question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาค่าของ $\lambda$ ที่เป็นจำนวนจริงมากที่สุดที่ทำให้
\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge ab + \lambda bc + cd\]สำหรับจำนวนจริงไม่เป็นลบ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ ทั้งหมด | กำหนด
\[f(a,b,c,d) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - (ab + \lambda bc + cd).\]สำหรับค่า $b,$ $c,$ และ $d$ ที่คงที่ $f(a,b,c,d)$ จะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อ $a = \frac{b}{2}.$ เช่นเดียวกัน สำหรับค่า $a,$ $b,$ $c$ ที่คงที่ $f(a,b,c,d)$ จะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อ $d = \frac{c}{2}.$ ดังนั้น เราเพียงแค่พิจารณากรณีที่ $a = \frac{b}{2}$ และ $d = \frac{c}{2}$ ซึ่งในกรณีนี้ อสมการที่กำหนดจะกลายเป็น
\[\frac{5b^2}{4} + \frac{5c^2}{4} \ge \frac{b^2}{2} + \lambda bc + \frac{c^2}{2},\]หรือ $5b^2 + 5c^2 \ge 2b^2 + 4 \lambda bc + 2c^2.$ ซึ่งจะลดรูปเป็น
\[3b^2 + 3c^2 \ge 4 \lambda bc.\]นำ $b = c = 1$ เราจะได้ $6 \ge 4 \lambda$ ดังนั้น $\lambda \le \frac{3}{2}.$
ในทางกลับกัน ถ้า $\lambda = \frac{3}{2}$ อสมการข้างต้นจะกลายเป็น
\[3b^2 + 3c^2 \ge 6bc,\]ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก AM-GM ดังนั้นค่า $\lambda$ ที่มากที่สุดคือ $\boxed{\frac{3}{2}}.$ | \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสามแถวแรกของสามเหลี่ยมปาสกาล ดังนี้
\[
\begin{array}{ccccccc}
& & 1 & & 1 & & \\
& 1 & & 2 & & 1 & \\
1 & & 3 & & 3 & & 1
\end{array}
\]ให้ $(a_i),$ $(b_i),$ $(c_i)$ เป็นลำดับของสมาชิกในแถวที่ 2005, 2006 และ 2007 ตามลำดับ โดยสมาชิกทางซ้ายสุดมีค่า $i = 0.$ จงคำนวณ
\[\sum_{i = 0}^{2006} \frac{b_i}{c_i} - \sum_{i = 0}^{2005} \frac{a_i}{b_i}.\] | โดยทั่วไป สมมติว่า $(a_i),$ $(b_i),$ $(c_i)$ แทนสมาชิกในแถวที่ $n - 1,$ $n,$ $n + 1$ ของสามเหลี่ยมปาสกาล ตามลำดับ ดังนั้น
\[a_i = \binom{n - 1}{i}, \ b_i = \binom{n}{i}, \ c_i = \binom{n + 1}{i},\]ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{a_i}{b_i} &= \frac{\binom{n - 1}{i}}{\binom{n}{i}} \\
&= \frac{\frac{(n - 1)!}{i! (n - i - 1)!}}{\frac{n!}{i! (n - i)!}} \\
&= \frac{(n - 1)! (n - i)!}{n! (n - i - 1)!} \\
&= \frac{n - i}{n} \\
&= 1 - \frac{i}{n}.
\end{align*}ดังนั้น
\begin{align*}
\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{a_i}{b_i} &= \sum_{i = 0}^{n - 1} \left( 1 - \frac{i}{n} \right) \\
&= n - \frac{(n - 1)n/2}{n} \\
&= n - \frac{n - 1}{2} = \frac{n + 1}{2}.
\end{align*}ในทำนองเดียวกัน
\[\frac{b_i}{c_i} = 1 - \frac{i}{n + 1},\]และ
\[\sum_{i = 0}^n \frac{b_i}{c_i} = \frac{n + 2}{2}.\]ดังนั้น
\[\sum_{i = 0}^n \frac{b_i}{c_i} - \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{a_i}{b_i} = \frac{n + 2}{2} - \frac{n + 1}{2} = \boxed{\frac{1}{2}}.\] | 1/2 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการอสมการ
\[-4x^2 + 7x + 2 < 0.\] | สมการอสมการตัวนี้แยกตัวประกอบได้เป็น
\[-(4x + 1)(x - 2) < 0.\]ดังนั้นคำตอบคือ $x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}.$ | x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(x + f(x)) = 4f(x)\]สำหรับทุกค่า $x,$ และ $f(1) = 4.$ จงหาค่า $f(21).$ | แทน $x$ ด้วย 1, เราได้ $f(1 + f(4)) = 4f(1),$ ดังนั้น
\[f(5) = 16.\]แทน $x$ ด้วย 5, เราได้ $f(5 + f(5)) = 4f(5),$ ดังนั้น
\[f(21) = \boxed{64}.\] | f(5 + f(5)) = 4f(5), | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใดที่นิพจน์ $\frac{\log{(3-x)}}{\sqrt{x-1}}$ ถูกนิยาม? | นิพจน์ภายในรากที่สองต้องมากกว่า 0 เพราะตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้ ดังนั้น $x-1>0$ ดังนั้น $x>1$. นิพจน์ภายในลอการิทึมต้องมากกว่า 0 ดังนั้น $3-x>0$ ซึ่งจะได้ $x<3$. ดังนั้นช่วงของ $x$ ที่นิพจน์ $\frac{\log{(3-x)}}{\sqrt{x-1}}$ ถูกนิยามคือ $1<x<3$ ซึ่งคือ $\boxed{(1,3)}$. | \boxed{(1,3)} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ 19 และผลต่างของสองจำนวนนั้นคือ 5 จงหาผลคูณของสองจำนวนนั้น | ให้จำนวนทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ ปัญหาจะแปลเป็นระบบสมการดังนี้: \begin{align*}
x+y &= 19\\
x-y &= 5.
\end{align*} บวกสมการทั้งสองจะได้ $x+y+x-y = 24$ ซึ่งหมายถึง $2x = 24$ ดังนั้น $x = 12$ ลบสมการทั้งสองจะได้ $(x+y)-(x-y) = 14$ ซึ่งหมายถึง $2y = 14$ ดังนั้น $y = 7$ ผลคูณที่ต้องการคือ $xy = 12\cdot7 =\boxed{84}$ | xy = 12\cdot7 =\boxed{84} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(x) + 2f(1 - x) = 3x^2\]สำหรับทุก $x.$ จงหาค่าของ $f(4).$ | แทน $x = 4$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด จะได้
\[f(4) + 2f(-3) = 48.\]แทน $x = -3$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด จะได้
\[f(-3) + 2f(4) = 27.\]คูณสมการที่สองด้วย 2 จะได้ $2f(-3) + 4f(4) = 54.$ ลบสมการ $f(4) + 2f(-3) = 48$ จะได้ $3f(4) = 6$ ดังนั้น $f(4) = \boxed{2}.$ | f(4) = \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\log_2 \frac{2}{1} + \log_2 \frac{3}{2} + \cdots + \log_2 \frac{2009}{2008} + \log_2 \frac{2010}{2009}$ | จงจำไว้ว่า $\log_2 \frac{x}{y} = \log_2 x - \log_2 y$. นำเอกลักษณ์นี้ไปใช้กับแต่ละพจน์ในผลรวม เราพบว่าผลรวมเท่ากับ $(\log_2 2 - \log_2 1) + (\log_2 3 - \log_2 2) + \cdots + (\log_2 2010 - \log_2 2009)$. พจน์กลางส่วนใหญ่จะยกเลิกซึ่งกันและกัน; นิพจน์ในที่สุดจะประเมินเป็น
\[\log_2 2010 - \log_2 1 = \log_2 2010.\]โปรดทราบว่า $2^{10} = 1024$ แต่ $2^{11} = 2048$ ดังนั้น $10 < \log_2 2010 < 11$. ดังนั้นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\log_2 \frac{2}{1} + \log_2 \frac{3}{2} + \cdots + \log_2 \frac{2009}{2008} + \log_2 \frac{2010}{2009}$ คือ $\boxed{10}$. | \boxed{10} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $a > b.$ จงคำนวณค่าของ
\[\frac{1}{ba} + \frac{1}{a(2a - b)} + \frac{1}{(2a - b)(3a - 2b)} + \frac{1}{(3a - 2b)(4a - 3b)} + \dotsb.\] | พจน์ที่ $n$ คือ
\[\frac{1}{[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]}.\]เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
\frac{1}{[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]} &= \frac{a - b}{(a - b)[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]} \\
&= \frac{[na - (n - 1) b] - [(n - 1) a - (n - 2) b]}{(a - b)[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]} \\
&= \frac{1}{(a - b)[(n - 1)a - (n - 2)b]} - \frac{1}{(a - b)[na - (n - 1)b]}.
\end{align*}ดังนั้น,
\begin{align*}
&\frac{1}{ba} + \frac{1}{a(2a - b)} + \frac{1}{(2a - b)(3a - 2b)} + \frac{1}{(3a - 2b)(4a - 3b)} + \dotsb \\
&= \left( \frac{1}{(a - b)b} - \frac{1}{(a - b)a} \right) + \left( \frac{1}{(a - b)a} - \frac{1}{(a - b)(2a - b)} \right) + \left( \frac{1}{(a - b)(2a - b)} - \frac{1}{(a - b)(3a - 2b)} \right) + \dotsb \\
&= \boxed{\frac{1}{(a - b)b}}.
\end{align*} | n | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x = (2 + \sqrt{3})^{1000},$ ให้ $n = \lfloor x \rfloor,$ และให้ $f = x - n.$ จงหา
\[x(1 - f).\] | กำหนดให้ $\alpha = 2 + \sqrt{3}$ และ $\beta = 2 - \sqrt{3}.$ ให้พิจารณาจำนวน
\begin{align*}
N &= \alpha^{1000} + \beta^{1000} \\
&= (2 + \sqrt{3})^{1000} + (2 - \sqrt{3})^{1000} \\
&= 2^{1000} + \binom{1000}{1} 2^{999} (\sqrt{3}) + \binom{1000}{2} 2^{998} (\sqrt{3})^2 + \binom{1000}{3} (\sqrt{3})^3 + \dotsb \\
&\quad + 2^{1000} - \binom{1000}{1} 2^{999} (\sqrt{3}) + \binom{1000}{2} 2^{998} (\sqrt{3})^2 - \binom{1000}{3} (\sqrt{3})^3 + \dotsb.
\end{align*}เมื่อนำ $(2 + \sqrt{3})^{1000}$ และ $(2 - \sqrt{3})^{1000}$ บวกกัน เราจะเห็นว่าพจน์ที่ประกอบด้วย $\sqrt{3}$ จะตัดกันหมด ซึ่งหมายความว่าเราจะเหลือเพียงจำนวนเต็ม
ยิ่งไปกว่านั้น,
\[\beta = 2 - \sqrt{3} = \frac{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} < 1,\]ดังนั้น $0 < \beta^{1000} < 1.$
ด้วยเหตุนี้
\[N - 1 < \alpha^{1000} < N,\]ซึ่งหมายความว่า $n = \lfloor \alpha^{1000} \rfloor = N - 1.$
จากนั้น
\[f = x - n = \alpha^{1000} - (N - 1) = 1 - \beta^{1000},\]ดังนั้น $1 - f = \beta^{1000}.$ ดังนั้น,
\begin{align*}
x(1 - f) &= \alpha^{1000} \beta^{1000} \\
&= (\alpha \beta)^{1000} \\
&= [(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})]^{1000} \\
&= 1^{1000} \\
&= \boxed{1}.
\end{align*} | 1 - f = \beta^{1000}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ กำหนด
\begin{align*}
A &= \sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 5} + \sqrt{z + 10}, \\
B &= \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} + \sqrt{z + 1}.
\end{align*}จงหาค่าต่ำสุดของ $A^2 - B^2.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
A^2 - B^2 &= (A + B)(A - B) \\
&= (\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 5} + \sqrt{y + 1} + \sqrt{z + 10} + \sqrt{z + 1}) \\
&\quad \times (\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 5} - \sqrt{y + 1} + \sqrt{z + 10} - \sqrt{z + 1}).
\end{align*}กำหนด
\begin{align*}
a_1 &= \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}, \\
b_1 &= \sqrt{y + 5} + \sqrt{y + 1}, \\
c_1 &= \sqrt{z + 10} + \sqrt{z + 1}, \\
a_2 &= \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}, \\
b_2 &= \sqrt{y + 5} - \sqrt{y + 1}, \\
c_2 &= \sqrt{z + 10} - \sqrt{z + 1}.
\end{align*}จากอสมการ Cauchy-Schwarz เราได้
\begin{align*}
A^2 - B^2 &= (a_1 + b_1 + c_1)(a_2 + b_2 + c_2) \\
&\ge (\sqrt{a_1 a_2} + \sqrt{b_1 b_2} + \sqrt{c_2 c_2})^2 \\
&= (1 + 2 + 3)^2 \\
&= 36.
\end{align*}สมการเป็นจริงเมื่อ
\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2},\]หรือเทียบเท่ากับ
\[\frac{x + 2}{x + 1} = \frac{y + 5}{y + 1} = \frac{z + 10}{z + 1}.\]ตัวอย่างเช่น ถ้าเราให้แต่ละเศษส่วนเท่ากับ 2 เราจะได้ $x = 0,$ $y = 3,$ และ $z = 8.$
ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{36}.$ | \boxed{36}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวน $a+\sqrt{b}$ และคอนจูเกตของรากที่สองของมัน มีผลรวมเป็น $-4$ และผลคูณเป็น $1$ จงหา $a+b$ | คอนจูเกตของรากที่สองของ $a+\sqrt{b}$ คือ $a-\sqrt{b}$ ดังนั้นผลรวมของมันคือ $2a$ ดังนั้น $2a=-4$ ซึ่งจะได้ $a=-2$ ผลคูณของ $(a+\sqrt{b})\cdot(a-\sqrt{b})=a^2-b=1$ แทนค่า $a$ ลงไป เราจะสามารถหาค่า $b$ ได้ $b=(-2)^2-1=3$ ดังนั้น $a+b=-2+3=\boxed{1}$ | a+b=-2+3=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ $\sqrt[4]{12960000}.$ | เนื่องจาก $6^4=6\cdot6\cdot6\cdot6=36\cdot6\cdot6=216\cdot6=1296$ และ $10^4=10000$ เราได้ว่า $60^4=6^4\cdot10^4=12960000$ ดังนั้น $$\sqrt[4]{12960000}=\boxed{60}.$$ | 60 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\sqrt[3]{15x - 1} + \sqrt[3]{13x + 1} = 4 \sqrt[3]{x}.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | จากสมการที่กำหนดให้
\[\sqrt[3]{15x - 1} + \sqrt[3]{13x + 1} - 4 \sqrt[3]{x} = 0.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่ได้เป็น
\[\sqrt[3]{15x - 1} + \sqrt[3]{13x + 1} + \sqrt[3]{-64x} = 0.\]กำหนดให้ $a = \sqrt[3]{15x - 1},$ $b = \sqrt[3]{13x + 1},$ และ $c = \sqrt[3]{-64x},$ ดังนั้น $a + b + c = 0.$ จากการแยกตัวประกอบ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ab - bc),\]เราได้ว่า $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.$ ดังนั้น,
\[-36x = 3 \sqrt[3]{(15x - 1)(13x + 1)(-64x)}.\]เราสามารถทำให้สมการง่ายขึ้นได้เป็น
\[3x = \sqrt[3]{(15x - 1)(13x + 1)x}.\]ยกกำลังสามทั้งสองข้าง เราจะได้ $27x^3 = 195x^3 + 2x^2 - x,$ ดังนั้น $168x^3 + 2x^2 - x = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $x(14x - 1)(12x + 1) = 0,$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{0, \frac{1}{14}, -\frac{1}{12}}.$ | \boxed{0, \frac{1}{14}, -\frac{1}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ
\[|z - 3i| + |z - 4| = 5.\]จงหาค่าต่ำสุดของ $|z|.$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม,
\[|z - 3i| + |z - 4| = |z - 4| + |3i - z| \ge |(z - 4) + (3i - z)| = |-4 + 3i| = 5.\]แต่เราทราบว่า $|z - 3i| + |z - 4| = 5.$ วิธีเดียวที่ความเท่ากันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ 4 และ $3i$ ในระนาบเชิงซ้อน.
