question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาช่วงของ $y=|x+7|-|x-2|$. | ถ้า $x<-7$ แล้ว $x+7$ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=-(x+7)-(-x+2)=-9.$$ ถ้า $x\geq 2$ แล้ว $x+7$ และ $x-2$ เป็นไม่เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-x+2=9.$$ ถ้า $-7\leq x< 2$ แล้ว $x+7$ เป็นไม่เป็นลบ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-(-x+2)=2x+5.$$ แล้ว $2(-7)+5=-9$ และ $2(2)+5=9$ ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและต่อเนื่อง ดังนั้นค่าทั้งหมดระหว่าง $-9$ และ $9$ ถูกสร้างขึ้น และไม่มีค่าอื่น ๆ ช่วงคือ $y \in \boxed{[-9, 9]}$. | y \in \boxed{[-9, 9]} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
หน้าของหนังสือเล่มหนึ่งถูกหมายเลข $1_{}^{}$ ถึง $n_{}^{}$. เมื่อนำเลขหน้าของหนังสือเล่มนี้มาบวกกัน หนึ่งในเลขหน้าถูกบวกซ้ำสองครั้ง ทำให้ผลบวกไม่ถูกต้องเท่ากับ $1986_{}^{}$. เลขหน้าที่ถูกบวกซ้ำสองครั้งคือเลขหน้าเท่าไร? | ถ้าเลขหน้าทั้งหมดถูกบวกเพียงครั้งเดียว ผลบวกจะเป็น \[1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.\]แต่เลขหน้าหนึ่งถูกบวกซ้ำสองครั้ง ดังนั้นช่วงของค่าที่เป็นไปได้สำหรับผลบวกที่ไม่ถูกต้องคือ $\left[\tfrac{n(n+1)}{2} + 1, \tfrac{n(n+1)}{2} + n\right].$ เราทราบว่าผลบวกที่ไม่ถูกต้องคือ $1986,$ ดังนั้นเราต้องมี \[\frac{n(n+1)}{2} + 1 \le 1986 \le \frac{n(n+1)}{2} + n.\]เราค้นหาค่าของ $n$ ที่สอดคล้องกับการไม่เท่ากันนี้ เราได้ $\tfrac{n(n+1)}{2} \approx 1986 \approx 2000,$ ดังนั้น $n(n+1) \approx n^2 \approx 4000,$ และ $n \approx \sqrt{4000} \approx 63.$ สำหรับ $n = 63,$ เราได้ $\tfrac{n(n+1)}{2} = 2016,$ ซึ่งมากเกินไป สำหรับ $n=62,$ เราได้ $\tfrac{n(n+1)}{2} = 1953,$ ซึ่งใช้ได้ เพราะ \[1953 + 1 \le 1986 \le 1953 + 62.\]ดังนั้น เลขหน้าที่ถูกบวกซ้ำสองครั้งต้องเป็น \[1986 - 1953 = \boxed{33}.\] | 33 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการ $2k+5 = 13$ เพื่อหาค่า $k$ | ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการจะได้ $2k = 8$ และหารด้วย 2 จะได้ $k = \boxed{4}$ | k = \boxed{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
คำนวณ: $(17+10)^2-(17-10)^2$. | เราได้รับสมการในรูป $x^2 - y^2$ ดังนั้นเราจึงแยกตัวประกอบสมการเป็น $(x+y)(x-y)$ เพื่อให้ได้ $(17+10+17-10)(17+10-17+10)$ ซึ่งจะทำให้ सरฬีเป็น $34 \cdot 20 = \boxed{680}$ | 34 \cdot 20 = \boxed{680} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$. ถ้า $\alpha = -3$ เมื่อ $\beta = -6$ จงหา $\alpha$ เมื่อ $\beta = 8$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วน | เนื่องจาก $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$ ตามนิยาม $\alpha\beta = k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า แทนค่าเข้าไป เราจะได้ $(-3)\cdot (-6) = k$ ดังนั้น $k = 18$ ดังนั้น เมื่อ $\beta = 8$ เราจะได้ $8\alpha = 18$ หรือ $\alpha = \boxed{\frac{9}{4}}$ | \alpha = \boxed{\frac{9}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจุดทุกจุดบนวงกลม $x^2 + y^2 = 25$ สะท้อนในจุด $(4,1)$ จุดภาพที่ได้จะสอดคล้องกับสมการ
