question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{(x^2 + 3x + 1)(y^2 + 3y + 1)(z^2 + 3z + 1)}{xyz}.\] | โดย AM-GM,
\[x^2 + 1 \ge 2x,\]ดังนั้น
\[\frac{x^2 + 3x + 1}{x} \ge \frac{5x}{x} = 5.\]ทำนองเดียวกัน,
\[\frac{y^2 + 3y + 1}{y} \ge 5\]และ
\[\frac{z^2 + 3z + 1}{z} \ge 5,\]ดังนั้น
\[\frac{(x^2 + 3x + 1)(y^2 + 3y + 1)(z^2 + 3z + 1)}{xyz} \ge 125.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{125}.$ | \boxed{125}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $|z| = 2.$ จงหาระยะห่างที่มากที่สุดระหว่าง $(3 + 4i)z^3$ และ $z^5$ เมื่อพล็อตในระนาบเชิงซ้อน | เราต้องการเพิ่มค่าสูงสุดของ
\[|(3 + 4i)z^3 - z^5| = |z^3| |3 + 4i - z^2| = |z|^3 |3 + 4i - z^2| = 8 |3 + 4i - z^2|.\]换句话说，我们想要最大化 $3 + 4i$ 和 $z^2$ 之间的距离。
เนื่องจาก $|z| = 2,$ เซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีรูปแบบ $z^2$ อยู่บนวงกลมที่มีรัศมี $|z|^2 = 4.$ ระยะห่างระหว่าง $3 + 4i$ และ $z^2$ จะมากที่สุดเมื่อ $z^2$ อยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและ $3 + 4i.$ (เส้นตรงนี้ตัดวงกลมที่จุดสองจุด ดังนั้นเราจึงใช้จุดที่อยู่ห่างจาก $3 + 4i$ มากกว่า)
[asy]
unitsize(0.5 cm);
draw(Circle((0,0),4));
draw((-4.5,0)--(4.5,0));
draw((0,-4.5)--(0,4.5));
draw((0,0)--(3,4));
draw((0,0)--(-4/5)*(3,4));
label("$4$", (-4/5)*(3,4)/2, NW);
dot("$3 + 4i$", (3,4), NE);
dot("$z^2$", (-4/5)*(3,4), SW);
[/asy]
สำหรับจำนวนนี้ ระยะห่างระหว่าง $3 + 4i$ และ $z^2$ คือ $4 + 5 = 9,$ ดังนั้นค่าสูงสุดของ $8 |3 + 4i - z^2|$ คือ $8 \cdot 9 = \boxed{72}.$ | 8 \cdot 9 = \boxed{72}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนบวก 2011 จำนวน ซึ่งผลบวกของจำนวนเหล่านี้และผลบวกของส่วนกลับของจำนวนเหล่านี้เท่ากับ 2012 ให้ $x$ เป็นจำนวนหนึ่งในจำนวนเหล่านี้ จงหาค่าสูงสุดของ $x + \frac{1}{x}$ | ให้จำนวนบวกอีก 2010 จำนวนเป็น $y_1,$ $y_2,$ $\dots,$ $y_{2010}.$ ดังนั้น $y_1 +y_2 + \dots + y_{2010} = 2012 - x$ และ $\frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} + \dots + \frac{1}{y_{2010}} = 2012 - \frac{1}{x}.$ โดย Cauchy-Schwarz,
\[\left( \sum_{i = 1}^{2010} y_i \right) \left( \sum_{i = 1}^{2010} \frac{1}{y_i} \right) = (2012 - x) \left( 2012 - \frac{1}{x} \right) \ge 2010^2.\]แล้ว $2012^2 - 2012 \left( x + \frac{1}{x} \right) + 1 \ge 2010^2,$ ซึ่งนำไปสู่
\[x + \frac{1}{x} \le \frac{8045}{2012}.\]สมการ $x + \frac{1}{x} = \frac{8045}{2012}$ ลดรูปเป็น $x^2 - \frac{8045}{2012} x + 1 = 0,$ ซึ่งมีรากจริง เราสามารถตั้ง $y_i = \frac{2012 - x}{2010}$ เพื่อให้ได้ความเท่ากัน ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{8045}{2012}}.$ | \boxed{\frac{8045}{2012}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $C$ สัมผัสแกน $x$ และแกน $y$ ที่เป็นบวก และสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(3,0)$ และมีรัศมี 1 อยู่ภายนอก วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $C$ มีรัศมีเท่าใด | ให้ $r$ เป็นรัศมีของวงกลมดังกล่าว เนื่องจากวงกลมสัมผัสแกน $x$ และแกน $y$ ที่เป็นบวก จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(r,r).$ วงกลมนี้ยังสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(3,0)$ และมีรัศมี 1 ดังนั้น
\[(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.\]สมการนี้จะกลายเป็น $r^2 - 8r + 8 = 0.$ โดยสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ $r = 4 \pm 2 \sqrt{2}.$ ดังนั้น ผลรวมของค่า $r$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $\boxed{8}.$
[asy]
unitsize(1 cm);
pair[] O;
real[] r;
r[1] = 4 - 2*sqrt(2);
O[1] = (r[1],r[1]);
r[2] = 4 + 2*sqrt(2);
O[2] = (r[2],r[2]);
draw(Circle(O[1],r[1]));
draw(arc(O[2],r[2],160,290));
draw(Circle((3,0),1));
draw((-0.5,0)--(9,0));
draw((0,-0.5)--(0,9));
draw(O[1]--(r[1],0));
draw(O[1]--(0,r[1]));
draw(O[1]--(3,0));
draw(O[2]--(r[2],0));
draw(O[2]--(0,r[2]));
draw(O[2]--(3,0));
dot("$(3,0)$", (3,0), S);
dot("$O_1$", O[1], N);
dot("$O_2$", O[2], NE);
[/asy] | 8 | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ $x^3 - 7x^2 + 5x + 2 = 0.$ จงหาค่าของ
\[\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1}.\] | จากสูตรของ Vieta's, $a + b + c = 7,$ $ab + ac + bc = 5,$ และ $abc = -2.$
เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1} = \frac{a^2}{abc + a} + \frac{b^2}{abc + b} + \frac{c^2}{abc + c}.\]เนื่องจาก $abc = -2,$ ดังนั้นจะได้
\[\frac{a^2}{a - 2} + \frac{b^2}{b - 2} + \frac{c^2}{c - 2}.\]จากการหารยาว, $\frac{x^2}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2},$ ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{a^2}{a - 2} + \frac{b^2}{b - 2} + \frac{c^2}{c - 2} &= a + 2 + \frac{4}{a - 2} + b + 2 + \frac{4}{b - 2} + c + 2 + \frac{4}{c - 2} \\
&= a + b + c + 6 + 4 \left( \frac{1}{a - 2} + \frac{1}{b - 2} + \frac{1}{c - 2} \right) \\
&= 7 + 6 + 4 \cdot \frac{(b - 2)(c - 2) + (a - 2)(c - 2) + (a - 2)(b - 2)}{(a - 2)(b - 2)(c - 2)} \\
&= 13 + 4 \cdot \frac{(ab + ac + bc) - 4(a + b + c) + 12}{abc - 2(ab + ac + bc) + 4(a + b + c) - 8} \\
&= 13 + 4 \cdot \frac{5 - 4 \cdot 7 + 12}{-2 - 2 \cdot 5 + 4 \cdot 7 - 8} \\
&= \boxed{\frac{15}{2}}.
\end{align*} | \frac{x^2}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}, | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดวงกลม $C_1$ และ $C_2$ โดยสมการ $x^2 + y^2 = 1$ และ $(x - 2)^2 + y^2 = 16$ ตามลำดับ จงหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลาง $(a,b)$ ของวงกลมทั้งหมดที่สัมผัสภายนอกกับ $C_1$ และสัมผัสภายในกับ $C_2$ แสดงคำตอบในรูป
\[Pa^2 + Qb^2 + Ra + Sb + T = 0,\]โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม $P$ เป็นบวก และ $\gcd(|P|,|Q|,|R|,|S|,|T|) = 1.$
หมายเหตุ: คำว่า "locus" เป็นคำศัพท์ทางเรขาคณิตที่หมายถึง "เซต" ดังนั้น "the locus of the centers" หมายถึง "เซตของจุดศูนย์กลาง" | ให้ $(a,b)$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสกับ $C_1$ และ $C_2$ และให้ $r$ เป็นรัศมี
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, O, P, Q;
O = (0,0);
P = (2,0);
Q = (1,sqrt(21)/2);
A = intersectionpoint(O--Q,Circle(Q,1.5));
B = intersectionpoint(Q--interp(P,Q,2),Circle(Q,1.5));
draw(Circle(O,1));
draw(Circle(P,4));
draw(Circle(Q,1.5));
draw(O--Q);
draw(P--B);
label("$r$", (Q + A)/2, NW);
label("$r$", (Q + B)/2, SW);
label("$1$", (O + A)/2, NW);
label("$4 - r$", (P + Q)/2, NE, UnFill);
label("$C_1$", dir(225), dir(225));
label("$C_2$", P + 4*dir(70), dir(70));
dot("$(0,0)$", O, S);
dot("$(2,0)$", P, S);
dot(A);
dot(B);
dot("$(a,b)$", Q, NE);
[/asy]
จากนั้นกำลังสองของระยะห่างของจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้จากจุดศูนย์กลางของ $C_1$ คือ $a^2 + b^2 = (r + 1)^2$ และกำลังสองของระยะห่างของจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้จากจุดศูนย์กลางของ $C_2$ คือ $(a - 2)^2 + b^2 = (4 - r)^2.$ ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[a^2 - (a - 2)^2 = (r + 1)^2 - (4 - r)^2.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $4a - 4 = 10r - 15,$ ดังนั้น $r = \frac{4a + 11}{10}.$
แทนค่าลงในสมการ $a^2 + b^2 = (r + 1)^2,$ เราได้
\[a^2 + b^2 = \left( \frac{4a + 21}{10} \right)^2.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $\boxed{84a^2 + 100b^2 - 168a - 441 = 0}.$ | \boxed{84a^2 + 100b^2 - 168a - 441 = 0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คูณ $(x^4 +18 x^2 + 324) (x^2-18)$ | เราสังเกตว่านิพจน์ที่กำหนดให้เป็นการแยกตัวประกอบ $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ของผลต่างของกำลังสาม $a^3-b^3$ โดยที่ $a=x^2$ และ $b=18$ ดังนั้นผลคูณคือ $a^3-b^3 = (x^2)^3-18^3=\boxed{x^6-5832}$ | a^3-b^3 = (x^2)^3-18^3=\boxed{x^6-5832} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x|x|.$ จงหา $f^{-1}(4) + f^{-1}(-100).$ | เราสามารถเขียน $f(x)$ ได้ดังนี้:
\[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
x^2 & \text{ถ้า $x > 0$}, \\
0 & \text{ถ้า $x = 0$}, \\
-x^2 & \text{ถ้า $x < 0$}.
\end{array}
\right.\]ดังนั้น $f^{-1}(4) + f^{-1}(-100) = 2 + (-10) = \boxed{-8}.$ | f^{-1}(4) + f^{-1}(-100) = 2 + (-10) = \boxed{-8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[\binom{100}{0} - \binom{100}{1} + \binom{100}{2} - \dots + \binom{100}{100}.\] | โดยทฤษฎีบททวินาม
\[(x + y)^{100} = \binom{100}{0} x^{100} + \binom{100}{1} x^{99} y + \binom{100}{2} x^{98} y^2 + \dots + \binom{100}{100} y^{100}.\]แทน $x = 1$ และ $y = -1,$ เราได้
\[\binom{100}{0} - \binom{100}{1} + \binom{100}{2} - \dots + \binom{100}{100} = \boxed{0}.\] | 0 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ ที่มีสมบัติว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก $a,$ $b,$ $n$ ใดๆ ที่สอดคล้องกับ $a + b = 2^n$ จะได้สมการ
\[f(a) + f(b) = n^2\]เป็นจริง จงหาค่าของ $f(2002)$ | จากสมบัติที่กำหนดให้
\begin{align*}
f(2002) &= 11^2 - f(46), \\
f(46) &= 6^2 - f(18), \\
f(18) &= 5^2 - f(14), \\
f(14) &= 4^2 - f(2).
\end{align*}นอกจากนี้ $f(2) + f(2) = 4$ ดังนั้น $f(2) = 2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
f(14) &= 4^2 - 2 = 14, \\
f(18) &= 5^2 - 14 = 11, \\
f(46) &= 6^2 - 11 = 25, \\
f(2002) &= 11^2 - 25 = \boxed{96}.