[asy]
unitsize(1 cm);
pair Z = interp((0,3),(4,0),0.6);
pair P = ((0,0) + reflect((4,0),(0,3))*(0,0))/2;
draw((4,0)--(0,3),red);
draw((-1,0)--(5,0));
draw((0,-1)--(0,4));
draw((0,0)--Z);
draw((0,0)--P);
draw(rightanglemark((0,0),P,(4,0),8));
dot("$4$", (4,0), S);
dot("$3i$", (0,3), W);
dot("$z$", Z, NE);
label("$h$", P/2, NW);
[/asy]
เราต้องการย่อ $|z|$ เราเห็นว่า $|z|$ น้อยที่สุดเมื่อ $z$ ตรงกับการฉายของจุดกำเนิดบนส่วนของเส้นตรง
พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด 0, 4 และ $3i$ คือ
\[\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6.\]พื้นที่นี้ยังเป็น
\[\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h = \frac{5h}{2},\]ดังนั้น $h = \boxed{\frac{12}{5}}.$ | h = \boxed{\frac{12}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $S$ แทนค่าของผลรวม\[\sum_{n=0}^{668} (-1)^{n} {2004 \choose 3n}\]จงหาเศษที่ได้เมื่อ $S$ หารด้วย $1000$.
| พิจารณาพหุนาม\[f(x)=(x-1)^{2004}=\sum_{n=0}^{2004}\binom{2004}{n}\cdot(-1)^n x^{2004-n}.\]
ให้ $\omega^3=1$ โดยที่ $\omega\neq 1$ เราได้
\begin{align*} \frac{f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)}{3} &= \frac{(1-1)^{2004}+(\omega-1)^{2004}+(\omega^2-1)^{2004}}{3} \\ &= \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{2004}\binom{2004}{n}\cdot(-1)^n\cdot(1^{2004-n}+\omega^{2004-n}+(\omega^2)^{2004-n}) \\ &= \sum_{n=0}^{668}(-1)^n \binom{2004}{3n}. \end{align*}
โดยขั้นตอนสุดท้ายเกิดขึ้นเนื่องจาก $1^k+\omega^k+\omega^{2k}$ เป็น 0 เมื่อ $k$ ไม่หารด้วย 3 และเป็น 3 เมื่อ $k$ หารด้วย 3.
เราคำนวณ $\frac{(1-1)^{2004}+(\omega-1)^{2004}+(\omega^2-1)^{2004}}{3}$ ต่อไป โดยไม่เสียความ générales ให้ $\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, \omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$. แล้ว $\omega-1=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} = \sqrt{3}\cdot \frac{-\sqrt{3}+i}{2}$, และ $\omega^2-1=\sqrt{3}\cdot\frac{-\sqrt{3}-i}{2}$. จำนวนเหล่านี้เป็นของรูปแบบ $\sqrt{3}\cdot\varphi$ โดยที่ $\varphi$ เป็นรากที่ 12 ของ 1 ดังนั้นเมื่อยกกำลัง 2004 จะกลายเป็น $3^{1002}$ ดังนั้นผลรวมที่ต้องการของเราจะกลายเป็น $2\cdot3^{1001}$.
เพื่อหา $2\cdot3^{1001} \pmod{1000}$ เราสังเกตว่า $3^{\phi{500}}\equiv 3^{200}\equiv 1 \pmod{500}$ ดังนั้น $3^{1001}\equiv 3 \pmod{500}$. ดังนั้น $2\cdot3^{1001}=2(500k+3)=1000k+6$. ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{6}$. | \boxed{6} | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
จงหาขอบเขตของฟังก์ชันค่าจริง $$f(x)=\sqrt{3-\sqrt{5-\sqrt{x}}}.$$ | เพื่อให้ค่าภายในรากที่สองชั้นในเป็นไม่เป็นลบ เราต้องมี $x\geq 0$. เพื่อให้รากที่สองตรงกลางเป็นจริง เราต้องมี $$5-\sqrt{x}\geq 0$$ $$\Rightarrow 25\geq x.$$ สุดท้าย รากที่สองชั้นนอกต้องการ $$3-\sqrt{5-\sqrt{x}}\geq 0$$ หรือ $$9\geq 5-\sqrt{x}$$ $$\Rightarrow \sqrt{x}\geq -4,$$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ รวมข้ออสมการของเรา เราได้ $$0\leq x\leq 25,$$ หรือ $x \in \boxed{[0, 25]}$ ในสัญกรณ์ช่วง | x \in \boxed{[0, 25]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หนึ่งในรากของ
\[ax^3 + 3x^2 + bx - 65 = 0,\]คือ $-2 - 3i,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง จงหาว่ารากจริงของพหุนามลูกบาศก์นี้คืออะไร | เนื่องจาก $-2 - 3i$ เป็นราก
\[a (-2 - 3i)^3 + 3 (-2 - 3i)^2 + b (-2 - 3i) - 65 = 0.\]เมื่อขยายออกจะได้
\[(-80 + 46a - 2b) + (36 - 9a - 3b)i = 0.\]ดังนั้น $-80 + 46a - 2b = 0$ และ $36 - 9a - 3b = 0.$ เมื่อแก้สมการจะได้ $a = 2$ และ $b = 6.$
พหุนามลูกบาศก์คือ $2x^3 + 3x^2 + 6x - 65 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(2x - 5)(x^2 + 4x + 13) = 0.$ ดังนั้น รากจริงคือ $\boxed{\frac{5}{2}}.$ | \boxed{\frac{5}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x) - 2 f \left( \frac{1}{x} \right) = 4^x\]สำหรับทุก $x \neq 0.$ จงหา $f(2).$ | แทน $x = 2,$ เราได้
\[f(2) - 2 f \left( \frac{1}{2} \right) = 16.\]แทน $x = 1/2,$ เราได้
\[f \left( \frac{1}{2} \right) - 2f(2) = 2.\]แก้สมการเหล่านี้เป็นระบบใน $f(2)$ และ $f \left( \frac{1}{2} \right),$ เราได้ $f(2) = \boxed{-\frac{20}{3}}$ และ $f \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{34}{3}.$ | f \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{34}{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ต่างกัน ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{a^3 + 6}{a} = \frac{b^3 + 6}{b} = \frac{c^3 + 6}{c}.\]จงหาค่าของ $a^3 + b^3 + c^3.$ | กำหนดให้
\[k = \frac{a^3 + 6}{a} = \frac{b^3 + 6}{b} = \frac{c^3 + 6}{c}.\]ดังนั้น $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ
\[k = \frac{x^3 + 6}{x},\]หรือ $x^3 - kx + 6 = 0.$ โดยใช้สูตรของ Vieta's, $a + b + c = 0.$
นอกจากนี้,
\begin{align*}
a^3 - ka + 6 &= 0, \\
b^3 - kb + 6 &= 0, \\
c^3 - kc + 6 &= 0.
\end{align*}บวกสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ $a^3 + b^3 + c^3 - k(a + b + c) + 18 = 0,$ ดังนั้น $a^3 + b^3 + c^3 = k(a + b + c) - 18 = \boxed{-18}.$ | a^3 + b^3 + c^3 = k(a + b + c) - 18 = \boxed{-18}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ถูกจารึกไว้ในบริเวณที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา $y = x^2 - 8x + 12$ และแกน $x$ ดังแสดงด้านล่าง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$.
[asy]
unitsize(0.8 cm);
real parab (real x) {
return(x^2 - 8*x + 12);
}
pair A, B, C, D;
real x = -1 + sqrt(5);
A = (4 - x,0);
B = (4 + x,0);
C = (4 + x,-2*x);
D = (4 - x,-2*x);
draw(graph(parab,1.5,6.5));
draw(A--D--C--B);
draw((1,0)--(7,0));
label("$A$", A, N);
label("$B$", B, N);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, SW);
[/asy] | สังเกตว่าแกนสมมาตรของพาราโบลาคือ $x = \frac{-(-8)}{2\cdot1}=4.$
ให้ $2t$ เป็นความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้ว
\begin{align*}
A &= (4 - t, 0), \\
B &= (4 + t, 0), \\
C &= (4 + t, -2t), \\
D &= (4 - t, -2t).
\end{align*}แต่ $C$ อยู่บนพาราโบลา $y = x^2 - 8x + 12 = (x - 4)^2 - 4,$ ดังนั้น
\[-2t = t^2 - 4.\]แล้ว $t^2 + 2t - 4 = 0,$ ดังนั้นโดยสูตรกำลังสอง
\[t = -1 \pm \sqrt{5}.\]เนื่องจาก $t$ เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวด้าน ดังนั้น $t$ ต้องเป็นบวก และ $t = -1 + \sqrt{5}.$ ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ
\[(2t)^2 = (-2 + 2 \sqrt{5})^2 = \boxed{24 - 8 \sqrt{5}}.\] | 24 - 8√5 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใดที่ทำให้ \[\frac{x-10x^2+25x^3}{8-x^3}\]เป็นค่าไม่เป็นลบ? แสดงคำตอบในรูปช่วง | ก่อนอื่นเราแยกตัวประกอบ $x$ จากตัวเศษ \[\frac{x(1-10x+25x^2)}{8-x^3}.\]จากนั้นเราเห็นกำลังสองของทวินามในตัวเศษ ดังนั้นนิพจน์ของเราเท่ากับ \[\frac{x(1-5x)^2}{8-x^3}.\]ตัวส่วนมีรากจริงเพียงรากเดียวคือ $x=2$ และเราสามารถเข้าใจได้ดีขึ้นโดยใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสาม \[\frac{x(1-5x)^2}{(2-x)(x^2+2x+4)}.\]ตอนนี้เราสามารถแยกตัวประกอบฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมดได้เป็น \[\left(\frac{x}{2-x}\right)\left(\frac{(1-5x)^2}{x^2+2x+4}\right).\]โปรดทราบว่าตัวส่วน $x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3$ เป็นค่าบวกเสมอ ตัวประกอบ $x$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่ $x = 0,$ ตัวประกอบ $2 - x$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่ $x = 2,$ และตัวประกอบ $1 - 5x$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่ $x = \frac{1}{5}.$ เราสร้างแผนภูมิเครื่องหมายตามนั้น
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x < 0 & 0 < x < \frac{1}{5} & \frac{1}{5} < x < 2 & 2 < x \\ \hline
x & - & + & + & + \\
2 - x & + & + & + & - \\
(1 - 5x)^2 & + & + & + & + \\
\left(\frac{x}{2-x}\right)\left(\frac{(1-5x)^2}{x^2+2x+4}\right) & - & + & + & -
\end{array}
\]นอกจากนี้ นิพจน์
\[\left(\frac{x}{2-x}\right)\left(\frac{(1-5x)^2}{x^2+2x+4}\right)\]เท่ากับ 0 ที่ $x = 0$ และ $x = \frac{1}{5},$ ดังนั้นคำตอบของ
\[\left(\frac{x}{2-x}\right)\left(\frac{(1-5x)^2}{x^2+2x+4}\right) \ge 0\]คือ $x \in \boxed{[0,2)}.$ | x \in \boxed{[0,2)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{4z}{2x + y} + \frac{4x}{y + 2z} + \frac{y}{x + z}.\] | กำหนดให้ $a = 2x,$ $b = y,$ และ $c = 2z.$ ดังนั้น $x = \frac{a}{2},$ $y = b,$ และ $z = \frac{c}{2},$ ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{4z}{2x + y} + \frac{4x}{y + 2z} + \frac{y}{x + z} &= \frac{2c}{a + b} + \frac{2a}{b + c} + \frac{2b}{\frac{a}{2} + \frac{c}{2}} \\
&= \frac{2c}{a + b} + \frac{2a}{b + c} + \frac{2b}{\frac{a}{2} + \frac{c}{2}} \\
&= 2 \left (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \right).
\end{align*}กำหนด
\[S = \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b}.\]แล้ว
\begin{align*}
S + 3 &= \frac{a}{b + c} + 1 + \frac{b}{a + c} + 1 + \frac{c}{a + b} + 1 \\
&= \frac{a + b + c}{b + c} + \frac{a + b + c}{a + c} + \frac{a + b + c}{a + b} \\
&= (a + b + c) \left (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \right) \\
&= \frac{1}{2} (2a + 2b + 2c) \left (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \right) \\
&= \frac{1}{2} [(b + c) + (a + c) + (a + b)] \left (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \right).
