question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ต้องเติมน้ำบริสุทธิ์กี่ออนซ์ลงในสารละลายกรด 30% ที่มีปริมาตร 30 ออนซ์ เพื่อให้ได้สารละลายที่มีความเข้มข้นของกรด 20%? | สมมติว่าจำนวนออนซ์ของน้ำบริสุทธิ์ที่จำเป็นคือ $w$ ดังนั้นปริมาณของเหลวทั้งหมดในส่วนผสมคือ $30 + w$ ปริมาณกรดในส่วนผสมจะเท่ากับ $30\% \times 30 = 9$ ออนซ์เสมอ ดังนั้นปริมาณกรดในส่วนผสมเท่ากับ $\frac{9}{30 + w}$ กำหนดให้เท่ากับ $20\% = \frac 15$ จะได้ว่า $$ \frac{9}{30+w} = \frac 15 \Longrightarrow 30+w = 45.$$ ดังนั้น $w = \boxed{15}$ ออนซ์ของน้ำบริสุทธิ์ | w = \boxed{15} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สี่หลักต่อเนื่อง $a$, $b$, $c$ และ $d$ ถูกนำมาใช้ในการสร้างจำนวนสี่หลัก $abcd$ และ $dcba$ จงหาตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนทั้งหมดในรูป $abcd+dcba$? | เรามี \begin{align*}
abcd &= 1000a + 100b + 10c + d,\text { and }\\
dcba &= 1000d + 100c + 10b + a\end{align*} การบวกทั้งสองสมการจะได้ \begin{align*}
abcd + dcba &= (1000 + 1)d + (100 + 10)c \\
&\qquad + (10 + 100)b + (1 + 1000)a \\
&= 1001(a+d) + 110(b+c).
\end{align*} นอกจากนี้ เนื่องจาก $a,b,c,d$ เป็นจำนวนต่อเนื่อง เรามี $b = a+1$, $c = a+2$, และ $d = a+3$ ดังนั้น $$a+d = 2a + 3 = b+c.$$ ดังนั้น $$abcd + dcba = 1001(2a+3) + 110(2a+3) = 1111(2a+3).$$ ดังนั้น $\boxed{1111}$ ต้องหารจำนวนใดๆ ในรูปที่กำหนด ถ้าเราให้ $a = 1$ และ $a=2$ เราจะได้จำนวน $5555$ และ $7777$ ซึ่งตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนทั้งสองคือ $1111$ | 1111 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าลำดับ $2, ~6, ~10, \ldots, ~x, ~y, ~26$ เป็นลำดับเลขคณิต จะได้ค่าของ $x + y$ เท่ากับเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $6-2=4$ เนื่องจากพจน์ที่อยู่ติดกันทุก ๆ สองพจน์ในลำดับเลขคณิตต่างกันด้วยค่านี้ ดังนั้น $y=26-4=22$ และ $x=26-2 \cdot 4 = 18$ ดังนั้น $x+y=22+18=\boxed{40}$ | x+y=22+18=\boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดว่าผลคูณร่วมน้อยของจำนวนสองจำนวนเท่ากับ 3780 และตัวหารร่วมมากเท่ากับ 18 ถ้าจำนวนหนึ่งเท่ากับ 180 อีกจำนวนหนึ่งคือจำนวนใด | เราใช้เอกลักษณ์ $\gcd(a,b) \cdot \mathop{\text{lcm}}[a,b] = ab$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $a$ และ $b$ ใดๆ เราทราบว่า $\gcd(a,b) = 18$ และ $\mathop{\text{lcm}}[a,b] = 3780$ ดังนั้น $ab = 18 \cdot 3780$ ถ้าจำนวนหนึ่งเท่ากับ 180 อีกจำนวนหนึ่งคือ $18 \cdot 3780/180 = \boxed{378}$ | 18 \cdot 3780/180 = \boxed{378} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
อลิซและบ็อบกำลังเล่นเกมจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด อลิซพูดว่า "จำนวนของฉันคือ 24" บ็อบพูดว่า "จำนวนที่น้อยที่สุดแบบนี้มันบ้าอะไรกัน? ทุกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนของเธอเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนของฉันด้วย"
จำนวนที่น้อยที่สุดที่บ็อบอาจจะมีคือเท่าไร (จำไว้ว่าจำนวนของบ็อบต้องเป็นจำนวนเต็มบวก!) | การแยกตัวประกอบเฉพาะของ $24$ คือ $2^3\cdot3$ ดังนั้น $2$ และ $3$ ต้องเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนของบ็อบเช่นกัน จำนวนที่น้อยที่สุดคือเมื่อเลขชี้กำลังของทั้งสองตัวนี้เท่ากับ $1$ ซึ่งจะได้ $2\cdot3=\boxed{6}$ | 2\cdot3=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลิซ่ามีเพื่อน 10 คน และมีลูกแก้ว 34 ลูก เธอต้องการลูกแก้วอย่างน้อยกี่ลูก เพื่อที่เธอจะสามารถให้ลูกแก้วแต่ละคนอย่างน้อย 1 ลูก และไม่มีเพื่อนสองคนใดที่ได้รับจำนวนลูกแก้วเท่ากัน? | ลิซ่าต้องการลดจำนวนลูกแก้วที่เธอให้กับเพื่อนของเธอโดยไม่ให้เพื่อนสองคนใดได้รับจำนวนลูกแก้วเท่ากัน จำนวนลูกแก้วที่น้อยที่สุดที่เธอสามารถให้กับเพื่อนได้คือ 1 ลูก จากนั้นเธอให้ 2 ลูกแก่เพื่อนอีกคนหนึ่ง จากนั้น 3 ลูกแก่เพื่อนอีกคนหนึ่ง จากนั้น 4 ลูก และอื่นๆ จนถึงเพื่อนคนสุดท้ายที่ได้รับ 10 ลูก จำนวนลูกแก้วทั้งหมดที่ลิซ่าแจกไปคือ $1+2+3+\cdots+10 = \frac{10 \cdot 11}{2}=55$.
ดังนั้น ลิซ่าต้องการ $55-34=\boxed{21}$ ลูกแก้วเพิ่ม | 55-34=\boxed{21} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\dagger$ นิยามโดย $\frac{m}{n}\dagger\frac{p}{q} = (m)(p)(\frac{q}{n}).$ จงหาค่าที่เรียบง่ายของ $\frac{7}{12}\dagger\frac{8}{3}$ | เราได้ว่า $\frac{7}{12}\dagger\frac{8}{3}=(7)(8)\left(\frac{3}{12}\right)=(7)(2)=\boxed{14}$. | 14 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมการของเส้นตรงที่แสดงไว้สามารถเขียนได้ในรูป $y=mx+b$ จงหา $mb$
[asy]
size(100,0);
add(shift(-5,-5)*grid(10,10));
draw((-5,0)--(5,0),linewidth(2));
draw((0,-5)--(0,5),linewidth(2));
label("",(5,0),E);
label("",(0,5),N);
draw((-3,-5) -- (2,5),blue,Arrows);
[/asy]
แต่ละช่องสี่เหลี่ยมบนกราฟมีขนาด 1 หน่วย x 1 หน่วย | จากกราฟ เราเห็นว่าเส้นตรงตัดแกน y ที่ y=1 นี่คือจุดตัดแกน y ซึ่งเท่ากับค่าของ $b$ ตอนนี้เราต้องหาความชันของเส้นตรง สังเกตให้ดี เราจะเห็นว่าสำหรับทุกๆ หนึ่งหน่วยที่เส้นตรงเคลื่อนไปทางขวา มันจะเคลื่อนขึ้นไปสองหน่วย ตัวอย่างเช่น เริ่มจากจุดตัดแกน y ที่ $(0,1)$ เส้นตรงจะผ่านจุดตาข่ายที่อยู่ห่างจากจุดนั้นไปทางขวาหนึ่งหน่วยและขึ้นไปสองหน่วย ที่ $(1,3)$ อัตราส่วนการเพิ่มขึ้นหารด้วยการเพิ่มขึ้นคือ $\frac{2}{1}$ ดังนั้นความชันคือ 2 สมการของเส้นตรงนี้คือ $y=2x+1$ ดังนั้น $mb=2(1)=\boxed{2}$ | mb=2(1)=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในสมการ $\frac15+\frac{5}{x}=\frac{12}{x}+\frac{1}{12}$ ค่าของ $x$ คือเท่าใด? | ลบ $ rac{5}{x}$ และ $ rac{1}{12}$ จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ \[
\frac{7}{60}=\frac{7}{x}.
