question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ให้ $a$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีค่า $b$ เพียงค่าเดียวที่ทำให้สมการกำลังสอง $x^2 + 2bx + (a-b) = 0$ มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียว จงหาค่า $a$ | ถ้าสมการกำลังสองที่กำหนดมีคำตอบเดียว จะได้ว่าตัวเลือกของมันต้องเท่ากับ 0 ตัวเลือกของสมการกำลังสองที่กำหนดคือ $(2b)^2 - 4(a-b)$ และการตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ เราจะได้สมการกำลังสองอีกสมการ $4b^2 + 4b - 4a = 0$ เนื่องจากค่าของ $b$ มีค่าเดียว จะได้ว่าตัวเลือกของสมการกำลังสองนี้ต้องเท่ากับ 0 อีกครั้ง ตัวเลือกคือ $(4)^2 - 4(4)(-4a) = 16 + 64a = 0$ ดังนั้น $a = \boxed{-0.25}$ | a = \boxed{-0.25} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปheptagon ปกติอยู่ในระนาบเดียวกันและมีด้าน $\overline{AD}$ ร่วมกันดังแสดง มุม $BAC$ มีขนาดกี่องศา แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
[asy]
for(int i=0; i <=7; ++i) {
draw(dir(360*i/7+90)--dir(360*(i+1)/7+90));
}
pair A = dir(360*3/7+90);
pair F = dir(360*4/7+90);
pair C = A+dir(90)*(F-A);
pair D = C+F-A;
pair B = dir(360*2/7+90);
draw(A--C--D--F);
label("$A$",A,S);
label("$B$",B,W);
label("$C$",C,SE);
label("$D$",F,S);
[/asy] | ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมในรูป $n$-gon ปกติคือ $180(n-2)/n$ องศา ดังนั้นขนาดของมุม $\angle BAD$ คือ $180(7-2)/7=\frac{900}7$ องศา และขนาดของมุม $CAD$ คือ 90 องศา ผลต่างของมันคือ $\angle BAC$ มีขนาด \[\frac{900}7-\frac{630}7=\boxed{\frac{270}7\text{ องศา}}.\] | \angle BAC | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $2x + 5 = 11$ | ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ:
$2x + 5 - 5 = 11 - 5$
$2x = 6$
หารทั้งสองข้างด้วย 2:
$\frac{2x}{2} = \frac{6}{2}$
$x = 3$ | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อโยนลูกเต๋าที่เป็นธรรม 2 ลูก โดยลูกเต๋ามี 6 หน้าที่เป็นมาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่จะได้หน้าเดียวกันทั้ง 2 ลูกเท่ากับเท่าใด แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ไม่ว่าผลของการโยนครั้งแรกจะเป็นอะไรก็ตาม จะมี 6 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่เท่ากันสำหรับการโยนครั้งที่สอง โดยมีเพียง 1 ผลลัพธ์เท่านั้นที่เหมือนกับครั้งแรก ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะแสดงหน้าเดียวกันคือ $\boxed{\frac{1}{6}}$. | \boxed{\frac{1}{6}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แสดงในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ: $$\frac{9 \cdot 3 + 8}{4 \cdot 3 + 8}.$$ | เราสังเกตตามลำดับการดำเนินการ: \begin{align*}
\frac{9 \cdot 3 + 8}{4 \cdot 3 + 8} &= \frac{27 + 8}{12 + 8} \\
&= \frac{35}{20} = \boxed{\frac{7}{4}}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
กำหนดว่า $x$, $\frac{1}{x}$, $y$, $\frac{1}{y}$, $z$ และ $\frac{1}{z}$ เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด มีค่าที่เป็นไปได้กี่ค่าสำหรับ $x+ y+ z$ ? | เนื่องจาก $x$ และ $1/x$ เป็นจำนวนเต็ม เราทราบว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มที่หาร 1 ลงตัว ดังนั้นเราต้องมี $x = -1$ หรือ $x = 1$ เช่นเดียวกันสำหรับ $y$ และ $z$ ดังนั้นผลรวมที่เป็นไปได้คือ $3(-1) = -3$, $2(-1) + 1 = -1$, $2(1) + -1 = 1$ หรือ $3(1) = 3$ ดังนั้นมี $\boxed{4}$ ค่าที่เป็นไปได้สำหรับผลบวก | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเส้นกำลุ่งแนวตั้งในกราฟของ
\[y = \frac{(x + 8) (x + 5)^2 (x + 1)^3 x^5 (x - 3)^2}{(x + 7) (x + 5)^2 (x + 1) x (x - 3)^3 (x - 4)}.\] | มีตัวประกอบของ $x + 5,$ $x + 1,$ และ $x$ ทั้งในตัวเศษและตัวส่วน และตัวประกอบในตัวส่วนจะตัดกันกับตัวประกอบในตัวเศษ ดังนั้นกราฟจะมีรูที่ $x = -5,$ $x = -1,$ และ $x = 0.$
มีตัวประกอบของ $x + 7$ ในตัวส่วน ดังนั้นจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = -7.$ มีสามตัวประกอบของ $x - 3$ ในตัวส่วน และสองตัวประกอบของ $x - 3$ ในตัวเศษ ดังนั้นจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = 3.$ มีตัวประกอบของ $x - 4$ ในตัวส่วน ดังนั้นจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = 4.$
ดังนั้น จึงมีเส้นกำลุ่งแนวตั้ง $\boxed{3}$ เส้น | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ
\[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6}\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | เห็นได้ชัดว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อ $x$ เป็นบวกและ $y$ เป็นลบ ให้ $z = -y$ ดังนั้น $z$ เป็นบวก และ $y = -z$ แล้ว
\[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6} = \frac{x + z}{x^4 + z^4 + 6}.\]โดย AM-GM,
\[x^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{x^4} = 4x,\]และ
\[z^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{z^4} = 4z.\]ดังนั้น $x^4 + z^4 + 6 \ge 4(x + z)$ ซึ่งหมายความว่า
\[\frac{x + z}{x^4 + z^4 + 6} \le \frac{1}{4}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x = z = 1$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{1}{4}}.$ | \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $4x^2+7x+k$ คือ $\frac{-7\pm i\sqrt{15}}{8}$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | โดยใช้สูตรกำลังสอง เราจะได้ว่ารากของสมการกำลังสองคือ $\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(k)}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{49-16k}}{8}$ เนื่องจากโจทย์บอกว่ารากเหล่านี้ต้องเท่ากับ $\frac{-7\pm\sqrt{15}i}{8}$ ดังนั้น \begin{align*} \sqrt{49-16k}&=\sqrt{15}i
\\\Rightarrow\qquad \sqrt{49-16k}&=\sqrt{-15}
\\\Rightarrow\qquad 49-16k&=-15
\\\Rightarrow\qquad 16k&=64
\\\Rightarrow\qquad k&=\boxed{4}.
\end{align*} | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มคี่ $t$ ที่เป็นเอกลักษณ์ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $0 < t < 23$ และ $t + 2$ เป็นจำนวนผกผันของ $t$ โมดูโล $23$ | เราสามารถหาคำตอบได้โดยการทดลอง -- ทดสอบแต่ละค่าของ $t$ เพื่อดูว่า $t\cdot (t+2)\equiv 1\pmod{23}$ หรือไม่ อย่างไรก็ตาม นี่คืออีกวิธีหนึ่ง:
เราสามารถเห็นได้ง่ายๆ ว่า $4\cdot 6=24\equiv 1\pmod{23}$ ดังนั้น $4$ จึงเป็นไปตามเงื่อนไขหลักที่ว่าจำนวนผกผันของมันคือ $2$ มากกว่ามัน อย่างไรก็ตาม $4$ ไม่ใช่จำนวนคี่ แต่เรายังมี \begin{align*}
(-4)\cdot (-6) &= 4\cdot 6 \\
&\equiv 1\pmod{23},
\end{align*} ดังนั้น $-4$ และ $-6$ เป็นจำนวนผกผันของกันและกัน $\pmod{23}$ เนื่องจาก $-4\equiv 19\pmod{23}$ และ $-6\equiv 17\pmod{23}$ ค่า $t=\boxed{17}$ จึงเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา
(เราสามารถตรวจสอบได้ว่า $17\cdot 19 = 323 = 14\cdot 23 + 1$.) | 17 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าคงตัว $c,$ ในพิกัดกระบอก $(r,\theta,z),$ จงหารูปร่างที่อธิบายโดยสมการ
\[z = c.\](A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) ระนาบ
(D) ทรงกลม
(E) ทรงกระบอก
(F) กรวย
ใส่อักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | ในพิกัดกระบอก $z$ แสดงถึงพิกัด $z$ ของจุด ดังนั้น สำหรับพิกัด $z$ ที่คงที่ $c$ จุดทั้งหมดจะอยู่บนระนาบที่ขนานกับระนาบ $xy$ คำตอบคือ $\boxed{\text{(C)}}.$
[asy]
import three;
import solids;
size(200);
currentprojection = perspective(6,3,2);
currentlight = (1,0,1);
real theta = 120;
draw((-2,0,0)--(2,0,0));
draw((0,-2,0)--(0,2,0));
draw(surface((1,1,0.5)--(1,-1,0.5)--(-1,-1,0.5)--(-1,1,0.5)--cycle),gray(0.99));
draw((0,0,-2)--(0,0,0.2));
draw((0,0,0.5)--(0,0,2));
label("$x$", (2,0,0), SW);
label("$y$", (0,2,0), E);
label("$z$", (0,0,2), N);
label("$z = c$", (-1,1,0.5), E);
[/asy] | C | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $8-4 \div 2-1$ | ตามลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การหารต้องทำก่อนการลบ เราจะได้คำตอบดังนี้ \begin{align*}
8-4 \div 2 - 1 &= 8-2-1 \\
&= 6-1 \\
&= \boxed{5}.
