question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาผลรวมของรากที่ 2007 ของ $(x-1)^{2007}+2(x-2)^{2006}+3(x-3)^{2005}+\cdots+2006(x-2006)^2+2007(x-2007)$ | เนื่องจากสูตรของ Vieta's ถ้าเราทราบสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ และ $x^{2006}$ เราสามารถหาผลรวมของรากทั้งหมดได้ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ ง่ายต่อการหา -- คือ 1. โดยใช้ทฤษฎีบททวินามใน $(x-1)^{2007}$ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2006}$ คือ $-\tbinom{2007}{2006} + 2 = -2005$. ดังนั้นโดยสูตรของ Vieta's ผลรวมของรากทั้งหมด 2007 ราก คือ $\tfrac{-(-2005)}{1} = \boxed{2005}$ | \tfrac{-(-2005)}{1} = \boxed{2005} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณจำนวนคู่ลำดับของจำนวนเต็ม $(x,y)$ โดยที่ $1\le x<y\le 100$ ซึ่งทำให้ $i^x+i^y$ เป็นจำนวนจริง | เริ่มต้นด้วยการละเว้นเงื่อนไขที่ว่า $x<y$ สมมติว่า $x,y$ เป็นจำนวนใดๆ สองจำนวน (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) ระหว่าง $1$ ถึง $100$ รวมทั้งสอง เราต้องการให้ $i^x + i^y$ เป็นจำนวนจริง
คู่จำนวนคู่ใดๆ จะใช้ได้ เนื่องจาก $i^x$ และ $i^y$ จะเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ มีคู่ดังกล่าว $50 \cdot 50 = 2500$ คู่ โปรดทราบว่าในคู่เหล่านี้ มีเพียง $50$ คู่เท่านั้นที่สอดคล้องกับ $x = y$.
เรามีความเป็นไปได้อื่นๆ สองประการ: (a) $i^x = i$ และ $i^y = -i$ หรือ (b) $i^x = -i$ และ $i^y = i$ โปรดทราบว่ามี $25$ จำนวน $n$ ที่ $i^n = i$ (นั่นคือ $n = 1, 4, \ldots, 97$) และมี $25$ จำนวน $n$ ที่ $i^n = -i$ (นั่นคือ $n = 3, 7, \ldots, 99$) ดังนั้นจึงมี $25 \cdot 25 = 625$ คู่ที่ต้องการในกรณี (a) และในทำนองเดียวกัน มี $625$ คู่ที่ต้องการในกรณี (b) ส่งผลให้มีคู่เพิ่มเติม $625 + 625 = 1250$ คู่ โปรดทราบว่าไม่มีคู่ใดในคู่เหล่านี้สอดคล้องกับ $x = y$.
ดังนั้นจึงมีคู่ $(x,y)$ ทั้งหมด $2500+1250 = 3750$ คู่ โดยที่ $1 \leq x,y \leq 100$ ซึ่งทำให้ $i^x + i^y$ เป็นจำนวนจริง ตอนนี้ลองกำหนดจำนวนคู่เหล่านี้ที่สอดคล้องกับ $x < y$ กันก่อน ลบ $50$ คู่ที่มี $x = y$ ออกก่อน จะเหลือ $3700$ คู่ ใน $3700$ คู่เหล่านี้ เราทราบว่าครึ่งหนึ่งของคู่เหล่านี้สอดคล้องกับ $x < y$ และอีกครึ่งหนึ่งสอดคล้องกับ $x > y$ ตามสมมาตร ดังนั้นคำตอบคือ $3700 / 2 = \boxed{1850}$ | 3700 / 2 = \boxed{1850} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{3}{2x^{6}-5}$ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
กรุณาใส่ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | $$f(-x) = \frac{3}{2(-x)^{6}-5} = \frac{3}{2x^{6}-5} = f(x)$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}.$ | \boxed{\text{คู่}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมการของวงรีที่แสดงไว้ด้านล่างสามารถเขียนได้ในรูป
\[\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1.\]จงหา $h + k + a + b$.
[asy]
unitsize(0.3 cm);
int i, n = 10;
for (i = -n; i <= n; ++i) {
draw((i,-n)--(i,n),gray(0.7));
draw((-n,i)--(n,i),gray(0.7));
}
draw((0,-n)--(0,n));
draw((-n,0)--(n,0));
draw(shift((-4,2))*xscale(5)*yscale(3)*Circle((0,0),1),red);
dot((-4,2));
[/asy] | เราเห็นว่าจุดศูนย์กลางของวงรีคือ $(-4,2)$ แกนกึ่งเอกมีขนาด 5 และแกนกึ่งรองมีขนาด 3 ดังนั้น $h + k + a + b = (-4) + 2 + 5 + 3 = \boxed{6}$. | h + k + a + b = (-4) + 2 + 5 + 3 = \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ \[2x^3 - x^2 + 4x + 10 = 0.\] จงหาค่าของ $a^2 + b^2 + c^2$ | จากสูตรของ Vieta's เราทราบว่า \[\begin{aligned} a+b+c &= \frac12, \\ ab+bc+ca &= \frac42 = 2, \\ abc &= -\frac{10}2 = -5. \end{aligned}\]เรา squaring ทั้งสองข้างของ $a+b+c=\frac12,$ ซึ่งจะได้พจน์ $a^2+b^2+c^2$: \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = \frac14.\]แทนค่า $ab+bc+ca=2$ เราได้ \[a^2+b^2+c^2+2(2)=\frac14,\]ดังนั้น \[a^2+b^2+c^2=\frac14-4=\boxed{-\frac{15}4}.\] | ab+bc+ca=2, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารร่วมมากที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x+1$ (ในเซตของพหุนามใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) และตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x^3-4x^2+x+6$ จงหา $a+b+c$ | เนื่องจาก $x+1$ หาร $x^2+ax+b$ ลงตัว และพจน์คงตัวคือ $b$ เราได้ว่า $x^2+ax+b=(x+1)(x+b)$ และในทำนองเดียวกัน $x^2+bx+c=(x+1)(x+c)$ ดังนั้น $a=b+1=c+2$ นอกจากนี้ ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของพหุนามทั้งสองคือ $(x+1)(x+b)(x+b-1)=x^3-4x^2+x+6$ ดังนั้น $b=-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $c=-3$ และ $a+b+c=\boxed{-6}$ | a+b+c=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[a^2 + b^2 + \frac{1}{(a + b)^2}.\] | กำหนดให้ $s = a + b.$ โดย QM-AM,
\[\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a + b}{2} = \frac{s}{2}.\]ดังนั้น $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \frac{s^2}{4},$ 因此 $a^2 + b^2 \ge \frac{s^2}{2}.$ ดังนั้น,
\[a^2 + b^2 + \frac{1}{(a + b)^2} \ge \frac{s^2}{2} + \frac{1}{s^2}.\]โดย AM-GM,
\[\frac{s^2}{2} + \frac{1}{s^2} \ge 2 \sqrt{\frac{s^2}{2} \cdot \frac{1}{s^2}} = \sqrt{2}.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = b$ และ $s^2 = \sqrt{2}.$ จำนวน $a = b = 2^{-3/4}$ สอดคล้องกับเงื่อนไขเหล่านี้
ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\sqrt{2}}.$ | \boxed{\sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}}.\] | ก่อนอื่น เราสามารถแยกตัวประกอบของส่วนได้:
\[1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1} = (1 + 2^n) + 2^{n + 1} (1 + 2^n) = (1 + 2^n)(1 + 2^{n + 1}).\]จากนั้นเราสามารถเขียนตัวเศษ $2^n$ เป็น $(1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n) = 2^n,$ ดังนั้น
\[\frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}} = \frac{(1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n)}{(1 + 2^n)(1 + 2^{n + 1})} = \frac{1}{1 + 2^n} - \frac{1}{1 + 2^{n + 1}}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{2^n}{1 + 2^n + 2^{n + 1} + 2^{2n + 1}} &= \left( \frac{1}{1 + 2} - \frac{1}{1 + 2^2} \right) + \left( \frac{1}{1 + 2^2} - \frac{1}{1 + 2^3} \right) + \left( \frac{1}{1 + 2^3} - \frac{1}{1 + 2^4} \right) + \dotsb \\
&= \boxed{\frac{1}{3}}.
\end{align*} | (1 + 2^{n + 1}) - (1 + 2^n) = 2^n, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[b^2 f(a) = a^2 f(b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ ทั้งหมด ถ้า $f(2) \neq 0$ จงหา
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)}.\] | กำหนด $a = 5$ และ $b = 2$ เราได้
\[4f(5) = 25f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(5)}{f(2)} = \frac{25}{4}.$
กำหนด $a = 1$ และ $b = 2$ เราได้
\[4f(1) = f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(1)}{f(2)} = \frac{1}{4}.$ ดังนั้น,
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = \boxed{6}.\] | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมี $3 + i$ เป็นราก และสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เท่ากับ 2 | เนื่องจากพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง อีกหนึ่งรากจะต้องเป็น $3 - i$ ดังนั้น พหุนามคือ
\begin{align*}
2(x - 3 - i)(x - 3 + i) &= 2((x - 3)^2 - i^2) \\
&= 2((x - 3)^2 + 1) \\
&= \boxed{2x^2 - 12x + 20}.
\end{align*} | 2x^2 - 12x + 20 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กราฟของเส้นตรง $5x + 8y = 10$ และวงกลม $x^2 + y^2 = 1$ ตัดกันกี่ครั้ง? | แก้สมการ $5x + 8y = 10$ เพื่อหา $y$ จะได้ $y = \frac{10 - 5x}{8}.$ แทนค่าลงใน $x^2 + y^2 = 1$ จะได้
\[x^2 + \left( \frac{10 - 5x}{8} \right)^2 = 1.\]สมการนี้จะกลายเป็น $89x^2 - 100x + 36 = 0.$ ตัวเลือกของสมการกำลังสองนี้คือ $100^2 - 4 \cdot 89 \cdot 36 = -2816.$ เนื่องจากตัวเลือกเป็นลบ สมการกำลังสองนี้ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง ดังนั้นเส้นตรงและวงกลมตัดกันที่ $\boxed{0}$ จุด | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x^2 + \frac{1}{x^2} = A,$ และ $x - \frac{1}{x} = B,$ โดยที่ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนบวก จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\frac{A}{B}$. | สังเกตว่า
\[B^2 = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = A - 2,\]ดังนั้น
\[\frac{A}{B} = \frac{B^2 + 2}{B} = B + \frac{2}{B}.\]โดยอสมการ AM-GM,
\[B + \frac{2}{B} \ge 2 \sqrt{B \cdot \frac{2}{B}} = 2 \sqrt{2}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ (ซึ่งมี $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ เป็นราก) ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{2 \sqrt{2}}.$ | \boxed{2 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสมการของเส้นกำเอียงเฉียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$?
ใส่คำตอบของคุณในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามยาวให้ผลลัพธ์ดังนี้
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า
$$\frac{2x^2+7x+10}{2x+3} = x + 2 + \frac{4}{2x+3}.$$ดังนั้น เราจะเห็นว่าเมื่อ $x$ ห่างจาก $0$ มากขึ้น กราฟของฟังก์ชันจะเข้าใกล้เส้น $\boxed{y = x+2}$ มากขึ้นเรื่อยๆ | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ $\log_{10x^2} 10 + \log_{100x^3} 10 = -2$ จงหาค่าของ $\frac{1}{x^{12}}$ โดยเขียนคำตอบในรูปทศนิยม | ผกผันของแต่ละลอการิทึม เราได้ \[\frac{1}{\log_{10} 10x^2} + \frac{1}{\log_{10} 100x^3} = -2,\]หรือ \[\frac{1}{1 + 2\log_{10} x} + \frac{1}{2 + 3\log_{10} x} = -2.\]จากนั้นทำการแทน $y = \log_{10} x$ ให้ \[\frac{1}{1+2y} +\frac{1}{2+3y}=-2.\]เพื่อแก้สมการนี้ เราคูณทั้งสองข้างด้วย $(1+2y)(2+3y)$ เพื่อให้ได้ \[(2+3y)+(1+2y) = -2(1+2y)(2+3y),\]ซึ่งจัดเรียงใหม่เป็น \[12y^2 + 19y + 7 = 0.\]การแยกตัวประกอบของสมการกำลังสองนี้ เราได้ \[(y+1)(12y+7) = 0,\]ดังนั้น $y = -1$ หรือ $y = -\tfrac{7}{12}.$ เนื่องจาก $y = \log_{10} x$ เราได้ $x = 10^y$ ดังนั้น $x = 10^{-1}$ หรือ $x = 10^{-7/12}.$ ค่าของ $x$ ที่ใหญ่กว่าคือ $x = 10^{-7/12}$ ดังนั้นคำตอบคือ \[\frac{1}{x^{12}} = x^{-12} = 10^7 = \boxed{10000000}.\] | x = 10^{-7/12}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงรีมีจุดโฟกัสที่ $(9, 20)$ และ $(49, 55)$ ในระนาบ $xy$ และสัมผัสแกน $x$ ความยาวของแกนเอกของวงรีเท่ากับเท่าใด | กำหนดให้วงรีนี้เป็น $\mathcal{E}.$ ให้ $F_1=(9,20)$ และ $F_2=(49,55)$ เป็นจุดโฟกัส และให้ $X$ เป็นจุดที่วงรีสัมผัสแกน $x$.
[asy]
size(6cm);
draw(shift(((9, 20) + (49, 55))/2)*rotate(41.186)*scale(85/2,10*11^.5)*unitcircle); draw((-20,0)--(80,0),EndArrow); draw((0,-20)--(0,85),EndArrow);
dot("$F_1 (9, 20)$", (9, 20), NE);
dot("$F_2 (49, 55)$", (49, 55), NW);
dot("$X$", extension((9, 20), (49, -55), (0, 0), (1, 0)), S);
label("$\mathcal{E}$", (69,30));
label("$x$",(80,-2),SW);
label("$y$",(-2,85),SW);
[/asy]
โดยนิยาม $\mathcal{E}$ คือเซตของจุด $P$ ทั้งหมดที่ทำให้ปริมาณ $PF_1 + PF_2$ เท่ากับค่าคงที่ (คงที่) $k$ นอกจากนี้ ให้ $A$ และ $B$ เป็นจุดปลายของแกนเอก เราสังเกตว่า \[AB = AF_1 + F_1B = F_2B + F_1B = k\]เนื่องจาก $AF_1 = F_2B$ โดยสมมาตร นั่นคือ $k$ คือความยาวของแกนเอก ดังนั้นเพียงพอที่จะคำนวณค่าคงที่ $k$ ที่กำหนดให้ $\mathcal{E}$ สัมผัสแกน $x$.
