question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาค่าของ $19^2-17^2+15^2-13^2+11^2-9^2+7^2-5^2+3^2-1^2?$ | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการจับคู่พจน์ในนิพจน์นี้และแยกตัวประกอบเป็นผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\phantom{=} \,\,\, (19^2-17^2)+(15^2-13^2)+(11^2-9^2)+(7^2-5^2)+(3^2-1^2) \\
&= 2(19 + 17) + 2(15 + 13) + 2(11 + 9) + 2(7 + 5) + 2(3 + 1)\\
&= 2(19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1) \\
&= 2(100) \\
&= \boxed{200}.
\end{align*} | 200 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $(x + 2)(3x^2 - x + 5) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ จงหาค่าของ $A + B + C + D$ | การกระจาย $(x + 2)(3x^2 - x + 5)$ จะได้ \begin{align*}
&x(3x^2)+x(-x)+x(5) +2(3x^2)+2(-x)+2(5) \\
&\qquad = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D .\end{align*} การคำนวณผลคูณทางซ้ายมือจะได้ \[3x^3-x^2+5x+6x^2-2x+10 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D .\]การทำให้ 식 ซ้ายมือเรียบง่ายจะได้ \[3x^3+5x^2+3x+10 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D,\]ดังนั้น $A=3$, $B=5$, $C=3$, และ $D=10$ และ $$A+B+C+D=3+5+3+10=\boxed{21}.$$ | 21 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\log_7\sqrt7$. | เรามี $7^\frac12=\sqrt7$ ดังนั้น $\log_7 \sqrt7 = \boxed{\frac12}$. | \log_7 \sqrt7 = \boxed{\frac12} | [
"ประยุกต์"
] |
กระจายผลคูณต่อไปนี้: $\frac{2}{5}\left(\frac{5}{x} + 10x^2\right)$ | เราใช้สมบัติการ distributive property เพื่อให้ได้: \begin{align*}
\frac{2}{5}\left(\frac{5}{x}+10x^2\right)&= \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{x}+\frac{2}{5}\cdot 10x^2\\
&= \boxed{\frac{2}{x} + 4x^2}.
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
ลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มบวกถูกสร้างขึ้น โดยพจน์แรกคือ 2 และพจน์ที่ห้าคือ 162 จงหาพจน์ที่หกของลำดับนี้ | ให้ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วม $r$ เราทราบว่า $2\cdot r^4=162$ หรือ $r=3$ ดังนั้น พจน์ที่หกคือ $2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486}$ | 2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในเมืองเพอร์เฟกต์วิลล์ ถนนทุกสายกว้าง 20 ฟุต และบล็อกที่ล้อมรอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ 400 ฟุต ดังแสดงในรูป ซาราห์วิ่งรอบบล็อกที่ด้านยาว 400 ฟุตของถนน ในขณะที่แซมวิ่งอยู่ฝั่งตรงข้ามของถนน แซมวิ่งมากกว่าซาราห์กี่ฟุตต่อรอบ? | ที่มุมถนนแต่ละมุม แซมวิ่งมากกว่าซาราห์ 40 ฟุต ในส่วนอื่น แซมวิ่งเท่ากับซาราห์ เนื่องจากมีมุม 4 มุม แซมวิ่ง $40\cdot4=\boxed{160}$ ฟุตมากกว่าซาราห์ | 40\cdot4=\boxed{160} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อจำนวนเต็มฐานสิบ 200 และ 1200 ถูกแทนในฐาน 2 จำนวน 1200 จะมีหลักมากกว่า 200 กี่หลัก (หลังจากแปลงแล้ว) | กำลังสองของ 2 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 1200 คือ $2^{10}=1024$ และกำลังสองของ 2 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 200 คือ $2^7=128$ ดังนั้นเราทราบว่า 1200 ในฐาน 2 จะเป็น 1 ในตำแหน่ง $2^{10}$ ตามด้วยหลักอื่นๆ และ 200 ในฐาน 2 จะเป็น 1 ในตำแหน่ง $2^7$ ตามด้วยหลักอื่นๆ เนื่องจาก $2^{10}$ อยู่ห่างจาก $2^7$ เป็น 3 ตำแหน่ง 1200 จะมี $\boxed{3}$ หลักมากกว่า 200 ในการแทนค่าฐาน 2 ของมัน | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $y=-16t^2+22t+45$ อธิบายถึงความสูง (เป็นฟุต) ของลูกบอลที่ถูกโยนขึ้นไปด้วยความเร็ว $22$ ฟุตต่อวินาที จากความสูง $45$ ฟุตเหนือพื้นดิน จงหาเวลา (เป็นวินาที) ที่ลูกบอลจะตกลงถึงพื้นดิน แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | สมการ $y=-16t^2+22t+45$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $y=(8t+9)(-2t+5)$ เนื่องจาก $t$ ต้องเป็นบวก จึงกำหนด $-2t+5=0$ เพื่อแทนจุดที่ลูกบอลถึงพื้นดิน ดังนั้น: \begin{align*}
-2t+5&=0\\
-2t&=-5\\
2t&=5\\
t&=\boxed{\frac{5}{2}}
\end{align*} | -2t+5=0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วินนี่มีลูกอมเชอร์รี่ 45 อัน ลูกอมวินเทอร์กรีน 116 อัน ลูกอมองุ่น 4 อัน และลูกอมกุ้งค็อกเทล 229 อัน เธอแจกจ่ายลูกอมให้กับเพื่อนสนิท 11 คน โดยไม่คำนึงถึงรสชาติ โดยแต่ละคนจะได้รับจำนวนลูกอมเท่ากัน และแจกจ่ายลูกอมให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ วินนี่จะเหลือลูกอมไว้กี่อัน? | เราต้องการทราบว่าเมื่อ $45+116+4+229$ หารด้วย 11 จะเหลือเศษเท่าไร เศษที่เหลือของแต่ละจำนวนนี้สามารถคำนวณได้ง่ายๆ ดังนั้น \[45+116+4+229\equiv1+6+4+9=20\equiv9\pmod{11}.\]ดังนั้น วินนี่จึงเหลือลูกอม $\boxed{9}$ อัน หลังจากแจกจ่ายไปแล้ว หวังว่าเธอจะไม่ได้เก็บลูกอมกุ้งค็อกเทลไว้ | \boxed{9} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จุดบนแกน $y$ ที่ห่างจากจุด $A(-2,0)$ และ $B(-1,4)$ เท่ากัน มีพิกัด $y$ เท่าใด | เนื่องจากจุดที่เราต้องการหาอยู่บนแกน $y$ เราทราบว่ามีรูปแบบ $(0,y)$ เราใช้สูตรระยะทาง ระยะทางจาก $A$ คือ \[\sqrt{(-2-0)^2+(0-y)^2} = \sqrt{y^2+4}\]ระยะทางจาก $B$ คือ \[\sqrt{(-1-0)^2 + (4-y)^2} = \sqrt{y^2-8y+17}\]เนื่องจากจุดห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน เราตั้งสมการระยะทางทั้งสองให้เท่ากัน: $y^2-8y+17 = y^2 + 4$ เมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $8y=13$ หรือ $y = \boxed{\frac{13}{8}}$ | y = \boxed{\frac{13}{8}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวน palindrome คือจำนวนที่อ่านจากหน้าไปหลังและจากหลังไปหน้าเหมือนกัน จงหา palindrome ที่มี 5 หลักในระบบเลขฐาน 2 ที่น้อยที่สุด ซึ่งสามารถแสดงเป็น palindrome ที่มี 3 หลักในระบบเลขฐานอื่น แสดงคำตอบในระบบเลขฐาน 2 | palindrome ที่มี 5 หลักในระบบเลขฐาน 2 ที่น้อยที่สุดคือ $10001_2$ ซึ่งเท่ากับ $2^4+2^0=17_{10}$ ตอนนี้ลองแปลง 17 เป็นระบบเลขฐานอื่น ในระบบเลขฐาน 3 เราได้ $122_3$ และในระบบเลขฐาน 4 เราได้ $101_4$ ซึ่งเป็น palindrome ดังนั้น $\boxed{10001_2}$ จึงเป็นคำตอบ | \boxed{10001_2} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(8, 5)$ และ $(2, -1)$ | เราพบว่าจุดกึ่งกลางคือ $\left(\frac{8+2}{2},\frac{5-1}{2}\right) = (5, 2)$. ดังนั้น คำตอบของเราคือ $5 + 2 = \boxed{7}$. | 5 + 2 = \boxed{7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย (7,-6) และ (-3,4) | จุดกึ่งกลางคือ $\left(\frac{7+(-3)}{2},\frac{-6+4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{-2}{2}\right)=\boxed{(2,-1)}$. | \left(\frac{7+(-3)}{2},\frac{-6+4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{-2}{2}\right)=\boxed{(2,-1)} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $(8-x)^2=x^2$ | ขยายกำลังสองทางซ้ายมือ เราได้ $64- 16x + x^2 = x^2$ พจน์ $x^2$ ยกเลิกกันและเหลือ $64-16x = 0$ ดังนั้น $x = \boxed{4}$ | x = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าเราแสดง $2x^2 + 6x + 11$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้ว $h$ มีค่าเท่าใด | เราทำการเติมกำลังสอง ก่อนอื่น เราแยกตัวประกอบ 2 ออกจากพจน์ $2x^2 + 6x$ เพื่อให้ได้ $2(x^2 + 3x)$ เราสามารถยกกำลังสองของ $x + 3/2$ เพื่อให้ได้ $x^2 + 3x + 9/4$ ดังนั้น $h = \boxed{-\frac{3}{2}}$ | h = \boxed{-\frac{3}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดการดำเนินการ $a\nabla b = 2 + b^a$ จงหาค่าของ $(1\nabla 2) \nabla 3$? | เราจะเห็นว่า
$$1\nabla 2=2+2^1=4$$
จากนั้น,
$$4\nabla 3=2+3^4=83$$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{83}$. | \boxed{83} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $\frac{1}{x} + \frac{2}{x} \div \frac{4}{x} = 0.75$ | เปลี่ยนเครื่องหมายหารเป็นการคูณและทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
\frac{1}{x}+\frac{2}{x}\cdot\frac{x}{4}&=.75 \\
\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{2}&=.75\\
\Rightarrow \frac{1}{x}&=.25\\
\Rightarrow x&=\boxed{4}.