\[x^2 + ay^2 + bx + cy + d = 0.\] จงคำนวณ quadruple $(a,b,c,d)$ ของจำนวนจริง | จุดศูนย์กลางของวงกลมเดิมคือ $(0,0)$ จุดสะท้อนของจุด $(0,0)$ ในจุด $(4,1)$ คือ $(8,2)$ ดังนั้นสมการของวงกลมใหม่คือ
\[(x - 8)^2 + (y - 2)^2 = 25.\] นี่จะเท่ากับ $x^2 + y^2 - 16x - 4y + 43 = 0$ ดังนั้น $(a,b,c,d) = \boxed{(1,-16,-4,43)}.$ | (a,b,c,d) = \boxed{(1,-16,-4,43)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในหน่วยตาราง โดยมีจุดยอดอยู่ที่ $A\ (0, 0)$, $B\ (-5, -1)$, $C\ (-4, -6)$ และ $D\ (1, -5)$ | วาดจุดทั้งสี่เพื่อหาคู่ของจุดยอดที่อยู่ติดกัน ด้าน $AB$ เป็นด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $AB^2$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส $AB^2=(-5-0)^2+(-1-0)^2=\boxed{26}$ หน่วยตาราง
[asy]
unitsize(2mm);
defaultpen(linewidth(.7pt)+fontsize(8pt));
dotfactor=3;
pair A = (0,0), B = (-5,-1), C = (-4,-6), D = (1,-5);
pair[] dots = {A,B,C,D};
dot(dots);
draw((-8,0)--(8,0),Arrows(4));
draw((0,-8)--(0,8),Arrows(4));
draw(A--B--C--D--cycle,linetype("4 4"));
label("$A$",A,NE);
label("$B$",B,W);
label("$C$",C,SW);
label("$D$",D,SE);[/asy] | D | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[8\cos^210^\circ - \dfrac{1}{\sin 10^\circ}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[8 \cos^2 10 ^\circ - \frac{1}{\sin 10^\circ} = \frac{8 \cos^2 10^\circ \sin 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ}.\]โดยสูตรมุมสองเท่า $2 \cos 10^\circ \sin 10^\circ = \sin 20^\circ,$ ดังนั้น
\[\frac{8 \cos^2 10^\circ \sin 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ} = \frac{4 \sin 20^\circ \cos 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ}.\]จากสูตรผลคูณเป็นผลบวก $2 \sin 20^\circ \cos 10^\circ = \sin 30^\circ + \sin 10^\circ,$ ดังนั้น
\[\frac{4 \sin 20^\circ \cos 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 30^\circ + 2 \sin 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \boxed{2}.\] | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\sin 1755^\circ$. | การหมุน $360^\circ$ เท่ากับการไม่ทำอะไร ดังนั้นการหมุน $1755^\circ$ เท่ากับการหมุน $1755^\circ - 4\cdot 360^\circ = 315^\circ$ ดังนั้น $\sin 1755^\circ = \sin (1755^\circ - 4\cdot 360^\circ) = \sin 315^\circ$.
ให้ $P$ เป็นจุดบนวงกลมหน่วยที่อยู่ห่างจาก $(1,0)$ ไป $315^\circ$ ทวนเข็มนาฬิกา และให้ $D$ เป็นจุดที่ตั้งฉากจาก $P$ ลงบนแกน $x$ ดังภาพด้านล่าง.
