question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
สมมติว่าจำนวนจริง $x$ สอดคล้องกับ \[\sqrt{49-x^2}-\sqrt{25-x^2}=3.\] จงหาค่าของ $\sqrt{49-x^2}+\sqrt{25-x^2}$ | บวก $\sqrt{25-x^2}$ เข้าทั้งสองข้าง จะได้ \[\sqrt{49-x^2} = 3 + \sqrt{25-x^2}.\] จากนั้น ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ \[49-x^2 = 9 + 6\sqrt{25-x^2} + (25-x^2),\] ดังนั้น \[15 = 6\sqrt{25-x^2}.\] ดังนั้น $\sqrt{25-x^2} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}.$ แทนที่จะแก้หา $x$ จากตรงนี้ เราสังเกตว่า \[\sqrt{49-x^2} = 3 + \sqrt{25-x^2} = 3 + \frac{5}{2} = \frac{11}{2}.\] ดังนั้น \[\sqrt{49-x^2} + \sqrt{25-x^2} = \frac{11}{2} + \frac{5}{2} = \boxed{8}.\] | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{100}$ หารด้วย $(x + 1)^3.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^{100} &= [(x + 1) - 1]^{100} \\
&= (x + 1)^{100} - \binom{100}{1} (x + 1)^{99} + \binom{100}{2} (x + 1)^{98} + \dots - \binom{100}{97} (x + 1)^3 + \binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1.
\end{align*}เมื่อหารด้วย $(x + 1)^3$ เศษที่เหลือคือ
\[\binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1 = \boxed{4950x^2 + 9800x + 4851}.\] | (x + 1)^3, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\log_2 \frac{2}{1} + \log_2 \frac{3}{2} + \cdots + \log_2 \frac{2009}{2008} + \log_2 \frac{2010}{2009}$ | จงจำไว้ว่า $\log_2 \frac{x}{y} = \log_2 x - \log_2 y$. นำเอกลักษณ์นี้ไปใช้กับแต่ละพจน์ในผลรวม เราพบว่าผลรวมเท่ากับ $(\log_2 2 - \log_2 1) + (\log_2 3 - \log_2 2) + \cdots + (\log_2 2010 - \log_2 2009)$. พจน์กลางส่วนใหญ่จะยกเลิกซึ่งกันและกัน; นิพจน์ในที่สุดจะประเมินเป็น
\[\log_2 2010 - \log_2 1 = \log_2 2010.\]โปรดทราบว่า $2^{10} = 1024$ แต่ $2^{11} = 2048$ ดังนั้น $10 < \log_2 2010 < 11$. ดังนั้นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\log_2 \frac{2}{1} + \log_2 \frac{3}{2} + \cdots + \log_2 \frac{2009}{2008} + \log_2 \frac{2010}{2009}$ คือ $\boxed{10}$. | \boxed{10} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็ม $A$ ว่าเป็นจำนวนอร่อย ถ้ามีจำนวนเต็มต่อเนื่องหลายจำนวน รวมถึง $A$ ที่บวกกันได้ 2014 จำนวนเต็มอร่อยน้อยที่สุดคือจำนวนใด | นี่คือลำดับของจำนวนเต็มต่อเนื่องที่บวกกันได้ 2014:
$$-2013, -2012, \dots , -1, 0, 1, \dots , 2012, 2013, 2014.$$ดังนั้น $-2013$ เป็นจำนวนอร่อย
สมมติว่ามีจำนวนอร่อยน้อยกว่า $-2013$ แล้วจะมีลำดับของจำนวนเต็มต่อเนื่อง (รวมถึงอย่างน้อยหนึ่งจำนวนน้อยกว่า $-2013$) ที่บวกกันได้ 2014 ให้ $A$ เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดในลำดับ ดังนั้น $A < -2013$.
เนื่องจากผลรวมของลำดับเป็นจำนวนไม่เป็นลบ ดังนั้นจึงรวมถึงจำนวน $A, \dots, -1, 0, 1, \dots , -A$ เนื่องจากผลรวมของลำดับเป็นบวก นอกเหนือจากจำนวนข้างต้นแล้ว ยังรวมถึง $-A + 1$ ด้วย แต่ $-A + 1 > 2013 + 1 = 2014$.
ดังนั้นผลรวมของลำดับเกิน 2014 ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนอร่อยน้อยกว่า $-2013$.
ดังนั้นจำนวนอร่อยน้อยที่สุดคือ $\boxed{-2013}$. | \boxed{-2013} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $g(x) = \frac{3x+1}{x+8}$ แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | สูตรสำหรับ $g(x)$ มีค่าที่นิยามไว้เว้นแต่ส่วนของมันจะเป็น $0$ ; ดังนั้นเราต้องแยก $-8$ ออกจากโดเมน โดเมนของ $g(x)$ คือ $\boxed{(-\infty, -8) \cup (-8, \infty)}$. | \boxed{(-\infty, -8) \cup (-8, \infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามดีกรีต่ำสุดใน $x$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ สัมประสิทธิ์นำเป็น 1 และรากเป็น $1+\sqrt{2}$ และ $1+\sqrt{3}$ (เขียนพจน์ในลำดับกำลังของ $x$ ลดลง) | เนื่องจากพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นมันต้องมี $1-\sqrt{2}$ และ $1-\sqrt{3}$ เป็นรากด้วย แล้วพหุนามต้องหารด้วยพหุนามสองตัวนี้ \[(x-(1+\sqrt2))(x-(1-\sqrt2)) = x^2-2x-1\]และ \[(x-(1+\sqrt3))(x-(1-\sqrt3))=x^2-2x-2.\]ดังนั้นพหุนามที่เราต้องการคือ \[(x^2-2x-1)(x^2-2x-2) = \boxed{x^4-4x^3+x^2+6x+2}.\] | 1-\sqrt{3} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[f(a,b) = \left\{
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{array}{cl}
\dfrac{ab - a + 2}{2a} & \text{ถ้า $a + b \le 3$}, \\
\dfrac{ab - b - 2}{-2b} & \text{ถ้า $a + b > 3$}.
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\right.\]จงหา $f(2,1) + f(2,4)$. | เราได้ว่า
\[f(2,1) = \frac{2 \cdot 1 - 2 + 2}{4} = \frac{1}{2},\]และ
\[f(2,4) = \frac{2 \cdot 4 - 4 - 2}{-8} = -\frac{1}{4},\]ดังนั้น $f(2,1) + f(4,2) = \boxed{\frac{1}{4}}.$ | f(2,1) + f(4,2) = \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ $f(1) = 1$ และ
\[f(x + y) = 3^y f(x) + 2^x f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด จงหาฟังก์ชัน $f(x)$. | สลับบทบาทของ $x$ และ $y$ เราได้
\[f(y + x) = 3^x f(y) + 2^y f(x).\]ดังนั้น,
\[3^y f(x) + 2^x f(y) = 3^x f(y) + 2^y f(x).\]แล้ว
\[(3^y - 2^y) f(x) = (3^x - 2^x) f(y),\]ดังนั้นสำหรับ $x \neq 0$ และ $y \neq 0,$
\[\frac{f(x)}{3^x - 2^x} = \frac{f(y)}{3^y - 2^y}.\]กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[\frac{f(x)}{3^x - 2^x} = \frac{f(1)}{3^1 - 2^1} = 1,\]ดังนั้น $f(x) = \boxed{3^x - 2^x}.$ สังเกตว่าสูตรนี้ยังคงใช้ได้สำหรับ $x = 0.$ | x = 0. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x + y + z = 1,$ และ $x \ge -\frac{1}{3},$ $y \ge -1,$ และ $z \ge -\frac{5}{3}.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1 + 1 + 1)(3x + 1 + 3y + 3 + 3z + 5) \ge (\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5})^2.\]ดังนั้น
\[(\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5})^2 \le (3)(3 + 1 + 3 + 5) = 36,\]นั่นคือ $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5} \le 6.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $3x + 1 = 3y + 3 = 3z + 5.$ พร้อมกับเงื่อนไข $x + y + z = 1,$ เราสามารถแก้สมการได้ $x = 1,$ $y = \frac{1}{3},$ $z = -\frac{1}{3}.$ ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $\boxed{6}.$ | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x^2}{x - 8}\]สำหรับ $x > 8.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{x^2}{x - 8} = \frac{x^2 - 64 + 64}{x - 8} = \frac{(x - 8)(x + 8) + 64}{x - 8} = x + 8 + \frac{64}{x - 8} = x - 8 + \frac{64}{x - 8} + 16.\]โดย AM-GM,
\[x - 8 + \frac{64}{x - 8} \ge 2 \sqrt{(x - 8) \cdot \frac{64}{x - 8}} = 16,\]ดังนั้น
\[\frac{x^2}{x - 8} \ge 32.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = 16$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{32}.$ | \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่นำจำนวนเต็มไปยังจำนวนเต็ม โดยที่
\[f(m + n) + f(mn - 1) = f(m) f(n) + 2\]สำหรับจำนวนเต็ม $m$ และ $n$ ทั้งหมด
ให้ $n$ เป็นจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $f(2)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(2)$ จงหา $n \times s.$ | กำหนดให้ $n = 0,$ เราได้
\[f(m) + f(-1) = f(m) f(0) + 2.\]ถ้า $f(0) \neq 1,$ แล้ว $f(m)$ จะเท่ากับค่าคงที่บางค่า ให้เป็น $c.$ แล้ว
\[2c = c^2 + 2,\]ซึ่งไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $f(0) = 1,$ และ $f(-1) = 2.$
กำหนดให้ $n = 1,$ เราได้
\[f(m + 1) + f(m - 1) = f(1) f(m) + 2.\]ให้ $a = f(1);$ แล้ว
\[f(m + 1) = af(m) - f(m - 1) + 2.\]เนื่องจาก $f(0) = 1$ และ $f(1) = a,$
\begin{align*}
f(2) &= af(1) - f(0) + 2 = a^2 + 1, \\
f(3) &= af(2) - f(1) + 2 = a^3 + 2, \\
f(4) &= af(3) - f(2) + 2 = a^4 - a^2 + 2a + 1, \\
f(5) &= af(4) - f(3) + 2 = a^5 - 2a^3 + 2a^2 + a.
\end{align*}กำหนดให้ $m = n = 2,$ เราได้
\[f(4) + f(3) = f(2)^2 + 2.\]แล้ว $(a^4 - a^2 + 2a + 1) + (a^3 + 2) = (a^2 + 1)^2 + 2,$ ซึ่งจะลดรูปเป็น
\[a^3 - 3a^2 + 2a = 0.\]ซึ่งจะแยกตัวประกอบเป็น $a(a - 1)(a - 2) = 0.$ ดังนั้น $a \in \{0, 1, 2\}.$
กำหนดให้ $m = 2$ และ $n = 3,$ เราได้
\[f(5) + f(5) = f(2) f(3) + 2.\]แล้ว $2(a^5 - 2a^3 + 2a^2 + a) = (a^2 + 1)(a^3 + 2) + 2.$ ตรวจสอบ $a = 0,$ $a = 1,$ และ $a = 2,$ เราพบว่าค่าเดียวที่ใช้ได้คือ $a = 2.$
ดังนั้น,
\[f(m + 1) = 2f(m) - f(m - 1) + 2.\]ค่าแรกๆ คือ
\begin{align*}
f(2) &= 2f(1) - f(0) + 2 = 5, \\
f(3) &= 2f(2) - f(1) + 2 = 10, \\
f(4) &= 2f(3) - f(2) + 2 = 17,
\end{align*}และอื่นๆ โดยการพิสูจน์อุปนัยที่ตรงไปตรงมา,
\[f(n) = n^2 + 1\]สำหรับจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมด
เราสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันนี้ทำงาน ดังนั้น $n = 1$ และ $s = 5,$ ดังนั้น $n \times s = \boxed{5}.$ | n \times s = \boxed{5}. | [
"Apply",
"Analyze"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{100}$ หารด้วย $(x + 1)^3.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^{100} &= [(x + 1) - 1]^{100} \\
&= (x + 1)^{100} - \binom{100}{1} (x + 1)^{99} + \binom{100}{2} (x + 1)^{98} + \dots - \binom{100}{97} (x + 1)^3 + \binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1.
\end{align*}เมื่อหารด้วย $(x + 1)^3$ เศษที่เหลือคือ
\[\binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1 = \boxed{4950x^2 + 9800x + 4851}.\] | 4950x² + 9800x + 4851 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $2(x^2 + y^2) = x + y.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x - y.$ | เราสามารถเขียน $2(x^2 + y^2) = x + y$ เป็น $2x^2 + 2y^2 = x + y.$ ดังนั้น $2x^2 + 4xy + 2y^2 = x + y + 4xy,$ ดังนั้น
\[4xy = 2(x^2 + 2xy + y^2) - (x + y) = 2(x + y)^2 - (x + y).\]นอกจากนี้,
\begin{align*}
(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 \\
&= (x + y)^2 - 4xy \\
&= (x + y) - (x + y)^2.
