question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จัตุรัสที่มีจุดยอด $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ และ $(1, 1)$ ถูกตัดโดยเส้นตรง $y=\frac{x}{2}+ 1$ เป็นรูปสามเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยม พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมมีกี่หน่วยกำลังสอง แสดงคำตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | วาดจัตุรัสและเส้นตรงเพื่อให้เห็นว่าเส้นตรงตัดด้านบนและด้านซ้ายของจัตุรัส แทนค่า $y=1$ และ $x=-1$ ลงในสมการของเส้นตรง เราจะพบว่าจุดตัดคือ (0,1) และ $(-1,\frac{1}{2})$ ด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านขวาที่ถูกตัดออก (แรเงาในรูป) มีขนาด 1 และ 1/2 หน่วย ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ $\frac{1}{2}(1)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$ หน่วยกำลังสอง เนื่องจากพื้นที่ของจัตุรัสทั้งอันคือ $2^2=4$ หน่วยกำลังสอง พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมคือ $4-\frac{1}{4}=\boxed{3.75}$ หน่วยกำลังสอง
[asy]
import graph;
size(200);
defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10));
dotfactor=4;
real f(real x)
{
return x/2+1;
}
xaxis(xmax=1.5,Arrows(4),above=true);
yaxis(ymin=-1.5,Arrows(4),above=true);
fill((-1,1)--(-1,1/2)--(0,1)--cycle,gray(0.7));
pair A=(-1,1), B=(1,1), C=(1,-1), D=(-1,-1);
pair[] dots={A,B,C,D};
Label[] alphabet={"$A$", "$B$", "$C$", shift(5,0)*"$D$", "$E$", "$F$"};
draw(A--B--C--D--cycle);
draw(graph(f,-1.8,1.2),Arrows(4));
label("$y=\frac{x}{2}+1$",(-1.5,0.5));
[/asy] | 3.75 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูป 176 ถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากัน 5 รูป ดังแสดงในรูปภาพ เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งใน 5 รูปเท่ากับเท่าไร?
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
[/asy] | ให้ $x$ และ $y$ เป็นความกว้างและความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งใน 5 รูป ตามลำดับ
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
label("$x$", (1,5), N);
label("$x$", (3,5), N);
label("$x$", (5,5), N);
label("$y$", (6,7/2), E);
label("$x$", (6,1), E);
label("$y$", (0,7/2), W);
label("$x$", (0,1), W);
label("$y$", (3/2,0), S);
label("$y$", (9/2,0), S);
[/asy]
จากนั้น $3x = 2y$ และ $5x + 4y = 176$ แก้สมการเพื่อหา $x$ และ $y$ จะได้ $x = 16$ และ $y = 24$ ดังนั้น เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งใน 5 รูปเท่ากับ $2x + 2y = \boxed{80}$ | 2x + 2y = \boxed{80} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $(x,y) = (3,9)$ จงหาค่าของ $y^2 - 3xy + 8$ | เราได้ว่า $y^2 -3xy + 8 = 9^2 - 3(3)(9) + 8 = 81 - 81 + 8 = \boxed{8}$ | 8 | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $|5x - 1| = |3x + 2|$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | มีสองกรณี คือ เมื่อ $5x-1=3x+2$ และเมื่อ $5x-1=-(3x+2).$ สมการทั้งสองจะได้ $x=\frac{3}{2}$ และ $x=-\frac{1}{8}$ ตามลำดับ ซึ่ง $x=\boxed{-\frac{1}{8}}$ เป็นคำตอบที่น้อยกว่า | x=\boxed{-\frac{1}{8}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อแรชเชลหารเลขชื่นชอบของเธอด้วย 7 เธอจะได้เศษ 5 เศษที่เหลือจะเป็นเท่าไรถ้าเธอคูณเลขชื่นชอบของเธอด้วย 5 แล้วหารด้วย 7? | ให้ $n$ เป็นเลขชื่นชอบของแรชเชล ดังนั้น $n \equiv 5 \pmod{7}$ ดังนั้น $5n \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv \boxed{4} \pmod{7}$ | 5n \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv \boxed{4} \pmod{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พนักงานในสวนพืชต้องการปลูกต้นแอปเปิ้ล Golden Delicious ที่เหมือนกัน 2 ต้น และต้นลูกแพร์ Bartlett ที่เหมือนกัน 5 ต้น ในแถวเดียวกัน มีวิธีจัดเรียงที่แตกต่างกันกี่วิธี? | เรามี 7 ช่องว่างสำหรับปลูกต้นไม้ในแถวของเรา เราสามารถเลือก 2 ช่องว่างนี้เพื่อเป็น Golden Delicious ได้ใน $\binom{7}{2}= \boxed{21}$ วิธี สำหรับแต่ละการเลือกนี้ เราจะปลูกต้นลูกแพร์ในช่องว่างที่เหลือ 5 ช่องว่าง | \binom{7}{2}= \boxed{21} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณพื้นที่ของวงกลมที่ผ่านจุดตัดทั้งหมดของ $4x^2 + 11y^2 = 29$ และ $x^2 - 6y^2 = 6.$ | นำสมการทั้งสองบวกกัน เราจะได้ $5x^2 + 5y^2 = 35$ ดังนั้น $x^2 + y^2 = 7$ (จุดใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการสองสมการที่กำหนดในโจทย์จะต้องสอดคล้องกับสมการนี้ด้วย) ดังนั้น พื้นที่ของวงกลมคือ $\boxed{7 \pi}.$ | \boxed{7 \pi}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อายุของพ่อฉันคือ $1222_{3}$ ในระบบเลขฐานสาม ซึ่งแสดงถึงอวัยวะสามส่วนที่ต่ำกว่าของเขา - ขาสองข้างและไม้เท้า เขาอายุเท่าไรในระบบเลขฐานสิบ? | $1222_{3} = 2\cdot3^{0}+2\cdot3^{1}+2\cdot3^{2}+1\cdot3^{3} = 2+6+18+27 = \boxed{53}$. | 1222_{3} = 2\cdot3^{0}+2\cdot3^{1}+2\cdot3^{2}+1\cdot3^{3} = 2+6+18+27 = \boxed{53} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงทำให้อนุกรมต่อไปนี้กระชับ $[(1\cdot2)+(3\cdot4)-(5\cdot6)+(7\cdot8)]\cdot(9\cdot0)$ | แทนที่จะเสียสมาธิไปกับการคำนวณในวงเล็บแรก โปรดทราบว่าทุกอย่างถูกคูณด้วย $(9\cdot 0) = 0$ ดังนั้นอนุกรมจึงกระชับเป็น $\boxed{0}$ | \boxed{0} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจุดยอดดังนี้: $$(5,4), (-5,4), (-5,-4), (5,-4).$$ จงหาจำนวนจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ | รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด 10 หน่วย x 8 หน่วย ทำให้ได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 8 x 6 ที่อยู่ภายใน ซึ่งสร้างเป็นแถวของจุดตาข่ายขนาด 9 x 7 นั่นคือมีจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม $\boxed{63}$ จุด ดังแสดงในรูป [asy]
import olympiad; size(150); defaultpen(linewidth(0.8));
add(grid(10,8));
draw((1,1)--(9,1)--(9,7)--(1,7)--cycle,linewidth(1.2));
[/asy] หมายเหตุ: เรากำลังนับจุด ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็นความผิดพลาดทั่วไปที่จะนับสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายใน ซึ่งมี 48 สี่เหลี่ยมจัตุรัส แทนที่จะนับจุดตาข่ายภายใน ซึ่งให้คำตอบที่ถูกต้องคือ 63 | \boxed{63} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
วงกลมมีจุดศูนย์กลางเดียวกันกับวงรี และผ่านจุดโฟกัส $F_1$ และ $F_2$ ของวงรี เส้นโค้งทั้งสองตัดกันที่ 4 จุด ให้ $P$ เป็นจุดตัดใดๆ ถ้าแกนเอกของวงรียาว 15 และพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PF_1 F_2$ เท่ากับ 26 จงคำนวณระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส | ให้ $x = PF_1$ และ $y = PF_2.$ ดังนั้น $x + y = 15$ และ $\frac{1}{2} xy = 26,$ ดังนั้น $xy = 52.$
[asy]
unitsize(0.5 cm);
path ell = xscale(5)*yscale(3)*Circle((0,0),1);
pair P = intersectionpoints(ell,Circle((0,0),4))[1];
pair[] F;
F[1] = (-4,0);
F[2] = (4,0);
draw(ell);
draw(Circle((0,0),4));
draw((-5,0)--(5,0),dashed);
draw(F[1]--P--F[2]);
draw(rightanglemark(F[1],P,F[2],15));
dot("$F_1$", F[1], SW);
dot("$F_2$", F[2], SE);
dot("$P$", P, NW);
[/asy]
เนื่องจาก $P$ อยู่บนวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $\overline{F_1 F_2},$ $\angle F_1 PF_2 = 90^\circ.$ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส,
\[(F_1 F_2)^2 = x^2 + y^2.\] squaring the equation $x + y = 15,$ we get $x^2 + 2xy + y^2 = 225.$ Then $x^2 + y^2 = 225 - 2xy = 225 - 2 \cdot 52 = 121,$ so $F_1 F_2 = \boxed{11}.$ | F_1 F_2 = \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $817_9 - 145_9 - 266_9$ แสดงคำตอบในระบบเลขฐานเก้า | $817_9 - 145_9 - 266_9 = 817_9 - (145_9 + 266_9) = 817_9 - 422_9 = \boxed{385_9}$ | 817_9 - 145_9 - 266_9 = 817_9 - (145_9 + 266_9) = 817_9 - 422_9 = \boxed{385_9} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $2x + \frac{1}{2}x + 2(1+x) = 29$ | นำพจน์ที่คล้ายกันทางซ้ายมือมาบวกกัน จะได้ $\frac{9}{2}x+2=29$ ลบ 2 จากทั้งสองข้าง จะได้ $\frac{9}{2}x=27$ จากนั้น คูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{2}{9}$ จะได้ $x=\boxed{6}$ | x=\boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คอร์ดของวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดกึ่งกลางของรัศมี อัตราส่วนของพื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่าซึ่งคอร์ดแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนต่อบริเวณที่เล็กกว่าสามารถแสดงในรูป $\displaystyle
{{a\pi+b\sqrt{c}}\over{d\pi-e\sqrt{f}}}$, โดยที่ $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, และ $f$ เป็นจำนวนเต็มบวก, $a$ และ $e$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และ $c$ หรือ $f$ ไม่หารด้วยกำลังสองของจำนวนเฉพาะใดๆ จงหาเศษที่เหลือเมื่อผลคูณ $a\cdot
b\cdot c\cdot d\cdot e\cdot f$ หารด้วย 1000 | โดยไม่มีการสูญเสียความทั่วไป ให้รัศมีของวงกลมเท่ากับ 2 รัศมีไปยังจุดปลายของคอร์ดพร้อมกับคอร์ดจะสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอด $120^{\circ}$ พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่าจึงเท่ากับ $2/3$ ของวงกลมบวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และพื้นที่ของบริเวณที่เล็กกว่าจึงเท่ากับ $1/3$ ของวงกลมลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว อัตราส่วนที่ต้องการคือ $\displaystyle
\frac{\frac{2}{3}\cdot4\pi+\sqrt{3}}{{\frac{1}{3}\cdot4\pi-\sqrt{3}}}
=\frac{8\pi+3\sqrt{3}}{4\pi-3\sqrt{3}}$, ดังนั้น $abcde\!f=8\cdot3\cdot3\cdot4\cdot3\cdot3=2592$ และเศษที่เหลือที่ต้องการคือ $\boxed{592}$. | \boxed{592} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\mathbf{a},$ $\mathbf{b},$ $\mathbf{c}$ เป็นเวกเตอร์สามเวกเตอร์ ซึ่ง
\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{a} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 18 \end{pmatrix}.\]จงคำนวณ $(2 \mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (3 \mathbf{c} + \mathbf{a}).$ | ขยายนิพจน์ได้ดังนี้
\begin{align*}
(2 \mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (3 \mathbf{c} + \mathbf{a}) &= 6 \mathbf{b} \times \mathbf{c} + 2 \mathbf{b} \times \mathbf{a} - 3 \mathbf{a} \times \mathbf{c} - \mathbf{a} \times \mathbf{a} \\
&= 6 \mathbf{b} \times \mathbf{c} - 2 \mathbf{a} \times \mathbf{b} - 3 \mathbf{a} \times \mathbf{c} - \mathbf{0} \\
&= 6 \begin{pmatrix} 1 \\ - 7 \\ 18 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 6 \\ - 7 \\ 3 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \\
&= \boxed{\begin{pmatrix} -18 \\ -49 \\ 96 \end{pmatrix}}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
มาร์คอฟเล่นเกมเป็นเวลาสามตา. ในแต่ละตา เขาจะเลือกโยนลูกเต๋าหกหน้าที่เป็นธรรม หรือโยนเหรียญที่เป็นธรรม ถ้าเขาโยนลูกเต๋าได้ 1 หรือ 2 เขาจะเปลี่ยนไปโยนเหรียญในตาถัดไป และถ้าเขาโยนเหรียญได้ก้อย เขาจะเปลี่ยนไปโยนลูกเต๋าในตาถัดไป ถ้ามาร์คอฟเริ่มต้นด้วยการโยนลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่เขาจะโยนเหรียญในตาที่สามคือเท่าไร? | เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยการแบ่งออกเป็นกรณี ถ้ามาร์คอฟโยนลูกเต๋าได้ 1 หรือ 2 ในตาแรก เขาจะโยนเหรียญในตาที่สอง เขาต้องโยนหัวเพื่อโยนเหรียญในตาที่สาม มีความน่าจะเป็น $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ ที่กรณีนี้จะเกิดขึ้น ถ้ามาร์คอฟไม่ได้โยนลูกเต๋าได้ 1 หรือ 2 ในตาแรก เขาจะโยนลูกเต๋าในตาที่สอง เขาต้องโยนลูกเต๋าได้ 1 หรือ 2 ในตาที่สองเพื่อโยนเหรียญในตาที่สาม มีความน่าจะเป็น $\frac{4}{6}\cdot \frac{2}{6}=\frac{2}{9}$ ที่กรณีนี้จะเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่มาร์คอฟจะโยนเหรียญในตาที่สามคือ $\frac{1}{6}+\frac{2}{9}=\boxed{\frac{7}{18}}$. | \frac{1}{6}+\frac{2}{9}=\boxed{\frac{7}{18}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor 14.6 \rfloor-\lceil-14.6\rceil$. | จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $14.6$ คือ $14$ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $-14.6$ คือ $-14$ ดังนั้นสมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $14-(-14)$ หรือ $\boxed{28}$ | \boxed{28} | [
"ประยุกต์"
] |
สิบมากกว่าห้าเท่าของจำนวนหนึ่งเท่ากับห้ามากกว่าสิบเท่าของจำนวนนั้น จำนวนนั้นคือจำนวนใด | ถ้าจำนวนนั้นคือ $x$ แล้วเราจะได้ $5x+10=10x+5$ ลบ 5 และ $5x$ ออกจากทั้งสองข้างจะได้ $5=5x$ ดังนั้น $x=\boxed{1}$ | x=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในงานเลี้ยงมีการจับมือกันทั้งหมด 78 ครั้ง ถ้าแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ จะมีกี่คนในงานเลี้ยง | เนื่องจากแต่ละคนจับมือกับคนอื่นๆ ทุกคน ดังนั้นจำนวนครั้งของการจับมือจะเท่ากับจำนวนคู่ของคนในงาน ซึ่งเราสามารถนับได้เป็น ${n \choose 2}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนคนในงาน ดังนั้น $n(n-1) = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 6 \cdot 13 = 12 \cdot 13$ ดังนั้น $n=13$ จะได้จำนวนคนในงานเลี้ยงเท่ากับ $\boxed{13}$ คน | \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อทศนิยม $0.1\overline{23}$ เขียนในรูปเศษส่วน $\frac{a}{b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1 แล้ว $a+b$ มีค่าเท่าใด | เราสามารถเขียน $0.1\overline{23}$ เป็น $0.1$ + $0.0\overline{23}$ ทศนิยมตัวแรกคือ $\frac{1}{10}$ ให้ทศนิยมตัวที่สองเท่ากับ $x$ คูณด้วย 100 จะได้ $100x = 2.3\overline{23}$ ซึ่งจะได้ $99x = 2.3 \implies x = \frac{23}{990}$ ดังนั้น $0.1\overline{23} = \frac{1}{10} + \frac{23}{990} = \frac{61}{495}$ ดังนั้น $a+b=61+495 = \boxed{556}$ | a+b=61+495 = \boxed{556} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $h(y)=\dfrac{1+y}{2-y}$ แล้วค่าของ $h^{-1}(5)$ เท่ากับเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | $h^{-1}(5)$ ถูกนิยามว่าเป็นจำนวน $y$ ซึ่งทำให้ $h(y)=5$ ดังนั้นเราจึงแก้สมการ $$\frac{1+y}{2-y} = 5.$$คูณทั้งสองข้างด้วย $2-y$ จะได้ $$1+y = 5(2-y).$$ขยายสมการจะได้ $$1+y = 10-5y,$$จากนั้นบวก $5y-1$ ทั้งสองข้างจะได้ $$6y = 9.$$สุดท้ายหารทั้งสองข้างด้วย $6$ และทำให้ सरल จะได้ $y=\boxed{\dfrac{3}{2}}$.
