question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ฉันและเพื่อนอีก 3 คนทานอาหารเย็นด้วยกันทุกสุดสัปดาห์ ในแต่ละสุดสัปดาห์ เรา 2 คนจะทำอาหาร และอีก 2 คนจะล้างจานหลังจากนั้น มีวิธีการเลือกผู้ทำอาหารและผู้ล้างจานที่แตกต่างกันกี่วิธี? | มี 4 วิธีในการเลือกผู้ทำอาหารคนแรก และ 3 วิธีในการเลือกผู้ทำอาหารคนที่สอง แต่การนับนี้จะนับคู่ของผู้ทำอาหารทุกคู่สองครั้ง เนื่องจากลำดับไม่สำคัญ เมื่อเลือกผู้ทำอาหารแล้ว คนที่เหลือ 2 คนจะเป็นผู้ล้างจาน ดังนั้น มี $(4\cdot 3)/2=\boxed{6}$ วิธีในการเลือกผู้ทำอาหารและผู้ล้างจาน | (4\cdot 3)/2=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มาร์กาเร็ตเริ่มต้นสะสมแสตมป์ เธอสะสมแสตมป์ 8 แสตมป์ในวันแรก ในแต่ละวันถัดมา เธอสะสมแสตมป์เพิ่มขึ้น 8 แสตมป์จากจำนวนที่เธอสะสมในวันก่อนหน้า หากเธอสะสมแสตมป์เป็นเวลา 5 วันติดต่อกัน จำนวนแสตมป์เฉลี่ยที่เธอสะสมต่อวันเท่ากับเท่าไร | พิจารณาลำดับ 8, 16, 24, $\ldots$ ของจำนวนแสตมป์ที่มาร์กาเร็ตสะสมในแต่ละวันติดต่อกัน ค่าเฉลี่ยของลำดับเลขคณิตเท่ากับค่ามัธยฐาน ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของลำดับเลขคณิตห้าพจน์นี้เท่ากับพจน์ที่สาม $\boxed{24}$ | \boxed{24} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มูร์ธาตัดสินใจที่จะเริ่มสะสมก้อนกรวด เธอเก็บก้อนกรวด 1 ก้อนในวันแรก และ 2 ก้อนในวันต่อมา ในแต่ละวันถัดไป เธอจะเก็บก้อนกรวดมากกว่าวันก่อนหน้า 1 ก้อน เธอจะเก็บก้อนกรวดได้ทั้งหมดกี่ก้อนในสิ้นสุดของวันที่สิบสอง | เนื่องจากจำนวนก้อนกรวดเพิ่มขึ้นทุกวัน จำนวนก้อนกรวดทั้งหมดเท่ากับ $1 + 2 + 3 + \cdots + 11 + 12 = (1+12) + (2 + 11) + \cdots + (6 + 7) = 6 \cdot 13 = \boxed{78}$ | 1 + 2 + 3 + \cdots + 11 + 12 = (1+12) + (2 + 11) + \cdots + (6 + 7) = 6 \cdot 13 = \boxed{78} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แจสมินต้องการซื้อการ์ดการค้าบางส่วน เธอมีเงิน $7.50 และการ์ดแต่ละใบมีราคา $0.85 รวมภาษีแล้ว เธอสามารถซื้อการ์ดได้มากที่สุดกี่ใบ? | ค่าใช้จ่ายของการ์ด $n$ ใบคือ $(0.85)n$ ดอลลาร์ แจสมินสามารถซื้อการ์ด $n$ ใบได้ก็ต่อเมื่อ $(0.85)n \le 7.5$ เขียนอสมการนี้ใหม่ในรูปของเศษส่วน เราได้ $$\frac{17}{20}n\le \frac{15}{2}.$$ คูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{20}{17}$ จะได้ $$n \le \frac{150}{17},$$ และแปลงเป็นจำนวนผสมจะได้ $$n \le 8\frac{14}{17}.$$ เนื่องจากแจสมินต้องซื้อการ์ดการค้าจำนวนเต็ม เธอจึงสามารถซื้อได้มากที่สุด $\boxed{8}$ ใบ | \boxed{8} | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y=9$ และ $xy=10$ จงหาค่าของ $x^3+y^3$ | ถ้าเรายกกำลังสามของทั้งสองข้างของสมการแรก เราจะได้ $x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=729$ ดังนั้น $x^3+y^3=729-(3x^2y+3xy^2)$ เนื่องจาก $3x^2y+3xy^2=3(xy)(x+y)=3(10)(9)$ เราจะเห็นว่า $x^3+y^3=729-(3x^2y+3xy^2)=729-270=\boxed{459}$ | x^3+y^3=729-(3x^2y+3xy^2)=729-270=\boxed{459} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $ABC$ มีด้านยาว $6$ หน่วย, $8$ หน่วย และ $10$ หน่วย กว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ $4$ หน่วย เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ยาวเท่าไร หน่วย | เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อยืนยันว่าสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือเราอาจจะรู้ว่า $(6,8,10)$ เป็นผลคูณของสามส่วนพีทาโกรัส $(3,4,5)$ พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ $\frac{1}{2}bh$ โดยที่ $b$ และ $h$ คือความยาวของด้านทั้งสอง ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ คือ $\frac{1}{2}(6)(8)=24$ ถ้าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $24$ ตารางหน่วย และกว้างคือ $4$ หน่วย ความยาวก็คือ $\frac{24}{4}=6$ หน่วย ทำให้เส้นรอบรูปยาว $6+6+4+4=\boxed{20}$ หน่วย | 6+6+4+4=\boxed{20} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สองเส้นตรงมีจุดตัดแกน $y$ เท่ากันและไม่เท่ากับศูนย์ เส้นตรงแรกมีค่าความชัน 10 และจุดตัดแกน $x$ คือ $(s, 0)$ เส้นตรงที่สองมีค่าความชัน 6 และจุดตัดแกน $x$ คือ $(t, 0)$ จงหาอัตราส่วนของ $s$ ต่อ $t$ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | สมการของเส้นตรงแรกคือ $y = 10x + b$ โดยที่ $b$ คือจุดตัดแกน $y$ ของเส้นตรงทั้งสอง เนื่องจาก $(s, 0)$ อยู่บนเส้นตรงนี้ เราสามารถแทนค่าลงในสมการของเส้นตรงเพื่อให้ได้ $0 = 10s + b \Rightarrow s = -\frac b{10}$ ในทำนองเดียวกัน เส้นตรงที่สองมีสมการ $y = 6x + b$ แทนค่า $(t, 0)$ ลงในสมการนี้จะได้ $0 = 6t + b \Rightarrow t = - \frac b6$ ดังนั้น $\frac st = -\frac b{10} \cdot - \frac 6b = \boxed{\frac 35}$ | $\frac st = -\frac b{10} \cdot - \frac 6b = \boxed{\frac 35}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยาย $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ | เราเห็นว่า \begin{align*}
(x-2)(x+2)(x^2+4) &= (x^2-4)(x^2+4) \\
&= \boxed{x^4-16}
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
กำหนดให้ \[ f(x) =
\begin{cases}
-x^2 & \text{if } x \geq 0,\\
x+8& \text{if } x <0.
\end{cases}
\]จงคำนวณ $f(f(f(f(f(1))))).$ | \begin{align*}
(f(f(f(f(1)))))
&=f(f(f(f(-1))))\\
&=f(f(f(7)))\\
&=f(f(-49))\\
&=f(-41)\\
&=\boxed{-33}.\\
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
จงคำนวณ $\sqrt{\sqrt[3]{0.000064}}$ และแสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่ tenths | เราเริ่มต้นด้วยการเขียนทศนิยมเป็นเศษส่วน และเราจะได้ \begin{align*}
\sqrt{\sqrt[3]{0.000064}} &= \sqrt{\sqrt[3]{\frac{64}{10^6}}} = \sqrt{\left(\frac{2^6}{10^6}\right)^{\frac13}}\\
&=\sqrt{\frac{2^{6\cdot \frac{1}{3}}}{10^{6\cdot \frac13}}} = \sqrt{\frac{2^2}{10^2}} = \frac{2}{10} = \boxed{0.2}.
