question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
สมมติว่า $a<0$ และ $a<b<c$ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ?
$ab < bc$
$ac<bc$
$ab< ac$
$a+b<b+c$
$c/a <1$
กรุณาใส่คำตอบเป็นรายการของตัวเลือกที่เป็นจริงเสมอ ตัวอย่างเช่น หากคุณคิดว่าตัวเลือกแรกและตัวเลือกที่สามเป็นจริง ให้ใส่ A, C | พิจารณา $b$ ที่เป็นลบและ $c$ ที่เป็นบวก จากนั้น $ab$ เป็นบวกและ $bc$ เป็นลบ ดังนั้นข้อนี้ไม่เป็นจริง
ถ้าเราพิจารณาจำนวนลบสำหรับตัวแปรทั้งสาม $ac>bc$ ดังนั้นข้อนี้ไม่เป็นจริง
พิจารณา $b$ ที่เป็นลบและ $c$ ที่เป็นบวก จากนั้น $ab$ เป็นบวกและ $ac$ เป็นลบ ดังนั้นข้อนี้ไม่เป็นจริง
การลบ $b$ ออกจากทั้งสองข้างจะได้ $a<c$ ซึ่งเราทราบว่าเป็นจริง
ถ้า $c$ เป็นบวก $c/a$ เป็นลบและ $c/a < 1$ ถ้า $c$ เป็นลบ $a<c<0$ ซึ่งหมายความว่า $c/a < 1$
ดังนั้น $\boxed{D, E}$ เป็นจริงเสมอ | \boxed{D, E} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $a$, $b$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $a^2+b^2=8ab$ จงหาค่าของ $\left|\frac{a+b}{a-b}\right|$. | สังเกตว่า \[
\left|\frac{a+b}{a-b}\right| = \sqrt{\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}}
= \sqrt{\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}} = \sqrt{\frac{10ab}{6ab}} =
\boxed{\frac{\sqrt{15}}{3}}.
\] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $a_0=-2,b_0=1$ และสำหรับ $n\geq 0$ กำหนดให้
\begin{align*}a_{n+1}&=a_n+b_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2},\\b_{n+1}&=a_n+b_n-\sqrt{a_n^2+b_n^2}.\end{align*}จงหา $\frac{1}{a_{2012}} + \frac{1}{b_{2012}}.$ | เราได้ว่า
\begin{align*}
\frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{b_{n + 1}} &= \frac{1}{a_n + b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}} + \frac{1}{a_n + b_n - \sqrt{a_n^2 + b_n^2}} \\
&= \frac{a_n + b_n - \sqrt{a_n^2 + b_n^2} + a_n + b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{(a_n + b_n)^2 - (a_n^2 + b_n^2)} \\
&= \frac{2a_n + 2b_n}{2a_n b_n} \\
&= \frac{1}{a_n} + \frac{1}{b_n}.
\end{align*}ดังนั้น $\frac{1}{a_n} + \frac{1}{b_n}$ เป็นค่าคงที่ ซึ่งหมายความว่า
\[\frac{1}{a_{2012}} + \frac{1}{b_{2012}} = \frac{1}{a_0} + \frac{1}{b_0} = \boxed{\frac{1}{2}}.\] | \frac{1}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \ge 1 + \log_2 \frac{2014}{2015}.\] | ก่อนอื่น,
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) = \log_2 \left[ \prod_{k = 0}^n \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \right].\]เราต้องการหาค่าของ
\[(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n})\]เมื่อ $x = \frac{1}{2}.$ โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง,
\begin{align*}
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n}) &= \frac{1 - x^2}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^4}{1 - x^2} \cdot \frac{1 - x^8}{1 - x^4} \dotsm \frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x^{2^n}} \\
&= \frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x}.
\end{align*}เมื่อ $x = \frac{1}{2},$
\[\frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{2^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right),\]และ
\[\log_2 \left[ 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right) \right] = \log_2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right) + 1.\]ดังนั้น เราต้องการจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
\[1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \ge \frac{2014}{2015}.\]ซึ่งเทียบเท่ากับ
\[\frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \le \frac{1}{2015},\]หรือ $2^{2^{n + 1}} \ge 2015.$
เมื่อ $n = 2,$ $2^{2^{n + 1}} = 2^{2^3} = 2^8 = 256,$ และเมื่อ $n = 3,$ $2^{2^{n + 1}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65536,$ ดังนั้น $n$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคูณ $(2x^3-5y^2)(4x^6+10x^3y^2+25y^4)$ | ผลคูณที่กำหนดสามารถเขียนใหม่ในรูป $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ซึ่งเป็นการแยกตัวประกอบของ $a^3-b^3$ เมื่อ $a=2x^3$ และ $b=5y^2$ ดังนั้น นิพจน์สามารถเขียนใหม่เป็น $a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6}$ | a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $$\frac{1}{2}\times4\times\frac{1}{8}\times16\times\frac{1}{32}\times64\times\frac{1}{128}\times256\times\frac{1}{512}\times1024?$$ | เราจับคู่พจน์ในผลคูณดังนี้: $$
\left(\frac{1}{2} \times 4\right) \times \left(\frac{1}{8} \times 16\right) \times \left(\frac{1}{32} \times 64\right) \times \left(\frac{1}{128} \times 256\right) \times \left(\frac{1}{512} \times 1024\right).
$$ค่าภายในแต่ละคู่ของวงเล็บคือ 2 ดังนั้นคำตอบคือ $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \boxed{32}.$ | 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \boxed{32}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง หนึ่งในรากของ $x^3 + ax + b = 0$ คือ $1 + i \sqrt{3}$ จงหา $a + b$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง อีกหนึ่งรากคือ $1 - i \sqrt{3}$ จากสูตรของ Vieta ผลบวกของรากเป็น 0 ดังนั้นรากที่สามคือ $-2$ ดังนั้น พหุนามลูกบาศก์คือ
\begin{align*}
(x - 1 - i \sqrt{3})(x - 1 + i \sqrt{3})(x + 2) &= ((x - 1)^2 - (i \sqrt{3})^2)(x + 2) \\
&= ((x - 1)^2 + 3)(x + 2) \\
&= x^3 + 8.
\end{align*}ดังนั้น $a = 0$ และ $b = 8$ ดังนั้น $a + b = \boxed{8}$ | a + b = \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด bộสะสมของบัตรที่มีหมายเลขดัชนี บัตรหนึ่งมี 1 เขียนอยู่ บัตรสองมี 2 เขียนอยู่ และอื่นๆ จนถึง $n$ บัตรแสดง $n$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ที่กำหนด จงหา $n$ ถ้าค่าเฉลี่ยของบัตรในคอลเลกชันนี้คือ 2017 | จำนวนบัตรคือ $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ และผลรวมของค่าของบัตรทั้งหมดคือ
\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}.\]ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของบัตรคือ
\[\frac{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}}{\frac{n(n + 1)}{2}} = \frac{2n + 1}{3}.\]กำหนดให้ค่านี้เท่ากับ 2017 และแก้สมการ เราพบว่า $n = \boxed{3025}.$ | n = \boxed{3025}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้นิพจน์ $\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{16}{12} \dotsm \frac{4n+4}{4n} \dotsm \frac{2008}{2004}$ ง่ายขึ้น | สังเกตว่า 8 ในเศษของเศษส่วนแรกจะตัดกันกับ 8 ในส่วนของเศษส่วนที่สอง, 12 ในเศษส่วนที่สองจะตัดกันกับ 12 ในเศษส่วนที่สาม และเช่นเดียวกันไปเรื่อยๆ เราจะเหลือ $ rac{2008}{4} = \boxed{502}$ | $\frac{2008}{4} = \boxed{502}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $x^2 + 2x = i$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนสองคำตอบ จงหาผลคูณของส่วนจริงของคำตอบทั้งสอง | เติมกำลังสองโดยบวก 1 ลงในแต่ละข้าง จากนั้น $(x+1)^2 = 1+i=e^{\frac{i\pi}{4}} \sqrt{2}$ ดังนั้น $x+1 = \pm e^{\frac{i\pi}{8}}\sqrt[4]{2}$ ผลคูณที่ต้องการคือ
\begin{align*}
\left( -1+\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\sqrt[4]{2} \right) \left( -1-\cos\left( \frac{\pi}{8}\right) \sqrt[4]{2}\right) &= 1-\cos^2\left( \frac{\pi}{8}\right) \sqrt{2} \\
&= 1-\frac{\left( 1 +\cos\left( \frac{\pi}{4}\right) \right)}{2}\sqrt{2}\\
&= \boxed{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}.
\end{align*} | x+1 = \pm e^{\frac{i\pi}{8}}\sqrt[4]{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าเข้าชมนิทรรศการสำหรับผู้ใหญ่คนละ $ \$25$ และเด็กคนละ $ \$12$ วันอังคารที่แล้ว นิทรรศการเก็บค่าเข้าชมได้ $ \$1950$ จากผู้ใหญ่และเด็กอย่างน้อยคนละ 1 คน ในบรรดาอัตราส่วนของผู้ใหญ่ต่อเด็กที่เป็นไปได้ทั้งหมดในวันอังคารที่แล้ว อัตราส่วนใดที่ใกล้เคียงกับ $ 1$ มากที่สุด? | ให้ $a$ แทนจำนวนผู้ใหญ่ และ $c$ แทนจำนวนเด็ก ดังนั้นเราจะได้
$$25a + 12c = 1950 = 25 \times 78.$$จัดรูปสมการใหม่จะได้
$$ a = 78 - \frac{12c}{25} .$$เนื่องจากจำนวนผู้ใหญ่ต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $c$ ต้องเป็นพหุคูณของ 25.
อัตราส่วนที่เราต้องการให้ใกล้เคียงกับ 1 คือ
$$\frac{a}{c} = \frac{78}{c} - \frac{12}{25}$$ถ้า $\frac{a}{c} = 1$ แล้ว $\frac{78}{c} - \frac{12}{25} = 1$ ซึ่งหมายความว่า $\frac{78}{c} = \frac{37}{25}$ กล่าวคือ $c = \frac{78 \cdot 25}{37}$.
พหุคูณของ 25 ที่ใกล้เคียงกับค่านี้ที่สุดคือ 50 ดังนั้น $c$ ต้องเท่ากับ 50 แล้ว $a = 78 - \frac{12 \cdot 50}{25} = 54$ ดังนั้น อัตราส่วนของผู้ใหญ่ต่อเด็กที่ใกล้เคียงกับ 1 ที่สุดคือ $\frac{54}{50} = \boxed{\frac{27}{25}}.$ | \frac{54}{50} = \boxed{\frac{27}{25}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากเซตของจำนวนเต็ม $\{1,2,3,\dots,2009\}$, เลือก $k$ คู่ $\{a_i,b_i\}$ โดยที่ $a_i<b_i$ เพื่อให้ไม่มีสองคู่ใดมีสมาชิกเหมือนกัน สมมติว่าผลรวมทั้งหมด $a_i+b_i$ นั้นแตกต่างกันและน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2009 จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $k$. | กำหนด
\[S = \sum_{i = 1}^k (a_i + b_i).\]เนื่องจาก $a_i$ และ $b_i$ ทั้งหมดต่างกัน
\[S \ge 1 + 2 + \dots + 2k = \frac{(2k)(2k + 1)}{2} = k(2k + 1).\]เนื่องจากผลรวม $k$ คู่ $a_1 + b_1,$ $a_2 + b_2,$ $\dots,$ $a_k + b_k$ ทั้งหมดต่างกันและน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2009,
\[S \le (2010 - k) + (2011 - k) + \dots + 2009 = \frac{(4019 - k)(k)}{2}.\]ดังนั้น,
\[k(2k + 1) \le \frac{k(4019 - k)}{2}.\]แล้ว
\[2k + 1 \le \frac{4019 - k}{2},\]ดังนั้น $k \le \frac{4017}{5},$ ซึ่งหมายความว่า $k \le 803.$
คู่ $(1,1207),$ $(2,1208),$ $\dots,$ $(401,1607),$ $(402,805),$ $(403,806),$ $\dots,$ $(803,1206)$ แสดงให้เห็นว่า $k$ สามารถเป็น 803 ได้ ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $k$ คือ $\boxed{803}.$ | \boxed{803}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $ a$, $ b$, $ c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $ a+b+c=0$ และ $ a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ จงหาค่าของ $ a^2+b^2+c^2$ | จากการแยกตัวประกอบ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc),\]เราทราบว่า $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.$
เนื่องจาก $a + b + c = 0,$ $c = -a - b,$ ดังนั้น
\begin{align*}
a^5 + b^5 + c^5 &= a^5 + b^5 - (a + b)^5 \\
&= -5a^4 b - 10a^3 b^2 - 10a^2 b^3 - 5ab^4 \\
&= -5ab(a^3 + 2a^2 b + 2ab^2 + b^3) \\
&= -5ab[(a^3 + b^3) + (2a^2 b + 2ab^2)] \\
&= -5ab[(a + b)(a^2 - ab + b^2) + 2ab(a + b)] \\
&= -5ab(a + b)(a^2 + ab + b^2) \\
&= 5abc(a^2 + ab + b^2),
\end{align*}ดังนั้น
\[3abc = 5abc(a^2 + ab + b^2).\]เนื่องจาก $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถเขียนได้ว่า
\[a^2 + ab + b^2 = \frac{3}{5}.\]ดังนั้น
\begin{align*}
a^2 + b^2 + c^2 &= a^2 + b^2 + (a + b)^2 \\
&= a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 \\
&= 2a^2 + 2ab + 2b^2 \\
&= 2(a^2 + ab + b^2) = \boxed{\frac{6}{5}}.
\end{align*} | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารร่วมมากที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x+1$ (ในเซตของพหุนามใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) และตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x^3-4x^2+x+6$ จงหา $a+b+c$ | เนื่องจาก $x+1$ หาร $x^2+ax+b$ ลงตัว และพจน์คงตัวคือ $b$ เราได้ว่า $x^2+ax+b=(x+1)(x+b)$ และในทำนองเดียวกัน $x^2+bx+c=(x+1)(x+c)$ ดังนั้น $a=b+1=c+2$ ยิ่งไปกว่านั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของพหุนามทั้งสองคือ $(x+1)(x+b)(x+b-1)=x^3-4x^2+x+6$ ดังนั้น $b=-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $c=-3$ และ $a+b+c=\boxed{-6}$ | a+b+c=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ
\[\sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt{x}\]สำหรับ $0 \le x \le 13.$ | โดย Cauchy-Schwarz 적용 $ \left( 1,\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right) $ และ $ (\sqrt{x+27},\sqrt{13-x},\sqrt{x}) $,
\[\left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) ((x + 27) + 3(13 - x) + 2x) \ge (\sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt{x})^2.\]ดังนั้น,
\[(\sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt{x})^2 \le 121,\]ดังนั้น $\sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt{x} \le 11.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x = 9,$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{11}.$ | \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูป $z = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งทำให้
\[z^3 = -74 + ci,\]สำหรับจำนวนเต็ม $c$ บางจำนวน จงหา $z.$ | ยกกำลังสามของสมการ $z = x + yi,$ เราได้
\begin{align*}
z^3 &= (x + yi)^3 \\
&= x^3 + 3x^2 yi + 3xy^2 i^2 + y^3 i^3 \\
&= x^3 + 3x^2 yi - 3xy^2 - y^3 i \\
&= (x^3 - 3xy^2) + (3x^2 y - y^3)i.
