question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ปริมาตรของทรงกระบอกที่แสดงไว้คือ $45\pi$ ลูกบาศก์เซนติเมตร ความสูงของทรงกระบอกเป็นเท่าไรเซนติเมตร? [asy]
size(120);
draw(shift(2.2,0)*yscale(0.3)*Circle((0,0), 1.2));
draw((1,0)--(1,-2));
draw((3.4,0)--(3.4,-2));
draw((1,-2)..(2.2,-2.36)..(3.4,-2));
label("$h$",midpoint((3.4,0)--(3.4,-2)),E);
draw (((2.2,0)--(3.4,0)));
label("$r=3$",midpoint((2.2,0)--(3.4,0)),N);
[/asy] | ปริมาตรของทรงกระบอกคือ $bh=\pi r^2h$ รัศมีของฐานคือ $3$ เซนติเมตร ดังนั้น $9\pi h=45\pi\qquad\Rightarrow h=5$ ความสูงของทรงกระบอกคือ $\boxed{5}$ เซนติเมตร | \boxed{5} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เริ่มต้นที่จุด $A$ ในแผนภาพด้านล่าง โดราเลือกทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสี่ทิศทางที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ทุกครั้งที่เธอมาถึงทางแยก เธอจะสุ่มเลือกทิศทางที่เป็นไปได้อีกครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ในสี่ก้าวแรก เธอจะเดินวนรอบสี่เหลี่ยมสีเทาอย่างสมบูรณ์ แสดงคำตอบของคุณเป็นเศษส่วนสามัญ [asy]size(100);
fill((1,1)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--cycle, gray(.6));
draw((0,0)--(0,3)--(3,3)--(3,0)--cycle, linewidth(1.5));
draw((0,1)--(3,1), linewidth(1.5));
draw((0,2)--(3,2), linewidth(1.5));
draw((1,0)--(1,3), linewidth(1.5));
draw((2,0)--(2,3), linewidth(1.5));
dot(MP("A", (1,2), NW));
[/asy] | วิธีเดียวที่โดราจะกลับมาที่จุดเริ่มต้นในสี่ก้าวคือการเดินตามด้านทั้งสี่ด้านของสี่เหลี่ยมสีเทา เธอสามารถทำได้ในสองวิธี: ตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา ความน่าจะเป็นของแต่ละเส้นทางนี้คือ $\left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{1}{256}$ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เธอจะกลับมาที่จุดเริ่มต้นคือ $\dfrac{1}{256}+\dfrac{1}{256}=\boxed{\dfrac{1}{128}}$ | \dfrac{1}{256}+\dfrac{1}{256}=\boxed{\dfrac{1}{128}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงคำนวณจำนวนคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนเต็ม ซึ่งพหุนาม $x^2 - ax + 24$ และ $x^2 - bx + 36$ มีรากร่วมกันหนึ่งราก | ให้ $r$ เป็นรากร่วมกัน ดังนั้น
\begin{align*}
r^2 - ar + 24 &= 0, \\
r^2 - br + 36 &= 0.
\end{align*}ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้ $(a - b) r + 12 = 0,$ ดังนั้น $r = \frac{12}{b - a}.$ แทนค่าลงใน $x^2 - ax + 24 = 0,$ เราได้
\[\frac{144}{(b - a)^2} - a \cdot \frac{12}{b - a} + 24 = 0.\]แล้ว
\[144 - 12a(b - a) + 24(b - a)^2 = 0,\]ดังนั้น $12 - a(b - a) + 2(b - a)^2 = 0.$ แล้ว
\[a(b - a) - 2(b - a)^2 = 12,\]ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(b - a)(3a - 2b) = 12.$
ให้ $n = b - a,$ ซึ่งต้องเป็นตัวประกอบของ 12. แล้ว $3a - 2b = \frac{12}{n}.$ แก้สมการหา $a$ และ $b,$ เราได้
\[a = 2n + \frac{12}{n}, \quad b = 3n + \frac{12}{n}.\]เนื่องจาก $n$ เป็นตัวประกอบของ 12, $\frac{12}{n}$ ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ซึ่งหมายความว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น เราสามารถนำ $n$ เป็นตัวหารใดๆ ของ 12 (รวมถึงตัวหารบวกและลบ) ได้ $\boxed{12}$ คู่ $(a,b).$ | (a,b) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามลูกบาศก์ $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ที่มีรากที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองราก มีสมบัติดังนี้:
(i) ผลรวมของรากทั้งหมดเท่ากับสองเท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(ii) ผลรวมของกำลังสองของรากทั้งหมดเท่ากับ 3 เท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(iii) $f(1) = 1.$
จงหา $c.$ | ให้ $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของพหุนามลูกบาศก์ จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
r + s + t &= -a, \\
rs + rt + st &= b, \\
rst &= -c.
\end{align*}จากเงื่อนไข (i), $-a = -2c,$ ดังนั้น $a = 2c.$
ยกกำลังสองสมการ $r + s + t = -a,$ เราได้
\[r^2 + s^2 + t^2 + 2(rs + rt + st) = a^2.\]แล้ว
\[r^2 + s^2 + t^2 = a^2 - 2(rs + rt + st) = a^2 - 2b.\]แล้วจากเงื่อนไข (ii), $a^2 - 2b = -3c,$ ดังนั้น
\[b = \frac{a^2 + 3c}{2} = \frac{4c^2 + 3c}{2}.\]สุดท้าย จากเงื่อนไข (iii), $f(1) = 1 + a + b + c = 1,$ ดังนั้น $a + b + c = 0.$ แทนค่าลงไป เราได้
\[2c + \frac{4c^2 + 3c}{2} + c = 0.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $4c^2 + 9c = 0.$ ดังนั้น $c(4c + 9) = 0,$ ดังนั้น $c = 0$ หรือ $c = -\frac{9}{4}.$
ถ้า $c = 0,$ แล้ว $a = b = 0,$ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขที่ว่า $f(x)$ มีรากที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองราก ดังนั้น $c = \boxed{-\frac{9}{4}}.$ | c = \boxed{-\frac{9}{4}}. | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\det \mathbf{A} = 4$ และ $\det \mathbf{B} = -5$ แล้ว จงหา $\det (\mathbf{A} \mathbf{B})$. | เราทราบว่า $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})(\det \mathbf{B}) = (4)(-5) = \boxed{-20}.$ | $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})(\det \mathbf{B}) = (4)(-5) = \boxed{-20}.$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามเหลี่ยม $AXY$ มีความคล้ายคลึงกับสามเหลี่ยม $ZBC$ ถ้า $AX = 6$ เซนติเมตร, $ZB = 18$ เซนติเมตร และ $ZC = 63$ เซนติเมตร ความยาวของส่วนของเส้น $AY$ เป็นเท่าไร (หน่วยเป็นเซนติเมตร) | เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกัน $\frac{AX}{ZB} = \frac{AY}{ZC}$ ดังนั้น $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชันค่าจริง $f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{x^2-5x+6}}$ | ฟังก์ชันจะนิยามเมื่อค่าที่อยู่ภายในรากที่สองเป็นบวก นั่นคือเราต้องมี $x^2-5x+6>0$ การแยกตัวประกอบจะได้ $(x-3)(x-2)>0$ ดังนั้นตัวประกอบทั้งสองทางซ้ายมือต้องเป็นลบ หรือเป็นบวกทั้งคู่ ตัวประกอบทั้งสองเป็นลบเมื่อ $x<2$ ตัวประกอบทั้งสองเป็นบวกเมื่อ $x>3$ ดังนั้นโดเมนของ $f(x)$ คือ $x<2 \text{ หรือ } x>3$ หรือ $x \in \boxed{(-\infty, 2) \cup (3, \infty)}$ ในสัญกรณ์ช่วง | x \in \boxed{(-\infty, 2) \cup (3, \infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สลัดผลไม้สามารถทำได้จากผลไม้ 3 ชนิด จากผลไม้ 5 ชนิด: แอปเปิล, กล้วย, องุ่น, สตรอเบอร์รี และパイñaapple ถ้าสตรอเบอร์รีและパイñaapple ไม่เข้ากัน และองุ่นกับกล้วยไม่น่ารับประทานด้วยกัน มีสลัดผลไม้กี่แบบที่รสชาติอร่อยและน่ารับประทาน? | จำนวนวิธีการเลือกผลไม้ที่เป็นไปได้คือ $\binom{5}{3} = 10$ อย่างไรก็ตาม หากสตรอเบอร์รีและパイñaapple ไม่สามารถอยู่ด้วยกันได้ จำนวนวิธีการผสมจะลดลง 3 วิธี (เพราะสามารถจับคู่กับแอปเปิล, องุ่น หรือกล้วยได้) ในทำนองเดียวกัน หากองุ่นและกล้วยไม่สามารถอยู่ด้วยกันได้ จำนวนวิธีการผสมจะลดลงอีก 3 วิธี ดังนั้น $10 - 3 - 3 = \boxed{4}$ สลัดผลไม้แบบนั้นจึงเป็นไปได้ | 10 - 3 - 3 = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จำนวนเชิงซ้อน $z$ และ $w$ สอดคล้องกับระบบสมการ
\begin{align*}
z + \frac{20i}w &= 5+i, \\
w+\frac{12i}z &= -4+10i.
\end{align*}จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $\vert zw\vert^2$. | คูณสมการทั้งสองสมการเข้าด้วยกัน เราจะได้ \[zw + 12i + 20i - \frac{240}{zw} = (5+i) (-4+10i) = -30 + 46i.\]ให้ $t = zw,$ สมการจะกลายเป็น \[t^2 + (30-14i)t - 240 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง \[t = \frac{-(30-14i) \pm \sqrt{(30-14i)^2 + 4\cdot240}}{2} = -(15-7i) \pm \sqrt{416-210i}.\]เราหวังว่าเราจะสามารถเขียน $416 - 210i = (a+bi)^2,$ สำหรับจำนวนเต็ม $a$ และ $b$ ได้ จากการขยาย เราจะได้สมการ $416 = a^2-b^2$ และ $-210=2ab$. จำนวนกำลังสองที่สมบูรณ์น้อยที่สุดที่มากกว่า $416$ คือ $21^2 = 441$ ดังนั้นเราลอง $a = 21$; จากนั้น $416 = 441 - b^2$, ดังนั้น $b^2 = 25$ และ $b = \pm 5$. จริงๆแล้ว เราได้คำตอบ $(a, b) = (21, -5)$.
ดังนั้น \[t = -(15-7i) \pm (21-5i) = 6+2i \; \text{or} \; -36+12i.\]การเลือก $t=zw$ ที่มีขนาดน้อยที่สุดคือ $t = 6+2i,$ ซึ่งจะได้ \[|t|^2 = 6^2 + 2^2 = \boxed{40}.\] | t = 6+2i, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน $z$ โดยส่วนจริงของ $\frac{1}{z}$ เท่ากับ $\frac{1}{6}$ เซตนี้จะสร้างเป็นเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ของบริเวณภายในเส้นโค้ง | โดยทั่วไป ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน $z$ กำหนดโดย
\[\frac{z + \overline{z}}{2}.\]ดังนั้น ส่วนจริงของ $1/z$ เท่ากับ 1/6 ก็ต่อเมื่อ
\[\frac{\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}}}{2} = \frac{1}{6},\]หรือ
\[\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{3}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $3z \overline{z}$ เราได้
\[3z + 3 \overline{z} = z \overline{z}.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่เป็น
\[z \overline{z} - 3z - 3 \overline{z} + 9 = 9.\]ข้างซ้ายมือแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(z - 3)(\overline{z} - 3) = 9.\]เนื่องจาก $\overline{z} - 3$ เป็นสังยุคของ $z - 3$ สมการนี้กลายเป็น
\[|z - 3|^2 = 9.\][asy]
unitsize(0.5 cm);
draw(Circle((3,0),3),red);
draw((-0.5,0)--(6.5,0));
draw((0,-3)--(0,3));
filldraw(Circle((0,0),0.1),white,red);
label("Re", (6.5,0), NE);
label("Im", (0,3), NE);
dot("$3$", (3,0), N);
[/asy]
ดังนั้น $S$ คือเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีระยะห่าง 3 จากจำนวนเชิงซ้อน 3 (ยกเว้น 0) นี่คือวงกลมที่มีรัศมี 3 ดังนั้นพื้นที่ของบริเวณภายในคือ $\boxed{9 \pi}$. | \boxed{9 \pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พื้นที่ของสามเหลี่ยม $XYZ$ เท่ากับ 8 ตารางนิ้ว จุด $A$ และ $B$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง $\overline{XY}$ และ $\overline{XZ}$ ที่มีความยาวเท่ากัน ตามลำดับ ส่วนสูง $\overline{XC}$ แบ่ง $\overline{YZ}$ เป็นสองส่วนเท่ากัน พื้นที่ (ในตารางนิ้ว) ของบริเวณที่แรเงาคือเท่าไร? [asy]
/* AMC8 2002 #20 Problem */
draw((0,0)--(10,0)--(5,4)--cycle);
draw((2.5,2)--(7.5,2));
draw((5,4)--(5,0));
fill((0,0)--(2.5,2)--(5,2)--(5,0)--cycle, mediumgrey);
label(scale(0.8)*"$X$", (5,4), N);
label(scale(0.8)*"$Y$", (0,0), W);
label(scale(0.8)*"$Z$", (10,0), E);
label(scale(0.8)*"$A$", (2.5,2.2), W);
label(scale(0.8)*"$B$", (7.5,2.2), E);
label(scale(0.8)*"$C$", (5,0), S);
fill((0,-.8)--(1,-.8)--(1,-.95)--cycle, white);
[/asy] | ส่วนของเส้นตรง $\overline{AD}$ และ $\overline{BE}$ ถูกวาดตั้งฉากกับ $\overline{YZ}$ ส่วนของเส้นตรง $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ และ $\overline{BC}$ แบ่ง $\triangle XYZ$ เป็นสี่สามเหลี่ยมที่เท่ากัน ส่วนของเส้นตรงแนวตั้ง $\overline{AD}$, $\overline{XC}$ และ $\overline{BE}$ แบ่งแต่ละส่วนเป็นครึ่งหนึ่ง สามในแปดสามเหลี่ยมขนาดเล็กถูกแรเงา หรือ $ rac{3}{8}$ ของ $\triangle XYZ$ พื้นที่ที่แรเงาคือ $ rac{3}{8}(8) = \boxed{3}$. [asy]
/* AMC8 2002 #20 Solution */
draw((0,0)--(10,0)--(5,4)--cycle);
draw((2.5,2)--(7.5,2));
fill((0,0)--(2.5,2)--(5,2)--(5,0)--cycle, mediumgrey);
draw((5,4)--(5,0), linewidth(0.8));
label(scale(0.8)*"$X$", (5,4), N);
label(scale(0.8)*"$Y$", (0,0), W);
label(scale(0.8)*"$Z$", (10,0), E);
label(scale(0.8)*"$A$", (2.5,2.2), W);
label(scale(0.8)*"$B$", (7.5,2.2), E);
label(scale(0.8)*"$C$", (5,0), S);
label(scale(0.8)*"$D$", (2.5,0), S);
label(scale(0.8)*"$E$", (7.5,0), S);
draw((2.5,0)--(2.5,2)--(7.5,2)--(7.5,0));
draw((2.5,2)--(5,0)--(7.5,2));
fill((0,-.8)--(1,-.8)--(1,-.95)--cycle, white);
[/asy] | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่น้อยกว่า $100\pi$? | จากความรู้เกี่ยวกับการ展开ทศนิยมของ $\pi$ เราสามารถประมาณได้ว่า $100 \pi \approx 314.15$ ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $100\pi$ คือ 314. ดังนั้นจำนวนเต็มบวกคือ 1, 2, 3, $\ldots$, 313, 314 รวมทั้งหมด $\boxed{314}$ จำนวน | \boxed{314} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $\triangle ABC$, $AC=BC$, และ $m\angle BAC=40^\circ$ มุม $x$ มีขนาดกี่องศา? [asy]
size(80);
draw((0,0)--(7,0));
draw((0,0)--(3,2)--(6,0));
label("$A$",(0,0),W);
label("$B$",(6,0),S);
label("$C$",(3,2),N);
label("$x$",(6,0),NE);
[/asy] | รูปสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมที่ $A$ และ $B$ เท่ากัน ดังนั้น $m\angle ABC = m\angle BAC = 40^\circ$.
