question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ถ้า $f(x)=\frac{16}{5+3x}$, จงหาค่าของ $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\]เมื่อ $x=2$ จะได้ \[2=\frac{16}{5+3f^{-1}(2)}.\]แก้สมการหา $f^{-1}(2)$ เราจะได้ $f^{-1}(2) = 1$ ดังนั้น $[f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{1}$ | [f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของห้าพจน์แรกในลำดับเรขาคณิต $\frac13,\frac19,\frac1{27},\dots$ เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | นี่เป็นอนุกรมเรขาคณิตจำกัดที่มีพจน์แรก $\frac13$ และอัตราส่วนร่วม $\frac13$ มีห้าพจน์ ดังนั้นผลบวกของอนุกรมนี้คือ $\frac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13} = \boxed{\frac{121}{243}}$ | $\frac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13} = \boxed{\frac{121}{243}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $x+y$, $x-y$, $xy$, และ $x/y$ ตามลำดับ จงหาพจน์ที่ห้าของลำดับนี้ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจากผลต่างของพจน์สองพจน์แรกคือ $-2y$ พจน์ที่สามและพจน์ที่สี่ของลำดับนี้ต้องเป็น $x-3y$ และ $x-5y$ ตามลำดับ ดังนั้น \[
x-3y = xy \quad\text{และ}\quad x-5y = \frac{x}{y},
\]ดังนั้น $xy - 5y^{2} = x.$ รวมสมการเหล่านี้เราจะได้ \[
(x - 3y) - 5y^{2}= x\quad\text{และ, 따라서 }\quad -3y - 5y^{2} = 0.
\]เนื่องจาก $y$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ เราจะได้ $y = -\frac{3}{5}$ และตามมาว่า $x = -\frac{9}{8}$ พจน์ที่ห้าของลำดับนี้คือ $x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}}$. | x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt{9}$ ในรูปของจำนวนเต็มบวก | ทั้งสามตัวประกอบมีค่าเท่ากับ 3 ดังนั้นผลคูณคือ $3\cdot3\cdot3=\boxed{27}$ | 3\cdot3\cdot3=\boxed{27} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงแปลง $10101_3$ เป็นจำนวนเต็มฐานสิบ | $10101_3 = 1 \cdot 3^4 + 0 \cdot 3^3 + 1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 81 + 9 + 1 = \boxed{91}$. | 91 | [
"ความจำ",
"ความเข้าใจ"
] |
จงหาค่าของ $16^{7/4}$ | เราได้ว่า \[16^{7/4} = (2^4)^{7/4} = 2^{4\cdot (7/4)} = 2^7 = \boxed{128}.\] | 128 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $*$ สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์ดังนี้: $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ถ้า $a+b = 9$ และ $ a \times b = 20$ จงหาค่าของ $a*b$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สังเกตว่า $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ กำหนดให้ $a + b = 9$ และ $ab = 20$ ถ้าเราแทนค่าเหล่านี้ลงใน $\frac{a + b}{ab}$ เราจะเห็นว่า $a * b = \boxed{\frac{9}{20}}$ | a * b = \boxed{\frac{9}{20}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $x^2 + 15x + 54$ สามารถเขียนในรูป $(x + a)(x + b)$ และนิพจน์ $x^2 - 17x + 72$ เขียนในรูป $(x - b)(x - c)$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $a + b + c$ | การแยกตัวประกอบ เราพบว่า $x^2 + 15x + 54 = (x + 9)(x + 6)$ และ $x^2 - 17x + 72 = (x - 9)(x - 8)$ เราจะเห็นว่า $b = 9$ ดังนั้น $a = 6$ และ $c = 8$ และ $a + b + c = \boxed{23}$ | a + b + c = \boxed{23}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $XY$ ในรูปสามเหลี่ยมด้านล่างนี้
[asy]
unitsize(1inch);
pair P,Q,R;
P = (0,0);
Q= (1,0);
R = (0,1);
draw (P--Q--R--P,linewidth(0.9));
draw(rightanglemark(Q,P,R,3));
label("$X$",P,S);
label("$Y$",Q,S);
label("$Z$",R,N);
label("$12\sqrt{2}$",R/2,W);
label("$45^\circ$",(0.7,0),N);
[/asy] | เนื่องจาก $\angle Z = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ ดังนั้น $XY = XZ = \boxed{12\sqrt{2}}$ | XY = XZ = \boxed{12\sqrt{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนเต็มบวก $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $x^2 + 6x + 9$ มีค่าอยู่ระหว่าง 20 ถึง 40 | เราเห็นว่า $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. ถ้า $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก เราจะเห็นว่านิพจน์นี้สามารถมีค่าเท่ากับกำลังสองสมบูรณ์ใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 16 ดังนั้น ข้อปัญหาถามว่ามีกำลังสองสมบูรณ์กี่จำนวนที่อยู่ระหว่าง 20 ถึง 40 มีเพียง $\boxed{2}$ จำนวน คือ 25 และ 36 | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $r$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\lfloor r \rfloor + r = 12.2$. | ก่อนอื่นเราสังเกตว่า $r$ ต้องเป็นจำนวนบวก เพราะถ้าไม่เช่นนั้น $\lfloor r \rfloor + r$ จะเป็นจำนวนลบหรือศูนย์ ต่อไป เนื่องจาก $\lfloor r \rfloor$ เป็นจำนวนเต็ม และ $\lfloor r \rfloor + r=12.2$ ส่วนทศนิยมของ $r$ ต้องเป็น $0.2$ ดังนั้น $r=n+0.2$ สำหรับจำนวนเต็ม $n$ บางจำนวน เพื่อให้ $\lfloor r\rfloor =n$ และ $\lfloor r \rfloor + r = 2n+0.2 =12.2$ ดังนั้น $n=6$ และค่าของ $r$ ที่สอดคล้องกับสมการคือ $\boxed{r=6.2}$ เท่านั้น | \boxed{r=6.2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $16^{7/4}$ | เราได้ว่า \[16^{7/4} = (2^4)^{7/4} = 2^{4\cdot (7/4)} = 2^7 = \boxed{128}.\] | 128 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนที่น้อยที่สุดที่สองในจำนวนเต็มสี่หลักในสามเหลี่ยมปาสกาล | ทุกจำนวนเต็มบวกปรากฏในสามเหลี่ยมปาสกาล! จำนวน 1000 ปรากฏในแถวที่เริ่มต้นด้วย 1, 1000 จากนั้น 1001 ปรากฏในแถวถัดไป ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{1001}$ | \boxed{1001} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $P(n)$ และ $S(n)$ แทนผลคูณและผลบวกตามลำดับ ของหลักของจำนวนเต็ม $n$ ตัวอย่างเช่น $P(23) = 6$ และ $S(23) = 5$ สมมติว่า $N$ เป็นจำนวนสองหลัก ซึ่ง $N = P(N) + S(N)$ หลักหน่วยของ $N$ คืออะไร? | สมมติว่า $N=10a+b$ แล้ว $10a+b=ab+(a+b)$ จะได้ว่า $9a=ab$ ซึ่งหมายความว่า $b=9$ เพราะว่า $a \neq 0$ ดังนั้นหลักหน่วยของ $N$ คือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดตัดของเส้นตรง $9x-4y=30$ และ $7x+y=11$ แสดงคำตอบในรูปของลำดับคู่ $(x,y)$ | เราสามารถหาค่า $x$ ได้โดยการนำสมการที่สองคูณด้วย 4 แล้วบวกกับสมการแรก: $$4(7x+y)+(9x-4y)=28x+9x=37x=4(11)+30=74\implies x=2.$$แทนค่า $x$ ลงในสมการที่สองเพื่อหาค่า $y$: $$7x+y=11\implies y=11-7x=11-7(2)=-3.$$ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{(2,-3)}.$ | \boxed{(2,-3)}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด (7, -24) มีค่าเท่าใด (หน่วย) | เราใช้สูตรระยะทาง: $$\sqrt{(7-0)^2 + ((-24)-0)^2} = \sqrt{49+ 576} = \sqrt{625} = \boxed{25}.$$- หรือ -
สังเกตว่า จุดกำเนิด จุด (7, -24) และจุด (7, 0) ประกอบเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 7 และ 24 ซึ่งเป็นสามเท่าพีทาโกรัส ดังนั้น ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $\boxed{25}$. | \boxed{25} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้าเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 3 นิ้ว x 3 นิ้ว ในแต่ละขั้นตอน พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ขั้นที่ 6 จะมีขนาดเท่าไร (หน่วยเป็นตารางนิ้ว) ?