\end{align*} | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อรถยนต์ใช้เบรก ระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ในแต่ละวินาทีจะน้อยลง 7 ฟุต จากวินาทีที่แล้ว จนกระทั่งรถหยุดนิ่ง รถยนต์วิ่งไปได้ 28 ฟุตในวินาทีแรกหลังจากที่ใช้เบรก รถยนต์จะวิ่งไปได้ระยะทางเท่าใดตั้งแต่ใช้เบรกจนถึงเวลาที่รถหยุด? | จำนวนฟุตที่รถยนต์วิ่งในแต่ละวินาทีเป็นลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรก 28 และผลต่างร่วม $-7$ เราจะรวมพจน์บวกทั้งหมดในลำดับนี้ (พจน์เหล่านี้แทนจำนวนฟุตที่รถยนต์วิ่งในแต่ละวินาที) ดังนั้นเราต้องการหาผลรวม $28+21+14+7 = \boxed{70}$ | 28+21+14+7 = \boxed{70} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในเมืองแห่งหนึ่ง อัตราการ課税 คือดังนี้: $x\%$ ภาษีจะถูกเก็บสำหรับรายได้ $x$ พันดอลลาร์ รายได้เท่าใดเป็นดอลลาร์ที่จะให้ผลตอบแทนสุทธิสูงสุด (ผลตอบแทนสุทธิคือ รายได้ลบด้วยภาษีที่เรียกเก็บจากรายได้นั้น) | จำนวนภาษีที่เรียกเก็บคือ $\frac{x}{100} \cdot 1000x = 10x^2,$ ดังนั้นผลตอบแทนสุทธิคือ
\[1000x - 10x^2.\]ทำการเติมกำลังสอง เราได้
\begin{align*}
1000x - 10x^2 &= -10(x^2 - 100x) \\
&= -10(x^2 - 100x + 2500) + 25000 \\
&= -10(x - 50)^2 + 25000.
\end{align*}ผลตอบแทนสุทธิสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อ $x = 50,$ ซึ่งสอดคล้องกับรายได้ $\boxed{50000}$ ดอลลาร์ | \boxed{50000} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\log_{7}{2400}$ ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | เรารู้ว่า $\log_{7}343=3$ และ $\log_{7}2401=4$. เนื่องจาก $\log_{7}x$ เพิ่มขึ้นเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น เราทราบว่า $3<\log_{7}2400<4$. นอกจากนี้ เราเห็นได้ว่า $2400$ ใกล้เคียงกับ $2401$ มากกว่า $343$ ดังนั้น $\log_{7}2400$ ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดคือ $\boxed{4}$. | \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $C$ เป็นวงกลมที่มีสมการ $x^2+12y+57=-y^2-10x$ ถ้า $(a,b)$ เป็นจุดศูนย์กลางของ $C$ และ $r$ เป็นรัศมี จงหาค่าของ $a+b+r$ | เราสามารถเขียนสมการ $x^2+10x+y^2+12y=-57$ ใหม่เป็น $(x+5)^2-25+(y+6)^2-36=-57$ หรือ $(x+5)^2+(y+6)^2=4$ นี่คือสมการของวงกลมที่มีรัศมี $r=2$ และจุดศูนย์กลาง $(a,b)=(-5,-6)$ ดังนั้น $a+b+r=-5+-6+2=\boxed{-9}$ | a+b+r=-5+-6+2=\boxed{-9} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในเกม Frood การทิ้ง Frood $n$ ตัวจะได้คะแนนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก $n$ ตัวแรก ตัวอย่างเช่น การทิ้ง Frood 5 ตัวจะได้คะแนน $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ คะแนน การกิน Frood $n$ ตัวจะได้ $10n$ คะแนน ตัวอย่างเช่น การกิน Frood 5 ตัวจะได้ $10(5) = 50$ คะแนน จำนวน Frood น้อยที่สุดที่ต้องทิ้งเพื่อให้ได้คะแนนมากกว่าการกินคือเท่าไร? | การทิ้ง Frood $n$ ตัวจะได้ $1 + 2 +\ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ คะแนน การกิน Frood $n$ ตัวจะได้ $10n$ คะแนน ดังนั้นเราต้องการหา $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $\frac{n(n+1)}{2} > 10n$ แก้สมการจะได้ว่า $n > 19$ ดังนั้น $n = \boxed{20}$ เป็นคำตอบที่ต้องการ | n = \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(1,1)$ และ $(4,7)$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ระยะห่างในแนวนอนระหว่าง $(1,1)$ และ $(4,7)$ คือ $4-1=3$ หน่วย ระยะห่างในแนวตั้งระหว่างจุดทั้งสองคือ $7-1=6$ หน่วย ดังนั้น เส้นที่จุดปลายเป็น $(1,1)$ และ $(4,7)$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 หน่วย และ 6 หน่วย ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของส่วนนี้คือ $\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{3\sqrt{5}}$ | \sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{3\sqrt{5}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับกำลังสองของความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้น ปริมณฑลของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับผลรวมของความยาวของด้านทั้งสี่ ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปเท่ากับ 65 ในขณะที่ผลต่างของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสองเท่ากับ 33 จงหาผลรวมของปริมณฑลของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสอง | กำหนดให้ความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่กว่าเป็น $x$ และความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กกว่าเป็น $y$ เราทราบว่า $x^2 + y^2 = 65$ และ $x^2 - y^2 = 33$ การบวกสมการทั้งสองนี้จะได้ $2x^2 = 98$ ดังนั้น $x^2 = 49$ เนื่องจาก $x$ ต้องเป็นบวก เราได้ $x=7$ การแทนค่านี้ลงในสมการใดๆ ข้างต้นจะได้ $y^2 = 16$ เนื่องจาก $y$ ต้องเป็นบวก เราได้ $y=4$ ปริมณฑลของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่กว่าคือ $4x$ และปริมณฑลของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กกว่าคือ $4y$ ดังนั้นผลรวมของปริมณฑลของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสองคือ $4x+4y = 4(x+y) = \boxed{44}$ | 4x+4y = 4(x+y) = \boxed{44} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จอร์จซื้อถุงแอปเปิล, หวีกล้วย, แตงโม, และกล่อง棗 ในราคา 20 ดอลลาร์ ถ้ากล่อง棗มีราคาแพงเป็นสองเท่าของถุงแอปเปิล และราคาแตงโมเท่ากับราคาถุงแอปเปิลลบหวีกล้วย จอร์จจะต้องจ่ายเท่าไรในการซื้อหวีกล้วยและแตงโม? | ให้ $a$ แทนราคาถุงแอปเปิล, $b$ แทนราคาหวีกล้วย, $c$ แทนราคาแตงโม, และ $d$ แทนราคาของกล่อง棗 เราสามารถแสดงข้อมูลที่กำหนดในโจทย์โดยระบบสมการเชิงเส้นดังนี้: \begin{align*}
a+b+c+d &= 20\\
2a &= d\\
a-b &= c
\end{align*}
แทนค่า $c$ และ $d$ ในสมการแรกด้วยค่าที่ได้จะได้ $a + b + a - b + 2a = 20$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $4a = 20$ ดังนั้น $a = 5$ จากตรงนี้เราใช้ $a$ เพื่อหา $d = 2 \cdot 5 = 10$ เราใส่ค่าเหล่านี้ลงในสมการแรกเพื่อให้ได้ $5 + b + c + 10 = 20$ ดังนั้น $b + c = \boxed{ \$ 5}$. | b + c = \boxed{ \ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนหนึ่งของกราฟของ $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ แสดงไว้ด้านล่าง
ค่าของ $8a-4b+2c-d$ คือเท่าใด?
[asy]
import graph; size(7cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.25,xmax=4.25,ymin=-9.25,ymax=4.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return x*(x-1)*(x-2)/8;} draw(graph(f1,-3.25,4.25),linewidth(0.75));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] | สังเกตว่า $f(-2) = a(-8)+b(4)+c(-2)+d$ ดังนั้น $$8a-4b+2c-d = -f(-2).$$เนื่องจากจุด $(-2,-3)$ อยู่บนกราฟของ $f(x)$ เราอนุมานว่า $$-f(-2) = -(-3) = \boxed{3}.$$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2 - 2x + y^2 - 4y - 28 = 0$. | ทำการเติมกำลังสอง เราจะได้ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 33$ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\boxed{(1, 2)}$. | \boxed{(1, 2)} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt{3^3 + 3^3 + 3^3}$ | เนื่องจาก $3^3 = 3\times 3\times 3 = 3\times 9 = 27$ ดังนั้น \[ \sqrt{3^3+3^3+3^3} = \sqrt{27+27+27}=\sqrt{81}=\boxed{9}. \] | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $\sqrt{\frac{2}{x} + 2} = \frac{3}{2}$ จงหาค่าของ $x$ | ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการจะได้ $\frac 2x + 2 = \frac 94$ ลบ $2$ จากทั้งสองข้างจะได้ $\frac 2x = \frac 14$ ดังนั้น $x = \boxed{8}$ | x = \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต $-1 -3-9-27 -81-243-729$. | พจน์แรกคือ $-1$ , อัตราส่วนร่วมคือ $3$ และมีพจน์ทั้งหมด 7 พจน์ ดังนั้นผลบวกเท่ากับ \[\frac{(-1)(3^7-1)}{3-1} = \frac{-2186}{2} = \boxed{-1093}.\] | -1093 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a \ne b$ เป็นจำนวนจริงคู่ใดๆ และกำหนดการดำเนินการ $\star$ ดังนี้ \[
(a \star b) = \frac{a + b}{a - b}.