\end{align*} | 5 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีวิธีการเลือกไพ่ 5 ใบที่แตกต่างกันได้กี่วิธี จากสำรับไพ่ 52 ใบ โดยที่ลำดับที่แจกไพ่ไม่สำคัญ | เราเลือกไพ่ 5 ใบ จากทั้งหมด 52 ใบ ซึ่งแทนด้วย ${{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960}$ | {{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งไม่มีจำนวนใดเป็นพหุคูณของ 3 จงหาเศษที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้เมื่อ $a^2 + b^2$ หารด้วย 3 | สังเกตว่า $1^2 \equiv 2^2 \equiv 1 \pmod{3}$ เศษที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวเมื่อกำลังสองที่ไม่ใช่พหุคูณของ 3 หารด้วย 3 คือ 1 ดังนั้น $a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv \boxed{2} \pmod{3}$ | a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv \boxed{2} \pmod{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าคุณมีเหรียญที่ถ่วงน้ำหนัก โดยหัวมีโอกาสปรากฏ $\frac34$ และก้อยมีโอกาสปรากฏ $\frac14$ ถ้าคุณโยนหัว คุณจะได้เงิน 2 ดอลลาร์ แต่ถ้าคุณโยนก้อย คุณจะเสียเงิน 1 ดอลลาร์ ค่าที่คาดหวังของการโยนเหรียญคือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นทศนิยม | ตามนิยาม เราคูณผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน และบวกเข้าด้วยกัน: $E = \frac34(+\$2) + \frac14(-\$1) = \$1.50 - \$0.25 = \boxed{\$1.25}$. | 1.25 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $\mathbf{A}$ และ $\mathbf{B}$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$ โดยที่ $\det \mathbf{A} = -1$ และ $\det \mathbf{B} = 3.$ จงหา $\det (3 \mathbf{A} \mathbf{B}).$ | ก่อนอื่น
\[\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})(\det \mathbf{B}) = (-1)(3) = -3.\]โดยทั่วไป $\det (k \mathbf{M}) = k^2 \det \mathbf{M}.$ ดังนั้น
\[\det (3 \mathbf{A} \mathbf{B}) = 3^2 \cdot (-3) = \boxed{-27}.\] | -27 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จอห์นโยนลูกเต๋า 2 ลูก ลูกเต๋าแต่ละลูกมี 6 หน้า จงหาความน่าจะเป็นที่เลขที่โยนได้ทั้ง 2 ลูกจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราต้องใช้การแยกกรณีเล็กน้อยในการแก้ปัญหานี้ หากลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 1 ลูกเต๋าที่สองสามารถเป็นอะไรก็ได้ (6 กรณี) หากลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 2 หรือ 4 ลูกเต๋าที่สองจะถูกจำกัดให้เป็น 1, 3 หรือ 5 ($2\cdot3 = 6$ กรณี) หากลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 3 ลูกเต๋าที่สองสามารถเป็น 1, 2, 4 หรือ 5 (4 กรณี) หากลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 5 ลูกเต๋าที่สองสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 5 (5 กรณี) หากลูกเต๋าลูกแรกโชว์เลข 6 ลูกเต๋าที่สองสามารถเป็นได้เพียง 1 หรือ 5 (2 กรณี) มี 36 วิธีในการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 23 วิธีที่ถูกต้อง ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{\frac{23}{36}}$ | \boxed{\frac{23}{36}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เดนาลีและเนททำงานให้กับบริษัทเดินสุนัขและได้รับค่าจ้างสำหรับสุนัขที่พวกเขาพาเดิน เดนาลีรับผิดชอบ $16$ ตัว และเนทรับผิดชอบ $12$ ตัว ตามนโยบายใหม่ของบริษัท พวกเขาจะได้รับมอบหมายหรือยกเลิกสุนัขตัวใหม่เป็นกลุ่มละ $x$ ตัว อัตราส่วนของค่าจ้างของเดนาลีต่อค่าจ้างของเนทจะเหมือนกันหากเดนาลีเริ่มพาสุนัข $4x$ ตัวเพิ่มและเนทยังคงอยู่ที่ $12$ ตัว หรือหาก $x$ ตัวของสุนัขของเนทถูกมอบหมายใหม่ให้เดนาลี จงหา $x$ หาก $x\neq0$. | การเขียนใหม่ประโยค "อัตราส่วนของค่าจ้างของเดนาลีต่อค่าจ้างของเนทจะเหมือนกันหากเดนาลีเริ่มพาสุนัข $4x$ ตัวเพิ่มและเนทยังคงอยู่ที่ $12$ ตัว หรือหาก $x$ ตัวของสุนัขของเนทถูกมอบหมายใหม่ให้เดนาลี" เป็นสมการ เราได้ \[\frac{16+4x}{12}=\frac{16+x}{12-x}.\]ล้างตัวส่วน, \begin{align*}
(16+4x)(12-x)&=(16+x)(12)\quad \Rightarrow\\
192-16x+48x-4x^2&=192+12x\quad \Rightarrow\\
32x-4x^2&=12x\quad \Rightarrow\\
0&=4x^2-20x\quad \Rightarrow\\
0&=4x(x-5).
\end{align*}เนื่องจาก $x$ ไม่สามารถเป็น $0$ ได้ $x=\boxed{5}$. | x=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งถูกวาดในรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า ทำให้เกิดรูปแปดเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมขึ้นมา มุม $x$ มีขนาดเท่าไร?
[asy]
import markers;
for(int i=0; i <=10; ++i) {
draw(dir(360*i/10+90)--dir(360*(i+1)/10+90));
}
pair A = dir(360*0/10+90);
pair F = dir(360*7/10+90);
pair G = dir(360*8/10+90);
pair H = dir(360*9/10+90);
draw(A--F);
markangle(Label("$x$",Relative(0.5)),n=1,radius=18,G,F,A);
[/asy] | มุมของรูป $n$ เหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด $\left(\frac{180(n-2)}n\right)^\circ$ ดังนั้นมุมในรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด \[y=\frac{180\cdot8}{10}=144\]องศา
เราสังเกตด้วยว่า เนื่องจากมุมที่ใหญ่กว่าของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากัน และด้านที่สอดคล้องกันสามด้านเท่ากัน รูปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านคู่ขนานไม่เท่ากัน ดังนั้นเราจะได้มุมดังนี้:
[asy]
import markers;
for(int i=0; i <=10; ++i) {
draw(dir(360*i/10+90)--dir(360*(i+1)/10+90));
}
pair A = dir(360*0/10+90);
pair F = dir(360*7/10+90);
pair G = dir(360*8/10+90);
pair H = dir(360*9/10+90);
draw(A--F);
markangle(Label("$x$",Relative(0.5)),n=1,radius=13,G,F,A);
markangle(Label("$x$",Relative(0.5)),n=1,radius=13,F,A,H);
markangle(Label("$y$",Relative(0.5)),n=1,radius=9,A,H,G);
markangle(Label("$y$",Relative(0.5)),n=1,radius=9,H,G,F);
[/asy]
ผลรวมของขนาดมุมในรูปสี่เหลี่ยมเสมอเท่ากับ $360^\circ$ ดังนั้นเราจึงมี \[360=x+x+y+y=x+x+144+144.\]ดังนั้น \[x+x=360-144-144=72\]องศา ดังนั้น $x=\boxed{36}$ องศา | x=\boxed{36} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
10 คนเข้าร่วมงานเลี้ยง ในงานเลี้ยงทุกคนจับมือกับทุกคน มีการจับมือเกิดขึ้นกี่ครั้งในงานเลี้ยง? | เราสามารถเลือก 2 คนจากกลุ่ม 10 คนเพื่อจับมือโดยไม่คำนึงถึงลำดับใน $\binom{10}{2} = \boxed{45}$ วิธี | \binom{10}{2} = \boxed{45} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ โดยที่ \[\sqrt{x+7} - \sqrt{x} = \sqrt{3}.\] | บวก $\sqrt{x}$ เข้าทั้งสองข้าง จะได้ \[\sqrt{x+7} = \sqrt{x} + \sqrt{3}.\]จากนั้น ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ \[x + 7 = x + 3 + 2\sqrt{3x},\]หรือ \[4 = 2\sqrt{3x}.\]ดังนั้น $2 = \sqrt{3x}$ จึงได้ $4 = 3x$ และ $x = \boxed{\frac{4}{3}}.$ | x = \boxed{\frac{4}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $$\left(\left(\left(\left(\left(-345\right)^{4}\right)^{2}\right)^{0}\right)^{-2}\right)^{-4}.$$ | จงจำไว้ว่า $x^0 = 1$ สำหรับทุกจำนวน $x$ ดังนั้น \[\left(\left(\left(-345\right)^{4}\right)^{2}\right)^{0}=1,\]และนิพจน์ที่กำหนดจะลดความซับซ้อนเป็น $$\left(1^{-2}\right)^{-4}.$$เนื่องจาก 1 ยกกำลังจำนวนเต็มใดๆ เท่ากับ 1 เราได้ $$\left(1^{-2}\right)^{-4} = 1^{-4} = \boxed{1}.$$ | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $\mathbf{R}$ เป็นเมทริกซ์สำหรับการสะท้อนผ่านเวกเตอร์ $\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}.$ จงหา $\det \mathbf{R}.$ | เมทริกซ์การสะท้อนมีรูปแบบดังนี้
\[\begin{pmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{pmatrix},\]โดยเวกเตอร์ที่สะท้อนผ่านมีเวกเตอร์ทิศทาง $\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}.$ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือ
\[(\cos 2 \theta)(-\cos 2 \theta) - \sin^2 2 \theta = -\cos^2 2 \theta - \sin^2 2 \theta = \boxed{-1}.\](ทำไมสิ่งนี้จึงสมเหตุสมผลทางเรขาคณิต?) | \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
มีวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรหกตัวของคำว่า ``Hawaii`` ได้กี่วิธี | ถ้าตัวอักษรทุกตัวใน ``Hawaii`` แตกต่างกัน จะมีการเรียงสับเปลี่ยนหกตัวอักษรที่แตกต่างกัน $6! = 6\cdot 5 \cdots 2 \cdot 1$ วิธี เพราะว่าสำหรับตัวอักษรตัวแรกของการเรียงสับเปลี่ยนจะมีตัวอักษรให้เลือก 6 ตัว สำหรับตัวที่สองจะมี 5 ตัว เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ``Hawaii" มีตัวอักษร $a$ ซ้ำกัน 2 ตัว และตัวอักษร $i$ ซ้ำกัน 2 ตัว ดังนั้นเราต้องหารด้วย 2 เพื่อกำจัดการนับซ้ำที่เกิดจาก $a$ ที่เหมือนกัน 2 ตัว และเราต้องหารด้วย 2 อีกครั้งเพื่อกำจัดการนับซ้ำที่เกิดจาก $i$ ที่เหมือนกัน 2 ตัว การนับครั้งสุดท้ายของเราคือ $\frac{6!}{2\cdot 2}$ ยกเลิก 4 บนและล่างจะได้ $6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \cdot 6 = \boxed{180}$ | 6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \cdot 6 = \boxed{180} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มสองหลักหารด้วย $n$ ลงตัว และหลักสุดท้ายของจำนวนเต็มนั้นคือ $n$ จงหาค่า $n$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ | เราต้องการหาค่า $n$ ที่มากที่สุด ดังนั้นมาดูว่า $n=9$ เป็นไปได้หรือไม่ 99 หารด้วย 9 ลงตัว ดังนั้นค่า $n$ ที่มากที่สุดคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่เรียงกัน, จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ถูกแรเงาในสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านล่าง: [asy]
size(1.75inch);
pair A, B, C, D, W, X, Y, Z;
A = (0,0); B = (7,0); C = (7,7); D = (0,7);
W = (3,0); X = (7,3); Y = (4,7); Z = (0,4);
draw(A--B--C--D--cycle); draw(W--X--Y--Z--cycle);
fill(A--W--Z--cycle, gray); fill(B--X--W--cycle, gray); fill(C--Y--X--cycle, gray); fill(D--Z--Y--cycle, gray);
label("$a$", A--W); label("$b$", W--B); label("$a$", B--X); label("$b$", X--C);
label("$a$", C--Y); label("$b$", Y--D); label("$a$", D--Z); label("$b$", Z--A);
label("$c$", W--X, NW); label("$c$", X--Y, SW); label("$c$", Y--Z, SE); label("$c$", Z--W, NE);
[/asy] | จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส $a^2 + b^2 = c^2$. เนื่องจาก $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่เรียงกัน เราสามารถเขียน $a = b-1$ และ $c = b + 1$ แทนค่านี้ลงในทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะได้ $(b-1)^2 + b^2 = (b+1)^2$. ซึ่งจะกลายเป็น $b^2 - 2b + 1 + b^2 = b^2 + 2b + 1$ หรือ $b^2 - 4b = 0$. หาค่า $b$ เราจะได้ $b(b-4) = 0$ ดังนั้น $b=0$ หรือ $b=4$ ถ้า $b=0$ แล้ว $a = b-1 = -1$ ซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจาก $a$ เป็นความยาว ดังนั้น $b=4$ และ $a=3$, $c=5$.