[asy]size(250); real textsize = 10pt;
draw(unitsquare);
draw(shift(1.5*right)*unitsquare);
draw(shift(2.5*right)*unitsquare);
draw(shift(4*right)*unitsquare);
draw(shift(5*right)*unitsquare);
draw(shift(6*right)*unitsquare);
label("ขั้นที่ 1",(.5,0),S,fontsize(textsize));
label("ขั้นที่ 2",(2.5,0),S,fontsize(textsize));
label("ขั้นที่ 3",(5.5,0),S,fontsize(textsize));[/asy] | จำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรกเป็น 1 และต่างกัน 1 ดังนั้น ที่ขั้นที่ 6 จะมี 6 สี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากแต่ละสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 3 x 3 = 9 ตารางนิ้ว พื้นที่ทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ขั้นที่ 6 คือ 6 x 9 = 54 ตารางนิ้ว | 6 x 9 = 54 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อกำลังสองของสามเท่าของจำนวนเต็มบวก ลดลงด้วยจำนวนเต็มนั้น ผลลัพธ์คือ $2010$ จำนวนเต็มนั้นคือจำนวนใด | ให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก ข้อความในโจทย์หมายความว่า $(3x)^2 - x = 2010$ หรือจัดเรียงใหม่ว่า $9x^2 - x - 2010 = 0$ สมมติว่าสิ่งนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $9x^2 - x - 2010 = (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (bc + ad)x + bd$ เราสามารถแยกตัวประกอบ $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67$ ถ้าทั้ง $a$ และ $c$ หารด้วย $3$ ลงตัว $bc + ad$ ก็จะหารด้วย $3$ ลงตัว ซึ่งไม่เป็นเช่นนั้น ดังนั้น หนึ่งใน $a$ และ $c$ เท่ากับ $9$ และอีกตัวเท่ากับ $1$ เราจะเลือก $a = 9$ จากนั้น $b + 9d = -1$ และ $bd = 2010$ หลังจากทดลองเล็กน้อย เราพบว่า $b= 2 \cdot 67, d = 3 \cdot 5$ ทำงาน ดังนั้น $$9x^2 - x - 2010 = (9x + 134)(x - 15) = 0,$$ และเนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $x = \boxed{15}$. | x = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลบวกของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน $a$ และ $b$ เท่ากับ 1001. ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $\gcd(a,b)$ คือเท่าใด? | สังเกตว่า $\gcd(a,b)$ หาร $a$ และ $b$ ลงตัว ดังนั้น $\gcd(a,b)$ ต้องหาร $a + b = 1001$ ลงตัวด้วย. เห็นได้ชัดว่า $\gcd(a,b)$ ไม่สามารถเท่ากับ 1001 (เพราะ $a$ และ $b$ ต้องน้อยกว่า 1001). ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดรองลงมาของ 1001 คือ 143. ถ้า $a = 143$ และ $b = 1001 - 143 = 858$ แล้ว $\gcd(a,b) = \gcd(143,858) = 143$. ดังนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $\gcd(a,b)$ คือ $\boxed{143}$. | \boxed{143} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับ $6075, 2025, 675 \ldots$, สร้างขึ้นโดยการหารด้วย 3 ซ้ำๆ มีจำนวนเต็มกี่ตัวในลำดับนี้? | $6075$ สามารถแยกตัวประกอบเป็น $3^55^2$ - ดังนั้น เนื่องจากเราหารด้วย 3 ซ้ำๆ จะมี $oxed{6}$ พจน์จำนวนเต็ม | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์"
] |
ผลรวมของจำนวนเต็ม 49 จำนวนที่เรียงกันคือ $7^5$ จงหาค่ามัธยฐานของจำนวนเต็มเหล่านั้น | ผลรวมของเซตของจำนวนเต็มเท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ยของจำนวนเต็มและจำนวนของจำนวนเต็ม และค่ามัธยฐานของเซตของจำนวนเต็มที่เรียงกันจะเท่ากับค่าเฉลี่ย ดังนั้นค่ามัธยฐานต้องเท่ากับ $7^5/49=7^3$ หรือ $\boxed{343}$ | \boxed{343} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ราคาของโทรทัศน์ถูก 할인 $40\%$ และถูกปรับลดอีก $40\%$ ในระหว่างการ распродаขาย. ราคาเดิมลดลงไปกี่เปอร์เซ็นต์? | ให้ราคาเดิมของโทรทัศน์เป็น $T$. ดังนั้นราคาปัจจุบันคือ $0.6(0.6T)=0.36T$. ดังนั้นโดยรวมแล้วราคาลดลงไป $1-0.36=\boxed{64\%}$. | 1-0.36=\boxed{64\%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในจำนวนเต็มหกหลัก $3A6,\!792$ หลัก $A$ ที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้จำนวนเต็มหกหลักนี้หารด้วย 3 ลงตัวคือเท่าใด | ผลบวกของหลักของจำนวนเต็มนี้คือ $A+27$ ดังนั้นจำนวนเต็มนี้จะหารด้วย 3 ลงตัวถ้า $A$ มีค่าเท่ากับ 0, 3, 6 หรือ 9 เพราะนี่คือค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวของหลัก $A$ ที่ทำให้ $A + 27$ หารด้วย 3 ลงตัว ค่าที่มากที่สุดคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 150 ที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์หรือกำลังสามสมบูรณ์? | กำลังสองสมบูรณ์ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 150 คือ $12^2=144$ ดังนั้น มีกำลังสองสมบูรณ์ 12 จำนวนระหว่าง 1 ถึง 150
กำลังสามสมบูรณ์ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 150 คือ $5^3=125$ ดังนั้น มีกำลังสามสมบูรณ์ 5 จำนวนระหว่าง 1 ถึง 150
อย่างไรก็ตาม มีจำนวนระหว่าง 1 ถึง 150 ที่เป็นทั้งกำลังสองสมบูรณ์และกำลังสามสมบูรณ์ สำหรับจำนวนที่จะเป็นทั้งกำลังสองสมบูรณ์และกำลังสามสมบูรณ์ จำนวนนั้นต้องเป็นกำลัง 6 กำลัง 6 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 150 คือ $2^6=64$ ดังนั้น มีกำลัง 6 จำนวน 2 จำนวนระหว่าง 1 ถึง 150 จำนวนเหล่านั้นถูกนับซ้ำ 2 ครั้ง ดังนั้นเราต้องลบ 2 ออกจากจำนวนจำนวนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือกำลังสามสมบูรณ์
ดังนั้น มี $12+5-2=15$ จำนวนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือกำลังสามสมบูรณ์ ดังนั้น มี $150-15= \boxed{135}$ จำนวนที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์หรือกำลังสามสมบูรณ์ | 150-15= \boxed{135} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a \clubsuit b = \frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{a}$. จงหาค่าของ $(5 \clubsuit (3 \clubsuit 6)) \clubsuit 1$? | จากนิยามของ $a \clubsuit b$ เราจะเห็นว่า $a \clubsuit b = \frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{a}=\frac{2a \cdot b}{b \cdot a} = \frac{2ab}{ab}.$ ตัวส่วนและตัวเศษมีตัวประกอบร่วมคือ $ab$ ดังนั้น $a \clubsuit b = \frac{2 \cancel{ab}}{\cancel{ab}}=2.$ ดังนั้นไม่ว่าค่าของ $a$ และ $b$ จะเป็นเท่าใด (ตราบใดที่ $a$ และ $b$ ไม่เท่ากับศูนย์) $a \clubsuit b$ จะมีค่าเท่ากับ 2 เสมอ. จากนิพจน์ที่กำหนดให้ $a$ และ $b$ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นไม่ว่าค่าของ $a$ และ $b$ จะเป็นเท่าใด นิพจน์นี้จะมีค่าเท่ากับ 2 เสมอ. ดังนั้นนิพจน์จะสามารถลดรูปได้เป็น $(5 \clubsuit (3 \clubsuit 6)) \clubsuit 1 = (5 \clubsuit 2) \clubsuit 1 = 2 \clubsuit 1 = \boxed{2}.$ | (5 \clubsuit (3 \clubsuit 6)) \clubsuit 1 = (5 \clubsuit 2) \clubsuit 1 = 2 \clubsuit 1 = \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $x^2-kx-12=0$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มสำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ บางค่า จงหาผลรวมของค่า $k$ ทั้งหมด | ที่นี่เราใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมและผลคูณของรากของพหุนามกับสัมประสิทธิ์ของพหุนาม
ถ้า $\alpha,\beta$ เป็นรากของสมการแล้ว $k = \alpha + \beta$ และ $\alpha\beta = -12$ โดยที่ $\alpha\beta = -12$ และ $\alpha,\beta$ เป็นจำนวนเต็ม เราสามารถสร้างรายการค่าที่เป็นไปได้สำหรับ $\alpha$ และ $\beta$ ได้
\begin{align*}
(1,-12), (-1,12) \\
(2,-6),(-2,6) \\
(3,-4),(4,-3)
\end{align*} ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ $k$ คือ $1 - 12 = -11$, $12 - 1 = 11$, $2 -6 = -4$, $6 - 2 = 4$, $3 - 4 = -1$, $ 4 - 3 = 1$.