\end{align*} | f(2) = 2. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็ม $x$ ที่สอดคล้องกับอสมการ
\[x^2 + bx + 2 \le 0.\]พอดี 3 จำนวน มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่เป็นไปได้สำหรับ $b$? | รากของสมการที่สอดคล้องกัน $x^2 + bx + 2 = 0$ คือ
\[\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 8}}{2}.\](โปรดทราบว่ารากเหล่านี้ต้องเป็นจำนวนจริง มิฉะนั้น อสมการ $x^2 + bx + 2 \le 0$ จะไม่มีคำตอบจริง) ดังนั้น คำตอบของอสมการนี้ $x^2 + bx + 2 \le 0$ คือ
\[\frac{-b - \sqrt{b^2 - 8}}{2} \le x \le \frac{-b + \sqrt{b^2 - 8}}{2}.\]ถ้าความยาวของช่วงนี้มีอย่างน้อย 4 ช่วง ก็ต้องมีจำนวนเต็มอย่างน้อย 4 จำนวน ดังนั้น ความกว้างของช่วงนี้ต้องน้อยกว่า 4 ดังนั้น
\[\sqrt{b^2 - 8} < 4.\]จากนั้น $b^2 - 8 < 16,$ ดังนั้น $b^2 < 24.$ เรายังต้องมี $b^2 > 8.$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $b$ คือ $-4,$ $-3,$ 3 และ 4 เราสามารถดูแต่ละกรณีได้
\[
\begin{array}{c|c}
b & \text{คำตอบจำนวนเต็มของ $x^2 + bx + 2 \le 0$} \\ \hline
-4 & 1, 2, 3 \\
-3 & 1, 2 \\
3 & -2, -1 \\
4 & -3, -2, -1
\end{array}
\]ดังนั้น มีค่าของ $b$ ที่ทำงานได้ $\boxed{2}$ ค่า คือ $-4$ และ 4. | -4 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[f(x) = \frac{2x + 3}{kx - 2}.\] จงหาค่าของ $k$ ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่ทำให้ $f^{-1}(x) = f(x)$ | จากเงื่อนไข $f^{-1}(x) = f(x),$ จะได้ว่า $f(f^{-1}(x)) = f(f(x)),$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $f(f(x)) = x.$
สังเกตว่า
\begin{align*}
f(f(x)) &= f \left( \frac{2x + 3}{kx - 2} \right) \\
&= \frac{2 \cdot \frac{2x + 3}{kx - 2} + 3}{k \cdot \frac{2x + 3}{kx - 2} - 2} \\
&= \frac{2(2x + 3) + 3(kx - 2)}{k(2x + 3) - 2(kx - 2)} \\
&= \frac{4x + 6 + 3kx - 6}{2kx + 3k - 2kx + 4} \\
&= \frac{(3k + 4)x}{3k + 4} \\
&= x.
\end{align*}ดังนั้น $f(f(x)) = x$ สำหรับจำนวนจริง $k$ ทั้งหมด ยกเว้นเมื่อ $3k + 4 = 0$ หรือ $k = -4/3.$ สังเกตว่าเมื่อ $k = -4/3,$
\[f(x) = \frac{2x + 3}{kx - 2} = \frac{2x + 3}{-\frac{4}{3} x - 2} = \frac{3(2x + 3)}{-4x - 6} = \frac{3 (2x + 3)}{-2 (2x + 3)} = -\frac{3}{2},\]ดังนั้น $f(x)$ จะไม่มีอินเวอร์ส. ดังนั้น คำตอบคือ $k \in \boxed{(-\infty,-\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3},\infty)}.$ | k \in \boxed{(-\infty,-\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3},\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ $\frac{1}{x+1} + \frac{3}{x+7} \ge \frac23.$ (แสดงคำตอบในรูปช่วง) | ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายมือ เราจะได้ \[\frac{1}{x+1} + \frac{3}{x+7} -\frac23 \ge 0.\]เพื่อแก้สมการนี้ เราหาตัวหารร่วม: \[\frac{3(x+7) + 3 \cdot 3(x+1) - 2(x+1)(x+7)}{3(x+1)(x+7)} \ge 0,\]ซึ่งจะทำให้ง่ายขึ้นเป็น \[-\frac{2(x+4)(x-2)}{3(x+1)(x+7)} \ge 0.\]ดังนั้น เราต้องการค่าของ $x$ ซึ่ง \[f(x) = \frac{(x+4)(x-2)}{(x+1)(x+7)} \le 0.\]เพื่อทำเช่นนั้น เราสร้างตารางเครื่องหมายดังนี้: \begin{tabular}{c|cccc|c} &$x+4$ &$x-2$ &$x+1$ &$x+7$ &$f(x)$ \\ \hline$x<-7$ &$-$&$-$&$-$&$-$&$+$\\ [.1cm]$-7<x<-4$ &$-$&$-$&$-$&$+$&$-$\\ [.1cm]$-4<x<-1$ &$+$&$-$&$-$&$+$&$+$\\ [.1cm]$-1<x<2$ &$+$&$-$&$+$&$+$&$-$\\ [.1cm]$x>2$ &$+$&$+$&$+$&$+$&$+$\\ [.1cm]\end{tabular}เนื่องจากอสมการ $f(x) \le 0$ ไม่เข้มงวด เราต้องรวมค่าของ $x$ ซึ่ง $f(x) = 0$ ด้วย ซึ่งคือ $x=-4$ และ $x=2.$ รวมทุกอย่างเข้าด้วยกัน สoluzione ของอสมการคือ \[x \in \boxed{(-7, -4] \cup (-1, 2]}.\] | x ∈ (-7, -4] ∪ (-1, 2] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $(1 + i)^4.$ | เรามีว่า
\[(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i,\]ดังนั้น $(1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}.$ | (1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับค่าคงตัว $c$ ใดบ้าง กราฟของ $f(x) = \frac{x^2-x+c}{x^2+x-20}$ จะมีเส้นกำลังแนวตั้งเพียงเส้นเดียว?
พิมพ์ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถแยกตัวประกอบของส่วน हरได้เป็น $$f(x) = \frac{x^2-x+c}{(x-4)(x+5)}.$$ดังนั้น กราฟของ $f(x)$ จะมีเส้นกำลังแนวตั้งที่ $x=-5$ และ $x=4$ เว้นแต่จะมีตัวประกอบของ $x-4$ หรือ $x+5$ ในตัวเศษที่ยกเลิกตัวประกอบที่สอดคล้องกันในส่วน हर (ในกรณีนี้จะมีรูที่จุดนั้นแทนที่จะเป็นเส้นกำลัง) ดังนั้น เราต้องหา $c$ ที่ทำให้ $x^2 - x + c$ มีตัวประกอบของ $x-4$ หรือ $x + 5$ แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
กล่าวคือ เราต้องการ $c$ ที่ทำให้ $4$ หรือ $-5$ เป็นราก ถ้า $x = 4$ เป็นราก เราต้องมี $(4)^2-4+c=0$ ซึ่งจะให้เรา $c=-12.$ ถ้า $-5$ เป็นราก เราต้องมี $(-5)^2 - (-5) + c = 0,$ หรือ $c = - 30.
ดังนั้น ค่าที่ใช้ได้คือ $c = \boxed{-12 \text{ หรือ } -30}.$ | c = \boxed{-12 \text{ หรือ } -30}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a<0$ และ $a<b<c$ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ?
$ab < bc$
$ac<bc$
$ab< ac$
$a+b<b+c$
$c/a <1$
กรุณาใส่คำตอบเป็นรายการตัวเลือกที่เป็นจริงเสมอ ตัวอย่างเช่น หากคุณคิดว่าตัวเลือกแรกและตัวเลือกที่สามเป็นจริง ให้ใส่ A, C | พิจารณา $b$ ที่เป็นลบและ $c$ ที่เป็นบวก จากนั้น $ab$ เป็นบวก และ $bc$ เป็นลบ ดังนั้นข้อความนี้ไม่เป็นจริง
ถ้าเราพิจารณาจำนวนลบสำหรับตัวแปรทั้งสาม $ac>bc$ ดังนั้นข้อความนี้ไม่เป็นจริง
พิจารณา $b$ ที่เป็นลบและ $c$ ที่เป็นบวก จากนั้น $ab$ เป็นบวก และ $ac$ เป็นลบ ดังนั้นข้อความนี้ไม่เป็นจริง
การลบ $b$ จากทั้งสองข้างจะได้ $a<c$ ซึ่งเราทราบว่าเป็นจริง
ถ้า $c$ เป็นบวก $c/a$ เป็นลบ และ $c/a < 1$ ถ้า $c$ เป็นลบ $a<c<0$ ซึ่งหมายความว่า $c/a < 1$
ดังนั้น $\boxed{D, E}$ เป็นจริงเสมอ | \boxed{D, E} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ \[\frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}},\]เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ใช้สมบัติ $\log_a b^x = x \log_a b,$ เราได้ \[\begin{aligned} \frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}} &= \frac{2}{6\log_4 2000} + \frac{3}{6\log_5 2000} \\ &= \frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000}. \end{aligned}\]เนื่องจาก $\log_a b = \frac1{\log_b a}$, เราสามารถเขียนได้ \[\frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000} = \frac{1}{3}\log_{2000} 4 + \frac{1}{2}\log_{2000} 5,\]ซึ่งเท่ากับ \[\log_{2000} (4^{1/3} 5^{1/2})= \log_{2000} (2^{2/3} 5^{1/2}).\]เนื่องจาก $2000 = 2^4 5^3 = \left(2^{2/3} 5^{1/2}\right)^6$, นิพจน์จึงเท่ากับ $\boxed{\tfrac{1}{6}}$. | \boxed{\tfrac{1}{6}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด
\[x^5 - x^2 - x - 1 = p_1(x) p_2(x) \dotsm p_k(x),\]โดยที่แต่ละพหุนาม $p_i(x)$ ที่ไม่ใช่ค่าคงที่เป็นพหุนามเอกซ์ (monic) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกเหนือจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $p_1(2) + p_2(2) + \dots + p_k(2).$ | เราสามารถแยกตัวประกอบได้โดยการจับคู่ $x^5$ และ $-x,$ และ $-x^2$ และ $-1$:
\begin{align*}
x^5 - x^2 - x - 1 &= (x^5 - x) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^4 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^2 + 1)(x^2 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= (x^2 + 1)(x^3 - x - 1).
\end{align*}ถ้า $x^3 - x - 1$ แยกตัวประกอบได้อีก ก็ต้องมีตัวประกอบเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่ามันมีรากจำนวนเต็ม โดยทฤษฎีบทรากจำนวนเต็ม รากจำนวนเต็มที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $\pm 1,$ และทั้งสองค่านี้ไม่เป็นจริง ดังนั้น $x^3 - x - 1$ จึงไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีก
ดังนั้น $(x^2 + 1)(x^3 - x - 1)$ คือการแยกตัวประกอบที่สมบูรณ์ จึงได้ $(2^2 + 1) + (2^3 - 2 - 1) = \boxed{10}.$ | (2^2 + 1) + (2^3 - 2 - 1) = \boxed{10}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนของ 10-tuples $(x_1, x_2, \dots, x_{10})$ ของจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[(1 - x_1)^2 + (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \dots + (x_9 - x_{10})^2 + x_{10}^2 = \frac{1}{11}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\begin{align*}
&[(1^2 + 1^2 + 1^2 + \dots + 1^2 + 1^2)][(1 - x_1)^2 + (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \dots + (x_9 - x_{10})^2 + x_{10}^2] \\
&\ge [(1 - x_1) + (x_1 - x_2) + (x_2 - x_3) + \dots + (x_9 - x_{10}) + x_{10}]^2 = 1.
\end{align*}จากเงื่อนไขที่กำหนด เราได้ความเท่ากัน ดังนั้น โดยเงื่อนไขความเท่ากันของ Cauchy-Schwarz,
\[\frac{1 - x_1}{1} = \frac{x_1 - x_2}{1} = \frac{x_2 - x_3}{1} = \dots = \frac{x_9 - x_{10}}{1} = \frac{x_{10}}{1}.\]ให้
\[d = 1 - x_1 = x_1 - x_2 = x_2 - x_3 = \dots = x_9 - x_{10} = x_{10}.\]แล้ว
\[(1 - x_1) + (x_1 - x_2) + \dots + (x_9 - x_{10}) + x_{10} = 11d,\]ดังนั้น $11d = 1.$ แล้ว $d = \frac{1}{11},$ ดังนั้น
\[(x_1, x_2, x_3, \dots, x_{10}) = \left( \frac{10}{11}, \frac{9}{11}, \frac{8}{11}, \dots, \frac{1}{11} \right).\]โดยเฉพาะ มีเพียง $\boxed{1}$ วิธีแก้ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของวงรีที่กำหนดโดย $x^2 + 6x + 4y^2 - 8y + 9 = 0.$ | ทำการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[(x + 3)^2 + 4(y - 1)^2 = 4.\]แล้ว
\[\frac{(x + 3)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{1} = 1,\]ดังนั้นแกนกึ่งเอกมีค่า 2, แกนกึ่งโทมีค่า 1 และพื้นที่มีค่า $\boxed{2 \pi}.$ | \boxed{2 \pi}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่สอดคล้องกับ
\[(n - 1)(n - 3)(n - 5) \dotsm (n - 97) < 0.\] | เราสามารถนับได้ว่ามี 49 ตัวประกอบในผลคูณที่กำหนดไว้ สำหรับ $n < 1,$ ตัวประกอบทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้นผลคูณเป็นลบ
จากนั้นสำหรับ $1 < n < 3,$ ตัวประกอบ $n - 1$ เปลี่ยนเครื่องหมาย และผลคูณกลายเป็นบวก สำหรับ $3 < n < 5,$ ผลคูณเปลี่ยนเครื่องหมายอีกครั้ง และผลคูณกลายเป็นลบ ดังนั้นอสมการนี้เป็นจริงสำหรับ $n = 4.$
ดำเนินการในลักษณะนี้ เราจะเห็นว่าอสมการนี้เป็นจริงสำหรับ $n = 4,$ 8, 16, $\dots,$ 96. สำหรับ $n > 97,$ ตัวประกอบทั้งหมดเป็นบวก ดังนั้นจำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดมี $\boxed{24}$ จำนวน | \boxed{24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คอลเลกชันของบัตรที่มีหมายเลขกำกับ มีบัตรหนึ่งใบที่มีหมายเลข 1 เขียนอยู่, บัตรสองใบที่มีหมายเลข 2 และอื่นๆ ไปจนถึง $n$ ใบที่มีหมายเลข $n$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ที่กำหนด จงหา $n$ ถ้าค่าเฉลี่ยของบัตรในคอลเลกชันนี้คือ 2017 | จำนวนบัตรคือ $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ และผลรวมของค่าของบัตรทั้งหมดคือ
\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}.\]ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของบัตรคือ
\[\frac{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}}{\frac{n(n + 1)}{2}} = \frac{2n + 1}{3}.\]กำหนดให้ค่านี้เท่ากับ 2017 และแก้สมการ เราจะได้ $n = \boxed{3025}.$ | n = \boxed{3025}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $n\geq 4$ ใดๆ ให้ $a_n$ แทนจำนวนฐาน-$n$ $0.\overline{133}_n$ ผลคูณ $a_4a_5 \dotsm a_{99}$ สามารถเขียนในรูป $ rac{m}{n!}$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $n$ มีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ค่าของ $m$ คือเท่าใด | สังเกตว่า $n^3a_n= 133.\overline{133}_n = a_n + n^2 +
3n + 3$ ดังนั้น $a_n = \frac{n^2+3n+3}{n^3-1} =
\frac{(n+1)^3-1}{n(n^3-1)}.$ ดังนั้น \begin{align*}
a_4\cdot a_5 \cdots a_{99} &= \frac{5^3 - 1}{4(4^3-1)} \cdot \frac{6^3 - 1}{5(5^3-1)} \cdots \frac{100^3 - 1}{99(99^3-1)} \\
&= \frac{3!}{99!} \cdot \frac{100^3 - 1}{4^3-1} \\
&= \frac{6}{99!} \cdot \frac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}\\
&= \frac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \frac{962}{98!}.