\end{align*}ดังนั้น $x^3 - 3xy^2 = -74.$ เราได้
\[x(x^2 - 3y^2) = -74.\]ดังนั้น $x$ ต้องเป็นตัวหารของ 74 ซึ่งหมายความว่า $x$ ต้องเป็น 1, 2, 37 หรือ 74. ตรวจสอบค่าเหล่านี้ เราพบว่าสมการ $x(x^2 - 3y^2) = -74$ มีคำตอบใน $y$ ที่เป็นจำนวนเต็ม เฉพาะเมื่อ $x = 1,$ และคำตอบนั้นคือ $y = 5.$ ดังนั้น $z = \boxed{1 + 5i}.$ | z = \boxed{1 + 5i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5,i)--(5,i),gray(0.7));
}
draw((-5,0)--(5,0),Arrows(6));
draw((0,-5)--(0,5),Arrows(6));
label("$x$", (5,0), E);
label("$y$", (0,5), N);
draw(graph(func,-3,3),red);
label("$y = f(x)$", (3,-2), UnFill);
[/asy]
กราฟของ $y = f(-x)$ คือ กราฟใด | กราฟของ $y = f(-x)$ เป็นการสะท้อนของกราฟของ $y = f(x)$ บนแกน $y$ กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{E}}$ | $\boxed{\text{E}}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $$\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}.$$ | ทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ เราได้
\begin{align*}
\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}\cdot\frac{x^2+2+\sqrt{x^4+4}}{x^2+2+\sqrt{x^4+4}}&=\frac{(x^2+2)^2-(x^4+4)}{x(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}\\
&=\frac{4x^2}{x(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}\\
&=\frac{4}{\frac{1}{x}(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}\\
&=\frac{4}{x+\frac{2}{x}+\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}}}.
\end{align*}เนื่องจากเราต้องการเพิ่มค่านี้ เราจึงต้องการลดตัวส่วน โดย AM-GM, $x+\frac{2}{x}\geq 2\sqrt{2}$ และ $x^2+\frac{4}{x^2}\geq 4$ ดังนั้นตัวส่วนมีค่าอย่างน้อย $2\sqrt{2}+2$ ดังนั้น $$\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}\leq \frac{4}{2\sqrt{2}+2}=\boxed{2\sqrt{2}-2},$$มีค่าเท่ากันเมื่อ $x=\sqrt{2}$. | x=\sqrt{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.$ จงหาเศษที่เหลือเมื่อพหุนาม $g(x^{12})$ หารด้วยพหุนาม $g(x)$ | เรามีว่า
\[g(x^{12}) = x^{60} + x^{48} + x^{36} + x^{24} + x^{12} + 1.\]สังเกตว่า
\[(x - 1)g(x) = (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 - 1.\]และ
\begin{align*}
g(x^{12}) - 6 &= (x^{60} + x^{48} + x^{36} + x^{24} + x^{12} + 1) - 6 \\
&= (x^{60} - 1) + (x^{48} - 1) + (x^{36} - 1) + (x^{24} - 1) + (x^{12} - 1).
\end{align*}เราสามารถเขียนได้ว่า
\[(x^{60} - 1) = (x^6 - 1)(x^{54} + x^{48} + x^{42} + \dots + x^6 + 1).\]ในทำนองเดียวกัน $x^{48} - 1,$ $x^{36} - 1,$ $x^{24} - 1,$ และ $x^{12} - 1$ เป็นพหุคูณของ $x^6 - 1,$ ดังนั้นเป็นพหุคูณของ $g(x).$
เราได้แสดงให้เห็นว่า $g(x^{12}) - 6$ เป็นพหุคูณของ $g(x),$ ดังนั้นเศษที่เหลือเมื่อพหุนาม $g(x^{12})$ หารด้วยพหุนาม $g(x)$ คือ $\boxed{6}.$ | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[a^3 - 15a^2 + 20a - 50 = 0 \quad \text{และ} \quad 8b^3 - 60b^2 - 290b + 2575 = 0.\]จงหาค่าของ $a + b.$ | กำหนดให้ $x = a - 5.$ แล้ว $a = x + 5,$ ดังนั้น
\[(x + 5)^3 - 15(x + 5)^2 + 20(x + 5) - 50 = 0,\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $x^3 - 55x - 200 = 0.$
กำหนดให้ $y = b - \frac{5}{2}.$ แล้ว $b = y + \frac{5}{2},$ ดังนั้น
\[8 \left( y + \frac{5}{2} \right)^3 - 60 \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 - 290 \left( y + \frac{5}{2} \right) + 2575 = 0,\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $y^3 - 55y + 200 = 0.$ (สังเกตว่าผ่านการแทนค่านี้ ทำให้พจน์กำลังสองในสมการลูกบาศก์ทั้งสองหายไป.)
พิจารณาฟังก์ชัน $f(t) = t^3 - 55t.$ สังเกตว่าพหุนาม $f(t)$ มีราก 0, $\sqrt{55},$ และ $-\sqrt{55}.$ กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงดังนี้.
[asy]
unitsize (0.2 cm);
real cubic (real x) {
return ((x^3 - 55*x)/12);
}
draw(graph(cubic,-8.5,8.5));
draw((-18,0)--(18,0));
draw((0,-18)--(0,18));
dot("$\sqrt{55}$", (sqrt(55),0), SE);
dot("$-\sqrt{55}$", (-sqrt(55),0), SW);
[/asy]
กำหนดให้ $0 \le t \le \sqrt{55}.$ แล้ว
\[[f(t)]^2 = (t^3 - 55t)^2 = t^2 (t^2 - 55)^2 = t^2 (55 - t^2)^2 = t^2 (55 - t^2)(55 - t^2).\]โดย AM-GM,
\[2t^2 (55 - t^2)(55 - t^2) \le \left( \frac{(2t^2) + (55 - t^2) + (55 - t^2)}{3} \right)^3 = \left( \frac{110}{3} \right)^3 < 40^3,\]ดังนั้น
\[[f(t)]^2 < 32000 < 32400,\]ซึ่งหมายความว่า $|f(t)| < 180.$
เนื่องจาก $f(t)$ เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้น $|f(t)| < 180$ สำหรับ $-\sqrt{55} \le t \le 0$ ด้วย นั่นหมายความว่าสมการ $f(t) = 200$ มีรากจริงเพียงรากเดียว เช่นเดียวกัน สมการ $f(t) = -200$ มีรากจริงเพียงรากเดียว. นอกจากนี้ เนื่องจาก $f(t)$ เป็นฟังก์ชันคี่ รากเหล่านี้รวมกันเป็น 0.
ดังนั้น
\[a - 5 + b - \frac{5}{2} = 0,\]ดังนั้น $a + b = 5 + \frac{5}{2} = \boxed{\frac{15}{2}}.$ | a + b = 5 + \frac{5}{2} = \boxed{\frac{15}{2}}. | [
"unknown"
] |
จงหาค่าของ $\left|\frac56 +2i\right|$. | เราได้ว่า \[\left|\frac56 +2i\right| = \left|\frac{1}{6}\left(5 +12i\right)\right| = \frac16|5+12i| = \frac16\sqrt{5^2 +12^2} = \boxed{\frac{13}{6}}.\] | [
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ $a$ เมื่อผลหารที่เหลือเป็นค่าคงที่เมื่อ $10x^3-7x^2+ax+6$ หารด้วย $2x^2-3x+1$ | เราทำการหารพหุนาม: \[
\begin{array}{c|cc cc}
\multicolumn{2}{r}{5x} & +4 \\
\cline{2-5}
2x^2-3x+1 & 10x^3&-7x^2&+ax&+6 \\
\multicolumn{2}{r}{-10x^3} & +15x^2 & -5x \\
\cline{2-4}
\multicolumn{2}{r}{0} & 8x^2 & (a-5)x & 6 \\
\multicolumn{2}{r}{} & -8x^2 & +12x & -4 \\
\cline{3-5}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & (a-5+12)x & 2 \\
\end{array}
\]ผลหารที่เหลือจะเป็นค่าคงที่ก็ต่อเมื่อ $a-5+12=0.$ ดังนั้น $a = \boxed{-7}.$ | a = \boxed{-7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ โดยที่สองในสามรากของ
\[x^3 + ax^2 + bx + 9a\]ตรงกัน และรากทั้งสามเป็นจำนวนเต็ม จงหา $|ab|.$ | ให้รากจำนวนเต็มเป็น $r,$ $r,$ และ $s,$ ดังนั้น
\[x^3 + ax^2 + bx + 9a = (x - r)^2 (x - s).\]ขยายและจับคู่สัมประสิทธิ์ เราได้
\begin{align*}
2r + s &= -a, \\
r^2 + 2rs &= b, \\
r^2 s &= -9a.
\end{align*}จากสมการแรกและสมการที่สาม $r^2 s = 9(2r + s),$ ดังนั้น
\[s r^2 - 18r - 9s = 0.\]เนื่องจากเป็นสมการกำลังสองของ $r$ ตัวเลือกคือ
\[\sqrt{18^2 - 4(s)(-9s)} = \sqrt{324 + 36s^2} = 3 \sqrt{s^2 + 9}.\]เนื่องจาก $r$ และ $s$ เป็นจำนวนเต็ม $s^2 + 9$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ให้ $s^2 + 9 = d^2,$ โดยที่ $d > 0.$ จากนั้น
\[(d + s)(d - s) = 9.\]ถ้า $s = 0,$ แล้ว $a = 0,$ ซึ่งไม่เป็นไปตามเงื่อนไข มิฉะนั้น $d = \pm 5$ และ $s = \pm 4.$ ถ้า $s = 4,$ แล้ว $r = 6,$ และ $a = -16$ และ $b = 84.$ ถ้า $s = -4,$ แล้ว $r = -6,$ และ $a = 16$ และ $b = 84.$ ในกรณีใด ๆ
\[|ab| = 16 \cdot 84 = \boxed{1344}.\] | b = 84. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของรากของสมการ $x^4-4x^3-4x^2+16x-8=0$ | \begin{align*}
x^4-4x^3-4x^2+16x-8&=(x^4-4x^3+4x^2)-(8x^2-16x+8)\\
&=x^2(x-2)^2-8(x-1)^2\\
&=(x^2-2x)^2-(2\sqrt{2}x-2\sqrt{2})^2\\
&=(x^2-(2+2\sqrt{2})x+2\sqrt{2})(x^2-(2-2\sqrt{2})x-2\sqrt{2}).
\end{align*}But noting that $(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}$ and completing the square, \begin{align*}
x^2-(2+2\sqrt{2})x+2\sqrt{2}&= x^2-(2+2\sqrt{2})x+3+2\sqrt{2}-3\\
&=(x-(1+\sqrt{2}))^2-(\sqrt{3})^2\\
&=(x-1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x-1-\sqrt{2}-\sqrt{3}).
\end{align*}Likewise, \begin{align*}
x^2-(2-2\sqrt{2})x-2\sqrt{2}=(x-1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(x-1+\sqrt{2}-\sqrt{3}),
\end{align*}so the roots of the quartic are $1\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$. Only one of these is negative, namely $1-\sqrt{2}-\sqrt{3}$, so the sum of the absolute values of the roots is $$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})+(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})+(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})-(1-\sqrt{2}-\sqrt{3})=\boxed{2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}.$$ | 2+2√2+2√3 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
วงรีถูกวาดด้วยแกนเอกและแกนรองมีความยาว 10 และ 8 ตามลำดับ โดยใช้จุดโฟกัสจุดหนึ่งเป็นศูนย์กลาง วงกลมถูกวาดสัมผัสวงรี โดยไม่มีส่วนใดของวงกลมอยู่ภายนอกวงรี จงคำนวณรัศมีของวงกลม | วางวงรีในระนาบพิกัด เช่นเดียวกับที่เคยทำมาแล้ว เพื่อให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จากนั้นสมการของวงรีคือ
\[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.\]นอกจากนี้ ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางถึงจุดโฟกัสแต่ละจุดคือ $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,$ ดังนั้นจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ $F = (3,0).$
[asy]
unitsize(0.6 cm);
path ell = xscale(5)*yscale(4)*Circle((0,0),1);
pair F = (3,0);
draw(ell);
draw(Circle(F,2));
draw((-5,0)--(5,0));
draw((0,-4)--(0,4));
dot("$F = (3,0)$", F, S);
[/asy]
พิจารณาวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $F$ และมีรัศมี 2 สมการของวงกลมนี้คือ $(x - 3)^2 + y^2 = 4,$ ดังนั้น $y^2 = 4 - (x - 3)^2.$ แทนค่าลงในสมการของวงรี เราจะได้
\[\frac{x^2}{25} + \frac{4 - (x - 3)^2}{16} = 1.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $3x^2 - 50x + 175 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 5)(3x - 35) = 0.$ คำตอบคือ $x = 5$ และ $x = \frac{35}{3},$ รูทหลังเป็นรูทที่ไม่เกี่ยวข้อง นี่บอกเราว่าวงรีและวงกลมตัดกันเฉพาะที่จุด $(5,0),$ และชัดเจนว่าเราไม่สามารถวาดวงกลมที่ใหญ่กว่านี้ได้
ดังนั้น รัศมีสูงสุดคือ $\boxed{2}.$ | \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับหนึ่งประกอบด้วย 2010 พจน์ พจน์หลังจากพจน์แรกมีค่ามากกว่าพจน์ก่อนหน้า 1 ผลบวกของ 2010 พจน์เท่ากับ 5307 เมื่อนำพจน์ที่มีเลขคี่บวกกันตั้งแต่พจน์แรกจนถึงพจน์ที่สองจากสุดท้าย ผลบวกที่ได้เท่ากับเท่าใด | เราให้ชื่อพจน์ว่า $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{2009},x_{2010}$.
