question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ผลบวกของอนุกรมเรขาอนันต์เท่ากับ 27 เท่าของอนุกรมที่ได้จากการลบสามพจน์แรกของอนุกรมเดิม ค่าอัตราส่วนร่วมของอนุกรมมีค่าเท่าใด | กำหนดให้พจน์แรกของอนุกรมคือ $a$ และอัตราส่วนร่วมคือ $r$ และกำหนดให้ผลบวกของอนุกรมเดิมคือ $S$ จะได้ว่า \[\frac{a}{1-r}=S.\] เมื่อลบสามพจน์แรกของอนุกรมออกไป พจน์แรกของอนุกรมใหม่คือ $ar^3$ แล้ว $\frac{1}{27}$ ของอนุกรมเดิมจะมีค่าเท่ากับ \[\frac{ar^3}{1-r}=r^3\left( \frac{a}{1-r}\right)=\frac{S}{27}.\]
หารสมการที่สองด้วยสมการแรก จะได้ $r^3= \frac{1}{27}$ และ $r=\boxed{\frac{1}{3}}.$ | r=\boxed{\frac{1}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $|{-3^2+4}|$ | เราคำนวณดังนี้: \[
|{-3^2+4}|=|{-9+4}|=|{-5}|=\boxed{5}.\] โปรดทราบว่า $-3^2=-9$ เนื่องจากแบบแผนของเราในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กำหนดให้การยกกำลังต้องทำก่อนการลบ ดังนั้น $-3^2$ หมายถึง $-(3^2)$ มากกว่า $(-3)^2$. | 5 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มที่มากกว่า 3 และน้อยกว่า 12 | เราต้องการหาผลรวมของอนุกรมเลขคณิต $4+5+\dots+11$.
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ จำนวนพจน์คือ $11 - 4 + 1 = 8$ ดังนั้นผลรวมคือ $(4 + 11)/2 \cdot 8 = \boxed{60}$ | (4 + 11)/2 \cdot 8 = \boxed{60} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{x+1}{3x-4}$ จงหาค่าของ $f(5)$ | เราสามารถหาค่านี้ได้โดยการแทนค่า 5 ลงในฟังก์ชัน: \begin{align*} f(5)& = \dfrac{5+1}{3(5)-4}
\\ & = \dfrac{6}{15-4}
\\ & = \boxed{\dfrac{6}{11}}
\end{align*} | [
"นำไปใช้"
] | |
สมมติว่า $f(z)$ และ $g(z)$ เป็นพหุนามใน $z$ และดีกรีของ $g(z)$ น้อยกว่าดีกรีของ $f(z)$ ถ้าดีกรีของ $f(z)$ เท่ากับสอง ดีกรีของ $f(z)+g(z)$ จะเท่ากับเท่าใด | เรามี $f(z)=a_2 \cdot z^2+a_1 \cdot z+a_0$ และ $g(z)=b_1 \cdot z+b_0$ โดยที่ $a_2$ ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว $f(z)+g(z)=a_2 \cdot z^2+(a_1+b_1) \cdot z+(a_0+b_0)$ ดีกรีของพหุนามนี้คือ $\boxed{2}$ | \boxed{2} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
บันไดความยาว 8.5 เมตร กำลังพิงอยู่กับกำแพงแนวตั้ง บันไดนี้ห่างจากกำแพงกี่เมตร ถ้าบันไดเอื้อมถึงกำแพงสูง 7.5 เมตร | เรามีสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยอัตราส่วนของด้านประกอบมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $15:17$ เนื่องจาก 8, 15, 17 เป็นสามเท่าของพีทาโกรัส ดังนั้น อัตราส่วนของอีกด้านประกอบมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากต้องเป็น $8:17$ ถ้าความยาวของด้านนี้คือ $x$ นั่นหมายความว่า $x/8.5 = 8/17$ ดังนั้น $x = \boxed{4}$ เมตร | x = \boxed{4} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $2^{x^2-3x-2} = 4^{x - 4}$ | เขียนข้างขวาของสมการในรูปของเลข 2 เป็นฐาน จะได้ $4^{x-4} = (2^2)^{x-4} = 2^{2(x-4)} = 2^{2x-8}$ ดังนั้นสมการของเราคือ $$2^{x^2-3x-2} = 2^{2x - 8}.$$จากนั้น โดยการตั้งเลขชี้กำลังให้เท่ากัน เราจะได้ $$x^2 - 3x - 2 = 2x - 8.$$ซึ่งจะได้สมการกำลังสอง $$x^2 - 5x + 6 = 0.$$การแยกตัวประกอบจะได้ $(x-2)(x-3)=0$ ซึ่งมีคำตอบ $x = 2,3$ ผลรวมของคำตอบเหล่านี้คือ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มาร์คและแซนดี้กำลังเดินไปที่ร้านสะดวกซื้อที่อยู่ตรงกลางระหว่างพิกัดของพวกเขา มาร์คยืนอยู่ที่ $(0,7)$ และแซนดี้ยืนอยู่ที่ $(-4,-1)$ พวกเขาจะพบกันที่พิกัดใด? | พิกัดที่ทั้งสองจะพบกันคือ จุดกึ่งกลางของพิกัดที่กำหนดให้ เราใช้สูตรจุดกึ่งกลางเพื่อหา $$\left(\frac{-4+0}{2},\frac{-1+7}{2}\right)=\boxed{(-2,3)}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
จงหาค่าของ $\log_2 (4^2)$. | $\log_24=\boxed{2}$, ดังนั้น $\log_2(4^2) = \log_2((2^2)^2) = \log_2 (2^4) = \boxed{4}$ | $\log_2(4^2) = \log_2((2^2)^2) = \log_2 (2^4) = \boxed{4}$ | [
"ความจำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
ขยาย $(x^{22}-3x^{5} + x^{-2} - 7)\cdot(5x^4)$ | โดยใช้สมบัติการ distributive เราสามารถขยายได้ดังนี้ \begin{align*}
(x^{22}&-3x^{5} + x^{-2} - 7)\cdot(5x^4)\\
&=(x^{22})(5x^4)+(-3x^5)(5x^4)+(x^{-2})(5x^4)-7(5x^4)\\
&=5x^{26}-15x^9+5x^2-35x^4\\
&=\boxed{5x^{26}-15x^9-35x^4+5x^2}.
\end{align*} | [
"นำไปใช้"
] | |
แต่ละเล่มในสิบเล่มของผลงานรวมของธีโอดอร์ สเตอร์จอน มีจำหน่ายในรูปแบบปกอ่อนราคา $\$$15 หรือปกแข็งราคา $\$$25 เทเรซ่าซื้อหนังสือแต่ละเล่มครบทุกสิบเล่ม รวมเป็นเงิน $\$$220 เธอซื้อเล่มปกแข็งกี่เล่ม? | สมมติว่าเธอซื้อเล่มปกแข็ง $h$ เล่ม และเล่มปกอ่อน $p$ เล่ม เธอซื้อหนังสือทั้งหมด 10 เล่ม ดังนั้น $h+p=10$ ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเธอ $25h+15p$ เท่ากับ $220 หรือหารด้วย 5 ได้ $5h+3p=44$ คูณสมการแรกด้วย 3 แล้วลบออกจากสมการที่สอง ได้ $5h-3h+3p-3p=2h=44-30=14$ หรือ $h=\boxed{7}$ | h=\boxed{7} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กราฟของเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(1,3)$ ถึง $(5,7)$ ค่าของ $b$ เท่ากับเท่าใด | ถ้าเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(1,3)$ ถึง $(5,7)$ เส้นตรงนี้จะต้องผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงนี้ จุดกึ่งกลางคือ: $$\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(3,5)$$จุดนี้ nằmบนเส้นตรง $x+y=b$ ดังนั้นเราต้องมี $3+5=b\Rightarrow b=\boxed{8}$. | 3+5=b\Rightarrow b=\boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนศูนย์ในตัวเลข $999,\!999,\!999,\!998^2$ | เราสังเกตว่า $999,999,999,998=10^{12}-2$ ดังนั้น $999,999,999,998^2=(10^{12}-2)^2=10^{24}-4\cdot10^{12}+4$ พิจารณาตัวเลขนี้ทีละเทอม ตัวเลขแรก $10^{24}$ สร้างตัวเลขที่มี 24 ศูนย์และ 1 อยู่หน้า ตัวเลขที่สอง $4\cdot10^{12}$ เป็นตัวเลขที่มี 12 ศูนย์และ 4 อยู่หน้า ตัวเลขหลังถูกนำไปลบออกจากตัวเลขแรก ดังนั้นสิ่งที่เหลือคือสตริงของ 11 เก้า, จากนั้น 6, จากนั้น 12 ศูนย์ สุดท้ายเทอมสุดท้ายเปลี่ยนศูนย์สุดท้ายของตัวเลขเป็น 4 ดังนั้นเราจึงเหลือ $\boxed{11}$ ศูนย์ | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $2^3\times3\times5^3\times7$ | $2^3\times3\times5^3\times7=(2\cdot5)^3\times3\times7=10^3\times21=\boxed{21,\!000}$. | 21,000 | [
"นำไปใช้",
"ประเมิน"
] |
จำนวนเต็มสองหลัก $AB$ เท่ากับ $ rac{1}{9}$ ของจำนวนเต็มสามหลัก $AAB$ โดยที่ $A$ และ $B$ แทนหลักหน่วยที่แตกต่างกันตั้งแต่ 1 ถึง 9 จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของจำนวนเต็มสามหลัก $AAB$ | เราเขียน $AB$ เป็น $10A+B$ และ $AAB$ เป็น $100A+10A+B$ ตอนนี้เราตั้ง $AAB=9\cdot AB$ เนื่องจาก $AB$ เป็น $ rac{1}{9}$ ของ $AAB$ \begin{align*}
100A+10A+B&=9(10A+B)\quad\Rightarrow\\
&=90A+9B\quad\Rightarrow\\
20A&=8B\quad\Rightarrow\\
5A&=2B
