้วยกัน เราได้
\[\sqrt{a^2 + (1 - b)^2} + \sqrt{b^2 + (1 - c)^2} + \sqrt{c^2 + (1 - d)^2} + \sqrt{d^2 + (1 - a)^2} \le 4.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = b = c = d = 0,$ และ $a = b = c = d = 1.$
ถ้าเราตั้ง $a = b = c = d = t,$ แล้ว
\[\sqrt{a^2 + (1 - b)^2} + \sqrt{b^2 + (1 - c)^2} + \sqrt{c^2 + (1 - d)^2} + \sqrt{d^2 + (1 - a)^2} = 4 \sqrt{t^2 + (1 - t)^2}.\]ในช่วง $0 \le t \le 1,$ $4 \sqrt{t^2 + (1 - t)^2}$ จะมีค่าตั้งแต่ $2 \sqrt{2}$ ถึง 4 ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของนิพจน์คือช่วง $\boxed{[2 \sqrt{2},4]}.$ | \boxed{[2 \sqrt{2},4]}. | [
"unknown"
] |
จงหาค่าของ $\left|\frac56 +2i\right|$. | เราได้ว่า \[\left|\frac56 +2i\right| = \left|\frac{1}{6}\left(5 +12i\right)\right| = \frac16|5+12i| = \frac16\sqrt{5^2 +12^2} = \boxed{\frac{13}{6}}.\] | [
"นำไปใช้"
] | |
กำหนดให้ $A,$ $R,$ $M,$ และ $L$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\begin{align*}
\log_{10} (AL) + \log_{10} (AM) &= 2, \\
\log_{10} (ML) + \log_{10} (MR) &= 3, \\
\log_{10} (RA) + \log_{10} (RL) &= 4.
\end{align*}จงหาค่าของผลคูณ $ARML.$ | เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น
\begin{align*}
\log_{10} (A^2 ML) &= 2, \\
\log_{10} (RM^2 L) &= 3, \\
\log_{10} (AR^2 L) &= 4.
\end{align*}ดังนั้น $A^2 ML = 10^2,$ $RM^2 L = 10^3,$ และ $AR^2 L = 10^4.$ การคูณสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ $A^3 R^3 M^3 L^3 = 10^9$ ดังนั้น $ARML = 10^3 = \boxed{1000}.$ | ARML = 10^3 = \boxed{1000}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{100}$ หารด้วย $(x + 1)^3.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^{100} &= [(x + 1) - 1]^{100} \\
&= (x + 1)^{100} - \binom{100}{1} (x + 1)^{99} + \binom{100}{2} (x + 1)^{98} + \dots - \binom{100}{97} (x + 1)^3 + \binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1.
\end{align*}เมื่อหารด้วย $(x + 1)^3$ เศษที่เหลือคือ
\[\binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1 = \boxed{4950x^2 + 9800x + 4851}.\] | (x + 1)^3, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$. มีพหุนาม $Q(x)$ กี่ตัวที่ทำให้มีพหุนาม $R(x)$ องศา 3 ซึ่งสอดคล้องกับ $P\left(Q(x)\right) = P(x)\cdot R(x)$? | พหุนาม $P(x)\cdot R(x)$ มีองศา 6 ดังนั้น $Q(x)$ ต้องมีองศา 2. ดังนั้น $Q$ จึงถูกกำหนดโดยสามลำดับ $(Q(1), Q(2),Q(3))$ อย่างเฉพาะเจาะจง เมื่อ $x = 1$, 2, หรือ 3 เราได้
\[0 = P(x)\cdot R(x) = P\left(Q(x)\right).\]ดังนั้น $(Q(1), Q(2), Q(3))$ คือหนึ่งใน 27 สามลำดับ $(i, j, k)$ โดยที่ $i$, $j$, และ $k$ สามารถเลือกได้จากเซต $\{1, 2, 3\}$.
อย่างไรก็ตาม การเลือก $(1, 1, 1)$, $(2, 2, 2)$, $(3, 3, 3)$, $(1, 2, 3)$, และ $(3, 2, 1)$ จะนำไปสู่พหุนาม $Q(x)$ ที่กำหนดโดย $Q(x) = 1$, $2,$ $3,$ $x,$ และ $4-x$ ตามลำดับ ซึ่งทั้งหมดมีองศา น้อยกว่า 2. การเลือกอื่น ๆ $\boxed{22}$ ตัวสำหรับ $(Q(1),Q(2),Q(3))$ จะได้จุดที่ไม่ collinear ดังนั้นในแต่ละกรณี $Q(x)$ คือพหุนามกำลังสอง | 22 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนจริง $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[a_n = a_{n - 1} a_{n + 1}\]สำหรับทุก $n \ge 2.$ ถ้า $a_1 = 1 + \sqrt{7}$ และ $a_{1776} = 13 + \sqrt{7}$ จงหาค่า $a_{2009}.$ | จากการกำหนดความสัมพันธ์ซ้ำๆ
\[a_{n + 1} = \frac{a_n}{a_{n - 1}}.\]กำหนด $a = a_1$ และ $b = a_2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
a_3 &= \frac{a_2}{a_1} = \frac{b}{a}, \\
a_4 &= \frac{a_3}{a_2} = \frac{b/a}{b} = \frac{1}{a}, \\
a_5 &= \frac{a_4}{a_3} = \frac{1/a}{b/a} = \frac{1}{b}, \\
a_6 &= \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/b}{1/a} = \frac{a}{b}, \\
a_7 &= \frac{a_6}{a_5} = \frac{a/b}{1/b} = a, \\
a_8 &= \frac{a_7}{a_6} = \frac{a}{a/b} = b.