สมมติว่า $S$ คือผลบวกของพจน์ที่มีเลขคี่ในลำดับ นั่นคือ \[ S = x_1 + x_3 + x_5 + \cdots + x_{2007}+x_{2009} \]เราทราบว่าผลบวกของพจน์ทั้งหมดเท่ากับ 5307 นั่นคือ, \[ x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{2009}+x_{2010} = 5307 \]ต่อไป เราจับคู่พจน์: พจน์ที่มีเลขคี่กับพจน์ที่มีเลขคู่ถัดไป นั่นคือ เราจับคู่พจน์แรกกับพจน์ที่สอง พจน์ที่สามกับพจน์ที่สี่ และอื่นๆ จนถึงเราจับคู่พจน์ที่ 2009 กับพจน์ที่ 2010 มี 1005 คู่
ในแต่ละคู่ พจน์ที่มีเลขคู่จะมีค่ามากกว่าพจน์ที่มีเลขคี่ 1 นั่นคือ $x_2-x_1=1$, $x_4-x_3=1$, และอื่นๆ ดังนั้น ผลบวกของพจน์ที่มีเลขคู่มากกว่าผลบวกของพจน์ที่มีเลขคี่ 1005 ดังนั้น ผลบวกของพจน์ที่มีเลขคู่คือ $S+1005$.
เนื่องจากผลบวกของพจน์ทั้งหมดเท่ากับผลบวกของพจน์ที่มีเลขคี่บวกกับผลบวกของพจน์ที่มีเลขคู่ ดังนั้น $S+(S+1005)=5307$ หรือ $2S=4302$ หรือ $S=2151$. ดังนั้น ผลบวกที่ต้องการคือ $\boxed{2151}$. | \boxed{2151} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของเศษส่วน 2009 รูปแบบ $\frac{2}{n(n+2)}$ ถ้าค่าของ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 2009 แสดงคำตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง | เราถูกขอให้หา \[
\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{2\cdot4}
+\frac{2}{3\cdot5}
+\frac{2}{4\cdot6}+\cdots+\frac{2}{2009\cdot2011}.
\] สังเกตว่า $\frac{2}{n(n+2)}$ สามารถเขียนได้เป็น $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$. นำเอกลักษณ์นี้มาใช้ ผลรวมของเราจะกลายเป็น \[
\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}
+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}
+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2011}.
\] ทุกเทอมลบจะยกเลิกกับเทอมที่อยู่ทางขวาสามตำแหน่ง เทอมที่เหลืออยู่คือ \[
1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}.
\] ผลรวมเป็น $\boxed{1.499}$ เมื่อปัดเศษเป็น 3 ตำแหน่งทศนิยม | \boxed{1.499} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหา khoảng cáchระหว่างจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลา
\[\frac{y^2}{18} - \frac{x^2}{2} = 1.\] | เรามี $a^2 = 18$ และ $b^2 = 2,$ ดังนั้น $c^2 = a^2 + b^2 = 20,$ และ $c = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}.$ ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{4 \sqrt{5}}.$ | 2c = \boxed{4 \sqrt{5}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เส้นตรงที่ผ่านจุด $(1, 7)$ และ $(3, 11)$ ตัดแกน $y$ ที่จุดใด จงแสดงคำตอบในรูปของจุดที่เรียงกัน | แกน $y$ คือเส้นตรงที่ $x$-coordinate มีค่าเท่ากับ $0$ โดยใช้จุดที่กำหนดให้ เมื่อ $x$-coordinate ลดลง $2$ $y$-coordinate จะลดลง $4$ ดังนั้น เมื่อ $x$-coordinate ลดลง $1$ จาก $1$ เป็น $0$ $y$-coordinate จะลดลง $2$ จาก $7$ เป็น $5$ จุดคือ $\boxed{(0,5)}$ | \boxed{(0,5)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนคำตอบจริงของสมการ
\[\frac{4x}{x^2 + x + 3} + \frac{5x}{x^2 - 5x + 3} = -\frac{3}{2}.\] | กำหนดให้ $y = x^2 + x + 3.$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดได้เป็น
\[\frac{4x}{y} + \frac{5x}{y - 6x} + \frac{3}{2} = 0.\]คูณทุกอย่างด้วย $2y(y - 6x),$ เราจะได้
\[8x(y - 6x) + 10xy + 3y(y - 6x) = 0.\]ขยาย, เราจะได้ $3y^2 - 48x^2 = 0,$ ดังนั้น $y^2 - 16x^2 = (y - 4x)(y + 4x) = 0.$ ดังนั้น $y = 4x$ หรือ $y = -4x.$
ถ้า $y = 4x,$ แล้ว $x^2 + x + 3 = 4x,$ ดังนั้น $x^2 - 3x + 3 = 0.$ สมการกำลังสองนี้ไม่มีคำตอบจริง
ถ้า $y = -4x,$ แล้ว $x^2 + x + 3 = -4x,$ ดังนั้น $x^2 + 5x + 3 = 0.$ สมการกำลังสองนี้มีคำตอบจริงสองคำตอบ, ซึ่งทำให้เราได้จำนวนคำตอบจริงทั้งหมด $\boxed{2}$ คำตอบ | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $a$ ที่ทำให้สมการ $ |x^2 + 2ax + 3a|\le2$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว | ให้ $f(x) = x^2+2ax+3a.$ เราต้องการให้กราฟของ $y=f(x)$ ตัดกับ "แถบ" $-2 \le y \le 2$ ที่จุดเดียว เนื่องจากกราฟของ $y=f(x)$ เป็นพาราโบลาหันส่วนโค้งขึ้น ดังนั้นสิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อค่าต่ำสุดของ $f(x)$ เท่ากับ $2.$
เพื่อหาค่าต่ำสุดของ $f(x)$ จบกำลังสอง: \[f(x) = (x^2+2ax+a^2) + (3a-a^2) = (x+a)^2 + (3a-a^2).\]ดังนั้นค่าต่ำสุดของ $f(x)$ คือ $3a-a^2$ ดังนั้น \[3a - a^2 = 2,\]ซึ่งมีคำตอบ $a = \boxed{1, 2}.$ | a = \boxed{1, 2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = \log (x + \sqrt{1 + x^2})$ เป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง? | สังเกตว่า
\begin{align*}
-x + \sqrt{1 + (-x)^2} &= -x + \sqrt{1 + x^2} \\
&= \frac{(-x + \sqrt{1 + x^2})(x + \sqrt{1 + x^2})}{x + \sqrt{1 + x^2}} \\
&= \frac{-x^2 + (1 + x^2)}{x + \sqrt{1 + x^2}} \\
&= \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}},
\end{align*}ดังนั้น
\begin{align*}
f(-x) &= \log (-x + \sqrt{1 + x^2}) \\
&= \log \left( \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \right) \\
&= -\log (x + \sqrt{1 + x^2}) \\
&= -f(x).
\end{align*}ดังนั้น $f(x)$ เป็นฟังก์ชัน $\boxed{\text{คี่}}$ | $\boxed{\text{คี่}}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ให้ตัวเลข 2, 3, 4, 5, 6, 7 ถูกกำหนดให้กับหน้าของลูกบาศก์ 6 หน้า โดยมีตัวเลข 1 ตัวต่อหน้า สำหรับจุดยอด 8 จุดของลูกบาศก์ คำนวณผลคูณของตัวเลข 3 ตัว โดยที่ 3 ตัวเลขนั้นคือตัวเลขที่กำหนดให้กับหน้า 3 หน้าที่รวมจุดยอดนั้น จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลรวมของผลคูณ 8 ตัวนี้ | ให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ เป็นป้ายกำกับของลูกบาศก์ โดยที่ $a$ และ $b$ ตรงข้ามกัน, $c$ และ $d$ ตรงข้ามกัน และ $e$ และ $f$ ตรงข้ามกัน แล้วผลรวมของ 8 ผลคูณคือ
\[ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf = (a + b)(c + d)(e + f).\]โดย AM-GM,
\[(a + b)(c + d)(e + f) \le \left[ \frac{(a + b) + (c + d) + (e + f)}{3} \right]^3 = \left( \frac{27}{3} \right)^3 = 729.\]ความเสมอภาคเกิดขึ้นเมื่อ $a + b = c + d = e + f = 9,$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าทำได้ ดังนั้นผลรวมสูงสุดคือ $\boxed{729}.$ | \boxed{729}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ
\[f(xy) + f(xz) - f(x) f(yz) \ge 1\]สำหรับจำนวนจริง $x,$ $y,$ และ $z$ ทั้งหมด | กำหนด $x = y = z = 0,$ เราได้
\[f(0) + f(0) - f(0)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(0)^2 - 2f(0) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(0) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(0) = 1.$
กำหนด $x = y = z = 1,$ เราได้
\[f(1) + f(1) - f(1)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(1)^2 - 2f(1) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(1) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(1) = 1.$
กำหนด $y = z = 0,$ เราได้
\[f(0) + f(0) - f(x) f(0) \ge 1,\]ดังนั้น $f(x) \le 1$ สำหรับทุก $x.$
กำหนด $y = z = 1,$ เราได้
\[f(x) + f(x) - f(x) f(1) \ge 1,\]ดังนั้น $f(x) \ge 1$ สำหรับทุก $x.$
สิ่งนี้บอกเราว่าฟังก์ชันที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $f(x) = 1.$ เราเห็นได้ง่ายๆ ว่าฟังก์ชันนี้ทำงาน ดังนั้นจึงมีฟังก์ชัน $f(x)$ ที่เป็นไปได้เพียง $\boxed{1}$ ฟังก์ชัน | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อพหุนาม $x^{1000}$ หารด้วยพหุนาม $(x^2 + 1)(x + 1)$ | สังเกตว่า $(x^2 + 1)(x + 1)$ เป็นตัวประกอบของ $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) = x^4 - 1.$ เนื่องจาก
\[x^{1000} - 1 = (x^4 - 1)(x^{996} + x^{992} + x^{988} + \dots + x^8 + x^4 + 1),\]เศษที่เหลือเมื่อ $x^{1000}$ หารด้วย $(x^2 + 1)(x + 1)$ คือ $\boxed{1}.$ | \boxed{1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $3x + 2y \le 7$ และ $2x + 4y \le 8.$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y.$ | หารอสมการที่สองด้วย 2 จะได้ $x + 2y \le 4.$ บวกอสมการแรก $3x + 2y \le 7$ จะได้
\[4x + 4y \le 11,\]ดังนั้น $x + y \le \frac{11}{4}.$
ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = \frac{3}{2}$ และ $y = \frac{5}{4},$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y$ คือ $\boxed{\frac{11}{4}}.$ | \boxed{\frac{11}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0$ สมมติว่า $a + \frac{1}{b}$ และ $b + \frac{1}{a}$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0$ จงหาค่า $q$ | จากสูตรของ Vieta's $ab = 2.$ แล้ว
\[q = \left( a + \frac{1}{b} \right) \left( b + \frac{1}{a} \right) = ab + 1 + 1 + \frac{1}{ab} = 2 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \boxed{\frac{9}{2}}.\] | $ab = 2.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของรากที่เป็นจำนวนตรรกยะของ $g(x)=x^3-9x^2+16x-4$. | ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะ $p/q$ ใดๆ ของ $g(x)$ ต้องมี $p$ หาร 4 ลงตัว และ $q$ หาร 1 ลงตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นั่นหมายความว่ารากตรรกยะใดๆ ต้องเป็นตัวหารจำนวนเต็มของ 4
โดยการทดลองตัวประกอบจำนวนเต็มของ 4 เราพบว่า $g(2) = 8-9\cdot4+16\cdot2-4=0$. ดังนั้น ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ $x-2$ เป็นตัวประกอบของ $g(x)$. ด้วยการหารพหุนาม เราสามารถเขียน $g(x) = (x-2)(x^2-7x+2).$ เราสามารถหารากที่เหลือของ $g(x)$ ได้โดยการหารากของ $x^2-7x+2$ โดยใช้สูตรกำลังสอง ซึ่งจะให้เรา
\[x = \frac{7 \pm \sqrt{49-8} }{2} =\frac{7 \pm \sqrt{41} }{2} .\]เนื่องจากสิ่งเหล่านี้แน่นอนว่าไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ผลบวกของรากตรรกยะของ $g(x)$ คือ $\boxed{2}.$ | \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระนาบพิกัด เส้นโค้ง $xy = 1$ ตัดวงกลมที่จุดสี่จุด โดยสามจุดคือ $\left( 2, \frac{1}{2} \right),$ $\left( -5, -\frac{1}{5} \right),$ และ $\left( \frac{1}{3}, 3 \right)$ จงหาจุดตัดจุดที่สี่ | ให้สมการของวงกลมเป็น $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$ จาก $xy = 1,$ $y = \frac{1}{x}.$ แทนค่าลงไปจะได้
\[(x - a)^2 + \left( \frac{1}{x} - b \right)^2 = r^2.\]แล้ว
\[x^2 - 2ax + a^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{2b}{x} + b^2 = r^2,\]ดังนั้น
\[x^4 - 2ax^3 + (a^2 + b^2 - r^2) x^2 - 2bx + 1 = 0.\]โดยทฤษฎีบทของเวียต ผลคูณของรากคือ 1. สามรากคือ 2, $-5,$ และ $\frac{1}{3},$ ดังนั้นรากที่สี่คือ $-\frac{3}{10}.$ ดังนั้นจุดที่สี่คือ $\boxed{\left( -\frac{3}{10}, -\frac{10}{3} \right)}.$ | \boxed{\left( -\frac{3}{10}, -\frac{10}{3} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนของคู่ลำดับ $(x,y)$ ของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
\[16^{x^2 + y} + 16^{x + y^2} = 1.\] | โดย AM-GM,
\[1 = 16^{x^2 + y} + 16^{x + y^2} \ge 2 \sqrt{16^{x^2 + y} \cdot 16^{x + y^2}} = 2 \cdot 4^{x^2 + y^2 + x + y} = 2^{2x^2 + 2y^2 + 2x + 2y + 1},\]ดังนั้น
\[2x^2 + 2y^2 + 2x + 2y + 1 \le 0.\]แล้ว
\[x^2 + x + y^2 + y + \frac{1}{2} \le 0.\]เติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{1}{2} \right)^2 \le 0.\]คู่เดียวที่เป็นไปได้คือ $(x,y) = \left( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right).$ ดังนั้น มีเพียง $\boxed{1}$ วิธีแก้ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ \[\frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}},\]เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ใช้สมบัติ $\log_a b^x = x \log_a b,$ เราได้ \[\begin{aligned} \frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}} &= \frac{2}{6\log_4 2000} + \frac{3}{6\log_5 2000} \\ &= \frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000}. \end{aligned}\]เนื่องจาก $\log_a b = \frac1{\log_b a}$, เราสามารถเขียนได้ \[\frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000} = \frac{1}{3}\log_{2000} 4 + \frac{1}{2}\log_{2000} 5,\]ซึ่งเท่ากับ \[\log_{2000} (4^{1/3} 5^{1/2})= \log_{2000} (2^{2/3} 5^{1/2}).\]เนื่องจาก $2000 = 2^4 5^3 = \left(2^{2/3} 5^{1/2}\right)^6$, ดังนั้นค่าของนิพจน์คือ $\boxed{\tfrac{1}{6}}$. | \boxed{\tfrac{1}{6}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ไบรอันจดจำนวนเต็มสี่จำนวน $w > x > y > z$ ซึ่งผลรวมของจำนวนเหล่านี้คือ 44 ผลต่างบวกของจำนวนคู่เหล่านี้คือ 1, 3, 4, 5, 6 และ 9 ผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $w$ คือเท่าไร | ผลต่างที่มากที่สุดต้องเป็น $w - z = 9.$ ผลต่างสองจำนวน $w - x$ และ $x - z$ ต้องรวมกันได้ $w - z = 9.$ ในทำนองเดียวกัน ผลต่างสองจำนวนของ $w - y$ และ $y - z$ ต้องรวมกันได้ 9. ดังนั้น $\{w - x, x - z\}$ และ $\{w - y, y - z\}$ ต้องเป็น $\{3,6\}$ และ $\{4,5\}$ ในลำดับใดลำดับหนึ่ง สิ่งนี้จะทำให้ $x - y = 1.$