\end{align*}ดังนั้น $m=\boxed{962}$. | m=\boxed{962} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ $(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) + (x^2 + 5x - 6)$ เป็นผลคูณของพหุนามสองตัวที่ไม่ใช่พหุนาม상수 | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ และ $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).$ ดังนั้นพหุนามที่กำหนดคือ
\begin{align*}
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + (x^2 + 5x - 6) &= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) + (x^2 + 5x - 6) \\
&= (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 5x - 6).
\end{align*}ให้ $y = x^2 + 5x.$ ดังนั้น
\begin{align*}
(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 5x - 6) &= (y + 4)(y + 6) + (y - 6) \\
&= y^2 + 10y + 24 + y - 6 \\
&= y^2 + 11y + 18 \\
&= (y + 2)(y + 9) \\
&= \boxed{(x^2 + 5x + 2)(x^2 + 5x + 9)}.
\end{align*} | y = x^2 + 5x. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $ABC^{}_{}$ มี $AB=9^{}_{}$ และ $BC: AC=40: 41^{}_{}$. พื้นที่มากที่สุดที่สามเหลี่ยมนี้จะมีได้คือเท่าใด? | กำหนดให้ $BC = 40x$ และ $AC = 41x.$ โดยอสมการสามเหลี่ยม $x$ ต้องสอดคล้องกับ
\begin{align*}
9 + 40x &> 41x, \\
9 + 41x &> 40x, \\
40x + 41x &> 9.
\end{align*}อสมการข้อแรกบอกว่า $x < 9,$ อสมการข้อที่สองเป็นจริงเสมอ และอสมการข้อที่สามบอกว่า $x > \frac{1}{9}.$
กึ่ง परिมาตรคือ $s = \frac{9 + 81x}{2},$ ดังนั้นโดยสูตรของ Heron,
\begin{align*}
[ABC]^2 &= \frac{9 + 81x}{2} \cdot \frac{81x - 9}{2} \cdot \frac{9 + x}{2} \cdot \frac{9 - x}{2} \\
&= \frac{81}{16} (9x + 1)(9x - 1)(9 + x)(9 - x) \\
&= \frac{81}{16} (81x^2 - 1)(81 - x^2) \\
&= \frac{1}{16} (81x^2 - 1)(81^2 - 81x^2).
\end{align*}โดย AM-GM,
\[(81x^2 - 1)(81^2 - 81x^2) \le \left[ \frac{(81x^2 - 1) + (81^2 - 81x^2)}{2} \right]^2 = 3280^2,\]ดังนั้น
\[[ABC] \le \sqrt{\frac{3280^2}{16}} = 820.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $81x^2 - 1 = 81^2 - 81x^2,$ หรือ $x^2 = \frac{3281}{81},$ ดังนั้นพื้นที่สูงสุดคือ $\boxed{820}.$ | \boxed{820}. | [
"จำแนก",
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
\[|z^2 + 4| = |z(z + 2i)|.\]จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $|z + i|.$ | สังเกตว่า $z^2 + 4 = (z + 2i)(z - 2i),$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดได้เป็น
\[|z + 2i||z - 2i| = |z||z + 2i|.\]ถ้า $|z + 2i| = 0,$ แล้ว $z = -2i,$ ในกรณีนี้ $|z + i| = |-i| = 1.$ มิฉะนั้น $|z + 2i| \neq 0,$ ดังนั้นเราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $|z + 2i|,$ เพื่อให้ได้
\[|z - 2i| = |z|.\]เงื่อนไขนี้ระบุว่า $z$ มีระยะทางเท่ากันจากจุดกำเนิดและ $2i$ ในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้น $z$ ต้องอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ ซึ่งเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่ส่วนจินตภาพเท่ากับ 1.
[asy]
unitsize(1 cm);
draw((-2.5,0)--(2.5,0));
draw((0,-2.5)--(0,2.5));
draw((-2.5,1)--(2.5,1),red);
dot("$0$", (0,0), NE);
dot("$2i$", (0,2), NE);
label("Re", (2.5,0), E);
label("Im", (0,2.5), N);
[/asy]
换句话说，$z = x + i$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ แล้ว
\[|z + i| = |x + 2i| = \sqrt{x^2 + 4} \ge 2.\]ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดของ $|z + i|$ คือ $\boxed{1},$ ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ $z = -2i.$ | z = -2i. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ $2+\sqrt{2}$ และ $1-\sqrt{3}$ เป็นรากของพหุนามนั้น | ถ้า $2+\sqrt{2}$ เป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว $2-\sqrt{2}$ ก็เป็นรากเช่นกัน ผลบวกของรากทั้งสองคือ $4$ และผลคูณของรากทั้งสองคือ $(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 4-2=2.$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่มีราก $2+\sqrt{2}$ และ $2-\sqrt{2}$ คือ $x^2-4x+2$.
ถ้า $1-\sqrt{3}$ เป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว $1+\sqrt{3}$ ก็เป็นรากเช่นกัน ผลบวกของรากทั้งสองคือ $2$ และผลคูณของรากทั้งสองคือ $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1-3=-2.$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่มีราก $1-\sqrt{3}$ และ $1+\sqrt{3}$ คือ $x^2-2x-2$.
ดังนั้น พหุนามกำลังสี่ที่มีราก $2+\sqrt{2}$ และ $1-\sqrt{3}$ คือ
$$(x^2-4x+2)(x^2-2x-2) = \boxed{x^4-6x^3+8x^2+4x-4}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
คำนวณผลคูณของรากของสมการ \[x^3 - 12x^2 + 48x + 28 = 0.\] | จากสูตรของ Vieta ผลคูณของรากเท่ากับค่าลบของสัมประสิทธิ์ของพจน์คงที่หารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุด ($x^3$) ดังนั้น คำตอบคือ \[\frac{-28}{1} = \boxed{-28}.\] | -28 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ
\[f(x + f(y)) = x + y\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | กำหนดให้ $x = -f(y),$ เราได้
\[f(0) = -f(y) + y,\]ดังนั้น $f(y) = y - f(0)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จากนั้นสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดจะกลายเป็น
\[f(x + y - f(0)) = x + y,\]หรือ $x + y - f(0) - f(0) = x + y.$ ดังนั้น $f(0) = 0,$ ดังนั้น $f(x) = x$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดให้ จึงมีคำตอบ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $x + \frac{45}{x-4} = -10$.
กรุณาใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | นำ $x-4$ คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ $x(x-4) + 45 = -10(x-4)$ หรือ $x^2-4x+45 = -10x+40$ ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $x^2+6x + 5 = 0$ สมการกำลังสองนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x+1)(x+5) = 0$ ดังนั้น $x=-1$ หรือ $x=-5$ ซึ่งเราสามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้องทั้งคู่ ดังนั้นคำตอบคือ \[x = \boxed{-1, \; -5}.\] | x=-1, -5 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x,$ โดยที่ $x$ ไม่เท่ากับศูนย์ และจำนวน $\{x\},$ $\lfloor x \rfloor,$ และ $x$ เป็นลำดับเลขคณิตในลำดับนั้น (เราให้ $\{x\} = x - \lfloor x\rfloor.$) | เราต้องมี \[\lfloor x \rfloor - \{x\} = x - \lfloor x \rfloor,\]หรืออย่างง่ายคือด้านขวามือ \[\lfloor x \rfloor - \{x\} = \{x\}.\]ดังนั้น \[\lfloor x \rfloor = 2\{x\}.\]เนื่องจากด้านซ้ายมือเป็นจำนวนเต็ม $2\{x\}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม เราทราบว่า $0 \le \{x\} < 1,$ ดังนั้น $\{x\} = 0$ หรือ $\{x\} = \tfrac12.$ ถ้า $\{x\} = 0,$ แล้ว $\lfloor x \rfloor = 2 \cdot 0 = 0,$ ดังนั้น $x = 0,$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะเราได้รับว่า $x$ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราต้องมี $\{x\} = \tfrac12,$ ดังนั้น $\lfloor x \rfloor = 2 \cdot \tfrac12 = 1,$ และ $x = 1 + \tfrac12 = \boxed{\tfrac32}.$ | x = 1 + \tfrac12 = \boxed{\tfrac32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์ชั้นนำเท่ากับ 1 และ $r$ เป็นจำนวนจริง สองรากของ $f(x)$ คือ $r + 1$ และ $r + 7$ สองรากของ $g(x)$ คือ $r + 3$ และ $r + 9$ และ
\[f(x) - g(x) = r\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกตัว จงหา $r$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ,
\[f(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a)\]และ
\[g(x) = (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ บางตัว
แล้ว
\[f(x) - g(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a) - (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b) = r\]สำหรับ $x$ ทุกตัว
แทน $x = r + 3$ เราได้
\[(2)(-4)(r + 3 - a) = r.\]แทน $x = r + 9$ เราได้
\[(8)(2)(r + 9 - a) = r.\]ดังนั้น $-8r - 24 + 8a = r$ และ $16r + 144 - 16a = r$ ดังนั้น
\begin{align*}
8a - 9r &= 24, \\
-16a + 15r &= -144.
\end{align*}แก้สมการจะได้ $r = \boxed{32}$ | r = \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การสลายเศษส่วนบางส่วนของ
\[\frac{x^2 - 19}{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}\]คือ
\[\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 3}.\]จงหาผลคูณ $ABC.$ | เรามีว่า
\[\frac{x^2 - 19}{x^3 - 2x^2 - 5x + 6} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 3}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x + 2)(x - 3),$ เราได้
\[x^2 - 19 = A(x + 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x + 2).\]แทน $x = 1,$ เราได้ $-6A = -18$, ดังนั้น $A = 3.$
แทน $x = -2,$ เราได้ $15B = -15,$ ดังนั้น $B = -1.$
แทน $x = 3,$ เราได้ $10C = -10,$ ดังนั้น $C = -1.$ ดังนั้น $ABC = \boxed{3}.$ | ABC = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นรากของสมการ $3x^3 - 3x^2 + 11x - 8 = 0.$ จงหาค่าของ $ab + ac + bc.$ | จากสูตรของ Vieta's, $ab + ac + bc = \boxed{\frac{11}{3}}.$ | ab + ac + bc = \boxed{\frac{11}{3}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่า $t$ ที่เป็นบวก ซึ่งสอดคล้องกับ $ab = t-2i$ โดยที่ $|a|=2$ และ $|b|=\sqrt{26}$ | จากข้อมูลที่กำหนดให้ เราทราบว่า $|a| |b| = |ab| = 2\sqrt{26}$ เราสามารถเขียน $|ab|$ ได้เป็น $|t-2i| = \sqrt{t^2 + 4}$ เมื่อเทียบกันจะได้ $$\sqrt{t^2 + 4} = 2\sqrt{26} \Rightarrow
t^2 + 4 = 104.$$ ค่า $t$ ที่เป็นบวกคือ $t = \boxed{10}$. | t = \boxed{10} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน
\[g(x) = \frac{x^3 + 11x - 2}{|x - 3| + |x + 1|}.\] | นิพจน์จะถูกนิยามก็ต่อเมื่อส่วน $|x - 3| + |x + 1|$ ไม่เท่ากับ 0 เนื่องจากฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชันที่เสมอไม่เป็นลบ ดังนั้น $|x - 3| + |x + 1| = 0$ ก็ต่อเมื่อ $|x - 3|$ และ $|x + 1|$ เท่ากับ 0 ในทางกลับกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $x = 3$ และ $x = -1$ ชัดเจนว่า $x$ ไม่สามารถเป็นทั้ง 3 และ $-1$ ได้ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นส่วนจึงไม่เป็นศูนย์เสมอ โดเมนของฟังก์ชันคือ $\boxed{(-\infty,\infty)}.$ | \boxed{(-\infty,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{100}$ หารด้วย $(x + 1)^3.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^{100} &= [(x + 1) - 1]^{100} \\
&= (x + 1)^{100} - \binom{100}{1} (x + 1)^{99} + \binom{100}{2} (x + 1)^{98} + \dots - \binom{100}{97} (x + 1)^3 + \binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1.