\end{align*}เนื่องจาก $a_7 = a = a_1$ และ $a_8 = b = a_2,$ และแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้า 2 พจน์ ลำดับนี้เป็นคาบตั้งแต่จุดนี้เป็นต้นไป นอกจากนี้ ความยาวของคาบคือ 6. ดังนั้น $a_6 = a_{1776} = 13 + \sqrt{7}$ และ $a_{2009} = a_5.$ นอกจากนี้ $a_7 = a_1,$ และ
\[a_7 = \frac{a_6}{a_5}.\]ดังนั้น
\[a_5 = \frac{a_6}{a_7} = \frac{13 + \sqrt{7}}{1 + \sqrt{7}} = \frac{(13 + \sqrt{7})(\sqrt{7} - 1)}{(1 + \sqrt{7})(\sqrt{7} - 1)} = \frac{-6 + 12 \sqrt{7}}{6} = \boxed{-1 + 2 \sqrt{7}}.\] | a_7 = a_1, | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบร่วม และ $\dfrac ab=\dfrac1{2^1}+\dfrac2{3^2}+\dfrac3{2^3}+\dfrac4{3^4}+\dfrac5{2^5}+\dfrac6{3^6}+\cdots$, โดยตัวเศษจะเพิ่มขึ้นทีละ $1$ และตัวส่วนจะสลับกันระหว่างเลขยกกำลังของ $2$ และ $3$ โดยเลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้นทีละ $1$ สำหรับพจน์ถัดไป คำนวณ $a+b$
| เราสามารถแยกผลรวมออกเป็นสองกลุ่มของจำนวนที่เราต้องการบวก: $\tfrac12 + \tfrac{3}{2^3} + \tfrac{5}{2^5} \cdots$ และ $\tfrac{2}{3^2} + \tfrac{4}{3^4} + \tfrac{6}{3^6} \cdots$
ให้ $X$ เป็นผลรวมของลำดับแรก ดังนั้นเราจึงมี\begin{align*} X &= \frac12 + \frac{3}{2^3} + \frac{5}{2^5} \cdots \\ \frac{X}{4} &= 0 + \frac{1}{2^3} + \frac{3}{2^5} \cdots \\ \frac{3}{4}X &= \frac12 + \frac{2}{2^3} + \frac{2}{2^5} \cdots \\ \frac{3}{4}X &= \frac12 + \frac{\tfrac14}{\tfrac34} \\ \frac{3}{4}X &= \frac56 \\ X &= \frac{10}{9} \end{align*}
ให้ $Y$ เป็นผลรวมของลำดับที่สอง ดังนั้นเราจึงมี\begin{align*} Y &= \frac{2}{3^2} + \frac{4}{3^4} + \frac{6}{3^6} \cdots \\ \frac{1}{9}Y &= 0 + \frac{2}{3^4} + \frac{4}{3^6} \cdots \\ \frac{8}{9}Y &= \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^4} + \frac{2}{3^6} \cdots \\ \frac{8}{9}Y &= \frac{\frac29}{\frac89} \\ Y &= \frac14 \cdot \frac98 \\ &= \frac{9}{32} \end{align*}นั่นหมายความว่า $\tfrac{a}{b} = \tfrac{10}{9} + \tfrac{9}{32} = \tfrac{401}{288},$ ดังนั้น $a+b = \boxed{689}.$ | a+b = \boxed{689}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคูณ $(2x^3-5y^2)(4x^6+10x^3y^2+25y^4)$ | ผลคูณที่กำหนดสามารถเขียนใหม่ในรูป $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ซึ่งเป็นการแยกตัวประกอบของ $a^3-b^3$ เมื่อ $a=2x^3$ และ $b=5y^2$ ดังนั้น นิพจน์สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6}$ | a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้
\[f(a,b) = \left\{
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{array}{cl}
\dfrac{ab - a + 2}{2a} & \text{ถ้า $a + b \le 3$}, \\
\dfrac{ab - b - 2}{-2b} & \text{ถ้า $a + b > 3$}.