\end{align*}ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $A$ และ $B$ ที่ทำให้ $5A=2B$ คือ $A=2$ และ $B=5$ ดังนั้น $AAB=\boxed{225}$ | AAB=\boxed{225} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง ขาของรูปสามเหลี่ยมมีขนาด 40 นิ้ว และ 42 นิ้ว จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม | พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของขา ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ $$(1/2)(40)(42) = \boxed{840\text{ ตารางนิ้ว}}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
จงหาผลรวมของแปดพจน์ในลำดับเลขคณิต $-2, 3, \dots, 33$ | ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $\dfrac{-2 + 33}{2} \cdot 8 = \boxed{124}$ | \dfrac{-2 + 33}{2} \cdot 8 = \boxed{124} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $f(x) = -\dfrac{1}{x},$ จงหาค่าของ $f(f(f(f(f(6)))))$ | เราเห็นว่า $f(f(x)) = -\dfrac{1}{-\frac{1}{x}} = x$ ดังนั้น $f(f(f(f(f(6))))) = f(f(f(6))) = f(6) = \boxed{-\dfrac{1}{6}}.$ | f(f(f(f(f(6))))) = f(f(f(6))) = f(6) = \boxed{-\dfrac{1}{6}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาดีกรีของพหุนาม $(3x^2 +11)^{12}$ | ดีกรีของพหุนามคือดีกรีของพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุด เนื่องจากดีกรีของ $3x^2 +11$ คือ 2 และเนื่องจาก $(x^a)^{12} = x^{12a}$ สำหรับค่าคงที่ $a$ ที่เป็นบวก ใดๆ คำตอบคือ $2 \cdot 12 = \boxed{24}$ | 2 \cdot 12 = \boxed{24} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จุด $(9, -5)$ และ $(-3, -1)$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จงหาผลรวมของพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม | จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\left(\frac{9+(-3)}{2}, \frac{(-5)+(-1)}{2}\right) = (3, -3)$. ผลรวมของพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $3 + (-3) = \boxed{0}$. | 3 + (-3) = \boxed{0} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีเลข 0 กี่ตัวอยู่ทางขวาของจุดทศนิยมและอยู่ทางซ้ายของหลักที่ไม่ใช่ศูนย์แรกในรูปทศนิยมสิ้นสุดของ $\frac{1}{2^5\cdot5^8}$? | ทศนิยมสิ้นสุดสามารถเขียนได้ในรูป $\frac{a}{10^b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเราจึงพยายามให้ตัวส่วนอยู่ในรูป $10^b$: $$\frac{1}{2^5\cdot5^8}\cdot\frac{2^3}{2^3}=\frac{2^3}{10^8}=\frac{8}{10^8}.$$เศษส่วน $\frac{8}{10^8}$ หมายความว่ามี 8 หลักทางขวาของจุดทศนิยม โดยหลักสุดท้ายคือ 8 ดังนั้นจึงมี $\boxed{7}$ ศูนย์อยู่ระหว่างจุดทศนิยมและหลักที่ไม่ใช่ศูนย์แรก | \boxed{7} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $*$ สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์ดังนี้: $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ถ้า $a+b = 9$ และ $ a \times b = 20$ ค่าของ $a*b$ มีค่าเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สังเกตว่า $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ กำหนดให้ $a + b = 9$ และ $ab = 20$ ถ้าเราแทนค่าเหล่านี้ลงใน $\frac{a + b}{ab}$ เราจะเห็นว่า $a * b = \boxed{\frac{9}{20}}$ | a * b = \boxed{\frac{9}{20}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แสดงในรูป (หน่วยเป็นฟุต)
[asy]
draw((0,0)--(15,0)--(19,3)--(4,3)--cycle,linewidth(1));
draw((15,0)--(15,3),dashed);
draw((15,2.5)--(15.5,2.5)--(15.5,3));
label("15 ft",(7.5,0),S);
label("3 ft",(15,1.5),W);
label("5 ft",(17,1.5),SE);
[/asy] | พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคำนวณได้จาก $A = bh$ โดยที่ $b$ คือฐาน และ $h$ คือความสูง เนื่องจากฐานและความสูงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้กำหนดให้แล้ว ดังนั้น $A = 3\mbox{ ft} \times 15\mbox{ ft} = \boxed{45}$ ตารางฟุต | A = 3\mbox{ ft} \times 15\mbox{ ft} = \boxed{45} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x-y=15$ และ $xy=4$ จงหาค่าของ $x^2+y^2$ | ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการแรก เราจะได้ $x^2-2xy+y^2=225$ ดังนั้น เราทราบว่า $x^2+y^2=225+2xy$ เนื่องจาก $xy=4$ เราพบว่า $x^2+y^2=225+2(4)=\boxed{233}$ | x^2+y^2=225+2(4)=\boxed{233} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย (7,-6) และ (-3,4) | จุดกึ่งกลางคือ $\left(\frac{7+(-3)}{2},\frac{-6+4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{-2}{2}\right)=\boxed{(2,-1)}$. | \left(\frac{7+(-3)}{2},\frac{-6+4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{-2}{2}\right)=\boxed{(2,-1)} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
การ展开ทศนิยมของ $8/11$ เป็นทศนิยมซ้ำ จงหาจำนวนหลักที่น้อยที่สุดในบล็อกที่ซ้ำของ 8/11 | คูณตัวเศษและตัวส่วนของ 8/11 ด้วย 9 จะได้ 72/99 รูปแบบทศนิยมของ 72/99 คือ $0.\overline{72}$ และมีบล็อกที่ซ้ำมีความยาว $\boxed{2}$ | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $a$ กี่ค่าที่เส้นตรง $y=x+a$ ผ่านจุดยอดของพาราโบลา $y=x^2+a^2$ ? | พาราโบลาที่กำหนดมีจุดยอดที่ $(0,a^2)$ เส้นตรง $y=x+a$ ผ่านจุดนี้ก็ต่อเมื่อ $a^2=0+a$ จัดรูปสมการใหม่ได้ $a^2-a=0$ แยกตัวประกอบ $a$ ออกจากทางซ้ายมือได้ $a(a-1)=0$ ดังนั้น $a=0$ หรือ $a=1$ ดังนั้นมี $\boxed{2}$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 0.$ แล้ว $\lceil x \rceil - x$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 0,$ เราจะเห็นว่า $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม มิฉะนั้น ส่วนประกอบบนของ $x$ จะมากกว่าส่วนประกอบล่างของ $x.$ ดังนั้น $\lceil x \rceil = x$ และ $\lceil x \rceil - x = \boxed{0}.$ | $\lceil x \rceil - x = \boxed{0}.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยบริเวณที่กำหนดโดยสมการ $x^2+y^2+12x+16y=0$ | เราเติมกำลังสองใน $x$ โดยการบวก $(12/2)^2=36$ ลงทั้งสองข้าง และเติมกำลังสองใน $y$ โดยการบวก $(16/2)^2=64$ ลงทั้งสองข้าง เราได้สมการ \[(x^2+12x+36)+(y^2+16y+64)=100 \Rightarrow (x+6)^2+(y+8)^2=100\]เราเห็นว่านี่คือสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(-6,-8)$ และรัศมี 10 ดังนั้น พื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยวงกลมนี้คือ $\pi \cdot 10^2=\boxed{100\pi}$. | \pi \cdot 10^2=\boxed{100\pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สัมประสิทธิ์ของ $x^3$ เมื่อ $$x^4-3x^3 + 5x^2-6x + 1$$คูณด้วย $$2x^3 - 3x^2 + 4x + 7$$ และรวมพจน์เหมือนกันคือเท่าใด | แทนที่จะขยายผลคูณทั้งหมด เราสามารถดูเฉพาะพจน์ที่เมื่อคูณกันจะให้ $x^3$ เท่านั้น เราทราบว่า: $$x^3=x^3\cdot 1=x^2\cdot x=x\cdot x^2=1\cdot x^3$$ทราบว่า พจน์ $x^3$ ในการขยายตัวจะเป็นผลรวมของพจน์ทั้งสี่นี้: $$(-3x^3)(7)+(5x^2)(4x)+(-6x)(-3x^2)+(1)(2x^3)$$เราทำให้ง่ายขึ้นเพื่อหา: \begin{align*}
&(-3x^3)(7)+(5x^2)(4x)+(-6x)(-3x^2)+(1)(2x^3)\\
&\qquad=-21x^3+20x^3+18x^3+2x^3\\
&\qquad=\boxed{19}x^3.