Mุม $x$ เป็นมุมประกอบกับ $\angle ABC$ ดังนั้น \begin{align*}
x &= 180^\circ - m\angle ABC \\
&= 180^\circ - 40^\circ \\
&= \boxed{140}^\circ.
\end{align*} | 140 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเฉพาะที่มากที่สุด (ในรูปทศนิยม) ที่หารผลบวก $$ 1_2 + 10_2 + 100_2 + \cdots + 100000000_2. $$ ลงตัว | เราจะเห็นว่า \begin{align*}
1_2 + 10_2 + 100_2 + \cdots + 100000000_2 &= 111111111_2 \\
&= 1000000000_2 - 1\\
& = 2^9 - 1.
\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $2^9 - 1 = 8^3 - 1$ เป็นผลต่างของกำลังสามเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น: $$ 8^3 - 1 = (8 - 1)(8^2 + 8 + 1) = 7 \cdot 73. $$เนื่องจาก $\boxed{73}$ เป็นจำนวนเฉพาะ จึงเป็นตัวหารเฉพาะที่มากที่สุดของผลบวก | \boxed{73} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามคู่ไปดูหนัง พวกเขาต้องการนั่งด้วยกันเพื่อความเพลิดเพลินสูงสุด แต่กลับเข้าแถวแบบสุ่มโดยมีหกที่นั่ง ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะนั่งในรูปแบบที่เหมาะสมทางสังคม คือ แต่ละคนนั่งอยู่ติดกับคู่ของตนเองคือเท่าไร? | มี $\binom{6}{2} = 15$ วิธีในการเลือกคนที่จะนั่งในสองที่นั่งแรก และ 3 วิธีสำหรับสองคนที่เป็นคู่ เพื่อให้ได้ความน่าจะเป็น $3/15 = 1/5$ ที่สองที่นั่งแรกจะเป็นคู่ ถ้าคู่หนึ่งนั่งสำเร็จแล้ว จะมี $\binom{4}{2} = 6$ วิธีในการนั่งในสองที่นั่งถัดไป และ 2 วิธีสำหรับสองคนที่เป็นคู่ (คุณสามารถเลือกคู่ใดคู่หนึ่งจากสองคู่ที่เหลือ) เพื่อให้ได้ความน่าจะเป็น $2/6 = 1/3$ ที่สองที่นั่งนั้นเป็นคู่ ถ้าสองคู่แรกนั่งสำเร็จที่นั่งสองที่สุดท้ายจะถูกต้องสำหรับคู่สุดท้าย ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ทุกอย่างดำเนินไปด้วยดีคือ $1/5 \cdot 1/3 = \boxed{\frac{1}{15}}$. | 1/5 \cdot 1/3 = \boxed{\frac{1}{15}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีผู้คน 190 คนอยู่บนชายหาด 110 คนสวมแว่นกันแดด 70 คนสวมชุดว่ายน้ำ และ 95 คนสวมหมวก ทุกคนสวมอย่างน้อย 1 ในสิ่งของเหล่านี้ 30 คนสวมทั้งชุดว่ายน้ำและแว่นกันแดด 25 คนสวมทั้งชุดว่ายน้ำและหมวก 40 คนสวมทั้งแว่นกันแดดและหมวก มีกี่คนที่สวมทั้ง 3 อย่าง? | ให้ $x$ เป็นจำนวนคนที่สวมทั้ง 3 อย่าง เนื่องจากมี 30 คนสวมชุดว่ายน้ำและแว่นกันแดด เราทราบว่า $30 - x$ คนสวมเพียงชุดว่ายน้ำและแว่นกันแดดเท่านั้น ในทำนองเดียวกัน $25 - x$ คนสวมเพียงชุดว่ายน้ำและหมวก ในขณะที่ $40 - x$ คนสวมเพียงแว่นกันแดดและหมวก
เพื่อหาจำนวนคนที่สวมแว่นกันแดดเพียงอย่างเดียว เราลบจำนวนคนที่สวมแว่นกันแดดพร้อมกับสิ่งของอื่นๆ ออกจากจำนวนรวมของคนที่สวมแว่นกันแดด ซึ่งก็คือ $110 - (30 - x) - (40 - x) - x = 40 + x$ ในทำนองเดียวกัน จำนวนคนที่สวมหมวกเพียงอย่างเดียวคือ $30 + x$ ในขณะที่จำนวนคนที่สวมชุดว่ายน้ำเพียงอย่างเดียวคือ $15 + x$
เนื่องจากจำนวนผู้คนบนชายหาดทั้งหมดคือ 190 คน และทุกคนสวมอย่างน้อย 1 สิ่งของ เราจึงมี: \begin{align*}
190 &= (15 + x) + (40 + x) + (30 + x) \\
&\qquad+ (25 - x ) + (30 - x) + (40 - x) + x\\
&= 180 + x.
\end{align*} จากนั้นเราสามารถแก้หา $x$ ได้ ดังนั้นจำนวนคนที่อยู่บนชายหาดและสวมทั้ง 3 สิ่งของคือ $x = \boxed{10}$. | x = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก $r$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $$\mathop{\text{lcm}}[r,700] = 7000~?$$ | สังเกตการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ $700=2^2\cdot 5^2\cdot 7$ และ $7000=2^3\cdot 5^3\cdot 7$.
ถ้า $\mathop{\text{lcm}}[r,700]=7000$ ดังนั้นโดยเฉพาะ $r$ เป็นตัวหารของ $7000$ ดังนั้นเราสามารถเขียน $r=2^\alpha\cdot 5^\beta\cdot 7^\gamma$ โดยที่ $0\le\alpha\le 3$, $0\le\beta\le 3$, และ $0\le\gamma\le 1$.
ยิ่งกว่านั้น เรารู้ว่า $\mathop{\text{lcm}}[r,700]=2^{\max\{\alpha,2\}}\cdot 5^{\max\{\beta,2\}}\cdot 7^{\max\{\gamma,1\}}$ และเรารู้ว่าค่านี้เท่ากับ $7000=2^3\cdot 5^3\cdot 7$ นี่เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ $\alpha=3$ และ $\beta=3$ แต่ $\gamma$ สามารถเป็น $0$ หรือ $1$ ซึ่งทำให้เราได้สองตัวเลือกสำหรับ $r$: $$r = 2^3\cdot 5^3\cdot 7^0 = 1000 \text{~~หรือ~~} r=2^3\cdot 5^3\cdot 7^1 = 7000.$$ดังนั้นผลรวมของคำตอบทั้งหมดคือ $1000+7000=\boxed{8000}$. | 1000+7000=\boxed{8000} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จักรยานกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 20 ฟุตต่อนาที ความเร็วของจักรยานแสดงเป็นนิ้วต่อวินาทีเท่าใด | มี 12 นิ้วใน 1 ฟุต ดังนั้นจักรยานกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 12(20) = 240 นิ้วต่อนาที มี 60 วินาทีใน 1 นาที ดังนั้นจักรยานกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $\frac{240}{60}=\boxed{4}$ นิ้วต่อวินาที | $\frac{240}{60}=\boxed{4}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $\frac12x^2+99x+c=0$ คือ $x=-99+\sqrt{8001}$ และ $x=-99-\sqrt{8001}$ แล้วค่าของ $c$ คือเท่าใด? | โดยสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ $$x=\frac{-(99)\pm\sqrt{(99)^2-4(\frac12)c}}{2(\frac12)},$$ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $$x=-99\pm\sqrt{9801-2c}.$$ค่านี้คล้ายกับที่เราต้องการ ยกเว้นว่าเราต้องทำให้ค่า $9801-2c$ ใต้รากที่สองเท่ากับ $8001$ ดังนั้น เราแก้สมการ $9801-2c=8001$ ซึ่งจะได้ $c=\boxed{900}$ | c=\boxed{900} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 1000 มีจำนวนหารบวกที่แตกต่างกันちょうど 3 ตัว มีกี่จำนวน | จากสูตรสำหรับจำนวนหารบวกทั้งหมด จำนวนธรรมชาติในรูป $p^{2}$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ บางจำนวนเท่านั้นที่มีจำนวนหารบวกちょうど 3 ตัว ดังนั้นเราต้องนับจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 และ $\sqrt{1000}$ (กำลังสองของจำนวนเฉพาะเหล่านี้คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 1000 ทั้งหมดที่มีจำนวนหารบวกちょうど 3 ตัว) มีจำนวนเฉพาะ $\boxed{11}$ จำนวน: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 และ 31 | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบอลสีเขียว 5 ลูก และลูกบอลสีแดง 2 ลูก มีน้ำหนักรวม 10 ปอนด์ และลูกบอลสีเขียว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 4 ลูก มีน้ำหนักรวม 7 ปอนด์ ถ้าลูกบอลสีแดงทั้งหมดมีน้ำหนักเท่ากัน และลูกบอลสีเขียวทั้งหมดมีน้ำหนักเท่ากัน แล้วลูกบอลสีแดง 8 ลูก และลูกบอลสีเขียว 8 ลูก มีน้ำหนักรวมกันเท่าไร | จงหาผลรวมของน้ำหนักลูกบอลสีเขียวและลูกบอลสีแดง
ดังที่กล่าวมาแล้ว เราได้ $5g + 2r =10$ และ $g+4r=7.$ ก่อนที่จะแก้ระบบสมการนี้ เราสังเกตว่าเราต้องการ $8g+8r,$ ซึ่งเท่ากับ $8(g+r).$ ดังนั้น ถ้าเราสามารถหา $g+r$ ได้ เราจะสามารถหา น้ำหนักรวมของลูกบอลได้ \emph{โดยไม่ต้องหา น้ำหนักของลูกบอลแต่ละลูก}. ดูสมการของเรา เราเห็น $6g$ และ $6r$ รวมกัน ดังนั้น การบวกสมการทั้งสองจะทำให้เราได้ $g+r.$ การบวกสมการจะได้ $6g+6r = 17$ และหารทั้งสองข้างด้วย $6$ จะได้ $$g+r = \frac{17}{6}.$$ ดังนั้น เราจึงมี $$8g+8r= 8(g+r) = 8\cdot\frac{17}{6} = \boxed{\frac{68}{3}\text{ ปอนด์}}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7,\]จงหา
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix}.\] | เราทราบว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7.\]ถ้าเราคูณแถวที่สองด้วย 2 เราจะได้
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d & 2e & 2f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]การบวกห้าเท่าของแถวที่สามเข้ากับแถวที่สองจะไม่เปลี่ยนค่าของดีเทอร์มิแนนต์:
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]จากนั้นการคูณแถวที่สามด้วย $-1$ จะให้เรา
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix} = \boxed{14}.\] | 14 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อ $129^{34}+96^{38}$ หารด้วย $11$ แล้วจะเหลือเศษเท่าใด | เราใช้สมบัติที่ว่า $a \equiv b \pmod{m}$ หมายถึง $a^c \equiv b^c \pmod{m}$.