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\right.\]จงหาค่าของ $f(2,1) + f(2,4)$. | เราได้ว่า
\[f(2,1) = \frac{2 \cdot 1 - 2 + 2}{4} = \frac{1}{2},\]และ
\[f(2,4) = \frac{2 \cdot 4 - 4 - 2}{-8} = -\frac{1}{4},\]ดังนั้น $f(2,1) + f(4,2) = \boxed{\frac{1}{4}}.$ | f(2,1) + f(4,2) = \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คำนวณ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 2)}.\] | โดยการแยกตัวประกอบ
\[\frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1/2}{n + 2}.\]ดังนั้น
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 2)} &= \left( \frac{1/2}{1} - \frac{1/2}{3} \right) + \left( \frac{1/2}{2} - \frac{1/2}{4} \right) + \left( \frac{1/2}{3} - \frac{1/2}{5} \right) + \left( \frac{1/2}{4} - \frac{1/2}{6} \right) + \dotsb \\
&= \frac{1/2}{1} + \frac{1/2}{2} \\
&= \boxed{\frac{3}{4}}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
กำหนด $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ \[2x^3 - x^2 + 4x + 10 = 0.\] จงหาค่าของ $a^2 + b^2 + c^2$ | จากสูตรของ Vieta's เราทราบว่า \[\begin{aligned} a+b+c &= \frac12, \\ ab+bc+ca &= \frac42 = 2, \\ abc &= -\frac{10}2 = -5. \end{aligned}\]เรา squaring ทั้งสองข้างของ $a+b+c=\frac12,$ ซึ่งจะทำให้เกิดพจน์ $a^2+b^2+c^2$: \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = \frac14.\]แทนค่า $ab+bc+ca=2$ เราได้ \[a^2+b^2+c^2+2(2)=\frac14,\]ดังนั้น \[a^2+b^2+c^2=\frac14-4=\boxed{-\frac{15}4}.\] | ab+bc+ca=2, | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด สำหรับค่า $x$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราได้
\[2f\left(x\right) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 5x + 4\]
ให้ $S$ แทนผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(x) = 2004$ คำนวณจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดกับ $S$.
| แทน $\frac{1}{x}$ เราได้
\[2f\left(\frac 1x\right) + f\left(x\right) = \frac{5}{x} + 4\]
สิ่งนี้ให้สมการสองสมการ ซึ่งเราสามารถกำจัด $f\left(\frac 1x\right)$ ออกได้ (สมการแรกคูณด้วยสอง ลบด้วยสมการที่สอง):
\begin{align*} 3f(x) &= 10x + 4 - \frac 5x \\ 0 &= x^2 - \frac{3 \times 2004 - 4}{10}x + \frac 52\end{align*}
เห็นได้ชัดว่า ตัวเลือกของสมการกำลังสอง $\Delta > 0$ ดังนั้นรากทั้งสองเป็นจำนวนจริง จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากคือสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\left[\frac{3 \times 2004 - 4}{10}\right] = \boxed{601}$. | \left[\frac{3 \times 2004 - 4}{10}\right] = \boxed{601} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่สอดคล้องกับ \[1+\left\lfloor\dfrac{100n}{101}\right\rfloor=\left\lceil\dfrac{99n}{100}\right\rceil.\] | กำหนดให้
\[f(n) = \left\lceil \frac{99n}{100} \right\rceil - \left\lfloor \frac{100n}{101} \right\rfloor.\]สังเกตว่า
\begin{align*}
f(n + 10100) &= \left\lceil \frac{99 (n + 10100)}{100} \right\rceil - \left\lfloor \frac{100 (n + 10100)}{101} \right\rfloor \\
&= \left\lceil \frac{99n}{100} + 101 \right\rceil - \left\lfloor \frac{100n}{101} + 100 \right\rfloor \\
&= \left\lceil \frac{99n}{100} \right\rceil + 101 - \left\lfloor \frac{100n}{101} \right\rfloor - 100 \\
&= \left\lceil \frac{99n}{100} \right\rceil - \left\lfloor \frac{100n}{101} \right\rfloor + 1 \\
&= f(n) + 1.
\end{align*}นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละชั้นสมภาค $r$ โมดูโล 10100 จะมีจำนวนเต็ม $n$ ที่ไม่ซ้ำกันที่ทำให้ $f(n) = 1$ และ $n \equiv r \pmod{10100}.$ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{10100}.$ | \boxed{10100}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $n$ ให้
\[f(n) = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} + \frac{1}{4^n} + \dotsb.\]จงหา
\[\sum_{n = 2}^\infty f(n).\] | เราต้องการหาผลรวม
\begin{align*}
&\quad \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dotsb \\
&+ \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \dotsb \\
&+ \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \dotsb \\
&+ \dotsb.