\end{align*}โดย Cauchy-Schwarz,
\[[(b + c) + (a + c) + (a + b)] \left (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \right) \ge (1 + 1 + 1)^2 = 9,\]ดังนั้น
\[S \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2},\]และ
\[\frac{4z}{2x + y} + \frac{4x}{y + 2z} + \frac{y}{x + z} \ge 2S = 3.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = b = c,$ หรือ $2x = y = 2z,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\left( r + \frac{1}{r} \right)^2 = 3,$ จงหา $r^3 + \frac{1}{r^3}.$ | ขยายพจน์ทางซ้ายมือ เราจะได้ $r^2 + 2 + \frac{1}{r^2} = 3,$ ดังนั้น
\[r^2 - 1 + \frac{1}{r^2} = 0.\]จากนั้น
\[r^3 + \frac{1}{r^3} = \left( r + \frac{1}{r} \right) \left( r^2 - 1 + \frac{1}{r^2} \right) = \boxed{0}.\] | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
תחוםของฟังก์ชัน $q(x) = x^4 + 4x^2 + 4$ คือ $[0,\infty)$. ช่วงของฟังก์ชันคืออะไร? | เรามี $q(x) = (x^2+2)^2$. เราต้องการหาเซตของ $y$ ทั้งหมดที่ทำให้ $q(x)=y$ มีคำตอบ เราต้องมี $y\ge 0$ เพราะ $q(x)$ เป็นกำลังสองและกำลังสองไม่เป็นลบ ภายใต้สมมติฐาน $y\ge 0$ เราได้:
$$\begin{array}{r r@{~=~}l}
& y & (x^2+2)^2 \\
\Leftrightarrow & \sqrt y & x^2+2 \\
\Leftrightarrow & \sqrt y-2 & x^2 \\
\end{array}$$เราเห็นว่า $\sqrt y-2\ge 0$ เพราะกำลังสองไม่เป็นลบ ดังนั้นเราต้องการ $y\ge 4$ เมื่อ $y\ge 4$ เราได้ $y=q(x)$ โดยการกำหนด $x$ เท่ากับ $\pm \sqrt{\sqrt y-2}$ และดังนั้นค่า $y$ ใดๆ ที่ $y\ge 4$ สามารถทำได้
ดังนั้นช่วงของ $q(x)$ คือ $\boxed{[4,\infty)}$. | \boxed{[4,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาคำตอบของ $z^2 - z = 5 - 5i.$
กรอกคำตอบ, แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียน $z^2 - z - (5 - 5i) = 0.$ โดยสูตรกำลังสอง,
\[z = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(5 - 5i)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21 - 20i}}{2}.\]ให้ $21 - 20i = (a + bi)^2,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง. สิ่งนี้จะขยายเป็น
\[a^2 + 2abi - b^2 = 21 - 20i.\]เมื่อเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เราได้ $a^2 - b^2 = 21$ และ $ab = -10,$ ดังนั้น $b = -\frac{10}{a}.$ เมื่อแทนค่า เราได้
\[a^2 - \frac{100}{a^2} = 21.\]แล้ว $a^4 - 21a^2 - 100 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(a^2 - 25)(a^2 + 4) = 0.$ เนื่องจาก $a$ เป็นจำนวนจริง $a^2 = 25,$ ซึ่งหมายความว่า $a = 5$ หรือ $a = -5.$
ถ้า $a = 5,$ แล้ว $b = -2,$ ดังนั้น
\[z = \frac{1 + 5 - 2i}{2} = 3 - i.\]ถ้า $a = -5,$ แล้ว $b = 2,$ ดังนั้น
\[z = \frac{1 - 5 + 2i}{2} = -2 + i.\]ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{3 - i, -2 + i}.$ | \boxed{3 - i, -2 + i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลหารของการหาร $(3z^4-4z^3+5z^2-11z+2)/(2+3z)$ | \[
\begin{array}{c|ccccc}
\multicolumn{2}{r}{z^3} & -2z^2&+3z&-\frac{17}{3} \\
\cline{2-6}
3z+2 & 3z^4 &- 4z^3 &+ 5z^2&-11z&+2 \\
\multicolumn{2}{r}{3z^4} & +2z^3 \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & -6z^3 & +5z^2 \\
\multicolumn{2}{r}{} &- 6z^3 &-4z^2 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0& 9z^2 & -11z \\
\multicolumn{2}{r}{} & & 9z^2 & +6z \\
\cline{4-5}
\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & -17z & +2 \\
\multicolumn{2}{r}{} & & & -17z & -\frac{34}{3} \\
\cline{5-6}
\multicolumn{2}{r}{} & & & 0 & +\frac{40}{3} \\
\end{array}
\]ดังนั้นผลหารคือ $\boxed{z^3 -2z^2+3z-\frac{17}{3}}$ | \boxed{z^3 -2z^2+3z-\frac{17}{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนาม $p(x),$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง โดยที่ $p(2) = 5$ และ
\[p(x) p(y) = p(x) + p(y) + p(xy) - 2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | ให้ $q(x) = p(x) - 1.$ ดังนั้น $p(x) = q(x) + 1,$ ดังนั้น
\[(q(x) + 1)(q(y) + 1) = q(x) + 1 + q(y) + 1 + q(xy) + 1 - 2.\]เมื่อขยาย, เราได้
\[q(x)q(y) + q(x) + q(y) + 1 = q(x) + q(y) + q(xy) + 1,\]ดังนั้น $q(xy) = q(x)q(y)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด
นอกจากนี้ $q(2) = p(2) - 1 = 4 = 2^2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
q(2^2) &= q(2) q(2) = 2^2 \cdot 2^2 = 2^4, \\
q(2^3) &= q(2) q(2^2) = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6, \\
q(2^4) &= q(2) q(2^3) = 2^2 \cdot 2^6 = 2^8,
\end{align*}และอื่นๆ. ดังนั้น,
\[q(2^n) = 2^{2n} = (2^n)^2\]สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด
เนื่องจาก $q(x) = x^2$ สำหรับค่าของ $x$ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด, โดยทฤษฎีบทเอกลักษณ์ $q(x) = x^2$ สำหรับ $x$ ทั้งหมด. ดังนั้น $p(x) = q(x) + 1 = \boxed{x^2 + 1}.$ | p(x) = q(x) + 1 = \boxed{x^2 + 1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริเวณระหว่างกราฟของ $y = f (x)$ และแกน $x$ ซึ่งถูกแรเงาในรูปนี้มีพื้นที่ 10 ตารางหน่วย พื้นที่ระหว่างกราฟของ $y = 3f (x -2)$ และแกน $x$ จะมีค่าเท่าใด
[asy]
defaultpen(linewidth(0.75));
fill((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle,gray(.7));
draw((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle);
draw((-15,0)--(80,0),Arrow);
draw((0,-10)--(0,50),Arrow);
draw((10,0)--(8.5,-7),Arrow);
draw((70,0)--(72,-7),Arrow);
label("$y = f(x)$",(5,65),S);
label("$x$",(80,-8));
[/asy] | กราฟของ $y=f(x-2)$ คือ กราฟของ $y=f(x)$ ที่เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ เป็นจุดบนกราฟของ $y=f(x)$ แล้ว $(a+2,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ จากนั้นกราฟของ $y=3f(x-2)$ คือ กราฟของ $y=f(x-2)$ ที่ปรับขนาดโดยปัจจัย 3 ในทิศทางแนวตั้ง เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ แล้ว $(a,3b)$ อยู่บนกราฟของ $y=3f(x-2)$ การยืดบริเวณในระนาบโดยปัจจัย 3 ในมิติหนึ่งจะเพิ่มพื้นที่ของมันเป็น 3 เท่า ดังนั้นพื้นที่ระหว่างกราฟของ $y=3f(x-2)$ และแกน $x$ คือ $\boxed{30}$ | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดสัมผัสของพาราโบลา $y = x^2 + 15x + 32$ และ $x = y^2 + 49y + 593$ | นำสมการทั้งสองบวกกัน จะได้
\[x + y = x^2 + 15x + 32 + y^2 + 49y + 593,\]หรือ $x^2 + 14x + y^2 + 48y + 625.$ เติมกำลังสองสมบูรณ์ใน $x$ และ $y,$ จะได้
\[(x + 7)^2 + (y + 24)^2 = 0.\]เราสามารถตรวจสอบได้ว่า $\boxed{(-7,-24)}$ อยู่บนพาราโบลาทั้งสอง ดังนั้น นี่คือจุดสัมผัส | \boxed{(-7,-24)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ
\[\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}.\] | พิจารณาแต่ละพจน์มีรูปแบบ $x^4 + 324$ เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้: \[\begin{aligned} x^4 + 324 &= (x^4 + 36x^2 + 324) - 36x^2\\& = (x^2+18)^2 - 36x^2 \\& = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18) \\ &= (x(x-6)+18)(x(x+6)+18). \end{aligned}\]ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดจึงเท่ากับ \[\frac{(10\cdot4+18)(10\cdot16+18)(22\cdot16+18)(22\cdot28+18) \dotsm (58\cdot52+18)(58\cdot64+18)}{(4\cdot(-2)+18)(4\cdot10+18)(16\cdot10+18)(16\cdot22+18) \dotsm (52\cdot46+18)(52\cdot58+18)}.\]พจน์ส่วนใหญ่จะตัดกันเหลือเพียง \[\frac{58 \cdot 64 + 18}{4 \cdot (-2) + 18} = \boxed{373}.\]หมายเหตุ: การแยกตัวประกอบ $x^4+324 = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18)$ เป็นกรณีพิเศษของเอกลักษณ์ Sophie Germain ซึ่งได้มาในลักษณะเดียวกัน; มันระบุว่า \[a^4 + 4b^4 = (a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).\] | 373 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคำตอบบวกของสมการ
\[x^3 - 3x^2 - x - \sqrt{2} = 0.\] | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $\sqrt{2},$ เราสามารถเดาได้ว่ารากบวกมีรูปแบบ $a + b \sqrt{2},$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นให้ $x = a + b \sqrt{2}.$ แทนค่าลงไปจะได้
\[(a + b \sqrt{2})^3 - 3(a + b \sqrt{2})^2 - (a + b \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 0.\]ซึ่งจะขยายเป็น
\[(a^3 + 3a^2 b \sqrt{2} + 6ab^2 + 2b^3 \sqrt{2}) - 3(a^2 + 2ab \sqrt{2} + 2b^2) - (a + b \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 0,\]ดังนั้น
\[(a^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 6b^2 - a) + (3a^2 b + 2b^3 - 6ab - b - 1) \sqrt{2} = 0.\]นั่นคือ
\begin{align*}
a^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 6b^2 - a &= 0, \\
3a^2 b + 2b^3 - 6ab - b - 1 &= 0.
\end{align*}จากสมการแรก
\[6ab^2 - 6b^2 = -a^3 + 3a^2 + a,\]ดังนั้น
\[6b^2 (a - 1) = -(a^3 - 3a^2 - a).\]นั่นคือ $a - 1$ หาร $a^3 - 3a^2 - a$ ลงตัว เนื่องจาก $a - 1$ หาร $(a - 1)(a - 3)(a + 1) = a^3 - 3a^2 - a + 3$ ลงตัว $a - 1$ หาร 3 ลงตัว นั่นหมายความว่า $a - 1$ สามารถเป็น $-3,$ $-1,$ 1, หรือ 3 ดังนั้น $a$ คือ $-2$, 0, 2, หรือ 4.
ถ้า $a = -2,$ แล้ว $b^2 = -1,$ ซึ่งไม่มีคำตอบ
ถ้า $a = 0,$ แล้ว $b^2 = 0,$ ดังนั้น $b = 0,$ ซึ่งไม่เป็นไปตามเงื่อนไข
ถ้า $a = 2,$ แล้ว $b^2 = 1,$ ดังนั้น $b = -1$ หรือ $b = 1.$ มีเพียง $a = 2$ และ $b = 1$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับสมการที่สอง
ถ้า $a = 4,$ แล้ว $b^2 = -\frac{2}{3},$ ซึ่งไม่มีคำตอบ
ดังนั้น $a = 2$ และ $b = 1$ เป็นคำตอบที่ถูกต้อง ดังนั้น $x = \boxed{2 + \sqrt{2}}.$ | x = \boxed{2 + \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n)=\log_{2002} n^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด จงหาค่าของ $f(11)+f(13)+f(14)$ | เรามีว่า
\begin{align*}
f(11) + f(13) + f(14) &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 + \log_{2002} 14^2 \\
&= \log_{2002} (11^2 \cdot 13^2 \cdot 14^2) \\
&= \log_{2002} 2002^2 \\
&= \boxed{2}.
\end{align*} | 2 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดลำดับ $b_1, b_2, \ldots$ โดย $b_1 = 1$, $b_2 = 2$, และ $b_{n+1} = b_n b_{n-1}$ จงคำนวณค่า $b_{20}$ | สังเกตว่าพจน์ $b_n$ ทุกพจน์จะเป็นกำลังของ 2 โดยเลขชี้กำลังจะเป็นผลรวมของเลขชี้กำลังของสองพจน์ก่อนหน้า ดังนั้น จงสร้างลำดับ $a_1, a_2, \ldots$ โดย $a_1 = 0$ และ $a_2 = 1$ และ $a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$ แน่นอน $a_{20}$ เท่ากับพจน์ที่ 19 ของลำดับฟีโบนักชี คือ 4181 ดังนั้น $b_{20} = 2^{a_{20}} = \boxed{2^{4181}}$ | b_{20} = 2^{a_{20}} = \boxed{2^{4181}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x^2-2x$ จงหาจำนวนจำนวนจริง $c$ ที่แตกต่างกันซึ่งสอดคล้องกับ $f(f(f(f(c)))) = 3$ | เราต้องการหาขนาดของเซต $f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(3)))).$ สังเกตว่า $f(x) = (x-1)^2-1 = 3$ มีคำตอบสองคำตอบคือ $x=3$ และ $x=-1$ และจุดคงที่ $f(x) = x$ คือ $x = 3$ และ $x=0$ ดังนั้น จำนวนของคำตอบจริงเท่ากับจำนวนของจำนวนจริง $c$ ที่แตกต่างกันซึ่งสอดคล้องกับ $c = 3$, $c=-1$, $f(c)=-1$ หรือ $f(f(c))=-1$, หรือ $f(f(f(c)))=-1$.
สมการ $f(x) = -1$ มีรากที่แน่นอนเพียงตัวเดียวคือ $x = 1$ ดังนั้น สมการสามสมการสุดท้ายเทียบเท่ากับ $c = 1, f(c) = 1$, และ $f(f(c))=1$. $f(c)
= 1$ มีสองคำตอบคือ $c = 1 \pm \sqrt{2}$ และสำหรับค่า $c$ แต่ละค่านี้มีพรีอิมเมจสองค่า ดังนั้น คำตอบคือ $1+1+1+2+4 = \boxed{9}$. | 1+1+1+2+4 = \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\frac{1}{x^2 + 11x - 8} + \frac{1}{x^2 + 2x - 8} + \frac{1}{x^2 - 13x - 8} = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ให้ $y = x^2 - 13x - 8.$ ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดให้ใหม่ได้เป็น
\[\frac{1}{y + 24x} + \frac{1}{y + 15x} + \frac{1}{y} = 0.\]คูณทุกสิ่งด้วย $(y + 24x)(y + 15x)y,$ เราได้
\[(y + 15x)y + y(y + 24x) + (y + 24x)(y + 15x) = 0.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $360x^2 + 78xy + 3y^2 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $3(20x + y)(6x + y) = 0.$ ดังนั้น $20x + y = 0$ หรือ $6x + y = 0.$
ถ้า $20x + y = 0,$ แล้ว $20x + x^2 - 13x - 8 = x^2 + 7x - 8 = (x - 1)(x + 8) = 0,$ ดังนั้น $x = 1$ หรือ $x = -8.$
ถ้า $6x + y = 0,$ แล้ว $6x + x^2 - 13x - 8 = x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1) = 0,$ ดังนั้น $x = 8$ หรือ $x = -1.$ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{8,1,-1,-8}.$ | \boxed{8,1,-1,-8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ $2+\sqrt{2}$ และ $1-\sqrt{3}$ เป็นรากของพหุนามนั้น | ถ้า $2+\sqrt{2}$ เป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว $2-\sqrt{2}$ ก็เป็นรากเช่นกัน ผลบวกของรากทั้งสองคือ $4$ และผลคูณของรากทั้งสองคือ $(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 4-2=2.$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่มีราก $2+\sqrt{2}$ และ $2-\sqrt{2}$ คือ $x^2-4x+2$.
ถ้า $1-\sqrt{3}$ เป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว $1+\sqrt{3}$ ก็เป็นรากเช่นกัน ผลบวกของรากทั้งสองคือ $2$ และผลคูณของรากทั้งสองคือ $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1-3=-2.$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่มีราก $1-\sqrt{3}$ และ $1+\sqrt{3}$ คือ $x^2-2x-2$.
ดังนั้น พหุนามกำลังสี่ที่มีราก $2+\sqrt{2}$ และ $1-\sqrt{3}$ คือ
$$(x^2-4x+2)(x^2-2x-2) = \boxed{x^4-6x^3+8x^2+4x-4}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[\frac{(a - b)(c - d)}{(b - c)(d - a)} = \frac{2}{5}.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{(a - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)}.\] | จากสมการที่กำหนดให้ $5(a - b)(c - d) = 2(b - c)(d - a),$ ซึ่งจะขยายเป็น
\[5ac - 5ad - 5bc + 5bd = 2bd - 2ab - 2cd + 2ac.\]สมการนี้จะง่ายขึ้นเป็น $2ab + 3ac + 3bd + 2cd = 5ad + 5bc,$ ดังนั้น
\[ad + bc = \frac{2ab + 3ac + 3bd + 2cd}{5}.\]จากนั้น
\begin{align*}
\frac{(a - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)} &= \frac{ab - ad - bc + cd}{ac - ad - bc + bd} \\
&= \frac{ab + cd - \frac{2ab + 3ac + 3bd + 2cd}{5}}{ac + bd - \frac{2ab + 3ac + 3bd + 2cd}{5}} \\
&= \frac{5ab + 5cd - 2ab - 3ac - 3bd - 2cd}{5ac + 5bd - 2ab - 3ac - 3bd - 2cd} \\
&= \frac{3ab - 3ac - 3bd + 3cd}{-2ab + 2ac + 2bd - 2cd} \\
&= \frac{3(ab - ac - bd + cd)}{-2(ab - ac - bd + cd)} \\
&= \boxed{-\frac{3}{2}}.