ต่อไปเราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ถูกแรเงา 1 รูป พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานคูณความสูง ถ้าเราใช้ $b$ เป็นความสูง $a$ คือฐาน (เนื่องจากเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก) ดังนั้นพื้นที่คือ $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(3)(4) = 6$ มีสามเหลี่ยมมุมฉาก 4 รูป ดังนั้นพื้นที่ที่ถูกแรเงาทั้งหมดคือ $4(6) = \boxed{24}$. | 4(6) = \boxed{24} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปมีด้านยาว 6 หน่วย และทับซ้อนกันดังแสดงในรูปด้านล่าง จุดที่ด้านตัดกันเป็นจุดกึ่งกลาง จงหาพื้นที่ของรูปสีเทาเป็นหน่วยตาราง
[asy]
size(3cm,3cm);
fill((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--cycle,lightgray);
fill((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--cycle,lightgray);
fill((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1,1)--cycle,lightgray);
draw((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--(0,1));
draw((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--(0.5,0.5));
draw((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1,1)--(1,0));
draw((-0.4,1)--(-0.4,2),Bars);
label("6",(-0.4,1.5),UnFill(1));
[/asy] | แบ่งรูปโดยต่อด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส``ตรงกลาง'' ดังแสดงทางด้านขวา สี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก $3 \times 3$ รูปร่างสีเทาประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส $3 \times 3$ สิบรูป ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ $10 \times 9 = \boxed{90\text{ square
units}}$.
[asy]
size(3cm,3cm);
fill((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--cycle,lightgray);
fill((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--cycle,lightgray);
fill((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1,1)--cycle,lightgray);
draw((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--(0,1));
draw((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--(0.5,0.5));
draw((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1,1)--(1,0));
draw((-0.4,1)--(-0.4,2),Bars);
label("6",(-0.4,1.5),UnFill(1));
draw((0.5,1.5)--(0.5,2));
draw((0,1.5)--(0.5,1.5));
draw((1.5,0.5)--(2,0.5));
draw((1.5,0)--(1.5,0.5));
label("3",(0.25,2),N);
label("3",(0.75,2),N);
[/asy] | 10 \times 9 = \boxed{90\text{ square
units}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจุด $(3,4)$ สะท้อนในแกน $x$ จุดภาพจะมีพิกัดเท่าใด?
[asy]
draw((-5.5,0)--(5.5,0),linewidth(1));
draw((-5.5,0)--(5.5,0),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),linewidth(1));
draw((-5,-5)--(-5,5)--(5,5)--(5,-5)--cycle);
draw((-4,-5)--(-4,5));
draw((-3,-5)--(-3,5));
draw((-2,-5)--(-2,5));
draw((-1,-5)--(-1,5));
draw((1,-5)--(1,5));
draw((2,-5)--(2,5));
draw((3,-5)--(3,5));
draw((4,-5)--(4,5));
draw((-5,-4)--(5,-4));
draw((-5,-3)--(5,-3));
draw((-5,-2)--(5,-2));
draw((-5,-1)--(5,-1));
draw((-5,1)--(5,1));
draw((-5,2)--(5,2));
draw((-5,3)--(5,3));
draw((-5,4)--(5,4));
dot((3,4));
label("$x$",(5.5,0),E);
label("$y$",(0,5.5),N);
label("$(3,4)$",(3,4),NE);
[/asy] | เมื่อสะท้อนจุด $(3,4)$ ในแกน $x$ พิกัด $x$ ของจุดภาพจะเหมือนกับพิกัด $x$ ของจุดเดิม $x=3.$ จุดเดิมอยู่ห่างจากแกน $x$ เป็นระยะ $4$ หน่วย จุดภาพจะอยู่ห่างจากแกน $x$ เท่ากัน แต่ต่ำกว่าแกน $x$ ดังนั้น จุดภาพมีพิกัด $y$ เท่ากับ $-4.$ พิกัดของจุดภาพคือ $oxed{(3,-4)}.$ [asy]
draw((-5.5,0)--(5.5,0),linewidth(1));
draw((-5.5,0)--(5.5,0),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),linewidth(1));
draw((-5,-5)--(-5,5)--(5,5)--(5,-5)--cycle);
draw((-4,-5)--(-4,5));
draw((-3,-5)--(-3,5));
draw((-2,-5)--(-2,5));
draw((-1,-5)--(-1,5));
draw((1,-5)--(1,5));
draw((2,-5)--(2,5));
draw((3,-5)--(3,5));
draw((4,-5)--(4,5));
draw((-5,-4)--(5,-4));
draw((-5,-3)--(5,-3));
draw((-5,-2)--(5,-2));
draw((-5,-1)--(5,-1));
draw((-5,1)--(5,1));
draw((-5,2)--(5,2));
draw((-5,3)--(5,3));
draw((-5,4)--(5,4));
dot((3,4));
label("$x$",(5.5,0),E);
label("$y$",(0,5.5),N);
label("$(3,4)$",(3,4),NE);
draw((3,4)--(3,-4),dotted+linewidth(1));
dot((3,-4));
label("$(3,-4)$",(3,-4),NE);
[/asy] | (3,-4) | [
"จำ",
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์",
"การวิเคราะห์",
"การประเมิน",
"การสร้าง"
] |
50% ของ $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือเท่าไร | $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือ 12 และ 50% ของ 12 คือ $oxed{6}$ | $oxed{6}$ | [
"จำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $3 \times 11 \times 13 \times 21 = 2005 +b$ จงหาค่าของ $b$ | เพื่อที่จะคูณฝั่งซ้ายมือให้เร็วขึ้น เราสังเกตว่าในบรรดา 4 จำนวนนี้ เราสามารถคูณ $11 \times 13 \times 7 = 11 \times 91 = 1001$ ได้ จากนั้นเราเหลือ 9 ดังนั้นผลคูณทั้งหมดคือ 9009 และเมื่อลบด้วย 2005 เราจะได้ $\boxed{7004}$ | \boxed{7004} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ ซึ่งเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ ถ้า $2^n\equiv 3\pmod{13}$ แล้วเศษที่ได้จากการหาร $k$ ด้วย $13$ คือเท่าใด? | เนื่องจาก $2^n$ เป็นกำลังของ $2$ ตัวประกอบเฉพาะเพียงตัวเดียวคือ $2$ ดังนั้นจำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ และจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนไม่ใช่จำนวนผกผัน modulo $2^n$ ในจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ มีจำนวนเต็มคี่อยู่ $\frac{2^n}{2}=2^{n-1}$ จำนวน ดังนั้น \[k=2^{n-1}\equiv 2^{-1}2^n\equiv 7\cdot 3\equiv 21\equiv \boxed{8}\pmod {13}\] | \frac{2^n}{2}=2^{n-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ของนางแฮมิลตันต้องการเข้าร่วมการแข่งขันบาสเกตบอลแบบทีมละ 3 คนประจำปี แลนซ์, ซัลลี่, จอย และ เฟร็ด ได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของทีม มีวิธีการเลือกผู้เล่นตัวจริง 3 คนได้กี่วิธี? | เมื่อมีผู้เล่น 3 คนเป็นตัวจริง จะมี 1 คนเป็นตัวสำรอง เนื่องจากผู้เล่นคนใดคนหนึ่งใน 4 คนอาจเป็นตัวสำรอง ดังนั้นมี 4 วิธีในการเลือกทีมตัวจริง: แลนซ์-ซัลลี่-จอย, แลนซ์-ซัลลี่-เฟร็ด, แลนซ์-จอย-เฟร็ด และ ซัลลี่-จอย-เฟร็ด หรือเราสามารถสังเกตได้ว่าเรามี $\boxed{4}$ ตัวเลือกสำหรับการเลือกผู้เล่นที่จะไม่ลงสนาม! | \boxed{4} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อเขียนในรูปมาตรฐาน ผลคูณของ $(9.2 imes 10^2)(8 imes 10^6)$ มีศูนย์กี่ตัว? | ก่อนอื่น ให้ทำให้ง่ายขึ้น $(9.2 imes 10^2)(8 imes 10^6)=73.6 imes 10^8$. ตัวประกอบ $10^8$ บอกเราว่าให้เลื่อนจุดทศนิยมใน 73.6 ไปทางขวา 8 ตำแหน่ง ขั้นตอนแรกเลื่อนจุดทศนิยมผ่าน 6 และอีก 7 ขั้นตอนถัดไปแต่ละขั้นตอนจะเพิ่มหลัก 0 เข้ามา | 7 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่อยู่ในช่วง $-\frac{\pi}{2}$ ถึง $\frac{\pi}{2}$ ซึ่งทำให้ $1 - \sin^4 x - \cos^2 x = \frac{1}{16}.$ กรุณาใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เนื่องจาก $1 - \cos^2 x = \sin^2 x,$ สมการจะกลายเป็น $\sin^2 x - \sin^4 x = \frac{1}{16},$ หรือ
\[\sin^4 x - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ในรูปสมการกำลังสองของ $\sin^2 x$:
\[(\sin^2 x)^2 - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]โดยใช้สูตรกำลังสอง,
\[\sin^2 x = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}.\]แล้ว
\[\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.\]คำตอบในช่วง $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ คือ $\boxed{-\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}}.$ | \boxed{-\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $g(x) = x^2 - 11x + 30,$ และให้ $f(x)$ เป็นพหุนามซึ่งทำให้
\[g(f(x)) = x^4 - 14x^3 + 62x^2 - 91x + 42.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(10^{100}).$ | กำหนดให้ $d$ เป็นดีกรีของ $f(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $g(f(x))$ คือ $2d = 4,$ ดังนั้น $d = 2.$
ดังนั้น กำหนดให้ $f(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\begin{align*}
g(f(x)) &= g(ax^2 + bx + c) \\
&= (ax^2 + bx + c)^2 - 11(ax^2 + bx + c) + 30 \\
&= a^2 x^4 + 2abx^3 + (2ac + b^2 - 11a) x^2 + (2bc - 11b) x + c^2 - 11c + 30.