เนื่องจาก $129 \equiv -3 \pmod{11}$ และ $96 \equiv -3 \pmod{11}$ เราได้ $$129^{34}+96^{38} \equiv (-3)^{34}+(-3)^{38} \equiv 3^{34}+3^{38} \pmod{11}.$$เนื่องจาก $3^5 \equiv 1 \pmod{11},$ เราจะเห็นว่า $3^{34} = (3^5)^{6} \cdot 3^4$ และ $3^{38} = (3^5)^{7} \cdot 3^3.$
ดังนั้น, \begin{align*}
129^{34}+96^{38}&\equiv (3^5)^{6} \cdot 3^4 + (3^5)^{7} \cdot 3^3\\
& \equiv 3^4 + 3^3\\
& \equiv 81 + 27\\
& \equiv 108 \\
&\equiv \boxed{9} \pmod{11}.
\end{align*} | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\|\mathbf{a}\| = 3$ และ $\|\mathbf{b}\| = 4,$ จงหาค่า $k$ ทั้งหมดที่ทำให้เวกเตอร์ $\mathbf{a} + k \mathbf{b}$ และ $\mathbf{a} - k \mathbf{b}$ ตั้งฉาก | เมื่อ $\mathbf{a} + k \mathbf{b}$ และ $\mathbf{a} - k \mathbf{b}$ ตั้งฉาก ผลคูณ chấm ของเวกเตอร์ทั้งสองจะเท่ากับ 0:
\[(\mathbf{a} + k \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - k \mathbf{b}) = 0.\]เมื่อขยายจะได้
\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - k \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + k \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - k^2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 0.\]เนื่องจาก $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = \|\mathbf{a}\|^2 = 9$ และ $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{b}\|^2 = 16,$ เราจะได้ $9 - 16k^2 = 0.$ ดังนั้น $k^2 = \frac{9}{16},$ ดังนั้นค่า $k$ ที่เป็นไปได้คือ $\boxed{\frac{3}{4}, -\frac{3}{4}}.$ | \boxed{\frac{3}{4}, -\frac{3}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจุด 6 จุดที่กระจายอย่างเท่าๆกันรอบวงกลมที่มีรัศมี 1 จุด สามจุดในจำนวนนี้เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหรือรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เท่ากับเท่าใด | รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหรือรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ที่เป็นไปได้เพียงรูปเดียว (ขึ้นอยู่กับความสมภาค) ที่สามารถสร้างจากจุดที่กำหนดไว้แสดงไว้ด้านล่าง: [asy] markscalefactor /= 2;size(4cm); draw(unitcircle); for(int i=0; i<6; ++i) dot(dir(60*i)); draw(dir(120)--dir(60)--dir(-60)--cycle); dot((0,0)); draw((0,0)--dir(60),dotted); draw(rightanglemark(dir(-60),dir(60),dir(120)));[/asy] (เพื่อดูว่านี่คือรูปสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียว โปรดทราบว่าถ้าไม่มีจุดใดๆ สองจุดที่อยู่ติดกัน รูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้นจุดสองจุดต้องอยู่ติดกัน แต่จุดที่สามไม่สามารถอยู่ติดกันกับจุดใดจุดหนึ่งในสองจุดนั้นได้ เพราะจะสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) เนื่องจากด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม รูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านอื่นๆ ของรูปสามเหลี่ยมมีขนาด 1 และ $\sqrt{3}$ ตามลำดับ เนื่องจากด้านเหล่านี้ย่อยเป็นส่วนโค้ง $60^\circ$ และ $120^\circ$ ของวงกลม ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ \[\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \boxed{\frac{\sqrt3}{2}}.\] | √3/2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ชมรมของเรามีสมาชิก 25 คน และต้องการเลือกประธาน เลขานุการ และเหรัญญิก ในจำนวนวิธีการเลือกเจ้าหน้าที่เท่าไร ถ้าสมาชิกแต่ละคนสามารถดำรงตำแหน่งได้ไม่เกิน 1 ตำแหน่ง? | ประธานสามารถเป็นสมาชิกใดก็ได้จาก 25 คน เลขานุการสามารถเป็นสมาชิกใดก็ได้จาก 24 คนที่เหลือ และเหรัญญิกสามารถเป็นสมาชิกใดก็ได้จาก 23 คนที่เหลือ มี $25\times 24\times 23=\boxed{13,\!800}$ วิธี | 25\times 24\times 23=\boxed{13,\!800} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็ม $n,$ $0 \le n \le 180,$ ซึ่งทำให้ $\cos n^\circ = \cos 568^\circ.$ | เนื่องจากฟังก์ชันโคไซน์มีคาบ $360^\circ,$
\[\cos 568^\circ = \cos (568^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = \cos (-152^\circ).\]และเนื่องจากฟังก์ชันโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ $\cos (-152^\circ) = \cos 152^\circ,$ ดังนั้น $n = \boxed{152}.$ | n = \boxed{152}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แปลง $1230_4$ เป็นเลขฐานสิบ | เราได้ว่า \begin{align*} 1230_4 &= 1(4^3)+ 2(4^2) +3(4^1)+ 0(4^0) \\
&= 1(64)+2(16)+3(4)+0(1)\\
&= 64 + 32 + 12 + 0\\
&= \boxed{108}.
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
จงแก้สมการ $\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=14$ เพื่อหาค่า $x$ | เริ่มต้นด้วยการหาตัวหารร่วมน้อยที่ด้านซ้ายมือ ตัวหารร่วมน้อยของ 3 และ 4 คือ 12 ดังนั้น นี่คือตัวหารร่วมน้อย เขียนสมการใหม่เป็น: $$\frac{4x}{12}+\frac{3x}{12}=14$$$$\frac{4x+3x}{12}=14$$$$\frac{7x}{12}=14$$จากนั้น คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย $\frac{12}{7}$ เพื่อแก้หา $x$: $$\frac{7x}{12}\cdot\frac{12}{7}=14\cdot \frac{12}{7}$$$$x=2\cdot 12=\boxed{24}$$ | 24 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้ามุมทุกมุมวัดเป็นองศา อัตราส่วนของสามเท่าของขนาดของ $\angle A$ ต่อสี่เท่าของขนาดของมุมประกอบของ $\angle A$ ต่อครึ่งหนึ่งของขนาดของมุม supplementary ของ $\angle A$ คือ $3:14:4$ ขนาดของมุมประกอบของ $\angle A$ มีจำนวนองศาเท่าไร | ให้ $x$ เป็นจำนวนองศาในขนาดของ $\angle A$ แล้วเราจะมี \[
\frac{3x}{4(90-x)}=\frac{3}{14},
\]จากข้อมูล "อัตราส่วนของสามเท่าของขนาดของ $\angle A$ ต่อสี่เท่าของขนาดของมุมประกอบของ $\angle A$ คือ $3:14$." คูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{2}{3}$ และล้างตัวส่วน เราพบ $$7x=180-2x\implies 9x=180\implies x=20.$$ขนาดของมุมประกอบของ 20 องศาคือ $\boxed{70}$ องศา
หมายเหตุ: สมมติฐาน "ถ้ามุมทุกมุมวัดเป็นองศา" ไม่จำเป็น มุมถูกกำหนดโดยข้อมูลที่กำหนดไว้โดยไม่คำนึงถึงหน่วยที่ใช้ | \boxed{70} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $a$ ทั้งหมดที่ทำให้กราฟของ $y=x^2+a$ และกราฟของ $y=ax$ ตัดกัน. เขียนคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | ถ้ากราฟทั้งสองตัดกัน จุดตัดจะเกิดขึ้นเมื่อ \[x^2+a=ax,\] หรือ \[x^2-ax+a=0.\] สมการกำลังสองนี้มีคำตอบเมื่อและเฉพาะเมื่อ เงื่อนไขของตัวเลือก (discriminant) ไม่เป็นลบ: \[(-a)^2-4\cdot1\cdot a\geq0.\] ซึ่งจะลดรูปเป็น \[a(a-4)\geq0.\] สมการกำลังสอง (ใน $a$) ไม่เป็นลบเมื่อ $a$ และ $a-4$ เป็นค่าบวกหรือค่าลบพร้อมกัน นั่นคือจริงสำหรับ $a$ ใน $$(-\infty,0]\cup[4,\infty).$$ ดังนั้นเส้นตรงและพาราโบลาตัดกันเมื่อและเฉพาะเมื่อ $a$ อยู่ใน $\boxed{(-\infty,0]\cup[4,\infty)}$. | \boxed{(-\infty,0]\cup[4,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พื้นที่ผิวข้างของกรวยตัดเป็นผลคูณของครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นเอียง ($L$) และผลรวมของเส้นรอบวงของหน้าวงกลมทั้งสอง จงหาจำนวนเซนติเมตรกำลังสองของพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยตัดที่แสดงอยู่โดยแสดงคำตอบในรูปของ $\pi$.
[asy]
draw( scale(1,.2)*arc(origin,10,180,360) ) ;
draw( scale(1,.2)*arc(origin,10,15,165) , dashed ) ; //yes, there is a gap
draw( (-10,0)--(10,0) , dotted ) ;
label("20cm",(0,0),S);
draw((0,0)--(0,8));
label("8cm",(0,4),E);
draw( shift(0,8)*scale(1,.2)*circle(origin,4) ) ;
draw( (-4,8)--(4,8) , dotted ) ;
label("8cm",(0,8),N);
draw((-10,0)--(-4,8));
draw((10,0)--(4,8));
label("$L$",(5,4),NE);
[/asy] | เส้นรอบวงของฐานคือ $2 \pi \cdot 4 = 8 \pi$ และ $2 \pi \cdot 10 = 20 \pi$ เพื่อหาความยาวเส้นเอียง เราลากเส้นตั้งฉาก
[asy]
unitsize(0.3 cm);
draw((-10,0)--(10,0)--(4,8)--(-4,8)--cycle);
draw((4,0)--(4,8));
draw((-4,0)--(-4,8));
label("$8$", (0,0), S);
label("$6$", (7,0), S);
label("$6$", (-7,0), S);
label("$8$", (0,8), N);
label("$8$", (4,4), W);
label("$L$", (7,4), NE);
[/asy]
เราได้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 และ 8 ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $L = 10$.
ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยตัด รวมทั้งฐานทั้งสอง คือ \[\pi \cdot 4^2 + \pi \cdot 10^2 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (8 \pi + 20 \pi) = \boxed{256 \pi}.\] | 256π | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนใดที่เท่ากับ $$\frac{\sqrt{25-16}}{\sqrt{25}-\sqrt{16}}$$? | คำนวณ, $$\frac{\sqrt{25-16}}{\sqrt{25}-\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{9}}{5-4}=\frac{3}{1}=\boxed{3}.$$ | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหา khoảng cáchระหว่างจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลา
\[\frac{x^2}{50} - \frac{y^2}{22} = 2.\] | ก่อนอื่น ให้หารทั้งสองข้างด้วย 2 เพื่อให้ได้
\[\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{44} = 1.\]จากนั้น $a^2 = 100$ และ $b^2 = 44$ ดังนั้น $c^2 = 144$ และ $c = 12$ ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{24}.$ | 2c = \boxed{24}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าที่ง่ายที่สุดของ $\frac{10! + 11! + 12!}{10! + 11!}$ | เราใช้การแยกตัวประกอบเล็กน้อย โดยใช้สมบัติของแฟกทอเรียล:
\[\frac{10! + 11! + 12!}{10! + 11!} = \frac{10!(1+11+11\cdot 12)}{10!(1+11)} = \frac{1+11+11\cdot 12}{12} = \frac{12 + 11 \cdot 12}{12} = \frac{12\cdot 12}{12} = \boxed{12}.\] | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลคูณร่วมน้อยสุดของ $6!$ และ $(4!)^2.$ | เราใช้การแยกตัวประกอบของ $6!$ และ $(4!)^2$ เพื่อหา ผลคูณร่วมน้อยสุด (เช่นเดียวกับที่เราทำกับคู่ของจำนวนเต็มส่วนใหญ่): $$ \begin{array}{rcrcr} 6! &=& 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &=& 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \\ (4!)^2 &=& (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)^2 &=& 2^6 \cdot 3^2 \\ \text{lcm}[6!, (4!)^2] &=& 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^1 &=& \boxed{2880} \end{array} $$ | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] | |
อัตราส่วนของ $x$ ต่อ $y$ เป็น $1$ ต่อ $2$ $y$ มีค่าเท่ากับ $4x-36$ จงหาค่าของ $x$ | สมมติอัตราส่วนของ $x$ ต่อ $y$ เป็นสมการ: \begin{align*}
\frac{x}{y} &= \frac{1}{2}, \\
2x &= y.
\end{align*}
จากนั้น แทนค่านี้ลงในสมการที่กำหนดเพื่อหาค่า $x$: \begin{align*}
2x &= 4x - 36, \\
36 &= 2x, \\
\boxed{18} &= x.
