question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ในระนาบデカร์ต จุด $(2,1)$ และ $(3, 4)$ เป็นจุดที่อยู่ติดกันบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส | เราใช้สูตรระยะทางเพื่อหาระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง ซึ่งเป็นความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
$\sqrt{(3-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9} = \sqrt{10}$. ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $(\sqrt{10})^2 = \boxed{10}$. | (\sqrt{10})^2 = \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า 5 lunks สามารถแลกได้ 3 kunks และ 2 kunks จะซื้อ 4 apples, จะต้องใช้ lunks กี่ lunks เพื่อซื้อแอปเปิ้ล 1 โหล? | 1 โหลแอปเปิ้ลคือ 12 แอปเปิ้ล ซึ่งมีราคา 6 kunks (เนื่องจาก 4 แอปเปิ้ลมีราคา 2 kunks) ซึ่งมีราคา 10 lunks (เนื่องจาก 3 kunks มีราคา 5 lunks). | 5\cdot2=\boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สูตรอาหารต้องการแป้ง $4 \frac{1}{2}$ ถ้วย ถ้าคุณทำสูตรอาหารครึ่งเดียว คุณจะต้องใช้แป้งกี่ถ้วย แสดงคำตอบเป็นจำนวนผสม | เพื่อทำสูตรอาหารครึ่งเดียว คุณจะต้องใช้แป้งเพียงครึ่งเดียวของ $4 \frac{1}{2}$ ถ้วย เนื่องจากครึ่งหนึ่งของ $4$ คือ $2$ และครึ่งหนึ่งของ $\frac{1}{2}$ คือ $\frac{1}{4}$ เราพบว่าต้องใช้แป้ง $\boxed{2\frac{1}{4}}$ ถ้วย | \boxed{2\frac{1}{4}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ไม่มีคำตอบจำนวนเต็ม $x$ สำหรับความสมภาค $3(6x+1)\equiv 4\pmod p$ | ראשית, ความสมภาคสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $3(6x+1)\equiv 4\pmod p\implies 18x\equiv 1\pmod p$. สิ่งนี้สามารถแก้ได้สำหรับ $x$ ก็ต่อเมื่อ $18$ เป็นค่าผกผัน modulo $p$ ซึ่งหมายความว่า $\gcd(18,p)=1$. เนื่องจากตัวประกอบเฉพาะของ $18$ คือ $2,3$ ดังนั้นนี่คือโมดูลเฉพาะที่ $x$ ไม่สามารถมีอยู่ได้เนื่องจาก $\gcd(18,p)>1$ ดังนั้นจำนวนที่ต้องการคือ $2+3=\boxed{5}$. | 2+3=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แปลงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด $2m+7$ และ $m-2$ ถ้าแปลงรูปมีพื้นที่ 51 ตารางหน่วย จงหาค่าของ $m$ | เราใช้ข้อมูลที่กำหนดให้ในการตั้งสมการกำลังสองที่สัมพันธ์พื้นที่ของแปลงรูปกับ $m$: \begin{align*}
(2m+7)(m-2)&=51\\
2m^2+3m-14 &= 51\\
2m^2+3m-65 &= 0\\
(2m+13)(m-5)&=0
\end{align*}คำตอบที่เป็นไปได้สองค่าคือ $m=-\frac{13}{2}$ และ $m=5$ ของค่าเหล่านี้มีเพียง $m = \boxed{5}$ เท่านั้นที่ถูกต้อง | m = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เศษส่วนธรรมดาใดที่อยู่ตรงกลางระหว่าง $\frac{2}{3}$ และ $\frac{4}{5}$? | ค่าเฉลี่ยของสองจำนวนจะอยู่ตรงกลางระหว่างจำนวนนั้นๆ ดังนั้น $\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{5}\right)=\boxed{\frac{23}{30}}$ อยู่ตรงกลางระหว่าง $\frac{2}{3}$ และ $\frac{4}{5}$ | \frac{23}{30} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
แจ็คเดินขึ้นเนินเขาด้วยความเร็ว $(x^2-11x-22)$ ไมล์ต่อชั่วโมง ในขณะเดียวกัน จิลเดินไประยะทางทั้งหมด $(x^2-3x-54)$ ไมล์ ในเวลา $(x+6)$ ชั่วโมง ถ้าแจ็คและจิลเดินด้วยความเร็วเท่ากัน ความเร็วที่ว่าคือเท่าไร เป็นไมล์ต่อชั่วโมง | ก่อนอื่นเราหาความเร็วของจิลเป็นไมล์ต่อชั่วโมง โดยหารระยะทางทั้งหมดด้วยเวลา ซึ่งเราสามารถตัดตัวประกอบร่วมได้: \begin{align*}
\text{ความเร็วของจิล}&=\frac{x^2-3x-54}{x+6}\quad\Rightarrow\\
&=\frac{(x-9)(x+6)}{x+6}\quad\Rightarrow\\
&=(x-9).
\end{align*}จากนั้นเราตั้งความเร็วทั้งสองให้เท่ากันและแก้หา $x$: \begin{align*}
x-9&=x^2-11x-22\quad\Rightarrow\\
0&=x^2-12x-13\quad\Rightarrow\\
0&=(x+1)(x-13).
\end{align*}ถ้า $x=-1$ เราจะได้ความเร็ว $-1-9=-10$ ไมล์ต่อชั่วโมง ซึ่งเป็นไปไม่ได้ นั่นหมายความว่า $x=13$ ดังนั้นความเร็วของพวกเขาคือ $13-9=\boxed{4}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | 13-9=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $A=4-3i$, $M=-4+i$, $S=i$, และ $P=2$ จงหาค่าของ $A-M+S-P$ | นำส่วนจริงและส่วนจินตภาพมาบวกกันแยกกัน จะได้ $(4-(-4)+0-2)+(-3-1+1-0)i=\boxed{6-3i}$ | (4-(-4)+0-2)+(-3-1+1-0)i=\boxed{6-3i} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $88 \div 4 \div 2$ | เราทำการหารจากซ้ายไปขวาเพื่อหาคำตอบ: \[88 \div 4 \div 2 = 22 \div 2 = \boxed{11}.\] | 11 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนเต็มใดที่ใกล้เคียงกับรากที่สามของ 100 มากที่สุด? | ทั้ง 4 และ 5 ใกล้เคียงกับ $\sqrt[3]{100}$ เนื่องจาก $4^3=64$ และ $5^3=125$ เนื่องจาก $4.5^3=91.125<100$ $\sqrt[3]{100}$ ใกล้เคียงกับ $\boxed{5}$ มากกว่า 4 | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหา khoảng cáchระหว่างจุด $(2,2)$ และ $(-1,-1)$ | เราใช้สูตรระยะทาง: $\sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-1) - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = \boxed{3\sqrt{2}}$.
- OR -
เราสังเกตว่าจุด $(2, 2)$, $(-1, -1)$, และ $(2, -1)$ สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากด้านเท่า (สามเหลี่ยม 45-45-90) ที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\boxed{3\sqrt{2}}$ | \boxed{3\sqrt{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จุด $(0,4)$ และ $(1,3)$ อยู่บนวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน $x$ รัศมีของวงกลมยาวเท่าใด | ให้จุดศูนย์กลางของวงกลมเป็น $(x,0)$ ดังนั้นระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยัง $(0,4)$ และจากจุดศูนย์กลางไปยัง $(1,3)$ จะเท่ากัน โดยใช้สูตรระยะทาง เราได้ \begin{align*}
\sqrt{(x-0)^2+(0-4)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+(0-3)^2}\\
\Rightarrow\qquad \sqrt{x^2+16}&=\sqrt{(x-1)^2+9}\\
\Rightarrow\qquad x^2+16&=(x-1)^2+9\\
\Rightarrow\qquad x^2+16&=x^2-2x+1+9\\
\Rightarrow\qquad 16&=-2x+10\\
\Rightarrow\qquad 6&=-2x\\
\Rightarrow\qquad x&=-3
\end{align*} ตอนนี้เรารู้แล้วว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(-3,0)$ และเราต้องหาค่ารัศมี ใช้สูตรระยะทางอีกครั้ง: \begin{align*} \sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}&=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}\\&=\sqrt{9+16}\\&=\sqrt{25}=\boxed{5}.\end{align*} | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมของป้าย (ด้านซ้ายล่าง) มีพื้นที่ 154 ตารางนิ้ว แวนเนสซาต้องการวางริบบิ้นเล็กๆ (สีเทา) รอบขอบวงกลม เพื่อให้แน่ใจว่ามีริบบิ้นเพียงพอ เธอตัดสินใจซื้อริบบิ้นเพิ่มอีก 2 นิ้วจากเส้นรอบวงของวงกลมเดิม เธอจะต้องซื้อริบบิ้นยาวกี่นิ้ว ถ้าเธอประมาณ $\pi = \frac{22}{7}$?