\end{align*} | 19 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ต้นไม้ต้นหนึ่งสูงขึ้นเป็นสองเท่าทุกปี จนกระทั่งสูงถึง 32 ฟุตที่สิ้นสุดปีที่ 6 ต้นไม้สูงเท่าไรในปีที่ 3 | ถอยหลังกลับไป เราจะเห็นว่าต้นไม้สูง 32/2 = 16 ฟุตที่สิ้นสุดปีที่ 5, 16/2 = 8 ฟุตที่สิ้นสุดปีที่ 4 และ 8/2 = \boxed{4 \text{ ฟุต}} ที่สิ้นสุดปีที่ 3 | 8/2 = \boxed{4 \text{ ฟุต}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันเลือกจำนวนเต็ม $p$ ระหว่าง $1$ ถึง $10$ โดยสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ฉันจะเลือก $p$ ซึ่งมีจำนวนเต็ม $q$ ที่ทำให้ $p$ และ $q$ สอดคล้องกับสมการ $pq - 4p - 2q = 2$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | เราแก้ปัญหาโดยพยายามหาคำตอบของสมการ $pq - 4p - 2q = 2$ เราสามารถใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอนโดยการบวก $8$ เข้าไปในทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $pq - 4p - 2q + 8 = 10$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(p-2)(q-4)=10$$ เราจะเห็นได้ว่าจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ $p-2$ หาร $10$ ลงตัว ดังนั้นจะมี $4$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $p$ ระหว่าง $1$ ถึง $10$ รวม $(1,3,4 \text{ และ } 7)$ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะเลือก $p$ ดังกล่าวคือ $\boxed{\frac{2}{5}}$ | \boxed{\frac{2}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt{4}$ ในรูปของจำนวนเต็มบวก | ทั้งสามตัวประกอบมีค่าเท่ากับ 2 ดังนั้นผลคูณคือ $2\cdot2\cdot2=\boxed{8}$ | 2\cdot2\cdot2=\boxed{8} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $f(x)=f(2-x)$ สำหรับทุกค่า $x$ แล้วเส้นตรงเส้นใดเป็นแกนสมมาตรของกราฟ $y=f(x)$ อย่างแน่นอน (ให้สมการของเส้นตรงที่ง่ายที่สุด) | สำหรับจุด $(x,y)$ ใดๆ บนกราฟ $y=f(x)$ เราทราบว่า $(2-x,y)$ ก็อยู่บนกราฟ $y=f(x)$ เช่นกัน
เรามี $x = 1+(x-1)$ และ $2-x = 1-(x-1)$ ดังนั้น การแปลงทางเรขาคณิตที่นำ $(x,y)$ ไปยัง $(2-x,y)$ คือการสะท้อนผ่านเส้นตรงแนวตั้ง $\boxed{x=1}$. | \boxed{x=1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ 22 ส่วนต่างของสองจำนวนนั้นคือ 4 จงหาจำนวนที่ใหญ่กว่า | ให้สองจำนวนนั้นเป็น $x$ และ $y$ โดยที่ $x>y$ เราต้องการหาค่า $x$ ปัญหาสามารถเขียนใหม่เป็นระบบสมการ: \begin{align*}
x+y&= 22\\
x-y&= 4
\end{align*} บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้: \begin{align*}
2x &= 26\\
x &=\boxed{13}.
\end{align*} | x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกที่ต่างกันทั้งหมดที่สามารถแทนได้ด้วยผลต่างของสมาชิกสองตัวที่แตกต่างกันของเซต $\{1, 2, 3, \ldots, 14, 15, 16 \}$ | เราเห็นว่าผลต่างบวกสูงสุดคือ $16 - 1 = 15.$ การคำนวณอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าเราสามารถหาค่าทั้งหมดระหว่าง $1$ ถึง $15$ ได้ \begin{align*}
16 - 1 &= 15 \\
16 - 2 &= 14 \\
16 - 3 &= 13 \\
& \ \,\vdots \\
16-14&=2\\
16-15&=1
\end{align*} ดังนั้นจึงมีจำนวนเต็มบวกที่ต่างกัน $\boxed{15}$ จำนวนที่สามารถแทนได้ด้วยผลต่างของสมาชิกสองตัวที่แตกต่างกันของเซต $\{1, 2, 3, \ldots, 14, 15, 16 \}.$ | 15 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ทิมต้องการลงทุนเงินจำนวนหนึ่งในธนาคารซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกไตรมาสด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปี $7\%$. โดยประมาณถึงบาท terdekat ทิมควรลงทุนเงินเท่าไรถ้าเขาต้องการยอดเงินทั้งหมด $\$60,\!000$ ที่สิ้นสุด $5$ ปี? | นึกถึงสูตร $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ โดยที่ $A$ คือยอดคงเหลือสุดท้าย, $P$ คือเงินต้น, $r$ คืออัตราดอกเบี้ย, $t$ คือจำนวนปี และ $n$ คือจำนวนครั้งที่ดอกเบี้ยถูกทบต้นในหนึ่งปี สูตรนี้แสดงถึงแนวคิดที่ว่าดอกเบี้ยถูกทบต้นทุกๆ $1/n$ ปี ด้วยอัตรา $r/n$.
แทนค่าข้อมูลที่กำหนดให้ เราได้ \[60,\!000=P\left(1+\frac{0.07}{4}\right)^{4 \cdot 5}.\]แก้สมการหา $P$ จะได้ $P=42409.474...$ ซึ่งปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดคือ $\boxed{\$42409}$. | \boxed{\ | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คำนวณค่าที่แน่นอนของนิพจน์ $\left|\pi - | \pi - 7 | \right|$. เขียนคำตอบของคุณโดยใช้เฉพาะจำนวนเต็มและ $\pi$ โดยไม่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เราเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบปริมาณ $|\pi - 7|$. เนื่องจาก $\pi$ น้อยกว่า 4 จะเห็นได้ชัดว่า $\pi-7$ จะเป็นลบ ดังนั้นเราต้องลบล้างปริมาณนี้เพื่อให้ได้ค่าสัมบูรณ์ ซึ่งจะต้องเป็นค่าบวกเสมอ กล่าวคือ \[ |\pi - 7| = -(\pi - 7) = 7- \pi. \] ต่อไปเราพิจารณา นิพจน์ $\pi-|\pi - 7|$ ซึ่งจะลดเหลือ $2\pi - 7$ ตามการคำนวณข้างต้น เนื่องจาก $\pi$ น้อยกว่า 3.5 ปริมาณนี้จึงเป็นลบเช่นกัน ดังนั้นเราต้องลบล้างมันเช่นเดียวกันเมื่อหาค่าสัมบูรณ์ ซึ่งนำไปสู่คำตอบสุดท้ายของเราคือ $\boxed{7-2\pi}.$ | \boxed{7-2\pi}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในเกม Frood การปล่อย $n$ Froods จะได้คะแนนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก $n$ ตัวแรก ตัวอย่างเช่น การปล่อย Froods ห้าตัวจะได้คะแนน $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ คะแนน การกิน $n$ Froods จะได้ $10n$ คะแนน ตัวอย่างเช่น การกิน Froods ห้าตัวจะได้ $10(5) = 50$ คะแนน จำนวน Froods ที่น้อยที่สุดที่ทำให้การปล่อยได้คะแนนมากกว่าการกินคือเท่าไร? | การปล่อย $n$ Froods จะได้ $1 + 2 +\ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ คะแนน การกิน $n$ Froods จะได้ $10n$ คะแนน ดังนั้นเราต้องการหา $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $\frac{n(n+1)}{2} > 10n$ แก้สมการจะได้ $n > 19$ ดังนั้น $n = \boxed{20}$ คือคำตอบที่ต้องการ | n = \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองเพื่อนกำลังเล่นหมาก tic-tac-toe ถ้า Amy ชนะ $\frac{3}{8}$ ของเวลา Lily ชนะ $\frac{3}{10}$ ของเวลา และพวกเขากันที่เหลือของเวลาแล้ว พวกเขาจะเสมอกันกี่ส่วนของเวลา? | เราหาส่วนของเวลาที่ Amy หรือ Lily ชนะโดยการบวก $\frac{3}{8} + \frac{3}{10}$ เนื่องจากผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ $8$ และ $10$ คือ $40$ เราเขียน $\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{5} = \frac{15}{40}$ และ $\frac{3}{10} \cdot \frac{4}{4} = \frac{12}{40}$ ดังนั้นผลรวมของเราคือ: $$\frac{3}{8} + \frac{3}{10} = \frac{15}{40} + \frac{12}{40} = \frac{15+12}{40} = \frac{27}{40}.$$เนื่องจากพวกเขาเสมอกันในเวลาที่เหลือ เราต้องลบส่วนนี้จาก $1$ เพื่อหาส่วนของเวลาที่พวกเขาเสมอกัน เราทราบว่า $1 = \frac{40}{40}$ ดังนั้นเราจึงมี $$1 - \frac{27}{40} = \frac{40}{40} - \frac{27}{40} = \frac{40-27}{40} = \frac{13}{40}.$$ดังนั้น Amy และ Lily ต้องเสมอกัน $\boxed{\frac{13}{40}}$ ของเวลา | \boxed{\frac{13}{40}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x^2+bx+c = 0$ เป็นสมการกำลังสองที่มีรากเป็นรากของ $3x^2-5x-7$ บวก 2 จงหาค่าของ $c$ | เราใช้ความจริงที่ว่าผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองในรูป $ax^2+bx+c$ ถูกกำหนดโดย $-b/a$ และ $c/a$ ตามลำดับ