\end{align*} | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาการฉายของเวกเตอร์ $egin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ลงบนเวกเตอร์ $egin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}$ | จากสูตรการฉายเวกเตอร์,
\[\operatorname{proj}_{\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}}{\left\| \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} \right\|^2} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{6}{65} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 48/65 \\ 6/65 \end{pmatrix}}.\] | [
"นำไปใช้"
] | |
จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับอสมการ $(2x+10)(x+3)<(3x+9)(x+8)$ แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | เรามี \begin{align*} (2x+10)(x+3)&<(3x+9)(x+8) \quad \Rightarrow
\\ 2(x+5)(x+3)&<3(x+3)(x+8) \quad \Rightarrow
\\ 2(x+5)(x+3)-3(x+3)(x+8)&<0 \quad \Rightarrow
\\ (-x-14)(x+3)&<0 \quad \Rightarrow
\\ (x+14)(x+3)&>0.
\end{align*} อสมการนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $(x+14)$ และ $(x+3)$ เป็นบวกทั้งคู่ หรือเป็นลบทั้งคู่ ทั้งสองตัวประกอบเป็นบวกสำหรับ $x>-3$ และทั้งสองตัวประกอบเป็นลบสำหรับ $x<-14$ เมื่อ $-14<x<-3$ ตัวประกอบหนึ่งเป็นบวกและอีกตัวประกอบหนึ่งเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของมันจึงเป็นลบ ดังนั้นช่วงของ $x$ ที่สอดคล้องกับอสมการคือ $ \boxed{(-\infty, -14)\cup(-3,\infty)} $. | \boxed{(-\infty, -14)\cup(-3,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[\prod_{n = 1}^{2004} \frac{n^2 + 2n - 1}{n^2 + n + \sqrt{2} - 2}.\] | เราสามารถนำหลักการผลต่างของกำลังสองมาใช้กับตัวเศษ:
\[n^2 + 2n - 1 = (n + 1)^2 - 2 = (n + 1 + \sqrt{2})(n + 1 - \sqrt{2}).\]เราสามารถแยกตัวประกอบตัวส่วนได้ดังนี้:
\[n^2 + n + \sqrt{2} - 2 = (n + \sqrt{2}) + (n^2 - 2) = (n + \sqrt{2}) + (n + \sqrt{2})(n - \sqrt{2}) = (n + \sqrt{2})(n - \sqrt{2} + 1).\]ดังนั้น,
\[\frac{n^2 + 2n - 1}{n^2 + n + \sqrt{2} - 2} = \frac{(n + 1 + \sqrt{2})(n + 1 - \sqrt{2})}{(n + \sqrt{2})(n - \sqrt{2} + 1)} = \frac{n + 1 + \sqrt{2}}{n + \sqrt{2}}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\prod_{n = 1}^{2004} \frac{n^2 + 2n - 1}{n^2 + n + \sqrt{2} - 2} &= \prod_{n = 1}^{2004} \frac{n + 1 + \sqrt{2}}{n + \sqrt{2}} \\
&= \frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{3 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} \dotsm \frac{2005 + \sqrt{2}}{2004 + \sqrt{2}} \\
&= \frac{2005 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \\
&= \frac{(2005 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} \\
&= \frac{2004 \sqrt{2} - 2003}{1} \\
&= \boxed{2004 \sqrt{2} - 2003}.
\end{align*} | 2004√2 - 2003 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลบวก $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} +\cdots + \frac{1}{9900}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ก่อนอื่น ตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้บางครั้งเรียกว่า ``จำนวนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า'' เพราะมันสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ยาวกว่ากว้าง 1 หน่วย: $1 \times 2 = 2, 2 \times 3 = 6, 3 \times 4 = 12, 4 \times 5 = 20$ เป็นต้น ตัวส่วนตัวสุดท้ายในนิพจน์คือ $99 \times 100 = 9900$ มาลองหาผลบวกของพจน์ทีละไม่กี่พจน์ และดูว่าเราสังเกตเห็นรูปแบบหรือไม่
\begin{align*}
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} &= \frac{2}{3}, \\
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} &= \frac{3}{4}, \\
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} &= \frac{4}{5},
\end{align*}และอื่นๆ ผลบวกของพจน์ $n$ ตัวแรกดูเหมือนจะเป็น $\frac{n}{n + 1}.$
สมมติว่า
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{(n - 1)n} + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}.\]แล้ว
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{(n - 1)n} = \frac{n - 1}{n} = 1 - \frac{1}{n}.\]ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}.\]โปรดทราบว่าเราสามารถตรวจสอบเอกลักษณ์นี้ด้วยพีชคณิต:
\[\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n(n + 1)} - \frac{n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}.\]ดังนั้น ผลบวกของเศษส่วน 99 ตัวในนิพจน์คือ
\begin{align*}
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} +\cdots + \frac{1}{9900} &= \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \\
&= 1 - \frac{1}{100} = \boxed{\frac{99}{100}}.
\end{align*} | \frac{99}{100} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนจริง $t,$ จุด
\[(x,y) = (\cos t, \cos 2t)\]ถูกพล็อตลงบนกราฟ จุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดเป็นรูปร่างใด?
(A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) พาราโบลา
(D) วงรี
(E) ไฮเปอร์โบลา
ใส่ตัวอักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | สังเกตว่า
\[y = \cos 2t = 2 \cos^2 t - 1 = 2x^2 - 1,\]ดังนั้นจุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่บนพาราโบลา คำตอบคือ $\boxed{\text{(C)}}.$ | \boxed{\text{(C)}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $n$ ที่ $2 \le n \le 100$ มีกี่จำนวนที่ทำให้ $\binom{n}{2}$ เป็นเลขคี่ | $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ เพื่อให้เศษส่วนนี้เป็นเลขคี่ $n$ หรือ $n-1$ จะต้องไม่หารด้วย $4$ ได้ เพราะว่า $n$ และ $n-1$ จะมีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่เป็นเลขคู่ มีจำนวนเต็ม $25$ จำนวนที่ $n$ หารด้วย $4$ ลงตัว นั่นคือ คูณของ $4$ ตั้งแต่ $4$ ถึง $100$ มีจำนวนเต็ม $24$ จำนวนที่ $n-1$ หารด้วย $4$ ลงตัว เราสามารถหาจำนวนเต็มเหล่านี้ได้โดยการเพิ่ม $1$ ให้กับทุกจำนวนที่เป็นคูณของ $4$ แต่เราต้องไม่รวม $100$ เนื่องจาก $100+1 = 101 > 100$ ดังนั้นมีจำนวนเต็มที่ไม่ถูกต้อง $49$ จำนวน ดังนั้นมีจำนวนเต็มที่ถูกต้อง $99 - 49 = \boxed{50}$ จำนวน | 99 - 49 = \boxed{50} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คณะกรรมการวุฒิสภาประกอบด้วยพรรคเดโมแครต 5 คน พรรครีพับลิกัน 5 คน และอิสระ 1 คน มีวิธีเรียงที่นั่งรอบโต๊ะกลมกี่วิธี ถ้าสมาชิกในแต่ละพรรคต้องนั่งติดกัน (การนั่งที่ถือว่าเหมือนกันถ้าเป็นการหมุนของอีกแบบหนึ่ง) | เลือกที่นั่งใดๆ ที่จะให้สมาชิกอิสระนั่ง -- ไม่สำคัญว่าจะเลือกที่นั่งใด เพราะเราสามารถหมุนโต๊ะได้ เมื่อเลือกที่นั่งของสมาชิกอิสระแล้ว สมาชิกพรรคเดโมแครตจะนั่งทางซ้ายของสมาชิกอิสระทั้งหมด และสมาชิกพรรครีพับลิกันจะนั่งทางขวา หรือในทางกลับกัน ในทั้งสองกรณี มี $5!$ วิธีในการจัดที่นั่งของสมาชิกพรรคเดโมแครต และ $5!$ วิธีในการจัดที่นั่งของสมาชิกพรรครีพับลิกัน ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดที่นั่งรอบโต๊ะทั้งหมดคือ $2\cdot5!\cdot5!=2\cdot120\cdot120=\boxed{28800}$ | 2\cdot5!\cdot5!=2\cdot120\cdot120=\boxed{28800} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\left(2^{\left(1\frac{1}{4}\right)}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(4^{\left(3\frac{1}{8}\right)}\right)^{\frac{2}{25}}$. | นอกจากความรู้เกี่ยวกับการใช้เลขผสมแล้ว การแก้ปัญหานี้ยังต้องอาศัยสมบัติของเลขชี้กำลังสองข้อพื้นฐาน: \[a^b \cdot a^c = a^{b+c}\] และ \[\left(l^m\right)^n = l^{m \cdot n}.\] โดยคำนึงถึงสมบัติเหล่านี้ เราสามารถดำเนินการอย่างง่ายต่อไปนี้ \begin{align*}
\left(2^{\left(1\frac{1}{4}\right)}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(4^{\left(3\frac{1}{8}\right)}\right)^{\frac{2}{25}}
&= \left(2^{\frac{5}{4}}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(4^{\frac{25}{8}}\right)^{\frac{2}{25}}\\
&= 2^{\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5}} \cdot 4^{\frac{25}{8} \cdot \frac{2}{25}}\\
&= 2^{\frac{2}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{2}{8}}\\
&= 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{2 \cdot \frac{1}{4}}\\
&= 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}\\
&= 2^{(\frac{1}{2} + \frac{1}{2})}\\
&= \boxed{2}.
\end{align*} | 2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ A = 1, B = 2, C = 3, ..., Z = 26 ค่าของคำคือผลคูณของค่าของตัวอักษรในคำนั้น ตัวอย่างเช่น คำ CAB มีค่าเท่ากับ 3 × 1 × 2 = 6 คำภาษาอังกฤษทั่วไปคำไหนจะมีค่าเท่ากับ 715? ไม่จำเป็นต้องเป็นคำที่มีความยาว 3 ตัวอักษร | แยกตัวประกอบ 715 เป็น $715=5\cdot11\cdot13$. วิธีเดียวที่จะเขียน 715 เป็นผลคูณของจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 คือการจัดกลุ่มตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน: \begin{align*}
(5)\cdot (11) \cdot (13) &= 5\cdot 11\cdot 13 \\
(5\cdot11)\cdot 13&=55\cdot 13 \\
5\cdot(11\cdot 13) &= 5\cdot 143 \\
(5\cdot 13) \cdot 11 &= 65 \cdot 11\text{, and}\\
(5\cdot11\cdot13)&=715,
\end{align*} โดยวิธีสุดท้ายเป็นผลคูณที่มีตัวประกอบเพียงตัวเดียว เนื่องจากตัวอักษรไม่สามารถแทนจำนวนที่มากกว่า 26 ได้ ดังนั้น $5\cdot11\cdot 13$ เท่านั้นที่สามารถคำนวณได้จากค่าของคำ ตัวอักษรตัวที่ 5, 11 และ 13 ของตัวอักษรคือ E, K และ M เนื่องจาก E, K และ M ไม่ได้สร้างคำ เราจึงนำตัวอักษร A (ซึ่งไม่ส่งผลต่อผลคูณเนื่องจากค่าของมันคือ 1) มาสร้างคำ $\boxed{\text{MAKE}}$. | \boxed{\text{MAKE}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ มุม $BAD$ และมุม $CDA$ ถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันดังแสดงในรูป จงหาขนาดของมุม $AFD$ ในหน่วยองศา
[asy]
size(150);
pair A , B, C, D; A = (0,0); B = (2, 4); C = (7,4); D = (7, -2);
draw( (0,0)--(2,4) -- (7,4) -- (7, -2)-- cycle);
label("$A$", A, SW);
label("$B$", B, NW);
label("$C$", C, NE);
label("$D$", D, SE);
pair E, F;
E = (4.5-.2,1-.2); F = (5, 3);
draw(A--E--D); draw(A--F--D);
label("$E$", E, N); label("$F$", F, NW);
dot(A);dot(B);dot(C);dot(D);dot(E);dot(F);
label("$x$", (1, 1.5), S); label("$x$", (2, 1), S+W); label("$x$", (2, -1), N+N+N+W);
label("$y$", (5.5+.3, .5-.3), S); label("$y$", (6.5+.3, 0)); label("$y$", (5+.5, -1.5+.3));
label("$110^{\circ}$",(2.5,3.5)); label("$100^{\circ}$",(6.5-.2,3.5));
[/asy] | สามเหลี่ยม $AFD$ ต้องมีขนาดของมุมภายในรวมกันเท่ากับ $180^\circ$ เราทราบว่ามุมอื่น ๆ มีขนาด $2x$ และ $2y$ ดังนั้นมุม $AFD$ ต้องมีขนาด $180-2x-2y=180-(2x+2y)$ องศา เราตอนนี้มาดูรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ ซึ่งขนาดของมุมภายในรวมกันต้องเท่ากับ $360^\circ$ ดังนั้นเราจึงมี $110^\circ +100^\circ +3y+3x=360^\circ$ ดังนั้น $3x+3y=150^\circ$ เราต้องการหา $2x+2y$ ดังนั้นเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย $2/3$ เพื่อให้ได้ $2x+2y=100^\circ$ เราสามารถแทน $100^\circ$ สำหรับ $2x+2y$ ได้เพื่อหาว่าขนาดของมุม $AFD$ คือ $180-(2x+2y)=180-100=\boxed{80}$ องศา | 180-(2x+2y)=180-100=\boxed{80} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อ $35^{12}$ เขียนในรูปทศนิยมหลักหน่วยจะเป็นเท่าใด | หลักหน่วยของ $35^{12}$ จะเหมือนกับหลักหน่วยของ $5^{12}$ หลักหน่วยของ 5 ยกกำลังใดๆ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกจะเท่ากับ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $3t+4-6t+7t-4$. | เราจะรวมพจน์ที่มีตัวแปร และพจน์ที่ไม่มีตัวแปรเข้าด้วยกัน และได้\begin{align*}
3t+4-6t+7t - 4 &= (3t -6t +7t) + (4-4)\\
&=\boxed{4t}
\end{align*} | [
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ \[ x = \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} ?\] | สังเกตว่า \[ \frac{1}{x} = 2 - \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} = 2 - x, \] เราเพียงแค่แก้สมการกำลังสอง $x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = 0$ ดังนั้นเราจะได้ $x = \boxed{1}$ | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงคำนวณ $\arcsin(\sin 66^\circ-\sin 54^\circ)$ เป็นองศา | จากสูตรผลต่างผลบวก
\[ \sin x- \sin z = 2\sin \frac{x-z}{2}\cos\frac{x+z}{2}.\]นำไปใช้กับ $x = 66^{\circ}$ และ $z = 54^{\circ}$ เราได้
\begin{align*}
\arcsin(\sin 66^\circ-\sin54^\circ)&=\arcsin \Big(2\sin\frac{66^\circ -54^\circ }{2}\cos\frac{66^\circ +54^\circ }{2} \Big)\\
&=\arcsin(2\sin6^\circ\cos 60^\circ)\\
&=\arcsin(\sin 6^\circ) \\
&= \boxed{6^{\circ}}.