[asy]import graph;
size(125,72.5);
picture p;
draw(p,unitsquare);
filldraw(p,Circle((.5,.5),.3),white);
label(p,"Enter",(.5,.5),ZapfChancery("m","n"));
add(p);
filldraw(Circle((2,.5),.4),gray(.6));
add(shift(1.5*right)*p);
draw((1.1,.5)--(1.4,.5),EndArrow(5,25));[/asy] | สมมติว่ารัศมีของวงกลมคือ $r$ ดังนั้นพื้นที่ของวงกลมคือ $\pi r^2$ ซึ่งเราประมาณได้ว่า $154=\frac{22}{7}r^2$ ถ้าเราคูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{7}{22}$ เราจะได้ $r^2=49$ หรือ $r=7$ เส้นรอบวงของวงกลมคือ $2\pi r$ ซึ่งเราประมาณอีกครั้งว่า $\frac{44}{7}r=44$ แวนเนสซาต้องการริบบิ้นเพิ่มอีก 2 นิ้ว ดังนั้นเธอต้องซื้อริบบิ้น $44+2=\boxed{46}$ นิ้ว | 44+2=\boxed{46} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
อายุของบิลลี่เป็นสองเท่าของอายุโจ และผลรวมของอายุของพวกเขาเท่ากับ 45 ปี โจอายุเท่าไร? | ให้ $B$ และ $J$ แทนอายุของบิลลี่และโจตามลำดับ เราสามารถเขียนสมการได้ $B=2J$ และ $B+J=45$ เราใช้สมการที่สองเพื่อแก้หา $J$ ในรูปของ $B$ และได้ $J=45-B$ ตอนนี้เราแทนค่านี้ของ $J$ ลงในสมการแรก $$B=2(45-B)=90-2B\qquad\Rightarrow 3B=90\qquad\Rightarrow B=30$$ ดังนั้นบิลลี่อายุ $\boxed{30}$ ปี | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $$f(x)=\sqrt{3-\sqrt{5-\sqrt{x}}}.$$ ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง | เพื่อให้ค่าภายในรากที่สองชั้นในเป็นไม่เป็นลบ เราต้องมี $x\geq 0$. เพื่อให้รากที่สองตรงกลางเป็นจริง เราต้องมี $$5-\sqrt{x}\geq 0$$ $$\Rightarrow 25\geq x.$$ สุดท้าย รากที่สองชั้นนอกต้องการ $$3-\sqrt{5-\sqrt{x}}\geq 0$$ หรือ $$9\geq 5-\sqrt{x}$$ $$\Rightarrow \sqrt{x}\geq -4,$$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ รวมเงื่อนไขของเรา เราได้ $$0\leq x\leq 25,$$ หรือ $x \in \boxed{[0, 25]}$ ในสัญกรณ์ช่วง | x \in \boxed{[0, 25]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $b$ ที่มากที่สุด ซึ่งทำให้ $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $y=x^2+bx+12$ | เราจะเห็นว่า $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + bx + 12$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2 + bx + 12 = -4$ ไม่มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + bx + 16 = 0$ ตัวจำแนกของสมการกำลังสองนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 16 = b^2 - 64$ สมการกำลังสองไม่มีรากจริงก็ต่อเมื่อตัวจำแนกเป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 64 < 0$ หรือ $b^2 < 64$ ค่า $b$ ที่เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการนี้คือ $b = \boxed{7}$ | b = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาขอบเขตของฟังก์ชัน $$j(x) = \frac{1}{x+8} + \frac{1}{x^2+8} + \frac{1}{x^3+8}~?$$แสดงคำตอบในรูปการรวมของช่วง | เราสังเกตว่า $j(x)$ ถูกนิยามเว้นแต่ว่าตัวส่วน $x+8,~x^2+8,~x^3+8$ หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นจะมีค่าเท่ากับ $0$.
เราได้ $x+8=0$ ถ้า $x=-8$ และ $x^3+8$ ถ้า $x=\sqrt[3]{-8} = -2$. ไม่มีจำนวนจริง $x$ ที่ทำให้ $x^2+8=0$ ดังนั้น ขอบเขตของ $j(x)$ ประกอบด้วยจำนวนจริงทั้งหมด $x$ ยกเว้น $-8$ และ $-2$ ในรูปการรวมของช่วง คือ $\boxed{(-\infty,-8)\cup (-8,-2)\cup (-2,\infty)}$. | \boxed{(-\infty,-8)\cup (-8,-2)\cup (-2,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของค่าคงตัวทั้งหมด $t$ ทั้งหมด ซึ่งทำให้สามารถแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง $x^2 + tx - 10$ ในรูป $(x+a)(x+b)$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม | ถ้า $x^2 + tx - 10= (x+a)(x+b)$ แล้ว \[x^2 + tx -10 = x^2 + ax +bx +ab = x^2 +(a+b)x + ab.\]ดังนั้น เราต้องมี $ab = -10$ และสำหรับ $a$ และ $b$ ใดๆ เราจะมี $t = a+b$ ความเป็นไปได้ของเราคือดังนี้: \[\begin{array}{ccc}a&b&a+b\\\hline
-1 & 10 & 9\\
-2 & 5 & 3\\
-5 & 2 & -3\\
-10 & 1 & -9
\end{array}\]ผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ของ $t=a+b$ คือ $(9)(3)(-3)(-9) = 27^2 = \boxed{729}$ | (9)(3)(-3)(-9) = 27^2 = \boxed{729} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กระจายผลคูณ ${(x+5)(x+7)}$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive ครั้งแรก เราบวกผลคูณของ $x+5$ และ $x$ กับผลคูณของ $x+5$ และ 7: \begin{align*}
(x+5)(x+7) &= (x+5) \cdot x + (x+5) \cdot 7\\
&= x(x+5) + 7(x+5).
\end{align*}เราใช้สมบัติการ distributive อีกครั้งและรวมพจน์ที่คล้ายกัน: \begin{align*}
x(x+5) + 7(x+5) &= x^2 + 5x + 7x+ 35\\
&= \boxed{x^2 + 12x + 35}.
\end{align*} | $x^2 + 12x + 35$ | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ข้าวโพดราคา 99 เซนต์ต่อปอนด์ และถั่วราคา 45 เซนต์ต่อปอนด์ ถ้าเชียร์ซื้อข้าวโพดและถั่วรวม 24 ปอนด์ และเสียเงิน $18.09 เชียร์ซื้อข้าวโพดกี่ปอนด์? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษเป็นหลักที่สิบ | ให้ $c$ และ $b$ เป็นจำนวนปอนด์ของข้าวโพดและถั่วที่เชียร์ซื้อตามลำดับ เราสามารถแปลงข้อมูลที่กำหนดให้เป็นระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้: \begin{align*}
b+c&=24\\
45b+99c&=1809
\end{align*} เราสามารถคูณสมการแรกด้วย 45 และลบออกจากสมการที่สองเพื่อให้ได้ $(99-45)c=1809-45(24)$ ซึ่งลดรูปเป็น $54c=729$ หรือ $c=13.5$ ดังนั้นเชียร์ซื้อข้าวโพด $\boxed{13.5\text{ ปอนด์}}$ | \boxed{13.5\text{ ปอนด์}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชันชิ้นส่วน \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\] จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | สำหรับฟังก์ชันชิ้นส่วนที่จะต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไปจะได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังนั้น $a+b=-3+3=\boxed{0}$ | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x)=\frac{3}{2-x}$. ถ้า $g(x)=\frac{1}{f^{-1}(x)}+9$, จงหา $g(3)$. | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[\frac{3}{2-f^{-1}(x)}=x.\]แก้สมการหา $f^{-1}(x)$ เราจะได้ $f^{-1}(x)=2-\frac{3}{x}$ ดังนั้น $f^{-1}(3)=2-\frac{3}{3}=1$. ดังนั้น $g(3)=\frac{1}{f^{-1}(3)}+9=\frac{1}{1}+9=\boxed{10}$. | g(3)=\frac{1}{f^{-1}(3)}+9=\frac{1}{1}+9=\boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชันผกผัน $y=f(x)$ ดังนี้:
[asy]
import graph; size(8cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.25,xmax=3.25,ymin=-6.25,ymax=7.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return (x-2)*(x)*(x+1)/6+x+2;}
draw(graph(f1,-3.25,3.25),linewidth(1));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
label("$y=f(x)$",(3.5,0.6),E);
[/asy]
ถ้า $f(a)=b$ และ $f(b)=4$ แล้ว $a-b$ มีค่าเท่าใด | เนื่องจาก $f(b)=4$ จุด $(b,4)$ จึงอยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ โดยการสังเกต $(2,4)$ อยู่บนกราฟ ดังนั้น $b=2$ (ไม่มีตัวเลือกอื่นเนื่องจาก $f$ ถูกระบุว่าเป็นฟังก์ชันผกผัน)
ในทำนองเดียวกัน เนื่องจาก $f(a)=2$ จุด $(a,2)$ จึงอยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ โดยการสังเกต $(0,2)$ อยู่บนกราฟ ดังนั้น $a=0$.