ให้ $p$ และ $q$ เป็นรากของ $3x^2-5x-7$ ดังนั้นรากของ $x^2+bx+c$ คือ $p+2$ และ $q+2$ $c/1 = (p+2)(q+2)$ เนื่องจาก $c = c/1$ นั่นหมายความว่าเราต้องการหา $(p+2)(q+2)$ เนื่องจาก $3x^2-5x-7$ เป็นสมการกำลังสองด้วย ผลรวม $p+q$ ถูกกำหนดโดย $-(-5)/3=5/3$ และผลคูณ $pq$ ถูกกำหนดโดย $-7/3$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $(p+2)(q+2) = pq+2p+2q+4 = (pq)+2(p+q)+4 = (-7/3)+2(5/3)+4 = \boxed{5}$ | (p+2)(q+2) = pq+2p+2q+4 = (pq)+2(p+q)+4 = (-7/3)+2(5/3)+4 = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$, $y$, และ $z$ เป็นจำนวนบวก โดยที่ $xy=24$, $xz = 48$, และ $yz=72$ จงหาค่าของ $x+y+z$? | เนื่องจาก $$x=\frac{24}{y}=\frac{48}{z}$$ เราได้ว่า $z = 2y$. ดังนั้น $72
= 2y^2$, ซึ่งหมายความว่า $y=6$, $x = 4$, และ $z = 12$. ดังนั้น $x+y+z = \boxed{22}$. | x+y+z = \boxed{22} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า 8 แอปเปิลมีราคาเท่ากับ 4 กล้วย และ 2 กล้วยมีราคาเท่ากับ 3 แตงกวา ไทเลอร์จะซื้อแตงกวาได้กี่อันในราคาของแอปเปิล 16 ผล | เนื่องจาก 8 แอปเปิลมีราคาเท่ากับ 4 กล้วย ดังนั้น 16 แอปเปิลจะมีราคาเท่ากับ 8 กล้วย ในทำนองเดียวกัน 2 กล้วยมีราคาเท่ากับ 3 แตงกวา ดังนั้น 8 กล้วยจะมีราคาเท่ากับ 12 แตงกวา ดังนั้น 16 แอปเปิลจะมีราคาเท่ากับ $\boxed{12}$ แตงกวา | \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จูนและจูเลียอาศัยห่างกัน 1 ไมล์ จูนใช้เวลาปั่นจักรยานไปบ้านจูเลียโดยตรง 4 นาที ถ้าจูนปั่นจักรยานด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม จะใช้เวลาเท่าไรในการปั่นจักรยานไปบ้านเบอร์นาร์ดซึ่งห่างจากบ้านของเธอ 3.5 ไมล์ | เนื่องจากจูนใช้เวลา 4 นาทีในการเดินทาง 1 ไมล์ ดังนั้นใช้เวลา $4\times3.5=\boxed{14}$ นาทีในการเดินทาง 3.5 ไมล์ | 4\times3.5=\boxed{14} | [
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ 25 และผลคูณของสองจำนวนนั้นคือ 126. จงหาค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของสองจำนวนนั้น | กำหนดให้ $x + y = 25$ และ $xy = 126$ สำหรับจำนวนบางจำนวน $x$ และ $y$ เราสังเกตว่า \begin{align*}
(x-y)^2&= x^2 - 2xy + y^2\\
&= x^2 + 2xy + y^2 - 4xy\\
&= (x + y)^2 - 4xy\\
&= (25)^2 - 4\cdot 126\\
&= 121.
\end{align*}
ดังนั้น เรามี $(x - y)^2 = 121$ การหารากที่สองของทั้งสองข้าง เราได้ $\sqrt{(x- y)^2} = |x - y| = \boxed{11}$ | $\sqrt{(x- y)^2} = |x - y| = \boxed{11}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $2^x+ 2^x+ 2^x+ 2^x= 128$ จงหาค่าของ $(x + 1)(x - 1)$ | ก่อนอื่น ให้เราทำให้อสมการทางซ้ายมือง่ายขึ้น และเราจะได้ \[2^x+2^x+2^x+2^x = 4\cdot 2^x = 2^2\cdot 2^x = 2^{x+2}.\]เนื่องจาก $128 = 2^7$ สมการของเราตอนนี้คือ $2^{x+2} = 2^7$ ดังนั้น $x+2 = 7$ ดังนั้น $x=5$ และ $(x+1)(x-1) = (6)(4) = \boxed{24}$ | (x+1)(x-1) = (6)(4) = \boxed{24} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $\log_5 (x+4)=3$, จงหา $\log_{11} x$. | เพื่อที่จะหา $\log_{11} x$ เราต้องหาค่าของ $x$ ก่อน เราเริ่มต้นด้วยการเขียน $\log_5 (x+4)=3$ ในรูปเลขชี้กำลัง ซึ่งจะได้ $5^3=x+4$ แก้สมการหา $x$ เราจะได้ $x=5^3-4=125-4=121$ จากนั้นนำค่า $x$ นี้ไปแทนในนิพจน์ที่สอง เราจะต้องหา $\log_{11} 121$ เนื่องจากเราทราบว่า $11^2=121$ ดังนั้น $\log_{11} 121=\boxed{2}$ | \log_{11} 121=\boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
นาตาลีมีต้นบลูเบอร์รีที่ให้ผลบลูเบอร์รีได้ 8 ถังต่อต้น ถ้าเธอสามารถแลกเปลี่ยนบลูเบอร์รี 5 ถังเพื่อแลกได้ 2 ฟักทอง เธอต้องเก็บบลูเบอร์รีจากต้นกี่ต้นจึงจะมีฟักทองได้ 48 ผล? | เรารู้สมการสองสมการนี้: \begin{align*}
1\text{ ต้น} &= 8\text{ ถัง}\\
5\text{ ถัง} &= 2\text{ ฟักทอง}.
\end{align*} เพื่อหาค่า 48 ฟักทองในรูปของต้นไม้ เราคูณด้วยเศษส่วนที่เท่ากับ 1 โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนอยู่ในหน่วยที่ต่างกัน ยกเลิกหน่วยตามที่เราไป ดังนั้นเราจึงตั้งสมการต่อไปนี้เพื่อหาคำตอบของเรา: $48\text{ ฟักทอง} = 48\text{ ฟักทอง}\times \frac{5\text{ ถัง}}{2\text{ ฟักทอง}}\times\frac{1 \text{ ต้น}}{8\text{ ถัง}}=\boxed{15} \text{ ต้น}$. | 48\text{ ฟักทอง} = 48\text{ ฟักทอง}\times \frac{5\text{ ถัง}}{2\text{ ฟักทอง}}\times\frac{1 \text{ ต้น}}{8\text{ ถัง}}=\boxed{15} \text{ ต้น} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ม้าตัวหนึ่งห่างจากศูนย์กลางของม้าหมุน 24 ฟุต ทำการหมุน 32 รอบ เพื่อที่จะเดินทางเท่ากัน ม้าตัวหนึ่งห่างจากศูนย์กลาง 8 ฟุต จะต้องหมุนกี่รอบ? | รัศมีของเส้นทางวงกลมของม้าตัวที่อยู่ใกล้ศูนย์กลางมากกว่ารัศมีของเส้นทางของม้าตัวที่อยู่ห่างจากศูนย์กลาง $\frac{1}{3}$ เนื่องจากเส้นรอบวงเป็นสัดส่วนโดยตรงกับรัศมี ความยาวของเส้นทางที่สั้นกว่าคือ $\frac{1}{3}$ ของความยาวของเส้นทางที่ยาวกว่า ดังนั้น จำนวนรอบที่ต้องทำ 3 เท่า เพื่อไประยะทางเท่ากัน ซึ่งก็คือ $32\times3=\boxed{96}$ รอบ | 32\times3=\boxed{96} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลต่างของ $35_8$ และ $74_8$ แสดงคำตอบในระบบเลขฐานแปด | เมื่อเราลบกัน เราต้องการลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่า เราสามารถดึงเครื่องหมายลบออกเพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้: \[ 35_8-74_8 = -(74_8 - 35_8). \]ตอนนี้ เราสามารถเรียงตัวเลขและลบได้ เช่นเดียวกับที่เราทำในระบบเลขฐานสิบ ตัวอย่างเช่น เมื่อเรายืมจากหลัก $8^1$ หลัก $1$ ในหลักหน่วยจะกลายเป็น $4+8=12$ ในขณะที่หลักในหลัก $8^1$ จะลดลง 1 โดยดำเนินการในลักษณะนี้ เราพบ $$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c}
& & \cancelto{6}{7} & \cancelto{12}{4}_8 \\
& - & 3 & 5_8 \\
\cline{2-4}
& & 3 & 7_8 \\