\end{align*} | 6^{\circ} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \begin{cases}
-x^2 - 1 &\text{if }x<0, \\
2&\text{if }0 \le x< 4, \\
\sqrt{x}&\text{if }x \ge 4.
\end{cases}
\]จงหา $f(\pi)$. | เนื่องจาก $\pi$ มีค่าประมาณ 3.14 เราใช้กรณีที่สอง ดังนั้น $f(\pi) = \boxed{2}$. | f(\pi) = \boxed{2} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $\sqrt{3x+6}=x+2$ ถ้ามีคำตอบหลายคำตอบ ให้เรียงจากน้อยไปมาก แยกด้วยจุลภาค | เรา squaring ทั้งสองข้างเพื่อกำจัดรากที่สอง ซึ่งจะได้ $3x+6= (x+2)^2=x^2+4x+4$ ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวกัน เราจะได้ $x^2+x-2 = 0 = (x+2)(x-1)$ แก้สมการได้ $ x = 1, -2$
เราแทนค่าทั้งสองค่ากลับเข้าไปในสมการเพื่อดูว่าค่าใดเป็น extraneous
สำหรับ $x=1$ เราได้ $\sqrt{3 \cdot 1+6}=1+2$ ซึ่งเป็นจริง
สำหรับ $x=-2$ เราได้ $\sqrt{3 \cdot -2+6}=-2+2$ ซึ่งก็เป็นจริงเช่นกัน
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{-2}$ และ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีวิธีการเขียน 9 เป็นผลรวมของ 1, 2 และ 4 ได้กี่วิธี โดยที่ลำดับของตัวถูกบวกมีความสำคัญ? ตัวอย่างเช่น $4 + 4 + 1$ และ $1 + 4 + 4$ เป็นสองวิธีที่แตกต่างกัน | ก่อนอื่น เราหาจำนวนวิธีในการเขียน 9 เป็นผลรวมของ 1, 2 และ 4 โดยที่ลำดับของตัวถูกบวกไม่สำคัญ เราพบกรณีเหล่านี้: \begin{align*}
&4+4+1 \\
&4+2+2+1 \\
&4+2+1+1+1 \\
&4+1+1+1+1+1 \\
&2+2+2+2+1 \\
&2+2+2+1+1+1 \\
&2+2+1+1+1+1+1 \\
&2+1+1+1+1+1+1+1 \\
&1+1+1+1+1+1+1+1+1
\end{align*}มี $3!/2!=3$ วิธีที่แตกต่างกันสำหรับผลรวมแรก, $4!/2!=12$ สำหรับผลรวมที่สอง, $5!/3!=20$ สำหรับผลรวมที่สาม, $6!/5!=6$ สำหรับผลรวมที่สี่, $5!/4!=5$ สำหรับผลรวมที่ห้า, $6!/3!3!=20$ สำหรับผลรวมที่หก, $7!/5!2!=21$ สำหรับผลรวมที่เจ็ด, $8!/7!=8$ สำหรับผลรวมที่แปด และ $1$ สำหรับผลรวมสุดท้าย รวมทั้งหมดมี $\boxed{96}$ วิธีที่แตกต่างกันในการเขียน 9 เป็นผลรวมของ 1, 2 และ 4 | 96 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ: $\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}$ | แยกตัวประกอบ $3^3$ ออกจากตัวเศษ และ $3^2$ ออกจากตัวส่วน ก่อนที่จะลบ: \[
\frac{3^4-3^3}{3^3-3^2}=\frac{3^3(3-1)}{3^2(3-1)}=\boxed{3}.
\] | 3 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
던지면 두 개의 공정한 6면체 주사위의 합이 3 이상 11 이하가 될 확률은 얼마입니까? | 주사위의 합이 3 이상 11 이하가 아닌 확률을 찾습니다. 각 주사위의 면에는 숫자 1~6이 있으므로 두 개의 1 또는 두 개의 6을 굴릴 때만 이 경우가 발생합니다. 따라서 합이 3 이상 11 이하가 아닌 확률은 $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ 또는 $\frac{1}{18}$입니다. 따라서 우리가 원하는 확률은 $1-\frac{1}{18} = \boxed{\frac{17}{18}}$입니다. | 1-\frac{1}{18} = \boxed{\frac{17}{18}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีเส้นทางก้าว 9 ก้าวจาก $E$ ไป $G$ กี่เส้นทาง?[asy]size(4cm,4cm);int w=6;int h=5;int i;for (i=0; i<h; ++i){draw((0,i) -- (w-1,i));}for (i=0; i<w; ++i){draw((i, 0)--(i,h-1));}label("$G$", (w-1,0), SE);label("$E$", (0,h-1), NW);[/asy] | มี 5 ก้าวไปทางขวา และ 4 ก้าวลง 9 ก้าวนี้สามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้ ดังนั้นคำตอบคือ $\dbinom{9}{4} = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{126}$ | \dbinom{9}{4} = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{126} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวกสามหลักกี่จำนวนที่ไม่หารด้วย 7 ลงตัว? | เราสามารถนับจำนวนจำนวนเต็มสามหลักที่หารด้วย 7 ลงตัวได้ง่ายๆ: จำนวนเต็มสามหลักที่หารด้วย 7 ลงตัวตัวน้อยที่สุดคือ $15 \times 7 = 105$ และจำนวนเต็มสามหลักที่หารด้วย 7 ลงตัวตัวมากที่สุดคือ $142 \times 7 = 994$ ดังนั้นมี $142-15+1 = 128$ จำนวนเต็มสามหลักที่หารด้วย 7 ลงตัว มีจำนวนเต็มสามหลักทั้งหมด 900 จำนวน (ตั้งแต่ 100 ถึง 999) ดังนั้นมี $900-128 = \boxed{772}$ จำนวนเต็มสามหลักที่ไม่หารด้วย 7 ลงตัว | 900-128 = \boxed{772} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มบวกบางจำนวนมีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัว ตัวอย่างเช่น 35 มีตัวประกอบบวกเพียง 1, 5, 7 และ 35 ผลรวมของจำนวนเต็มบวก 5 ตัวแรกที่แต่ละจำนวนมีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัวเท่ากับเท่าใด | จำนวนเต็มบวกที่มีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัวสามารถเขียนได้ในรูป $pq$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน หรือ $p^3$ โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ
โดยใช้สิ่งนี้ เราจะเห็นว่า 5 จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่มีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัวคือ $2\cdot 3 = 6$, $2^3 = 8$, $2\cdot 5 = 10$, $2\cdot 7 = 14$ และ $3\cdot 5 = 15$ การบวกจำนวนเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้ $6 + 8 + 10 + 14 + 15 = \boxed{53}$ | 6 + 8 + 10 + 14 + 15 = \boxed{53} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองวงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกันมีรัศมี 1 นิ้ว และ 10 นิ้ว ตามลำดับ จงหาพื้นที่ (หน่วยเป็นตารางนิ้ว) ที่อยู่ภายนอกวงกลมวงเล็ก แต่ภายในวงกลมวงใหญ่ แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | พื้นที่ของวงกลมวงในคือ $\pi$ พื้นที่ของวงกลมวงนอกคือ $100\pi$ ดังนั้น การลบ $\pi$ จาก $100\pi$ เราจะได้ $\boxed{99\pi \text{ ตารางนิ้ว}}$ | \boxed{99\pi \text{ ตารางนิ้ว}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณค่าของ $\cos 60^\circ$. | กำหนดให้ $P$ เป็นจุดบนวงกลมรัศมี 1 ที่หมุนทวนเข็มนาฬิกา $60^\circ$ จากจุด $(1,0)$ และให้ $D$ เป็นจุดที่ตั้งฉากจาก $P$ ลงบนแกน $x$ ดังแสดงในรูป
[asy]
pair A,C,P,O,D;
draw((0,-1.2)--(0,1.2),p=black+1.2bp,Arrows(0.15cm));
draw((-1.2,0)--(1.2,0),p=black+1.2bp,Arrows(0.15cm));
A = (1,0);
O= (0,0);
label("$x$",(1.2,0),SE);
label("$y$",(0,1.2),NE);
P = rotate(60)*A;
D = foot(P,A,-A);
draw(O--P--D);
draw(rightanglemark(O,D,P,2));
draw(Circle(O,1));
label("$O$",O,SE);
label("$P$",P,NE);
//label("$A$",A,SE);
label("$D$",D,S);
[/asy]
สามเหลี่ยม $POD$ เป็นสามเหลี่ยม 30-60-90 ดังนั้น $DO = \frac{1}{2}$ และ $DP = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ดังนั้นพิกัดของ $P$ คือ $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ดังนั้น $\cos 60^\circ = \boxed{\frac{1}{2}}$ | \cos 60^\circ = \boxed{\frac{1}{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
บนเส้นจำนวน จุด $A$ อยู่ที่ 0 จุด $B$ อยู่ที่ 4 และจุด $C$ อยู่ที่ 6 [asy]
defaultpen(1);
draw((0,0)--(6,0));
for (int i=0;i<7;++i){
draw((i,-.1)--(i,.1));
label(string(i),(i,-.1),(0,-1));
}
label("\(A\)",(0,0),(0,1));
label("\(B\)",(4,0),(0,1));
label("\(C\)",(6,0),(0,1));
[/asy] ลูกศรยิงไปตกบนเส้นจำนวนระหว่าง $A$ และ $C$ สุ่ม ความน่าจะเป็นที่ลูกศรจะตกใกล้ $B$ มากกว่า $A$ หรือ $C$ คือเท่าไร? | สมมติว่าลูกศรตกระหว่าง $A$ และ $B$ จะมีโอกาส 1/2 ที่จะตกใกล้ $A$ มากกว่า $B$ และจะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $C$ เสมอ ดังนั้นโอกาสที่จะตกใกล้ $B$ มากกว่า $A$ และ $C$ คือ 1/2
ในทางกลับกัน หากลูกศรตกระหว่าง $B$ และ $C$ จะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $A$ แน่นอน และมีโอกาส 1/2 ที่จะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $C$ เช่นเดิม โอกาสที่จะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $A$ และ $C$ คือ 1/2
[asy]
defaultpen(.7);
draw((0,0)--(6,0));
for(int i=0;i<=6;++i){
draw((i,-.1)--(i,.1));
label(string(i),(i,-.1),(0,-1));
}
label("\(A\)",(0,0),(0,1));
label("\(B\)",(4,0),(0,1));
label("\(C\)",(6,0),(0,1));
draw((2,0)--(5,0),linewidth(3.5));
[/asy] ในทั้งสองกรณี โอกาสที่ลูกศรจะตกใกล้ $B$ มากที่สุดคือ 1/2 ดังนั้นโอกาสโดยรวมคือ $\boxed{\frac{1}{2}}$. | \boxed{\frac{1}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ตัวอักษร $A, B$ และ $C$ ถูกนำมาใช้ในการสร้างคำสามตัวอักษรที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อคำเหล่านี้ถูกเรียงตามลำดับตัวอักษรและถูกกำหนดหมายเลข โดยที่ $AAA$ คือ คำที่ 1 และ $CCC$ คือ คำที่ 27 คำไหนจะตรงกับตำแหน่งของคำ $BAB$ บนรายการ | มี 9 คำที่เป็นไปได้ที่ขึ้นต้นด้วย A ในรายการ ดังนั้น คำแรกที่ขึ้นต้นด้วย B, BAA คือ คำที่ 10 BAB คือ คำถัดไปหลัง BAA หรือ คำที่ $\boxed{11}$ | \boxed{11} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $a\star b = 9a+2b-ab+5$ จงหาค่าของ $5\star1$ | จากฟังก์ชันที่กำหนดให้ $5\star 1 = 9(5)+2(1)-(5)(1)+5= 45+2-5+5=\boxed{47}$ | 47 | [
"ประยุกต์"
] |