\]จงหาค่าของ $((1 \star 2) \star 3)$ | ก่อนอื่น \[
(1 \star 2) = \frac{1 + 2}{1 - 2} = -3.
\]จากนั้น \[
((1 \star 2) \star 3) = (-3 \star 3) = \frac{-3 + 3}{-3 - 3} = \frac{0}{-6} = \boxed{0}.
\] | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
จงหาค่าของ $\frac{5}{6}$ ของ 30 | เราทราบว่า "of" หมายถึง "times" ดังนั้น \[\frac{5}{6}\cdot 30 = \frac{5\cdot 30}{6} = 5\cdot \frac{30}{6} = 5\cdot 5 = \boxed{25}.\]เราอาจคำนวณได้โดยตรง \[\frac{5}{6}\cdot 30 = \frac{5\cdot 30}{6} = \frac{150}{6} = 150\div 6 = \boxed{25}.\] | 25 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวและความกว้างเป็นจำนวนเต็ม มีเส้นรอบรูป 100 หน่วย จงหาจำนวนหน่วยตารางของพื้นที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูปคงที่จะมีพื้นที่น้อยที่สุดเมื่อมิติหนึ่งยาวที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และอีกมิติหนึ่งสั้นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เพื่อดูสิ่งนี้ ให้ $x$ เป็นมิติที่สั้นกว่า และ $y$ เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และสังเกตว่า $y=x(50-x)$ กราฟของ $y=x(50-x)$ เป็นพาราโบลาที่หงายลงที่มีจุดยอดที่ $(25,625)$ และดังนั้นจึงมีขนาดเล็กที่สุดเมื่อ $x$ มีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนเต็ม ค่าต่ำสุดของมันคือ 1 ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เกี่ยวข้องที่มีพื้นที่น้อยที่สุดคือ 1 x 49 พื้นที่ของมันคือ $49\cdot 1=\boxed{49}$ หน่วยตาราง | 49\cdot 1=\boxed{49} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วิศวกรคนหนึ่งลงทุนเงิน $\$10,\!000$ ในใบรับรองการออมระยะสั้น 6 เดือน ซึ่งให้ผลตอบแทนอัตราดอกเบี้ยแบบง่ายต่อปีที่ $12\%$. หลังจาก 6 เดือน เธอลงทุนมูลค่าทั้งหมดของการลงทุนของเธอในใบรับรองระยะสั้น 6 เดือนอีกใบ หลังจาก 6 เดือน มูลค่าการลงทุนอยู่ที่ $\$11,\!130$. ถ้าอัตราดอกเบี้ยต่อปีของใบรับรองใบที่สองคือ $r\%$, แล้ว $r$ มีค่าเท่าใด? | ใน 6 เดือนแรก อัตราดอกเบี้ย (แบบง่าย) คือ $12/2 = 6$ เปอร์เซ็นต์ ดังนั้น การลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot 1.06 = 10600$.
ให้อัตราดอกเบี้ยต่อปีของใบรับรองใบที่สองเป็น $r$ เปอร์เซ็นต์ จากนั้นอัตราดอกเบี้ยสำหรับ 6 เดือนคือ $r/2$ ดังนั้นการลงทุนจะเติบโตเป็น $10600 \cdot \left( 1 + \frac{r/2}{100} \right)$. ดังนั้น \[10600 \cdot \left( 1 + \frac{r/2}{100} \right) = 11130.\] จากนั้น \[1 + \frac{r/2}{100} = \frac{11130}{10600} = 1.05,\] ดังนั้น $r/200 = 0.05$ ซึ่งหมายความว่า $r = \boxed{10}$. | r = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบอลถูกปล่อยจากความสูง 1000 ฟุต และจะเด้งกลับขึ้นมาครึ่งหนึ่งของระยะทางที่ตกลงมาเสมอ หลังจากเด้งกี่ครั้ง ลูกบอลจะถึงความสูงสูงสุดน้อยกว่า 1 ฟุตเป็นครั้งแรก? | เรามีลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 1000 และอัตราส่วนร่วม $1/2$ พจน์ใดๆ ในลำดับนี้สามารถแทนได้ด้วย $1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k$ โดยที่ $k$ คือจำนวนครั้งที่เด้ง (ตัวอย่างเช่น เมื่อ $k=1$, $1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k=500$ หรือความสูงของการเด้งครั้งที่ $k=1^\text{st}$ ) เราต้องหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k<1$ ผ่านการทดลองและข้อผิดพลาด เราพบว่า $k=10$ ดังนั้นใช้การเด้ง $\boxed{10}$ ครั้ง ก่อนที่ความสูงสูงสุดจะน้อยกว่า 1 ฟุต | \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ราคาของดินสอห้าแท่งและปากกาหนึ่งด้ามคือ $2.50 และราคาของดินสอหนึ่งแท่งและปากกาสองด้ามคือ $1.85 จงหาว่าราคาของดินสอสองแท่งและปากกาหนึ่งด้ามคือเท่าไร | ให้ราคาของดินสอหนึ่งแท่งเป็น $a$ และราคาของปากกาหนึ่งด้ามเป็น $b$ เราสามารถตั้งระบบสมการสองสมการเพื่อแทนข้อมูลที่กำหนด สมการคือ:
\begin{align*}
5a + b &= 2.5 \\
a + 2b &= 1.85 \\
\end{align*}
เราพยายามที่จะหาค่าของ $2a + b$ สังเกตว่าเมื่อเราบวกทั้งสองสมการเข้าด้วยกัน เราจะได้ $6a+3b=4.35$ นี่คือสามเท่าของสิ่งที่เราต้องการหา ดังนั้น หารทั้งสองข้างของสมการสุดท้ายด้วยสาม เราจะได้ว่า $2a+b=1.45$ ดังนั้น ราคาของดินสอสองแท่งและปากกาหนึ่งด้ามคือ $\boxed{1.45}$ ดอลลาร์
หรือเราสามารถแก้ระบบสมการของเราสำหรับ $a$ และ $b$ และจากนั้นหาค่าของ $2a+b$ ในกรณีนี้ เราจะได้ว่า $a=.35$ และ $b=.75$ ดังนั้น $2a+b=1.45$ ตามที่คาดไว้ | 2a+b=1.45 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $\log_{12}3x=2$ | เขียนสมการในรูปเลขชี้กำลังจะได้ $12^2=3x$ เนื่องจาก $3x=144$ ดังนั้น $x=\boxed{48}$ | x=\boxed{48} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
ผลรวมของรากของ $x^2 - 4x + 3 = 0$ คือเท่าใด | ผลรวมของรากของสมการ $ax^2+bx+c=0$ คือ $\frac{-b}{a}$ แทนค่าที่กำหนดให้ เราจะได้คำตอบคือ $\frac{-(-4)}{1}=\boxed{4}$ | \frac{-(-4)}{1}=\boxed{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(-5,-2)$ และ $(7,3)$ | เราใช้สูตรระยะทางเพื่อหาว่าระยะทางคือ \[\sqrt{(-5 -7)^2 + (-2-3)^2} = \!\sqrt{144 + 25} = \boxed{13}.\] | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
จงหาค่าของ $\lfloor\sqrt{17}\rfloor^2$. | เนื่องจาก $\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$ หรือ $4<\sqrt{17}<5$ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\sqrt{17}$ คือ $4$ ดังนั้น $4^2=\boxed{16}$ | 4^2=\boxed{16} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $m$ และ $n$ สอดคล้องกับ $mn=4$ และ $m+n=5$ จงหาค่าของ $|m-n|$ | เรามีสมการสองสมการและตัวแปรสองตัว ดังนั้นเราสามารถแก้หา $m$ และ $n$ ได้โดยตรงแล้วคำนวณ $|m-n|$ เพื่อหาคำตอบได้ อย่างไรก็ตาม การทำเช่นนั้นจะยุ่งยาก ดังนั้นเราจึงมองหาแนวทางอื่น เรา squaring สมการที่สองเพื่อให้ได้ $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 25$ เนื่องจาก $mn=4$ เราสามารถลบ $4mn = 16$ ออกได้เพื่อให้ได้ $$m^2 -2mn +n^2 = 9\Longrightarrow (m-n)^2=9$$ นี่หมายความว่า $m-n =\pm3$ ดังนั้น $|m-n|=\boxed{3}$ | |m-n|=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า 5 lunks สามารถแลกได้ 3 kunks และ 2 kunks จะซื้อ 4 apples ได้ จงหาว่าต้องใช้ lunks กี่ตัวในการซื้อแอปเปิ้ล 1 โหล | 1 โหลของแอปเปิ้ลมี 12 แอปเปิ้ล ซึ่งมีราคา 6 kunks (เนื่องจาก 4 แอปเปิ้ลมีราคา 2 kunks) ซึ่งมีราคา 10 lunks (เนื่องจาก 3 kunks มีราคา 5 lunks) | 5\cdot2=\boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $(x + 2)(3x^2 - x + 5) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ แล้วค่าของ $A + B + C + D$ เท่ากับเท่าใด | การกระจาย $(x + 2)(3x^2 - x + 5)$ จะได้ \begin{align*}
&x(3x^2)+x(-x)+x(5) +2(3x^2)+2(-x)+2(5) \\
&\qquad = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D .\end{align*}การคำนวณผลคูณทางซ้ายมือจะได้ \[3x^3-x^2+5x+6x^2-2x+10 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D .\]การทำให้ 식 ซ้ายมือง่ายขึ้นจะได้ \[3x^3+5x^2+3x+10 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D,\]ดังนั้น $A=3$, $B=5$, $C=3$, และ $D=10$ และ $$A+B+C+D=3+5+3+10=\boxed{21}.$$ | 21 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $$\frac{c}{3} \le 2+c < -2(1+c).$$แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วงเวลา และทำให้ง่ายที่สุดสำหรับเศษส่วนใดๆ ที่ปรากฏในคำตอบของคุณ | เรามีอสมการสองข้อที่ $c$ ต้องสอดคล้อง เราพิจารณาอสมการเหล่านี้ทีละข้อ
อสมการข้อแรกคือ $\frac{c}{3}\le 2+c$ คูณทั้งสองข้างด้วย $3$ เราได้ $$c\le 6+3c.$$ลบ $3c$ จากทั้งสองข้างได้ $$-2c\le 6.$$เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $-2$ ได้ แต่เราต้องกลับทิศทางของอสมการเนื่องจาก $-2$ เป็นลบ ซึ่งจะได้ $c\ge -3$.