\end{align*}ผลรวมของจำนวนในหลักที่ $n$ เป็นอนุกรมเรขาอนันต์ โดยมีพจน์แรก $\frac{1}{(n + 1)^2}$ และอัตราส่วนร่วม $\frac{1}{n + 1}$ ดังนั้นผลรวมของพจน์ของมันคือ
\[\frac{\frac{1}{(n + 1)^2}}{1 - \frac{1}{n + 1}} = \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{(n + 1) - n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}.\]ดังนั้นผลรวมของพจน์คือ
\[\sum_{n = 1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dotsb = \boxed{1}.\] | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในลำดับจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนที่เรียงลำดับเพิ่มขึ้น จำนวนสามจำนวนแรกสร้างลำดับเลขคณิต จำนวนสามจำนวนสุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต และจำนวนพจน์แรกและพจน์ที่สี่ต่างกัน 30 จงหาผลรวมของสี่พจน์ | กำหนดให้จำนวนพจน์สามจำนวนแรกเป็น $a,$ $a+d,$ และ $a+2d,$ โดยที่ $a$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก จากนั้นพจน์ที่สี่คือ $a+30$ เนื่องจากจำนวนพจน์สามจำนวนสุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต เราจึงมี \[(a+d)(a+30) = (a+2d)^2,\]หรือ \[a^2 + (30+d) a + 30d = a^2 + 4ad + 4d^2.\]แก้สมการสำหรับ $a$ เราได้ \[a = \frac{4d^2-30d}{30-3d} = \frac{2d(2d-15)}{3(10-d)}.\]เนื่องจาก $a$ เป็นจำนวนบวก เราต้องมี $f(d) = \frac{d(2d-15)}{10-d} > 0.$ เราสร้างตารางเครื่องหมายสำหรับนิพจน์นี้: \begin{tabular}{c|ccc|c} &$d$ &$2d-15$ &$-d+10$ &$f(d)$ \\ \hline$d<0$ &$-$&$-$&$+$&$+$\\ [.1cm]$0<d<\frac{15}{2}$ &$+$&$-$&$+$&$-$\\ [.1cm]$\frac{15}{2}<d<10$ &$+$&$+$&$+$&$+$\\ [.1cm]$d>10$ &$+$&$+$&$-$&$-$\\ [.1cm]\end{tabular}เนื่องจาก $d > 0,$ เราต้องมี $\tfrac{15}{2} < d < 10,$ ซึ่งให้ค่าจำนวนเต็มที่เป็นไปได้สองค่าสำหรับ $d$ คือ 8 และ 9 สำหรับ $d=8,$ เราได้ \[a = \frac{2 \cdot 8 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{8}{3},\]ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นเราต้องมี $d=9$ และ \[a = \frac{2 \cdot 9 \cdot 3}{3 \cdot 1} = 18.\]จากนั้นผลรวมของสี่พจน์คือ \[a + (a+d) + (a+2d) + (a+30) = 18 + 27 + 36 + 48 = \boxed{129}.\] | 129 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสัมบูรณ์ของ $\left|\frac12 - \frac38i\right|$ | เราได้ว่า \[\left|\frac12 - \frac38i\right| = \left|\frac{1}{8}\left(4 - 3i\right)\right| = \frac18|4-3i| = \frac18\sqrt{4^2 +(-3)^2} = \boxed{\frac58}.\] | [
"วิเคราะห์"
] | |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{12}$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a_1 + a_2 + \dots + a_{12} = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a_1 + a_2 + \dots + a_{12}) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \right) \ge (1 + 1 + \dots + 1)^2 = 12^2 = 144,\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \ge 144.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a_i = \frac{1}{12}$ สำหรับทุก $i,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{144}.$ | \boxed{144}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนหนึ่งของกราฟของ $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ แสดงอยู่ ค่าของ $b$ คือเท่าใด?
[asy]
unitsize(1.5 cm);
real func(real x) {
return((x + 1)*(x - 1)*(x - 2));
}
draw(graph(func,-1.1,1.5));
draw((-1.5,0)--(1.5,0),Arrows(6));
draw((0,-1)--(0,2.5),Arrows(6));
label("$x$", (1.5,0), E);
label("$f(x)$", (0,2.5), N);
dot("$(-1,0)$", (-1,0), SE, fontsize(10));
dot("$(1,0)$", (1,0), SW, fontsize(10));
dot("$(0,2)$", (0,2), NE, fontsize(10));
[/asy] | เรามี \[
0 = f(-1) = -a+b-c+d\]และ \[0 = f(1) = a+b+c+d,
\]ดังนั้น $b+d=0$. นอกจากนี้ $d=f(0) = 2$ ดังนั้น $b=\boxed{-2}$. | b=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dotsb.\] | จากสูตรอนุกรมเรขาอนันต์
\[1 - x + x^2 - x^3 + \dotsb = \frac{1}{1 + x}.\]ดังนั้น เราต้องการแก้สมการ
\[x = \frac{1}{1 + x}.\]สมการนี้จะกลายเป็น $x^2 + x - 1 = 0.$ โดยใช้สูตรกำลังสอง
\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.\]อนุกรมเรขาอนันต์