ลูกเต๋าที่มีหน้าแปดหน้าหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 ถูกโยน 6 ครั้ง และบันทึกลำดับของตัวเลขที่ปรากฏขึ้น มีลำดับที่เป็นไปได้กี่ลำดับ? | แต่ละครั้งที่โยนลูกเต๋าจะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 8 แบบ ดังนั้นจำนวนลำดับที่เป็นไปได้คือ $$8^6=\boxed{262144}$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่เป็นผลคูณของ $9^3$ และมีค่ามากกว่า $9^4$ แต่มีค่าน้อยกว่า $9^5$ | เนื่องจาก $9^4=9(9^3)$ และ $9^5=9^2\cdot9^3=81(9^3)$ เราต้องนับจำนวนเต็มระหว่าง 10 ถึง 80 รวมทั้ง 10 และ 80 ด้วย จำนวนนั้นคือ $80-10+1=71$ ดังนั้นมีจำนวน $\boxed{71}$ จำนวนที่เป็นผลคูณของ $9^3$ และมีค่ามากกว่า $9^4$ แต่มีค่าน้อยกว่า $9^5$ | 71 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หนังสือคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนหน้าเป็นเลขสองหลักถูกแบ่งออกเป็นตอนๆ แต่ละตอนยาว 12 หน้า ยกเว้นตอนพิเศษ ซึ่งยาว 11 หน้า ทุกหน้าอยู่ในตอน และในส่วนท้ายของหน้าที่ 5, 10, 15, ... จะมีข้อเท็จจริงเล็กๆ นำเสนอ โดยเริ่มจากหน้าที่ 5 ถ้าข้อเท็จจริงเล็กๆ นำเสนออยู่บนหน้าที่สองจากหน้าสุดท้าย หนังสือเล่มนี้มีกี่หน้า | สมมติว่าหนังสือเล่มนี้มี $p$ หน้า จะได้ว่า $p \equiv 11 \pmod{12}$ นอกจากนี้ เนื่องจากหน้าที่สองจากหน้าสุดท้ายมีข้อเท็จจริงเล็กๆ ดังนั้น $p-1$ หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้น $p \equiv 1 \pmod{5}$ จากทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน เนื่องจาก $11 \equiv 1 \pmod{5}$ จะได้ว่า $p \equiv 11 \pmod{60}$ ตอนนี้ $p$ เป็นเลขสองหลัก ดังนั้น $p$ ต้องเป็น 11 หรือ 71 อย่างไรก็ตาม ตอนพิเศษยาว 11 หน้าแล้ว ดังนั้น หนังสือเล่มนี้ต้องมี $\boxed{71}$ หน้า | \boxed{71} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในกลุ่มนักเรียนมัธยมศึกษา 30 คน มีนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส 8 คน เรียนภาษาสเปน 12 คน และเรียนทั้งสองภาษา 3 คน มีนักเรียนกี่คนในกลุ่มที่เรียน neither ภาษาฝรั่งเศสหรือภาษาสเปน | แผนภาพ Venn จะช่วยอธิบายวิธีแก้ปัญหาได้ดี ลองวาดวงรีแทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส และอีกวงรีแทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาสเปน ในแผนภาพ โปรดสังเกตว่าจุดตัด (ส่วนทับซ้อน) ของวงรีทั้งสองแสดงถึงเซตของนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศสและภาษาสเปน (ดูบริเวณ B) เราเริ่มต้นด้วยการวาง 3 x ในบริเวณ B ซึ่งแทนนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศสและภาษาสเปน บริเวณ A แทนเซตที่เรียนภาษาฝรั่งเศสเพียงอย่างเดียว เนื่องจากจำนวนรวมในบริเวณ A และ B ต้องเป็น 8 เราจึงวาง 5 x ในบริเวณ A เช่นเดียวกัน วาง 9 x ในบริเวณ C D แทนเซตที่เรียน neither ภาษาฝรั่งเศสหรือภาษาสเปน ในแผนภาพ Venn ที่สอง แต่ละ x แทนนักเรียน โปรดสังเกตว่าจำนวน x ทั้งหมดในบริเวณ A, B และ C เท่ากับ 17 ดังนั้น D มี $30-17=\boxed{13}$ นักเรียน
[asy]
size(7cm,7cm);
draw(shift(0,0)*yscale(0.6)*Circle((0,0), 1));
draw(shift(1,0)*yscale(0.6)*Circle((0,0), 1));
draw((-2,-1)--(3,-1)--(3,1)--(-2,1)--(-2,-1));
label("A",(-0.5,0));
label("B",(0.5,0));
label("C",(1.5,0));
label("D",(2.3,-0.5));
label("French",(-1.2,0.7));
label("Spanish",(2,0.7));
[/asy]
[asy]
size(7cm,7cm);
draw(shift(0,0)*yscale(0.6)*Circle((0,0), 1));
draw(shift(1,0)*yscale(0.6)*Circle((0,0), 1));
draw((-2,-1)--(3,-1)--(3,1)--(-2,1)--(-2,-1));
label("A",(-0.5,0));
label("B",(0.5,0));
label("C",(1.5,0));
label("D",(2.3,-0.5));
label("French",(-1.2,0.7));
label("Spanish",(2,0.7));
label("xxx",(-0.2,-0.2));
label("xx",(-0.2,-0.4));
label("xx",(0.5,-0.2));
label("x",(0.5,-0.4));
label("xxxxx",(1.4,-0.2));
label("xxxx",(1.3,-0.4));
[/asy] | 30-17=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ:
\[
\sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{7\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12}.
\] | สังเกตว่าปัญหาประกอบด้วยสามคู่ที่มีรูปแบบ $\sin \theta + \sin(\pi - \theta).$ สูตรผลรวมผลต่างให้ผลลัพธ์
\begin{align*}
\sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{5\pi}{12} \\
&= 2 \cos \frac{5\pi}{12}, \\
\sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{4} \\
&= \sqrt{2}, \\
\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{7\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{12} \\
&= 2 \cos \frac{\pi}{12}.
\end{align*}นำสูตรผลรวมผลต่างมาใช้ซ้ำอีกครั้งให้ผลลัพธ์
\begin{align*}
& \sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{7\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12} \\
&= \sqrt{2} + 2 \Big(\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} \Big) \\
&= \sqrt{2} + 4 \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} \\
&= \sqrt{2} + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\
&= \boxed{\sqrt{2} + \sqrt{6}}.
\end{align*} | \sin \theta + \sin(\pi - \theta). | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
รูปหกเหลี่ยมปกติถูกตัดเพื่อสร้างรูปสิบสองเหลี่ยมปกติ (12 เหลี่ยม) โดยการลบสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันออกจากมุมทั้งหกของมัน กี่เปอร์เซ็นต์ของพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมเดิมถูกตัดออก? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมตำแหน่งที่ใกล้เคียงที่สุด | โดยไม่เสียความ générales ให้ความยาวด้านของรูปหกเหลี่ยมเป็น 1 หน่วย และให้ $u$ เป็นความยาวของด้านที่เท่ากันในสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ถูกตัดออก กำหนดจุด $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ และ $F$ ดังที่แสดงในรูป สามเหลี่ยม $CDB$ เป็นสามเหลี่ยม 30-60-90 ดังนั้น $CD=u/2$ และ $DB=u\sqrt{3}/2$ นอกจากนี้ $AB=1-2u$ เพราะ $CF=1$ และ $CB=AF=u$ เพื่อให้รูปสิบสองเหลี่ยมที่ได้เป็นรูปปกติ เราต้องมี $AB=2\cdot BD$ เราพบ \begin{align*}
1-2u&=u\sqrt{3} \implies \\
1&=2u+u\sqrt{3} \implies \\
1&=u(2+\sqrt{3}) \implies \\
\frac{1}{2+\sqrt{3}}&=u.
\end{align*} คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย $2-\sqrt{3}$ เพื่อทำให้ตัวส่วนเป็นตรรกยะ เราได้ $u=2-\sqrt{3}$ พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติที่มีความยาวด้าน $s$ คือ $3s^2\sqrt{3}/2$ ดังนั้นพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมคือ $3\sqrt{3}/2$ พื้นที่ที่ถูกตัดออกคือ $6\times \frac{1}{2}(CD)(2\cdot BD)=3u^2\sqrt{3}/2$ ดังนั้นเศษส่วนของพื้นที่ที่ถูกตัดออกคือ $u^2$ ซึ่งเป็นเปอร์เซ็นต์ที่ใกล้เคียงที่สุดคือ $0.072=\boxed{7.2\%}$. [asy]
size(250);
real r = sqrt(6-3*sqrt(3));
pair A=r*dir(15), B=r*dir(45), C=dir(60), D=sqrt(3)/2*dir(60), Ep=(0,0), F=dir(0);
pair[] dots = {A,B,C,D,Ep,F};
dot(dots);
label("$A$",A,A);
label("$B$",B,B);
label("$C$",C,C);
label("$D$",D,1.6*(W+0.3*SW));
label("$E$",Ep,SW);
label("$F$",F,E);
int i;
for(i=0;i<=5;++i)
{
draw(dir(60*i)--dir(60*(i+1)));
}
for(i=0;i<=11;++i)
{
draw(r*dir(15+30*i)--r*dir(15+30*(i+1)));
}
draw((0,0)--dir(60));
label("$u$",dir(60)+0.12*SE);
label("$1-2u$",dir(30));[/asy] | 7.2 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $(-125)^{4/3}$ | เราได้ว่า \[(-125)^{4/3} = ((-5)^3)^{4/3} = (-5)^{3\cdot (4/3)} = (-5)^4 = \boxed{625}.\] | 625 | [
"ประยุกต์"
] |
ให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่ $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
พิมพ์ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | เนื่องจาก $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่
\[f(-x)g(-x) = f(x)g(x),\]ดังนั้น $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชัน $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในงานเลี้ยงมีการจับมือกันทั้งหมด 78 ครั้ง ถ้าแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ จะมีคนมางานเลี้ยงกี่คน | เนื่องจากแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ ทุกคู่ของคนจะจับมือกันครั้งเดียว ดังนั้น 78 แทนจำนวนคู่ ซึ่งเราสามารถนับเป็น ${n \choose 2}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนคนที่มาร่วมงานเลี้ยง ดังนั้น $n(n-1) = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 6 \cdot 13 = 12 \cdot 13$ ดังนั้น $n=13$ จะได้จำนวนคนมาร่วมงานเลี้ยงเท่ากับ $\boxed{13}$ คน | \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่รากของสมการ
\[x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0\]เป็นจำนวนจริงทั้งหมด จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a.$ | สังเกตว่า $x = -1$ เป็นรากของ $x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0$ เสมอ ดังนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบ $x + 1$ ได้เป็น
\[(x + 1) (x^2 + (a - 1) x + 1) = 0.\]ตัวประกอบกำลังสองจะมีรากเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อค่าจำแนกไม่เป็นลบ:
\[(a - 1)^2 - 4 \ge 0.\]ซึ่งจะลดรูปเป็น $a^2 - 2a - 3 \ge 0$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(a + 1)(a - 3) \ge 0.$ ค่าบวกที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการนี้คือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $4^{a}=5$, $5^{b}=6$, $6^{c}=7,$ และ $7^{d}=8$. จงหาค่าของ $a\cdot b\cdot c\cdot d$? | เนื่องจาก \[
4^{a\cdot b\cdot c\cdot d}
= \left(\left(\left(4^a\right)^b\right)^c\right)^d
= \left(\left( 5^b\right)^c\right)^d
= \left(6^c\right)^d = 7^d = 8 = 4^{3/2},
\]เราได้ว่า $a\cdot b\cdot c\cdot d = \boxed{\frac{3}{2}}$. | a\cdot b\cdot c\cdot d = \boxed{\frac{3}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ส่วนโค้งพาราโบลา มีจุดยอดที่ $(4,-5)$ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ถ้าส่วนโค้งพาราโบลาเป็นกราฟของ $y = ax^2 + bx + c$ สัมประสิทธิ์ใดใน $a,$ $b,$ และ $c$ ที่ต้องเป็นบวก?