อสมการข้อที่สองคือ $2+c < -2(1+c)$ ขยายข้างขวาเราได้ $$2+c < -2-2c.$$บวก $2c-2$ เข้ากับทั้งสองข้างได้ $$3c<-4.$$หารทั้งสองข้างด้วย $3$ ได้ $c<-\frac{4}{3}$.
ดังนั้น $c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับทั้งสองอสมการคือ $-3\le c<-\frac{4}{3}$ หรือในรูปสัญกรณ์ช่วงเวลา $c\in\boxed{\left[-3,-\frac{4}{3}\right)}$. | c\in\boxed{\left[-3,-\frac{4}{3}\right)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $\left\lceil\left(-\frac{5}{3}\right)^2\right\rceil$. | ค่าภายในวงเล็บเพดานคำนวณได้ดังนี้ $$\left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} = 3 - \frac{2}{9}$$เนื่องจากค่านี้เป็นจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนไม่เป็นลบ น้อยกว่าหนึ่ง ค่าเพดานของมันเท่ากับจำนวนเต็ม นั่นคือ $\boxed{3}$. | \boxed{3} | [
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $$64^{1/2}\cdot27^{-1/3}\cdot16^{1/4}.$$ | คำนวณตัวประกอบแยกกัน: $64^{1/2}=(8^2)^{1/2}=8$, ในขณะที่ $27^{-1/3}=\frac{1}{(3^3)^{1/3}}=\frac13$, และ $16^{1/4}=(2^4)^{1/4}=2$. คูณตัวประกอบที่ทำให้ง่ายขึ้นเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้คำตอบของ $\boxed{\frac{16}{3}}$. | \boxed{\frac{16}{3}} | [
"ประยุกต์"
] |
เมื่อทำให้ง่ายสุด ค่าของ $\sqrt{3} \times 3^{\frac{1}{2}} + 12 \div 3 \times 2 - 4^{\frac{3}{2}}$ คือเท่าไร? | เราสังเกตว่า $\sqrt{3}\times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 3^1 = 3$ และ $4^{3/2} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2\cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$ ดังนั้น \begin{align*}
\sqrt{3} \times 3^{\frac{1}{2}} + 12 \div 3 \times 2 - 4^{\frac{3}{2}} &= 3 + 12\div 3 \times 2 - 8\\
&=3 + 4\times 2 - 8\\
&=3+8-8 = \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สามจำนวนธรรมชาติที่ต่างกัน $x$, $y$ และ $z$ แต่ละจำนวนมีตัวประกอบเป็นจำนวนธรรมชาติที่ต่างกันเพียงสามตัว จงหาว่า $x^{2}y^{3}z^{4}$ มีตัวประกอบกี่ตัว | จากสูตรการหาจำนวนตัวหารบวกทั้งหมด เราทราบว่าจำนวนธรรมชาติที่มีตัวประกอบบวกเพียงสามตัวมีเพียงจำนวนในรูป $p^{2}$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ บางตัว ดังนั้น $x=p_1^2$, $y=p_2^2$, และ $z=p_3^2$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p_1$, $p_2$, $p_3$ ที่ต่างกัน จากนั้น $x^2y^3z^4=p_1^4\cdot p_2^6\cdot p_3^8$ ซึ่งมี $(4+1)(6+1)(8+1)=\boxed{315}$ ตัวประกอบบวก | (4+1)(6+1)(8+1)=\boxed{315} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดสี่จุด $A(-4,0), B(0,-4), X(0,8),$ และ $Y(14,k)$ อยู่บนระนาบデカร์ท ถ้าส่วนของเส้นตรง $AB$ ขนานกับส่วนของเส้นตรง $XY$ จงหาค่าของ $k$ | เส้นตรงที่ขนานกันจะมีความชันเท่ากัน ในกรณีนี้ $AB$ มีความชันเท่ากับ $(0 - (-4))/(-4 - 0) = -1$ ค่าความชันนี้จะต้องเป็นความชันของ $XY$ ด้วย ตอนนี้เราสามารถใช้สมการ $y_2 - y_1 = m(x_2 - x_1)$ เพื่อหาค่าของ $k$ แทนค่าพิกัดของ $Y$ และ $X$ เราจะได้ว่า $k - 8 = -1(14 - 0)$ ดังนั้น $k = -14 + 8 = -6$ เราสามารถเห็นได้ว่าจาก $(0, 8)$ ถึง $(14, k)$ เราเคลื่อนที่ไปทางขวา 14 หน่วย ดังนั้นเราต้องเคลื่อนที่ลง 14 หน่วยเพื่อให้ได้ความชันเท่ากับ $-14/14 = -1$ การเคลื่อนที่ลง 14 หน่วยจาก $(0, 8)$ จะได้ $(0, 8 - 14)$ หรือ $(0, -6)$ ดังนั้น $k = \boxed{-6}$ | k = \boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อทำให้ง่ายสุด $\sqrt[3]{24a^4b^6c^{11}}$ ผลรวมของเลขยกกำลังของตัวแปรที่อยู่ภายนอกรากที่สามเท่ากับเท่าใด | แยกตัวประกอบ radicand เพื่อให้ได้ $\sqrt[3]{24a^4b^6c^{11}} = \sqrt[3]{(2^3a^3b^6c^9)3ac^2} = 2ab^2c^3\sqrt[3]{3ac^2}$ ผลรวมของเลขยกกำลังของ $a$, $b$ และ $c$ ที่อยู่ภายนอกรากที่สามเท่ากับ $1+2+3=\boxed{6}$ | 1+2+3=\boxed{6} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คำตอบของ $x(3x-7)=-3$ อาจจะแสดงในรูป $\frac{m+\sqrt{n}}{p}$ และ $\frac{m-\sqrt{n}}{p}$ โดยที่ $m$, $n$, และ $p$ มีตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1 จงหา $m+n+p$ | กระจายทางซ้ายมือและบวก 3 ทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $3x^2-7x+3=0$. เนื่องจากมันไม่แยกตัวประกอบได้ง่ายๆ เราจึงใช้สูตรกำลังสอง: \[
\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{7\pm\sqrt{7^{2}-4 \cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3} = \frac{7 \pm\sqrt{13}}{6}.
\] เนื่องจาก $7$, $13$, และ $6$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน $m=7$, $n=13$, และ $p=6$ ดังนั้น $m+n+p=7+13+6=\boxed{26}$. | m+n+p=7+13+6=\boxed{26} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2 - 6x + y^2 + 2y = 9$ | ทำการเติมกำลังสอง เราจะได้ $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 19$ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\boxed{(3, -1)}$ | \boxed{(3, -1)} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลคูณของรากของสมการ $18t^2 + 45t -500 =0$. | ผลคูณของรากเท่ากับพจน์คงที่หารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสอง หรือ $(-500)/18 = \boxed{-\frac{250}{9}}$. | (-500)/18 = \boxed{-\frac{250}{9}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงแก้สมการ $3^{2x} = \sqrt{27}$ และแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจาก $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}} = (3^3)^\frac{1}{2} = 3^{\frac{3}{2}}$ เราได้ว่า $3^{2x}=3^{\frac{3}{2}}$ ดังนั้น $2x=\frac{3}{2}$ และ $x=\boxed{\frac{3}{4}}$ | x=\boxed{\frac{3}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่า $x$ ที่มากที่สุดที่ทำให้นิพจน์ \[\dfrac{x+1}{8x^2-65x+8}\] ไม่นิยามคือเท่าไร? | ในกรณีนี้ เศษส่วนจะไม่นิยามก็ต่อเมื่อส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์ เพราะเหตุนี้ เราสามารถละเลยตัวเศษได้ เราเริ่มต้นด้วยการกำหนดให้ทวินามในส่วนของเศษส่วนเท่ากับ 0: \begin{align*} 8x^2-65x+8=0
\\\Rightarrow\qquad (8x-1)(x-8)=0
\end{align*} เราพบว่าค่าที่เป็นไปได้สองค่าสำหรับ $x$ คือ $\frac18$ และ $8$ เนื่องจากคำถามถามหาค่าที่มากที่สุด คำตอบสุดท้ายคือ $\boxed{8}$ | \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มาร์กาเร็ตเริ่มต้นสะสมแสตมป์ เธอสะสมแสตมป์ 8 แสตมป์ในวันแรก ในแต่ละวันถัดมา เธอสะสมแสตมป์เพิ่มขึ้น 8 แสตมป์จากจำนวนที่เธอสะสมในวันก่อนหน้า หากเธอสะสมแสตมป์เป็นเวลา 5 วันติดต่อกัน จำนวนแสตมป์เฉลี่ยที่เธอสะสมต่อวันคือเท่าไร | พิจารณาลำดับ 8, 16, 24, ... ของจำนวนแสตมป์ที่มาร์กาเร็ตสะสมในแต่ละวัน ค่าเฉลี่ยของลำดับเลขคณิตเท่ากับค่ามัธยฐาน ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของลำดับเลขคณิตห้าพจน์นี้เท่ากับพจน์ที่สาม \boxed{24} | \boxed{24} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด (0,4) และ (3,0) | เราใช้สูตรระยะทาง: $\sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \boxed{5}$.