\[1 - x + x^2 - x^3 + \dotsb\]ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ $|x| < 1,$ ดังนั้น ค่า $x$ ที่เป็นคำตอบมีเพียงค่าเดียว คือ $\boxed{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}.$ | \boxed{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=ax^2+bx+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม. สมมติว่า $f(1)=0$, $50<f(7)<60$, $70<f(8)<80$, $5000k<f(100)<5000(k+1)$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ ใดๆ. จงหาค่าของ $k$ | จาก $f(1) = 0,$ $a + b + c = 0,$ ดังนั้น $c = -a - b.$ แล้ว
\[f(7) = 49a + 7b + c = 48a + 6b = 6(8a + b),\]ดังนั้นจาก $50 < f(7) < 60,$
\[50 < 6(8a + b) < 60.\]ผลคูณของ 6 ที่อยู่ในช่วงนี้คือ 54 ซึ่งนำไปสู่ $8a + b = 9.$
นอกจากนี้,
\[f(8) = 64a + 8b + c = 63a + 7b = 7(9a + b),\]ดังนั้นจาก $70 < f(8) < 80,$
\[70 < 7(9a + b) < 80.\]ผลคูณของ 7 ที่อยู่ในช่วงนี้คือ 77 ซึ่งนำไปสู่ $9a + b = 11.$ ดังนั้น $a = 2,$ $b = -7,$ และ $c = 5.$
ดังนั้น $f(100) = 2 \cdot 100^2 - 7 \cdot 100 + 5 = 19305,$ ดังนั้น $k = \boxed{3}.$ | k = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
\[\frac{6}{\sqrt{x - 8} - 9} + \frac{1}{\sqrt{x - 8} - 4} + \frac{7}{\sqrt{x - 8} + 4} + \frac{12}{\sqrt{x - 8} + 9} = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยจุลภาค | ให้ $y = \sqrt{x - 8},$ ดังนั้น
\[\frac{6}{y - 9} + \frac{1}{y - 4} + \frac{7}{y + 4} + \frac{12}{y + 9} = 0.\]สังเกตว่า
\[\frac{6}{y - 9} + \frac{12}{y + 9} = \frac{6(y + 9) + 12(y - 9)}{y^2 - 81} = \frac{18y - 54}{y^2 - 81} = \frac{18(y - 3)}{y^2 - 81},\]และ
\[\frac{1}{y - 4} + \frac{7}{y + 4} = \frac{y + 4 + 7(y - 4)}{y^2 - 16} = \frac{8y - 24}{y^2 - 16} = \frac{8(y - 3)}{y^2 - 16},\]ดังนั้น
\[\frac{18(y - 3)}{y^2 - 81} + \frac{8(y - 3)}{y^2 - 16} = 0.\]ถ้า $y = 3,$ แล้ว $x = 3^2 + 8 = 17.$ มิฉะนั้น เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $2(y - 3),$ เพื่อให้ได้
\[\frac{9}{y^2 - 81} + \frac{4}{y^2 - 16} = 0.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $(y^2 - 16)(y^2 - 81),$ เราจะได้
\[9(y^2 - 16) + 4(y^2 - 81) = 0.\]แล้ว $13y^2 = 468,$ ดังนั้น $y^2 = 36.$ เนื่องจาก $y = \sqrt{x - 8}$ ต้องเป็นค่าไม่เป็นลบ $y = 6.$ แล้ว $x = 6^2 + 8 = 44.$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{17,44}.$ | \boxed{17,44}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ
\[x^3 - 5x + 7 = 0.\]จงหาพหุนามเอกหน่วยใน $x$ ซึ่งมีรากเป็น $a - 2,$ $b - 2,$ และ $c - 2.$ | กำหนดให้ $y = x - 2.$ แล้ว $x = y + 2,$ ดังนั้น
\[(y + 2)^3 - 5(y + 2) + 7 = 0.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $y^3 + 6y^2 + 7y + 5 = 0.$ พหุนามที่สอดคล้องกันใน $x$ คือ $\boxed{x^3 + 6x^2 + 7x + 5}.$ | \boxed{x^3 + 6x^2 + 7x + 5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสมการเส้นกำกับเฉียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$?
ใส่นำเสนอคำตอบของคุณในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามยาวให้ผลลัพธ์
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า
$$\frac{2x^2+7x+10}{2x+3} = x + 2 + \frac{4}{2x+3}.$$ดังนั้น เราจะเห็นว่าเมื่อ $x$ ห่างจาก $0$ มากขึ้น กราฟของฟังก์ชันจะเข้าใกล้เส้น $\boxed{y = x+2}$ มากขึ้นเรื่อยๆ. | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{12}$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง $a_1 + a_2 + \dots + a_{12} = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a_1 + a_2 + \dots + a_{12}) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \right) \ge (1 + 1 + \dots + 1)^2 = 12^2 = 144,\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \ge 144.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a_i = \frac{1}{12}$ สำหรับทุก $i,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{144}.$ | \boxed{144}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าสูงสุดของ
\[\frac{(x + y)^2}{x^2 + y^2}.\] | เราอ้างว่าค่าสูงสุดคือ 2. สังเกตว่าสำหรับ $x = y,$
\[\frac{(x + y)^2}{x^2 + y^2} = \frac{4x^2}{2x^2} = 2.\]อสมการ $\frac{(x + y)^2}{x^2 + y^2} \le 2$ เทียบเท่ากับ
\[(x + y)^2 \le 2x^2 + 2y^2,\]ซึ่งเมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $x^2 - 2xy + y^2 \ge 0.$ เราสามารถเขียนได้เป็น $(x - y)^2 \ge 0.$ อสมการนี้เป็นจริง และเนื่องจากทุกขั้นตอนของเราสามารถย้อนกลับได้ อสมการ $\frac{(x + y)^2}{x^2 + y^2} \le 2$ ก็เป็นจริงเช่นกัน ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{2}.$ | \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาคำตอบจริงทั้งหมดของสมการ