กรณีที่ 1: $\{w - x, x - z\} = \{3,6\}$ และ $\{w - y, y - z\} = \{4,5\}.$
เนื่องจาก $w - x < w - y \le 4,$ เราต้องมี $w - x = 3,$ ดังนั้น $x - z = 6.$ เนื่องจาก $x - y = 1,$ $y - z = 5.$
ดังนั้น $z = w - 9,$ $x = w - 3,$ และ $y = w - 4.$ เรายังทราบอีกด้วยว่า $w + x + y + z = 44,$ ดังนั้น
\[w + (w - 3) + (w - 4) + (w - 9) = 44.\]ดังนั้น $w = 15.$
กรณีที่ 2: $\{w - x, x - z\} = \{4,5\}$ และ $\{w - y, y - z\} = \{3,6\}.$
เนื่องจาก $y - z < x - z \le 4,$ เราต้องมี $y - z = 3,$ ดังนั้น $w - y = 6.$ เนื่องจาก $x - y = 1,$ $w - x = 5.$
ดังนั้น $z = w - 9,$ $x = w - 5,$ และ $y = w - 6.$ เนื่องจาก $w + x + y + z = 44,$
\[w + (w - 5) + (w - 6) + (w - 9) = 44.\]ดังนั้น $w = 16.$
ผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $w$ คือ $15 + 16 = \boxed{31}.$ | 15 + 16 = \boxed{31}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดไฮเปอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และเปิดออกไปทางซ้ายขวาหรือบนล่าง ไฮเปอร์โบลาผ่านจุด $(-3, 4),$ $(-2, 0),$ และ $(t, 2).$ จงหาค่าของ $t^2$. | เนื่องจากไฮเปอร์โบลา มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(0,0)$ และตัดแกน $x$ ที่ $(-2,0)$ ดังนั้นมันต้องเปิดออกไปทางซ้ายขวา และ $(-2,0)$ ต้องเป็นจุดยอดจุดหนึ่ง ดังนั้นมันจึงมีสมการอยู่ในรูป \[\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]สำหรับค่า $b>0$ บางค่า โดยแทนค่า $x=-3$ และ $y=4$ เราจะได้สมการ \[\frac{9}{4} - \frac{16}{b^2} = 1,\]ซึ่งจะได้ $b^2 = \frac{64}{5}.$ ดังนั้นสมการของไฮเปอร์โบลาคือ \[\frac{x^2}{4} - \frac{5y^2}{64} = 1.\]โดยแทนค่า $x=t$ และ $y=2$ เราจะได้ \[\frac{t^2}{4} - \frac{5}{16} = 1,\]ซึ่งจะได้ $t^2= \boxed{\frac{21}{4}}.$[asy]
void axes(real x0, real x1, real y0, real y1)
{
draw((x0,0)--(x1,0),EndArrow);
draw((0,y0)--(0,y1),EndArrow);
label("$x$",(x1,0),E);
label("$y$",(0,y1),N);
for (int i=floor(x0)+1; i<x1; ++i)
draw((i,.1)--(i,-.1));
for (int i=floor(y0)+1; i<y1; ++i)
draw((.1,i)--(-.1,i));
}
path[] yh(real a, real b, real h, real k, real x0, real x1, bool upper=true, bool lower=true, pen color=black)
{
real f(real x) { return k + a / b * sqrt(b^2 + (x-h)^2); }
real g(real x) { return k - a / b * sqrt(b^2 + (x-h)^2); }
if (upper) { draw(graph(f, x0, x1),color, Arrows); }
if (lower) { draw(graph(g, x0, x1),color, Arrows); }
path [] arr = {graph(f, x0, x1), graph(g, x0, x1)};
return arr;
}
void xh(real a, real b, real h, real k, real y0, real y1, bool right=true, bool left=true, pen color=black)
{
path [] arr = yh(a, b, k, h, y0, y1, false, false);
if (right) draw(reflect((0,0),(1,1))*arr[0],color, Arrows);
if (left) draw(reflect((0,0),(1,1))*arr[1],color, Arrows);
}
void e(real a, real b, real h, real k)
{
draw(shift((h,k))*scale(a,b)*unitcircle);
}
size(7cm);
axes(-4, 4, -5, 5);
xh(2, 8/sqrt(5), 0, 0, -5, 5);
dot((-3,4)^^(-2,0)^^(sqrt(21/4),2));
label("$(-3,4)$",(-3,4),ENE);
label("$(-2,0)$",(-2,0),NW);
label("$(t,2)$",(sqrt(21/4),2),NW);
[/asy] | (t,2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n)=\log_{2002} n^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด จงหาค่าของ $f(11)+f(13)+f(14)$ | เราได้ว่า
\begin{align*}
f(11) + f(13) + f(14) &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 + \log_{2002} 14^2 \\
&= \log_{2002} (11^2 \cdot 13^2 \cdot 14^2) \\
&= \log_{2002} 2002^2 \\
&= \boxed{2}.
\end{align*} | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x + 2y + z = 4.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[xy + xz + yz.\] | เราสามารถแก้สมการหา $y$ ได้เป็น
\[y = \frac{4 - x - z}{2}.\]เมื่อแทนค่าลงไปจะได้
\[xy + xz + yz = \frac{-x^2 + 4x - z^2 + 4z}{2} = \frac{8 - (x - 2)^2 - (z - 2)^2}{2}.\]ค่าสูงสุดคือ $\boxed{4},$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x = 2$ และ $z = 2$ (และ $y = 0$). | y = 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ บนจำนวนเต็มบวกดังนี้:
\[f(n) = \left\{
\begin{array}{cl}
n + 10 & \text{ถ้า $n < 10$}, \\
f(n - 5) & \text{ถ้า $n \ge 10$}.
\end{array}
\right.\]จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน | เราเห็นว่า $f(n) = n + 10$ สำหรับ $n = 1,$ 2, 3, $\dots,$ 9. จากนั้น
\begin{align*}
f(10) &= f(5) = 15, \\
f(11) &= f(6) = 16, \\
f(12) &= f(7) = 17, \\
f(13) &= f(8) = 18, \\
f(14) &= f(9) = 19, \\
f(15) &= f(10) = 15,
\end{align*}และอื่นๆ. ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจะกลายเป็นคาบ โดยมีคาบ 5. ดังนั้น ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ $\boxed{19}.$ | \boxed{19}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แสดงผลรวมต่อไปนี้ในรูปเศษส่วนร่วม: $$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \dots + \frac{1}{9\cdot 10}$$ | สังเกตว่าแต่ละพจน์สามารถเขียนได้เป็น \[ \frac{1}{n (n+1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}.\] นี่สามารถหาได้โดยการกำหนด \[\frac{1}{n (n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \] สำหรับค่า $A$ และ $B$ ที่ไม่ทราบค่า และจากนั้นคูณไขว้เพื่อแก้หา $A$ และ $B.$ จากจุดนี้เราจะเห็นว่า $-\frac{1}{n+1}$ ของแต่ละพจน์จะยกเลิกกับ $\frac{1}{n}$ ของพจน์ถัดไป ดังนั้นผลรวมคือ $1 - \frac{1}{(9)+1} = \boxed{\frac{9}{10}}.$ | 1 - \frac{1}{(9)+1} = \boxed{\frac{9}{10}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\[|z - 12| + |z - 5i| = 13.\]จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $|z|.$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม,
\[|z - 12| + |z - 5i| = |z - 12| + |5i - z| \ge |(z - 12) + (5i - z)| = |-12 + 5i| = 13.\]แต่เราทราบว่า $|z - 12| + |z - 5i| = 13.$ วิธีเดียวที่ความเท่ากันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ 12 และ $5i$ ในระนาบเชิงซ้อน.
[asy]
unitsize(0.4 cm);
pair Z = interp((0,5),(12,0),0.6);
pair P = ((0,0) + reflect((12,0),(0,5))*(0,0))/2;
draw((12,0)--(0,5),red);
draw((-1,0)--(13,0));
draw((0,-1)--(0,6));
draw((0,0)--Z);
draw((0,0)--P);
draw(rightanglemark((0,0),P,(12,0),20));
dot("$12$", (12,0), S);
dot("$5i$", (0,5), W);
dot("$z$", Z, NE);
label("$h$", P/2, SE);
[/asy]
เราต้องการลดค่า $|z|$ ลงให้เหลือน้อยที่สุด เราเห็นว่า $|z|$ จะน้อยที่สุดเมื่อ $z$ ตรงกับการฉายภาพของจุดกำเนิดบนส่วนของเส้นตรง
พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด 0, 12 และ $5i$ คือ
\[\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30.\]พื้นที่นี้ยังเท่ากับ
\[\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h = \frac{13h}{2},\]ดังนั้น $h = \boxed{\frac{60}{13}}.$ | h = \boxed{\frac{60}{13}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ
\[\sum_{n = 2}^\infty \frac{4n^3 - n^2 - n + 1}{n^6 - n^5 + n^4 - n^3 + n^2 - n}.\] | ก่อนอื่น เราจะแยก $ rac{4n^3 - n^2 - n + 1}{n^6 - n^5 + n^4 - n^3 + n^2 - n}$ เป็นเศษส่วนย่อย เราจะแยกตัวประกอบของส่วน:
\begin{align*}
n^6 - n^5 + n^4 - n^3 + n^2 - n &= n(n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n - 1) \\
&= n(n^4 (n - 1) + n^2 (n - 1) + (n - 1)) \\
&= n(n - 1)(n^4 + n^2 + 1) \\
&= n(n - 1)[(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2] \\
&= n(n - 1)[(n^2 + 1)^2 - n^2] \\
&= n(n - 1)(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1).
\end{align*}จากนั้นโดยเศษส่วนย่อย เราได้
\[\frac{4n^3 - n^2 - n + 1}{n^6 - n^5 + n^4 - n^3 + n^2 - n} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{n - 1}{n^2 + n + 1} - \frac{n - 2}{n^2 - n + 1}.\]จากนั้น
\begin{align*}
\sum_{n = 2}^\infty \frac{4n^3 - n^2 - n + 1}{n^6 - n^5 + n^4 - n^3 + n^2 - n} &= \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{7} \right) \\
&\quad + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{2}{13} - \frac{1}{7} \right) \\
&\quad + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{3}{21} - \frac{2}{13} \right) + \dotsb \\
&= \boxed{1}.
\end{align*} | 1 | [
"unknown"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \ge 1 + \log_2 \frac{2014}{2015}.\] | ก่อนอื่น
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) = \log_2 \left[ \prod_{k = 0}^n \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \right].\]เราต้องการหาค่าของ
\[(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n})\]ที่ $x = \frac{1}{2}.$ โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง
\begin{align*}
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n}) &= \frac{1 - x^2}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^4}{1 - x^2} \cdot \frac{1 - x^8}{1 - x^4} \dotsm \frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x^{2^n}} \\
&= \frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x}.
\end{align*}ที่ $x = \frac{1}{2},$
\[\frac{1 - x^{2^{n + 1}}}{1 - x} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{2^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right),\]และ
\[\log_2 \left[ 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right) \right] = \log_2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \right) + 1.\]ดังนั้น เราต้องการจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
\[1 - \frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \ge \frac{2014}{2015}.\]เทียบเท่ากับ
\[\frac{1}{2^{2^{n + 1}}} \le \frac{1}{2015},\]หรือ $2^{2^{n + 1}} \ge 2015.$
สำหรับ $n = 2,$ $2^{2^{n + 1}} = 2^{2^3} = 2^8 = 256,$ และสำหรับ $n = 3,$ $2^{2^{n + 1}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65536,$ ดังนั้น $n$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลรวมอนันต์ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^4+4}$ | ก่อนอื่น เราสามารถแยกตัวประกอบของตัวส่วนด้วยการลองผิดลองถูก:
\begin{align*}
n^4 + 4 &= n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 \\
&= (n^2 + 2)^2 - (2n)^2 \\
&= (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2).
\end{align*}จากนั้น
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^4 + 4} & = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)} \\
&= \frac{1}{4} \sum_{n = 1}^\infty \frac{(n^2 + 2n + 2) - (n^2 - 2n + 2)}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)} \\
&= \frac 1 4 \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n^2 - 2n + 2} - \frac{1}{n^2 + 2n + 2} \right) \\
&= \frac 1 4 \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{(n-1)^2 + 1} - \frac{1}{(n+1)^2 + 1} \right) \\
&= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{0^2 + 1} - \frac{1}{2^2 + 1} \right) + \left( \frac{1}{1^2 + 1} - \frac{1}{3^2 + 1} \right) + \left( \frac{1}{2^2 + 1} - \frac{1}{4^2 + 1} \right) + \dotsb \right].