การบวกค่า $k$ ที่เป็นบวกทั้งหมด เราได้ $11 + 4 + 1 = \boxed{16}$. | 11 + 4 + 1 = \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดตัดแกน y ของเส้นตรง $x - 2y = 5$ | จุดตัดแกน y คือจุดที่เส้นตรงตัดแกน y พิกัด x ของจุดนี้คือ 0 แทน x = 0 ในสมการจะได้ $-2y = 5$ ดังนั้น $y = \boxed{-\frac{5}{2}}$ | y = \boxed{-\frac{5}{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor{\pi}\rfloor$. | เราต้องการหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $\pi$ เนื่องจาก $\pi$ ประมาณ $3.14$ คำตอบคือ $\boxed{3}$ | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $b$ เป็นจำนวนซึ่ง $(2b+5)(b-1)=6b$ จงหาค่า $b$ ที่มีค่ามากที่สุด แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ทำดังนี้: \begin{align*}
(2b + 5)(b - 1) &= 6b\\
2b^2 + 3b - 5 &= 6b\\
2b^2 - 3b - 5 &= 0\\
(2b - 5)(b + 1) &= 0.
\end{align*}จะได้ $b = \frac{5}{2}$ หรือ $b = -1$ ค่า $b$ ที่มีค่ามากที่สุดคือ $\boxed{\frac{5}{2}}$ | b. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ร้านเบเกิลมีเก้าอี้เพียงพอสำหรับนั่งได้ $204_6$ คน ถ้ามีคน 2 คนที่ควรจะนั่งบนเก้าอี้หนึ่งตัว ร้านมีเก้าอี้กี่ตัว? | ก่อนอื่นให้แปลง $204_6$ เป็นฐาน 10 เพื่อให้ได้ $204_6=2\cdot6^2+0\cdot6^1+4\cdot6^0=72+0+4=76$ ดังนั้นร้านมี $76\div2=\boxed{38}$ เก้าอี้ | 76\div2=\boxed{38} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้เส้นตรง $p$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $A = (24, 7)$ และ $B = (3, 4).$ โดยที่ $AB$ ตัด $p$ ที่ $C = (x, y),$ จงหาค่าของ $2x - 4y$? | เส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $AB$ ต้องตัด $AB$ ที่จุดกึ่งกลาง ดังนั้น $C$ คือจุดกึ่งกลางของ $AB$ เราใช้สูตรจุดกึ่งกลางเพื่อหาว่า $C = \left(\frac{24 + 3}{2}, \frac{7 + 4}{2} \right) = \left(\frac{27}{2}, \frac{11}{2} \right).$ ดังนั้น $2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}.$ | 2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ $|x-5|=12$ | เราสามารถแยกนิพจน์ $|x-5|=12$ ออกเป็นสองกรณี: $x-5=12$ และ $x-5=-12$ สำหรับกรณีแรก การแก้หา $x$ จะได้ $x=12+5=17$ สำหรับกรณีที่สอง เราจะได้ $x=-12+5=-7$ ดังนั้น $x=17$ และ $x=-7$ ทั้งสองค่าสอดคล้องกับสมการ เนื่องจากโจทย์ต้องการค่าสูงสุดของ $x$ คำตอบของเราคือ $\boxed{17}$ | \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
บนตาชั่ง, ลูกบอลสีเขียว 3 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 5 ลูก, และลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีขาว 4 ลูก. ต้องใช้ลูกบอลสีน้ำเงินกี่ลูกจึงจะสมดุลกับลูกบอลสีเขียว 4 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 2 ลูก? | เราจะกำหนดตัวแปรให้กับน้ำหนักของลูกบอลแต่ละสีโดยใช้ตัวอักษรตัวแรกของสีนั้น. เราได้ $3G=6B\implies 1G=2B$, $2Y=5B\implies 1Y=2.5B$, และ $6B=4W\implies 1W=1.5B$. ดังนั้น $4G+2Y+2W=4(2B)+2(2.5B)+2(1.5B)=8B+5B+3B=16B$, และคำตอบของเราคือ $\boxed{16}$. | \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในสมการ $\frac{1}{j} + \frac{1}{k} = \frac{1}{3}$ ทั้ง $j$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาผลรวมของค่า $k$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย $3jk$ เพื่อล้างตัวส่วนจะได้ $3k + 3j = jk$ จัดรูปและใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอน จะได้ว่า $$jk - 3j - 3k + 9 = (j-3)(k-3) = 9.$$ ดังนั้น $j-3$ และ $k-3$ เป็นคู่ของตัวประกอบบวกของ $9$ ดังนั้น $(j-3,k-3) = (1,9),(3,3),(9,1)$ ซึ่งจะได้ $k = 4,6,12$ และผลรวมของค่า $k$ คือ $4 + 6 + 12 = \boxed{22}$ | 4 + 6 + 12 = \boxed{22} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ จงหาค่าของ $y$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง: \begin{align*}
(x+y)-(x-y) &= 12-6\\
2y &= 6\\
y &= \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลูคต้องการรั้วที่ดินรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่อย่างน้อย 400 ตารางฟุต เขาควรทำด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเท่าใดถ้าเขาต้องการใช้รั้วน้อยที่สุด | พื้นที่ของที่ดินจะเป็น $s^2$ โดยที่ $s$ คือความยาวของด้าน เนื่องจากต้องมีพื้นที่อย่างน้อย 400 ตารางฟุต เราได้ $s^2\geq 400$ ดังนั้นเราได้ว่า $s \le -20 \text{ or } s \ge 20$ เนื่องจากมิติไม่สามารถเป็นลบได้ ค่าที่น้อยที่สุดของ $s$ จะเป็น $\boxed{20}$ | \boxed{20} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\displaystyle\frac{109^2-100^2}{9}$ | เคล็ดลับของโจทย์ข้อนี้คือการสังเกตว่า $109^2 - 100^2$ สามารถแยกตัวประกอบเป็น $(109+100)(109-100)$ ดังนั้นเศษส่วนของเราจะกลายเป็น $\frac{(109+100)(109-100)}{9} = \frac{209 \cdot 9}{9}$ ซึ่งจะ सरวมเป็น $\boxed{209}$ | \boxed{209} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนกำลังของ 3 ที่ต่อเนื่องกันถูกนำมารวมกันเพื่อสร้างลำดับนี้: $3^0,3^0+ 3^1, 3^0+ 3^1+ 3^2$, และอื่นๆ ค่าของพจน์ที่สี่ของลำดับนี้เมื่อทำให้ง่ายที่สุดคือเท่าใด | พจน์ที่สี่ในลำดับคือ $3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40}$ | 3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $\log_5 (x+4)=3$ จงหา $\log_{11} x$. | เพื่อที่จะหา $\log_{11} x$ เราต้องหาค่าของ $x$ ก่อน เราเริ่มต้นด้วยการเขียน $\log_5 (x+4)=3$ ในรูปเลขชี้กำลัง ซึ่งจะได้ $5^3=x+4$ แก้สมการหา $x$ จะได้ $x=5^3-4=125-4=121$ หลังจากแทนค่า $x$ นี้ลงในนิพจน์ที่สอง เราต้องหา $\log_{11} 121$ เนื่องจากเราทราบว่า $11^2=121$ ดังนั้น $\log_{11} 121=\boxed{2}$ | \log_{11} 121=\boxed{2} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
วันหนึ่งสามารถแบ่งออกเป็นช่วงเวลา 86,400 ช่วงของ 1 วินาที; 43,200 ช่วงของ 2 วินาที; หรือในหลายๆ วิธี ในทั้งหมด มีวิธีการแบ่งวันออกเป็น $n$ ช่วงของ $m$ วินาที ได้กี่วิธี โดยที่ $n$ และ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก? | วันหนึ่งมี $86,\!400$ วินาที $86,\!400=2^7\cdot3^3\cdot5^2$ ดังนั้น 86,400 มีตัวประกอบบวก $ (7+1)(3+1)(2+1)=96$ ตัว ดังนั้นจึงมี $96/2=48$ คู่ (ไม่เรียงลำดับ) ของตัวประกอบ ซึ่งผลคูณของแต่ละคู่คือ $86,\!400.$ เนื่องจาก ``$n$ ช่วงของ $m$ วินาที'' แตกต่างจาก ``$m$ ช่วงของ $n$ วินาที'' เราต้องคูณ 48 ด้วย 2 เพื่อให้ได้คำตอบสุดท้ายคือ $\boxed{96}$ วิธี | \boxed{96} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นาตาลีมีต้นบลูเบอร์รี่ที่ให้ผลผลิตได้ 8 ถังต่อต้น ถ้าเธอสามารถแลกเปลี่ยนถังบลูเบอร์รี่ 5 ถัง ได้ 2 ต้นฟักทอง เธอต้องเก็บบลูเบอร์รี่จากต้นกี่ต้น เพื่อให้ได้ฟักทอง 48 ต้น? | เรารู้สมการสองสมการนี้: \begin{align*}
1\text{ ต้น} &= 8\text{ ถัง}\\
5\text{ ถัง} &= 2\text{ ต้นฟักทอง}.