สังเกตว่าเราสามารถตรวจสอบงานของเราได้โดยการแทน $\dfrac{3}{2}$ ลงในสูตรของ $h$: $$\dfrac{1+\frac32}{2-\frac32} = \dfrac{\left(\frac52\right)}{\left(\frac12\right)} = 5,$$ซึ่งเป็นค่าที่เราคาดหวัง | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าขนาดใหญ่ถูกวาดบนพื้นดิน และมีชายคนหนึ่งยืนอยู่ที่จุดยอดหนึ่ง ชายคนนั้นโยนเหรียญ ถ้าเหรียญออกหัว เขาจะเดินตามเข็มนาฬิกาไปตามขอบของรูปหกเหลี่ยมจนถึงจุดยอดที่ใกล้ที่สุด ถ้าเหรียญออกก้อย เขาจะเดินทวนเข็มนาฬิกาไปรอบ ๆ รูปหกเหลี่ยมจนถึงจุดยอดอีกจุด เมื่อถึงที่นั่น เขาจะทำซ้ำกระบวนการ ชายคนนั้นโยนเหรียญทั้งหมด 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ชายคนนั้นยืนอยู่ที่จุดเริ่มต้นเมื่อเสร็จสิ้นคือเท่าใด | มีลำดับของหัวและก้อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด $2^6=64$ ลำดับ แต่ละครั้งของการโยนเหรียญสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นแต่ละลำดับของการโยนเหรียญสอดคล้องกับลำดับของการเคลื่อนที่ 6 ครั้ง $L$ หรือ $R$ หากชายคนนั้นได้หัวหรือก้อยติดต่อกัน 6 ครั้ง สอดคล้องกับ $RRRRRR$ หรือ $LLLLLL$ เขาก็จะกลับไปที่จุดเริ่มต้น แต่ชายคนนั้นก็อาจจะโยนหัว 3 ครั้งและก้อย 3 ครั้งในลำดับใดลำดับหนึ่ง สอดคล้องกับลำดับ เช่น $RRLRLL$ มีลำดับการเคลื่อนที่ทั้งหมด $\binom{6}{3}=20$ ลำดับ ที่มีการเคลื่อนที่ 3 ครั้งตามเข็มนาฬิกา และ 3 ครั้งทวนเข็มนาฬิกา ความน่าจะเป็นที่ชายคนนั้นจะจบลงที่จุดเริ่มต้นคือ: $$\frac{20+1+1}{64}=\boxed{\frac{11}{32}}$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
จงขยายและลดรูป $(x^2-5x+7)-(x-3)(x-2)$ | เราเห็นว่า $(x^2-5x+7)-(x-3)(x-2) = x^2-5x+7 -x^2 +5x - 6 = \boxed{1},$ ซึ่งเป็นคำตอบของเรา | (x^2-5x+7)-(x-3)(x-2) = x^2-5x+7 -x^2 +5x - 6 = \boxed{1}, | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \dotsm \times \frac{8}{9}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ส่วนของเศษส่วนแต่ละตัวจะตัดกันกับเศษของเศษส่วนถัดไป เหลือเพียงเศษตัวแรกและส่วนตัวสุดท้าย ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{\frac{2}{9}}$ | \boxed{\frac{2}{9}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ $x^2 - 2x + 2 \le P(x) \le 2x^2 - 4x + 3$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด และสมมติว่า $P(11) = 181$ จงหา $P(16)$ | เขียนใหม่สมการกำลังสองที่กำหนดในรูปจุดยอด เราได้ \[1 + (x-1)^2 \le P(x) \le 1 + 2(x-1)^2.\]ทั้งสองสมการกำลังสองนี้มีจุดยอดที่ $(1, 1)$ พิจารณาจากรูปร่างของกราฟของสมการกำลังสอง เราเห็นว่า $P$ ต้องมีจุดยอดที่ $(1,1)$ ด้วย ดังนั้น \[P(x) = 1 + k(x-1)^2\]สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า แทน $x = 11$ เราได้ $181 = 1 +100k$ ดังนั้น $k = \tfrac{9}{5}$ จากนั้น \[P(16) = 1 + \tfrac{9}{5} \cdot 15^2 = \boxed{406}.\] | k = \tfrac{9}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เซตของคำตอบทั้งหมดของระบบสมการ \[ \begin{cases}& 2x+y \le 4 \\& x+y \ge 1 \\& x \ge 0 \\& y \ge 0 \end{cases} \] เป็นรูปสี่เหลี่ยม. ถ้าความยาวของด้านที่ยาวที่สุดเป็น $a\sqrt{b}$ หน่วย (อยู่ในรูปรากที่สองอย่างง่ายที่สุด) จงหา $a+b$ | [asy]
Label f;
f.p=fontsize(6);
xaxis(0,3,Ticks(f, 1.0));
yaxis(0,5,Ticks(f, 1.0));
fill((0,1)--(0,4)--(2,0)--(1,0)--cycle, grey);
draw((-.5,5)--(2.5,-1), dashed, Arrows);
draw((-1,2)--(2,-1), dashed, Arrows);
[/asy]
เส้นทแยงมุมด้านบนเป็นกราฟของ $2x+y=4$. เส้นทแยงมุมด้านล่างเป็นกราฟของ $x+y=1$. แกน y เป็นกราฟของ $x=0$ และแกน x เป็นกราฟของ $y=0$. บริเวณที่ถูกแรเงาประกอบด้วยคำตอบของระบบสมการ. ด้านที่ยาวที่สุดคือด้านทแยงมุมด้านบน. ความยาวของด้านนี้คือ $\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}.$ ดังนั้น $a+b=2+5=\boxed{7}$. | a+b=2+5=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 8}{x + 9} = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x + 7}{x + 8}.\] | ลบ 1 จากแต่ละเศษส่วน เราได้
\[-\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 9} = -\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 8}.\]แล้ว
\[\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 8},\]ดังนั้น
\[\frac{2x + 11}{(x + 2)(x + 9)} = \frac{2x + 11}{(x + 3)(x + 8)}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $(x + 2)(x + 9)(x + 3)(x + 8),$ เราได้
\[(2x + 11)(x + 3)(x + 8) = (2x + 11)(x + 2)(x + 9).\]แล้ว
\[(2x + 11)[(x + 3)(x + 8) - (x + 2)(x + 9)] = (2x + 11)(6) = 0.\]ดังนั้น $x = \boxed{-\frac{11}{2}}.$ | x = \boxed{-\frac{11}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถัง $A$ มีลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีดำ 4 ลูก ถัง $B$ มีลูกบอล 3 ลูกที่ติดป้าย $\$1$ และลูกบอล 1 ลูกที่ติดป้าย $\$7$. ถัง $W$ มีลูกบอล 5 ลูกที่ติดป้าย $\$8$ และลูกบอล 1 ลูกที่ติดป้าย $\$500$. มีการเล่นเกมดังนี้: เลือกลูกบอลจากถัง $A$ Secara acak. ถ้าเป็นสีดำ ให้เลือกลูกบอลจากถัง $B$ มิฉะนั้น ถ้าลูกบอลดั้งเดิมเป็นสีขาว ให้เลือกลูกบอลจากถัง $W$. คุณจะชนะเงินจำนวนที่พิมพ์บนลูกบอลที่สองที่เลือก มูลค่าที่คาดหวังในการชนะของคุณคือเท่าไร? | เนื่องจากถัง $A$ มีลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีดำ 4 ลูก ลูกบอลเงินจึงมีโอกาส $\dfrac{1}{5}$ ที่จะมาจากถัง $W$ และ $\dfrac{4}{5}$ ที่จะมาจากถัง $B$. มูลค่าที่คาดหวังทั้งหมดจึงเป็น $E = \dfrac{1}{5}E_W + \dfrac{4}{5}E_B$ โดยที่ $E_W$ และ $E_B$ เป็นมูลค่าที่คาดหวังของลูกบอลที่สุ่มมาจากถัง $W$ และ $B$ ตามลำดับ. เนื่องจากถัง $W$ มีลูกบอล 5 ลูกที่ติดป้าย $8$ และลูกบอล 1 ลูกที่ติดป้าย $500$ มูลค่าที่คาดหวังของมันคือ \[ E_W = \frac{5}{6}\times\$8 + \frac{1}{6}\times\$500 = \$90. \]เนื่องจากถัง $B$ มีลูกบอล 3 ลูกที่ติดป้าย $1$ และลูกบอล 1 ลูกที่ติดป้าย $7$ มูลค่าที่คาดหวังของมันคือ \[ E_B = \frac{3}{4} \times \$1 + \frac{1}{4} \times \$7 = \$2.5. \]ดังนั้น \[ E = \frac{1}{5}E_W + \frac{4}{5}E_B = \frac{1}{5}(\$90) + \frac{4}{5}(\$2.5) = \boxed{\$20}. \] | 90) + \frac{4}{5}(\ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนจริง $x^{}_{}$ กี่จำนวนที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{5}\log_2 x = \sin (5\pi x)$? | แสดงกราฟของ $y = \frac{1}{5} \log_2 x$ และ $y = \sin (5 \pi x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(2.5 cm);
real x;
real logfunction(real x) {
return(1/5*log(x)/log(2));
}
real sinefunction(real x) {
return(sin(5*pi*x));
}
path foo = (-0.1,sinefunction(-0.1));
for (x = -0.1; x <= 4; x = x + 0.01) {
foo = foo--(x,sinefunction(x));
}
draw(graph(logfunction,0.05,4),red);
draw(foo,blue);
draw((-0.1,0)--(4,0));
draw((0,-1)--(0,1));
label("$y = \frac{1}{5} \log_2 x$", (4,logfunction(4)), E, red);
label("$y = \sin (5 \pi x)$", (4,-0.1), E, blue);
label("$1$", (1,0), S, UnFill);
label("$2$", (2,0), S, UnFill);
label("$3$", (3,0), S, UnFill);
label("$4$", (4,0), S, UnFill);
[/asy]
ถ้า $\frac{1}{5} \log_2 x = \sin (5 \pi x),$ แล้ว
\[-1 \le \frac{1}{5} \log_2 x \le 1.\]ดังนั้น $-5 \le \log_2 x \le 5,$ ดังนั้น $\frac{1}{32} \le x \le 32.$
สำหรับ $x \le 1,$ เราจะนับจุดตัดได้ 5 จุด
สำหรับ $x > 1,$ ในแต่ละช่วงของรูปแบบ
\[\frac{2n}{5} \le x \le \frac{2n + 1}{5},\]โดยที่ $n \ge 3,$ ฟังก์ชัน $\sin (5 \pi x)$ จะเพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง 1 และจากนั้นก็ลดลงจาก 1 ถึง 0 ส่วนนี้ของกราฟของ $\sin (5 \pi x)$ จะตัดกับกราฟของ $\frac{1}{5} \log_2 x$ ตราบใดที่ $\frac{2n + 1}{5} \le 32.$ $n$ ที่ใหญ่ที่สุดคือ 79
ดังนั้น สำหรับแต่ละ $n,$ $3 \le n \le 79,$ จะมีจุดตัดเพิ่มเติมอีก 2 จุด นี่จะทำให้เราได้จำนวนจุดตัดทั้งหมด $5 + 2 \cdot (79 - 3 + 1) = \boxed{159}$ จุด | 5 + 2 \cdot (79 - 3 + 1) = \boxed{159} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $ABC,$
\[a^4 + b^4 + c^4 = 2c^2 (a^2 + b^2).\]จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $\angle C,$ ให้นำค่ามาแสดงในหน่วยองศาและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | จากกฎของโคไซน์,
\[a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C.\]ยกกำลังสองของสมการนี้ เราจะได้
\[a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2 b^2 - 2a^2 c^2 - 2b^2 c^2 = 4a^2 b^2 \cos^2 C.\]จากสมการที่กำหนด $a^4 + b^4 + c^4 = 2a^2 c^2 + 2b^2 c^2,$ ดังนั้น
\[2a^2 b^2 = 4a^2 b^2 \cos^2 C.\]แล้ว
\[\cos^2 C = \frac{1}{2}.\]ดังนั้น $\cos C = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$ ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $\angle C$ คือ $\boxed{45^\circ, 135^\circ}.$
ถ้าเราให้ $a = \sqrt{2}$ และ $b = c = 1,$ แล้ว $\angle C = 45^\circ.$ ถ้าเราให้ $a = \sqrt{2},$ และ $b = 1,$ และ $c = \sqrt{5},$ แล้ว $\angle C = 135^\circ.$ ดังนั้น มุมทั้งสองมุมสามารถทำได้ | \angle C = 135^\circ. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนคำตอบ $x$ ของสมภาค $64x\equiv 2\pmod {66}$ โดยที่ $0< x\le 100$ | เราสามารถทำให้สมภาคง่ายขึ้นดังนี้: \begin{align*}
64x&\equiv 2\pmod {66}\\
32x&\equiv 1\pmod {33}\\
-x&\equiv 1\pmod {33}\\
x&\equiv -1\pmod{33}\\
x&\equiv 32\pmod{33}.