ดังนั้น $a-b=0-2=\boxed{-2}$ | a-b=0-2=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\left\lfloor -\frac{5}{3}\right\rfloor$. | $-\frac{5}{3}$ อยู่ระหว่าง $-2$ และ $-1$ ดังนั้น $\left\lfloor -\frac{5}{3}\right\rfloor = \boxed{-2}$. | $\left\lfloor -\frac{5}{3}\right\rfloor = \boxed{-2}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $5x^{2}+19x+16 > 20$ ไม่เป็นจริง | เราสามารถทำให้อสมการง่ายขึ้นเป็น $5x^{2}+19x-4 > 0$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(5x-1)(x+4)>0$ เราเห็นว่าอสมการนี้เป็นจริงเมื่อ $x<-4$ และ $\frac{1}{5}<x$ เพราะในกรณีแรก $5x-1$ และ $x+4$ เป็นลบทั้งคู่ และในกรณีหลังเป็นบวกทั้งคู่ นั่นหมายความว่าอสมการไม่เป็นจริงสำหรับ $x$ ระหว่าง $-4$ และ $\frac{1}{5}$ จำนวนเต็มของ $x$ ในช่วงนี้คือ $-4, -3, -2, -1, \text{ และ }0$ และมี $\boxed{5}$ จำนวน | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เบรนด้ากำลังเดินทางจาก $(-4,5)$ ไปยัง $(5,-4)$ แต่เธอต้องแวะที่จุดกำเนิดระหว่างทาง เธอต้องเดินทางไกลเท่าไหร่? | การเดินทางของเบรนด้ามีสองส่วน: จาก $(-4,5)$ ไปยัง $(0,0)$ และจาก $(0,0)$ ไปยัง $(5,-4)$ โดยใช้สูตรระยะทาง ระยะทางทั้งหมดคือ \begin{align*}
\sqrt{(-4-0)^2+(5-0)^2}&+\sqrt{(5-0)^2+(-4-0)^2}\\
&=\sqrt{16+25}+\sqrt{25+16}\\
&=\boxed{2\sqrt{41}}.
\end{align*} | (5,-4) | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถุงหนึ่งมีองุ่นที่จะแจกจ่ายให้กับเด็กในชั้นเรียน 5 คนอย่างเท่าเทียมกัน และองุ่นที่เหลือจะถูกทิ้งไป ถ้าหากนักเรียนแต่ละคนได้รับจำนวนองุ่นมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จำนวนองุ่นมากที่สุดที่อาจถูกทิ้งไปคือเท่าไร | ถ้าเรามีองุ่นอย่างน้อย 5 ผล เราสามารถให้กับนักเรียนแต่ละคนได้อีก 1 ผล ดังนั้นพวกเขาจึงไม่ได้รับจำนวนองุ่นมากที่สุด ในทางกลับกัน ถ้าเรามีองุ่น 4 ผล เราจะไม่สามารถแจกออกไปได้อีกโดยไม่ต้องละทิ้งนักเรียนอย่างน้อย 1 คน ดังนั้น $\boxed{4}$ ผลองุ่นคือจำนวนสูงสุดที่เราทิ้ง | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของนิพจน์ \[(3^{1001}+4^{1002})^2-(3^{1001}-4^{1002})^2\]คือ $k\cdot12^{1001}$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ บางตัว $k$ มีค่าเท่าใด? | ขยายกำลังสอง เราได้ \begin{align*}
&(3^{1001}+4^{1002})^2-(3^{1001}-4^{1002})^2\\
&\qquad=3^{2002}+2\cdot3^{1001}\cdot4^{1002}+4^{2004}\\
&\qquad\qquad-3^{2002}+2\cdot3^{1001}\cdot4^{1002}-4^{2004}\\
&\qquad=4\cdot3^{1001}\cdot4^{1002}.
\end{align*}เนื่องจาก $4^{1002}=4\cdot4^{1001}$ เราสามารถเขียนนิพจน์ใหม่เป็น \[16\cdot3^{1001}\cdot4^{1001}=16\cdot12^{1001}.\]ดังนั้น $k=\boxed{16}$. | k=\boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $-2x - 7 = 7x + 2$ แล้ว $x$ มีค่าเท่าใด | บวก $2x$ เข้าทั้งสองข้าง เราได้ \[ -7 = 9x + 2.\]จากนั้น ลบ 2 จากทั้งสองข้าง เราได้ $-9 = 9x$ ดังนั้น $x = \boxed{-1}$ | x = \boxed{-1} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $(81)^{\frac12}=3^m$. Find $m$. | เนื่องจาก $81 = 3^4$ เราได้ว่า \[3^m = (81)^{\frac12} = (3^4)^{\frac12} = 3^{4\cdot \frac12} = 3^2,\] ซึ่งหมายความว่า $m=\boxed{2}$. | m=\boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อจำนวนเต็มสองหลัก $MM$ ซึ่งมีหลักเท่ากัน คูณด้วยจำนวนเต็มหลักเดียว $M$ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเต็มสามหลัก $NPM$ ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $NPM$ คือเท่าใด | $M=1$, $5$, หรือ $6$ เนื่องจากไม่มีหลักอื่นที่มีสมบัติที่หลักหน่วยของ $M\times M$ เป็น $M$ ดังนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $MM\times M=NPM$ คือ $66\times6=\boxed{396}$ | 66\times6=\boxed{396} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของค่า $y$ ทั้งหมดที่ทำให้นิพจน์ $\frac{y+6}{y^2-5y+4}$ ไม่นิยาม คือเท่าใด | นิพจน์ที่กำหนดจะไม่นิยามเมื่อส่วนเป็นศูนย์ ดังนั้นเราต้องการหาผลรวมของศูนย์ $y$ ของสมการกำลังสอง $y^2-5y+4$ เนื่องจากสำหรับสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของคำตอบคือ $-b/a$ ผลรวมของศูนย์ของสมการกำลังสอง $y^2-5y+4$ คือ $5/1=\boxed{5}$ | 5/1=\boxed{5} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $\frac{x+1}{x^2+6x+8}$. | เนื่องจากเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ค่าของ $x$ ที่ทำให้ส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์จะต้องถูกตัดออกจากโดเมน ดังนั้นเราต้องหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+6x+8=0$ ก่อน เนื่องจากสมการนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x+4)(x+2)=0$ ค่าที่เราต้องตัดออกจากโดเมนมีเพียง $-4$ และ $-2$ เท่านั้น ซึ่งทำให้ได้คำตอบ $x\in\boxed{(-\infty,-4)\cup(-4, -2)\cup(-2,\infty)}$. | x\in\boxed{(-\infty,-4)\cup(-4, -2)\cup(-2,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แจสมินมีที่หนีบกระดาษ 2 อันในวันจันทร์ จากนั้นมี 6 อันในวันอังคาร และจำนวนที่หนีบกระดาษของเธอก้าวหน้าเป็นสามเท่าในแต่ละวันถัดไป ในวันใดของสัปดาห์ที่เธอมียี่หนีบกระดาษมากกว่า 100 อันเป็นครั้งแรก? | นี่เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 2 และอัตราส่วนร่วม 3 ดังนั้น พจน์ใดๆ ในลำดับนี้สามารถแทนได้ด้วย $2\cdot3^k$ สำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบ $k$ โดยที่ $k+1$ แทนหมายเลขพจน์ (ตัวอย่างเช่น เมื่อ $k=0$, $2\cdot3^k = 2$ ซึ่งเป็นพจน์ที่ $k+1=1^\text{st}$ ของลำดับ) เราต้องหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2\cdot3^k>100$ โดยใช้การทดลองเราพบว่า $k=4$ ซึ่งหมายความว่าวันที่ $4+1=5^\text{th}$ คือวันที่แจสมินมีที่หนีบกระดาษมากกว่า 100 อัน หรือ $\boxed{\text{วันศุกร์}}$ | \boxed{\text{วันศุกร์}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์ (monic polynomial) ซึ่ง $f(0)=4$ และ $f(1)=10$ ถ้า $f(x)$ มีดีกรี 2 จงหา $f(x)$ เขียนคำตอบในรูป $ax^2+bx+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนจริง | เนื่องจาก $f(x)$ มีดีกรี 2 เราทราบว่า $f(x)$ อยู่ในรูป $ax^2+bx+c$ พหุนามเอกซ์ คือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดเท่ากับ 1 ดังนั้น $a=1$ เนื่องจาก $f(0)=4$ เราทราบว่า $1(0)^2+b(0)+c=4$ ดังนั้น $c=4$ เนื่องจาก $f(1)=10$ เราทราบว่า $1(1)^2+b(1)+4=10$ ดังนั้น $b+5=10$ และ $b=5$ ดังนั้น $f(x)=\boxed{x^2+5x+4}$ | f(x)=\boxed{x^2+5x+4} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาตัวหารร่วมมากของ $2^{1001}-1$ และ $2^{1012}-1$ | โดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิด, \begin{align*}
&\text{gcd}\,(2^{1012}-1, 2^{1001}-1) \\
&\qquad= \text{gcd}\, (2^{1012}-1 - 2^{11}(2^{1001}-1), 2^{1001}-1) \\
&\qquad= \text{gcd}\,(2^{11}-1, 2^{1001}-1)
\end{align*} โดยใช้กฎการหารด้วย 11 เราทราบว่า 11 หาร 1001 ลงตัว เขียน $2^{1001}$ เป็น $(2^{11})^{91}$ และ 1 เป็น $1^{91}$ เราใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังคี่เพื่อหาว่า \[
2^{1001} - 1 = (2^{11})^{91}-1^{91} = (2^{11}-1)((2^{11})^{90} + (2^{11})^{89}+\cdots (2^{11})^1 + 1).