\end{align*} | $-\frac{3}{2}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f_{1}(x)=\sqrt{1-x}$, และสำหรับจำนวนเต็ม $n \geq 2$, กำหนด \[f_{n}(x)=f_{n-1}\left(\sqrt{n^2 - x}\right).\]ให้ $N$ เป็นค่าที่มากที่สุดของ $n$ ที่ทำให้โดเมนของ $f_n$ ไม่ว่าง สำหรับค่านี้ของ $N,$ โดเมนของ $f_N$ ประกอบด้วยจุดเดียว $\{c\}.$ จงคำนวณ $c.$ | ฟังก์ชัน $f_{1}(x)=\sqrt{1-x}$ ถูกนิยามเมื่อ $x\leq1$. ต่อไปนี้ \[f_{2}(x)=f_{1}(\sqrt{4-x})=\sqrt{1-\sqrt{4-x}}.\]เพื่อให้ถูกนิยาม เราต้องมี $4-x\ge0$ หรือ $x \le 4,$ และจำนวน $\sqrt{4-x}$ ต้องอยู่ในโดเมนของ $f_1,$ ดังนั้น $\sqrt{4-x} \le 1,$ หรือ $x \ge 3.$ ดังนั้น โดเมนของ $f_2$ คือ $[3, 4].$
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ $f_3(x) = f_2\left(\sqrt{9-x}\right)$ ที่จะถูกนิยาม เราต้องมี $x \le 9,$ และจำนวน $\sqrt{9-x}$ ต้องอยู่ในช่วง $[3, 4].$ ดังนั้น \[3 \le \sqrt{9-x} \le 4.\]ยกกำลังสองทุกส่วนของโซ่ความไม่เท่ากันนี้จะได้ $9 \le 9-x \le 16,$ และดังนั้น $-7 \le x \le 0.$ ดังนั้น โดเมนของ $f_3$ คือ $[-7, 0].$
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ $f_4(x) = f_3\left(\sqrt{16-x}\right)$ ที่จะถูกนิยาม เราต้องมี $x \le 16,$ และ $\sqrt{16-x}$ ต้องอยู่ในช่วง $[-7, 0].$ แต่ $\sqrt{16-x}$ เป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นเราต้องมี $\sqrt{16-x} = 0,$ หรือ $x=16.$ ดังนั้น โดเมนของ $f_4$ ประกอบด้วยจุดเดียว $\{16\}.$
เราเห็นว่า $f_5(x) = f_4\left(\sqrt{25-x}\right)$ ถูกนิยามก็ต่อเมื่อ $\sqrt{25-x} = 16,$ หรือ $x = 25 - 16^2 = -231.$ ดังนั้น โดเมนของ $f_5$ คือ $\{-231\}.$
โดเมนของ $f_6(x)$ ว่างเปล่า เพราะ $\sqrt{36-x}$ ไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบ เช่น $-231$ ได้ ดังนั้น $N = 5$ และ $c = \boxed{-231}.$ | c = \boxed{-231}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหารากบวกของสมการ
\[x^3 - 3x^2 - x - \sqrt{2} = 0.\] | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $\sqrt{2},$ เราสามารถเดาได้ว่ารากบวกมีรูปแบบ $a + b \sqrt{2},$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นให้ $x = a + b \sqrt{2}.$ แทนค่าลงไป เราจะได้
\[(a + b \sqrt{2})^3 - 3(a + b \sqrt{2})^2 - (a + b \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 0.\]ซึ่งจะขยายเป็น
\[(a^3 + 3a^2 b \sqrt{2} + 6ab^2 + 2b^3 \sqrt{2}) - 3(a^2 + 2ab \sqrt{2} + 2b^2) - (a + b \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 0,\]ดังนั้น
\[(a^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 6b^2 - a) + (3a^2 b + 2b^3 - 6ab - b - 1) \sqrt{2} = 0.\]นั่นคือ
\begin{align*}
a^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 6b^2 - a &= 0, \\
3a^2 b + 2b^3 - 6ab - b - 1 &= 0.
\end{align*}จากสมการแรก
\[6ab^2 - 6b^2 = -a^3 + 3a^2 + a,\]ดังนั้น
\[6b^2 (a - 1) = -(a^3 - 3a^2 - a).\]นั่นคือ $a - 1$ หาร $a^3 - 3a^2 - a$ ลงตัว เนื่องจาก $a - 1$ หาร $(a - 1)(a - 3)(a + 1) = a^3 - 3a^2 - a + 3$ ลงตัว $a - 1$ หาร 3 ลงตัว นั่นหมายความว่า $a - 1$ สามารถเป็น $-3,$ $-1,$ 1, หรือ 3 ได้ ดังนั้น $a$ คือ $-2$, 0, 2, หรือ 4.
ถ้า $a = -2,$ แล้ว $b^2 = -1,$ ซึ่งไม่มีคำตอบ
ถ้า $a = 0,$ แล้ว $b^2 = 0,$ ดังนั้น $b = 0,$ ซึ่งไม่เป็นไปตามเงื่อนไข
ถ้า $a = 2,$ แล้ว $b^2 = 1,$ ดังนั้น $b = -1$ หรือ $b = 1.$ มีเพียง $a = 2$ และ $b = 1$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับสมการที่สอง
ถ้า $a = 4,$ แล้ว $b^2 = -\frac{2}{3},$ ซึ่งไม่มีคำตอบ
ดังนั้น $a = 2$ และ $b = 1$ เป็นคำตอบที่ถูกต้อง ดังนั้น $x = \boxed{2 + \sqrt{2}}.$ | x = \boxed{2 + \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a_1 = a_2 = a_3 = 1.$ สำหรับ $n > 3,$ กำหนดให้ $a_n$ เป็นจำนวนของจำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[x^4 - 2a_{n - 1} x^2 + a_{n - 2} a_{n - 3} = 0.\]จงคำนวณผลรวม $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{1000}.$ | พิจารณาสมการกำลังสี่ของรูปแบบ $x^4 - 2px^2 + q = 0,$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่เป็น
\[(x^2 - p)^2 = p^2 - q.\]$\bullet$ ถ้า $p^2 - q < 0,$ จะไม่มีรากจริง
$\bullet$ ถ้า $p^2 - q = 0$ และ $p = 0$ (ดังนั้น $p = q = 0$), จะมีรากจริง 1 ราก คือ $x = 0.$
$\bullet$ ถ้า $p^2 - q = 0$ และ $p > 0$, จะมีรากจริง 2 ราก คือ $x = \pm \sqrt{p}.$
$\bullet$ ถ้า $p^2 - q > 0$ และ $q = 0$, จะมีรากจริง 3 ราก คือ $x = 0$ และ $x = \pm \sqrt{2p}.$
$\bullet$ ถ้า $p^2 - q > 0$ และ $q > 0$, จะมีรากจริง 4 ราก คือ $x = \pm \sqrt{p \pm \sqrt{p^2 - 1}}.$
โดยใช้กรณีเหล่านี้ เราสามารถคำนวณค่า $a_n$ ตัวแรกๆ ได้:
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c}
n & p = a_{n - 1} & q = a_{n - 2} a_{n - 3} & p^2 - q & a_n \\ \hline
4 & 1 & 1 & 0 & 2 \\
5 & 2 & 1 & 3 & 4 \\
6 & 4 & 2 & 14 & 4 \\
7 & 4 & 8 & 8 & 4 \\
8 & 4 & 16 & 0 & 2 \\
9 & 2 & 16 & -12 & 0 \\
10 & 4 & 8 & 8 & 4 \\
\end{array}
\]
เนื่องจาก $a_9 = 0$ และ $a_{10} = 4$ ลำดับจะซ้ำเป็นคาบ (4, 4, 4, 2, 0, 0, 1, 3, 3) ดังนั้น
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^{1000} a_n &= a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + (a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13}) \\
&\quad + \dots + (a_{986} + a_{987} + a_{988} + a_{989} + a_{990} + a_{991} + a_{992} + a_{993} + a_{994}) \\
&\quad + a_{995} + a_{996} + a_{997} + a_{998} + a_{999} + a_{1000} \\
&= 1 + 1 + 1 + 2 + 110(4 + 4 + 2 + 0 + 0 + 1 + 3 + 3) + 4 + 4 + 4 + 2 + 0 + 0 \\
&= \boxed{2329}.
\end{align*} | (4, 4, 4, 2, 0, 0, 1, 3, 3). | [
"unknown"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[4x + \frac{1}{x^4}\]สำหรับ $x > 0.$ | โดย AM-GM,
\[4x + \frac{1}{x^4} = x + x + x + x + \frac{1}{x^4} \ge 5 \sqrt[5]{x^4 \cdot \frac{1}{x^4}} = 5.\]สมการเป็นจริงเมื่อ $x = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{5}.$ | \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a + b = 1.$ จงหาเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}.$ | โดย AM-HM,
\[\frac{a + b}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.\]ดังนั้น,
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a + b} = 4.\]สมการเป็นจริงเมื่อ $a = b = \frac{1}{2}.$
สังเกตว่าเมื่อ $a$ เข้าใกล้ 0 และ $b$ เข้าใกล้ 1, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ จะมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ คือ $\boxed{[4,\infty)}.$ | \boxed{[4,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของรากที่ 2007 ของ $(x-1)^{2007}+2(x-2)^{2006}+3(x-3)^{2005}+\cdots+2006(x-2006)^2+2007(x-2007)$ | เนื่องจากสูตรของ Vieta's ถ้าเราทราบสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ และ $x^{2006}$ เราสามารถหาผลรวมของรากทั้งหมดได้ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ ง่ายต่อการหา -- มันคือ 1 โดยใช้ทฤษฎีบททวินามใน $(x-1)^{2007}$ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2006}$ คือ $-\tbinom{2007}{2006} + 2 = -2005$ ดังนั้นโดยสูตรของ Vieta's ผลรวมของรากทั้งหมด 2007 ราก คือ $\tfrac{-(-2005)}{1} = \boxed{2005}$ | $\tfrac{-(-2005)}{1} = \boxed{2005}$ | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $a + b + c = 0.$ จงหาเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $ab + ac + bc.$ | ยกกำลังสองสมการ $a + b + c = 0,$ เราได้
\[a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 0.\]ดังนั้น $2(ab + ac + bc) = -(a^2 + b^2 + c^2) \le 0,$ ดังนั้น
\[ab + ac + bc \le 0.\]สมการเป็นจริงเมื่อ $a = b = c = 0.$
ต่อไป ให้ $c = 0,$ ดังนั้น $a + b = 0,$ หรือ $b = -a.$ จากนั้น
\[ab + ac + bc = ab = -a^2\]สามารถรับค่าที่ไม่เป็นบวกทั้งหมด ดังนั้น เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $ab + ac + bc$ คือ $\boxed{(-\infty,0]}.$ | \boxed{(-\infty,0]}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ \[\frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}},\]เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ใช้สมบัติ $\log_a b^x = x \log_a b,$ เราได้ \[\begin{aligned} \frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}} &= \frac{2}{6\log_4 2000} + \frac{3}{6\log_5 2000} \\ &= \frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000}. \end{aligned}\]เนื่องจาก $\log_a b = \frac1{\log_b a}$, เราสามารถเขียนได้ \[\frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000} = \frac{1}{3}\log_{2000} 4 + \frac{1}{2}\log_{2000} 5,\]ซึ่งเท่ากับ \[\log_{2000} (4^{1/3} 5^{1/2})= \log_{2000} (2^{2/3} 5^{1/2}).\]เนื่องจาก $2000 = 2^4 5^3 = \left(2^{2/3} 5^{1/2}\right)^6$, ดังนั้นค่าของนิพจน์คือ $\boxed{\tfrac{1}{6}}$. | \boxed{\tfrac{1}{6}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดไปสัมผัสวงกลมที่ผ่านจุด $(3,4),$ $(6,8),$ และ $(5,13)$ | กำหนดให้ $O = (0,0),$ $A = (3,4),$ $B = (6,8),$ และ $C = (5,13).$ กำหนดให้ $T$ เป็นจุดบนวงกลมแนบของสามเหลี่ยม $ABC,$ ดังนั้น $\overline{OT}$ สัมผัสวงกลมแนบ. สังเกตว่า $O,$ $A,$ และ $B$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน.
[asy]
unitsize(0.4 cm);
pair A, B, C, O, T;
A = (3,4);
B = (6,8);
C = (5,13);
O = circumcenter(A,B,C);
T = intersectionpoints(Circle(O/2,abs(O)/2),circumcircle(A,B,C))[1];
draw(circumcircle(A,B,C));
draw((0,0)--(6,8));
draw((0,0)--T);
draw((-10,0)--(10,0));
draw((0,-2)--(0,18));
label("$O = (0,0)$", (0,0), SW);
dot("$A = (3,4)$", A, SE);
dot("$B = (6,8)$", B, E);
dot("$C = (5,13)$", C, NE);
dot("$T$", T, SW);
[/asy]
จากสมบัติกำลังของจุด $OT^2 = OA \cdot OB = 5 \cdot 10 = 50,$ ดังนั้น $OT = \sqrt{50} = \boxed{5 \sqrt{2}}.$ | OT = \sqrt{50} = \boxed{5 \sqrt{2}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \ge 1 + \log_2 \frac{2014}{2015}.\] | ก่อนอื่น
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) = \log_2 \left[ \prod_{k = 0}^n \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \right].\]เราต้องการหาค่าของ
\[(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n})\]ที่ $x = \frac{1}{2}.$ โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง,
\begin{align*}
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n}) &= \frac{1 - x^2}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^4}{1 - x^2} \cdot \frac{1 - x^8}{1 - x^4} \dotsm \frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x^{2^n}} \\
&= \frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x}.