\end{align*} คำตอบบวกที่น้อยที่สุดของสมภาคนี้คือ $32$, $32+33=65$, $32+2\cdot 33=98$ หลังจากนั้นคำตอบจะมากกว่า $100$ และไม่ใช่คำตอบที่ต้องการ ดังนั้นมีคำตอบ $\boxed{3}$ คำตอบในช่วงที่กำหนด | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลินดา เชอร์รี่ จูน และคอนนี่เดินขายคุกกี้เกิร์ลส카วด์รอบๆย่านของพวกเธอ ลินดาได้เงิน $27.47 เชอร์รี่ได้เงิน $35.23 จูนได้เงิน $37.37 และคอนนี่ได้เงิน $26.52 หลังจากการขาย พวกเธอรวมเงินของพวกเธอเข้าด้วยกันและไปที่ธนาคารเพื่อแลกเหรียญเป็นเงินกระดาษ มีเงินเหลือเท่าไรเป็นเซ็นต์หลังจากที่พวกเธอแลกเหรียญเป็นธนบัตรได้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ | แทนที่จะบวกตัวเลขที่มากเข้าด้วยกัน เราสามารถหาเศษที่เหลือสำหรับแต่ละคนเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เราแปลงจำนวนเงินที่พวกเขาได้เป็นเซ็นต์และหา modulo 100 สำหรับแต่ละคน \begin{align*}
2747 &\equiv 47 \pmod{100},\\
3523 &\equiv 23 \pmod{100},\\
3737 &\equiv 37 \pmod{100},\\
2652 &\equiv 52 \pmod{100}
\end{align*}เราต้องการหา modulo 100 ของจำนวนเซ็นต์ทั้งหมด เราสามารถบวกเศษที่เหลือแยกต่างหากเพื่อให้ได้ $$47+23+37+52 \equiv 159 \equiv 59 \pmod{100}$$ดังนั้นพวกเขามี $\boxed{59}$ เซ็นต์เหลือหลังจากแลกเงินเป็นธนบัตรมากที่สุดเท่าที่จะทำได้ | \boxed{59} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
การหมุน $60^\circ$ รอบจุดกำเนิดในทิศทวนเข็มนาฬิกา ถูกนำไปใช้กับ $3 \sqrt{3} - 5i.$ จำนวนเชิงซ้อนที่ได้คืออะไร? | การหมุน $60^\circ$ รอบจุดกำเนิดในทิศทวนเข็มนาฬิกา สอดคล้องกับการคูณด้วย $\operatorname{cis} 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i.$
[asy]
unitsize(0.5 cm);
pair A = (3*sqrt(3),-5), B = rotate(60)*(A);
draw((-2,0)--(8,0));
draw((0,-6)--(0,3));
draw((0,0)--A,dashed);
draw((0,0)--B,dashed);
dot("$3 \sqrt{3} - 5i$", A, S);
dot("$4 \sqrt{3} + 2i$", (4*sqrt(3),2), NE);
[/asy]
ดังนั้น ภาพของ $3 \sqrt{3} - 5i$ คือ
\[(3 \sqrt{3} - 5i) \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = \boxed{4 \sqrt{3} + 2i}.\] | 4√3 + 2i | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปภาพ $x$ มีค่าเท่าใด? [asy]
draw((0,0)--(3,0)--(1,2.5)--cycle);
label("$60^\circ$",(2.9,0),NW);
label("$50^\circ$",(1.1,2.2),S);
label("$x^\circ$",(0,0),SW);
draw((-1,0)--(0,0));
draw((0,0)--(-.5,-1.25));
[/asy] | เนื่องจากมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180^\circ$ มุมที่หายไปในรูปสามเหลี่ยมจึงมีค่า $180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ.$ ดังนั้น [asy]
draw((0,0)--(3,0)--(1,2.5)--cycle);
label("$60^\circ$",(2.9,0),NW);
label("$50^\circ$",(1.1,2.2),S);
label("$x^\circ$",(0,0),SW);
draw((-1,0)--(0,0));
draw((0,0)--(-.5,-1.25));
label("$A$",(-1,0),W);
label("$B$",(3,0),E);
label("$C$",(1,2.5),N);
label("$D$",(-.5,-1.25),S);
label("$X$",(0,0),NW);
[/asy] เนื่องจาก $\angle BXC=70^\circ$ ดังนั้น $\angle AXC = 180^\circ - \angle BXC = 110^\circ.$
เนื่องจาก $\angle AXC = 110^\circ$ ดังนั้น $\angle DXA = 180^\circ - \angle AXC = 70^\circ.$
ดังนั้น $x=\boxed{70}.$
(หรือเราสามารถสังเกตได้ว่าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามกันเป็นมุมที่เท่ากัน ดังนั้น $\angle DXA=\angle BXC =70^\circ.$) | $x=70$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าถูกปิดล้อมด้วยสนามกีฬา ดังแสดงในรูปด้านล่าง สนามกีฬาประกอบด้วยสองด้านของสนาม และสองครึ่งวงกลม ความยาวของสนามกีฬาเท่ากับ 400 เมตร จงหาพื้นที่สูงสุดของสนามในหน่วยตารางเมตร
[asy]
unitsize(1 cm);
filldraw((0,0)--(3,0)--(3,2)--(0,2)--cycle,lightgreen);
draw((0,0)--(3,0),linewidth(2*bp));
draw((0,2)--(3,2),linewidth(2*bp));
draw(arc((3,1),1,-90,90),linewidth(2*bp));
draw(arc((0,1),1,90,270),linewidth(2*bp));
[/asy] | ให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ $w$ และให้รัศมีของครึ่งวงกลมแต่ละวงเท่ากับ $r.$
[asy]
unitsize(1 cm);
filldraw((0,0)--(3,0)--(3,2)--(0,2)--cycle,lightgreen);
draw((0,0)--(3,0),linewidth(2*bp));
draw((0,2)--(3,2),linewidth(2*bp));
draw(arc((3,1),1,-90,90),linewidth(2*bp));
draw(arc((0,1),1,90,270),linewidth(2*bp));
label("$w$", (1.5,0), S);
label("$r$", (3,1/2), E);
dot((3,1));
[/asy]
จากนั้นความยาวของสนามกีฬาเท่ากับ $2w + 2 \pi r = 400$ ดังนั้น $w + \pi r = 200.$ โดย AM-GM,
\[200 = w + \pi r \ge 2 \sqrt{w \pi r},\]ดังนั้น $\sqrt{w \pi r} \le 100.$ แล้ว $w \pi r \le 10000$ ดังนั้น
\[wr \le \frac{10000}{\pi}.\]พื้นที่ของสนาม $2wr$ ต้องเป็นไปตาม
\[2wr \le \frac{20000}{\pi}.\]ความเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $w = 100$ และ $r = \frac{100}{\pi}$ ดังนั้นพื้นที่สูงสุดเท่ากับ $\boxed{\frac{20000}{\pi}}.$ | \boxed{\frac{20000}{\pi}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีค่าความชัน $\frac{2}{5}.$ เวกเตอร์ใดต่อไปนี้เป็นเวกเตอร์ทิศทางที่เป็นไปได้ของเส้นตรง?
[asy]
usepackage("amsmath");
unitsize(1 cm);
pair x = (3,0), y = (0,2);
label("(A) $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$", y);
label("(B) $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$", x + y);
label("(C) $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$", 2*x + y);
label("(D) $\begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}$", 3*x + y);
label("(E) $\begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix}$", (0,0));
label("(F) $\begin{pmatrix} 2/5 \\ 1 \end{pmatrix}$", x);
label("(G) $\begin{pmatrix} 40 \\ 16 \end{pmatrix}$", 2*x);
label("(H) $\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix}$", 3*x);
[/asy]
Enter the letters of the correct options, separated by commas. | เนื่องจากความชันของเส้นตรงคือ $\frac{2}{5},$ เส้นตรงจะเพิ่มขึ้น 2 หน่วยในแนวตั้งสำหรับทุกๆ 5 หน่วยในแนวราบ ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางที่เป็นไปได้คือ $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}.$
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, C;
A = (0,0);
B = (5,0);
C = (5,2);
draw(A--B--C);
draw(A--C,red,Arrow(6));
label("$5$", (A + B)/2, S);
label("$2$", (B + C)/2, E);
[/asy]
สิ่งนี้หมายความว่าเวกเตอร์ทิศทางที่เป็นไปได้คือคูณสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ของ $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}.$ ตัวเลือกที่เป็นไปได้คือ $\boxed{\text{B, E, G}}.$ | \boxed{\text{B, E, G}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$ เราให้ $\angle BAC = 90^\circ$ และ $D$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{AC}$ ถ้า $AB = 7$ และ $BC = 25$ แล้ว $\tan \angle BDC$ มีค่าเท่าใด | [asy]
pair A,B,C,D;
A = (0,0);
B = (0,7);
C = (24,0);
D = C/2;
draw(D--B--C--A--B);
draw(rightanglemark(D,A,B,40));
label("$A$",A,SW);
label("$B$",B,N);
label("$D$",D,S);
label("$C$",C,SE);
[/asy]
เนื่องจาก $\sin (180^\circ - x) =\sin x$ และ $\cos (180^\circ - x) = -\cos x$ สำหรับมุมใดๆ เราได้ $$\tan(180^\circ - x) =
\frac{\sin(180^\circ - x)}{\cos(180^\circ - x)} = \frac{\sin x}{-\cos x} = -\tan x$$สำหรับมุมใดๆ ที่ $\tan x$ ถูกนิยาม ดังนั้น $\tan\angle BDC = -\tan\angle BDA$.