\end{align*}สังเกตว่าผลรวมนี้มีการยุบตัว จากนี้เราพบว่าคำตอบคือ $\dfrac 1 4 \left( \dfrac{1}{0^2 + 1} + \dfrac 1 {1^2 + 1} \right) = \boxed{\dfrac 3 8}$. | $\dfrac 1 4 \left( \dfrac{1}{0^2 + 1} + \dfrac 1 {1^2 + 1} \right) = \boxed{\dfrac 3 8}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ $9^x - 3^x + 1$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด | ให้ $y = 3^x.$ แล้ว
\[9^x - 3^x + 1 = y^2 - y + 1 = \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}.\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{3}{4}}$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $y = \frac{1}{2}$ หรือ $x = \log_3 \frac{1}{2}.$ | x = \log_3 \frac{1}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการอสมการ
\[\frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x - 1)(x - 5)(x - 6)} > 0.\] | เราสามารถสร้างแผนภูมิเครื่องหมายได้ แต่เนื่องจากตัวประกอบทั้งหมดเป็นเส้นตรง เราสามารถติดตามสิ่งที่เกิดขึ้นกับนิพจน์เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น ที่ $x = 0$ นิพจน์เป็นบวก เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้นเกิน 1 นิพจน์จะกลายเป็นลบ เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้นเกิน 2 นิพจน์จะกลายเป็นบวก และอื่นๆ ดังนั้นคำตอบคือ
\[x \in \boxed{(-\infty,1) \cup (2,3) \cup (4,5) \cup (6,\infty)}.\] | x | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าสูงสุดของ $a \cos \theta + b \sin \theta$ ในรูปของ $a$ และ $b$ | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a \cos \theta + b \sin \theta)^2 \le (a^2 + b^2)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2 + b^2,\]ดังนั้น $a \cos \theta + b \sin \theta \le \sqrt{a^2 + b^2}.$
ถ้า $a = b = 0,$ แล้ว $a \cos \theta + b \sin \theta = 0$ สำหรับทุก ๆ $\theta.$ มิฉะนั้น $a^2 + b^2 > 0,$ และเราสามารถหาค่ามุม $\theta$ ได้ที่ทำให้
\[\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \quad \text{และ} \quad \sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}},\]ซึ่งทำให้ $a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2}.$ ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $\boxed{\sqrt{a^2 + b^2}}.$ | \boxed{\sqrt{a^2 + b^2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ประเมินอนุกรมอนันต์ $\sum_{k = 1}^\infty \frac{k^2}{2^k}.$ | ให้
\[S = \sum_{k = 1}^\infty \frac{k^2}{2^k} = \frac{1^2}{2} + \frac{2^2}{2^2} + \frac{3^2}{2^3} + \frac{4^2}{2^4} + \dotsb.\]แล้ว
\[2S = 1 + \frac{2^2}{2} + \frac{3^2}{2^2} + \frac{4^2}{2^3} + \frac{5^2}{2^4} + \dotsb.\]ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[S = 1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \frac{7}{2^3} + \frac{9}{2^4} + \dotsb.\]แล้ว
\[2S = 2 + 3 + \frac{5}{2} + \frac{7}{2^2} + \frac{9}{2^3} + \frac{11}{2^4} + \dotsb.\]ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[S = 4 + \frac{2}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{2}{2^4} + \dotsb = 4 + \frac{1}{1 - 1/2} = \boxed{6}.\] | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[\frac{a}{b} + \frac{a}{b^2} + \frac{a}{b^3} + \dots = 4.\]จงหาค่าของ
\[\frac{a}{a + b} + \frac{a}{(a + b)^2} + \frac{a}{(a + b)^3} + \dotsb.\] | จากสูตรอนุกรมเรขาอนันต์
\[\frac{a/b}{1 - 1/b} = 4.\]ดังนั้น $\frac{a}{b - 1} = 4,$ 因此 $a = 4(b - 1).$
อีกครั้งจากสูตร
\begin{align*}
\frac{a}{a + b} + \frac{a}{(a + b)^2} + \frac{a}{(a + b)^3} + \dotsb &= \frac{a/(a + b)}{1 - 1/(a + b)} \\
&= \frac{a}{a + b - 1} \\
&= \frac{4(b - 1)}{4(b - 1) + (b - 1)} \\
&= \frac{4(b - 1)}{5(b - 1)} = \boxed{\frac{4}{5}}.
\end{align*} | a = 4(b - 1). | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของรากของสมการ $x^4-4x^3-4x^2+16x-8=0$ | \begin{align*}
x^4-4x^3-4x^2+16x-8&=(x^4-4x^3+4x^2)-(8x^2-16x+8)\\
&=x^2(x-2)^2-8(x-1)^2\\
&=(x^2-2x)^2-(2\sqrt{2}x-2\sqrt{2})^2\\
&=(x^2-(2+2\sqrt{2})x+2\sqrt{2})(x^2-(2-2\sqrt{2})x-2\sqrt{2}).
\end{align*}But noting that $(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}$ and completing the square, \begin{align*}
x^2-(2+2\sqrt{2})x+2\sqrt{2}&= x^2-(2+2\sqrt{2})x+3+2\sqrt{2}-3\\
&=(x-(1+\sqrt{2}))^2-(\sqrt{3})^2\\
&=(x-1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x-1-\sqrt{2}-\sqrt{3}).
\end{align*}Likewise, \begin{align*}
x^2-(2-2\sqrt{2})x-2\sqrt{2}=(x-1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(x-1+\sqrt{2}-\sqrt{3}),
\end{align*}so the roots of the quartic are $1\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$. Only one of these is negative, namely $1-\sqrt{2}-\sqrt{3}$, so the sum of the absolute values of the roots is $$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})+(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})+(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})-(1-\sqrt{2}-\sqrt{3})=\boxed{2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}.$$ | 2+2√2+2√3 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า
$$a(2+i)^4 + b(2+i)^3 + c(2+i)^2 + b(2+i) + a = 0,$$โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มซึ่งตัวหารร่วมมากที่สุดของมันคือ $1$ จงหาค่า $|c|$ | ให้ $f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+bx+a$ ดังนั้น ข้อปัญหาข้างต้นระบุว่า $x=2+i$ เป็นรากของ $f$.
สังเกตความสมมาตรของสัมประสิทธิ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามี $f\left(\frac 1x\right) = \frac{f(x)}{x^4}$ สำหรับทุก $x\ne 0$ ดังนั้น ถ้า $x=r$ เป็นรากใดๆ ของ $f(x)$ แล้ว $x=\frac 1r$ ก็เป็นรากเช่นกัน
โดยเฉพาะ $x=\frac 1{2+i}$ เป็นราก เพื่อเขียนรากนี้ในรูปมาตรฐาน เราคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน:
$$\frac 1{2+i} = \frac 1{2+i}\cdot\frac{2-i}{2-i} = \frac{2-i}5 = \frac 25-\frac 15i.$$ตอนนี้เรามีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงสองรากของ $f$ เนื่องจาก $f$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง รากของมันก็เป็นรากเช่นกัน ดังนั้น รากทั้งสี่ของ $f$ คือ $2\pm i$ และ $\frac 25\pm\frac 15i$.
พหุนามกำลังสองที่มีรากเป็น $2\pm i$ คือ $(x-2-i)(x-2+i) = (x-2)^2-i^2 = x^2-4x+5$.
พหุนามกำลังสองที่มีรากเป็น $\frac 25\pm\frac 15i$ คือ $\left(x-\frac 25-\frac 15i\right)\left(x-\frac 25+\frac 15i\right) = \left(x-\frac 25\right)^2-\left(\frac 15i\right)^2 = x^2-\frac 45x+\frac 15$.
ดังนั้น
\begin{align*}
f(x) &= a(x^2-4x+5)\left(x^2-\frac 45x+\frac 15\right) \\
&= a\left(x^4-\frac{24}5x^3+\frac{42}5x^2-\frac{24}5x+1\right),
\end{align*}ดังนั้น $a,b,c$ อยู่ในอัตราส่วน $1:-\frac{24}5:\frac{42}5$ เนื่องจาก $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มซึ่งตัวหารร่วมมากที่สุดของมันคือ $1$ เราจึงมี $(a,b,c) = (5,-24,42)$ หรือ $(-5,24,-42)$ ในกรณีใดก็ตาม $|c|=\boxed{42}$. | |c|=\boxed{42} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นรากของ $3x^3 - 3x^2 + 11x - 8 = 0.$ จงหาค่าของ $ab + ac + bc.$ | โดยสูตรของ Vieta's, $ab + ac + bc = \boxed{\frac{11}{3}}.$ | ab + ac + bc = \boxed{\frac{11}{3}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดนิพจน์ \[A=1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + \cdots + 37 \times 38 + 39\]และ \[B = 1 + 2 \times 3 + 4 \times 5 + \cdots + 36 \times 37 + 38 \times 39\]ซึ่งได้มาจากการเขียนสัญลักษณ์การคูณและการบวกสลับกันระหว่างจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกัน จงหาผลต่างระหว่างจำนวนเต็ม $A$ และ $B$ | แทนที่จะคำนวณ $A$ และ $B$ แยกกัน เราสามารถเขียนนิพจน์ง่ายๆ สำหรับ $A-B$ ดังนี้: \[\begin{aligned} A - B &= (1 \cdot2 + 3 \cdot4 + 5 \cdot6 + \cdots + 37 \cdot38 + 39) - (1 + 2 \cdot3 + 4 \cdot5 + \cdots + 36 \cdot37 + 38 \cdot39) \\ &= -1 + (1 \cdot2 - 2 \cdot3) + (3 \cdot4 - 4 \cdot5) + \cdots + (37 \cdot 38 - 38 \cdot 39) + 39 \\ &= -1 + 2(-2) + 4(-2) + \cdots + 38(-2) + 39 \\ &= -1 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} + 39 \\ &= -1 - 760 + 39 \\ &= -722. \end{aligned}\]ดังนั้น $|A-B| = \boxed{722}.$ | |A-B| = \boxed{722}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนเชิงซ้อนโดย $z_1 = 0$ และ
\[z_{n + 1} = z_n^2 + i\]สำหรับทุก $n \ge 1.$ ในระนาบเชิงซ้อน จุด $z_{111}$ ห่างจากจุดกำเนิดเท่าใด? | พจน์สองสามพจน์แรกคือ
\begin{align*}
z_2 &= 0^2 + i = i, \\
z_3 &= i^2 + i = -1 + i, \\
z_4 &= (-1 + i)^2 + i = -i, \\
z_5 &= (-i)^2 + i = -1 + i.
\end{align*}เนื่องจาก $z_4 = z_2,$ และแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าเท่านั้น ลำดับตั้งแต่นี้เป็นต้นไปเป็นคาบ โดยมีคาบยาว 2 ดังนั้น $|z_{111}| = |z_3| = |-1 + i| = \boxed{\sqrt{2}}.$ | |z_{111}| = |z_3| = |-1 + i| = \boxed{\sqrt{2}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับ $a_1 , a_2 , \dots$ โดยที่ $a_1=2$ , $a_2=3$, และ $a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n \ge 3$ จงหาค่าของ $a_{2006}$ | เราได้ว่า
\begin{align*}
a_3 &= \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{2}, \\
a_4 &= \frac{a_3}{a_2} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}, \\
a_5 &= \frac{a_4}{a_3} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}, \\
a_6 &= \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}, \\
a_7 &= \frac{a_6}{a_5} = \frac{2/3}{1/3} = 2, \\
a_8 &= \frac{a_7}{a_6} = \frac{2}{2/3} = 3.
\end{align*}เนื่องจาก $a_7 = a_1 = 2$ และ $a_8 = a_2 = 3,$ และแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าสองพจน์ ลำดับนี้จึงเป็นคาบที่จุดนี้ โดยมีคาบยาว 6 ดังนั้น $a_{2006} = a_2 = \boxed{3}.$ | a_{2006} = a_2 = \boxed{3}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และกำหนดให้
\[x = \frac{b}{c} + \frac{c}{b}, \quad y = \frac{a}{c} + \frac{c}{a}, \quad z = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}.\] จงทำให้ $x^2 + y^2 + z^2 - xyz$ ง่ายขึ้น | แทนค่าและขยายผล, เราได้
\begin{align*}
x^2 + y^2 + z^2 - xyz &= \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right)^2 + \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right)^2 + \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^2 - \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right) \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \\
&= \frac{b^2}{c^2} + 2 + \frac{c^2}{b^2} + \frac{a^2}{c^2} + 2 + \frac{c^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2} - \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} + 1 + \frac{b^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + 1 + \frac{c^2}{b^2} + \frac{c^2}{a^2} \right) \\
&= \boxed{4}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5,i)--(5,i),gray(0.7));
}
draw((-5,0)--(5,0),Arrows(6));
draw((0,-5)--(0,5),Arrows(6));
label("$x$", (5,0), E);
label("$y$", (0,5), N);
draw(graph(func,-3,3),red);
label("$y = f(x)$", (3,-2), UnFill);
[/asy]
กราฟของ $y = f(|x|)$ คือ กราฟใด? | ถ้า $x \ge 0,$ แล้ว $f(|x|) = f(x).$ และถ้า $x < 0,$ แล้ว $f(|x|) = f(-x).$ ดังนั้น กราฟของ $y = f(|x|)$ ได้มาจากการนำส่วนของกราฟของ $y = f(x)$ ที่อยู่ทางขวาของแกน $y$ มาทำสำเนาโดยสะท้อนมันข้ามแกน $y.$ กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{A}}.$ | \boxed{\text{A}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}}.\] | ก่อนอื่น เราสามารถแยกตัวประกอบของส่วนของเศษส่วนได้:
\[1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1} = (1 + 2^n) + 2^{n + 1} (1 + 2^n) = (1 + 2^n)(1 + 2^{n + 1}).\]จากนั้น เราสามารถเขียนตัวเศษ $2^n$ เป็น $(1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n) = 2^n,$ ดังนั้น
\[\frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}} = \frac{(1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n)}{(1 + 2^n)(1 + 2^{n + 1})} = \frac{1}{1 + 2^n} - \frac{1}{1 + 2^{n + 1}}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}} &= \left( \frac{1}{1 + 2} - \frac{1}{1 + 2^2} \right) + \left( \frac{1}{1 + 2^2} - \frac{1}{1 + 2^3} \right) + \left( \frac{1}{1 + 2^3} - \frac{1}{1 + 2^4} \right) + \dotsb \\
&= \boxed{\frac{1}{3}}.