- OR -
เราสังเกตว่าจุด (0, 4), (3, 0) และ (0, 0) รูปแบบสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 และ 4 ซึ่งเป็นสามเท่าพีทาโกรัส ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากต้องยาว $\boxed{5}$. | \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
อนุกรมเรขาอนันต์มีอัตราส่วนร่วม $-1/5$ และผลบวก 16 จงหาพจน์แรกของอนุกรม | ให้พจน์แรกเป็น $a$ เนื่องจากผลบวกของอนุกรมคือ 16 เราได้ $16= \frac{a}{1-(-1/5)} = \frac{a}{6/5} = \frac{5a}{6}$ ดังนั้น $a=\boxed{\frac{96}{5}}$ | a=\boxed{\frac{96}{5}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $a \Delta b = a^2 -b $. จงหาค่าของ $ (2^{4 \Delta13})\Delta(3^{3\Delta5})$ | เราได้ว่า $4 \Delta 13 = 4^2-13=16-13=3$ และ $3 \Delta 5 = 3^2-5 = 9-5=4$. ดังนั้น เราต้องการหาค่า $(2^3) \Delta (3^4) = 2^6-3^4 = 64-81 = \boxed{-17}$. | (2^3) \Delta (3^4) = 2^6-3^4 = 64-81 = \boxed{-17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหา $2^x$ ถ้า
\begin{align*}
2^x+3^y&=5,\\
2^{x+2}+3^{y+1} &=18.
\end{align*} | กำหนดให้ $2^x=a$ และ $3^y=b$ เนื่องจาก $2^{x+2}=2^2(2^x)$ และ $3^{y+1}=3(3^y)$ สมการจะกลายเป็น
\begin{align*}
a+b&=5,\\
4a+3b&=18.
\end{align*}คูณสมการแรกด้วย 3 แล้วลบออกจากสมการที่สอง เราจะได้ $a=\boxed{3}$ และ $b = 2$ แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการเดิม เราจะพบว่าตรงตามเงื่อนไข | b = 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของจำนวนสองจำนวน $x$ และ $y$ เท่ากับ 399 และค่าของเศษส่วน $\frac{x}{y}$ เท่ากับ 0.9 จงหาค่าของ $y - x$ | เรามีระบบสมการ: \begin{align*}
x + y &= 399 \\
\frac{x}{y} &= 0.9 \\
\end{align*} จากสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างด้วย $y$ จะได้ $x=.9y$. ต่อไป แทนสมการที่สองลงในสมการแรกเพื่อกำจัด $x$ จะได้ $.9y+y=399$ หรือ $y=210$. นำค่านี้ไปแทนในสมการแรกของระบบสมการเดิม จะได้ $x+210=399$ หรือ $x=189$. ดังนั้น $y-x=210-189=\boxed{21}$. | y-x=210-189=\boxed{21} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $d\not=0$ เราสามารถเขียน $\left(12d+13+14d^2\right)+\left(2d+1\right)$ ในรูป $ad+b+cd^2$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหา $a+b+c$ | การบวกพจน์ $d$ จะได้ $14d$ การบวกพจน์คงที่ จะได้ $14$ การบวกพจน์ $d^2$ จะได้ $14d^2$ การบวกพจน์ทั้งหมดจะได้ ${14d+14+14d^2}$ ดังนั้น $a+b+c = \boxed{42}$ | a+b+c = \boxed{42} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\frac{16}{5+3x}$, จงหาค่าของ $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\] เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\] เมื่อ $x=2$ จะได้ \[2=\frac{16}{5+3f^{-1}(2)}.\] แก้สมการหา $f^{-1}(2)$ เราจะได้ $f^{-1}(2) = 1$. ดังนั้น $[f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{1}$. | [f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $x$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์และเป็นจำนวนจริงใดที่สอดคล้องกับสมการ $(5x)^4= (10x)^3$? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | อาจจะง่ายกว่าถ้าเราปล่อยให้ทั้งสองข้างอยู่ในรูปที่แยกตัวประกอบ: \begin{align*}
(5x)^4&=(10x)^3\\
\Rightarrow\qquad 5^4 x^4&=10^3 x^3\\
\Rightarrow\qquad 5^4 x^4&=5^3 2^3 x^3
\end{align*} เนื่องจาก $x$ ไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถตัดตัวประกอบร่วมของ $x^3$ ได้: $$\Rightarrow\qquad 5^4 x=5^3 2^3$$ ตอนนี้ตัด $5^3$ : \begin{align*}
5x&=8\\
\Rightarrow\qquad x&=\boxed{\frac{8}{5}}
\end{align*} | 8/5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของพจน์ที่ 25 ของลำดับเลขคณิต $2,
5, 8, \ldots$ | ผลต่างร่วมคือ $5 - 2 = 3$ ดังนั้นพจน์ที่ 25 คือ $2 + 3 \cdot 24 = \boxed{74}$ | 2 + 3 \cdot 24 = \boxed{74} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ส่วนหนึ่งของกราฟของ $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ แสดงไว้ด้านล่าง
ค่าของ $8a-4b+2c-d$ เท่ากับเท่าใด?
[asy]
import graph; size(7cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.25,xmax=4.25,ymin=-9.25,ymax=4.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return x*(x-1)*(x-2)/8;} draw(graph(f1,-3.25,4.25),linewidth(0.75));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] | สังเกตว่า $f(-2) = a(-8)+b(4)+c(-2)+d$. ดังนั้น $$8a-4b+2c-d = -f(-2).$$เนื่องจากจุด $(-2,-3)$ อยู่บนกราฟของ $f(x)$ เราอนุมานได้ว่า $$-f(-2) = -(-3) = \boxed{3}.$$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 3x + 3$ และ $g(x) = 4x + 3.$ จงหาค่าของ $f(g(f(2)))$ | เราเริ่มต้นโดยหาค่า $f(2) = 9.$ ดังนั้น $g(f(2)) = g(9) = 39.$ สุดท้าย $f(g(f(2))) = f(39) = \boxed{120}.$ | f(g(f(2))) = f(39) = \boxed{120}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ใช้หลัก 1, 2, 3, 4, 5 กี่จำนวนสามหลักคู่ที่น้อยกว่า 500 ที่สามารถสร้างได้ หากหลักแต่ละหลักสามารถใช้ได้มากกว่าหนึ่งครั้ง? | มีสี่ตัวเลือกสำหรับหลักร้อย: 1, 2, 3 หรือ 4 หลักสิบไม่มีข้อจำกัด; มันสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ในห้าตัวสุดท้าย ในที่สุดหลักหน่วยสามารถเป็น 2 หรือ 4 เท่านั้น ดังนั้นมี $4 \cdot 5 \cdot 2 = \boxed{40}$ จำนวนดังกล่าวที่สามารถสร้างได้ | 4 \cdot 5 \cdot 2 = \boxed{40} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ $x$ : $$\sqrt[3]{3-\frac{1}{x}}=-4$$ | เราทำการยกกำลังสามทั้งสองข้างเพื่อกำจัดรากที่สาม: $3-\frac{1}{x}=-64$. การทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $\frac{1}{x}=67$ และการนำส่วนกลับของทั้งสองข้างจะได้ $\boxed{x=\frac{1}{67}}$. | \boxed{x=\frac{1}{67}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นักบาสเกตบอลทำฟรีโ throw สำเร็จใน 8 เกมติดต่อกันดังนี้ 6, 18, 15, 14, 19, 12, 19 และ 15 จำนวนฟรีโ throw ที่ทำสำเร็จในเกมที่อยู่ตรงกลางคือเท่าใด | เพื่อหาค่ามัธยฐาน เราเรียงลำดับจำนวนฟรีโ throw ที่ทำสำเร็จตามลำดับจากน้อยไปมาก: $$6,12,14,15,15,18,19,19.$$ เนื่องจากมีจำนวนพจน์เป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะหาได้จากการหาค่าเฉลี่ยของพจน์ตรงกลาง (พจน์ที่สี่และพจน์ที่ห้า) พจน์ที่สี่และพจน์ที่ห้ามีค่าเท่ากับ $15$ ดังนั้น จำนวนฟรีโ throw ที่ทำสำเร็จในเกมที่อยู่ตรงกลางของนักบาสเกตบอลคือ $\boxed{15}$. | \boxed{15} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงแก้สมการ $x = \dfrac{35}{6-\frac{2}{5}}$. | เราจัดการกับส่วนของเศษส่วนนี้ก่อนโดยการคูณ 6 ด้วย $\frac{5}{5}$ แล้วลบ $\frac{2}{5}$ จากเศษส่วนที่ได้: $$x = \dfrac{35}{6-\frac{2}{5}}= \dfrac{35}{\frac{30}{5}-\frac{2}{5}} = \dfrac{35}{\frac{28}{5}}.$$ เนื่องจากการหารด้วยเศษส่วนเท่ากับการคูณด้วยส่วนกลับของมัน เราได้ว่า $$x=\dfrac{35}{\frac{28}{5}}=35 \cdot \frac{5}{28} = 5 \cdot \frac{5}{4} = \boxed{\frac{25}{4}}.$$ | [
"ประยุกต์"
] | |
แก้สมการ \[\frac{2x+4}{x^2+4x-5}=\frac{2-x}{x-1}\]หาค่า $x$ | เราสังเกตว่าส่วนทางซ้ายตัวประกอบได้ \[\frac{2x+4}{(x-1)(x+5)}=\frac{2-x}{x-1}.\]ตราบใดที่ $x\neq1$ เราอนุญาตให้ยกเลิก $x-1$ จากส่วนได้ \[\frac{2x+4}{x+5}=2-x.\]ตอนนี้เราสามารถคูณไขว้เพื่อหา \[2x+4=(2-x)(x+5)=-x^2-3x+10.\]เราทำให้ง่ายขึ้นเป็น \[x^2+5x-6=0\]แล้วแยกตัวประกอบเป็น \[(x-1)(x+6)=0.\]สังเกตว่าเนื่องจาก $x-1$ อยู่ในส่วนของสมการเดิม $x=1$ เป็นคำตอบที่ไม่ต้องการ อย่างไรก็ตาม $x=\boxed{-6}$ เป็นคำตอบของสมการเดิม | x=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มารินาแก้สมการกำลังสอง $9x^2-18x-720=0$ โดยวิธีการเติมกำลังสอง ในกระบวนการนี้ เธอได้สมการที่เทียบเท่ากัน $$(x+r)^2 = s,$$โดยที่ $r$ และ $s$ เป็นค่าคงที่
$s$ มีค่าเท่าใด? | หารทั้งสองข้างของสมการ $9x^2-18x-720=0$ ด้วย $9$ เราได้ $$x^2-2x-80 = 0.$$กำลังสองที่สอดคล้องกับ $x^2-2x-80$ ยกเว้นพจน์คงที่คือ $(x-1)^2$ ซึ่งเท่ากับ $x^2-2x+1$ และดังนั้นจึงเท่ากับ $(x^2-2x-80)+81$.