\end{align*}ที่ $x = \frac{1}{2},$
\[\frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{2^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right),\]และ
\[\log_2 \left[ 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right) \right] = \log_2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right) + 1.\]ดังนั้น เราต้องการจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้
\[1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \ge \frac{2014}{2015}.\]เทียบเท่ากับ
\[\frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \le \frac{1}{2015},\]หรือ $2^{2^{n + 1}} \ge 2015.$
สำหรับ $n = 2,$ $2^{2^{n + 1}} = 2^{2^3} = 2^8 = 256,$ และสำหรับ $n = 3,$ $2^{2^{n + 1}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65536,$ ดังนั้น $n$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นกำกับเฉียงของนิพจน์เชิงตรรกยะ $y = \frac{2x^2 + 3x - 7}{x-3}$ คือเส้นตรงที่กราฟของสมการเข้าใกล้เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $\infty$ หรือ $-\infty$. ถ้าเส้นตรงนี้มีรูปแบบ $y = mx + b$ จงหา $m+b$. | เพื่อแก้ปัญหานี้ เราสามารถใช้การหารยาวหรือการหารสังเคราะห์เพื่อประเมินผลหารของนิพจน์เชิงตรรกยะที่กำหนด หรือเราสามารถเขียนใหม่ ตัวเศษเป็น $2x^2 + 3x - 7$ $ = 2x^2 + 3x - 7 - 9x + 9x$ $ = 2x(x-3) + 9x - 7 - 20 + 20$ $ = 2x(x-3) + 9(x-3) + 20$. ดังนั้น $$y = \frac{2x^2 + 3x - 7}{x-3} = \frac{(2x+9)(x-3) + 20}{x-3} = 2x+9 +\frac{20}{x-3}.$$เมื่อ $x$ เข้าใกล้ 无限 หรือ ลบ 无限 แล้วเศษส่วนจะเข้าใกล้ $0$ และ $y$ จะเข้าใกล้ $2x + 9$. ดังนั้น $m+b = \boxed{11}.$ [asy]
import graph; size(7cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-27.84,xmax=46.9,ymin=-33.28,ymax=45.43;
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis(xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=20.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis(ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=20.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); real f1(real x){return (2*x^2+3*x-7)/(x-3);} draw(graph(f1,-27.83,2.99),linewidth(1)); draw(graph(f1,3.01,46.89),linewidth(1)); draw((xmin,2*xmin+9)--(xmax,2*xmax+9), linetype("2 2"));
label("$y = \frac{2x^2 + 3x - 7}{x - 3}$",(5.67,-27.99),NE*lsf); label("$y = 2x + 9$",(18.43,35.5),NE*lsf);
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] | 11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามลูกบาศก์ $p(x)$ สอดคล้องกับ $p(2) = 1,$ $p(7) = 19,$ $p(15) = 11,$ และ $p(20) = 29.$ จงหา
\[p(1) + p(2) + p(3) + \dots + p(21).\] | พหุนามลูกบาศก์ผ่านจุด $(2,1),$ $(7,19),$ $(15,11),$ และ $(20,29).$ เมื่อจุดเหล่านี้ถูกพล็อตลงบนกราฟ เราพบว่าจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(11,15).$ เราใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ดังนี้
[asy]
unitsize(0.2 cm);
real func (real x) {
real y = 23*x^3/585 - 253*x^2/195 + 7396*x/585 - 757/39;
return(y);
}
pair A, B, C, D;
A = (2,1);
B = (7,19);
C = (15,11);
D = (20,29);
draw(graph(func,1.5,20.5),red);
draw(A--B--D--C--cycle,dashed);
label("$(11,15)$", (11,15), NE, UnFill);
dot("$(2,1)$", A, SW);
dot("$(7,19)$", B, W);
dot("$(15,11)$", C, SE);
dot("$(20,29)$", D, NE);
dot((11,15));
[/asy]
ให้ $f(x) = p(x + 11) - 15.$ แล้ว
\begin{align*}
f(-9) &= p(2) - 15 = -14, \\
f(-4) &= p(7) - 15 = 4, \\
f(4) &= p(15) - 15 = -4, \\
f(9) &= p(20) - 15 = 14.
\end{align*}ตอนนี้ ให้ $g(x) = -f(-x).$ แล้ว
\begin{align*}
g(-9) &= -f(9) = -14, \\
g(-4) &= -f(4) = 4, \\
g(4) &= -f(-4) = -4, \\
g(9) &= -f(-9) = 14.
\end{align*}ทั้ง $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามลูกบาศก์ และพวกมันตรงกันที่ค่าต่าง ๆ สี่ค่า ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเอกลักษณ์ พวกมันคือพหุนามตัวเดียวกัน กล่าวคือ
\[-f(-x) = f(x).\]แล้ว
\[15 - p(x) + p(x + 11) = 30\]สำหรับทุก $x.$
ให้
\[S = p(1) + p(2) + p(3) + \dots + p(21).\]แล้ว
\[S = p(21) + p(20) + p(19) + \dots + p(1),\]ดังนั้น
\[2S = [p(1) + p(21)] + [p(2) + p(20)] + [p(3) + p(19)] + \dots + [p(21) + p(1)].\]เนื่องจาก $p(11 - x) + p(x + 11) = 30,$ แต่ละผลรวมนี้เท่ากับ 30 ดังนั้น
\[2S = 21 \cdot 30 = 630,\]และ $S = 630/2 = \boxed{315}.$ | S = 630/2 = \boxed{315}. | [
"unknown"
] |
จงหาค่าคงที่ $A$, $B$, และ $C$ ที่ทำให้
$$\frac{-x^2+3x-4}{x^3+x}= \frac{A}{x} +\frac{Bx+C}{x^2+1} $$แสดงคำตอบในรูปของสามลำดับ $(A,B,C)$. | โดยการแยกตัวประกอบเศษส่วน,
$$\frac{-x^2+3x-4}{x^3+x}=\frac{-x^2+3x-4}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} +\frac{Bx+C}{x^2+1} $$การคูณด้วย $x(x^2+1)$ จะได้
$$-x^2+3x-4 = (A+B)x^2 +Cx + A.$$โดยการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ เราจะเห็นว่า $A=-4$ และ $C=3.$ แล้ว $-4+B=-1$ ซึ่งหมายความว่า $B=3$.
ดังนั้น,
$$\frac{-x^2+3x-4}{x^3+x} = \frac{-4}{x}+\frac{3x+3}{x^2+1}.$$และ $(A,B,C) = \boxed{(-4,3,3)}.$ | (A,B,C) = \boxed{(-4,3,3)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $$\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}.$$ | ทำการแก้ไขตัวส่วนของเศษส่วน เราจะได้
\begin{align*}
\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}\cdot\frac{x^2+2+\sqrt{x^4+4}}{x^2+2+\sqrt{x^4+4}}&=\frac{(x^2+2)^2-(x^4+4)}{x(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}\\
&=\frac{4x^2}{x(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}\\
&=\frac{4}{\frac{1}{x}(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}\\
&=\frac{4}{x+\frac{2}{x}+\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}}}.
\end{align*}เนื่องจากเราต้องการเพิ่มค่านี้ เราจึงต้องการลดตัวส่วน โดย AM-GM $x+\frac{2}{x}\geq 2\sqrt{2}$ และ $x^2+\frac{4}{x^2}\geq 4$ ดังนั้นตัวส่วนมีค่าอย่างน้อย $2\sqrt{2}+2$ ดังนั้น $$\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}\leq \frac{4}{2\sqrt{2}+2}=\boxed{2\sqrt{2}-2},$$เมื่อ $x=\sqrt{2}$. | x=\sqrt{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่ามีจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับศูนย์ $a,$ $b,$ $c,$ และ $d$ ซึ่ง $k$ เป็นรากของสมการทั้งสอง $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ และ $bx^3 + cx^2 + dx + a = 0.$ จงใส่มูลค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $k$ ที่คั่นด้วยจุลภาค | เรามีสมการดังนี้
\begin{align*}
ak^3 + bk^2 + ck + d &= 0, \\
bk^3 + ck^2 + dk + a &= 0.
\end{align*}คูณสมการแรกด้วย $k,$ เราจะได้
\[ak^4 + bk^3 + ck^2 + dk = 0.\]ลบสมการ $bk^3 + ck^2 + dk + a = 0,$ เราจะได้ $ak^4 = a.$ เนื่องจาก $a$ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น $k^4 = 1.$ จากนั้น $k^4 - 1 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(k - 1)(k + 1)(k^2 + 1) = 0.\]นั่นหมายความว่า $k$ เป็นหนึ่งใน $1,$ $-1,$ $i,$ หรือ $-i.$
ถ้า $a = b = c = d = 1,$ แล้ว $-1,$ $i,$ และ $-i$ เป็นรากของพหุนามทั้งสอง ถ้า $a = b = c = 1$ และ $d = -3,$ แล้ว 1 เป็นรากของพหุนามทั้งสอง ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $k$ คือ $\boxed{1,-1,i,-i}.$ | \boxed{1,-1,i,-i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $x + y + z = 0,$ และ $xy + xz + yz \neq 0.$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{x^5 + y^5 + z^5}{xyz (xy + xz + yz)}.\]ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | แทน $z = -x - y,$ เราได้
\[\frac{x^5 + y^5 - (x + y)^5}{xy(-x - y)(xy - x(x + y) - y(x + y))}.\]ขยายตัวของเศษและส่วน เราได้
\begin{align*}
-\frac{5x^4 y + 10x^3 y^2 + 10x^2 y^3 + 5xy^4}{xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)} &= -\frac{5xy (x^3 + 2x^2 y + 2xy^2 + y^3)}{xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)} \\
&= -\frac{5 (x^3 + 2x^2 y + 2xy^2 + y^3)}{(x + y)(x^2 + xy + y^2)} \\
&= -\frac{5 (x + y)(x^2 + xy + y^2)}{(x + y)(x^2 + xy + y^2)} \\
&= -5.
\end{align*}ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวของนิพจน์คือ $\boxed{-5}.$ | \boxed{-5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x,$ $y,$ และ $k$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง \[3=k^2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+k\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right),\]จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $k.$ | กำหนดให้ $t = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}.$ แล้วเราจะได้ \[t^2 = \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2},\]ดังนั้น $t^2 - 2 = \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2},$ และสมการจะกลายเป็น \[3 = k^2 (t^2 - 2) + kt.\]จัดรูปใหม่ เราจะได้สมการกำลังสอง \[0 = k^2t^2 + kt- (2k^2+3).\]โดยสูตรกำลังสอง \[t = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 + 4k^2(2k^2+3)}}{2k^2} = \frac{-1 \pm \sqrt{8k^2+13}}{2k}.\]เนื่องจาก $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก $t$ ก็เป็นจำนวนจริงบวกเช่นกัน และยิ่งไปกว่านั้น \[t = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\]โดย AM-GM ดังนั้นสมการข้างต้นต้องมีรากอยู่ในช่วง $[2, \infty).$ จะได้ว่า \[\frac{-1 + \sqrt{8k^2+13}}{2k} \ge 2.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $2k$ และบวก $1,$ เราจะได้ $\sqrt{8k^2+13} \ge 4k+1.$ แล้ว $8k^2+13 \ge (4k+1)^2 = 16k^2 + 8k + 1,$ ดังนั้น \[0 \ge 8k^2 + 8k - 12.\]โดยสูตรกำลังสอง รากของ $8k^2+8k-12=0$ คือ \[k = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 + 4 \cdot 8 \cdot 12}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2},\]ดังนั้น $\frac{-1-\sqrt{7}}{2} \le k \le \frac{-1 +\sqrt{7}}{2},$ และค่าสูงสุดของ $k$ คือ $\boxed{\frac{-1+\sqrt7}{2}}.$ | \boxed{\frac{-1+\sqrt7}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(xy) = f(x) f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด และ $f(0) \neq 0.$ จงหา $f(10).$ | กำหนดให้ $x = 0$ และ $y = 10,$ เราจะได้
\[f(0) = f(0) f(10).\]เนื่องจาก $f(0) \neq 0$ เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $f(0)$ ได้ $f(10) = \boxed{1}.$ | f(10) = \boxed{1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลหารเมื่อ $x^5 + 7$ หารด้วย $x + 1.$ | เราสามารถทำการหารยาวได้ หรือเราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
\frac{x^5 + 7}{x + 1} &= \frac{(x^5 + 1) + 6}{x + 1} \\
&= \frac{x^5 + 1}{x + 1} + \frac{6}{x + 1} \\
&= x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 + \frac{6}{x - 1}.
\end{align*}ดังนั้น ผลหารคือ $\boxed{x^4 - x^3 + x^2 - x + 1}.$ | \boxed{x^4 - x^3 + x^2 - x + 1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เป็นบวกมีค่าเป็น $\log_{10}12$, $\log_{10}75$, และ $\log_{10}n$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $n$ | จากอสมการรูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมที่ไม่เสื่อมสภาพจะมีความยาวด้านเหล่านี้ก็ต่อเมื่อ \[\left\{ \begin{aligned}\log_{10} 75 + \log_{10} n &> \log_{10} 12, \\ \log_{10}12 + \log_{10} 75 &> \log_{10} n, \\ \log_{10} 12 + \log_{10} n &> \log_{10} 75. \end{aligned} \right.\]อสมการข้อแรกเป็นจริงเสมอ เพราะ $\log_{10} 75 > \log_{10} 12$ และ $\log_{10} n > 0.$
อสมการข้อที่สองให้ $\log_{10}(12 \cdot 75) > \log_{10} n,$ ดังนั้น $12 \cdot 75 = 900 > n.$
อสมการข้อที่สามให้ $\log_{10}(12n) > \log_{10} 75,$ ดังนั้น $12n > 75,$ หรือ $n > \tfrac{75}{12} = 6.25.$
ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $n$ คือ $n = 7, 8, 9, \ldots, 899,$ ซึ่งทำให้มีค่าของ $n$ ทั้งหมด $899 - 7 + 1 = \boxed{893}$ ค่า | 893 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง $a + b + c + d + e + f = 7.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} + \frac{16}{d} + \frac{25}{e} + \frac{36}{f}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a + b + c + d + e + f) \left( \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} + \frac{16}{d} + \frac{25}{e} + \frac{36}{f} \right) \ge (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)^2 = 441,\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} + \frac{16}{d} + \frac{25}{e} + \frac{36}{f} \ge \frac{441}{7} = 63.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a^2 = \frac{b^2}{4} = \frac{c^2}{9} = \frac{d^2}{16} = \frac{e^2}{25} = \frac{f^2}{36}$ และ $a + b + c + d + e + f = 7.$ แก้สมการแล้วจะได้ $a = \frac{1}{3},$ $b = \frac{2}{3},$ $c = 1,$ $d = \frac{4}{3},$ $e = \frac{5}{3},$ และ $f = 2,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{63}.$ | \boxed{63}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของนิพจน์ \[ (a^2+b)^2 - (a^2-b)^2, \]ถ้า $a=4$ และ $b=1$. | วิธีที่รวดเร็วที่สุดคือการใช้การแยกตัวประกอบของผลต่างกำลังสอง: \begin{align*}
(a^2 + b)^2 - (a^2 - b)^2 &= \bigl[ (a^2 + b) + (a^2 - b) \bigr] \cdot
\bigl[ (a^2 + b) - (a^2 - b) \bigr] \\
&= ( a^2 + b + a^2 - b) \cdot (a^2 + b - a^2 +b ) \\
&= (2 a^2 ) \cdot (2 b) \\
&= 4 a^2 b. \end{align*}เนื่องจาก $a= 4$ และ $b=1$ นิพจน์สุดท้ายนี้เท่ากับ \[ 4 \cdot 4^2 \cdot 1 = 4 \cdot 16 = \boxed{64}, \]ดังนั้น นี่คือคำตอบของเรา
เราสามารถแทนค่าของ $a$ และ $b$ ลงไปทันทีแล้วขยายได้ เราจะได้ \begin{align*}
(a^2 + b)^2 - (a^2 - b)^2 &= (4^2 + 1)^2 - (4^2 -1)^2 \\
&= (16 + 1)^2 - (16- 1)^2 \\
&= 17^2 - 15^2 . \end{align*}ตอนนี้ $17^2 = 289$ และ $15^2 = 225$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ \[ 289 - 225 = 89 -25 = 64, \]เช่นเดิม | 64 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $p$ ใดๆ ให้ $b(p)$ แทนจำนวนเต็มบวก $k$ ที่มีเอกลักษณ์ ซึ่ง $|k - \sqrt{p}| < \frac{1}{2}$ ตัวอย่างเช่น $b(6) = 2$ และ $b(23) = 5$ จงหา $S = \sum_{p = 1}^{2007} b(p)$ | กำหนด $k$ สมมติว่า $|k - \sqrt{p}| < \frac{1}{2}$ ดังนั้น
\[k - \frac{1}{2} < \sqrt{p} < k + \frac{1}{2}.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราจะได้
\[k^2 - k + \frac{1}{4} < p < k^2 + k + \frac{1}{4}.\]ดังนั้น กำหนด $k$ จำนวนเต็มบวก $p$ ที่ทำให้ $b(p) = k$ คือ $k^2 - k + 1,$ $k^2 - k + 2,$ $\dots,$ $k^2 + k$ รวมทั้งหมด $2k$ จำนวน ดังนั้น จำนวน $2k$ นี้มีส่วน contribution $2k \cdot k = 2k^2$ ไปยังผลรวม
ตอนนี้ $b(2007) = 45$ ดังนั้น
\begin{align*}
S &= \sum_{p = 1}^{2007} b(p) \\
&= \sum_{k = 1}^{44} 2k^2 + \sum_{p = 1981}^{2007} 45 \\
&= 2 \sum_{k = 1}^{44} k^2 + 27 \cdot 45 \\
&= 2 \cdot \frac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6} + 27 \cdot 45 \\
&= \boxed{59955}.