\end{align*} | 0.2 | [
"ความจำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
สมการ $y=\frac{x-1}{x^2+6x-7}$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งกี่เส้น? | จากการแยกตัวประกอบของส่วนของสมการ จะได้ $\frac{x-1}{(x-1)(x+7)}$ ดังนั้นส่วนของสมการจะเท่ากับ 0 เมื่อ $x=1$ และ $x=-7$ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากพจน์ $x-1$ ก็มีอยู่ในตัวเศษ และมีดีกรีเท่ากับในตัวส่วน $x=1$ จึงไม่ใช่เส้นกำลุ่งแนวตั้ง ดังนั้นสมการนี้มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งเพียง $\boxed{1}$ เส้นที่ $x=-7$ | x=-7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ความชันของเส้นตรงที่กำหนดโดยคำตอบสองคำตอบของสมการ $\frac{2}{x}+\frac{3}{y} = 0$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | เราสามารถเห็นได้อย่างรวดเร็วว่าเราสามารถหาคำตอบของสมการได้ถ้าเศษส่วนตัวแรกเป็น 1 และเศษส่วนตัวที่สองเป็น -1 ซึ่งจะได้ $(x, y) = (2, -3)$. ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราให้ $(x, y) = (-2, 3)$ เราจะได้เศษส่วนตัวแรกเป็น $-1$ และเศษส่วนตัวที่สองเป็น 1 ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองนี้คือ $\frac{-3 - 3}{2 - (-2)} = \boxed{- \frac 32}$. | \frac{-3 - 3}{2 - (-2)} = \boxed{- \frac 32} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}, abcd\not=0$ และ $f(f(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f$ จงหาค่าของ $a+d$ | เงื่อนไข $f(f(x))$ หมายความว่า $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง ดังนั้นกราฟของมันสมมาตรรอบเส้น $y = x$ ด้วยฟังก์ชันตรรกยะแบบนี้ เราจะมี Asymptotes สองเส้น: เส้นแนวตั้งที่ $x=-d/c$ ถ้า $cx+d$ ไม่หาร $ax+b$ และเส้นแนวนอนที่ $y=a/c$ ถ้าเราหาลิมิตของ $f(x)$ เมื่อ $x$ ไปที่ $\pm\infty$ เพื่อให้ $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง จุดตัดของ Asymptotes ต้องอยู่บนเส้น $y=x$ เพื่อให้มันและ Asymptotes ของมันสะท้อนกลับมาที่ตัวมันเอง นั่นหมายความว่า $-d/c=a/c$ และด้วยเหตุนี้ $-d=a$ และ $a+d=\boxed{0}$ | a+d=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การลงทุนหุ้นเพิ่มขึ้น $25\%$ ในปี 2006 เริ่มต้นจากมูลค่าที่เพิ่มขึ้นนี้ หุ้นจะต้องลดลงกี่เปอร์เซ็นต์ในปี 2007 เพื่อกลับไปที่ราคาเดิมที่เริ่มต้นในปี 2006? | ให้ $x$ เป็นราคาหุ้นเดิม ซึ่งหมายความว่าราคาหุ้นคือ $1.25x$ ที่สิ้นสุดปี 2006 ราคาเดิมคือ $\frac{x}{1.25x} = 80$ เปอร์เซ็นต์ของราคาที่เพิ่มขึ้น ดังนั้นหุ้นต้องลดลง $\boxed{20}$ เปอร์เซ็นต์ | \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $b$ คือเท่าใด ถ้า $-x^2+bx-5<0$ เฉพาะเมื่อ $x\in (-\infty, 1)\cup(5,\infty)$? | เมื่อ $x<1$ หรือ $x>5$ แล้ว $-x^2+bx-5<0$ นั่นหมายความว่า $-x^2+bx-5=0$ ที่ $x=1$ และ $x=5$ ดังนั้น พาราโบลา มีรากที่ 1 และ 5 ซึ่งให้เรา $(x-1)(x-5)=0$ อย่างไรก็ตาม เรารู้ว่าพาราโบลาหันลงด้านล่าง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เป็นลบ ดังนั้นเราต้องลบปัจจัยหนึ่ง เราสามารถเขียน $-x^2+bx-5=(1-x)(x-5)=-x^2+6x-5$ ได้ ดังนั้น $b=\boxed{6}$ | b=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในเกมการละเล่นชนิดหนึ่ง พ่อมดจะขอให้ผู้เข้าร่วมคนหนึ่งนึกถึงจำนวนสามหลัก $(abc)$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ แทนหลักในระบบฐาน $10$ ตามลำดับที่ระบุ พ่อมดจะขอให้คนนั้นสร้างจำนวน $(acb)$, $(bca)$, $(bac)$, $(cab)$ และ $(cba)$ บวกจำนวนเหล่านี้เข้าด้วยกัน และเปิดเผยผลรวม $N$ หากทราบค่าของ $N$ พ่อมดสามารถระบุจำนวนเดิม $(abc)$ ได้ เล่นบทบาทเป็นพ่อมดและกำหนด $(abc)$ หาก $N= 3194$.
| ให้ $m$ เป็นจำนวน $100a+10b+c$ สังเกตว่า $3194+m=222(a+b+c)$ ดังนั้น
\[m\equiv -3194\equiv -86\equiv 136\pmod{222}\]
การนี้จะลด $m$ เหลือหนึ่งใน $136, 358, 580, 802$ แต่ยัง $a+b+c=\frac{3194+m}{222}>\frac{3194}{222}>14$ ดังนั้น $a+b+c\geq 15$ จากตัวเลือกทั้งสี่ ตัวเลือกเดียวเท่านั้นที่ $m = \boxed{358}$ ตอบสนองความไม่เท่ากันนี้ | m = \boxed{358} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว 20 นิ้ว และ 21 นิ้ว ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าไร นิ้ว | สมมติว่าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $h$ นิ้ว ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส $h^2=20^2+21^2=400+441=841$ ดังนั้น $h=\sqrt{841}=29$ ความยาวจึงเท่ากับ $\boxed{29}$ นิ้ว | \boxed{29} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระยะทางระหว่างจุด $(3, -2)$ และ $(7, 5)$ หน่วย | เราใช้สูตรระยะทาง: $$\sqrt{(7 - 3)^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \boxed{\sqrt{65}}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
ช่วงของฟังก์ชัน $f(x) = \frac{1}{x^2}$ คืออะไร | สังเกตว่า $f(x) = \frac{1}{x^2} >0$ สำหรับทุก $x$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ นั่นคือ ช่วงของ $f$ ต้องมีเพียงจำนวนบวกเท่านั้น ในทางกลับกัน ถ้า $a$ เป็นจำนวนบวก แล้ว \[f\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)=\frac{1}{(1/\sqrt{a})^2} = a,\]ดังนั้น $a$ จึงอยู่ในช่วงของ $f$ จริง ๆ ดังนั้น ช่วงของ $f$ คือเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด ในสัญกรณ์ช่วง คือ $\boxed{(0,\infty)}$ | \boxed{(0,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จำนวนในเซต $\{50, 51, 52, 53, ... , 999\}$ ถูกเลือกแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนเลขสองหลักคือเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เพื่อหาจำนวนของจำนวนในเซตนี้ เราลบ 49 ออกจากทุกจำนวน ทำให้เซตเป็น $\{1, 2, 3, \ldots , 950 \}$ ซึ่งชัดเจนว่ามีจำนวนทั้งหมด 950 ตัว นอกจากนี้ เซต $\{ 50, 51, 52, \ldots, 98, 99 \}$ สอดคล้องกับเซตที่นับได้ง่ายกว่า $\{ 1, 2, 3, \ldots , 49, 50 \}$ โดยการลบ 49 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะเลือกจำนวนเลขสองหลักคือ $\frac{50}{950} = \boxed{\frac{1}{19}}$ | \frac{50}{950} = \boxed{\frac{1}{19}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ข้อสอบคณิตศาสตร์ของโทริมี 75 ข้อ: 10 ข้อเลขคณิต, 30 ข้อพีชคณิต และ 35 ข้อเรขาคณิต แม้ว่าเธอจะตอบถูก $70\%$ ของข้อเลขคณิต, $40\%$ ของข้อพีชคณิต และ $60\%$ ของข้อเรขาคณิต เธอก็สอบตกเพราะเธอตอบถูกน้อยกว่า $60\%$ ของข้อทั้งหมด เธอต้องตอบถูกเพิ่มอีกกี่ข้อจึงจะได้เกรดผ่าน $60\%$? | เนื่องจาก $70\%(10)+40\%(30)+60\%(35)=7+12+21=40$ เธอตอบถูก 40 ข้อ เธอต้องตอบถูก $60\%(75)=45$ ข้อจึงจะผ่าน ดังนั้นเธอต้องตอบถูกเพิ่มอีก $\boxed{5}$ ข้อ | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
รูปหลายเหลี่ยมนูนรูปหนึ่งมีด้าน 7 ด้าน และมีมุมฉากเพียงมุมเดียว รูปหลายเหลี่ยมนี้มีเส้นทแยงมุมกี่เส้น | สำหรับจุดยอดแต่ละจุด เราสามารถสร้างเส้นทแยงมุมได้โดยการเชื่อมต่อกับจุดยอดที่ไม่ติดกันใดๆ ถ้ามีจุดยอด $n$ จุด จะมีเส้นทแยงมุม $n(n-3)$ เส้นที่เราวาด แต่เราคำนวณซ้ำโดยตัวประกอบ 2 เพราะว่าแต่ละเส้นทแยงมุมสามารถสร้างได้จากจุดยอด 2 จุด ดังนั้นมีเส้นทแยงมุม $n(n-3)/2$ เส้น ในปัญหานี้ เนื่องจาก $n=7$ จะมี $7\cdot4/2=\boxed{14}$ เส้นทแยงมุม | 7\cdot4/2=\boxed{14} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงบวก $10_7 + 163_7$ แสดงคำตอบในระบบเลขฐานเจ็ด | เราสามารถจัดเรียงตัวเลขและบวกได้เหมือนกับที่เราทำในระบบเลขฐานสิบ ตัวอย่างเช่น ในหลักที่สอง เราได้ $1+6=7$ ซึ่งเราจะ przenos ไปยังหลักถัดไป เช่นเดียวกับในระบบเลขฐานสิบ โดยวางเลขโดด 0 ในผลบวกและ przenos 1 ไปยังหลักถัดไป เราได้ $$
\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c}
& & 1 & 0_7 \\
+ & 1 & 6 & 3_7 \\
\cline{2-4}
& 2 & 0 & 3_7, \\
\end{array}$$ดังนั้นผลบวกคือ $\boxed{203_7}$ | \boxed{203_7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาอนันต์: $$\frac{5}{6}-\frac{4}{9}+\frac{32}{135}-\dots$$ | เราหาราตีอของพจน์ที่ต่อเนื่องกัน: $$\cfrac{-\frac{4}{9}}{\frac{5}{6}}=\frac{-4}{9}\cdot \frac{6}{5}=\boxed{-\frac{8}{15}}.$$ | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] | |
จงหาพจน์ที่แปดของลำดับเลขคณิต $\frac 23, 1, \frac 43, \dots$ แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | ผลต่างร่วมคือ $1 - 2/3 = 1/3$ ดังนั้นพจน์ที่แปดคือ $\frac{2}{3}+7\cdot\frac{1}{3}=\boxed{3}$ | \frac{2}{3}+7\cdot\frac{1}{3}=\boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $55^2 - 45^2$ ในใจ | จงจำว่า $a^2 - b^2$ สามารถแยกตัวประกอบเป็น $(a+b)(a-b)$ ดังนั้น $55^2 - 45^2 = (55+45)(55-45) = (100)(10) = \boxed{1000}$ | 55^2 - 45^2 = (55+45)(55-45) = (100)(10) = \boxed{1000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชัน \[ f(x) =
\begin{cases}
-x^2 & \text{if } x \geq 0,\\
x+8& \text{if } x <0.