\end{align*}ทำการเติมกำลังสองใน $x + y,$ เราได้
\[(x - y)^2 = \frac{1}{4} - \left( x + y - \frac{1}{2} \right)^2 \le \frac{1}{4},\]ดังนั้น $x - y \le \frac{1}{2}.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x = \frac{1}{2}$ และ $y = 0,$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{1}{2}}.$ | \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในระนาบพิกัด เส้นโค้ง $xy = 1$ ตัดวงกลมที่จุดสี่จุด โดยสามจุดคือ $\left( 2, \frac{1}{2} \right),$ $\left( -5, -\frac{1}{5} \right),$ และ $\left( \frac{1}{3}, 3 \right)$ จงหาจุดตัดจุดที่สี่ | ให้สมการของวงกลมเป็น $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$ จาก $xy = 1,$ $y = \frac{1}{x}.$ แทนค่าลงไปจะได้
\[(x - a)^2 + \left( \frac{1}{x} - b \right)^2 = r^2.\]ดังนั้น
\[x^2 - 2ax + a^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{2b}{x} + b^2 = r^2,\]นั่นคือ
\[x^4 - 2ax^3 + (a^2 + b^2 - r^2) x^2 - 2bx + 1 = 0.\]โดยทฤษฎีบทของเวียต รากของสมการนี้มีผลคูณเท่ากับ 1. สามรากคือ 2, $-5,$ และ $\frac{1}{3}$ ดังนั้นรากที่สี่คือ $-\frac{3}{10}.$ ดังนั้นจุดตัดจุดที่สี่คือ $\boxed{\left( -\frac{3}{10}, -\frac{10}{3} \right)}.$ | \boxed{\left( -\frac{3}{10}, -\frac{10}{3} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $S$ เป็นเซตของ 10-tuples $(a_0, a_1, \dots, a_9),$ โดยที่แต่ละสมาชิกเป็น 0 หรือ 1 ดังนั้น $S$ มี $2^{10}$ 10-tuples สำหรับ 10-tuple $s = (a_0, a_1, \dots, a_9)$ ใดๆ ใน $S$ ให้ $p_s(x)$ เป็นพหุนามดีกรีไม่เกิน 9 ซึ่ง
\[p_s(n) = a_n\]สำหรับ $0 \le n \le 9.$ ตัวอย่างเช่น $p(x) = p_{(0,1,0,0,1,0,1,0,0,0)}(x)$ เป็นพหุนามดีกรีไม่เกิน 9 ซึ่ง $p(0) = p(2) = p(3) = p(5) = p(7) = p(8) = p(9) = 0$ และ $p(1) = p(4) = p(6) = 1.$
จงหา
\[\sum_{s \in S} p_s(10).\] | กำหนด
\[p(x) = \sum_{s \in S} p_s(x).\]สำหรับ $n$ ใดๆ $0 \le n \le 9,$
\[p(n) = \sum_{s \in S} p_s(n) = 2^9 = 512,\]เพราะ $p_s(n) = 0$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว และ $p_s(n) = 1$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว
ดังนั้น $p(x) = 512$ สำหรับค่า $n = 0,$ 1, 2, $\dots,$ 9 จำนวน 10 ค่า นอกจากนี้ $p(x)$ มีดีกรีไม่เกิน 9 ดังนั้น โดยทฤษฎีบทเอกลักษณ์ $p(x) = 512$ สำหรับทุก $x$ โดยเฉพาะ $p(10) = \boxed{512}.$ | p(10) = \boxed{512}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลคูณอนันต์ $(2^{1/3})(4^{1/9})(8^{1/27})(16^{1/81}) \dotsm.$ ใส่คำตอบในรูป "\sqrt[a]{b}", ซึ่งแทน $\sqrt[a]{b}.$ | เราสามารถเขียนผลคูณได้ดังนี้
\begin{align*}
(2^{1/3})(4^{1/9})(8^{1/27})(16^{1/81}) \dotsm &= 2^{1/3} \cdot (2^2)^{1/9} \cdot (2^3)^{1/27} \cdot (2^4)^{1/81} \dotsm \\
&= 2^{1/3} \cdot 2^{2/3^2} \cdot 2^{3/3^3} \cdot 2^{4/3^4} \dotsm \\
&= 2^{1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + 4/3^4 + \dotsb}.
\end{align*}ให้
\[S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dotsb.\]แล้ว
\[3S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dotsb.\]ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[2S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dotsb = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2},\]ดังนั้น $S = \frac{3}{4}.$
ดังนั้น ผลคูณอนันต์คือ $2^{3/4} = \boxed{\sqrt[4]{8}}.$ | 2^{3/4} = \boxed{\sqrt[4]{8}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่าสูงสุดของผลบวก $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เรามีว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]แล้ว $2010 < 3M,$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$ $d = 1,$ และ $e = 669$ ดังนั้น ค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $M$ คือ $\boxed{671}.$ | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนจริง $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[a_n = a_{n - 1} a_{n + 1}\]สำหรับทุก $n \ge 2.$ ถ้า $a_1 = 1 + \sqrt{7}$ และ $a_{1776} = 13 + \sqrt{7}$ จงหาค่าของ $a_{2009}.$ | จากการกำหนดความสัมพันธ์ซ้ำๆ
\[a_{n + 1} = \frac{a_n}{a_{n - 1}}.\]กำหนด $a = a_1$ และ $b = a_2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
a_3 &= \frac{a_2}{a_1} = \frac{b}{a}, \\
a_4 &= \frac{a_3}{a_2} = \frac{b/a}{b} = \frac{1}{a}, \\
a_5 &= \frac{a_4}{a_3} = \frac{1/a}{b/a} = \frac{1}{b}, \\
a_6 &= \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/b}{1/a} = \frac{a}{b}, \\
a_7 &= \frac{a_6}{a_5} = \frac{a/b}{1/b} = a, \\
a_8 &= \frac{a_7}{a_6} = \frac{a}{a/b} = b.
\end{align*}เนื่องจาก $a_7 = a = a_1$ และ $a_8 = b = a_2,$ และแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าสองพจน์ ลำดับนี้เป็นคาบตั้งแต่นี้เป็นต้นไป. ยิ่งกว่านั้น ความยาวของคาบคือ 6. ดังนั้น $a_6 = a_{1776} = 13 + \sqrt{7}$ และ $a_{2009} = a_5.$ นอกจากนี้ $a_7 = a_1,$ และ
\[a_7 = \frac{a_6}{a_5}.\]ดังนั้น
\[a_5 = \frac{a_6}{a_7} = \frac{13 + \sqrt{7}}{1 + \sqrt{7}} = \frac{(13 + \sqrt{7})(\sqrt{7} - 1)}{(1 + \sqrt{7})(\sqrt{7} - 1)} = \frac{-6 + 12 \sqrt{7}}{6} = \boxed{-1 + 2 \sqrt{7}}.\] | a_7 = a_1, | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่ไม่ใช่พหุนาม상수 ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[P(P(x)) = (x^2 + x + 1) P(x).\] | ให้ $d$ เป็นดีกรีของ $P(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $P(P(x))$ คือ $d^2,$ และดีกรีของ $(x^2 + x + 1) P(x)$ คือ $d + 2,$ ดังนั้น
\[d^2 = d + 2.\]จากนั้น $d^2 - d - 2 = (d - 2)(d + 1) = 0.$ เนื่องจาก $d$ เป็นบวก $d = 2.$
ให้ $P(x) = ax^2 + bx + c.$ จากนั้น
\begin{align*}
P(P(x)) &= a(ax^2 + bx + c)^2 + b(ax^2 + bx + c) + c \\
&= a^3 x^4 + 2a^2 bx^3 + (ab^2 + 2a^2 c + ab) x^2 + (2abc + b^2) x + ac^2 + bc + c
\end{align*}และ
\[(x^2 + x + 1)(ax^2 + bx + c) = ax^4 + (a + b) x^3 + (a + b + c) x^2 + (b + c) x + c.\]เปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้
\begin{align*}
a^3 &= a, \\
2a^2 b &= a + b, \\
ab^2 + 2a^2 c + ab &= a + b + c, \\
2abc + b^2 &= b + c, \\
ac^2 + bc + c &= c.
\end{align*}จาก $a^3 = a,$ $a^3 - a = a(a - 1)(a + 1) = 0,$ ดังนั้น $a$ คือ 0, 1, หรือ $-1.$ แต่ $a$ เป็นสัมประสิทธิ์นำหน้า ดังนั้น $a$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ ซึ่งหมายความว่า $a$ คือ 1 หรือ $-1.$
ถ้า $a = 1,$ จากนั้น $2b = 1 + b,$ ดังนั้น $b = 1.$ จากนั้น
\[1 + 2c + 1 = 1 + 1 + c,\]ดังนั้น $c = 0.$ สังเกตว่า $(a,b,c) = (1,1,0)$ สอดคล้องกับสมการทั้งหมด
ถ้า $a = -1,$ จากนั้น $2b = -1 + b,$ ดังนั้น $b = -1.$ จากนั้น
\[-1 + 2c + 1 = -1 - 1 + c,\]ดังนั้น $c = -2.$ แต่จากนั้นสมการ $ac^2 + bc + c = c$ ไม่เป็นจริง
ดังนั้น $(a,b,c) = (1,1,0),$ และ $P(x) = \boxed{x^2 + x}.$ | P(x) = \boxed{x^2 + x}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $a$ ที่ทำให้ $\frac{1}{\text{log}_2a} + \frac{1}{\text{log}_3a} + \frac{1}{\text{log}_4a} = 1$ คือเท่าใด? | จากสูตรการแปลงฐาน เราจะได้สมการใหม่คือ
\[\log_a 2 + \log_a 3 + \log_a 4 = 1.\]ดังนั้น $\log_a 24 = 1,$ จึงได้ $a = \boxed{24}.$ | a = \boxed{24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในถุงริบบิ้นขนาดใหญ่ มีริบบิ้นสีแดง $ rac{1}{5}$ , สีน้ำเงิน $ rac{1}{2}$ , สีเขียว $ rac{1}{10}$ และที่เหลือ 30 อันเป็นสีขาว มีริบบิ้นสีเขียวทั้งหมดกี่อัน? | เราบวกเศษส่วนของริบบิ้นที่ไม่ใช่สีแดงเข้าด้วยกัน และได้ $ rac{1}{5}+ rac{1}{2}+ rac{1}{10}= rac{2+5+1}{10}= rac{8}{10}= rac{4}{5}$ ดังนั้น ริบบิ้น 30 อันนี้ประกอบด้วย $1- rac{4}{5}= rac{1}{5}$ ของริบบิ้นทั้งหมด และจำนวนริบบิ้นทั้งหมดคือ $5 imes30=150$ ริบบิ้นสีเขียวเป็น $ rac{1}{10}$ ของจำนวนทั้งหมด และ $ rac{1}{10} imes150=15$ ดังนั้นมีริบบิ้นสีเขียว $oxed{15}$ อัน | $oxed{15}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการ
\[(x^3 + 3x^2 \sqrt{2} + 6x + 2 \sqrt{2}) + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น
\[(x + \sqrt{2})^3 + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ดังนั้น
\[(x + \sqrt{2})[(x + \sqrt{2})^2 + 1] = 0,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2}$ หรือ $(x + \sqrt{2})^2 = -1.$ สำหรับสมการหลัง
\[x + \sqrt{2} = \pm i,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2} \pm i.$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}.$ | \boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $a^2 + ab + b^2 = 0.$ จงหาค่าของ
\[\frac{a^9 + b^9}{(a + b)^9}.\] | เนื่องจาก $a^2 + ab + b^2 = 0,$ $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 0.$ สมการนี้จะกลายเป็น $a^3 - b^3 = 0,$ ดังนั้น $a^3 = b^3.$
ดังนั้น $b^9 = a^9.$ นอกจากนี้,
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + ab + b^2) + ab = ab,\]ดังนั้น
\[(a + b)^3 = ab(a + b) = a(ab + b^2) = a(-a^2) = -a^3.\]ดังนั้น $(a + b)^9 = (-a^3)^3 = -a^9,$ ดังนั้น
\[\frac{a^9 + b^9}{(a + b)^9} = \frac{2a^9}{-a^9} = \boxed{-2}.\] | (a + b)^9 = (-a^3)^3 = -a^9, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $x^3 -ax^2 + bx -2010$ มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งสามราก จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a$ | จากสูตรของ Vieta's เราทราบว่า $a$ คือผลรวมของรากทั้งสามของพหุนาม $x^3-ax^2+bx-2010$ สูตรของ Vieta's บอกเราอีกว่า $2010$ คือผลคูณของรากจำนวนเต็มทั้งสาม นอกจากนี้ $2010$ หารด้วย $2\cdot3\cdot5\cdot67$ แต่เนื่องจากพหุนามมีรากเพียงสามราก ดังนั้นสองในสี่ตัวประกอบเฉพาะจะต้องถูกคูณกันเพื่อให้เหลือรากสามราก เพื่อให้น้อยที่สุด $a$ $2$ และ $3$ ควรจะถูกคูณ ซึ่งหมายความว่า $a$ จะเท่ากับ $6+5+67=\boxed{78}$. | 6+5+67=\boxed{78}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า
\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 3 \quad \text{and} \quad \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0,\]จงหาค่าของ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}.$ | กำหนดให้ $p = \frac{x}{a},$ $q = \frac{y}{b},$ $r = \frac{z}{c}.$ ดังนั้น $p + q + r = 3$ และ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 0,$ ดังนั้น $pq + pr + qr = 0.$
เราต้องการหาค่าของ $p^2 + q^2 + r^2.$ จากการยกกำลังสองของสมการ $p + q + r = 3,$ เราได้
\[p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + pr + qr) = 9,\]ดังนั้น $p^2 + q^2 + r^2 = \boxed{9}.$ | p^2 + q^2 + r^2 = \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับจำนวนจริงบวกทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $f(x) > 0$ สำหรับทุก $x > 0$ และ
\[f(x - y) = \sqrt{f(xy) + 2}\]สำหรับทุก $x > y > 0.$ จงหาค่าของ $f(2009).$ | เราจะพิสูจน์ก่อนว่ามีจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $x - y = xy = 2009.$ จากสมการเหล่านี้
\[x^2 - 2xy + y^2 = 2009^2,\]ดังนั้น $x^2 + 2xy + y^2 = 2009^2 + 4 \cdot 2009.$ จากนั้น $x + y = \sqrt{2009^2 + 4 \cdot 2009},$ ดังนั้นโดยสูตรของ Vieta's, $x$ และ $y$ เป็นรากของ
\[t^2 - (\sqrt{2009^2 + 4 \cdot 2009}) t + 2009 = 0.\](ตัวเลือกของสมการกำลังสองนี้คือ $2009^2,$ ดังนั้นมันจึงมีรากจริง.)