\] ดังนั้น $2^{1001}-1$ หารด้วย $2^{11}-1$ ลงตัว ดังนั้นตัวหารร่วมมากคือ $2^{11}-1 = \boxed{2047}$ | 2^{11}-1 = \boxed{2047} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $$3b = 8 - 2a.$$ มีจำนวนเต็มบวก $6$ ตัวแรกกี่ตัวที่ต้องเป็นตัวหารของ $2b + 12$? | สังเกตว่าเป็นไปได้ที่ $a = 1$ และ $b = 2$ เพราะว่า $3\cdot 2 = 8 - 2 \cdot 1$ ดังนั้น $2b + 12 = 16$ เนื่องจาก $3,$ $5,$ และ $6,$ ไม่เป็นตัวประกอบของ $16$ จึงไม่จริงที่จำนวนเหล่านี้จะต้องเป็นตัวหารของ $2b + 12.$
ที่เหลือต้องตรวจสอบว่า $1$, $2$, และ $4$ ต้องเป็นตัวหารของ $2b + 12$ หรือไม่สมบัติการ distributive ให้เรา $$8 - 2a = 2 \cdot 4 - 2a = 2(4 -a),$$ดังนั้น $2$ เป็นตัวประกอบของ $3b$ สังเกตว่า $$b = 3b - 2b,$$ดังนั้นเนื่องจาก $2$ เป็นตัวประกอบของ $3b$ และ $2$ เป็นตัวประกอบของ $2b,$ $2$ ต้องเป็นตัวประกอบของ $b.$ ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่า $b = 2n$ สำหรับจำนวนเต็ม $n$ บางตัว การแทนค่าให้เรา \begin{align*}
2b + 12 &= 2(2n) + 12\\
&= 4n + 4 \cdot 3\\
&= 4(n + 3),
\end{align*}ดังนั้น $4$ เป็นตัวประกอบของ $2b + 12$ เนื่องจาก $1,$ $2,$ และ $4$ เป็นตัวประกอบของ $4$ และ $4$ เป็นตัวประกอบของ $2b + 12$ จึงต้องเป็นจริงที่ $1,$ $2,$ และ $4$ เป็นตัวประกอบของ $2b + 12$ ดังนั้นคำตอบสุดท้ายของเราคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อเล็กซ์ต้องการยืมเงิน $\$10,\!000$ จากธนาคาร ธนาคารเสนอตัวเลือกสองแบบให้เขา
1. สัญญาเงินกู้ 10 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปี $10\%$ คำนวณทุกไตรมาส โดยมีเงื่อนไขว่าสิ้นปีที่ 5 อเล็กซ์ต้องชำระเงินเท่ากับครึ่งหนึ่งของหนี้ที่เขาเป็นอยู่ ครึ่งที่เหลือจะยังคงคำนวณดอกเบี้ยต่อไป และสิ้นปีที่ 10 อเล็กซ์จะชำระยอดคงเหลือทั้งหมด
2. สัญญาเงินกู้ 10 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ย단순รายปี $12\%$, โดยมีการชำระเงินก้อนเดียวที่สิ้นสุด 10 ปี
จงหาความแตกต่างที่เป็นบวกระหว่างจำนวนเงินทั้งหมดที่อเล็กซ์ต้องชำระคืนภายใต้ทั้งสองรูปแบบ ปัดเศษคำตอบของคุณเป็นจำนวนเงินที่ใกล้เคียงที่สุด | สำหรับดอกเบี้ยทบต้น เราใช้สูตร $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ โดยที่ $A$ คือยอดคงเหลือ $P$ คือเงินต้น $r$ คืออัตราดอกเบี้ย $t$ คือจำนวนปี และ $n$ คือจำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ยในหนึ่งปี
ก่อนอื่นเราต้องหาว่าเขาจะต้องจ่ายหนี้ใน $5$ ปีเท่าไร ซึ่งก็คือ $$\$10,\!000\left(1+\frac{0.1}{4}\right)^{4 \cdot 5} \approx \$16,\!386.16$$
เขาชำระครึ่งหนึ่งใน $5$ ปี ซึ่งก็คือ $\frac{\$16,\!386.16}{2}=\$8193.08$ เขามี $\$8193.08$ ที่จะต้องคำนวณดอกเบี้ยในอีก $5$ ปีข้างหน้า ซึ่งจะกลายเป็น $$\$8193.08\left(1+\frac{0.1}{4}\right)^{4 \cdot 5} \approx \$13,\!425.32$$
เขาต้องชำระเงินคืนทั้งหมด $\$8193.08+\$13,\!425.32=\$21,\!618.40$ ในสิบปีหากเขาเลือกดอกเบี้ยทบต้น
สำหรับดอกเบี้ย 단순 เขาจะต้องชำระ $0.12 \cdot 10000=1200$ ดอลลาร์ต่อปี ซึ่งหมายความว่าเขาจะต้องชำระเงินทั้งหมด $10000+10 \cdot 1200=22000$ ดอลลาร์ในสิบปี
ดังนั้น เขาควรเลือกดอกเบี้ยทบต้นและประหยัด $\$22000-\$21618.40=\$381.6 \approx \boxed{382 \text{ ดอลลาร์}}$ | 21618.40 | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $2x^2 - 5x + k = 0$ เป็นสมการกำลังสองที่มีคำตอบสำหรับ $x$ คำตอบเดียว จงแสดง $k$ ในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ถ้าสมการกำลังสองมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ดังนั้น เงื่อนไข $5^2 - 4 \cdot 2 \cdot k = 25 - 8k$ ซึ่งเป็นตัวจำแนก จะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $25 - 8k = 0 \Longrightarrow k = \boxed{\frac{25}{8}}$ | 25 - 8k = 0 \Longrightarrow k = \boxed{\frac{25}{8}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าเฉลี่ยของ $x+6$, $6x+2$, และ $2x+7$ คือ $4x-7$ จงหาค่าของ $x$ | ค่าเฉลี่ยของ $x+6$, $6x+2$, และ $2x+7$ คือ $\dfrac{1}{3}((x+6)+(6x+2)+(2x+7))$. เมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $\dfrac{1}{3}(9x+15)=3x+5$. เรารู้ว่าค่าเฉลี่ยก็คือ $4x-7$ ดังนั้น $3x+5=4x-7$. นำ $3x-7$ ลบออกจากทั้งสองข้างของสมการจะได้ $x=\boxed{12}$. | x=\boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ตัวประหลาดคุกกี้พบคุกกี้ที่มีขอบเขตเป็นสมการ $x^2+y^2 + 21 = 4x + 18 y$ และสับสนมาก เขาอยากรู้ว่าคุกกี้ชิ้นนี้เป็นคุกกี้ขนาดกลางวันหรือคุกกี้ขนาดย่อย จงหาความยาวรัศมีของคุกกี้ชิ้นนี้ | สมการ $x^2+y^2+21=4x+18y$ สามารถเขียนใหม่เป็น $x^2-4x+y^2-18y=-21$ โดยการเติมกำลังสอง สมการนี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $(x-2)^2-4+(y-9)^2-81=-21$ ย้ายค่าคงที่ไปทางขวาของสมการ จะได้ $(x-2)^2+(y-9)^2=64$ ซึ่งเป็นสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(2,9)$ และรัศมี $\boxed{8}$ | \boxed{8} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กราฟของเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(0,3)$ ถึง $(6,9)$ ค่าของ $b$ เท่ากับเท่าไร? | ถ้าเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(0,3)$ ถึง $(6,9)$ เส้นตรงนี้จะต้องผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงนี้ จุดกึ่งกลางคือ: $$\left(\frac{0+6}{2},\frac{3+9}{2}\right)=(3,6)$$จุดนี้ nằmบนเส้นตรง $x+y=b$ ดังนั้นเราต้องมี $3+6=b\Rightarrow b=\boxed{9}$. | 3+6=b\Rightarrow b=\boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ใช้เวลา 15 คน ทำงานอย่างต่อเนื่อง 4 วัน ในการขุดรากฐานสำหรับอพาร์ตเมนต์หลังใหม่ ใช้เวลาเท่าไรถ้ามี 25 คน ทำงานด้วยอัตราเดียวกัน แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษเป็นหลักที่ 1 | จำนวนคนและเวลาในการขุดรากฐานเป็นปริมาณผกผันกัน ให้ $m$ แทนจำนวนคน และ $d$ แทนจำนวนวันในการขุดรากฐาน นั่นหมายความว่า $md=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ ที่ไม่ทราบค่า จากข้อมูลที่กำหนด $15\cdot 4=60=k$ ทราบค่า $k$ แล้ว เราสามารถหาจำนวนวันที่จะใช้ในการขุดรากฐานโดยใช้ 25 คน ได้ดังนี้: \begin{align*}
25\cdot d&=60\\
\Rightarrow\qquad d&=60/25=12/5=\boxed{2.4}
\end{align*} | 2.4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x$ ในรูปที่เรียบง่าย $x=\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ ถ้า $\frac{5x}{6}+1=\frac{3}{x}$ โดยที่ $a,b,c,$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็ม. แล้ว $ rac{acd}{b}$ มีค่าเท่าใด? | การคูณสมการทั้งหมดด้วย $6x$ จะกำจัดเศษส่วน: \begin{align*}
5x^2+6x&=18 \quad \Longrightarrow \\
5x^2+6x-18&=0.
\end{align*}เนื่องจากนิพจน์ทางด้านซ้ายมือไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายๆ เราจึงใช้สูตรกำลังสองเพื่อให้ได้ \begin{align*}
x&=\frac{-6\pm\sqrt{36+360}}{10}\\
&=\frac{-6\pm\sqrt{396}}{10}\\
&=\frac{-6\pm6\sqrt{11}}{10}.
\end{align*}ดังนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x$ คือ $\frac{-6+6\sqrt{11}}{10}$ หรือ $\frac{-3+3\sqrt{11}}{5}$. นำไปใช้กับ $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$, $a=-3$, $b=3$, $c=11$, และ $d=5$. \[\frac{acd}{b}=\frac{-3\cdot11\cdot5}{3}=\boxed{-55}.\] | d=5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
9x+4 &\text{if }x\text{ เป็นจำนวนเต็ม}, \\
\lfloor{x}\rfloor+5 &\text{if }x\text{ ไม่เป็นจำนวนเต็ม}.