\end{align*} เพื่อหาค่า 48 ต้นฟักทอง ในรูปของต้นบลูเบอร์รี่ เราคูณด้วยเศษส่วนที่เท่ากับ 1 โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนอยู่ในหน่วยที่ต่างกัน ยกเลิกหน่วยตามที่เราไป เราตั้งสมการต่อไปนี้เพื่อหาคำตอบ: $48\text{ ต้นฟักทอง} = 48\text{ ต้นฟักทอง}\times \frac{5\text{ ถัง}}{2\text{ ต้นฟักทอง}}\times\frac{1 \text{ ต้น}}{8\text{ ถัง}}=\boxed{15} \text{ ต้น}$. | 48\text{ ต้นฟักทอง} = 48\text{ ต้นฟักทอง}\times \frac{5\text{ ถัง}}{2\text{ ต้นฟักทอง}}\times\frac{1 \text{ ต้น}}{8\text{ ถัง}}=\boxed{15} \text{ ต้น} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ $[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ]$ เมื่อ $a = 17$, $b=21$ และ $c=5$ | เราสามารถคำนวณโดยตรง: \begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [17 - (21-5)] - [(17-21)-5]\\
&= [17-16] - [-4-5]\\
&= 1 - (-9) = \boxed{10}.
\end{align*}
เราสามารถทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นก่อน: \begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [a-b+c] - [a-b-c]\\
&=a-b+c -a+b+c\\
&=2c.
\end{align*} จากนั้น $2c = 2(5) = 10$. | 2c = 2(5) = 10 | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดของ 99 | $99=3^2\cdot11$ ดังนั้นตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดคือ $\boxed{11}$ | \boxed{11} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
เพื่อคำนวณ $41^2$ เดวิดคิดค่า $40^2$ ในใจแล้วบวก 81 เดวิดลบจำนวนหนึ่งจาก $40^2$ เพื่อคำนวณ $39^2$ จำนวนที่เขาหักลบคือจำนวนใด? | เราเห็นว่า $39^2 = (40 - 1)^2 = 40^2 - 2\cdot 40 \cdot 1 +1 = 40^2 - 79$ ดังนั้นเดวิดลบ $\boxed{79}$ | \boxed{79} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของสองคำตอบของสมการ $54-15x-x^2=0$ คือเท่าใด | ถ้าสองคำตอบคือ $r$ และ $s$ ดังนั้นด้านซ้ายของสมการสามารถแยกตัวประกอบเป็น $-(x-r)(x-s)$ เมื่อคูณออกจะได้ $-x^2+(r+s)x-rs$ ดังนั้น $r+s$ คือสัมประสิทธิ์ของ $x$ ในสมการ นั่นคือ $-15$ | $-15$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเศษส่วนน้อยกว่า 3 เท่าของส่วนของจำนวนเต็ม 7 ถ้าเศษส่วนเท่ากับ $2/5$ จำนวนเต็มของเศษส่วนคือเท่าไร | ให้จำนวนเต็มเป็น $x$ ดังนั้นส่วนของเศษส่วนคือ $3x-7$ เนื่องจากเศษส่วนเท่ากับ $2/5$ เราจึงมี $x/(3x-7) = 2/5$ คูณทั้งสองข้างด้วย $5(3x-7)$ (หรือคูณไขว้) จะได้ $5x = 2(3x-7)$ ขยายด้านขวาจะได้ $5x = 6x - 14$ ลบ $6x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $-x = -14$ ดังนั้นเราพบว่า $x = \boxed{14}$ | x = \boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนน 12 คะแนน คือ 82 เมื่อคะแนนที่สูงที่สุดและต่ำที่สุดถูกนำออก ค่าเฉลี่ยใหม่จะกลายเป็น 84 ถ้าคะแนนสูงสุดของ 12 คะแนน คือ 98 คะแนนต่ำสุดคือเท่าไร | ถ้าค่าเฉลี่ยของคะแนน $12$ คะแนน คือ $82$ แล้วผลรวมของคะแนน $12$ คะแนน คือ $82\times12$. หลังจากที่นำคะแนนสองคะแนนออก ผลรวมของคะแนนที่เหลือ $10$ คะแนน คือ $84\times10=840$. ผลรวมของคะแนนที่ถูกนำออกสองคะแนน คือ $$82\times12-840=4(41\times6-210)=4(246-210)=4(36)=144.$$ เนื่องจากคะแนนที่ถูกนำออกหนึ่งคะแนน คือ $98$ คะแนนที่ถูกนำออกอีกคะแนน คือ $144-98=\boxed{46}$. | 144-98=\boxed{46} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$ เป็นค่าคงตัวซึ่งทำให้ $4x^2 + 14x + a$ เป็นกำลังสองของทวินาม แล้ว $a$ มีค่าเท่าใด | ถ้า $4x^2 + 14x + a$ เป็นกำลังสองของทวินาม แล้วทวินามจะมีรูป $2x+b$ สำหรับจำนวนบางตัว $b$ เพราะว่า $(2x)^2 = 4x^2$ ดังนั้น เราเปรียบเทียบ $(2x+b)^2$ กับ $4x^2 + 14x + a$ การขยาย $(2x+b)^2$ จะได้ \[(2x+b)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(b) + b^2 = 4x^2 + 4bx + b^2.\] การเทียบเทอมของ $x$ ของนิพจน์นี้กับเทอมของ $x$ ของ $4x^2+14x+a$ เราได้ $4bx=14x$ ดังนั้น $b=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$ การยกกำลังสองของทวินามจะได้ $\left(2x+\frac{7}{2}\right)^2=4x^2+14x+\frac{49}{4}$ ดังนั้น $a=\boxed{\frac{49}{4}}$ | a=\boxed{\frac{49}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แอลลิซ ซื้อ汉堡 3 ชิ้น และน้ำอัดลม 2 แก้ว คิดเป็น $3.20 ส่วนบิล ซื้อ汉堡 2 ชิ้น และน้ำอัดลม 1 แก้ว คิดเป็น $2.00 汉堡 1 ชิ้น ราคาเท่าไหร่? | มาทำงานกับปัญหานี้ในหน่วยเซนต์ ไม่ใช่ดอลลาร์ เพราะคำตอบต้องการตัวเลขเป็นเซนต์ ดังนั้น汉堡 3 ชิ้นและน้ำอัดลม 2 แก้วของแอลลิซมีราคา 320 เซนต์ และอาหารของบิลมีราคา 200 เซนต์ สมมติว่า汉堡มีราคา $b$ เซนต์และน้ำอัดลมมีราคา $s$ เซนต์ เราพยายามหาค่าของ $b$ เราสามารถตั้งระบบสมการสองสมการเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนดไว้ สมการเหล่านี้คือ:
\begin{align*}
3b + 2s &= 320 \\
2b + s &= 200 \\
\end{align*}เราแก้หา $b$ ดังนั้นเราต้องการกำจัด $s$ จากสมการข้างต้น คูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย 2 เราจะได้ $4b+2s = 400$ หรือ $2s = 400 - 4b$ แทนที่สมการนี้ลงในสมการแรกข้างต้นเพื่อกำจัด $s$ เราจะได้ $3b + (400-4b) = 320$ หรือ $b=80$ ดังนั้น汉堡 1 ชิ้นมีราคา $\boxed{80}$ เซนต์ | \boxed{80} | [
"unknown"
] |
วันอังคารที่ผ่านมา ฉันทำงาน $t+1$ ชั่วโมง และได้ค่าจ้าง $3t-3$ ดอลลาร์ต่อชั่วโมง เพื่อนของฉัน แอนดรูว์ ทำงาน $3t-5$ ชั่วโมง แต่ได้ค่าจ้างเพียง $t+2$ ดอลลาร์ต่อชั่วโมง ในตอนท้ายของวัน ฉันได้เงินมากกว่าเขา 2 ดอลลาร์ ค่าของ $t$ คือเท่าไร? | เนื่องจากฉันได้เงินมากกว่าแอนดรูว์ 2 ดอลลาร์ เราจึงทราบว่า $$(t+1) (3t-3) = (3t-5)(t+2) + 2 \qquad\Rightarrow\qquad 3t^2-3 = 3t^2 + t -8 .$$เมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $t = \boxed{5}$. | t = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $2.4 \times 0.2$ | เนื่องจาก $0.2 = 2\times 0.1$ เราได้ \[2.4\times 0.2 = 2.4 \times 2\times 0.1 = 4.8\times 0.1 = \boxed{0.48}.\] | 0.48 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เมื่อ $4(x - x^3) - 3(x^2 - x^3 + x^5) + 2(4x^2 - x^9)$ ถูกทำให้ง่ายขึ้น | สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ใน $4(x - x^3) - 3(x^2 - x^3 + x^5) + 2(4x^2 - x^9)$ คือ $-3 + 2 \cdot 4 = \boxed{5}$ | -3 + 2 \cdot 4 = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เริ่มต้นด้วยจำนวน 100, Shaffiq ซ้ำลำดับการหารจำนวนของเขาด้วยสองแล้วนำจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนนั้นมาใช้ เขาต้องทำเช่นนี้กี่ครั้งจึงจะถึงจำนวน 1? | หลังจากทำเช่นนั้นสองครั้ง เขาจะได้ $25$ จากนั้นเขาหาร $25$ ด้วย $2$ ได้ $12.5$ และนำจำนวนเต็มที่มากที่สุดมาใช้ได้ $12$ เขาหารด้วย $2$ อีกสองครั้งได้ $3$ สุดท้ายเขาหารด้วย $2$ ได้ $1.5$ และนำจำนวนเต็มที่มากที่สุดมาใช้ได้ $1$ นี่คือทั้งหมด $\boxed{6}$ ครั้ง | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ความสูงของลูกบอลเมื่อถูกโยนลงจากหน้าผาสามารถแสดงได้ด้วยสมการ $h=45-7t-6t^2$ โดยที่ $t$ คือเวลาเป็นวินาที ลูกบอลจะใช้เวลานานเท่าใดจึงจะถึงความสูง 25 ฟุต? | ถ้าเราแทนค่า 25 ให้กับ $h$ เราจะได้ \begin{align*} 25& =45-7t-6t^2
\\\Rightarrow\qquad 6t^2+7t-20& =0
\\\Rightarrow\qquad (3t-4)(2t+5)& =0
\end{align*}ค่าที่เป็นไปได้สองค่าของ $t$ คือ $\frac43$ และ $-\frac52$ เนื่องจากเวลาสามารถเป็นค่าบวกได้เท่านั้น คำตอบต้องเป็น $\boxed{\frac43}$ | \boxed{\frac43} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
-x - 3 & \text{ถ้า } x \le 1, \\
\frac{x}{2} + 1 & \text{ถ้า } x > 1.