\end{cases}
\] จงคำนวณค่า $f(f(f(f(f(1))))).$ | \begin{align*}
(f(f(f(f(1)))))
&=f(f(f(f(-1))))\\
&=f(f(f(7)))\\
&=f(f(-49))\\
&=f(-41)\\
&=\boxed{-33}.\\
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
จงหาค่าของ $\lfloor\sqrt{17}\rfloor^2$. | เนื่องจาก $\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$ หรือ $4<\sqrt{17}<5$ จึงมีจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\sqrt{17}$ คือ $4$ ดังนั้น $4^2=\boxed{16}$ | 4^2=\boxed{16} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $b$ ที่มากที่สุด ซึ่งทำให้ $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $y=x^2+bx+12$ | เราจะเห็นว่า $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + bx + 12$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2 + bx + 12 = -4$ ไม่มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + bx + 16 = 0$ ตัวจำแนกของสมการกำลังสองนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 16 = b^2 - 64$ สมการกำลังสองไม่มีรากจริงก็ต่อเมื่อตัวจำแนกเป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 64 < 0$ หรือ $b^2 < 64$ ค่า $b$ ที่เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการนี้คือ $b = \boxed{7}$ | b = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สูตรอาหารต้องการแป้ง $4 \frac{1}{2}$ ถ้วย ถ้าคุณทำสูตรอาหารครึ่งเดียว คุณจะต้องใช้แป้งกี่ถ้วย แสดงคำตอบเป็นจำนวนผสม | เพื่อทำสูตรอาหารครึ่งเดียว คุณจะต้องใช้แป้งเพียงครึ่งเดียวของ $4 \frac{1}{2}$ ถ้วย เนื่องจากครึ่งหนึ่งของ $4$ คือ $2$ และครึ่งหนึ่งของ $\frac{1}{2}$ คือ $\frac{1}{4}$ เราพบว่าต้องใช้แป้ง $\boxed{2\frac{1}{4}}$ ถ้วย | \boxed{2\frac{1}{4}} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวก $n$ กี่จำนวนที่ทำให้ $1 + 2 + \cdots + n$ หาร $6n$ ลงตัว | เนื่องจาก \[
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2},
\]$1 + 2 + \cdots + n$ หารจำนวนเต็มบวก $6n$ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ \[
\frac{6n}{n(n+1)/2} = \frac{12}{n+1}\ \text{เป็นจำนวนเต็ม.}
\]มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว $\boxed{5}$ จำนวน คือ 1, 2, 3, 5 และ 11 | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามขั้นตอนแรกของรูปแบบแสดงไว้ด้านล่าง โดยแต่ละส่วนของเส้นตรงแทนไม้จิ้มฟัน หากรูปแบบดำเนินต่อไปจนถึงขั้นตอนที่ต่อเนื่องกัน โดยมีการเพิ่มไม้จิ้มฟัน 3 อันเข้าไปในรูปแบบก่อนหน้า จะต้องใช้ไม้จิ้มฟันกี่อันในการสร้างรูปแบบสำหรับขั้นตอนที่ 250 [asy]
size(150);
defaultpen(linewidth(0.7));
void drawSquare(pair A){
draw((A.x + 0.1,A.y)--(A.x + 0.9,A.y));
draw((A.x,A.y + 0.1)--(A.x,A.y + 0.9));
draw((A.x + 1,A.y + 0.1)--(A.x + 1,A.y + 0.9));
draw((A.x + 0.1,A.y + 1)--(A.x + 0.9,A.y + 1));
}
int k = 0;
for(int i = 1; i <= 3; ++i){
for(int j = 0; j < i; ++j){
drawSquare((k,0));
++k;
}
draw((k+0.1,0.5)--(k+0.9,0.5),EndArrow);
++k;
}
label("$\cdots$",(k,0.5));
[/asy] | จำนวนไม้จิ้มฟันในแต่ละขั้นตอนสร้างเป็นลำดับเลขคณิต พจน์แรกในลำดับเลขคณิตนี้คือ 4 และผลต่างร่วมคือ 3 (จำนวนไม้จิ้มฟันที่เพิ่มเข้าไปเพื่อไปยังขั้นตอนถัดไป) ดังนั้นจำนวนไม้จิ้มฟันที่ใช้ในขั้นตอนที่ 250 คือ $4 + 3 \cdot 249 = \boxed{751}$ | 4 + 3 \cdot 249 = \boxed{751} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $\log_{12}3x=2$ | เขียนสมการในรูปเลขชี้กำลังจะได้ $12^2=3x$ เนื่องจาก $3x=144$ ดังนั้น $x=\boxed{48}$ | x=\boxed{48} | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้าเฉลี่ยของหกจำนวนคือ 4.1 แล้วผลรวมของหกจำนวนนั้นคือเท่าใด | เฉลี่ยของหกจำนวนคือผลรวมของจำนวนนั้นหารด้วยหก ดังนั้นผลรวมของหกจำนวนนั้นต้องเท่ากับ $4.1 \times 6 = \boxed{24.6}$ | 4.1 \times 6 = \boxed{24.6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดจุด $P(-2,7)$ และ $Q(4,y)$ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน จงหาค่าของ $y$ ที่ทำให้ความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $P$ และ $Q$ เท่ากับ $\frac{-3}{2}$ | ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(x_1,y_1)$ และ $(x_2,y_2)$ คือ: $$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\text{ความชัน}$$ ในกรณีนี้ เราได้: $$\frac{y-7}{4-(-2)}=\frac{-3}{2}$$ $$2y-14=-18$$ $$2y=-4$$ $$y=\boxed{-2}$$ | -2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x@y=xy-2x$, จงหาค่าของ $(5@3)-(3@5)$ | $5@3=5\cdot3-2\cdot5=5$ และ $3@5=3\cdot5-2\cdot3=9$, ดังนั้น $(5@3)-(3@5)=5-9=\boxed{-4}$. อีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาข้อนี้คือการตระหนักว่านิพจน์ $(5@3)-(3@5)$ มีรูปแบบ $(x@y)-(y@x)=xy-2x-yx+2y=-2x+2y$ ดังนั้นนิพจน์นี้มีค่าเท่ากับ $-2\cdot5+2\cdot3=\boxed{-4}$. | -2\cdot5+2\cdot3=\boxed{-4} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อเคลื่อนที่ตามเส้นตรงในระนาบデカร์ต เมื่อค่า $x$ เพิ่มขึ้น 3 หน่วย ค่า $y$ จะเพิ่มขึ้น 7 หน่วย เมื่อค่า $x$ เพิ่มขึ้น 9 หน่วย ค่า $y$ จะเพิ่มขึ้นกี่หน่วย | ถ้าการเพิ่มค่า $x$ ขึ้น 3 หน่วย ทำให้ค่า $y$ เพิ่มขึ้น 7 หน่วย ดังนั้น การเพิ่มค่า $x$ ขึ้น $3\cdot3=9$ หน่วย จะทำให้ค่า $y$ เพิ่มขึ้น $7\cdot3=\boxed{21}$ หน่วย | 7\cdot3=\boxed{21} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาหลักหน่วยของ $23^{23}$ | มาวิเคราะห์หลักหน่วยของ $3^n$ เริ่มจาก $n=1$ (หมายเหตุว่าหลักสิบ 2 ใน 23 ไม่มีผลต่อหลักหน่วย): $3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1,\ldots$ . หลักหน่วยของ $23^{n}$ มีรอบ 4 หลัก: 3, 9, 7, 1. ดังนั้นเพื่อหาหลักหน่วยของ $23^n$ สำหรับ $n$ ที่เป็นบวกใดๆ เราต้องหาเศษ $R$ เมื่อ $n$ หารด้วย 4 ($R=1$ สอดคล้องกับหลักหน่วย 3, $R=2$ สอดคล้องกับหลักหน่วย 9, etc.) เนื่องจาก $23\div4=5R3$ หลักหน่วยของ $23^{23}$ คือ $\boxed{7}$. | \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แปลง $199_{10}$ เป็นเลขฐาน 2. ให้ $x$ เป็นจำนวนศูนย์ และ $y$ เป็นจำนวนเลข 1 ในเลขฐาน 2. ค่าของ $y-x$ คือเท่าไร | กำลังของ 2 ที่มากที่สุดที่หาร 199 ลงตัวคือ $2^7$ ซึ่งเท่ากับ 128. เนื่องจาก $(1\cdot 2^7)=128<199<(2\cdot 2^7)=256$ ดังนั้นหลักในหลัก $2^7$ คือ 1. เราทราบว่า $199-128=71$ และว่า 71 สามารถแสดงได้เป็น $64+4+2+1$ หรือ $(1\cdot 2^6)+(1\cdot 2^2)+(1\cdot 2^1)+(1\cdot 2^0)$. นี่หมายความว่า $199_{10}=11000111_2$. ดังนั้น $x=3$ และ $y=5$; และ $y-x=5-3=\boxed{2}$. | y-x=5-3=\boxed{2} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมการ $y = -16t^2 + 80t$ อธิบายความสูง (เป็นฟุต) ของวัตถุที่ถูกยิงขึ้นจากพื้นดินด้วยความเร็ว 80 ฟุตต่อวินาที ที่ $t$ เท่าใด วัตถุจะสูง 36 ฟุตเป็นครั้งแรก? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษเป็นหลักที่สิบ | กำหนดให้ $y$ เท่ากับ 36 เราจะได้ดังนี้: \begin{align*}