\end{array}$$ดังนั้น $35_8-74_8 = -(74_8 - 35_8) = \boxed{-37_8}$. | 35_8-74_8 = -(74_8 - 35_8) = \boxed{-37_8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพหุคูณของ 7 ที่เป็นจำนวนเต็มบวกสองหลักทั้งหมด | เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเพื่อหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพหุคูณของ 7 ที่เป็นจำนวนเต็มบวกสองหลัก คือ $\frac{14+21+...+98}{13}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{2}\cdot13\cdot(14+98)=\boxed{56}$ | \frac{14+21+...+98}{13}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{2}\cdot13\cdot(14+98)=\boxed{56} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ให้ $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ และ $g(x) = x^2 + 4x - 2$. จงหา $f(x) + g(x)$ | $(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (2x^2 - 3x + 1) + (x^2 + 4x - 2) = 3x^2 + x - 1$ | $3x^2 + x - 1$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สิ่งมีชีวิตชนิดหนึ่งเริ่มต้นด้วยเซลล์ 3 เซลล์ เซลล์แต่ละเซลล์จะแบ่งออกเป็น 2 เซลล์ที่สิ้นสุดของ 2 วัน ในอีก 2 วันข้างหน้า เซลล์ทุกเซลล์ของสิ่งมีชีวิตจะแบ่งออกเป็น 2 เซลล์ กระบวนการนี้ดำเนินไปเป็นเวลา 8 วัน และไม่มีเซลล์ใดตายในช่วงเวลานี้ มีเซลล์ทั้งหมดกี่เซลล์ที่สิ้นสุดของวันที่ $8^\text{th}$? | นี่เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรกคือ $3$ และอัตราส่วนร่วมคือ $2$ ที่สิ้นสุดของวันที่แปด เรากำลังอยู่ที่พจน์ที่ 5 ของลำดับนี้ ดังนั้นจึงมี $3\cdot2^4=\boxed{48}$ เซลล์ | 3\cdot2^4=\boxed{48} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดจำนวนจริงสองจำนวน $1<p<q$ ที่ทำให้ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ และ $pq = \frac{9}{2}$ จงหาค่าของ $q$ | แก้สมการ $pq = \frac{9}{2}$ เพื่อหาค่า $p$ จะได้ $p = \frac{9}{2q}$ แทนค่านี้ลงในสมการ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ จะได้ \[ \frac{2q}{9} + \frac{1}{q} = 1 \Rightarrow 2q^2 - 9q +9 = 0 .\] ใช้สูตรกำลังสอง จะได้ \[ q = \frac{9 \pm \sqrt{81-72}}{4} = \frac{9 \pm 3}{4} .\] รากที่เล็กกว่า correspond กับ $p$ และรากที่ใหญ่กว่า correspond กับ $q$ ดังนั้น $\boxed{q = 3}$. | \boxed{q = 3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เลือกผลบวกที่ใหญ่ที่สุดจากผลบวกต่อไปนี้ และแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่าย:
$$\frac{1}{4} + \frac{1}{5}, \ \ \frac{1}{4} + \frac{1}{6}, \ \ \frac{1}{4} + \frac{1}{3}, \ \ \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \ \ \frac{1}{4} + \frac{1}{7}$$ | เราสังเกตว่า $\frac{1}{4}$ เป็นเศษส่วนร่วมในแต่ละผลบวกทั้งห้า ดังนั้นขนาดสัมพัทธ์ของผลบวกขึ้นอยู่กับเศษส่วนอื่นเท่านั้น เนื่องจาก $\frac{1}{3}$ เป็นเศษส่วนที่ใหญ่ที่สุดในกลุ่ม $$\frac{1}{5}, \ \frac{1}{6}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{8}, \ \text{และ} \ \frac{1}{7},$$ เราจึงสรุปได้ว่า $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$ เป็นผลบวกที่ใหญ่ที่สุด เราสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้ตัวหารร่วมกัน 12: $$
\frac{1}{4}+\frac{1}{3} = \frac{3\cdot1}{3\cdot4}+\frac{4\cdot1}{4\cdot 3}
= \frac{3+4}{12}
= \frac{7}{12}.
$$ คำตอบคือ $\boxed{\frac{7}{12}}$. | \boxed{\frac{7}{12}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สามเหลี่ยมมีด้านยาว $7$, $10$ และ $x^2$ จงหาค่าของ $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ทำให้สามเหลี่ยมนี้มีอยู่ แยกคำตอบด้วยเครื่องหมายจุลภาคและเรียงลำดับจากน้อยไปมาก | เพื่อให้สามเหลี่ยมมีอยู่ ผลรวมของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมจะต้องมากกว่าด้านที่สาม ดังนั้นเราจึงมีสูตรสามสูตรคือ $x^2+7>10 \to x^2>3$, $x^2+10>7 \to x^2>-3$ และ $7+10>x^2 \to x^2<17$ ดังนั้นเราจึงมีสมการกำลังสองสองสมการคือ $x^2>3$ และ $x^2<17$ ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ $x$ คือ $\boxed{2, 3, \text{ และ } 4}$ | \boxed{2, 3, \text{ และ } 4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x) = x^2$ และ $g(x) = 3x + 4$ แล้ว $f(g(-3))$ มีค่าเท่าใด | เราได้ $g(-3) = 3(-3) + 4 = -5$ ดังนั้น $f(g(-3)) = f(-5) = (-5)^2 = \boxed{25}$ | f(g(-3)) = f(-5) = (-5)^2 = \boxed{25} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่าของ $z$ ใดที่ทำให้ $z^2-40z+340\le 4$ จงแสดงคำตอบในรูปของช่วง | เราสามารถทำให้สมการง่ายขึ้นเป็น $z^2-40z+336\le 0$ เราสามารถหาคำตอบของสมการได้โดยใช้สูตรกำลังสอง แต่มีวิธีที่ง่ายกว่าโดยการแยกตัวประกอบ: $z^2-40z+336=(z-12)(z-28)$ ดังนั้นพาราโบลา $z^2-40z+336$ จะเปลี่ยนเครื่องหมายที่ $z=12$ และ $z=28$ คำตอบคือช่วง $(-\infty,12]\cup[28,\infty)$ หรือ $[12,28]$ เราทดสอบค่าเพื่อให้ได้ว่ากำลังสองไม่เป็นบวกในช่วง $\boxed{[12,28]}$ | \boxed{[12,28]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพิกัดของจุดที่อยู่กึ่งกลางระหว่างจุด $(3,7)$ และ $(5,1)$ | ถ้าพิกัดของจุดที่อยู่กึ่งกลางระหว่างสองจุดคือ $(x,y)$ แล้ว $x$ ต้องเป็นค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ คือ $3$ และ $5$ และ $y$ ต้องเป็นค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ คือ $7$ และ $1$ ค่าเฉลี่ยของ $3$ และ $5$ คือ $\frac{3+5}{2}=4$ และค่าเฉลี่ยของ $7$ และ $1$ คือ $\frac{7+1}{2}=4$ ดังนั้น $(x,y) = \boxed{(4,4)}$ | (x,y) = \boxed{(4,4)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ $z$ ถ้า $z=x^2+2y^2+6x-4y+22?$ | เริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสองดังนี้: $$z=x^2+2y^2+6x-4y+22=\left(x^2+6x\right)+2\left(y^2-2y\right)+22.$$เพื่อเติมกำลังสอง เราต้องบวก $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=9$ หลังจาก $6x$ และ $\left(\dfrac{2}{2}\right)^2=1$ หลังจาก $-2y.$ ดังนั้นเราได้ $$z+9+2(1)=\left(x^2+6x+9\right)+2\left(y^2-2y+1\right)+22.$$ซึ่งจะได้ $$z=\left(x+3\right)^2+2\left(y-1\right)^2+11.$$เนื่องจาก $\left(x+3\right)^2\ge0$ และ $\left(y-1\right)^2\ge0$ ค่าต่ำสุดคือเมื่อทั้งสองพจน์กำลังสองเท่ากับ $0.$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $$z=\left(x+3\right)^2+2\left(y-1\right)^2+11=0+2\cdot0+11=\boxed{11}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
ถังน้ำทรงกระบอกมีน้ำอยู่ $ rac{1}{5}$ ของความจุ ถ้าเติมน้ำ 3 ลิตร จะเต็ม $ rac{1}{4}$ ของถัง ถังนี้จุน้ำได้กี่ลิตรเต็มที่? | ให้จำนวนลิตรของน้ำในถังเดิมเป็น $w$ และให้จำนวนลิตรของน้ำที่ถังจุได้เต็มที่เป็น $c$ เดิมทีเรามีสมการ $ rac{w}{c}= rac{1}{5}$ คูณไขว้กันได้ $c = 5w$ หรือ $w= rac{c}{5}$ หลังจากเติมน้ำ 3 ลิตร เรามีสมการ $ rac{w+3}{c} = rac{1}{4}$ คูณไขว้กันได้ $c=4w+12$ แทนค่า $w$ ในสมการก่อนหน้าด้วยสมการนี้เพื่อกำจัด $w$ เราได้ $c=4( rac{c}{5})+12$ หรือ $c=60$ ดังนั้นจำนวนลิตรของน้ำที่ถังจุได้เต็มที่คือ $\boxed{60}$ | \boxed{60} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีสามเหลี่ยมกี่รูปที่มีพื้นที่เป็นบวก โดยมีจุดยอดเป็นจุดในระนาบ $xy$ ซึ่งพิกัดของจุดเป็นจำนวนเต็ม $(x,y)$ ที่สอดคล้องกับ $1\le x\le 4$ และ $1\le y\le 4$?
