question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก และกำหนดให้จำนวนเต็ม $n=x^2+2x+17$ และ $d=2x+5$ เมื่อหาร $n$ ด้วย $d$ แล้วผลหารคือ $x$ และเศษคือ $7$ จงหาค่า $x$ | เนื่องจากเราทราบว่าผลหารเมื่อหาร $n$ ด้วย $d$ คือ $x$ และมีเศษเป็น $7$ เราสามารถเขียนได้ว่า $n/d = x + 7/d$ แทนค่า $n$ และ $d$ ลงไปจะได้ $$\frac{x^2+2x+17}{2x+5}=x+\frac{7}{2x+5}.$$คูณด้วย $2x+5$ ตลอดจะได้
\begin{align*}
x^2+2x+17&=x(2x+5)+7\\
x^2+2x+17&=2x^2+5x+7\\
0&=x^2+3x-10\\
0&=(x-2)(x+5).
\end{align*}ดังนั้น $x=2$ หรือ $x=-5$ เนื่องจากกำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก เราจึงได้ $x=\boxed{2}$.
เพื่อตรวจสอบ เราเห็นว่า $x^2+2x+17=(2)^2+2(2)+17=25$ และ $2x+5=2(2)+5=9$ และจริงอยู่ที่ผลหารเมื่อ $25$ หารด้วย $9$ คือ $x=2$ และมีเศษเป็น $7$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ต่อไปนี้:
$$\left| \, |{ -|{-1 + 1}| - 1 }| + 1\right|.$$ | เราคำนวณดังนี้:
$$|\,|{-|{-1+1}|-1}|+1| = \left|\, |0-1|+1\right| = |1+1| = \boxed{2}$$ | [
"ประยุกต์"
] | |
ถ้า $x^2- 2x = 0$ และ $x \neq 0$ จงหาค่าของ $x$ | หารทั้งสองข้างด้วย $x$ (เนื่องจาก $x\ne0$) เราได้ $x-2=0$ ดังนั้น $x=\boxed{2}$ | x=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
11% ของจำนวนใดเท่ากับ 77? | ถ้าจำนวนนั้นคือ $x$ เราจะได้ $\frac{11}{100}x=77\qquad\Rightarrow x=77\cdot\frac{100}{11}=7\cdot100=700$ จำนวนนั้นคือ $\boxed{700}$ | \boxed{700} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ที่ร้านโรซ่าโรสช็อป ช่อกุหลาบ 12 ดอกมีราคา $20 ถ้าราคาของช่อกุหลาบเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนกุหลาบที่บรรจุอยู่ ช่อกุหลาบ 39 ดอกจะมีราคาเท่าไร | ให้ $c$ เป็นราคาของช่อกุหลาบ 39 ดอก (เป็นดอลลาร์) เนื่องจากเรารู้ว่าราคาของช่อกุหลาบเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนกุหลาบที่บรรจุอยู่ เราสามารถตั้งสัดส่วนดังนี้ \begin{align*} \frac{c}{39}&=\frac{20}{12}
\\\Rightarrow \qquad c&=\left(\frac{20}{12}\right)(39)
\\\Rightarrow \qquad c&=\boxed{65}
\end{align*} | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ที่ศูนย์ออกกำลังกาย Hardey Fitness Center ทางผู้จัดการได้ทำการสำรวจสมาชิกของพวกเขา อายุเฉลี่ยของสมาชิกหญิงคือ 40 ปี อายุเฉลี่ยของสมาชิกชายคือ 25 ปี อายุเฉลี่ยของสมาชิกทั้งหมดคือ 30 ปี สัดส่วนของสมาชิกหญิงต่อสมาชิกชายเท่าไร แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | ให้ $m$ แทนจำนวนสมาชิกชาย และ $f$ แทนจำนวนสมาชิกหญิง ผลรวมของอายุของสมาชิกหญิงคือ $40f$ และผลรวมของอายุของสมาชิกชายคือ $25m$ ผลรวมของอายุของสมาชิกทั้งหมดคือ $40f+25m$ และจำนวนสมาชิกทั้งหมดคือ $f+m$ เนื่องจากอายุเฉลี่ยของสมาชิกทั้งหมดคือ $30$ เราได้ \[
\frac{40f+25m}{f+m}=30.
\] คูณทั้งสองข้างด้วย $f+m$ เพื่อให้ได้ \[
40f+25m=30f+30m.
\] รวมพจน์ที่คล้ายกันเราพบว่า $10f=5m$ ดังนั้น $f/m=\boxed{\frac{1}{2}}$. | f/m=\boxed{\frac{1}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริเวณล้อมรั้วของสนามเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 15 ฟุต x 12 ฟุต โดยมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 3 ฟุต x 3 ฟุต ตัดออกดังแสดงในรูป พื้นที่ของบริเวณภายในรั้วเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นตารางฟุต)?
[asy]draw((0,0)--(16,0)--(16,12)--(28,12)--(28,0)--(60,0)--(60,48)--(0,48)--cycle);
label("15'",(30,48),N);
label("12'",(60,24),E);
label("3'",(16,6),W);
label("3'",(22,12),N);
[/asy] | แทนที่จะคำนวณพื้นที่โดยการแบ่งออกเป็นบริเวณย่อยๆ เราจะคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าใหญ่ แล้วลบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกตัดออก พื้นที่ทั้งหมดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $15 \times 12 = 180$ และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $3\times 3 = 9$ ทำให้พื้นที่ภายในรั้วเท่ากับ $180 - 9 = \boxed{171}$ ตารางฟุต | 180 - 9 = \boxed{171} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ดอนน่ามีกล่องโดนัท $n$ กล่อง แต่ละกล่องมีโดนัท 13 อัน
หลังจากกินโดนัท 1 อัน ดอนน่าสามารถจัดเรียงโดนัทที่เหลือใส่ถุงได้ โดยแต่ละถุงมีโดนัท 9 อัน และไม่มีโดนัทเหลือเลย ค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือเท่าไร? | ในตอนแรก มีโดนัท $13n$ อัน หลังจากกินโดนัท 1 อัน จำนวนโดนัทที่เหลือเป็นพหุคูณของ 9 ดังนั้น จำนวนโดนัทเดิมคือ 1 มากกว่าพหุคูณของ 9 แสดงเป็นความสอดคล้อง เราได้ $$13n\equiv 1\pmod 9,$$หรืออีกนัยหนึ่ง $n\equiv 13^{-1}\pmod 9$ เนื่องจาก $13\equiv 4\pmod 9$ เราสามารถเขียน $n\equiv 4^{-1}\pmod 9$ ได้
เนื่องจาก $4\cdot 7=28\equiv 1$ เราได้ $4^{-1}\equiv 7\pmod 9$ ดังนั้น $n\equiv 7\pmod 9$ เราทราบว่า $n$ ต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น ค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{7}$.
เราสามารถตรวจสอบคำตอบของเราได้: ถ้า $n=7$ ดอนน่าจะเริ่มต้นด้วย $7\cdot 13=91$ โดนัท; หลังจากกิน 1 อัน เธอก็จะมี $90$ อัน ซึ่งเป็นพหุคูณของ 9 | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $a$ กี่ค่าที่ทำให้สมการ $$x^2 + ax + 8a = 0$$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม $x$ ? | สมมติว่ารากของสมการกำลังสองคือ $m$ และ $n$ โดยที่ $m\leq n$. โปรดทราบว่า $$(x-m)(x-n) = x^2 - (m+n)x + mn = x^2 + ax + 8a,$$ และจากการเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า \begin{align*}
m + n &= -a \\
mn &= 8a
\end{align*} (สิ่งนี้ยังตามมาจากสูตรของ Vieta.) การบวก $8$ เท่าของสมการแรกเข้ากับสมการที่สองจะได้ $$8(m+n)+mn=0$$ Simon's Favorite Factoring Trick สามารถนำมาใช้ได้โดยการบวก $64$ เข้าไปในทั้งสองข้าง: $$mn + 8m + 8n + 64 = (m+8)(n+8) = 64.$$ ดังนั้น $m+8$ และ $n+8$ เป็นตัวหารของ $64$ ซึ่งคู่ของตัวหารของ $64$ คือ $\pm \{(1,64),(2,32),(4,16)$ และ $(8,8)\}$. การแก้สมการจะได้ว่า $(m,n)$ ต้องอยู่ในกลุ่มคู่ \begin{align*}
&(-7,56),(-6,24),(-4,8),(0,0),\\
&(-72,-9),(-40,-10),(-24,-12),(-16,-16).
\end{align*} เนื่องจาก $a=-(m+n)$ และคู่เหล่านี้แต่ละคู่ให้ค่าของ $m+n$ ที่แตกต่างกัน แต่ละคู่ของ $8$ คู่นี้จึงให้ค่าของ $a$ ที่แตกต่างกัน ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{8}$. | \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $3x^y + 4y^x$ เมื่อ $x=2$ และ $y=3$ | เราได้ว่า $3x^y + 4y^x = 3\cdot 2^3 + 4\cdot 3^2 = 3\cdot 8 + 4\cdot 9 = 24 + 36 = \boxed{60}$ | 3x^y + 4y^x = 3\cdot 2^3 + 4\cdot 3^2 = 3\cdot 8 + 4\cdot 9 = 24 + 36 = \boxed{60} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคู่ลำดับ $(u,v)$ ที่เป็นคำตอบของระบบสมการ: \begin{align*} 5u &= -7 - 2v,\\ 3u &= 4v - 25 \end{align*} | การคูณสมการแรกด้วย $2$ จะได้ $10u = -14 - 4v$ การบวกสมการนี้กับสมการที่สองจะได้ $13u = -39$ ดังนั้น $u = -3$ การแทนค่า $u = -3$ ลงใน $5u = -7 - 2v$ จะได้ $-15 = -7 - 2v$ ดังนั้น $v = 4$ และคำตอบของเราคือ $(u,v) =\boxed{(-3,4)}$ | (u,v) =\boxed{(-3,4)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\#$ ถูกนิยามไว้ดังนี้ $\#(a, b, c) = b^2 - 4ac$ สำหรับจำนวนจริง $a, b$ และ $c$ ทั้งหมด จงหาค่าของ $\#(1, 2, 3)$ | แทน $1$ ด้วย $a$, $2$ ด้วย $b$ และ $3$ ด้วย $c$ ในนิพจน์ $b^2-4ac$ จะได้ว่า $\#(1,2,3)=2^2-(4)(3)(1)=\boxed{-8}$ | \#(1,2,3)=2^2-(4)(3)(1)=\boxed{-8} | [
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของสิบพหุคูณบวกแรกของ 13 คือเท่าไร | สิบพหุคูณบวกแรกของ 13 คือ 13, $13 \cdot 2$, $\dots$, $13 \cdot 10$ ดังนั้นเราต้องการหาผลรวม $13 + 13 \cdot 2 + \dots + 13 \cdot 10 = 13 \cdot (1 + 2 + \dots + 10)$.