จากนั้นสำหรับค่าของ $x$ และ $y$ เหล่านี้,
\[f(2009) = \sqrt{f(2009) + 2}.\]ให้ $a = f(2009),$ ดังนั้น $a = \sqrt{a + 2}.$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราจะได้ $a^2 = a + 2,$ ดังนั้น $a^2 - a - 2 = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(a - 2)(a + 1) = 0.$ เนื่องจาก $a$ เป็นบวก $a = \boxed{2}.$ | a = \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ ที่นิยามบนเซตของคู่ลำดับของจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมบัติต่อไปนี้: \begin{align*} f(x,x) &=x, \\ f(x,y) &=f(y,x), \quad \text{และ} \\ (x + y) f(x,y) &= yf(x,x + y). \end{align*}จงคำนวณค่าของ $f(14,52)$ | เราสามารถเขียนสมการที่สามใหม่ได้เป็น \[f(x, x+y) = \frac{x+y}{y} \cdot f(x, y),\]หรือทำการแทนที่ $t = x+y,$ \[f(x, t) = \frac{t}{t-x} \cdot f(x, t-x)\]เมื่อใดก็ตามที่ $x < t.$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $r \neq 0$ เป็นเศษที่เหลือเมื่อ $t$ หารด้วย $x$ เราสามารถนำความสัมพันธ์นี้มาใช้ซ้ำๆ ได้: \[\begin{aligned} f(x, t) &= \frac{t}{t-x} \cdot f(x, t-x) \\ &= \frac{t}{t-x} \cdot \frac{t-x}{t-2x} \cdot f(x, t-2x) \\ &= \dotsb \\ &= \frac{t}{t-x} \cdot \frac{t-x}{t-2x} \cdots \frac{r+x}{r} \cdot f(x, r) \\ &= \frac{t}{r} \cdot f(x, r) \end{aligned}\]เนื่องจากผลคูณจะยุบตัวลง จากนั้นเราสามารถคำนวณ $f(14, 52)$ ได้ดังนี้ โดยสลับอาร์กิวเมนต์สองตัวของ $f$ ตามต้องการโดยใช้สมการที่สอง: \[\begin{aligned} f(14, 52) &= \frac{52}{10} \cdot f(14, 10) \\ &= \frac{52}{10} \cdot \frac{14}{4} \cdot f(10, 4) \\ &= \frac{52}{10} \cdot \frac{14}{4} \cdot \frac{10}{2} \cdot f(4, 2)\\ &= \frac{52}{10} \cdot \frac{14}{4} \cdot \frac{10}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot f(2, 2) \\ &= \frac{52}{\cancel{10}} \cdot \frac{14}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{10}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{2} \cdot 2 \\ &= \boxed{364}. \end{aligned}\] | 364 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของ $y^2 + 2xy + 40|x|= 400$ แบ่งระนาบออกเป็นหลายบริเวณ จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ถูกปิดล้อม | เพื่อจัดการกับพจน์ $|x|$ เราพิจารณาในกรณีของเครื่องหมายของ $x$:
ถ้า $x \ge 0$ แล้วเราจะมี $y^2+2xy+40x=400$ แยก $x$ เราได้ $x(2y+40) = 400-y^2$ ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น \[2x(y+20) = (20-y)(y+20).\]ดังนั้น $y=-20$ หรือ $2x=20-y$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $y=20-2x$.
ถ้า $x < 0$ แล้วเราจะมี $y^2+2xy-40x=400$ แยก $x$ เราได้ $x(2y-40) = 400-y^2$ ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น \[2x(y-20) = (20-y)(y+20).\]ดังนั้น $y=20$ หรือ $2x=-y-20$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $y=-20-2x$.
นำเส้นตรงทั้งสี่เส้นนี้มารวมกัน เราพบว่าบริเวณที่ถูกปิดล้อมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีจุดยอดที่ $(0, \pm 20)$, $(20, -20)$, และ $(-20, 20)$ ดังแสดงด้านล่าง: [asy]size(6cm);real f(real x) {return 20; } draw(graph(f, -25, 0)); real g(real x) { return -20; } draw(graph(g, 0, 25)); real h(real x){return 20-2*x;} draw(graph(h, 0,25)); real i(real x){return -20-2*x;} draw(graph(i, -25,0)); draw((0,-32)--(0,32),EndArrow); draw((-26,0)--(26,0),EndArrow); label("$x$",(26,0),S); label("$y$",(0,32),E); dot((0,20)--(0,-20)--(20,-20)--(-20,20));[/asy] ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ $40$ และฐานคือ $20$ ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ $40 \cdot 20 = \boxed{800}$ | 40 \cdot 20 = \boxed{800} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $t$ เป็นพารามิเตอร์ที่แปรค่าเหนือจำนวนจริงทั้งหมด พาราโบลาใดๆ ที่อยู่ในรูป
\[y = 3x^2 + tx - 2t\]ผ่านจุดคงที่ จงหาจุดคงที่นี้ | เพื่อหาจุดคงที่ เราต้องการกำจัด $t$ ในสมการ
\[y = 3x^2 + tx - 2t.\]เราสามารถทำได้โดยการแทน $x = 2.$ จะได้ $y = 3 \cdot 2^2 = 12,$ ดังนั้นจุดคงที่คือ $\boxed{(2,12)}.$ | \boxed{(2,12)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $|2-4i| + |2+4i|.$ | เราได้ว่า $|2-4i| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. เช่นเดียวกัน $|2+4i| = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$ ดังนั้น $|2-4i| + |2+4i| = \boxed{4\sqrt{5}}$. | |2-4i| + |2+4i| = \boxed{4\sqrt{5}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ
\[(x - 3)^4 + (x - 5)^4 = -8.\]แสดงคำตอบทั้งหมดที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถนำความสมมาตรเข้าสู่สมการได้โดยการให้ $z = x - 4.$ ดังนั้น $x = z + 4,$ สมการจะกลายเป็น
\[(z + 1)^4 + (z - 1)^4 = -8.\]ซึ่งจะทำให้สมการง่ายขึ้นเป็น $2z^4 + 12z^2 + 10 = 0,$ หรือ $z^4 + 6z^2 + 5 = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น
\[(z^2 + 1)(z^2 + 5) = 0,\]ดังนั้น $z = \pm i$ หรือ $z = \pm i \sqrt{5}.$
ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{4 + i, 4 - i, 4 + i \sqrt{5}, 4 - i \sqrt{5}}.$ | \boxed{4 + i, 4 - i, 4 + i \sqrt{5}, 4 - i \sqrt{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริงบวก $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[5 \sqrt{1 + x} + 5 \sqrt{1 - x} = 7 \sqrt{2}.\] | จากสมการที่กำหนดให้,
\[\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} = \frac{7 \sqrt{2}}{5}.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้
\[1 + x + 2 \sqrt{1 - x^2} + 1 - x = \frac{98}{25},\]ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น
\[2 \sqrt{1 - x^2} = \frac{48}{25}.\]หารทั้งสองข้างด้วย 2 เราได้
\[\sqrt{1 - x^2} = \frac{24}{25}.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกครั้ง เราได้
\[1 - x^2 = \frac{576}{625},\]ดังนั้น
\[x^2 = \frac{49}{625}.\]ค่าบวกของ $x$ คือ $\boxed{\frac{7}{25}}.$ | \boxed{\frac{7}{25}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ
\[x^3 - 5x + 7 = 0.\]จงหาพหุนามเอกหนา (monic polynomial) ใน $x$ ซึ่งมีรากเป็น $a - 2,$ $b - 2,$ และ $c - 2.$ | กำหนดให้ $y = x - 2.$ ดังนั้น $x = y + 2,$ ดังนั้น
\[(y + 2)^3 - 5(y + 2) + 7 = 0.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $y^3 + 6y^2 + 7y + 5 = 0.$ พหุนามที่สอดคล้องกันใน $x$ คือ $\boxed{x^3 + 6x^2 + 7x + 5}.$ | \boxed{x^3 + 6x^2 + 7x + 5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารร่วมมากของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x+1$ (ในเซตของพหุนามใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) และตัวคูณร่วมน้อยของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x^3-4x^2+x+6$ จงหา $a+b+c$ | เนื่องจาก $x+1$ หาร $x^2+ax+b$ ลงตัว และพจน์คงตัวคือ $b$ เราได้ว่า $x^2+ax+b=(x+1)(x+b)$ และในทำนองเดียวกัน $x^2+bx+c=(x+1)(x+c)$ ดังนั้น $a=b+1=c+2$ ยิ่งกว่านั้น ตัวคูณร่วมน้อยของพหุนามทั้งสองคือ $(x+1)(x+b)(x+b-1)=x^3-4x^2+x+6$ ดังนั้น $b=-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $c=-3$ และ $a+b+c=\boxed{-6}$ | a+b+c=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)$ เป็นพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์ชั้นนำเท่ากับ 1 ซึ่ง $f(-1)=-1$, $f(2)=-4$, $f(-3)=-9$, และ $f(4)=-16$ จงหา $f(1)$ | ให้ $g(x) = f(x) + x^2.$ แล้ว $g(x)$ เป็นพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์ชั้นนำเท่ากับ 1 และ $g(-1) = g(2) = g(-3) = f(4) = 0,$ ดังนั้น
\[g(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4).\]ดังนั้น $f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4) - x^2.$ โดยเฉพาะ $f(1) = (2)(-1)(4)(-3) - 1 = \boxed{23}.$ | f(1) = (2)(-1)(4)(-3) - 1 = \boxed{23}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามลูกบาศก์ที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 และ $r$ เป็นจำนวนจริง สองในรากของ $f(x)$ คือ $r + 1$ และ $r + 7$ สองในรากของ $g(x)$ คือ $r + 3$ และ $r + 9$ และ
\[f(x) - g(x) = r\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จงหา $r$ | โดยทฤษฎีบทปัจจัย,
\[f(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a)\]และ
\[g(x) = (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ บางจำนวน
แล้ว
\[f(x) - g(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a) - (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b) = r\]สำหรับ $x$ ทั้งหมด
แทน $x = r + 3$ เราได้
\[(2)(-4)(r + 3 - a) = r.\]แทน $x = r + 9$ เราได้
\[(8)(2)(r + 9 - a) = r.\]ดังนั้น $-8r - 24 + 8a = r$ และ $16r + 144 - 16a = r$ ดังนั้น
\begin{align*}
8a - 9r &= 24, \\
-16a + 15r &= -144.
\end{align*}แก้สมการจะได้ $r = \boxed{32}$. | r = \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[xy - \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = 3.\]จงหาผลรวมของค่า $(x - 1)(y - 1)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | จากสมการที่กำหนดให้ $x^3 y^3 - x^3 - y^3 = 3x^2 y^2,$ หรือ
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).\]โดยให้ $a = xy,$ $b = -x,$ และ $c = -y,$ เราได้
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = (xy - x - y)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 0.\]ถ้า $xy - x - y = 0,$ แล้ว
\[(x - 1)(y - 1) = xy - x - y + 1 = 1.\]ถ้า $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0,$ แล้ว $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0,$ ซึ่งเราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
\[(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0.\]สิ่งนี้บังคับให้ $a = b = c,$ ดังนั้น $xy = -x = -y.$ เราได้ว่า $x = y,$ ดังนั้น $x^2 + x = x(x + 1) = 0.$ ดังนั้น $x = 0$ หรือ $x = -1.$ จากเงื่อนไขที่กำหนด เราไม่สามารถมี $x = 0$ ได้ ดังนั้น $x = -1,$ และ $y = -1,$ ดังนั้น $(x - 1)(y - 1) = 4.
ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $(x - 1)(y - 1)$ คือ 1 และ 4 และผลรวมของค่าเหล่านี้คือ $\boxed{5}.$ | \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $a$ ทั้งหมดที่ทำให้พหุนาม
\[x^4 + ax^3 - x^2 + ax + 1 = 0\]มีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก | แก้สมการหา $a,$ เราได้
\[a = \frac{-x^4 + x^2 - 1}{x^3 + x} = -\frac{x^4 - x^2 + 1}{x^3 + x} = -\frac{x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}}{x + \frac{1}{x}}.\]ให้ $u = x + \frac{1}{x}.$ แล้ว $u^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2},$ ดังนั้น
\[a = -\frac{u^2 - 3}{u}.\]ถ้า $x$ เป็นบวก แล้วโดย AM-GM, $u = x + \frac{1}{x} \ge 2.$ นอกจากนี้,
\[a + \frac{1}{2} = -\frac{2u^2 - u - 6}{u} = -\frac{(u - 2)(2u + 3)}{u} \le 0,\]ดังนั้น $a \le -\frac{1}{2}.$
ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า $2 \le u \le v,$ แล้ว
\begin{align*}
-\frac{v^2 - 3}{v} + \frac{u^2 - 3}{u} &= \frac{-uv^2 + 3u + u^2 v - 3v}{uv} \\
&= \frac{(u - v)(uv + 3)}{uv} \le 0,
\end{align*}ซึ่งแสดงให้เห็นว่า $a = -\frac{u^2 - 3}{u} = -u + \frac{3}{u}$ เป็นฟังก์ชันลดลงบน $[2,\infty).$ เมื่อ $u$ ไปที่ $\infty,$ $-u + \frac{3}{u}$ ไปที่ $-\infty.$ (โปรดทราบว่า $u = x + \frac{1}{x}$ สามารถรับค่าได้ทุกค่าที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2.)
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้า $x$ เป็นลบ แล้ว
\[a = \frac{-x^2 + x^2 - 1}{x^3 + x} \ge \frac{1}{2},\]และ $a$ สามารถรับค่าได้ทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ $\frac{1}{2}.$
ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ คือ
\[a \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{2} \right] \cup \left[ \frac{1}{2}, \infty \right)}.\] | a | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\begin{align*}
ab + 4b &= -16, \\
bc + 4c &= -16, \\
ca + 4a &= -16.
\end{align*}จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $abc$ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | นำสมการทั้งสามมาบวกกัน จะได้
\[ab + ac + bc + 4(a + b + c) = -48.\]นำสมการทั้งสามมาคูณด้วย $c,$ $a,$ $b$ ตามลำดับ จะได้
\begin{align*}
abc + 4bc &= -16c, \\
abc + 4ac &= -16a, \\
abc + 4ab &= -16b.