\] จากการสังเกต สมการนี้มีคำตอบคือ $x=\boxed{60}$. | x=\boxed{60} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทอยลูกเต๋า 2 ลูกที่มีหน้าลูกเต๋าหมายเลข 1 ถึง 6 และบวกเลขที่แสดงบนหน้าบนของลูกเต๋าแต่ละลูกเข้าด้วยกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมเป็นเลขคู่ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | หลังจากลูกเต๋าลูกแรกถูกทอยแล้ว ลูกเต๋าอีกลูกจะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 ผล ผลลัพธ์ 3 ผลจะเป็นเลขคู่ และอีก 3 ผลจะเป็นเลขคี่ ดังนั้นไม่ว่าลูกเต๋าแรกจะแสดงผลอะไรก็ตาม จะมีโอกาส $\boxed{\frac12}$ ที่ผลรวมจะเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ โปรดทราบว่าสิ่งนี้เป็นจริงไม่ว่าจะทอยลูกเต๋าจำนวนเท่าใดก็ตาม | \boxed{\frac12} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $f(x)=3x+4$ และ $g(x)=2x-3$ ถ้า $h(x)=f(g(x))$ แล้ว $h^{-1}(x)$ มีค่าเท่าใด | \[h(x)=f(g(x))=3(2x-3)+4=6x-5.\]ให้แทน $h(x)$ ด้วย $y$ เพื่อความสะดวก ดังนั้น \[y=6x-5.\]เพื่อหาค่าผกผันของ $h(x)$ เราสามารถแก้สมการนี้เพื่อหาค่า $x$ ได้ \[y+5=6x\]หรือ \[x=\frac{y+5}{6}.\]การเขียนในรูปของ $x$ จะให้ฟังก์ชันผกผันของ $h$ เป็น \[h^{-1}(x)=\boxed{\frac{x+5}{6}}.\] | h | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้กำลังสองของจำนวนเต็ม $x$ เท่ากับ 1521 จงหาค่าของ $(x+1)(x-1)$ | โดยใช้การแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสอง เราจะได้ว่า $(x+1)(x-1) = x^2-1$ เนื่องจากเราทราบว่า $x^2= 1521$ เราสามารถคำนวณ $x^2-1 = 1521-1 = \boxed{1520}$ ได้อย่างง่ายดาย | x^2-1 = 1521-1 = \boxed{1520} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แจ็คlynn, Marcelle, Susanna และ Wanda เป็นผู้ช่วยสอนในห้องปฏิบัติการคณิตศาสตร์ของโรงเรียนของพวกเขา ตารางเวลาของพวกเขาเป็นดังนี้: แจ็คlynn ทำงานทุกๆ 3 วันทำการของโรงเรียน, Marcelle ทำงานทุกๆ 4 วันทำการของโรงเรียน, Susanna ทำงานทุกๆ 6 วันทำการของโรงเรียน และ Wanda ทำงานทุกๆ 7 วันทำการของโรงเรียน วันนี้พวกเขาทั้งหมดทำงานในห้องปฏิบัติการคณิตศาสตร์ ในอีกกี่วันทำการจากวันนี้พวกเขาจะมาช่วยสอนด้วยกันอีกครั้ง? | จำนวนวันทำการของโรงเรียนจนกว่าพวกเขาจะมาด้วยกันอีกครั้งคือ ห.ร.ม. ของ $3$, $4$, $6$ และ $7$ ซึ่งคือ $\boxed{84}$ | \boxed{84} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนเท่ากับ 216 และตัวหารร่วมมากของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 6 จงหาค่าน้อยสุดร่วมของจำนวนทั้งสอง | ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน เราสามารถใช้เอกลักษณ์ $\gcd(a,b) \cdot \mathop{\text{lcm}}[a,b] = ab$ แทนค่าได้ว่า คำตอบคือ $36 \cdot 6 = \boxed{216}$ | 36 \cdot 6 = \boxed{216} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $m$ และ $n$ สอดคล้องกับ $mn=4$ และ $m+n=5$ จงหาค่าของ $|m-n|$ | เรามีสมการสองสมการและตัวแปรสองตัว ดังนั้นเราสามารถแก้สมการหาค่า $m$ และ $n$ ได้โดยตรง และคำนวณ $|m-n|$ เพื่อหาคำตอบได้ อย่างไรก็ตาม การทำเช่นนั้นจะยุ่งยาก ดังนั้นเราจึงมองหาแนวทางอื่น เรา squaring สมการที่สองเพื่อให้ได้ $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 25$ เนื่องจาก $mn=4$ เราสามารถลบ $4mn = 16$ เพื่อให้ได้ $$m^2 -2mn +n^2 = 9\Longrightarrow (m-n)^2=9$$ นี่หมายความว่า $m-n =\pm3$ ดังนั้น $|m-n|=\boxed{3}$ | |m-n|=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนวิธีในการจัดเรียงตัวอักษร 4 ตัวที่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วยตัวอักษรเดียวกัน | มี 26 ตัวเลือกสำหรับตัวอักษรตัวแรก, 26 ตัวเลือกสำหรับตัวอักษรตัวที่สอง และ 26 ตัวเลือกสำหรับตัวอักษรตัวที่สาม ตัวอักษรตัวสุดท้ายถูกกำหนดโดยตัวอักษรตัวแรก ดังนั้นมี $26^3 = \boxed{17576}$ วิธีดังกล่าว | 26^3 = \boxed{17576} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x + y = 16$ และ $x-y = 2$ จงหาค่าของ $x^2 - y^2$ | $x^2 - y^2$ ตัวประกอบเป็น $(x+y)(x-y)$ ดังนั้น เพื่อหาค่าของ $x^2 - y^2$ ให้คูณ $16 \cdot 2$ จะได้ $\boxed{32}$ | \boxed{32} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(6, 12)$ และ $(0, -6)$ | จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงคือ $\left(\frac{6+0}{2}, \frac{12+(-6)}{2}\right)$, ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $(3,3)$. ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ $\boxed{6}$. | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $3 \cdot f(x) + 4 \cdot g(x) = h(x)$ โดยที่ $f(x),$ $g(x),$ และ $h(x)$ เป็นพหุนามใน $x$ ถ้าดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ $8$ และดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ แล้วดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $g(x)$ คือเท่าไร? | ถ้าดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ นั่นหมายความว่ามีพจน์ $x^9$ ใน $h(x)$ พจน์นั้นไม่สามารถมาจาก $f(x)$ ได้ เพราะดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ $8$ ดังนั้นพจน์นั้นต้องมาจาก $g(x)$ นั่นหมายความว่าดีกรีของ $g(x)$ ต้องมีค่าอย่างน้อย $9$ และในความเป็นจริงแล้วดีกรีของมันสามารถเป็น $9$ ได้ | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จอร์แดนวิ่ง 2 ไมล์ ในครึ่งเวลาที่สตีฟวิ่ง 3 ไมล์ ถ้าสตีฟใช้เวลา 24 นาทีในการวิ่ง 3 ไมล์ โดยใช้ความเร็วเท่าเดิม จอร์แดนจะใช้เวลาเท่าไรในการวิ่ง 5 ไมล์ | เนื่องจากสตีฟใช้เวลา 24 นาทีในการวิ่ง 3 ไมล์ จอร์แดนจึงวิ่ง 2 ไมล์ ใน $\frac{1}{2}\cdot24=12$ นาที ดังนั้น จอร์แดนใช้เวลา 6 นาทีในการวิ่ง 1 ไมล์ ดังนั้นเขาจะใช้เวลา $6\cdot5=\boxed{30}$ นาทีในการวิ่ง 5 ไมล์ | 6\cdot5=\boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อายุของปู่ของแอนดรูว์เป็นสิบสองเท่าของอายุแอนดรูว์ ถ้าปู่ของแอนดรูว์อายุ 55 ปีในวันที่แอนดรูว์เกิด แอนดรูว์อายุเท่าไรตอนนี้ | ให้ $a$ เป็นอายุของแอนดรูว์ในปัจจุบัน และ $g$ เป็นอายุของปู่ของเขาในปัจจุบัน เราต้องการหาค่าของ $a$ เราสามารถตั้งระบบสมการสองสมการเพื่อแทนข้อมูลที่กำหนดดังนี้:
\begin{align*}
g &= 12a \\
g-a &= 55 \\
\end{align*}
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการที่สองแทนอายุของปู่ $a$ ปีที่แล้ว เมื่อแอนดรูว์เกิด เพื่อแก้หา $a$ เราต้องกำจัด $g$ จากสมการข้างต้น แทนสมการแรกด้วยสมการที่สองเพื่อกำจัด $g$ เราจะได้ $12a-a=55$ หรือ $a=5$ ดังนั้น แอนดรูว์อายุ $\boxed{5}$ ปี | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุดของ $\frac{10a^3}{55a^2}$ เมื่อ $a=3$. | ตัวเลข 10 ในตัวเศษและ 55 ในตัวส่วนมีตัวประกอบร่วมกันคือ 5. เช่นเดียวกัน $a^3$ และ $a^2$ มีตัวประกอบร่วมกันคือ $a^2$ ดังนั้นเราได้ \[
\frac{10a^3}{55a^2} = \frac{2\cdot 5\cdot a^2\cdot a^1}{11\cdot 5 \cdot a^2} = \frac{2\cdot \cancel{5}\cdot \cancel{a^2}\cdot a^1}{11\cdot \cancel{5} \cdot \cancel{a^2}} = \frac{2a}{11}.