สำหรับทุกจำนวน n, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $13 \cdot (1 + 2 + \dots + 10) = 13 \cdot 10 \cdot 11/2 = \boxed{715}$. | 13 \cdot (1 + 2 + \dots + 10) = 13 \cdot 10 \cdot 11/2 = \boxed{715} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่าสำหรับบางค่าของ $a,b,c$ เราได้ว่า $a+b+c = 1$, $ab+ac+bc = abc = -4$. จงหาค่าของ $a^3+b^3+c^3$? | สังเกตว่า $(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x -abc = x^3-x^2-4x+4$. ดังนั้นโดยการหาคำตอบของพหุนามนี้ เราจะได้เซต $\{a,b,c\}$. แต่จากการแยกตัวประกอบจะเห็นว่าคำตอบของพหุนามนี้คือ $x = 1,2,-2$ ดังนั้น $a^3+b^3+c^3 = 1+8-8 = \boxed{1}$. | a^3+b^3+c^3 = 1+8-8 = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวประกอบกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดของ 1512 | มาหาการแยกตัวประกอบเฉพาะของ 1512: $1512=2^3\cdot189=2^3\cdot3^3\cdot7$. กำลังสองของจำนวนเฉพาะที่หาร 1512 ได้มีเพียง $2^2=4$ และ $3^2=9$ เท่านั้น ดังนั้น ตัวประกอบกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดของ 1512 คือ $2^2\cdot3^2=(2\cdot3)^2=\boxed{36}$ | 2^2\cdot3^2=(2\cdot3)^2=\boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผู้รับเหมาสตีฟตกลงที่จะเสร็จสิ้นงานใน 30 วัน หลังจาก 6 วัน เขาพบว่า 8 คนที่ได้รับมอบหมายให้ทำงานได้ทำเสร็จไปแล้ว $\frac{1}{3}$ ของงาน หากทุกคนทำงานด้วยอัตราเดียวกัน จำนวนคนน้อยที่สุดที่เขาต้องเก็บไว้ที่งานเพื่อให้แน่ใจว่างานจะเสร็จตามเวลาคือเท่าใด? | เหลือ 24 วัน ซึ่งเป็น 4 เท่าของวันที่ผ่านมา ดังนั้น หากสตีฟเก็บคนงานไว้ 8 คน พวกเขาจะทำ $4\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ เขาต้องการให้ทำ $\frac{2}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ หรือครึ่งหนึ่งของ $\frac{4}{3}$ ดังนั้นเขาต้องเก็บคนงานไว้ให้ได้อย่างน้อยครึ่งหนึ่ง: $\boxed{4}$. | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ มีพื้นที่ส่วนที่แรเงาเท่าไร? มุมทั้งหมดในรูปภาพเป็นมุมฉาก. [asy]
import graph;
defaultpen(linewidth(0.7));
xaxis(0,5,Ticks(1.0,NoZero));
yaxis(0,5,Ticks(1.0,NoZero));
fill((0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle);
fill((2,0)--(3,0)--(3,3)--(0,3)--(0,2)--(2,2)--cycle);
fill((4,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--(0,4)--(4,4)--cycle);
label("$A$",(0,0),SW);
label("$B$",(0,5),N);
label("$C$",(5,5),NE);
label("$D$",(5,0),E);[/asy] | พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $5^2=25$ ตารางหน่วย และพื้นที่ส่วนที่แรเงาคือ $(1^2-0^2)+(3^2-2^2)+(5^2-4^2)=15$ ตารางหน่วย ดังนั้น $\frac{15}{25}=\boxed{60}$ เปอร์เซ็นต์ ของพื้นที่รูปนั้นถูกแรเงา | \frac{15}{25}=\boxed{60} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $k$ ที่ทำให้สมการ $kx^2 -5x-12 = 0$ มีคำตอบ $x=3$ และ $ x = -\frac{4}{3}$ | ให้ความจำว่าสำหรับสมการในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ ผลรวมของรากเท่ากับ $-b/a$ และผลคูณของรากเท่ากับ $c/a$.
ดังนั้น เราสามารถเขียนระบบสมการได้ดังนี้ \begin{align*}
3 - \frac{4}{3} &= \frac{5}{k} \\
-4 &= \frac{-12}{k}
\end{align*}
สมการที่สองบอกเราทันทีว่า $k = \boxed{3}$. | k = \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $x^3 + x^2 + x + 1$ เมื่อ $x = 3$ | เราเห็นว่านิพจน์นี้เท่ากับ $3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 27 + 9 + 3 + 1 = \boxed{40}$ | 3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 27 + 9 + 3 + 1 = \boxed{40} | [
"นำไปใช้"
] |
ร้านค้าแห่งหนึ่งลดราคาผ้าพันคอราคา $10 ลง 30% ในช่วงลดราคา ต่อมาลดราคาอีกครั้ง โดยลดลง 50% ของราคาที่ลดแล้ว ราคาปัจจุบันคือเท่าไร (เป็นดอลลาร์) | ราคาขายคือ 70% ของราคาเดิม หรือ $7.00 หลังจากการลดราคาครั้งต่อไป ราคาสุดท้ายคือครึ่งหนึ่งของราคาขาย $7.00 หรือ $3.50 | $3.50 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แสดง $\sqrt[3]{4\div 13.5}$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เขียน $13.5$ ในรูป $\frac{27}{2}$ เราได้ \[\sqrt[3]{4\div 13.5} = \sqrt[3]{\frac{4}{27/2}} = \sqrt[3]{4\cdot \frac{2}{27}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \sqrt[3]{\frac{2^3}{3^3}} = \boxed{\frac23}.\] | \frac{2}{3} | [
"ความจำ",
"ความเข้าใจ"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: \[(9x^5+25x^3-4)-(x^5-3x^3-4).\] | ก่อนอื่น ให้รวมพจน์ที่คล้ายกันในนิพจน์: \begin{align*}
(9x^5&+25x^3-4)-(x^5-3x^3-4)\\
&=9x^5+25x^3-4-x^5+3x^3+4\\
&=8x^5+28x^3.
\end{align*} เราสามารถแยกตัวประกอบ $4x^3$ ออกจากนิพจน์ได้ ซึ่งจะได้ \[8x^5+28x^3=\boxed{4x^3(2x^2+7)}.\] | 4x^3 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ควรลงทุนเงินจำนวนเท่าใดที่อัตราดอกเบี้ยทบต้นรายปี $5\%$ เพื่อให้มีเงิน $\$500,\!000$ ในสิบปี? แสดงคำตอบเป็นมูลค่าเงินดอลลาร์ปัดเศษเป็นเส็นต์ที่ใกล้เคียงที่สุด | คำถามนี้เทียบเท่ากับการถามว่า "มูลค่าปัจจุบันของ $\$500,\!000$ ที่จ่ายในอีก 10 ปีข้างหน้า หากอัตราดอกเบี้ยทบต้นรายปีคือ $5\%$ คือเท่าใด?" มูลค่าปัจจุบันนี้คือ \[\frac{\$500,\!000}{(1+0.05)^{10}} \approx \boxed{\$306,\!956.63}.\] | ?" This present value is \[\frac{\ | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
นิพจน์ $\dfrac{\sqrt[4]{7}}{\sqrt[3]{7}}$ เท่ากับ 7 ยกกำลังเท่าใด? | เราได้ว่า \[\dfrac{\sqrt[4]{7}}{\sqrt[3]{7}} = \dfrac{7^{\frac14}}{7^{\frac13}} = 7^{\frac14-\frac13} = 7^{-\frac{1}{12}}.\]ดังนั้น นิพจน์นี้เท่ากับ 7 ยกกำลัง $\boxed{-\frac{1}{12}}$ | \boxed{-\frac{1}{12}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มาร์ชา มีเลขสองตัว คือ $a$ และ $b$ เมื่อเธอหาร $a$ ด้วย 70 เธอจะได้เศษ 64 เมื่อเธอหาร $b$ ด้วย 105 เธอจะได้เศษ 99 เธอจะได้เศษเท่าไรเมื่อหาร $a+b$ ด้วย 35 | มาร์ชา มีสมการสองสมการ: \[a=70n+64\]และ \[b=105m+99.\]เมื่อเธอบวกสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เธอจะได้ \begin{align*}
a+b&=70n+105m+64+99 \\
&=35(2n+3m)+163=35(2n+3m+4)+23.