\end{align*}นำสมการทั้งสามมาบวกกัน จะได้
\[3abc + 4(ab + ac + bc) = -16(a + b + c).\]ดังนั้น
\begin{align*}
3abc &= -4(ab + ac + bc) - 16(a + b + c) \\
&= -4(ab + ac + bc + 4(a + b + c)) \\
&= (-4)(-48) = 192,
\end{align*}ดังนั้น $abc = \boxed{64}.$ | abc = \boxed{64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\sqrt[3]{2 - x} + \sqrt{x - 1} = 1.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ให้ $y = \sqrt[3]{2 - x}.$ แล้ว $y^3 = 2 - x,$ ดังนั้น $x = 2 - y^3.$ แล้ว
\[\sqrt{x - 1} = \sqrt{1 - y^3},\]ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดให้เป็น $y + \sqrt{1 - y^3} = 1.$ แล้ว
\[\sqrt{1 - y^3} = 1 - y.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้ $1 - y^3 = 1 - 2y + y^2,$ ดังนั้น $y^3 + y^2 - 2y = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $y(y - 1)(y + 2) = 0,$ ดังนั้น $y$ สามารถเป็น 0, 1 หรือ $-2.$
ค่าเหล่านี้จะนำไปสู่ $x = \boxed{1,2,10}.$ เราตรวจสอบว่าคำตอบเหล่านี้ใช้ได้ | x = \boxed{1,2,10}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $a + b + c = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}.\] | โดยอสมการ AM-HM,
\[\frac{(a + 2b) + (b + 2c) + (c + 2a)}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}},\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a} \ge \frac{9}{3a + 3b + 3c} = \frac{9}{3} = 3.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a = b = c = \frac{1}{3},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x) = 6x - 9$ และ $g(x) = \frac{x}{3} + 2$ จงหา $f(g(x)) - g(f(x))$ | เราได้ว่า
$$\begin{aligned} f(g(x)) &= f\left(\frac{x}{3} + 2\right) = 6\left(\frac{x}{3} + 2\right) - 9 \\
&= 2x + 12 - 9\\
&= 2x + 3
\end{aligned}$$และ
$$\begin{aligned} g(f(x)) &= g(6x-9) = \frac{6x-9}{3} + 2 \\
&= 2x -3 +2\\
&= 2x -1.
\end{aligned}$$ดังนั้น
$$f(g(x)) - g(f(x)) = 2x+3 - (2x-1) = 2x + 3 - 2x +1 = \boxed{4}.$$ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาช่วงของฟังก์ชัน
\[h(x) = \frac{2(x + 7)(x - 3)}{x + 7}.\] | ถ้า $x \neq -7,$ เราสามารถตัดตัวประกอบของ $x + 7$ ออกได้
\[h(x) = 2(x - 3).\]ถ้า $x$ ถูกอนุญาตให้เป็นจำนวนจริงใดๆ $2(x - 3)$ ก็สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันไม่ได้นิยามสำหรับ $x = -7$ ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่สามารถรับค่า $2(-7 - 3) = -20$ ได้
ดังนั้น ช่วงของฟังก์ชันคือ $\boxed{(-\infty,-20) \cup (-20,\infty)}.$ | \boxed{(-\infty,-20) \cup (-20,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กราฟของ $y^2 + 2xy + 40|x|= 400$ แบ่งระนาบออกเป็นหลายบริเวณ จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ถูกล้อมรอบ | เพื่อจัดการกับพจน์ $|x|$ เราพิจารณาในกรณีของเครื่องหมายของ $x$:
ถ้า $x \ge 0$ เราได้ $y^2+2xy+40x=400$ แยก $x$ เราได้ $x(2y+40) = 400-y^2$ ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น \[2x(y+20) = (20-y)(y+20).\]ดังนั้น $y=-20$ หรือ $2x=20-y$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $y=20-2x$.
ถ้า $x < 0$ เราได้ $y^2+2xy-40x=400$ แยก $x$ อีกครั้ง เราได้ $x(2y-40) = 400-y^2$ ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น \[2x(y-20) = (20-y)(y+20).\]ดังนั้น $y=20$ หรือ $2x=-y-20$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $y=-20-2x$.
นำเส้นทั้งสี่เส้นมารวมกัน เราพบว่าบริเวณที่ถูกล้อมรอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีจุดยอดที่ $(0, \pm 20)$, $(20, -20)$, และ $(-20, 20)$ ดังที่แสดงด้านล่าง: [asy]size(6cm);real f(real x) {return 20; } draw(graph(f, -25, 0)); real g(real x) { return -20; } draw(graph(g, 0, 25)); real h(real x){return 20-2*x;} draw(graph(h, 0,25)); real i(real x){return -20-2*x;} draw(graph(i, -25,0)); draw((0,-32)--(0,32),EndArrow); draw((-26,0)--(26,0),EndArrow); label("$x$",(26,0),S); label("$y$",(0,32),E); dot((0,20)--(0,-20)--(20,-20)--(-20,20));[/asy] ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ $40$ และฐานคือ $20$ ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ $40 \cdot 20 = \boxed{800}$. | 40 \cdot 20 = \boxed{800} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a, b$, และ $c$ เป็นรากของพหุนามกำลังสาม $2x^3 - 3x^2 + 165x - 4$ จงคำนวณ \[(a+b-1)^3 + (b+c-1)^3 + (c+a-1)^3.\] | จากสูตรของ Vieta's $a+b+c=\tfrac{3}{2},$ ดังนั้น $a+b-1 = \left(\tfrac{3}{2}-c\right)-1=\tfrac{1}{2}-c.$ เขียนสมการคล้ายกันสำหรับสองพจน์ที่เหลือ เราจะได้ \[(a+b-1)^3 + (b+c-1)^3 + (c+a-1)^3 = \left(\tfrac{1}{2}-a\right)^3 +\left(\tfrac{1}{2}-b\right)^3 +\left(\tfrac{1}{2}-c\right)^3.\]สังเกตว่า $\left(\tfrac{1}{2}-a\right) +\left(\tfrac{1}{2}-b\right) +\left(\tfrac{1}{2}-c\right) = \tfrac{3}{2} - (a+b+c) = 0.$ เป็นความจริงทั่วไปที่ว่าถ้า $r+s+t=0,$ แล้ว $r^3+s^3+t^3=3rst$; ซึ่งตามมาจากเอกลักษณ์การแยกตัวประกอบ \[r^3 + s^3 + t^3 = 3 rst + (r+s+t)(r^2+s^2+t^2-rs-st-rt).\]ดังนั้น \[ \left(\tfrac{1}{2}-a\right)^3 +\left(\tfrac{1}{2}-b\right)^3 +\left(\tfrac{1}{2}-c\right)^3 = 3\left(\tfrac{1}{2}-a\right)\left(\tfrac{1}{2}-b\right)\left(\tfrac{1}{2}-c\right).\]สุดท้าย ให้ $p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 165x - 4,$ เราได้ $p(x) = 2(x-a)(x-b)(x-c),$ ดังนั้น \[78 = p(\tfrac{1}{2}) = 2\left(\tfrac{1}{2}-a\right)\left(\tfrac{1}{2}-b\right)\left(\tfrac{1}{2}-c\right).\]ดังนั้น คำตอบคือ \[3\left(\tfrac{1}{2}-a\right)\left(\tfrac{1}{2}-b\right)\left(\tfrac{1}{2}-c\right) = \tfrac{3}{2} \cdot 78 = \boxed{117}.\] | p(x) = 2(x-a)(x-b)(x-c), | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาสมการของไดเร็คทริกซ์ของพาราโบลา $x = -\frac{1}{6} y^2.$ | เราทราบว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่ห่างจากโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน
เนื่องจากพาราโบลา $x = -\frac{1}{6} y^2$ สมมาตรรอบแกน $x$ โฟกัสจึงอยู่ที่จุดที่มีรูปแบบ $(f,0).$ ให้ $x = d$ เป็นสมการของไดเร็คทริกซ์
[asy]
unitsize(1.5 cm);
pair F, P, Q;
F = (-1/4,0);
P = (-1,1);
Q = (-1/4,1);
real parab (real x) {
return(-x^2);
}
draw(reflect((0,0),(1,1))*graph(parab,-1.5,1.5),red);
draw((1/4,-1.5)--(1/4,1.5),dashed);
draw(P--F);
draw(P--Q);
dot("$F$", F, SW);
dot("$P$", P, N);
dot("$Q$", Q, E);
[/asy]
ให้ $\left( -\frac{1}{6} y^2, y \right)$ เป็นจุดบนพาราโบลา $x = -\frac{1}{6} y^2.$ แล้ว
\[PF^2 = \left( -\frac{1}{6} y^2 - f \right)^2 + y^2\]และ $PQ^2 = \left( -\frac{1}{6} y^2 - d \right)^2.$ ดังนั้น,
\[\left( -\frac{1}{6} y^2 - f \right)^2 + y^2 = \left( -\frac{1}{6} y^2 - d \right)^2.\]ขยาย, เราได้
\[\frac{1}{36} y^4 + \frac{f}{3} y^2 + f^2 + y^2 = \frac{1}{36} y^4 + \frac{d}{3} y^2 + d^2.\]จับสัมประสิทธิ์ให้เท่ากัน, เราได้
\begin{align*}
\frac{f}{3} + 1 &= \frac{d}{3}, \\
f^2 &= d^2.
\end{align*}จากสมการแรก, $d - f = 3.$ เนื่องจาก $f^2 = d^2,$ $f = d$ หรือ $f = -d.$ เราไม่สามารถมี $f = d$ ได้ ดังนั้น $f = -d.$ แล้ว $2d = 3,$ ดังนั้น $d = \frac{3}{2}.$
ดังนั้น สมการของไดเร็คทริกซ์คือ $\boxed{x = \frac{3}{2}}.$ | \boxed{x = \frac{3}{2}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r,$ $s,$ และ $t$ เป็นรากของสมการ $x^3 - 20x^2 + 18x - 7 = 0.$ จงหาค่าของ $(1+r)(1+s)(1+t).$ | ขยายพจน์, เราได้ \[(1+r)(1+s)(1+t) = 1 + (r+s+t) + (rs+st+tr) + rst.\]โดยสูตรของ Vieta's, ผลลัพธ์คือ \[1 + 20 + 18 + 7 = \boxed{46}.\] | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $2005$ แต่ละพจน์ถัดมาเป็นผลรวมของเลขยกกำลังสามของหลักของพจน์ก่อนหน้า พจน์ที่ ${2005}^{\text{th}}$ ของลำดับนี้คืออะไร? | พจน์ไม่กี่พจน์แรกของลำดับคือ
\[2005, 133, 55, 250, 133.\]เนื่องจากแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าเท่านั้น และพจน์ที่ห้าตรงกับพจน์ที่สอง ลำดับจึงเป็นคาบ โดยมีคาบ 3
ดังนั้น พจน์ที่ 2005 เท่ากับพจน์ที่ 4 ซึ่งคือ $\boxed{250}.$ | \boxed{250}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมการ $x^2 + 2x = i$ มีคำตอบเชิงซ้อนสองคำตอบ จงหาผลคูณของส่วนจริงของคำตอบทั้งสอง | เติมกำลังสองโดยการบวก 1 ลงในแต่ละข้าง จากนั้น $(x+1)^2 = 1+i=e^{\frac{i\pi}{4}} \sqrt{2}$ ดังนั้น $x+1 = \pm e^{\frac{i\pi}{8}}\sqrt[4]{2}$ ผลคูณที่ต้องการคือ
\begin{align*}
\left( -1+\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\sqrt[4]{2} \right) \left( -1-\cos\left( \frac{\pi}{8}\right) \sqrt[4]{2}\right) &= 1-\cos^2\left( \frac{\pi}{8}\right) \sqrt{2} \\
&= 1-\frac{\left( 1 +\cos\left( \frac{\pi}{4}\right) \right)}{2}\sqrt{2}\\
&= \boxed{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}.
\end{align*} | x+1 = \pm e^{\frac{i\pi}{8}}\sqrt[4]{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าจำนวนจริง $x$ สอดคล้องกับ \[\sqrt{49-x^2}-\sqrt{25-x^2}=3.\] จงหาค่าของ $\sqrt{49-x^2}+\sqrt{25-x^2}$ | บวก $\sqrt{25-x^2}$ เข้ากับทั้งสองข้าง จะได้ \[\sqrt{49-x^2} = 3 + \sqrt{25-x^2}.\] จากนั้น ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ \[49-x^2 = 9 + 6\sqrt{25-x^2} + (25-x^2),\] ดังนั้น \[15 = 6\sqrt{25-x^2}.\] ดังนั้น $\sqrt{25-x^2} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}.$ แทนที่จะแก้หา $x$ จากตรงนี้ เราสังเกตว่า \[\sqrt{49-x^2} = 3 + \sqrt{25-x^2} = 3 + \frac{5}{2} = \frac{11}{2}.\] ดังนั้น \[\sqrt{49-x^2} + \sqrt{25-x^2} = \frac{11}{2} + \frac{5}{2} = \boxed{8}.\] | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ต่างกัน 3 จำนวน ซึ่ง $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเรขาคณิต และ
\[\log_c a, \ \log_b c, \ \log_a b\]เป็นลำดับเลขคณิต จงหาผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต | เนื่องจาก $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น $b = \sqrt{ac}.$ ดังนั้นสามลอการิทึมจะกลายเป็น
\[\log_c a, \ \log_{\sqrt{ac}} c, \ \log_a \sqrt{ac}.\]กำหนดให้ $x = \log_c a.$ จากนั้นโดยสูตรการเปลี่ยนฐาน
\[\log_{\sqrt{ac}} c = \frac{\log_c c}{\log_c \sqrt{ac}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \log_c ac} = \frac{2}{\log_c a + \log_c c} = \frac{2}{x + 1},\]และ
\[\log_a \sqrt{ac} = \frac{1}{2} \log_a ac = \frac{\log_c ac}{2 \log_c a} = \frac{\log_c a + \log_c c}{2 \log_c a} = \frac{x + 1}{2x}.\]กำหนดให้ $d$ เป็นผลต่างร่วม ดังนั้น
\[d = \frac{2}{x + 1} - x = \frac{x + 1}{2x} - \frac{2}{x + 1}.\]จากนั้น
\[4x - 2x^2 (x + 1) = (x + 1)^2 - 4x,\]ซึ่งจะเรียบง่ายเป็น $2x^3 + 3x^2 - 6x + 1 = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบเป็น $(x - 1)(2x^2 + 5x - 1) = 0.$
ถ้า $x = 1,$ แล้ว $\log_c a = 1,$ ดังนั้น $a = c.$ แต่ $a$ และ $c$ เป็นจำนวนที่ต่างกัน ดังนั้น $2x^2 + 5x - 1 = 0,$ ดังนั้น $x^2 = \frac{1 - 5x}{2}.$ จากนั้น
\[d = \frac{2}{x + 1} - x = \frac{2 - x^2 - x}{x + 1} = \frac{2 - \frac{1 - 5x}{2} - x}{x + 1} = \frac{3x + 3}{2(x + 1)} = \boxed{\frac{3}{2}}.\] | x^2 = \frac{1 - 5x}{2}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของผลรวม
\[
\sum_z \frac{1}{{\left|1 - z\right|}^2} \, ,
\]โดยที่ $z$ มีค่าเป็น 7 คำตอบ (จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) ของสมการ $z^7 = -1$ ทั้งหมด | เนื่องจาก $z^7 = -1,$ $|z^7| = 1.$ ดังนั้น $|z|^7 = 1,$ ดังนั้น $|z| = 1.$ จากนั้น $z \overline{z} = |z|^2 = 1,$ ดังนั้น $\overline{z} = \frac{1}{z}.$ ดังนั้น,
\begin{align*}
\frac{1}{|1 - z|^2} &= \frac{1}{(1 - z)(\overline{1 - z})} \\
&= \frac{1}{(1 - z)(1 - \overline{z})} \\
&= \frac{1}{(1 - z)(1 - \frac{1}{z})} \\
&= \frac{z}{(1 - z)(z - 1)} \\
&= -\frac{z}{(z - 1)^2}.