\]แทน $a=3$ จะได้ $\boxed{\frac{6}{11}}$. | \boxed{\frac{6}{11}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มประกอบ $n$ ทั้งหมด จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารผลต่างระหว่าง $n$ กับกำลังสามของ $n$ ลงตัวเสมอ | สังเกตว่า $n^3 - n$ หาค่าได้เป็น $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$ เราสังเกตว่าในจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงกันติดกัน จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนหารด้วย $2$ และอย่างน้อยหนึ่งจำนวนหารด้วย $3$ ดังนั้นเราทราบว่า $6$ ต้องหาร $n^3 - n$ ลงตัวเสมอ จริงๆแล้ว นี่คือจำนวนเต็มที่มากที่สุด; สำหรับ $n = 6$ จะได้ $n^3 - n = 210 = 6 \cdot 5 \cdot 7$ และสำหรับ $n = 33$ จะได้ $n^3 - n = 32 \cdot 33 \cdot 34 = 6 \cdot 32 \cdot 11 \cdot 17$ ซึ่งตัวหารร่วมมากที่สุดคือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อคุณทำให้นิพจน์ $\sqrt[3]{24a^4b^6c^{11}}$ ง่ายขึ้น ผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปรที่อยู่ภายนอกรากที่สามเท่ากับเท่าใด | แยกตัวประกอบ radicand เพื่อให้ได้ $\sqrt[3]{24a^4b^6c^{11}} = \sqrt[3]{(2^3a^3b^6c^9)3ac^2} = 2ab^2c^3\sqrt[3]{3ac^2}$ ผลรวมของเลขชี้กำลังของ $a$, $b$ และ $c$ ที่อยู่ภายนอกรากที่สามคือ $1+2+3=\boxed{6}$ | 1+2+3=\boxed{6} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของเลขโดดในรูปทศนิยมของ $2^{2005} \times 5^{2007} \times 3$ | เราได้ $$2^{2005}\times5^{2007}\times3=(2\times5)^{2005}\times5^2\times3=75\times10^{2005},$$ ดังนั้นผลรวมของเลขโดดคือ $7+5=\boxed{12}$ | 7+5=\boxed{12} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดว่า $\triangle+q=59$ และ $(\triangle+q)+q=106$ จงหาค่าของ $\triangle$ | แทน $\triangle + q = 59$ ลงในสมการที่สองจะได้ $59 + q = 106$ ดังนั้น $q= 106-59 = 47$ แทน $q=47$ ลงใน $\triangle + q =59$ จะได้ $\triangle + 47 = 59$ ดังนั้น $\triangle = \boxed{12}$ | \triangle = \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสามจำนวนที่ต่อเนื่องกันเท่ากับ 7805 จงหาผลบวกของกำลังสามของจำนวนเต็มสามจำนวนเดิม | ถ้า $n$ เป็นจำนวนตรงกลางของจำนวนเต็มเหล่านี้ เราจะมี $(n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 3n^2+2 = 7805$ หรือ $n^2 = 2601$ ซึ่งหมายความว่า $n=51$ ดังนั้นผลบวกของกำลังสามคือ $50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259}$ | 50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $a \star b = a^2 + 2ab + b^2$ จงหาค่าของ $a \star b$ เมื่อ $a = 4$ และ $b = 6$? | สังเกตว่า $a \star b = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ ดังนั้น $4 \star 6 = (4 + 6)^2 = 10^2 = \boxed{100}$ | 4 \star 6 = (4 + 6)^2 = 10^2 = \boxed{100} | [
"นำไปใช้"
] |
เมื่อสก็อตทำให้สมการกำลังสอง $x^2 + 8x - 1 = 0$ อยู่ในรูปกำลังสอง 완전한, เขาจะได้สมการในรูป $(x + a)^2 = b$ ค่าของ $b$ คือเท่าใด? | เราสามารถยกกำลังสองของ $x + 4$ เพื่อให้ได้ $x^2 + 8x + 16$ ดังนั้นสมการที่กำหนดจะกลายเป็น $x^2 + 8x - 1 = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 1 = (x + 4)^2 - 17 = 0$ ซึ่งหมายความว่า $(x + 4)^2 = 17$ เราจะเห็นว่า $b = \boxed{17}$ | b = \boxed{17} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เลขจำนวนสี่หลัก $3AA1$ หารด้วย 9 ลงตัว $A$ แทนเลขหลักใด | ถ้าจำนวนหนึ่งหารด้วย 9 ลงตัว ผลบวกของเลขโดดของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 9 ด้วย ผลบวกของเลขโดดคือ $3+A+A+1=2A+4$ ลองแทนค่า $A$ ที่ต่าง ๆ เพื่อดูว่าค่าใดทำให้ผลบวกของเลขโดดหารด้วย 9 ลงตัว เราจะเห็นว่าไม่มีค่าของ $A$ ที่ทำให้ $2A+4$ หารด้วย 9 ลงตัว ยกเว้น $A=7$ เราเห็นว่า $4+2A=18$ ดังนั้น $A=\boxed{7}$ | A=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมมีพื้นที่ $M\text{ cm}^2$ และเส้นรอบวง $N\text{ cm}$ ถ้า $\dfrac{M}{N}=20$ จงหาความยาวรัศมีของวงกลมเป็นเซนติเมตร | สมมติว่ารัศมีของวงกลมยาว $r$ เซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่ $M$ เท่ากับ $\pi r^2\text{ cm}^2$ และเส้นรอบวง $N$ เท่ากับ $2\pi r\text{ cm}$.
ดังนั้น $\frac{\pi r^2}{2\pi r} = 20$ หรือ $\frac{r}{2}=20$ หรือ $r=\boxed{40}$. | r=\boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับเรขาคณิต $9,3,1,\frac 13, \ldots$ | เราสามารถเขียนพจน์ทั้งหมดจนถึงพจน์ที่ 10 ได้ แต่เราสามารถหาสูตรของพจน์ที่ $n$ ของลำดับเรขาคณิตได้ เนื่องจาก 9 เป็นพจน์แรก และเราคูณด้วย $\frac{1}{3}$ เพื่อหาพจน์ถัดไป เราจึงได้ว่าสูตรของลำดับเรขาคณิตคือ $a_n=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}$ นั่นหมายความว่า $a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2}{3^9}=\frac{1}{3^7}=\boxed{\frac{1}{2187}}$. | a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2}{3^9}=\frac{1}{3^7}=\boxed{\frac{1}{2187}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $t$ ที่สอดคล้องกับ $\frac{1}{t+2} + \frac{2t}{t+2} - \frac{3}{t+2} = 3$. | รวมเศษส่วนทางซ้ายมือจะได้ $\dfrac{2t-2}{t+2} = 3$. คูณทั้งสองข้างด้วย $t+2$ จะได้ $2t-2 = 3(t+2)$. กระจายข้างขวาจะได้ $2t-2 = 3t+6$. ลบ $2t$ และ 6 จากทั้งสองข้างจะได้ $t=\boxed{-8}$. | t=\boxed{-8} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
โรงแรมแห่งหนึ่งคิดค่าห้องพักโดยคิดค่าคงที่สำหรับคืนแรก และเพิ่มค่าคงที่สำหรับคืนถัดไป หากจอร์จจ่ายเงิน $\$155$ สำหรับการเข้าพัก 3 คืน และโนอาห์จ่ายเงิน $\$290$ สำหรับการเข้าพัก 6 คืน ค่าคงที่สำหรับคืนแรกคือเท่าไร | ให้ $f$ เป็นค่าคงที่สำหรับคืนแรก และ $n$ เป็นค่าคงที่สำหรับคืนถัดไป โปรดทราบว่าคืนแรกนั้นรวมอยู่ในค่าคงที่ เราสามารถสร้างระบบสมการสองสมการเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนดดังนี้:
\begin{align*}
f + 2n &= 155 \\
f + 5n &= 290 \\
\end{align*}วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำจัด $f$ คือแก้หา $n$ และแก้หา $f$ โดยใช้ค่า $n$ นั้น เพื่อแก้หา $n$ ให้ลบสมการแรกจากสมการที่สอง จะได้ $3n = 135$ หรือ $n = 45$ แทนค่า $n$ ในสมการแรก จะได้ $f = 155 - 90$ หรือ $f = 65$ ดังนั้น ค่าคงที่สำหรับคืนแรกคือ $\boxed{\$65}$. | \boxed{\ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $16^{16}+16^{16}+16^{16}+16^{16}=2^x$ | เราเขียนข้างซ้าย $16^{16}+16^{16}+16^{16}+16^{16}$ ใหม่เป็น $4\cdot16^{16}=2^2\cdot(2^4)^{16}=2^2\cdot2^{64}=2^{66}$. เราได้ $2^{66}=2^x$ ดังนั้นค่าของ $x$ คือ $\boxed{66}$. | \boxed{66} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรง $ax+(a+1)y=a+2$ ผ่านจุด $(4,-8)$ จงหาค่า $a$ | เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด $(4,-8)$ เราทราบว่าสมการจะถูกต้องเมื่อเราแทนค่า $x=4$ และ $y=-8$ ซึ่งจะได้
\begin{align*}
a(4)+(a+1)(-8)&=a+2\\
4a-8a-8&=a+2\\
-4a-8&=a+2\\
-10&=5a\\
-2&=a.