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้ $AC = \sqrt{BC^2 - BA^2} = 24$. เนื่องจาก $D$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{AC}$ เราได้ $AD = AC/2 =12$. ดังนั้น $\tan \angle BDC = -\tan \angle BDA = -\frac{BA}{AD} = \boxed{-\frac{7}{12}}$. | $\tan \angle BDC = -\tan \angle BDA = -\frac{BA}{AD} = \boxed{-\frac{7}{12}}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\dbinom{7}{2}$ | $\dbinom{7}{2}=\dfrac{7\times 6}{2}=\boxed{21}.$ | $\dbinom{7}{2}=\dfrac{7\times 6}{2}=\boxed{21}.$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณ $\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -11 \\ 10 \end{pmatrix}$ | เราจะได้ว่า
\[\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -11 \\ 10 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \end{pmatrix}}.\] | [
"นำไปใช้"
] | |
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ 180 และ 450 | $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ และ $450=2\cdot3^2\cdot5^2$ ดังนั้น ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ 180 และ 450 คือ $2\cdot3^2\cdot5=\boxed{90}$ | $2\cdot3^2\cdot5=\boxed{90}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจุดศูนย์กลางของวงรีซึ่งมีสมการ $9x^2 + 72x + 4y^2 - 8y - 176 = 0.$ | จัดรูปสมการโดยวิธีการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y$ จะได้
\[9(x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 = 324.\]จากนั้น
\[\frac{(x + 4)^2}{36} + \frac{(y - 1)^2}{81} = 1.\]ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงรีคือ $\boxed{(-4,1)}.$ | \boxed{(-4,1)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 ถูกเรียงลำดับเพื่อสร้างจำนวนหกหลักซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว ความน่าจะเป็นที่จำนวนนั้นมากกว่า 500,000 คือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | จากตัวเลข 1 ถึง 6 ตัวเลข 5 ต้องเป็นหลักหน่วย เนื่องจากจำนวนของเราหารด้วย 5 ลงตัว เราเหลือตัวเลข 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4 และ 6 สำหรับหลักห้าหลัก จำนวนนั้นจะมากกว่า 500,000 ก็ต่อเมื่อหลักแสนเป็น 6 ความน่าจะเป็นที่หลักแสน (ซึ่งสามารถเป็น 1, 2, 3, 4 หรือ 6) เป็น 6 คือ $\boxed{\frac{1}{5}}$ | \boxed{\frac{1}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7,\]จงหา
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix}.\] | เราทราบว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7.\]ถ้าเราคูณแถวที่สองด้วย 2 เราจะได้
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d & 2e & 2f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]การบวกห้าเท่าของแถวที่สามเข้ากับแถวที่สองจะไม่เปลี่ยนค่าของดีเทอร์มิแนนต์:
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]จากนั้นการคูณแถวที่สามด้วย $-1$ จะให้เรา
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix} = \boxed{14}.\] | 14 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ไฮเปอร์โบลาหนึ่งมีโฟกัสอยู่ที่ $(3, 2)$ และจุดยอดของไฮเปอร์โบลาที่อยู่ใกล้โฟกัสนี้คือ $(4, 2)$ หนึ่งในเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา มีความชันเท่ากับ $\frac{\sqrt2}{2}$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา | จุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลาต้องอยู่ที่จุด $(t, 2)$ สำหรับบางค่า $t > 4$ ดังนั้นระยะห่างจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอดแต่ละจุดคือ $a = t -4$ และระยะห่างจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัสแต่ละจุดคือ $c = t-3$ ดังนั้นเราจึงมี \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(t-3)^2 - (t-4)^2} = \sqrt{2t-7}.\]สมการของไฮเปอร์โบลาสามารถเขียนอยู่ในรูปมาตรฐานได้เป็น \[\frac{(x-t)^2}{a^2} - \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1.\]จากนั้นสมการของเส้นกำกับคือ $\frac{x-t}{a} = \pm \frac{y-2}{b}$ หรือ $y = 2 \pm \frac{b}{a} (x-t)$ ดังนั้นความชันของเส้นกำกับคือ $\pm \frac{b}{a}$ เนื่องจาก $a>0$ และ $b>0$ เราต้องมี $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt2}2$ หรือ $b\sqrt{2} = a$ ดังนั้น \[ \sqrt{2t-7} \cdot \sqrt{2} = t-4.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้ \[2(2t-7) = (t-4)^2,\]หรือ $t^2 - 12t + 30 = 0$ โดยสูตรกำลังสอง \[t = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 30}}{2} = 6 \pm \sqrt{6}.\]เนื่องจาก $t > 4$ และ $6 - \sqrt{6} < 6 - 2 = 4$ เราจึงมี $t = 6 + \sqrt{6}$ | y | [
"unknown"
] |
จงหาค่าของ $101010_5$ ในระบบเลขฐานสิบ | $101010_5 = 0\cdot5^{0}+1\cdot5^{1}+0\cdot5^{2}+1\cdot5^{3}+0\cdot5^{4}+1\cdot5^{5} = 5+125+3125 = \boxed{3255}$ | 3255 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ \[ x = \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} ?\] | สังเกตว่า \[ \frac{1}{x} = 2 - \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} = 2 - x, \] เราเพียงแค่แก้สมการกำลังสอง $x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = 0$ ดังนั้นเราจะเห็นว่า $x = \boxed{1}$ | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
หนังสือเล่มหนึ่งมี 50 หน้าที่ถูกหมายเลขจาก 1 ถึง 50 ถูกปรับหมายเลขหน้าใหม่จาก 50 ถึง 1 มีกี่หน้าที่เลขหน้าทั้งสองชุดมีหลักหน่วยเหมือนกัน? | สำหรับหน้าใดๆ ผลรวมของหมายเลขหน้าเดิมและหมายเลขหน้าใหม่คือ 51 ซึ่งเป็นเลขคี่ ดังนั้นไม่มีหน้าใดที่เลขหน้าทั้งสองชุดมีหลักหน่วยเหมือนกัน และคำตอบคือ $\boxed{0}$ | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ $y=\frac{x+1}{x^2-2x+1}$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้ง | เราเริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบของตัวส่วน: $y=\frac{x+1}{(x-1)^2}$. จะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=a$ สำหรับฟังก์ชันตรรกยะ ถ้าตัวส่วนเป็นศูนย์เมื่อ $x=a$ (ยกเว้นเมื่อ $x-a$ เป็นตัวประกอบของตัวเศษด้วย และมี multiplicity เท่ากันในตัวส่วน) ค่า $x$ ที่ทำให้เกิดเหตุการณ์นี้มีเพียง $x=\boxed{1}$ เท่านั้น | x=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\frac{a}{b}$ คือความน่าจะเป็นที่ส่วนกลับของจำนวนเต็มบวกคี่ที่น้อยกว่า 2010 ซึ่งเลือกมาแบบสุ่ม จะให้ทศนิยมสิ้นสุด โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน แล้ว $a+b$ มีค่าเท่าใด | มีจำนวนเต็มบวก 2009 จำนวนที่น้อยกว่า 2010 ซึ่งมี 1005 จำนวนที่เป็นเลขคี่ ถ้า $\frac{1}{n}$ เท่ากับทศนิยมสิ้นสุด $n$ จะต้องหารด้วย 2 และ 5 เท่านั้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเรามีข้อจำกัดเพิ่มเติมที่ $n$ เป็นเลขคี่ $n$ จะต้องเป็นกำลังของ 5 มีห้ากำลังของ 5 ที่น้อยกว่า 2010 \begin{align*}
5^0 &= 1 \\
5^1 &= 5 \\
5^2 &= 25 \\
5^3 &= 125 \\
5^4 &= 625
\end{align*} โปรดทราบว่า $5^5 = 3125$ เนื่องจากมีจำนวนเต็มคี่ห้าจำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ต้องการของเรา ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $\frac{5}{1005} = \frac{1}{201}$ นี่คือรูปที่ง่ายที่สุด ดังนั้นคำตอบของเราคือ $1+201 = \boxed{202}$ | 1+201 = \boxed{202} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมครึ่งวงถูกสร้างขึ้นตามด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 นิ้วและ 8 นิ้ว วงกลมครึ่งวงที่วางอยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉากถูกแรเงา ดังแสดงในรูป พื้นที่รวมของบริเวณรูปพระจันทร์เสี้ยวสองบริเวณที่ไม่ถูกแรเงาคือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด
[asy]
unitsize(0.4cm);
size(101);
pair A = (0,3), B = (0,0), C = (4,0);
filldraw(A..B..C--cycle,gray(0.6),black);
draw(A--B--C);
draw(Arc(A/2,3/2,90,270)^^Arc(C/2,2,0,-180)); draw(rightanglemark(A,B,C));
[/asy] | ให้ $A,B$ เป็นพื้นที่ของวงกลมครึ่งวงบนด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก และให้ $C$ เป็นพื้นที่ของวงกลมครึ่งวงบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส $A + B = C$.
พื้นที่ของสามเหลี่ยมบวกกับพื้นที่ของวงกลมครึ่งวงสองวงคือ
\[A + B + \frac{6 \cdot 8}{2} = A + B + 24.\]แต่สิ่งนี้ก็เป็นพื้นที่ที่เราสนใจบวกกับ $C$ ด้วย ดังนั้นคำตอบคือ $A + B + 24 - C = \boxed{24}$. | A + B + 24 - C = \boxed{24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมีจำนวนหลักเป็นสองเท่าของจำนวนหลักเมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 3 แสดงคำตอบในระบบเลขฐาน 10 | เราพิจารณาจำนวนเต็มที่มี 2 หลักในระบบเลขฐาน 2 และ 1 หลักในระบบเลขฐาน 3 จำนวนเต็มดังกล่าวต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $10_2 = 2$ แต่มีค่าน้อยกว่า $10_3 = 3$ จำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขนี้คือ 2
ถัดไปเราพิจารณาจำนวนเต็มที่มี 4 หลักในระบบเลขฐาน 2 และ 2 หลักในระบบเลขฐาน 3 จำนวนเต็มดังกล่าวต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $1000_2 = 2^3$ แต่มีค่าน้อยกว่า $100_3 = 3^2$ จำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขนี้คือ 8
ถัดไปเราพิจารณาจำนวนเต็มที่มี 6 หลักในระบบเลขฐาน 2 และ 3 หลักในระบบเลขฐาน 3 จำนวนเต็มดังกล่าวต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $100000_2 = 2^5$ แต่มีค่าน้อยกว่า $1000_3 = 3^3$ ไม่มีจำนวนเต็มที่ตรงตามเงื่อนไขนี้ เพราะ $2^5 > 3^3$
ถ้าเราดำเนินการในลักษณะนี้ต่อไป เราอาจสงสัยว่าไม่มีคำตอบอื่นๆ อีก เราจะพิสูจน์สิ่งนี้ ถ้าจำนวนเต็ม $N$ มี $2d$ หลักในระบบเลขฐาน 2 แล้ว $N\ge 2^{2d-1}$ แต่ถ้า $N$ มีเพียง $d$ หลักในระบบเลขฐาน 3 แล้ว $N<3^d$ คำตอบร่วมกันเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ $$2^{2d-1}<3^d.$$เราสามารถจัดเรียงอสมการนี้ใหม่เป็น $$\left(\frac 43\right)^d < 2.$$โดยการตรวจสอบ เราพบว่าอสมการนี้ใช้ได้สำหรับ $d=1,2$ แต่ไม่ใช้ได้สำหรับ $d=3$ และไม่ใช้ได้สำหรับ $d$ ที่มีค่ามากกว่า เพราะด้านซ้ายมือจะเพิ่มขึ้นเมื่อ $d$ เพิ่มขึ้น สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าไม่มีคำตอบ $N$ นอกเหนือจากที่เราพบแล้ว: 2 และ 8 ซึ่งผลรวมของมันคือ $\boxed{10}$. | \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด
\[\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} \quad \text{และ} \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -11 \\ 1 \\ 28 \end{pmatrix}.\]มีเวกเตอร์ $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{d}$ ที่ทำให้เส้นตรงที่ผ่าน $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ สามารถเขียนอยู่ในรูป
\[\mathbf{v} = \mathbf{p} + \mathbf{d} t.\]นอกจากนี้ สำหรับ $\mathbf{d}$ ที่เลือกมาแล้ว จะเป็นจริงว่า สำหรับทุกจุด $\mathbf{v}$ ที่อยู่บนด้านเดียวกันของ $\mathbf{a}$ ที่ $\mathbf{b}$ อยู่ด้วย ระยะทางระหว่าง $\mathbf{v}$ และ $\mathbf{a}$ คือ $t$ จงหา $\mathbf{d}$. | จากสมบัติที่กำหนด ระยะห่างระหว่าง $\bold{v}$ และ $\bold{a}$ คือ 0 เมื่อ $t = 0$ ดังนั้น $\bold{v} = \bold{a}$ แต่สมการ $\bold{v} = \bold{p} + \bold{d} t$ จะกลายเป็น
\[\bold{v} = \bold{p}\]เมื่อ $t = 0$ ดังนั้น $\bold{p} = \bold{a}$ ดังนั้นสมการของเส้นตรงคือ
\[\bold{v} = \bold{a} + \bold{d} t.\]นอกจากนี้ เวกเตอร์ $\bold{b}$ อยู่บนเส้นตรง และระยะห่างระหว่าง $\bold{a}$ และ $\bold{b}$ คือ
\[\|\bold{a} - \bold{b}\| = \left\| \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -11 \\ 1 \\ 28 \end{pmatrix} \right\| = \left\| \begin{pmatrix} 16 \\ -4 \\ -32 \end{pmatrix} \right\| = \sqrt{16^2 + (-4)^2 + (-32)^2} = 36.\]ดังนั้น ค่าของ $t$ ที่ทำให้ $\bold{b} = \bold{a} + \bold{d} t$ คือ $t = 36$ ซึ่งหมายความว่า
\[\begin{pmatrix} -11 \\ 1 \\ 28 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} + 36 \bold{d}.\]แยก $\bold{d}$ เราจะได้
\[\bold{d} = \boxed{\begin{pmatrix} -4/9 \\ 1/9 \\ 8/9 \end{pmatrix}}.\] | \bold{d} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสัมบูรณ์ของ $1-4i$ | เราได้ $|1-4i| = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \boxed{\sqrt{17}}$ | |1-4i| = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \boxed{\sqrt{17}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\displaystyle{(2^3)}^{\frac{4}{3}}$ | เราได้ว่า $(2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^{3\cdot \frac{4}{3}} = 2^4 = \boxed{16}$ | (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^{3\cdot \frac{4}{3}} = 2^4 = \boxed{16} | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $d$ และ $e$ เป็นคำตอบของสมการ $2x^2 + 3x - 5=0$ จงหาค่าของ $(d-1)(e-1)$ | เนื่องจาก $0 = 2x^2 + 3x -5 = (2x+5)(x-1)$ เราได้ $d = -\frac{5}{2}$ และ $e = 1.$
ดังนั้น $(d-1)(e-1) =\boxed{0}$ | (d-1)(e-1) =\boxed{0} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
35 นักเรียนเข้าร่วมการประชุมชมรมคณิตศาสตร์ จำนวนนักเรียนหญิงที่เข้าร่วมประชุมเป็นทวีคูณของ 13 และมีนักเรียนหญิงมากกว่านักเรียนชายที่เข้าร่วมประชุม มีกี่คนนักเรียนชายที่เข้าร่วมประชุม | เราสมมติว่าจำนวนนักเรียนหญิงเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและไม่เกิน 35 ทวีคูณของ 13 ที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า 35 คือ 0, 13 และ 26 เนื่องจากจำนวนนักเรียนหญิงมากกว่าจำนวนนักเรียนชาย ตัวเลือกที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวคือมี 26 นักเรียนหญิง นั่นหมายถึงมี $35-26 = \boxed{9}$ นักเรียนชายที่เข้าร่วมประชุม | 35-26 = \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $5a=-4b+5$ และ $3a=-2b+3$ แล้ว $6b$ มีค่าเท่าใด | เริ่มต้นด้วยการแก้ระบบสมการ \begin{align*}
5a&=-4b+5, \\
3a&=-2b+3.