\end{align*}เมื่อหารด้วย $(x + 1)^3$ เศษที่เหลือคือ
\[\binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1 = \boxed{4950x^2 + 9800x + 4851}.\] | 4950x^2 + 9800x + 4851 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบทั้งหมดของ $x = \left|2x-|60-2x|\right|$ | เราพิจารณาในกรณีของเครื่องหมายของ $60-2x.$ ถ้า $60-2x \ge 0,$ สมการจะกลายเป็น \[x = \left| 2x - (60-2x) \right| = \left| 4x - 60 \right|.\]ดังนั้น $x = 4x-60,$ ซึ่งจะได้ $x=20,$ หรือ $x=-(4x-60),$ ซึ่งจะได้ $x=12.$ ทั้งสองคำตอบสอดคล้องกับ $60-2x \ge 0,$ ดังนั้นจึงเป็นคำตอบที่ถูกต้อง
ถ้า $60-2x<0,$ สมการจะกลายเป็น \[x = \left| 2x + (60-2x) \right| = 60,\]ซึ่งสอดคล้องกับ $60-2x<0,$ ดังนั้น $x=60$ เป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียวในกรณีนี้
ผลรวมของคำตอบทั้งหมดคือ $12 + 20 + 60 = \boxed{92}.$ | 12 + 20 + 60 = \boxed{92}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณผลรวมของรากของสมการ \[x\sqrt{x} - 6x + 7\sqrt{x} - 1 = 0,\]โดยที่รากทั้งหมดเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบ | สมการที่กำหนดนี้ไม่ใช่สมการพหุนาม ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้สูตรของเวียต้าได้โดยตรง เพื่อสร้างสมการพหุนามที่เกี่ยวข้อง เราแทน $y = \sqrt{x},$ หรือ $x = y^2,$ ให้ \[y^3 - 6y^2 + 7y - 1 = 0.\]สำหรับค่าของ $y$ แต่ละค่าที่สอดคล้องกับสมการนี้ ค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการเดิมคือ $x = y^2.$ ดังนั้นเราต้องการหาผลรวมของกำลังสองของรากของสมการนี้
เพื่อทำเช่นนี้ ให้ $r,$ $s,$ และ $t$ แทนรากของสมการนี้ จากสูตรของเวียต้า $r+s+t=6$ และ $rs+st+tr=7,$ ดังนั้น \[r^2+s^2+t^2=(r+s+t)^2-2(rs+st+tr) = 6^2 - 2 \cdot 7 = \boxed{22}.\] | 22 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a + b + c = 11$ และ $ab + ac + bc = 25,$ จงหาค่าของ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc.\] | เรามีการแยกตัวประกอบ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).\] squaring the equation $a + b + c = 11,$ we get
\[a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 121.\]Then $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 121 - 3(ab + ac + bc) = 121 - 75 = 46,$ so
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 11 \cdot 46 = \boxed{506}.\] | 46 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x) = x^2 + bx + c,$ โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม ถ้า $p(x)$ เป็นตัวประกอบของ $x^4 + 6x^2 + 25$ และ $3x^4 + 4x^2 + 28x + 5$ จงหาค่าของ $p(1)$ | เนื่องจาก $p(x)$ เป็นตัวประกอบของ $x^4 + 6x^2 + 25$ และ $3x^4 + 4x^2 + 28x + 5$ ดังนั้น $p(x)$ ต้องเป็นตัวประกอบของ
\[3(x^4 + 6x^2 + 25) - (3x^4 + 4x^2 + 28x + 5) = 14x^2 - 28x + 70 = 14(x^2 - 2x + 5).\]ดังนั้น $p(x) = x^2 - 2x + 5,$ และ $p(1) = 1 - 2 + 5 = \boxed{4}.$ | p(1) = 1 - 2 + 5 = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[\frac{f(x) f(y) - f(xy)}{3} = x + y + 2\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{R}.$ จงหา $f(x).$ | เราเขียนสมการเชิงฟังก์ชันใหม่เป็น
\[f(x)f(y) - f(xy) = 3x + 3y + 6.\]แทนค่า $x = y = 0,$ เราได้
\[f(0)^2 - f(0) = 6.\]ดังนั้น $f(0)^2 - f(0) - 6 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(f(0) - 3)(f(0) + 2) = 0.$ ดังนั้น $f(0) = 3$ หรือ $f(0) = -2.$
แทนค่า $y = 0,$ เราได้
\[f(0) f(x) - f(0) = 3x + 6.\]แล้ว
\[f(x) - 1 = \frac{3x + 6}{f(0)},\]ดังนั้น
\[f(x) = \frac{3x + 6}{f(0)} + 1.\]ถ้า $f(0) = 3,$ แล้ว $f(x) = x + 3,$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน. ถ้า $f(0) = -2,$ แล้ว
\[f(x) = -\frac{3}{2} x - 2,\]ซึ่งไม่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน. ดังนั้น $f(x) = \boxed{x + 3}.$ | f(x) = \boxed{x + 3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\omega$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $\omega^7 = 1$ และ $\omega \ne 1.$ กำหนดให้ $\alpha = \omega + \omega^2 + \omega^4$ และ $\beta = \omega^3 + \omega^5 + \omega^6.$ แล้ว $\alpha$ และ $\beta$ สอดคล้องกับสมการกำลังสอง
\[x^2 + ax + b = 0\]โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง จงหาคู่ลำดับ $(a,b).$ | จากสมการ $\omega^7 = 1,$ $\omega^7 - 1 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(\omega - 1)(\omega^6 + \omega^5 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1) = 0.\]เนื่องจาก $\omega \neq 1,$
\[\omega^6 + \omega^5 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1 = 0.\]เราได้ว่า
\[\alpha + \beta = \omega + \omega^2 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^5 + \omega^6 = -1.\]นอกจากนี้
\begin{align*}
\alpha \beta &= (\omega + \omega^2 + \omega^4)(\omega^3 + \omega^5 + \omega^6) \\
&= \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 + \omega^5 + \omega^7 + \omega^8 + \omega^7 + \omega^9 + \omega^{10} \\
&= \omega^4 + \omega^6 + 1 + \omega^5 + 1 + \omega + 1 + \omega^2 + \omega^3 \\
&= 2 + (\omega^6 + \omega^5 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1) \\
&= 2.
\end{align*}ดังนั้น โดยทฤษฎีบทของ Vieta, $\alpha$ และ $\beta$ เป็นรากของ $x^2 + x + 2 = 0,$ ดังนั้น $(a,b) = \boxed{(1,2)}.$ | (a,b) = \boxed{(1,2)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[x^2 + xy + y^2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | เราสามารถเติมกำลังสองใน $x$ ได้ดังนี้
\[x^2 + xy + y^2 = \left( x + \frac{y}{2} \right)^2 + \frac{3y^2}{4}.\]เราจะเห็นว่าค่าต่ำสุดคือ $\boxed{0},$ ซึ่งเกิดขึ้นที่ $x = y = 0.$ | x = y = 0. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{100}$ หารด้วย $(x + 1)^3.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^{100} &= [(x + 1) - 1]^{100} \\
&= (x + 1)^{100} - \binom{100}{1} (x + 1)^{99} + \binom{100}{2} (x + 1)^{98} + \dots - \binom{100}{97} (x + 1)^3 + \binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1.
\end{align*}เมื่อหารด้วย $(x + 1)^3$ เศษที่เหลือคือ
\[\binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1 = \boxed{4950x^2 + 9800x + 4851}.\] | (x + 1)^3, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x + y + z = 5$ และ $xy + xz + yz = 8.$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x.$ | ยกกำลังสองสมการ $x + y + z = 5,$ เราได้
\[x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz) = 25.\]ดังนั้น $x^2 + y^2 + z^2 = 25 - 2 \cdot 8 = 9.$
โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1^2 + 1^2)(y^2 + z^2) \ge (y + z)^2.\]ดังนั้น $2(9 - x^2) \ge (5 - x)^2,$ ซึ่งขยายเป็น $18 - 2x^2 \ge 25 - 10x + x^2.$ สมการนี้จะลดรูปเป็น $3x^2 - 10x + 7 \le 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 1)(3x - 7) \le 0.$ ดังนั้น $x \le \frac{7}{3}.$
สมการเป็นจริงเมื่อ $y = z = \frac{4}{3},$ ดังนั้นค่าสูงสุดของ $x$ คือ $\boxed{\frac{7}{3}}.$ | \boxed{\frac{7}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้มีจำนวนเต็ม $b,c$ ที่ทำให้รากของพหุนาม $x^2-x-1$ เป็นรากของพหุนาม $x^5-bx-c$ ด้วย จงหาผลคูณ $bc$ | กำหนดให้ $r$ เป็นรากของ $x^2-x-1$ แล้วจัดรูปใหม่ได้
$$r^2 = r+1.$$คูณทั้งสองข้างด้วย $r$ และแทนค่าได้
\begin{align*}
r^3 &= r^2+r \\
&= (r+1)+r \\
&= 2r+1.
\end{align*}ทำซ้ำกระบวนการอีกสองครั้ง ได้
\begin{align*}
r^4 &= r(2r+1) \\
&= 2r^2+r \\
&= 2(r+1)+r \\
&= 3r+2
\end{align*}และ
\begin{align*}
r^5 &= r(3r+2) \\
&= 3r^2+2r \\
&= 3(r+1)+2r \\
&= 5r+3.
\end{align*}ดังนั้น รากของ $x^2-x-1$ แต่ละราก เป็นรากของ $x^5-5x-3$ ด้วย ซึ่งจะได้ $bc = 5\cdot 3 = \boxed{15}$.
(ทิ้งไว้ให้ผู้อ่านตรวจสอบว่าคำตอบนี้เป็นคำตอบเดียวหรือไม่) | bc = 5\cdot 3 = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้สัญลักษณ์ $\lfloor x \rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกิน $x$ ตัวอย่างเช่น $\lfloor 3 \rfloor = 3,$ และ $\lfloor 9/2 \rfloor = 4.$ จงคำนวณ \[\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor.\] | เนื่องจาก $1 \le \sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2,$ สามพจน์แรกของผลบวกมีค่าเท่ากับ $1.$ จากนั้น เนื่องจาก $2 \le \sqrt{4} < \sqrt{5} < \dots < \sqrt{8} < 3,$ ห้าพจน์ถัดไปมีค่าเท่ากับ $2.$ จากนั้น เนื่องจาก $3 \le \sqrt{9} < \sqrt{10} < \dots < \sqrt{15} < 4,$ เจ็ดพจน์ถัดไปมีค่าเท่ากับ $3.$ สุดท้าย พจน์สุดท้ายมีค่าเท่ากับ $\lfloor 4 \rfloor = 4.$ ดังนั้น ผลบวกทั้งหมดคือ \[3(1) + 5(2) + 7(3) + 4 = 3 + 10 + 21 + 4 = \boxed{38}.\] | 38 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี้ห้าข้อ:
$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
$a^2 > b^2$
$a < b$
$a < 0$
$b < 0$
ข้อความสูงสุดที่เป็นจริงสำหรับค่าของ $a$ และ $b$ ที่เป็นไปได้คือข้อความใด | สมมติว่า $a < 0,$ $b < 0,$ และ $a < b.$ แล้ว
\[\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} > 0,\]ดังนั้น $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}.$ ดังนั้น ไม่สามารถเป็นจริงได้ทั้งหมดห้าข้อ
ถ้าเราใช้ $a = -2$ และ $b = -1,$ ข้อความทั้งหมดจะเป็นจริงยกเว้นข้อความแรก ดังนั้น จำนวนสูงสุดของข้อความที่เป็นจริงคือ $\boxed{4}.$ | \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนเต็ม $x$ ที่สอดคล้องกับอสมการ
\[x^2 + bx + 2 \le 0.\]พอดี 3 จำนวน มีจำนวนเต็ม $b$ ที่เป็นไปได้กี่จำนวน? | รากของสมการที่สอดคล้อง $x^2 + bx + 2 = 0$ คือ
\[\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 8}}{2}.\](โปรดทราบว่ารากเหล่านี้ต้องเป็นจำนวนจริง มิฉะนั้นอสมการ $x^2 + bx + 2 \le 0$ จะไม่มีคำตอบจริง) ดังนั้นคำตอบของอสมการนี้ $x^2 + bx + 2 \le 0$ คือ
\[\frac{-b - \sqrt{b^2 - 8}}{2} \le x \le \frac{-b + \sqrt{b^2 - 8}}{2}.\]ถ้าความยาวของช่วงนี้มีอย่างน้อย 4 ช่วง ก็ต้องมีจำนวนเต็มอย่างน้อย 4 จำนวน ดังนั้นความกว้างของช่วงนี้ต้องน้อยกว่า 4 ดังนั้น
\[\sqrt{b^2 - 8} < 4.\]จากนั้น $b^2 - 8 < 16,$ ดังนั้น $b^2 < 24.$ เราต้องมี $b^2 > 8$ ด้วย ค่าที่เป็นไปได้ของ $b$ คือ $-4,$ $-3,$ 3 และ 4 เราสามารถพิจารณาแต่ละกรณีได้
\[
\begin{array}{c|c}
b & \text{คำตอบจำนวนเต็มของ $x^2 + bx + 2 \le 0$} \\ \hline
-4 & 1, 2, 3 \\
-3 & 1, 2 \\
3 & -2, -1 \\
4 & -3, -2, -1
\end{array}
\]ดังนั้นมี $\boxed{2}$ ค่าของ $b$ ที่ทำงานได้ คือ $-4$ และ 4. | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[\frac{ac}{a + b} + \frac{ba}{b + c} + \frac{cb}{c + a} = -9\]และ
\[\frac{bc}{a + b} + \frac{ca}{b + c} + \frac{ab}{c + a} = 10.\]จงหาค่าของ
\[\frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c} + \frac{a}{c + a}.\] | นำสมการที่กำหนดมาบวกกัน จะได้
\[\frac{c(a + b)}{a + b} + \frac{a(b + c)}{b + c} + \frac{b(c + a)}{c + a} = 1,\]ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $a + b + c = 1.$
ลบสมการที่กำหนดในโจทย์ จะได้
\[\frac{c(b - a)}{a + b} + \frac{a(c - b)}{b + c} + \frac{b(a - c)}{c + a} = 19.\]กำหนด
\begin{align*}
u &= \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a}, \\
v &= \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c} + \frac{a}{c + a},
\end{align*}ดังนั้น $u + v = 3.$ นอกจากนี้
\begin{align*}
u - v &= \frac{a - b}{a + b} + \frac{b - c}{b + c} + \frac{c - a}{c + a} \\
&= (a + b + c) \frac{a - b}{a + b} + (a + b + c) \frac{b - c}{b + c} + (a + b + c) \frac{c - a}{c + a} \\
&= a - b + \frac{c(a - b)}{a + b} + b - c + \frac{a(b - c)}{b + c} + c - a + \frac{b(c - a)}{c + a} \\
&= -19.