\end{align*}ดังนั้น $a=\boxed{-2}$ สมการคือ $-2x-y=0$ หรือ $y=-2x$ และเราสามารถเห็นได้ว่า $(4,-8)$ อยู่บนเส้นตรงนี้ | -2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $\frac{3^4+3^2}{3^3-3}$ . แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | ตัวประกอบร่วมของ 3 ในตัวเศษและตัวประกอบร่วมของ 3 ในตัวส่วนจะตัดกัน: \[
\frac{3^4+3^2}{3^3-3}=\frac{3(3^3+3^1)}{3(3^2-1)}=\frac{3^3+3^1}{3^2-1}
\] ตอนนี้ ตัวเศษคือ $3^3+3=27+3=30$ และตัวส่วนคือ $3^2-1=9-1=8$ ดังนั้น เศษส่วนจึงง่ายขึ้นเป็น $\dfrac{30}{8}=\boxed{\dfrac{15}{4}}$ | \dfrac{30}{8}=\boxed{\dfrac{15}{4}} | [
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $k$ ใดที่สมการ $x^2+10x+y^2+6y-k=0$ แทนวงกลมที่มีรัศมี 6? | จัดรูปสมการโดยการเติมกำลังสอง เราจะได้ $(x+5)^2-25+(y+3)^2-9=k$ หรือ $(x+5)^2+(y+3)^2=34+k$ เนื่องจากสมการนี้ต้องแทนวงกลมที่มีรัศมี 6 เราจึงต้องมี $34+k=6^2=36$ ดังนั้น $k=\boxed{2}$ | k=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่ง $f(6)-f(2)=12$ จงหาค่าของ $f(12)-f(2)$ | เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันจะคงที่ ดังนั้น
\[\frac{f(6) - f(2)}{6-2} = \frac{f(12) - f(2)}{12 - 2},\]ดังนั้น \[\frac{12}{4} =\frac{f(12) - f(2)}{10},\]และ $f(12) - f(2) = \boxed{30}$. | f(12) - f(2) = \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(w+13)^2=(3w+7)(2w+4)$ จงหาค่า $w^2$ แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เราขยายทั้งสองข้างเพื่อให้ได้
\begin{align*}
(w+13)(w+13)&=(3w+7)(2w+4)\\
w^2+26w+169&=3w(2w+4)+7(2w+4)\\
w^2+26w+169&=6w^2+12w+14w+28\\
w^2+26w+169&=6w^2+26w+28\\
w^2+169&=6w^2+28\\
141&=5w^2\\
\frac{141}{5}&=w^2.\\
\end{align*}
ดังนั้น คำตอบในรูปทศนิยมคือ $\frac{141}{5}=\boxed{28.2}$ | \frac{141}{5}=\boxed{28.2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของสมการกำลังสอง $y = ax^2 + bx + c$ มีสมบัติดังนี้: (1) ค่าสูงสุดของ $y = ax^2 + bx + c$ คือ 5 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x = 3$ (2) กราฟผ่านจุด $(0,-13)$ ถ้ากราฟผ่านจุด $(4,m)$ แล้วค่าของ $m$ คือเท่าใด | เนื่องจากค่าสูงสุดของ $y = ax^2 + bx + c$ คือ 5 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x = 3$ ดังนั้นจุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,5)$ ดังนั้นสมการกำลังสองอยู่ในรูป $y = a(x - 3)^2 + 5$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนลบ (เราทราบว่า $a$ เป็นลบเนื่องจาก $y$ มีค่าสูงสุด)
เรายังทราบอีกด้วยว่ากราฟผ่านจุด $(0,-13)$ แทนพิกัดนี้ลงในสมการ $y = a(x - 3)^2 + 5$ เราได้ $-13 = 9a + 5$ ดังนั้น $a = (-5 - 13)/9 = -18/9 = -2$ ดังนั้นสมการคือ $y =- 2(x - 3)^2+5$.
เมื่อ $x = 4$ เราได้ $m = - 2 \cdot 1^2 + 5 = \boxed{3}$. | m = - 2 \cdot 1^2 + 5 = \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แรงที่ต้องการในการคลายน็อตจะแปรผกผันกับความยาวของด้ามประแจที่ใช้ ประแจที่มีความยาวด้าม 9 นิ้วต้องการแรง 375 ปอนด์ในการคลายน็อตตัวหนึ่ง ประแจที่มีความยาว 15 นิ้วจะต้องใช้แรงเท่าไรในการคลายน็อตตัวเดียวกัน | เมื่อเราเปลี่ยนจากประแจ 9 นิ้วเป็นประแจ 15 นิ้ว เราคูณความยาวของประแจด้วย $\frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ เนื่องจากความยาวของประแจและแรงที่ต้องการนั้นเป็นสัดส่วนผกผัน ผลคูณของมันจะต้องคงที่ ดังนั้น เมื่อเราคูณความยาวของประแจด้วย $\dfrac53$ เราต้องคูณแรงที่ต้องการด้วย $\dfrac35$ เพื่อให้ผลคูณคงที่ ดังนั้น แรงที่ต้องการคือ $(375)\left(\frac35\right) = \boxed{225}$ ปอนด์ | (375)\left(\frac35\right) = \boxed{225} | [
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $x$ : $$2^x+6=3\cdot2^x-26$$ | จัดรูปสมการใหม่จะได้ $32=2\cdot2^x$ หรือ $16=2^x$ ดังนั้น $x=\boxed{4}$ | x=\boxed{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
มีวิธีการอย่างไรในการนำลูกบอลที่เหมือนกัน 4 ลูกไปใส่ในกล่องที่เหมือนกัน 2 ใบ? | ในปัญหานี้ เราเพียงแค่ต้องนับจำนวนวิธีในการแบ่ง 4 สิ่งเป็น 2 กลุ่ม มีเพียง 3 วิธีเท่านั้น: $\{4,0\}$, $\{3,1\}$ และ $\{2,2\}$ ดังนั้น มีเพียง $\boxed{3}$ วิธีในการนำลูกบอลที่เหมือนกัน 4 ลูกไปใส่ในกล่องที่เหมือนกัน 2 ใบ | \boxed{3} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ฟังก์ชัน $f(x)$ กำหนดโดย $f(x)=x^{2}-x$ จงหาค่าของ $f(4)$ | $f(4)=4^2-4=16-4=\boxed{12}$. | f(4)=4^2-4=16-4=\boxed{12} | [
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $(3-2i)^2$ (คำตอบของคุณควรอยู่ในรูป $a+bi$.) | $(3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i)= 3(3) + 3(-2i) -2i(3) - 2i(-2i) = 9-6i-6i -4 = \boxed{5-12i}$. | (3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i)= 3(3) + 3(-2i) -2i(3) - 2i(-2i) = 9-6i-6i -4 = \boxed{5-12i} | [
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x (x+y) = 27$ และ $y (x+y) = 54$ จงหาค่าของ $(x+y)^2$ | สังเกตว่าถ้าเราบวก $x(x+y)$ และ $y(x+y)$ เราสามารถแยกตัวประกอบของ $(x+y)$ ออกมาได้ ดังนั้น $(x+y)^2 = x(x+y) + y(x+y)$ ดังนั้น $(x+y)^2 = 27 + 54 = \boxed{81}$ | (x+y)^2 = 27 + 54 = \boxed{81} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า 10 เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเซต $\{6, 13, 18, 4, x\}$ จงหาค่าของ $x$ | มีจำนวน 5 ตัวในเซตนี้ ดังนั้นเราได้ \begin{align*}
\frac{6+13+18+4+x}{5}&=10 \\
6+13+18+4+x&=50 \\
6+4+13+18+x&=50 \\
10+31+x &=50 \\
41+x&=50 \\
x &= \boxed{9}
\end{align*} | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในรูปภาพด้านล่าง $BC$ ยาว 8 เซนติเมตร พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นเท่าไร (หน่วยเป็นตารางเซนติเมตร)?
[asy]
defaultpen(linewidth(0.7));
draw((0,0)--(16,0)--(23,20)--cycle);
draw((16,0)--(23,0)--(23,20),dashed);
label("8 cm",(8,0),S);
label("10 cm",(23,10),E);
label("$A$",(23,20),N);
label("$B$",(0,0),SW);
label("$C$",(16,0),SE);
[/asy] | พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับ $\frac{1}{2}(\text{ฐาน})(\text{สูง})$ ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ คือ $\frac{1}{2}(8\text{ cm})(\text{10 cm})=\boxed{40}$ ตารางเซนติเมตร | \frac{1}{2}(8\text{ cm})(\text{10 cm})=\boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ 14 และ 21 | $14=2\cdot7$ และ $21=3\cdot7$ ดังนั้น ผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ 14 และ 21 คือ $2\cdot3\cdot7=\boxed{42}$ | $2\cdot3\cdot7=\boxed{42}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $y= \frac{x^2+2x+8}{x-4}$, ค่า $x$ ที่ทำให้กราฟมีเส้นกำลุ่งตรงจะเป็นเท่าใด? | ฟังก์ชันจะมีเส้นกำลุ่งตรงที่จุดที่ตัวส่วนเท่ากับศูนย์ และดีกรีของรากนั้นมีค่ามากกว่าดีกรีของรากเดียวกันในตัวเศษ ตัวส่วนเป็นศูนย์ที่ $x = 4$ ดีกรีของรากนี้เท่ากับ 1 ตัวเศษไม่มีรากที่ $x = 4$ (ดีกรี 0) ดังนั้นมีเส้นกำลุ่งตรงที่ $x=\boxed{4}$ | x=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $x^2 + 8x$ ในจำนวนจริง | ทำการเติมกำลังสอง เราได้ $x^2 + 8x = (x^2 + 8x + 16) - 16 = (x + 4)^2 - 16$ ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ $-16$ | $-16$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ยานน์และกามิลล์ไปที่ร้านอาหาร ถ้ามี 10 รายการในเมนู และแต่ละคนสั่งอาหารจานเดียว จะมีวิธีการสั่งอาหารที่แตกต่างกันกี่วิธี (โปรดทราบว่าพวกเขาอนุญาตให้สั่งจานเดียวกันได้ และสำคัญว่าใครสั่งอะไร) | ยานน์สามารถสั่งอาหารได้ 10 จานที่แตกต่างกัน หลังจากที่เขาเลือกจานหนึ่งแล้ว กามิลล์ก็สามารถเลือกอาหารได้ 10 จานที่แตกต่างกันเช่นกัน ดังนั้นจึงมีการรวมกันของอาหารที่เป็นไปได้ทั้งหมด $10\cdot 10 = \boxed{100}$ วิธี | 10\cdot 10 = \boxed{100} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ
$3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3))))))))))$ | อย่าให้วงเล็บจำนวนมากหลอกลวงเรา เราสามารถเขียนนิพจน์ใหม่ในรูปของอนุกรมเรขาคณิต: \[3+3^2+3^3+\cdots +3^9 +3^{10}.\]ตอนนี้เราสามารถคำนวณผลรวมได้ดังนี้ $\frac{3^{11}-3}{3-1}=\boxed{88572}.$ | \frac{3^{11}-3}{3-1}=\boxed{88572}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ขบวนรถสินค้าเดินทาง 1 ไมล์ใน 1 นาที 30 วินาที ด้วยอัตราเร็วนี้ ขบวนรถจะเดินทางได้กี่ไมล์ใน 1 ชั่วโมง | ขบวนรถเดินทาง 1 ไมล์ใน 1 นาที 30 วินาที ดังนั้นจะเดินทาง 2 ไมล์ใน 3 นาที เนื่องจาก 60 นาที มี 20 กลุ่มของ 3 นาที ขบวนรถจะเดินทาง $20 \times 2 = \boxed{40}$ ไมล์ใน 1 ชั่วโมง | 20 \times 2 = \boxed{40} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $E(a,b,c) = a \times b^c$. ค่าบวก $r$ ใดที่เป็นคำตอบของสมการ $E(r,r,3) = 625$ ? | $E(r,r,3)=r(r^3)=r^4$. ดังนั้น $r^4=625=5^4$, และ $r=\boxed{5}$. | r=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $x$ ใดจะทำให้ $x^2- 10x + 24$ มีค่าต่ำสุด | เริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง \[x^2-10x+24=(x-5)^2-1.\] เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าอย่างน้อย 0 ดังนั้น $(x-5)^2\ge 0$ และ $(x-5)^2-1 \ge -1.$ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของสมการกำลังสองคือ $-1,$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x=\boxed{5}.$ | x=\boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รถไฟสินค้าวิ่งได้ 1 ไมล์ใน 1 นาที 30 วินาที ถ้าวิ่งด้วยอัตราเร็วนี้ รถไฟจะวิ่งได้กี่ไมล์ใน 1 ชั่วโมง | รถไฟวิ่งได้ 1 ไมล์ใน 1 นาที 30 วินาที ดังนั้นจะวิ่งได้ 2 ไมล์ใน 3 นาที เนื่องจาก 60 นาที มี 20 กลุ่มของ 3 นาที รถไฟจะวิ่งได้ $20 \times 2 = \boxed{40}$ ไมล์ใน 1 ชั่วโมง | 20 \times 2 = \boxed{40} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $\sqrt{5+2z} = 11$. | เรา squaring ทั้งสองข้างเพื่อกำจัดเครื่องหมายรากที่สอง ซึ่งจะได้ $5+2z = 121$ แก้สมการสำหรับ $z$ จะได้ $z = \boxed{58}$ เรา squaring สมการ ดังนั้นเราต้องทดสอบคำตอบของเราเพื่อให้แน่ใจว่าไม่ใช่คำตอบนอกระบบ เราได้
\[\sqrt{5 +2 \cdot 58} =\sqrt{121} = 11\]ดังนั้นคำตอบของเราจึงถูกต้อง | z = \boxed{58} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน 3 จำนวน $a+bi$, $c+di$, และ $e+fi$ ถ้า $b=1$, $e=-a-c$ และผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนทั้งสามเท่ากับ $-i$ จงหา $d+f$ | เราทราบว่า $a+bi+c+di+e+fi=-i$ ดังนั้น ส่วนจริงบวกกันเท่ากับ 0 และส่วนจินตภาพบวกกันเท่ากับ -1 เราจะได้ \begin{align*}
a+c+e&=0\\
b+d+f&=-1\\
\end{align*}เราทราบว่า $b=1$ ดังนั้น $d+f=\boxed{-2}$ | d+f=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{5x+1}{2x^2+5x-3}=\frac{2x}{2x-1}\]หาค่า $x$ | เราสังเกตว่าส่วนทางซ้ายสามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้น \[\frac{5x+1}{(2x-1)(x+3)}=\frac{2x}{2x-1}.\]ตราบใดที่ $x\neq\frac12$ เราสามารถตัด $2x-1$ จากส่วนได้ ซึ่งจะได้ \[\frac{5x+1}{x+3}=2x.\]จากนั้นเราสามารถคูณไขว้เพื่อหา \[5x+1=2x(x+3)=2x^2+6x.\]เราสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น \[2x^2+x-1=0\]และแยกตัวประกอบเป็น \[(x+1)(2x-1)=0.\]สังเกตว่าเนื่องจาก $2x-1$ อยู่ในส่วนของสมการเดิม $x=\frac12$ เป็นคำตอบที่ไม่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม $x=\boxed{-1}$ เป็นคำตอบของสมการเดิม | x=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รยูซูเกะกำลังไปรับเพื่อนที่ทำงาน อ่านเลขไมล์ได้ 74,568 ไมล์เมื่อเขาไปรับเพื่อน และอ่านได้ 74,592 ไมล์เมื่อเขาไปส่งเพื่อนที่บ้าน รถยนต์ของรยูซูเกะวิ่งได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน และราคาของน้ำมัน 1 แกลลอนคือ $4.05 ค่าใช้จ่ายในการใช้แก๊สที่รยูซูเกะใช้ในการขับรถพาเพื่อนกลับบ้านจากที่ทำงานเท่าไร (แสดงคำตอบเป็นดอลลาร์และปัดเศษเป็นเซ็นต์ที่ใกล้ที่สุด) | รยูซูเกะเดินทางไประยะทาง $74,592 - 74,568 = 24$ ไมล์ ระหว่างที่เขาไปรับเพื่อนและส่งเพื่อนถึงบ้าน เนื่องจากรถยนต์ของเขาวิ่งได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน เขาใช้ 24/28 หรือ 12/14 ของแกลลอน ด้วยราคา $4.05 ต่อแกลลอน ค่าใช้จ่ายของการเดินทางโดยประมาณคือ $12/14 \times 4.05 \approx \boxed{\$3.47}$. | 3.47 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แจ็คเดินขึ้นเนินเขาด้วยความเร็ว $(x^2-11x-22)$ ไมล์ต่อชั่วโมง ในขณะเดียวกัน จิลเดินระยะทางทั้งหมด $(x^2-3x-54)$ ไมล์ ในเวลา $(x+6)$ ชั่วโมง ถ้าแจ็คและจิลเดินด้วยความเร็วเท่ากัน ความเร็วของพวกเขาคือเท่าไร เป็นไมล์ต่อชั่วโมง | ก่อนอื่นเราหาความเร็วของจิลเป็นไมล์ต่อชั่วโมงโดยหารระยะทางทั้งหมดด้วยเวลา ซึ่งเราสามารถยกเลิกตัวประกอบร่วมได้: \begin{align*}
\text{ความเร็วของจิล}&=\frac{x^2-3x-54}{x+6}\quad\Rightarrow\\
&=\frac{(x-9)(x+6)}{x+6}\quad\Rightarrow\\
&=(x-9).
\end{align*}จากนั้นเราตั้งความเร็วทั้งสองให้เท่ากันและแก้หา $x$: \begin{align*}
x-9&=x^2-11x-22\quad\Rightarrow\\
0&=x^2-12x-13\quad\Rightarrow\\
0&=(x+1)(x-13).
\end{align*}ถ้า $x=-1$ เราจะได้ความเร็ว $-1-9=-10$ ไมล์ต่อชั่วโมง ซึ่งเป็นไปไม่ได้ นั่นหมายความว่า $x=13$ ดังนั้นความเร็วของพวกเขาคือ $13-9=\boxed{4}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | 13-9=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุดของ $(2x^3)^3$ | กระจายเลขชี้กำลังและใช้กฎของเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลัง เราได้ $(2x^3)^3=(2^3)((x^{3})^3)=8(x^{3\ast3})=\boxed{8x^9}$ | (2x^3)^3=(2^3)((x^{3})^3)=8(x^{3\ast3})=\boxed{8x^9} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลรวมของค่าจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของ $n$ ที่ทำให้ $ rac{n+18}{n}$ เป็นจำนวนเต็ม | $ rac{n+18}{n}=1+ rac{18}{n}$ ดังนั้น $ rac{n+18}{n}$ เป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ $n$ หาร 18 ลงตัว ตัวหารบวกของ 18 คือ 1, 18, 2, 9, 3 และ 6 ผลรวมของตัวหารเหล่านี้คือ $oxed{39}$ | \boxed{39} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนสี่หลัก $3AA1$ หารด้วย 9 ลงตัว ตัวเลข $A$ แทนตัวเลขใด | ถ้าจำนวนหนึ่งหารด้วย 9 ลงตัว ผลรวมของหลักของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 9 ลงตัว ผลรวมของหลักคือ $3+A+A+1=2A+4$ ลองแทนค่า $A$ ต่างๆ เพื่อดูว่าค่าใดทำให้ผลรวมของหลักหารด้วย 9 ลงตัว เราจะพบว่าไม่มีค่าของ $A$ ใดที่ทำให้ $2A+4$ หารด้วย 9 ลงตัว ยกเว้น $A=7$ เราจะเห็นว่า $4+2A=18$ ดังนั้น $A=\boxed{7}$ | A=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาดีกรีของพหุนาม $(3x^2 +11)^{12}$ | ดีกรีของพหุนามคือดีกรีของพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุด เนื่องจากดีกรีของ $3x^2 +11$ คือ 2 และเนื่องจาก $(x^a)^{12} = x^{12a}$ สำหรับค่าคงที่ $a$ ที่เป็นบวกใดๆ คำตอบคือ $2 \cdot 12 = \boxed{24}$ | 2 \cdot 12 = \boxed{24} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และ \[f(z) = \left\{
\begin{array}{cl}
z^{2}&\text{ ถ้า }z\text{ ไม่ใช่จำนวนจริง}, \\
-z^2 &\text{ ถ้า }z\text{ เป็นจำนวนจริง}.