\end{align*} ลบสองเท่าของสมการที่สองออกจากสมการแรก เราจะได้ $5a-2(3a)=-4b+5-2(-2b+3)$ ซึ่งจะ सरุปเป็น $-a=-1$ ดังนั้น $a=1$ และแทนค่านี้ลงในสมการแรก เราจะได้ $5=-4b+5$ แก้หา $b$ เราพบว่า $b=0$ ดังนั้น $6b=6\cdot 0=\boxed{0}$ | 6b=6\cdot 0=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มฐานสิบกี่จำนวนที่อยู่ในรูป 4 หลักในระบบเลขฐานสาม และอยู่ในรูป 2 หลักในระบบเลขฐานหก | จำนวนเต็มฐานสิบที่อยู่ในรูป 4 หลักในระบบเลขฐานสาม มีค่าตั้งแต่ $1000_3=3^3=27$ ถึงน้อยกว่า $10000_3=3^4=81$ จำนวนเต็มฐานสิบที่อยู่ในรูป 2 หลักในระบบเลขฐานหก มีค่าตั้งแต่ $10_6=6^1=6$ ถึงน้อยกว่า $100_6=6^2=36$ ดังนั้น สำหรับจำนวน $n$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข จะต้องเป็นไปตาม $27\le n <36$ $n$ อาจเป็นจำนวนตั้งแต่ 27 ถึง 35 รวมทั้งหมด มีจำนวนเต็ม $\boxed{9}$ จำนวนที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $c$ เป็นค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งทำให้ $x^2+cx+9c$ เท่ากับกำลังสองของทวินาม แล้ว $c$ มีค่าเท่าใด? | ถ้า $x^2+cx+9c$ เป็นกำลังสองของทวินาม แล้วเนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เป็น 1 ทวินามจะต้องอยู่ในรูป $x+a$ สำหรับค่า $a$ ใดๆ ดังนั้นเราจึงมี $$(x+a)^2 = x^2+cx+9c.$$เมื่อขยายข้างซ้าย เราจะได้ $$x^2 + 2ax + a^2 = x^2 + cx + 9c.$$สัมประสิทธิ์ของ $x$ ต้องตรงกัน ดังนั้น $2a=c$. นอกจากนี้ ค่าคงตัวต้องตรงกัน ดังนั้น $a^2=9c$ ซึ่งจะได้ $c=\frac{a^2}{9}$. เรามีสองนิพจน์สำหรับ $c$ ในรูปของ $a$ ดังนั้นเราจึงตั้งให้เท่ากัน: $$2a = \frac{a^2}{9}.$$เพื่อแก้หา $a$ เราลบ $2a$ ออกจากทั้งสองข้าง: $$0 = \frac{a^2}{9} - 2a$$แล้วแยกตัวประกอบ: $$0 = a\left(\frac{a}{9}-2\right),$$ซึ่งมีคำตอบ $a=0$ และ $a=18$.
สุดท้าย เราได้ $c=2a$ ดังนั้น $c=0$ หรือ $c=36$. แต่เราต้องการคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นเราจึงปฏิเสธ $c=0$ เราจะได้ $c=\boxed{36}$.
(การตรวจสอบ เราพบว่า $x^2+36x+9\cdot 36$ เท่ากับ $(x+18)^2$.) | (x+18)^2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $\log_8a+\log_4b^2=5$ และ $\log_8b+\log_4a^2=7$ จงหาค่าของ $ab$ | ให้ $p = ab$ เราบวกสมการที่กำหนดทั้งสองสมการเข้าด้วยกัน ได้ \[\begin{aligned} (\log_8 a + \log_4 b^2) + (\log_8 b + \log_4 a^2) &= 12 \\ \log_8 (ab) + \log_4 (a^2b^2)& = 12 \\ \log_8 p + \log_4 p^2 &= 12 \\ \log_8 p + 2 \log_4 p &= 12. \end{aligned} \]ใช้สูตรการแปลงฐาน เราได้ \[\log_8 p = \frac{\log_4 p}{\log_4 8} = \frac{\log_4 p}{3/2} = \frac{2}{3} \log_4 p,\]ดังนั้นเราสามารถเขียนลอการิทึมทั้งสองในฐาน $4$ ได้: \[ \tfrac{2}{3} \log_4 p + 2 \log_4 p = 12, \]หรือ $\tfrac{8}{3} \log_4 p =12$. ดังนั้น $\log_4 p = 12 \cdot \tfrac{3}{8} = \tfrac{9}{2}$, ดังนั้น \[p = 4^{9/2} = 2^9 = \boxed{512}.\] | 512 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเส้นตรง $AB$ มีความยาว 4 เซนติเมตร และเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $P$ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ จุด $C$ อยู่บนวงกลม $P$ และ $BC = 2$ เซนติเมตร พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาคือเท่าไร?
[asy]
import graph;
fill(Circle((0,0),20),gray(0.7));
draw(Circle((0,0),20));
draw((-16,12)--(16,-12)--(0,-20)--cycle);
fill((-16,12)--(16,-12)--(0,-20)--cycle,white);
label("$A$",(-16,12),NW);
label("$B$",(16,-12),SE);
label("$C$",(0,-20),S);
label("$P$",(0,0),N);
dot((-16,12));
dot((16,-12));
dot((0,0));
dot((0,-20));
[/asy] | พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาเท่ากับพื้นที่ของวงกลมลบพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของวงกลมคือ $2^2\pi=4\pi$ เพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เราจะมองหาข้อมูลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากมุม $ACB$ ตัด $180^\circ$ ของวงกลม เราทราบว่า $m\angle ACB=\frac{180^\circ}2=90^\circ$ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม $ACB$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจาก $AB=4$ และ $BC=2$ จะได้ว่า $AC=2\sqrt{3}$ และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $ACB$ เท่ากับ $\frac{2\cdot2\sqrt{3}}2=2\sqrt{3}$ ดังนั้น พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาคือ $\boxed{4\pi - 2\sqrt{3}}$ | \boxed{4\pi - 2\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 + 8x + y^2 + 4y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 3 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เราได้ $(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 20 - c$. เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 3 หน่วย ดังนั้นเราต้องมี $20 - c = 3^2$. เป็นไปตามนั้น $c = \boxed{11}$. | c = \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(8-4)!\div(8-3)!$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | $(8-4)!\div(8-3)!=4!\div5!=4!\div(4!\cdot5)=\boxed{\frac{1}{5}}$ | $\boxed{\frac{1}{5}}$ | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าวันที่ 1 มีนาคมเป็นวันจันทร์ วันที่ 270 วันต่อมาจะเป็นวันอะไร | เนื่องจากมี 7 วันในหนึ่งสัปดาห์ เราหาร 270 ด้วย 7 ได้ 38 เศษ 4 ดังนั้น มี 38 สัปดาห์ และ 4 วัน ใน 270 วัน เนื่องจากยังคงเป็นวันจันทร์ 38 สัปดาห์หลังจากวันที่ 1 มีนาคม เราพิจารณา 4 วันที่เหลืออีก 4 วันหลังวันจันทร์คือ $\boxed{\text{วันศุกร์}}$ | \boxed{\text{วันศุกร์}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $591{,}3d8$ หารด้วย 12 ลงตัว จงหาผลรวมของเลขโดดทั้งหมดที่สามารถแทน $d$ ได้ | เพื่อให้จำนวนใดหารด้วย 12 ลงตัว จำนวนนั้นต้องหารด้วย 4 และ 3 ลงตัว เพื่อให้จำนวนหารด้วย 4 ลงตัว หลักสุดท้ายสองหลักต้องหารด้วย 4 ลงตัว ในปัญหานี้ $d8$ ต้องหารด้วย 4 ลงตัว ซึ่งทำให้ค่าที่เป็นไปได้ของ $d$ คือ $0$, $2$, $4$, $6$ และ $8$ เพื่อให้จำนวนหารด้วย 3 ลงตัว ผลรวมของเลขโดดต้องหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจาก $5+9+1+3+8=26$ ตัวเลขที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้คือ $1$, $4$ และ $7$ เลขโดดเพียงตัวเดียวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสองคือ $d=4$ ดังนั้น ผลรวมของเลขโดดทั้งหมดที่สามารถแทน $d$ ได้คือ $\boxed{4}$ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อาณานิคมของแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง ในเวลา 1:00 น. มีแบคทีเรีย 10 ตัวในจานเพาะเชื้อ ในเวลา 21:00 น. ในวันเดียวกัน ประชากรแบคทีเรียมีจำนวนเท่าใด | ทุกชั่วโมง ประชากรแบคทีเรียจะถูกคูณด้วย 2 ในเวลา 14:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าครั้งเดียว และมีแบคทีเรีย $10\cdot2$ ตัว ในเวลา 15:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าสองครั้ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2\cdot2$ ตัว เป็นต้น ในเวลา 21:00 น. อาณานิคมแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า 8 ครั้ง ดังนั้นจึงมี $10\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$ หรือ $10\cdot2^8$ แบคทีเรีย ดังนั้นเราได้ $$10\cdot2^8=10\cdot256=\boxed{2560}\mbox{ แบคทีเรีย.}$$ | 2560 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่มีจุดยอดทั้งสี่อยู่บนตารางจุด 5 x 5 ดังภาพด้านล่าง มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปแสดงไว้แล้ว [asy]
size(50);
for(int i = 0; i < 5; ++i){
for(int j = 0; j < 5; ++j){
dot((i,j));
}
}
draw((0,4)--(1,4)--(1,3)--(0,3)--cycle,linewidth(0.7));
draw((2,0)--(4,1)--(3,3)--(1,2)--cycle,linewidth(0.7));
[/asy] | ระบุขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นไปได้ทั้งหมด และนับจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละขนาดแยกกัน \[
\begin{array}{cc}
\text{ขนาด} & \text{จำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัส} \\ \hline
\rule{0pt}{12pt}1\times 1 & 16 \\
2 \times 2 & 9 \\
3 \times 3 & 4 \\
4 \times 4 & 1 \\
\sqrt{2}\times\sqrt{2} & 9 \\
\sqrt{5}\times\sqrt{5} & 8 \\
\sqrt{8}\times\sqrt{8} & 1 \\
\sqrt{10}\times\sqrt{10} & 2
\end{array}
\] ผลรวมของตัวเลขในคอลัมน์ที่สองคือ $\boxed{50}$.
หมายเหตุ: ความยาวด้านที่เป็นไปได้ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วาดบนตารางจุดกำลังสองที่มีจุด $n^2$ จุด คือจำนวนจริงในรูป $\sqrt{x^2+y^2}$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่งสอดคล้องกับ $x+y\leq n-1$. | 50 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, และ $\alpha_4$ เป็นรากที่แตกต่างกัน 4 รากของสมการ $x^4+2x^3+2=0$ จงหาเซตที่ไม่เรียงลำดับ \[
\{\alpha_1\alpha_2 + \alpha_3\alpha_4, \alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_4, \alpha_1\alpha_4 + \alpha_2\alpha_3\}.
\] | ใช้พหุนามสมมาตร ($s_1 = \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4 = -2$, $s_2 = \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_1\alpha_4 + \alpha_2\alpha_3 + \alpha_2\alpha_4 + \alpha_3\alpha_4 = 0$, $s_3 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3\alpha_4 + \alpha_3\alpha_4\alpha_1 + \alpha_4\alpha_1\alpha_2 = 0$, and $s_4 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4 = 2$) พิจารณาพหุนาม \[
P(x) = (x-(\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4))(x-(\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_4))(x-(\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3))
\]เนื่องจาก $P$ สมมาตรกับ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ เราสามารถแสดงสัมประสิทธิ์ของรูปที่ขยายของมันในรูปของพหุนามสมมาตรได้ เราคำนวณ \begin{eqnarray*}
P(x) & = & x^3 - s_2x^2 + (s_3s_1-4s_4)x + (-s_3^2-s_4s_1^2+s_4s_2) \\
& = & x^3 - 8x - 8 \\
& = & (x+2)(x^2-2x-4)
\end{eqnarray*}รากของ $P(x)$ คือ $-2$ และ $1 \pm \sqrt{5}$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{\{1\pm\sqrt{5},-2\}}.$
$\textbf{หมายเหตุ:}$ ง่ายต่อการหาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $x$ โดยการขยาย และสัมประสิทธิ์คงที่สามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องขยายและแยกตัวประกอบ $(\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4)(\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_4)(\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3)$ โดยสังเกตว่านิพจน์กำลัง 6 ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวใน $s_1, s_2, s_3,$ และ $s_4$ คือ $s_1^6$ และ $s_4s_1^2$ พหุนาม $P$ ทั่วไปที่สร้างขึ้นที่นี่เรียกว่า resolvent ลูกบาศก์และเกิดขึ้นในทฤษฎี Galois. | P | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สิบมากกว่าห้าเท่าของจำนวนหนึ่งเท่ากับห้ามากกว่าสิบเท่าของจำนวนนั้น จำนวนนั้นคือจำนวนใด? | ถ้าจำนวนนั้นคือ $x$ เราจะได้ $5x+10=10x+5$ ลบ 5 และ $5x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $5=5x$ ดังนั้น $x=\boxed{1}$ | x=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"แก้ปัญหา"
] |
วงรีวงหนึ่งกำหนดโดย
\[PF_1 + PF_2 = d.\]สมการของวงรีคือ $4x^2 - 8x + y^2 + 4y - 8 = 0.$ จงหาค่า $d.$ | จัดรูปสมการโดยวิธีการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[4(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16.\]ดังนั้น
\[\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{16} = 1.\]จากนั้น $d = 2 \cdot 4 = \boxed{8}.$ | d = 2 \cdot 4 = \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แปลงจุด $(4, 4, 4 \sqrt{6})$ ในระบบพิกัด rectangular เป็นระบบพิกัด spherical ใส่นิพจน์คำตอบในรูป $(\rho,\theta,\phi),$ โดยที่ $\rho > 0,$ $0 \le \theta < 2 \pi,$ และ $0 \le \phi \le \pi.$ | เรามี $\rho = \sqrt{4^2 + 4^2 + (4 \sqrt{6})^2} = 8 \sqrt{2}.$ เราต้องการให้ $\phi$ สอดคล้องกับ
\[4 \sqrt{6} = 8 \sqrt{2} \cos \phi,\]ดังนั้น $\phi = \frac{\pi}{6}.$
เราต้องการให้ $\theta$ สอดคล้องกับ
\begin{align*}
4 &= 8 \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{6} \cos \theta, \\
4 &= 8 \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta.