\end{align*}เศษที่ได้เมื่อหาร $a+b$ ด้วย 35 คือ $\boxed{23}$. | \boxed{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ $x(3x-7)=-3$ สามารถเขียนคำตอบในรูป $\frac{m+\sqrt{n}}{p}$ และ $\frac{m-\sqrt{n}}{p}$ โดยที่ $m$, $n$, และ $p$ มีตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1 จงหา $m+n+p$ | กระจายด้านซ้ายมือและบวก 3 ทั้งสองข้าง จะได้ $3x^2-7x+3=0$ เนื่องจากไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายๆ เราจึงใช้สูตรกำลังสอง: \[
\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{7\pm\sqrt{7^{2}-4 \cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3} = \frac{7 \pm\sqrt{13}}{6}.
\] เนื่องจาก $7$, $13$, และ $6$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน $m=7$, $n=13$, และ $p=6$ ดังนั้น $m+n+p=7+13+6=\boxed{26}$ | m+n+p=7+13+6=\boxed{26} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $r$ ที่ทำให้ \[\frac{r^2 - 5r + 4}{r^2-8r+7} = \frac{r^2 - 2r -15}{r^2 -r - 20}.\] | เราไม่ควรคูณไขว้กันโดยตรง เพราะดูยุ่งยาก เราเริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบของพหุนามแต่ละตัว โดยหวังว่าจะได้การตัดทอนที่สะดวก การแยกตัวประกอบของพหุนามทั้ง 4 ตัวจะได้ \[\frac{(r-4)(r-1)}{(r-7)(r-1)} = \frac{(r-5)(r+3)}{(r-5)(r+4)}.\]ตัดตัวประกอบร่วมกันในแต่ละด้าน จะได้ \[\frac{r-4}{r-7} = \frac{r+3}{r+4}.\]คูณไขว้กันจะได้ $(r-4)(r+4) = (r+3)(r-7)$. ขยายทั้งสองข้างจะได้ $r^2 - 16 = r^2 - 4r - 21$. แก้สมการหาค่า $r$ จะได้ $r=\boxed{-5/4}$. | r=\boxed{-5/4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของคำตอบของสมการ: $|y|=2(|y|-1)$. | จัดรูปสมการใหม่ได้ $|y|=2.$ ดังนั้น $y=\pm 2$ และผลคูณของคำตอบคือ $\boxed{-4}.$ | \boxed{-4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $w + 2 - 3w - 4 + 5w + 6 - 7w - 8$ | นำพจน์ที่คล้ายกันมารวมกัน $w + 2 - 3w - 4 + 5w + 6 - 7w - 8 = (w - 3w + 5w - 7w) + (2 - 4 + 6 - 8) = \boxed{-4w - 4}$ | w + 2 - 3w - 4 + 5w + 6 - 7w - 8 = (w - 3w + 5w - 7w) + (2 - 4 + 6 - 8) = \boxed{-4w - 4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ $-30$ ถึง $50$ รวมทั้งจำนวนนั้นด้วย | ผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ $-30$ ถึง $30$ เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงต้องหาเพียงผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ $31$ ถึง $50$ เท่านั้น
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ จำนวนจำนวนเต็มตั้งแต่ $31$ ถึง $50$ เท่ากับ $50 - 31 + 1 = 20$ ดังนั้นผลรวมคือ $(31 + 50)/2 \cdot 20 = \boxed{810}$ | (31 + 50)/2 \cdot 20 = \boxed{810} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้าจำนวนเจ็ดหลัก $854n526$ หารด้วย $11$ ลงตัว $n$ มีค่าเท่าใด | จำนวนหารด้วย $11$ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของหลักที่ 1, 3, 5, ... ลบด้วย ผลบวกของหลักที่ 2, 4, 6, ... เป็นผลคูณของ $11$ ผลบวกของหลักที่ 1, 3, 5, 6 คือ $8+4+5+6=23$ ผลบวกของหลักที่ 2, 4, 6 คือ $5+n+2=7+n$ ดังนั้น $23-(7+n)=16-n$ ต้องเป็นผลคูณของ $11$ ซึ่งจะจริงก็ต่อเมื่อ $n=\boxed{5}$ เท่านั้น | n=\boxed{5} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง $\sqrt[3]{10}$ และ $\sqrt[3]{200}$ มีกี่จำนวน | เนื่องจาก $2^3=8$ และ $3^3=27$ เราทราบว่า $2<\sqrt[3]{10}<3$ จากนั้นเราพบว่า $5^3=125$ และ $6^3=216$ ดังนั้น $5<\sqrt[3]{200}<6$ เราได้ว่า $\sqrt[3]{10}<3$ และ $5<\sqrt[3]{200}$ จำนวนเต็มระหว่าง $\sqrt[3]{10}$ และ $\sqrt[3]{200}$ คือ $3,4,5$ รวมทั้งหมด $\boxed{3}$ จำนวน | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ใช้เวลา 24 นาที Jana เดิน 1 ไมล์ ถ้าเดินด้วยอัตราเร็วนี้ เธอจะเดินได้ไกลเท่าไรใน 10 นาที แสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่ 1 | โดยใช้การวิเคราะห์มิติ เราได้ $\dfrac{1\mbox{ ไมล์}}{24\mbox{ นาที}} \times 10\mbox{ นาที} = \dfrac{5}{12}$ ไมล์ หรือ $\boxed{0.4\mbox{ ไมล์}}$ ปัดเศษเป็นหลักที่ 1 | \boxed{0.4\mbox{ ไมล์}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในตอนเริ่มปั่นจักรยาน ผมรู้สึกดี จึงสามารถปั่นได้ 20 ไมล์ต่อชั่วโมง ต่อมา ผมรู้สึกเหนื่อย จึงปั่นได้เพียง 12 ไมล์ต่อชั่วโมง ถ้าผมปั่นไปทั้งหมด 122 ไมล์ ในเวลาทั้งหมด 8 ชั่วโมง ผมปั่นจักรยานรู้สึกดีเป็นเวลาเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ให้ $x$ แทนจำนวนชั่วโมงที่คุณรู้สึกดีขณะปั่นจักรยาน จากนั้น $x$ ชั่วโมงใช้ในการเดินทางด้วยความเร็ว 20 ไมล์ต่อชั่วโมง และ $8-x$ ชั่วโมงใช้ในการเดินทางด้วยความเร็ว 12 ไมล์ต่อชั่วโมง ในช่วงเวลานี้ เดินทางไปทั้งหมด 122 ไมล์ จงจำไว้ว่า $d=r\cdot t$ เราสามารถบวกระยะทางทั้งสองเข้าด้วยกัน ตั้งให้เท่ากับ 122 ไมล์ และแก้สมการเพื่อหา $x$ ดังนี้: \begin{align*}
20(x)+12(8-x)&=122\\
\Rightarrow\qquad 20x+96-12x&=122\\
\Rightarrow\qquad 8x&=26\\
\Rightarrow\qquad x&=26/8=\boxed{\frac{13}{4}}
\end{align*} | x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $x$ ที่ทำให้ $|3x+5|$ ไม่เป็นบวก คือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | วิธีเดียวที่ $|3x+5|$ จะไม่เป็นบวกก็ต่อเมื่อมันเท่ากับ 0 เราจะมี $|3x+5| = 0$ ก็ต่อเมื่อ $3x+5 = 0$ การแก้สมการนี้จะได้ $x = \boxed{-\frac{5}{3}}$ | x = \boxed{-\frac{5}{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เลขโดลเลขหลักที่ 100 ของการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{6}{7}$ คือเลขอะไร | การแทนค่าทศนิยมของ $\frac{6}{7}$ คือ $0.\overline{857142}$ ซึ่งซ้ำทุกๆ 6 หลัก เนื่องจาก 100 หารด้วย 6 มีเศษ 4 ดังนั้นหลักที่ 100 จะเหมือนกับหลักที่สี่หลังจุดทศนิยม ซึ่งก็คือ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความชันของเส้นตรง $2y = -3x + 6$ | หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 จะได้ $y = -\frac{3}{2}x + 3$ ซึ่งอยู่ในรูป $y = mx + c$ สัมประสิทธิ์ของ $x$ คือความชันที่ต้องการ $oxed{-\frac32}$ | $oxed{-\frac32}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทำให้ง่ายขึ้นและเขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วนสามัญ: $$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}}$$ | สังเกตว่า $4096=4^6$ เราสามารถเริ่มทำให้ง่ายขึ้นจากรากที่สองที่อยู่ด้านในสุด: $$\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{4096}}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{64}}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\boxed{\frac{1}{2}}$$ | [
"ความจำ",
"ความเข้าใจ"
] | |
กราฟของสมการ $y = |x| - 3$ ถูกเลื่อนไปทางซ้าย 2 หน่วย และลง 3 หน่วย จุดต่ำสุดของกราฟใหม่มีพิกัดเท่าใด | เนื่องจาก $|x|$ มีค่าไม่เป็นลบ ดังนั้นจะน้อยที่สุดเมื่อเท่ากับ 0 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x=0$ ดังนั้น จุดต่ำสุดของกราฟ $y=|x| - 3$ คือ $(0,-3)$ เมื่อเลื่อนไปทางซ้าย 2 หน่วย และลง 3 หน่วย จะได้จุด $\boxed{(-2,-6)}$ | \boxed{(-2,-6)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนจริง $p>1$ และ $q>1$ ที่สอดคล้องกับ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ และ $pq = 4$ จงหาค่าของ $q$ | แก้สมการ $pq = 4$ เพื่อหาค่า $p$ เราจะได้ $p = \frac{4}{q}$ แทนค่านี้ลงใน $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ เราจะได้ \[ \frac{q}{4} + \frac{1}{q} = 1 \Rightarrow q^2 - 4q +4 = 0 .\] แยกตัวประกอบสมการนี้ เราจะได้ \[ (q-2)(q-2) = 0 \] ซึ่งหมายความว่า $q = \boxed{2}$ | q = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $N$ เป็นผลรวมของตัวหารของ 200 จงหาตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดของ $N$ | การแยกตัวประกอบเฉพาะของ 200 คือ $2^3 \cdot 5^2$ ดังนั้น $N = (1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 5 + 5^2)$ เนื่องจากแต่ละตัวประกอบของ 200 จะถูกแทนด้วยเมื่อขยายผลคูณ ดังนั้น $N = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 5 + 25) = (15)(31)$ ตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดคือ $\boxed{31}$ | \boxed{31} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
x^2+1 &\text{ ถ้า }x>5, \\
2x-3 &\text{ ถ้า } -5 \le x \le 5, \\
3 &\text{ ถ้า } x <-5.