\end{align*} | b(2007) = 45, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่นำจำนวนเต็มไม่เป็นลบไปยังจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยที่
\[2f(a^2 + b^2) = [f(a)]^2 + [f(b)]^2\]สำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบ $a$ และ $b$ ทั้งหมด
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(25)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(25)$ จงหา $n \times s.$ | แทน $a = 0$ และ $b = 0$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด เราได้
\[2f(0) = 2f[(0)]^2.\]ดังนั้น $f(0) = 0$ หรือ $f(0) = 1.$
แทน $a = 0$ และ $b = 1$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด เราได้
\[2f(1) = [f(0)]^2 + [f(1)]^2.\]ถ้า $f(0) = 0,$ แล้ว $2f(1) = [f(1)]^2,$ ซึ่งหมายความว่า $f(1) = 0$ หรือ $f(1) = 2.$ ถ้า $f(0) = 1,$ แล้ว $[f(1)]^2 - 2f(1) + 1 = [f(1) - 1]^2 = 0,$ ดังนั้น $f(1) = 1.$
เราแบ่งเป็นกรณีตามนั้น แต่ก่อนที่จะทำเช่นนั้น โปรดทราบว่าเราสามารถไปถึง $f(25)$ ด้วยค่าต่อไปนี้:
\begin{align*}
a = 1, b = 1: \ & 2f(2) = 2[f(1)]^2 \quad \Rightarrow \quad f(2) = [f(1)]^2 \\
a = 1, b = 2: \ & 2f(5) = [f(1)]^2 + [f(2)]^2 \\
a = 0, b = 5: \ & 2f(25) = [f(0)]^2 + [f(5)]^2
\end{align*}กรณีที่ 1: $f(0) = 0$ และ $f(1) = 0.$
จากสมการข้างต้น $f(2) = [f(1)]^2 = 0,$ $2f(5) = [f(1)]^2 + [f(2)]^2 = 0$ ดังนั้น $f(5) = 0,$ และ $2f(25) = [f(0)]^2 + [f(5)]^2 = 0,$ ดังนั้น $f(25) = 0.$
โปรดทราบว่าฟังก์ชัน $f(n) = 0$ ตอบสนองสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด ซึ่งแสดงว่า $f(25)$ สามารถรับค่าได้ 0
กรณีที่ 2: $f(0) = 0$ และ $f(1) = 2.$
จากสมการข้างต้น $f(2) = [f(1)]^2 = 4,$ $2f(5) = [f(1)]^2 + [f(2)]^2 = 20$ ดังนั้น $f(5) = 10,$ และ $2f(25) = [f(0)]^2 + [f(5)]^2 = 100,$ ดังนั้น $f(25) = 50.$
โปรดทราบว่าฟังก์ชัน $f(n) = 2n$ ตอบสนองสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด ซึ่งแสดงว่า $f(25)$ สามารถรับค่าได้ 50
กรณีที่ 3: $f(0) = 1$ และ $f(1) = 1.$
จากสมการข้างต้น $f(2) = [f(1)]^2 = 1,$ $2f(5) = [f(1)]^2 + [f(2)]^2 = 2$ ดังนั้น $f(5) = 1,$ และ $2f(25) = [f(0)]^2 + [f(5)]^2 = 2,$ ดังนั้น $f(25) = 1.$
โปรดทราบว่าฟังก์ชัน $f(n) = 1$ ตอบสนองสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด ซึ่งแสดงว่า $f(25)$ สามารถรับค่าได้ 1
ดังนั้น มี $n = 3$ ค่าที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของ $f(25),$ และผลรวมของค่าเหล่านั้นคือ $s = 0 + 50 + 1 = 51,$ ซึ่งให้คำตอบสุดท้าย $n \times s = 3 \times 51 = \boxed{153}$. | n \times s = 3 \times 51 = \boxed{153} | [
"unknown"
] |
ถ้า $f(x) = 4-3x$ และ $g(x) = x^2 +1$ จงหา $f(g(\sqrt{2}))$. | เราได้ว่า
$$g(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 + 1 = 2 +1 = 3.$$แล้ว,
$$f(g(\sqrt{2})) = f(3) = 4 - 3(3) = 4 - 9 = \boxed{-5}.$$ | -5 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{3}{2x^{6}-5}$ ฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง?
กรุณาใส่ "คี่", "คู่", หรือ "ไม่เป็นทั้งสองอย่าง". | $$f(-x) = \frac{3}{2(-x)^{6}-5} = \frac{3}{2x^{6}-5} = f(x)$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}.$ | \boxed{\text{คู่}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเชิงซ้อน $z$ ที่สอดคล้องกับสมการ $2z-3i\bar{z}=-7+3i$ โดยที่ $\bar{z}$ แทนสังยุคของ $z$ | ให้ $z=a+bi$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงที่แทนส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ $z$ ตามลำดับ จากนั้น $\bar{z}=a-bi$ ดังนั้น $-3i\bar{z}=-3b-3ia$ เราพบว่า \[ 2z-3i\bar{z} = 2a+2ib -3b - 3ia = (2a-3b) + (2b-3a)i. \]ดังนั้น ถ้า $2z-3i\bar{z}=-7+3i$ จากการจับคู่ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เราจะต้องมี $2a-3b=-7$ และ $-3a+2b=3$ ระบบสมการนี้สามารถแก้ได้ตามปกติ ซึ่งจะนำไปสู่ค่า $a=1$ และ $b=3$ ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนที่เราต้องการคือ $z=\boxed{1+3i}$ | z=\boxed{1+3i} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบที่น้อยที่สุดของสมการ \[\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-4} = \frac{3}{x-3}.\] | เพื่อล้างตัวส่วน เราคูณทั้งสองข้างด้วย $(x-2)(x-4)(x-3)$: \[(x-4)(x-3) + (x-2)(x-3) = 3(x-2)(x-4),\]หรือ \[(x^2-7x+12) + (x^2-5x+6) = 3(x^2-6x+8).\]ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางขวามือ เราได้ \[x^2 - 6x + 6= 0.\]โดยสูตรกำลังสอง \[x = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 6}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}.\]ดังนั้นคำตอบที่น้อยที่สุดคือ $x = \boxed{3 - \sqrt3}.$ | x = \boxed{3 - \sqrt3}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมการ
\[75x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 12 = 0\]และ
\[12x^5 + dx^4 + ex^3 + fx^2 + gx + 75 = 0\]มีรากร่วมซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ $k$ ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม และเป็นลบ จงหาค่าของ $k$? | ให้ $k = \frac{m}{n}$ ในรูปที่ตัวย่อที่สุด โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม จากทฤษฎีบทของรากตรรกยะ $m$ หาร 12 ลงตัว และ $m$ หาร 75 ลงตัว ดังนั้น $m$ ต้องหาร $\gcd(12,75) = 3$ ลงตัว ในทำนองเดียวกัน $n$ หาร 75 ลงตัว และ $n$ หาร 12 ลงตัว ดังนั้น $n$ ต้องหาร $\gcd(75,12) = 3$ ลงตัว ดังนั้น $m,$ $n \in \{-3, -1, 1, 3\}.$
เราทราบว่า $k = \frac{m}{n}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม และเป็นลบ ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $k =\boxed{-\frac{1}{3}}.$ | k =\boxed{-\frac{1}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, และ $c$ เป็นรากของ $x^3 - 20x^2 + 18x - 7 = 0$ จงคำนวณ \[(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2.\] | เมื่อขยายพจน์จะได้ \[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 = 2(a^2+b^2+c^2) + 2(ab+bc+ca).\]เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้ โปรดทราบว่า \[(a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+bc+ca).\]จากนั้นเราสามารถเขียนนิพจน์ที่กำหนดไว้ในรูปของ $a+b+c$ และ $ab+bc+ca$: \[\begin{aligned} 2(a^2+b^2+c^2) + 2(ab+bc+ca) &=[2(a^2+b^2+c^2) + 4(ab+bc+ca)] - 2(ab+bc+ca) \\ &= 2(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca). \end{aligned}\]โดยใช้สูตรของ Vieta's เราได้ $a+b+c=20$ และ $ab+bc+ca=18$ ดังนั้นคำตอบคือ $2 \cdot 20^2 - 2 \cdot 18 = \boxed{764}.$ | 2 \cdot 20^2 - 2 \cdot 18 = \boxed{764}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 4x + c$ และ $g(x) = cx + 2.$ ถ้า $f(g(x)) = 12x + d,$ จงหาค่า $d$. | เราได้ว่า
\[f(g(x)) = f(cx + 2) = 4(cx + 2) + c = 4cx + c + 8 = 12x + d.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้ $4c = 12$ และ $d = c + 8,$ ดังนั้น $c = 3,$ และ $d = 3 + 8 = \boxed{11}.$ | d = 3 + 8 = \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ \[\lfloor 1 \rfloor + \lfloor 1.6 \rfloor + \lfloor 2.2 \rfloor + \lfloor 2.8 \rfloor + \dots + \lfloor 99.4 \rfloor + \lfloor 100 \rfloor,\]โดยที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นเป็นลำดับเลขคณิต | เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $\lfloor x \rfloor = x - \{x\}$ สำหรับทุก $x.$ ดังนั้นเราเพียงแค่คำนวณผลรวมของลำดับเลขคณิตเอง \[1 + 1.6 + 2.2 + \dots + 100,\]แล้วลบผลรวมของส่วนเศษ \[\{1\} + \{1.6\} + \{2.2\} + \dots + \{100\}.\]ความต่างร่วมของลำดับเลขคณิตคือ $0.6$ ดังนั้นจำนวนพจน์คือ $1 + \frac{100 - 1}{0.6} = 166.$ จากนั้นผลรวมของลำดับเลขคณิตคือ \[\frac{1 + 100}{2} \cdot 166 = 101 \cdot 83 = 8383.\]เนื่องจากห้าเท่าของความต่างร่วมคือ $5 \cdot 0.6 = 3$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม ส่วนเศษของลำดับเลขคณิตจะซ้ำทุกห้าพจน์ ดังนั้นผลรวมของส่วนเศษคือ \[\frac{165}{5} \left( 0 + 0.6 + 0.2 + 0.8 + 0.4 \right) + 0 = 33 \cdot 2 = 66.\]ดังนั้นผลรวมที่กำหนดมีค่าเท่ากับ \[8383 - 66 = \boxed{8317} \,.\] | 5 \cdot 0.6 = 3, | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้\[S=\sqrt{1+\dfrac1{1^2}+\dfrac1{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}}+\cdots+\sqrt{1+\dfrac1{2007^2}+\dfrac1{2008^2}}.\]จงหาค่าของ $\lfloor S^2\rfloor$.
| โดยใช้สัญกรณ์ผลรวม $S = \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{1 + \tfrac{1}{i^2} + \tfrac{1}{(i+1)^2}}$. โดยใช้พจน์ร่วมกันและทำให้ง่ายขึ้น เราได้\begin{align*} S &= \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{ \frac{i^2 (i^2 + 2i + 1) + i^2 + 2i + 1 + i^2}{i^2 (i+1)^2} } \\ &= \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{ \frac{i^4 + 2i^3 + 3i^2 + 2i + 1}{i^2 (i+1)^2} } \\ &= \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{ \frac{(i^2 + i + 1)^2}{i^2 (i+1)^2} } \\ &= \sum_{i=1}^{2007} \frac{i^2 + i + 1}{i^2 + i} \\ &= \sum_{i=1}^{2007} (1 + \frac{1}{i(i+1)}) \\ &= \sum_{i=1}^{2007} (1 + \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}) \end{align*}
สังเกตว่าส่วนหนึ่งของพจน์มีการหดตัว ทำให้การคำนวณง่ายขึ้น การคำนวณจะได้ $S = 2007 + 1 - \tfrac{1}{2008}$. ดังนั้น $S^2 = (2008 - \tfrac{1}{2008})^2 = 4032064 - 2 + (\tfrac{1}{2008})^2$. เนื่องจาก $0 < (\tfrac{1}{2008})^2 < 1$ เราจึงสรุปได้ว่า $\lfloor S^2\rfloor = \boxed{4032062}$. | \lfloor S^2\rfloor = \boxed{4032062} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[\frac{ac}{a + b} + \frac{ba}{b + c} + \frac{cb}{c + a} = -9\]และ
\[\frac{bc}{a + b} + \frac{ca}{b + c} + \frac{ab}{c + a} = 10.\]จงหาค่าของ
\[\frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c} + \frac{a}{c + a}.\] | นำสมการที่กำหนดมาบวกกัน จะได้
\[\frac{c(a + b)}{a + b} + \frac{a(b + c)}{b + c} + \frac{b(c + a)}{c + a} = 1,\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $a + b + c = 1.$
ลบสมการที่กำหนดในโจทย์ จะได้
\[\frac{c(b - a)}{a + b} + \frac{a(c - b)}{b + c} + \frac{b(a - c)}{c + a} = 19.\]กำหนด
\begin{align*}
u &= \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a}, \\
v &= \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c} + \frac{a}{c + a},
\end{align*}ดังนั้น $u + v = 3.$ นอกจากนี้
\begin{align*}
u - v &= \frac{a - b}{a + b} + \frac{b - c}{b + c} + \frac{c - a}{c + a} \\
&= (a + b + c) \frac{a - b}{a + b} + (a + b + c) \frac{b - c}{b + c} + (a + b + c) \frac{c - a}{c + a} \\
&= a - b + \frac{c(a - b)}{a + b} + b - c + \frac{a(b - c)}{b + c} + c - a + \frac{b(c - a)}{c + a} \\
&= -19.