\[\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 3)(x - 2)(x - 1)}{(x - 2)(x - 4)(x - 2)} = 1.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ถ้า $x = 2$ หรือ $x = 4,$ แล้วเศษส่วนไม่นิยาม มิฉะนั้น เราสามารถตัดตัวประกอบของ $(x - 2)(x - 4)(x - 2)$ ออกได้ ซึ่งจะได้
\[(x - 1)(x - 3)(x - 3)(x - 1) = 1.\]จากนั้น $(x - 1)^2 (x - 3)^2 - 1 = 0,$ ดังนั้น $[(x - 1)(x - 3) + 1][(x - 1)(x - 3) - 1] = 0.$
ถ้า $(x - 1)(x - 3) + 1 = 0,$ แล้ว $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0.$ เราได้กำจัด $x = 2$ ไปแล้ว
ถ้า $(x - 1)(x - 3) - 1 = 0,$ แล้ว $x^2 - 4x + 2 = 0.$ โดยสูตรกำลังสอง
\[x = 2 \pm \sqrt{2}.\]ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}}.$ | \boxed{2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริงบวก $x$ ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับสมการ
\[\lfloor x^2 \rfloor - x \lfloor x \rfloor = 6.\] | ให้ $n = \lfloor x \rfloor$ และ $f = \{x\}.$ ดังนั้น $x = n + f,$ ดังนั้น
\[\lfloor n^2 + 2nf + f^2 \rfloor - (n + f) n = 6.\]เนื่องจาก $n^2$ เป็นจำนวนเต็ม เราสามารถนำมันออกจากฟังก์ชันพื้นเพื่อให้ได้
\[n^2 + \lfloor 2nf + f^2 \rfloor - n^2 - nf = 6.\]ดังนั้น,
\[\lfloor 2nf + f^2 \rfloor - nf = 6.\]เนื่องจาก $\lfloor 2nf + f^2 \rfloor$ และ 6 เป็นจำนวนเต็ม $nf$ ก็ต้องเป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ดังนั้นเราสามารถนำ $2nf$ ออกจากฟังก์ชันพื้นเพื่อให้ได้
\[2nf + \lfloor f^2 \rfloor = nf + 6,\]ดังนั้น $nf + \lfloor f^2 \rfloor = 6.$
เนื่องจาก $0 \le f < 1,$ $0 \le f^2 < 1,$ ดังนั้น $\lfloor f^2 \rfloor = 0.$ ดังนั้น $nf = 6,$ ดังนั้น
\[n = \frac{6}{f}.\]เนื่องจาก $f < 1,$ $n > 6.$ ค่าที่เป็นไปได้น้อยที่สุดของ $n$ คือ 7. ถ้า $n = 7,$ ดังนั้น $f = \frac{6}{7},$ ดังนั้น $x = 7 + \frac{6}{7} = \frac{55}{7},$ ซึ่งเป็นคำตอบ ดังนั้น คำตอบ $x$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{\frac{55}{7}}.$ | \boxed{\frac{55}{7}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชันตรรกยะ $\frac{1}{q(x)}$ ดังรูป ถ้า $q(x)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสองและ $q(2) = 6$ จงหา $q(x)$.
[asy]
size(8cm);
import graph;
Label f;
f.p=fontsize(6);
real f(real x) {return 1/(2*(x+1)*(x-1));}
int gridsize = 5;
draw((-gridsize,0)--(gridsize,0), black+1bp, Arrows(8));
draw((0,-gridsize)--(0, gridsize), black+1bp, Arrows(8));
label("$x$", (gridsize, 0), E);
label("$y$", (0, gridsize), N);
label("$0$", (0,0),SE, p=fontsize(8pt));
for (int i=-gridsize+1; i<0; ++i){
label("$"+string(i)+"$",(i,0),S, p=fontsize(8pt));
label("$"+string(i)+"$",(0,i),E, p=fontsize(8pt));}
for (int i=1; i<=gridsize-1; ++i){
label("$"+string(i)+"$",(i,0),S, p=fontsize(8pt));
label("$"+string(i)+"$",(0,i),E, p=fontsize(8pt));}
draw(graph(f,-5,-1.05));
draw(graph(f,-.95,.95));
draw(graph(f,1.05,5));
draw((-1,-5)--(-1,5), dashed);
draw((1,-5)--(1,5), dashed);
[/asy] | กราฟมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=-1$ และ $x=1$ เนื่องจากมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=-1$ จึงต้องมีตัวประกอบ $x+1$ ในตัวส่วน $q(x)$ เช่นเดียวกัน เนื่องจากมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=1$ จึงต้องมีตัวประกอบ $x-1$ ในตัวส่วน $q(x)$ เนื่องจาก $q(x)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง เราได้ว่า $q(x) = a(x-1)(x+1)$ สำหรับค่าคงที่ $a$ บางค่า เนื่องจาก $q(2) = 6$ เราได้ $a(2-1)(2+1) = 6$ และดังนั้น $a=2$
ดังนั้น $q(x) = 2(x - 1)(x + 1) = \boxed{2x^2 - 2}.$ | q(x) = 2(x - 1)(x + 1) = \boxed{2x^2 - 2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ดาวเคราะห์ชื่อ เซเวียร์ มีวงโคจรเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่ง เมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (จุดใกล้ดวงอาทิตย์) จะอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ 2 หน่วยดาราศาสตร์ (AU) และเมื่ออยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ที่สุด (จุดไกลดวงอาทิตย์) จะอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ 12 AU เมื่อเซเวียร์อยู่ตรงกลางของวงโคจรดังแสดง เซเวียร์จะอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์เท่าไร (หน่วย AU) ?