\end{cases}
\]จงหา $f(\sqrt{29})$. | เนื่องจาก 29 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เราจึงทราบว่า $\sqrt{29}$ ไม่สามารถเท่ากับจำนวนเต็มได้ ดังนั้น $f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10}$. | f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10} | [
"ประยุกต์"
] |
มีผู้มา dựรับประทานอาหาร 7 คน แต่โต๊ะกลมมีที่นั่งเพียง 6 ที่ ถ้าการจัดที่นั่งสองแบบที่เป็นการหมุนของกันและกันถือว่าเหมือนกัน แล้วมีวิธีการเลือก 6 คนและจัดที่นั่งให้พวกเขาที่โต๊ะได้กี่วิธี? | มี 7 วิธีในการเลือกคนที่ต้องยืนอยู่ ในการจัดที่นั่งสำหรับ 6 คนที่เหลือ มี 6 ที่นั่งที่คนแรกสามารถเลือกได้ 5 ที่นั่งที่เหลือสำหรับคนที่สอง และอื่นๆ ลงไปจนถึง 1 ที่นั่งสำหรับคนสุดท้าย สิ่งนี้บ่งชี้ว่ามี $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 6!$ วิธีในการจัดที่นั่งสำหรับ 6 คน อย่างไรก็ตาม แต่ละที่นั่งสามารถหมุนได้ 6 วิธี ดังนั้นแต่ละที่นั่งจึงถูกนับ 6 ครั้งในจำนวนนี้ ดังนั้น สำหรับแต่ละกลุ่มของ 6 คน จะมี $6!/6 = 5!$ วิธีในการจัดที่นั่งพวกเขาไว้รอบโต๊ะ มี 7 กลุ่มของ 6 คนที่เป็นไปได้ (กลุ่มละคนสำหรับคนที่ยืนอยู่) ซึ่งให้จำนวนทั้งหมด $7\cdot 5! = \boxed{840}$ วิธีในการจัดที่นั่งสำหรับ 7 คน | 7\cdot 5! = \boxed{840} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ จงหาค่าของ $y$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง: \begin{align*}
(x+y)-(x-y) &= 12-6\\
2y &= 6\\
y &= \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $145b^2 +29b$. | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $145b^2$ และ $29b$ คือ $29b$ เราแยกตัวประกอบ $29b$ ออกจากทั้งสองพจน์เพื่อให้ได้:\begin{align*}
145b^2 +29b &= 29b \cdot 5b+ 29b \cdot 1\\
&=\boxed{29b(5b+1)}.
\end{align*} | 29b | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้ารถโรงเรียนออกจากโรงเรียนโดยมีนักเรียน 48 คน และครึ่งหนึ่งของนักเรียนลงจากรถที่แต่ละป้ายจอดทั้ง 3 ป้ายแรก จะมีนักเรียนกี่คน 남อยู่บนรถหลังจากป้ายจอดที่สาม | ที่แต่ละป้ายจอด จำนวนนักเรียนบนรถจะถูกหารด้วย 2 ดังนั้นหลังจาก 3 ป้ายจอด จำนวนนักเรียนบนรถคือ $48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6}$ | 48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกคี่ตัวที่ 87 | จำนวนเต็มบวกคี่ทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูป $2x - 1$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1 เมื่อ $x = 1$ สูตรจะให้จำนวนเต็มบวกคี่ตัวแรกคือ 1 เมื่อ $x = 2$ สูตรจะให้จำนวนเต็มบวกคี่ตัวที่สองคือ 3 ดังนั้นจำนวนเต็มบวกคี่ตัวที่ 87 จะเป็น $2 \cdot 87 - 1 = \boxed{173}$ | $2 \cdot 87 - 1 = \boxed{173}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แผนผังสวนขนาด 1 นิ้ว แทน 800 ฟุต เส้นส่วนในแผนผังยาว 4.75 นิ้ว แทนระยะทางจริงกี่ฟุต | เนื่องจากแต่ละนิ้วของเส้นส่วน 4.75 นิ้วแทน 800 ฟุต ดังนั้นเส้นส่วนทั้งหมดแทน $4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800}$ ฟุต | 4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่า $2x^2 - 5x + k = 0$ เป็นสมการกำลังสองที่มีคำตอบสำหรับ $x$ คำตอบเดียว จงแสดง $k$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ถ้าสมการกำลังสองมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ดังนั้น เงื่อนไข $5^2 - 4 \cdot 2 \cdot k = 25 - 8k$ ซึ่งเป็นตัวจำแนก จะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $25 - 8k = 0 \Longrightarrow k = \boxed{\frac{25}{8}}$ | 25 - 8k = 0 \Longrightarrow k = \boxed{\frac{25}{8}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $g(x)=\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $g(2x)=2(g(x))$ แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | เนื่องจาก $g(x)=\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$ เราทราบว่า $g(2x)=\sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}}$ เช่นเดียวกัน เราเห็นว่า $2(g(x))=2\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$ นี่จะให้สมการ \begin{align*} \sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}}&=2\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}
\\\Rightarrow\qquad\left(\sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}}\right)^3&=\left(2\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}\right)^3
\\\Rightarrow\qquad \frac{2x+3}{4}&=\frac{8(x+3)}{4}
\\\Rightarrow\qquad\frac{2x+3}{4}&=\frac{8x+24}{4}
\\\Rightarrow\qquad 2x+3&=8x+24
\\\Rightarrow\qquad-6x&=21
\\\Rightarrow\qquad x&=\boxed{-\frac{7}{2}}
\end{align*} | $-\frac{7}{2}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $ab - 3a + 4b = 137$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $|a - b|$ | เราใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ซิมอนชื่นชอบ และสังเกตว่าถ้าเราลบ 12 ออกจากทั้งสองข้าง ด้านซ้ายจะสามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้น $$ab - 3a + 4b -12 = 125 \rightarrow (a+4)(b-3) = 125$$เนื่องจาก $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a+4, b-3$ จะต้องเป็นคู่ของตัวประกอบของ $125= 5^3$ ดังนั้น $(a+4,b-3)$ จะต้องอยู่ในกลุ่ม $$(1,125), (5,25), (25,5),(125,1).$$ดังนั้น $(a,b)$ จะต้องอยู่ในกลุ่ม $$( -3,128), (1,28), (21,8), (121,4).$$เราตัดคำตอบแรกออกเนื่องจากค่าของ $a$ เป็นลบ เราพบว่าค่าต่ำสุดของ $|a-b|$ จากสามค่าที่เหลือคือ $|21-8|=\boxed{13}$. | |21-8|=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ 1,234,567,890 หารด้วย 99 | เราสามารถเขียน 1234567890 เป็น \[12 \cdot 10^8 + 34 \cdot 10^6 + 56 \cdot 10^4 + 78 \cdot 10^2 + 90.\] สังเกตว่า \[10^8 - 1 = 99999999 = 99 \cdot 1010101,\] หารด้วย 99 ลงตัว ดังนั้น $12 \cdot 10^8 - 12$ หารด้วย 99 ลงตัว
ในทำนองเดียวกัน, \begin{align*}
10^6 - 1 &= 999999 = 99 \cdot 10101, \\
10^4 - 1 &= 9999 = 99 \cdot 101, \\
10^2 - 1 &= 99 = 99 \cdot 1
\end{align*} ก็หารด้วย 99 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้น $34 \cdot 10^6 - 34$, $56 \cdot 10^4 - 56$, และ $78 \cdot 10^2 - 78$ หารด้วย 99 ลงตัว
ดังนั้น \[12 \cdot 10^8 + 34 \cdot 10^6 + 56 \cdot 10^4 + 78 \cdot 10^2 + 90 - (12 + 34 + 56 + 78 + 90)\] หารด้วย 99 ลงตัว ซึ่งหมายความว่า 1234567890 และ $12 + 34 + 56 + 78 + 90$ จะเหลือเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย 99
เนื่องจาก $12 + 34 + 56 + 78 + 90 = 270 = 2 \cdot 99 + 72$ เศษที่เหลือคือ $\boxed{72}$. | \boxed{72} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $2x - y = 5$ และ $x + 2y = 5$, จงหาค่าของ $x$? | เพื่อหาค่า $x$ เราต้องการกำจัด $y$ คูณสมการแรกด้วย $2$ แล้วบวกกับสมการที่สอง: \begin{align*}
(4x-2y) + (x+2y) &= 10+5\\
5x &= 15\\
x &= \boxed{3}
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
BoatWorks สร้างเรือแคนู 3 ลำในเดือนมกราคมของปีนี้ และในแต่ละเดือนถัดมา พวกเขาสร้างเรือแคนูเป็นสองเท่าของจำนวนเรือแคนูที่สร้างในเดือนก่อนหน้า จงหาจำนวนเรือแคนูทั้งหมดที่ BoatWorks สร้างขึ้นจนถึงสิ้นเดือนมีนาคมของปีนี้ | จำนวนเรือที่สร้างคือ $3+3\cdot2+3\cdot2^2 = 3+6+12 = \boxed{21}$ | 3+3\cdot2+3\cdot2^2 = 3+6+12 = \boxed{21} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$. ถ้า $\alpha = -3$ เมื่อ $\beta = -6$ จงหา $\alpha$ เมื่อ $\beta = 8$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วน | เนื่องจาก $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$ ตามนิยาม $\alpha\beta = k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า เมื่อแทนค่าลงไป เราจะได้ $(-3)\cdot (-6) = k$ ดังนั้น $k = 18$ ดังนั้น เมื่อ $\beta = 8$ เราจะมี $8\alpha = 18$ หรือ $\alpha = \boxed{\frac{9}{4}}$ | \alpha = \boxed{\frac{9}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $6 \cdot 8\frac{1}{3}$ | เราสามารถใช้สมบัติการ distributive เพื่อหลีกเลี่ยงการแปลงจำนวนผสมเป็นเศษส่วน: \begin{align*}
6 \cdot 8\frac{1}{3} &= 6 \cdot \left(8 + \frac{1}{3}\right)\\
&= 48 + 6 \cdot\frac{1}{3}\\
&= 48 + \frac{6}{3}\\
&= 48 + 2\\
&= \boxed{50}.