โปรดทราบว่าสำหรับจุด $P$ ที่อยู่ภายใน $\mathcal{E}$ อย่างเคร่งครัด เราได้ $PF_1 + PF_2 < k$ และสำหรับจุด $P$ ที่อยู่ภายนอก $\mathcal{E}$ อย่างเคร่งครัด เราได้ $PF_1 + PF_2 > k$ แกน $x$ สัมผัส $\mathcal{E}$ ที่จุด $X$ ดังนั้น $PF_1 + PF_2 = k$ ที่ $X$
ดังนั้น $k = F_1'F_2.$ แล้วเราคำนวณ \[\begin{aligned} F_1'F_2 &= \sqrt{(49-9)^2 + (55-(-20))^2} \\ &= \sqrt{40^2+75^2} \\ &= 5\sqrt{8^2+15^2} \\ &= 5 \cdot 17 \\ &=\boxed{85}. \end{aligned}\] | k = F_1'F_2. | [
"unknown"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5,i)--(5,i),gray(0.7));
}
draw((-5,0)--(5,0),Arrows(6));
draw((0,-5)--(0,5),Arrows(6));
label("$x$", (5,0), E);
label("$y$", (0,5), N);
draw(graph(func,-3,3),red);
label("$y = f(x)$", (3,-2), UnFill);
[/asy]
กราฟของ $y = |f(x)|$ คือ กราฟใด
[asy]
unitsize(0.5 cm);
picture[] graf;
int i, n;
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
real funca(real x) {
return(func(abs(x)));
}
real funcb(real x) {
real y = max(0,func(x));
return(y);
}
real funcd(real x) {
return(abs(func(x)));
}
real funce(real x) {
return(abs(func(-x)));
}
for (n = 1; n <= 5; ++n) {
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-6*n)--(i,-6*n + 0.2));
draw((-6*n,i)--( -6*n + 0.2,i));
}
}
draw(graf[1],graph(funca,-3,3),red);
draw(graf[2],graph(funcb,-3,3),red);
draw(graf[3],reflect((0,0),(0,1))*graph(func,-3,3),red);
draw(graf[4],graph(funcd,-3,3),red);
draw(graf[5],graph(funce,-3,3),red);
label(graf[1], "A", (0,-6));
label(graf[2], "B", (0,-12));
label(graf[3], "C", (0,-18));
label(graf[4], "D", (0,-24));
label(graf[5], "E", (0,-30));
add(graf[1]);
add(shift((12,0))*(graf[2]));
add(shift((24,0))*(graf[3]));
add(shift((6,-12))*(graf[4]));
add(shift((18,-12))*(graf[5]));
[/asy]
| ถ้า $f(x) \ge 0,$ แล้ว $|f(x)| = f(x).$ และถ้า $f(x) < 0,$ แล้ว $|f(x)| = -f(x).$ ดังนั้น กราฟของ $y = |f(x)|$ จะได้จากการนำกราฟของ $y = f(x)$ มาสะท้อนส่วนที่อยู่ต่ำกว่าแกน $x$ เกี่ยวกับแกน $x$ กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{D}}.$ | \boxed{\text{D}}. | [
"understand",
"apply"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ โดยที่ $x + y + z = 1.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x + y^2 + z^3.$ | เนื่องจาก $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ โดยที่ $x + y + z = 1,$ ดังนั้น $0 \le x,$ $y,$ $z \le 1.$ จากนั้น $y^2 \le y$ และ $z^3 \le z,$ ดังนั้น
\[x + y^2 + z^3 \le x + y + z = 1.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = 1,$ $y = 0,$ และ $z = 0,$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{1}.$ | \boxed{1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
\[6a^3 + 9b^3 + 32c^3 + \frac{1}{4abc}.\] | โดย AM-GM,
\[6a^3 + 9b^3 + 32c^3 \ge 3 \sqrt[3]{6a^3 \cdot 9b^3 \cdot 32c^3} = 36abc.\]อีกครั้งโดย AM-GM,
\[36abc + \frac{1}{4abc} \ge 2 \sqrt{36abc \cdot \frac{1}{4abc}} = 6.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $6a^3 = 9b^3 = 32c^3$ และ $36abc = 3.$ เราสามารถแก้สมการได้ $a = \frac{1}{\sqrt[3]{6}},$ $b = \frac{1}{\sqrt[3]{9}},$ และ $c = \frac{1}{\sqrt[3]{32}}.$ ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{6}.$ | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{(x^2 + 3x + 1)(y^2 + 3y + 1)(z^2 + 3z + 1)}{xyz}.\] | โดย AM-GM,
\[x^2 + 1 \ge 2x,\]ดังนั้น
\[\frac{x^2 + 3x + 1}{x} \ge \frac{5x}{x} = 5.\]ทำนองเดียวกัน,
\[\frac{y^2 + 3y + 1}{y} \ge 5\]และ
\[\frac{z^2 + 3z + 1}{z} \ge 5,\]ดังนั้น
\[\frac{(x^2 + 3x + 1)(y^2 + 3y + 1)(z^2 + 3z + 1)}{xyz} \ge 125.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{125}.$ | \boxed{125}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมการ $x^3 - 4x^2 + 5x - \frac{19}{10} = 0$ มีรากจริง $r,$ $s,$ และ $t.$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้าน $r,$ $s,$ และ $t.$ | ให้ $K$ เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยม และให้ $p$ เป็นครึ่งหนึ่งของ परिметр จากสูตรของ Heron
\[K^2 = p(p - r)(p - s)(p - t).\]จากสูตรของ Vieta's $r + s + t = 4,$ ดังนั้น $p = 2.$ นอกจากนี้ เนื่องจาก $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของ $x^3 - 4x^2 + 5x - \frac{19}{10},$
\[x^3 - 4x^2 + 5x - \frac{19}{10} = (x - r)(x - s)(x - t).\]เมื่อ $x = 2$ จะได้
\[(2 - r)(2 - s)(2 - t) = \frac{1}{10}.\]ดังนั้น
\[K^2 = 2(2 - r)(2 - s)(2 - t) = \frac{1}{5},\]ดังนั้น $K = \sqrt{\frac{1}{5}} = \boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}.$ | K = \sqrt{\frac{1}{5}} = \boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ $2+\sqrt{2}$ และ $1-\sqrt{3}$ เป็นรากของพหุนาม | ถ้า $2+\sqrt{2}$ เป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว $2-\sqrt{2}$ ก็เป็นรากเช่นกัน ผลบวกของรากทั้งสองคือ $4$ และผลคูณของรากทั้งสองคือ $(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 4-2=2.$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่มีราก $2+\sqrt{2}$ และ $2-\sqrt{2}$ คือ $x^2-4x+2$.
ถ้า $1-\sqrt{3}$ เป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว $1+\sqrt{3}$ ก็เป็นรากเช่นกัน ผลบวกของรากทั้งสองคือ $2$ และผลคูณของรากทั้งสองคือ $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1-3=-2.$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่มีราก $1-\sqrt{3}$ และ $1+\sqrt{3}$ คือ $x^2-2x-2$.
ดังนั้น พหุนามกำลังสี่ที่มีราก $2+\sqrt{2}$ และ $1-\sqrt{3}$ คือ
$$(x^2-4x+2)(x^2-2x-2) = \boxed{x^4-6x^3+8x^2+4x-4}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $b_1$, $b_2$, $b_3$, $c_1$, $c_2$, และ $c_3$ เป็นจำนวนจริง โดยที่สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ เราได้
\[
x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = (x^2 + b_1 x + c_1)(x^2 + b_2 x + c_2)(x^2 + b_3 x + c_3).
\]จงคำนวณ $b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3$. | กำหนดให้ $P$ เป็นพหุนามที่กำหนดโดย $P(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$. สังเกตว่า $(x+1)P(x) = x^7 + 1$. ดังนั้นรากของ $P$ อยู่บนวงกลมหน่วย. ดังนั้นรากของแต่ละตัวประกอบกำลังสอง $x^2 + b_kx + c_k$ ก็อยู่บนวงกลมหน่วยเช่นกัน. เนื่องจากแต่ละตัวประกอบกำลังสองมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง รากของมันจึงเป็นคู่สังยุค. เนื่องจากรากอยู่บนวงกลมหน่วย แต่ละ $c_k$ จึงเท่ากับ 1. เมื่อเราขยายผลคูณของตัวประกอบกำลังสองทั้งสาม เราจะได้พหุนามในรูป
$$x^6 + (b_1 + b_2 + b_3)x^5 + \dotsb $$เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^5$ ใน $P$ เท่ากับ $-1$ เราจึงเห็นว่า $b_1+b_2+b_3 = -1$. ดังนั้นเราจึงมี
$$b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3 = b_1+b_2+b_3 = \boxed{-1}$$. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของผลรวม
\[
\sum_z \frac{1}{{\left|1 - z\right|}^2} \, ,
\]โดยที่ $z$ มีค่าเป็น 7 คำตอบ (จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) ของสมการ $z^7 = -1$ ทั้งหมด | เนื่องจาก $z^7 = -1,$ $|z^7| = 1.$ ดังนั้น $|z|^7 = 1,$ ดังนั้น $|z| = 1.$ จากนั้น $z \overline{z} = |z|^2 = 1,$ ดังนั้น $\overline{z} = \frac{1}{z}.$ ดังนั้น,
\begin{align*}
\frac{1}{|1 - z|^2} &= \frac{1}{(1 - z)(\overline{1 - z})} \\
&= \frac{1}{(1 - z)(1 - \overline{z})} \\
&= \frac{1}{(1 - z)(1 - \frac{1}{z})} \\
&= \frac{z}{(1 - z)(z - 1)} \\
&= -\frac{z}{(z - 1)^2}.
\end{align*}ให้ $z = \frac{1}{w} + 1.$ จากนั้น
\[-\frac{z}{(z - 1)^2} = -\frac{\frac{1}{w} + 1}{\frac{1}{w^2}} = -w - w^2.\]จาก $z^7 = -1,$
\[\left( \frac{1}{w} + 1 \right)^7 = -1.\]จากนั้น $(1 + w)^7 = -w^7.$ ขยายได้
\[2w^7 + 7w^6 + 21w^5 + 35w^4 + 35w^3 + 21w^2 + 7w + 1 = 0.\]ให้ $z_1,$ $z_2,$ $\dots,$ $z_7$ เป็นรากของ $z^7 = -1$ และให้ $w_k$ เป็นค่าที่สอดคล้องกับ $z_k,$ คือ $z_k = \frac{1}{w_k} + 1.$ จากนั้น
\[\sum_{k = 1}^7 \frac{1}{|1 - z_k|^2} = \sum_{k = 1}^7 (-w_k - w_k^2).\]จากสูตรของ Vieta's, $w_1 + w_2 + \dots + w_7 = -\frac{7}{2}$ และ $w_1 w_2 + w_1 w_3 + \dots + w_6 w_7 = \frac{21}{2}.$ ยกกำลังสองของสมการ $w_1 + w_2 + \dots + w_7 = -\frac{7}{2},$ เราได้
\[w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_7^2 + 2(w_1 w_2 + w_1 w_3 + \dots + w_6 w_7) = \frac{49}{4}.\]จากนั้น
\[w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_7^2 = \frac{49}{4} - 2(w_1 w_2 + w_1 w_3 + \dots + w_6 w_7) = \frac{49}{4} - 2 \cdot \frac{21}{2} = -\frac{35}{4}.\]ดังนั้น,
\[\sum_{k = 1}^7 (-w_k - w_k^2) = \frac{7}{2} + \frac{35}{4} = \boxed{\frac{49}{4}}.\] | w_1 + w_2 + \dots + w_7 = -\frac{7}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการอสมการ
\[\frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x - 1)(x - 5)(x - 6)} > 0.\] | เราสามารถสร้างตารางเครื่องหมายได้ แต่เนื่องจากตัวประกอบทั้งหมดเป็นเส้นตรง เราสามารถติดตามสิ่งที่เกิดขึ้นกับนิพจน์เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น ที่ $x = 0$ นิพจน์เป็นบวก เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้นเกิน 1 นิพจน์จะกลายเป็นลบ เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้นเกิน 2 นิพจน์จะกลายเป็นบวก และอื่นๆ ดังนั้นคำตอบคือ
\[x \in \boxed{(-\infty,1) \cup (2,3) \cup (4,5) \cup (6,\infty)}.\] | x | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $k$ ทั้งหมดที่ทำให้โดเมนของ
\[b(x) = \frac{kx^2 + 2x - 5}{-5x^2 + 2x + k}\]เป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด | โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดก็ต่อเมื่อส่วน $-5x^2 + 2x + k$ ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับทุกค่า $x$ 换句话说， द्वินาม
\[-5x^2 + 2x + k = 0\]ไม่ควรมีคำตอบจริงใดๆ นั่นหมายความว่า เงื่อนไขจำกัดเป็นลบ นั่นคือ
\[4 - 4(-5)(k) = 4 + 20k < 0.\]แก้สมการนี้ เราจะได้ $k < -\frac{1}{5}.$ ดังนั้น เซตของค่า $k$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $\boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{5} \right)}.$ | \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{5} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[3f(x) - 2 f \left( \frac{1}{x} \right) = x\]สำหรับทุก $x \neq 0.$ จงหา $f(4).$ | แทน $x = 4$ เราได้
\[3f(4) - 2 f \left( \frac{1}{4} \right) = 4.\]แทน $x = \frac{1}{4}$ เราได้
\[3 f \left( \frac{1}{4} \right) - 2f(4) = \frac{1}{4}.\]เราสามารถพิจารณาสมการเหล่านี้เป็นระบบสมการใน $f(4)$ และ $f \left( \frac{1}{4} \right).$ เมื่อแก้ระบบสมการนี้ เราพบว่า $f(4) = \boxed{\frac{5}{2}}.$ | f(4) = \boxed{\frac{5}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า
\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 3 \quad \text{และ} \quad \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0,\]จงหาค่าของ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}.$ | กำหนดให้ $p = \frac{x}{a},$ $q = \frac{y}{b},$ $r = \frac{z}{c}.$ ดังนั้น $p + q + r = 3$ และ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 0,$ ดังนั้น $pq + pr + qr = 0.$
เราต้องการหาค่าของ $p^2 + q^2 + r^2.$ การยกกำลังสองสมการ $p + q + r = 3,$ เราได้