\end{array}
\right.\]จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(x) = 0$. | เราแก้สมการ $f(x) = 0$ ในโดเมน $x \le 1$ และ $x > 1.$
ถ้า $x \le 1,$ แล้ว $f(x) = -x - 3,$ ดังนั้นเราต้องการแก้สมการ $-x - 3 = 0.$ วิธีแก้คือ $x = -3,$ ซึ่งสอดคล้องกับ $x \le 1.$
ถ้า $x > 1,$ แล้ว $f(x) = \frac{x}{2} + 1,$ ดังนั้นเราต้องการแก้สมการ $\frac{x}{2} + 1 = 0.$ วิธีแก้คือ $x = -2,$ แต่ค่านี้ไม่สอดคล้องกับ $x > 1.$
ดังนั้นวิธีแก้เพียงวิธีเดียวคือ $x = \boxed{-3}.$ | x = \boxed{-3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $\frac{1}{x} + \frac{2}{x} \div \frac{4}{x} = 0.75$ | เปลี่ยนเครื่องหมายหารเป็นการคูณและทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
\frac{1}{x}+\frac{2}{x}\cdot\frac{x}{4}&=.75 \\
\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{2}&=.75\\
\Rightarrow \frac{1}{x}&=.25\\
\Rightarrow x&=\boxed{4}.
\end{align*} | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ใส่เลขโดด 6, 7, 8 และ 9 ลงในช่องสี่เหลี่ยมให้ครบทุกช่อง เพื่อให้ได้ผลคูณที่น้อยที่สุด ผลคูณนี้มีค่าเท่าไร? [asy]draw((0,.5)--(10,.5),linewidth(1));
draw((4,1)--(6,1)--(6,3)--(4,3)--(4,1),linewidth(1));
draw((7,1)--(9,1)--(9,3)--(7,3)--(7,1),linewidth(1));
draw((7,4)--(9,4)--(9,6)--(7,6)--(7,4),linewidth(1));
draw((4,4)--(6,4)--(6,6)--(4,6)--(4,4),linewidth(1));
draw((1,3)--(2,4),linewidth(1));
draw((1,4)--(2,3),linewidth(1)); [/asy] | เราต้องการให้เลขตัวเลขที่น้อยกว่าอยู่หลักสิบ ดังนั้น 6 และ 7 จะอยู่ทางซ้าย และ 8 และ 9 จะอยู่ทางขวา เราจึงมีสองกรณี: $68\times79=5372$ และ $69\times78=5382$ กรณีที่น้อยกว่าคือ $\boxed{5372}$ ซึ่งเป็นคำตอบของเรา | \boxed{5372} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในตอนเริ่มต้นของการปั่นจักรยานของฉัน ฉันรู้สึกดี ดังนั้นฉันสามารถเดินทางได้ 20 ไมล์ต่อชั่วโมง ต่อมา ฉันเหนื่อยและเดินทางได้เพียง 12 ไมล์ต่อชั่วโมง หากฉันเดินทางทั้งหมด 122 ไมล์ ในเวลาทั้งหมด 8 ชั่วโมง ฉันรู้สึกดีเป็นเวลาเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนสามัญ | ให้ $x$ เท่ากับจำนวนชั่วโมงที่คุณรู้สึกดีในการขี่จักรยาน จากนั้น $x$ ชั่วโมงใช้ในการเดินทางด้วยความเร็ว 20 ไมล์ต่อชั่วโมง และ $8-x$ ชั่วโมงใช้ในการเดินทางด้วยความเร็ว 12 ไมล์ต่อชั่วโมง ในช่วงเวลานี้ เดินทางทั้งหมด 122 ไมล์ จงจำไว้ว่า $d=r\cdot t$ เราสามารถบวกระยะทางทั้งสองเข้าด้วยกัน ตั้งค่าให้เท่ากับ 122 ไมล์ และแก้หา $x$ ดังนี้: \begin{align*}
20(x)+12(8-x)&=122\\
\Rightarrow\qquad 20x+96-12x&=122\\
\Rightarrow\qquad 8x&=26\\
\Rightarrow\qquad x&=26/8=\boxed{\frac{13}{4}}
\end{align*} | x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รากของสมการ $x^2+kx+5 = 0$ ห่างกัน $\sqrt{61}$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $k$ | โดยสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ \begin{align*}
\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-4(5)(1)}}{2(1)}\\
&=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-20}}{2}.
\end{align*} เราต้องการความต่างของราก ดังนั้นเราจึงนำรากที่ใหญ่กว่าลบด้วยรากที่เล็กกว่า: \begin{align*}
\left(\frac{-k+\sqrt{k^2-20}}{2}\right)-\left(\frac{-k-\sqrt{k^2-20}}{2}\right)&=\frac{2\sqrt{k^2-20}}{2}\\
&=\sqrt{k^2-20}.
\end{align*} เราได้รับว่าความต่างนี้เท่ากับ $\sqrt{61}$ ดังนั้นเราจึงมี \begin{align*}
\sqrt{k^2-20}&=\sqrt{61}\quad\Rightarrow\\
k^2-20&=61\quad\Rightarrow\\
k^2&=81\quad\Rightarrow\\
k&=\pm 9.
\end{align*} ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $k$ คือ $\boxed{9}$. | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $525^2 - 475^2$ | $525^2 - 475^2$ สามารถเขียนในรูป $(525+475)(525-475)$ ได้ ซึ่งจะเท่ากับ $1000 \cdot 50$ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{50000}$ | \boxed{50000} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $145b^2 +29b$. | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $145b^2$ และ $29b$ คือ $29b$ เราแยกตัวประกอบ $29b$ ออกจากพจน์ทั้งสองเพื่อให้ได้:\begin{align*}
145b^2 +29b &= 29b \cdot 5b+ 29b \cdot 1\\
&=\boxed{29b(5b+1)}.