[asy]
pair A,C,P,O,D;
draw((0,-1.2)--(0,1.2),p=black+1.2bp,Arrows(0.15cm));
draw((-1.2,0)--(1.2,0),p=black+1.2bp,Arrows(0.15cm));
A = (1,0);
O= (0,0);
label("$x$",(1.2,0),SE);
label("$y$",(0,1.2),NE);
P = rotate(315)*A;
D = foot(P,A,-A);
draw(O--P--D);
draw(rightanglemark(O,D,P,2));
draw(Circle(O,1));
label("$O$",O,NW);
label("$P$",P,SE);
//label("$A$",A,SE);
label("$D$",D,N);
[/asy]
สามเหลี่ยม $POD$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 45-45-90 ดังนั้น $DO = DP = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ดังนั้นพิกัดของ $P$ คือ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ดังนั้น $\sin 1755^\circ = \sin 315^\circ = \boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$. | $\sin 1755^\circ = \sin 315^\circ = \boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ เส้นมัธยฐาน $\overline{AD}$ และ $\overline{BE}$ ตั้งฉากกัน ถ้า $AC = 22$ และ $BC = 31$ แล้วจงหา $AB$ | เรามีว่า $D$ และ $E$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{BC}$ และ $\overline{AC}$ ตามลำดับ ดังนั้น
\[\overrightarrow{D} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \quad \text{และ} \quad \overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2}.\][asy]
unitsize(0.2 cm);
pair A, B, C, D, E;
B = (0,0);
C = (31,0);
A = intersectionpoint(arc(B,17,0,180),arc(C,22,0,180));
D = (B + C)/2;
E = (A + C)/2;
draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);
draw(B--E);
label("$A$", A, N);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, NE);
[/asy]
นอกจากนี้ $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BE} = 0$ หรือ
\[\left( \overrightarrow{A} - \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \right) \cdot \left( \overrightarrow{B} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} \right) = 0.\]คูณแต่ละตัวประกอบด้วย 2 เพื่อกำจัดเศษส่วน เราได้
\[(2 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}) \cdot (2 \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}) = 0.\]ขยายผลคูณ chấm เราได้
\[-2 \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} - 2 \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} \cdot \overrightarrow{C} + 5 \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{C} = 0.\]กำหนดจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นจุดกำเนิด และใช้สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับผลคูณ chấm เหล่านี้ เช่น $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = R^2 - \frac{c^2}{2}$ เราได้
\[-2R^2 - 2R^2 + R^2 + 5 \left( R^2 - \frac{c^2}{2} \right) - \left( R^2 - \frac{b^2}{2} \right) - \left( R^2 - \frac{a^2}{2} \right) = 0.\]สิ่งนี้จะทำให้ $a^2 + b^2 = 5c^2$.
เราได้รับว่า $a = 31$ และ $b = 22$ ดังนั้น $5c^2 = 31^2 + 22^2 = 1445$ และ $c = \boxed{17}$. | c = \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $u,$ $v,$ $w$ เป็นรากของ $z^3 = 1.$ จงหาค่าของ $uv + uw + vw.$ | จากสูตรของ Vieta's, $uv + uw + vw = \boxed{0}.$ | uv + uw + vw = \boxed{0}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 1000 ที่มีจำนวนตัวหารที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัว มีกี่จำนวน | จากสูตรการหาจำนวนตัวหารบวกทั้งหมด จะเห็นว่าจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป $p^{2}$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ ใดๆ จะมีจำนวนตัวหารบวกเพียง 3 ตัว ดังนั้นเราต้องนับจำนวนจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1 ถึง $\sqrt{1000}$ (กำลังสองของจำนวนเฉพาะเหล่านี้คือจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 1000 ที่มีจำนวนตัวหารบวกเพียง 3 ตัว) มีจำนวนเฉพาะ $\boxed{11}$ ตัว: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 และ 31 | \boxed{11} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $101^{3} - 3 \cdot 101^{2} + 3 \cdot 101 -1$ | นิพจน์ที่กำหนดให้เป็นการกระจายของ $(101-1)^3$ โดยทั่วไป การกระจายของ $(a-b)^3$ เท่ากับ \[a^3-3\cdot a^2\cdot b+3\cdot a\cdot b^2-b^3\]