\end{align*}ลบสมการ $u + v = 3$ และ $u - v = -19$ จะได้ $2v = 22$ ดังนั้น $v = \boxed{11}.$ | v = \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็ม $x$ และ $y$ โดยที่ $x>y>0$ สอดคล้องกับ $x+y+xy=80$ จงหาค่า $x$ | นำ 1 บวกทั้งสองข้างของสมการ จะได้ $xy + x + y + 1 = 81$ ดังนั้น
\[(x + 1)(y + 1) = 81.\]ค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวคือ $x + 1 = 27$ และ $y + 1 = 3$ ดังนั้น $x = \boxed{26}$. | x = \boxed{26}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(0) = 1$ และ
\[f(xy) = f \left( \frac{x^2 + y^2}{2} \right) + (x - y)^2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด จงหา $f(x).$ | กำหนดให้ $y = 0,$ เราได้
\[f(0) = f \left( \frac{x^2}{2} \right) + x^2.\]ดังนั้น $f(u) = 1 - 2u$ สำหรับ $u \ge 0$ ทั้งหมด
กำหนดให้ $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = f \left( \frac{x^2 + 1}{2} \right) + (x - 1)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{x^2 + 1}{2} + (x - 1)^2 = \boxed{1 - 2x}.\] | y = 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[
2 < \frac{x - y}{x + y} < 5.
\]ถ้า $\frac{x}{y}$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของมัน | กำหนดให้ $\frac{x}{y} = t$ ดังนั้น $x = ty$ เราสามารถเขียนได้ว่า \[\frac{x-y}{x+y} = \frac{ty-y}{ty+y} = \frac{t-1}{t+1}.\]ดังนั้นเราได้ \[2 < \frac{t-1}{t+1} < 5,\]ซึ่งเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: \[\begin{aligned} 2 < 1 &- \frac{2}{t+1} < 5 \\ 1 <&-\frac{2}{t+1} < 4 \\ -\frac{1}{2} > &\frac{1}{t+1} > -2. \end{aligned}\]จำนวนเดียวเท่านั้นที่มีรูปแบบ $\frac{1}{t+1}$ (โดยที่ $t$ เป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งอยู่ในช่วง $\left(-2, -\frac12\right)$ คือ $-1 = \frac1{-1}$ ดังนั้นเราต้องมี $t+1=-1$ และ $t = -2$ ซึ่งทำได้เมื่อ $x = -2$ และ $y =1$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{-2}$. | \boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในลำดับหนึ่ง ๆ พจน์แรกคือ $a_1=2007$ และพจน์ที่สองคือ $a_2=2008$ ยิ่งไปกว่านั้น ค่าของพจน์ที่เหลือถูกเลือกเพื่อให้ $a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=n$ สำหรับทุก ๆ $n\ge 1$ จงหาค่าของ $a_{1000}$ | เพื่อเริ่มต้น เราคำนวณพจน์สิบพจน์แรกดังนี้: \[ 2007, 2008, -4014, 2008, 2009, -4013, 2009, 2010, -4012, 2010, \ldots \]ดูเหมือนว่าแต่ละพจน์จะมีค่ามากกว่าพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าสามพจน์เป็น 1 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเสมอโดยใช้ความสัมพันธ์การเกิดซ้ำที่กำหนดให้ เราทราบว่า $a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=n$ และ $a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=n+1$ การลบสมการแรกจากสมการที่สองจะได้ $a_{n+3}-a_n=1$ ซึ่งเป็นรูปแบบที่เราสังเกตเห็น ดังนั้นเราพบว่า \[ a_1 = 2007, \ a_4=2008, \ a_7=2009, \ldots, a_{1000}=2007+333=\boxed{\mathbf{2340}}. \] | a_{n+3}-a_n=1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\sqrt{x} + 2 \sqrt{x^2 + 7x} + \sqrt{x + 7} = 35 - 2x.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ก่อนอื่น เขียนสมการที่กำหนดให้ใหม่เป็น
\[\sqrt{x} + \sqrt{x + 7} + 2 \sqrt{x^2 + 7x} + 2x = 35.\]ให้ $y = \sqrt{x} + \sqrt{x + 7}.$ แล้ว
\[y^2 = x + 2 \sqrt{x(x + 7)} + x + 7 = 2 \sqrt{x^2 + 7x} + 2x + 7.\]ดังนั้น $y + y^2 - 7 = 35.$ แล้ว $y^2 + y - 42 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(y - 6)(y + 7) = 0.$ เนื่องจาก $y$ เป็นบวก $y = 6.$
ดังนั้น,
\[\sqrt{x} + \sqrt{x + 7} = 6.\]แล้ว $\sqrt{x + 7} = 6 - \sqrt{x}.$ กำลังสองทั้งสองข้าง เราได้
\[x + 7 = 36 - 12 \sqrt{x} + x.\]แล้ว $12 \sqrt{x} = 29,$ ดังนั้น $x = \left( \frac{29}{12} \right)^2 = \boxed{\frac{841}{144}}.$ เราตรวจสอบว่าคำตอบนี้ใช้ได้ | x = \left( \frac{29}{12} \right)^2 = \boxed{\frac{841}{144}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $ a$, $ b$, $ c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $ a+b+c=0$ และ $ a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ จงหาค่าของ $ a^2+b^2+c^2$ | จากการแยกตัวประกอบ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc),\]เราทราบว่า $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.$
เนื่องจาก $a + b + c = 0,$ $c = -a - b,$ ดังนั้น
\begin{align*}
a^5 + b^5 + c^5 &= a^5 + b^5 - (a + b)^5 \\
&= -5a^4 b - 10a^3 b^2 - 10a^2 b^3 - 5ab^4 \\
&= -5ab(a^3 + 2a^2 b + 2ab^2 + b^3) \\
&= -5ab[(a^3 + b^3) + (2a^2 b + 2ab^2)] \\
&= -5ab[(a + b)(a^2 - ab + b^2) + 2ab(a + b)] \\
&= -5ab(a + b)(a^2 + ab + b^2) \\
&= 5abc(a^2 + ab + b^2),
\end{align*}ดังนั้น
\[3abc = 5abc(a^2 + ab + b^2).\]เนื่องจาก $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถเขียนได้ว่า
\[a^2 + ab + b^2 = \frac{3}{5}.\]ดังนั้น
\begin{align*}
a^2 + b^2 + c^2 &= a^2 + b^2 + (a + b)^2 \\
&= a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 \\
&= 2a^2 + 2ab + 2b^2 \\
&= 2(a^2 + ab + b^2) = \boxed{\frac{6}{5}}.
\end{align*} | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[\frac{(a - b)(c - d)}{(b - c)(d - a)} = \frac{2}{5}.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{(a - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)}.\] | จากสมการที่กำหนดให้ $5(a - b)(c - d) = 2(b - c)(d - a),$ ซึ่งจะขยายเป็น
\[5ac - 5ad - 5bc + 5bd = 2bd - 2ab - 2cd + 2ac.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $2ab + 3ac + 3bd + 2cd = 5ad + 5bc,$ ดังนั้น
\[ad + bc = \frac{2ab + 3ac + 3bd + 2cd}{5}.\]จากนั้น
\begin{align*}
\frac{(a - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)} &= \frac{ab - ad - bc + cd}{ac - ad - bc + bd} \\
&= \frac{ab + cd - \frac{2ab + 3ac + 3bd + 2cd}{5}}{ac + bd - \frac{2ab + 3ac + 3bd + 2cd}{5}} \\
&= \frac{5ab + 5cd - 2ab - 3ac - 3bd - 2cd}{5ac + 5bd - 2ab - 3ac - 3bd - 2cd} \\
&= \frac{3ab - 3ac - 3bd + 3cd}{-2ab + 2ac + 2bd - 2cd} \\
&= \frac{3(ab - ac - bd + cd)}{-2(ab - ac - bd + cd)} \\
&= \boxed{-\frac{3}{2}}.
\end{align*} | $-\frac{3}{2}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสัมบูรณ์ของ $7-24i$ | เราได้ว่า $|7-24i| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \boxed{25}$ | |7-24i| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \boxed{25} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x>0$ ในลำดับเลขคณิตต่อไปนี้: $1^2, x^2, 3^2, \ldots$. | พจน์ $x^2$ คือค่าเฉลี่ยของ $1^2 = 1$ และ $3^2 = 9$ ดังนั้น $x^2 = (1 + 9)/2 = 5$ เนื่องจาก $x > 0$ ดังนั้น $x = \boxed{\sqrt{5}}$ | x = \boxed{\sqrt{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่สอดคล้องกับ
\[10 < n^2 < 99.\] | จำนวนเต็ม $n$ ที่สอดคล้องกับ $10 < n^2 < 99$ คือ
\[-9, -8, -7, -6, -5, -4, 4, 5, 6, 7, 8, 9\]รวมทั้งหมด $\boxed{12}$ จำนวน | \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ \[\lfloor 1 \rfloor + \lfloor 1.6 \rfloor + \lfloor 2.2 \rfloor + \lfloor 2.8 \rfloor + \dots + \lfloor 99.4 \rfloor + \lfloor 100 \rfloor,\]โดยที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นเป็นลำดับเลขคณิต | เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $\lfloor x \rfloor = x - \{x\}$ สำหรับทุก $x.$ ดังนั้น เราเพียงแค่คำนวณผลรวมของลำดับเลขคณิตเอง \[1 + 1.6 + 2.2 + \dots + 100,\]แล้วลบผลรวมของส่วนที่เป็นทศนิยม \[\{1\} + \{1.6\} + \{2.2\} + \dots + \{100\}.\]ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตคือ $0.6$ ดังนั้นจำนวนพจน์คือ $1 + \frac{100 - 1}{0.6} = 166.$ จากนั้น ผลรวมของลำดับเลขคณิตคือ \[\frac{1 + 100}{2} \cdot 166 = 101 \cdot 83 = 8383.\]เนื่องจากห้าเท่าของผลต่างร่วมคือ $5 \cdot 0.6 = 3$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม ส่วนที่เป็นทศนิยมของลำดับเลขคณิตจะซ้ำทุกห้าพจน์ ดังนั้น ผลรวมของส่วนที่เป็นทศนิยมคือ \[\frac{165}{5} \left( 0 + 0.6 + 0.2 + 0.8 + 0.4 \right) + 0 = 33 \cdot 2 = 66.\]ดังนั้น ผลรวมที่กำหนดคือ \[8383 - 66 = \boxed{8317} \,.\] | 5 \cdot 0.6 = 3, | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(xy) + f(xz) - f(x) f(yz) \ge 1\]สำหรับจำนวนจริง $x,$ $y,$ และ $z$ ทั้งหมด | กำหนด $x = y = z = 0,$ เราได้
\[f(0) + f(0) - f(0)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(0)^2 - 2f(0) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(0) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(0) = 1.$
กำหนด $x = y = z = 1,$ เราได้
\[f(1) + f(1) - f(1)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(1)^2 - 2f(1) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(1) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(1) = 1.$
กำหนด $y = z = 0,$ เราได้
\[f(0) + f(0) - f(x) f(0) \ge 1,\]ดังนั้น $f(x) \le 1$ สำหรับทุก $x.$
กำหนด $y = z = 1,$ เราได้
\[f(x) + f(x) - f(x) f(1) \ge 1,\]ดังนั้น $f(x) \ge 1$ สำหรับทุก $x.$
สิ่งนี้บอกเราว่าฟังก์ชันที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $f(x) = 1.$ เราเห็นได้ง่ายๆ ว่าฟังก์ชันนี้ทำงานได้ ดังนั้นมีฟังก์ชัน $f(x)$ ที่เป็นไปได้เพียง $\boxed{1}$ ฟังก์ชัน | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติว่า สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ ในโดเมนของมัน $1/x$ ก็อยู่ในโดเมนของมันเช่นกัน และ \[
f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = x.
\]เซตของจำนวนจริงที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในโดเมนของ $f$ คือเซตใด?
(a) ${\{x\mid x\ne0\}}$
(b) ${\{x\mid x<0\}}$
(c) ${\{x\mid x>0\}}$
(d) ${\{x\mid x\ne-1\ \text{and}\ x\ne0\ \text{and}\ x\ne1\}}$
(e) ${\{-1,1\}}$ | เงื่อนไขของ $f$ หมายความว่า \[
x = f(x) + f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right)\]และ \[\frac{1}{x} = f\left(\frac{1}{x}\right) +
f\displaystyle\left(\frac{1}{1/x}\displaystyle\right) = f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right) + f(x).
\]ดังนั้น ถ้า $x$ อยู่ในโดเมนของ $f$ แล้ว $x = 1/x$ ดังนั้น $x = \pm 1$.