36& = -16t^2 + 80t\\
0 & = -16t^2 + 80t - 36\\
& = 4t^2 - 20t + 9\\
& = (2t - 1)(2t - 9)
\end{align*}ค่า $t$ ที่เป็นไปได้คือ $\frac{1}{2} = 0.5$ หรือ $\frac{9}{2} = 4.5.$ จากค่านี้ เราเลือกค่า $t$ ที่น้อยกว่า หรือ $\boxed{0.5}.$ | \boxed{0.5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พลังงานที่เก็บไว้โดยประจุบวกคู่ใดๆ เป็นสัดส่วนผกผันกับระยะห่างระหว่างประจุ และเป็นสัดส่วนตรงกับประจุของมัน ประจุจุดที่เหมือนกันสามประจุเริ่มต้นที่จุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่า และการกำหนดค่านี้เก็บพลังงานไว้ 15 จูล ถ้าหนึ่งในประจุเหล่านี้ถูกย้ายไปที่จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม พลังงานที่เก็บไว้จะเพิ่มขึ้นอีกเท่าไร จูล? | ให้ความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็น $d$. $15/3=5$ จูลของพลังงานถูกเก็บไว้เมื่อประจุสองประจุอยู่ห่างกัน $d$ ดังนั้น $2\cdot5=10$ จูลถูกเก็บไว้เมื่อประจุอยู่ห่างกัน $d/2$ เพราะพลังงานเป็นสัดส่วนผกผันกับระยะห่าง นี่หมายความว่าในการกำหนดค่าที่สอง คู่ $(A,C)$ และ $(B,C)$ เก็บ 10 จูลไว้แต่ละคู่ และเนื่องจาก $(A,B)$ ยังคงเก็บ 5 จูลไว้ การกำหนดค่าสุดท้ายเก็บพลังงานทั้งหมด $10+10+5=25$ จูล ซึ่งมากกว่าการกำหนดค่าเริ่มต้น $25-15=\boxed{10}$ จูล [asy]
dot((0,0)); dot((2,0)); dot((1,1.732));
label("$A$",(0,0),S); label("$B$",(2,0),S); label("$C$",(1,1.732),N);
draw((3,.866)--(5,.866),EndArrow);
dot((6,0)); dot((8,0)); dot((7,0));
label("$A$",(6,0),S); label("$B$",(8,0),S); label("$C$",(7,0),S);
[/asy] | C | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
1 ใน 5 ชาวอเมริกันทุกคนเป็นภูมิแพ้ ในกลุ่มตัวอย่างของชาวอเมริกัน 250 คน คุณคาดว่าจะมีกี่คนเป็นภูมิแพ้ | (1/5)(250) = 50 ดังนั้นจากชาวอเมริกัน 250 คน จะคาดว่ามี $\boxed{50}$ คนเป็นภูมิแพ้ | \boxed{50} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลต่างบวกระหว่างคำตอบสองคำตอบของสมการ $\displaystyle\sqrt[3]{4 - \frac{x^2}{3}} = -2$ | เราสามารถกำจัดเครื่องหมายรากที่สามโดยการยกกำลังสามทั้งสองข้าง ซึ่งจะได้ $4-\frac{x^2}{3} = -8$ การแก้สมการนี้จะได้ $x^2 = 36$ ดังนั้น $x=6$ หรือ $x=-6$ ดังนั้น ผลต่างบวกระหว่างสองคำตอบคือ $\boxed{12}$ | \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $9^4+9^4+9^4=3^x$ | เขียนใหม่ LHS ของสมการเป็น $3\cdot 9^4=3\cdot (3^2)^4=3\cdot 3^8=3^9$. แก้สมการ $3^9=3^x$ เราได้ $x=\boxed{9}$ | x=\boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y = 6$ และ $x^2-y^2 = 12$ แล้ว $x-y$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจากเราสามารถเขียนได้ว่า $12 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 6(x-y)$ ดังนั้น $x-y = oxed{2}$ | x-y = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองวงกลมมีจุดศูนย์กลาง O เดียวกัน จุด X เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน OP อัตราส่วนของพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี OX ต่อพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี OP คือเท่าใด จงแสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
[asy]
import graph;
draw(Circle((0,0),20));
draw(Circle((0,0),12));
dot((0,0));
dot((20,0));
dot((12,0));
draw((0,0)--(20,0));
label("$O$",(0,0),SE);
label("$P$",(20,0),E);
label("$X$",(12,0),SE);
[/asy] | ถ้า X เป็นจุดกึ่งกลางของ OP อัตราส่วนของรัศมีของวงกลมที่มีรัศมี OX ต่อรัศมีของวงกลมที่มีรัศมี OP คือ 1/2 เพื่อหาอัตราส่วนของพื้นที่ เรา squre ตัวเลขนี้: $(1/2)^2 = \boxed{\frac{1}{4}}$ | (1/2)^2 = \boxed{\frac{1}{4}} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาพื้นที่ของวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-6x +y^2-14y +33=0$ ที่อยู่ใต้เส้นตรง $y=7$? | บวก $(-6/2)^2$ และ $(-14/2)^2$ เข้ากับทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ \[
(x^2-6x +9) +(y^2-14y +49)=25,
\] ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็น $(x-3)^2 +(y-7)^2 =5^2$. จุดศูนย์กลางของวงกลมนี้คือ $(3,7)$ ดังนั้นเส้นตรง $y=7$ ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น พื้นที่ของวงกลมที่อยู่ใต้ $y=7$ คือครึ่งหนึ่งของพื้นที่วงกลม รัศมีของวงกลมคือ $\sqrt{25} = 5$ ดังนั้นวงกลมมีพื้นที่ $25\pi$ ดังนั้น ครึ่งหนึ่งของพื้นที่วงกลมคือ $\boxed{\frac{25\pi}{2}}$ | \boxed{\frac{25\pi}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $2(3^x) = 162$ เพื่อหาค่า $x$ | หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 เพื่อให้ได้ $3^x=81$ เนื่องจาก $3$ ยกกำลัง 4 เท่ากับ 81 ดังนั้น $x=\boxed{4}$ | x=\boxed{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ที่โรงเรียนวิชาการ เพื่อที่จะผ่านการทดสอบพีชคณิต คุณต้องได้คะแนนอย่างน้อย $80\%$. ถ้ามี 35 ข้อในข้อสอบ ข้อมากที่สุดที่คุณสามารถพลาดและยังผ่านได้คือเท่าไร? | ถ้าคุณต้องได้คะแนนอย่างน้อย $80 \%$, ดังนั้นคุณไม่สามารถพลาดได้มากกว่า $20 \% = 1/5$ ของจำนวนข้อ $1/5$ ของ $35$ เท่ากับ $7$ ดังนั้นคุณสามารถพลาดได้มากที่สุด $\boxed{7}$ ข้อและยังผ่านได้ | \boxed{7} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $y$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $3y^2 + 5y + 2 = 4$ | ทำดังนี้: \begin{align*}
3y^2 + 5y + 2 &= 4\\
3y^2 + 5y - 2 &= 0\\
(3y - 1)(y + 2) &= 0.