ดังนั้น โดยการบวก $81$ เข้ากับแต่ละข้าง มารินาจึงเขียนสมการ $x^2-2x-80 = 0$ ใหม่เป็น $$(x-1)^2 = 81.$$เราได้ $r=-1$ และ $s=\boxed{81}$. | s=\boxed{81} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รากที่สองของ $x$ มากกว่า 2 และน้อยกว่า 4 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | เราได้: $4 > \sqrt{x} > 2$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้ $16 > x > 4$ ดังนั้น จำนวนเต็มตั้งแต่ 15 ถึง 5 รวมทั้ง 5 สอดคล้องกับอสมการนี้ นั่นคือมีจำนวนเต็มทั้งหมด $15-5+1=\boxed{11}$ จำนวน | 15-5+1=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มที่มากกว่า 3 และน้อยกว่า 12 | เราต้องการหาผลรวมของอนุกรมเลขคณิต $4+5+\dots+11$.
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ จำนวนพจน์คือ $11 - 4 + 1 = 8$ ดังนั้นผลรวมคือ $(4 + 11)/2 \cdot 8 = \boxed{60}$ | (4 + 11)/2 \cdot 8 = \boxed{60} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อผลคูณของ $1734\times 5389 \times 80,\!607$ หารด้วย 10 แล้วจะเหลือเศษเท่าใด | เศษที่เหลือเมื่อจำนวนใดหารด้วย 10 คือหลักหน่วยของจำนวนนั้น ดังนั้นเราจึงสนใจเฉพาะหลักหน่วยของผลคูณ จากการคูณ $1734\times 5389$ จะได้ $4\times9=36$ ดังนั้นผลลัพธ์จะมีหลักหน่วยเป็น 6 จากนั้นคูณ 6 กับหลักหน่วยของ $80,607$ จะได้ $6\times7=42$ นั่นหมายความว่าผลคูณสุดท้ายจะมีหลักหน่วยเป็น $\boxed{2}$ | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริงใดที่เท่ากับนิพจน์ $2 + \frac{4}{1 + \frac{4}{2 + \frac{4}{1 + \cdots}}}$, โดยที่ $1$ และ $2$ สลับกัน? | ให้ $x$ เป็นจำนวนที่กำหนด ดังนั้น $x = 2 + \frac{4}{1 + \frac{4}{\left(2 + \frac{4}{1 + \cdots}\right)}}$. พจน์ในวงเล็บเป็นนิยามของ $x$ ดังนั้น $$x = 2+\frac{4x}{x + 4}.$$ คูณด้วย $(x+4)$ ทั้งสองข้างและทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $x(x+4) = 2(x+4) + 4x \Longrightarrow x^2 + 4x = 2x + 8 + 4x.$ ดังนั้น เราได้สมการกำลังสอง $$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x+2) = 0,$$ และจะได้ว่า $x = -2, 4$. เนื่องจากจำนวนที่กำหนดเป็นบวก คำตอบคือ $\boxed{4}$. | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลคูณของค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้นิพจน์ $\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-3}$ ไม่นิยาม | นิพจน์จะไม่นิยามก็ต่อเมื่อส่วนเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเป้าหมายคือการหาผลคูณของค่า $x$ ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+2x-3=0$ เนื่องจากตัวจำแนกของสมการกำลังสองนี้คือ $2^2 - 4(1)(-3) = 16$ ซึ่งเป็นบวก เราทราบว่ารากของ $x^2 +2x-3$ เป็นจำนวนจริงที่ต่างกัน ผลคูณของรากของสมการกำลังสองในรูป $ax^2+bx+c$ เท่ากับ $\frac{c}{a}$ ดังนั้น ผลคูณของค่า $x$ ที่ทำให้ $x^2 + 2x - 3=0$ คือ $\frac{-3}{1}$ หรือ $\boxed{-3}$ | \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[p(x,y) =
\begin{cases} x + y &\quad \text{if } x \ge 0 \text{ and } y \ge 0, \\
x - 2y &\quad \text{if } x < 0 \text{ and } y < 0, \\
3x + y &\quad \text{otherwise}.
\end{cases}
\]จงหาค่าของ $p(p(1,-1),p(-5,-2))$ | ก่อนอื่น จงหา $p(1,-1)$ เนื่องจากค่านี้ตรงตามเงื่อนไขอื่นๆ $p(1,-1) = 3 \cdot 1 - 1 = 2$
ถัดมา จงหา $p(-5,-2)$ เนื่องจากทั้งสองจำนวนเป็นลบ ดังนั้น $p(-5,-2) = -5 - 2(-2) = -1$
ดังนั้น $p(p(1,-1),p(-5,-2)) = p(2,-1)$ ซึ่งตรงตามเงื่อนไขอื่นๆ และเราพบว่า $p(2,-1) = 3 \cdot 2 - 1 = \boxed{5}$ | p(2,-1) = 3 \cdot 2 - 1 = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของจำนวนสองหลักสองจำนวนคือ $3774$ จำนวนที่น้อยกว่าในสองจำนวนนี้คือจำนวนใด | การแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะของ 3774 คือ $3774=2\cdot3\cdot17\cdot37$.
$2$ และ $3$ เป็นตัวเลขที่ยุ่งยากที่นี่ เพราะเป็นตัวประกอบหลักเดียวกันทั้งคู่ เราสามารถจัดการกับพวกมันได้โดยการคูณพวกมันด้วยตัวประกอบอื่นเพื่อสร้างตัวประกอบที่ใหญ่ขึ้น
สิ่งหนึ่งที่เราอาจลองทำคือการคูณพวกมันเข้าด้วยกัน แต่ $2\cdot3=6$ ยังคงเป็นหลักเดียว
ถ้าเราพยายามใส่ทั้งสองตัวนี้กับ $17$ จะได้ $2\cdot3\cdot17=102$ ซึ่งมีหลักมากเกินไป การใส่พวกมันกับ $37$ จะยิ่งใหญ่กว่านั้น ดังนั้นมันจึงไม่ทำงาน
ดังนั้นเราต้องใส่ตัวเลขหนึ่งกับแต่ละตัวประกอบอื่น เราไม่สามารถใส่ $3$ กับ $37$ ได้เพราะ $3\cdot37=111>100$ ดังนั้นสิ่งเดียวที่เราทำได้คือพูดว่า $2\cdot37=74$ และ $3\cdot17=51$ ตัวเลขที่น้อยกว่าในสองตัวนั้นคือ $\boxed{51}$ | \boxed{51} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
บนระนาบデカร์ต จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด $A(a,b)$ และ $B(c,d)$ คือ $M(m,n)$ ถ้า $A$ ถูกเลื่อนขึ้นไปทางบน 8 หน่วย และเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย และ $B$ ถูกเลื่อนลงไปทางล่าง 2 หน่วย และเลื่อนไปทางซ้าย 10 หน่วย จุดกึ่งกลางใหม่ระหว่าง $A$ และ $B$ คือ $M'$ ระยะทางระหว่าง $M$ และ $M'$ คือเท่าใด | ก่อนที่จะเคลื่อนย้าย จุดกึ่งกลาง (ในรูปของ $a$, $b$, $c$, และ $d$) คือ $M(m,n)=\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)$. $A$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(a+2,b+8)$. $B$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(c-10,d-2)$. เราพบว่าจุดกึ่งกลางใหม่ $M'$ คือ \begin{align*}
\left(\frac{a+2+c-10}{2},\frac{b+8+d-2}{2}\right)&=\left(\frac{a+c}{2}-4,\frac{b+d}{2}+3\right)\\
&=(m-4,n+3).