[asy]
unitsize(1 cm);
path ell = xscale(2)*arc((0,0),1,-85,265);
filldraw(Circle((0,-1),0.1));
filldraw(Circle((-1.4,0),0.2),yellow);
draw(ell,Arrow(6));
[/asy] | ให้ $A$ เป็นจุดใกล้ดวงอาทิตย์, ให้ $B$ เป็นจุดไกลดวงอาทิตย์, ให้ $F$ เป็นจุดโฟกัสที่ดวงอาทิตย์อยู่, ให้ $O$ เป็นศูนย์กลางของวงรี, และให้ $M$ เป็นตำแหน่งปัจจุบันของเซเวียร์
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, F, M, O;
path ell = xscale(2)*Circle((0,0),1);
A = (-2,0);
B = (2,0);
F = (-sqrt(3),0);
O = (0,0);
M = (0,-1);
draw(ell);
draw(A--M);
draw(O--M);
draw(F--M);
draw(A--B);
dot("$A$", A, W);
dot("$B$", B, E);
dot("$F$", F, N);
dot("$M$", M, S);
dot("$O$", O, N);
[/asy]
แล้ว $AB$ เป็นแกนเอกของวงรี และ $AB = 2 + 12 = 14.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจุดกึ่งกลาง $MF = AO = \frac{14}{2} = \boxed{7}.$ | MF = AO = \frac{14}{2} = \boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดพหุนามทั้งหมดในรูป
\[x^9 + a_8 x^8 + a_7 x^7 + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,\]โดยที่ $a_i \in \{0,1\}$ สำหรับทุก $0 \le i \le 8.$ จงหาจำนวนพหุนามดังกล่าวที่มีรากจำนวนเต็มที่แตกต่างกันเพียงสองราก | ถ้า $a_i$ ทั้งหมดเท่ากับ 0 พหุนามจะกลายเป็น $x^9 = 0$ ซึ่งมีรากจำนวนเต็มเพียงรากเดียวคือ $x = 0$ ดังนั้นเราสามารถสมมติได้ว่ามีสัมประสิทธิ์ $a_i$ ที่ไม่เท่ากับ 0 ให้ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $a_k \neq 0$ แล้วเราสามารถนำตัวประกอบ $x^k$ ออกมาได้ ซึ่งจะได้
\[x^k (x^{9 - k} + a_8 x^{8 - k} + a_7 x^{7 - k} + \dots + a_{k + 1} x + a_k) = 0.\]ตามทฤษฎีบทรากจำนวนเต็ม รากจำนวนเต็มใดๆ ของ $x^{9 - k} + a_8 x^{8 - k} + \dots + a_{k + 1} x + a_k = 0$ ต้องหาร $a_k = 1$ ลงตัว ดังนั้นรากจำนวนเต็มที่เป็นไปได้เพียงรากเดียวคือ 1 และ $-1$ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราแทน $x = 1$ เราจะเห็นว่า $x^{9 - k} = 1$ และพจน์อื่นๆ ทั้งหมดเป็นจำนวนไม่ติดลบ ดังนั้น $x = 1$ ไม่สามารถเป็นรากได้
ดังนั้นเพื่อให้พหุนามเดิมมีรากจำนวนเต็มที่แตกต่างกันสองราก รากเหล่านั้นต้องเป็น 0 และ $-1$ เพื่อให้ 0 เป็นราก เราเพียงแค่ต้องใช้ $a_0 = 0$ และพหุนามคือ
\[x^9 + a_8 x^8 + a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x = 0.\]เราต้องการให้ $x = -1$ เป็นรากด้วย เราได้ว่า $(-1)^9 = -1$ ดังนั้นเพื่อให้พหุนามกลายเป็น 0 ที่ $x = -1$ เราต้องเลือก $a_i$ บางตัวให้เท่ากับ 1 โดยเฉพาะถ้า $k$ เป็นจำนวน $i$ ที่ทำให้ $a_i = 1$ และ $i$ เป็นเลขคี่ จำนวน $i$ ที่ทำให้ $a_i = 1$ และ $i$ เป็นเลขคู่จะต้องเท่ากับ $k + 1$
มีดัชนีสี่ตัวที่เป็นเลขคี่ (1, 3, 5, 7) และดัชนีสี่ตัวที่เป็นเลขคู่ (2, 4, 6, 8) ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ $k$ คือ 0, 1, 2 และ 3
ยิ่งไปกว่านั้นสำหรับแต่ละ $k$ จำนวนวิธีในการเลือกดัชนีคี่ $k$ ตัวและดัชนีคู่ $k + 1$ ตัวคือ $\binom{4}{k} \binom{4}{k + 1}$ ดังนั้นจำนวนพหุนามดังกล่าวคือ
\[\binom{4}{0} \binom{4}{1} + \binom{4}{1} \binom{4}{2} + \binom{4}{2} \binom{4}{3} + \binom{4}{3} \binom{4}{4} = \boxed{56}.\] | \binom{4}{k} \binom{4}{k + 1}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหา khoảng cáchระหว่างจุดยอดของไฮเปอร์โบลา $9x^2 + 54x - y^2 + 10y + 55 = 0.$ | เติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[9(x + 3)^2 - (y - 5)^2 = 1,\]ซึ่งเราสามารถเขียนได้เป็น