ใส่สัมประสิทธิ์ที่ต้องเป็นบวก แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณคิดว่า $a$ และ $c$ ต้องเป็นบวก ให้ใส่ "$a,$ $c$", โดยไม่มีเครื่องหมายคำพูด | พิกัด $y$ ของจุดยอดเป็นลบ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด ดังนั้นพาราโบลาต้องหงายขึ้น ซึ่งหมายความว่า $a$ ต้องเป็นบวก นอกจากนี้ จุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ดังนั้น จุดตัดแกน $y$ $c$ ต้องเป็นลบ
พิกัด $x$ ของจุดยอดเป็นบวก ซึ่งก็คือ $-\frac{b}{2a}$ เนื่องจาก $a$ เป็นบวก ดังนั้น $b$ เป็นลบ
ดังนั้น สัมประสิทธิ์เพียงตัวเดียวที่ต้องเป็นบวกคือ $\boxed{a}.$ | \boxed{a}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน $s > 0$ มีสมบัติที่พื้นที่ผิวของมันเท่ากับผลรวมของปริมาตรของมันและห้าเท่าของความยาวด้านของมัน จงคำนวณผลรวมของค่า $s$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
[asy]
size(5cm,5cm);
pair A,B,C,D,E,F,G,H;
A=(0,0);
B=(1,0);
C=(1,1);
D=(0,1);
E=(0.3,1.5);
F=C+(E-D);
G=B+(E-D);
H=A+(E-D);
draw(A--B--C--D--A--H--E);
draw(D--C--F);
draw(H--G);
draw(D--E--F--G--B);
dot(A);
dot(B);
dot(C);
dot(D);
dot(E);
dot(F);
dot(G);
dot(H);
[/asy] | ปริมาตรของลูกบาศก์คือ $s^3$ และพื้นที่ผิวของมันคือ $6s^2$ ดังนั้นเราจึงมี $6s^2=s^3+5s$ หรือ $0=s^3-6s^2+5s=s(s-1)(s-5)$ ดังนั้นค่า $s$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งสองคือ 1 และ 5 ผลรวมของค่า $s$ คือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนหนึ่งคูณด้วยห้า ผลลัพธ์จะเท่ากับยี่สิบเอ็ดบวกสองเท่าของจำนวนเดิม จำนวนเดิมมีค่าเท่าใด | ให้จำนวนนั้นเป็น $x$ เราทราบว่า $5x=2x+21$ ลบ $2x$ ออกจากทั้งสองข้างจะได้ $3x=21$ จากนั้นหารทั้งสองข้างด้วย 3 จะได้ $x=\boxed{7}$ | x=\boxed{7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
รูปดาวห้าแฉกถูกวาดบนหน้าปัดนาฬิกาโดยการวาดคอร์ดจากตัวเลขแต่ละตัวไปยังตัวเลขที่ห้าที่นับตามเข็มนาฬิกาจากตัวเลขนั้น กล่าวคือ คอร์ดถูกวาดจาก 12 ถึง 5 จาก 5 ถึง 10 จาก 10 ถึง 3 และอื่นๆ จนถึง 12 อีกครั้ง มุมที่แต่ละจุดยอดของรูปดาวห้าแฉกมีขนาดเท่าไร | พิจารณาคอร์ดสองเส้นที่มีจุดปลายที่ 5 ส่วนโค้งที่ถูกคั่นด้วยมุมที่กำหนดโดยคอร์ดเหล่านี้จะขยายจาก 10 ถึง 12 ดังนั้นขนาดของส่วนโค้งเป็น $(2/12)(360)=60$ ตามทฤษฎีบทมุมศูนย์กลาง ขนาดของมุมนี้คือ $(1/2)(60)=30$ ตามความสมมาตร ขนาดของมุมที่แต่ละจุดยอดคือ $\boxed{30}$ | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้ทำให้ง่ายขึ้น $\frac{1}{5}\cdot \frac{8}{7}\div \frac{12}{20}$. | ก่อนอื่น เราสามารถใช้กฎการหารเพื่อให้ได้นิพจน์ที่มีเพียงการคูณของเศษส่วนเท่านั้น เราได้ $$\frac{1}{5}\cdot \frac{8}{7}\div \frac{12}{20}=\frac{1}{5}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{20}{12}.$$สังเกตว่า $5$ และ $20$ มีตัวประกอบร่วมกันคือ $5$ เราสามารถเห็นได้ว่า $8$ และ $12$ มีตัวประกอบร่วมกันคือ $4$ ดังนั้นเราสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ $$\frac{1}{5}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{20}{12}=\frac{1}{\cancel{5}}\cdot \frac{\cancelto{2}{8}}{7}\cdot \frac{\cancelto{4}{20}}{\cancelto{3}{12}}=\frac{1\cdot 2 \cdot 4}{7\cdot 3}=\boxed{\frac{8}{21}}.$$ | [
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] | |
กำหนดให้เส้นตรง $L$ เป็นจุดตัดระหว่างระนาบ $x + y + z - 6 = 0$ และ $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ จงหาสมการของระนาบที่บรรจุเส้นตรง $L$ และจุด $(1,1,1)$ แสดงคำตอบในรูป
\[Ax + By + Cz + D = 0,\]โดยที่ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง $A > 0$ และ $\gcd(|A|,|B|,|C|,|D|) = 1.$ | พิจารณาสมการ
\[a(x + y + z - 6) + b(2x + 3y + 4z + 5) = 0,\]โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัวบางค่า เนื่องจาก $L$ อยู่ในระนาบทั้งสอง $L$ จึงสอดคล้องกับสมการ $x + y + z - 6 = 0$ และ $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ ดังนั้น $L$ จึงสอดคล้องกับสมการข้างต้น
เราต้องการให้ $(1,1,1)$ สอดคล้องกับสมการด้วย ดังนั้นเราแทนค่าเหล่านี้ลงไป จะได้
\[-3a + 14b = 0.\]เราสามารถเลือก $a = 14$ และ $b = 3$ ได้ ซึ่งจะให้
\[14(x + y + z - 6) + 3(2x + 3y + 4z + 5) = 0,\]ซึ่งจะútเป็น $\boxed{20x + 23y + 26z - 69 = 0}.$ | \boxed{20x + 23y + 26z - 69 = 0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ปริมาตรของลูกบาศก์มีค่าตัวเลขเท่ากับหกเท่าของผลรวมของความยาวของขอบของมัน ลูกบาศก์นี้มีปริมาตรเท่าไรในหน่วยลูกบาศก์ แสดงคำตอบของคุณในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ให้ $s$ เป็นความยาวของด้านของลูกบาศก์ ปริมาตรของลูกบาศก์คือ $s^3$ และผลรวมของความยาวของขอบของลูกบาศก์คือ $12s$ ดังนั้นเราต้องมี $s^3 = 6\cdot 12s$ ดังนั้น $s^3=72s$ ลบ $72s$ จากทั้งสองข้างจะได้
\[
s^3-72s=0,
\]ดังนั้น \[
s(s^2-72)=0,
\]ซึ่งหมายความว่า \[
s = 0 \text{ or } s=\pm \sqrt{72}
\] ปฏิเสธคำตอบที่ไม่เป็นบวก เราพบว่า $s=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ ปริมาตรของลูกบาศก์คือ $s^3=6^3\cdot(\sqrt{2})^3=\boxed{432\sqrt{2}}$ หน่วยลูกบาศก์ | s^3=6^3\cdot(\sqrt{2})^3=\boxed{432\sqrt{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงประเมินค่าของ $(x+y)(x-y)$ เมื่อ $x=13$ และ $y = 5$ | เราสามารถประเมินค่าโดยตรง หรือใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสอง: $(x+y)(x-y) = x^2-y^2 = 13^2-5^2 = 169-25 =\boxed{144}$ | (x+y)(x-y) = x^2-y^2 = 13^2-5^2 = 169-25 =\boxed{144} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนวิธีที่สามารถเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า BANANA ได้ โดยที่คำใหม่ที่เกิดขึ้นจะไม่ขึ้นต้นด้วย B | สิ่งแรกที่ต้องทำคือการวาง B เนื่องจากมีข้อจำกัดในการวาง B เราสามารถวาง B ได้ทุกตำแหน่งยกเว้นตำแหน่งแรก ดังนั้นจึงมี 5 ตัวเลือก เมื่อเราทำเสร็จแล้ว เราก็เพียงแค่ต้องวาง N สองตัว และตำแหน่งที่เหลือก็จะเป็น A เราเหลือ 5 ตำแหน่ง ดังนั้นมี 5 ตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของ N ตัวแรก และ 4 ตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของ N ตัวที่สอง อย่างไรก็ตาม N ทั้งสองตัวเหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าเราได้นับคำใหม่แต่ละคำสองครั้ง ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\frac{5\times5\times4}{2}=\boxed{50}$ | \frac{5\times5\times4}{2}=\boxed{50} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับเรขาคณิต $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots,$ โดยที่ทุกพจน์เป็นบวก $a_5 - a_4 = 576$ และ $a_2 - a_1 = 9.$ จงหา $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ | กำหนดให้ $a$ เป็นพจน์แรก และ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม แล้ว $ar^4 - ar^3 = 576,$ ดังนั้น $ar^3 (r - 1) = 576.$ นอกจากนี้ $ar - a = 9,$ ดังนั้น $a(r - 1) = 9.$ ดังนั้น $9r^3 = 576,$ ดังนั้น $r = 4.$ ดังนั้น $3a = 9,$ ดังนั้น $a = 3.$ ดังนั้น
\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + 3 \cdot 4^4 = \frac{3 (4^5 - 1)}{4 - 1} = \boxed{1023}.\] | a = 3. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z,$ จงคำนวณค่าต่ำสุดของ
\[|z + 5 - 3i| + |z - 7 + 2i|.\] | ในทางเรขาคณิต $|z + 5 - 3i|$ คือระยะห่างระหว่างจำนวนเชิงซ้อน $z$ และ $-5 + 3i$ บนระนาบเชิงซ้อน และ $|z - 7 + 2i|$ คือระยะห่างระหว่าง $z$ และ $7 - 2i.$
[asy]
unitsize(0.4 cm);
pair A, B, Z;
A = (-5,3);
B = (7,-2);
Z = (6,6);
draw(A--B);
draw(A--Z--B);
dot("$-5 + 3i$", A, NW);
dot("$7 - 2i$", B, SE);
dot("$z$", Z, NE);
[/asy]
โดยอสมการสามเหลี่ยม ผลรวมของระยะห่างจะน้อยที่สุดเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจำนวนเชิงซ้อน $-5 + 3i$ และ $7- 2i$ ซึ่งในกรณีนี้ ผลรวมของระยะห่างคือ $| (5 - 3i) - (-7 + 2i)| = |12 - 5i| = \boxed{13}.$ | |(5 - 3i) - (-7 + 2i)| = |12 - 5i| = \boxed{13}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ ซึ่ง $f(1) = 2$ และ
\[f(xy) = f(x) f(y) - f(x + y) + 1\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{Q}.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right)$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = 2f(x) - f(x + 1) + 1,\]ดังนั้น $f(x + 1) = f(x) + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$ จากนั้น
\begin{align*}
f(x + 2) &= f(x + 1) + 1 = f(x) + 2, \\
f(x + 3) &= f(x + 2) + 1 = f(x) + 3,
\end{align*}และอื่นๆ โดยทั่วไป,
\[f(x + n) = f(x) + n\]สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}$ และทุกจำนวนเต็ม $n.$
เนื่องจาก $f(1) = 2,$ จะได้ว่า
\[f(n) = n + 1\]สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n.$
ให้ $x = \frac{a}{b},$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq 0.$ กำหนด $x = \frac{a}{b}$ และ $y = b,$ เราได้
\[f(a) = f \left( \frac{a}{b} \right) f(b) - f \left( \frac{a}{b} + b \right) + 1.\]เนื่องจาก $f(a) = a + 1,$ $f(b) = b + 1,$ และ $f \left( \frac{a}{b} + b \right) = f \left( \frac{a}{b} \right) + b,$
\[a + 1 = (b + 1) f \left( \frac{a}{b} \right) - f \left( \frac{a}{b} \right) - b + 1.\]แก้สมการ, เราได้
\[f \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{a + b}{b} = \frac{a}{b} + 1.\]ดังนั้น $f(x) = x + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$
เราสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันนี้ทำงาน ดังนั้น $n = 1$ และ $s = \frac{3}{2},$ ดังนั้น $n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}.$ | n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปหกเหลี่ยมมุมเท่ากัน $ABCDEF$ มีความยาวด้าน $AB=CD=EF=1$ และ $BC=DE=FA=r$ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ACE$ เป็น $70\%$ ของพื้นที่รูปหกเหลี่ยม จงหาผลรวมของค่า $r$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | เห็นได้ชัดว่ารูปสามเหลี่ยม $ACE$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากกฎของโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ เราได้ว่า
\[AC^2 = r^2+1^2-2r\cos 60^\circ = r^2+r+1.\]ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ACE$ คือ $\frac{\sqrt{3}}{4}(r^2+r+1)$.