\end{align*}เปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้
\begin{align*}
a^2 &= 1, \\
2ab &= -14, \\
2ac + b^2 - 11a &= 62, \\
2cb - 11b &= -91, \\
c^2 - 11c + 30 &= 42.
\end{align*}จาก $a^2 = -1,$ $a = 1$ หรือ $a = -1.$
ถ้า $a = 1,$ แล้วจากสมการ $2ab = -14,$ $b = -7.$ แล้วจากสมการ $2cb - 11b = -91,$ $c = 12.$ สังเกตว่า $(a,b,c) = (1,-7,12)$ สอดคล้องกับสมการทั้งหมด
ถ้า $a = -1,$ แล้วจากสมการ $2ab = -14,$ $b = 7.$ แล้วจากสมการ $2cb - 11b = -91,$ $c = -1.$ สังเกตว่า $(a,b,c) = (-1,7,-1)$ สอดคล้องกับสมการทั้งหมด
ดังนั้น พหุนาม $f(x)$ ที่เป็นไปได้คือ $x^2 - 7x + 12$ และ $-x^2 + 7x - 1.$ เนื่องจาก
\[x^2 - 7x + 12 + (-x^2 + 7x - 1) = 11\]สำหรับทุก $x,$ ผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(10^{100})$ คือ $\boxed{11}.$ | \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_4 64$. | เนื่องจาก $4^3=64$ ดังนั้น $\log_4 64 = \boxed{3}$. | $\log_4 64 = \boxed{3}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง ขาของรูปสามเหลี่ยมมีขนาด 40 นิ้ว และ 42 นิ้ว จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม | พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของขา ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ $$(1/2)(40)(42) = \boxed{840\text{ ตารางนิ้ว}}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
ถ้ารถโรงเรียนออกจากโรงเรียนโดยมีนักเรียน 48 คน และครึ่งหนึ่งของนักเรียนลงจากรถที่แต่ละป้ายจอด 3 ป้ายแรก จะมีนักเรียนกี่คน 남อยู่บนรถหลังจากป้ายจอดที่สาม | ที่แต่ละป้ายจอด จำนวนนักเรียนบนรถจะถูกหารด้วย 2 ดังนั้นหลังจากจอด 3 ป้าย จำนวนนักเรียนบนรถคือ $48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6}$ | 48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าคงตัวในพหุนามที่ได้จากการกระจาย $(x^4+x+5)(x^5+x^3+15)$ | เราเพียงแค่ต้องพิจารณาค่าคงตัวเท่านั้น เพราะพจน์อื่นๆ จะมีตัวแปรเมื่อคูณกัน ดังนั้นเราจึงมี $(5)(15)$ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{75}$ | \boxed{75} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในปีการศึกษา มีสมาชิกชมรมหมากรุก 10 คน เล่นหมากรุกกันทั้งหมด 900 게임 ในการฝึกซ้อม แต่ละคนเล่นกับสมาชิกคนอื่น ๆ $N$ ครั้ง ค่าของ $N$ คือเท่าไร? | เนื่องจากมีสมาชิกชมรม 10 คน จะมีการจับคู่สมาชิก $\binom{10}{2} = \frac{10\cdot 9}{2} = 45$ คู่ ดังนั้นแต่ละคู่ต้องเล่น $\frac{900}{45} = \boxed{20}$ เกม | \frac{900}{45} = \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แอนจี้ตัดสินใจใช้ชั้นเรียนของเธอเป็นตัวอย่างเพื่อคาดการณ์จำนวนนักเรียนทั้งหมดในโรงเรียนของเธอที่สวมเสื้อสีแดงในวันวาเลนไทน์ เธอสังเกตว่ามีนักเรียน 11 คนที่สวมเสื้อสีแดงในชั้นเรียนที่มีนักเรียน 24 คน โดยใช้สัดส่วนนี้ แอนจี้จะประมาณว่ามีนักเรียนจำนวนเท่าใดในจำนวน 480 คนในโรงเรียนของเธอที่สวมเสื้อสีแดง | เราสามารถใช้ข้อมูลที่ให้มาเพื่อตั้งสัดส่วนและแก้หาจำนวนนักเรียนในโรงเรียนที่สวมเสื้อสีแดง ให้ $x$ เท่ากับจำนวนนักเรียนทั้งหมดที่สวมเสื้อสีแดงในโรงเรียน จากข้อมูลที่ให้มา เราได้ $$\frac{11}{24}=\frac{x}{480},$$ดังนั้น $$x=\frac{480\cdot 11}{24},$$ซึ่งหมายความว่า $$x=20\cdot 11=\boxed{220}.$$ | 220 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ $[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ]$ เมื่อ $a = 17$, $b=21$ และ $c=5$ | เราสามารถคำนวณโดยตรงได้: \begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [17 - (21-5)] - [(17-21)-5]\\
&= [17-16] - [-4-5]\\
&= 1 - (-9) = \boxed{10}.
\end{align*}
เรายังสามารถทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นก่อนได้: \begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [a-b+c] - [a-b-c]\\
&=a-b+c -a+b+c\\
&=2c.
\end{align*} จากนั้นเราได้ $2c = 2(5) = 10$. | 2c = 2(5) = 10 | [
"ประยุกต์"
] |
คิมเบอร์ลียืมเงินลูซี่ 1000 ดอลลาร์ โดยลูซี่คิดดอกเบี้ยร้อยละ 5 ต่อเดือน (คิดดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน) จงหาจำนวนเดือนที่น้อยที่สุดที่คิมเบอร์ลีจะต้องจ่ายหนี้มากกว่าสองเท่าของที่ยืมมา | เนื่องจากจำนวนเงินที่คิมเบอร์ลีต้องชำระจะถูกคูณด้วย 1.05 ในแต่ละเดือน เราต้องการจำนวนเต็ม $t$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $1.05^t>2$ โดยทดลองแทนค่าจำนวนเต็มของ $t$ เราพบว่า $\boxed{15}$ เป็นค่าที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในแต่ละคาบเรียนวรรณกรรมอังกฤษ นางคราบแอปเปิลจะเลือกนักเรียนแบบสุ่มคนหนึ่งเพื่อรับแอปเปิลเป็นของขวัญ แต่ในความเป็นจริงแล้ว แอปเปิลเหล่านี้ค่อนข้างขมและไม่น่ารับประทาน ถ้ามีนักเรียน 11 คนในชั้นเรียนของเธอ และชั้นเรียนของเธอพบกันสี่ครั้งต่อสัปดาห์ จะมีลำดับของผู้รับแอปเปิลที่แตกต่างกันได้กี่แบบในหนึ่งสัปดาห์? | เนื่องจากไม่มีการกล่าวถึงว่านักเรียนคนเดียวกันจะถูกเลือกได้มากกว่าหนึ่งครั้ง ดังนั้นจะมีผู้ที่เป็นไปได้ 11 คนในแต่ละครั้งที่ชั้นเรียนพบกัน ดังนั้นคำตอบของเราคือ $11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 = 11^4 = \boxed{14,\!641}.$ | 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 = 11^4 = \boxed{14,\!641}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\theta$ เป็นมุมแหลมซึ่งทำให้
\[\sin 5 \theta = \sin^5 \theta.\]จงคำนวณ $\tan 2 \theta.$ | โดยทั่วไป ตามทฤษฎีบทของ DeMoivre,
\begin{align*}
\operatorname{cis} n \theta &= (\operatorname{cis} \theta)^n \\
&= (\cos \theta + i \sin \theta)^n \\
&= \cos^n \theta + \binom{n}{1} i \cos^{n - 1} \theta \sin \theta - \binom{n}{2} \cos^{n - 2} \theta \sin^2 \theta - \binom{n}{3} i \cos^{n - 3} \theta \sin^3 \theta + \dotsb.
\end{align*}เมื่อเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เราได้
\begin{align*}
\cos n \theta &= \cos^n \theta - \binom{n}{2} \cos^{n - 2} \theta \sin^2 \theta + \binom{n}{4} \cos^{n - 4} \theta \sin^4 \theta - \dotsb, \\
\sin n \theta &= \binom{n}{1} \cos^{n - 1} \theta \sin \theta - \binom{n}{3} \cos^{n - 3} \theta \sin^3 \theta + \binom{n}{5} \cos^{n - 5} \theta \sin^5 \theta - \dotsb.