\end{array}
\right.\]จงหา $f(-7)+f(0)+f(7)$. | เนื่องจาก $-7<-5$ ดังนั้น $f(-7)=3$. เนื่องจาก $-5 \le 0 \le 5$ ดังนั้น $f(0)=2(0)-3=-3$. เนื่องจาก $7>5$ ดังนั้น $f(7)=7^2+1=50$. ดังนั้น $f(-7)+f(0)+f(-7)=3-3+50=\boxed{50}$. | f(-7)+f(0)+f(-7)=3-3+50=\boxed{50} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนจริง $x$ สามจำนวนที่ไม่อยู่ในโดเมนของ $$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac 1x}}.$$ ผลรวมของจำนวนจริงทั้งสามนั้นเท่ากับเท่าใด? | มีตัวส่วนสามตัวในสูตรของ $f(x)$: $$x, \quad 1+\frac 1x, \quad 1+\frac{1}{1+\frac 1x}.$$ สำหรับ $f(x)$ ที่ไม่นิยาม ตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่งต้องเท่ากับ $0$ เราตรวจสอบทีละตัว
ตัวส่วนที่ง่ายที่สุด $x$ จะเท่ากับ $0$ ถ้า $x=0$.
ตัวส่วนตัวที่สอง $1+\frac 1x$ จะเท่ากับ $0$ ถ้า $x=-1$.
ตัวส่วนตัวที่สาม $1+\frac{1}{1+\frac 1x}$ จะเท่ากับ $0$ ถ้า $$\frac{1}{1+\frac 1x} = -1.$$ เราสามารถแก้สมการได้ดังนี้: \begin{align*}
-1 &= 1+\frac 1x \\
-2 &= \frac 1x \\
x &= -\frac 12
\end{align*}
ดังนั้น ผลรวมของจุดทั้งสามที่ไม่อยู่ในโดเมนของ $f(x)$ คือ $0+(-1)+\left(-\frac 12\right) = \boxed{-\frac 32}$. | 0+(-1)+\left(-\frac 12\right) = \boxed{-\frac 32} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $|x-1| = |x-2|$ แล้วค่าของ $x$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สมการบอกเป็นนัยว่า \[
x-1 = x-2\]หรือ \[ x-1 = -(x-2).\]สมการแรกไม่มีคำตอบ สมการที่สองมีคำตอบ $x= \boxed{\frac{3}{2}}$. | x= \boxed{\frac{3}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $w$ เมื่อ $5^65^w=25$ | จากสมบัติของเลขยกกำลัง เราได้ $5^65^w=5^{6+w}$ และเนื่องจาก $25=5^2$ เราจึงมี $5^{6+w}=5^2$ ดังนั้น $6+w=2$ ลบ 6 จากทั้งสองข้างจะได้ $w=\boxed{-4}$ | w=\boxed{-4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $g(x) = 2x^2 - 3$ และ $h(x) = 4x^3 +1$ จงหาค่าของ $g(h(-1))$ | ראשית คำนวณ $h(-1) = 4(-1)^3 + 1 = -3$ จากนั้น คำนวณ $g(-3) = 2(-3)^2 - 3 = \boxed{15}$ | g(-3) = 2(-3)^2 - 3 = \boxed{15} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แสดง $\sqrt[3]{4\div 13.5}$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เขียน $13.5$ ในรูป $\frac{27}{2}$ เราได้ \[\sqrt[3]{4\div 13.5} = \sqrt[3]{\frac{4}{27/2}} = \sqrt[3]{4\cdot \frac{2}{27}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \sqrt[3]{\frac{2^3}{3^3}} = \boxed{\frac23}.\] | \frac{2}{3} | [
"ประยุกต์"
] |
ในตาชั่ง, $3$ ลูกบอลสีเขียวสมดุลกับ $6$ ลูกบอลสีน้ำเงิน, $2$ ลูกบอลสีเหลืองสมดุลกับ $5$ ลูกบอลสีน้ำเงิน, และ $6$ ลูกบอลสีน้ำเงินสมดุลกับ $4$ ลูกบอลสีขาว. ต้องใช้ลูกบอลสีน้ำเงินกี่ลูกจึงจะสมดุลกับ $4$ ลูกบอลสีเขียว, $2$ ลูกบอลสีเหลือง และ $2$ ลูกบอลสีขาว? | เราจะกำหนดตัวแปรให้กับน้ำหนักของลูกบอลแต่ละสีโดยใช้ตัวอักษรตัวแรกของสีนั้น. เราได้ $3G=6B\implies 1G=2B$, $2Y=5B\implies 1Y=2.5B$, และ $6B=4W\implies 1W=1.5B$. ดังนั้น $4G+2Y+2W=4(2B)+2(2.5B)+2(1.5B)=8B+5B+3B=16B$, และคำตอบของเราคือ $\boxed{16}$. | \boxed{16} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น: $(2y-1)\cdot(4y^{10}+2y^9+4y^8+2y^7).$ แสดงคำตอบในรูปของพหุนามโดยมีดีกรีของพจน์เรียงตามลำดับจากมากไปน้อย | เราคูณและทำให้ง่ายขึ้น: \begin{align*}
& (2y-1)\cdot(4y^{10}+2y^9+4y^8+2y^7)\\
=& 2y\cdot(4y^{10}+2y^9+4y^8+2y^7)-(4y^{10}+2y^9+4y^8+2y^7)\\
=& 8y^{11}+4y^{10}+8y^9+4y^8\\
&-4y^{10}-2y^9-4y^8-2y^7.
\end{align*}เราจะได้ $\boxed{8y^{11}+6y^9-2y^7}$. | \boxed{8y^{11}+6y^9-2y^7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
20 ตัวเลขแรกของการเรียงลำดับแสดงไว้ด้านล่าง ค่าของตัวเลขที่ 40 จะเท่ากับเท่าใดหากการเรียงลำดับนี้ดำเนินต่อไป?
$\bullet$ แถว 1: $2,$ $2$
$\bullet$ แถว 2: $4,$ $4,$ $4,$ $4$
$\bullet$ แถว 3: $6,$ $6,$ $6,$ $6,$ $6,$ $6$
$\bullet$ แถว 4: $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8$ | เนื่องจากเราทราบว่ามี 20 ตัวเลขใน 4 แถวแรก เราต้องการหาตัวเลขที่ 20 เริ่มจากแถวที่ 5 เนื่องจากมี 10 ตัวเลขในแถวที่ 5 และมี 12 ตัวเลขในแถวที่ 6 ตัวเลขที่ 20 หากเราเริ่มนับจากแถวที่ 5 จะอยู่ที่ตำแหน่งที่ 10 ของแถวที่ 6 ซึ่งก็คือ $\boxed{12}$. | \boxed{12}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $a$ กี่ค่าที่ทำให้ $x = 2$ เป็นคำตอบจำนวนเต็มบวกเพียงค่าเดียวของระบบอสมการ $$
\begin{cases}
2x>3x-3\\
3x-a>-6
\end{cases}
$$ | ถ้าเราเริ่มต้นด้วยการพิจารณาอสมการแรก เราจะเห็นว่ามันเทียบเท่ากับ $3>x$ ดังนั้นจำนวนเต็มบวก $x$ ที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวคือ $x=1$ หรือ $x=2.$ ต่อไปพิจารณาสมการที่สอง ถ้า $x=2$ เราได้ $$3(2)-a>-6 \Rightarrow 12>a$$ ถ้า $x=1,$ แล้ว $$3(1)-a>-6 \Rightarrow 9>a.$$ เราต้องการให้ $x=2$ เป็นคำตอบเพียงค่าเดียว ดังนั้นเราต้องเลือก $a=9,$ $10,$ $11.$ นี่คือ $\boxed{3}$ ค่าที่เป็นไปได้. | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
ax+3 & \text{ if }x>0, \\
ab & \text{ if }x=0, \\
bx+c & \text{ if }x<0.
\end{array}
\right.\]ถ้า $f(2)=5$, $f(0)=5$, และ $f(-2)=-10$ และ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $2>0$ เราทราบว่า $f(2)=a(2)+3=5$ แก้สมการหา $a$ ได้ $a=1$ เมื่อ $x=0$ เราได้ว่า $f(0)=ab=5$ เราทราบแล้วว่า $a=1$ ดังนั้น $b=5$ เนื่องจาก -2 เป็นจำนวนลบ เราทราบว่า $f(-2)=b(-2)+c=(5)(-2)+c=-10$ นี่บอกเราว่า $c=0$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $a+b+c=1+5+0=\boxed{6}$ | a+b+c=1+5+0=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วยจำนวนเฉพาะ 4 จำนวนได้ | เราใช้จำนวนเฉพาะ 4 จำนวนที่น้อยที่สุด: 2, 3, 5, 7. คำตอบคือผลคูณของจำนวนเฉพาะเหล่านี้ ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วยจำนวนเฉพาะ 4 จำนวนได้คือ $2\cdot3\cdot5\cdot7=\boxed{210}$ | 2\cdot3\cdot5\cdot7=\boxed{210} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $i^6+i^{16}+i^{-26}$ | เรามี $i^6 = i^4\cdot i^2 = 1\cdot (-1) = -1$. เรายังมี $i^{16} = (i^4)^4 = 1^4 =1$, และ $i^{-26} = 1/i^{26} = 1/(i^{24}\cdot i^2) = 1/[1\cdot (-1)] = -1$. ดังนั้น การบวกผลลัพธ์ทั้งสามนี้จะได้ $i^6 + i^{16} + i^{-26} = -1+1-1 = \boxed{-1}$. | i^6 + i^{16} + i^{-26} = -1+1-1 = \boxed{-1} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\frac{2}{5}$ หารด้วย 3 | จงจำไว้ว่าการหารนั้นเหมือนกับการคูณด้วยส่วนกลับกัน กล่าวคือ ถ้า $b$ ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว $a \div b = a\cdot \frac{1}{b}$ ในกรณีนี้ \[
\frac{2}{5}\div 3 = \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3} = \frac{2\cdot 1}{5\cdot 3}=\boxed{\frac{2}{15}}.