$\text{(A) } 496\quad \text{(B) } 500\quad \text{(C) } 512\quad \text{(D) } 516\quad \text{(E) } 560$
| จุดยอดของสามเหลี่ยมถูกจำกัดอยู่ในตาราง $4\times4$ โดยมีจุดทั้งหมด $16$ จุด สามเหลี่ยมแต่ละรูปถูกกำหนดโดย $3$ จุดที่เลือกจาก $16$ จุดนี้ ซึ่งมีทั้งหมด $\binom{16}{3}=560$ รูป อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันจะไม่มีพื้นที่เป็นบวก สำหรับแต่ละหลักหรือแถว จะมี $\binom{4}{3}=4$ สามเหลี่ยมชนิดนี้ มีทั้งหมด $8$ หลักและแถว รวม $32$ สามเหลี่ยมที่ไม่ถูกต้อง มี $4$ สามเหลี่ยมสำหรับเส้นทแยงมุมทั้งสอง และ $1$ สำหรับแต่ละเส้นทแยงมุมสั้น $4$ เส้น รวมทั้งหมด $32+8+4=44$ สามเหลี่ยมที่ไม่ถูกต้องที่นับใน $560$ ดังนั้นคำตอบคือ $560-44=\boxed{516}$ | 560-44=\boxed{516} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ (2,3) และ (7,15) มีความยาวเท่าไร | เราใช้สูตรระยะทาง: \[\sqrt{(7 - 2)^2 + (15 - 3)^2} = \sqrt{25 + 144} = \boxed{13}.\]
- หรือ -
เราสังเกตว่าจุด (2, 3), (7, 15) และ (7, 3) สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 5 และ 12 ด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีความยาว $\boxed{13}$. | \boxed{13} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ: $98 \times 102$. | สังเกตว่า $98 = 100-2$ และ $102 = 100+2$ ผลคูณของมันคือ $(100-2)(100+2)$ ซึ่งเท่ากับ $100^2 - 2^2$ ซึ่งคำนวณได้ง่ายๆ เป็น $10000 - 4 = \boxed{9996}$ | 10000 - 4 = \boxed{9996} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $p(x) + (x^5+3x^3+9x) = (7x^3+24x^2+25x+1)$ จงแสดง $p(x)$ ในรูปพหุนามโดยมีดีกรีของพจน์เรียงจากมากไปน้อย | แยก $p(x)$ เราได้: \begin{align*}
p(x)&=(7x^3+24x^2+25x+1)-(x^5+3x^3+9x)\\
&=-x^5+(7-3)x^3+24x^2+(25-9)x+1\\
&=\boxed{-x^5+4x^3+24x^2+16x+1}.
\end{align*} | p(x) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ $8x^2 - 38x + 35 = 0$ แสดงคำตอบเป็นทศนิยม | เราเห็นว่าเราสามารถเขียนใหม่ด้านซ้ายของสมการ $8x^2 - 38x + 35$ เป็น $(2x - 7)(4x - 5)$ ดังนั้นเราจึงมี $(2x - 7)(4x - 5) = 0$ ดังนั้น การแก้สมการ $2x - 7 = 0$ และ $4x - 5 = 0$ จะให้เรา $x = 3.5$ และ $x = 1.25$ เป็นคำตอบของเรา เนื่องจาก $1.25 < 3.5$ คำตอบสุดท้ายของเราคือ $x = \boxed{1.25}$ | x = \boxed{1.25} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถุงใบหนึ่งมีลูกอมสีแดง 5 ลูก, สีเขียว 6 ลูก, สีเหลือง 7 ลูก และสีน้ำเงิน 8 ลูก สุ่มหยิบลูกอม 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกอมสีน้ำเงินเท่ากับเท่าใด | ทั้งหมดมีลูกอม $5+6+7+8=26$ ลูก
เนื่องจากมีลูกอมสีน้ำเงิน 8 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกอมสีน้ำเงินคือ $$ \frac{8}{26}=\boxed{\frac{4}{13}}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
ถ้า $\Phi$ และ $\varphi$ เป็นคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบของสมการ $x^2=x+1$ แล้วค่าของ $(\Phi-\varphi)^2$ มีค่าเท่าใด? | เพื่อหาคำตอบทั้งสองคำตอบ เราใช้สูตรกำลังสอง เราสามารถเขียนสมการของเราเป็น $x^2-x-1=0$ โดยทำให้สัมประสิทธิ์ชัดเจนขึ้น เราได้สมการ $$(1)x^2 + (-1)x + (-1) = 0.$$สูตรกำลังสองจะให้ $$x = \frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$ให้ $\Phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ และ $\varphi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ เราได้ \begin{align*}
\Phi-\varphi &= \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right) \\
&= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt5}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt5}{2}\right) \\
&= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt5}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt5}{2} \\
&= \frac{\sqrt5}{2} + \frac{\sqrt5}{2} \\
&= \sqrt5.
\end{align*}โจทย์ไม่ได้บอกเราว่าคำตอบใดคือ $\Phi$ แต่ไม่สำคัญ: หาก $\Phi$ และ $\varphi$ ถูกสลับกัน $\Phi-\varphi=-\sqrt5$ แต่ไม่ว่าในกรณีใด $(\Phi-\varphi)^2 = \boxed{5}$. | (\Phi-\varphi)^2 = \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชัน $y=p(x)$ ดังนี้:
[asy]
import graph; size(6cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.5,xmax=3.5,ymin=-4.25,ymax=6.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return sgn(2x-2)*abs(2x-2)^(1/3)+2*sgn(2x-2)*abs(2x-2)^(1/5)+abs(2x-2)^(1/7);}
draw(graph(f1,xmin,xmax),linewidth(1));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
label("$y=p(x)$",(xmax+0.25,f1(xmax)),E);
[/asy]
ค่าของ $p(1.5)$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $p(1.5)$ | จุด $(1.5,4)$ อยู่บนกราฟ ดังนั้น $p(1.5)=\boxed{4}$ | p(1.5)=\boxed{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $(2x + 5)^2$ เมื่อ $x = 3$ | เราได้ว่า $(2x+5)^2 = (2\cdot 3 + 5)^2 = 11^2 = \boxed{121}$ | (2x+5)^2 = (2\cdot 3 + 5)^2 = 11^2 = \boxed{121} | [
"นำไปใช้"
] |
เมื่อ $2^{19}$ หารด้วย $7$ แล้วจะเหลือเศษเท่าใด | เนื่องจาก $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ และ $a \equiv b \pmod{m}$ หมายถึง $a^c \equiv b^c \pmod{m}$ และ $ad \equiv bd \pmod{m}$, $$2^{19}= (2^3)^6 \cdot 2^1 \equiv 1^6 \cdot 2 \equiv \boxed{2} \pmod{7}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาดีกรีของพหุนาม $(3x^2 +11)^{12}$ | ดีกรีของพหุนามคือดีกรีของพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุด เนื่องจากดีกรีของ $3x^2 +11$ คือ 2 และเนื่องจาก $(x^a)^{12} = x^{12a}$ สำหรับค่าคงที่ $a$ ที่เป็นบวก ใดๆ คำตอบคือ $2 \cdot 12 = \boxed{24}$ | 2 \cdot 12 = \boxed{24} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ขยายนิพจน์ต่อไปนี้: $16(2x+5)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะนำผลคูณของ 16 และ $2x$ บวกกับผลคูณของ 16 และ 5:
\begin{align*}
16(2x+5) &= 16\cdot 2x+16\cdot 5\\
&= \boxed{32x+80}