เงื่อนไขจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ $f(1)=1/2$ และ $f(-1)=-1/2$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{E}$. | \boxed{E} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาพหุนามmonicดีกรี 4 ใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ เป็นรากของพหุนาม | เราเริ่มต้นสร้างพหุนามกำลังสองที่มี $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ และ $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ เป็นราก ผลบวกของรากคือ $\sqrt{2} +\sqrt{3}+\sqrt{2} -\sqrt{3}=2\sqrt{2}.$ ผลคูณของรากคือ $(\sqrt{2} +\sqrt{3})(\sqrt{2} -\sqrt{3})=2-3=-1.$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่มีราก $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ และ $\sqrt{2} -\sqrt{3}$ คือ $$x^2-2\sqrt{2}x-1.$$ถัดไป เราต้องการกำจัดสัมประสิทธิ์ที่เป็นอตรรกยะ เราสามารถเขียน $x^2-2\sqrt{2}x-1$ เป็น $x^2-1-2\sqrt{2}x$. จากนั้น คูณด้วย $x^2-1+2\sqrt{2}x$ จะได้
$$(x^2-1-2\sqrt{2}x)(x^2-1+2\sqrt{2}x)=(x^2-1)^2-(2\sqrt{2}x)^2=\boxed{x^4-10x^2+1}$$ซึ่งเป็นพหุนามmonicดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ และมี $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ เป็นราก | $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
\[\frac{6}{\sqrt{x - 8} - 9} + \frac{1}{\sqrt{x - 8} - 4} + \frac{7}{\sqrt{x - 8} + 4} + \frac{12}{\sqrt{x - 8} + 9} = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมด แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | กำหนดให้ $y = \sqrt{x - 8},$ ดังนั้น
\[\frac{6}{y - 9} + \frac{1}{y - 4} + \frac{7}{y + 4} + \frac{12}{y + 9} = 0.\]สังเกตว่า
\[\frac{6}{y - 9} + \frac{12}{y + 9} = \frac{6(y + 9) + 12(y - 9)}{y^2 - 81} = \frac{18y - 54}{y^2 - 81} = \frac{18(y - 3)}{y^2 - 81},\]และ
\[\frac{1}{y - 4} + \frac{7}{y + 4} = \frac{y + 4 + 7(y - 4)}{y^2 - 16} = \frac{8y - 24}{y^2 - 16} = \frac{8(y - 3)}{y^2 - 16},\]ดังนั้น
\[\frac{18(y - 3)}{y^2 - 81} + \frac{8(y - 3)}{y^2 - 16} = 0.\]ถ้า $y = 3,$ แล้ว $x = 3^2 + 8 = 17.$ มิฉะนั้น เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $2(y - 3),$ เพื่อให้ได้
\[\frac{9}{y^2 - 81} + \frac{4}{y^2 - 16} = 0.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $(y^2 - 16)(y^2 - 81),$ เราได้
\[9(y^2 - 16) + 4(y^2 - 81) = 0.\]แล้ว $13y^2 = 468,$ ดังนั้น $y^2 = 36.$ เนื่องจาก $y = \sqrt{x - 8}$ ต้องเป็นค่าไม่เป็นลบ $y = 6.$ แล้ว $x = 6^2 + 8 = 44.$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{17,44}.$ | \boxed{17,44}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ \[\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x+2} = kx\]มีรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนちょうど 2 ราก จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $k$ ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน
ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยจุลภาค | คูณทั้งสองข้างด้วย $(x+1)(x+2),$ เราได้ \[x(x+2) + x(x+1) = kx(x+1)(x+2),\]หรือ \[2x^2 + 3x = kx^3 + 3kx^2 + 2kx.\]จัดรูปใหม่เป็นสมการ \[0 = kx^3 + (3k-2)x^2 + (2k-3)x,\]หรือ \[0 = x(kx^2 + (3k-2)x + (2k-3)).\]ชัดเจนว่า $x = 0$ เป็นรากของสมการนี้ รากอื่นๆ ทั้งหมดต้องสอดคล้องกับสมการ \[0 = kx^2 + (3k-2)x + (2k-3).\]ถ้า $k = 0,$ สมการจะกลายเป็น $-2x - 3 = 0,$ ดังนั้น $x = -\frac{3}{2}.$ ดังนั้น $k = 0$ จึงเป็นคำตอบที่ถูกต้อง
มิฉะนั้นสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ทางด้านขวาจะเป็นศูนย์ ดังนั้นสมการจะเป็นสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ สำหรับสมการที่กำหนดให้มีรากเพียง 2 ราก หนึ่งในข้อความต่อไปนี้ต้องเป็นจริง:
สมการกำลังสองมี $0$ เป็นราก และรากอื่นไม่เป็นศูนย์ แทน $x = 0,$ เราได้ $0 = 2k-3,$ ดังนั้น $k = \tfrac32.$ นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้อง เพราะถ้าเป็นเช่นนั้น สมการจะกลายเป็น $0 = \tfrac32 x^2 + \tfrac52 x,$ ซึ่งมีราก $x = 0$ และ $x = -\tfrac53.$
สมการกำลังสองมีรากเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์ ในกรณีนี้ ตัวเลือกต้องเป็นศูนย์: \[(3k-2)^2 - 4k(2k-3) = 0,\]ซึ่งจะลดความซับซ้อนเป็น $k^2 + 4 = 0.$ ดังนั้น $k = \pm 2i.$ ทั้งสองนี้เป็นคำตอบที่ถูกต้อง เพราะเราได้เรียนรู้ในกรณีแรกแล้วว่า $k = \tfrac32$ เป็นค่าเดียวของ $k$ ที่ทำให้ $0$ เป็นรากของสมการกำลังสอง ดังนั้นสมการกำลังสองจะมีรากเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับ $k = \pm 2i.$
ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ $k$ คือ $k = \boxed{0,\tfrac32, 2i, -2i}.$ | k = \boxed{0,\tfrac32, 2i, -2i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าจำนวนทั้งสี่จำนวน \[2 - \sqrt{5}, \;4+\sqrt{10}, \;14 - 2\sqrt{7}, \;-\sqrt{2}\]เป็นรากของพหุนามเดียวกันที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ และพหุนามนี้ไม่เท่ากับศูนย์ จงหาดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของพหุนามนี้ | เนื่องจากพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุคของแต่ละรากทั้งสี่ต้องเป็นรากของพหุนามด้วย ดังนั้น พหุนามมีรากอย่างน้อย $4 \times 2 = 8$ ราก ดังนั้นดีกรีของมันต้องมีอย่างน้อย 8
สังเกตว่าสำหรับจำนวนทั้งสี่จำนวนนี้ พหุนามกำลังสองที่มีรากเป็นจำนวนนั้นและรากสังยุคของมันจะมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น พหุนามกำลังสองที่มีราก $2 - \sqrt{5}$ และ $2 + \sqrt{5}$ คือ
\[(x - 2 + \sqrt{5})(x - 2 - \sqrt{5}) = (x - 2)^2 - 5 = x^2 - 4x - 1.\]ดังนั้น มีพหุนามดังกล่าวที่มีดีกรี $\boxed{8}$ ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด | \boxed{8}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $x$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีสมบัติที่ $x+\tfrac1x = 3$ ให้ $S_m = x^m + \tfrac{1}{x^m}$ จงหาค่าของ $S_7$.
| เราสามารถคำนวณได้ว่า\[x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 3^2 -2 = 7.\]ในทำนองเดียวกัน,\[x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right) \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - \left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 3 \cdot 7 - 3 = 18\]และ\[x^4 + \dfrac{1}{x^4} = \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 - 2 = 7^2 - 2 = 47.\]สุดท้าย,\[x^7 + \dfrac{1}{x^7} = \left(x^3 + \dfrac{1}{x^3}\right) \left(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\right) - \left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 18 \cdot 47 - 3 = \boxed{843}.\] | 843 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่ารากของ $x^3+3x^2+4x-11=0$ คือ $a$, $b$, และ $c$ และรากของ $x^3+rx^2+sx+t=0$ คือ $a+b$, $b+c$, และ $c+a$ จงหาค่า $t$ | จากสูตรของ Vieta's \[t = -(a+b)(b+c)(c+a).\]จากพหุนามลูกบาศก์ตัวแรก เราได้ว่า $a+b+c=-3$ โดยใช้สมการนี้ เราสามารถเขียนใหม่ $t$ เป็น \[t = -(-3-c)(-3-a)(-3-b).\]เพื่อคำนวณนิพจน์นี้ได้อย่างรวดเร็ว โปรดสังเกตว่า สำหรับ $x$ ใดๆ \[x^3 + 3x^2 + 4x - 11 = (x-a)(x-b)(x-c)\]โดยทฤษฎีบทตัวประกอบ โดยการแทน $x = -3$ เราได้ \[(-3)^3 + 3(-3)^2 + 4(-3) - 11 = -23 = (-3-a)(-3-b)(-3-c).\]ดังนั้น $t = -(-23) = \boxed{23}$ | t = -(-23) = \boxed{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f_0(x)=x+|x-100|-|x+100|$, และสำหรับ $n\geq 1$, กำหนดให้ $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1$. จงหาจำนวนค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f_{100}(x)=0$? | สำหรับจำนวนเต็ม $n \ge 1$ และ $k \ge 0,$ ถ้า $f_{n - 1}(x) = \pm k,$ แล้ว
\[f_n(x) = |f_{n - 1}(x)| - 1 = k - 1.\]นั่นหมายความว่าถ้า $f_0(x) = \pm k,$ แล้ว $f_k(x) = 0.$
ยิ่งกว่านั้น ถ้า $f_n(x) = 0,$ แล้ว $f_{n + 1}(x) = -1,$ และ $f_{n + 2}(x) = 0.$ ดังนั้น $f_{100}(x) = 0$ ก็ต่อเมื่อ $f_0(x) = 2k$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ ใดๆ,$ -50 \le k \le 50.$
เราสามารถเขียนได้ว่า
\[f_0(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
x + 200 & \text{ถ้า $x < -100$}, \\
-x & \text{ถ้า $-100 \le x < 100$}, \\
x - 200 & \text{ถ้า $x \ge 100$}.
\end{array}
\right.\][asy]
unitsize(0.01 cm);
draw((-400,-200)--(-100,100)--(100,-100)--(400,200));
draw((-400,0)--(400,0));
draw((0,-200)--(0,200));
label("$y = f_0(x)$", (400,200), E);
label("$(-100,100)$", (-100,100), N);
label("$(100,-100)$", (100,-100), S);
[/asy]
ดังนั้น สมการ $f_0(x) = \pm 100$ มีคำตอบ 2 คำตอบ และสมการ $f_0(x) = 2k$ มีคำตอบ 3 คำตอบ สำหรับ $-49 \le k \le 49.$ ดังนั้น จำนวนคำตอบของ $f_{100}(x) = 0$ คือ $2 + 2 + 3 \cdot 99 = \boxed{301}.$ | 2 + 2 + 3 \cdot 99 = \boxed{301}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[3f(x) - 2 f \left( \frac{1}{x} \right) = x\]สำหรับทุก $x \neq 0.$ จงหา $f(4).$ | กำหนดให้ $x = 4,$ เราได้
\[3f(4) - 2 f \left( \frac{1}{4} \right) = 4.\]กำหนดให้ $x = \frac{1}{4},$ เราได้
\[3 f \left( \frac{1}{4} \right) - 2f(4) = \frac{1}{4}.\]เราสามารถมองสมการเหล่านี้เป็นระบบสมการใน $f(4)$ และ $f \left( \frac{1}{4} \right).$ เมื่อแก้ระบบสมการนี้ เราพบว่า $f(4) = \boxed{\frac{5}{2}}.$ | f(4) = \boxed{\frac{5}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[x^8 - 98x^4 + 1 = p(x) q(x),\]โดยที่ $p(x)$ และ $q(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งมีดีกรีไม่เป็นศูนย์และมีสัมประสิทธิ์ชั้นนำเท่ากับ 1 จงหาค่าของ $p(1) + q(1)$. | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^8 - 98x^4 + 1 &= (x^8 + 2x^4 + 1) - 100x^4 \\
&= (x^4 + 1)^2 - (10x^2)^2 \\
&= (x^4 + 10x^2 + 1)(x^4 - 10x^2 + 1).
\end{align*}แทน $x$ ด้วย 1 ในแต่ละตัวประกอบ ค่าที่ได้คือ $(1 + 10 + 1) + (1 - 10 + 1) = \boxed{4}$. | (1 + 10 + 1) + (1 - 10 + 1) = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหา khoảng cáchระหว่างโฟกัสของไฮเปอร์โบลา $x^2 - 6x - 4y^2 - 8y = 27.$ | ทำให้สมการเป็นรูปกำลังสองสมบูรณ์ใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[(x - 3)^2 - 4(y + 1)^2 = 32.\]แล้ว
\[\frac{(x - 3)^2}{32} - \frac{(y + 1)^2}{8} = 1.\]เราเห็นว่า $a^2 = 32$ และ $b^2 = 8,$ ดังนั้น $c^2 = a^2 + b^2 = 40,$ และ $c = 2 \sqrt{10}.$ ดังนั้น ระยะห่างระหว่างโฟกัสคือ $2c = \boxed{4 \sqrt{10}}.$ | 2c = \boxed{4 \sqrt{10}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ $9^x - 3^x + 1$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด | ให้ $y = 3^x.$ แล้ว
\[9^x - 3^x + 1 = y^2 - y + 1 = \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}.\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{3}{4}}$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $y = \frac{1}{2}$ หรือ $x = \log_3 \frac{1}{2}.$ | x = \log_3 \frac{1}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $a,$ $b,$ $c,$ และ $d$ สอดคล้องกับ
\[a^2 + b^2 + c^2 + 1 = d + \sqrt{a + b + c - d}.\]จงหา $d.$ | ให้ $x = \sqrt{a + b + c - d}.$ ดังนั้น $x^2 = a + b + c - d,$ ดังนั้น $d = a + b + c - x^2,$ และเราสามารถเขียนได้ว่า
\[a^2 + b^2 + c^2 + 1 = a + b + c - x^2 + x.\]จากนั้น
\[a^2 - a + b^2 - b + c^2 - c + x^2 - x + 1 = 0.\]ทำการเติมกำลังสองใน $a,$ $b,$ $c,$ และ $x,$ เราได้
\[\left( a - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( b - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( c - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 = 0.\]ดังนั้น $a = b = c = x = \frac{1}{2},$ ดังนั้น
\[d = a + b + c - x^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \boxed{\frac{5}{4}}.\] | a = b = c = x = \frac{1}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของอนุกรมอนันต์ $1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\cdots$. | กำหนดให้
\[S = 1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\dotsb.\]แล้ว
\[1998S = 1998 + 2 + \frac{3}{1998} + \frac{4}{1998^2} + \dotsb.\]ลบสมการทั้งสอง เราจะได้
\[1997S = 1998 + 1 + \frac{1}{1998} + \frac{1}{1988^2} + \dotsb = \frac{1998}{1 - 1/1998} = \frac{3992004}{1997},\]ดังนั้น $S = \boxed{\frac{3992004}{3988009}}.$ | S = \boxed{\frac{3992004}{3988009}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $ a$, $ b$, $ c$, $ x$, $ y$, และ $ z$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการสามสมการ
\begin{align*}
13x + by + cz &= 0 \\
ax + 23y + cz &= 0 \\
ax + by + 42z &= 0.