\end{align*}จะได้ $y = \frac{1}{3}$ หรือ $y = -2$ จากนี้ $y = \boxed{-2}$ เป็นค่าที่น้อยกว่า และเป็นคำตอบของเรา | y = \boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ประเมินค่าของ $\frac{3+x(3+x)-3^2}{x-3+x^2}$ เมื่อ $x=-2$。 | $\frac{3+x(3+x)-3^2}{x-3+x^2}=\frac{3+(-2)(3+(-2))-3^2}{-2-3+(-2)^2}=\frac{-8}{-1}=\boxed{8}$ | \frac{3+x(3+x)-3^2}{x-3+x^2}=\frac{3+(-2)(3+(-2))-3^2}{-2-3+(-2)^2}=\frac{-8}{-1}=\boxed{8} | [
"ประยุกต์"
] |
จากจุดห้าจุด (3, 10), (6, 20), (12, 35), (18, 40) และ (20, 50) ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดที่อยู่เหนือเส้นตรง $y = 2x + 7$ ในระนาบพิกัดเท่ากับเท่าใด | จุดจะอยู่เหนือ $y=2x+7$ หากพิกัด $y$ ของจุดนั้นมีค่ามากกว่า 2 เท่าของพิกัด $x$ บวก 7. เมื่อตรวจสอบจุดที่กำหนดให้ เราพบว่า $(6,20)$, $(12,35)$ และ $(20,50)$ สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $6+12+20=\boxed{38}$ | 6+12+20=\boxed{38} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลต่างของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 6 และผลคูณของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 112 จงหาผลบวกของจำนวนทั้งสอง | กำหนดให้จำนวนทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ โดยที่ $x>y$ เราได้สมการ \begin{align*}
x-y&=6\\
xy&=112
\end{align*}ยกกำลังสองสมการแรก เราได้ \[(x-y)^2=6^2\Rightarrow x^2-2xy+y^2=36\]คูณสมการที่สองด้วยสี่ เราได้ $4xy = 4\cdot112=448$ บวกสมการสองสมการนี้เข้าด้วยกัน เราได้ \[x^2-2xy+y^2+4xy=36+448 \Rightarrow (x+y)^2=484 \Rightarrow x+y = 22\]ในขั้นตอนสุดท้าย เราใช้รากที่สองที่เป็นบวก เพราะ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนบวก ผลบวกของจำนวนทั้งสองคือ $\boxed{22}$ | \boxed{22} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีจำนวนกี่จำนวนในเซต $\{3,13,23,33, \ldots\}$ ที่สามารถเขียนได้ในรูปผลต่างของจำนวนเฉพาะสองจำนวน? | สังเกตว่าเมื่อเราลบจำนวนเต็มสองจำนวน ผลต่างจะเป็นจำนวนคี่ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนคู่ และอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนคี่ (คู่ - คู่ = คู่ และ คี่ - คี่ = คู่) ถ้าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนคู่ จำนวนนั้นจะหารด้วย 2 ลงตัว และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ยกเว้น 2 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะคู่เพียงจำนวนเดียว ดังนั้นจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวนต้องเป็น 2 ถ้าเราบวก 2 กับจำนวนแต่ละจำนวนในเซตเพื่อหาจำนวนเฉพาะอีกจำนวนหนึ่ง เราจะได้ $\{5, 15, 25, 35, \ldots\}$. จำนวนทั้งหมดในเซตหารด้วย 5 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะเพียงจำนวนเดียวในเซตคือ 5 ดังนั้นจำนวนเดียวในเซต $\{3,13,23,33, \ldots\}$ ที่สามารถเขียนได้ในรูปผลต่างของจำนวนเฉพาะสองจำนวนคือ $5-2=3$ คำตอบคือ $\boxed{1}$ จำนวน | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คะแนนใน 3 ครั้งแรกของตรีชาคือ 88, 73 และ 70 หลังจากสอบอีก 2 ครั้ง คะแนนเฉลี่ยของทั้ง 5 ครั้งคือ 81 คะแนนแต่ละครั้งน้อยกว่า 90 และคะแนนของตรีชาในแต่ละครั้งเป็นจำนวนเต็มที่ต่างกัน จงเรียงลำดับคะแนนทั้ง 5 ครั้งของตรีชาจากมากไปน้อย โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ถ้าคะแนนเฉลี่ยของตรีชาหลังสอบ 5 ครั้งคือ 81 เธอต้องได้คะแนนรวม $5\cdot 81 - (88 + 73 + 70) = 174$ ใน 2 ครั้งสุดท้าย โดยที่คะแนนแต่ละครั้งน้อยกว่า 90 นั่นหมายความว่าตรีชาได้คะแนน 87 และ 87, 88 และ 86 หรือ 89 และ 85 ใน 2 ครั้งสุดท้าย
เนื่องจากคะแนนของตรีชาในแต่ละครั้งเป็นจำนวนเต็มที่ต่างกัน เธอจึงไม่สามารถได้คะแนน 87 และ 87 ใน 2 ครั้งสุดท้ายได้ และเนื่องจากเธอได้คะแนน 88 ในครั้งหนึ่งแล้ว เธอก็ไม่สามารถได้คะแนน 88 และ 86 ได้ นั่นหมายความว่าเธอต้องได้คะแนน 89 และ 85 ใน 2 ครั้งสุดท้าย
ดังนั้นคะแนนของตรีชาคือ 88, 73, 70, 89 และ 85 เมื่อเรียงลำดับจากมากไปน้อย เราจะได้คำตอบคือ $\boxed{89, 88, 85, 73, 70}$ | \boxed{89, 88, 85, 73, 70} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $$(x^3+4x^2-7x+11)+(-4x^4-x^3+x^2+7x+3).$$ แสดงคำตอบของคุณในรูปของพหุนามโดยมีพจน์เรียงตามลำดับของดีกรีที่ลดลง | เราจัดรูปผลบวกใหม่เพื่อให้สะดวกในการรวมพจน์ที่คล้ายกัน: \begin{align*}
&(x^3+4x^2-7x+11)+(-4x^4-x^3+x^2+7x+3)\\
&\qquad=-4x^4+(1-1)x^3+(1+4)x^2+(-7+7)x+(11+3)\\
&\qquad=\boxed{-4x^4+5x^2+14}.
\end{align*} | [
"ประยุกต์ใช้"
] | |
กราฟของเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(1,3)$ ถึง $(5,7)$ ค่าของ $b$ คือเท่าใด | ถ้าเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(1,3)$ ถึง $(5,7)$ มันจะต้องผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงนี้ จุดกึ่งกลางคือ: $$\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(3,5)$$จุดนี้ nằmบนเส้นตรง $x+y=b$ ดังนั้นเราต้องมี $3+5=b\Rightarrow b=\boxed{8}$. | 3+5=b\Rightarrow b=\boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แอนโทนีทำประตูโทษได้ 5 ครั้ง จากการยิง 12 ครั้งแรก ถ้าเขาทำประตูโทษได้ 2/3 ของการยิง 24 ครั้งถัดไป อัตราความสำเร็จโดยรวมของเขาจะเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์? แสดงคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | ถ้าแอนโทนีทำประตูโทษได้ 2/3 ของการยิง 24 ครั้งถัดไป เขาจะทำประตูโทษได้อีก 16 ครั้ง จากนั้นเขาจะมีประตูโทษที่ทำสำเร็จ 5 + 16 = 21 ครั้ง จากการยิง 12 + 24 = 36 ครั้ง นั่นคืออัตราความสำเร็จ 21/36 = 7/12 ซึ่งเท่ากับ 58.3% อัตราความสำเร็จของเขา ก่อนหน้านี้คือ 5/12 ซึ่งเท่ากับ 41.6% การเพิ่มขึ้นคือ 58.3 - 41.6 = 16.7 หรือ 17% (ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด) | 17% | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการ \[\frac{2x+4}{x^2+4x-5}=\frac{2-x}{x-1}\]หาค่า $x$ | เราสังเกตว่าตัวส่วนทางซ้ายสามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้น \[\frac{2x+4}{(x-1)(x+5)}=\frac{2-x}{x-1}.\]ตราบใดที่ $x\neq1$ เราสามารถตัด $x-1$ ออกจากตัวส่วนได้ ซึ่งจะได้ \[\frac{2x+4}{x+5}=2-x.\]จากนั้นเราสามารถคูณไขว้เพื่อหา \[2x+4=(2-x)(x+5)=-x^2-3x+10.\]เราสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น \[x^2+5x-6=0\]และแยกตัวประกอบเป็น \[(x-1)(x+6)=0.\]สังเกตว่าเนื่องจาก $x-1$ อยู่ในตัวส่วนของสมการเดิม $x=1$ เป็นคำตอบที่ไม่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม $x=\boxed{-6}$ เป็นคำตอบที่แก้สมการเดิมได้ | x=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของ $11111111_2$ และ $111111_2$ เขียนคำตอบในระบบเลขฐานสิบ | เราสามารถบวกเลขในระบบเลขฐานสองได้โดยการ przenะตัวเลข แต่มีวิธีที่ง่ายกว่า ลองสังเกตว่าจำนวนแรกคือ $2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7$ ซึ่งจากสูตรอนุกรมเรขาคณิตจะเท่ากับ $2^8-1=256-1=255$ จำนวนที่สองคือ $2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5=2^6-1=64-1=63$ ดังนั้นผลบวกของทั้งสองจำนวนคือ $255+63=305+13=\boxed{318}$ | 255+63=305+13=\boxed{318} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ฉันต้องเรียนรู้คำศัพท์สำหรับการสอบภาษาสเปนของฉัน มีคำศัพท์ 500 คำ และคะแนนสอบคือเปอร์เซ็นต์ของคำศัพท์เหล่านี้ที่ฉันจำได้ถูกต้อง โดยสมมติว่าฉันจะจำคำศัพท์ที่ฉันเรียนรู้ได้ถูกต้อง และสมมติว่าการเดาของฉันจะไม่ได้รับคะแนนใดๆ ฉันควรเรียนรู้คำศัพท์อย่างน้อยกี่คำเพื่อที่จะได้คะแนนอย่างน้อย $85\%$ ในการสอบ? | เนื่องจากคะแนนสอบคือเปอร์เซ็นต์ของคำศัพท์ที่ฉันจำได้ถูกต้อง เราสามารถตั้งสัดส่วนเพื่อหาจำนวนคำศัพท์ขั้นต่ำที่ฉันต้องเรียนรู้: \begin{align*}
\frac{\text{จำนวนคำศัพท์ที่ฉันต้องเรียนรู้}}{\text{จำนวนคำศัพท์ทั้งหมด}}&=\frac{85\%}{100\%}\\
\frac{x}{500}&=\frac{85}{100}\\
x&=\frac{85}{100}\cdot 500\\
x&=85\cdot 5\\
x&=\boxed{425}.