\end{align*} | 32x+80 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $\displaystyle\sqrt[3]{3 - x} = -\frac{3}{2}$ | เราสามารถกำจัดรากที่สามโดยการยกกำลังสามทั้งสองข้างของสมการ ซึ่งจะได้ $3-x = -\frac{27}{8}$ การแก้สมการนี้จะได้ $x = 3 + \frac{27}{8} = \boxed{\frac{51}{8}}$ | x = 3 + \frac{27}{8} = \boxed{\frac{51}{8}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปหลายเหลี่ยมปกติสองรูปมีเส้นรอบรูปเท่ากัน ถ้ารูปแรกมีด้าน 38 ด้าน และความยาวด้านยาวเป็นสองเท่าของรูปที่สอง รูปที่สองมีกี่ด้าน? | ให้รูปแรกมีด้านยาว $2s$ และรูปที่สองมีด้านยาว $s$ ดังนั้นเส้นรอบรูปของรูปแรกคือ $38\cdot2s=76s$ เนื่องจากเส้นรอบรูปนี้เท่ากับเส้นรอบรูปของรูปที่สองด้วย รูปที่สองจึงมี $76s/s=\boxed{76}$ ด้าน | 76s/s=\boxed{76} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่จำนวนเต็มบวก $A$, $B$, $C$ และ $D$ มีผลรวมเป็น 64 ถ้า $A+3 = B-3 = C \times 3 = D \div 3$ แล้วผลคูณ $A \times B \times C \times D$ มีค่าเท่าใด | เรามี $A + B + C + D = 64$ แทนทุกอย่างในรูปของ $C$ เราพบว่า $(3C - 3) + (3C + 3) + C + (9C) = 64$ ซึ่งหมายความว่า $C = 4$ ดังนั้น $A = 9$, $B = 15$ และ $D = 36$ ดังนั้น คำตอบที่เราต้องการคือ $9\cdot 15\cdot 4\cdot 36 = \boxed{19440}$ | 9\cdot 15\cdot 4\cdot 36 = \boxed{19440} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $n$ ที่สอดคล้องกับ $\frac{1}{n+1} + \frac{2}{n+1} + \frac{n}{n+1} = 3$. | รวมเศษส่วนทางซ้ายมือจะได้ $\dfrac{n+3}{n+1} = 3$. คูณทั้งสองข้างด้วย $n+1$ จะได้ $n+3 = 3(n+1)$. ขยายข้างขวาจะได้ $n+3 = 3n+3$. ลบ $n$ และ 3 จากทั้งสองข้างจะได้ $0=2n$ ดังนั้น $n=\boxed{0}$. | n=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลอว์เรนแก้สมการ $|x-5| = 2$ ในขณะที่เจนแก้สมการรูป $x^2+ bx + c = 0$ ซึ่งมีคำตอบของ $x$ เหมือนกับสมการของลอว์เรน จงหาคู่ลำดับ $(b, c)$ | เริ่มต้นด้วยการแก้สมการของลอว์เรน ถ้า $x-5$ เป็นบวก: $$|x-5|=x-5=2$$ $$x=7$$ ในทางกลับกัน ถ้า $x-5$ เป็นลบ: $$|x-5|=5-x=2$$ $$x=3$$ สมการกำลังสองของเจนต้องมีรากของ 7 และ 3 ในรูปที่แยกตัวประกอบ สมการกำลังสองนี้จะเป็น: $$(x-3)(x-7)=0$$ ขยายออก เราพบว่าสมการของเจนคือ: $$x^2-10x+21=0$$ คู่ลำดับคือ $\boxed{(-10,21)}$. | \boxed{(-10,21)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหา $4^{-1} \pmod{35}$ ในรูปของเศษเหลือ modulo 35 (ให้คำตอบอยู่ในช่วง 0 ถึง 34) | เนื่องจาก $4 \cdot 9 = 36 \equiv 1 \pmod{35}$ ดังนั้น $4^{-1} \equiv \boxed{9} \pmod{35}$ | 4^{-1} \equiv \boxed{9} \pmod{35} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เครื่องพิมพ์พิมพ์ได้ 17 หน้าต่อนาที จะใช้เวลานานเท่าไรในการพิมพ์ 200 หน้า? แสดงคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | $\frac{200 \text{ หน้า}}{17 \text{ หน้าต่อนาที}} \approx \boxed{12}$ นาที | \frac{200 \text{ หน้า}}{17 \text{ หน้าต่อนาที}} \approx \boxed{12} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เลขโดดที่เล็กที่สุดที่ไม่เคยปรากฏในหลักหน่วยของจำนวนคู่คือเลขโดดใด | จำนวนคู่มีหลักหน่วยเป็น 0, 2, 4, 6 หรือ 8 ดังนั้น เลขโดดที่เล็กที่สุดที่ไม่อยู่ในรายการหลักหน่วยที่เป็นไปได้นั้นคือ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $N,O$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $N(x) = 2\sqrt{x}$, และ $O(x) = x^2$ จงหาค่าของ $N(O(N(O(N(O(3))))))$ | สังเกตว่าสำหรับ $x$ ใดๆ $N(O(x)) = N(x^2) = 2\sqrt{x^2} = 2x$ ดังนั้น $$N(O(N(O(N(O(3)))))) = N(O(N(O(6)))) = N(O(12)) = \boxed{24}.$$ | 24 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่าจุด $(1,2)$ อยู่บนกราฟของ $y=\frac{f(x)}2$. จะมีจุดหนึ่งซึ่งต้องอยู่บนกราฟของ $y=\frac{f^{-1}(x)}{2}$ จุดนั้นมีผลรวมของพิกัดเท่าไร | เนื่องจาก $(1,2)$ อยู่บนกราฟของ $y=\frac{f(x)}2$ เราทราบว่า $$2 = \frac{f(1)}{2},$$ซึ่งหมายความว่า $f(1)=4$ ดังนั้น $f^{-1}(4)=1$ ซึ่งหมายความว่า $\left(4,\frac12\right)$ อยู่บนกราฟของ $y=\frac{f^{-1}(x)}{2}$ ผลรวมของพิกัดของจุดนี้คือ $\boxed{\frac 92}$ | \boxed{\frac 92} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาฟังชันผกผันของ $f(x)=4-5x$ | ถ้าให้ $g(x)$ แทนฟังชันผกผันของ $f$ เราสามารถประเมิน $f$ ที่ $g(x)$ ได้เป็น \[f(g(x))=4-5g(x).\]เนื่องจาก $g$ เป็นฟังชันผกผันของ $f$ ด้านซ้ายจะเป็น $x$ และ \[x=4-5g(x).\]แก้สมการหา $g(x)$ เราจะได้ $g(x) = \boxed{\frac{4-x}{5}}$. | g(x) = \boxed{\frac{4-x}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x^2+bx+c = 0$ เป็นสมการกำลังสองที่มีรากเป็นรากของ $3x^2-5x-7$ บวก 2 จงหาค่าของ $c$ | เราใช้ความจริงที่ว่าผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองในรูป $ax^2+bx+c$ ถูกกำหนดโดย $-b/a$ และ $c/a$ ตามลำดับ
ให้ $p$ และ $q$ เป็นรากของ $3x^2-5x-7$ ดังนั้นรากของ $x^2+bx+c$ คือ $p+2$ และ $q+2$ $c/1 = (p+2)(q+2)$. เนื่องจาก $c = c/1$ นี่หมายความว่าเราต้องการหา $(p+2)(q+2)$ เนื่องจาก $3x^2-5x-7$ เป็นสมการกำลังสองด้วย ผลรวม $p+q$ ถูกกำหนดโดย $-(-5)/3=5/3$ และผลคูณ $pq$ ถูกกำหนดโดย $-7/3$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $(p+2)(q+2) = pq+2p+2q+4 = (pq)+2(p+q)+4 = (-7/3)+2(5/3)+4 = \boxed{5}$ | (p+2)(q+2) = pq+2p+2q+4 = (pq)+2(p+q)+4 = (-7/3)+2(5/3)+4 = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 250 ซึ่งเป็นพหุคูณของ 5 แต่ไม่ใช่พหุคูณของ 10 | เริ่มต้นด้วยการ liệtพหุคูณของ 5: $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...$ จากนั้นลบพหุคูณของ 10 ออก และสังเกตรูปแบบของตัวเลขที่เหลือ (ซึ่งเป็นตัวเลขที่เราพยายามนับ): $5, 15, 25, 35,...$ เห็นได้ชัดว่าพหุคูณของ 5 ที่ไม่ใช่พหุคูณของ 10 จะ 따르다รูปแบบ. พวกมันมีหลักหน่วยเป็น 5.
จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 250 และมีหลักหน่วยเป็น 5 คือ 245. พหุคูณทั้งหมดอยู่ในรูป $\_\_5$ โดยช่องว่างสามารถเติมด้วยจำนวนเต็มระหว่าง 0 ถึง 24 รวมทั้ง 24 ด้วย ดังนั้นคำตอบของเราคือจำนวนเต็มระหว่าง 0 ถึง 24 มีทั้งหมด $\boxed{25}$ จำนวน | \boxed{25} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 - 2x + 3 $ และ $B$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 + 4x + 10 $. จงหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$? | การเติมกำลังสองในแต่ละสมการจะได้สมการ $y=(x - 1)^2 + 2 $ และ $y=(x + 2)^2 + 6$. ดังนั้น $A = (1, 2)$ และ $B = (-2, 6)$. เราสามารถหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ ได้เป็น $\sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5}$. | \sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $3p+4q=8$ และ $4p+3q=13$ แล้ว $q$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจากโจทย์ต้องการเฉพาะค่าของ $q$ เราจึงเริ่มต้นด้วยการกำจัด $p$ เพื่อทำเช่นนั้น เราคูณสมการแรกด้วย 4 และสมการที่สองด้วย 3 ซึ่งจะให้ระบบของสมการสองสมการที่มี 12 เป็นสัมประสิทธิ์ของ $p$ \begin{align*} 12p+16q&=32
\\ 12p+9q&=39
\end{align*}จากนี้ เราสามารถลบสมการที่สองจากสมการแรกได้ ซึ่งจะได้ $(12p+16q)-(12p+9q)=32-(39)$ ซึ่งจะ सरวมเป็น $7q=-7$ หรือ $q=\boxed{-1}$ | q=\boxed{-1} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ชมรมหมากรุกมีสมาชิก 26 คน แต่มีเพียง 16 คนเท่านั้นที่เข้าร่วมการประชุมครั้งล่าสุด: ครึ่งหนึ่งของเด็กผู้หญิงเข้าร่วมประชุม แต่เด็กผู้ชายทุกคนเข้าร่วมประชุม มีเด็กผู้หญิงในชมรมหมากรุกกี่คน? | ให้มี $B$ เด็กผู้ชายและ $G$ เด็กผู้หญิง เนื่องจากสมาชิกทุกคนเป็นเด็กผู้ชายหรือเด็กผู้หญิง $B+G=26$ นอกจากนี้เรายังมี $\frac{1}{2}G+B=16$ ลบสมการที่สองจากสมการแรก เราได้:
$\frac{1}{2}G=26-16=10\implies G=20$.