\end{align*} | 50 | [
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $54 \times 46$ ในใจ | เราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $(50 + 4)\times (50 - 4)$ ซึ่งเป็นผลต่างของกำลังสอง: $(50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484}$ | (50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484} | [
"นำไปใช้"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น: $(9x^9+7x^8+4x^7) + (x^{11}+x^9+2x^7+3x^3+5x+8).$ แสดงคำตอบในรูปของพหุนาม โดยมีดีกรีของพจน์เรียงตามลำดับจากมากไปน้อย | เราได้ \begin{align*}
&(9x^9+7x^8+4x^7) + (x^{11}+x^9+2x^7+3x^3+5x+8)\\
&=x^{11}+(9+1)x^9+7x^8+(4+2)x^7+3x^3+5x+8\\
&=\boxed{x^{11}+10x^9+7x^8+6x^7+3x^3+5x+8}\\
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
สำหรับการเรียงสับเปลี่ยน $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{10}$ ของจำนวนเต็ม $1,2,3,\cdots,10$ จงสร้างผลรวม
\[|a_1-a_2|+|a_3-a_4|+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|+|a_9-a_{10}|.\]
ค่าเฉลี่ยของผลรวมทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ในรูป $\dfrac{p}{q}$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน จงหา $p+q$.
| เนื่องจากความสมมาตร เราสามารถหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับ $|a_n - a_{n - 1}|$ และคูณด้วยจำนวนครั้งที่ค่านี้ปรากฏขึ้น แต่ละค่าปรากฏ $5 \cdot 8!$ ครั้ง เพราะว่าถ้าคุณแก้ไข $a_n$ และ $a_{n + 1}$ จะยังคงมี $8!$ ตำแหน่งสำหรับตัวอื่นๆ และคุณสามารถทำได้ $5$ ครั้ง เพราะว่ามี $5$ ตำแหน่งที่ $a_n$ และ $a_{n + 1}$ สามารถอยู่ได้
เพื่อหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับ $|a_n - a_{n - 1}|$ เราต้องคำนวณ\begin{eqnarray*} |1 - 10| + |1 - 9| + \ldots + |1 - 2|\\ + |2 - 10| + \ldots + |2 - 3| + |2 - 1|\\ + \ldots\\ + |10 - 9| \end{eqnarray*}
สิ่งนี้เทียบเท่ากับ
\[2\sum\limits_{k = 1}^{9}\sum\limits_{j = 1}^{k}j = 330\]
จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดคือ $10!$, ดังนั้นค่าเฉลี่ยคือ $\frac {330 \cdot 8! \cdot 5}{10!} = \frac {55}{3}$, และ $m+n = \boxed{58}$. | m+n = \boxed{58} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $100^3 = 10^x$ | เนื่องจาก $100 = 10^2$ เราได้ \[10^x = 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2\cdot 3} = 10^6,\] ดังนั้น $x = \boxed{6}$. | x = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ จงหาค่าของ $y$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง: \begin{align*}
(x+y)-(x-y) &= 12-6\\
2y &= 6\\
y &= \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้าเส้นตรงที่มีสมการ $y = 8x + 2$ และ $y = (2c)x - 4$ ขนานกัน จงหาค่าของ $c$ | เส้นตรงขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน ความชันของเส้นตรงที่มีสมการ $y = mx + b$ คือ $m$ ดังนั้น $8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4}$ | 8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาหลักหน่วยของ $7^{35}$ เมื่อเขียนในรูปของจำนวนเต็ม | มาดูวัฏจักรของหลักหน่วยของ $7^n$ เริ่มจาก $n=1$ : $7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,\ldots$ . วัฏจักรของหลักหน่วยของ $7^{n}$ มีความยาว 4 หลัก: 7, 9, 3, 1. ดังนั้น เพื่อหาหลักหน่วยของ $7^n$ สำหรับ $n$ ที่เป็นบวกใดๆ เราต้องหาเศษเหลือ $R$ เมื่อ $n$ หารด้วย 4 ($R=1$ สอดคล้องกับหลักหน่วย 7, $R=2$ สอดคล้องกับหลักหน่วย 9, etc.) เนื่องจาก $35\div4=8R3$ หลักหน่วยของ $7^{35}$ คือ $\boxed{3}$. | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้เส้นตรง $p$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $A = (24, 7)$ และ $B = (3, 4).$ โดยที่ $AB$ ตัด $p$ ที่ $C = (x, y),$ จงหาค่าของ $2x - 4y$? | เส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $AB$ ต้องตัด $AB$ ที่จุดกึ่งกลาง ดังนั้น $C$ คือจุดกึ่งกลางของ $AB$ เราใช้สูตรของจุดกึ่งกลางเพื่อหาว่า $C = \left(\frac{24 + 3}{2}, \frac{7 + 4}{2} \right) = \left(\frac{27}{2}, \frac{11}{2} \right).$ ดังนั้น $2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}.$ | 2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เสื้อตัวหนึ่งมีราคาปกติ $\$30$ ลดราคา $20\%$ Mary มีคูปองที่ลดราคาอีก $25\%$ จากราคาที่ลดแล้ว ส่วนลดเดียวที่ให้ราคาสุดท้ายเท่ากับส่วนลดสองครั้งติดต่อกันคือเท่าไร | การลดราคา $20\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $1-20\%=1-0.2=\frac{4}{5}$ เช่นเดียวกัน การลดราคา $25\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $\frac{3}{4}$ การใช้ส่วนลดทั้งสองครั้ง เราคูณด้วย $\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5}=0.6$ เนื่องจาก $1-0.6=0.4=40\%$ การคูณด้วย 0.6 ให้ส่วนลด $\boxed{40\%}$ | \boxed{40\%} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $x$ และ $y$ ที่ $x\neq y$ และ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x + y$ | ทำให้ง่ายขึ้น เราได้ $12(x+y)=xy$ ดังนั้น $xy - 12x - 12y = 0.$ นำ Simon's Favorite Factoring Trick มาใช้โดยการบวก 144 เข้าไปในทั้งสองข้าง เราได้ $xy-12x-12y +144=144$ ดังนั้น \[(x-12)(y-12)=144.\]ตอนนี้เราต้องการ $x+y$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $x-12$ และ $y-12$ มีค่าใกล้เคียงกันมากที่สุด ผู้สมัครที่ดีที่สุดสองคนคือ $(x-12,y-12)=(18,8)$ หรือ $(16,9)$ ซึ่ง $(x,y)=(28,21)$ จะได้ผลรวมขั้นต่ำของ $\boxed{49}$. | \boxed{49} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x+y$ เมื่อ $x^{2} + y^{2} =90$ และ $xy=27$ | เรามี $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=90+2\cdot27=144$ ดังนั้น $x+y=12$ หรือ $x+y=-12$ เราต้องการค่าที่ใหญ่กว่า หรือ $x+y=\boxed{12}$ | x+y=\boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในรูปภาพ กird ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาคือเท่าไร? [asy]
size(8cm);
// Fill area
fill((0, 0)--(0, 2)--(3, 2)--(3, 3)--(7, 3)--(7, 4)--(12, 4)--cycle, gray(0.75));
defaultpen(1);
// Draw grid
draw((0, 0)--(12, 0));
draw((0, 1)--(12, 1));
draw((0, 2)--(12, 2));
draw((3, 3)--(12, 3));
draw((7, 4)--(12, 4));
draw((0, 0)--(12, 4));
draw((0, 2)--(0, 0));
draw((1, 2)--(1, 0));
draw((2, 2)--(2, 0));
draw((3, 3)--(3, 0));
draw((4, 3)--(4, 0));
draw((5, 3)--(5, 0));
draw((6, 3)--(6, 0));
draw((7, 4)--(7, 0));
draw((8, 4)--(8, 0));
draw((9, 4)--(9, 0));
draw((10, 4)--(10, 0));
draw((11, 4)--(11, 0));
draw((12, 4)--(12, 0));
// Draw lengths
path height = (-0.5, 0)--(-0.5, 2);
path width = (0, -0.5)--(12, -0.5);
path height2 = (12.5, 0)--(12.5, 4);
draw(height); draw(width); draw(height2);
draw((-0.6, 0)--(-0.4, 0));
draw((-0.6, 2)--(-0.4, 2));
draw((0, -0.6)--(0, -0.4));
draw((12, -0.6)--(12, -0.4));
draw((12.4, 0)--(12.6, 0));
draw((12.4, 4)--(12.6, 4));
// label lengths
label("$2$", (-0.5, 1), W);
label("$12$", (6, -0.5), S);
label("$4$", (12.5, 2), E);
[/asy] | พื้นที่ของ grid ทั้งหมดในรูปภาพคือ 38 (เราสามารถหาได้โดยการนับสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละอัน หรือโดยการแบ่ง grid ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 x 3, 3 x 4 และ 4 x 5)
พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาเท่ากับพื้นที่ของ grid ทั้งหมดลบด้วยพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ไม่แรเงา ซึ่งเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีฐานยาว 12 และสูง 4 ดังนั้นพื้นที่ของบริเวณที่แรเงาคือ $$38 - \frac{1}{2}(12)(4)=38-24=\boxed{14}.$$ | 14 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $p(x) = x^4 - 3x + 2$ แล้วสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^3$ ในพหุนาม $(p(x))^3$ คือเท่าใด | จากการสังเกต เมื่อขยายพจน์ของผลคูณ $(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)$ พจน์เดียวที่ มีดีกรีเท่ากับ 3 คือ พจน์ที่ได้จากการคูณพจน์เชิงเส้นทั้งสามเข้าด้วยกัน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือ $(-3)(-3)(-3)=\boxed{-27}$ | (-3)(-3)(-3)=\boxed{-27} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ชมรมหมากรุกมีสมาชิก 26 คน แต่มีเพียง 16 คนเท่านั้นที่เข้าร่วมการประชุมครั้งล่าสุด: ครึ่งหนึ่งของเด็กผู้หญิงเข้าร่วมประชุม แต่เด็กผู้ชายทุกคนเข้าร่วมประชุม มีเด็กผู้หญิงในชมรมหมากรุกกี่คน? | ให้มี $B$ เด็กผู้ชายและ $G$ เด็กผู้หญิง เนื่องจากสมาชิกทุกคนเป็นเด็กผู้ชายหรือเด็กผู้หญิง $B+G=26$ นอกจากนี้เรายังมี $\frac{1}{2}G+B=16$ ลบสมการที่สองจากสมการแรก เราได้:
$\frac{1}{2}G=26-16=10\implies G=20$.