\end{align*}โดยเฉพาะ
\begin{align*}
\sin 5 \theta &= \binom{5}{1} \cos^4 \theta \sin \theta - \binom{5}{3} \cos^2 \theta \sin^3 \theta + \binom{5}{5} \sin^5 \theta \\
&= 5 \cos^4 \theta \sin \theta - 10 \cos^2 \theta \sin^3 \theta + \sin^5 \theta.
\end{align*}ดังนั้น สมการ $\sin 5 \theta = \sin^5 \theta$ จะกลายเป็น
\[5 \cos^4 \theta \sin \theta - 10 \cos^2 \theta \sin^3 \theta + \sin^5 \theta = \sin^5 \theta.\]จากนั้น $5 \cos^2 \theta \sin \theta (\cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta) = 0.$ เนื่องจาก $\theta$ เป็นมุมแหลม $\cos \theta$ และ $\sin \theta$ เป็นค่าบวก ดังนั้นเราต้องมี $\cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta = 0.$ จากนั้น
\[\cos^2 \theta = 2 \sin^2 \theta,\]ดังนั้น $\tan^2 \theta = \frac{1}{2}.$
เนื่องจาก $\theta$ เป็นมุมแหลม $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}.$ จากนั้น โดยสูตรมุมสองเท่าสำหรับแทนเจนต์
\[\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \boxed{2 \sqrt{2}}.\] | \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}. | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนเต็มใดเพียงจำนวนเดียวที่มีกำลังสองน้อยกว่าสองเท่าของตัวมันเอง | จำนวนเต็มคือ $\boxed{1}$ เพราะ $1^2=1<2$ | 1^2=1<2 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ประเมินค่า: $64^2-36^2$ | $64^2 - 36^2$ สามารถเขียนได้ในรูป $(64+36)(64-36)$ ซึ่งจะเท่ากับ $100 \cdot 28$ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{2800}$ | \boxed{2800} | [
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเฉพาะ Mersenne ถูกนิยามว่าเป็นจำนวนเฉพาะในรูป $2^n - 1$ โดยที่ $n$ เองต้องเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก $2^3 - 1 = 7$ และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ 7 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ Mersenne จำนวนเฉพาะ Mersenne ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 200 คือจำนวนเท่าใด | จำนวนเฉพาะ Mersenne ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 200 คือ $2^7 - 1 = 128 - 1 = \boxed{127}$ จำนวนเฉพาะ Mersenne ที่เป็นไปได้ถัดไป $2^{11} - 1 = 2047$ มีค่ามากเกินไป (และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ) | 127 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของ $y=3-x^2+x^3$ และ $y=1+x^2+x^3$ ตัดกันที่จุดหลายจุด จงหาผลต่างสูงสุดระหว่างพิกัด $y$ ของจุดตัดเหล่านี้ | กราฟตัดกันเมื่อค่า $y$ ที่ $x$ ใดๆ มีค่าเท่ากัน เราสามารถหาค่านี้ได้โดยการแก้สมการ \[3-x^2+x^3=1+x^2+x^3.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น \[2(x^2-1)=0.\]สมการนี้มีคำตอบสองค่า คือ $x=1$ และ $x=-1$ พิกัด $y$ ของจุดเหล่านี้คือ \[1+1^2+1^3=3\]และ \[1+(-1)^2+(-1)^3=1.\]ผลต่างระหว่างค่าเหล่านี้คือ $\boxed{2}$. | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จากรายการจำนวนอนันต์ต่อไปนี้ มีจำนวนเต็มกี่จำนวน? $$ \sqrt{4096},\sqrt[3]{4096},\sqrt[4]{4096},\sqrt[5]{4096},\sqrt[6]{4096},\ldots$$ | เนื่องจาก $4096=2^{12}$ จำนวนหนึ่งในรายการนี้จะเป็นจำนวนเต็ม ถ้าจำนวนที่อยู่บนรากเป็นตัวประกอบของ 12 ดังนั้น จำนวนในรายการที่เป็นจำนวนเต็มมีเพียง $\sqrt{4096}=2^6=64$, $\sqrt[3]{4096}=2^4=16$, $\sqrt[4]{4096}=2^3=8$, $\sqrt[6]{4096}=2^2=4$ และ $\sqrt[12]{4096}=2$ นั่นคือมีจำนวนเต็มทั้งหมด $\boxed{5}$ จำนวน | \boxed{5} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $\angle1+\angle2=180^\circ$ และ $\angle3=\angle4,$ จงหา $\angle4.$ แสดงคำตอบเป็นองศา. [asy]
/* AMC8 1997 #12 Problem */
pair A=(0,0), B=(24,0), C=(48,0), D=(18,24), E=(12,48);
pen p=1mm+black;
draw(A--C);
draw(A--E);
draw(B--E);
draw(D--C);
label("70", A, NE);
label("40", shift(0,-7)*E, S);
label("1", B, NW);
label("2", B, NE);
label("3", shift(-4,0)*C, NW);
label("4", shift(1,-3)*D, SE);
draw(Circle((15,40), .5));
draw(Circle((5.3,3.8), .5));
[/asy] | เนื่องจากผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ $180^\circ,$ $40^\circ+70^\circ+\angle 1=180^\circ$ และ $\angle 1=70^\circ.$ นั่นหมายความว่า $\angle 2=110^\circ.$ จากนั้น $110^\circ+\angle 3+\angle
4=180^\circ,$ ดังนั้น $\angle 3+\angle 4=70^\circ$ และ $\angle 3=\angle
4=\boxed{35^\circ}.$ [asy]
/* AMC8 1997 #12 Problem */
pair A=(0,0), B=(24,0), C=(48,0), D=(18,24), E=(12,48);
pen p=1mm+black;
draw(A--C);
draw(A--E);
draw(B--E);
draw(D--C);
label("70", A, NE);
label("40", shift(0,-7)*E, S);
label("1", B, NW);
label("2", B, NE);
label("3", shift(-4,0)*C, NW);
label("4", shift(1,-3)*D, SE);
draw(Circle((15,40), .5));
draw(Circle((5.3,3.8), .5));
[/asy] | \angle 3=\angle
4=\boxed{35^\circ}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับค่าใดของ $k$ สมการ $x^2+10x+y^2+6y-k=0$ แทนวงกลมที่มีรัศมี 6? | ทำการเติมกำลังสอง เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่เป็น $(x+5)^2-25+(y+3)^2-9=k$ หรือ $(x+5)^2+(y+3)^2=34+k$ เนื่องจากสมการนี้ต้องแทนวงกลมที่มีรัศมี 6 เราต้องการ $34+k=6^2=36$ ดังนั้น $k=\boxed{2}$ | k=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเศษส่วนน้อยกว่า 3 เท่าของส่วนของตัวเศษ 7 ถ้าเศษส่วนเทียบเท่ากับ $2/5$ ตัวเศษของเศษส่วนคืออะไร? | ให้ตัวเศษเป็น $x$ ดังนั้นส่วนของเศษส่วนคือ $3x-7$ เนื่องจากเศษส่วนเท่ากับ $2/5$ เราจึงมี $x/(3x-7) = 2/5$ คูณทั้งสองข้างด้วย $5(3x-7)$ (หรือคูณไขว้) จะได้ $5x = 2(3x-7)$ ขยายด้านขวาจะได้ $5x = 6x - 14$ ลบ $6x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $-x = -14$ ดังนั้นเราพบว่า $x = \boxed{14}$ | x = \boxed{14} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $x, y, z$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง \begin{align*}
y+z & = 13, \\
z+x & = 14, \\
x+y & = 15.
\end{align*} จงหาค่าของ $\sqrt{xyz(x+y+z)}$. | นำสมการทั้งสามมาบวกกัน แล้วหารด้วย 2 จะได้ $x+y+z = 21$ ดังนั้น $x = 8, y = 7, z = 6$ และ $\sqrt{xyz(x+y+z)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{2^4\cdot 3^2 \cdot 7^2} = \boxed{84}$ | \sqrt{xyz(x+y+z)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{2^4\cdot 3^2 \cdot 7^2} = \boxed{84} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแสดง $\frac{31}{2\cdot5^6}$ ในรูปทศนิยมสิ้นสุด | เนื่องจากทศนิยมสิ้นสุดสามารถเขียนอยู่ในรูป $\frac{a}{10^b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม เราต้องการเขียนเศษส่วนใหม่ให้มีส่วนของ $10^b=2^b\cdot5^b$ \[ \frac{31}{2\cdot5^6}\cdot\frac{2^{5}}{2^{5}}=\frac{31\cdot2^{5}}{10^{6}}=\frac{992}{10^{6}}. \]เนื่องจากส่วนประกอบด้วย $10^6$ เท่านั้น ดังนั้นจะมีเลขโดดทั้งหมด 6 ตัวทางด้านขวาของจุดทศนิยม โดย 3 ตัวสุดท้ายคือ $992$ ดังนั้นการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{31}{2\cdot5^6}$ คือ $\boxed{0.000992}$ | \boxed{0.000992} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
รูปสามเหลี่ยมทุกรูปมีค่าเท่ากัน และวงกลมทุกวงมีค่าเท่ากัน ผลรวมของวงกลมสามวงเท่ากับเท่าไร? \begin{align*}
\Delta + \bigcirc + \Delta + \bigcirc + \Delta&= 21\\
\bigcirc + \Delta+\bigcirc+\Delta+\bigcirc &= 19\\
\bigcirc + \bigcirc + \bigcirc &= \ ?
\end{align*} | แทนรูปสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร $a$ และวงกลมด้วยตัวอักษร $b$ สมการที่กำหนดจะกลายเป็น \begin{align*}
3a+2b&=21\\
2a+3b&=19.
\end{align*}นำสมการแรกคูณด้วย $2$ จะได้ $6a+4b=42$ นำสมการที่สองคูณด้วย $3$ จะได้ $6a+9b=57$ ลบสมการทั้งสองเพื่อกำจัด $a$ จะได้ $5b=15$ คูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{3}{5}$ จะได้ $$\frac{3}{5}\cdot 5b = \frac{3}{5} \cdot 15 \Rightarrow 3b=9.$$ดังนั้น สามวงกลมมีค่าเท่ากับ $\boxed{9}.$ | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว, กำหนดฟังก์ชัน \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
ax + b & \text{ถ้า } x < 2, \\
8 - 3x & \text{ถ้า } x \ge 2.