\end{align*}ให้ $z = \frac{1}{w} + 1.$ จากนั้น
\[-\frac{z}{(z - 1)^2} = -\frac{\frac{1}{w} + 1}{\frac{1}{w^2}} = -w - w^2.\]จาก $z^7 = -1,$
\[\left( \frac{1}{w} + 1 \right)^7 = -1.\]จากนั้น $(1 + w)^7 = -w^7.$ ทำการขยาย, เราได้
\[2w^7 + 7w^6 + 21w^5 + 35w^4 + 35w^3 + 21w^2 + 7w + 1 = 0.\]ให้รากของ $z^7 = -1$ เป็น $z_1,$ $z_2,$ $\dots,$ $z_7,$ และให้ $w_k$ เป็นค่าที่สอดคล้องกันของ $z_k,$ กล่าวคือ $z_k = \frac{1}{w_k} + 1.$ จากนั้น
\[\sum_{k = 1}^7 \frac{1}{|1 - z_k|^2} = \sum_{k = 1}^7 (-w_k - w_k^2).\]โดยสูตรของ Vieta's, $w_1 + w_2 + \dots + w_7 = -\frac{7}{2}$ และ $w_1 w_2 + w_1 w_3 + \dots + w_6 w_7 = \frac{21}{2}.$ กำลังสองสมการ $w_1 + w_2 + \dots + w_7 = -\frac{7}{2},$ เราได้
\[w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_7^2 + 2(w_1 w_2 + w_1 w_3 + \dots + w_6 w_7) = \frac{49}{4}.\]จากนั้น
\[w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_7^2 = \frac{49}{4} - 2(w_1 w_2 + w_1 w_3 + \dots + w_6 w_7) = \frac{49}{4} - 2 \cdot \frac{21}{2} = -\frac{35}{4}.\]ดังนั้น,
\[\sum_{k = 1}^7 (-w_k - w_k^2) = \frac{7}{2} + \frac{35}{4} = \boxed{\frac{49}{4}}.\] | w_1 + w_2 + \dots + w_7 = -\frac{7}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{70}$ ในการกระจายของ
\[(x - 1)(x^2 - 2)(x^3 - 3) \dotsm (x^{11} - 11)(x^{12} - 12).\] | ดีกรีของพหุนามคือ $1 + 2 + 3 + \dots + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78.$
เมื่อเราขยาย $(x - 1)(x^2 - 2)(x^3 - 3) \dotsm (x^{11} - 11)(x^{12} - 12),$ เราเลือกพจน์จากแต่ละตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น จากตัวประกอบแรก $x - 1,$ เราสามารถเลือก $x$ หรือ $-1.$ จากตัวประกอบที่สอง $x^2 - 2,$ เราสามารถเลือก $x^2$ หรือ $-2,$ และอื่นๆ ดังนั้นเพื่อหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{70},$ เราต้องการครอบคลุมตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่กำลังของ $x$ คูณกันเป็น $x^{70}.$
เนื่องจากดีกรีของพหุนามคือ $x^{78},$ ผลคูณของกำลังของ $x$ ที่ "หายไป" ต้องเป็น $x^8.$ เราแบ่งออกเป็นกรณี
กรณี 1: ตัวประกอบหนึ่งมีกำลังของ $x$ หายไป
ถ้าตัวประกอบหนึ่งมีกำลังของ $x$ หายไป มันต้องเป็น $x^8 - 8,$ ซึ่งเราเลือก $-8$ แทน $x^8$ ดังนั้นกรณีนี้มีส่วน contribution $-8x^{70}.$
กรณี 2: ตัวประกอบสองตัวมีกำลังของ $x$ หายไป
ถ้ามีกำลังของ $x$ หายไปสองตัว พวกมันต้องเป็น $x^a$ และ $x^b,$ โดยที่ $a + b = 8.$ คู่ $(a,b)$ ที่เป็นไปได้คือ $(1,7),$ $(2,6),$ และ $(3,5)$ (โปรดทราบว่าลำดับไม่สำคัญ) ดังนั้นกรณีนี้มีส่วน contribution $[(-1)(-7) + (-2)(-6) + (-3)(-5)] x^{70} = 34x^{70}.$
กรณี 3: ตัวประกอบสามตัวมีกำลังของ $x$ หายไป
ถ้ามีกำลังของ $x$ หายไปสามตัว พวกมันต้องเป็น $x^a,$ $x^b,$ และ $x^c,$ โดยที่ $a + b + c = 8.$ สามเท่า $(a,b,c)$ ที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $(1,2,5)$ และ $(1,3,4),$ ดังนั้นกรณีนี้มีส่วน contribution $[(-1)(-2)(-5) + (-1)(-3)(-4)] x^{70} = -22x^{70}.$
กรณี 4: ตัวประกอบสี่ตัวขึ้นไปมีกำลังของ $x$ หายไป
ถ้ามีกำลังของ $x$ หายไปสี่ตัวขึ้นไป พวกมันต้องเป็น $x^a,$ $x^b,$ $x^c,$ และ $x^d$ โดยที่ $a + b + c + d = 8.$ เนื่องจาก $a,$ $b,$ $c,$ $d$ แตกต่างกัน เราต้องมี $a + b + c + d \ge 10.$ ดังนั้นไม่มีวิธีที่จะได้กำลังของ $x^{70}$ ในกรณีนี้
ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $x^{70}$ คือ $(-8) + 34 + (-22) = \boxed{4}.$ | (-8) + 34 + (-22) = \boxed{4}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $(1 + i)^4.$ | เรามีว่า
\[(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i,\]ดังนั้น $(1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}.$ | (1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(xy) = f(x) f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด และ $f(0) \neq 0.$ จงหา $f(10).$ | ให้ $x = 0$ และ $y = 10,$ เราได้
\[f(0) = f(0) f(10).\]เนื่องจาก $f(0) \neq 0$ เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $f(0)$ ได้ $f(10) = \boxed{1}.$ | f(10) = \boxed{1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = \lfloor x \rfloor + \frac{1}{2}$ เป็นฟังก์ชันคู่, คี่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง? | เนื่องจาก $f \left( \frac{1}{2} \right) = \left\lfloor \frac{1}{2} \right\rfloor + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ และ $f \left( -\frac{1}{2} \right) = \left\lfloor -\frac{1}{2} \right\rfloor + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2},$ ดังนั้นถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่หรือคี่ $f$ จะต้องเป็นฟังก์ชันคี่
แต่ $f(0) = \lfloor 0 \rfloor + \frac{1}{2}.$ ทุกฟังก์ชันคี่ $f(x)$ สอดคล้องกับ $f(0) = 0,$ ดังนั้น $f(x)$ เป็น $\boxed{\text{ไม่เป็นทั้งคู่และคี่}}.$ | \boxed{\text{ไม่เป็นทั้งคู่และคี่}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ และ $d$ เป็นรากของ \[x^4 + 8x^3 + 9x^2 + 5x + 4 = 0.\]จงหาค่าของ \[\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ad} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{cd}.\] | นำเศษส่วนเหล่านี้ไปหารด้วยส่วนร่วมกัน เราจะได้ \[\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ad} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{cd} = \frac{cd + bd + ac + ad + ac + ab}{abcd}.\]จากสูตรของ Vieta's, $ab+ac+ad+bc+bd+cd=9$ และ $abcd=4.$ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{\tfrac 94}.$ | \boxed{\tfrac 94}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $f(x)$ นิยามสำหรับจำนวนเต็ม $x \ge 0,$ $f(1) = 1,$ และ
\[f(a + b) = f(a) + f(b) - 2f(ab)\]สำหรับจำนวนเต็ม $a,$ $b \ge 0$ ทั้งหมด จงหาค่าของ $f(1986).$ | กำหนด $b = 0$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด เราได้
\[f(a) = f(a) + f(0) - 2f(0),\]ดังนั้น $f(0) = 0.$
กำหนด $b = 1$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด เราได้
\[f(a + 1) = f(a) + f(1) - 2f(a) = f(1) - f(a).\]แล้ว
\begin{align*}
f(a + 2) &= f(1) - f(a + 1) \\
&= f(1) - [f(1) - f(a)] \\
&= f(a).
\end{align*}ดังนั้น $f(1986) = f(1984) = \dots = f(2) = f(0) = \boxed{0}.$ | f(1986) = f(1984) = \dots = f(2) = f(0) = \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามเอกหนุ่งที่มีดีกรี 4 ซึ่ง $p(1) = 17,$ $p(2) = 34,$ และ $p(3) = 51.$ จงหา $p(0) + p(4).$ | กำหนดให้ $f(x) = p(x) - 17x.$ แล้ว $f(1) = f(2) = f(3) = 0.$ นอกจากนี้ $f(x)$ เป็นพหุนามเอกหนุ่งที่มีดีกรี 4 ดังนั้น
\[f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r),\]สำหรับจำนวนจริง $r$ ใดๆ ดังนั้น
\[p(x) = f(x) + 17x = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r) + 17x.\]ดังนั้น
\begin{align*}
p(0) + p(4) &= (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)(0 - r) + 17 \cdot 0 + (4 - 1)(4 - 2)(4 - 3)(4 - r) + 17 \cdot 4 \\
&= 6r + 24 - 6r + 68 \\
&= \boxed{92}.
\end{align*} | 92 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6.\]จงหาค่าต่ำสุดของ $x^3 y^2 z.$ | โดยอสมการ AM-GM,
\begin{align*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= \frac{1}{3x} + \frac{1}{3x} + \frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{z} \\
&\ge 6 \sqrt[6]{\frac{1}{3x} \cdot \frac{1}{3x} \cdot \frac{1}{3x} \cdot \frac{1}{2y} \cdot \frac{1}{2y} \cdot \frac{1}{z}} \\
&= 6 \sqrt[6]{\frac{1}{108x^3 y^2 z}}.
\end{align*}เนื่องจาก $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6,$ เราจะได้
\[x^3 y^2 z \ge \frac{1}{108}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $3x = 2y = z.$ พร้อมกับเงื่อนไข $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6,$ เราสามารถแก้สมการได้ $x = \frac{1}{3},$ $y = \frac{1}{2},$ และ $z = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{1}{108}}.$ | \boxed{\frac{1}{108}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณค่าที่แน่นอนของนิพจน์
\[|\pi - |\pi - 7||.\]เขียนคำตอบของคุณโดยใช้เฉพาะจำนวนเต็มและ$\pi,$ โดยไม่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เนื่องจาก $\pi < 7,$
\[|\pi - 7| = 7 - \pi.\]ดังนั้น,
\[|\pi - |\pi - 7|| = |\pi - (7 - \pi)| = |2 \pi - 7|.\]เราทราบว่า $\pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2},$ ดังนั้น
\[|2 \pi - 7| = \boxed{7 - 2 \pi}.\] | $\pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2},$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $f(x) = 6x - 9$ และ $g(x) = \frac{x}{3} + 2$ จงหา $f(g(x)) - g(f(x))$ | เราได้ว่า
$$\begin{aligned} f(g(x)) &= f\left(\frac{x}{3} + 2\right) = 6\left(\frac{x}{3} + 2\right) - 9 \\
&= 2x + 12 - 9\\
&= 2x + 3
\end{aligned}$$และ
$$\begin{aligned} g(f(x)) &= g(6x-9) = \frac{6x-9}{3} + 2 \\
&= 2x -3 +2\\
&= 2x -1.