\[p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + pr + qr) = 9,\]ดังนั้น $p^2 + q^2 + r^2 = \boxed{9}.$ | p^2 + q^2 + r^2 = \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ท่านมีกล่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาว $x+5$ หน่วย, ความกว้าง $x-5$ หน่วย และความสูง $x^{2}+25$ หน่วย สำหรับจำนวนเต็มบวก $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ปริมาตรของกล่องน้อยกว่า 700 หน่วย? | เพื่อหาปริมาตรของกล่อง เราคูณทั้งสามมิติ: $(x+5)(x-5)(x^{2}+25) = (x^{2}-25)(x^{2}+25) = x^{4}-625$. เราต้องการหา $x$ ซึ่งทำให้ $x^{4}-625<700$ ซึ่งจะลดรูปเป็น $x^{4}<1325$. การหารากที่สี่แสดงให้เราเห็นว่า $x$ น้อยกว่า $\sqrt[4]{1325}$ ซึ่งอยู่ระหว่าง 6 และ 7 (เนื่องจาก $6^4=1296$ ในขณะที่ $7^4=2401$). ดังนั้น $x$ อาจเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6. อย่างไรก็ตาม เราเห็นว่าความกว้างคือ $x-5$ หน่วย และจำนวนนี้ต้องเป็นบวก ดังนั้นค่าของ $x$ ที่ใช้ได้เพียงค่าเดียวคือ 6. ดังนั้นมีค่าที่เป็นไปได้ของ $x$ เพียง $\boxed{1}$ ค่าเท่านั้น. | x | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้าสองในสามรากของสมการ \[2x^3 + 8x^2 - 120x + k = 0\] มีค่าเท่ากัน จงหาค่าของ $k$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนบวก | สมมติให้รากทั้งสามของสมการคือ $a,$ $a,$ และ $b$ จากสูตรของ Vieta \[\begin{aligned}a+a+b&=-\tfrac82=-4, \\ ab+ab+a^2 &= \tfrac{120}2 = -60. \end{aligned}\] สมการเหล่านี้สามารถลดรูปเป็น $2a+b=-4$ และ $2ab+a^2=-60$ จากสมการแรก เราได้ $b=-4-2a$ และแทนค่าลงในสมการที่สองจะได้ \[2a(-4-2a)+a^2=-60,\]หรือ \[3a^2+8a-60=0.\] สมการนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น \[(a+6)(3a-10)=0,\] ดังนั้น $a=-6$ หรือ $a=\tfrac{10}{3}$ ถ้า $a=-6$ แล้ว $b=-4-2a=8$ ดังนั้นจาก Vieta $k = -2a^2b=-576$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนบวก ถ้า $a=\tfrac{10}{3}$ แล้ว $b=-4-2a=-\tfrac{32}{3}$ ดังนั้นจาก Vieta $k=-2a^2b=\boxed{\tfrac{6400}{27}}$ ซึ่งเป็นคำตอบ | k=-2a^2b=\boxed{\tfrac{6400}{27}}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดสัมผัสของพาราโบลา $y = x^2 + 15x + 32$ และ $x = y^2 + 49y + 593$ | นำสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้
\[x + y = x^2 + 15x + 32 + y^2 + 49y + 593,\]หรือ $x^2 + 14x + y^2 + 48y + 625.$ เติมกำลังสองใน $x$ และ $y$ จะได้
\[(x + 7)^2 + (y + 24)^2 = 0.\]เราสามารถตรวจสอบได้ว่า $\boxed{(-7,-24)}$ อยู่บนพาราโบลาทั้งสอง จุดนี้คือจุดสัมผัส | \boxed{(-7,-24)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทฤษฎีบทที่โด่งดังกล่าวว่า กำหนดจุด 5 จุดบนระนาบ โดยไม่มี 3 จุดใดๆ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะมีรูปกรวย (วงรี, अतिเย pcb, หรือพาราโบลา) หนึ่งรูปที่ผ่านจุดทั้ง 5 จุด รูปกรวยที่ผ่านจุด 5 จุด \[(-\tfrac32, 1), \; (0,0), \;(0,2),\; (3,0),\; (3,2).\]เป็นวงรีที่มีแกนขนานกับแกนพิกัด จงหาความยาวของแกนรอง | จุด 4 จุด $(0,0),$ $(0,2),$ $(3,0),$ และ $(3,2)$ สร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และเส้นตรงแนวนอนผ่าน $(-\tfrac32, 1)$ แบ่งครึ่งรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น จากการสังเกต เราหวังว่าจุดศูนย์กลางของวงรีจะตรงกับจุดศูนย์กลางของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีพิกัด $\left(\tfrac32, 1\right),$ และแกนเอกของมันควรผ่านจุด $(-\tfrac32, 1).$
ในกรณีนี้ แกนกึ่งเอกมีความยาว $\tfrac32 - (-\tfrac32) = 3.$ ดังนั้น สมการของมันต้องอยู่ในรูป \[\frac{(x-\tfrac32)^2}{3^2} + \frac{(y-1)^2}{b^2} = 1\]โดยที่ $b$ คือความยาวของแกนกึ่งรอง เนื่องจาก $(0,0)$ อยู่บนวงรี การกำหนด $x=y=0,$ เราได้ \[\frac{\left(\frac32\right)^2}{3^2} + \frac{1}{b^2} = 1,\]หรือ $\frac{1}{4} + \frac{1}{b^2} = 1.$ การแก้หา $b$ จะได้ $b = \frac{2\sqrt3}{3},$ ดังนั้น ความยาวของแกนรองคือ $2b = \boxed{\frac{4\sqrt3}{3}}.$ | 2b = \boxed{\frac{4\sqrt3}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $k$ ที่ทำให้เส้นตรง $3x + 5y + k = 0$ เป็นเส้นสัมผัสของพาราโบลา $y^2 = 24x.$ | แก้สมการ $3x + 5y + k = 0$ เพื่อหาค่า $x$ จะได้
\[x = -\frac{5y + k}{3}.\]แทนค่าลงใน $y^2 = 24x,$ จะได้
\[y^2 = -40y - 8k,\]หรือ $y^2 + 40y + 8k = 0.$ เนื่องจากเส้นตรงเป็นเส้นสัมผัส สมการกำลังสองนี้จะมีรากซ้ำ หมายความว่าตัวจำแนกของสมการนี้จะเป็น 0. จะได้ $40^2 - 4(8k) = 0,$ ดังนั้น $k = \boxed{50}.$ | k = \boxed{50}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนาม $p(x)$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[p(p(x)) = xp(x) + x^2.\] | ให้ $n$ เป็นดีกรีของ $p(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $p(p(x))$ คือ $n^2,$ และดีกรีของ $xp(x)$ คือ $n + 1.$
ถ้า $n \ge 2,$ แล้วดีกรีของ $xp(x) + x^2$ คือ $n + 1,$ ซึ่งน้อยกว่า $n^2$ นอกจากนี้ $p(x)$ ไม่สามารถเป็นพหุนาม상수ได้ ดังนั้นดีกรีของ $p(x)$ คือ $n = 1.$
ให้ $p(x) = ax + b.$ แล้ว
\[p(p(x)) = p(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2 x + ab + b,\]และ
\[xp(x) + x^2 = x(ax + b) + x^2 = (a + 1) x^2 + bx.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้ $a + 1 = 0,$ $a^2 = b,$ และ $ab + b = 0.$ ดังนั้น $a = -1$ และ $b = 1,$ ดังนั้น $p(x) = \boxed{-x + 1}.$ | p(x) = \boxed{-x + 1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าคงที่ $A,$ $B,$ และ $C$ เพื่อให้
\[\frac{4x}{(x - 5)(x - 3)^2} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{(x - 3)^2}.\]ใส่สามลำดับ $(A,B,C).$ | คูณทั้งสองข้างด้วย $(x - 5)(x - 3)^2,$ เราได้
\[4x = A (x - 3)^2 + B(x - 5)(x - 3) + C (x - 5).\]แทน $x = 5,$ เราได้ $4A = 20,$ ดังนั้น $A = 5.$
แทน $x = 3,$ เราได้ $-2C = 12,$ ดังนั้น $C = -6.$ ดังนั้น,
\[4x = 5(x - 3)^2 + B(x - 5)(x - 3) - 6(x - 5).\]แล้ว
\[B(x - 5)(x - 3) = -5x^2 + 40x - 75 = -5(x - 3)(x - 5),\]ดังนั้น $B = -5.$ ดังนั้น $(A,B,C) = \boxed{(5,-5,-6)}.$ | (A,B,C) = \boxed{(5,-5,-6)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ
\[\frac{(a^2 - b^2)^3 + (b^2 - c^2)^3 + (c^2 - a^2)^3}{(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3}.\] | เราจะใช้เอกลักษณ์
\[x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz).\]กำหนด $x = a^2 - b^2,$ $y = b^2 - c^2,$ $z = c^2 - a^2,$ เราได้
\[(a^2 - b^2)^3 + (b^2 - c^2)^3 + (c^2 - a^2)^3 - 3(a^2 - b^2)(b^2 - c^2)(c^2 - a^2) = 0.\]กำหนด $x = a - b,$ $y = b - c,$ $z = c - a,$ เราได้
\[(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 - 3(a - b)(b - c)(c - a) = 0.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\frac{(a^2 - b^2)^3 + (b^2 - c^2)^3 + (c^2 - a^2)^3}{(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3} &= \frac{3(a^2 - b^2)(b^2 - c^2)(c^2 - a^2)}{3(a - b)(b - c)(c - a)} \\
&= \frac{(a - b)(a + b)(b - c)(b + c)(c - a)(c + a)}{(a - b)(b - c)(c - a)} \\
&= \boxed{(a + b)(a + c)(b + c)}.
\end{align*} | z = c - a, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนของ 10-tuples $(x_1, x_2, \dots, x_{10})$ ของจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[(1 - x_1)^2 + (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \dots + (x_9 - x_{10})^2 + x_{10}^2 = \frac{1}{11}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\begin{align*}
&[(1^2 + 1^2 + 1^2 + \dots + 1^2 + 1^2)][(1 - x_1)^2 + (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \dots + (x_9 - x_{10})^2 + x_{10}^2] \\
&\ge [(1 - x_1) + (x_1 - x_2) + (x_2 - x_3) + \dots + (x_9 - x_{10}) + x_{10}]^2 = 1.
\end{align*}จากเงื่อนไขที่กำหนด เราได้ว่าสมการมีค่าเท่ากัน ดังนั้นโดยเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของ Cauchy-Schwarz,
\[\frac{1 - x_1}{1} = \frac{x_1 - x_2}{1} = \frac{x_2 - x_3}{1} = \dots = \frac{x_9 - x_{10}}{1} = \frac{x_{10}}{1}.\]ให้
\[d = 1 - x_1 = x_1 - x_2 = x_2 - x_3 = \dots = x_9 - x_{10} = x_{10}.\]แล้ว
\[(1 - x_1) + (x_1 - x_2) + \dots + (x_9 - x_{10}) + x_{10} = 11d,\]ดังนั้น $11d = 1.$ แล้ว $d = \frac{1}{11},$ ดังนั้น
\[(x_1, x_2, x_3, \dots, x_{10}) = \left( \frac{10}{11}, \frac{9}{11}, \frac{8}{11}, \dots, \frac{1}{11} \right).\]โดยเฉพาะ มีเพียง $\boxed{1}$ คำตอบ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง $xyz = \frac{2}{3}.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[x^2 + 6xy + 18y^2 + 12yz + 4z^2.\] | เราอาจจะพยายามนำ AM-GM มาใช้กับพจน์ทั้งห้าโดยตรง โดยไม่สนใจค่าคงที่ จะได้พจน์
\[\sqrt[5]{x^2 \cdot xy \cdot y^2 \cdot yz \cdot z^2} = \sqrt[5]{x^3 y^4 z^3}.\]วิธีนี้ไม่เวิร์ค เพราะเงื่อนไขคือ $xyz = \frac{2}{3}$ ดังนั้นเราต้องการกำลังของ $xyz.$ ดังนั้น เพื่อให้ได้กำลังของ $y$ เพิ่มขึ้น หนึ่งกำลังเมื่อเทียบกับ $x$ และ $z$ เราจึงแยกพจน์ทุกพจน์ ยกเว้น $y^2$ ออกเป็นครึ่งหนึ่ง:
\[\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + 3xy + 3xy + 18y^2 + 6yz + 6yz + 2z^2 + 2z^2.\]จากนั้นโดย AM-GM,
\begin{align*}
&\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + 3xy + 3xy + 18y^2 + 6yz + 6yz + 2z^2 + 2z^2 \\
&\ge 9 \sqrt[9]{\frac{x^2}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \cdot 3xy \cdot 3xy \cdot 18y^2 \cdot 6yz \cdot 6yz \cdot 2z^2 \cdot 2z^2} \\
&= 9 \sqrt[9]{5832x^6 y^6 z^6} \\
&= 18.
\end{align*}สมการเกิดขึ้นเมื่อ $\frac{x^2}{2} = 3xy = 18y^2 = 6yz = 2z^2.$ พร้อมกับเงื่อนไข $xyz = \frac{2}{3},$ เราสามารถแก้สมการได้ $x = 2,$ $y = \frac{1}{3},$ $z = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{18}.$ | \boxed{18}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y + 2} = \frac{1}{3}.\] จงหาค่าต่ำสุดของ $x + 2y.$ | จากอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[((x + 2) + 2(y + 2)) \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y + 2} \right) \ge (1 + \sqrt{2})^2.\]ดังนั้น
\[x + 2 + 2y + 4 \ge 3 (1 + \sqrt{2})^2 = 9 + 6 \sqrt{2},\]นั่นคือ $x + 2y \ge 3 + 6 \sqrt{2}.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $(x + 2)^2 = 2(y + 2)^2,$ หรือ $x + 2 = (y + 2) \sqrt{2}.$ แทนค่าลงใน $\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y + 2} = \frac{1}{3},$ เราได้
\[\frac{1}{(y + 2) \sqrt{2}} + \frac{1}{y + 2} = \frac{1}{3}.\]แก้สมการนี้ เราจะได้ $y = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{2}.$ จากนั้น $x = 1 + 3 \sqrt{2}.$
ดังนั้น ค่าต่ำสุดที่เราต้องการคือ $\boxed{3 + 6 \sqrt{2}}.$ | \boxed{3 + 6 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของผลบวก
\[\frac{a}{2b} + \frac{b}{4c} + \frac{c}{8a},\]โดยที่ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวก | โดย AM-GM,
\[\frac{a}{2b} + \frac{b}{4c} + \frac{c}{8a} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{a}{2b} \cdot \frac{b}{4c} \cdot \frac{c}{8a}} = 3 \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{3}{4}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $\frac{a}{2b} = \frac{b}{4c} = \frac{c}{8a} = \frac{1}{4}.$ ตัวอย่างเช่น $a = 1$ และ $b = c = 2$ จะได้ผลลัพธ์ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{3}{4}}.$ | \boxed{\frac{3}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ ที่มีสมบัติว่า เมื่อ $a,$ $b,$ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $a + b = 2^n$ จะได้สมการ
\[f(a) + f(b) = n^2\]เป็นจริง จงหาค่าของ $f(2002)$ | จากสมบัติที่กำหนดให้
\begin{align*}
f(2002) &= 11^2 - f(46), \\
f(46) &= 6^2 - f(18), \\
f(18) &= 5^2 - f(14), \\
f(14) &= 4^2 - f(2).
\end{align*}และ $f(2) + f(2) = 4$ ดังนั้น $f(2) = 2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
f(14) &= 4^2 - 2 = 14, \\
f(18) &= 5^2 - 14 = 11, \\
f(46) &= 6^2 - 11 = 25, \\
f(2002) &= 11^2 - 25 = \boxed{96}.