ในกรณีนี้ $a=101,b=1$ ดังนั้น $101^3-3\cdot 101^2+3\cdot 101-1=(101-1)^3$ ; เราสามารถคำนวณ $100^3=\boxed{1000000}$ ได้อย่างง่ายดาย | 100^3=\boxed{1000000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวสุดท้ายทางด้านขวาของจุดทศนิยมในทศนิยมของ $\frac{141}{400}$ | สังเกตว่า $400 = 4 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^4 \cdot 5^2$. ดังนั้น $\frac{141}{400} = \frac{141}{2^4 \cdot 5^2}$. ถ้าเราคูณเศษส่วนนี้ด้วย $10^4$ เราจะเลื่อนตัวเลขทั้งหมด $4$ ตำแหน่งไปทางซ้าย ดังนั้น $\frac{141}{2^4 \cdot 5^2} \cdot 10^4 = 141 \cdot 5^2 = 3525$. หลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวสุดท้ายคือ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บนระนาบ $xy$ จุดกำเนิดถูกกำหนดให้เป็น $M$ จุด $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ และ $(0,-1)$ ถูกกำหนดให้เป็น $A$ จุด $(2,0)$, $(1,1)$, $(0,2)$, $(-1, 1)$, $(-2, 0)$, $(-1, -1)$, $(0, -2)$ และ $(1, -1)$ ถูกกำหนดให้เป็น $T$ จุด $(3,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(0, 3)$, $(-1, 2)$, $(-2, 1)$, $(-3, 0)$, $(-2,-1)$, $(-1,-2)$, $(0, -3)$, $(1, -2)$ และ $(2, -1)$ ถูกกำหนดให้เป็น $H$ ถ้าคุณอนุญาตให้เคลื่อนที่ขึ้น ลง ซ้าย และขวา เริ่มจากจุดกำเนิด มีวิธีการที่แตกต่างกันกี่วิธีในการเดินตามคำว่า MATH? | จาก M เราสามารถดำเนินการไปยัง A ได้สี่วิธี โปรดทราบว่าตัวอักษรมีความสมมาตร ดังนั้นเราสามารถนับกรณีเดียว (เช่น การเคลื่อนที่จาก M ไปยัง A ด้านล่าง) และคูณด้วยสี่
จาก A ด้านล่าง เราสามารถดำเนินการไปยัง T ใด ๆ ได้สามตัว จาก T สองตัวที่ด้านข้างของ A เราสามารถดำเนินการไปยัง H หนึ่งตัว จาก T ที่อยู่ด้านล่าง A เราสามารถดำเนินการไปยัง H ได้สามตัว ดังนั้นกรณีนี้ให้เส้นทาง $2 \cdot 2 + 3 = 7$ เส้นทาง
ดังนั้นมี $4 \cdot 7 = \boxed{28}$ เส้นทางที่แตกต่างกัน | 4 \cdot 7 = \boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการหาค่า $x$ เมื่อ
\[\frac{x}{x - a} + \frac{x - b}{x - a - b} = \frac{x - a}{x - 2a} + \frac{x + a - b}{x - b}.\]กำหนดว่า $2a > x > b > a > 0.$ | เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น
\[\frac{x - a + a}{x - a} + \frac{x - a - b + a}{x - a - b} = \frac{x - 2a + a}{x - 2a} + \frac{x - b + a}{x - b},\]ดังนั้น
\[1 + \frac{a}{x - a} + 1 + \frac{a}{x - a - b} = 1 + \frac{a}{x - 2a} + 1 + \frac{a}{x - b}.\]จากนั้น
\[\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - a - b} = \frac{1}{x - 2a} + \frac{1}{x - b}.\]รวมเศษส่วนทางด้านซ้ายและขวา เราได้
\[\frac{2x - 2a - b}{(x - a)(x - a - b)} = \frac{2x - 2a - b}{(x - 2a)(x - b)}.\]คูณไขว้ เราได้
\[(2x - 2a - b)(x - 2a)(x - b) = (2x - 2a - b)(x - a)(x - a - b),\]ดังนั้น
\[(2x - 2a - b)[(x - 2a)(x - b) - (x - a)(x - a - b)] = 0.\]สิ่งนี้จะทำให้เป็น $a(b - a)(2x - 2a - b) = 0.$ ดังนั้น
\[x = \boxed{\frac{2a + b}{2}}.\] | a(b - a)(2x - 2a - b) = 0. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a+b=7$ และ $a^3+b^3=42$ จงหาค่าของผลบวก $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ยกกำลังสามทั้งสองข้างของ $a+b=7$ จะได้ \[
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=343.
\] แทน 42 ด้วย $a^3+b^3$ และแยกตัวประกอบ $3ab$ ออกจากสองพจน์ที่เหลือ \begin{align*}
42+3ab(a+b)&=343 \implies \\
3ab(a+b)&=301 \implies \\
3ab(7)&=301 \implies \\
3ab&=43 \implies \\
ab&=\frac{43}{3}.