\[\frac{(x + 3)^2}{1/9} - \frac{(y - 5)^2}{1} = 1.\]ดังนั้น $a^2 = \frac{1}{9}$ และ $b^2 = 1,$ ดังนั้น $a = \frac{1}{3}.$ ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดยอดคือ $2a = \boxed{\frac{2}{3}}.$ | 2a = \boxed{\frac{2}{3}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $\left\lceil\sqrt{\frac{9}{4}}\right\rceil+\left\lceil\frac{9}{4}\right\rceil+\left\lceil\left(\frac{9}{4}\right)^2\right\rceil$. | สมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $\left\lceil\frac{3}{2}\right\rceil+\left\lceil\frac{9}{4}\right\rceil+\left\lceil\frac{81}{16}\right\rceil$. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{3}{2}$ คือ $2$. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{9}{4}$ คือ $3$. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{81}{16}$ คือ $6$. ดังนั้น $2+3+6=\boxed{11}$. | 2+3+6=\boxed{11} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของผลคูณ \[\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{16}{12} \dotsm \frac{4n+4}{4n} \dotsm \frac{2008}{2004}.\] | สังเกตว่า 8 ในเศษของเศษส่วนแรกจะตัดกันกับ 8 ในส่วนของเศษส่วนที่สอง, 12 ในเศษส่วนที่สองจะตัดกันกับ 12 ในส่วนของเศษส่วนที่สาม และเช่นเดียวกัน เราจะเหลือเพียง $\frac{2008}{4} = \boxed{502}.$ | $\frac{2008}{4} = \boxed{502}.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A$, $M$, และ $C$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่ง $A+M+C=12$ จงหาค่าสูงสุดของ \[A\cdot M\cdot C+A\cdot M+M\cdot
C+C\cdot A?\] | กำหนดให้ $q$ เป็นปริมาณที่กำหนด $AMC+AM+MC+CA$ สังเกตว่า \[q + (A+M+C) + 1 = (A+1)(M+1)(C+1).\]โดย AM-GM,
\[(A + 1)(M + 1)(C + 1) \le \left[ \frac{(A + 1) + (M + 1) + (C + 1)}{3} \right]^3 = \left( \frac{A + M + C + 3}{3} \right)^3 = 125,\]ดังนั้น $q \le 125 - 12 - 1 = 112.$
สมการเป็นจริงเมื่อ $A = M = C = 4$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{112}.$ | \boxed{112}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาว $\log_4 27$ และ $\log_2 9.$ ถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $h,$ จงคำนวณ $4^h.$ | ให้ $t = \log_4 3.$ แล้ว $\log_4 27 = 3 \log_4 3 = 3t,$ และ $\log_2 9 = \frac{\log_4 9}{\log_4 2} = \frac{2 \log_4 3}{1/2} = 4t.$ ดังนั้นสามเหลี่ยมมีด้านในอัตราส่วน $3:4:5,$ ดังนั้น $h = 5t = 5 \log_4 3 = \log_4 243.$ ดังนั้น $4^h = \boxed{243}.$ | 4^h = \boxed{243}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น
\[\frac{1}{\log_{15} 2 + 1} + \frac{1}{\log_{10} 3 + 1} + \frac{1}{\log_6 5 + 1}.\] | โดยสูตรการเปลี่ยนฐาน
\begin{align*}
\frac{1}{\log_{15} 2 + 1} + \frac{1}{\log_{10} 3 + 1} + \frac{1}{\log_6 5 + 1} &= \frac{1}{\frac{\log 2}{\log 15} + 1} + \frac{1}{\frac{\log 3}{\log 10} + 1} + \frac{1}{\frac{\log 5}{\log 6} + 1} \\
&= \frac{\log 15}{\log 2 + \log 15} + \frac{\log 10}{\log 3 + \log 10} + \frac{\log 6}{\log 5 + \log 6} \\
&= \frac{\log 15}{\log 30} + \frac{\log 10}{\log 30} + \frac{\log 6}{\log 30} \\
&= \frac{\log 15 + \log 10 + \log 6}{\log 30} \\
&= \frac{\log 900}{\log 30} = \frac{2 \log 30}{\log 30} = \boxed{2}.
\end{align*} | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติที่ว่า สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ ในโดเมนของมัน $1/x$ ก็อยู่ในโดเมนของมันเช่นกัน และ \[
f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = x.
\]เซตของจำนวนจริงที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในโดเมนของ $f$ คือเซตใด?
(a) ${\{x\mid x\ne0\}}$
(b) ${\{x\mid x<0\}}$
(c) ${\{x\mid x>0\}}$
(d) ${\{x\mid x\ne-1\ \text{and}\ x\ne0\ \text{and}\ x\ne1\}}$
(e) ${\{-1,1\}}$ | เงื่อนไขของ $f$ หมายความว่า \[
x = f(x) + f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right)\]และ \[\frac{1}{x} = f\left(\frac{1}{x}\right) +
f\displaystyle\left(\frac{1}{1/x}\displaystyle\right) = f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right) + f(x).
\]ดังนั้น ถ้า $x$ อยู่ในโดเมนของ $f$ แล้ว $x = 1/x$ ดังนั้น $x = \pm 1$.
เงื่อนไขจะสอดคล้องก็ต่อเมื่อ $f(1)=1/2$ และ $f(-1)=-1/2$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{E}$. | \boxed{E} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.