\end{align*} | f(2) = 2. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $F_1 = (0,1)$ และ $F_ 2= (4,1).$ แล้วเซตของจุด $P$ ที่สอดคล้องกับ
\[PF_1 + PF_2 = 6\]จะสร้างวงรี สมการของวงรีนี้สามารถเขียนได้ในรูป
\[\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1.\]จงหา $h + k + a + b.$ | เราทราบว่า $2a = 6,$ ดังนั้น $a = 3.$ ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = 4,$ ดังนั้น $c = 2.$ ดังนั้น $b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{5}.$
จุดศูนย์กลางของวงรีคือ จุดกึ่งกลางของ $\overline{F_1 F_2},$ ซึ่งคือ $(2,1).$ ดังนั้น สมการของวงรีคือ
\[\frac{(x - 2)^2}{3^2} + \frac{(y - 1)^2}{(\sqrt{5})^2} = 1.\]ดังนั้น $h + k + a + b = 2 + 1 + 3 + \sqrt{5} = \boxed{6 + \sqrt{5}}.$ | h + k + a + b = 2 + 1 + 3 + \sqrt{5} = \boxed{6 + \sqrt{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเลขสามหลักสุดท้ายของ $9^{105}.$ | เราสามารถเขียน $9^{105} = (10 - 1)^{105}.$ จากทฤษฎีบททวินาม
\[(10 - 1)^{105} = 10^{105} - \binom{105}{1} 10^{104} + \binom{105}{2} 10^{103} - \dots + \binom{105}{102} 10^3 - \binom{105}{103} 10^2 + \binom{105}{104} 10 - 1.\]พจน์ทั้งหมดจนถึง $\binom{105}{102} 10^3$ หารด้วย $10^3$ ลงตัว ดังนั้นเพื่อหาเลขสามหลักสุดท้าย เราสามารถละเว้นพจน์เหล่านั้นได้ เราจะเหลือ
\begin{align*}
-\binom{105}{103} 10^2 + \binom{105}{104} 10 - 1 &= -\binom{105}{2} 10^2 + \binom{105}{1} 10 - 1 \\
&= -\frac{105 \cdot 104}{2} \cdot 10^2 + 105 \cdot 10 - 1 \\
&= -546000 + 1050 - 1 \\
&= -546000 + 1049.
\end{align*}ดังนั้น เลขสามหลักสุดท้ายคือ $\boxed{049}.$ | \boxed{049}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\frac{1}{x^2 + 11x - 8} + \frac{1}{x^2 + 2x - 8} + \frac{1}{x^2 - 13x - 8} = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ให้ $y = x^2 - 13x - 8.$ ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดเป็น
\[\frac{1}{y + 24x} + \frac{1}{y + 15x} + \frac{1}{y} = 0.\]คูณทุกอย่างด้วย $(y + 24x)(y + 15x)y,$ เราจะได้
\[(y + 15x)y + y(y + 24x) + (y + 24x)(y + 15x) = 0.\]สมการนี้จะเรียบง่ายเป็น $360x^2 + 78xy + 3y^2 = 0,$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $3(20x + y)(6x + y) = 0.$ ดังนั้น $20x + y = 0$ หรือ $6x + y = 0.$
ถ้า $20x + y = 0,$ แล้ว $20x + x^2 - 13x - 8 = x^2 + 7x - 8 = (x - 1)(x + 8) = 0,$ ดังนั้น $x = 1$ หรือ $x = -8.$
ถ้า $6x + y = 0,$ แล้ว $6x + x^2 - 13x - 8 = x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1) = 0,$ ดังนั้น $x = 8$ หรือ $x = -1.$ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{8,1,-1,-8}.$ | \boxed{8,1,-1,-8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6.\]จงหาค่าต่ำสุดของ $x^3 y^2 z.$ | โดย AM-GM,
\begin{align*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= \frac{1}{3x} + \frac{1}{3x} + \frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{z} \\
&\ge 6 \sqrt[6]{\frac{1}{3x} \cdot \frac{1}{3x} \cdot \frac{1}{3x} \cdot \frac{1}{2y} \cdot \frac{1}{2y} \cdot \frac{1}{z}} \\
&= 6 \sqrt[6]{\frac{1}{108x^3 y^2 z}}.
\end{align*}เนื่องจาก $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6,$ เราจะได้
\[x^3 y^2 z \ge \frac{1}{108}.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $3x = 2y = z.$ ร่วมกับเงื่อนไข $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6,$ เราสามารถแก้สมการได้ $x = \frac{1}{3},$ $y = \frac{1}{2},$ และ $z = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{1}{108}}.$ | \boxed{\frac{1}{108}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริเวณระหว่างกราฟของ $y = f (x)$ และแกน $x$ ซึ่งถูกแรเงาในรูปนี้มีพื้นที่ 10 ตารางหน่วย พื้นที่ระหว่างกราฟของ $y = 3f (x -2)$ และแกน $x$ จะมีค่าเท่าใด?
[asy]
defaultpen(linewidth(0.75));
fill((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle,gray(.7));
draw((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle);
draw((-15,0)--(80,0),Arrow);
draw((0,-10)--(0,50),Arrow);
draw((10,0)--(8.5,-7),Arrow);
draw((70,0)--(72,-7),Arrow);
label("$y = f(x)$",(5,65),S);
label("$x$",(80,-8));
[/asy] | กราฟของ $y=f(x-2)$ เป็นเพียงกราฟของ $y=f(x)$ ที่เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ เป็นจุดบนกราฟของ $y=f(x)$ แล้ว $(a+2,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ จากนั้นกราฟของ $y=3f(x-2)$ เป็นกราฟของ $y=f(x-2)$ ที่ปรับขนาดตามแนวตั้งด้วยปัจจัย 3 เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ แล้ว $(a,3b)$ อยู่บนกราฟของ $y=3f(x-2)$ การยืดบริเวณในระนาบด้วยปัจจัย 3 ในมิติหนึ่งจะเพิ่มพื้นที่ของมันด้วยปัจจัย 3 ดังนั้นพื้นที่ระหว่างกราฟของ $y=3f(x-2)$ และแกน $x$ คือ $\boxed{30}$ | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามดีกรีสาม $p(x)$ สอดคล้องกับ $p(2) = 1,$ $p(7) = 19,$ $p(15) = 11,$ และ $p(20) = 29.$ จงหา
\[p(1) + p(2) + p(3) + \dots + p(21).\] | พหุนามดีกรีสามผ่านจุด $(2,1),$ $(7,19),$ $(15,11),$ และ $(20,29).$ เมื่อพล็อตจุดเหล่านี้ เราพบว่ามันสร้างจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งศูนย์กลางอยู่ที่ $(11,15).$ เราใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ดังนี้.
[asy]
unitsize(0.2 cm);
real func (real x) {
real y = 23*x^3/585 - 253*x^2/195 + 7396*x/585 - 757/39;
return(y);
}
pair A, B, C, D;
A = (2,1);
B = (7,19);
C = (15,11);
D = (20,29);
draw(graph(func,1.5,20.5),red);
draw(A--B--D--C--cycle,dashed);
label("$(11,15)$", (11,15), NE, UnFill);
dot("$(2,1)$", A, SW);
dot("$(7,19)$", B, W);
dot("$(15,11)$", C, SE);
dot("$(20,29)$", D, NE);
dot((11,15));
[/asy]
ให้ $f(x) = p(x + 11) - 15.$ แล้ว
\begin{align*}
f(-9) &= p(2) - 15 = -14, \\
f(-4) &= p(7) - 15 = 4, \\
f(4) &= p(15) - 15 = -4, \\
f(9) &= p(20) - 15 = 14.
\end{align*}ตอนนี้ ให้ $g(x) = -f(-x).$ แล้ว
\begin{align*}
g(-9) &= -f(9) = -14, \\
g(-4) &= -f(4) = 4, \\
g(4) &= -f(-4) = -4, \\
g(9) &= -f(-9) = 14.
\end{align*}ทั้ง $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามดีกรีสาม และพวกมันเห็นด้วยกันที่ค่าที่ต่างกันสี่ค่า ดังนั้นโดยทฤษฎีบทเอกลักษณ์ พวกมันคือพหุนามตัวเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง
\[-f(-x) = f(x).\]แล้ว
\[15 - p(11 - x) = p(x + 11) = 30\]สำหรับทุก $x.$
ให้
\[S = p(1) + p(2) + p(3) + \dots + p(21).\]แล้ว
\[S = p(21) + p(20) + p(19) + \dots + p(1),\]ดังนั้น
\[2S = [p(1) + p(21)] + [p(2) + p(20)] + [p(3) + p(19)] + \dots + [p(21) + p(1)].\]เนื่องจาก $p(11 - x) + p(x + 11) = 30,$ แต่ละ summand เท่ากับ 30. ดังนั้น
\[2S = 21 \cdot 30 = 630,\]และ $S = 630/2 = \boxed{315}.$ | S = 630/2 = \boxed{315}. | [
"unknown"
] |
จงหาค่าของผลรวม $-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 +\dots+ 10,\!000$ | แต่ละคู่ของพจน์ที่อยู่ติดกันมีผลรวมเท่ากับ 1 และมี $10,\!000$ พจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $10,\!000/2=\boxed{5000}$ | 10,\!000/2=\boxed{5000} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจุดสัมผัสของพาราโบลา $y = x^2 + 15x + 32$ และ $x = y^2 + 49y + 593.$ | นำสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้
\[x + y = x^2 + 15x + 32 + y^2 + 49y + 593,\]หรือ $x^2 + 14x + y^2 + 48y + 625.$ เติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ จะได้
\[(x + 7)^2 + (y + 24)^2 = 0.\]เราสามารถตรวจสอบได้ว่า $\boxed{(-7,-24)}$ อยู่บนพาราโบลาทั้งสอง ดังนั้นนี่คือจุดสัมผัส | \boxed{(-7,-24)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\log_2 \frac{2}{1} + \log_2 \frac{3}{2} + \cdots + \log_2 \frac{2009}{2008} + \log_2 \frac{2010}{2009}$ | จงจำไว้ว่า $\log_2 \frac{x}{y} = \log_2 x - \log_2 y$. นำเอกลักษณ์นี้ไปใช้กับแต่ละพจน์ในผลรวม เราพบว่าผลรวมเท่ากับ $(\log_2 2 - \log_2 1) + (\log_2 3 - \log_2 2) + \cdots + (\log_2 2010 - \log_2 2009)$. พจน์กลางส่วนใหญ่จะยกเลิกซึ่งกันและกัน; นิพจน์ในที่สุดจะประเมินเป็น
\[\log_2 2010 - \log_2 1 = \log_2 2010.\]โปรดทราบว่า $2^{10} = 1024$ แต่ $2^{11} = 2048$ ดังนั้น $10 < \log_2 2010 < 11$. ตามมาว่าจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\log_2 \frac{2}{1} + \log_2 \frac{3}{2} + \cdots + \log_2 \frac{2009}{2008} + \log_2 \frac{2010}{2009}$ คือ $\boxed{10}$. | \boxed{10} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a < b,$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[\sqrt{1 + \sqrt{21 + 12 \sqrt{3}}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}.\] | ขั้นตอนแรก เราจะทำให้นิพจน์ $\sqrt{21 + 12 \sqrt{3}}$ ง่ายขึ้น สมมติว่า
\[\sqrt{21 + 12 \sqrt{3}} = x + y.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราจะได้
\[21 + 12 \sqrt{3} = x^2 + 2xy + y^2.\]เพื่อให้ด้านขวามือมีลักษณะคล้ายกับด้านซ้ายมือ เราตั้ง $x^2 + y^2 = 21$ และ $2xy = 12 \sqrt{3},$ ดังนั้น $xy = 6 \sqrt{3}.$ จากนั้น $x^2 y^2 = 108,$ ดังนั้นโดยทฤษฎีบทของ Vieta's $x^2$ และ $y^2$ เป็นรากของสมการกำลังสอง
\[t^2 - 21t + 108 = 0.\]สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(t - 9)(t - 12) = 0,$ ซึ่งมีคำตอบคือ 9 และ 12. ดังนั้น,
\[\sqrt{21 + 12 \sqrt{3}} = \sqrt{9} + \sqrt{12} = 3 + 2 \sqrt{3}.\]ต่อไปเราต้องทำให้นิพจน์
\[\sqrt{1 + 3 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}.\]ใช้เทคนิคเดียวกัน เราจะได้
\[\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3},\]ดังนั้น $(a,b) = \boxed{(1,3)}.$ | (a,b) = \boxed{(1,3)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ต่างกัน โดยที่
\[\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b} = 0.\]จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{a}{(b - c)^2} + \frac{b}{(c - a)^2} + \frac{c}{(a - b)^2}.\]ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | กำหนดให้ $x = b - c,$ $y = c - a,$ และ $z = a - b,$ ดังนั้น
\[\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0.\]จากนั้น
\[\left( \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \right) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = 0.\]เมื่อขยายออกจะได้
\[\frac{a}{x^2} + \frac{b}{y^2} + \frac{c}{z^2} + \frac{a + b}{xy} + \frac{a + c}{xz} + \frac{b + c}{yz} = 0.\]สังเกตว่า
\begin{align*}
\frac{a + b}{xy} + \frac{a + c}{xz} + \frac{b + c}{yz} &= \frac{(a + b)z + (a + c)y + (b + c)x}{xyz} \\
&= \frac{(a + b)(a - b) + (a + c)(c - a) + (b + c)(b - c)}{xyz} \\
&= \frac{a^2 - b^2 + c^2 - a^2 + b^2 - c^2}{xyz} \\
&= 0,
\end{align*}ดังนั้น
\[\frac{a}{(b - c)^2} + \frac{b}{(c - a)^2} + \frac{c}{(a - b)^2} = \frac{a}{x^2} + \frac{b}{y^2} + \frac{c}{z^2} = \boxed{0}.\] | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน สมมติว่ามีจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน $r$, $s$, และ $t$ ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z$ ใดๆ เราได้
\[
(z - r)(z - s)(z - t) = (z - cr)(z - cs)(z - ct).
\]จงคำนวณจำนวนค่าที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของ $c$ | ขยายทั้งสองข้างจะได้ \[z^3 - (r+s+t)z^2 + (rs+st+rt)z - rst = z^3 - c(r+s+t)z^2 + c^2(rs+st+rt)z - c^3rst.\]เนื่องจากสมการนี้เป็นจริงสำหรับ $z$ ทั้งหมด เราจะต้องมี \[\left\{ \begin{aligned} -(r+s+t) &= -c(r+s+t), \\ rs+st+rt &= c^2(rs+st+rt), \\ -rst &= -c^3rst. \end{aligned} \right.\]ถ้าไม่มี $c, c^2, c^3$ ใดที่เท่ากับ $1$ สมการเหล่านี้ก็จะบ่งบอกว่า \[r + s + t = rs + st + rt = rst = 0.\]ดังนั้น $r, s, t$ เป็นรากของพหุนาม $z^3 - 0z^2 - 0z - 0 = z^3$ ดังนั้น $r = s = t = 0$ ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า $r, s, t$ ต้องแตกต่างกัน ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งในจำนวน $c, c^2, c^3$ ต้องเท่ากับ $1$.