\end{align*}การเรียนรู้ 425 คำจะทำให้ได้คะแนน $85\%$ ดังนั้นฉันไม่จำเป็นต้องเรียนรู้คำศัพท์มากกว่า 425 คำ | 425 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
รถยนต์คันหนึ่งเดินทางจาก $A$ ไป $B$ ระยะทาง 120 ไมล์ ด้วยความเร็ว 60 ไมล์ต่อชั่วโมง และกลับมาที่ $A$ บนเส้นทางเดียวกัน ถ้าอัตราเร็วเฉลี่ยของการเดินทางไปกลับคือ 45 ไมล์ต่อชั่วโมง อัตราเร็วของรถยนต์ในการเดินทางกลับจาก $B$ ไป $A$ คือเท่าไร (หน่วยเป็นไมล์ต่อชั่วโมง) | ให้ $d$ แทนระยะทาง (หน่วยเป็นไมล์) จาก $A$ ไป $B$ และให้ $r$ แทนความเร็ว (หน่วยเป็นไมล์ต่อชั่วโมง) ของรถยนต์ในการเดินทางกลับ ใช้เวลา $d/60$ ชั่วโมงในการเดินทางจาก $A$ ไป $B$ และใช้เวลา $d/r$ ชั่วโมงในการเดินทางจาก $B$ ไป $A$ การเดินทางไปกลับระยะทาง $2d$ ไมล์ ใช้เวลา $d/60+d/r$ ชั่วโมง ซึ่งมีความเร็วเฉลี่ยเท่ากับ \[
\frac{2d}{\frac{d}{60}+\frac{d}{r}} \cdot \frac{\frac{60}{d}}{\frac{60}{d}} =
\frac{120}{1+\frac{60}{r}}
\] เมื่อกำหนดให้ค่านี้เท่ากับ 45 เราจะได้ $r=\boxed{36}$ | r=\boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=2x^3+4$, จงหา $f^{-1}(58)$. | ค่า $x=f^{-1}(58)$ คือคำตอบของ $f(x)=58$ ซึ่งหมายความว่า \[2x^3+4=58.\]ลบ 4 จะได้ \[2x^3=54.\]ถ้าเราหารด้วย 2 จะได้ \[x^3=27,\]และค่าที่แก้สมการนี้ได้เพียงค่าเดียวคือ \[x=\boxed{3}.\] | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของจำนวน $M$ และหกน้อยกว่า $M$ เท่ากับ $-5$ ผลบวกของค่า $M$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้คือเท่าใด | แปลงข้อมูลที่กำหนดให้เป็นรูปสมการ เราพบว่า $M(M-6) = -5$ จัดรูปใหม่ $M^2 - 6M + 5 = 0$ ใช้สมการ Vieta สำหรับผลรวมและผลคูณของราก เราพบว่าผลรวมของคำตอบของสมการนี้คือ $-(-6) = \boxed{6}$ | -(-6) = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าฟังก์ชัน $g$ และ $f$ มีสมบัติที่ $g(x)=3f^{-1}(x)$ และ $f(x)=\frac{24}{x+3}$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $g(x)=15$ | เนื่องจาก $g(x)=3f^{-1}(x)$ เราได้ว่า $3f^{-1}(x)=15$ ซึ่งหมายความว่า $f^{-1}(x)=\frac{15}{3}=5$ เนื่องจาก $f$ และ $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันกัน ดังนั้นถ้า $f^{-1}(x)=5$ เราจะได้ว่า $f(5)=x$ แทนค่านี้กลับลงในสมการ $f(x)=\frac{24}{x+3}$ เราจะได้ว่า $$x=f(5)=\frac{24}{5+3}=\boxed{3}.$$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคู่ลำดับ $(x,y)$ ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสองด้านล่าง: \begin{align*} 2x - 3y &= -5,\\ 5x - 2y &= 4. \end{align*} | การคูณสมการแรกด้วย 5 และสมการที่สองด้วย $-2$ จะได้
\begin{align*}
10x-15y&=-25,\\
-10x + 4y &=-8.\\
\end{align*}การบวกทั้งสองสมการจะได้ $-11y = -33$ ดังนั้น $y=3$ การแทนค่า $y=3$ ในสมการดั้งเดิมแรกจะได้ $2x - 9 = -5$ ดังนั้น $2x = 4$ และ $x = 2$ ดังนั้นคำตอบคือ $(x,y) = \boxed{(2,3)}$ | (x,y) = \boxed{(2,3)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แบคทีเรียในจานเพาะเชื้อเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทุกสี่ชั่วโมง ถ้าตอนนี้มีแบคทีเรีย 500 เซลล์ ในจานเพาะเชื้อ ในอีกกี่ชั่วโมงจะมีแบคทีเรียちょうど 32,000 เซลล์ | 32000 แบคทีเรียคือ $32000/500=64$ เท่าของจำนวนแบคทีเรียที่อยู่ในจานเพาะเชื้อในขณะนี้ เนื่องจาก $64=2^6$ แบคทีเรียต้องเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า 6 ครั้งจึงจะถึงจำนวนนี้ เนื่องจากแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทุกๆ สี่ชั่วโมง จึงใช้เวลา $4\cdot6=\boxed{24}$ ชั่วโมง | 4\cdot6=\boxed{24} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลูกบอลถูกปล่อยจากความสูง 1000 ฟุต และจะเด้งกลับขึ้นมาครึ่งหนึ่งของระยะทางที่ตกลงมาเสมอ หลังจากเด้งกี่ครั้ง ลูกบอลจะถึงความสูงสูงสุดน้อยกว่า 1 ฟุตเป็นครั้งแรก? | เรามีลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 1000 และอัตราส่วนร่วม $1/2$ พจน์ใดๆ ในลำดับนี้สามารถแทนได้ด้วย $1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k$ โดยที่ $k$ คือจำนวนครั้งที่เด้ง (ตัวอย่างเช่น เมื่อ $k=1$, $1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k=500$ หรือความสูงของการเด้งครั้งที่ $k=1^\text{st}$ ) เราต้องหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k<1$ ผ่านการทดลองผิดพลาด เราพบว่า $k=10$ ดังนั้นใช้ $\boxed{10}$ ครั้งในการเด้งเพื่อให้ความสูงสูงสุดน้อยกว่า 1 ฟุต | \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $x$ ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับสมการ $8x^2 - 38x + 35 = 0$ แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เราสามารถเขียนใหม่ฝั่งซ้ายของสมการ $8x^2 - 38x + 35$ เป็น $(2x - 7)(4x - 5)$ ดังนั้นเราได้ $(2x - 7)(4x - 5) = 0$ ดังนั้น การแก้สมการ $2x - 7 = 0$ และ $4x - 5 = 0$ จะให้เรา $x = 3.5$ และ $x = 1.25$ เป็นคำตอบของเรา เนื่องจาก $1.25 < 3.5$ คำตอบสุดท้ายของเราคือ $x = \boxed{1.25}$ | x = \boxed{1.25} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อาร์เธอร์เดินไปทางทิศตะวันออก 6 บล็อก และเดินไปทางทิศเหนือ 12 บล็อก ถ้าแต่ละบล็อกยาว 1 ใน 3 ไมล์ เขาเดินไปทั้งหมดกี่ไมล์ | อาร์เธอร์เดินไปทั้งหมด $6+12=18$ บล็อก ซึ่งเท่ากับ $$18\left(\frac{1}{3}\right)=\boxed{6}$$ ไมล์ | 6 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ขยาย $-(3-c)(c+2(3-c))$ ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของรูปที่ขยายออกคือเท่าใด | การทำให้ $(c+2(3-c))$ ง่ายขึ้นจะได้ $c+6-2c=6-c$ การแจกจ่ายเครื่องหมายลบเหนือพจน์แรกจะได้ $-(3-c)=c-3$ ดังนั้นผลคูณของเราคือ $$(c-3)(6-c)=6c-c^2-18+3c=-c^2+9c-18.$$ ผลรวมของสัมประสิทธิ์คือ $(-1)+(9)+(-18)=\boxed{-10}$. | (-1)+(9)+(-18)=\boxed{-10} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
บ็อบกำลังไปเยือนประเทศญี่ปุ่นและเขาต้องการซื้อกาแฟราคา 200 เยน ถ้าหนึ่งดอลลาร์สหรัฐมีค่าเท่ากับ 108 เยน เขาต้องใช้เงินเท่าไรเป็นดอลลาร์สหรัฐ (ปัดเศษเป็นร้อยละ) สำหรับกาแฟ (คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขในปัญหานี้) | บ็อบต้องจ่าย 200 เยน ซึ่งเราสามารถคูณด้วยปัจจัยการแปลง $\frac{1\ \text{USD}}{108\ \text{yen}}$ เพื่อให้ได้ค่าเป็นดอลลาร์สหรัฐ การคำนวณจะพบว่าบ็อบต้องใช้ $200\ \text{yen} \cdot \frac{1\ \text{USD}}{108\ \text{yen}} \approx \boxed{1.85\ \text{USD}}$ สำหรับกาแฟ | 200\ \text{yen} \cdot \frac{1\ \text{USD}}{108\ \text{yen}} \approx \boxed{1.85\ \text{USD}} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าบวกของ $n$ ที่ทำให้สมการ $9x^2+nx+1=0$ มีคำตอบใน $x$ เพียงคำตอบเดียว | ถ้าสมการกำลังสองทางซ้ายมือมีรากใน $x$ เพียงรากเดียว ดังนั้นมันจะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ หาร 9 ทั้งสองข้าง จะได้ $x^2+\frac{n}{9}x+\frac{1}{9}=0$ เพื่อให้ด้านซ้ายมือเป็นกำลังสองสมบูรณ์ มันจะต้องแยกตัวประกอบเป็น $\left(x+\frac{1}{3}\right)^2=x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$ หรือ $\left(x-\frac{1}{3}\right)^2=x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และค่าคงที่ถูกกำหนดไว้แล้ว) มีเพียงกรณีแรกเท่านั้นที่ให้ค่าบวกของ $n$ ซึ่งคือ $n=\frac{2}{3}\cdot9=\boxed{6}$ | n=\frac{2}{3}\cdot9=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปสองรูปที่แสดงให้ดูประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย ความต่างของเส้นรอบรูปเป็นเท่าไร (หน่วย)
[asy]
draw((0,0)--(0,1)--(5,1)--(5,0)--cycle,linewidth(1));
draw((1,0)--(1,2)--(4,2)--(4,0),linewidth(1));
draw((2,-1)--(2,3)--(3,3)--(3,-1)--cycle,linewidth(1));
draw((7,0)--(7,2)--(12,2)--(12,0)--cycle,linewidth(1));
draw((7,1)--(12,1),linewidth(1));
draw((8,0)--(8,2),linewidth(1));
draw((9,0)--(9,2),linewidth(1));
draw((10,0)--(10,2),linewidth(1));
draw((11,0)--(11,2),linewidth(1));
[/asy] | รูปแรกมีเส้นรอบรูป 18 หน่วย และรูปที่สองมีเส้นรอบรูป 14 หน่วย ดังนั้นความต่างคือ $18-14=\boxed{4}$ หน่วย | 18-14=\boxed{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการหาค่า $c$: $$\sqrt{4+\sqrt{8+4c}}+ \sqrt{2+\sqrt{2+c}} = 2+2\sqrt{2}$$ | เราสามารถแยกตัวประกอบค่าคงตัวออกจากรากที่หนึ่งได้: \begin{align*}
\sqrt{4+\sqrt{8+4c}} &= \sqrt{4+\sqrt{4(2+c)}}\\
&= \sqrt{4+2\sqrt{2+c}}\\
&= \sqrt{2(2+\sqrt{2+c})}\\
&= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2+c}}.