\end{align*} | (1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n) = 2^n, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ
\[x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 27x - 36 = 0\]มีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อนบริสุทธิ์ 2 คำตอบ จงหาคำตอบเหล่านี้โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | สมมติ $x = ki,$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนจริง แล้วสมการที่กำหนดจะกลายเป็น
\[(ki)^4 - 3(ki)^3 + 5(ki)^2 - 27(ki) - 36 = 0,\]ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น
\[k^4 + 3ik^3 - 5k^2 - 27ik - 36 = 0.\]ส่วนจินตภาพต้องเท่ากับ 0 ดังนั้น $3ik^3 - 27ik = 3ik(k^2 - 9) = 0.$
เนื่องจาก $k = 0$ ไม่เป็นคำตอบ เราต้องมี $k = \pm 3$ ดังนั้นคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนบริสุทธิ์คือ $\boxed{3i,-3i}.$ | \boxed{3i,-3i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x + 8} - \frac{1}{x + 10} + \frac{1}{x + 12} + \frac{1}{x + 14} = 0\]มีราก 4 รากอยู่ในรูป $-a \pm \sqrt{b \pm c \sqrt{d}},$ โดยที่ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $d$ ไม่หารด้วยกำลังสองของจำนวนเฉพาะใดๆ จงหา $a + b + c + d.$ | เราสามารถจับคู่พจน์ดังนี้:
\[\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 14} \right) + \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 12} \right) - \left( \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x + 10} \right) - \left( \frac{1}{x+ 6} + \frac{1}{x + 8} \right) = 0.\]แล้ว
\[\frac{2x + 14}{x^2 + 14x} + \frac{2x + 14}{x^2 + 14x + 24} - \frac{2x + 14}{x^2 + 14x + 40} - \frac{2x + 14}{x^2 + 14x + 48} = 0.\]หารด้วย 2 เราได้
\[\frac{x + 7}{x^2 + 14x} + \frac{x + 7}{x^2 + 14x + 24} - \frac{x + 7}{x^2 + 14x + 40} - \frac{x + 7}{x^2 + 14x + 48} = 0.\]ให้ $y = x + 7.$ แล้ว
\[\frac{y}{y^2 - 49} + \frac{y}{y^2 - 25} - \frac{y}{y^2 - 9} - \frac{y}{y^2 - 1} = 0.\]เราเห็นว่า $y = 0$ เป็นคำตอบ มิฉะนั้น $y \neq 0,$ ดังนั้นเราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $y$ ได้:
\[\frac{1}{y^2 - 49} + \frac{1}{y^2 - 25} - \frac{1}{y^2 - 9} - \frac{1}{y^2 - 1} = 0.\]ตอนนี้ ให้ $z = y^2,$ ดังนั้น
\[\frac{1}{z - 49} + \frac{1}{z - 25} - \frac{1}{z - 9} - \frac{1}{z - 1} = 0.\]รวมเศษส่วนในแต่ละข้าง เราได้
\[\frac{40}{(z - 49)(z - 9)} = -\frac{24}{(z - 1)(z - 25)}.\]ดังนั้น $40(z - 1)(z - 25) = -24(z - 49)(z - 9).$ สิ่งนี้จะทำให้เป็น $z^2 - 38z + 181 = 0.$ โดยสูตรกำลังสอง
\[z = 19 \pm 6 \sqrt{5}.\]แล้ว $y = \pm \sqrt{19 \pm 6 \sqrt{5}},$ และ
\[x = -7 \pm \sqrt{19 \pm 6 \sqrt{5}}.\]ดังนั้น $a + b + c + d = 7 + 19 + 6 + 5 = \boxed{37}.$ | a + b + c + d = 7 + 19 + 6 + 5 = \boxed{37}. | [
"จำ",
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดลำดับโดย $a_0 = \frac{1}{2}$ และ $a_n = 1 + (a_{n - 1} - 1)^2.$ จงคำนวณ
\[a_0 a_1 a_2 \dotsm.\] | กำหนด $b_n = a_n - 1.$ แล้ว $b_ n = b_{n - 1}^2,$ และ
\begin{align*}
a_0 a_1 a_2 \dotsm &= (1 + b_0)(1 + b_0^2)(1 + b_0^4) \dotsm \\
&= \frac{1 - b_0^2}{1 - b_0} \cdot \frac{1 - b_0^4}{1 - b_0^2} \cdot \frac{1 - b_0^8}{1 - b_0^4} \dotsm \\
&= \frac{1}{1 - b_0} = \frac{1}{1 - (-1/2)} = \boxed{\frac{2}{3}}.
\end{align*} | b_ n = b_{n - 1}^2, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนสามสิ่ง $(x,y,z)$ ของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ
\begin{align*}
x &= 2018 - 2019 \operatorname{sign}(y + z), \\
y &= 2018 - 2019 \operatorname{sign}(x + z), \\
z &= 2018 - 2019 \operatorname{sign}(x + y).
\end{align*}หมายเหตุ: สำหรับจำนวนจริง $a,$
\[\operatorname{sign} (a) = \left\{
\begin{array}{cl}
1 & \text{ถ้า $a > 0$}, \\
0 & \text{ถ้า $a = 0$}, \\
-1 & \text{ถ้า $a < 0$}.
\end{array}
\right.\] | เนื่องจาก $\operatorname{sign} (x + y)$ สามารถเป็น $-1,$ 0, หรือ 1, $z$ สามารถเป็น 4037, 2018, หรือ $-1.$ สิ่งเดียวกันนี้ก็ใช้กับ $x$ และ $y$ เช่นกัน แต่เราสามารถตรวจสอบได้ว่า $x + y$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ ดังนั้น $z$ จึงสามารถเป็นได้เพียง 4037 หรือ $-1.$ และอีกครั้ง สิ่งเดียวกันนี้ก็ใช้กับ $x$ และ $y$ เช่นกัน
ถ้า $x,$ $y,$ และ $z$ ใดๆ สองตัวมีค่าเท่ากับ $-1$ ดังนั้นตัวที่สามจะต้องเท่ากับ 4037 ในทางกลับกัน ถ้า $x,$ $y,$ $z$ ใดๆ มีค่าเท่ากับ 4037 ดังนั้นอีกสองตัวจะต้องเท่ากับ $-1.$ ดังนั้นคำตอบเพียงอย่างเดียวคือ $(4037,-1,-1),$ $(-1,4037,-1),$ และ $(-1,-1,4037),$ ซึ่งให้เราได้ $\boxed{3}$ คำตอบ | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5$ เป็นรากของพหุนาม $f(x) = x^5 + x^2 + 1,$ และให้ $g(x) = x^2 - 2.$ จงหาค่าของ
\[g(x_1) g(x_2) g(x_3) g(x_4) g(x_5).\] | เนื่องจาก $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5$ เป็นรากของ $f(x) = x^5 + x^2 + 1,$ เราสามารถเขียนได้ว่า
\[x^5 + x^2 + 1 = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)(x - x_5).\]นอกจากนี้ $g(x) = x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}),$ ดังนั้น
\begin{align*}
&g(x_1) g(x_2) g(x_3) g(x_4) g(x_5) \\
&= (x_1 - \sqrt{2})(x_1 + \sqrt{2})(x_2 - \sqrt{2})(x_2 + \sqrt{2})(x_3 - \sqrt{2})(x_3 + \sqrt{2})(x_4 - \sqrt{2})(x_4 + \sqrt{2})(x_5 - \sqrt{2})(x_5 + \sqrt{2}) \\
&= (x_1 - \sqrt{2})(x_2 - \sqrt{2})(x_3 - \sqrt{2})(x_4 - \sqrt{2})(x_5 - \sqrt{2}) \\
&\quad \times (x_1 + \sqrt{2})(x_2 + \sqrt{2})(x_3 + \sqrt{2})(x_4 + \sqrt{2})(x_5 + \sqrt{2}) \\
&= (\sqrt{2} - x_1)(\sqrt{2} - x_2)(\sqrt{2} - x_3)(\sqrt{2} - x_4)(\sqrt{2} - x_5) \\
&\quad \times (-\sqrt{2} - x_1)(-\sqrt{2} - x_2)(-\sqrt{2} - x_3)(-\sqrt{2} - x_4)(-\sqrt{2} - x_5) \\
&= f(\sqrt{2}) f(-\sqrt{2}) \\
&= (4 \sqrt{2} + 2 + 1)(-4 \sqrt{2} + 2 + 1) \\
&= \boxed{-23}.
\end{align*} | g(x) = x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}), | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n)$ เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงกับ $\sqrt[4]{n}.$ จงหา $\sum_{k=1}^{1995}\frac 1{f(k)}.$ | เราจะได้ว่า $f(n) = m$ ก็ต่อเมื่อ \[m - \frac{1}{2} < \sqrt[4]{n} < m + \frac{1}{2},\]หรือ \[\left(m - \frac{1}{2}\right)^4 < n < \left(m + \frac{1}{2}\right)^4.\]ขยายกำลังสี่ เราจะได้ \[m^4 - 2m^3 + \frac{3}{2}m^2 - \frac{1}{2}m + \frac{1}{16} < n < m^4+ 2m^3 + \frac{3}{2}m^2 + \frac{1}{2}m + \frac{1}{16}.\]นิพจน์ทางซ้ายสุดและทางขวามสุดเป็นจำนวนไม่เต็ม และผลต่างของมันคือ $4m^3 + m$. ดังนั้น จะมีค่าของ $n$ ที่สอดคล้องกับอสมการนี้เท่ากับ $4m^3 + m$ ค่า
สำหรับแต่ละ $m$ จะมีพจน์ $\frac{1}{m}$ ในผลบวก $4m^3 + m$ พจน์ ดังนั้น พจน์เหล่านั้นจะให้ $ (4m^3+m) \cdot \frac{1}{m} = 4m^2 + 1$ กับผลบวก ดังนั้น จาก $m=1$ ถึง $m=6$ เราจะได้ $4(1+4+9+16+25+36) + 6 = 370$.
พจน์ที่เหลือมี $m=7$. เนื่องจาก $6.5^4 = 1785 \frac{1}{16}$, พจน์เหล่านี้คือพจน์จาก $n=1786$ ถึง $n=1995$ รวม $1995 - 1786 + 1 = 210$ พจน์ ดังนั้น พวกมันจึงมีส่วน योगคือ $210 \cdot \frac{1}{7} = 30$. ดังนั้น คำตอบสุดท้ายคือ $370 + 30 = \boxed{400}$. | 370 + 30 = \boxed{400} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดไฮเปอร์โบลาที่กำหนดโดยสมการ \[\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{64} = 1\] มีเส้นกำกับ $y = \pm mx,$ โดยที่ $m$ เป็นค่าบวก จงหา $m.$ | เพื่อหาสมการของเส้นกำกับ เราแทนที่ $1$ ทางขวามือด้วย $0$ ซึ่งจะได้สมการ \[\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{64} = 0.\](สังเกตว่าไม่มีจุด $(x, y)$ ใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการนี้และสมการที่กำหนด ดังนั้นตามที่คาดไว้ ไฮเปอร์โบลาจะไม่ตัดกับเส้นกำกับของมัน) สมการนี้เทียบเท่ากับ $\frac{x^2}{100} = \frac{y^2}{64},$ หรือ $\frac{y}{8} = \pm \frac{x}{10}.$ ดังนั้น $y = \pm \frac{4}{5} x,$ ดังนั้น $m = \boxed{\frac45}.$[asy]
void axes(real x0, real x1, real y0, real y1)
{
draw((x0,0)--(x1,0),EndArrow);
draw((0,y0)--(0,y1),EndArrow);
label("$x$",(x1,0),E);
label("$y$",(0,y1),N);
for (int i=floor(x0)+1; i<x1; ++i)
draw((i,.1)--(i,-.1));
for (int i=floor(y0)+1; i<y1; ++i)
draw((.1,i)--(-.1,i));
}
path[] yh(real a, real b, real h, real k, real x0, real x1, bool upper=true, bool lower=true, pen color=black)
{
real f(real x) { return k + a / b * sqrt(b^2 + (x-h)^2); }
real g(real x) { return k - a / b * sqrt(b^2 + (x-h)^2); }
if (upper) { draw(graph(f, x0, x1),color, Arrows); }
if (lower) { draw(graph(g, x0, x1),color, Arrows); }
path [] arr = {graph(f, x0, x1), graph(g, x0, x1)};
return arr;
}
void xh(real a, real b, real h, real k, real y0, real y1, bool right=true, bool left=true, pen color=black)
{
path [] arr = yh(a, b, k, h, y0, y1, false, false);
if (right) draw(reflect((0,0),(1,1))*arr[0],color, Arrows);
if (left) draw(reflect((0,0),(1,1))*arr[1],color, Arrows);
}
void e(real a, real b, real h, real k)
{
draw(shift((h,k))*scale(a,b)*unitcircle);
}
size(10cm);
axes(-15,15,-10,10);
xh(10,8,0,0,-8,8);
draw((-12,-48/5)--(12,48/5),dotted);
draw((12,-48/5)--(-12,48/5),dotted);
[/asy] | 4/5 | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
วงรีที่มีสมการ
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]มีวงกลม $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ และ $(x + 1)^2 +y^2 = 1$ อยู่ภายใน วงรีที่มีพื้นที่น้อยที่สุดสามารถแสดงได้ในรูป $k \pi.$ จงหา $k.$ | เราสามารถสมมติได้ว่าวงรีสัมผัสวงกลม $(x - 1)^2 + y^2 = 1.$ จากสมการนี้ $y^2 = 1 - (x - 1)^2.$ แทนค่าลงในสมการของวงรี เราจะได้
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{1 - (x - 1)^2}{b^2} = 1.\]สมการนี้จะสามารถลดรูปได้เป็น
\[(a^2 - b^2) x^2 - 2a^2 x + a^2 b^2 = 0.\]เนื่องจากจุดสัมผัสทั้งสองจุดมีความสมมาตรกัน พจน์ discriminant ของสมการกำลังสองนี้จะต้องเท่ากับ 0:
\[(2a^2)^2 - 4(a^2 - b^2)(a^2 b^2) = 0.\]สมการนี้จะสามารถลดรูปได้เป็น $a^4 b^2 = a^4 + a^2 b^4.$ เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $a^2$ เพื่อให้ได้
\[a^2 = \frac{b^4}{b^2 - 1}.\]พื้นที่ของวงรีคือ $\pi ab.$ การย่อพื้นที่ให้เล็กลงเท่ากับการย่อ $ab$ ซึ่งเทียบเท่ากับการย่อ
\[a^2 b^2 = \frac{b^6}{b^2 - 1}.\]ให้ $t = b^2,$ ดังนั้น
\[\frac{b^6}{b^2 - 1} = \frac{t^3}{t - 1}.\]จากนั้นให้ $u = t - 1.$ ดังนั้น $t = u + 1,$ ดังนั้น
\[\frac{t^3}{t - 1} = \frac{(u + 1)^3}{u} = u^2 + 3u + 3 + \frac{1}{u}.\]โดย AM-GM,
\begin{align*}
u^2 + 3u + \frac{1}{u} &= u^2 + \frac{u}{2} + \frac{u}{2} + \frac{u}{2} + \frac{u}{2} + \frac{u}{2} + \frac{u}{2} + \frac{1}{8u} + \frac{1}{8u} + \frac{1}{8u} + \frac{1}{8u} + \frac{1}{8u} + \frac{1}{8u} + \frac{1}{8u} + \frac{1}{8u} \\
&\ge 15 \sqrt{u^2 \cdot \frac{u^6}{2^6} \cdot \frac{1}{8^8 u^8}} = \frac{15}{4}.