\end{align*}ดังนั้น ระยะทางระหว่าง $M$ และ $M'$ เทียบเท่ากับระยะทางระหว่าง $(m,n)$ และ $(m-4,n+3)$ หรือ $$\sqrt{(m-4-m)^2+(n+3-n)^2}=\boxed{5}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
แผนผังของสวนสาธารณะแสดงให้เห็นว่า 1 นิ้วแทน 800 ฟุต เส้นส่วนในแผนผังที่มีความยาว 4.75 นิ้วแทนจำนวนฟุตเท่าใด | แต่ละนิ้วของเส้นส่วน 4.75 นิ้วแทน 800 ฟุต ดังนั้นเส้นส่วนทั้งหมดแทน $4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800}$ ฟุต | 4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่สอดคล้องกับ $x^2 < 7x$? | เราสังเกตว่า $0$ ไม่สอดคล้องกับอสมการ ดังนั้นเราสามารถหารด้วย $x$ ได้ ถ้า $x$ เป็นบวก เราสามารถหารได้ $x<7$ และมีจำนวนเต็มบวก $6$ จำนวนที่สอดคล้องกับสิ่งนี้ ถ้า $x$ เป็นลบ เราหารได้ $x>7$ ซึ่งไม่มีจำนวนเต็มลบจำนวนใดสอดคล้อง ดังนั้นจำนวนของคำตอบจำนวนเต็มคือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $x+y = 6$ และ $x^2-y^2 = 12$ แล้ว $x-y$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจากเราสามารถเขียนได้ว่า $12 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 6(x-y)$ ดังนั้น $x-y = oxed{2}$ | x-y = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนกำลังสอง 3 หลักกี่จำนวนที่เป็นพาลินโดรม | หลักสุดท้ายของกำลังสองต้องเป็น $1$, $4$, $5$, $6$ หรือ $9$ ดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาเฉพาะกำลังสองเหล่านี้เท่านั้น มีกำลังสองเพียงหนึ่งจำนวนเท่านั้นที่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วย $1: 121$ เช่นเดียวกัน มีกำลังสองเพียงหนึ่งจำนวนเท่านั้นที่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วย $4: 484$ ไม่มีกำลังสองที่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วย $5$ มีกำลังสองเพียงหนึ่งจำนวนเท่านั้นที่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วย $6: 676$ ไม่มีกำลังสองที่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วย $9$ ดังนั้นจึงมีกำลังสอง $\boxed{3}$ จำนวนที่เป็นพาลินโดรม 3 หลัก | 3 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์"
] |
เพื่อเป็นมุกตลก ทิมตัดสินใจขโมยส้อมของเนธัน during 식사 แต่เพื่อไม่ให้ถูกจับได้ เขาจึงยุยงให้คนอื่นทำแทน ในวันจันทร์ เขาโน้มน้าวให้โจทำ ในวันอังคาร เขาสามารถโน้มน้าวให้แอมบี้หรือจอห์นทำได้ ในวันพุธ เขาไม่สามารถโน้มน้าวให้ทั้งสามคนนั้นทำได้ แต่มีอีกห้าคนที่เขาสามารถโน้มน้าวได้ ในวันพฤหัสบดี ห้าคนนั้นไม่ยอมทำ รวมถึงสามคนแรกด้วย แต่มีอีกสี่คนที่ยินดีทำ ในที่สุด ในวันศุกร์ ทิมทำเอง มีวิธีการรวมคนต่าง ๆ ที่ทิมสามารถเกี่ยวข้องกับมุกตลกนี้ได้กี่วิธี? | มี 1 ทางเลือกสำหรับวันจันทร์ 2 ทางเลือกสำหรับวันอังคาร 5 ทางเลือกสำหรับวันพุธ 4 ทางเลือกสำหรับวันพฤหัสบดี และ 1 ทางเลือกสำหรับวันศุกร์ รวมเป็น $1\cdot 2\cdot 5\cdot 4\cdot 1 = \boxed{40}$ วิธีที่แตกต่างกันในการรวมคนที่จะยินดีทำ | 1\cdot 2\cdot 5\cdot 4\cdot 1 = \boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีองค์กรแห่งหนึ่งประกอบด้วยผู้นำ 5 คน และสมาชิกสามัญจำนวนหนึ่ง ในแต่ละปี ผู้นำปัจจุบันจะถูกไล่ออกจากองค์กร จากนั้นสมาชิกสามัญแต่ละคนจะต้องหาสมาชิกใหม่ 2 คนเข้าร่วมเป็นสมาชิกสามัญ และสุดท้ายจะเลือกสมาชิกใหม่ 5 คนจากภายนอกองค์กรเพื่อเป็นผู้นำ ในตอนเริ่มต้นมีผู้คนในองค์กรทั้งหมด 15 คน จะมีผู้คนทั้งหมดกี่คนในองค์กรห้าปีข้างหน้า | ให้ $a_k$ แทนจำนวนผู้คนในปีที่ $k$ (โดยเริ่มต้น $k=0$ ) อาจสังเกตได้ว่าหลังจากผู้นำถูกไล่ออก จะมีสมาชิกสามัญ $a_k-5$ คน จากนั้นจะมีสมาชิกสามัญ $3(a_k-5)$ คนหลังจากสมาชิกสามัญใหม่เข้าร่วม สุดท้ายหลังจากผู้นำคนใหม่ได้รับเลือกแล้ว เราจะมีจำนวนผู้คนทั้งหมด $3(a_k-5)+5 = 3a_k-10$ คนในปีถัดไป อาจต้องการแก้สมการเวียนเกิดนี้โดยมี $a_0=15$ แต่มีวิธีที่ง่ายกว่า
สังเกตว่าจำนวนผู้นำคงที่ทุกปี และจำนวนสมาชิกสามัญเพิ่มขึ้นสามเท่า ดังนั้นจำนวนสมาชิกสามัญเป็นลำดับเรขาคณิต ในตอนเริ่มต้นมีสมาชิกสามัญ $15-5=10$ คน ดังนั้นห้าปีต่อมาจะมีสมาชิกสามัญ $ (3^5)(10)=2430$ คน จำนวนผู้คนทั้งหมดจะเป็น $5+2430=\boxed{2435}$ | 5+2430=\boxed{2435} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พิราเวนาต้องเดินทางจาก $A$ ไป $B,$ จาก $B$ ไป $C,$ จากนั้นจาก $C$ ไป $A.$ แต่ละส่วนของการเดินทางจะใช้รถโดยสารหรือเครื่องบินเท่านั้น. เมืองทั้งสามนี้จัดเรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังแสดง โดย $C$ ห่างจาก $A$ เป็นระยะ $3000\text{ km}$ และ $B$ ห่างจาก $A$ เป็นระยะ $3250\text{ km}.$ การโดยสารรถโดยสารจะเสียค่าใช้จ่าย $\$0.15$ ต่อกิโลเมตร. การโดยสารเครื่องบินจะเสียค่าธรรมเนียมการจอง $\$100$ และเสียค่าใช้จ่าย $\$0.10$ ต่อกิโลเมตร. [asy]
pair A, B, C;
C=(0,0);
B=(0,1250);
A=(3000,0);
draw(A--B--C--A);
label("A", A, SE);
label("B", B, NW);
label("C", C, SW);
label("3000 km", (A+C)/2, S);
label("3250 km", (A+B)/2, NE);
draw((0,125)--(125,125)--(125,0));
[/asy] เธอเริ่มต้นการเดินทางด้วยการบินจาก $A$ ไป $B.$ จงหาค่าใช้จ่ายในการบินจาก $A$ ไป $B.$ | ค่าใช้จ่ายในการบินคือ $\$0.10$ ต่อกิโลเมตร บวกกับค่าธรรมเนียมการจอง $\$100.$ ในการบินจาก $A$ ไป $B$ เป็นระยะทาง $3250\text{ km}$ ค่าใช้จ่ายคือ $$3250\times 0.10 + 100=325+100=\boxed{\$425}.$$ | 425 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $3(-2) = \nabla +2$ แล้ว $\nabla$ มีค่าเท่าใด | เนื่องจาก $3(-2)=\nabla+2$ ดังนั้น $-6 = \nabla+2$ ดังนั้น $\nabla = -6-2=\boxed{-8}$ | $\nabla = -6-2=\boxed{-8}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาพจน์ถัดไปในลำดับเรขาคณิต $$2, 6x, 18x^2, 54x^3, \ldots ?$$ แสดงคำตอบในรูปของ $x$. | อัตราส่วนร่วมคือ $\frac{6x}{2} = 3x$ นั่นคือ แต่ละพจน์ได้มาจากการคูณ $3x$ กับพจน์ก่อนหน้า พจน์ถัดไปคือ $54x^3 \cdot 3x = \boxed{162x^4}$. | 54x^3 \cdot 3x = \boxed{162x^4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $t$ ที่สอดคล้องกับ $\frac{1}{t+2} + \frac{2t}{t+2} - \frac{3}{t+2} = 3$. | นำเศษส่วนทางซ้ายมือมาบวกกันได้ $\dfrac{2t-2}{t+2} = 3$. คูณทั้งสองข้างด้วย $t+2$ ได้ $2t-2 = 3(t+2)$. กระจายข้างขวาได้ $2t-2 = 3t+6$. ลบ $2t$ และ 6 จากทั้งสองข้างได้ $t=\boxed{-8}$. | t=\boxed{-8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า
\[\frac{1}{x^3-x^2-21x+45}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x - 3)^2}\]โดยที่ $A$, $B$, และ $C$ เป็นค่าคงตัวของจำนวนจริง จงหาค่าของ $A$? | ตัวส่วน $x+5$ และ $(x-3)^2$ แสดงว่าอาจเป็นตัวประกอบของ $x^3-x^2-21x+45$ จริงๆแล้ว พหุนามนี้เท่ากับ $(x+5)(x-3)^2$ ล้างตัวส่วน เราพบว่า
\[1=A(x-3)^2+ B(x + 5)(x - 3) + C(x + 5).\]ดังนั้น เมื่อเราแทน $x=-5$ เราพบว่า $(-5-3)^2A=64A=1$ ดังนั้น $A = \boxed{\frac{1}{64}}$ | A = \boxed{\frac{1}{64}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้นิพจน์ต่อไปนี้ใน $x$ ง่ายขึ้น: \[3x+7x^2+5-(2-3x-7x^2).\] เขียนคำตอบของคุณในรูป $ax^2 +bx+c$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นตัวเลข. | นิพจน์ที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $3x+7x^2+5-2+3x+7x^2$ การรวมพจน์ที่คล้ายกัน นิพจน์สุดท้ายนี้เท่ากับ $(3x+3x)+(7x^2+7x^2)+(5-2)=\boxed{14x^2+6x+3}$. | (3x+3x)+(7x^2+7x^2)+(5-2)=\boxed{14x^2+6x+3} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้พจน์แรกของลำดับเรขาคณิตเป็น $ rac{3}{4}$ และพจน์ที่สองเป็น 15 จงหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พจน์ที่ $n$ ของลำดับนี้หารด้วยหนึ่งล้านลงตัว | อัตราส่วนร่วมคือ $$\frac{15}{\frac{3}{4}} = 20$$ดังนั้นพจน์ที่ $n$ คือ $(20^{n-1}) \left(\frac{3}{4}\right)$.