\end{align*}จากนั้นเราสามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันและแก้สมการได้: \begin{align*}
\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2+c}}+ \sqrt{2+\sqrt{2+c}} &= 2+2\sqrt{2}\\
\Rightarrow \qquad (1+\sqrt{2})\sqrt{2+\sqrt{2+c}} &=2(1+\sqrt{2})\\
\Rightarrow \qquad \sqrt{2+\sqrt{2+c}} &= 2\\
\Rightarrow \qquad 2+\sqrt{2+c} &= 4\\
\Rightarrow \qquad \sqrt{2+c} &= 2\\
\Rightarrow \qquad 2+c &= 4\\
\Rightarrow \qquad c &= \boxed{2}
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กระดานปาเป้ากลมถูกแบ่งออกเป็นบริเวณต่างๆ ด้วยมุมศูนย์กลางที่ต่างกัน ดังแสดงในรูป โอกาสที่ลูกดอกจะตกลงในบริเวณใดบริเวณหนึ่งคือ $\frac{1}{6}$ มุมศูนย์กลางของส่วนนี้ของกระดานปาเป้ามีขนาดเท่าไรเป็นองศา [asy]
unitsize(1.5cm);
defaultpen(linewidth(.7pt));
pair O=(0,0);
draw(Circle(O,1));
draw(dir(0)--O--dir(90));
draw(dir(150)--O--dir(225));
[/asy] | ให้ $A$ เป็นพื้นที่ของกระดานปาเป้ากลม ถ้าขนาดของมุมศูนย์กลางของภาคกลมคือ $x$ องศา พื้นที่ของภาคกลมคือ $\left(\frac{x}{360}\right)A$ โอกาสที่ลูกดอกจะตกลงในบริเวณใดบริเวณหนึ่งคืออัตราส่วนของพื้นที่ของบริเวณนั้นต่อพื้นที่ของกระดานปาเป้า ดังนั้น \[
\frac{1}{6} = \frac{\left(\frac{x}{360}\right)A}{A}.
\] แก้สมการเพื่อหา $x=\boxed{60}$ | x=\boxed{60} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ซูซี่ Q มีเงิน 1000 ดอลลาร์สหรัฐที่จะลงทุน เธอลงทุนบางส่วนของเงินที่ธนาคาร Pretty Penny ซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นรายปีที่ 3 เปอร์เซ็นต์ เธอลงทุนส่วนที่เหลือที่ธนาคาร Five and Dime ซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นรายปีที่ 5 เปอร์เซ็นต์ หลังจาก 2 ปี ซูซี่มีเงินรวมเป็น 1090.02 ดอลลาร์สหรัฐ เธอลงทุนเงินดอลลาร์สหรัฐจำนวนเท่าใดที่ธนาคาร Pretty Penny ในตอนแรก? | ให้ $x$ เป็นจำนวนเงินดอลลาร์สหรัฐที่ซูซี่ Q ลงทุนที่ธนาคาร Pretty Penny ดังนั้นเธอลงทุน $1000 - x$ ที่ธนาคาร Five and Dime หลังจาก 2 ปีบัญชีของเธอที่ธนาคาร Pretty Penny เติบโตเป็น $x \cdot 1.03^2$ และบัญชีของเธอที่ธนาคาร Five and Dime เติบโตเป็น $(1000 - x) \cdot 1.05^2$ ดังนั้น \[x \cdot 1.03^2 + (1000 - x) \cdot 1.05^2 = 1090.02.\]เราเห็นว่า $x \cdot 1.03^2 + (1000 - x) \cdot 1.05^2 = 1.0609x + 1102.5 - 1.1025x = 1102.5 - 0.0416x$ ดังนั้น \[1102.5 - 0.0416x = 1090.02.\]จากนั้น \[x = \frac{1102.5 - 1090.02}{0.0416} = \boxed{300}.\] | 300 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=8x-6y-20$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัวจาก RHS ไป LHS เราได้ $x^2-8x+y^2+6y=-20$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(-8/2)^2=16$ เข้าทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(6/2)^2=9$ เข้าทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2-8x+y^2+6y&=-20\\
\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+6y+9&=5\\
\Rightarrow (x-4)^2+(y+3)^2&=5
\end{align*} ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุด $(4,-3)$ ดังนั้น $x+y=4+(-3)=oxed{1}$ | x+y=4+(-3)=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: $9x^2+3x$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $9x^2$ และ $3x$ คือ $3x$ เราแยกตัวประกอบ $3x$ ออกจากแต่ละพจน์เพื่อให้ได้\begin{align*}
9x^2+3x &= 3x\cdot 3x + 3x \cdot 1\\
&= \boxed{3x(3x+1)}.
\end{align*} | 3x(3x+1) | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
คำนวณ $95^2$ ในใจ | เรามี $(90 + 5)^2 = 90^2 + 2(90)(5) + 5^2 = 8100 + 900 + 25 = \boxed{9025}$ | (90 + 5)^2 = 90^2 + 2(90)(5) + 5^2 = 8100 + 900 + 25 = \boxed{9025} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาเลขโดด $N$ ที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้ $2345N$ หารด้วย 6 ลงตัว | จำนวน $2345N$ หารด้วย 6 ลงตัวก็ต่อเมื่อมันหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว
จำนวน $2345N$ หารด้วย 2 ลงตัวก็ต่อเมื่อหลักสุดท้าย $N$ เป็นเลขคู่ ดังนั้น $N$ ต้องเป็น 0, 2, 4, 6 หรือ 8
จำนวน $2345N$ หารด้วย 3 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลบวกของหลักของมันหารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งก็คือ $2 + 3 + 4 + 5 + N = N + 14$ เราเห็นว่า $N + 14$ หารด้วย 3 ลงตัวก็ต่อเมื่อ $N$ เป็นเลขโดด 1, 4 หรือ 7
ดังนั้น จึงมีเลขโดด $N$ เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ $2345N$ หารด้วย 6 ลงตัว นั่นก็คือ $N = \boxed{4}$ | N = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด และสมมติว่า $f$ มีอินเวอร์ส (นั่นคือ $f^{-1}(x)$ มีอยู่สำหรับ $x$ ทั้งหมดในช่วงของ $f$)
ถ้ากราฟของ $y=f(x^2)$ และ $y=f(x^4)$ ถูกวาดขึ้น จุดตัดกันกี่จุด? | มีจุดตัดกันสำหรับแต่ละ $x$ ที่ทำให้ $f(x^2)=f(x^4)$ เนื่องจาก $f$ มีอินเวอร์ส สมการนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x^2=x^4$ เท่านั้น ดังนั้นเราจึงนับคำตอบของสมการนั้น เราสามารถจัดเรียงสมการ $x^2=x^4$ ใหม่ดังนี้: \begin{align*}
0 &= x^4-x^2 \\
0 &= x^2(x^2-1) \\
0 &= x^2(x+1)(x-1)
\end{align*}การแยกตัวประกอบครั้งสุดท้ายแสดงให้เห็นว่าคำตอบคือ $x=-1,0,1$ ดังนั้นกราฟของ $y=f(x^2)$ และ $y=f(x^4)$ ต้องตัดกันที่จุด $\boxed{3}$ จุด | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (ซึ่งหมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษ) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังนั้น $a+b=-3+3=\boxed{0}$ | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนตัวประกอบบวกของ 96 ที่เป็นพหุคูณของ 12 | เราทำการ liệtตัวประกอบของ 96 เพื่อดูว่าตัวประกอบใดเป็นพหุคูณของ 12 ตัวประกอบของ 96 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 และ 96. เราตรวจสอบว่าตัวประกอบใดหารด้วย 12 ลงตัว เพราะถ้าหารด้วย 12 ลงตัวแสดงว่าเป็นพหุคูณของ 12. เราตรวจสอบแต่ละตัว: 1 ไม่หารลงตัว, 2 ไม่หารลงตัว, 3 ไม่หารลงตัว, 4 ไม่หารลงตัว, 6 ไม่หารลงตัว, 8 ไม่หารลงตัว, 12 หารลงตัว, 16 ไม่หารลงตัว, 24 หารลงตัว, 32 ไม่หารลงตัว, 48 หารลงตัว และ 96 หารลงตัว. ดังนั้นมี $\boxed{4}$ ตัวประกอบของ 96 ที่เป็นพหุคูณของ 12 | \boxed{4} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x = \frac34$ และ $y = \frac43$ , จงหาค่าของ $\frac12x^6y^7$. | เรามี \[\frac{1}{2} x^6 y^7 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^6\left(\frac43\right)^7 = \frac{1}{2}\cdot \frac{3^6}{4^6} \cdot \frac{4^7}{3^7}
=\frac{1}{2} \cdot\frac{3^6}{3^7} \cdot \frac{4^7}{4^6} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} \cdot 4 = \boxed{\frac{2}{3}}.\]
เราอาจจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างรวดเร็วโดยสังเกตว่าถ้า $x=\frac34$ และ $y=\frac43$ แล้ว $xy=1$ ดังนั้น $\frac{1}{2}x^6y^7 = \frac{1}{2} (xy)^6y=\frac{1}{2}\cdot 1^6y = \frac{1}{2}y = \frac{2}{3}$ | \frac{1}{2}x^6y^7 = \frac{1}{2} (xy)^6y=\frac{1}{2}\cdot 1^6y = \frac{1}{2}y = \frac{2}{3} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ครึ่งหนึ่งของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างกำลังสองของ 18 และ 16 คือเท่าไร | $$\frac{18^2-16^2}{2}=\frac{(18-16)(18+16)}{2}=\frac{(2)(34)}{2}=\boxed{34}$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
มีวิธีการเลือกหนังสือ 4 เล่ม จากชั้นหนังสือที่มี 6 เล่ม ได้กี่วิธี ถ้าลำดับที่เลือกหนังสือไม่สำคัญ? | เราสามารถเลือกหนังสือ 4 เล่ม จาก 6 เล่ม ได้ $\binom{6}{4}=\boxed{15}$ วิธี | \binom{6}{4}=\boxed{15} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณ $\dfrac{9!}{6!3!}$ โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข | $\dfrac{9!}{6!3!} = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times \cdots \times 1}{(6 \times 5 \times \cdots \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{84}$. | $\dfrac{9!}{6!3!} = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times \cdots \times 1}{(6 \times 5 \times \cdots \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{84}$ | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กถูกบรรจุอยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ดังแสดงในรูป ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กมีขนาด 3 หน่วย และด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่มีขนาด 7 หน่วย จำนวนหน่วยรูปที่อยู่ในพื้นที่ของส่วนสีดำคือเท่าไร?