\end{align*} สุดท้าย $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{7}{43/3}=\boxed{\frac{21}{43}}$. | $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{7}{43/3}=\boxed{\frac{21}{43}}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงสร้างครึ่งวงกลมตามด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 นิ้ว และ 8 นิ้ว ครึ่งวงกลมที่สร้างตามด้านตรงข้ามมุมฉากถูกแรเงา ดังแสดงในรูป พื้นที่ของบริเวณรูปจันทร์เสี้ยวที่ไม่แรเงาทั้งสองมีค่าเท่าไร แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด
[asy]
unitsize(0.4cm);
size(101);
pair A = (0,3), B = (0,0), C = (4,0);
filldraw(A..B..C--cycle,gray(0.6),black);
draw(A--B--C);
draw(Arc(A/2,3/2,90,270)^^Arc(C/2,2,0,-180)); draw(rightanglemark(A,B,C));
[/asy] | ให้ $A,B$ แทนพื้นที่ของครึ่งวงกลมบนด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก และให้ $C$ แทนพื้นที่ของครึ่งวงกลมบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก เราจะเห็นว่าตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส $A + B = C$.
พื้นที่ของสามเหลี่ยมบวกกับพื้นที่ของครึ่งวงกลมทั้งสองคือ
\[A + B + \frac{6 \cdot 8}{2} = A + B + 24.\]แต่ค่านี้ก็คือพื้นที่ที่เราสนใจบวกกับ $C$ ด้วย ดังนั้น คำตอบคือ $A + B + 24 - C = \boxed{24}$. | $A + B + 24 - C = \boxed{24}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของค่าที่มากที่สุดของ $xy$, $1-x-y+xy$, และ $x+y-2xy$ ถ้า $0\leq x \leq y \leq 1$. | เราอ้างว่าค่าต่ำสุดคือ $\frac{4}{9}.$ เมื่อ $x = y = \frac{1}{3},$
\begin{align*}
xy &= \frac{1}{9}, \\
(1 - x)(1 - y) &= \frac{4}{9}, \\
x + y - 2xy &= \frac{4}{9}.
\end{align*}ส่วนที่เหลือคือการแสดงว่า $xy,$ $(1 - x)(1 - y),$ $x + y - 2xy$ หนึ่งในสามค่านี้มีค่าอย่างน้อย $\frac{4}{9}.$
สังเกตว่า
\[xy + (1 - x - y + xy) + (x + y - 2xy) = 1.\]นั่นหมายความว่าถ้าค่าใดค่าหนึ่งในสามค่านี้มีค่ามากที่สุด $\frac{1}{9},$ ค่าที่เหลืออีกสองค่าจะต้องบวกกันได้อย่างน้อย $\frac{8}{9},$ ดังนั้นค่าหนึ่งในนั้นต้องมีค่าอย่างน้อย $\frac{4}{9}.$
ให้ $s = x + y$ และ $p = xy.$ แล้ว
\[s^2 - 4p = (x + y)^2 - 4xy = (x - y)^2 \ge 0.\]สมมติว่า $x + y - 2xy = s - 2p < \frac{4}{9}.$ แล้ว
\[0 \le s^2 - 4p < \left( 2p + \frac{4}{9} \right)^2 - 4p.\]สิ่งนี้จะทำให้ $81p^2 - 45p + 4 > 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(9p - 1)(9p - 4) > 0.$ นั่นหมายความว่า $p < \frac{1}{9}$ หรือ $p > \frac{4}{9};$ ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม เราจะเสร็จสิ้น
ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $\boxed{\frac{4}{9}}.$ | \boxed{\frac{4}{9}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการ $2^{2x} = 256^{\frac{1}{2}}$ | \begin{align*}
2^{2x} & =256^{\frac{1}{2}} \\
2^{2x} & =(2^8)^{\frac{1}{2}} \\
2^{2x} & =(2^4) \\
2x & = 4 \\
x & = \boxed{2}
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
เส้นตรง $y=(3a+2)x-2$ และ $2y=(a-4)x+2$ ขนานกัน ค่าของ $a$ เท่ากับเท่าใด | เราหาความชันของเส้นตรงทั้งสองเส้นแล้ว equate พวกมัน เนื่องจากเส้นตรงขนานกันจะมีความชันเท่ากัน นี่จะให้ $3a+2=\frac{a}{2}-2$ ซึ่งหมายความว่า $a=\boxed{-\frac{8}{5}}$ | a=\boxed{-\frac{8}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โดยการแยกตัวประกอบเป็นเศษส่วนย่อย
$$\frac{7x-2}{x^2-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}.$$จงหา $A+B$. | คูณทั้งสองข้างด้วย $x^2-4=(x+2)(x-2)$ จะได้
$$7x-2 = A(x+2)+B(x-2).$$เมื่อ $x=2$ จะได้ $12=4A$ ดังนั้น $A=3$.