\end{aligned}$$ดังนั้น
$$f(g(x)) - g(f(x)) = 2x+3 - (2x-1) = 2x + 3 - 2x +1 = \boxed{4}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
มีจำนวนจริงบวกกี่คำตอบของสมการ $x^{10}+7x^9+14x^8+1729x^7-1379x^6=0$? | เราสามารถแยกตัวประกอบสมการได้เป็น
\[x^6 (x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379) = 0.\]เนื่องจากเราต้องการหาคำตอบจริงบวก สมการจะลดรูปเป็น
\[x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.\]พิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.$ ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นเมื่อ $x > 0.$ นอกจากนี้ $f(0) < 0$ และ $f(1) > 0,$ ดังนั้นมีคำตอบจริงบวกที่แน่นอนเพียง $\boxed{1}$ คำตอบ ซึ่งอยู่ในช่วง $(0,1).$ | (0,1). | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่ารากของ $x^3+3x^2+4x-11=0$ คือ $a$, $b$, และ $c$ และรากของ $x^3+rx^2+sx+t=0$ คือ $a+b$, $b+c$, และ $c+a$ จงหาค่า $t$ | จากสูตรของ Vieta's \[t = -(a+b)(b+c)(c+a).\]จากพหุนามลูกบาศก์สมการแรก เราได้ว่า $a+b+c=-3$ โดยใช้สมการนี้ เราสามารถเขียนใหม่ได้ว่า \[t = -(-3-c)(-3-a)(-3-b).\]เพื่อคำนวณค่านี้ได้อย่างรวดเร็ว ให้สังเกตว่า สำหรับ $x$ ใดๆ \[x^3 + 3x^2 + 4x - 11 = (x-a)(x-b)(x-c)\]โดยทฤษฎีบทปัจจัย ให้ $x = -3$ เราได้ \[(-3)^3 + 3(-3)^2 + 4(-3) - 11 = -23 = (-3-a)(-3-b)(-3-c).\]ดังนั้น $t = -(-23) = \boxed{23}$ | t = -(-23) = \boxed{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ $1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\cdots$. | กำหนดให้
\[S = 1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\dotsb.\]แล้ว
\[1998S = 1998 + 2 + \frac{3}{1998} + \frac{4}{1998^2} + \dotsb.\]ลบสมการทั้งสองสมการ เราจะได้
\[1997S = 1998 + 1 + \frac{1}{1998} + \frac{1}{1988^2} + \dotsb = \frac{1998}{1 - 1/1998} = \frac{3992004}{1997},\]ดังนั้น $S = \boxed{\frac{3992004}{3988009}}.$ | S = \boxed{\frac{3992004}{3988009}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor.
\](หมายเหตุ: $\lfloor x \rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$.) | เรามี \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left(2007 \cdot 2006 + \frac{1}{2005}\right)\cdot 2005!}{(2006+1)\cdot 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{2007\cdot 2006 + \frac{1}{2005}}{2007}\right\rfloor = \left\lfloor 2006 + \frac{1}{2005 \cdot 2007}\right\rfloor = \boxed{2006}.
\] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
สำหรับลำดับจำกัด $A=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ ของจำนวน Cesaro sum ของ $A$ ถูกนิยามให้เป็น
\[\frac{S_1+\cdots+S_n}{n},\]โดยที่ $S_k=a_1+\cdots+a_k$ และ $1\leq k\leq n$.
ถ้า Cesaro sum ของลำดับ 99 พจน์ $(a_1,\dots,a_{99})$ เท่ากับ 1000 Cesaro sum ของลำดับ 100 พจน์ $(1,a_1,\dots,a_{99})$ เท่ากับเท่าใด | นำนิยามไปใช้กับลำดับ $(a_1, a_2, \dots, a_{99}),$ เราได้
\[\frac{a_1 + (a_1 + a_2) + \dots + (a_1 + a_2 + \dots + a_{99})}{99} = 1000.\]ดังนั้น $99a_1 + 98a_2 + \dots + 2a_{98} + a_{99} = 99000.$
แล้ว Cesaro sum ของ $(1, a_1, a_2, \dots, a_{99})$ เท่ากับ
\begin{align*}
\frac{1 + (1 + a_1) + (1 + a_1 + a_2) + \dots + (1 + a_1 + a_2 + \dots + a_{99})}{100} &= \frac{100 + 99a_1 + 98a_2 + \dots + 2a_{98} + a_{99}}{100} \\
&= \frac{100 + 99000}{100} = \frac{99100}{100} = \boxed{991}.
\end{align*} | 991 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้\[S=\sqrt{1+\dfrac1{1^2}+\dfrac1{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}}+\cdots+\sqrt{1+\dfrac1{2007^2}+\dfrac1{2008^2}}.\]จงหาค่าของ $\lfloor S^2\rfloor$.
| โดยใช้สัญกรณ์ผลรวม $S = \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{1 + \tfrac{1}{i^2} + \tfrac{1}{(i+1)^2}}$. โดยใช้จำนวนเต็มร่วมและทำให้ง่ายขึ้น เราได้\begin{align*} S &= \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{ \frac{i^2 (i^2 + 2i + 1) + i^2 + 2i + 1 + i^2}{i^2 (i+1)^2} } \\ &= \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{ \frac{i^4 + 2i^3 + 3i^2 + 2i + 1}{i^2 (i+1)^2} } \\ &= \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{ \frac{(i^2 + i + 1)^2}{i^2 (i+1)^2} } \\ &= \sum_{i=1}^{2007} \frac{i^2 + i + 1}{i^2 + i} \\ &= \sum_{i=1}^{2007} (1 + \frac{1}{i(i+1)}) \\ &= \sum_{i=1}^{2007} (1 + \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}) \end{align*}
สังเกตว่าส่วนหนึ่งของพจน์จะหดสั้นลง ทำให้การคำนวณง่ายขึ้น การคำนวณจะได้ $S = 2007 + 1 - \tfrac{1}{2008}$. ดังนั้น $S^2 = (2008 - \tfrac{1}{2008})^2 = 4032064 - 2 + (\tfrac{1}{2008})^2$. เนื่องจาก $0 < (\tfrac{1}{2008})^2 < 1$ เราจึงสรุปได้ว่า $\lfloor S^2\rfloor = \boxed{4032062}$. | \lfloor S^2\rfloor = \boxed{4032062} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ลำดับ $(x_k)$ ถูกนิยามโดย $x_0 = 0,$ $x_1 = 1,$ และ
\[x_{k + 2} = \frac{(n - 1) x_{k + 1} - (n - k) x_k}{k + 1}\]สำหรับ $k \ge 0.$ จงหา $x_0 + x_1 + x_2 + \dotsb$ เป็นฟังก์ชันของ $n.$ | พจน์สองสามพจน์แรกคือ
\begin{align*}
x_2 &= \frac{(n - 1) \cdot 1 - (n - k) \cdot 0}{1} = n - 1, \\
x_3 &= \frac{(n - 1)(n - 1) - (n - 1) \cdot 1}{2} = \frac{(n - 1)(n - 2)}{2}, \\
x_4 &= \frac{(n - 1) \cdot \frac{(n - 1)(n - 2)}{2} - (n - 2)(n - 1)}{3} = \frac{(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{6}.
\end{align*}ดูเหมือนว่า
\[x_k = \frac{(n - 1)(n - 2) \dotsm (n - k + 1)}{(k - 1)!}\]สำหรับ $k \ge 2.$ เราพิสูจน์โดยวิธีอุปนัย
เราเห็นว่าผลลัพธ์นี้เป็นจริงสำหรับ $k = 2$ และ $k = 3$ ดังนั้นสมมติว่าผลลัพธ์นี้เป็นจริงสำหรับ $k = i$ และ $k = i + 1$ สำหรับบางค่า $i \ge 2,$ ดังนั้น
\begin{align*}
x_i &= \frac{(n - 1)(n - 2) \dotsm (n - i + 1)}{(i - 1)!}, \\
x_{i + 1} &= \frac{(n - 1)(n - 2) \dotsm (n - i + 1)(n - i)}{i!}.
\end{align*}แล้ว
\begin{align*}
x_{i + 2} &= \frac{(n - 1) x_{i + 1} - (n - i) x_i}{i + 1} \\
&= \frac{(n - 1) \cdot \frac{(n - 1)(n - 2) \dotsm (n - i + 1)(n - i)}{i!} - (n - i) \cdot \frac{(n - 1)(n - 2) \dotsm (n - i + 1)}{(i - 1)!}}{i + 1} \\
&= \frac{(n - 1)(n - 2) \dotsm (n - i + 1)(n - i)}{(i - 1)!} \cdot \frac{(n - 1)/i - 1}{i + 1} \\
&= \frac{(n - 1)(n - 2) \dotsm (n - i + 1)(n - i)}{(i - 1)!} \cdot \frac{(n - i - 1)}{i(i + 1)} \\
&= \frac{(n - 1)(n - 2) \dotsm (n - i + 1)(n - i)(n - i - 1)}{(i + 1)!}.
\end{align*}นี่คือขั้นตอนการอุปนัย
ดังนั้น
\[x_k = \frac{(n - 1)(n - 2) \dotsm (n - k + 1)}{(k - 1)!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} =\binom{n - 1}{k - 1}\]สำหรับ $k \le n,$ และ $x_k = 0$ สำหรับ $k \ge n + 1.$ ดังนั้น
\[x_0 + x_1 + x_2 + \dotsb = \binom{n - 1}{0} + \binom{n - 1}{1} + \binom{n - 2}{2} + \dots + \binom{n - 1}{n - 1} = \boxed{2^{n - 1}}.\] | k \ge n + 1. | [
"unknown"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5,i)--(5,i),gray(0.7));
}
draw((-5,0)--(5,0),Arrows(6));
draw((0,-5)--(0,5),Arrows(6));
label("$x$", (5,0), E);
label("$y$", (0,5), N);
draw(graph(func,-3,3),red);
label("$y = f(x)$", (3,-2), UnFill);
[/asy]
กราฟของ $y = f(|x|)$ คือ กราฟใด?
[asy]
unitsize(0.5 cm);
picture[] graf;
int i, n;
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
real funca(real x) {
return(func(abs(x)));
}
real funcb(real x) {
real y = max(0,func(x));
return(y);
}
real funcd(real x) {
return(abs(func(x)));
}
real funce(real x) {
return(func(-abs(x)));
}
for (n = 1; n <= 5; ++n) {
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-6*n)--(i,-6*n + 0.2),gray(0.7));
draw((-6*n,i)--( -6*n + 0.2,i),gray(0.7));
}
}
draw(graf[1],graph(funca,-3,3),red);
draw(graf[2],graph(funcb,-3,3),red);
draw(graf[3],reflect((0,0),(0,1))*graph(func,-3,3),red);
draw(graf[4],graph(funcd,-3,3),red);
draw(graf[5],graph(funce,-3,3),red);
label(graf[1], "A", (0,-6));
label(graf[2], "B", (0,-12));
label(graf[3], "C", (0,-18));
label(graf[4], "D", (0,-24));
label(graf[5], "E", (0,-30));
add(graf[1]);
add(shift((12,0))*(graf[2]));
add(shift((24,0))*(graf[3]));
add(shift((6,-12))*(graf[4]));
add(shift((18,-12))*(graf[5]));
[/asy]
| ถ้า $x \ge 0,$ แล้ว $f(|x|) = f(x).$ และถ้า $x < 0,$ แล้ว $f(|x|) = f(-x).$ ดังนั้น กราฟของ $y = |f(x)|$ จะได้มาจากการนำส่วนของกราฟของ $y = f(x)$ ที่อยู่ทางด้านขวาของแกน $y$ มาทำสำเนาโดยสะท้อนมันผ่านแกน $y.$ กราฟที่ถูกต้องคือ $oxed{\text{A}}.$ | \boxed{\text{A}}. | [
"จำ",
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] |
แก้อสมการ
\[-4x^2 + 7x + 2 < 0.\] | สมการอสมการสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
\[-(4x + 1)(x - 2) < 0.\]ดังนั้นคำตอบคือ $x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}.$ | x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $x^3 - 9x^2 + 8x +2 = 0$ มีรากจริงสามราก คือ $p$, $q$, $r$. จงหาค่าของ $\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{r^2}$. | จากความสัมพันธ์ของ Vieta's เราได้ว่า $p+q+r = 9$, $pq+qr+pr = 8$ และ $pqr = -2$ ดังนั้น \begin{align*}
\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{r^2} = \frac{(pq + qr + rp)^2 - 2 (p + q + r)(pqr)}{(pqr)^2} = \frac{8^2 - 2 \cdot 9 \cdot (-2)}{(-2)^2} = \boxed{25}.
\end{align*} | 25 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x + y + z = 1.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x^3 y^2 z.$ | โดย AM-GM,
\begin{align*}
x + y + z &= \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} + z \\
&\ge 6 \sqrt[6]{\frac{x^3 y^2 z}{108}}.
\end{align*}เนื่องจาก $x + y + z = 1,$ เราได้
\[x^3 y^2 z \le \frac{108}{6^6} = \frac{1}{432}.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = z.$ พร้อมกับเงื่อนไข $x + y + z = 1,$ เราสามารถแก้สมการได้ $x = \frac{1}{2},$ $y = \frac{1}{3},$ และ $z = \frac{1}{6},$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{1}{432}}.$ | \boxed{\frac{1}{432}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$ และ $c$ เป็นรากที่ 3 ของ $x^3-x+1=0$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$ | เราสามารถแทน $x=y-1$ เพื่อให้ได้พหุนามที่มีราก $a+1$, $b+1$, $c+1$ นั่นคือ
\[(y-1)^3-(y-1)+1=y^3-3y^2+2y+1.\]ผลบวกของส่วนกลับของรากของพหุนามนี้ โดยใช้สูตรของ Vieta's คือ $\frac{2}{-1}=\boxed{-2}$. | \frac{2}{-1}=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่ามีจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ $a,$ $b,$ $c,$ และ $d$ ซึ่ง $k$ เป็นรากของสมการทั้งสอง $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ และ $bx^3 + cx^2 + dx + a = 0.$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $k$ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เรามี
\begin{align*}
ak^3 + bk^2 + ck + d &= 0, \\
bk^3 + ck^2 + dk + a &= 0.
\end{align*}คูณสมการแรกด้วย $k,$ เราได้
\[ak^4 + bk^3 + ck^2 + dk = 0.\]ลบสมการ $bk^3 + ck^2 + dk + a = 0,$ เราได้ $ak^4 = a.$ เนื่องจาก $a$ ไม่เป็นศูนย์ $k^4 = 1.$ ดังนั้น $k^4 - 1 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้
\[(k - 1)(k + 1)(k^2 + 1) = 0.\]นั่นหมายความว่า $k$ เป็นหนึ่งใน $1,$ $-1,$ $i,$ หรือ $-i.$
ถ้า $a = b = c = d = 1,$ แล้ว $-1,$ $i,$ และ $-i$ เป็นรากของพหุนามทั้งสอง ถ้า $a = b = c = 1$ และ $d = -3,$ แล้ว 1 เป็นรากของพหุนามทั้งสอง ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $k$ คือ $\boxed{1,-1,i,-i}.$ | \boxed{1,-1,i,-i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $ABC^{}_{}$ มี $AB=9^{}_{}$ และ $BC: AC=40: 41^{}_{}$. จงหาพื้นที่มากที่สุดที่สามเหลี่ยมนี้จะมีได้ | กำหนดให้ $BC = 40x$ และ $AC = 41x.$ โดยอสมการสามเหลี่ยม $x$ ต้องสอดคล้องกับ
\begin{align*}
9 + 40x &> 41x, \\
9 + 41x &> 40x, \\
40x + 41x &> 9.