\end{array}
\right.\]ฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติที่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x.$ จงหาค่า $a + b$ | กำหนดให้ $x = 3,$ จะได้ $f(3) = -1.$ เนื่องจาก $-1 < 2,$ $f(-1) = -a + b.$ ดังนั้น $f(f(3)) = f(-1) = -a + b.$ แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x,$ ดังนั้น $-a + b = 3.$
กำหนดให้ $x = 4,$ จะได้ $f(4) = -4.$ เนื่องจาก $-4 < 2,$ $f(-4) = -4a + b.$ ดังนั้น $f(f(4)) = f(-4) = -4a + b.$ แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x,$ ดังนั้น $-4a + b = 4.$
ลบสมการ $-a + b = 3$ และ $-4a + b = 4$ จะได้ $3a = -1,$ ดังนั้น $a = -1/3.$ จาก $-a + b = 3,$ จะได้ $b = a + 3 = 8/3.$ ดังนั้น $$a + b = (-1/3) + 8/3 = \boxed{\frac{7}{3}}.$$ | 7/3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^2+12n-2007$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $S$ หารด้วย $1000$. | ถ้า $n^2 + 12n - 2007 = m^2$ เราสามารถเติมกำลังสองในด้านซ้ายมือเพื่อให้ได้ $n^2 + 12n + 36 = m^2 + 2043$ ดังนั้น $(n+6)^2 = m^2 + 2043$ ลบ $m^2$ และแยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ เราจะได้ $(n + m + 6)(n - m + 6) = 2043$. $2043 = 3^2 \cdot 227$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบเป็น 2 ตัวประกอบได้ 3 วิธี $2043 \cdot 1 = 3 \cdot 681 = 227 \cdot 9$ นี่จะให้เราสามคู่ของสมการในการแก้หา $n$:
$n + m + 6 = 2043$ และ $n - m + 6 = 1$ ให้ $2n + 12 = 2044$ และ $n = 1016$.
$n + m + 6 = 681$ และ $n - m + 6 = 3$ ให้ $2n + 12 = 684$ และ $n = 336$.
$n + m + 6 = 227$ และ $n - m + 6 = 9$ ให้ $2n + 12 = 236$ และ $n = 112$.
สุดท้าย $1016 + 336 + 112 = 1464$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{464}$. | \boxed{464} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4)$ | เราสามารถคูณตัวเลขทั้งหมดออกได้ แต่จะยุ่งยาก เราจะคูณนิพจน์ทั้งหมดด้วย $\frac{2-1}{2-1}$ และใช้ผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\ \ \ \ \frac{1}{2-1}(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^2 - 1^2)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^4 - 1^4)(2^4 + 1^4) \\
&= 2^8 - 1^8 \\
&= \boxed{255}.
\end{align*} | 255 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยายผลคูณ ${(x+3)(x-8)}$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive ครั้งแรก เราจะบวกผลคูณของ $x+3$ และ $x$ กับผลคูณของ $x+3$ และ $-8$:
\begin{align*}
(x+3)(x-8) &= (x+5) \cdot x + (x+5) \cdot (-8)\\
&= x(x+3) - 8(x+3)
\end{align*}เราใช้สมบัติการ distributive อีกครั้งและรวมพจน์ที่คล้ายกัน:
\begin{align*}
x(x+3) - 8(x+3) &= x^2 + 3x - 8x - 24\\
&= \boxed{x^2 - 5x - 24}
\end{align*} | 43 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
หกจำนวนเต็มบวกถูกเขียนบนหน้าของลูกบาศก์ แต่ละจุดยอดจะถูกติดป้ายด้วยผลคูณของสามจำนวนบนหน้าที่อยู่ติดกับจุดยอด ถ้าผลรวมของจำนวนบนจุดยอดเท่ากับ 1001 แล้วผลรวมของจำนวนที่เขียนบนหน้าของลูกบาศก์คือเท่าไร | ให้ค่าบนคู่หน้าตรงข้ามกันเป็น $a$ และ $d$ คู่หน้าที่สอง $b$ และ $e$ และคู่หน้าที่สาม $c$ และ $f$ มีจุดยอดแปดจุดบนลูกบาศก์ ดังนั้นเราพบว่าผลรวม 1001 เท่ากับ $$abc + aec + abf + aef + dbc + dec + dbf + def.$$ สำหรับหน้าใด ๆ ที่อยู่ติดกันที่จุดยอดที่มี $a$ หน้าที่อยู่ติดกันเดียวกันจะอยู่ติดกับจุดยอดที่มี $d$ และหน้าที่อยู่ติดกันสามหน้าต้องมี $a$ หรือ $d$ ดังนั้นทุกเทอมมี $a$ หรือ $d$ และนิพจน์สมมาตรใน $a$ และ $d$ พิจารณาจากนิพจน์เป็นพหุนามใน $a$ (โดยมีตัวแปรที่เหลือคงที่) เราสังเกตว่า $P(-d)=0$ ดังนั้น $a+d$ หารนิพจน์ที่กำหนด เช่นเดียวกัน $b+e$ และ $c+f$ หารนิพจน์ที่กำหนดเช่นกัน ดังนั้น $$abc + aec + abf + aef + dbc + dec + dbf + def = k(a+d)(b+e)(c+f).$$ ที่นี่เนื่องจากทั้งสองด้านมีดีกรีสามในตัวแปรของพวกเขา $k$ ต้องเป็นค่าคงที่ ซึ่งเห็นได้ง่ายว่าเป็น 1
ตามมาด้วย $(a+d)(b+e)(c+f) = 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ เนื่องจากแต่ละตัวแปรเป็นบวก เรามี $a+d > 1, b+e > 1,$ และ $c+f > 1$ ดังนั้น $(a+d)+(b+e)+(c+f) = 7 + 11 + 13 = \boxed{31}$. | (a+d)+(b+e)+(c+f) = 7 + 11 + 13 = \boxed{31} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแสดง $(5-4i)-2(3+6i)$ ในรูปของจำนวนเชิงซ้อน | $(5-4i)-2(3+6i) = 5-4i -6 -12i = \boxed{-1-16i}$. | (5-4i)-2(3+6i) = 5-4i -6 -12i = \boxed{-1-16i} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนป้ายทะเบียนที่เป็นไปได้ใน Xanadu ซึ่งประกอบด้วยสองตัวอักษรตามด้วยสามหลัก | มีตัวเลือก 26 ตัวอักษรสำหรับแต่ละตำแหน่งของสองตำแหน่งแรก และมีตัวเลือก 10 หลักสำหรับแต่ละตำแหน่งถัดไป 3 ตำแหน่ง รวมเป็น $26^2 \times 10^3 = \boxed{676,\!000}$ ป้ายทะเบียนที่แตกต่างกัน | 26^2 \times 10^3 = \boxed{676,\!000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
การศึกษาเมื่อเร็วๆ นี้พบว่า 60% ของผู้ชายและ 80% ของผู้หญิงที่สำรวจสนับสนุนการเพิ่มเงินทุนสำหรับการวิจัยทางการแพทย์โดยเฉพาะ การศึกษาสำรวจผู้ชาย 100 คนและผู้หญิง 900 คน ร้อยละของผู้ที่สำรวจทั้งหมดที่สนับสนุนการเพิ่มเงินทุนคือเท่าใด | 60% ของ 100 ผู้ชายคือ 60 คน
80% ของ 900 ผู้หญิงคือ 720 คน
ดังนั้น จากผู้คนทั้งหมด 1000 คนที่สำรวจ 780 คนสนับสนุน นี่คือ 78%. | 78% | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\frac{5x+9y}{45xy}$ เมื่อกำหนด $x = \frac{3}{5}$ และ $y = \frac{7}{9}$ | แทนค่า $x$ และ $y$ ลงในนิพจน์ จะได้ $$\frac{5\left(\frac35\right)+9\left(\frac79\right)}{45\left(\frac35\right)\left(\frac79\right)}=\frac{3+7}{3\cdot7}=\boxed{\frac{10}{21}}.$$ | [
"นำไปใช้"
] | |
จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่มี 4 หลักและหารด้วย 4 ลงตัว | จำนวนเต็มจะหารด้วย 4 ลงตัวก็ต่อเมื่อเลขสองหลักสุดท้ายของจำนวนนั้นหารด้วย 4 ลงตัว เลขสองหลักที่มากที่สุดที่หารด้วย 4 ลงตัวคือ 96 ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่มี 4 หลักและหารด้วย 4 ลงตัวคือ $\boxed{9996}$ | \boxed{9996} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าที่มากที่สุดของ $c$ ที่ทำให้ $-2$ อยู่ในช่วงของ $f(x)=x^2+3x+c$ | เราจะเห็นว่า $-2$ อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + 3x + c$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2+3x+c=-2$ มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + 3x + (c + 2) = 0$ พจน์เลือกของสมการกำลังสองนี้คือ $3^2 - 4(c + 2) = 1 - 4c$ สมการกำลังสองจะมีรากจริงก็ต่อเมื่อพจน์เลือกไม่เป็นลบ ดังนั้น $1 - 4c \ge 0$ แล้ว $c \le 1/4$ ดังนั้นค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $c$ คือ $\boxed{\frac{1}{4}}$ | \boxed{\frac{1}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x)=3x-8$ ถ้า $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f$ จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x)=f^{-1}(x)$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=3f^{-1}(x)-8.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=3f^{-1}(x)-8.\]หรือ \[f^{-1}(x)=\frac{x+8}3.\]เราต้องการแก้สมการ $f(x) = f^{-1}(x)$ ดังนั้น \[3x-8=\frac{x+8}3.\]หรือ \[9x-24=x+8.\]แก้สมการหา $x$ เราได้ $x = \boxed{4}$. | x = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\displaystyle\frac{a}{b} = 4$, $\displaystyle\frac{b}{c} = \frac{1}{3}$, และ $\displaystyle \frac{c}{d} = 6$ แล้ว $\displaystyle\frac{d}{a}$ มีค่าเท่าใด? | การคูณสมการทั้งสามเข้าด้วยกันจะได้ \[\frac{a}{b} \cdot\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{d} = 4\cdot \frac{1}{3}\cdot 6,\]ดังนั้น \[\frac{a}{d}= 8.\] การนำส่วนกลับของทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้ $d/a = \boxed{\frac{1}{8}}$. | d/a = \boxed{\frac{1}{8}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้านประกอบมุมฉากเป็นจำนวนเต็มจะเรียกว่า "เท่" หากจำนวนตารางหน่วยในพื้นที่ของมันเท่ากับสองเท่าของจำนวนหน่วยในผลรวมของความยาวด้านประกอบมุมฉากของมัน จงหาผลรวมของพื้นที่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ "เท่" | กำหนดให้ความยาวด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็น $a$ และ $b.$ จะได้ว่า $\frac{ab}{2}=2(a+b).$ ขยายและย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายมือ: $ab-4a-4b=0.$ บวก 16 เข้าไปในทั้งสองข้างเพื่อให้สามารถแยกตัวประกอบได้: \[a(b-4)-4(b-4)=(a-4)(b-4)=16. \] จากจุดนี้ คู่ $(a,b)$ ที่ให้พื้นที่ต่างกันคือ $(5,20),$ $(6,12),$ และ $(8,8),$ และผลรวมของพื้นที่ที่เป็นไปได้คือ $50 + 36 + 32 = \boxed{118}$. | 50 + 36 + 32 = \boxed{118} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปร่างเรขาคณิตใดมีด้าน 3 ด้านและ 3 มุม? | รูปสามเหลี่ยมมีด้าน 3 ด้านและ 3 มุม | รูปสามเหลี่ยม | [
"จำ",
"เข้าใจ"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $\sqrt{x+ 7} = 9$. | เนื่องจาก $\sqrt{x+7} = 9$ เราทราบว่า 9 คือจำนวนที่กำลังสองเท่ากับ $x+7$ ดังนั้น \[x+7 = 9^2.\] นำไปสู่ $x + 7= 81$ ดังนั้น $x= \boxed{74}$. | x= \boxed{74} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a \oslash b = (\sqrt{2a+b})^3$ ถ้า $4 \oslash x = 27$ จงหาค่าของ $x$ | เราทราบว่า $4\oslash x = (\sqrt{2(4)+x})^3=27$ นำรากที่สามของทั้งสองข้าง จะได้ $\sqrt{8+x}=3$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ $8+x=9$ ให้ค่าของ $x = \boxed{1}$ | x=\boxed{1} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่า $k$ ใดที่เส้นตรงที่แทนด้วยสมการ $-\frac{1}{2}-2kx = 5y$ ผ่านจุด $\left(\frac{1}{4},-6\right)$? | เนื่องจากจุด $\left(\frac{1}{4}, -6\right)$ อยู่บนเส้นตรง เราแทนค่า $x = \frac{1}{4}$ และ $y = -6$ ลงในสมการเพื่อให้ได้ \begin{align*}
-\frac{1}{2} - \frac{k}{2} &= 5(-6)\\
\Rightarrow\qquad -1-k = -60\\
\Rightarrow\qquad k=\boxed{59}.