\] | $\frac{2}{15}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $\frac{8xy^2}{6x^2y}$ เมื่อ $x=2$ และ $y=3.$ | ก่อนอื่น เราค้นหาตัวประกอบที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนทั้งคู่ เนื่องจาก 6 และ 8 เป็นจำนวนคู่ เราสามารถนำตัวประกอบของ 2 ออกมาได้ เราสามารถยกเลิกตัวประกอบของ $x$ และตัวประกอบของ $y$ เนื่องจากปรากฏอยู่ในตัวเศษและตัวส่วนทั้งคู่ นี่จะทำให้เราเหลือ \[\frac{\cancelto{4}{8}\cancel{x}y^{\cancel{2}}}{\cancelto{3}{6}x^{\cancel{2}}\cancel{y}}=\frac{4y}{3x}.\]ตอนนี้เราแทนค่า $x=2$ และ $y=3$ เพื่อให้ได้ $\frac{4\cdot \cancel{3}}{\cancel{3}\cdot 2}=\frac{4}{2}=\boxed{2}.$ | \frac{4\cdot \cancel{3}}{\cancel{3}\cdot 2}=\frac{4}{2}=\boxed{2}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กล่องใบหนึ่งมีกระเบื้องหมายเลข 1, 2, 3,..., 49, 50 กระเบื้องที่มีหมายเลขสอดคล้องกับ $2 \pmod{5}$ เท่านั้นจะเป็นสีน้ำเงิน เลือกกระเบื้อง 1 อัน Secara acak จากกล่อง ความน่าจะเป็นที่กระเบื้องจะเป็นสีน้ำเงินคือเท่าไร | จำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $2\pmod{5}$ อยู่ในเซต $$\{2+5(0), 2+5(1), 2+5(2), ..., \}.$$เพื่อหาสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดของเซตนี้ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 50 เราจะหาจำนวนเต็ม $n$ ที่ใหญ่ที่สุดที่สอดคล้องกับ $$2+5(n-1) \le 50.$$การแก้สมการนี้ เราพบว่า $n \le 53/5$ ดังนั้นคำตอบจำนวนเต็มสูงสุดคือ $n=\lfloor 53/5 \rfloor = 10$ เนื่องจากมีกระเบื้องทั้งหมด 50 กระเบื้อง ความน่าจะเป็นที่กระเบื้องจะมีหมายเลขสอดคล้องกับ $2 \pmod{5}$ คือ $\dfrac{10 \; \text{กระเบื้องสีน้ำเงิน} }{50 \; \text{กระเบื้องทั้งหมด}} = \boxed{ \frac{1}{5} } .$ | \dfrac{10 \; \text{กระเบื้องสีน้ำเงิน} }{50 \; \text{กระเบื้องทั้งหมด}} = \boxed{ \frac{1}{5} } . | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $x+y$, $x-y$, $xy$, และ $x/y$ ตามลำดับ จงหาพจน์ที่ห้าของลำดับนี้ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เนื่องจากผลต่างของพจน์สองพจน์แรกคือ $-2y$ พจน์ที่สามและพจน์ที่สี่ของลำดับนี้ต้องเป็น $x-3y$ และ $x-5y$ ดังนั้น \[
x-3y = xy \quad\text{และ}\quad x-5y = \frac{x}{y},
\]ดังนั้น $xy - 5y^{2} = x.$ เมื่อนำสมการทั้งสองมาบวกกันจะได้ \[
(x - 3y) - 5y^{2}= x\quad\text{และ, therefore, }\quad -3y - 5y^{2} = 0.
\]เนื่องจาก $y$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ เราได้ $y = -\frac{3}{5}$ และตามมาว่า $x = -\frac{9}{8}$ พจน์ที่ห้าของลำดับนี้คือ $x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}}$. | x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x=2$ และ $y=3$ จงแสดงค่าของนิพจน์ต่อไปนี้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ: $$
\frac
{~\frac{1}{y}~}
{\frac{1}{x}}
$$ | เรามี \[\frac{\phantom{o}\frac1y\phantom{o}}{\frac1x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{1} = \frac{x}{y} = \boxed{\frac{2}{3}}.\] | [
"นำไปใช้"
] | |
ถ้า $a+b = 6$ และ $a - b = 2$ จงหาค่าของ $a^2 - b^2$ | สังเกตว่า $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 + ab - ab - b^2$ ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $a^2 - b^2$ แทนค่า 6 ลงใน $a+b$ และ 2 ลงใน $a-b$ จะได้ว่า $a^2 - b^2 = 6 \cdot 2 = \boxed{12}$ | a^2 - b^2 = 6 \cdot 2 = \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ารถโรงเรียนออกจากโรงเรียนโดยมีนักเรียน 48 คน และครึ่งหนึ่งของนักเรียนลงจากรถที่แต่ละป้ายจอด 3 ป้ายแรก จะมีนักเรียนกี่คน 남อยู่บนรถหลังจากป้ายจอดที่สาม | ที่แต่ละป้ายจอด จำนวนนักเรียนบนรถจะถูกหารด้วย 2 ดังนั้นหลังจาก 3 ป้ายจอด จำนวนนักเรียนบนรถคือ $48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6}$ | 48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-2,0)$ และ $(0,2)$ สามารถเขียนอยู่ในรูป $y=mx+b$ ได้ ค่าของ $m+b$ เท่ากับเท่าใด? | เนื่องจากจุดทั้งสองนี้ nằmบนเส้นตรง การแทนค่าจุดเหล่านี้ลงในสมการของเส้นตรงจะทำให้ได้สมการที่เป็นจริง ดังนั้น $(-2, 0)$ จะให้เรา $0 = -2m + b$ และ $(0, 2)$ จะให้เรา $2 = b$ ดังนั้นเราจึงทราบค่าของ $b$ แล้ว และสามารถแทนค่ากลับลงในสมการแรกเพื่อให้ได้ $0 = -2m + 2$ ดังนั้น $m = 1$ และ $m + b = \boxed{3}$ | m + b = \boxed{3} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x+\frac{1}{y}=1$ และ $y+\frac{1}{z}=1$ จงหาค่าของผลคูณ $xyz$ | คูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย $y$ และคูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย $z$ จะได้ \begin{align*}
xy+1 &= y \\
yz+1 &= z.
\end{align*} แทน $xy+1$ ด้วย $y$ ในสมการที่สอง จะได้ \[
(xy+1)z+1=z,
\] ซึ่งจะย่อเป็น \[
xyz+z+1=z.
\] ลบ $z+1$ จากทั้งสองข้าง จะได้ว่า $xyz=z-(z+1)=\boxed{-1}.$ | xyz=z-(z+1)=\boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
BoatsRUs สร้างเรือแคนู 7 ลำในเดือนมกราคมของปีนี้ และในแต่ละเดือนถัดไป พวกเขาสร้างเรือแคนูเป็นสองเท่าของจำนวนเรือแคนูที่สร้างในเดือนก่อนหน้า จงหาจำนวนเรือแคนูทั้งหมดที่ BoatsRUs สร้างได้จนถึงสิ้นเดือนพฤษภาคมของปีนี้ | จำนวนเรือแคนูที่ BoatsRUs สร้างในแต่ละเดือนสร้างเป็นลำดับเรขาคณิต: 7, 14, 28, 56, 112 พจน์แรกคือ 7 และอัตราส่วนร่วมคือ 2 ดังนั้นผลรวมของพจน์เหล่านี้คือ $\frac{7(2^5-1)}{2-1} = \boxed{217}$ | \frac{7(2^5-1)}{2-1} = \boxed{217} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดว่าจุด $(9,7)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ มีจุดหนึ่งที่ต้องอยู่บนกราฟของ $2y=\frac{f(2x)}2+2$ จุดนั้นมีผลรวมของพิกัดเท่ากับเท่าใด | เนื่องจาก $(9,7)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ เราทราบว่า \[7=f(9).\]ถ้าเราแทน $x=\frac92$ ลงใน $2y=\frac{f(2x)}2+2$ เราจะได้ \[2y=\frac{f(2\cdot9/2)}2+2=\frac72+2=\frac{11}2.\]ดังนั้น $(x,y)=\left(\frac92,\frac{11}4\right)$ อยู่บนกราฟของ \[2y=\frac{f(2x)}2+2.\]ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ \[\frac92+\frac{11}4=\boxed{\frac{29}4}.\] | (x,y)=\left(\frac92,\frac{11}4\right) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จัตุรัสวิเศษคือการจัดเรียงตัวเลขในตารางที่ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแถว แต่ละหลัก และตามแนวเส้นทแยงมุมทั้งสองมีค่าเท่ากัน ตัวเลขในจัตุรัสวิเศษที่แสดงให้ดูไม่ได้เขียนในระบบเลขฐานสิบ ฐานของเลขใดที่ทำให้ตารางนี้เป็นจัตุรัสวิเศษ?