\end{align*} | 29b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผู้รับเหมาสตีฟตกลงที่จะเสร็จสิ้นงานใน 30 วัน หลังจาก 6 วัน เขาพบว่า 8 คนที่ได้รับมอบหมายให้ทำงานได้ทำเสร็จไปแล้ว $\frac{1}{3}$ ของงานแล้ว ถ้าทุกคนทำงานด้วยอัตราเดียวกัน จำนวนคนน้อยที่สุดที่เขาต้องเก็บไว้เพื่อให้แน่ใจว่างานจะเสร็จตามเวลาคือเท่าไร | เหลือ 24 วัน ซึ่งเป็น 4 เท่าของวันที่ผ่านมา ดังนั้น หากสตีฟเก็บคนงานไว้ 8 คน พวกเขาจะทำ $4\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ เขาต้องการให้ทำ $\frac{2}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ หรือครึ่งหนึ่งของ $\frac{4}{3}$ ดังนั้นเขาต้องเก็บคนงานไว้ให้ได้อย่างน้อยครึ่งหนึ่ง: $\boxed{4}$ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้าจำนวนเจ็ดหลัก $854n526$ หารด้วย $11$ ลงตัว $n$ มีค่าเท่าใด | จำนวนหารด้วย $11$ ลงตัวก็ต่อเมื่อผลบวกของหลักที่ 1, 3, 5, ... ลบด้วยผลบวกของหลักที่ 2, 4, 6, ... เป็นพหุคูณของ $11$ ผลบวกของหลักที่ 1, 3, 5, 6 คือ $8+4+5+6=23$ ผลบวกของหลักที่ 2, 4, 6 คือ $5+n+2=7+n$ ดังนั้น $23-(7+n)=16-n$ ต้องเป็นพหุคูณของ $11$ ซึ่งจะสอดคล้องก็ต่อเมื่อ $n=\boxed{5}$ เท่านั้น | n=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับเรขาคณิต $3$, $\dfrac{9}{2}$, $\dfrac{27}{4}$, $\dfrac{81}{8}$, $\ldots$. จงหาพจน์ที่แปดของลำดับนี้ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | พจน์แรกคือ $3$ และอัตราส่วนร่วมของลำดับนี้คือ $(9/2)/3=3/2$ ดังนั้น พจน์ที่แปดของลำดับนี้คือ $3\cdot(3/2)^{8-1} = 3^8/2^7 = \boxed{\frac{6561}{128}}$ | 3\cdot(3/2)^{8-1} = 3^8/2^7 = \boxed{\frac{6561}{128}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดว่า $3 \cdot f(x) + 4 \cdot g(x) = h(x)$ โดยที่ $f(x),$ $g(x),$ และ $h(x)$ เป็นพหุนามใน $x$ ถ้าดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ $8$ และดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ แล้วดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $g(x)$ คือเท่าใด | ถ้าดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ นั่นหมายความว่ามีพจน์ $x^9$ ใน $h(x)$ พจน์นั้นไม่สามารถมาจาก $f(x)$ ได้ เนื่องจากดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ $8$ ดังนั้นพจน์นั้นต้องมาจาก $g(x)$ นั่นหมายความว่าดีกรีของ $g(x)$ ต้องมีค่าอย่างน้อย $\boxed{9}$ และในความเป็นจริงแล้วดีกรีของมันสามารถเป็น $9$ ได้ | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ลูกบอลชนิดพิเศษถูกปล่อยจากหน้าต่างสูง 16 เมตรจากพื้นดิน ในแต่ละครั้งที่เด้งมันจะกระดอนขึ้น $\frac34$ ของระยะทางสูงสุดก่อนหน้า ลูกบอลถูกจับเมื่อมันถึงจุดสูงสุดหลังจากกระแทกพื้นเป็นครั้งที่สาม ถึงเมตรที่ใกล้เคียงที่สุด ลูกบอลเดินทางไกลเท่าใด? | ลูกบอลเดินทาง $16+16\cdot\frac34+16\cdot\left(\frac34\right)^2 = 16+ 12+9 = 37$ เมตร ในสามครั้งที่ตกลงมา ลูกบอลยังเดินทาง $16\cdot\frac34+16\cdot\left(\frac34\right)^2+16\cdot\left(\frac34\right)^3 = 12+9+\frac{27}4 = 27.75$ เมตร ในสามครั้งที่กระดอนขึ้น ดังนั้น ลูกบอลเดินทาง $37+27.75 = 64.75 \approx \boxed{65}$ เมตร รวมทั้งหมด | 37+27.75 = 64.75 \approx \boxed{65} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ตอนนี้เป็นเวลา $3\!:\!00\!:\!00 \text{ p.m.}$ จะเป็นเวลาเท่าไรในอีก $6666$ วินาทีข้างหน้า (ใส่เวลาในรูปแบบ "HH:MM:SS" โดยไม่ต้องใส่ "am" หรือ "pm") | มี $60$ วินาทีใน 1 นาที เมื่อ $6666$ หารด้วย $60$ จะได้ $111$ เศษ $6$ วินาที ดังนั้น $6666$ วินาที เท่ากับ $111$ นาที และ $6$ วินาที มี $60$ นาทีใน 1 ชั่วโมง เมื่อ $111$ หารด้วย $60$ จะได้ $1$ เศษ $51$ ดังนั้น $6666$ วินาที เท่ากับ $1$ ชั่วโมง $51$ นาที และ $6$ วินาที ดังนั้น เวลาในอีก $6666$ วินาทีข้างหน้าจะเป็น $\boxed{4\!:\!51\!:\!06 \text{ p.m.}}$ | \boxed{4\!:\!51\!:\!06 \text{ p.m.}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $19^2-17^2+15^2-13^2+11^2-9^2+7^2-5^2+3^2-1^2?$ | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการจับคู่พจน์ในนิพจน์นี้และแยกตัวประกอบเป็นผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\phantom{=} \,\,\, (19^2-17^2)+(15^2-13^2)+(11^2-9^2)+(7^2-5^2)+(3^2-1^2) \\
&= 2(19 + 17) + 2(15 + 13) + 2(11 + 9) + 2(7 + 5) + 2(3 + 1)\\
&= 2(19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1) \\
&= 2(100) \\
&= \boxed{200}.
\end{align*} | 200 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $ rac{1}{4}$ ของ $2^{30}$ เท่ากับ $2^x$ แล้ว $x$ มีค่าเท่าใด | เรามี \[\frac{1}{4}\cdot 2^{30} = \frac{2^{30}}{4} = \frac{2^{30}}{2^2} = 2^{30-2} = 2^{28},\] ดังนั้น $x = \boxed{28}$. | x = \boxed{28} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ขยาย $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ | เราจะเห็นว่า \begin{align*}
(x-2)(x+2)(x^2+4) &= (x^2-4)(x^2+4) \\
&= \boxed{x^4-16}
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
เรามี $3 \cdot f(x) + 4 \cdot g(x) = h(x)$ โดยที่ $f(x),$ $g(x),$ และ $h(x)$ เป็นพหุนามใน $x$ ทั้งหมด ถ้าดีกรีของ $f(x)$ คือ $8$ และดีกรีของ $h(x)$ คือ $9$ แล้วดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $g(x)$ คือเท่าไร? | ถ้าดีกรีของ $h(x)$ คือ $9$ นั่นหมายความว่ามีพจน์ $x^9$ ใน $h(x)$ พจน์นั้นไม่สามารถมาจาก $f(x)$ ได้ เพราะดีกรีของมันคือ $8$ ดังนั้นมันต้องมาจาก $g(x)$ นั่นหมายความว่าดีกรีของ $g(x)$ ต้องเป็นอย่างน้อย $\boxed{9}$ และในความเป็นจริง มันสามารถเป็นได้แค่ $9$ เท่านั้น | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a+b=24$ จงหาค่าของ $ab$ ถ้า $2ab + 10a = 3b + 222$ | เราเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการใหม่เป็น $2ab + 10a - 3b = 222$ จากนั้นเราสามารถใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอน โดยการลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ $2ab + 10a - 3b - 15 = 207$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(2a - 3)(b + 5) = 207$$เราทราบว่าการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะของ $207 = 3^2 \cdot 23$ และ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียว $(a,b)$ คือ $$(a,b) = \{(13,4),(6,18),(2,202),(3,64)\}$$จากสิ่งเหล่านี้ มีเพียง $(6,18)$ เท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไขที่ว่า $a+b=24$ ดังนั้น $ab = \boxed{108}$ | ab = \boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$ มีค่าผกผันกับ $b$ ให้ $a_1,a_2$ เป็นค่าสองค่าที่ไม่เป็นศูนย์ของ $a$ โดยที่ $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}$ ให้ค่า $b$ ที่สัมพันธ์กันคือ $b_1,b_2$ ถ้า $b_1,b_2$ ไม่เป็นศูนย์ จงหาค่าของ $\frac{b_1}{b_2}$ | ถ้า $a$ มีค่าผกผันกับ $b$ ผลคูณ $ab$ จะเป็นค่าคงที่ สำหรับ $a_1$ และ $a_2$ นี้บ่งบอกว่า: $$a_1\cdot b_1=a_2\cdot b_2$$เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย $b_1\cdot a_2$ เพื่อหา: \begin{align*}