\end{align*}สมการนี้จะเท่ากันเมื่อ $u = \frac{1}{2}.$ สำหรับค่า $u$ นี้ $t = \frac{3}{2},$ $b = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2},$ และ $a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}.$ ดังนั้น,
\[k = ab = \boxed{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}.\] | a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x) + 2f(1 - x) = 3x^2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จงหา $f(3).$ | แทน $x = 3,$ เราได้
\[f(3) + 2f(-2) = 27.\]แทน $x = -2,$ เราได้
\[f(-2) + 2f(3) = 12.\]แก้สมการเหล่านี้เป็นระบบใน $f(3)$ และ $f(-2),$ เราพบ $f(3) = \boxed{-1}$ และ $f(-2) = 14.$ | f(-2) = 14. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ตัวเลข 2, 3, 4, 5, 6, 7 ถูกกำหนดให้กับหน้าของลูกบาศก์ 6 หน้า โดยมีตัวเลข 1 ตัวต่อหน้า สำหรับแต่ละจุดยอด 8 จุดของลูกบาศก์ คำนวณผลคูณของตัวเลข 3 ตัว โดยที่ 3 ตัวเลขนั้นเป็นตัวเลขที่กำหนดให้กับหน้า 3 หน้าที่รวมจุดยอดนั้น จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลรวมของผลคูณ 8 ตัวนี้ | ให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ เป็นป้ายกำกับของลูกบาศก์ โดยที่ $a$ และ $b$ ตรงข้ามกัน, $c$ และ $d$ ตรงข้ามกัน และ $e$ และ $f$ ตรงข้ามกัน แล้วผลรวมของผลคูณ 8 ตัวคือ
\[ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf = (a + b)(c + d)(e + f).\]โดย AM-GM,
\[(a + b)(c + d)(e + f) \le \left[ \frac{(a + b) + (c + d) + (e + f)}{3} \right]^3 = \left( \frac{27}{3} \right)^3 = 729.\]ความเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a + b = c + d = e + f = 9,$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าทำได้ ดังนั้นผลรวมสูงสุดคือ $\boxed{729}.$ | \boxed{729}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิคดีกรี 6 ซึ่ง $p(1) = 1,$ $p(2) = 2,$ $p(3) = 3,$ $p(4) = 4,$ $p(5) = 5,$ และ $p(6) = 6.$ จงหา $p(7).$ | พิจารณาพหุนาม $q(x) = p(x) - x.$ พหุนามนี้มีค่าเป็น 0 ที่ $x = 1,$ 2, 3, 4, 5, และ 6 ดังนั้น $x - 1,$ $x - 2,$ $x - 3,$ $x - 4,$ $x - 5,$ และ $x - 6$ เป็นตัวประกอบของมัน. นอกจากนี้ $p(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิคดีกรี 6 ดังนั้น $q(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิคดีกรี 6. ดังนั้น
\[q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6).\]จากนั้น $q(7) = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$ ดังนั้น $p(7) = q(7) + 7 = \boxed{727}.$ | p(7) = q(7) + 7 = \boxed{727}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\sqrt{(2 + \sqrt{3})^x} + \sqrt{(2 - \sqrt{3})^x} = 4.\]เขียนคำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ให้ $y = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^x}.$ แล้ว
\[\sqrt{(2 - \sqrt{3})^x} = \sqrt{ \left( \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \right)^x } = \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3})^x}} = \frac{1}{y},\]ดังนั้นสมการที่กำหนดจึงกลายเป็น $y + \frac{1}{y} = 4.$ แล้ว $y^2 + 1 = 4y,$ หรือ
\[y^2 - 4y + 1 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง
\[y = 2 \pm \sqrt{3}.\]ดังนั้น,
\[\sqrt{(2 + \sqrt{3})^x} = 2 \pm \sqrt{3}.\]สำหรับรากบวก,
\[\sqrt{(2 + \sqrt{3})^x} = 2 + \sqrt{3},\]ดังนั้น $x = 2.$ สำหรับรากลบ,
\[\sqrt{(2 + \sqrt{3})^x} = 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3})^{-1},\]ดังนั้น $x = -2.$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{2,-2}.$ | \boxed{2,-2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบบวกของสมการ
\[\sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dotsb}}} = \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \dotsm}}}.\] | กำหนดให้
\[y = \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \dotsm}}}.\]แล้ว
\[y^3 = x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \dotsm}} = xy,\]ดังนั้น $y^2 = x.$
กำหนดให้
\[z = \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dotsb}}}.\]แล้ว
\[z^3 = x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dotsb}} = x + z,\]ดังนั้น $z^3 - z = x.$
เนื่องจาก $z = y,$ $y^3 - y = x = y^2.$ แล้ว
\[y^3 - y^2 - y = 0,\]ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $y (y^2 - y - 1) = 0,$ ดังนั้น $y^2 - y - 1 = 0.$ โดยสูตรกำลังสอง
\[y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.\]เนื่องจาก $y$ เป็นบวก
\[y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.\]แล้ว
\[x = y^2 = \boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}.\] | y | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของรากจริงของ $x^4 - 4x - 1 = 0.$ | เราพยายามที่จะหาการแยกตัวประกอบของ $x^4 - 4x - 1$ ในรูป $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).$ ดังนั้น
\[x^4 + (a + c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd = x^4 - 4x - 1.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้
\begin{align*}
a + c &= 0, \\
ac + b + d &= 0, \\
ad + bc &= -4, \\
bd &= -1.
\end{align*}จากสมการแรก $c = -a.$ แทนค่าลงไป เราได้
\begin{align*}
-a^2 + b+ d &= 0, \\
ad - ab &= -4, \\
bd &= -1.
\end{align*}ดังนั้น $b + d = a^2$ และ $b - d = \frac{4}{a},$ ดังนั้น $b = \frac{a^3 + 4}{2a}$ และ $d = \frac{a^3 - 4}{2a}.$ ดังนั้น
\[\frac{(a^3 + 4)(a^3 - 4)}{4a^2} = -1.\]สมการนี้สามารถลดรูปเป็น $a^6 + 4a^2 - 16 = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น
\[(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 8) = 0,\]ดังนั้นเราสามารถเลือก $a = \sqrt{2}.$ ดังนั้น $b = 1 + \sqrt{2},$ $c = -\sqrt{2},$ และ $d = 1 - \sqrt{2},$ ดังนั้น
\[x^4 - 4x - 1 = (x^2 + x \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2})(x^2 - x \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}).\]เมื่อตรวจสอบค่าพจน์จำแนก เราพบว่ามีเพียงตัวประกอบกำลังสองตัวที่สองเท่านั้นที่มีรากจริง ดังนั้นผลรวมของรากจริงคือ $\boxed{\sqrt{2}}.$ | \boxed{\sqrt{2}}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวนซึ่งผลบวกของมันเท่ากับ 1 ถ้าไม่มีจำนวนใดมากกว่าสองเท่าของจำนวนอื่นๆ แล้วจงหาค่าต่ำสุดของผลคูณ $xyz.$ | กำหนดให้สามจำนวนนี้เป็น $x,$ $y,$ และ $z.$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $x \le y \le z.$ แล้ว $z \le 2x.$
สมมติว่า $z < 2x.$ ให้ $x_1 = \frac{x + z}{3}$ และ $z_1 = \frac{2x + 2z}{3}.$ แล้ว $z_1 = 2x_1,$ และ $x_1 + z_1 = x + z.$ (เราไม่เปลี่ยนค่าของ $y.$) สังเกตว่า
\begin{align*}
xyz - x_1 yz_1 &= y \left( xz - \frac{x + z}{3} \cdot \frac{2x + 2z}{3} \right) \\
&= y \cdot \frac{(2z - x)(2x - z)}{9} > 0.
\end{align*}นั่นหมายความว่าถ้า $z < 2x,$ และเราแทนที่ $x$ ด้วย $x_1$ และ $z$ ด้วย $z_1$ ค่าของผลคูณ $xyz$ จะลดลง. (เงื่อนไข $x + y + z = 1$ ยังคงเป็นจริง.) ดังนั้นเพื่อหาค่าต่ำสุดของ $xyz,$ เราสามารถจำกัดความสนใจของเราไปที่สามเท่า $(x,y,z)$ ซึ่ง $z = 2x.$
สามจำนวนของเราก็คือ $x \le y \le 2x.$ เนื่องจากสามจำนวนนี้บวกกันได้ 1 ดังนั้น $3x + y = 1,$ ดังนั้น $y = 1 - 3x.$ แล้ว
\[x \le 1 - 3x \le 2x,\]ดังนั้น $\frac{1}{5} \le x \le \frac{1}{4}.$
เราต้องการย่อให้เล็กสุด
\[xyz = x(1 - 3x)(2x) = 2x^2 (1 - 3x).\]ผลคูณนี้เท่ากับ $\frac{4}{125}$ ที่ $x = \frac{1}{5},$ และ $\frac{1}{32}$ ที่ $x = \frac{1}{4}.$ เราสามารถตรวจสอบได้ว่าค่าต่ำสุดคือ $\frac{1}{32},$ ดังนี้:
\begin{align*}
2x^2 (1 - 3x) - \frac{1}{32} &= -\frac{192x^3 - 64x^2 + 1}{32} \\
&= \frac{(1 - 4x)(48x^2 - 4x - 1)}{32}.
\end{align*}ชัดเจน $1 - 4x \ge 0,$ และรากทั้งสองของ $48x^2 - 4x - 1$ น้อยกว่า $\frac{1}{5}.$ ดังนั้น
\[2x^2 (1 - 3x) - \frac{1}{32} = \frac{(1 - 4x)(48x^2 - 4x - 1)}{32} \ge 0\]สำหรับ $\frac{1}{5} \le x \le \frac{1}{4},$ และความเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = \frac{1}{4}.$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{1}{32}}.$ | \boxed{\frac{1}{32}}. | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $f(x) = \frac{x}{5} + 3$ และ $g(x) = 4-x$ ถ้า $f(g(a)) = 5$ จงหา $a$ | เรารู้ว่า
$$\begin{aligned} f(g(a)) &= f(4-a) \\
&= \frac{4-a}{5} + 3 = 5.
\end{aligned}$$คูณทั้งสองข้างด้วย 5 จะได้
$$ 4-a + 15 = 25.$$แก้สมการหา $a$,
$$ a = \boxed{-6}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมี $-2 - i \sqrt{5}$ เป็นราก | ถ้าพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง แล้วคอนจูเกตเชิงซ้อนของรากใดๆ ก็ต้องเป็นรากเช่นกัน ดังนั้นรากอีกตัวคือ $-2 + i \sqrt{5}$ ดังนั้นพหุนามคือ
\[(x + 2 + i \sqrt{5})(x + 2 - i \sqrt{5}) = (x + 2)^2 - 5i^2 = \boxed{x^2 + 4x + 9}.\] | $-2 + i \sqrt{5}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ \[\frac{(x-1)(x-2)(x-3)\dotsm(x-100)}{(x-1^2)(x-2^2)(x-3^2)\dotsm(x-100^2)} = 0\] มีคำตอบ $x$ กี่คำตอบ? | คำตอบของสมการนี้ต้องทำให้ตัวเศษทางซ้ายมือเป็นศูนย์ ในขณะที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ตัวเศษเป็นศูนย์เมื่อ $x$ เป็นหนึ่งในจำนวน $1, 2, 3, \dots, 100.$ อย่างไรก็ตาม สำหรับค่าใด ๆ ในรายการนี้ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวส่วนก็จะเป็นศูนย์เช่นกัน ดังนั้นค่าของ $x$ นั้นจะไม่เป็นรากของสมการ ดังนั้นเราต้องการหาจำนวนจำนวนเต็มในรายการ $1, 2, \dots, 100$ ซึ่งไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ กำลังสองสมบูรณ์ในรายการนี้คือ $1^2, 2^2, \dots, 10^2,$ ดังนั้นมี $10$ กำลังสองสมบูรณ์ และ \[100 - 10 = \boxed{90}\]จำนวนเต็มที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ | 90 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อพหุนามถูกหารด้วย $2x^2 - 7x + 18$ ดีกรีของเศษที่เป็นไปได้คืออะไร? ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | โดยทั่วไป เมื่อพหุนามถูกหารด้วยพหุนามดีกรี $d$ ดีกรีของเศษที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, $\dots,$ $d - 1.$ ดังนั้น ดีกรีของเศษที่เป็นไปได้ที่นี่คือ $\boxed{0,1}.$ | \boxed{0,1}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาสมการเส้นกำกับเฉียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$?
ใส่นิพจน์คำตอบในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามยาวให้ผลลัพธ์ดังนี้
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า
$$\frac{2x^2+7x+10}{2x+3} = x + 2 + \frac{4}{2x+3}.$$ดังนั้น เราจะเห็นว่าเมื่อ $x$ ห่างจาก $0$ มากขึ้น กราฟของฟังก์ชันจะเข้าใกล้เส้น $\boxed{y = x+2}$ มากขึ้นเรื่อยๆ | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โดยการแยกตัวประกอบของเศษส่วน
\[\frac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{x + 3} + \frac{E}{x + 4}\]สำหรับค่าคงที่บางค่า $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ และ $E.$ จงหา $A + B + C + D + E.$ | ลบส่วนของเศษส่วนออก เราจะได้
\begin{align*}
1 &= A(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Bx(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Cx(x + 1)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Dx(x + 1)(x + 2)(x + 4) \\
&\quad + Ex(x + 1)(x + 2)(x + 3).