ถ้าเราต่อ $\overline{AB}$, $\overline{CD},$ และ $\overline{EF}$ ออกไปจนกว่า $\overline{EF}$ และ $\overline{AB}$ จะตัดกันที่ $X$, $\overline{AB}$ และ $\overline{CD}$ ตัดกันที่ $Y$, และ $\overline{CD}$ และ $\overline{EF}$ ตัดกันที่ $Z$ เราจะพบว่ารูปหกเหลี่ยม $ABCDEF$ ถูกสร้างขึ้นโดยการนำรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า $XYZ$ ของความยาวด้าน $2r+1$ มาลบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า $FXA$, $BYC$ และ $DZE$ ของความยาวด้าน $r$ พื้นที่ของ $ABCDEF$ จึงเป็น
\[\frac{\sqrt{3}}{4}(2r + 1)^2-\frac{3\sqrt{3}}{4} r^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(r^2+4r+1).\][asy]
unitsize (4 cm);
real r = 0.5;
pair A, B, C, D, E, F, X, Y, Z;
A = (r,0);
B = A + (1,0);
C = B + r*dir(60);
D = C + dir(120);
E = D + (-r,0);
F = E + dir(240);
X = (0,0);
Y = B + (r,0);
Z = D + r*dir(120);
draw(A--B--C--D--E--F--cycle);
draw(A--C--E--cycle);
draw(F--X--A,dashed);
draw(B--Y--C,dashed);
draw(D--Z--E,dashed);
label("$A$", A, S);
label("$B$", B, S);
label("$C$", C, NE);
label("$D$", D, NE);
label("$E$", E, NW);
label("$F$", F, NW);
label("$X$", X, SW);
label("$Y$", Y, SE);
label("$Z$", Z, N);
label("$1$", (A + B)/2, S);
label("$r$", (B + C)/2, SE);
[/asy]
จากเงื่อนไขเริ่มต้น
$$\frac{\sqrt{3}}{4}(r^2+r+1) = \frac{7}{10}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)(r^2+4r+1).$$การทำให้เป็นอย่างง่ายจะได้ $r^2-6r+1 = 0$ จากสูตรของ Vieta เราทราบว่าผลรวมของค่า $r$ ที่เป็นไปได้คือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ลูกตักไอศกรีมตักไอศกรีมทรงกลมที่มีรัศมี 1 นิ้ว ถ้าอนุญาตให้ไอศกรีมละลายลงในโคนไอศกรีมแล้วจะต้องใช้ลูกตักกี่ลูกในการเติมโคนไอศกรีมที่มีรัศมี 2 นิ้วและความสูง 5 นิ้ว | ลูกตักไอศกรีมแต่ละลูกมีปริมาตร $\frac{4}{3}\pi (1^3) = \frac{4}{3}\pi$ ลูกบาศก์นิ้ว โคนไอศกรีมจุได้ $\frac{1}{3}\pi (2^2)(5) = \frac{20}{3}\pi$ ลูกบาศก์นิ้ว $\frac{\frac{20}{3}\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 5$ ดังนั้นเราต้องการลูกตัก $\boxed{5}$ ลูกเพื่อเติมโคน | \boxed{5} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มที่เลือกมาแบบสุ่มจากเซต $$\{1,2,3,\ldots,100\}$$ จะหารด้วย 2 ลงตัวและไม่หารด้วย 3 ลงตัว แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจาก $100 = 50\cdot 2$ มีจำนวนเต็ม 50 จำนวนในเซตที่หารด้วย 2 ลงตัว จำนวนที่หารด้วย 2 และ 3 ลงตัวคือตัวที่หารด้วย 6 ลงตัว การหาร 100 ด้วย 6 จะได้ $16\frac23$ ดังนั้นมี 16 จำนวนในเซตที่หารด้วย 6 ลงตัว ซึ่งเหลือ $50-16 = 34$ จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัวแต่ไม่หารด้วย 3 ลงตัว มีจำนวนเต็ม 100 จำนวนในเซต ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $\dfrac{34}{100} = \boxed{\dfrac{17}{50}}$ | \dfrac{34}{100} = \boxed{\dfrac{17}{50}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
รถบัสจะมาถึงป้ายรถเมล์ของเจอร์รี่ทุกๆ 20 นาที เริ่มตั้งแต่เวลา 05:13 น. ถ้าเจอร์รี่มาถึงป้ายรถเมล์เวลา 08:35 น. เขาจะต้องรอรถเมล์คันต่อไปนานเท่าไร? | เนื่องจาก 20 นาทีหาร 60 นาที (ซึ่งเท่ากับ 1 ชั่วโมง) ลงตัว ดังนั้นรถเมล์จะจอดทุกๆ 13 นาที, $13 + 20 = 33$ นาที และ $33 + 20 = 53$ นาทีหลังจากชั่วโมง. ดังนั้นหลังจากเวลา 08:35 น. ครั้งต่อไปที่รถเมล์จะจอดคือ 08:53 น. ดังนั้นเจอร์รี่ต้องรอ $53 - 35 = \boxed{18}$ นาที | 53 - 35 = \boxed{18} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำตอบของสมการ $(x+1)(x+2) = x+3$ สามารถเขียนในรูป $m+\sqrt n$ และ $m-\sqrt n$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่า $m+n$? | ก่อนอื่นเราระยะขยายด้านซ้ายของสมการของเราเพื่อให้ได้ $$x^2+3x+2 = x+3.$$จากนั้นเราลบ $x+3$ จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้สมการกำลังสองในรูปแบบมาตรฐาน: $$x^2+2x-1 = 0.$$สมการนี้ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อย่างชัดเจน ดังนั้นเราจึงใช้สูตรกำลังสอง ซึ่งให้คำตอบของ $$x = \frac{-(2) \pm\sqrt{(2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}.$$เราสามารถทำให้ง่ายขึ้น โดยหาร $2$ จากตัวเศษและตัวส่วนเพื่อให้ได้ $$x = -1\pm\sqrt{2}.$$ดังนั้น จำนวนเต็ม $m$ และ $n$ ที่อ้างถึงในปัญหาคือ $m=-1$, $n=2$ และผลรวมของมันคือ $-1+2=\boxed{1}$. | -1+2=\boxed{1} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $z = a + bi,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า
\[z^3 + |z|^2 + z = 0,\]จงหาคู่ลำดับ $(a,b).$ | เราสามารถเขียน $|z|^2 = z \overline{z},$ ดังนั้นสมการจะกลายเป็น
\[z^3 + z \overline{z} + z = 0.\]เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก $z = a + bi$ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการข้างต้นด้วย $z$ ซึ่งจะได้
\[z^2 + \overline{z} + 1 = 0.\]จากนั้น $(a + bi)^2 + \overline{a + bi} + 1 = 0,$ หรือ
\[a^2 + 2abi - b^2 + a - bi + 1 = 0.\] equate real and imaginary parts, we get
\begin{align*}
a^2 - b^2 + a + 1 &=0, \\
2ab - b &= 0.
\end{align*}จากสมการที่สอง $b(2a - 1) = 0.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนจริงบวก $2a - 1 = 0,$ ดังนั้น $a = \frac{1}{2}.$ จากนั้นจากสมการแรก
\[b^2 = a^2 + a + 1 = \frac{7}{4}.\]เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนจริงบวก $b = \frac{\sqrt{7}}{2}.$ ดังนั้น $(a,b) = \boxed{\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} \right)}.$ | (a,b) = \boxed{\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยหลักหน่วยของ $a$ เป็น 2, หลักหน่วยของ $b$ เป็น 4 และ ห.ร.ม. ของ $a$ และ $b$ เป็น 6
จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ ค.ร.น. ของ $a$ และ $b$ | ทั้ง $a$ และ $b$ ต้องหารด้วย 6 ลงตัว ดังนั้น ตัวเลือกสำหรับ $a$ คือ $$12, 42, 72, 102, 132, \ldots\phantom{~.}$$และ ตัวเลือกสำหรับ $b$ คือ $$24, 54, 84, 114, 144, \ldots~.$$เราทราบว่า $\mathop{\text{lcm}}[a,b]\cdot \gcd(a,b)=ab$ (เนื่องจากเอกลักษณ์นี้ใช้ได้กับจำนวนเต็มบวก $a$ และ $b$ ทั้งหมด) ดังนั้น $$\mathop{\text{lcm}}[a,b] = \frac{ab}{6},$$ดังนั้น เพื่อให้น้อยที่สุด $\mathop{\text{lcm}}[a,b]$ เราควรทำ $ab$ ให้มีค่าน้อยที่สุด แต่เราไม่สามารถใช้ $a=12$ และ $b=24$ ได้ เพราะ $\gcd(a,b)$ จะเป็น 12 ไม่ใช่ 6 ตัวเลือกที่ดีที่สุดคือ $a=12,b=54$ หรือ $a=42,b=24$ ทั้งคู่ให้ $\gcd(a,b)=6$ ตามที่ต้องการ แต่ตัวเลือกแรก $a=12$ และ $b=54$ ให้ผลคูณที่น้อยกว่า ดังนั้นนี่คือตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด และค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับ $\mathop{\text{lcm}}[a,b]$ คือ $$\mathop{\text{lcm}}[12,54] = \frac{12\cdot 54}{6} = 2\cdot 54 = \boxed{108}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $n < 10{,}000$ จำนวน $n+2005$ มีตัวประกอบบวกที่ต่างกันちょうど 21 ตัว จงหาผลรวมของค่า $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | ให้ $k = n+2005$. เนื่องจาก $1 \le n \le 9999$ เราได้ $2006 \le k \le 12004$. เราทราบว่า $k$ มีตัวประกอบบวกที่ต่างกันちょうど 21 ตัว จำนวนตัวประกอบบวกของจำนวนเต็มบวกที่มีการแยกตัวประกอบเฉพาะ $p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$ คือ $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)$. เนื่องจาก $21 = 7 \cdot 3$ และ 7 และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ การแยกตัวประกอบเฉพาะของ $k$ มีรูปแบบ $p^{20}$ หรือ $p^6 q^2$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างกัน เนื่องจาก $p^{20} \geq 2^{20} > 12004$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ ใดๆ เราจึงไม่สามารถมีรูปแบบแรกได้ ดังนั้น $k = p^6 q^2$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ และ $q$ ที่ต่างกัน
ถ้า $p=2$ แล้ว $k=64q^2$. ดังนั้น $2006 \le 64q^2 \le 12004 \Rightarrow 31.34375 \le q^2 \le 187.5625$. สำหรับ $q$ เป็นจำนวนเต็ม จะเป็นจริงเมื่อ $6 \le q \le 13$. เนื่องจาก $q$ เป็นจำนวนเฉพาะ $q$ คือ 7, 11 หรือ 13 ดังนั้นถ้า $p=2$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $k$ คือ $2^6 7^2 = 3136$, $2^6 11^2 = 7744$, และ $2^6 13^2 = 10816$.
ถ้า $p=3$ แล้ว $k = 729q^2$. ดังนั้น $2006 \le 729q^2 \le 12004 \Rightarrow 2.75\ldots \le q^2 \le 16.46\ldots$. สำหรับ $q$ เป็นจำนวนเต็ม จะเป็นจริงเมื่อ $2 \le q \le 4$. เนื่องจาก $q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างจาก $p=3$ เราได้ $q=2$ ดังนั้นถ้า $p=3$ $k = 3^6 2^2 = 2916$.
ถ้า $p \ge 5$ แล้ว $k \ge 15625q^2 > 12004$ ซึ่งขัดแย้ง ดังนั้นเราจึงพบค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $k$ ผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ของ $n = k - 2005$ คือ \begin{align*}
&(3136-2005) \\
+ &(7744-2005)\\
+ &(10816-2005)\\
+ &(2916-2005)\\
= &\boxed{16592}.
\end{align*} | n = k - 2005 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรของคำว่า NINE | ראשית, เราจะนับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนถ้า N สองตัวไม่เหมือนกัน, ซึ่งก็คือ 4!. จากนั้นเนื่องจาก N ไม่เหมือนกัน, เราหารด้วย $2!$ เพื่อนับการเรียงสับเปลี่ยนของ N, ดังนั้นคำตอบคือ $\dfrac{4!}{2!} = \boxed{12}$. | \dfrac{4!}{2!} = \boxed{12} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(n)$ เป็นผลรวมของตัวหารจำนวนเต็มบวกของ $n$ ถ้า $n$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $f(f(n))$ เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน เรียก $n$ ว่าจำนวนเฉพาะชนิดกระเด้ง จงหาจำนวนเฉพาะชนิดกระเด้งที่เล็กที่สุด | เราทดสอบจำนวนเฉพาะขนาดเล็ก จำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดคือ $2$ แต่สังเกตว่า $f(2) = 3$ และ $f(3) = 4$ จากนั้นเราทดสอบ $3$ และสังเกตว่า $f(4) = 7$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $\boxed{3}$ คือจำนวนเฉพาะชนิดกระเด้งที่เล็กที่สุด | \boxed{3} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในถุงที่มีลูกแก้ว 20 ลูก มีลูกแก้วสีน้ำเงิน 5 ลูก ต้องเพิ่มลูกแก้วสีน้ำเงินกี่ลูกลงในถุง เพื่อให้ความน่าจะเป็นในการหยิบลูกแก้วสีน้ำเงินออกมาแบบสุ่มเป็น $\frac{1}{2}$? | ถ้าเราเพิ่มลูกแก้วสีน้ำเงิน $x$ ลูก ลำดับของลูกแก้วสีน้ำเงินในถุงจะเป็น $\frac{5 + x}{20 + x}$ เราต้องการให้ค่านี้เท่ากับ $1/2$ ดังนั้น $\frac{5 + x}{20 + x}= \frac{1}{2}$ เมื่อจัดรูปสมการจะได้ $10 + 2x = 20 + x$ แก้สมการหาค่า $x$ จะได้ $x = \boxed{10}$ | x = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $4x^2+7x+k$ คือ $\frac{-7\pm i\sqrt{15}}{8}$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | โดยใช้สูตรกำลังสอง เราจะพบว่ารากของสมการกำลังสองคือ $\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(k)}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{49-16k}}{8}$ เนื่องจากโจทย์บอกว่ารากเหล่านี้ต้องเท่ากับ $\frac{-7\pm\sqrt{15}i}{8}$ ดังนั้น \begin{align*} \sqrt{49-16k}&=\sqrt{15}i
\\\Rightarrow\qquad \sqrt{49-16k}&=\sqrt{-15}
\\\Rightarrow\qquad 49-16k&=-15
\\\Rightarrow\qquad 16k&=64
\\\Rightarrow\qquad k&=\boxed{4}.
\end{align*} | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คอร์ดที่มีความยาว 6 หน่วย แบ่งวงกลมออกเป็นสองบริเวณที่แตกต่างกัน ถ้าวงกลมมีรัศมี 6 หน่วย พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่ามีค่าเท่าใดเป็นหน่วยตาราง? แสดงคำตอบของคุณในรูปรากที่ง่ายที่สุดของ $\pi$ | วาดรัศมีไปยังจุดตัดของคอร์ดกับวงกลม สามเหลี่ยมด้านเท่าจะถูกสร้างขึ้นโดยมีพื้นที่ $\frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ อย่างไรก็ตาม ส่วนทั้งหมดมีพื้นที่ $\frac{36\pi}{6} = 6\pi$ ถ้าเราลบพื้นที่ของภาคออกจากพื้นที่ของวงกลมทั้งหมด และจากนั้นเพิ่มพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่ากลับเข้ามา เราจะได้พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่า พื้นที่จึงเท่ากับ $36\pi - 6\pi + 9\sqrt{3} = \boxed{30\pi + 9\sqrt{3}}$ | 36\pi - 6\pi + 9\sqrt{3} = \boxed{30\pi + 9\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.