[asy]
unitsize(0.75cm);
for (int i=0; i<4; ++i) {
draw((0,i)--(3,i),linewidth(0.7));
draw((i,0)--(i,3),linewidth(0.7));
}
label("1",(1.5,2),N);
label("2",(2.5,0),N);
label("3",(0.5,1),N);
label("4",(0.5,0),N);
label("10",(1.5,1),N);
label("11",(2.5,2),N);
label("12",(2.5,1),N);
label("13",(0.5,2),N);
label("14",(1.5,0),N);
[/asy] | ให้ $b$ เป็นฐานที่ตัวเลขในตารางถูกแสดงออก ผลรวมของแถวแรกและหลักแรกต้องเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า $1+11_b = 4+3$ เขียน $11_b$ เป็น $b+1$ เราพบว่า $1+b+1 = 7$ ซึ่งหมายความว่า $b=\boxed{5}$ | b=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บนระนาบデカร์ต จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด $A(a,b)$ และ $B(c,d)$ คือ $M(m,n)$ ถ้า $A$ ถูกเลื่อนขึ้นไปทางแนวตั้ง 8 หน่วย และเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย และ $B$ ถูกเลื่อนลงไปทางแนวตั้ง 2 หน่วย และเลื่อนไปทางซ้าย 10 หน่วย จุดกึ่งกลางใหม่ระหว่าง $A$ และ $B$ คือ $M'$. ระยะทางระหว่าง $M$ และ $M'$ คือเท่าใด | ก่อนที่จะเคลื่อนย้าย จุดกึ่งกลาง (ในรูปของ $a$, $b$, $c$, และ $d$) คือ $M(m,n)=\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)$. $A$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(a+2,b+8)$. $B$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(c-10,d-2)$. เราพบว่าจุดกึ่งกลางใหม่ $M'$ คือ \begin{align*}
\left(\frac{a+2+c-10}{2},\frac{b+8+d-2}{2}\right)&=\left(\frac{a+c}{2}-4,\frac{b+d}{2}+3\right)\\
&=(m-4,n+3).
\end{align*}ดังนั้น ระยะทางระหว่าง $M$ และ $M'$ เทียบเท่ากับระยะทางระหว่าง $(m,n)$ และ $(m-4,n+3)$ หรือ $$\sqrt{(m-4-m)^2+(n+3-n)^2}=\boxed{5}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้การดำเนินการ $\&$ นิยามโดย $a \& b = (a+b)(a-b)$ จงหาค่าของ $6 \& 3$ | แทนค่าในนิยาม $6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27}$ | 6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27} | [
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] |
รากที่สองของ $x$ มากกว่า 2 และน้อยกว่า 4 มีจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | เราได้: $4 > \sqrt{x} > 2$. ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้ $16 > x > 4$. ดังนั้น จำนวนเต็มตั้งแต่ 15 ถึง 5 รวมทั้ง 5 สอดคล้องกับอสมการนี้ นั่นคือมีจำนวนเต็มทั้งหมด $15-5+1=\boxed{11}$ จำนวน | 15-5+1=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $m$ ใดที่สมการ $(x+4)(x+1) = m + 2x$ มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียว จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราเริ่มต้นด้วยการทำให้นิพจน์ทางซ้ายมือของสมการง่ายขึ้น และบวก $-m-2x$ ลงทั้งสองข้าง เราได้ $x^2+3x+(4-m)=0$ เพื่อให้สมการกำลังสองนี้มีรากจริงเพียงรากเดียว ตัวเลือก $b^2-4ac$ ต้องเท่ากับ $0$ ดังนั้นเราต้องกำหนดให้ $9-4(4-m) = 0$ แก้สมการนี้ เราจะได้ $m=\boxed{\frac{7}{4}}$ | m=\boxed{\frac{7}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ $(25 + 8)^2 - (8^2 +25^2)$ | ขยายพจน์ทางซ้าย เราจะเห็นว่านิพจน์ที่กำหนดให้มีค่าเท่ากับ $25^2 + 2\cdot25\cdot8 + 8^2 - 8^2 - 25^2 = 2\cdot25\cdot8 = \boxed{400}$ | 25^2 + 2\cdot25\cdot8 + 8^2 - 8^2 - 25^2 = 2\cdot25\cdot8 = \boxed{400} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคำตอบของสมการ $x|x| = 2x+1$ ที่มีค่าน้อยที่สุด | เราพิจารณา 2 กรณี คือ $x$ เป็นจำนวนไม่เป็นลบ (ดังนั้น $|x| = x$) และ $x$ เป็นจำนวนลบ (ดังนั้น $|x| = -x$)
เมื่อ $x\ge 0,$ สมการจะกลายเป็น $x^2-2x-1=0$. การนำสูตรกำลังสองมาใช้จะได้ $ x=1\pm\sqrt{2}.$ อย่างไรก็ตาม $x$ ต้องเป็นจำนวนไม่เป็นลบในกรณีนี้ ดังนั้นเราได้ $x = 1+\sqrt{2}$.
เมื่อ $x<0,$ สมการจะกลายเป็น $x^2+2x+1=0$, ดังนั้น $(x+1)^2 = 0$ และ $x=-1$.
ดังนั้น ค่า $x$ ที่น้อยที่สุดคือ $x=\boxed{-1}$. | x=\boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แต่ละเล่มในสิบเล่มของผลงานรวมของธีโอดอร์ สเตอร์จอน มีจำหน่ายในรูปแบบปกอ่อนราคา $\$$15 หรือปกแข็งราคา $\$$25 เทเรซ่าซื้อสำเนาของแต่ละเล่มทั้งสิบเล่มเป็นจำนวนเงินรวม $\$$220 เธอซื้อเล่มปกแข็งกี่เล่ม? | สมมติว่าเธอซื้อเล่มปกแข็ง $h$ เล่ม และเล่มปกอ่อน $p$ เล่ม เธอซื้อหนังสือทั้งหมด 10 เล่ม ดังนั้น $h+p=10$ ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเธอ $25h+15p$ เท่ากับ $220 หรือหารด้วย 5 $5h+3p=44$ คูณสมการแรกด้วย 3 และลบออกจากสมการที่สอง เราได้ $5h-3h+3p-3p=2h=44-30=14$ หรือ $h=\boxed{7}$ | h=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มบวก $n$ กี่จำนวนที่ทำให้ $1 + 2 + \cdots + n$ หาร $6n$ ลงตัว | เนื่องจาก \[
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2},
\]$1 + 2 + \cdots + n$ หารจำนวนเต็มบวก $6n$ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ \[
\frac{6n}{n(n+1)/2} = \frac{12}{n+1}\ \text{เป็นจำนวนเต็ม.}
\]มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว $\boxed{5}$ จำนวน คือ 1, 2, 3, 5 และ 11 | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $r(x)$ มีโดเมน $\{-1,0,1,2\}$ และเรนจ์ $\{0,2,4,6\}$ และ $s(x)$ มีโดเมน $\{1,2,3,4\}$ และนิยามโดย $s(x)=x+1$ จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $s(r(x))$ | เราพยายามที่จะหาเรนจ์ของฟังก์ชัน $s(r(x))$ นั่นคือเราเอาตัวเลขหนึ่งใส่เข้าไปใน $r(x)$ เอาเอาผลลัพธ์มาใช้เป็นอินพุตสำหรับ $s(x)$ และหาผลลัพธ์ เราทราบว่าโดเมนของ $s(x)$ คือ $\{1,2,3,4\}$ ดังนั้นสำหรับ $s(r(x))$ ที่จะถูกนิยาม $r(x)$ ต้องเป็นค่าหนึ่งใน $1, 2, 3, 4$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $r(x)$ คือเรนจ์ของ $r(x)$ ซึ่งคือ $\{0,2,4,6\}$ จุดตัดของเซตทั้งสองนี้คือ $\{2,4\}$ ดังนั้น $2$ หรือ $4$ เท่านั้นที่จะเป็นเอาต์พุตของ $r(x)$ และเป็นอินพุตของ $s(x)$ ในฟังก์ชัน $s(r(x))$ ดังนั้นเอาต์พุตที่เป็นไปได้จาก $s(x)$ คือ $2+1=3$ และ $4+1=5$ ดังนั้นผลรวมของเอาต์พุตที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $3+5=\boxed{8}$ | 3+5=\boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พจน์ที่ห้าของลำดับเรขาคณิตของจำนวนบวกคือ $11$ และพจน์ที่สิบเอ็ดคือ $5$ พจน์ที่แปดของลำดับนี้คือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด [asy]
size(150); defaultpen(linewidth(2));
real loc = 0;
for(int i = 0; i < 11; ++i) {
if(i == 4)
label("$\mathbf{\mathit{11}}$",(loc,0),(0.8,1.2),fontsize(14));
if(i == 10)
label("$\mathbf{\mathit{5}}$",(loc,0),(1.2,1.2),fontsize(14));
fill(box((loc,0),(loc+1,0.15)));
loc += 4/3;
}
[/asy] | ให้ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จากนั้น พจน์ที่แปดของลำดับนี้เท่ากับ $11r^3$ และพจน์ที่สิบเอ็ดของลำดับนี้เท่ากับ $11r^6 = 5$ จากสมการที่สอง จะได้ว่า $r^6 = \frac{5}{11} \Longrightarrow r^3 = \sqrt{\frac{5}{11}}$ ดังนั้น $11r^3 = 11 \cdot \sqrt{\frac{5}{11}} = \sqrt{\frac{11^2 \cdot 5}{11}} = \boxed{\sqrt{55}}$
หรืออีกวิธีหนึ่ง เนื่องจากพจน์ที่แปดเป็นพจน์กึ่งกลางระหว่างพจน์ที่ห้าและพจน์ที่สิบเอ็ด จะได้ว่าพจน์ที่แปดเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของพจน์ที่ห้าและพจน์ที่สิบเอ็ด | 11r^3 = 11 \cdot \sqrt{\frac{5}{11}} = \sqrt{\frac{11^2 \cdot 5}{11}} = \boxed{\sqrt{55}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของพจน์แรกในลำดับเรขาคณิต $a,b,c,32,64$ | อัตราส่วนร่วมคือ $\frac{64}{32} = 2$ ดังนั้น พจน์แรกคือ $\frac{32}{2^3} = \frac{32}{8} = \boxed{4}$ | \frac{32}{2^3} = \frac{32}{8} = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $m$ ใดที่สมการ $(x+4)(x+1) = m + 2x$ มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียว? แสดงคำตอบของคุณในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราเริ่มต้นด้วยการทำให้ด้านซ้ายของสมการง่ายขึ้นและบวก $-m-2x$ เข้ากับทั้งสองข้าง เราจะได้ $x^2+3x+(4-m)=0$. เพื่อให้สมการกำลังสองนี้มีรากจริงเพียงรากเดียว จึงต้องให้ค่าจำแนก $b^2-4ac$ เท่ากับ $0$ ดังนั้น เราต้องกำหนดให้ $9-4(4-m) = 0$ แก้สมการจะได้ $m=\boxed{\frac{7}{4}}$ | m=\boxed{\frac{7}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใด $\frac{3+x}{5+x}$ และ $\frac{1+x}{2+x}$ จะเท่ากัน? | เรามีสมการ $\frac{3+x}{5+x}=\frac{1+x}{2+x}$ เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
(3+x)(2+x)&=(5+x)(1+x)\\
6+5x+x^2&=5+6x+x^2\\
x&=\boxed{1}.