\end{align*}เราสามารถใช้เทคนิคทั่วไปในการแก้หาค่าคงที่แต่ละตัว หรือเราสามารถสังเกตว่าทั้งสองข้างแสดงถึงพหุนามเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าพหุนามทางขวามือต้องลดรูปเป็น 1 นอกจากนี้ $A + B + C + D + E$ คือสัมประสิทธิ์ของ $x^4$ ทางด้านขวามือ ดังนั้น $A + B + C + D + E = \boxed{0}.$ | A + B + C + D + E = \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[\begin{aligned} a &= \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}, \\ b &= -\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}, \\ c&= \sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}, \\ d&=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}. \end{aligned}\]จงหาค่าของ $\left(\frac1a + \frac1b + \frac1c + \frac1d\right)^2.$ | เราหวังว่าจะมีการตัดกัน ดังนั้นเราจะคำนวณ $\frac{1}{a}+\frac{1}{d}$ ก่อน เนื่องจาก $a$ และ $d$ มีเครื่องหมายตรงข้าม: \[\begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{d}&=\frac{a+d}{ad} \\ &= \frac{(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6) + (-\sqrt2-\sqrt3+\sqrt6)}{(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6)(-\sqrt2-\sqrt3+\sqrt6)} \\ &= \frac{2\sqrt6}{(\sqrt6)^2-(\sqrt2+\sqrt3)^2} \\ &= \frac{2\sqrt6}{1 - 2\sqrt6}.\end{aligned}\]การตัดกันคล้ายกันจะเกิดขึ้นเมื่อบวก $\frac1b+\frac1c$: \[\begin{aligned} \frac1b+\frac1c &= \frac{b+c}{bc} \\ &= \frac{(-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6) + (\sqrt2-\sqrt3+\sqrt6)}{(-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6)(\sqrt2-\sqrt3+\sqrt6)} \\ &= \frac{2\sqrt6}{(\sqrt6)^2-(\sqrt2-\sqrt3)^2} \\ &= \frac{2\sqrt6}{1+2\sqrt6} . \end{aligned}\]ดังนั้น \[\begin{aligned} \frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d &= \frac{2\sqrt6}{1-2\sqrt6} + \frac{2\sqrt6}{1+2\sqrt6} \\ &= \frac{4\sqrt6}{1^2 - (2\sqrt6)^2}\\& = -\frac{4\sqrt6}{23}, \end{aligned}\]ดังนั้น $\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d\right)^2 = \boxed{\frac{96}{529}}.$ | $\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d\right)^2 = \boxed{\frac{96}{529}}.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $t$ ที่เป็นบวกใด $|{-4+ti}| = 2\sqrt{13}$? | เนื่องจาก $|{-4+ti}| = \sqrt{(-4)^2 + t^2} = \sqrt{t^2+16}$, สมการ $|{-4+ti}| = 2\sqrt{13}$ บอกเราว่า $\sqrt{t^2 + 16} = 2\sqrt{13}$. ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ $t^2 + 16= 52$ ดังนั้น $t^2= 36$. เนื่องจากเราต้องการค่า $t$ ที่เป็นบวก เราได้ $t = \boxed{6}$. | t = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณผลคูณของรากของสมการ \[x^3 - 12x^2 + 48x + 28 = 0.\] | จากสูตรของ Vieta ผลคูณของรากเท่ากับค่าติดลบของสัมประสิทธิ์ของพจน์คงที่หารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุด ($x^3$) ดังนั้นคำตอบคือ \[\frac{-28}{1} = \boxed{-28}.\] | -28 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ \[\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2 + n}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า \[\frac{1}{n^2+n} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.\]ดังนั้นผลรวมจะยุบตัวลง: \[\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2+n} = \left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac23\right)+\dots+\left(\frac1{1000}-\frac1{1001}\right) = \frac11-\frac1{1001} = \boxed{\frac{1000}{1001}}.\] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
เมื่อพหุนามถูกหารด้วย $-3x^5 + 10x - 11$ ดีกรีของเศษที่เป็นไปได้คืออะไร? ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | โดยทั่วไป เมื่อพหุนามถูกหารด้วยพหุนามดีกรี $d$ ดีกรีของเศษที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, $\dots,$ $d - 1.$ ดังนั้น ดีกรีของเศษที่เป็นไปได้ที่นี่คือ $\boxed{0,1,2,3,4}.$ | \boxed{0,1,2,3,4}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ $A(2, -2)$ และ $B(14, 4)$ ถูกต่อออกไปจาก $B$ ถึงจุด $C$ ถ้า $BC = \frac{1}{3} \cdot AB$ พิกัดของจุด $C$ คืออะไร จงแสดงคำตอบในรูปของลำดับคู่ | จาก $A$ ถึง $B$ พิกัด $x$ เพิ่มขึ้น $12$ และพิกัด $y$ เพิ่มขึ้น $6$ ถ้าเราต่อออกไปอีก $\frac{1}{3}$ ของระยะทางนี้ พิกัด $x$ จะเพิ่มขึ้น $\frac{1}{3}12=4$ และพิกัด $y$ จะเพิ่มขึ้น $\frac{1}{3}6=2$ เราจะได้ $C=(14+4,4+2)=\boxed{(18,6)}$ | C=(14+4,4+2)=\boxed{(18,6)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ กำหนด
\[a_n = \sum_{k = 0}^n \frac{1}{\binom{n}{k}} \quad \text{and} \quad b_n = \sum_{k = 0}^n \frac{k}{\binom{n}{k}}.\] จงทำให้ $\frac{a_n}{b_n}$ ง่ายขึ้น | สำหรับผลรวม $b_n$ กำหนด $j = n - k,$ ดังนั้น $k = n - j.$ ดังนั้น
\begin{align*}
b_n &= \sum_{k = 0}^n \frac{k}{\binom{n}{k}} \\
&= \sum_{j = n}^0 \frac{n - j}{\binom{n}{n - j}} \\
&= \sum_{j = 0}^n \frac{n - j}{\binom{n}{j}} \\
&= \sum_{k = 0}^n \frac{n - k}{\binom{n}{k}},
\end{align*}ดังนั้น
\[b_n + b_n = \sum_{k = 0}^n \frac{k}{\binom{n}{k}} + \sum_{k = 0}^n \frac{n - k}{\binom{n}{k}} = \sum_{k = 0}^n \frac{n}{\binom{n}{k}} = n \sum_{k = 0}^n \frac{1}{\binom{n}{k}} = na_n.\]ดังนั้น $2b_n = na_n,$ ดังนั้น $\frac{a_n}{b_n} = \boxed{\frac{2}{n}}.$ | \frac{a_n}{b_n} = \boxed{\frac{2}{n}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x_1,x_2,\ldots,x_7$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[\begin{aligned} x_1+4x_2+9x_3+16x_4+25x_5+36x_6+49x_7 &= 1 \\
4x_1+9x_2+16x_3+25x_4+36x_5+49x_6+64x_7 &= 12 \\
9x_1+16x_2+25x_3+36x_4+49x_5+64x_6+81x_7 &= 123. \end{aligned}\]จงหาค่าของ $16x_1+25x_2+36x_3+49x_4+64x_5+81x_6+100x_7$. | กำหนดให้ \[f(t) = x_1(t+1)^2 + x_2(t+2)^2 + \cdots + x_7(t+7)^2.\]จากสมการที่กำหนดให้ จะได้ว่า $f(0) = 1$, $f(1) = 12$, และ $f(2) = 123$ และเราต้องการหาค่าของ $f(3)$.
เนื่องจาก $f(t)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง เราสามารถกำหนดให้ $f(t) = At^2 + Bt + C$ โดยที่ $A, B, C$ เป็นค่าคงที่ จากนั้นเราจะได้สมการ \[\begin{aligned} C &= 1, \\ A+B+C &= 12, \\ 4A+2B+C &= 123. \end{aligned} \]แทนค่า $C=1$ ลงในสมการที่สองและสาม จะได้ $A+B=11$ และ $4A+2B=122.$ จากนั้น $2A+B=61,$ ดังนั้น $A = (2A+B)-(A+B) = 61-11=50.$ ดังนั้น $B=11-A=-39,$ และ \[f(3) = 9A+3B+C=9(50)+3(-39)+1= \boxed{334}.\] | 334 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $A := \mathbb{Q} \setminus \{0,1\}$ เป็นเซตของจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ 0 และ 1. กำหนดฟังก์ชัน $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ ซึ่งมีสมบัติว่า สำหรับทุก $x \in A$,
\[
f\left( x\right) + f\left( 1 - \frac{1}{x}\right) = \log\lvert x\rvert.
\]จงหาค่าของ $f(2007)$. ใส่คำตอบของคุณในรูป "$\log(a)$", โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริง. | กำหนด $g : A \to A$ โดย $g(x) := 1-1/x$; สมบัติหลักคือ \[
g(g(g(x))) = 1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}} = x.
\]สมการที่กำหนดจะเขียนใหม่ได้เป็น $f(x) + f(g(x)) = \log|x|$. แทน $x=g(y)$ และ $x=g(g(z))$ จะได้สมการเพิ่มเติม $f(g(y)) + f(g) g(y)) = \log|g(x)|$ และ $f(g) g(z)) + f(z) = \log|g(g(x))|.$ กำหนด $y$ และ $z$ เป็น $x$ และแก้ระบบสมการสามสมการนี้สำหรับ $f(x)$ จะได้ \[
f(x) = \frac{1}{2} \cdot \left (\log|x| - \log|g(x)| + \log|g(g(x))| \right).
\]สำหรับ $x=2007$, เราได้ $g(x) = \frac{2006}{2007}$ และ $g(g(x)) = \frac{-1}{2006}$, ดังนั้น \[
f(2007) = \frac{\log|2007| - \log\left|\frac{2006}{2007}\right| + \log\left|\frac{-1}{2006}\right|}{2} = \boxed{\log\left(\frac{2007}{2006}\right)}.
\] | $\log\left(\frac{2007}{2006}\right)$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ $x^3 - 7x^2 + 5x + 2 = 0.$ จงหาค่าของ
\[\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1}.\] | จากสูตรของ Vieta's, $a + b + c = 7,$ $ab + ac + bc = 5,$ และ $abc = -2.$
เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1} = \frac{a^2}{abc + a} + \frac{b^2}{abc + b} + \frac{c^2}{abc + c}.\]เนื่องจาก $abc = -2,$ ดังนั้นจะได้
\[\frac{a^2}{a - 2} + \frac{b^2}{b - 2} + \frac{c^2}{c - 2}.\]โดยการหารยาว, $\frac{x^2}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2},$ ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{a^2}{a - 2} + \frac{b^2}{b - 2} + \frac{c^2}{c - 2} &= a + 2 + \frac{4}{a - 2} + b + 2 + \frac{4}{b - 2} + c + 2 + \frac{4}{c - 2} \\
&= a + b + c + 6 + 4 \left( \frac{1}{a - 2} + \frac{1}{b - 2} + \frac{1}{c - 2} \right) \\
&= 7 + 6 + 4 \cdot \frac{(b - 2)(c - 2) + (a - 2)(c - 2) + (a - 2)(b - 2)}{(a - 2)(b - 2)(c - 2)} \\
&= 13 + 4 \cdot \frac{(ab + ac + bc) - 4(a + b + c) + 12}{abc - 2(ab + ac + bc) + 4(a + b + c) - 8} \\
&= 13 + 4 \cdot \frac{5 - 4 \cdot 7 + 12}{-2 - 2 \cdot 5 + 4 \cdot 7 - 8} \\
&= \boxed{\frac{15}{2}}.
\end{align*} | \frac{x^2}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}, | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีค่ามากกว่า 3 ทั้งหมด โดยที่
\[\frac{(x + 2)^2}{y + z - 2} + \frac{(y + 4)^2}{z + x - 4} + \frac{(z + 6)^2}{x + y - 6} = 36.\]จงหาคำตอบของ $(x,y,z).$ | โดย Cauchy-Schwarz,
\[(y + z - 2) + (z + x - 4) + (x + y - 6)] \left[ \frac{(x + 2)^2}{y + z - 2} + \frac{(y + 4)^2}{z + x - 4} + \frac{(z + 6)^2}{x + y - 6} \right] \ge [(x + 2) + (y + 4) + (z + 6)]^2.\]ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น
\[36(2x + 2y + 2z - 12) \ge (x + y + z + 12)^2.\]กำหนดให้ $s = x + y + z.$ ดังนั้น $36(2s - 12) \ge (s + 12)^2.$ ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น $s^2 - 48s + 576 \le 0,$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(s - 24)^2 \le 0.$ ดังนั้น $s = 24.$
ดังนั้น อสมการข้างต้นจะกลายเป็นสมการ ซึ่งหมายความว่า
\[\frac{x + 2}{y + z - 2} = \frac{y + 4}{z + x - 4} = \frac{z + 6}{x + y - 6}.\]เนื่องจาก $x + y + z = 24,$
\[\frac{x + 2}{22 - x} = \frac{y + 4}{20 - y} = \frac{z + 6}{18 - z}.\]แต่ละเศษส่วนจะต้องเท่ากับ
\[\frac{(x + 2) + (y + 4) + (z + 6)}{(22 - x) + (20 - y) + (18 - z)} = \frac{x + y + z + 12}{60 - (x + y + z)} = 1.\]จากตรงนี้ สามารถแก้สมการเพื่อหาค่า $x,$ $y,$ และ $z$ ได้ ซึ่งจะพบว่า $x = 10,$ $y = 8,$ และ $z = 6.$
ดังนั้น $(x,y,z) = \boxed{(10,8,6)}.$ | (x,y,z) = \boxed{(10,8,6)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^3 - 3x + 5$ หารด้วย $x + 2.$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ เราสามารถหาเศษเหลือได้โดยการแทน $x = -2.$ ซึ่งจะให้เศษเหลือเท่ากับ $(-2)^3 - 3(-2) + 5 = \boxed{3}.$ | (-2)^3 - 3(-2) + 5 = \boxed{3}. | [
"นำไปใช้"
] |
คำนวณผลคูณ $\left(\frac{3}{6}\right)\left(\frac{6}{9}\right)\left(\frac{9}{12}\right)\cdots\left(\frac{2001}{2004}\right)$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราสามารถลดรูปเศษส่วนแต่ละตัวได้ดังนี้
\[\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dotsm \frac{667}{668}.\] ซึ่งจะเท่ากับ $\boxed{\frac{1}{668}}.$ | \boxed{\frac{1}{668}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
พหุนาม $2x^3 + bx + 7$ มีตัวประกอบอยู่ในรูป $x^2 + px + 1.$ จงหาค่า $b.$ | เราเห็นว่า $2x^3 + bx + 7$ ต้องเป็นผลคูณของ $x^2 + px + 1$ และตัวประกอบเชิงเส้น โดยตัวประกอบเชิงเส้นนี้ต้องเป็น $2x + 7$ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสามและสัมประสิทธิ์คงที่ตรงกัน ดังนั้น
\[(2x^3 + bx + 7) = (x^2 + px + 1)(2x + 7).\]เมื่อขยายผลจะได้
\[2x^3 + bx + 7 = 2x^3 + (2p + 7) x^2 + (7p + 2) x + 7.\]จากนั้น $2p + 7 = 0$ และ $7p + 2 = b.$ เมื่อแก้สมการจะได้ $p = -\frac{7}{2}$ และ $b = \boxed{-\frac{45}{2}}.$ | b = \boxed{-\frac{45}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.