\end{align*}อสมการข้อแรกบอกว่า $x < 9,$ อสมการข้อที่สองเป็นจริงเสมอ และอสมการข้อที่สามบอกว่า $x > \frac{1}{9}.$
กึ่ง परिมาตรคือ $s = \frac{9 + 81x}{2},$ ดังนั้นโดยสูตรของ Heron,
\begin{align*}
[ABC]^2 &= \frac{9 + 81x}{2} \cdot \frac{81x - 9}{2} \cdot \frac{9 + x}{2} \cdot \frac{9 - x}{2} \\
&= \frac{81}{16} (9x + 1)(9x - 1)(9 + x)(9 - x) \\
&= \frac{81}{16} (81x^2 - 1)(81 - x^2) \\
&= \frac{1}{16} (81x^2 - 1)(81^2 - 81x^2).
\end{align*}โดย AM-GM,
\[(81x^2 - 1)(81^2 - 81x^2) \le \left[ \frac{(81x^2 - 1) + (81^2 - 81x^2)}{2} \right]^2 = 3280^2,\]ดังนั้น
\[[ABC] \le \sqrt{\frac{3280^2}{16}} = 820.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $81x^2 - 1 = 81^2 - 81x^2,$ หรือ $x^2 = \frac{3281}{81},$ ดังนั้นพื้นที่สูงสุดคือ $\boxed{820}.$ | \boxed{820}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\left( r + \frac{1}{r} \right)^2 = 3,$ จงหา $r^3 + \frac{1}{r^3}.$ | ขยายพจน์, เราได้ $r^2 + 2 + \frac{1}{r^2} = 3,$ ดังนั้น
\[r^2 - 1 + \frac{1}{r^2} = 0.\]จากนั้น
\[r^3 + \frac{1}{r^3} = \left( r + \frac{1}{r} \right) \left( r^2 - 1 + \frac{1}{r^2} \right) = \boxed{0}.\] | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง $3x + 4y < 72$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[xy (72 - 3x - 4y).\] | เราสามารถพิจารณา $xy (72 - 3x - 4y)$ เป็นผลคูณของ $x,$ $y,$ และ $72 - 3x - 4y.$ อย่างไรก็ตาม ผลบวกของมันไม่คงที่
เพื่อให้ได้ผลบวกคงที่ เราพิจารณา $(3x)(4y)(72 - 3x - 4y).$ โดย AM-GM,
\[\sqrt[3]{(3x)(4y)(72 - 3x - 4y)} \le \frac{3x + 4y + (72 - 3x - 4y)}{3} = \frac{72}{3} = 24,\]ดังนั้น $(3x)(4y)(72 - 3x - 4y) \le 13824.$ จากนั้น
\[xy(72 - 3x - 4y) \le 1152.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $3x = 4y = 72 - 3x - 4y.$ เราสามารถแก้สมการเพื่อหา $x = 8$ และ $y = 6$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{1152}.$ | \boxed{1152}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{100}$ หารด้วย $(x + 1)^3.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^{100} &= [(x + 1) - 1]^{100} \\
&= (x + 1)^{100} - \binom{100}{1} (x + 1)^{99} + \binom{100}{2} (x + 1)^{98} + \dots - \binom{100}{97} (x + 1)^3 + \binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1.
\end{align*}เมื่อหารด้วย $(x + 1)^3$ เศษที่เหลือคือ
\[\binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1 = \boxed{4950x^2 + 9800x + 4851}.\] | (x + 1)^3, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ \[2x^3 - x^2 + 4x + 10 = 0.\] จงหาค่าของ $a^2 + b^2 + c^2$ | จากสูตรของ Vieta's เราทราบว่า \[\begin{aligned} a+b+c &= \frac12, \\ ab+bc+ca &= \frac42 = 2, \\ abc &= -\frac{10}2 = -5. \end{aligned}\]เรา squaring ทั้งสองข้างของ $a+b+c=\frac12,$ ซึ่งจะทำให้เกิดพจน์ $a^2+b^2+c^2$: \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = \frac14.\]แทนค่า $ab+bc+ca=2$ เราได้ \[a^2+b^2+c^2+2(2)=\frac14,\]ดังนั้น \[a^2+b^2+c^2=\frac14-4=\boxed{-\frac{15}4}.\] | ab+bc+ca=2, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามจำนวนจริง $a,b,$ และ $c$ สอดคล้องกับสมการ $a+b+c=2$, $ab+ac+bc=-7$ และ $abc=-14$ จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในสามจำนวนนี้คือเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | โดย Vieta's, $a$, $b$, และ $c$ เป็นคำตอบของสมการลูกบาศก์ \[x^3 - 2x^2 - 7x + 14 = 0.\] เราจัดกลุ่มและแยกตัวประกอบดังนี้: \begin{align*}
x^3 - 2x^2 - 7x + 14 = 0&=(x^3 - 7x) - (2x^2 - 14)\\
&=x(x^2 - 7) - 2(x^2 - 7)\\
&=(x-2)(x^2 - 7).
\end{align*} ดังนั้น คำตอบทั้งสามคือ $x=2$, $x=\sqrt{7}$, และ $x=-\sqrt{7}$. จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในจำนวนเหล่านี้คือ $\boxed{\sqrt{7}}$. | \boxed{\sqrt{7}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x^2-3x$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(f(x)) = f(x)$ ใส่คำตอบทั้งหมดคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | การขยาย $f(f(x)) = f(x)$ จะได้ $$(x^2-3x)^2-3(x^2-3x)=x^2-3x.$$แทนที่จะขยาย เราสามารถนำ $x^2-3x$ ไปลบออกจากทั้งสองข้างได้ $$(x^2-3x)^2-4(x^2-3x)=0.$$การแยกตัวประกอบ $x^2-3x$ จะได้ $(x^2-3x)(x^2-3x-4)=0$. การแยกตัวประกอบแต่ละกำลังสอง เราจะได้ $$x(x-3)(x+1)(x-4)=0.$$ดังนั้น ค่าของ $x$ คือ $\boxed{0, 3, -1, 4}$. | \boxed{0, 3, -1, 4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x^2}{y - 1} + \frac{y^2}{x - 1}\]สำหรับจำนวนจริง $x > 1$ และ $y > 1.$ | กำหนด $a = x - 1$ และ $b = y - 1.$ ดังนั้น $x = a + 1$ และ $y = b + 1,$ ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{x^2}{y - 1} + \frac{y^2}{x - 1} &= \frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \\
&= \frac{a^2 + 2a + 1}{b} + \frac{b^2 + 2b + 1}{a} \\
&= 2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) + \frac{a^2}{b} + \frac{1}{b} + \frac{b^2}{a} + \frac{1}{a}.
\end{align*}โดย AM-GM,
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\]และ
\[\frac{a^2}{b} + \frac{1}{b} + \frac{b^2}{a} + \frac{1}{a} \ge 4 \sqrt[4]{\frac{a^2}{b} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{b^2}{a} \cdot \frac{1}{a}} = 4,\]ดังนั้น
\[2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) + \frac{a^2}{b} + \frac{1}{b} + \frac{b^2}{a} + \frac{1}{a} \ge 2 \cdot 2 + 4 = 8.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = b = 1,$ หรือ $x = y = 2,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{8}.$ | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $|z - 5 - i| = 5.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[|z - 1 + 2i|^2 + |z - 9 - 4i|^2.\] | กำหนดให้ $z = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง แล้ว $|x + yi - 5 - i| = |(x - 5) + (y - 1)i| = 5,$ ดังนั้น
\[(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 25.\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $x^2 - 10x + y^2 - 2y = -1.$
นอกจากนี้
\begin{align*}
|z - 1 + 2i|^2 + |z - 9 - 4i|^2 &= |x + yi - 1 + 2i|^2 + |x + yi - 9 - 4i|^2 \\
&= |(x - 1) + (y + 2)i|^2 + |(x - 9) + (y - 4)i|^2 \\
&= (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (x - 9)^2 + (y - 4)^2 \\
&= 2x^2 - 20x + 2y^2 - 4y + 102 \\
&= 2(x^2 - 10x + y^2 - 2y) + 102 \\
&= 2(-1) + 102 = 100.
\end{align*}ดังนั้น นิพจน์นี้มีค่าเท่ากับ $\boxed{100}$ เสมอ.
ในทางเรขาคณิต เงื่อนไข $|z - 5 - i| = 5$ แสดงว่า $z$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $5 + i$ และมีรัศมี 5.
[asy]
unitsize(0.5 cm);
pair A, B, O, Z;
A = (1,-2);
B = (9,4);
O = (5,1);
Z = O + 5*dir(110);
draw(Circle(O,5));
draw(A--B);
draw(O--Z);
draw(A--Z--B);
draw(rightanglemark(A,Z,B,20));
dot("$1 - 2i$", A, SW);
dot("$9 + 4i$", B, NE);
dot("$5 + i$", O, SE);
dot("$z$", Z, NW);
[/asy]
สังเกตว่า $1 - 2i$ และ $9 + 4i$ อยู่ตรงข้ามกันบนวงกลมนี้ ดังนั้น เมื่อเราเชื่อม $z$ ไปยัง $1 - 2i$ และ $9 + 4i$ เราจะได้มุมฉาก ดังนั้น นิพจน์ในปัญหาเท่ากับกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งเท่ากับ $10^2 = 100.$ | 10^2 = 100. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{4z}{2x + y} + \frac{4x}{y + 2z} + \frac{y}{x + z}.\] | กำหนดให้ $a = 2x,$ $b = y,$ และ $c = 2z.$ ดังนั้น $x = \frac{a}{2},$ $y = b,$ และ $z = \frac{c}{2},$ ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{4z}{2x + y} + \frac{4x}{y + 2z} + \frac{y}{x + z} &= \frac{2c}{a + b} + \frac{2a}{b + c} + \frac{2b}{\frac{a}{2} + \frac{c}{2}} \\
&= \frac{2c}{a + b} + \frac{2a}{b + c} + \frac{2b}{a + c} \\
&= 2 \left (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \right).
\end{align*}กำหนด
\[S = \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b}.\]แล้ว
\begin{align*}
S + 3 &= \frac{a}{b + c} + 1 + \frac{b}{a + c} + 1 + \frac{c}{a + b} + 1 \\
&= \frac{a + b + c}{b + c} + \frac{a + b + c}{a + c} + \frac{a + b + c}{a + b} \\
&= (a + b + c) \left (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \right) \\
&= \frac{1}{2} (2a + 2b + 2c) \left (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \right) \\
&= \frac{1}{2} [(b + c) + (a + c) + (a + b)] \left (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \right).
\end{align*}โดย Cauchy-Schwarz,
\[[(b + c) + (a + c) + (a + b)] \left (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \right) \ge (1 + 1 + 1)^2 = 9,\]ดังนั้น
\[S \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2},\]และ
\[\frac{4z}{2x + y} + \frac{4x}{y + 2z} + \frac{y}{x + z} \ge 2S = 3.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = b = c,$ หรือ $2x = y = 2z,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $f(x) = x^2,$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามซึ่ง $f(g(x)) = 4x^2 + 4x + 1$. จงหาพหุนาม $g(x)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เนื่องจาก $f(x)=x^2$, $f(g(x))=g(x)^2$. ดังนั้น $g(x)^2=4x^2+4x+1=(2x+1)^2$ และ $g(x)=\boxed{2x+1}$ หรือ $g(x)=\boxed{-2x-1}$. | g(x)=\boxed{-2x-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $x + y + z = 1.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x^3 y^2 z.$ | โดย AM-GM,
\begin{align*}
x + y + z &= \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} + z \\
&\ge 6 \sqrt[6]{\frac{x^3 y^2 z}{108}}.