ถ้า $c = 1$ สมการทั้งสามก็จะถูกต้องสำหรับค่าของ $r, s, t$ ใดๆ ถ้า $c^2 = 1$ สมการจะถูกต้องเมื่อ $(r, s, t) = (0, 1, -1).$ ถ้า $c^3 = 1$ สมการจะถูกต้องเมื่อ $(r, s, t) = \left(1, -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt3}{2}i, -\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt3}{2}i\right).$ ดังนั้น $c$ ทั้งหมดที่กล่าวมาจะทำงาน สมการ $c = 1,$ $c^2 = 1,$ และ $c^3 = 1$ มีรากทั้งหมด $1+2+3=6$ ราก แต่เนื่องจาก $c=1$ ตอบสนองทั้งสามสมการ มันจึงถูกนับสามครั้ง ดังนั้นจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $c$ คือ $6 - 2 = \boxed{4}.$ | 6 - 2 = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ช่องสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกถูกกำหนดหมายเลขดังแสดงด้านล่าง
[asy]
unitsize(0.8 cm);
int i, j;
for (i = 0; i <= 8; ++i) {
draw((i,0)--(i,8));
draw((0,i)--(8,i));
}
for (i = 0; i <= 7; ++i) {
for (j = 0; j <= 7; ++j) {
label("$\frac{1}{" + string(i + 8 - j) + "}$", (i + 0.5, j + 0.5));
}}
[/asy]
เลือกช่องสี่เหลี่ยม 8 ช่อง โดยมีช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกเพียงช่องเดียวในแต่ละแถวและแต่ละหลัก จงหาผลรวมต่ำสุดของป้ายกำกับของช่องสี่เหลี่ยม 8 ช่องที่เลือก | หมายเลขแถว 1, 2, 3, $\dots,$ 8 จากบนลงล่าง ให้ $r_1$ เป็นหมายเลขแถวของช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกในหลักแรก (ตัวอย่างเช่น ถ้าเลือกช่องสี่เหลี่ยมที่ 5 ในหลักแรก ดังนั้น $r_1 = 5.$) ดังนั้นป้ายกำกับของช่องสี่เหลี่ยมนั้นคือ $\frac{1}{r_1}.$
ในทำนองเดียวกัน ถ้า $r_2$ เป็นหมายเลขแถวของช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกในหลักที่สอง ป้ายกำกับของมันคือ
\[\frac{1}{r_2 + 1}.\]โดยทั่วไป ให้ $r_i$ เป็นหมายเลขแถวของช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกในหลัก $i,$ ดังนั้นป้ายกำกับของมันคือ
\[\frac{1}{r_i + i - 1}.\]ดังนั้นเราต้องการย่อให้เล็กสุด
\[\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2 + 1} + \frac{1}{r_3 + 2} + \dots + \frac{1}{r_8 + 7}.\]โดย AM-HM,
\[\frac{r_1 + (r_2 + 1) + (r_3 + 2) + \dots + (r_8 + 7)}{8} \ge \frac{8}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2 + 1} + \frac{1}{r_3 + 2} + \dots + \frac{1}{r_8 + 7}},\]ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2 + 1} + \frac{1}{r_3 + 2} + \dots + \frac{1}{r_8 + 7} &\ge \frac{64}{r_1 + (r_2 + 1) + (r_3 + 2) + \dots + (r_8 + 7)} \\
&= \frac{64}{r_1 + r_2 + r_3 + \dots + r_8 + 28}.
\end{align*}เนื่องจากมีช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกหนึ่งช่องในแต่ละแถว $r_1,$ $r_2,$ $r_3,$ $\dots,$ $r_8$ เท่ากับ 1, 2, 3, $\dots,$ 8 ในลำดับใดลำดับหนึ่ง ดังนั้น
\[\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2 + 1} + \frac{1}{r_3 + 2} + \dots + \frac{1}{r_8 + 7} \ge \frac{64}{1 + 2 + 3 + \dots + 8 + 28} = \frac{64}{36 + 28} = 1.\]ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นเมื่อเราเลือกช่องสี่เหลี่ยม 8 ช่องที่ติดป้ายกำกับ $\frac{1}{8}$ ดังนั้นผลรวมที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{1}.$ | \boxed{1}. | [
"จำ",
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{x}{5} + 3$ และ $g(x) = 4-x$ ถ้า $f(g(a)) = 5$ จงหา $a$ | เรารู้ว่า
$$\begin{aligned} f(g(a)) &= f(4-a) \\
&= \frac{4-a}{5} + 3 = 5.
\end{aligned}$$คูณทั้งสองข้างด้วย 5 จะได้
$$ 4-a + 15 = 25.$$แก้สมการหา $a$,
$$ a = \boxed{-6}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
กำหนดให้ $x_1,$ $x_2,$ $\dots,$ $x_n$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ซึ่ง $x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1$ และ
\[x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \le \frac{1}{100}.\]จงหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}} \ge \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.\]ดังนั้น
\[\frac{1}{n} \le \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}} \le \sqrt{\frac{1}{100n}}.\]นั่นคือ,
\[\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{100n},\]และ $n \ge 100.$
สำหรับ $n = 100,$ เราสามารถเลือก $x_i = \frac{1}{100}$ สำหรับทุก $i$ ดังนั้นค่า $n$ ที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{100}.$ | \boxed{100}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกสองจำนวนซึ่ง $x + y = 35$ จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ที่ทำให้ $x^5 y^2$ มีค่ามากที่สุด | โดย AM-GM,
\begin{align*}
x + y &= \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \\
&\ge 7 \sqrt[7]{\left( \frac{x}{5} \right)^5 \left( \frac{y}{2} \right)^2} \\
&= 7 \sqrt[7]{\frac{x^5 y^2}{5^5 \cdot 2^2}}.
\end{align*}เนื่องจาก $x + y = 35$ เราได้
\[x^5 y^2 \le 5^7 \cdot 5^5 \cdot 2^2,\]และสมการเกิดขึ้นเมื่อ $x + y = 35$ และ $\frac{x}{5} = \frac{y}{2}.$ เราสามารถแก้สมการได้ $(x,y) = \boxed{(25,10)}.$ | (x,y) = \boxed{(25,10)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ยกเว้นสองพจน์แรก แต่ละพจน์ของลำดับ $1000, x, 1000 - x,\ldots$ ได้มาจากการลบพจน์ก่อนหน้าจากพจน์ก่อนหน้า พจน์สุดท้ายของลำดับคือพจน์ลบแรกที่พบ จงหาจำนวนเต็มบวก $x$ ที่สร้างลำดับที่มีความยาวสูงสุด | ให้พจน์ของลำดับเป็น $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots.$ แล้ว
\begin{align*}
a_1 &= 1000, \\
a_2 &= x, \\
a_3 &= 1000 - x, \\
a_4 &= 2x - 1000, \\
a_5 &= 2000 - 3x, \\
a_6 &= 5x - 3000, \\
a_7 &= 5000 - 8x, \\
a_8 &= 13x - 8000, \\
a_9 &= 13000 - 21x, \\
a_{10} &= 34x - 21000, \\
a_{11} &= 34000 - 55x.
\end{align*}ถ้าลำดับมี 12 พจน์ เราต้องมี $34000 - 55x > 0$ และ $34x - 21000 > 0,$ หรือ
\[\frac{21000}{34} < x < \frac{34000}{55}.\]จำนวนเต็มตัวเดียวในช่วงนี้คือ $\boxed{618}.$ | \boxed{618}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
\[
z + z^{-1} = \sqrt{3},
\]จงหาค่าของ
\[
z^{2010} + z^{-2010} \, ?
\] | เราเริ่มต้นด้วยการพยายามแสดง $z$ ในรูปที่สะดวกกว่า
เราได้รับว่า $ z + z^{-1} = \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = 2 \cos{\frac{\pi}{6}}$
ดังนั้นเราทราบว่า $z$ คือ $\text{cis}{\frac{\pi}{6}}$ หรือ $\text{cis}{-\frac{\pi}{6}}$
สมมติว่า $z = \text{cis}{\frac{\pi}{6}}$ แล้ว,
$$z^{2010} = \left(\text{cis}{\frac{\pi}{6}}\right)^{2010} = \text{cis}{\frac{2010\pi}{6}} = \text{cis}335\pi = \text{cis}\pi = -1.$$แล้ว $z^{-1} = -1^{-1} = -1$. ดังนั้น
$$z^{2010} + z^{-2010} = -1 + (-1) = \boxed{-2}.$$ในทำนองเดียวกัน ถ้า $z = \text{cis}{-\frac{\pi}{6}}$. แล้ว,
$$z^{2010} = \left(\text{cis}{-\frac{\pi}{6}}\right)^{2010} = \text{cis}{-\frac{2010\pi}{6}} = \text{cis}-335\pi = \text{cis}-\pi = -1.$$แล้ว $z^{-1} = -1^{-1} = -1$. ดังนั้น
$$z^{2010} + z^{-2010} = -1 + (-1) = \boxed{-2}.$$ | -2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $k$ ทั้งหมดที่ทำให้ผลต่างบวกระหว่างรากของสมการ
\[5x^2 + 4x + k = 0\]เท่ากับผลบวกของกำลังสองของรากเหล่านั้น ใส่ค่า $k$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการนี้ ดังนั้นเราต้องการ
\[|a - b| = a^2 + b^2.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้
\[(a - b)^2 = (a^2 + b^2)^2.\]โดยสูตรของ Vieta's $a + b = -\frac{4}{5}$ และ $ab = \frac{k}{5}.$ ยกกำลังสองสมการ $a + b = -\frac{4}{5},$ เราได้
\[a^2 + 2ab + b^2 = \frac{16}{25}.\]แล้ว
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a + b)^2 - 4ab = \frac{16}{25} - \frac{4k}{5} = \frac{16 - 20k}{25}.\]นอกจากนี้
\[a^2 + b^2 = \frac{16}{25} - 2ab = \frac{16}{25} - \frac{2k}{5} = \frac{16 - 10k}{25}.\]ดังนั้น
\[\frac{16 - 20k}{25} = \left( \frac{16 - 10k}{25} \right)^2.\]สมการนี้จะกลายเป็น $25k^2 + 45k - 36 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(5k - 3)(5k + 12) = 0.$ ดังนั้น ค่า $k$ ที่เป็นไปได้คือ $\boxed{\frac{3}{5}, -\frac{12}{5}}.$ | \boxed{\frac{3}{5}, -\frac{12}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด กำหนดให้ $f : S \to S$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(x) + f(y) = f(xyf(x + y))\]สำหรับทุก $x,$ $y \in S$ ที่ทำให้ $x + y \neq 0.$
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(4)$ และกำหนดให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(4)$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $s \in S$ กำหนด $y = s - x$ เราได้
\[f(x) + f(s - x) = f(x(s - x)f(s)). \quad (*)\]สมการนี้เป็นจริงสำหรับทุก $x \in S,$ $x \neq s.$
พิจารณาสมการ
\[s - x = x(s - x) f(s).\]คำตอบของ $x$ คือ $x = s$ และ $x = \frac{1}{f(s)}.$ เนื่องจาก $x \in S,$ $f(s)$ ถูกนิยามไว้ นอกจากนี้ $f(s) \neq 0$ ดังนั้น $\frac{1}{f(s)}$ ถูกนิยามไว้ ถ้า $f(s) \neq \frac{1}{s}$ เราสามารถกำหนด $x = \frac{1}{f(s)}$ ใน $(*),$ ซึ่งจะได้
\[f \left( \frac{1}{f(s)} \right) + f \left( s - \frac{1}{f(s)} \right) = f \left( s - \frac{1}{f(s)} \right).\]ดังนั้น $f \left( \frac{1}{f(s)} \right) = 0,$ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง
ดังนั้นความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $f(s) = \frac{1}{s}.$ กล่าวคือ
\[f(x) = \frac{1}{x}\]สำหรับทุก $x \in S.$
เราสามารถตรวจสอบได้ว่า $f(x) = \frac{1}{x}$ ทำงาน ดังนั้น $n = 1$ และ $s = \frac{1}{4},$ ดังนั้น $n \times s = \boxed{\frac{1}{4}}.$ | n \times s = \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\omega$ เป็นรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของ $z^3 = 1.$ จงหาจำนวนคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนเต็มที่ทำให้ $|a \omega + b| = 1.$ | เรามี $z^3 - 1 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0.$ เนื่องจาก $\omega$ ไม่ใช่จำนวนจริง $\omega$ สอดคล้องกับ
\[\omega^2 + \omega + 1 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง,
\[\omega = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}.\]ให้ $\omega = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}.$ แล้ว $|a \omega + b|^2 = 1.$ นอกจากนี้,
\begin{align*}
|a \omega + b|^2 &= \left| a \cdot \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} + b \right|^2 \\
&= \left| -\frac{1}{2} a + b + \frac{\sqrt{3}}{2} ai \right|^2 \\
&= \left( -\frac{1}{2} a + b \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 \\
&= \frac{1}{4} a^2 - ab + b^2 + \frac{3}{4} a^2 \\
&= a^2 - ab + b^2.