เมื่อ $x=-2$ จะได้ $-16=-4B$ ดังนั้น $B=4$. ดังนั้น $A+B=3+4=\boxed{7}.$
หรืออีกวิธีหนึ่ง เนื่องจากสมการ
$$7x-2 = A(x+2)+B(x-2)$$เป็นจริงสำหรับค่า $x$ ทั้งหมด สัมประสิทธิ์ของ $x$ ทั้งสองข้างต้องเท่ากัน ดังนั้น $A + B = \boxed{7}.$ | A + B = \boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r,$ $s,$ และ $t$ เป็นรากของสมการ $4x^3 - 59x^2 + 32x - 32 = 0.$ จงหาค่าของ $f(r) + f(s) + f(t)$ เมื่อ $f(x) = 4x^3 - 59x^2$. | เนื่องจาก $r$ เป็นรากของ $4x^3 - 59x^2 + 32x - 32 = 0,$ เราได้ว่า $4r^3 - 59r^2 + 32r - 32 = 0.$ ดังนั้น \[f(r) = 4r^3 - 59r^2 = 32 - 32r.\]ทำนองเดียวกัน $f(s) = 32-32s$ และ $f(r) = 32-32r.$ แล้ว \[\begin{aligned} f(r) + f(s) + f(t) &= 96 - 32(r+s+t) \\ &= 96 - 32\left(\frac{59}{4}\right) \\ &= \boxed{-376}.\end{aligned}\] | f(r) = 32-32r. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ ซึ่งเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ ถ้า $2^n\equiv 3\pmod{13}$ แล้วเศษที่ได้เมื่อ $k$ หารด้วย $13$ คือเท่าใด | เนื่องจาก $2^n$ เป็นกำลังของ $2$ ดังนั้นตัวประกอบเฉพาะของ $2^n$ คือ $2$ เท่านั้น ดังนั้นจำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ และจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ ในจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ มีจำนวนเต็มคี่อยู่ $\frac{2^n}{2}=2^{n-1}$ จำนวน ดังนั้น \[k=2^{n-1}\equiv 2^{-1}2^n\equiv 7\cdot 3\equiv 21\equiv \boxed{8}\pmod {13}\] | \frac{2^n}{2}=2^{n-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นมุม โดยที่
\[\frac{\cos \alpha}{\cos \beta} + \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = -1.\]จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{\cos^3 \beta}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \beta}{\sin \alpha}.\]ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | กำหนดให้ $k = \frac{\cos \alpha}{\cos \beta}.$ ดังนั้น $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = -k - 1,$ ดังนั้น $\cos \alpha = k \cos \beta$ และ $\sin \alpha = -(k + 1) \sin \beta.$ แทนค่าลงใน $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1,$ เราได้
\[k^2 \cos^2 \beta + (k + 1)^2 \sin^2 \beta = 1.\]จากนั้น $k^2 \cos^2 \beta + (k + 1)^2 (1 - \cos^2 \beta) = 1,$ ซึ่งนำไปสู่
\[\cos^2 \beta = \frac{k^2 + 2k}{2k + 1}.\]ดังนั้น,
\[\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = \frac{1 - k^2}{2k + 1}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\frac{\cos^3 \beta}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \beta}{\sin \alpha} &= \cos^2 \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} + \sin^2 \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \\
&= \frac{k^2 + 2k}{2k + 1} \cdot \frac{1}{k} + \frac{1 - k^2}{2k + 1} \cdot \frac{1}{-k - 1} \\
&= \frac{k + 2}{2k + 1} + \frac{k - 1}{2k + 1} \\
&= \frac{2k + 1}{2k + 1} = \boxed{1}.