\end{align*} | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของเจ็ดจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นผลคูณของ 9 | เราถูกขอให้คำนวณ $9+18+27+\cdots+63$. แยกตัวประกอบ 9 และใช้เอกลักษณ์ $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ เพื่อหาว่า $9+18+\cdots+63=9(1+2+\dots+7)= 9 \cdot \frac{7 \cdot 8}{2} = \boxed{252}$ | 9+18+\cdots+63=9(1+2+\dots+7)= 9 \cdot \frac{7 \cdot 8}{2} = \boxed{252} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ดีกรีของพหุนาม $(x^4+ax^7+bx+c)(x^3+dx^2+e)(x+f)$ คือเท่าใด เมื่อ $a$ ถึง $f$ เป็นค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์ | เพื่อที่จะหาดีกรีของพหุนาม เราต้องรู้เลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรในพหุนาม เมื่อเราคูณพหุนามนี้ เราจะได้ว่าพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดนั้นได้มาจากผลคูณของพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดในแต่ละพหุนามที่คูณกัน พจน์เหล่านี้คือ $ax^7$, $x^3$, และ $x$ เมื่อคูณพจน์เหล่านี้เข้าด้วยกัน $ax^7\cdot x^3\cdot x=ax^{11}$ เราจะได้ว่าเลขชี้กำลังสูงสุดคือ $\boxed{11}$ | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของน้ำหนักของจิมและบ็อบเท่ากับ 180 ปอนด์ ถ้าลบน้ำหนักของจิมออกจากน้ำหนักของบ็อบ จะได้ครึ่งหนึ่งของน้ำหนักของบ็อบ บ็อบหนักเท่าไร? | ให้ $j$ แทนน้ำหนักของจิม และ $b$ แทนน้ำหนักของบ็อบ เราสามารถใช้ระบบสมการต่อไปนี้เพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนด: \begin{align*}
j + b &= 180 \\
b - j &= \frac{b}{2} \\
\end{align*} การบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ $2b = 180 + \frac{b}{2}$ แก้สมการเพื่อหา $b$ จะได้ $3b = 360$ หรือ $b = 120$ ดังนั้น บ็อบหนัก $\boxed{120}$ ปอนด์ | \boxed{120} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,2)$ และ $(17,10)$ ทั้งสองวงสัมผัสแกน $x$ ระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองเท่ากับเท่าใด | รัศมีของวงกลมวงแรกคือ 2 และรัศมีของวงกลมวงที่สองคือ 10 ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองคือ $\sqrt{(17 - 2)^2 + (10 - 2)^2} = 17,$ ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองคือ $17 - 2 - 10 = \boxed{5}.$
[asy]
unitsize(0.3 cm);
draw((2,2)--(2,0),dashed);
draw((17,10)--(17,0),dashed);
draw((-1,0)--(28,0));
draw((0,-1)--(0,20));
draw(Circle((2,2),2));
draw(Circle((17,10),10));
draw((2,2)--(17,10));
label("$2$", (2,1), E);
label("$10$", (17,5), E);
dot("$(2,2)$", (2,2), NW);
dot("$(17,10)$", (17,10), NE);
[/asy] | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $A$ และ $B$ เป็นหลักในฐาน $d > 6$ โดยที่ $\overline{AB}_d + \overline{AA}_d = 162_d$ จงหา $A_d - B_d$ ในฐาน $d$ | พิจารณาหลัก $d$ เราจะเห็นว่า $A_d + A_d = 16_d = d + 6$ หรือ $A_d + A_d + 1 = 16_d = d + 6$ (ถ้ามีการ przenย้าย) จัดรูปและแก้สมการหา $A_d$ เราจะได้ $A_d = \frac{d + 6}2$ หรือ $A_d = \frac{d + 5}2$ ในกรณีใดก็ตาม เนื่องจาก $d > 6$ ดังนั้น $A_d > 2$ ดังนั้น เมื่อเราบวกหลักหน่วย $B_d + A_d$ จะต้องมีการ przenย้าย ดังนั้น $A_d = \frac{d + 5}2$ ดังนั้น $$B_d + A_d = d + 2 \Longrightarrow B_d = d+2 - \frac{d + 5}2 = \frac d2 - \frac 12.$$ดังนั้น $A_d - B_d = \frac{d + 5}2 - \frac{d-1}{2} = \boxed{3}_d$. | A_d - B_d = \frac{d + 5}2 - \frac{d-1}{2} = \boxed{3}_d | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลต่างของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 12 และผลคูณของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 45 จงหาผลบวกของจำนวนทั้งสอง | ให้จำนวนเต็มทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ โดยที่ $x>y$ เราได้สมการ \begin{align*}
x-y&=12\\
xy&=45
\end{align*}ยกกำลังสองสมการแรก เราได้ \[(x-y)^2=12^2\Rightarrow x^2-2xy+y^2=144\]คูณสมการที่สองด้วยสี่ เราได้ $4xy = 4\cdot45=180$ บวกสมการสองสมการนี้เข้าด้วยกัน เราได้ \[x^2-2xy+y^2+4xy=144+180 \Rightarrow (x+y)^2=324 \Rightarrow x+y = 18\]ในขั้นตอนสุดท้าย เราใช้รากที่สองที่เป็นบวก เพราะว่า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนบวก ผลบวกของจำนวนทั้งสองคือ $\boxed{18}$. | \boxed{18} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มาร์เซลล์และแจ็คlynn แต่ละคนคิดถึงพหุนาม พหุนามของแต่ละคนเป็นพหุนามเอกซ์, มีดีกรี 4 และมีค่าคงตัวบวกเหมือนกันและสัมประสิทธิ์ของ $z$ เหมือนกัน ผลคูณของพหุนามของพวกเขาคือ \[z^8 +3z^7 +z^6 +3z^5 +4z^4 +6z^3 +2z^2 +4.\]ค่าคงตัวของพหุนามของแจ็คlynn คือเท่าใด? | เนื่องจากค่าคงตัวของพหุนามทั้งสองในผลคูณเป็นบวกเหมือนกัน และคูณกันได้ 4 ดังนั้นค่าคงตัวของแต่ละพหุนามต้องเท่ากับ $\sqrt{4} = \boxed{2}$ | \sqrt{4} = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในวันหนึ่งที่เมืองซอลต์เลค รัฐยูทาห์ อุณหภูมิถูกกำหนดโดย $-t^2 +12t+50$ โดยที่ $t$ คือเวลาเป็นชั่วโมงที่ผ่านมาตั้งแต่เที่ยง ค่า $t$ ที่ใหญ่ที่สุดที่อุณหภูมิเท่ากับ 77 องศาคือเท่าใด? | เราตั้งอุณหภูมิให้เท่ากับ 77 องศา: \begin{align*}
-t^2 +12t+50&=77\\
t^2-12t+27&=0\\
(t-3)(t-9)&=0
\end{align*}เราเห็นว่าอุณหภูมิเท่ากับ 77 องศา พอดีสองครั้ง: ที่ $t=3$ และ $t=9$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีวิธีจัดเรียงหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่มที่แตกต่างกัน และหนังสือประวัติศาสตร์ 5 เล่มที่แตกต่างกันบนชั้นวางหนังสือของฉันได้กี่วิธี ถ้าฉันต้องการให้มีหนังสือคณิตศาสตร์อยู่ที่ปลายทั้งสองด้าน? | มาจัดการกับข้อจำกัดก่อน
ข้อจำกัดคือเราต้องวางหนังสือคณิตศาสตร์ไว้ที่ปลายทั้งสองด้าน เรามีตัวเลือก 3 ตัวสำหรับหนังสือคณิตศาสตร์ที่วางไว้ที่ปลายด้านซ้าย และมีตัวเลือก 2 ตัวสำหรับหนังสือคณิตศาสตร์ที่วางไว้ที่ปลายด้านขวา
จากนั้นเราก็เพียงแค่จัดเรียงหนังสืออีก 6 เล่มที่อยู่ตรงกลาง นี่เป็นปัญหาการเรียงสับเปลี่ยนพื้นฐาน ดังนั้นมี $6!$ วิธีในการจัดเรียงหนังสือที่เหลืออีก 6 เล่ม
ดังนั้นมีวิธีการจัดเรียงหนังสือบนชั้นวางหนังสือทั้งหมด $3 \times 2 \times 6! = \boxed{4,\!320}$ วิธี | 3 \times 2 \times 6! = \boxed{4,\!320} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดตาข่ายในระนาบ $x,y$ คือจุดที่พิกัดทั้งสองเป็นจำนวนเต็ม (ไม่จำเป็นต้องเป็นบวก) มีจุดตาข่ายกี่จุดที่อยู่บนกราฟของสมการ $x^2-y^2=47$? | ใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสอง เราจะเห็นว่าจุดใดๆ ที่สอดคล้องกับ $(x+y)(x-y)=47$ ทั้งสองตัวประกอบเป็นจำนวนเต็ม คู่ของตัวประกอบของ $47$ คือ $(47,1)$ และ $(-47,-1)$ ดังนั้นพิกัดของจุดจะต้องสอดคล้องกับระบบสมการใดระบบหนึ่งในสี่ระบบนี้: (i) $x+y=47$, $x-y=1$; (ii) $x+y=-47$, $x-y=-1$; (iii) $x+y=1$, $x-y=47$; (iv) $x+y=-1$, $x-y=-47$ การแก้ระบบสมการทั้ง 4 ระบบนี้แต่ละระบบจะได้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มเพียงคำตอบเดียวสำหรับแต่ละระบบ ดังนั้นมีจุดตาข่าย $\boxed{4}$ จุดบนกราฟ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว $3x$ นิ้ว และความกว้าง $x + 5$ นิ้ว มีสมบัติที่พื้นที่และเส้นรอบรูปมีค่าเท่ากัน จงหาค่า $x$ | ให้ $l$ แทนความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และ $w$ แทนความกว้าง ดังนั้น $l = 3x$ และ $w = x + 5$ เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับเส้นรอบรูป เราได้ว่า $l \times w = 2l + 2w$ จากนั้นเราสามารถแทน $3x$ กลับเข้าไปใน $l$ และ $x + 5$ ใน $w$ เพื่อให้ได้ \begin{align*}
& (3x)(x+5) = 2(3x) + 2(x + 5) \\
\Rightarrow\qquad & 3x^2 + 15x = 6x + 2x + 10 \\
\Rightarrow\qquad & 3x^2 + 7x - 10 = 0 \\
\Rightarrow\qquad & (x - 1)(3x + 10) = 0.