\end{align*}สมมติว่า $ a \ne 13$ และ $ x \ne 0$. จงหาค่าของ
\[ \frac{a}{a - 13} + \frac{b}{b - 23} + \frac{c}{c - 42} \, ?\] | จากสมการแรก เพิ่ม $(a-13)x$ เข้าไปในทั้งสองข้าง จะได้ $ax+by+cz=(a-13)x$. แก้สมการหา $x$ จะได้ $$x = \frac{ax+by+cz}{a-13}.$$เนื่องจาก $ a \ne 13$ และ $ x \ne 0$ ดังนั้นทั้งสองข้างของสมการไม่เป็นศูนย์ เช่นเดียวกันจากสมการที่ 2 และ 3
$$ y = \frac{ax+by+cz}{b-23}$$และ
$$z = \frac{ax+by+cz}{c-42}.$$ดังนั้นเราทราบว่า
$$\begin{aligned} ax+by+cz &= a \cdot \frac{ax+by+cz}{a-13} + b \cdot \frac{ax+by+cz}{b-23} + c \cdot \frac{ax+by+cz}{c-42}\\
&= (ax+by+cz)\left(\frac{a}{a-13} + \frac{b}{b-23} + \frac{c}{c-42}\right). \end{aligned} $$ถ้า $ax+by+cz = 0 $, แล้ว $x = \frac{ax+by+cz}{a-13} = 0$. แต่เรารู้ว่า $x\ne0$. ดังนั้น $ax+by+cz \ne 0 $. ดังนั้น
$$\frac{a}{a-13} + \frac{b}{b-23} + \frac{c}{c-42} = \boxed{1}.$$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $x^{2011}=1$ และ $x\neq 1$ จงคำนวณผลรวม
\[\frac{x^2}{x-1} + \frac{x^4}{x^2-1} + \frac{x^6}{x^3-1} + \dots + \frac{x^{4020}}{x^{2010}-1}.\] | กำหนดให้ $S$ แทนผลรวมที่กำหนด ดังนั้น
\[S = \frac{x^2}{x - 1} + \frac{x^4}{x^2 - 1} + \dots + \frac{x^{4020}}{x^{2010} - 1} = \sum_{k = 1}^{2010} \frac{x^{2k}}{x^k - 1}. \tag{1}\]เราสามารถกลับลำดับของพจน์ได้ ดังนี้
\[S = \frac{x^{4020}}{x^{2010} - 1} + \frac{x^{4018}}{x^{2009} - 1} + \dots + \frac{x^2}{x - 1} = \sum_{k = 1}^{2010} \frac{x^{4022 - 2k}}{x^{2011 - k} - 1}.\]เนื่องจาก $x^{2011} = 1$
\[\frac{x^{4022 - 2k}}{x^{2011 - k} - 1} = \frac{x^{-2k}}{x^{-k} - 1} = \frac{1}{x^{2k}} \cdot \frac{x^k}{x^k - 1} = \frac{x^k}{x^{k} (x^{k} - 1)} = \frac{1}{x^{k} - 1},\]ดังนั้น
\[S = \sum_{k = 1}^{2010} \frac{1}{x^{k} - 1}.\] | S = \boxed{1004} | [
"unknown"
] |
แก้สมการ $2k+5 = 13$ เพื่อหาค่า $k$ | ลบ 5 จากทั้งสองข้างจะได้ $2k = 8$ และหารด้วย 2 จะได้ $k = \boxed{4}$ | k = \boxed{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้าแต่ละจุดของวงกลม $x^2 + y^2 = 25$ สะท้อนในจุด $(4,1),$ เซตของจุดภาพที่ได้จะสอดคล้องกับสมการ
\[x^2 + ay^2 + bx + cy + d = 0.\] จงคำนวณ quadruple $(a,b,c,d)$ ของจำนวนจริง | จุดศูนย์กลางของวงกลมเดิมคือ $(0,0).$ การสะท้อนของจุด $(0,0)$ ในจุด $(4,1)$ คือ $(8,2),$ ดังนั้นสมการของวงกลมใหม่คือ
\[(x - 8)^2 + (y - 2)^2 = 25.\] นี่จะเท่ากับ $x^2 + y^2 - 16x - 4y + 43 = 0.$ ดังนั้น $(a,b,c,d) = \boxed{(1,-16,-4,43)}.$ | (a,b,c,d) = \boxed{(1,-16,-4,43)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แปลงจุด $(0,3)$ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นระบบพิกัดขั้วโลก ใส่คำตอบในรูป $(r,\theta),$ โดยที่ $r > 0$ และ $0 \le \theta < 2 \pi.$ | เราได้ว่า $r = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3.$ นอกจากนี้ ถ้าเราลากเส้นเชื่อมจุดกำเนิดและ $(0,3)$ เส้นนี้จะทำมุม $\frac{\pi}{2}$ กับแกน $x$ ที่เป็นบวก
[asy]
unitsize(0.8 cm);
draw((-0.5,0)--(3.5,0));
draw((0,-0.5)--(0,3.5));
draw(arc((0,0),3,0,90),red,Arrow(6));
dot((0,3), red);
label("$(0,3)$", (0,3), W);
dot((3,0), red);
[/asy]
ดังนั้น พิกัดขั้วโลกคือ $\boxed{\left( 3, \frac{\pi}{2} \right)}.$ | \boxed{\left( 3, \frac{\pi}{2} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ
\[8\cos^210^\circ - \dfrac{1}{\sin 10^\circ}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[8 \cos^2 10 ^\circ - \frac{1}{\sin 10^\circ} = \frac{8 \cos^2 10^\circ \sin 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ}.\]โดยสูตรมุมสองเท่า $2 \cos 10^\circ \sin 10^\circ = \sin 20^\circ,$ ดังนั้น
\[\frac{8 \cos^2 10^\circ \sin 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ} = \frac{4 \sin 20^\circ \cos 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ}.\]จากสูตรผลต่างเป็นผลบวก $2 \sin 20^\circ \cos 10^\circ = \sin 30^\circ + \sin 10^\circ,$ ดังนั้น
\[\frac{4 \sin 20^\circ \cos 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 30^\circ + 2 \sin 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \boxed{2}.\] | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{2018}$ เป็นรากของพหุนาม
\[x^{2018} + x^{2017} + \dots + x^2 + x - 1345 = 0.\]จงคำนวณ
\[\sum_{n = 1}^{2018} \frac{1}{1 - a_n}.\] | กำหนดให้ $b_n = \frac{1}{1 - a_n}.$ แก้สมการหา $a_n,$ เราจะได้
\[a_n = \frac{b_n - 1}{b_n}.\]แทนค่าลงไป, เราจะได้
\[\left( \frac{b_n - 1}{b_n} \right)^{2018} + \left( \frac{b_n - 1}{b_n} \right)^{2017} + \dots + \left( \frac{b_n - 1}{b_n} \right)^2 + \frac{b_n - 1}{b_n} - 1345 = 0.\]ดังนั้น,
\[(b_n - 1)^{2018} + b_n (b_n - 1)^{2017} + \dots + b_n^{2016} (b_n - 1)^2 + b_n^{2017} (b_n - 1) - 1345 b_n^{2018} = 0.\]ดังนั้น $b_i$ เป็นรากของพหุนาม
\[(x - 1)^{2018} + x(x - 1)^{2017} + \dots + x^{2016} (x - 1)^2 + x^{2017} (x - 1) - 1345x^{2018} = 0.\]สัมประสิทธิ์ของ $x^{2018}$ คือ $2019 - 1346 = 673.$ สัมประสิทธิ์ของ $x^{2017}$ คือ $-1 - 2 - \dots - 2018 = -\frac{2018 \cdot 2019}{2}.$ ดังนั้น ผลรวมของ $b_i$ คือ
\[\frac{2018 \cdot 2019}{2 \cdot 673} = \boxed{3027}.\] | 3027 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นโดยมีจุดยอดหนึ่งจุดอยู่ที่จุดยอดของพาราโบลา $y=x^2-1$ และอีกสองจุดยอดอยู่ที่จุดตัดของเส้นตรง $y=r$ และพาราโบลา ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยมอยู่ระหว่าง $8$ ถึง $64$ รวมทั้งสองค่า จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $r$ แสดงคำตอบของคุณในสัญกรณ์ช่วง | พิกัด $x$ ของจุดยอดของพาราโบลาคือ $\frac{-b}{2a}=\frac{0}{2(1)}=0$ จุดยอดคือ $(0,-1)$ จุดตัดของเส้นตรง $y=r$ กับ $y=x^2-1$ พบได้โดยการกำหนดให้ค่า $y$ เท่ากัน ดังนั้น
\begin{align*}
r&=x^2-1 \\
\Rightarrow \quad r+1&=x^2 \\
\Rightarrow \quad \pm\sqrt{r+1}&=x.
\end{align*}ดังนั้นจุดยอดของสามเหลี่ยมของเราคือ $(0,-1)$, $(-\sqrt{r+1},r)$, และ $(\sqrt{r+1},r)$ ถ้าเราใช้ส่วนแนวนอนตามแนวเส้นตรง $y=r$ เป็นฐานของสามเหลี่ยม เราสามารถหาความยาวของมันได้จากความแตกต่างระหว่างพิกัด $x$ ซึ่งคือ $\sqrt{r+1}-(-\sqrt{r+1})=2\sqrt{r+1}$ ความสูงของสามเหลี่ยมคือระยะทางจาก $(0,-1)$ ถึงเส้นตรง $y=r$ หรือ $r+1$ ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ
\[A = \frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}(2\sqrt{r+1})(r+1)=(r+1)\sqrt{r+1}.\]สามารถแสดงเป็น $(r+1)^{\frac{3}{2}}$
เรามี $8\le A\le 64$ ดังนั้น $8\le (r+1)^{\frac{3}{2}} \le 64$ หาค่ารากที่สามของทั้งสามด้านจะได้ $2\le (r+1)^{\frac{1}{2}}\le 4$ และกำลังสองจะได้ $4\le r+1\le 16$ สุดท้าย ลบ $1$ เพื่อหา $3\le r\le 15$ ในสัญกรณ์ช่วง นี่คือ $\boxed{[3,15]}$ | \boxed{[3,15]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\min_{y \in \mathbb{R}} \max_{0 \le x \le 1} |x^2 - xy|.\] | กราฟของ
\[x^2 - xy = \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 - \frac{y^2}{4}\]เป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ $\left( \frac{y}{2}, -\frac{y^2}{4} \right).$
เราแบ่งเป็นกรณีตามค่าของ $y.$
ถ้า $y \le 0,$ แล้ว
\[|x^2 - xy| = x^2 - xy\]สำหรับ $0 \le x \le 1.$ เนื่องจาก $x^2 - xy$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วงนี้ ค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นที่ $x = 1,$ ซึ่งคือ $1 - y.$
ถ้า $0 \le y \le 1,$ แล้ว
\[|x^2 - xy| = \left\{
\begin{array}{cl}
xy - x^2 & \text{สำหรับ $0 \le x \le y$}, \\
x^2 - xy & \text{สำหรับ $y \le x \le 1$}.
\end{array}
\right.\]ดังนั้น สำหรับ $0 \le x \le y,$ ค่าสูงสุดคือ $\frac{y^2}{4},$ และสำหรับ $y \le x \le 1,$ ค่าสูงสุดคือ $1 - y.$
ถ้า $y \ge 1,$ แล้ว
\[|x^2 - xy| = xy - x^2\]สำหรับ $0 \le x \le 1.$ ถ้า $1 \le y \le 2,$ ค่าสูงสุดคือ $\frac{y^2}{4},$ และถ้า $y \ge 2,$ ค่าสูงสุดคือ $y - 1.$
สำหรับ $y \le 0,$ ค่าสูงสุดคือ $1 - y,$ ซึ่งมีค่าอย่างน้อย 1. สำหรับ $1 \le y \le 2,$ ค่าสูงสุดคือ $\frac{y^2}{4},$ ซึ่งมีค่าอย่างน้อย $\frac{1}{4}.$ สำหรับ $y \ge 2,$ ค่าสูงสุดคือ $y - 1,$ ซึ่งมีค่าอย่างน้อย 1.