\end{array}
\right.\] จงหาค่าของ $f(f(f(f(1+i))))$. | เราคำนวณจากด้านในออกไป เนื่องจาก $1+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(1+i)=(1+i)^2=1+2i-1=2i$ ดังนั้น $f(f(f(f(1+i))))=f(f(f(2i)))$. เนื่องจาก $2i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(2i)=(2i)^2=-4$ ดังนั้น $f(f(f(2i)))=f(f(-4))$. เนื่องจาก $-4$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $f(-4)=-(-4)^2=-16$ ดังนั้น $f(f(-4))=f(-16)$. เนื่องจาก $-16$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $f(-16)=\boxed{-256}$. | f(-16)=\boxed{-256} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โจแอนขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ย 12 ไมล์ต่อชั่วโมงเป็นเวลา 3 ชั่วโมงครึ่ง ถ้าเพื่อนของเธอ ฟราน ขี่จักรยานเป็นเวลา 3 ชั่วโมง เธอจะต้องขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ยเท่าไร ไมล์ต่อชั่วโมง เพื่อเดินทางเท่ากับโจแอน | ในเวลา $3\frac{1}{2}$ ชั่วโมง โจแอนเดินทาง $\left(3\frac{1}{2}\text{ ชั่วโมง}\right)(12\text{ ไมล์ต่อชั่วโมง})=42$ ไมล์ ถ้าความเร็วเฉลี่ยของฟรานเป็น $s$ ไมล์ต่อชั่วโมง ฟรานจะเดินทาง $3s$ ไมล์ ในเวลา 3 ชั่วโมง การแก้สมการ $3s=42$ จะได้ $s=\boxed{14}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | s=\boxed{14} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เวนดี้มีรั้ว 180 ฟุต เธอต้องการล้อมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่เป็นสิบเท่าของเส้นรอบรูป ถ้าเธอใช้รั้วทั้งหมด ความยาวด้านที่ยาวที่สุดของล้อมคือเท่าไร | ให้ความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $l$ และความกว้างเป็น $w$ โดยทั่วไป เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถแสดงได้เป็นผลรวมของด้านทั้งสี่ ดังนั้นจึงเท่ากับ $2l+2w$ ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $lw$ เนื่องจากเราทราบว่าเวนดี้ใช้รั้วทั้งหมด เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เธอล้อมจะต้องเท่ากับ 180 ฟุต พื้นที่ซึ่งเป็นสิบเท่าของเส้นรอบรูปนั้นจะเท่ากับ 1800 ตารางฟุต นี่ทำให้เราได้ระบบสมการสองสมการ: \begin{align*} 2l+2w& =180
\\lw& =1800. \end{align*}ถ้าเราแก้หา $l$ ในรูปของ $w$ โดยใช้สมการแรก เราจะพบว่า $180-2w=2l$ หรือ $l=90-w$ เราสามารถแทนค่านี้กลับไปในสมการที่สอง ซึ่งจะได้ \begin{align*} (90-w)(w)& =1800
\\ 90w-w^2& =1800
\\ \Rightarrow\qquad w^2-90w+1800& =0
\\ \Rightarrow\qquad (w-60)(w-30)& =0 \end{align*}ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้สองค่าของ $w$ คือ 60 ฟุต และ 30 ฟุต เนื่องจาก $l=90-w$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $l$ ต้องเป็น 30 ฟุต หรือ 60 ฟุต (ตามลำดับ) เนื่องจากโจทย์ถามหาด้านที่ยาวที่สุด คำตอบสุดท้ายคือ $\boxed{60}$ | \boxed{60} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
วันอังคารอีก 40 วันจะเป็นวันอะไร | เมื่อหาร 40 วันด้วย 7 วันต่อสัปดาห์ จะได้เศษ 5. ห้าวันจากวันอังคารคือ $\boxed{\text{วันอาทิตย์}}$ | \boxed{\text{วันอาทิตย์}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรง $a$ ขนานกับเส้นตรง $y=2x+4$ และผ่านจุด $(2,5)$ จุดตัดแกน y ของเส้นตรง $a$ คือเท่าใด | เส้นตรงที่ขนานกันจะมีความชันเท่ากัน ดังนั้นความชันของเส้นตรง $a$ คือ $2$ ใช้สูตรจุด-ความชัน เราจะได้สมการของเส้นตรง $a$ คือ $y-5=2(x-2)=2x-4$ ในรูป $y=mx+c$ สมการคือ $y=2x+1$ ดังนั้น จุดตัดแกน y คือ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Alexia ออกแบบโลโก้กว้าง 2 นิ้ว และสูง 1.5 นิ้ว เพื่อใช้บนสมุดของโรงเรียน โรงเรียนต้องการให้โลโก้บนสมุดกว้าง 8 นิ้ว หากขยายขนาดสัดส่วนกัน ความสูงของโลโก้จะเป็นเท่าไร (เป็นนิ้ว) | ถ้าความกว้างเพิ่มจาก 2 นิ้วเป็น 8 นิ้ว จะถูกคูณด้วย 4 ถ้ารูปภาพขยายสัดส่วนกัน ความสูงก็จะถูกคูณด้วย 4 เช่นกัน ดังนั้น โลโก้ที่ขยายขนาดจะมีความสูง $1.5\times4=\boxed{6}$ นิ้ว | 1.5\times4=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อนุกรมเรขาอนันต์มีอัตราส่วนร่วม $\frac{-1}{3}$ และผลรวม 25 จงหาพจน์ที่สองของลำดับ | การคำนวณพจน์ที่สองโดยตรงดูเหมือนจะยาก ดังนั้นเราจะหาค่าของพจน์แรกก่อน ให้พจน์แรกเป็น $a$ เนื่องจากผลรวมของอนุกรมคือ 25 เราได้ \[25= \frac{a}{1-\left(\frac{-1}{3}\right)} = \frac{a}{\frac{4}{3}} = \frac{3a}{4}.\]ดังนั้น $a=\frac{100}{3}$ ตอนนี้เราสามารถคำนวณพจน์ที่สองได้โดยทราบค่าของพจน์แรก พจน์ที่สอง $ar$ คือ \[ar=\left( \frac{100}{3} \right)\left(\frac{-1}{3}\right)=\boxed{\frac{-100}{9}} .\] | ar | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $55z^{17}+121z^{34}$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของสัมประสิทธิ์ทั้งสองคือ $11$ และกำลังสูงสุดของ $z$ ที่หารทั้งสองพจน์ได้คือ $z^{17}$ ดังนั้นเราแยกตัวประกอบ $11z^{17}$ ออกจากพจน์ทั้งสอง:
\begin{align*}
55z^{17}+121z^{34} &= 11z^{17}\cdot 5 +11z^{17}\cdot 11z^{17}\\
&= \boxed{11z^{17}(5+11z^{17})}
\end{align*} | 11z^{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งยาว 24 นิ้ว จงหาจำนวนตารางนิ้วของพื้นที่สูงสุดที่เป็นไปได้ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ | ให้ด้านคู่ขนานคู่หนึ่งมีความยาว $x$ และอีกคู่หนึ่งมีความยาว $12-x$ นั่นหมายความว่าเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $x+x+12-x+12-x=24$ ตามที่โจทย์ระบุ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้คือ $12x-x^2$ การเติมกำลังสองจะได้ $-(x-6)^2+36\le 36$ เนื่องจาก $(x-6)^2\ge 0$ ดังนั้นพื้นที่สูงสุดของ $\boxed{36}$ จะได้เมื่อสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 6 นิ้ว | \boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $\lfloor x \rfloor + x = \dfrac{13}{3}$ เขียน $x$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราสังเกตว่า $x$ ต้องเป็นจำนวนบวก เพราะถ้าไม่เช่นนั้น $\lfloor x \rfloor + x$ จะเป็นจำนวนไม่เป็นบวก ต่อไป เราทราบว่าส่วนทศนิยมของ $x$ ต้องเป็น $\dfrac{1}{3}$ เราเขียน $x$ เป็น $n+\dfrac{1}{3}$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $x$ ดังนั้นเราสามารถเขียน $\lfloor x \rfloor + x$ เป็น $n+n+\dfrac{1}{3}=\dfrac{13}{3}$ แก้สมการนี้ เราได้ $n=2$ ดังนั้นค่า $x$ ที่สอดคล้องกับสมการนี้คือ $2+\dfrac{1}{3}=\boxed{\dfrac{7}{3}}$ | 2+\dfrac{1}{3}=\boxed{\dfrac{7}{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 193 ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนนี้เท่ากับ 84 ผลบวกของจำนวนเต็มทั้งสองเท่ากับเท่าใด | ให้จำนวนเต็มสองจำนวนนี้เป็น $x$ และ $y$ เราทราบว่า $x^2 + y^2 = 193$ และ $xy = 84$ เราต้องการหา $x + y$ สังเกตว่า $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 193 + 2\cdot 84 = 361$ การหารากที่สองของ 361 เราจะได้ว่า $x + y = \boxed{19}$ | x + y = \boxed{19} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_3\frac{1}{\sqrt3}$. | เพื่อที่จะหาค่า $x$ ที่ทำให้ $3^x=\frac{1}{\sqrt3}$ สังเกตว่าการคูณตัวเศษและตัวส่วนของ $\frac{1}{\sqrt3}$ ด้วย $\sqrt3$ จะได้ $\frac{\sqrt3}{3}$ และการแยกตัวประกอบ $\frac{\sqrt3}{3}$ จะได้ $\sqrt{3}\cdot \frac{1}{3}$ ซึ่งเท่ากับ $3^\frac12 \cdot 3^{-1}.