\end{align*} | 59 | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y=4$ และ $x^2+y^2=8$ จงหา $x^3+y^3$ | เราทราบว่า $8=x^2+y^2=x^2+2xy+y^2-2xy=(x+y)^2-2xy=16-2xy$ ดังนั้น $xy=\frac{16-8}{2}=4$ เนื่องจาก $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(x^2+y^2-xy)$ เราสามารถแทนค่าตัวเลขของแต่ละพจน์พีชคณิตได้โดยตรง ซึ่งจะได้ $x^3+y^3=(4)(8-4)=\boxed{16}$ | x^3+y^3=(4)(8-4)=\boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของสามจำนวน $a, b$ และ $c$ เท่ากับ 60 ถ้าเราลดค่า $a$ ลง 7 เราจะได้ค่า $N$ ถ้าเราเพิ่มค่า $b$ ขึ้น 7 เราจะได้ค่า $N$ ถ้าเราคูณ $c$ ด้วย 7 เราก็จะได้ค่า $N$ ค่าของ $N$ คือเท่าไร? | แปลงคำเป็นสมการทางคณิตศาสตร์ เราได้สมการ \begin{align*}
a+b+c&=60\\
a-7&=N\\
b+7&=N\\
7c&=N\\
\end{align*} เราจะแสดงค่าของ $a$, $b$ และ $c$ ในรูปของ $N$ แล้วแทนสมการเหล่านี้ลงในสมการที่กำหนดมาเพื่อแก้หา $N$ จากสมการที่สองเราได้ $a=N+7$ จากสมการที่สามเราได้ $b=N-7$ จากสมการที่สี่เราได้ $c=N/7$ แทนสมการเหล่านี้ลงในสมการที่กำหนดมาเพื่อกำจัด $a$, $b$ และ $c$ เราได้ $(N+7)+(N-7)+(N/7)=60\Rightarrow N=\boxed{28}$. | (N+7)+(N-7)+(N/7)=60\Rightarrow N=\boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการหาค่า $c$: $$\sqrt{4+\sqrt{8+4c}}+ \sqrt{2+\sqrt{2+c}} = 2+2\sqrt{2}$$ | เราสามารถแยกตัวประกอบค่าคงที่ออกจากรากที่หนึ่งได้: \begin{align*}
\sqrt{4+\sqrt{8+4c}} &= \sqrt{4+\sqrt{4(2+c)}}\\
&= \sqrt{4+2\sqrt{2+c}}\\
&= \sqrt{2(2+\sqrt{2+c})}\\
&= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2+c}}.
\end{align*}จากนั้น เราสามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันและแก้สมการได้: \begin{align*}
\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2+c}}+ \sqrt{2+\sqrt{2+c}} &= 2+2\sqrt{2}\\
\Rightarrow \qquad (1+\sqrt{2})\sqrt{2+\sqrt{2+c}} &=2(1+\sqrt{2})\\
\Rightarrow \qquad \sqrt{2+\sqrt{2+c}} &= 2\\
\Rightarrow \qquad 2+\sqrt{2+c} &= 4\\
\Rightarrow \qquad \sqrt{2+c} &= 2\\
\Rightarrow \qquad 2+c &= 4\\
\Rightarrow \qquad c &= \boxed{2}
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ $(-27)^{5/3}$ | เราได้ว่า \[(-27)^{5/3} = ((-3)^3)^{5/3} = (-3)^{3(5/3)} = (-3)^5 = \boxed{-243}.\] | -243 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $361+2(19)(6)+36=x$. | เราสังเกตว่า $361=19^2$ และ $36=6^2$ ดังนั้น $x=19^2+2(19)(6)+6^2$ ซึ่งเป็นการกระจายทวินามของ $(19+6)^2=25^2=\boxed{625}$ | (19+6)^2=25^2=\boxed{625} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $n$ เมื่อ $9^n\cdot9^n\cdot9^n\cdot9^n=81^4$. | สมการ $9^n\cdot9^n\cdot9^n\cdot9^n=81^4$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $9^{4n}=81^4$ เนื่องจาก $81=9^2$ เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น $9^{4n}=9^{2(4)}$ เมื่อแก้สมการหา $n$ จะได้ $n=\boxed{2}$ | n=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $16\left (\frac{125}{2}+\frac{25}{4}+\frac{9}{16}+1\right)$. | โดยสมบัติการ distributive เราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น: $$16\left (\frac{125}{2}+\frac{25}{4}+\frac{9}{16}+1\right) =16\left (\frac{125}{2}\right)+16\left (\frac{25}{4}\right )+16\left (\frac{9}{16} \right) +16$$$$=8\cdot 125+4\cdot 25+9+16=1000+100+9+16=\boxed{1125}.$$ | 1125 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลคูณของค่าคงที่ทั้งหมด $t$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการกำลังสอง $x^2 + tx - 10$ สามารถแยกตัวประกอบอยู่ในรูป $(x+a)(x+b)$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม | ถ้า $x^2 + tx - 10= (x+a)(x+b)$ แล้ว \[x^2 + tx -10 = x^2 + ax +bx +ab = x^2 +(a+b)x + ab.\]ดังนั้นเราต้องมี $ab = -10$ และสำหรับ $a$ และ $b$ ใดๆ เราจะมี $t = a+b$ ความเป็นไปได้ของเราคือดังนี้: \[\begin{array}{ccc}a&b&a+b\\\hline
-1 & 10 & 9\\
-2 & 5 & 3\\
-5 & 2 & -3\\
-10 & 1 & -9
\end{array}\]ผลคูณของค่าที่เป็นไปได้เหล่านี้ของ $t=a+b$ คือ $(9)(3)(-3)(-9) = 27^2 = \boxed{729}$ | (9)(3)(-3)(-9) = 27^2 = \boxed{729} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คริสทอฟแก้สมการกำลังสอง $11x^2-44x-99=0$ โดยวิธีการเติมกำลังสอง ในกระบวนการนี้ เขาได้สมการเทียบเท่า $$(x+r)^2 = s,$$โดยที่ $r$ และ $s$ เป็นค่าคงที่
จงหา $r+s$? | หารทั้งสองข้างของสมการ $11x^2-44x-99$ ด้วย $11$ เราได้ $$x^2-4x-9 = 0.$$กำลังสองที่เห็นด้วยกับ $x^2-4x-9$ ยกเว้นพจน์คงที่คือ $(x-2)^2$ ซึ่งเท่ากับ $x^2-4x+4$ และดังนั้นเท่ากับ $(x^2-4x-9)+13$.