\end{align*}ดังนั้น เราต้องการหาจำนวนเต็ม $a$ และ $b$ เพื่อให้ $a^2 - ab + b^2 = 1.$ สังเกตว่าเราได้สมการนี้มาจากสมการ
\[\left( -\frac{1}{2} a + b \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 = 1.\]แล้ว
\[\left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 \le 1,\]ดังนั้น
\[\left| \frac{\sqrt{3}}{2} a \right| \le 1.\]แล้ว
\[|a| \le \frac{2}{\sqrt{3}} < 2,\]ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ คือ $-1,$ $0,$ และ $1.$
ถ้า $a = -1,$ สมการ $a^2 - ab + b^2 = 1$ จะกลายเป็น
\[b^2 + b = 0.\]คำตอบคือ $b = -1$ และ $b = 0.$
ถ้า $a = 0,$ สมการ $a^2 - ab + b^2 = 1$ จะกลายเป็น
\[b^2 = 1.\]คำตอบคือ $b = 1$ และ $b = -1.$
ถ้า $a = 1,$ สมการ $a^2 - ab + b^2 = 1$ จะกลายเป็น
\[1 - b + b^2 = 1.\]คำตอบคือ $b = 0.$
เราเลือกค่า $\omega = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}.$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $\omega$ อีกค่าหนึ่งคือ
\[\frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} = 1 - \omega,\]ดังนั้น จำนวนใดๆ ที่สามารถแทนได้ในรูป $a \omega + b$ ก็สามารถแทนได้ในรูปนี้ด้วยค่าของ $\omega$ อีกค่าหนึ่ง (กล่าวคือ ไม่สำคัญว่าเราจะใช้ค่าของ $\omega$ ค่าใด) | 6 | [
"Apply",
"Analyze"
] |
จงหาจำนวนจำนวนเต็มบวก $1000$ ตัวแรกที่สามารถเขียนอยู่ในรูป
\[\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 4x \rfloor + \lfloor 6x \rfloor + \lfloor 8x \rfloor\]โดยที่ $x$ เป็นจำนวนจริง และ $\lfloor z \rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $z$ หรือเท่ากับ $z$ | ให้ $f(x)$ แทนนิพจน์ที่กำหนดไว้ เราจะตรวจสอบค่าที่เป็นไปได้ของ $f(x)$ สำหรับ $x$ ในช่วง $(0, 1].$ สังเกตว่า $f(0) = 0,$ ในขณะที่ $f(1) = 2 + 4 + 6 + 8 = 20.$
เมื่อเราเพิ่มค่า $x$ จาก $0$ ถึง $1$ แต่ละฟังก์ชัน floor จะ "กระโดดขึ้น" $1$ หน่วยที่จุดบางจุด นอกจากนี้ หากฟังก์ชัน floor หลายตัว "กระโดดขึ้น" ที่ค่า $x$ เดียวกัน จำนวนเต็มบางตัวจะถูกข้าม
สำหรับแต่ละ $k,$ ฟังก์ชัน $\lfloor kx \rfloor$ "กระโดดขึ้น" ที่ $x = \tfrac{1}{k}, \tfrac{2}{k}, \ldots, \tfrac{k-1}{k}, \tfrac{k}{k}.$ ดังนั้น เราจะเห็นว่าที่ $x = \tfrac{1}{2}$ และ $x = 1,$ ฟังก์ชัน floor ทั้งสี่ตัว "กระโดดขึ้น" ดังนั้นจำนวนเต็มสามตัวถูกข้าม และสำหรับ $x = \tfrac{1}{4}$ และ $x =\tfrac{3}{4},$ ฟังก์ชัน $\lfloor 4x \rfloor$ และ $\lfloor 8x \rfloor$ ทั้งสอง "กระโดดขึ้น" ข้ามจำนวนเต็มหนึ่งตัว
ดังนั้น สำหรับ $0 < x \le 1,$ $f(x)$ มีค่าจำนวนเต็มบวก $20 - 3 - 3 - 1 - 1 = 12$ ค่า สังเกตว่า \[\begin{aligned} f(x+1) &= \lfloor 2(x+1) \rfloor + \lfloor 4(x+1) \rfloor + \lfloor 6(x+1) \rfloor + \lfloor 8(x+1) \rfloor \\ &= \left(\lfloor 2x \rfloor+2\right) + \left(\lfloor 4x \rfloor +4\right)+ \left(\lfloor 6x\rfloor+6 \right)+ \left(\lfloor 8x \rfloor +8\right) \\ &= f(x) + 20. \end{aligned}\]ดังนั้น ในช่วง $1 < x \le 2,$ $f(x)$ มีค่าจำนวนเต็ม $12$ ค่าระหว่าง $21$ ถึง $40$ ตามลำดับ โดยทั่วไป $f(x)$ มีค่า $12$ ค่า จากจำนวนเต็มบวก $20$ ค่า จากรายการ $20a, 20a+1, \ldots, 2a+19.$
เนื่องจาก $20$ เป็นตัวหารของ $1000,$ จำนวนเต็มบวก $\tfrac{12}{20} = \tfrac{3}{5}$ ของ $1000$ ตัวแรก เป็นค่าที่เป็นไปได้สำหรับ $f(x).$ ดังนั้นคำตอบคือ $1000 \cdot \tfrac{3}{5} = \boxed{600}.$ | $1000 \cdot \tfrac{3}{5} = \boxed{600}.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลรวม $-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 +\dots+ 10,\!000$ | แต่ละคู่ของพจน์ที่อยู่ติดกันมีผลรวมเท่ากับ 1 และมี $10,\!000$ พจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $10,\!000/2=\boxed{5000}$ | 10,\!000/2=\boxed{5000} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $r$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3 + \frac{2}{5} x - 1 = 0$ ที่เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าของ
\[r^2 + 2r^5 + 3r^8 + 4r^{11} + \dotsb.\] | กำหนดให้ $S = r^2 + 2r^5 + 3r^8 + 4r^{11} + \dotsb.$ แล้ว
\[r^3 S = r^5 + 2r^8 + 3r^{11} + 4r^{13} + \dotsb.\]ลบสมการนี้จาก $S = r^2 + 2r^5 + 3r^8 + 4r^{11} + \dotsb,$ เราจะได้
\[S (1 - r^3) = r^2 + r^5 + r^8 + r^{11} + \dotsb = \frac{r^2}{1 - r^3}.\]ดังนั้น,
\[S = \frac{r^2}{(1 - r^3)^2}.\]เนื่องจาก $r^3 + \frac{2}{5} r - 1 = 0,$ $1 - r^3 = \frac{2}{5} r.$ ดังนั้น,
\[S = \frac{r^2}{\frac{4}{25} r^2} = \boxed{\frac{25}{4}}.\] | 25/4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามดีกรีสามที่มีสัมประสิทธิ์ชั้นนำเท่ากับ 1 และกำหนดให้ $r$ เป็นจำนวนจริง สองในจำนวนรากของ $f(x)$ คือ $r + 1$ และ $r + 7$ สองในจำนวนรากของ $g(x)$ คือ $r + 3$ และ $r + 9$ และ
\[f(x) - g(x) = r\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จงหาค่า $r$ | โดยทฤษฎีบทปัจจัย
\[f(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a)\]และ
\[g(x) = (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ บางจำนวน
แล้ว
\[f(x) - g(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a) - (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b) = r\]สำหรับ $x$ ทั้งหมด
แทน $x = r + 3$ เราได้
\[(2)(-4)(r + 3 - a) = r.\]แทน $x = r + 9$ เราได้
\[(8)(2)(r + 9 - a) = r.\]ดังนั้น $-8r - 24 + 8a = r$ และ $16r + 144 - 16a = r$ ดังนั้น
\begin{align*}
8a - 9r &= 24, \\
-16a + 15r &= -144.
\end{align*}แก้สมการจะได้ $r = \boxed{32}.$ | r = \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริเวณระหว่างกราฟของ $y = f (x)$ และแกน $x$ ซึ่งแรเงาในรูปนี้มีพื้นที่ 10 ตารางหน่วย พื้นที่ระหว่างกราฟของ $y = 3f (x -2)$ และแกน $x$ จะมีค่าเท่าใด
[asy]
defaultpen(linewidth(0.75));
fill((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle,gray(.7));
draw((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle);
draw((-15,0)--(80,0),Arrow);
draw((0,-10)--(0,50),Arrow);
draw((10,0)--(8.5,-7),Arrow);
draw((70,0)--(72,-7),Arrow);
label("$y = f(x)$",(5,65),S);
label("$x$",(80,-8));
[/asy] | กราฟของ $y=f(x-2)$ เป็นเพียงกราฟของ $y=f(x)$ ที่เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่า หาก $(a,b)$ เป็นจุดบนกราฟของ $y=f(x)$ แล้ว $(a+2,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ จากนั้นกราฟของ $y=3f(x-2)$ เป็นกราฟของ $y=f(x-2)$ ที่ปรับขนาดโดยปัจจัย 3 ในทิศทางแนวตั้ง เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่า หาก $(a,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ แล้ว $(a,3b)$ อยู่บนกราฟของ $y=3f(x-2)$ การยืดบริเวณในระนาบโดยปัจจัย 3 ในมิติหนึ่งจะเพิ่มพื้นที่ของมันขึ้นเป็น 3 เท่า ดังนั้น พื้นที่ระหว่างกราฟของ $y=3f(x-2)$ และแกน $x$ คือ $\boxed{30}$ | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ \[\frac{x^2}{36} + \frac{(y+5)^2}{16} = 0\]อธิบายวงรีเสื่อม เพราะว่าข้างขวามีค่าเป็น $0$ แทนที่จะเป็น $1$ (เหมือนกับรูปแบบมาตรฐานของวงรี) จากจุดทั้งหมดบนกราฟของสมการนี้ จงหาค่า $y$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ | สังเกตว่าสมการเป็นผลรวมของกำลังสองเท่ากับ $0$ ซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองกำลังสองเป็นศูนย์ นั่นคือเราต้องมี \[\frac{x^2}{36} = 0 \quad \text{ and } \quad \frac{(y+5)^2}{16} = 0,\]ซึ่งหมายความว่า $x=0$ และ $y=-5.$ เนื่องจาก $(x,y)=(0,-5)$ สอดคล้องกับสมการที่กำหนด จึงเป็นจุดเดียวบนกราฟของสมการนี้ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{-5}.$ | \boxed{-5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สามในสี่จุดปลายของแกนวงรีคือ \[(-2, 4), \; (3, -2), \; (8, 4).\] จงหาความยาวระหว่างโฟกัสของวงรี | แกนสองแกนของวงรีตั้งฉากซึ่งกันและกัน ดังนั้น จุดปลายของแกนแต่ละแกนต้องห่างจากจุดปลายของแกนอีกแกนเท่ากัน จุดเดียวที่จุดที่กำหนดทั้งสามจุดซึ่งห่างจากจุดอื่นๆ เท่ากันคือ $(3, -2)$ ดังนั้น จุดที่สี่ที่หายไปต้องเป็นจุดปลายอีกจุดของแกนเดียวกัน และจุด $(-2, 4)$ และ $(8, 4)$ ต้องเป็นจุดปลายของแกนเดียวกัน
ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงรีคือ จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงระหว่าง $(-2,4)$ และ $(8,4)$ ซึ่งเป็นจุด $(3,4)$ นั่นหมายความว่าแกนกึ่งแนวนอนมีขนาด $8-3 = 5$ และแกนกึ่งแนวตั้งมีขนาด $4-(-2) = 6$ ดังนั้น ความยาวระหว่างโฟกัสคือ $2 \sqrt{6^2 - 5^2} =\boxed{2 \sqrt{11}}.$ | 2 \sqrt{6^2 - 5^2} =\boxed{2 \sqrt{11}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริง $x$ ที่เป็นค่าบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{2}\left( 3x^2-1\right) = \left( x^2-50x-10\right)\left( x^2+25x+5\right)$ | กำหนดให้ $a = x^2-50x-10$ และ $b = x^2+25x+5$ ดังนั้นสมการที่กำหนดจะกลายเป็น
\[\frac{a+2b-1}{2} = ab,\] ดังนั้น $0=2ab-a-2b+1=(a-1)(2b-1)$ ดังนั้น $a-1=x^2-50x-11=0$ หรือ $2b-1=2x^2+50x+9=0$ สมการแรกมีรากที่เป็นบวก $x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}}$ ในขณะที่สมการที่สองไม่มีราก | x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[2002 + \frac{1}{2} \left( 2001 + \frac{1}{2} \left( 2000 + \dots + \frac{1}{2} \left( 3 + \frac{1}{2} \cdot 2 \right) \right) \dotsb \right).\] | กำหนดให้
\begin{align*}
S &= 2002 + \frac{1}{2} \left( 2001 + \frac{1}{2} \left( 2000 + \dots + \frac{1}{2} \left( 3 + \frac{1}{2} \cdot 2 \right) \right) \dotsb \right) \\
&= 2002 + \frac{2001}{2} + \frac{2000}{2^2} + \dots + \frac{3}{2^{1999}} + \frac{2}{2^{2000}}.
\end{align*}แล้ว
\[2S = 2 \cdot 2002 + 2001 + \frac{2000}{2} + \dots + \frac{3}{2^{1998}} + \frac{2}{2^{1999}}.\]ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้
\begin{align*}
S &= 4004 - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^2} - \dots - \frac{1}{2^{1999}} - \frac{2}{2^{2000}} \\
&= 4004 - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^2} - \dots - \frac{1}{2^{1999}} - \frac{1}{2^{1999}} \\
&= 4004 - \frac{1}{2^{1999}} (2^{1999} + 2^{1998} + \dots + 2 + 1 + 1) \\
&= 4004 - \frac{1}{2^{1999}} \cdot 2^{2000} \\
&= 4004 - 2 = \boxed{4002}.
\end{align*} | 4002 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมี $1 - i$ เป็นราก | ถ้าพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง แล้วรากเชิงซ้อนใดๆ จะต้องมีรากสังยุคเชิงซ้อนเป็นรากด้วย ดังนั้นรากอีกตัวคือ $1 + i.$ ดังนั้นพหุนามคือ
\[(x - 1 - i)(x - 1 + i) = (x - 1)^2 - i^2 = \boxed{x^2 - 2x + 2}.\] | 1 + i. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $2+\sqrt{3}$ เป็นรากของสมการ \[x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0\]และ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ จงคำนวณ $b$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุค $2-\sqrt{3}$ ต้องเป็นรากของพหุนามเช่นกัน โดยสูตรของ Vieta ผลคูณของรากของพหุนามนี้คือ $-10$ และผลคูณของรากทั้งสองนี้คือ $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3) = 1$ ดังนั้นรากที่เหลือต้องเป็น $\frac{-10}{1} = -10$ จากนั้นโดยสูตรของ Vieta อีกครั้ง เราได้ \[b = (-10)(2-\sqrt3) + (-10)(2+\sqrt3) + (2+\sqrt3)(2-\sqrt3) = \boxed{-39}.\] | \frac{-10}{1} = -10. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor.
\](หมายเหตุ: $\lfloor x \rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$.) | เรามี \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left(2007 \cdot 2006 + \frac{1}{2005}\right)\cdot 2005!}{(2006+1)\cdot 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{2007\cdot 2006 + \frac{1}{2005}}{2007}\right\rfloor = \left\lfloor 2006 + \frac{1}{2005 \cdot 2007}\right\rfloor = \boxed{2006}.
\] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\sqrt[3]{15x - 1} + \sqrt[3]{13x + 1} = 4 \sqrt[3]{x}.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยจุลภาค | จากสมการที่กำหนดให้
\[\sqrt[3]{15x - 1} + \sqrt[3]{13x + 1} - 4 \sqrt[3]{x} = 0.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่ได้เป็น
\[\sqrt[3]{15x - 1} + \sqrt[3]{13x + 1} + \sqrt[3]{-64x} = 0.\]กำหนดให้ $a = \sqrt[3]{15x - 1},$ $b = \sqrt[3]{13x + 1},$ และ $c = \sqrt[3]{-64x},$ ดังนั้น $a + b + c = 0.$ จากการแยกตัวประกอบ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ab - bc),\]เราได้ว่า $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.$ ดังนั้น,
\[-36x = 3 \sqrt[3]{(15x - 1)(13x + 1)(-64x)}.\]เราสามารถทำให้สมการง่ายขึ้นได้เป็น
\[3x = \sqrt[3]{(15x - 1)(13x + 1)x}.\]ยกกำลังสามทั้งสองข้าง เราจะได้ $27x^3 = 195x^3 + 2x^2 - x,$ ดังนั้น $168x^3 + 2x^2 - x = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $x(14x - 1)(12x + 1) = 0,$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{0, \frac{1}{14}, -\frac{1}{12}}.$ | \boxed{0, \frac{1}{14}, -\frac{1}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ มีรากเป็นจำนวนทั้งหมดดังนี้ \[1+\sqrt{2}, \; 2+\sqrt{3}, \;3+\sqrt{4},\; \dots, \;1000+\sqrt{1001}\] จงหาดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของพหุนามนี้ | เราทราบว่าถ้าพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ มีจำนวนอตรรกยะ $a + \sqrt{b}$ เป็นราก แล้วคอนจูเกตของรากที่เป็นจำนวนอตรรกยะ $a - \sqrt{b},$ จะต้องเป็นรากของพหุนามด้วย
สำหรับทุก $n = 1, 2, \ldots, 1000,$ จำนวน $n + \sqrt{n+1}$ เป็นรากของพหุนามที่กำหนด ดังนั้นเราคิดว่าแต่ละรากต้องมีรากคอนจูเกตที่สอดคล้องกัน ซึ่งให้ $2 \cdot 1000 = 2000$ รากทั้งหมด อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าจำนวน $n + \sqrt{n+1}$ ทั้งหมดจะเป็นจำนวนอตรรกยะ: เมื่อ $n+1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จำนวนนั้นจะเป็นจำนวนตรรกยะ (ในความเป็นจริง เป็นจำนวนเต็ม) ดังนั้นจึงไม่มีรากคอนจูเกตที่เป็นจำนวนอตรรกยะที่เกี่ยวข้อง
มี $30$ ค่าของ $n$ ที่ทำให้ $n+1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เนื่องจาก $n+1$ สามารถเป็นกำลังสองสมบูรณ์ใดๆ $2^2, 3^2, \ldots, 31^2.$ ดังนั้นเราจึงปรับการนับครั้งแรกของเราโดย $30,$ ดังนั้นพหุนามต้องมีอย่างน้อย $2000 - 30 = 1970$ ราก เนื่องจากจำนวนรากของพหุนามเท่ากับดีกรีของมัน ดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของพหุนามที่กำหนดคือ $\boxed{1970}.$ | \boxed{1970}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนจริง $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[a_n = a_{n - 1} a_{n + 1}\]สำหรับทุก $n \ge 2.$ ถ้า $a_1 = 1 + \sqrt{7}$ และ $a_{1776} = 13 + \sqrt{7}$ จงหาค่าของ $a_{2009}.$ | จากการกำหนดความสัมพันธ์ซ้ำ
\[a_{n + 1} = \frac{a_n}{a_{n - 1}}.\]กำหนด $a = a_1$ และ $b = a_2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
a_3 &= \frac{a_2}{a_1} = \frac{b}{a}, \\
a_4 &= \frac{a_3}{a_2} = \frac{b/a}{b} = \frac{1}{a}, \\
a_5 &= \frac{a_4}{a_3} = \frac{1/a}{b/a} = \frac{1}{b}, \\
a_6 &= \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/b}{1/a} = \frac{a}{b}, \\
a_7 &= \frac{a_6}{a_5} = \frac{a/b}{1/b} = a, \\
a_8 &= \frac{a_7}{a_6} = \frac{a}{a/b} = b.
\end{align*}เนื่องจาก $a_7 = a = a_1$ และ $a_8 = b = a_2,$ และแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้า 2 พจน์ ลำดับนี้เป็นคาบตั้งแต่นี้เป็นต้นไป นอกจากนี้ ความยาวของคาบคือ 6. ดังนั้น $a_6 = a_{1776} = 13 + \sqrt{7}$ และ $a_{2009} = a_5.$ นอกจากนี้ $a_7 = a_1,$ และ
\[a_7 = \frac{a_6}{a_5}.\]ดังนั้น
\[a_5 = \frac{a_6}{a_7} = \frac{13 + \sqrt{7}}{1 + \sqrt{7}} = \frac{(13 + \sqrt{7})(\sqrt{7} - 1)}{(1 + \sqrt{7})(\sqrt{7} - 1)} = \frac{-6 + 12 \sqrt{7}}{6} = \boxed{-1 + 2 \sqrt{7}}.\] | a_7 = a_1, | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนคำตอบจริงของสมการ
\[\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x - 3} + \dots + \frac{100}{x - 100} = x.\] | ให้
\[f(x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x - 3} + \dots + \frac{100}{x - 100}.\]พิจารณา กราฟของ $y = f(x).$
[asy]
unitsize(1 cm);
real func(real x) {
return((1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + 4/(x - 4) + 5/(x - 5) + 6/(x - 6))/15);
}
draw((-2,0)--(8,0));
draw((0,-2)--(0,2));
draw((1,-2)--(1,2),dashed);
draw((2,-2)--(2,2),dashed);
draw((3,-2)--(3,2),dashed);
draw((5,-2)--(5,2),dashed);
draw((6,-2)--(6,2),dashed);
draw((-2,-2/4)--(8,8/4));
draw(graph(func,-2,0.99),red);
draw(graph(func,1.01,1.99),red);
draw(graph(func,2.01,2.99),red);
draw(graph(func,5.01,5.99),red);
draw(graph(func,6.01,8),red);
limits((-2,-2),(8,2),Crop);
label("$1$", (1,0), SW);
label("$2$", (2,0), SW);
label("$3$", (3,0), SE);
label("$99$", (5,0), SW);
label("$100$", (6,0), SE);
label("$y = x$", (8,2), E);
label("$y = f(x)$", (8,func(8)), E, red);
[/asy]
กราฟของ $y = f(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = 1,$ $x = 2,$ $\dots,$ $x = 100.$ โดยเฉพาะ $f(x)$ เข้าใกล้ $-\infty$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $n$ จากทางซ้าย และ $f(x)$ เข้าใกล้ $\infty$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $n$ จากทางขวา สำหรับ $1 \le n \le 100.$ ยิ่งไปกว่านั้น $y = 0$ เป็นเส้นกำลุ่งแนวตั้ง โดยเฉพาะ $f(x)$ เข้าใกล้ 0 เมื่อ $x$ เข้าใกล้ทั้ง $\infty$ และ $-\infty.$
ดังนั้น กราฟของ $y = f(x)$ ตัดกับกราฟของ $y = x$ เพียงครั้งเดียว บนช่วง $(-\infty,1),$ $(1,2),$ $(2,3),$ $\dots,$ $(99,100),$ $(100,\infty).$ ดังนั้น มีคำตอบจริงทั้งหมด $\boxed{101}$ คำตอบ | \boxed{101} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณผลรวมของจำนวน $10 - \sqrt{2018}$ และคอนจูเกตของรากที่สองของมัน | คอนจูเกตของรากที่สองของจำนวนนี้คือ $10 + \sqrt{2018},$ ดังนั้นเมื่อเราบวกมันเข้าด้วยกัน ส่วนของรากจะหายไป เหลือ $10 + 10 = \boxed{20}.$ | 10 + 10 = \boxed{20}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณค่าที่แน่นอนของนิพจน์
\[|\pi - |\pi - 7||.\]เขียนคำตอบของคุณโดยใช้เฉพาะจำนวนเต็มและ $\pi,$ โดยไม่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เนื่องจาก $\pi < 7,$
\[|\pi - 7| = 7 - \pi.\]ดังนั้น,
\[|\pi - |\pi - 7|| = |\pi - (7 - \pi)| = |2 \pi - 7|.\]เราทราบว่า $\pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2},$ ดังนั้น
\[|2 \pi - 7| = \boxed{7 - 2 \pi}.\] | \pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดย $f(z) = i\overline{z}$, โดยที่ $i^2 = -1$ และ $\overline{z}$ คือสังยุคเชิงซ้อนของ $z$ มีค่า $z$ กี่ค่าที่สอดคล้องกับทั้ง $|z| = 5$ และ $f(z) = z$? | ให้ $z = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง แล้ว $|z| = 5$ จะกลายเป็น $x^2 + y^2 = 25,$ และ $f(z) = z$ จะกลายเป็น
\[i(x - yi) = x + yi.\]ดังนั้น $ix + y = x + yi,$ ดังนั้น $x = y.$
ดังนั้น $2x^2 = 25,$ ซึ่งมีคำตอบสองคำตอบ ดังนั้นมีค่า $z$ ที่สอดคล้อง $\boxed{2}$ ค่า | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ บนจำนวนเต็มบวกดังนี้:
\[f(n) = \left\{
\begin{array}{cl}
n + 10 & \text{ถ้า $n < 10$}, \\
f(n - 5) & \text{ถ้า $n \ge 10$}.
\end{array}
\right.\]จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน | เราเห็นว่า $f(n) = n + 10$ สำหรับ $n = 1,$ 2, 3, $\dots,$ 9. จากนั้น
\begin{align*}
f(10) &= f(5) = 15, \\
f(11) &= f(6) = 16, \\
f(12) &= f(7) = 17, \\
f(13) &= f(8) = 18, \\
f(14) &= f(9) = 19, \\
f(15) &= f(10) = 15,
\end{align*}และอื่นๆ. ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจะกลายเป็นคาบ ด้วยคาบ 5. ดังนั้น ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ $\boxed{19}.$ | \boxed{19}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $\omega$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $\omega^7 = 1$ และ $\omega \ne 1.$ จงคำนวณค่าของ
\[\omega^{16} + \omega^{18} + \omega^{20} + \dots + \omega^{54}.\] | ก่อนอื่น เราสามารถแยกตัวประกอบ $\omega^{16}$ ออกมาได้:
\[\omega^{16} + \omega^{18} + \omega^{20} + \dots + \omega^{54} = \omega^{16} (1 + \omega^2 + \omega^4 + \dots + \omega^{38}).\]โดยสูตรอนุกรมเรขาคณิต,
\[\omega^{16} (1 + \omega^2 + \omega^4 + \dots + \omega^{38}) = \omega^{16} \cdot \frac{1 - \omega^{40}}{1 - \omega^2}.\](โปรดทราบว่านิพจน์นี้ถูกต้อง เนื่องจาก $\omega \neq 1$ และ $\omega \neq -1.$)
เนื่องจาก $\omega^7 = 1,$
\[\omega^{16} \cdot \frac{1 - \omega^{40}}{1 - \omega^2} = \omega^2 \cdot \frac{1 - \omega^5}{1 - \omega^2} = \frac{\omega^2 - \omega^7}{1 - \omega^2} = \frac{\omega^2 - 1}{1 - \omega^2} = \boxed{-1}.\] | -1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนจริงบวก และกำหนดให้ $f : S \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(x) f(y) = f(xy) + 2005 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 2004 \right)\]สำหรับทุก $x,$ $y > 0.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(2)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(2)$ จงหา $n \times s.$ | กำหนดให้ $y = 1,$ เราได้
\[f(x) f(1) = f(x) + \frac{2005}{x} + 2005^2.\]ค่า $f(1)$ ไม่สามารถเป็น 1 และเราสามารถแก้สมการหา $f(x)$ ได้เป็น
\[f(x) = \frac{2005/x + 2005^2}{f(1) - 1}.\]โดยเฉพาะ
\[f(1) = \frac{2005 + 2005^2}{f(1) - 1}.\]ดังนั้น $f(1)^2 - f(1) - 2005^2 - 2005 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(f(1) - 2006)(f(1) + 2005) = 0.$ ดังนั้น $f(1) = 2006$ หรือ $f(1) = -2005.$
ถ้า $f(1) = 2006,$ แล้ว
\[f(x) = \frac{2005/x + 2005^2}{2005} = \frac{1}{x} + 2005.\]เราสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันนี้ทำงาน
ถ้า $f(1) = -2005,$ แล้ว
\[f(x) = \frac{2005/x + 2005^2}{-2006}.\]เราสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันนี้ไม่ทำงาน
ดังนั้น
\[f(x) = \frac{1}{x} + 2005,\]ดังนั้น $n = 1$ และ $s = \frac{1}{2} + 2005 = \frac{4011}{2},$ ดังนั้น $n \times s = \boxed{\frac{4011}{2}}.$ | n \times s = \boxed{\frac{4011}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มบวก $a,$ $b,$ และ $c$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[3 \sqrt{\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c}.\]จงหา $a + b + c.$ | ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราจะได้
\[9 \sqrt[3]{5} - 9 \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{c^2} + 2 \sqrt[3]{ab} - 2 \sqrt[3]{ac} - 2 \sqrt[3]{bc}.\]เพื่อให้ด้านขวาคล้ายกับด้านซ้าย บางพจน์น่าจะต้องตัดกัน
สมมติว่า $\sqrt[3]{a^2} = 2 \sqrt[3]{bc}.$ ดังนั้น $a^2 = 8bc,$ ดังนั้น $c = \frac{a^2}{8b}.$ แทนค่าด้านขวาจะกลายเป็น
\begin{align*}
\sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\frac{a^4}{64b^2}} + 2 \sqrt[3]{ab} - 2 \sqrt[3]{a \cdot \frac{a^2}{8b}} &= \sqrt[3]{b^2} + \frac{a}{4b} \sqrt[3]{ab} + 2 \sqrt[3]{ab} - \frac{a}{b} \sqrt[3]{b^2} \\
&= \left( 1 - \frac{a}{b} \right) \sqrt[3]{b^2} + \left( \frac{a}{4b} + 2 \right) \sqrt[3]{ab}.