$ มองย้อนกลับไปที่สมการเดิม นี่หมายความว่า $3^x=3^\frac12 \cdot 3^{-1}=3^{\frac12 + -1},$ และด้วยเหตุนี้ $x=\frac12 + -1=-\frac12.$ เนื่องจาก $3^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt3},$ $\log_3\frac{1}{\sqrt3}=\boxed{-\frac12}.$ | \log_3\frac{1}{\sqrt3}=\boxed{-\frac12}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับ 12, 15, 18, 21, 51, 81, $\ldots$ ประกอบด้วยพหุคูณบวกของ 3 ที่มีอย่างน้อยหนึ่งหลักเป็น 1 จงหาพจน์ที่ $50$ ของลำดับ | เราทราบว่ากฎสำหรับหารด้วย 3 คือหลักของจำนวนต้องบวกกันเป็นพหุคูณของ 3 ดังนั้นจึงชัดเจนว่าไม่มีจำนวนเลขสองหลักอื่นๆ นอกเหนือจากจำนวนที่แสดงไว้ในปัญหา ทุกจำนวนที่หารด้วย 3 ได้ระหว่าง 100 ถึง 199 อยู่ในลำดับ ดังนั้นเราจะได้ถึงพจน์ที่ 39 ของลำดับ จากนั้นใช้กฎการหารด้วย 3 เราสามารถแสดงพจน์ที่เหลืออีก 11 พจน์ของลำดับได้: $201, 210, 213, 216, 219, 231, 261, 291, 312, 315, 318$ ดังนั้นพจน์ที่ 50 คือ $\boxed{318}$ | \boxed{318} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ออสตินสูง 60 นิ้ว โดยใช้การแปลง 1 นิ้ว = 2.54 เซนติเมตร ออสตินสูงเท่าไรในหน่วยเซนติเมตร จงแสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่สิบ | เมื่อทำงานกับการแปลงหน่วย สิ่งที่ง่ายที่สุดคือการคิดหน่วยเป็นตัวแปร
ในปัญหานี้ หน่วยที่เราเริ่มต้นด้วยคือ นิ้ว และเราต้องการจบลงด้วยเซนติเมตร อย่างไรก็ตาม เราไม่ต้องการเปลี่ยนปริมาณ แต่เพียงหน่วยเท่านั้น -- เราต้องค้นหาระดับของหน่วยซึ่งเท่ากับหนึ่ง
เนื่องจาก $1 \mbox{ นิ้ว} = 2.54 \mbox{ cm}$ เราสามารถหารด้วยด้านข้างด้วย 1 นิ้วเพื่อค้นหา $$ \frac{2.54 \mbox{ cm}}{1 \mbox{ in}} = 1.$$
ดังนั้น ออสตินสูง $$60 \mbox{ in} \cdot \frac{2.54 \mbox{ cm}}{1 \mbox{ in}} = \boxed{152.4}\mbox{ cm}$$ | 152.4 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามโดยที่ $f(x) + g(x) = -2 + x$ แล้ว $g(x)$ มีค่าเท่าใด ถ้า $f(x) = x^3 - 2x - 2$ | เราแทน $f(x) = x^3 - 2x - 2$ ลงใน $f(x) + g(x) = -2 + x$ เพื่อหาว่า $(x^3 - 2x - 2) + g(x) = -2 + x$ ดังนั้น $g(x) = -2 + x - (x^3 - 2x - 2)$ กระจายพจน์ เราได้ $g(x) = -2 + x - x^3 + 2x + 2 = \boxed{-x^3 + 3x}$ | g(x) = -2 + x - x^3 + 2x + 2 = \boxed{-x^3 + 3x} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แต่ละพจน์ของลำดับ (หลังจากพจน์แรก) มีค่าเป็นสัดส่วนผกผันกับพจน์ก่อนหน้า และค่าคงที่ของสัดส่วนผกผันจะคงที่ ถ้าพจน์แรกคือ 2 และพจน์ที่สองคือ 5 พจน์ที่ 12 คือเท่าใด | จงจำไว้ว่าปริมาณสองปริมาณมีสัดส่วนผกผันกันถ้าผลคูณของมันคงที่ ดังนั้น ผลคูณของพจน์คู่ใดๆ ของลำดับจะเท่ากัน เนื่องจากพจน์สองพจน์แรกคือ 2 และ 5 ผลคูณของพจน์คู่ใดๆ คือ 10 ดังนั้น พจน์ที่สามคือ $10/5=2$ พจน์ที่สี่คือ $10/2=5$ และอื่นๆ เราเห็นว่าพจน์ที่ $n$ คือ 5 สำหรับทุกๆ $n$ ที่เป็นเลขคู่ ดังนั้น พจน์ที่ 12 คือ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้พจน์แรกของลำดับเรขาคณิตเป็น $ rac{3}{4}$ และพจน์ที่สองเป็น 15 จงหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พจน์ที่ $n$ ของลำดับนี้หารด้วยหนึ่งล้านลงตัว | อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตนี้คือ $$\frac{15}{\frac{3}{4}} = 20$$ดังนั้น พจน์ที่ $n$ ของลำดับนี้คือ $(20^{n-1}) \left(\frac{3}{4}\right)$.
ถ้าหนึ่งล้าน (คือ $10^6$) หารพจน์ที่ $n$ ลงตัวได้ ก็ต้องหาร $5^6$ ลงตัวได้ด้วย ซึ่งจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $n-1$ มีค่าอย่างน้อย 6 หรือ $n \ge 7$.
พจน์ที่ 7 คือ $$\left(20^6\right) \left(\frac{3}{4}\right) = \left(4\right)^6\left(5\right)^6\left(\frac{3}{4}\right) = (2)^{10}(5)^6(3),$$ซึ่งหารด้วย $(2)^6(5)^6=10^6$ ลงตัว ดังนั้น คำตอบคือ $oxed{7}$. | \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\left\lceil-\sqrt{\frac{49}{4}}\right\rceil$. | เนื่องจาก $-\sqrt{\frac{49}{4}}$ มีค่าเท่ากับ $-\frac{7}{2}$ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $-\frac{7}{2}$ คือ $\boxed{-3}$ | \boxed{-3} | [
"ประยุกต์"
] |
รากที่สองของ $x$ มากกว่า 2 และน้อยกว่า 4 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | เรามี $4 > \sqrt{x} > 2$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ $16 > x > 4$ ดังนั้นจำนวนเต็มตั้งแต่ 15 ถึง 5 รวมทั้ง 5 สอดคล้องกับอสมการนี้ รวมทั้งหมด $15-5+1=\boxed{11}$ จำนวน | 15-5+1=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $a$ และ $b$ สอดคล้องกับสมการ $3^a=81^{b+2}$ และ $125^b=5^{a-3}$ ค่าของ $ab$ คือเท่าใด | สมการที่กำหนดเทียบเท่ากับ \[
3^a=3^{4(b+2)}\quad\text{และ}\quad 5^{3b}=5^{a-3}.
\] ดังนั้น $a=4(b+2)$ และ $3b=a-3$ คำตอบของระบบสมการนี้คือ $a=-12$ และ $b=-5$ ดังนั้น $ab=\boxed{60}$ | ab=\boxed{60} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงประเมินผลคูณ \[ (a-10) \cdot (a-9) \cdot \dotsm \cdot (a-1) \cdot a, \] เมื่อ $a=2$. | สังเกตว่า $a-2 = 0$ เนื่องจาก $a = 2$ ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการคือ \[ (a -10) \dotsm (a-3) \cdot (a-2) \cdot (a-1) \cdot a = (a-10) \dotsm (a-3) \cdot 0 \cdot (a-1) \cdot a, \] ซึ่งมีค่าเท่ากับ $\boxed{0}$ เนื่องจากศูนย์คูณด้วยจำนวนจริงใดๆ จะเท่ากับศูนย์ | \boxed{0} | [
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนเท่ากับ 22 ส่วนต่างของสองจำนวนนั้นเท่ากับ 4 จงหาจำนวนที่ใหญ่กว่า | ให้สองจำนวนนั้นเป็น $x$ และ $y$ โดยที่ $x>y$ เราต้องการหาค่า $x$ ปัญหาสามารถเขียนใหม่เป็นระบบสมการ: \begin{align*}
x+y&= 22\\
x-y&= 4
\end{align*} บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้: \begin{align*}
2x &= 26\\
x &=\boxed{13}.
\end{align*} | x | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนกำลังของ 3 ที่ต่อเนื่องกันถูกนำมารวมกันเพื่อสร้างลำดับนี้: $3^0,3^0+ 3^1, 3^0+ 3^1+ 3^2$, และอื่นๆ ค่าของพจน์ที่สี่ของลำดับนี้เมื่อทำให้ง่ายที่สุดมีค่าเท่าใด? | พจน์ที่สี่ในลำดับนี้คือ $3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40}$ | 3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $a$ เป็นค่าคงตัวซึ่งทำให้ $9x^2 + 24x + a$ เป็นกำลังสองของทวินาม แล้ว $a$ มีค่าเท่าใด? | ถ้า $9x^2 +24x + a$ เป็นกำลังสองของทวินาม แล้วทวินามจะมีรูปแบบ $3x +b$ สำหรับจำนวนบางจำนวน $b$ เพราะว่า $(3x)^2 = 9x^2$. ดังนั้น เราเปรียบเทียบ $(3x+b)^2$ กับ $9x^2 + 24x + a$. การขยาย $(3x+b)^2$ จะได้ \[(3x+b)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(b) + b^2 = 9x^2 + 6bx + b^2.\]การเทียบเทอมเส้นตรงของสิ่งนี้กับเทอมเส้นตรงของ $9x^2+24x+a$ เราได้ $6bx=24x$ ดังนั้น $b=4$. การเทียบเทอมคงตัวของ $9x^2 + 6bx + b^2$ กับเทอมคงตัวของ $9x^2 + 24x+a$ จะได้ $a=b^2 = \boxed{16}$. | a=b^2 = \boxed{16} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อัตราส่วนของ $x$ ต่อ $y$ คือเท่าใด ถ้า: $\frac{10x-3y}{13x-2y} = \frac{3}{5}$? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ. | คูณทั้งสองข้างของสมการที่กำหนดด้วยตัวส่วนทั้งสอง จะได้ \begin{align*}
5(10x-3y)&=3(13x-2y) \implies \\
50x-15y&=39x-6y.