ดังนั้น โดยการบวก $13$ เข้าไปในแต่ละข้าง คริสทอฟจึงเขียนสมการ $x^2-4x-9 = 0$ ใหม่เป็น $$(x-2)^2 = 13$$เราได้ $r=-2$, $s=13$ และดังนั้น $r+s=\boxed{11}$. | r+s=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $-\frac{15}{4}$ | $-\frac{15}{4} = -3\frac{3}{4}$ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $-3\frac{3}{4}$ คือ $-4$ | $-4$ | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์"
] |
สามเหลี่ยมมุมป้านมีมุมภายในมุมป้านกี่มุม? | ตามนิยาม สามเหลี่ยมมุมป้านมีมุมภายในมุมป้าน 1 มุม มันไม่สามารถมีมากกว่า 1 มุมได้ เพราะมุมป้านมีขนาดมากกว่า 90 องศา และผลรวมของมุมภายในทั้งหมดในสามเหลี่ยมใดๆ คือ 180 องศา ดังนั้นมี $\boxed{1}$ มุมป้าน | \boxed{1} | [
"จำ",
"เข้าใจ"
] |
ผลต่างบวกของคำตอบของสมการ $\dfrac{r^2-3r-17}{r+4}=2r+7$ คือเท่าใด | การแยกตัวประกอบพหุนามในตัวเศษดูไม่น่าจะสวยงาม ดังนั้นเราคูณตลอดด้วยตัวส่วนเพื่อให้ได้ \begin{align*}
r^2-3r-17&=(r+4)(2r+7)\\
r^2-3r-17&=2r^2 + 15r + 28\\
r^2+18r+45&=0\\
(r+3)(r+15)&=0
\end{align*}ดังนั้นคำตอบคือ $r=-3$ และ $r=-15$ ซึ่งมีผลต่างเท่ากับ $\boxed{12}$ | \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (ซึ่งหมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษ) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังนั้น $a+b=-3+3=\boxed{0}$ | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเชิงซ้อนมักใช้เมื่อเกี่ยวข้องกับวงจรกระแสสลับ (AC) ในสมการ $V = IZ$, $V$ คือแรงดันไฟฟ้า, $I$ คือกระแส และ $Z$ คือค่าที่เรียกว่าอิมพีแดนซ์ ถ้า $V = 1-i$ และ $Z=1+3i$ จงหา $I$ แสดงคำตอบของคุณเป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูป $a+bi$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง | เรามี $$
I = \frac{V}{Z} = \frac{1-i}{1+3i}.
$$ คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน เราได้ \begin{align*}
I &= \frac{1-i}{1+3i} \cdot \frac{1-3i}{1-3i}\\
& = \frac{1(1) + 1(-3i) - i(1) - i(-3i)}{1(1) + 1(-3i) + 3i(1) + 3i(-3i)}\\
& = \frac{-2-4i}{10}\\
& = \boxed{ -\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i }.
\end{align*} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
นิพจน์ $y^2+10y+33$ สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองของทวินามและจำนวนเต็ม จงหาจำนวนเต็มนั้น | เราจะเติมกำลังสองให้กับ $y^2 + 10y + 33$.
ทวินามที่จะถูกกำลังสองจะเป็นรูป $y+a$ เพราะสัมประสิทธิ์ของ $y^2$ คือ 1. โดยการยกกำลังสองของทวินาม เราจะได้ $y^2+2ay+a^2$. เราต้องการให้ $2ay$ เท่ากับ $10y$ ดังนั้น $a=5$. $(y+5)^2=y^2+10y+25$.
$y^2+10y+33=(y^2+10y+25)+8=(y+5)^2+8$. ดังนั้น ทวินามคือ $y+5$ และจำนวนเต็มคือ $\boxed{8}$. | \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วิศวกรคนหนึ่งลงทุนเงิน $\$10,\!000$ ในใบรับฝากเงินออมระยะสั้น 6 เดือน ซึ่งให้ผลตอบแทนอัตราดอกเบี้ยแบบธรรมดาต่อปี $12\%$. หลังจาก 6 เดือน เธอลงทุนมูลค่าทั้งหมดของการลงทุนในใบรับฝากเงินออมระยะสั้นอีก 6 เดือน หลังจาก 6 เดือน การลงทุนมีมูลค่า $\$11,\!130$. ถ้าอัตราดอกเบี้ยต่อปีของใบรับฝากเงินออมระยะสั้นใบที่สองคือ $r\%$, แล้ว $r$ มีค่าเท่าใด? | ใน 6 เดือนแรก อัตราดอกเบี้ย (แบบธรรมดา) คือ $12/2 = 6$ เปอร์เซ็นต์ ดังนั้น การลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot 1.06 = 10600$.
ให้อัตราดอกเบี้ยต่อปีของใบรับฝากเงินออมระยะสั้นใบที่สองเป็น $r$ เปอร์เซ็นต์ จากนั้นอัตราดอกเบี้ยสำหรับ 6 เดือนคือ $r/2$ ดังนั้นการลงทุนจะเติบโตเป็น $10600 \cdot \left( 1 + \frac{r/2}{100} \right)$. ดังนั้น \[10600 \cdot \left( 1 + \frac{r/2}{100} \right) = 11130.\] จากนั้น \[1 + \frac{r/2}{100} = \frac{11130}{10600} = 1.05,\] ดังนั้น $r/200 = 0.05$ ซึ่งหมายความว่า $r = \boxed{10}$. | r = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt{9}$ ในรูปของจำนวนเต็มบวก | รากที่สี่ของ 81 เท่ากับ 3, รากที่สามของ 27 เท่ากับ 3 และรากที่สองของ 9 เท่ากับ 3 ดังนั้นผลคูณคือ $3\cdot3\cdot3=\boxed{27}$ | 3\cdot3\cdot3=\boxed{27} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $m+\frac{1}{m}=8$ แล้ว $m^{2}+\frac{1}{m^{2}}+4$ มีค่าเท่าใด | ยกกำลังสองสมการที่กำหนดให้ จะได้ $m^2+2(m)\left(\frac{1}{m}\right) +\frac{1}{m^2}=64,$ ดังนั้น $m^2+\frac{1}{m^2}+4=\boxed{66}$. | m^2+\frac{1}{m^2}+4=\boxed{66} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลต่างบวกระหว่างพจน์ที่ 2000 และพจน์ที่ 2005 ของลำดับเลขคณิต $-8,$ $-2,$ $4,$ $10,$ $\ldots$ | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $-2 - (-8) = 6$ พจน์ที่ 2000 คือ $a + 1999d$ และพจน์ที่ 2005 คือ $a + 2004d$ ดังนั้น ผลต่างบวกระหว่างสองพจน์นี้คือ $(a + 2004d) - (a + 1999d) = 5d = 5 \cdot 6 = \boxed{30}$ | (a + 2004d) - (a + 1999d) = 5d = 5 \cdot 6 = \boxed{30} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $\sqrt{30p} \cdot \sqrt{5p} \cdot \sqrt{6p}$ . แสดงคำตอบในรูปของรากที่ง่ายที่สุดในรูปของ $p$. | เขียนทุกอย่างในรูปของการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ นิพจน์ที่กำหนดคือ $\sqrt{2 \cdot 3\cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot p^3} = \sqrt{(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot p^2) \cdot (p)} = \boxed{30p \sqrt{p}}$. | \sqrt{2 \cdot 3\cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot p^3} = \sqrt{(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot p^2) \cdot (p)} = \boxed{30p \sqrt{p}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=2x^4+x^3+x^2-3x+r$ จงหาค่าของ $r$ ที่ทำให้ $f(2)=0$ | การแทนค่าจะได้ \[f(2)=2(2)^4+(2)^3+(2)^2-3(2)+r=32+8+4-6+r=38+r.\]ค่านี้เท่ากับ 0 เมื่อ $r=\boxed{-38}$. | r=\boxed{-38} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $\log_{10}{28471}$ อยู่ระหว่างจำนวนเต็มติดต่อกัน $a$ และ $b$ จงหา $a+b$ | เราทราบว่า $\log_{10}10000=4$ และ $\log_{10}100000=5$ เนื่องจาก $\log_{10}x$ เพิ่มขึ้นเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น เราทราบว่า $\log_{10}10000<\log_{10}28471<\log_{10}100000$ ซึ่งหมายความว่า $4<\log_{10}28471<5$ ดังนั้นผลบวกที่ต้องการคือ $4+5=\boxed{9}$ | 4+5=\boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $2010a + 2014b = 2018$ และ $2012a + 2016b = 2020$ แล้วค่าของ $a - b$ เท่ากับเท่าไร? | ลบสมการทั้งสองสมการเข้าด้วยกัน: \begin{align*}
(2012a + 2016b)-(2010a + 2014b) &= 2020-2018\\
2a+2b &= 2\\
a+b &= 1
\end{align*}คูณสมการนี้ด้วย 2010 และลบสมการที่ได้จาก $ 2010a + 2014b=2018$ จะได้ \begin{align*}
4b &= (2010a + 2014b) - 2010(a+b)
\\\Rightarrow \qquad 4b &= 2018-2010
\\\Rightarrow \qquad 4b &= 8
\\\Rightarrow \qquad b &=2.
\end{align*}ดังนั้น $a-b = (a+b) - 2b = 1-4 = \boxed{-3}$. | a-b = (a+b) - 2b = 1-4 = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับหลัก $C$ กี่หลักที่ทำให้จำนวนสามหลัก $1C3$ เป็นพหุคูณของ 3? | $1C3$ เป็นพหุคูณของ 3 ก็ต่อเมื่อผลรวมของหลัก $1+C+3$ เป็นพหุคูณของ 3. การแทนค่าหลัก $C$ ที่เป็นไปได้แต่ละหลักให้เราได้ว่า $1+C+3$ เป็นพหุคูณของ 3 ก็ต่อเมื่อ $C=2, 5, 8$ เท่านั้น ดังนั้น $1C3$ เป็นพหุคูณของ 3 สำหรับหลัก $C$ จำนวน $\boxed{3}$ หลัก | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยาย $(x^{22}-3x^{5} + x^{-2} - 7)\cdot(5x^4)$ | โดยใช้สมบัติการ distributive เราสามารถขยายได้ดังนี้ \begin{align*}
(x^{22}&-3x^{5} + x^{-2} - 7)\cdot(5x^4)\\
&=(x^{22})(5x^4)+(-3x^5)(5x^4)+(x^{-2})(5x^4)-7(5x^4)\\
&=5x^{26}-15x^9+5x^2-35x^4\\
&=\boxed{5x^{26}-15x^9-35x^4+5x^2}.
\end{align*} | [
"นำไปใช้"
] | |
ถ้า $x$ สอดคล้องกับ $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{x}$ แล้วค่าของ $x$ เท่ากับเท่าใด? | เราได้ว่า $\frac{3}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} =\frac{1}{6}$ คูณไขว้ $\frac{3}{x} =\frac{1}{6}$ จะได้ $x = \boxed{18}$ | x = \boxed{18} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.