\end{align*}ดังนั้น $\theta = \frac{\pi}{4},$ ดังนั้นพิกัด spherical คือ $\boxed{\left( 8 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} \right)}.$ | \boxed{\left( 8 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} \right)}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สัมประสิทธิ์ของพหุนาม $p(x)$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมด ถ้า $p(1) = 4$ และ $p(5) = 136$ แล้วจงหา $p(6)$ | กำหนดให้
\[p(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0.\]เนื่องจาก $p(1) = 4$ และสัมประสิทธิ์ของ $p(x)$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ $a_i$ แต่ละตัวของ $p(x)$ มีค่ามากที่สุด 4 เราทราบว่า
\[p(5) = a_n 5^n + a_{n - 1} 5^{n - 1} + \dots + a_1 5 + a_0 = 136.\]เนื่องจาก $5^4 = 625 > 136$ องศา $n$ ของพหุนามสามารถมากที่สุด 3 และเราสามารถเขียนได้ว่า
\[p(5) = 125a_3 + 25a_2 + 5a_1 + a_0 = 136.\]ค่าที่เป็นไปได้ของ $a_3$ คือ 0 และ 1 เนื่องจาก
\[25a_2 + 5a_1 + a_0 \le 25 \cdot 4 + 5 \cdot 4 + 4 = 124 < 136,\]$a_3$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ ดังนั้น $a_3 = 1$ จากนั้น
\[25a_2 + 5a_1 + a_0 = 136 - 125 = 11.\]สิ่งนี้บังคับให้ $a_2 = 0$ ดังนั้น
\[5a_1 + a_0 = 11.\]จากนั้นเราสามารถเติมว่า $a_1 = 2$ และ $a_0 = 1$ ดังนั้น
\[p(x) = x^3 + 2x + 1.\](โปรดทราบว่าเราแสดง 136 ในระบบเลขฐาน 5: $136 = 1021_5.$)
ดังนั้น $p(6) = 6^3 + 2 \cdot 6 + 1 = \boxed{229}.$ | p(6) = 6^3 + 2 \cdot 6 + 1 = \boxed{229}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $C_1$ และ $C_2$ เป็นวงกลมที่กำหนดโดย $(x-10)^2 + y^2 = 36$ และ $(x+15)^2 + y^2 = 81$ ตามลำดับ จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรง $PQ$ ที่สั้นที่สุด ซึ่งสัมผัส $C_1$ ที่ $P$ และสัมผัส $C_2$ ที่ $Q$ | วงกลม $C_1$ มีจุดศูนย์กลาง $(10,0)$ และรัศมี 6. ให้ $A = (10,0).$ วงกลม $C_2$ มีจุดศูนย์กลาง $(-15,0)$ และรัศมี 9. ให้ $B = (-15,0).$
[asy]
unitsize(0.2 cm);
pair A, B, D, P, Q, R;
A = (10,0);
B = (-15,0);
D = (0,0);
P = intersectionpoint(Circle(A,6),arc((A + D)/2, abs(A - D)/2, 180, 360));
Q = intersectionpoint(Circle(B,9),arc((B + D)/2, abs(B - D)/2, 0, 180));
R = extension(B,Q,A,A + P - Q);
draw(Circle(A,6));
draw(Circle(B,9));
draw(P--Q);
draw((-26,0)--(18,0));
draw(B--R--A);
draw(A--P);
draw(rightanglemark(B,Q,D,40));
draw(rightanglemark(A,P,D,40));
draw(rightanglemark(B,R,A,40));
dot("$A$", A, NE);
dot("$B$", B, S);
label("$D$", D, SW);
dot("$P$", P, SW);
dot("$Q$", Q, N);
label("$R$", R, N);
[/asy]
ส่วนของเส้นตรง $\overline{PQ}$ ที่สั้นที่สุดจะเป็นเส้นสัมผัสร่วมภายในของวงกลมทั้งสอง และ $\angle BQD = \angle APD = 90^\circ.$ ต่อ $\overline{BQ}$ ผ่าน $Q$ ไปยัง $R$ เพื่อให้ $QR = PA.$ แล้ว $APQR$ จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.
เราจะได้ว่า $BR = BQ + QR = BQ + PA = 9 + 6 = 15$ และ $AB = 25.$ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก $ARB,$
\[AR = \sqrt{AB^2 - BR^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20.\]ดังนั้น $PQ = AR = \boxed{20}.$ | PQ = AR = \boxed{20}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $a+b+c+d+e+f$ สำหรับการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{4}{37}+\frac{3}{11}+\frac{23}{9}=2.abcdef\ldots$? | เราสามารถใช้การหารยาวเพื่อหาการแทนค่าทศนิยมของเศษส่วนทั้งสามได้ แต่มีวิธีที่ฉลาดกว่า
เราเริ่มต้นด้วยการหาเศษส่วนที่เทียบเท่ากัน ซึ่งตัวส่วนเป็น 1 น้อยกว่ากำลังของ 10. ตัวอย่างเช่น สำหรับ $\frac{3}{11}$ เราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 9 เพื่อเขียนตัวเลขนี้ใหม่เป็น $\frac{27}{99}$. ตอนนี้ เราสามารถเขียนเศษส่วนนี้ใหม่เป็น $0.\overline{27}$. เพื่อดูว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น ให้กำหนด $x=0.\overline{27}$ และลบ $x$ จาก $100x$: $$\begin{array}{r r c r@{}l}
&100x &=& 27&.272727\ldots \\
- &x &=& 0&.272727\ldots \\
\hline
&99x &=& 27 &
\end{array}$$ นี่แสดงให้เห็นว่า $0.\overline{27} = \frac{27}{99}$.
เราสามารถใช้เทคนิคเดียวกันกับเศษส่วนอื่นๆ ของเรา สำหรับ $\frac{4}{37}$ เราต้องรู้ว่า $37\cdot 27 = 999$ ซึ่งทำให้เราสามารถเขียน $\frac{4}{37}$ เป็น $\frac{4\cdot 27}{37\cdot 27} = \frac{108}{999}$. ตอนนี้เทคนิคข้างต้นจะให้ $\frac{4}{37} = 0.\overline{108}$.
เพื่อจัดการกับ $\frac{23}{9}$ เราเขียนเป็น $2+\frac{5}{9}$ ก่อน เทคนิคที่เราใช้สำหรับเศษส่วนอื่นๆ จะให้ $\frac{23}{9} = 2+0.\overline{5} = 2.\overline{5}$.
สุดท้าย เราหาหกหลักแรกหลังจุดทศนิยมของผลบวก. $$ \begin{array}{c@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}& & 2 &. &\stackrel{1}{5} & \stackrel{1}{5} & \stackrel{1}{5} & 5 & \stackrel{2}{5} & 5\\& & &. &2 &7 & 2 & 7& 2 & 7\\&+ & &. & 1 &0 & 8 & 1 & 0 & 8\\ \hline & &2 & .& 9 &3 & 6 & 3 & 9 & 0\\ \end{array} $$ เราควรตรวจสอบว่าเมื่อบวกหลักที่เจ็ดหลังจุดทศนิยม ไม่มีตัวเลขใดถูก przenos ไปส่งผลต่อหลักที่หก. สังเกตว่าการบวกหลักหลังจุดทศนิยมที่เจ็ดต่อไปจะทำให้เกิดบล็อกซ้ำของหลักเดียวกัน ($.555555+.272727+.108108=.936390$). นั่นหมายความว่าหลักที่เจ็ดจะเป็น 9 (เหมือนกับหลักแรกหลังจุดทศนิยม) และไม่มีตัวเลขใดถูก przenos ไปส่งผลต่อหลักที่หก. ดังนั้นผลบวก $a+b+c+d+e+f$ คือ $9+3+6+3+9+0=\boxed{30}$. | 9+3+6+3+9+0=\boxed{30} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
พหุนาม $x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ เป็นตัวประกอบของ $x^9 + px^6 + qx^3 + r.$ ใส่สามลำดับ $(p,q,r)$ | ให้ $\alpha$ เป็นรากของ $x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = 0,$ ดังนั้น $\alpha^3 = 3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1.$ แล้ว
\[\alpha^4 = 3 \alpha^3 - 4 \alpha^2 + \alpha = 3 (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1) - 4 \alpha^2 + \alpha = 5 \alpha^2 - 11 \alpha + 3.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\alpha^6 &= (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1)^2 \\
&= 9 \alpha^4 - 24 \alpha^3 + 22 \alpha^2 - 8 \alpha + 1 \\
&= 9 (5 \alpha^2 - 11 \alpha + 3) - 24 (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1) + 22 \alpha^2 - 8 \alpha + 1 \\
&= -5 \alpha^2 - 11 \alpha + 4,
\end{align*}และ
\begin{align*}
\alpha^9 &= \alpha^3 \cdot \alpha^6 \\
&= (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1)(-5 \alpha^2 - 11 \alpha + 4) \\
&= -15 \alpha^4 - 13 \alpha^3 + 51 \alpha^2 - 27 \alpha + 4 \\
&= -15 (5 \alpha^2 - 11 \alpha + 3) - 13 (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1) + 51 \alpha^2 - 27 \alpha + 4 \\
&= -63 \alpha^2 + 190 \alpha - 54.
\end{align*}แล้ว
\begin{align*}
\alpha^9 + p \alpha^6 + q \alpha^3 + r &= (-63 \alpha^2 + 190 \alpha - 54) + p (-5 \alpha^2 - 11 \alpha + 4) + q (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1) + r \\
&= (-5p + 3q - 63) \alpha^2 + (-11p - 4q + 190) \alpha + (4p + q + r - 54).
\end{align*}เราต้องการให้ค่านี้ลดลงเป็น 0 ดังนั้นเราตั้งค่า
\begin{align*}
-5p + 3q &= 63, \\
11p + 4q &= 190, \\
4p + q + r &= 54.
\end{align*}แก้สมการได้ $(p,q,r) = \boxed{(6,31,-1)}.$ สำหรับค่าเหล่านี้ $\alpha^9 + p \alpha^6 + q \alpha^3 + r$ ลดลงเป็น 0 สำหรับราก $\alpha$ ใดๆ ของ $x^3 - 3x^2 + 4x - 1,$ ดังนั้น $x^9 + px^6 + qx^3 + r$ จะหารด้วย $x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ ได้ | (6, 31, -1) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ $\left(\sqrt{97969}\right)^2$ | สำหรับจำนวนไม่เป็นลบ $n$ ใดๆ ค่าของ $\sqrt{n}$ คือจำนวนซึ่งกำลังสองของมันเท่ากับ $n$ ดังนั้น เมื่อเรา squaring $\sqrt{n}$ เราจะได้ $n$ ดังนั้น $\left(\sqrt{97969}\right)^2 = \boxed{97969}$ | $\left(\sqrt{97969}\right)^2 = \boxed{97969}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณค่าของ $\sin 180^\circ$. | การหมุนจุด $(1,0)$ ทวนเข็มนาฬิกา $180^\circ$ รอบจุดกำเนิด จะได้จุด $(-1,0)$ ดังนั้น $\sin 180^\circ = \boxed{0}$. | \sin 180^\circ = \boxed{0} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้สมการของกราฟคือ $y^2 - x +5y - 25 = 0$ จงบอกว่ากราฟนี้เป็นพาราโบลา วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา จุด เส้น สองเส้น หรือว่างเปล่า | เราสามารถจัดเรียงสมการนี้ใหม่เป็น $x = y^2 + 5y - 25$ ซึ่งเป็นพาราโบลาที่ห향เปิดด้านข้าง $\boxed{\text{parabola}}$ | \boxed{\text{parabola}} | [
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $x\neq0$ จงหาค่าบวกของ $b$ ที่ทำให้สมการ $\frac 3x+\frac x3=b$ มีคำตอบเดียว | คูณทั้งสองข้างด้วย $3x$ จะได้ $9 + x^2 = 3bx$ ดังนั้น $x^2 -3bx +9=0$ สมการจะมีคำตอบเดียวก็ต่อเมื่อ discriminant ของ $x^2 -3bx + 9$ เท่ากับ 0 discriminant ของสมการกำลังสองนี้คือ $(-3b)^2 -4(9) = 9b^2 - 36$ กำหนดให้เท่ากับ 0 จะได้ $9b^2 = 36$ ดังนั้น $b^2=4$ คำตอบบวกของสมการนี้คือ $b=\boxed{2}$ | b=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บิลเดินทางจากซานฟรานซิสโกไปลอสแอนเจลิสเป็นระยะทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมง แซมเดินทางระยะทางเท่ากันด้วยความเร็ว 40 ไมล์ต่อชั่วโมง แซมใช้เวลามากกว่าบิลกี่ชั่วโมงในการเดินทาง 400 ไมล์ | บิลเดินทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมงจะใช้เวลา $\frac{400}{50} = 8$ ชั่วโมง แซมเดินทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็ว 40 ไมล์ต่อชั่วโมงจะใช้เวลา $\frac{400}{40} = 10$ ชั่วโมง ดังนั้นแซมใช้เวลามากกว่าบิล $\boxed{2}$ ชั่วโมง | \boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของสี่จำนวนคู่บวกต่อเนื่องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลรวมที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | ให้ $2n-2$, $2n$, $2n+2$, และ $2n+4$ เป็นจำนวนคู่บวกต่อเนื่องสี่จำนวน ถ้า $(2n-2)+(2n)+(2n+2)+(2n+4)=8n+4=2^2(2n+1)=m^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$ บางจำนวน แล้ว $2n+1$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์คี่ $2n+1=1^2$ ให้ $n=0$ ซึ่งเราปฏิเสธเพราะจำนวนเต็มของเราเป็นบวก $2n+1=3^2$ ให้ $n=4$ ซึ่งให้ผลรวมเป็น $8\times4+4=36$ ดังนั้นผลรวมที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{36}$ | \boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฟิลิปโยนเหรียญที่ไม่เป็นธรรม 8 ครั้ง เหรียญนี้มีโอกาสออกหัวเป็นสองเท่าของก้อย จงหาว่าฟิลิปมีโอกาสได้หัวちょうど 3 ครั้ง มากกว่าได้หัวちょうど 2 ครั้ง เท่าไร | ความน่าจะเป็นที่ฟิลิปโยนเหรียญได้ $k$ หัวคือ $$\binom8k\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}=\frac1{3^8}\binom8k2^k,$$ เนื่องจากมี $\binom{8}{k}$ วิธีที่ $k$ จาก $8$ เหรียญจะออกหัว และแต่ละวิธีการจัดเรียง $k$ หัวจาก $8$ เหรียญนี้จะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น $\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}$. ดังนั้น อัตราส่วนของความน่าจะเป็นสองค่าในปัญหาเท่ากับ $$\frac{\binom832^3}{\binom822^2}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{2\cdot1}{8\cdot7}\cdot\frac{2^3}{2^2}=\frac{6}{3}\cdot2=\boxed{4}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ประเมินค่าของ $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2$. | $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}.$ | \left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}. | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $0^\circ < x < 180^\circ$ และ $\cos x + \sin x = \frac{1}{2},$ แล้ว $\tan x$ สามารถเขียนในรูป $-\frac{a + \sqrt{b}}{c}$ เมื่อ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา $a + b + c.$ | จากสมการที่กำหนดให้ $\cos x = \frac{1}{2} - \sin x.$ แทนค่าลงใน $\cos^2 x + \sin^2 x = 1,$ เราจะได้
\[\frac{1}{4} - \sin x + \sin^2 x + \sin^2 x = 1.\]สมการนี้สามารถลดรูปได้เป็น $8 \sin^2 x - 4 \sin x - 3 = 0.$ โดยใช้สูตรกำลังสอง
\[\sin x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{4}.\]เนื่องจาก $0^\circ < x < 180^\circ,$ $\sin x$ เป็นค่าบวก ดังนั้น
\[\sin x = \frac{1 + \sqrt{7}}{4}.\]จากนั้น
\[\cos x = \frac{1}{2} - \sin x = \frac{1 - \sqrt{7}}{4},\]ดังนั้น
\begin{align*}
\tan x &= \frac{\sin x}{\cos x} \\
&= \frac{1 + \sqrt{7}}{1 - \sqrt{7}} \\
&= \frac{(1 + \sqrt{7})(1 + \sqrt{7})}{(1 - \sqrt{7})(1 + \sqrt{7})} \\
&= \frac{1 + 2 \sqrt{7} + 7}{-6} \\
&= -\frac{8 + 2 \sqrt{7}}{6} \\
&= -\frac{4 + \sqrt{7}}{3}.