\end{align*} นำพจน์ที่คล้ายกันมารวมกันโดยบวก $15y$ และ $-39x$ เข้าทั้งสองข้าง จะได้ $11x=9y$. สุดท้าย หารทั้งสองข้างด้วย $11y$ จะพบว่า $\dfrac{x}{y}=\boxed{\frac{9}{11}}$. | \dfrac{x}{y}=\boxed{\frac{9}{11}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=2x^4+x^3+x^2-3x+r$ จงหาค่าของ $r$ ที่ทำให้ $f(2)=0$ | การแทนค่าจะได้ \[f(2)=2(2)^4+(2)^3+(2)^2-3(2)+r=32+8+4-6+r=38+r.\]ค่านี้เท่ากับ 0 เมื่อ $r=\boxed{-38}$. | r=\boxed{-38} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $\triangle+q=59$ และ $(\triangle+q)+q=106$ จงหาค่าของ $\triangle$ | แทน $\triangle + q = 59$ ลงในสมการที่สองจะได้ $59 + q = 106$ ดังนั้น $q= 106-59 = 47$ แทน $q=47$ ลงใน $\triangle + q =59$ จะได้ $\triangle + 47 = 59$ ดังนั้น $\triangle = \boxed{12}$ | \triangle = \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลคูณของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $|4x|+3=35$ | เริ่มต้นด้วยการลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ เพื่อแยกค่าสัมบูรณ์ จะได้ $|4x|=35-3=32$ ซึ่งสามารถแยกเป็นสองกรณี: $4x=32$ และ $4x=-32$ สำหรับกรณีแรก การแก้หา $x$ จะได้ $x=\frac{32}{4}=8$ สำหรับกรณีที่สอง จะได้ $x=-\frac{32}{4}=-8$ ดังนั้น ค่า $x$ ทั้งสองที่สอดคล้องกับสมการเริ่มต้นคือ $x=8$ และ $x=-8$ เนื่องจากโจทย์ต้องการผลคูณของค่าเหล่านี้ ดังนั้นคำตอบคือ $(8)(-8)=\boxed{-64}$ | (8)(-8)=\boxed{-64} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่สอดคล้องกับอสมการ $-8\pi\le n\le10\pi$ | จำนวน $\pi$ อยู่ระหว่าง $3.14$ และ $3.15$ ดังนั้น $-8\pi$ อยู่ระหว่าง $-8(3.15) = 25.2$ และ $-8(3.14) = 25.12$ เช่นเดียวกัน $10\pi$ อยู่ระหว่าง $31.4$ และ $31.5$ สิ่งนี้เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าจำนวนเต็ม $n$ ระหว่าง $-8\pi$ และ $10\pi$ คือ $$-25, -24, -23, -22, \ldots, 28, 29, 30, 31.$$ มีจำนวนเต็มลบ $25$ จำนวนในรายการนี้ จำนวนเต็มบวก $31$ จำนวน และจำนวนเต็มอีก $1$ จำนวน ($0$) รวมเป็น $\boxed{57}$ จำนวน | \boxed{57} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $y = -4.9t^2 + 23.8t$ อธิบายความสูง (เป็นเมตร) ของวัตถุที่ถูกยิงขึ้นจากพื้นดินด้วยความเร็ว 23.8 เมตรต่อวินาที ในเวลาเท่าไร วัตถุจะถึงความสูง 28 เมตรเป็นครั้งแรก? | กำหนดให้ $y$ เท่ากับ 28 เราจะได้ดังนี้: \begin{align*}
28& = -4.9t^2 + 23.8t\\
0 & = -4.9t^2 + 23.8t - 28\\
0 & = 49t^2 - 238t + 280\\
& = 7t^2 - 34t + 40\\
& = (7t - 20)(t - 2)
\end{align*}ค่าที่เป็นไปได้ของ $t$ คือ $\frac{20}{7} \approx 2.857$ หรือ $2.$ จากค่าเหล่านี้ เราเลือกค่า $t$ ที่น้อยกว่า หรือ $\boxed{2}.$ | \boxed{2}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
สี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $x+y$, $x-y$, $xy$, และ $x/y$ ตามลำดับ จงหาพจน์ที่ห้าของลำดับนี้ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจากผลต่างของพจน์สองพจน์แรกคือ $-2y$ พจน์ที่สามและสี่ของลำดับนี้ต้องเป็น $x-3y$ และ $x-5y$ ดังนั้น \[
x-3y = xy \quad\text{and}\quad x-5y = \frac{x}{y},
\]ดังนั้น $xy - 5y^{2} = x.$ รวมสมการเหล่านี้ เราจะได้ \[
(x - 3y) - 5y^{2}= x\quad\text{and, therefore, }\quad -3y - 5y^{2} = 0.
\]เนื่องจาก $y$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ เราจึงมี $y = -\frac{3}{5}$ และตามมาว่า $x = -\frac{9}{8}$ พจน์ที่ห้าของลำดับนี้คือ $x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}}$. | x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ริชาร์ดกำลังสร้างลานหลังบ้านรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยใช้รั้ว 360 ฟุต รั้วต้องครอบคลุมสามด้านของลานหลังบ้าน (ด้านที่สี่ติดกับบ้านของริชาร์ด) พื้นที่สูงสุดของลานหลังบ้านนี้คือเท่าไร? | ให้ความยาวของลานหลังบ้านเป็น $l$ และความกว้างเป็น $w$ เราได้สมการ $l+2w=360$ เราต้องการเพิ่มพื้นที่ของลานหลังบ้านรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ ซึ่งกำหนดโดย $lw$ จากสมการของเรา เราทราบว่า $l=360-2w$ แทนค่านี้ลงในนิพจน์ของพื้นที่ เราได้ \[(360-2w)(w)=360w-2w^2\]เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาค่าสูงสุดของนิพจน์นี้ ต่อไปนี้คือการแยกตัวประกอบ $-2$ ออกมา \[-2(w^2-180w)\]เพื่อให้ค่าภายในวงเล็บเป็นกำลังสองที่สมบูรณ์ เราต้องบวกและลบ $(180/2)^2=8100$ ภายในวงเล็บ ทำให้ได้ \[-2(w^2-180w+8100-8100) \Rightarrow -2(w-90)^2+16200\]เนื่องจากค่าสูงสุดของ $-2(w-90)^2$ คือ 0 (กำลังสองที่สมบูรณ์เสมอเป็นบวก) ค่าสูงสุดของนิพจน์ทั้งหมดคือ 16200 ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $w=90$ และ $l=360-2w=180$ ดังนั้น พื้นที่สูงสุดของลานหลังบ้านคือ $\boxed{16200}$ ตารางฟุต | \boxed{16200} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เชอบาคคา มีหมากฝรั่งรสเชอร์รี่ 20 ชิ้น และหมากฝรั่งรสองุ่น 30 ชิ้น บางส่วนอยู่ในซองที่สมบูรณ์ ส่วนที่เหลือเป็นชิ้นหลวมๆ แต่ละซองที่สมบูรณ์มีหมากฝรั่ง $x$ ชิ้น ถ้าเชอบาคคาทำหมากฝรั่งรสเชอร์รี่หายไป 1 ซอง อัตราส่วนของจำนวนหมากฝรั่งรสเชอร์รี่ที่เขามีต่อจำนวนหมากฝรั่งรสองุ่นจะเป็นเท่ากันกับกรณีที่เขาพบหมากฝรั่งรสองุ่นเพิ่ม 5 ซอง จงหาค่า $x$ | ถ้าเชอบาคคาทำหมากฝรั่งรสเชอร์รี่หายไป 1 ซอง อัตราส่วนของจำนวนหมากฝรั่งรสเชอร์รี่ที่เขามีต่อจำนวนหมากฝรั่งรสองุ่นจะเป็น $(20-x)/30$ ถ้าเขาพบหมากฝรั่งรสองุ่นเพิ่ม 5 ซอง อัตราส่วนนี้จะเป็น $20/(30+5x)$ อัตราส่วนทั้งสองนี้ต้องเท่ากัน ดังนั้นเราจะได้ \begin{align*}
\frac{20-x}{30} &= \frac{20}{30+5x} \quad\implies\\
(20-x)(30+5x)& = (30)(20) \quad\implies\\
(20-x)(5)(6+x) &= (30)(20).\end{align*}หารทั้งสองข้างด้วย 5 จะได้ $$(20-x)(6+x) = (30)(4)$$และขยายด้านซ้ายของสมการนี้จะได้ $$120+14x -x^2 = 120.$$ดังนั้น $x^2-14x=0$ ดังนั้น $x(x-14)=0$ เราไม่สามารถมี $x=0$ ได้ ดังนั้นเราต้องมี $x=\boxed{14}$. | x=\boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.