\end{align*}ลบสมการ $u + v = 3$ และ $u - v = -19$ จะได้ $2v = 22$ ดังนั้น $v = \boxed{11}.$ | v = \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $|(4\sqrt{2}-4i)(\sqrt{3}+3i)|$ | เราทราบว่า $|(4\sqrt{2}-4i)(\sqrt{3}+3i)| = |4\sqrt{2}-4i||\sqrt{3}+3i|.$ การคำนวณขนาดจะได้ $\sqrt{32+16} \cdot \sqrt{3+9} = \sqrt{48} \cdot \sqrt{12} = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \boxed{24}$ | 24 | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีรากเป็น $-2 - i \sqrt{5}$ | ถ้าพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง แล้วคอนจูเกตเชิงซ้อนของรากใดๆ ก็ต้องเป็นรากด้วย ดังนั้นรากอีกตัวคือ $-2 + i \sqrt{5}$ ดังนั้น พหุนามคือ
\[(x + 2 + i \sqrt{5})(x + 2 - i \sqrt{5}) = (x + 2)^2 - 5i^2 = \boxed{x^2 + 4x + 9}.\] | $x^2 + 4x + 9$ | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x + y) = f(x) + f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด และ $f(4) = 5.$ จงหา $f(5).$ | เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
f(4) &= f(3) + f(1) \\
&= f(2) + f(1) + f(1) \\
&= f(1) + f(1) + f(1) + f(1),
\end{align*}ดังนั้น $4f(1) = 5,$ ซึ่งหมายความว่า $f(1) =\frac{5}{4}.$ ดังนั้น,
\[f(5) = f(1) + f(4) = 5 + \frac{5}{4} = \boxed{\frac{25}{4}}.\] | f(1) =\frac{5}{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริงบวก $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[5 \sqrt{1 + x} + 5 \sqrt{1 - x} = 7 \sqrt{2}.\] | จากสมการที่กำหนดให้
\[\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} = \frac{7 \sqrt{2}}{5}.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง ได้
\[1 + x + 2 \sqrt{1 - x^2} + 1 - x = \frac{98}{25},\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น
\[2 \sqrt{1 - x^2} = \frac{48}{25}.\]หารทั้งสองข้างด้วย 2 ได้
\[\sqrt{1 - x^2} = \frac{24}{25}.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกครั้ง ได้
\[1 - x^2 = \frac{576}{625},\]ดังนั้น
\[x^2 = \frac{49}{625}.\]ค่าบวกของ $x$ คือ $\boxed{\frac{7}{25}}.$ | \boxed{\frac{7}{25}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการ
\[\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = \sqrt[3]{1 + \sqrt{x}}.\] | ให้ $y = \sqrt[3]{1 + \sqrt{x}}.$ แล้ว $y^3 = 1 + \sqrt{x},$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดให้เป็น
\[\sqrt{1 + \sqrt{y^3 + 1}} = y.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้
\[1 + \sqrt{y^3 + 1} = y^2,\]ดังนั้น $\sqrt{y^3 + 1} = y^2 - 1.$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้
\[y^3 + 1 = y^4 - 2y^2 + 1,\]ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $y^4 - y^3 - 2y^2 = 0.$ สมการนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $y^2 (y - 2)(y + 1) = 0.$ เนื่องจาก $y = \sqrt[3]{1 + \sqrt{x}}$ ต้องมีค่าอย่างน้อย 1 ดังนั้น $y = 2.$ แล้ว
\[\sqrt[3]{1 + \sqrt{x}} = 2,\]ดังนั้น $1 + \sqrt{x} = 8.$ ดังนั้น $\sqrt{x} = 7,$ ดังนั้น $x = \boxed{49}.$ | x = \boxed{49}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[\frac{f(x) f(y) - f(xy)}{3} = x + y + 2\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{R}.$ จงหา $f(x).$ | เราเขียนสมการเชิงฟังก์ชันใหม่เป็น
\[f(x)f(y) - f(xy) = 3x + 3y + 6.\]แทน $x = y = 0,$ เราได้
\[f(0)^2 - f(0) = 6.\]ดังนั้น $f(0)^2 - f(0) - 6 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(f(0) - 3)(f(0) + 2) = 0.$ ดังนั้น $f(0) = 3$ หรือ $f(0) = -2.$
แทน $y = 0,$ เราได้
\[f(0) f(x) - f(0) = 3x + 6.\]ดังนั้น
\[f(x) - 1 = \frac{3x + 6}{f(0)},\]หรือ
\[f(x) = \frac{3x + 6}{f(0)} + 1.\]ถ้า $f(0) = 3,$ แล้ว $f(x) = x + 3,$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน ถ้า $f(0) = -2,$ แล้ว
\[f(x) = -\frac{3}{2} x - 2,\]ซึ่งไม่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน ดังนั้น $f(x) = \boxed{x + 3}.$ | f(x) = \boxed{x + 3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลรวมอนันต์ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^4+4}$ | ก่อนอื่น เราสามารถแยกตัวประกอบของตัวส่วนด้วยการให้และรับเล็กน้อย:
\begin{align*}
n^4 + 4 &= n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 \\
&= (n^2 + 2)^2 - (2n)^2 \\
&= (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2).
\end{align*}จากนั้น
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^4 + 4} & = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)} \\
&= \frac{1}{4} \sum_{n = 1}^\infty \frac{(n^2 + 2n + 2) - (n^2 - 2n + 2)}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)} \\
&= \frac 1 4 \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n^2 - 2n + 2} - \frac{1}{n^2 + 2n + 2} \right) \\
&= \frac 1 4 \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{(n-1)^2 + 1} - \frac{1}{(n+1)^2 + 1} \right) \\
&= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{0^2 + 1} - \frac{1}{2^2 + 1} \right) + \left( \frac{1}{1^2 + 1} - \frac{1}{3^2 + 1} \right) + \left( \frac{1}{2^2 + 1} - \frac{1}{4^2 + 1} \right) + \dotsb \right].
\end{align*}สังเกตว่าผลรวมนี้เป็นการลู่เข้า. จากนี้เราพบว่าคำตอบคือ $\dfrac 1 4 \left( \dfrac{1}{0^2 + 1} + \dfrac 1 {1^2 + 1} \right) = \boxed{\dfrac 3 8}$. | \dfrac 1 4 \left( \dfrac{1}{0^2 + 1} + \dfrac 1 {1^2 + 1} \right) = \boxed{\dfrac 3 8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(f(x - y)) = f(x) f(y) - f(x) + f(y) - xy\]สำหรับทุก $x,$ $y.$ จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(1)$. | กำหนดให้ $a = f(0)$ และ $b = f(f(0))$. แทน $y = x$ ในสมการที่กำหนด จะได้
\[[f(x)]^2 - x^2 = b \quad (1)\]สำหรับทุก $x$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ $x = 0$, $a^2 = b$.
แทน $y = 0$ ในสมการที่กำหนด จะได้
\[f(f(x)) = (a - 1) f(x) + a \quad (2)\]สำหรับทุก $x$.
แทน $f(x)$ สำหรับ $x$ ในสมการ (1) จะได้
\[[f(f(x))]^2 - [f(x)]^2 = b.\]แต่จากสมการ (2), $[f(f(x))]^2 = [(a - 1) f(x) + a]^2 = (a^2 - 2a + 1) [f(x)]^2 + 2a(a - 1) f(x) + a^2$, ดังนั้น
\[(a^2 - 2a) [f(x)]^2 + 2a(a - 1) f(x) = af(x) [(a - 2) f(x) + 2(a - 1)] = 0\]สำหรับทุก $x$.
ถ้า $a \neq 0$, แล้ว
\[f(x) [(a - 2) f(x) + 2(a - 1)] = 0\]สำหรับทุก $x$, ดังนั้น $f(x)$ จะมีค่าที่ต่างกันมากที่สุดเพียงสองค่า. แต่จากสมการ (1) นี้ไม่สามารถเป็นจริงได้.
ดังนั้น $a = 0$, แล้ว $b = 0$, ดังนั้นจากสมการ (1),
\[[f(x)]^2 = x^2,\]ซึ่งหมายความว่า $f(x) = x$ หรือ $f(x) = -x$ สำหรับทุก $x$.
ให้ $x$ เป็นค่าที่ทำให้ $f(x) = x$. แล้ว $f(f(x)) = f(x) = x$, ดังนั้นจากสมการ (2), $x = -x$, หรือ $x = 0$. ดังนั้น ค่าของ $x$ เดียวที่ทำให้ $f(x) = x$ คือ $x = 0$. ดังนั้น $f(x) = -x$ สำหรับทุก $x$. สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ว่าคำตอบนี้ใช้ได้.
ดังนั้น ผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(1)$ คือ $\boxed{-1}.$ | \boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\log (xy^3)= 1$ และ $\log (x^2y) = 1$, ค่าของ $\log (xy)$ คือเท่าใด? | เราได้ \[1 = \log(xy^{3}) = \log x + 3\log y \quad\text{และ}\quad 1 = \log(x^{2}y) = 2\log x + \log y.\]การแก้สมการจะได้ $\log x = \frac{2}{5}$ และ $\log y = \frac{1}{5}$ ดังนั้น \[\log(xy) = \log x + \log y = \boxed{\frac{3}{5}}.\] | \log y = \frac{1}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใด $\frac{\log{(3-x)}}{\sqrt{x-1}}$ ถูกนิยาม? | นิพจน์ภายในรากที่สองต้องมากกว่า 0 เพราะตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้ ดังนั้น $x-1>0$ ดังนั้น $x>1$ นิพจน์ภายในลอการิทึมต้องมากกว่า 0 ดังนั้น $3-x>0$ ซึ่งจะได้ $x<3$ ดังนั้นช่วงของ $x$ ที่นิพจน์ $\frac{\log{(3-x)}}{\sqrt{x-1}}$ ถูกนิยามคือ $1<x<3$ ซึ่งคือ $\boxed{(1,3)}$ | \boxed{(1,3)} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ \[2x^3 - x^2 + 4x + 10 = 0.\] จงหาค่าของ $a^2 + b^2 + c^2$ | จากสูตรของเวียต้า เราทราบว่า \[\begin{aligned} a+b+c &= \frac12, \\ ab+bc+ca &= \frac42 = 2, \\ abc &= -\frac{10}2 = -5. \end{aligned}\]เรา squaring ทั้งสองข้างของ $a+b+c=\frac12,$ ซึ่งจะทำให้เกิดพจน์ $a^2+b^2+c^2$: \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = \frac14.\]แทนค่า $ab+bc+ca=2$ เราได้ \[a^2+b^2+c^2+2(2)=\frac14,\]ดังนั้น \[a^2+b^2+c^2=\frac14-4=\boxed{-\frac{15}4}.\] | ab+bc+ca=2, | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนาม ซึ่งเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x-17$ แล้วเหลือเศษ 14 และเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x-13$ แล้วเหลือเศษ 6 จงหาเศษที่ได้เมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x-17)$ | เนื่องจากเราหารด้วยพหุนามกำลังสอง เศษที่ได้จะมีดีกรีไม่เกิน 1 ดังนั้นเศษจะเป็นรูป $ax+b$ สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ ใดๆ เราได้
$$P(x) = (x-13)(x-17)Q(x) + ax+b$$โดยที่ $Q(x)$ คือผลหารเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x-17)$ เราสามารถกำจัดพจน์ $Q(x)$ ได้โดยการแทนค่า $x=13$ หรือ $x=17$ โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ เราจะได้สมการ:
$$P(13) = 13a+b=6$$$$P(17) = 17a+b=14$$การแก้ระบบสมการนี้จะได้ $a=2$ และ $b=-20$ ดังนั้นเศษที่ได้เมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x-17)$ คือ $\boxed{2x-20}$ | \boxed{2x-20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{6}\right)$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราสามารถคำนวณได้ดังนี้
\[\left(\frac{2}{\cancel{3}}\right)\left(\frac{\cancel{3}}{\cancel{4}}\right)\left(\frac{\cancel{4}}{\cancel{5}}\right)\left(\frac{\cancel{5}}{6}\right)=\frac{2}{6}=\boxed{\frac{1}{3}}. \] | 1/3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาคำตอบของสมการ
\[\frac{13x - x^2}{x + 1} \left( x + \frac{13 - x}{x + 1} \right) = 42.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | คูณทั้งสองข้างด้วย $(x + 1)^2,$ เราได้
\[(13x - x^2)(x(x + 1) + (13 - x)) = 42(x + 1)^2.\]สมการนี้จะขยายเป็น $x^4 - 13x^3 + 55x^2 - 85x + 42 = 0,$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 1)(x - 6)(x^2 - 6x + 7) = 0.$ โดยสูตรกำลังสอง รากของ $x^2 - 6x + 7 = 0$ คือ $3 \pm \sqrt{2}.$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{1, 6, 3 + \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2}}.$ | \boxed{1, 6, 3 + \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับ $a_1$, $a_2$, $\ldots$ ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบโดยกฎ $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$ สำหรับ $n\geq1$. ถ้า $a_1=999$, $a_2<999$, และ $a_{2006}=1$ จงหาจำนวนค่าที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของ $a_2$ | เงื่อนไข $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$ หมายความว่า $a_n$ และ $a_{n+3}$ มี parity เดียวกันสำหรับทุก $n\geq 1$ เนื่องจาก $a_{2006}$ เป็นเลขคี่ $a_2$ ก็เป็นเลขคี่เช่นกัน. เนื่องจาก $a_{2006}=1$ และ $a_n$ เป็นพหุคูณของ $\gcd(a_1,a_2)$ สำหรับทุก $n$ ดังนั้น $1=\gcd(a_1,a_2)=\gcd(3^3\cdot 37,a_2)$. มีจำนวนเต็มคี่ 499 ตัวในช่วง $[1,998]$ ซึ่ง 166 ตัวเป็นพหุคูณของ 3, 13 ตัวเป็นพหุคูณของ 37 และ 4 ตัวเป็นพหุคูณของ $3\cdot 37=111$ โดยหลักการบวกและลบ จำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $a_2$ ไม่เกิน $499-166-13+4=\boxed{324}$.
เพื่อดูว่ามี 324 ความเป็นไปได้จริง ๆ โปรดทราบว่าสำหรับ $n\geq 3$, $a_n<\max(a_{n-2},a_{n-1})$ เมื่อไหร่ก็ตามที่ $a_{n-2}$ และ $a_{n-1}$ เป็นบวก ดังนั้น $a_N=0$ สำหรับบาง $N\leq 1999$. ถ้า $\gcd(a_1,a_2)=1$ ดังนั้น $a_{N-2}=a_{N-1}=1$ และสำหรับ $n>N$ ลำดับจะวนซ้ำผ่านค่า 1, 1, 0. ถ้า $a_2$ เป็นเลขคี่ด้วย $a_{3k+2}$ ก็เป็นเลขคี่สำหรับ $k\geq 1$ ดังนั้น $a_{2006}=1$. | a_{2006}=1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
\[\frac{xy}{x^2 + y^2}\]ในโดเมน $\frac{2}{5} \le x \le \frac{1}{2}$ และ $\frac{1}{3} \le y \le \frac{3}{8}.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{\frac{x^2 + y^2}{xy}} = \frac{1}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}.\]กำหนด $t = \frac{x}{y},$ ดังนั้น $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = t + \frac{1}{t}.$ เราต้องการเพิ่มค่าของตัวส่วนนี้ขึ้น
กำหนด
\[f(t) = t + \frac{1}{t}.\]สมมติว่า $0 < t < u.$ แล้ว
\begin{align*}
f(u) - f(t) &= u + \frac{1}{u} - t - \frac{1}{t} \\
&= u - t + \frac{1}{u} - \frac{1}{t} \\
&= u - t + \frac{t - u}{tu} \\
&= (u - t) \left( 1 - \frac{1}{tu} \right) \\
&= \frac{(u - t)(tu - 1)}{tu}.