\end{align*}ดังนั้น $a + b + c = 4 + 7 + 3 = \boxed{14}.$ | a + b + c = 4 + 7 + 3 = \boxed{14}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
k(x) &\text{ถ้า }x>3, \\
x^2-6x+12&\text{ถ้า }x\leq3.
\end{cases}
\] จงหาฟังก์ชัน $k(x)$ ที่ทำให้ $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง | สังเกตว่า เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์เชิงเส้นของกำลังสองคือ $-6$ จุดยอดของพาราโบลาที่เป็นด้านซ้ายของ $f$ อยู่ที่ $x=3$ ดังนั้นอาจจะช่วยได้ถ้าทำการเติมกำลังสอง \[x^2-6x+12=(x^2-6x+9)+3=(x-3)^2+3.\]เราต้องการให้ $f(f(x))=x$ สำหรับทุก $x$ เนื่องจาก $f(f(3))=3$ เราทราบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเองที่ $x=3$ ดังนั้นเราสามารถจำกัดความสนใจของเราไว้ที่ $x\neq 3.$
เนื่องจาก $f$ ถูกนำไปใช้กับจำนวนใดๆ น้อยกว่า $3$ จะส่งกลับจำนวนที่มากกว่า $3$ และเราสามารถรับจำนวนที่มากกว่า $3$ ได้ด้วยวิธีนี้ การนำ $f$ ไปใช้กับจำนวนใดๆ ที่มากกว่า $3$ จะต้องให้จำนวนน้อยกว่า $3$ ดังนั้น $k(x)<3$ สำหรับทุก $x>3.$
ถ้า $x>3$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเองแล้ว \[x=f(f(x))=f(k(x))=3+\left(k(x)-3\right)^2,\]โดยที่ในขั้นตอนสุดท้ายเราใช้ว่า $k(x)<3.$ ลบ $3$ จากทั้งสองข้าง gives \[\left(k(x)-3\right)^2 = x-3.\]เนื่องจากเราต้องมี $k(x) < 3$ เราทราบว่า $k(x) - 3$ คือจำนวนลบซึ่งกำลังสองของมันคือ $x-3$ ดังนั้นเราจึงมี $k(x) - 3 = -\sqrt{x-3}.$ แก้สมการนี้สำหรับ $k(x)$ จะได้ \[k(x)=\boxed{-\sqrt{x-3}+3}.\] | k(x) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ $\dbinom{30}{27}$ | $\dbinom{30}{27}=\dbinom{30}{3}=\dfrac{30 \times 29 \times 28}{3!} = \boxed{4060}$ | $\dbinom{30}{27}=\dbinom{30}{3}=\dfrac{30 \times 29 \times 28}{3!} = \boxed{4060}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีเครื่องบินสีฟ้า, สีแดง และสีขาว กำลังรอการบินออกจากสนามบินที่มีรันเวย์สองรันเวย์ เครื่องบินต้องบินออกจากสนามบินทีละลำ แต่สามารถบินออกจากรันเวย์ใดก็ได้ มีวิธีการจัดตารางการบินออกของเครื่องบินทั้งสามได้กี่วิธี (วิธีหนึ่งคือเครื่องบินสีฟ้าบนรันเวย์ A ตามด้วยเครื่องบินสีแดงบนรันเวย์ B ตามด้วยเครื่องบินสีขาวบนรันเวย์ B) | มี 3 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำแรก และ 2 วิธีในการเลือกที่ที่จะบินออกไป ในทำนองเดียวกัน มี 2 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำที่สองหลังจากเครื่องบินลำแรกบินออกไปแล้ว และ 2 วิธีในการเลือกที่ที่จะบินออกไป รวมถึง 1 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำสุดท้าย และ 2 วิธีในการเลือกรันเวย์ของมัน สิ่งเหล่านี้คูณกันเป็นทั้งหมด $3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot2=3\cdot2^4=\boxed{48}$ | 3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot2=3\cdot2^4=\boxed{48} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นรอบรูปของ $\triangle ABC$ คือ $32.$ ถ้า $\angle ABC=\angle ACB$ และ $BC=12,$ ความยาวของ $AB$ เท่ากับเท่าใด?
[asy]
draw((0,0)--(12,0)--(6,10)--cycle,black+linewidth(1));
MarkAngle((12,0),(0,0),(6,10),1,black+linewidth(1));
MarkAngle((6,10),(12,0),(0,0),1,black+linewidth(1));
label("$A$",(6,10),N);
label("$B$",(0,0),W);
label("$C$",(12,0),E);
label("12",(0,0)--(12,0),S);
[/asy] | เนื่องจาก $\angle ABC=\angle ACB,$ ดังนั้น $\triangle ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและ $AB=AC.$ กำหนดให้ $\triangle ABC$ มีเส้นรอบรูป $32,$ ดังนั้น $AB+AC+12=32$ หรือ $AB+AC=20.$ แต่ $AB=AC$ ดังนั้น $2AB=20$ หรือ $AB=\boxed{10}.$ | AB=\boxed{10}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$ หารด้วย 7 | เพื่อหาผลบวก เราพิจารณาเลขยกกำลังของ 2 ตัวแรก modulo 7: \begin{align*}
2^0 &\equiv 1, \\
2^1 &\equiv 2, \\
2^2 &\equiv 4, \\
2^3 &\equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}
\end{align*}เนื่องจาก $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ เลขยกกำลังของ 2 modulo 7 จะซ้ำเป็นรอบๆละ 3 ดังนั้น \begin{align*}
&1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100} \\
&\quad\equiv 1 + 2 + 4 + 1 + 2 + 4 + \dots + 1 + 2 + 4 + 1 + 2 \\
&\quad\equiv (1 + 2 + 4) + (1 + 2 + 4) + \dots + (1 + 2 + 4) + 1 + 2 \\
&\quad\equiv \boxed{3} \pmod{7}.
\end{align*} | 2^3 \equiv 1 \pmod{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน 9 ด้าน มีเส้นทแยงมุมภายในกี่เส้น (เส้นทแยงมุมภายใน คือ เส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่มีด้านเชื่อมต่อระหว่างจุดยอดเหล่านั้น) | รูปหลายเหลี่ยมมีจุดยอด 9 จุด ดังนั้นจากจุดยอดแต่ละจุด จะมีจุดยอดอื่นอีก 8 จุดที่เราสามารถลากเส้นทแยงมุมไปได้ อย่างไรก็ตาม 2 จุดจาก 8 จุดนี้ เชื่อมต่อกับจุดยอดเดิมด้วยด้าน ดังนั้นจึงไม่เชื่อมต่อด้วยเส้นทแยงมุมภายใน ดังนั้นแต่ละจุดยอดเชื่อมต่อกับจุดยอดอื่นอีก 6 จุดด้วยเส้นทแยงมุมภายใน ให้ผลรวมเบื้องต้นของเส้นทแยงมุมภายในเท่ากับ $9 \times 6 = 54$ เส้น อย่างไรก็ตาม เราได้นับเส้นทแยงมุมแต่ละเส้น 2 ครั้ง (ครั้งละ 1 ครั้งสำหรับจุดปลายแต่ละด้าน) ดังนั้นเราต้องหารด้วย 2 เพื่อแก้ไขการนับซ้ำ และคำตอบคือ $\dfrac{9\times 6}{2} = \boxed{27}$ เส้น | \dfrac{9\times 6}{2} = \boxed{27} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนฟีโบนักชีถูกกำหนดแบบเรียกซ้ำโดยสมการ
\[ F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}\]สำหรับจำนวนเต็ม $ n \ge 2$ ทุกจำนวน โดยมีค่าเริ่มต้น $ F_0 = 0$ และ $ F_1 = 1$. ให้ $ G_n = F_{3n}$ เป็นจำนวนฟีโบนักชีทุกๆ สามตัว มีค่าคงที่ $ a$ และ $ b$ ที่ทำให้จำนวนเต็ม $ n \ge 2$ ทุกจำนวน สอดคล้องกับ
\[ G_n = a G_{n - 1} + b G_{n - 2}.\]จงหา $(a,b)$. | เราต้องการเขียน $G_n$ ในรูปของ $G_{n-1}$ และ $G_{n-2}$ เนื่องจาก $G_n = F_{3n}$ นั่นคือการเขียน $F_{3n}$ ในรูปของ $F_{3(n-1)}$ และ $F_{3(n-2)}$ เพื่อทำเช่นนั้น เราใช้ความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำที่กำหนดให้ซ้ำๆ
$$ \begin{aligned} G_n &= F_{3n} \\
&=F_{3n-1} + F_{3n-2} \\
&=2F_{3n-2} + F_{3n-3} \\
&=3F_{3n-3} + 2F_{3n-4} \\
&=3F_{3n-3} + F_{3n-4} +F_{3n-5} + F_{3n-6} \\
&=4F_{3n-3} + F_{3n-6} \\
&=4G_{n-1} + G_{n-2}.
\end{aligned}$$ดังนั้น $(a,b) = \boxed{(4,1)}$. | (a,b) = \boxed{(4,1)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่แตกต่างกัน ซึ่งน้อยกว่า 100 ที่เลือกสุ่มจะเป็นพหุคูณของ 3 | เราสามารถเลือกจำนวนสองจำนวนได้ใน $\binom{99}{2}=4851$ วิธี สองจำนวนจะมีผลคูณเป็นพหุคูณของ 3 หากอย่างน้อยจำนวนหนึ่งเป็นพหุคูณของ 3 เราสามารถนับจำนวนวิธีที่ผลคูณไม่เป็นพหุคูณของ 3 ได้ง่ายกว่า: เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อไม่มีจำนวนใดเป็นพหุคูณของ 3 มี $\frac{99}{3}=33$ พหุคูณของ 3 น้อยกว่า 100 และ $99-33=66$ จำนวนที่ไม่ใช่พหุคูณของ 3 จำนวนวิธีในการเลือกจำนวนสองจำนวนนี้คือ $\binom{66}{2}=2145$ ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกจำนวนสองจำนวนที่อย่างน้อยจำนวนหนึ่งเป็นพหุคูณของ 3 คือ $4851-2145=2706$ ความน่าจะเป็นสุดท้ายคือ $\frac{2706}{4851}=\boxed{\frac{82}{147}}$ | \frac{2706}{4851}=\boxed{\frac{82}{147}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากัน 5 นิ้ว และฐาน 6 นิ้ว ถูกจารึกไว้ในวงกลม จงหาความยาวรัศมีของวงกลมเป็นนิ้ว | สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของฐานของมันก็เป็นแกนสมมาตร ซึ่งผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่สามเหลี่ยมถูกจารึกไว้ด้วย: [asy]
unitsize(20);
draw(Circle((0,0),25/8));
draw(((-3,-7/8)--(3,-7/8)--(0,25/8)--cycle));
dot((0,0));
draw(((0,25/8)--(0,-7/8)),dotted);
draw(((0,-5/8)--(-1/4,-5/8)--(-1/4,-7/8)));
label("5",(-3/2,9/8),NW);
label("5",(3/2,9/8),NE);
draw(((0,-7/8)--(0,-9/8)));
label("3",(-3/2,-7/8),S);
label("3",(3/2,-7/8),S);
[/asy] โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความสูงที่แสดงคือ $\sqrt{5^2-3^2}=4$.