สำหรับ $0 \le y \le 1,$ เราต้องการเปรียบเทียบ $\frac{y^2}{4}$ และ $1 - y.$ อสมการ
\[\frac{y^2}{4} \ge 1 - y\]จะลดรูปเป็น $y^2 + 4y - 4 \ge 0.$ คำตอบของ $y^2 + 4y - 4 = 0$ คือ $-2 \pm 2 \sqrt{2}.$ ดังนั้น ถ้า $0 \le y \le -2 + 2 \sqrt{2},$ ค่าสูงสุดคือ $1 - y,$ และถ้า $-2 + 2 \sqrt{2} \le y \le 1,$ ค่าสูงสุดคือ $\frac{y^2}{4}.$ สังเกตว่า $1 - y$ เป็นฟังก์ชันลดลงสำหรับ $0 \le y \le -2 + 2 \sqrt{2},$ และ $\frac{y^2}{4}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นสำหรับ $-2 + 2 \sqrt{2} \le y \le 1,$ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นที่ $y = -2 + 2 \sqrt{2},$ ซึ่งคือ
\[1 - (-2 + 2 \sqrt{2}) = 3 - 2 \sqrt{2}.\]เนื่องจากค่านี้มีค่าน้อยกว่า $\frac{1}{4},$ ค่าต่ำสุดโดยรวมคือ $\boxed{3 - 2 \sqrt{2}}.$ | \boxed{3 - 2 \sqrt{2}}. | [
"unknown"
] |
ในสามเหลี่ยม $ABC$ เส้นแบ่งครึ่งมุม $\overline{AD}$ และ $\overline{BE}$ ตั้งฉากกัน ถ้า $AC = 22$ และ $BC = 31$ จงหา $AB$ | เรามีว่า $D$ และ $E$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{BC}$ และ $\overline{AC}$ ตามลำดับ ดังนั้น
\[\overrightarrow{D} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \quad \text{และ} \quad \overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2}.\][asy]
unitsize(0.2 cm);
pair A, B, C, D, E;
B = (0,0);
C = (31,0);
A = intersectionpoint(arc(B,17,0,180),arc(C,22,0,180));
D = (B + C)/2;
E = (A + C)/2;
draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);
draw(B--E);
label("$A$", A, N);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, NE);
[/asy]
นอกจากนี้ $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BE} = 0$ หรือ
\[\left( \overrightarrow{A} - \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \right) \cdot \left( \overrightarrow{B} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} \right) = 0.\]คูณแต่ละตัวประกอบด้วย 2 เพื่อกำจัดเศษส่วน เราได้
\[(2 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}) \cdot (2 \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}) = 0.\]ขยายผลคูณ chấm เราได้
\[-2 \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} - 2 \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} \cdot \overrightarrow{C} + 5 \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{C} = 0.\]กำหนดจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นจุดกำเนิด และใช้สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับผลคูณ chấm เหล่านี้ เช่น $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = R^2 - \frac{c^2}{2}$ เราได้
\[-2R^2 - 2R^2 + R^2 + 5 \left( R^2 - \frac{c^2}{2} \right) - \left( R^2 - \frac{b^2}{2} \right) - \left( R^2 - \frac{a^2}{2} \right) = 0.\]สิ่งนี้จะเรียบง่ายเป็น $a^2 + b^2 = 5c^2$.
เราได้รับว่า $a = 31$ และ $b = 22$ ดังนั้น $5c^2 = 31^2 + 22^2 = 1445$ และ $c = \boxed{17}$. | c = \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $u,$ $v,$ $w$ เป็นรากของ $z^3 = 1.$ จงหาค่าของ $uv + uw + vw.$ | จากสูตรของ Vieta's, $uv + uw + vw = \boxed{0}.$ | uv + uw + vw = \boxed{0}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 1000 มีจำนวนหารบวกที่แตกต่างกันちょうど 3 ตัว มีกี่จำนวน | จากสูตรสำหรับจำนวนหารบวกทั้งหมด จำนวนธรรมชาติที่มีเพียง 3 หารบวกจะอยู่ในรูป $p^{2}$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ บางตัว ดังนั้นเราต้องนับจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง $\sqrt{1000}$ (กำลังสองของจำนวนเฉพาะเหล่านี้คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 1000 ที่มีจำนวนหารบวกเพียง 3 ตัว) มีจำนวนเฉพาะ $\boxed{11}$ ตัว: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 และ 31 | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $101^{3} - 3 \cdot 101^{2} + 3 \cdot 101 -1$ | นิพจน์ที่กำหนดให้เป็นการกระจายของ $(101-1)^3$ โดยทั่วไป การกระจายของ $(a-b)^3$ เท่ากับ \[a^3-3\cdot a^2\cdot b+3\cdot a\cdot b^2-b^3\]
ในกรณีนี้ $a=101,b=1$ ดังนั้น $101^3-3\cdot 101^2+3\cdot 101-1=(101-1)^3$ ; เราสามารถคำนวณ $100^3=\boxed{1000000}$ ได้อย่างง่ายดาย | 100^3=\boxed{1000000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า
$$\frac{5x-7}{(x-1)^3} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3},$$จงหา $A+B+C$. | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย $(x+1)^3$. จะได้
$$5x-7=A(x-1)^2+B(x-1)+C.$$ขยายและจัดรูปข้างขวาจะได้
$$5x-7 = Ax^2+(B-2A)x-A-B+C.$$จากการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ เราทราบว่า $A=0$, $B-2A=5$, และ $-A-B+C=-7.$ ดังนั้น $B=5$ และ $C=-7+5=-2$. ดังนั้น $A+B+C=\boxed{3}.$
หรือเราสามารถแทนค่า $x = 2$ ลงในสมการที่กำหนด ซึ่งจะได้ $A + B + C = 3$ ทันที. | A + B + C = 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการหาค่า $x$ เมื่อ
\[\frac{x}{x - a} + \frac{x - b}{x - a - b} = \frac{x - a}{x - 2a} + \frac{x + a - b}{x - b}.\]โดยสมมติว่า $2a > x > b > a > 0.$ | เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น
\[\frac{x - a + a}{x - a} + \frac{x - a - b + a}{x - a - b} = \frac{x - 2a + a}{x - 2a} + \frac{x - b + a}{x - b},\]ดังนั้น
\[1 + \frac{a}{x - a} + 1 + \frac{a}{x - a - b} = 1 + \frac{a}{x - 2a} + 1 + \frac{a}{x - b}.\]จากนั้น
\[\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - a - b} = \frac{1}{x - 2a} + \frac{1}{x - b}.\]เมื่อรวมเศษส่วนในแต่ละข้างเข้าด้วยกัน เราจะได้
\[\frac{2x - 2a - b}{(x - a)(x - a - b)} = \frac{2x - 2a - b}{(x - 2a)(x - b)}.\]เมื่อคูณไขว้ เราจะได้
\[(2x - 2a - b)(x - 2a)(x - b) = (2x - 2a - b)(x - a)(x - a - b),\]ดังนั้น
\[(2x - 2a - b)[(x - 2a)(x - b) - (x - a)(x - a - b)] = 0.\]ซึ่งจะทำให้เป็น
\[a(b - a)(2x - 2a - b) = 0.\]ดังนั้น
\[x = \boxed{\frac{2a + b}{2}}.\] | a(b - a)(2x - 2a - b) = 0. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของค่าที่มากที่สุดของ $xy$, $1-x-y+xy$, และ $x+y-2xy$ ถ้า $0\leq x \leq y \leq 1$. | เราอ้างว่าค่าต่ำสุดคือ $\frac{4}{9}.$ เมื่อ $x = y = \frac{1}{3},$
\begin{align*}
xy &= \frac{1}{9}, \\
(1 - x)(1 - y) &= \frac{4}{9}, \\
x + y - 2xy &= \frac{4}{9}.
\end{align*}ส่วนที่เหลือคือการแสดงว่า $xy,$ $(1 - x)(1 - y),$ $x + y - 2xy$ ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าอย่างน้อย $\frac{4}{9}$ เสมอ.
สังเกตว่า
\[xy + (1 - x - y + xy) + (x + y - 2xy) = 1.\]นั่นหมายความว่าถ้าตัวใดตัวหนึ่งในสามนิพจน์นี้มีค่ามากที่สุด $\frac{1}{9},$ ตัวอื่น ๆ จะต้องบวกกันได้อย่างน้อย $\frac{8}{9},$ ดังนั้นตัวใดตัวหนึ่งต้องมีค่าอย่างน้อย $\frac{4}{9}.$
ให้ $s = x + y$ และ $p = xy.$ แล้ว
\[s^2 - 4p = (x + y)^2 - 4xy = (x - y)^2 \ge 0.\]สมมติว่า $x + y - 2xy = s - 2p < \frac{4}{9}.$ แล้ว
\[0 \le s^2 - 4p < \left( 2p + \frac{4}{9} \right)^2 - 4p.\]สิ่งนี้จะทำให้เกิด $81p^2 - 45p + 4 > 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(9p - 1)(9p - 4) > 0.$ นั่นหมายความว่า $p$ มีค่าต่ำกว่า $\frac{1}{9}$ หรือ $p$ มีค่ามากกว่า $\frac{4}{9}$ ; ในทุกกรณี เราเสร็จแล้ว
ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{4}{9}}.$ | \boxed{\frac{4}{9}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a+b=7$ และ $a^3+b^3=42$ จงหาค่าของผลบวก $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ยกกำลังสามทั้งสองข้างของ $a+b=7$ จะได้ \[
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=343.
\] แทน 42 ด้วย $a^3+b^3$ และแยกตัวประกอบ $3ab$ ออกจากสองพจน์ที่เหลือ \begin{align*}
42+3ab(a+b)&=343 \implies \\
3ab(a+b)&=301 \implies \\
3ab(7)&=301 \implies \\
3ab&=43 \implies \\
ab&=\frac{43}{3}.
\end{align*} สุดท้าย $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{7}{43/3}=\boxed{\frac{21}{43}}$. | $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{7}{43/3}=\boxed{\frac{21}{43}}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรง $y=(3a+2)x-2$ และ $2y=(a-4)x+2$ ขนานกัน จงหาค่าของ $a$ | เราหาความชันของเส้นตรงทั้งสองเส้น และตั้งให้เท่ากัน เนื่องจากเส้นตรงขนานกันจะมีความชันเท่ากัน นี่จะให้ $3a+2=\frac{a}{2}-2$ ซึ่งหมายความว่า $a=\boxed{-\frac{8}{5}}$ | a=\boxed{-\frac{8}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการ $2^{2x} = 256^{\frac{1}{2}}$ | \begin{align*}
2^{2x} & =256^{\frac{1}{2}} \\
2^{2x} & =(2^8)^{\frac{1}{2}} \\
2^{2x} & =(2^4) \\
2x & = 4 \\
x & = \boxed{2}
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ ซึ่งเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ ถ้า $2^n\equiv 3\pmod{13}$ แล้วเศษที่ได้จากการหาร $k$ ด้วย $13$ คือเท่าใด | เนื่องจาก $2^n$ เป็นกำลังของ 2 จึงมีตัวประกอบเฉพาะเพียงตัวเดียวคือ 2 ดังนั้นจำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ และจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ ในจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ มีจำนวนเต็มคี่อยู่ $\frac{2^n}{2}=2^{n-1}$ จำนวน ดังนั้น \[k=2^{n-1}\equiv 2^{-1}2^n\equiv 7\cdot 3\equiv 21\equiv \boxed{8}\pmod {13}\] | \frac{2^n}{2}=2^{n-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r,$ $s,$ และ $t$ เป็นรากของสมการ $4x^3 - 59x^2 + 32x - 32 = 0.$ จงหาค่าของ $f(r) + f(s) + f(t)$, เมื่อ $f(x) = 4x^3 - 59x^2$. | เนื่องจาก $r$ เป็นรากของ $4x^3 - 59x^2 + 32x - 32 = 0,$ เราได้ว่า $4r^3 - 59r^2 + 32r - 32 = 0.$ ดังนั้น \[f(r) = 4r^3 - 59r^2 = 32 - 32r.\]ทำนองเดียวกัน $f(s) = 32-32s$ และ $f(r) = 32-32r.$ แล้ว \[\begin{aligned} f(r) + f(s) + f(t) &= 96 - 32(r+s+t) \\ &= 96 - 32\left(\frac{59}{4}\right) \\ &= \boxed{-376}.\end{aligned}\] | f(r) = 32-32r. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โดยการแยกเศษส่วน parital fractions
$$\frac{7x-2}{x^2-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}.$$จงหาค่าของ $A+B$. | คูณทั้งสองข้างด้วย $x^2-4=(x+2)(x-2)$ จะได้
$$7x-2 = A(x+2)+B(x-2).$$แทนค่า $x=2$ จะได้ $12=4A$ ดังนั้น $A=3$.
แทนค่า $x=-2$ จะได้ $-16=-4B$ ดังนั้น $B=4$. ดังนั้น $A+B=3+4=\boxed{7}.$
หรืออีกวิธีหนึ่ง เนื่องจากสมการ
$$7x-2 = A(x+2)+B(x-2)$$เป็นจริงสำหรับค่าของ $x$ ทุกค่า สัมประสิทธิ์ของ $x$ ในทั้งสองข้างต้องเท่ากัน ดังนั้น $A + B = \boxed{7}.$ | A + B = \boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นมุม โดยที่
\[\frac{\cos \alpha}{\cos \beta} + \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = -1.\]จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{\cos^3 \beta}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \beta}{\sin \alpha}.\]ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | กำหนดให้ $k = \frac{\cos \alpha}{\cos \beta}.$ ดังนั้น $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = -k - 1,$ ดังนั้น $\cos \alpha = k \cos \beta$ และ $\sin \alpha = -(k + 1) \sin \beta.$ แทนค่าลงใน $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1,$ เราจะได้
\[k^2 \cos^2 \beta + (k + 1)^2 \sin^2 \beta = 1.\]จากนั้น $k^2 \cos^2 \beta + (k + 1)^2 (1 - \cos^2 \beta) = 1,$ ซึ่งจะนำไปสู่
\[\cos^2 \beta = \frac{k^2 + 2k}{2k + 1}.\]ดังนั้น,
\[\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = \frac{1 - k^2}{2k + 1}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\frac{\cos^3 \beta}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \beta}{\sin \alpha} &= \cos^2 \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} + \sin^2 \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \\
&= \frac{k^2 + 2k}{2k + 1} \cdot \frac{1}{k} + \frac{1 - k^2}{2k + 1} \cdot \frac{1}{-k - 1} \\
&= \frac{k + 2}{2k + 1} + \frac{k - 1}{2k + 1} \\
&= \frac{2k + 1}{2k + 1} = \boxed{1}.
\end{align*} | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.