\frac{a_1\cdot b_1}{b_1\cdot a_2}&=\frac{a_2\cdot b_2}{b_1\cdot a_2}\\
\Rightarrow\qquad \frac{2}{3}=\frac{a_1}{a_2}&=\frac{b_2}{b_1}\\
\Rightarrow\qquad \boxed{\frac{3}{2}}&=\frac{b_1}{b_2}
\end{align*} | b_1\cdot a_2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับกราฟของสมการกำลังสอง $y = ax^2 + bx + c$ จุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,7)$ และจุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดคือ $(-2,0)$ จงหาพิกัด $x$ ของอีกจุดหนึ่งที่เป็นจุดตัดแกน $x$ | เนื่องจากจุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,7)$ พาราโบลาสมมาตรรอบเส้น $x = 3$ นอกจากนี้ จุดตัดแกน $x$ ของพาราโบลาทั้งสองจุดก็สมมาตรรอบเส้นนี้เช่นกัน จุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดคือ $(-2,0)$ ซึ่งมีระยะห่างจากเส้น $x = 3$ เท่ากับ $3 - (-2) = 5$ ดังนั้น จุดตัดแกน $x$ อีกจุดหนึ่งอยู่ที่ $(3 + 5,0) = (8,0)$ พิกัด $x$ ของจุดตัดแกน $x$ นี้คือ $\boxed{8}$ | \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามกำลังสอง $10x^2+100x+1000$ สามารถเขียนในรูป $a(x+b)^2+c$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ จงหา $a+b+c$ | เราทำการเติมกำลังสอง
เริ่มต้น เนื่องจาก $10x^2+100x+1000$ มีสัมประสิทธิ์นำเป็น $10$ เราแยกตัวประกอบสัมประสิทธิ์นี้ได้ $$10x^2+100x+1000 = (10)(x^2+10x+100).$$ต่อไปเราหันมาสนใจพหุนามกำลังสองในวงเล็บที่สอง พหุนามกำลังสองนี้ดูเหมือนการขยายของ $(x+5)^2$ ยกเว้นว่าพจน์คงที่ต่างกัน โดยเฉพาะ $(x+5)^2=x^2+10x+25$ ดังนั้น $x^2+10x+100 = (x+5)^2+75$ ซึ่งให้เรา $$10x^2+100x+1000 = (10)[(x+5)^2+75].$$นี่เกือบจะอยู่ในรูปที่ต้องการ $a(x+b)^2+c$ เพื่อให้ได้อยู่ในรูปนั้นเราต้องกระจาย $(10)$: $$10x^2+100x+1000 = 10(x+5)^2 + 750.$$จากนั้นเราจะมี $a=10$, $b=5$ และ $c=750$ ดังนั้น $a+b+c = \boxed{765}$. | a+b+c = \boxed{765} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ โดย $f(x)=x^{2}-x$ จงหาค่าของ $f(4)$ | $f(4)=4^2-4=16-4=\boxed{12}$. | f(4)=4^2-4=16-4=\boxed{12} | [
"ประยุกต์"
] |
มาร์คและแซนดี้กำลังเดินไปร้านสะดวกซื้อที่จุดกึ่งกลางของพิกัดของพวกเขา มาร์คยืนอยู่ที่ $(0,7)$ และแซนดี้ยืนอยู่ที่ $(-4,-1)$ พวกเขาจะพบกันที่พิกัดใด? | พิกัดที่ทั้งสองจะพบกันคือจุดกึ่งกลางของพิกัดที่กำหนดมา เราใช้สูตรจุดกึ่งกลางเพื่อหา $$\left(\frac{-4+0}{2},\frac{-1+7}{2}\right)=\boxed{(-2,3)}.$$ | [
"ประยุกต์"
] | |
นิพจน์ $\frac{x-3}{4x}$ มีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับค่า $x$ ใด | เศษส่วนจะมีค่าเท่ากับศูนย์ ถ้าตัวเศษเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $x-3=0$ ดังนั้น $x=\boxed{3}$ (โปรดสังเกตว่าที่ค่า $x$ นี้ ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์) | 3 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $a \Delta b = a^2 -b $. จงหาค่าของ $ (2^{4 \Delta13})\Delta(3^{3\Delta5})$ | เราได้ว่า $4 \Delta 13 = 4^2-13=16-13=3$ และ $3 \Delta 5 = 3^2-5 = 9-5=4$. ดังนั้นเราต้องการหาค่า $(2^3) \Delta (3^4) = 2^6-3^4 = 64-81 = \boxed{-17}$. | (2^3) \Delta (3^4) = 2^6-3^4 = 64-81 = \boxed{-17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\frac{x+4}{x^2+ax+b}$, และ $f(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=1$ และ $x=-2$ จงหาผลรวมของ $a$ และ $b$ | เราทราบว่าฟังก์ชันตรรกยะจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ค่าของ $x$ ซึ่ง $f(x)$ ไม่นิยาม นอกจากนี้เรายังทราบอีกว่า $f(x)$ ไม่นิยามเมื่อส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=1$ และ $x=-2$ ฟังก์ชันต้องไม่นิยามที่ค่าสองค่านี้ ดังนั้น $(x-1)(x+2)=x^2+ax+b=0 \Rightarrow x^2+x-2=x^2+ax+b$ ดังนั้น $a=1$ และ $b=-2$ และ $a+b=1+(-2)=\boxed{-1}$ | a+b=1+(-2)=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกห้าหลักน้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องกับ 5 (mod 15) | โดยการหารยาว เราพบว่า $10,\!000$ หารด้วย 15 ได้ผลหาร 666 และเศษ 10 ดังนั้น $10,\!005$ เป็นพหุคูณของ 15 และ $\boxed{10,\!010}$ เป็นจำนวนเต็มห้าหลักน้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องกับ 5 (mod 15) เพื่อยืนยัน โปรดทราบว่า $10,\!010-15=9,\!995$ เป็นจำนวนเต็มถัดไปที่ใหญ่ที่สุดซึ่งสอดคล้องกับ 5 (mod 15) | 10,\!010 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $\delta(x) = 3x + 8$ และ $\phi(x) = 8x + 7$ จงหาค่า $x$ เมื่อ $\delta(\phi(x)) = 7$ | เราสามารถเห็นได้ว่า $\delta(\phi(x)) = 3(8x + 7) + 8 = 24x + 29.$ ดังนั้น เราได้ว่า $24x + 29 = 7$ ซึ่งจะให้ $24x = -22.$ ดังนั้น $x = \boxed{-\dfrac{11}{12}}.$ | x = \boxed{-\dfrac{11}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็ม $m \neq 0$ ที่สอดคล้องกับอสมการ $\frac{1}{|m|}\geq \frac{1}{8}$ | เนื่องจาก $|m| > 0$ เราสามารถลบตัวส่วนจากอสมการได้ ซึ่งจะได้ $8 \geq |m|$. อสมการนี้เป็นจริงสำหรับ $-8 \leq m \leq 8$. มีจำนวนเต็ม 17 จำนวนในช่วงนี้ แต่ 0 ไม่ได้รับอนุญาต ดังนั้นคำตอบสุดท้ายคือ $\boxed{16}$. | \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $x^2 < 7x$ จริง? | ก่อนอื่น เราเห็นว่า $0$ ไม่สอดคล้องกับอสมการ ดังนั้นเราสามารถหารด้วย $x$ ได้ ถ้า $x$ เป็นบวก เราสามารถหารได้ $x<7$ และมีจำนวนเต็มบวก $6$ จำนวนที่สอดคล้องกับสิ่งนี้ ถ้า $x$ เป็นลบ เราหารได้ $x>7$ ซึ่งไม่มีจำนวนเต็มลบจำนวนใดสอดคล้อง ดังนั้นจำนวนของคำตอบจำนวนเต็มคือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกหกหลักที่แตกต่างกันกี่จำนวนที่สามารถสร้างขึ้นโดยใช้หลัก 2, 2, 5, 5, 9 และ 9? | เราสามารถนับโดยตรงได้ แต่เราสามารถนับในกรณีทั่วไปแล้วแก้ไขการนับซ้ำได้ นั่นคือ หากเรามีหลัก 6 หลักที่แตกต่างกัน จะมีการเรียงลำดับ $6! = 720$ อย่าง อย่างไรก็ตาม เราต้องหารด้วย $2!$ หนึ่งครั้งสำหรับการทำซ้ำของหลัก 2, $2!$ สำหรับการทำซ้ำของหลัก 5 และอีกครั้ง $2!$ สำหรับการทำซ้ำของหลัก 9 (สิ่งนี้สมเหตุสมผลเพราะถ้าหลักที่ทำซ้ำต่างกัน เราสามารถจัดเรียงใหม่ได้ใน $2!$ วิธี) ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\frac{6!}{2!\cdot 2!\cdot 2!} = \boxed{90}$ | \frac{6!}{2!\cdot 2!\cdot 2!} = \boxed{90} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
Xanthia อ่านได้ 100 หน้าต่อชั่วโมง และ Molly อ่านได้ 50 หน้าต่อชั่วโมง ถ้าทั้งสองคนอ่านหนังสือเล่มเดียวกัน และหนังสือเล่มนั้นมี 225 หน้า Xanthia จะใช้เวลานานกว่า Molly กี่นาทีในการอ่านหนังสือเล่มนั้น? | การอ่านหนังสือใช้เวลา Xanthia
$\frac{225}{100}=2.25$ ชั่วโมง.
Molly ใช้เวลา
$\frac{225}{50}=4.5$ ชั่วโมง.