\end{align*}เมื่อแก้สมการนี้ เราได้ว่าค่าที่เป็นไปได้สองค่าของ $x$ คือ $x = 1$ และ $x = - \frac{10}{3}$ อย่างไรก็ตาม ความยาว $3x$ และความกว้าง $x + 5$ ต้องเป็นค่าบวก ดังนั้นคำตอบเพียงค่าเดียวคือ $x = \boxed{1}$. | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวน $x$ และ $y$ เป็นป inversely proportional. เมื่อผลบวกของ $x$ และ $y$ เท่ากับ 42, $x$ เท่ากับสองเท่าของ $y$. จงหาค่าของ $y$ เมื่อ $x=-8$? | เราทราบว่าเมื่อ $x+y=42$, $x=2y$. แทน $2y$ ลงใน $x$ ในสมการแรกจะได้ $3y=42$ หรือ $y=14$. ค่าของ $x$ คือ $2(14)=28$. เนื่องจาก $x$ และ $y$ เป็นป inversely proportional ผลคูณ $xy$ เป็นค่าคงที่. ให้ $xy=k$. เมื่อ $x=28$ และ $y=14$, $k=(28)(14)=392$. ดังนั้น เมื่อ $x=-8$, $(-8)y=392$ ซึ่งจะได้ $y=\boxed{-49}$. | y=\boxed{-49} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $x^3 + x^2 + x + 1$ เมื่อ $x = 3$。 | เราเห็นว่านิพจน์นี้มีค่าเท่ากับ $3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 27 + 9 + 3 + 1 = \boxed{40}$。 | 3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 27 + 9 + 3 + 1 = \boxed{40} | [
"ประยุกต์"
] |
ขยายนิพจน์ต่อไปนี้: $16(2x+5)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 16 และ $2x$ กับผลคูณของ 16 และ 5:
\begin{align*}
16(2x+5) &= 16\cdot 2x+16\cdot 5\\
&= \boxed{32x+80}
\end{align*} | 32x+80 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ยาว 7, 9, $8y-1$ และ $2x+3$ หน่วย ตามลำดับ ค่าของ $x+y$ เท่ากับเท่าใด?
[asy]draw((0,0)--(21,0)--(30,25)--(9,25)--cycle);
label("$8y-1$",(10,0),S);
label("9",(25.5,12.5),E);
label("7",(19.5,25),N);
label("$2x+3$",(4.5,12.5),W);
[/asy] | เราทราบว่าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวเท่ากัน ดังนั้นเราสามารถตั้งสมการได้: \begin{align*}
2x + 3 &= 9
\\8y - 1 &= 7
\end{align*}ดังนั้น $2x = 6 \rightarrow x = 3$ และ $8y = 8 \rightarrow y = 1$ ดังนั้น $x + y = \boxed{4}$. | x + y = \boxed{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สี่จำนวนเต็มบวก $A$, $B$, $C$ และ $D$ มีผลรวมเท่ากับ 36 ถ้า $A+2 = B-2 = C \times 2 = D \div 2$ แล้วผลคูณของ $A \times B \times C \times D$ มีค่าเท่าใด | เรามีว่า $A + B + C + D = 36$. แทนทุกอย่างในรูปของ $C$ เราพบว่า $(2C - 2) + (2C + 2) + C + (4C) = 36$ ซึ่งหมายความว่า $C = 4$ ดังนั้น $A = 6$, $B = 10$ และ $D = 16$ ดังนั้น คำตอบที่เราต้องการคือ $6\cdot 10\cdot 16\cdot 4 = \boxed{3840}$ | 6\cdot 10\cdot 16\cdot 4 = \boxed{3840} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ จำนวน $110n^3$ มีตัวหารจำนวนเต็มบวก 110 ตัว รวมถึง 1 และจำนวน $110n^3$ ด้วย จำนวน $81n^4$ มีตัวหารจำนวนเต็มบวกกี่ตัว?
$\textbf{(A) }110\qquad\textbf{(B) }191\qquad\textbf{(C) }261\qquad\textbf{(D) }325\qquad\textbf{(E) }425$
| เนื่องจากการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะของ 110 คือ $2 \cdot 5 \cdot 11$ เราได้ว่าจำนวนนี้เท่ากับ $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot n^3$ ซึ่งมี $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ ตัวประกอบเมื่อ $n=1$ จำนวนนี้ต้องเป็นพหุคูณของ 11 ตัวประกอบ ซึ่งเราสามารถทำได้โดยการตั้ง $n=2^3$ ดังนั้น $2^{10} \cdot 5 \cdot 11$ มี 44 ตัวประกอบ เพื่อให้ได้ตัวประกอบที่ต้องการ 110 ตัว เราต้องให้จำนวนตัวประกอบหารด้วย 5 ด้วย ดังนั้นเราสามารถตั้ง $n=2^3 \cdot 5$ ดังนั้น $2^{10} \cdot 5^4 \cdot 11$ มี 110 ตัวประกอบ ดังนั้น $n=2^3 \cdot 5$ เพื่อที่จะหาจำนวนตัวประกอบของ $81n^4$ เรายกกำลังนี้เป็น 4 และคูณด้วย 81 และหาตัวประกอบของจำนวนนั้น เราได้ $3^4 \cdot 2^{12} \cdot 5^4$ และจำนวนนี้มี $5 \cdot 13 \cdot 5=\boxed{325}$ ตัวประกอบ | 5 \cdot 13 \cdot 5=\boxed{325} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของคำตอบของสมการ: $|y|=2(|y|-1)$. | จัดรูปสมการใหม่จะได้ $|y|=2.$ ดังนั้น $y=\pm 2$ และผลคูณของคำตอบคือ $\boxed{-4}.$ | \boxed{-4}. | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ครึ่งหนึ่งของหนึ่งในเจ็ดของ $T$ เท่ากับหนึ่งในสามของหนึ่งในห้าของ 90 ค่าของ $T$ คือเท่าไร | จากโจทย์ เราเขียนสมการได้เป็น \[\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\cdot T=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot90.\]เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
\frac{1}{14}\cdot T&=\frac{1}{15}\cdot90 \quad \implies \\
\frac{1}{14} \cdot T &=6 \quad \implies \\
T &= \boxed{84}.
\end{align*} | 84 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ใช้เวลา 24 นาทีสำหรับ Jana ในการเดิน 1 ไมล์ ถ้าเป็นอัตราเดียวกัน Jana จะเดินได้ไกลเท่าไรเป็นไมล์ใน 10 นาที แสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษถึงหลักที่ 1 | โดยใช้การวิเคราะห์มิติ เราได้ $\dfrac{1\mbox{ mile}}{24\mbox{ min}} \times 10\mbox{ min} = \dfrac{5}{12}$ ไมล์ หรือ $\boxed{0.4\mbox{ miles}}$ ปัดเศษถึงหลักที่ 1 | \boxed{0.4\mbox{ miles}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แผนผังขนาดของสวนแสดงว่าหนึ่งนิ้วแทน 800 ฟุต เส้นส่วนในแผนผังที่มีความยาว 4.75 นิ้วแทนจำนวนฟุตเท่าใด | แต่ละนิ้วของเส้นส่วน 4.75 นิ้วแทน 800 ฟุต ดังนั้นเส้นส่วนทั้งหมดแทน $4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800}$ ฟุต | 4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800} | [
"นำไปใช้"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.