ตอนนี้เราสามารถวาดและติดป้ายรัศมีของวงกลมได้: [asy]
unitsize(20);
draw(Circle((0,0),25/8));
draw(((-3,-7/8)--(3,-7/8)--(0,25/8)--cycle));
dot((0,0));
draw(((0,25/8)--(0,0)),dotted);
draw(((0,-5/8)--(-1/4,-5/8)--(-1/4,-7/8)));
label("5",(-3/2,9/8),NW);
label("5",(3/2,9/8),NE);
draw(((0,0)--(0,-9/8)));
label("3",(-3/2,-7/8),S);
label("3",(3/2,-7/8),S);
label("$r$",(0,5/4),E);
label("$4-r$",(0,-7/16),E);
draw(((0,0)--(-3,-7/8)--(0,-7/8)--cycle),black+1.5);
label("$r$",(-3/2,0));
[/asy] สามเหลี่ยมที่แสดงเป็นตัวหนาเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นเราจึงใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อให้ได้สมการ $$3^2 + (4-r)^2 = r^2.$$การขยายจะได้ $$25 - 8r + r^2 = r^2$$และดังนั้น $$25-8r = 0;$$คำตอบคือ $r=\frac{25}{8}=\boxed{3\frac18}$. | r=\frac{25}{8}=\boxed{3\frac18} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วงล้อที่แสดงถูกหมุนสองครั้ง โดยที่ตัวเลขที่ชี้โดยเข็มถูกกำหนดแบบสุ่ม (โดยที่ตัวเลขแต่ละตัวบนวงล้อมีแนวโน้มที่จะเท่ากัน) ตัวเลขสองตัวที่กำหนดในลักษณะนี้จะถูกบันทึก ตัวเลขแรกถูกหารด้วย 4 ซึ่งกำหนดเศษเหลือหนึ่งในสามตัวคือ 1, 2, 3 ซึ่งทำเครื่องหมายคอลัมน์ของกระดานหมากรุก ตัวเลขที่สองถูกหารด้วย 5 ซึ่งกำหนดเศษเหลือหนึ่งในสี่ตัวคือ 1, 2, 3, 4 ซึ่งทำเครื่องหมายแถวของกระดานหมากรุก สุดท้ายหมากรุกจะถูกวางไว้ที่ช่องที่คอลัมน์และแถวนี้มาบรรจบกัน จงหาความน่าจะเป็นที่หมากรุกจะถูกวางไว้บนช่องที่ถูกบังแรเงาของกระดานหมากรุก
[asy]
unitsize(1cm);
draw(Circle((0,0),2),linewidth(0.7));
draw((1.7,1)--(-1.7,-1),linewidth(0.7));
draw((1.7,-1)--(-1.7,1),linewidth(0.7));
draw((0,2)--(0,-2));
label("1",(0.8,0.5),NW);
label("2",(0.8,-0.5),SW);
label("6",(-0.8,0.5),NE);
label("9",(-0.8,-0.5),SE);
label("3",(-0.7,0),W);
label("7",(0.7,0),E);
draw((-2.8,0)--(-2.1,0),Arrow);
label("Pointer",(-2.8,0),W);
fill((3,0)--(3,1)--(4,1)--(4,0)--cycle,gray(0.7));
fill((3,-2)--(3,-1)--(4,-1)--(4,-2)--cycle,gray(0.7));
fill((4,1)--(4,2)--(5,2)--(5,1)--cycle,gray(0.7));
fill((4,-1)--(4,0)--(5,0)--(5,-1)--cycle,gray(0.7));
fill((5,0)--(5,1)--(6,1)--(6,0)--cycle,gray(0.7));
fill((5,-2)--(5,-1)--(6,-1)--(6,-2)--cycle,gray(0.7));
draw((3,-2)--(3,2)--(6,2)--(6,-2)--cycle,linewidth(0.7));
draw((3,-1)--(6,-1),linewidth(0.7));
draw((3,0)--(6,0),linewidth(0.7));
draw((3,1)--(6,1),linewidth(0.7));
draw((4,-2)--(4,2),linewidth(0.7));
draw((5,-2)--(5,2),linewidth(0.7));
label("1",(3.5,-2),S);
label("2",(4.5,-2),S);
label("3",(5.5,-2),S);
label("1",(3,-1.5),W);
label("2",(3,-0.5),W);
label("3",(3,0.5),W);
label("4",(3,1.5),W);
[/asy] | เศษเหลือตัวแรกเป็นเลขคู่ด้วยความน่าจะเป็น $2/6=1/3$ และเป็นเลขคี่ด้วยความน่าจะเป็น 2/3 เศษเหลือตัวที่สองเป็นเลขคู่ด้วยความน่าจะเป็น $3/6=1/2$ และเป็นเลขคี่ด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ความเท่ากันของเศษเหลือตัวแรกและความเท่ากันของเศษเหลือตัวที่สองเป็นอิสระกัน เนื่องจากถูกกำหนดโดยการหมุนวงล้อแยกกัน
ช่องที่ถูกบังแรเงาคือช่องที่แสดงว่าเศษเหลือทั้งสองเป็นเลขคี่หรือทั้งสองเป็นเลขคู่ ดังนั้นช่องนั้นถูกบังแรเงาด้วยความน่าจะเป็น \[
\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} =\boxed{\frac{1}{2}}.
\] | 1/2 | [
"ความน่าจะเป็น",
"การวิเคราะห์ความน่าจะเป็น"
] |
คำนวณ: $\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}$ | แยกตัวประกอบ $3^3$ ออกจากตัวเศษ และ $3^2$ ออกจากตัวส่วน ก่อนที่จะลบกัน: \[
\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}=\frac{3^3(3-1)}{3^2(3-1)}=\boxed{3}.
\] | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $PAB$ และสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ อยู่ในระนาบตั้งฉากกัน โดยที่ $PA=3$, $PB=4$, และ $AB=5$ จงหาค่าของ $PD$ [asy]
size(100); defaultpen(linewidth(0.8)); dotfactor=4;
draw((0,-0.5)--(0,3)--(5,3)--(5,-0.5)--cycle);
filldraw((0,0)--(-2,-2)--(3,-2)--(5,0)--cycle,white,defaultpen);
draw((1.5,0)--(3.5,0)--(3.5,2)--(1.5,2)--cycle);
draw((1.5,0)--(1.6,-0.5)--(3.5,0));
dot("$B$",(1.5,0),SW); dot("$A$",(3.5,0),SE); dot("$C$",(1.5,2),W); dot("$D$",(3.5,2),E); dot("$P$",(1.6,-0.5),S);
[/asy] | เนื่องจากส่วนของเส้นตรง $AD$ ตั้งฉากกับระนาบของ $PAB$ มุม $PAD$ เป็นมุมฉาก ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $PAD, PA=3$ และ $AD=AB=5$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส $PD = \sqrt{3^2+5^2}=\boxed{\sqrt{34}}$ ข้อเท็จจริงที่ว่า $PB=4$ ไม่จำเป็นต้องใช้ | PB=4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมวงใหญ่มีจุดศูนย์กลาง $O$ และผ่านจุด $D$ วงกลมวงเล็กมีเส้นผ่านศูนย์กลาง $OD$ พื้นที่สีเทาเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของพื้นที่วงกลมวงใหญ่?
[asy]import graph;
draw(Circle((0,0),30),black);
fill(Circle((0,-15),15),gray(.6));
draw(Circle((0,-15),15),black);
draw((0,0)--(0,-30),black);
label("O",(0,0),N);
label("D",(0,-30),S);
[/asy] | อัตราส่วนของรัศมีของวงกลมวงเล็กต่อวงกลมวงใหญ่คือ $\frac{1}{2}$ เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางยาวครึ่งหนึ่ง ดังนั้นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลมวงเล็กต่อวงกลมวงใหญ่คือ $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ ดังนั้นพื้นที่สีเทาคือ $\boxed{25\%}$ ของพื้นที่วงกลมวงใหญ่
เพื่อให้เข้มงวดยิ่งขึ้น: ถ้ารัศมีของวงกลมวงใหญ่คือ $r$ รัศมีของวงกลมวงเล็กคือ $\frac{1}{2} r$ ดังนั้นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลมวงเล็กต่อวงกลมวงใหญ่คือ: $\frac{\pi (\frac{1}{2} r)^2}{\pi r^2} = \frac{1}{4}$ | \frac{\pi (\frac{1}{2} r)^2}{\pi r^2} = \frac{1}{4} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามจำนวนเต็มบวกหลักเดียวที่ต่างกันถูกวางไว้ในแถวล่างสุดของเซลล์ จำนวนในเซลล์ที่อยู่ติดกันถูกบวกเข้าด้วยกันและผลบวกจะถูกวางไว้ในเซลล์ด้านบนของมัน ในแถวที่สอง ดำเนินการในลักษณะเดียวกันเพื่อให้ได้จำนวนในเซลล์ด้านบน จงหาผลต่างระหว่างจำนวนที่มากที่สุดและน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ในเซลล์ด้านบน [asy]
path box=(0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle;
draw(box);
draw(shift(1.5,0)*box);
draw(shift(3,0)*box);
draw(shift(.75,2)*box);
draw(shift(2.25,2)*box);
draw(shift(1.5,4)*box);
picture p;
draw(p, (.6,.2)--(.95, .8), EndArrow);
draw(p, (1.9,.2)--(1.55, .8), EndArrow);
draw(p, (1.25, .8)--(1.25,.6));
draw(p, (1.15, .7)--(1.35,.7));
add(shift(0,1)*p);
add(shift(1.5,1)*p);
add(shift(.75,3)*p);
[/asy] | ถ้าเซลล์ล่างมี $A$, $B$ และ $C$ แถวที่สองจะมี $A + B$ และ $B + C$ และเซลล์ด้านบนจะมี $A + 2B+C$ เพื่อให้ได้ผลรวมที่น้อยที่สุด วาง 1 ไว้ที่เซลล์ตรงกลางและ 2 และ 3 ไว้ที่เซลล์ด้านนอก จำนวนด้านบนจะเป็น 7 สำหรับผลรวมที่มากที่สุด วาง 9 ไว้ที่เซลล์ตรงกลางและ 7 และ 8 ไว้ที่เซลล์ด้านนอก จำนวนด้านบนจะเป็น 33 ผลต่างคือ $33-7=\boxed{26}$ | 33-7=\boxed{26} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ เป็นเวกเตอร์ โดยที่ $\|\mathbf{a}\| = 3$ และ $\|\mathbf{b}\| = 14$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|$. | เรามีว่า
\begin{align*}
\|\bold{a} + \bold{b}\|^2 &= (\bold{a} + \bold{b}) \cdot (\bold{a} + \bold{b}) \\
&= \bold{a} \cdot \bold{a} + 2 \bold{a} \cdot \bold{b} + \bold{b} \cdot \bold{b} \\
&= \|\bold{a}\|^2 + 2 \bold{a} \cdot \bold{b} + \|\bold{b}\|^2.
\end{align*}เราทราบว่า $\|\bold{a}\| = 3$ และ $\|\bold{b}\| = 14$. นอกจากนี้ ถ้า $\theta$ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ $\bold{a}$ และ $\bold{b}$ แล้ว
\[\bold{a} \cdot \bold{b} = \|\bold{a}\| \cdot \|\bold{b}\| \cos \theta = 42 \cos \theta.\]ดังนั้น
\[\|\bold{a} + \bold{b}\|^2 = 205 + 84 \cos \theta.\]ปริมาณนี้มีค่าต่ำสุดเมื่อ $\cos \theta = -1$ (หรือ $\theta = 180^\circ$) ซึ่งจะให้เรา
\[\|\bold{a} + \bold{b}\|^2 = 205 - 84 = 121,\]ดังนั้นค่าต่ำสุดของ $\|\bold{a} + \bold{b}\|$ คือ $\sqrt{121} = \boxed{11}$. (เราได้พิสูจน์อสมการสามเหลี่ยมสำหรับเวกเตอร์ในปัญหาข้อนี้) | \sqrt{121} = \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สระ $A, B, C, J$ และ $K$ แทนสระน้ำ ซุงลอยออกจากสระ $A$ และลอยตามรางน้ำ (แสดงด้วยลูกศร) จนถึงสระ $B$ หรือสระ $C$ ในที่สุด เมื่อออกจากสระ ซุงมีโอกาสเท่ากันที่จะใช้รางน้ำที่ว่างอยู่ ซุงสามารถลอยได้เฉพาะตามทิศทางที่ลูกศรชี้เท่านั้น จงหาความน่าจะเป็นที่ซุงในสระ $A$ จะไปสิ้นสุดที่สระ $B$ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย
[asy]
label("$A$",(10,22),S);
label("$B$",(10,2),S);
label("$C$",(10,-7),S);
label("$J$",(2,13),S);
label("$K$",(10,12),S);
path a=(10,-10)..(20,0)--(0,0)..cycle;
path b=(10,-7)..(3,0)--(17,0)..cycle;
draw(a);
draw(b);
fill((3.1,0.1)--(16.9,0.1)--(16.9,-0.1)--(3.1,-0.1)--cycle,white);
draw(Circle((10,0),3));
draw(Circle((10,10),3));
draw(Circle((10,20),3));
draw((10,16.9)--(10,13.1),Arrow);
draw((10,6.9)--(10,3.1),Arrow);
draw(Circle((2,10),3));
draw((2,7)--(2.5,0),Arrow);
draw((1.5,7)--(0.2,0),Arrow);
draw((10,16.9)--(2,13.2),Arrow);
draw((10,16.9)--(19.8,0),Arrow);
draw((10,6.9)--(17.2,0),Arrow);
draw((3,8)--(10,3.1),Arrow);
[/asy] | มีเส้นทางสองเส้นจาก A ไป B: A ไป K ไป B และ A ไป J ไป B ความน่าจะเป็นที่ซุงจะไปจาก A ไป K ไป B คือความน่าจะเป็นที่มันจะเลือกรางน้ำตรงกลางเป็นอันดับแรกคูณด้วยความน่าจะเป็นที่มันจะเลือกรางน้ำทางขวาเมื่อกำหนดว่ามันเลือกทางตรงกลางเป็นอันดับแรก: $\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}$. ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่ซุงจะไปจาก A ไป J ไป B คือ $\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}$. โดยรวมแล้ว ความน่าจะเป็นที่ซุงไปถึง B คือ $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}=\boxed{\frac{5}{18}}$. | \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}=\boxed{\frac{5}{18}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.