ความแตกต่างคือ $2.25$ ชั่วโมง หรือ $2.25(60)=\boxed{135}$ นาที. | 2.25(60)=\boxed{135} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน 3 จำนวน $a+bi$, $c+di$, และ $e+fi$ ถ้า $b=3$, $e=-a-c$ และผลบวกของจำนวนเชิงซ้อนทั้ง 3 เท่ากับ $2i$ จงหา $d+f$ | เราทราบว่า $a+bi+c+di+e+fi=2i$ ดังนั้น ส่วนจริงบวกกันเท่ากับ 0 และส่วนจินตภาพบวกกันเท่ากับ 2 เราจะได้ \begin{align*}
a+c+e&=0\\
b+d+f&=2\\
\end{align*} เราทราบว่า $b=3$ ดังนั้น $d+f=\boxed{-1}$ | d+f=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(w+13)^2=(3w+7)(2w+4)$ จงหาค่าของ $w^2$ แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เราขยายทั้งสองข้างเพื่อหาค่า
\begin{align*}
(w+13)(w+13)&=(3w+7)(2w+4)\\
w^2+26w+169&=3w(2w+4)+7(2w+4)\\
w^2+26w+169&=6w^2+12w+14w+28\\
w^2+26w+169&=6w^2+26w+28\\
w^2+169&=6w^2+28\\
141&=5w^2\\
\frac{141}{5}&=w^2.\\
\end{align*}
ดังนั้น คำตอบในรูปทศนิยมคือ $\frac{141}{5}=\boxed{28.2}$ | \frac{141}{5}=\boxed{28.2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่มีตัวหารบวกちょうど 14 ตัว | ถ้าการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มเป็น $p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot p_3^{a_3}\cdot...$ จำนวนตัวหารจะเป็น: $$(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)...$$ ดังนั้น เราต้องแยกตัวประกอบ 14 ในลักษณะเดียวกันกับนิพจน์ด้านบน เราสามารถเขียนได้: $$14=(13+1)=(1+1)(6+1)$$ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดในกรณีแรกจะเป็น $2^{13}$ และจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดในกรณีที่สองจะเป็น $2^6\cdot 3^1=192$ ดังนั้น $\boxed{192}$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่มีตัวหารบวกちょうど 14 ตัว | \boxed{192} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า ALABAMA | ก่อนอื่นให้เราคำนวณจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนถ้า A ทั้งสี่ตัวมีความแตกต่างกัน ซึ่งก็คือ $7!$. จากนั้นเนื่องจาก A ทั้งหมดไม่แตกต่างกัน เราจึงหารด้วย $4!$ เพื่อจัดเรียง A ได้คำตอบคือ $\dfrac{7!}{4!} = \boxed{210}$. | \dfrac{7!}{4!} = \boxed{210} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ให้ $A$ เป็นตัวหารร่วมมากที่สุด และให้ $B$ เป็นพหุคูณร่วมน้อยที่สุดของ 8, 12 และ 24 ค่าของ $A + B$ เท่ากับเท่าใด | เราเริ่มต้นด้วยการหาการแยกตัวประกอบของจำนวนเหล่านี้: \[8 = 2^3, \quad 12 = 2^2\cdot 3, \quad 24 = 2^3 \cdot 3.\] สำหรับตัวหารร่วมมากที่สุด $2^2$ คือตัวประกอบที่ใหญ่ที่สุดที่ปรากฏในแต่ละจำนวน ดังนั้น $A=2^2=4$.
สำหรับพหุคูณร่วมน้อยที่สุด กำลังสูงสุดของ 2 ที่ปรากฏคือ 3 และกำลังสูงสุดของ 3 ที่ปรากฏคือ 1 ดังนั้น $B=2^3 \cdot 3^1 = 24$.
การบวก $A$ และ $B$ จะได้ $A + B = 4+24=\boxed{28}$. | A + B = 4+24=\boxed{28} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้าเราแสดง $x^2 - 5x$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | เราเติมกำลังสอง เราสามารถยกกำลังสองของ $x - \frac{5}{2}$ เพื่อให้ได้ $x^2 - 5x + \frac{25}{4}$ ดังนั้น $x^2 - 5x = \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4}$ เราเห็นว่า $k = \boxed{-\frac{25}{4}}$ | k = \boxed{-\frac{25}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันมีถุงหินอ่อนที่มีแต่สีแดง, สีน้ำเงิน, และสีเขียว อัตราส่วนของหินอ่อนสีแดงต่อหินอ่อนสีน้ำเงินต่อหินอ่อนสีเขียวคือ $1:5:3$ มีหินอ่อนสีเขียว 27 เม็ดในถุง มีหินอ่อนทั้งหมดกี่เม็ด? | เนื่องจากอัตราส่วนของหินอ่อนสีแดงต่อหินอ่อนสีน้ำเงินต่อหินอ่อนสีเขียวคือ $1:5:3$ อัตราส่วนของหินอ่อนสีเขียวต่อจำนวนหินอ่อนทั้งหมดคือ $3/(1+5+3) = 3/9=1/3$ เนื่องจากหินอ่อนสีเขียวเป็นหนึ่งในสามของจำนวนทั้งหมด และมีหินอ่อนสีเขียว 27 เม็ด ดังนั้นต้องมี $3\cdot 27 = \boxed{81}$ หินอ่อนทั้งหมด | 3\cdot 27 = \boxed{81} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน 3 จำนวน $a+bi$, $c+di$, และ $e+fi$ ถ้า $b=1$, $e=-a-c$ และผลบวกของจำนวนเหล่านี้เท่ากับ $-i$ จงหา $d+f$ | เราทราบว่า $a+bi+c+di+e+fi=-i$ ดังนั้นส่วนจริงบวกกันเท่ากับ 0 และส่วนจินตภาพบวกกันเท่ากับ -1 เราจึงมี \begin{align*}
a+c+e&=0\\
b+d+f&=-1\\
\end{align*}เราทราบว่า $b=1$ ดังนั้น $d+f=\boxed{-2}$ | d+f=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x)=3x-8$ ถ้า $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f$ จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x)=f^{-1}(x)$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=3f^{-1}(x)-8.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุก ๆ $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=3f^{-1}(x)-8.\]หรือ \[f^{-1}(x)=\frac{x+8}3.\]เราต้องการแก้สมการ $f(x) = f^{-1}(x)$ ดังนั้น \[3x-8=\frac{x+8}3.\]หรือ \[9x-24=x+8.\]แก้สมการหา $x$ เราได้ $x = \boxed{4}$. | x = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่จำนวนเต็มบวก $A$, $B$, $C$ และ $D$ มีผลรวมเป็น 64 ถ้า $A+3 = B-3 = C \times 3 = D \div 3$ จงหาค่าของผลคูณ $A \times B \times C \times D$ | เรามีว่า $A + B + C + D = 64$. แทนทุกอย่างในรูปของ $C$ เราพบว่า $(3C - 3) + (3C + 3) + C + (9C) = 64$ ซึ่งหมายความว่า $C = 4$ ดังนั้น $A = 9$, $B = 15$ และ $D = 36$ ดังนั้นคำตอบที่เราต้องการคือ $9\cdot 15\cdot 4\cdot 36 = \boxed{19440}$ | 9\cdot 15\cdot 4\cdot 36 = \boxed{19440} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยายนิพจน์ต่อไปนี้: $16(2x+5)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 16 และ $2x$ กับผลคูณของ 16 และ 5:
\begin{align*}
16(2x+5) &= 16\cdot 2x+16\cdot 5\\
&= \boxed{32x+80}
\end{align*} | 32x+80 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ตัวอักษร T สร้างขึ้นจากการวางสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 x 4 นิ้ว 2 อัน nect to each other ดังแสดงในรูป ความยาวรอบรูปของ T เป็นเท่าไร นิ้ว? [asy]
draw((1,0)--(3,0)--(3,4)--(4,4)--(4,6)--(0,6)--(0,4)--(1,4)--cycle);
[/asy] | [asy]
draw((1,0)--(3,0)--(3,4)--(4,4)--(4,6)--(0,6)--(0,4)--(1,4)--cycle);
label("2", (2, 0), S);
label("4", (3,2), E);
label("4", (1,2), W);
label("1", (.5, 4), S);
label("1", (3.5, 4), S);
label("2", (0, 5), W);
label("2", (4,5), E);
label("4", (2,6), N);
draw((1,4)--(3,4), linetype("8 8"));
[/asy] ความยาวรอบรูปคือ $4 + 2 + 1 + 4 + 2 + 4 + 1 + 2 = \boxed{20}\text{ นิ้ว}$.
\[ OR \]สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละอันมีเส้นรอบรูป $= 2l + 2w = 2(4) + 2(2) = 8 + 4 = 12$ นิ้ว เมื่อวางสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 อันเข้าด้วยกันเพื่อสร้างตัวอักษร T จะมีส่วนที่ยาว 2 นิ้วของแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ภายในตัวอักษร T และไม่ใช่ส่วนของเส้นรอบรูปของ T ดังนั้นเส้นรอบรูปของ T คือ $2(12) - 2(2) = 24
- 4 = \boxed{20}$ นิ้ว. | 2(12) - 2(2) = 24
- 4 = \boxed{20} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $2 \times 2^5 - 8^{58} \div 8^{56}$ | ใช้สมบัติการคูณเลขยกกำลังและสมบัติการหารเลขยกกำลัง เราได้ \[2 \times 2^5 - 8^{58} \div 8^{56} = 2^{1+5} - 8^{58-56} = 2^6 - 8^2 = 64 - 64 = \boxed{0}.\] | 0 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $(x + y)^2 = 1$ และ $xy = -4$ จงหาค่าของ $x^2 + y^2$ | เราทราบว่า $(x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 1$ เราต้องการหาค่า $x^2 + y^2$ และกำหนดให้ $xy = -4$ ดังนั้น $x^2 + y^2 + 2xy = x^2 + y^2 + 2(-4) = 1$ จะได้ว่า $x^2 + y^2 = \boxed 9$ | x^2 + y^2 = \boxed 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.