ดังนั้นมีเด็กผู้หญิง $\boxed{20}$ คนในชมรมหมากรุก | \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชันสองฟังก์ชัน: $$\begin{array}{ccc}
f(x) & = & 3x^2-2x+ 4\\
g(x) & = & x^2-kx-6
\end{array}$$ ถ้า $f(10) - g(10) = 10,$ จงหาค่าของ $k?$ | เราได้ว่า \begin{align*} f(x) - g(x) &= (3x^2-2x+ 4) - (x^2-kx-6) \\ &= 2x^2 + (k-2)\cdot x +10. \end{align*}ดังนั้น $f(10) - g(10) = 2\cdot 10^2 + (k - 2)\cdot 10 +10 = 10.$ ดังนั้น $-2\cdot 10^2 = (k-2)\cdot 10,$ และ $k = \boxed{-18}.$ | k = \boxed{-18}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฟังก์ชันส่วนจำนวนเต็มที่มากที่สุดของ $x$ แสดงโดย $[x]$ และถูกนิยามให้เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$ จงหา $[\pi - 4]$ | เนื่องจาก $\pi$ มีค่ามากกว่า $3$ แต่มีค่าน้อยกว่า $4$ ดังนั้น
$-1<\pi - 4<0$. ดังนั้น $[\pi - 4]$ มีค่าเท่ากับ $-1$ | \boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $k > 0$ ให้ $I_k = 10\ldots 064$ โดยมี $k$ ศูนย์อยู่ระหว่างเลข 1 และ 6 ให้ $N(k)$ เป็นจำนวนตัวประกอบของ 2 ในการแยกตัวประกอบของ $I_k$ ค่าสูงสุดของ $N(k)$ คือเท่าใด?
$\textbf{(A)}\ 6\qquad \textbf{(B)}\ 7\qquad \textbf{(C)}\ 8\qquad \textbf{(D)}\ 9\qquad \textbf{(E)}\ 10$
| จำนวน $I_k$ เขียนได้ในรูป $10^{k+2} + 64 = 5^{k+2}\cdot 2^{k+2} + 2^6$.
สำหรับ $k\in\{1,2,3\}$ เราได้ $I_k = 2^{k+2} \left( 5^{k+2} + 2^{4-k} \right)$. ค่าแรกในวงเล็บเป็นเลขคี่ ค่าที่สองเป็นเลขคู่ ดังนั้นผลบวกของมันเป็นเลขคี่ และเราได้ $N(k)=k+2\leq 5$.
สำหรับ $k>4$ เราได้ $I_k=2^6 \left( 5^{k+2}\cdot 2^{k-4} + 1 \right)$. สำหรับ $k>4$ ค่าในวงเล็บเป็นเลขคี่ ดังนั้น $N(k)=6$.
สิ่งนี้ทิ้งกรณี $k=4$ ไว้ เราได้ $I_4 = 2^6 \left( 5^6 + 1 \right)$. ค่า $5^6 + 1$ เป็นเลขคู่อย่างชัดเจน และเนื่องจาก $5\equiv 1 \pmod 4$ เราได้ $5^6 \equiv 1 \pmod 4$ และดังนั้น $5^6 + 1 \equiv 2 \pmod 4$ ดังนั้นกำลังสูงสุดของ 2 ที่หาร $5^6+1$ ลงตัวคือ $2^1$ และสิ่งนี้ทำให้เราได้ค่าสูงสุดที่ต้องการของฟังก์ชัน $N$: $N(4) = \boxed{7}$. | N(4) = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y = 6$ และ $x^2-y^2 = 12$ แล้ว $x-y$ มีค่าเท่าใด | เนื่องจากเราสามารถเขียน $12 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 6(x-y)$ ดังนั้น $x-y = \boxed{2}$ | x-y = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ เป็นค่าที่ทำให้ $8x^2 + 7x - 1 = 0$ และ $24x^2+53x-7 = 0.$ จงหาค่าของ $x$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราแก้สมการแต่ละสมการแยกกัน สมการแรก $8x^2 + 7x - 1 = (8x-1)(x+1) = 0$ สมการที่สอง $24x^2+53x-7 = (8x-1)(3x+7) = 0$ จะเห็นได้ว่าทั้งสองสมการจะจริงก็ต่อเมื่อ $8x - 1 = 0$ ดังนั้น $x = \boxed{\dfrac{1}{8}}$ | x = \boxed{\dfrac{1}{8}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเศษส่วนน้อยกว่า 3 เท่าของส่วนของตัวเศษ 7 ถ้าเศษส่วนเท่ากับ $2/5$ ตัวเศษของเศษส่วนคืออะไร? | ให้ตัวเศษเป็น $x$ ดังนั้นส่วนของตัวส่วนคือ $3x-7$ เนื่องจากเศษส่วนเท่ากับ $2/5$ เราจึงมี $x/(3x-7) = 2/5$ คูณทั้งสองข้างด้วย $5(3x-7)$ (หรือคูณไขว้) จะได้ $5x = 2(3x-7)$ ขยายด้านขวาจะได้ $5x = 6x - 14$ ลบ $6x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $-x = -14$ ดังนั้นเราพบว่า $x = \boxed{14}$ | x = \boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อจุดทศนิยมของจำนวนทศนิยมบวกจำนวนหนึ่งเลื่อนไปทางขวา 4 ตำแหน่ง จำนวนใหม่จะเป็น 4 เท่าของส่วนกลับของจำนวนเดิม จำนวนเดิมคือจำนวนใด | ถ้า $x$ เป็นจำนวนนั้น เลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา 4 ตำแหน่ง เท่ากับการคูณ $x$ ด้วย $10{,}000$ นั่นคือ $10{,}000x = 4 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $x^2 = 4/10{,}000$ เนื่องจาก $x$ เป็นบวก ดังนั้น $x = 2/100 = \boxed{0.02}$ | x = 2/100 = \boxed{0.02} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนสามหลักกี่จำนวนที่สอดคล้องกับสมบัติที่หลักที่สองเป็นค่าเฉลี่ยของหลักแรกและหลักสุดท้าย | หลักแรกและหลักสุดท้ายต้องเป็นเลขคี่ทั้งคู่หรือเลขคู่ทั้งคู่เพื่อให้ค่าเฉลี่ยเป็นจำนวนเต็ม มี $5\cdot 5 =25$ คู่ผสมของเลขคี่-เลขคี่สำหรับหลักแรกและหลักสุดท้าย มี $4\cdot 5=20$ คู่ผสมของเลขคู่-เลขคู่ที่ไม่ใช้ศูนย์เป็นหลักแรก ดังนั้นผลรวมทั้งหมดคือ $\boxed{45}$ | \boxed{45} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันสุ่มเลือกจำนวนเต็ม $p$ ระหว่าง $1$ ถึง $10$ (รวม) ความน่าจะเป็นที่ฉันจะเลือก $p$ ซึ่งมีจำนวนเต็ม $q$ ที่ทำให้ $p$ และ $q$ สอดคล้องกับสมการ $pq - 4p - 2q = 2$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราแก้ปัญหาโดยพยายามหาคำตอบของสมการ $pq - 4p - 2q = 2$ เราใช้ Simon's Favorite Factoring Trick และบวก $8$ เข้าทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $pq - 4p - 2q + 8 = 10$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(p-2)(q-4)=10$$ เราจะเห็นว่าจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ $p-2$ หาร $10$ ลงตัว ดังนั้นจะมี $4$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $p$ ระหว่าง $1$ ถึง $10$ (รวม) $(1,3,4 \text{ และ } 7)$ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลือก $p$ ดังกล่าวคือ $\boxed{\frac{2}{5}}$ | \boxed{\frac{2}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $0.8= \frac{y}{186+x}$, จงหาค่า $x$ ที่น้อยที่สุด เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวก | สังเกตว่า $0.8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ ดังนั้น $\frac{4}{5} = \frac{y}{186+x}$ เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนบวก เราต้องการหาจำนวนที่น้อยที่สุดมากกว่า $186$ ซึ่งเป็นพหุคูณของ $5$ จำนวนนั้นคือ $190$ ซึ่งหมายความว่า $\boxed{x=4}$ | \boxed{x=4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่จำนวนเต็มบวก $A$, $B$, $C$ และ $D$ มีผลรวมเท่ากับ 36 ถ้า $A+2 = B-2 = C \times 2 = D \div 2$ จงหาค่าของผลคูณ $A \times B \times C \times D$ | เรามีว่า $A + B + C + D = 36$. แทนทุกอย่างในรูปของ $C$ เราพบว่า $(2C - 2) + (2C + 2) + C + (4C) = 36$ ซึ่งหมายความว่า $C = 4$ ดังนั้น $A = 6$, $B = 10$ และ $D = 16$ ดังนั้นคำตอบที่ต้องการคือ $6\cdot 10\cdot 16\cdot 4 = \boxed{3840}$ | 6\cdot 10\cdot 16\cdot 4 = \boxed{3840} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.