ถ้าหนึ่งล้าน (คือ $10^6$) หารพจน์ที่ $n$ ลงตัว แสดงว่าต้องหารด้วย $5^6$ ได้ นี่จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $n-1$ มีค่าอย่างน้อย 6 หรือ $n \ge 7$.
พจน์ที่ 7 คือ $$\left(20^6\right) \left(\frac{3}{4}\right) = \left(4\right)^6\left(5\right)^6\left(\frac{3}{4}\right) = (2)^{10}(5)^6(3),$$ซึ่งหารด้วย $(2)^6(5)^6=10^6$ ลงตัว ดังนั้นคำตอบคือ $oxed{7}$. | $oxed{7}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับหลัก $d$ ใดที่ทำให้จำนวนห้าหลัก $2345d$ หารด้วย 9 ลงตัว? | เพื่อให้จำนวนใดๆ หารด้วย 9 ลงตัว ผลรวมของหลักของจำนวนนั้นต้องหารด้วย 9 ลงตัว เนื่องจาก $2+3+4+5=14$ หลักเดียวที่ทำให้ผลรวมของหลักเป็นพหุคูณของ 9 คือ 4 ผลรวมของหลักจะเป็น 18 ซึ่งเท่ากับ $9\cdot 2$ ดังนั้น $d=\boxed{4}$ | d=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงแสดง $\frac{0.\overline{666}}{1.\overline{333}}$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราอาจจะเห็นว่าตัวเศษคือ $\frac{2}{3}$ และตัวส่วนคือ $\frac{4}{3}$ ซึ่งจะได้ค่าเท่ากับ $\frac{1}{2}$ ถ้าไม่ใช่ ให้ตั้งชื่อตัวเศษว่า $x$ คูณด้วย 10 และลบด้วย $x$ จะได้ $9x = 6$ ดังนั้น $x = \frac{2}{3}$ เราสังเกตว่าตัวส่วนคือ $1 + \frac{x}{2}$ ซึ่งจะได้ค่าเท่ากับ $\boxed{\frac{1}{2}}$ สำหรับเศษส่วนทั้งหมด | \boxed{\frac{1}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คำตอบของ $4x^2 + 3 = 3x - 9$ สามารถเขียนได้ในรูป $x = a \pm b i,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง จงหา $a + b^2$ แสดงคำตอบของคุณในรูปเศษส่วน | ก่อนอื่น ให้ย้ายพจน์ทั้งหมดไปข้างเดียวกันเพื่อให้ได้ $4x^2 - 3x + 12 = 0.$ เห็นว่าการแยกตัวประกอบจะไม่ใช้ได้ เราจึงใช้สูตรกำลังสอง: \begin{align*}
x &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(4)(12)}}{2 (4)}\\
&= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 192}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{-183}}{8} = \frac{3}{8} \pm \frac{\sqrt{183}}{8}i.
\end{align*}ตอนนี้เราเห็นว่า $a = \dfrac{3}{8}$ และ $b = \pm \frac{\sqrt{183}}{8},$ ดังนั้น $a + b^2 = \dfrac{3}{8} + \dfrac{183}{64} = \boxed{\dfrac{207}{64}}.$ | a + b^2 = \dfrac{3}{8} + \dfrac{183}{64} = \boxed{\dfrac{207}{64}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ $8x^2 - 38x + 35 = 0$ แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เราสามารถเขียนใหม่ฝั่งซ้ายของสมการ $8x^2 - 38x + 35$ เป็น $(2x - 7)(4x - 5)$ ดังนั้นเราจึงมี $(2x - 7)(4x - 5) = 0$ ดังนั้น การแก้สมการ $2x - 7 = 0$ และ $4x - 5 = 0$ จะให้เรา $x = 3.5$ และ $x = 1.25$ เป็นคำตอบของเรา เนื่องจาก $1.25 < 3.5$ คำตอบสุดท้ายของเราคือ $x = \boxed{1.25}$ | x = \boxed{1.25} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ ที่แสดงกราฟดังนี้ แต่ละช่องเล็กมีขนาดกว้างและสูง 1.
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real wholetickdown=tickdown;
void rr_cartesian_axes(real xleft, real xright, real ybottom, real ytop, real xstep=1, real ystep=1, bool useticks=false, bool complexplane=false, bool usegrid=true) {
import graph;
real i;
if(complexplane) {
label("$\textnormal{Re}$",(xright,0),SE);
label("$\textnormal{Im}$",(0,ytop),NW);
} else {
label("$x$",(xright+0.4,-0.5));
label("$y$",(-0.5,ytop+0.2));
}
ylimits(ybottom,ytop);
xlimits( xleft, xright);
real[] TicksArrx,TicksArry;
for(i=xleft+xstep; i<xright; i+=xstep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArrx.push(i);
}
}
for(i=ybottom+ystep; i<ytop; i+=ystep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArry.push(i);
}
}
if(usegrid) {
xaxis(BottomTop(extend=false), Ticks("%", TicksArrx ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
yaxis(LeftRight(extend=false),Ticks("%", TicksArry ,pTick=gray(0.22),extend=true), p=invisible);//,Arrows);
}
if(useticks) {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, Ticks("%",TicksArry ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, Ticks("%",TicksArrx ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
}
};
rr_cartesian_axes(-1,9,-1,9);
dot((0,0),red+5bp);
dot((2,1),red+5bp);
dot((4,3),red+5bp);
dot((6,5),red+5bp);
dot((8,7),red+5bp);
dot((1,8),red+5bp);
dot((3,6),red+5bp);
dot((5,4),red+5bp);
dot((7,2),red+5bp);
dot((9,0),red+5bp);
[/asy]
ลาร์รี่เขียนเลข 3 ลงบนนิ้วก้อยของเขา จากนั้นเขาใช้ฟังก์ชัน $f$ กับ 3 และเขียนผลลัพธ์ลงบนนิ้วนาง หากลาร์รี่ทำเช่นนี้ต่อไปโดยใช้ฟังก์ชัน $f$ และเขียนผลลัพธ์ลงบนนิ้วใหม่ เขาจะเขียนเลขอะไรลงบนนิ้วที่สิบ? | จากกราฟ เราเห็นว่า $f(3)=6$ ดังนั้นลาร์รี่เขียน 6 ลงบนนิ้วที่สอง เนื่องจาก $f(6)=5$ เราเห็นว่าลาร์รี่เขียน 5 ลงบนนิ้วที่สาม ถ้าเราใช้ $f$ อีกครั้ง เราจะเห็นว่าลาร์รี่เขียน \[f(5)=4\] ลงบนนิ้วที่สี่ หลังจากนั้นลาร์รี่เขียน $f(4)=3$ ลงบนนิ้วที่ห้า ตอนนี้กระบวนการซ้ำ!
เนื่องจากนิ้วที่หนึ่งมี 3 และนิ้วที่ห้าก็มี 3 (หลังจากผ่านไป 4 ครั้ง) นิ้วที่เก้าก็จะถูกติดป้าย 3 ด้วย ดังนั้นลาร์รี่เขียน $f(3)=\boxed{6}$ ลงบนนิ้วที่สิบ | f(3)=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.