\end{align*}ณ จุดนี้ เราสามารถพยายามเป็นระบบได้ แต่จะง่ายกว่าที่จะทดสอบค่าเล็กๆ ตัวอย่างเช่น เราสามารถลองใช้ $b = 2$ เพื่อจับเทอม $\sqrt[3]{4}$ ได้ สิ่งนี้จะให้เรา
\[\left( 1 - \frac{a}{2} \right) \sqrt[3]{4} + \left( \frac{a}{8} + 2 \right) \sqrt[3]{2a}.\]จากนั้นใช้ $a = 20$ จะให้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ:
\[\left( 1 - \frac{20}{2} \right) \sqrt[3]{4} + \left( \frac{20}{8} + 2 \right) \sqrt[3]{40} = 9 \sqrt[3]{5} - 9 \sqrt[3]{4}.\]จากนั้น $c = \frac{a^2}{8b} = 25.$ ดังนั้น $a + b + c = 20 + 2 + 25 = \boxed{47}.$ | a + b + c = 20 + 2 + 25 = \boxed{47}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^3 - 3x + 5$ หารด้วย $x + 2.$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ เราสามารถหาเศษเหลือได้โดยการแทน $x = -2.$ จะได้เศษเหลือเท่ากับ $(-2)^3 - 3(-2) + 5 = \boxed{3}.$ | (-2)^3 - 3(-2) + 5 = \boxed{3}. | [
"นำไปใช้"
] |
กราฟของสมการ \[\sqrt{(x-3)^2 + (y+4)^2} + \sqrt{(x+5)^2 + (y-8)^2} = 20.\]เป็นวงรี จงหาความยาวระหว่างจุดโฟกัสของวงรี | กำหนดให้ $F_1 = (3, -4)$ และ $F_2 = (-5, 8)$ แล้ว สำหรับจุด $P = (x, y)$ ใดๆ เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น \[PF_1 + PF_2 = 20\]โดยสูตรระยะทาง ดังนั้น วงรีจะมีจุดโฟกัสที่ $F_1$ และ $F_2$ ดังนั้น คำตอบคือ \[F_1F_2 = \sqrt{(3+5)^2 + (-4-8)^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \boxed{4\sqrt{13}}.\] | F_2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของรากที่ 2007 ของ $(x-1)^{2007}+2(x-2)^{2006}+3(x-3)^{2005}+\cdots+2006(x-2006)^2+2007(x-2007)$ | เนื่องจากสูตรของ Vieta's ถ้าเราทราบสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ และ $x^{2006}$ เราสามารถหาผลรวมของรากทั้งหมดได้ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ ง่ายต่อการหา -- มันคือ 1. โดยใช้ทฤษฎีบททวินามใน $(x-1)^{2007}$ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2006}$ คือ $-\tbinom{2007}{2006} + 2 = -2005$. ดังนั้นโดยสูตรของ Vieta's ผลรวมของรากทั้งหมด 2007 ราก คือ $\tfrac{-(-2005)}{1} = \boxed{2005}$. | \tfrac{-(-2005)}{1} = \boxed{2005} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี้:
$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
$a^2 > b^2$
$a < b$
$a < 0$
$b < 0$
ข้อความสูงสุดที่เป็นจริงพร้อมกันสำหรับค่า $a$ และ $b$ ใดๆ มีจำนวนเท่าใด? | สมมติว่า $a < 0,$ $b < 0,$ และ $a < b.$ แล้ว
\[\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} > 0,\]ดังนั้น $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}.$ ดังนั้นไม่สามารถเป็นจริงได้พร้อมกันทั้งห้าข้อ
ถ้าเราให้ $a = -2$ และ $b = -1,$ ข้อความทั้งหมดจะเป็นจริงยกเว้นข้อความแรก ดังนั้นจำนวนสูงสุดของข้อความที่เป็นจริงคือ $\boxed{4}.$ | \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{1}{2^x - 1} + \frac{1}{2}$ เป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่? | เราได้ว่า
\begin{align*}
f(-x) &= \frac{1}{2^{-x} - 1} + \frac{1}{2} \\
&= \frac{2^x}{1 - 2^x} + \frac{1}{2} \\
&= \frac{1 - (1 - 2^x)}{1 - 2^x} + \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{1 - 2^x} - 1 + \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{1 - 2^x} - \frac{1}{2} \\
&= -\frac{1}{2^x - 1} - \frac{1}{2} \\
&= -f(x),
\end{align*}ดังนั้น $f(x)$ เป็นฟังก์ชัน $\boxed{\text{คี่}}$ | \boxed{\text{คี่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ต่างกัน ซึ่งทำให้
\[\frac{a^3 + 6}{a} = \frac{b^3 + 6}{b} = \frac{c^3 + 6}{c}.\]จงหาค่าของ $a^3 + b^3 + c^3.$ | กำหนดให้
\[k = \frac{a^3 + 6}{a} = \frac{b^3 + 6}{b} = \frac{c^3 + 6}{c}.\]ดังนั้น $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ
\[k = \frac{x^3 + 6}{x},\]หรือ $x^3 - kx + 6 = 0.$ โดยใช้สูตรของ Vieta's, $a + b + c = 0.$
นอกจากนี้,
\begin{align*}
a^3 - ka + 6 &= 0, \\
b^3 - kb + 6 &= 0, \\
c^3 - kc + 6 &= 0.
\end{align*}บวกสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ $a^3 + b^3 + c^3 - k(a + b + c) + 18 = 0,$ ดังนั้น $a^3 + b^3 + c^3 = k(a + b + c) - 18 = \boxed{-18}.$ | a^3 + b^3 + c^3 = k(a + b + c) - 18 = \boxed{-18}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a_0=-2,b_0=1$, และสำหรับ $n\geq 0$, กำหนด
\begin{align*}a_{n+1}&=a_n+b_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2},\\b_{n+1}&=a_n+b_n-\sqrt{a_n^2+b_n^2}.\end{align*}จงหา $\frac{1}{a_{2012}} + \frac{1}{b_{2012}}.$ | เราได้ว่า
\begin{align*}
\frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{b_{n + 1}} &= \frac{1}{a_n + b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}} + \frac{1}{a_n + b_n - \sqrt{a_n^2 + b_n^2}} \\
&= \frac{a_n + b_n - \sqrt{a_n^2 + b_n^2} + a_n + b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{(a_n + b_n)^2 - (a_n^2 + b_n^2)} \\
&= \frac{2a_n + 2b_n}{2a_n b_n} \\
&= \frac{1}{a_n} + \frac{1}{b_n}.
\end{align*}ดังนั้น $\frac{1}{a_n} + \frac{1}{b_n}$ เป็นค่าคงที่ ซึ่งหมายความว่า
\[\frac{1}{a_{2012}} + \frac{1}{b_{2012}} = \frac{1}{a_0} + \frac{1}{b_0} = \boxed{\frac{1}{2}}.\] | \frac{1}{a_n} + \frac{1}{b_n} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
\[|z - 12| + |z - 5i| = 13.\]จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $|z|.$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม,
\[|z - 12| + |z - 5i| = |z - 12| + |5i - z| \ge |(z - 12) + (5i - z)| = |-12 + 5i| = 13.\]แต่เราทราบว่า $|z - 12| + |z - 5i| = 13.$ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อม 12 และ $5i$ ในระนาบเชิงซ้อน.
[asy]
unitsize(0.4 cm);
pair Z = interp((0,5),(12,0),0.6);
pair P = ((0,0) + reflect((12,0),(0,5))*(0,0))/2;
draw((12,0)--(0,5),red);
draw((-1,0)--(13,0));
draw((0,-1)--(0,6));
draw((0,0)--Z);
draw((0,0)--P);
draw(rightanglemark((0,0),P,(12,0),20));
dot("$12$", (12,0), S);
dot("$5i$", (0,5), W);
dot("$z$", Z, NE);
label("$h$", P/2, SE);
[/asy]
เราต้องการลดค่า $|z|$ ให้เหลือน้อยที่สุด เราเห็นว่า $|z|$ จะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อ $z$ ตรงกับการฉายภาพของจุดกำเนิดบนส่วนของเส้นตรง.
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด 0, 12 และ $5i$ คือ
\[\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30.\]พื้นที่นี้ยังเท่ากับ
\[\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h = \frac{13h}{2},\]ดังนั้น $h = \boxed{\frac{60}{13}}.$ | h = \boxed{\frac{60}{13}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางจำนวน พหุนาม $x^3 - 2011x + m$ มีรากจำนวนเต็มสามราก คือ $a$, $b$, และ $c$ จงหา $|a| + |b| + |c|$ | จากสูตรของ Vieta's \[\left\{ \begin{aligned} a + b + c &= 0 \\ ab+bc+ac&=-2011. \end{aligned} \right.\]เนื่องจาก $a+b=-c,$ สมการที่สองจะกลายเป็น $ab+(-c)c = -2011$, หรือ \[c^2 - ab= 2011.\]อย่างน้อยสองตัวใน $a, b, c$ ต้องมีเครื่องหมายเดียวกัน; โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $a$ และ $b$ มีเครื่องหมายเดียวกัน นอกจากนี้ เนื่องจากเราสามารถลบ $a, b, c$ ทั้งหมดและยังคงเป็นไปตามสมการสองสมการข้างต้น สมมติว่า $c \ge 0.$ (โปรดทราบว่าเราต้องการเพียงผลรวม $|a| + |b| + |c|$ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเราสลับหรือลบตัวแปร)
ตอนนี้เรามี $ab \ge 0,$ ดังนั้น $c^2 \ge 2011$, ให้ $c \ge 44.$ เรายังมี \[\frac{c^2}{4} = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \ge ab\]โดย AM-GM ดังนั้น $2011 = c^2 - ab \ge 3c^2/4,$ ให้ $c \le 51.$
สุดท้าย เรามี $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = (-c)^2 - 4(c^2-2011) = 8044 - 3c^2$, ซึ่งต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์
การทดสอบ $c = 44, 45, \ldots, 51$, เราพบว่า $8044 - 3c^2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์เฉพาะเมื่อ $c = 49$. ดังนั้น $c = 49$, และดังนั้น \[\left\{ \begin{aligned} a+b&= -c = -49, \\ ab &= c^2 - 2011 = 390. \end{aligned} \right.\]ดังนั้น $a$ และ $b$ เป็นรากของ $t^2 + 49t + 390 = 0$, ซึ่งแยกตัวประกอบเป็น $(t+10)(t+39) = 0$. ดังนั้น, $\{a, b\} = \{-10, -39\}$.
คำตอบคือ \[|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49 = \boxed{98}.\] | \{a, b\} = \{-10, -39\} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของ $2x^3 - 7x^2 - 6 = 0.$ จงหาค่าของ $rst.$ | จากสูตรของ Vieta's, $rst = \frac{6}{2} = \boxed{3}.$ | rst = \frac{6}{2} = \boxed{3}. | [
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนบวกสามจำนวนที่สอดคล้องกับสมการ $xyz = 1,$ $x + \frac {1}{z} = 5,$ และ $y + \frac {1}{x} = 29.$ จงหา $z + \frac {1}{y}.$ | ให้ $t = z + \frac{1}{y}.$ สังเกตว่า \[\left(x+\frac{1}{z}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right) = xyz + x+y+z + \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} + \frac{1}{xyz}.\]แทนค่าที่ทราบลงไป เราได้ \[5 \cdot 29 \cdot t = 1 + (5 + 29 + t) + 1,\]หรือ $145t = 36 + t.$ ดังนั้น $t = \frac{36}{144} = \boxed{\frac{1}{4}}\,.$ | t = \frac{36}{144} = \boxed{\frac{1}{4}}\,. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{12}$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $a_1 + a_2 + \dots + a_{12} = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a_1 + a_2 + \dots + a_{12}) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \right) \ge (1 + 1 + \dots + 1)^2 = 12^2 = 144,\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \ge 144.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a_i = \frac{1}{12}$ สำหรับทุก $i,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{144}.$ | \boxed{144}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงกับ $1000\sum_{n=3}^{10000}\frac1{n^2-4}$ | สังเกตว่า
\[\frac{1}{n^2-4} = \frac{1}{(n-2)(n+2)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\right).\]ดังนั้นผลรวมที่กำหนดจะหดตัว: \[\begin{aligned} 1000\sum_{n=3}^{10000}\frac1{n^2-4} &= 1000 \cdot \frac{1}{4} \sum_{n=3}^{10000} \left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\right) \\ & = 250 \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9999} - \frac{1}{10000} - \frac{1}{10001} - \frac{1}{10002}\right) \\ &= 250 + 125 + 83.\overline{3} + 62.5 - \varepsilon \end{aligned}\]โดยที่ $\varepsilon = 250\left(\tfrac{1}{9999}+\tfrac{1}{10000}+\tfrac{1}{10001}+\tfrac{1}{10002}\right)$. นี่จะเท่ากับ $520.8\overline{3} - \varepsilon$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{521}$.
(เพื่อตรวจสอบว่า $\varepsilon$ น้อยพอที่จะไม่ส่งผลต่อคำตอบ เราสามารถเขียน $\varepsilon < 250 \cdot 4 \cdot \frac{1}{5000} = 0.2$ ได้ นี่แสดงให้เห็นว่าผลรวมอยู่ระหว่าง $520.8\overline{3}$ และ $520.6\overline{3}$ และจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดคือ $521$ ตามที่ระบุไว้) | 521 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหารากบวกของสมการ
\[x^3 - 3x^2 - x - \sqrt{2} = 0.\] | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $\sqrt{2},$ เราสามารถเดาได้ว่ารากบวกมีรูปแบบ $a + b \sqrt{2},$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นให้ $x = a + b \sqrt{2}.$ แทนค่าลงไปจะได้
\[(a + b \sqrt{2})^3 - 3(a + b \sqrt{2})^2 - (a + b \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 0.\]ซึ่งจะขยายเป็น
\[(a^3 + 3a^2 b \sqrt{2} + 6ab^2 + 2b^3 \sqrt{2}) - 3(a^2 + 2ab \sqrt{2} + 2b^2) - (a + b \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 0,\]ดังนั้น
\[(a^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 6b^2 - a) + (3a^2 b + 2b^3 - 6ab - b - 1) \sqrt{2} = 0.\]นั่นคือ
\begin{align*}
a^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 6b^2 - a &= 0, \\
3a^2 b + 2b^3 - 6ab - b - 1 &= 0.
\end{align*}จากสมการแรก
\[6ab^2 - 6b^2 = -a^3 + 3a^2 + a,\]ดังนั้น
\[6b^2 (a - 1) = -(a^3 - 3a^2 - a).\]นั่นคือ $a - 1$ หาร $a^3 - 3a^2 - a$ ลงตัว เนื่องจาก $a - 1$ หาร $(a - 1)(a - 3)(a + 1) = a^3 - 3a^2 - a + 3$ ลงตัว $a - 1$ หาร 3 ลงตัว นั่นหมายความว่า $a - 1$ สามารถเป็น $-3,$ $-1,$ 1, หรือ 3 ได้ ดังนั้น $a$ คือ $-2$, 0, 2, หรือ 4.
ถ้า $a = -2,$ แล้ว $b^2 = -1,$ ซึ่งไม่มีคำตอบ
ถ้า $a = 0,$ แล้ว $b^2 = 0,$ ดังนั้น $b = 0,$ ซึ่งไม่เป็นไปตามเงื่อนไข
ถ้า $a = 2,$ แล้ว $b^2 = 1,$ ดังนั้น $b = -1$ หรือ $b = 1.$ มีเพียง $a = 2$ และ $b = 1$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับสมการที่สอง
ถ้า $a = 4,$ แล้ว $b^2 = -\frac{2}{3},$ ซึ่งไม่มีคำตอบ
ดังนั้น $a = 2$ และ $b = 1$ เป็นคำตอบ ดังนั้น $x = \boxed{2 + \sqrt{2}}.$ | x = \boxed{2 + \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(x + y) = f(x) f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(2) = 3$ จงหา $f(6)$. | กำหนด $x = 2$ และ $y = 2$ จะได้
\[f(4) = f(2) f(2) = 9.\]กำหนด $x = 4$ และ $y = 2$ จะได้
\[f(6) = f(4) f(2) = \boxed{27}.\] | 27 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของเส้นตรง $5x + 8y = 10$ และวงกลม $x^2 + y^2 = 1$ ตัดกันกี่ครั้ง? | แก้สมการ $5x + 8y = 10$ เพื่อหา $y$ จะได้ $y = \frac{10 - 5x}{8}.$ แทนค่าลงใน $x^2 + y^2 = 1$ จะได้
\[x^2 + \left( \frac{10 - 5x}{8} \right)^2 = 1.\]สมการนี้จะกลายเป็น $89x^2 - 100x + 36 = 0.$ ตัวเลือกของสมการกำลังสองนี้คือ $100^2 - 4 \cdot 89 \cdot 36 = -2816.$ เนื่องจากตัวเลือกเป็นลบ สมการกำลังสองนี้ไม่มีรากจริง ดังนั้นเส้นตรงและวงกลมตัดกันที่ $\boxed{0}$ จุด | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.