ดังนั้นมี $\boxed{20}$ เด็กผู้หญิงในชมรมหมากรุก | \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ
$3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3))))))))))$ | อย่าให้วงเล็บจำนวนมากหลอกลวงเรา เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ใหม่เป็นอนุกรมเรขาคณิต: \[3+3^2+3^3+\cdots +3^9 +3^{10}.\]ตอนนี้เราสามารถคำนวณผลรวมได้เป็น $\frac{3^{11}-3}{3-1}=\boxed{88572}.$ | \frac{3^{11}-3}{3-1}=\boxed{88572}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อผลรวมของ 102 จำนวนนับแรกหารด้วย 5250 จะเหลือเศษเท่าใด (จำนวนนับแรกคือ 1) | สำหรับทุกจำนวน $n$, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 102 = 102 \cdot 103/2 = 5253$ เศษที่เหลือเมื่อ 5253 หารด้วย 5250 คือ $\boxed{3}$ | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดลำดับเรขาคณิต $k, a_2, a_3$ และ $k, b_2, b_3$ ซึ่งมีอัตราส่วนร่วมต่างกัน และไม่คงตัว เรามีสมการ $$a_3-b_3=3(a_2-b_2).$$ จงหาผลรวมของอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตทั้งสอง | กำหนดให้ $p$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตแรก และ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตที่สอง สมการจะกลายเป็น
$$kp^2-kr^2=3(kp-kr)$$ หารทั้งสองข้างด้วย $k$ (เนื่องจากลำดับเรขาคณิตไม่คงตัว ไม่มีพจน์ใดเป็น 0) จะได้
$$p^2-r^2=3(p-r)$$ ข้างซ้ายของสมการสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(p-r)(p+r)$ เนื่องจาก $p\neq r$ เราสามารถหารด้วย $p-r$ ได้
$$p+r=\boxed{3}$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าบวกของ $n$ ที่ทำให้สมการ $9x^2+nx+1=0$ มีคำตอบใน $x$ เพียงคำตอบเดียว | ถ้าสมการกำลังสองทางซ้ายมือมีรากของ $x$ เพียงรากเดียว ดังนั้นมันต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ หาร 9 ทั้งสองข้าง เราได้ $x^2+\frac{n}{9}x+\frac{1}{9}=0$ เพื่อให้ด้านซ้ายมือเป็นกำลังสองสมบูรณ์ มันต้องแยกตัวประกอบเป็น $\left(x+\frac{1}{3}\right)^2=x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$ หรือ $\left(x-\frac{1}{3}\right)^2=x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2$ และพจน์คงที่ถูกกำหนดไว้แล้ว) มีเพียงกรณีแรกเท่านั้นที่ให้ค่าบวกของ $n$ ซึ่งคือ $n=\frac{2}{3}\cdot9=\boxed{6}$ | n=\frac{2}{3}\cdot9=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $2^8 -1$ หารด้วยจำนวนเฉพาะ 3 จำนวน จงหาผลรวมของจำนวนเฉพาะทั้ง 3 จำนวน | แยกตัวประกอบสองครั้งโดยใช้ผลต่างกำลังสอง จะได้ $(2^8-1)=(2^4+1)(2^4-1)=(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)=17\cdot5\cdot3$. ผลรวมของจำนวนเฉพาะ 3 ตัวของ $2^8-1$ คือ $17+5+3=\boxed{25}$ | 17+5+3=\boxed{25} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ถัดไปในลำดับเรขาคณิต $$2, 6x, 18x^2, 54x^3, \ldots ?$$ แสดงคำตอบในรูปของ $x$. | อัตราส่วนร่วมคือ $\frac{6x}{2} = 3x$ นั่นคือ แต่ละพจน์ได้มาจากการคูณ $3x$ กับพจน์ก่อนหน้า พจน์ถัดไปคือ $54x^3 \cdot 3x = \boxed{162x^4}$. | 54x^3 \cdot 3x = \boxed{162x^4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $37a^2 + 111a$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $37a^2$ และ $111a$ คือ $37a$ เราแยกตัวประกอบ $37a$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้\begin{align*}
37a^2 + 111a &= 37a \cdot a+ 37a \cdot 3\\
&=\boxed{37a(a+3)}
\end{align*} | 37a(a+3) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $b$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ซึ่งทำให้สมการกำลังสอง $2x^2 + 5x + b = 0$ มีรากเป็นจำนวนตรรกยะ | ถ้าสมการกำลังสอง $2x^2 + 5x + b = 0$ มีรากเป็นจำนวนตรรกยะสองราก ดังนั้น ตัวเลือกของมัน $5^2 - 4 \cdot 2 \cdot b = 25 - 8b$ จะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $25 - 8b \ge 0 \Longrightarrow b \in \{1,2,3\}$. ตรวจสอบแต่ละค่า เราจะเห็นว่า $b = 2$ และ $b = 3$ จริงๆ ทำงาน และผลรวมของมันคือ $2 + 3 = \boxed{5}$ | 2 + 3 = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $2.4 \times 0.2$ | เนื่องจาก $0.2 = 2\times 0.1$ เราได้ \[2.4\times 0.2 = 2.4 \times 2\times 0.1 = 4.8\times 0.1 = \boxed{0.48}.\] | 0.48 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $E(a,b,c) = a \cdot b^2 + c$. จงหาค่าของ $a$ ที่เป็นคำตอบของสมการ $E(a,4,5) = E(a,6,7)$ | $E(a,4,5) = a \cdot 4^2 + 5 = 16a + 5$ และ $E(a,6,7) = a \cdot 6^2 + 7 = 36a + 7.$ เราตั้งสมการนี้เท่ากัน: $16a + 5 = 36a + 7.$ จากนั้นเรารวมพจน์และได้ $20a=-2$ ดังนั้น $a = \boxed{-\frac{1}{10}}.$ | a = \boxed{-\frac{1}{10}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ให้ $x$ เป็นตัวแปร จงทำให้นิพจน์ต่อไปนี้ सरวม: \[3x+7x^2+5-(2-3x-7x^2).\] เขียนคำตอบของคุณในรูป $ax^2 +bx+c$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นตัวเลข | นิพจน์ที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $3x+7x^2+5-2+3x+7x^2$ การรวมพจน์ที่คล้ายกัน นิพจน์สุดท้ายนี้เท่ากับ $(3x+3x)+(7x^2+7x^2)+(5-2)=\boxed{14x^2+6x+3}$. | (3x+3x)+(7x^2+7x^2)+(5-2)=\boxed{14x^2+6x+3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
นักเรียนที่โรงเรียนเชอร์รี่ เคอร์ติส สามารถลงคะแนนเสียงเลือกกิจกรรมหนึ่งรายการขึ้นไปสำหรับวันกีฬาของพวกเขา ข้างล่างนี้คือสามอันดับแรกของการเลือก จงเรียงชื่อกิจกรรมจากที่นิยมมากที่สุดไปที่นิยมน้อยที่สุด โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
กิจกรรม & กีฬาตะกร้อ & ปิกนิก & ซอฟท์บอล \\ \hline
& & &\\[-1.5ex]
เศษส่วนที่ชอบกิจกรรม & $\frac{11}{30}$ & $\frac{7}{20}$ & $\frac{5}{12}$ \\[1ex] \hline
\end{tabular} | การเขียนใหม่ของเศษส่วนให้มีส่วนร่วมกันเป็น 60, เราได้ \begin{align*}
\text{กีฬาตะกร้อ: }&\frac{22}{60} \\
\text{ปิกนิก: }&\frac{21}{60} \\
\text{ซอฟท์บอล: }&\frac{25}{60}
\end{align*} ดังนั้นลำดับคือ $\boxed{\text{ซอฟท์บอล, กีฬาตะกร้อ, ปิกนิก}}.$ | \boxed{\text{ซอฟท์บอล, กีฬาตะกร้อ, ปิกนิก}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แตกต่างกันที่มีด้านขนานกับเส้นตารางที่สามารถสร้างได้โดยการเชื่อมต่อจุดสี่จุดในอาร์เรย์จุดสี่เหลี่ยมจัตุรัส $4\times 4$ ดังในรูปด้านล่าง
[asy]size(2cm,2cm); for (int i=0; i<4; ++i) { for (int j=0; j<4; ++j) { filldraw(Circle((i, j), .05), black, black); } } [/asy] (สี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปแตกต่างกันหากไม่ใช้จุดยอดทั้งสี่เหมือนกัน) | เราจะนับจำนวนสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามกรณี โดยพิจารณาจากความยาวด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า: \[