\end{align*}นั่นหมายความว่าถ้า $1 \le t < u,$ แล้ว
\[f(u) - f(t) = \frac{(u - t)(tu - 1)}{tu} > 0,\]ดังนั้น $f(u) > f(t).$ ดังนั้น $f(t)$ จึงเพิ่มขึ้นบนช่วง $[1,\infty).$
ในทางกลับกัน ถ้า $0 \le t < u \le 1,$ แล้ว
\[f(u) - f(t) = \frac{(u - t)(tu - 1)}{tu} < 0,\]ดังนั้น $f(u) < f(t).$ ดังนั้น $f(t)$ จึงลดลงบนช่วง $(0,1].$
ดังนั้น เพื่อเพิ่มค่าของ $t + \frac{1}{t} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x},$ เราควรพิจารณาค่าขีดสุดของ $\frac{x}{y},$ นั่นคือค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด
ค่าต่ำสุดเกิดขึ้นที่ $x = \frac{2}{5}$ และ $y = \frac{3}{8}.$ สำหรับค่าเหล่านี้,
\[\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{240}{481}.\]ค่าสูงสุดเกิดขึ้นที่ $x = \frac{1}{2}$ และ $y = \frac{1}{3}.$ สำหรับค่าเหล่านี้,
\[\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{6}{13}.\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{6}{13}}.$ | \boxed{\frac{6}{13}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x),$ ซึ่งนิยามสำหรับ $0 \le x \le 1,$ มีสมบัติดังนี้:
(i) $f(0) = 0.$
(ii) ถ้า $0 \le x < y \le 1,$ แล้ว $f(x) \le f(y).$
(iii) $f(1 - x) = 1 - f(x)$ สำหรับทุก $0 \le x \le 1.$
(iv) $f \left( \frac{x}{3} \right) = \frac{f(x)}{2}$ สำหรับ $0 \le x \le 1.$
จงหา $f \left( \frac{2}{7} \right).$ | เรารู้ว่า $f(0) = 0,$ ดังนั้นจากสมบัติ (iii),
\[f(1) = 1 - f(0) = 1.\]จากสมบัติ (iv),
\[f \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{f(1)}{2} = \frac{1}{2}.\]จากสมบัติ (iii),
\[f \left( \frac{2}{3} \right) = 1 - f \left( \frac{1}{3} \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\]สมบัติ (ii) ระบุว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันไม่ลด. เนื่องจาก $f \left( \frac{1}{3} \right) = f \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{2},$ เราสามารถกล่าวได้ว่า $f(x) = \frac{1}{2}$ สำหรับทุก $\frac{1}{3} \le x \le \frac{2}{3}.$ โดยเฉพาะ $f \left( \frac{3}{7} \right) = \frac{1}{2}.$
จากสมบัติ (iv),
\[f \left( \frac{1}{7} \right) = \frac{f(\frac{3}{7})}{2} = \frac{1}{4}.\]จากสมบัติ (iii),
\[f \left( \frac{6}{7} \right) = 1 - f \left( \frac{1}{7} \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\]สุดท้าย จากสมบัติ (iv),
\[f \left( \frac{2}{7} \right) = \frac{f(\frac{6}{7})}{2} = \boxed{\frac{3}{8}}.\]สมบัติที่ระบุไว้ในโจทย์กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ได้อย่างเฉพาะเจาะจง กราฟของมันแสดงไว้ด้านล่าง:
[asy]
unitsize (5 cm);
path[] cantor;
int n;
cantor[0] = (1/3,1/2)--(2/3,1/2);
for (n = 1; n <= 10; ++n) {
cantor[n] = yscale(1/2)*xscale(1/3)*(cantor[n - 1])--cantor[0]--shift((2/3,1/2))*yscale(1/2)*xscale(1/3)*(cantor[n - 1]);
}
draw(cantor[10],red);
draw((0,0)--(1,0));
draw((0,0)--(0,1));
[/asy]
สำหรับการอ้างอิง ฟังก์ชัน $f(x)$ เรียกว่าฟังก์ชัน Cantor. มันยังเป็นที่รู้จักในชื่อ Devil's Staircase. | f(x) | [
"จำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x+y=\frac{7}{13}$ และ $x-y=\frac{1}{91}$ จงหาค่าของ $x^2-y^2$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราทราบว่า $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ แทนค่าลงไปจะได้ $x^2 - y^2 = \frac{7}{13}\cdot\frac{1}{91} = \boxed{\frac{1}{169}}$ | x^2 - y^2 = \frac{7}{13}\cdot\frac{1}{91} = \boxed{\frac{1}{169}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามจำนวนจริง $a,b,$ และ $c$ สอดคล้องกับสมการ $a+b+c=2$, $ab+ac+bc=-7$ และ $abc=-14$ จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในสามจำนวนนี้คือเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | โดย Vieta's, $a$, $b$, และ $c$ เป็นคำตอบของสมการลูกบาศก์ \[x^3 - 2x^2 - 7x + 14 = 0.\] เราจัดกลุ่มและแยกตัวประกอบดังนี้: \begin{align*}
x^3 - 2x^2 - 7x + 14 = 0&=(x^3 - 7x) - (2x^2 - 14)\\
&=x(x^2 - 7) - 2(x^2 - 7)\\
&=(x-2)(x^2 - 7).
\end{align*} ดังนั้น คำตอบทั้งสามคือ $x=2$, $x=\sqrt{7}$, และ $x=-\sqrt{7}$. จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในจำนวนเหล่านี้คือ $\boxed{\sqrt{7}}$. | \boxed{\sqrt{7}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{2015} + 1$ หารด้วย $x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1.$ | สังเกตว่า
\[(x^2 + 1)(x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1) = x^{10} + 1.\]นอกจากนี้ $x^{10} + 1$ เป็นตัวประกอบของ $x^{2010} + 1$ โดยการแยกตัวประกอบ
\[a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^2 + \dots + b^{n - 1})\]โดยที่ $n$ เป็นเลขคี่ ดังนั้น $x^{10} + 1$ เป็นตัวประกอบของ $x^5 (x^{2010} + 1) = x^{2015} + x^5.$
ดังนั้น เมื่อ $x^{2015} + 1 = x^{2015} + x^5 + (-x^5 + 1)$ หารด้วย $x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1$ เศษที่เหลือคือ $\boxed{-x^5 + 1}.$ | \boxed{-x^5 + 1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับ $z^2 = 4z - 19 + 8i$ กำหนดว่า $|z|$ เป็นจำนวนเต็ม จงหา $z$ | เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดได้เป็น
\[z^2 - 4z = -19 + 8i.\]จากนั้น $z^2 - 4z + 4 = -15 + 8i,$ ดังนั้น $(z - 2)^2 = -15 + 8i.$
ให้ $-15 + 8i = (a + bi)^2,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง เมื่อขยายออกจะได้
\[-15 + 8i = a^2 + 2abi - b^2.\]เมื่อกำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพให้เท่ากัน เราจะได้ $a^2 - b^2 = -15$ และ $ab = 4.$ ดังนั้น $b = \frac{4}{a},$ ดังนั้น
\[a^2 - \frac{16}{a^2} = -15.\]จากนั้น $a^4 - 16 = -15a^2,$ ดังนั้น $a^4 + 15a^2 - 16 = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(a^2 - 1)(a^2 + 16) = 0.$ เนื่องจาก $a$ เป็นจำนวนจริง $a = \pm 1,$ ซึ่งนำไปสู่ $b = \pm 4.$ ดังนั้น,
\[z - 2 = \pm (1 + 4i),\]จากนั้น $z = 3 + 4i$ หรือ $z = 1 - 4i.$ มีเพียง $\boxed{3 + 4i}$ เท่านั้นที่มีขนาดเป็นจำนวนเต็ม | \boxed{3 + 4i} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $A^2$ โดยที่ $A$ คือผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของรากทั้งหมดของสมการต่อไปนี้:
\[x = \sqrt{19} + \frac{91}{{\sqrt{19}+\frac{91}{{\sqrt{19}+\frac{91}{{\sqrt{19}+\frac{91}{{\sqrt{19}+\frac{91}{x}}}}}}}}}.\] | ให้ $f(x) = \sqrt{19} + \frac{91}{x}.$ แล้วสมการที่กำหนดให้คือ \[x = f(f(f(f(f(x))))). \quad (*)\]สังเกตว่ารากของ $x = f(x)$ เป็นรากของ $(*)$ ด้วย เพราะถ้า $x = f(x)$ แล้วการแทน $x$ ด้วย $f(x)$ สี่ครั้งจะได้ \[x = f(x) = f(f(x)) = f(f(f(x))) = f(f(f(f(x)))) = f(f(f(f(f(x))))).\]ในความเป็นจริง รากของ $x = f(x)$ เป็นรากเดียวของ $(*)$ เพราะเมื่อขยายสมการทั้งสอง จะได้สมการกำลังสองใน $x$ ดังนั้นทั้งสองสมการมีรากของ $x$ จำนวนสองราก
ดังนั้นเพียงพอที่จะแก้สมการ $x = f(x)$ หรือ \[x = \sqrt{19} + \frac{91}{x} \implies x^2 - x\sqrt{19} - 91 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง เราได้ \[x = \frac{\sqrt{19}\pm \sqrt{19 + 4 \cdot 91} }{2} = \frac{\sqrt{19} \pm\sqrt{383}}{2}.\]ราก $\frac{\sqrt{19}-\sqrt{383}}{2}$ เป็นลบ (ในขณะที่รากอีกตัวเป็นบวก) ดังนั้นผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของรากคือ \[A = \frac{\sqrt{19}+\sqrt{383}}{2}-\frac{\sqrt{19}-\sqrt{383}}{2} = \sqrt{383}.\]คำตอบคือ $A^2 = \boxed{383}.$ | A^2 = \boxed{383}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของพาราโบลา มีสมบัติดังนี้:
$\bullet$ มันผ่านจุด $(1,5).$
$\bullet$ พิกัด $y$ ของโฟกัสคือ 3.
$\bullet$ แกนสมมาตรของมันขนานกับแกน $x$.
$\bullet$ จุดยอดของมันอยู่บนแกน $y$.
แสดงสมการของพาราโบลาในรูป
\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0,\]โดยที่ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ เป็นจำนวนเต็ม, $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $\gcd(|a|,|b|,|c|,|d|,|e|,|f|) = 1.$ | เนื่องจากแกนสมมาตรขนานกับแกน $x$ และพิกัด $y$ ของโฟกัสคือ 3 พิกัด $y$ ของจุดยอดก็คือ 3 เช่นกัน เนื่องจากจุดยอดอยู่บนแกน $y$ จุดยอดจะต้องอยู่ที่ $(0,3).$ ดังนั้น สมการของพาราโบลาอยู่ในรูป
\[x = k(y - 3)^2.\][asy]
unitsize(1 cm);
real upperparab (real x) {
return (sqrt(4*x) + 3);
}
real lowerparab (real x) {
return (-sqrt(4*x) + 3);
}
draw(graph(upperparab,0,2));
draw(graph(lowerparab,0,2));
draw((0,-1)--(0,6));
draw((-1,0)--(3,0));
dot("$(1,5)$", (1,5), NW);
dot("$(0,3)$", (0,3), W);
[/asy]
เนื่องจากกราฟผ่านจุด $(1,5)$ เราสามารถแทนค่า $x = 1$ และ $y = 5$ ได้ $1 = 4k,$ ดังนั้น $k = \frac{1}{4}.$
ดังนั้น สมการของพาราโบลาคือ $x = \frac{1}{4} (y - 3)^2$ ซึ่งเราเขียนเป็น
\[\boxed{y^2 - 4x - 6y + 9 = 0}.\] | x = \frac{1}{4} (y - 3)^2, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f_0(x)=x+|x-100|-|x+100|$, และสำหรับ $n\geq 1$, กำหนด $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1$. จงหาจำนวนค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f_{100}(x)=0$? | สำหรับจำนวนเต็ม $n \ge 1$ และ $k \ge 0,$ ถ้า $f_{n - 1}(x) = \pm k,$ แล้ว
\[f_n(x) = |f_{n - 1}(x)| - 1 = k - 1.\]นั่นหมายความว่าถ้า $f_0(x) = \pm k,$ แล้ว $f_k(x) = 0.$
ยิ่งกว่านั้น ถ้า $f_n(x) = 0,$ แล้ว $f_{n + 1}(x) = -1,$ และ $f_{n + 2}(x) = 0.$ ดังนั้น $f_{100}(x) = 0$ ก็ต่อเมื่อ $f_0(x) = 2k$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ ใดๆ, $-50 \le k \le 50.$
เราสามารถเขียน
\[f_0(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
x + 200 & \text{ถ้า $x < -100$}, \\
-x & \text{ถ้า $-100 \le x < 100$}, \\
x - 200 & \text{ถ้า $x \ge 100$}.
\end{array}
\right.\][asy]
unitsize(0.01 cm);
draw((-400,-200)--(-100,100)--(100,-100)--(400,200));
draw((-400,0)--(400,0));
draw((0,-200)--(0,200));
label("$y = f_0(x)$", (400,200), E);
label("$(-100,100)$", (-100,100), N);
label("$(100,-100)$", (100,-100), S);
[/asy]
ดังนั้น สมการ $f_0(x) = \pm 100$ มีคำตอบ 2 คำตอบ และสมการ $f_0(x) = 2k$ มีคำตอบ 3 คำตอบ สำหรับ $-49 \le k \le 49.$ ดังนั้น จำนวนคำตอบของ $f_{100}(x) = 0$ คือ $2 + 2 + 3 \cdot 99 = \boxed{301}.$ | 2 + 2 + 3 \cdot 99 = \boxed{301}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ กำหนด
\begin{align*}
A &= \sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 5} + \sqrt{z + 10}, \\
B &= \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} + \sqrt{z + 1}.
\end{align*}จงหาค่าต่ำสุดของ $A^2 - B^2.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
A^2 - B^2 &= (A + B)(A - B) \\
&= (\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 5} + \sqrt{y + 1} + \sqrt{z + 10} + \sqrt{z + 1}) \\
&\quad \times (\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 5} - \sqrt{y + 1} + \sqrt{z + 10} - \sqrt{z + 1}).
\end{align*}กำหนด
\begin{align*}
a_1 &= \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}, \\
b_1 &= \sqrt{y + 5} + \sqrt{y + 1}, \\
c_1 &= \sqrt{z + 10} + \sqrt{z + 1}, \\
a_2 &= \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}, \\
b_2 &= \sqrt{y + 5} - \sqrt{y + 1}, \\
c_2 &= \sqrt{z + 10} - \sqrt{z + 1}.
\end{align*}จากอสมการ Cauchy-Schwarz,
\begin{align*}
A^2 - B^2 &= (a_1 + b_1 + c_1)(a_2 + b_2 + c_2) \\
&\ge (\sqrt{a_1 a_2} + \sqrt{b_1 b_2} + \sqrt{c_2 c_2})^2 \\
&= (1 + 2 + 3)^2 \\
&= 36.
\end{align*}สมการเป็นจริงเมื่อ
\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2},\]หรือเทียบเท่า
\[\frac{x + 2}{x + 1} = \frac{y + 5}{y + 1} = \frac{z + 10}{z + 1}.\]ตัวอย่างเช่น ถ้าเราให้ค่าของแต่ละเศษส่วนเท่ากับ 2 เราจะได้ $x = 0,$ $y = 3,$ และ $z = 8.$
ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{36}.$ | \boxed{36}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีรากเป็น $1 - i$ | ถ้าพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง แล้วคอนจูเกตเชิงซ้อนของรากใดๆ ก็ต้องเป็นรากเช่นกัน ดังนั้นรากอีกตัวหนึ่งคือ $1 + i$ ดังนั้นพหุนามคือ
\[(x - 1 - i)(x - 1 + i) = (x - 1)^2 - i^2 = \boxed{x^2 - 2x + 2}.\] | $x^2 - 2x + 2$ | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $g(x) = \frac{3x+1}{x+8}$ แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | สูตรของ $g(x)$ มีค่าที่นิยามไว้เว้นแต่ส่วนของมันจะเป็น $0$ ; ดังนั้นเราต้องแยก $-8$ ออกจากโดเมน โดเมนของ $g(x)$ คือ $\boxed{(-\infty, -8) \cup (-8, \infty)}$. | \boxed{(-\infty, -8) \cup (-8, \infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ กำหนดให้ $m$ และ $M$ เป็นค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของ
\[\frac{|x + y|}{|x| + |y|},\]ตามลำดับ จงหา $M - m.$ | เนื่องจาก $|x + y|$ และ $|x| + |y|$ เป็นจำนวนไม่เป็นลบ ดังนั้น $\frac{|x + y|}{|x| + |y|}$ ต้องเป็นจำนวนไม่เป็นลบ เมื่อ $x = 1$ และ $y = -1,$
\[\frac{|x + y|}{|x| + |y|} = \frac{0}{2} = 0,\]ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ 0
ในทางกลับกัน ตามอสมการสามเหลี่ยม $|x| + |y| \ge |x + y|,$ ดังนั้น
\[\frac{|x + y|}{|x| + |y|} \le 1.\]ค่าเท่ากับ 1 เมื่อ $x = y,$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ 1
ดังนั้น $M - m = 1 - 0 = \boxed{1}.$ | M - m = 1 - 0 = \boxed{1}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.