[asy]
fill((0,0)--(21,0)--(21,21)--(0,21)--cycle,black);
fill((9,4)--(9,13)--(18,13)--(18,4)--cycle,white);
[/asy] | พื้นที่ของส่วนสีดำคือผลต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กที่ถูกตัดออก: $7^2-3^2=\boxed{40}$ หน่วยรูป | 7^2-3^2=\boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทำให้ง่ายขึ้น $$\sqrt{6+4\sqrt2}+\sqrt{6-4\sqrt2}.$$ | เนื่องจาก $(\sqrt2\pm1)^2=2\pm2\sqrt2+1=3\pm2\sqrt2$, $$\sqrt{6+4\sqrt2}=\sqrt{2(3+2\sqrt2)}=\sqrt2(\sqrt2+1)=2+\sqrt2.$$ในทำนองเดียวกัน, $$\sqrt{6-4\sqrt2}=\sqrt2(\sqrt2-1)=2-\sqrt2.$$ดังนั้น, $$\sqrt{6+4\sqrt2}+\sqrt{6-4\sqrt2}=(2+\sqrt2)+(2-\sqrt2)=\boxed{4}.$$ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากจุดห้าจุด (3, 10), (6, 20), (12, 35), (18, 40) และ (20, 50) ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดที่อยู่เหนือเส้นตรง $y = 2x + 7$ บนระนาบพิกัด คือเท่าใด | จุดจะอยู่เหนือ $y=2x+7$ ถ้าพิกัด $y$ ของจุดนั้นมากกว่า 2 เท่าของพิกัด $x$ บวก 7. เมื่อตรวจสอบจุดที่กำหนดให้ เราพบว่า (6, 20), (12, 35) และ (20, 50) สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $6 + 12 + 20 = \boxed{38}$ | 6+12+20=\boxed{38} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $3\cdot\frac{11}{4}\cdot \frac{16}{-55}$ | สังเกตว่า 55 และ 11 มีตัวประกอบร่วมคือ 11 และ 4 และ 16 มีตัวประกอบร่วมคือ 4 เนื่องจากมีเครื่องหมายลบอยู่หนึ่งเครื่องในบรรดาตัวประกอบทั้งหมด ผลลัพธ์ของเราจะเป็นลบ เราได้ \[
3\cdot\frac{11}{4}\cdot \frac{16}{-55}=-3\cdot\frac{\cancel{11}}{\cancel{4}}\cdot \frac{\cancelto{4}{16}}{\cancelto{5}{55}} \quad =-\frac{3\cdot 4}{5}=\boxed{-\frac{12}{5}}.
\] | [
"ประยุกต์"
] | |
การแจกแจงความถี่ของคะแนนสำหรับนักเรียนในชั้นเรียนพีชคณิตของนายแซมป์สันแสดงไว้ดังนี้ มีกี่เปอร์เซ็นต์ของชั้นเรียนที่ได้คะแนนอยู่ในช่วง $60\%$-$69\%$? \begin{tabular}{|c|c|}
Test Scores & Frequencies\\
\hline
$90\% - 100\%$& IIII\\
$80\% - 89\%$& IIII IIII\\
$70\% - 79\%$& IIII II\\
$60\% - 69\%$ & IIII I\\
Below $60\%$ & II
\end{tabular} | เราจะนับจำนวนเครื่องหมายเพื่อดูว่ามี $5$ นักเรียนที่ได้คะแนนอยู่ในช่วง $60\%-69\%$. ตอนนี้เรานับเครื่องหมายเพื่อหาว่ามี $4+8+6+5+2=25$ นักเรียนในชั้นเรียน เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนที่ได้คะแนนอยู่ในช่วง $60\%-69\%$ คือ $\frac{5}{25}\times\frac44=\frac{20}{100}=\boxed{20\%}$. | \frac{5}{25}\times\frac44=\frac{20}{100}=\boxed{20\%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เครื่องบินมี 3 ส่วน ได้แก่ที่นั่งชั้นประワード (24 ที่นั่ง) ชั้นธุรกิจ (25% ของจำนวนที่นั่งทั้งหมด) และชั้นประหยัด (2/3 ของจำนวนที่นั่งทั้งหมด) เครื่องบินมีที่นั่งทั้งหมดกี่ที่นั่ง? | สมมติว่าเครื่องบินมี $s$ ที่นั่ง ดังนั้น $24 + 0.25 s + \frac{2}{3} s = s$ เมื่อแก้สมการแล้วจะได้ $s = \boxed{288}$ | s = \boxed{288} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=x^2+1$ และ $g(x)=2x-1$ จงหาค่าของ $f(g(5))$ | เนื่องจากเรารู้ว่า $f(x)=x^2+1$ และ $g(x)=2x-1$ ดังนั้นนิพจน์ของ $f(g(x))$ คือ $(2x-1)^2+1$ จากนี้เราสามารถแทนค่า 5 เป็นค่าของ $x$ ได้ \begin{align*} (f(g(5))&=(2(5)-1)^2+1
\\ &=(10-1)^2+1
\\ &=(9)^2+1
\\ &=81+1
\\ &=\boxed{82}
\end{align*} | 82 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
9x+4 &\text{ถ้า }x\text{ เป็นจำนวนเต็ม}, \\
\lfloor{x}\rfloor+5 &\text{ถ้า }x\text{ ไม่เป็นจำนวนเต็ม}.
\end{cases}
\]จงหา $f(\sqrt{29})$. | เนื่องจาก 29 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เราทราบว่า $\sqrt{29}$ ไม่สามารถเท่ากับจำนวนเต็มได้ ดังนั้น $f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10}$. | f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10} | [
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $\sqrt{75x} \cdot \sqrt{2x} \cdot \sqrt{14x}$ . เขียนคำตอบในรูปของรากที่ง่ายที่สุดในรูปของ $x$. | เขียนทุกอย่างในรูปของการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ, นิพจน์ที่กำหนดคือ $\sqrt{3 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot x^3} = \sqrt{(2^2 \cdot 5^2 \cdot x^2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot x)} = \boxed{10x \sqrt{21x}}$. | \sqrt{3 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot x^3} = \sqrt{(2^2 \cdot 5^2 \cdot x^2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot x)} = \boxed{10x \sqrt{21x}} | [
"ความเข้าใจ",
"การนำไปใช้"
] |
ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเล็กมีขนาด 2 หน่วย จงหาพื้นที่ของบริเวณสีเทาในหน่วยตาราง โดยที่รัศมีของวงกลมใหญ่เป็น 4 เท่าของรัศมีของวงกลมเล็ก แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$. [asy]
size(150);
pair A, B;
A=(0,0);
B=(-4,1);
fill(circle(A, 8), gray(.7));
fill(circle(B, 2), white);
draw(circle(A, 8));
draw(circle(B, 2));
[/asy] | ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเล็กมีขนาด 2 หน่วย รัศมีของวงกลมเล็กก็คือ 1 หน่วย ดังนั้น รัศมีของวงกลมใหญ่ก็คือ 4 เท่าของรัศมีของวงกลมเล็ก หรือ 4 หน่วย พื้นที่ของวงกลมใหญ่คือ $\pi4^2=16\pi$ และพื้นที่ของวงกลมเล็กคือ $\pi 1^2=1\pi$ เราสามารถหาพื้นที่สีเทาได้จากความต่างของพื้นที่ทั้งสอง นั่นคือ $16\pi-1\pi=\boxed{15\pi}$ ตารางหน่วย | 16\pi-1\pi=\boxed{15\pi} \text{sq units} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
2x + 7 & \text{if } x < -2, \\
-x^2 - x + 1 & \text{if } x \ge -2.
\end{array}
\right.\]จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(x) = -5.$ | เราแก้สมการ $f(x) = -5$ บนโดเมน $x < -2$ และ $x \ge -2.$
ถ้า $x < -2,$ แล้ว $f(x) = 2x + 7,$ ดังนั้นเราต้องการแก้สมการ $2x + 7 = -5.$ วิธีแก้คือ $x = -6,$ ซึ่งสอดคล้องกับ $x < -2.$
ถ้า $x \ge -2,$ แล้ว $f(x) = -x^2 - x + 1,$ ดังนั้นเราต้องการแก้สมการ $-x^2 - x + 1 = -5.$ สมการนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $x^2 + x - 6 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 2)(x + 3) = 0.$ วิธีแก้คือ $x = 2$ และ $x = -3,$ แต่มีเพียง $x = 2$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับ $x \ge -2.$
ดังนั้นวิธีแก้คือ $-6$ และ $2,$ และผลรวมของวิธีแก้คือ $(-6) + 2 = \boxed{-4}.$ | (-6) + 2 = \boxed{-4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชัน $y=E(x)$ ดังนี้:
[asy]
import graph; size(8cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-4.5,xmax=4.5,ymin=-0.99,ymax=6.5;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return sqrt(abs(x+1))+(9/pi)*atan(sqrt(abs(x)));}
draw(graph(f1,xmin,xmax),linewidth(1));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
label("$y=E(x)$",(xmax+0.25,f1(xmax)),E);
[/asy]
ค่าของ $E(3)$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $E(3)$ | จุด $(3,5)$ อยู่บนกราฟ ดังนั้น $E(3)=\boxed{5}$ | E(3)=\boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.