\begin{array}{|c|c|}\hline
\text{ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า} & \text{จำนวนสี่เหลี่ยมผืนผ้า} \\ \hline
1 \times 1 & 9 \\ \hline
1 \times 2 & 6 \\ \hline
1 \times 3 & 3 \\ \hline
2 \times 1 & 6 \\ \hline
2 \times 2 & 4 \\ \hline
2 \times 3 & 2 \\ \hline
3 \times 1 & 3 \\ \hline
3 \times 2 & 2 \\ \hline
3 \times 3 & 1 \\ \hline
\end{array}
\] ดังนั้น จำนวนสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนานกับด้านของตารางคือ $9+6+3+6+4+2+3+2+1 = \boxed{36}.$
ความท้าทายพิเศษ: หากคุณรู้ว่า "การผสม" คืออะไรในปัญหาการนับ ลองหาคำตอบที่เร็วกว่ามาก | 9+6+3+6+4+2+3+2+1 = \boxed{36}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+2\] สำหรับ $x$. | การคูณไขว้จะได้ \[x^2+x+1=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2.\]ดังนั้น \[0=2x+1\]และ $x=\boxed{-\frac12}$. | x=\boxed{-\frac12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $y = \displaystyle\frac{1}{3x+1}$, จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $y = 1$ | เนื่องจาก $y=1$ เราได้ $1 =\displaystyle\frac{1}{3x+1}$ คูณทั้งสองข้างด้วย $3x+1$ เราได้ $$3x+1=1$$ $$\Rightarrow \qquad 3x=0$$ $$\Rightarrow \qquad x=\boxed{0}$$ | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $x^2 - 16x + 60$ สามารถเขียนในรูป $(x - a)(x - b)$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และ $a > b$ จงหาค่าของ $3b - a$? | การแยกตัวประกอบ เราได้ว่า $x^2 - 16x + 60 = (x - 10)(x - 6)$ ดังนั้น $a = 10$ และ $b = 6$ และ $3b - a = 18 - 10 = \boxed{8}$. | 3b - a = 18 - 10 = \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมใดๆ มีค่าเฉลี่ยเท่าไร | ค่าเฉลี่ยของเซตของตัวเลขคือผลรวมของตัวเลขเหล่านั้นหารด้วยจำนวนทั้งหมดของตัวเลข ผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมคือ $180^\circ$ และมี 3 มุม ดังนั้นค่าเฉลี่ยของมุมคือ $\frac{180^\circ}{3} = \boxed{60^\circ}$ | \frac{180^\circ}{3} = \boxed{60^\circ} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีค่าของ $a$ สองค่า ซึ่งสมการ $4x^2+ax+8x+9=0$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว จงหาผลรวมของค่า $a$ ทั้งสองนั้น | จากสูตรกำลังสอง \[x=\frac{-(a+8)\pm \sqrt{(a+8)^2-4\cdot 4\cdot 9}}{2\cdot 4}. \]สมการจะมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว เมื่อค่าของตัวเลือก (discriminant), $(a+8)^2-144$, เป็น 0 นั่นคือ $a=-20$ หรือ $a=4$ และผลรวมคือ $\boxed{-16}$. | \boxed{-16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งยาว 18 เซนติเมตร พื้นที่ของวงกลมวงนี้เป็นเท่าไรในหน่วยเซนติเมตรตาราง แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่ายในรูปของ $\pi$ | ถ้า $r$ คือรัศมีของวงกลม เส้นรอบวงคือ $2\pi r$ เมื่อกำหนดให้ $2\pi r$ เท่ากับ 18 เซนติเมตร เราพบว่า $r=9/\pi$ เซนติเมตร พื้นที่ของวงกลมคือ $\pi r^2=\pi\left(\dfrac{9}{\pi}\right)^2=\boxed{\dfrac{81}{\pi}}$ เซนติเมตรตาราง | \pi r^2=\pi\left(\dfrac{9}{\pi}\right)^2=\boxed{\dfrac{81}{\pi}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดสมการกำลังสอง $-6x^2+36x+216$ สามารถเขียนในรูป $a(x+b)^2+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นค่าคงตัว จงหา $a+b+c$ | เราทำการเติมกำลังสอง
การแยกตัวประกอบ $-6$ ออกจากพจน์กำลังสองและพจน์เชิงเส้นจะได้ $-6x^2 + 36x = -6(x^2-6x)$.
เนื่องจาก $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
-6(x-3)^2 &= -6x^2 + 36x - 54.
\end{align*}พจน์กำลังสองนี้ตรงกับพจน์กำลังสองที่กำหนด $-6x^2 + 36x + 216$ ในทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัว เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
-6x^2 + 36x + 216 &= (-6x^2 + 36x - 54) + 270 \\
&= -6(x-3)^2 + 270.
\end{align*}ดังนั้น $a=-6$, $b=-3$, $c=270$ และ $a+b+c = -6-3+270 = \boxed{261}$ | a+b+c = -6-3+270 = \boxed{261} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ต้องบวกเข้ากับ 412 เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นพหุคูณของ 3 คือจำนวนใด | สังเกตว่าการหาร 412 ด้วย 3 จะได้ผลหาร 137 และเศษ 1 ดังนั้นพหุคูณของ 3 ถัดไปจะต้องมากกว่า 412 เป็น $3-1=\boxed{2}$ | 3-1=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าจริงของ $a$ ค่าใดที่ทำให้นิพจน์ $\frac{a+3}{a^2-4}$ ไม่นิยาม จงแสดงคำตอบตามลำดับจากน้อยไปมากโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เมื่อส่วนเป็น 0 นิพจน์จะไม่นิยาม ดังนั้นเราตั้งส่วนให้เท่ากับ 0 แล้วแก้สมการ: $$a^2-4=(a-2)(a+2)=0.$$ ดังนั้นนิพจน์จะไม่นิยามเมื่อ $a=\boxed{-2, 2}.$ | a=\boxed{-2, 2}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จุด A อยู่ที่ $(0, 0)$ และจุด B อยู่บนเส้น $y = 4$ ความชันของส่วนของเส้นตรง $AB$ คือ $\frac{2}{3}$ ผลรวมของพิกัด $x$ และ $y$ ของจุด B คือเท่าใด | จุด B มีพิกัด $(x,4)$ เราทราบว่าความชันของ $AB$ คือ $\frac{2}{3}$ ดังนั้นเราทราบว่า: $\frac{4-0}{x-0} = \frac{2}{3}$ ดังนั้น $x = 6$ และผลรวมของพิกัดของจุด B คือ $\boxed{10}$ | \boxed{10} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 193 ผลคูณของจำนวนเต็มทั้งสองเท่ากับ 84 ผลบวกของจำนวนเต็มทั้งสองเท่ากับเท่าใด | กำหนดให้จำนวนเต็มทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ เราทราบว่า $x^2 + y^2 = 193$ และ $xy = 84$ เราต้องการหา $x + y$ สังเกตว่า $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 193 + 2\cdot 84 = 361$ การหารากที่สองของ 361 เราจะได้ว่า $x + y = \boxed{19}$ | x + y = \boxed{19} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาขอบเขตของฟังก์ชันค่าจริง $$f(x)=\sqrt{3-\sqrt{5-\sqrt{x}}}.$$ | เพื่อให้ค่าในรากที่สองชั้นในเป็นไม่เป็นลบ เราต้องมี $x\geq 0$. เพื่อให้สอดคล้องกับรากที่สองตรงกลาง เราต้องมี $$5-\sqrt{x}\geq 0$$ $$\Rightarrow 25\geq x.$$ สุดท้าย รากที่สองชั้นนอกต้องการ $$3-\sqrt{5-\sqrt{x}}\geq 0$$ หรือ $$9\geq 5-\sqrt{x}$$ $$\Rightarrow \sqrt{x}\geq -4,$$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ รวมเงื่อนไขของเรา เราได้ $$0\leq x\leq 25,$$ หรือ $x \in \boxed{[0, 25]}$ ในสัญกรณ์ช่วง | x \in \boxed{[0, 25]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
8400 และ 7560 มีตัวหารร่วมบวกกี่ตัว? | $$ \text{gcd}(7560, 8400) = 840 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 $$ตัวหารร่วมของ 7560 และ 8400 คือตัวหารของ GCD ของมัน: $$ t(840) = (3+1)(1+1)(1+1)(1+1) = \boxed{32}. $$ | 32 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.