\end{align*}เนื่องจาก $x + y + z = 1,$ เราจะได้
\[x^3 y^2 z \le \frac{108}{6^6} = \frac{1}{432}.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = z.$ เมื่อนำไปแก้สมการพร้อมกับเงื่อนไข $x + y + z = 1,$ เราจะได้ $x = \frac{1}{2},$ $y = \frac{1}{3},$ และ $z = \frac{1}{6},$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{1}{432}}.$ | \boxed{\frac{1}{432}}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f$ เป็นพหุนามที่ไม่คงตัว ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[f(x - 1) + f(x) + f(x + 1) = \frac{[f(x)]^2}{2013x}\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(1).$ | จากสมการที่กำหนดให้,
\[2013x [f(x - 1) + f(x) + f(x + 1)] = [f(x)]^2\]สำหรับทุก $x \neq 0.$
ให้ $d$ เป็นดีกรีของ $f(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $2013x [f(x - 1) + f(x) + f(x + 1)]$ คือ $d + 1,$ และดีกรีของ $[f(x)]^2$ คือ $2d.$ ดังนั้น $2d = d + 1,$ ดังนั้น $d = 1.$
ดังนั้น ให้ $f(x) = ax + b.$ จากนั้นสมการ $2013x [f(x - 1) + f(x) + f(x + 1)] = [f(x)]^2$ จะกลายเป็น
\[2013x (3ax + 3b) = (ax + b)^2.\]เนื่องจาก $f(x) = ax + b,$ เราสามารถเขียนได้เป็น $[f(x)]^2 = 6039xf(x),$ ดังนั้น
\[f(x) (f(x) - 6039x) = 0.\]ดังนั้น $f(x) = 0$ หรือ $f(x) = 6039x.$ เนื่องจาก $f(x)$ ไม่คงตัว $f(x) = 6039x.$ ดังนั้น $f(1) = \boxed{6039}.$ เราสามารถตรวจสอบได้ว่า $f(x) = 6039x$ สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้. | f(x) = 6039x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a < b,$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[\sqrt{1 + \sqrt{21 + 12 \sqrt{3}}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}.\] | ขั้นแรก เราจะทำให้ง่ายขึ้น $\sqrt{21 + 12 \sqrt{3}}.$ ให้
\[\sqrt{21 + 12 \sqrt{3}} = x + y.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราจะได้
\[21 + 12 \sqrt{3} = x^2 + 2xy + y^2.\]เพื่อให้ด้านขวามือดูเหมือนด้านซ้ายมือ เราตั้ง $x^2 + y^2 = 21$ และ $2xy = 12 \sqrt{3},$ ดังนั้น $xy = 6 \sqrt{3}.$ จากนั้น $x^2 y^2 = 108,$ ดังนั้นโดยสูตรของ Vieta, $x^2$ และ $y^2$ เป็นรากของสมการกำลังสอง
\[t^2 - 21t + 108 = 0.\]สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(t - 9)(t - 12) = 0,$ ซึ่งมีคำตอบคือ 9 และ 12. ดังนั้น,
\[\sqrt{21 + 12 \sqrt{3}} = \sqrt{9} + \sqrt{12} = 3 + 2 \sqrt{3}.\]ตอนนี้เราต้องทำให้ง่ายขึ้น
\[\sqrt{1 + 3 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}.\]การทำในลักษณะเดียวกันจะได้
\[\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3},\]ดังนั้น $(a,b) = \boxed{(1,3)}.$ | (a,b) = \boxed{(1,3)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริเวณระหว่างกราฟของ $y = f (x)$ และแกน $x$ ซึ่งแรเงาในรูปนี้มีพื้นที่ 10 ตารางหน่วย พื้นที่ระหว่างกราฟของ $y = 3f (x -2)$ และแกน $x$ จะมีค่าเท่าใด
[asy]
defaultpen(linewidth(0.75));
fill((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle,gray(.7));
draw((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle);
draw((-15,0)--(80,0),Arrow);
draw((0,-10)--(0,50),Arrow);
draw((10,0)--(8.5,-7),Arrow);
draw((70,0)--(72,-7),Arrow);
label("$y = f(x)$",(5,65),S);
label("$x$",(80,-8));
[/asy] | กราฟของ $y=f(x-2)$ เป็นเพียงกราฟของ $y=f(x)$ ที่เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ เป็นจุดบนกราฟของ $y=f(x)$ แล้ว $(a+2,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ จากนั้นกราฟของ $y=3f(x-2)$ เป็นกราฟของ $y=f(x-2)$ ที่ปรับขนาดโดยปัจจัย 3 ในทิศทางแนวตั้ง เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ แล้ว $(a,3b)$ อยู่บนกราฟของ $y=3f(x-2)$ การยืดบริเวณในระนาบโดยปัจจัย 3 ในมิติหนึ่งจะเพิ่มพื้นที่ของมันเป็น 3 เท่า ดังนั้นพื้นที่ระหว่างกราฟของ $y=3f(x-2)$ และแกน $x$ คือ $\boxed{30}$ | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $b$ ทั้งหมดที่ทำให้ระบบสมการต่อไปนี้มีคำตอบ $(x,y)$ ในจำนวนจริง:
\begin{align*}
\sqrt{xy} &= b^b, \\
\log_b (x^{\log_b y}) + \log_b (y^{\log_b x}) &= 4b^4.
\end{align*} | กำหนด $m = \log_b x$ และ $n = \log_b y.$ ดังนั้น $x = b^m$ และ $y = b^n.$ แทนค่าลงในสมการแรก เราได้
\[\sqrt{b^m \cdot b^n} = b^b,\]ดังนั้น $b^{m + n} = b^{2b},$ ซึ่งหมายความว่า $m + n = 2b.$
สมการที่สองกลายเป็น
\[\log_b (b^{mn}) + \log_b (b^{mn}) = 4b^4,\]ดังนั้น $2mn = 4b^4,$ หรือ $mn = 2b^4.$
จากอสมการพื้นฐาน $(m - n)^2 \ge 0,$ เราได้ $m^2 - 2mn + n^2 \ge 0,$ ซึ่งหมายความว่า
\[m^2 + 2mn + n^2 \ge 4mn.\]ดังนั้น $(2b)^2 \ge 8b^4,$ หรือ $4b^2 \ge 8b^4.$ ดังนั้น $b^2 \le \frac{1}{2},$ ดังนั้นเซตของค่า $b$ ที่เป็นไปได้คือ $\boxed{\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right]}.$ | \boxed{\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right]}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[xy - \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = 3.\]จงหาผลรวมของค่า $(x - 1)(y - 1)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | จากสมการที่กำหนดให้ $x^3 y^3 - x^3 - y^3 = 3x^2 y^2,$ หรือ
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).\]โดยให้ $a = xy,$ $b = -x,$ และ $c = -y,$ เราได้
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = (xy - x - y)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 0.\]ถ้า $xy - x - y = 0,$ แล้ว
\[(x - 1)(y - 1) = xy - x - y + 1 = 1.\]ถ้า $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0,$ แล้ว $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0,$ ซึ่งเราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
\[(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0.\]สมการนี้บังคับให้ $a = b = c,$ ดังนั้น $xy = -x = -y.$ เราจะได้ว่า $x = y,$ ดังนั้น $x^2 + x = x(x + 1) = 0.$ ดังนั้น $x = 0$ หรือ $x = -1.$ จากเงื่อนไขที่กำหนด เราไม่สามารถมี $x = 0$ ได้ ดังนั้น $x = -1,$ และ $y = -1,$ ดังนั้น $(x - 1)(y - 1) = 4.$
ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $(x - 1)(y - 1)$ คือ 1 และ 4 และผลรวมของค่าเหล่านี้คือ $\boxed{5}.$ | \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งไม่มีจำนวนใดเท่ากับ $-1$ และให้ $\omega$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $\omega^3 = 1$ และ $\omega \neq 1.$ ถ้า
\[\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{2}{\omega},\]จงหาค่าของ
\[\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c +1} + \frac{1}{d + 1}.\] | เนื่องจาก $\omega^3 = 1,$ $\frac{2}{\omega} = 2 \omega^2.$ ดังนั้น คูณทั้งสองข้างด้วย $(a + \omega)(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega)$ จะได้
\[(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega) + (a + \omega)(c + \omega)(d + \omega) + (a + \omega)(b + \omega)(d + \omega) + (a + \omega)(b + \omega)(c + \omega) = 2 \omega^2 (a + \omega)(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega).\]ขยายทั้งสองข้าง จะได้
\begin{align*}
&4 \omega^3 + 3(a + b + c + d) \omega^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) \omega + (abc + abd + acd + bcd) \\
&= 2 \omega^6 + 2(a + b + c + d) \omega^5 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) \omega^4 + 2(abc + abd + acd + bcd) \omega^3 + 2abcd \omega^2.
\end{align*}เนื่องจาก $\omega^3 = 1,$ จะได้
\begin{align*}
&3(a + b + c + d) \omega^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) \omega + (abc + abd + acd + bcd) + 4 \\
&= (2(a + b + c + d) + 2abcd) \omega^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) \omega + 2(abc + abd + acd + bcd) + 2.
\end{align*}ดังนั้น
\[(a + b + c + d - 2abcd) \omega^2 - abc - abd - acd - bcd + 2 = 0.\]เนื่องจาก $\omega^2$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น
$$a + b + c + d - 2abcd = 0$$ $$abc + abd + acd + bcd = 2.$$จงหาค่าของ
\[\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c +1} + \frac{1}{d + 1}.\] | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คูณ $(x^4 +18 x^2 + 324) (x^2-18)$ | เราสังเกตเห็นว่านิพจน์ที่กำหนดให้เป็นการแยกตัวประกอบ $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ของผลต่างของกำลังสาม $a^3-b^3$ โดยที่ $a=x^2$ และ $b=18$ ดังนั้นผลคูณคือ $a^3-b^3 = (x^2)^3-18^3=\boxed{x^6-5832}$ | a^3-b^3 = (x^2)^3-18^3=\boxed{x^6-5832} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = |g(x^3)|$ ถ้า $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $f$ เป็นฟังก์ชันคี่, ฟังก์ชันคู่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง?
ใส่ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งสองอย่าง" | $$f(-x) = |g((-x)^3)| = |g(-x^3)|$$เนื่องจาก $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $g(-x) = -g(x)$ ดังนั้น,
$$f(-x) = |-g(x^3)| = |g(x^3)| = f(x).$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คำนวณ $(1 + i)^4.$ | เรามีว่า
\[(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i,\]ดังนั้น $(1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}.$ | (1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาพหุนาม $p(x),$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $p(2) = 5$ และ
\[p(x) p(y) = p(x) + p(y) + p(xy) - 2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | ให้ $q(x) = p(x) - 1.$ ดังนั้น $p(x) = q(x) + 1,$ ดังนั้น
\[(q(x) + 1)(q(y) + 1) = q(x) + 1 + q(y) + 1 + q(xy) + 1 - 2.\]เมื่อ展開, เราได้
\[q(x)q(y) + q(x) + q(y) + 1 = q(x) + q(y) + q(xy) + 1,\]ดังนั้น $q(xy) = q(x)q(y)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด
นอกจากนี้ $q(2) = p(2) - 1 = 4 = 2^2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
q(2^2) &= q(2) q(2) = 2^2 \cdot 2^2 = 2^4, \\
q(2^3) &= q(2) q(2^2) = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6, \\
q(2^4) &= q(2) q(2^3) = 2^2 \cdot 2^6 = 2^8,
\end{align*}และอื่นๆ. ดังนั้น,
\[q(2^n) = 2^{2n} = (2^n)^2\]สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด
เนื่องจาก $q(x) = x^2$ สำหรับค่าของ $x$ เป็นอนันต์, โดยทฤษฎีบทเอกลักษณ์, $q(x) = x^2$ สำหรับ $x$ ทั้งหมด. ดังนั้น $p(x) = q(x) + 1 = \boxed{x^2 + 1}.$ | p(x) = q(x) + 1 = \boxed{x^2 + 1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดไฮเปอร์โบลาที่กำหนดโดยสมการ \[\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4} = 1\] มีเส้นกำกับ $y = \pm mx,$ โดยที่ $m$ เป็นค่าบวก จงหา $m.$ | เพื่อหาสมการของเส้นกำกับ เราแทนที่ $1$ ทางด้านขวามือด้วย $0$ ซึ่งจะได้สมการ \[\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4} = 0.\](สังเกตว่าไม่มีจุด $(x, y)$ ใดที่สอดคล้องกับสมการนี้และสมการที่กำหนด ดังนั้นตามที่คาดไว้ ไฮเปอร์โบลาจะไม่ตัดกับเส้นกำกับของมัน) สมการนี้เทียบเท่ากับ $\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{4},$ หรือ $\frac{y}{3} = \pm \frac{x}{2}.$ ดังนั้น $y = \pm \frac{3}{2} x,$ ดังนั้น $m = \boxed{\frac32}.$[asy]
void axes(real x0, real x1, real y0, real y1)
{
draw((x0,0)--(x1,0),EndArrow);
draw((0,y0)--(0,y1),EndArrow);
label("$x$",(x1,0),E);
label("$y$",(0,y1),N);
for (int i=floor(x0)+1; i<x1; ++i)
draw((i,.1)--(i,-.1));
for (int i=floor(y0)+1; i<y1; ++i)
draw((.1,i)--(-.1,i));
}
path[] yh(real a, real b, real h, real k, real x0, real x1, bool upper=true, bool lower=true, pen color=black)
{
real f(real x) { return k + a / b * sqrt(b^2 + (x-h)^2); }
real g(real x) { return k - a / b * sqrt(b^2 + (x-h)^2); }
if (upper) { draw(graph(f, x0, x1),color, Arrows); }
if (lower) { draw(graph(g, x0, x1),color, Arrows); }
path [] arr = {graph(f, x0, x1), graph(g, x0, x1)};
return arr;
}
void xh(real a, real b, real h, real k, real y0, real y1, bool right=true, bool left=true, pen color=black)
{
path [] arr = yh(a, b, k, h, y0, y1, false, false);
if (right) draw(reflect((0,0),(1,1))*arr[0],color, Arrows);
if (left) draw(reflect((0,0),(1,1))*arr[1],color, Arrows);
}
void e(real a, real b, real h, real k)
{
draw(shift((h,k))*scale(a,b)*unitcircle);
}
size(8cm);
axes(-7,7,-10,10);
yh(3,2,0,0,-5.7,5.7);
draw((6,9)--(-6,-9),dotted);
draw((-6,9)--(6,-9),dotted);
[/asy] | $ rac{3}{2}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x^2-3x$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(f(x)) = f(x)$ ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | การขยาย $f(f(x)) = f(x)$ จะได้ $$(x^2-3x)^2-3(x^2-3x)=x^2-3x.$$แทนที่จะขยาย เราสามารถนำ $x^2-3x$ ไปลบออกจากทั้งสองข้างได้ $$(x^2-3x)^2-4(x^2-3x)=0.$$การแยกตัวประกอบ $x^2-3x$ จะได้ $(x^2-3x)(x^2-3x-4)=0$. การแยกตัวประกอบแต่ละกำลังสอง เราจะได้ $$x(x-3)(x+1)(x-4)=0.$$ดังนั้น ค่าของ $x$ คือ $\boxed{0, 3, -1, 4}$. | \boxed{0, 3, -1, 4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของรากของสมการ \[(2x^3 + x^2 - 8x + 20)(5x^3 - 25x^2 + 19) = 0.\] | เมื่อคูณพหุนามทางซ้ายมือออก จะได้พหุนามดีกรี 6 ตามสูตรของ Vieta ผลคูณของรากถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ของ $x^6$ และพจน์คงตัว สัมประสิทธิ์ของ $x^6$ คือ $2 \cdot 5 = 10$ และพจน์คงตัวคือ $20 \cdot 19 = 380$ ดังนั้น ผลคูณของรากคือ $\tfrac{380}{10} = \boxed{38}.$ | \tfrac{380}{10} = \boxed{38}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.