\end{align*} | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จัตุรัสที่มีจุดยอด $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ และ $(1, 1)$ ถูกตัดโดยเส้นตรง $y=\frac{x}{2}+ 1$ เป็นรูปสามเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยม พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมมีกี่ตารางหน่วย แสดงคำตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | วาดจัตุรัสและเส้นตรงเพื่อให้เห็นว่าเส้นตรงตัดด้านบนและด้านซ้ายของจัตุรัส แทนค่า $y=1$ และ $x=-1$ ลงในสมการของเส้นตรง เราจะพบว่าจุดตัดคือ (0,1) และ $(-1,\frac{1}{2})$ ด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านขวาที่ถูกตัดออก (แรเงาในรูป) มีความยาว 1 และ 1/2 หน่วย ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ $\frac{1}{2}(1)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$ ตารางหน่วย เนื่องจากพื้นที่ของจัตุรัสทั้งหมดคือ $2^2=4$ ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมคือ $4-\frac{1}{4}=\boxed{3.75}$ ตารางหน่วย
[asy]
import graph;
size(200);
defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10));
dotfactor=4;
real f(real x)
{
return x/2+1;
}
xaxis(xmax=1.5,Arrows(4),above=true);
yaxis(ymin=-1.5,Arrows(4),above=true);
fill((-1,1)--(-1,1/2)--(0,1)--cycle,gray(0.7));
pair A=(-1,1), B=(1,1), C=(1,-1), D=(-1,-1);
pair[] dots={A,B,C,D};
Label[] alphabet={"$A$", "$B$", "$C$", shift(5,0)*"$D$", "$E$", "$F$"};
draw(A--B--C--D--cycle);
draw(graph(f,-1.8,1.2),Arrows(4));
label("$y=\frac{x}{2}+1$",(-1.5,0.5));
[/asy] | 3.75 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูป 176 ถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากัน 5 รูปดังแสดงในแผนภาพ เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปเท่ากับเท่าไร?
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
[/asy] | ให้ $x$ และ $y$ เป็นความกว้างและความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปตามลำดับ
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
label("$x$", (1,5), N);
label("$x$", (3,5), N);
label("$x$", (5,5), N);
label("$y$", (6,7/2), E);
label("$x$", (6,1), E);
label("$y$", (0,7/2), W);
label("$x$", (0,1), W);
label("$y$", (3/2,0), S);
label("$y$", (9/2,0), S);
[/asy]
แล้ว $3x = 2y$ และ $5x + 4y = 176$ แก้สมการหา $x$ และ $y$ จะได้ $x = 16$ และ $y = 24$ ดังนั้น เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปเท่ากับ $2x + 2y = \boxed{80}$ | 2x + 2y = \boxed{80} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเมทริกซ์ $\mathbf{P}$ ที่ทำให้สำหรับเวกเตอร์ $\mathbf{v}$ ใดๆ $\mathbf{P} \mathbf{v}$ เป็นการฉายภาพของ $\mathbf{v}$ ลงบนระนาบ $yz$ | การฉายภาพ $\mathbf{P}$ จะนำ $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ไปยัง $\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix}.$
[asy]
import three;
size(180);
currentprojection = perspective(6,3,2);
triple I = (1,0,0), J = (0,1,0), K = (0,0,1), O = (0,0,0);
triple V = (2.2,2.5,2.5), W = (0,2.5,2.5);
draw(V--W,dashed);
draw(O--V, red, Arrow3(6));
draw(O--W,blue, Arrow3(6));
draw(O--3*I, Arrow3(6));
draw(O--3*J, Arrow3(6));
draw(O--3*K, Arrow3(6));
label("$x$", 3.2*I);
label("$y$", 3.2*J);
label("$z$", 3.2*K);
label("$\mathbf{v}$", V, NW);
label("$\mathbf{w}$", W, NE);
[/asy]
ดังนั้น,
\[\mathbf{P} \mathbf{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{P} \mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{P} \mathbf{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\]ดังนั้น
\[\mathbf{P} = \boxed{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}.\] | \mathbf{w} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้หาค่าของ $[(1\cdot2)+(3\cdot4)-(5\cdot6)+(7\cdot8)]\cdot(9\cdot0)$ | เราไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าในวงเล็บแรก เพราะทุกอย่างถูกคูณด้วย $(9\cdot 0) = 0$ ดังนั้นค่าของนิพจน์นี้คือ $\boxed{0}$ | \boxed{0} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $(x,y) = (3,9)$ จงหาค่าของ $y^2 - 3xy + 8$ | เราได้ว่า $y^2 -3xy + 8 = 9^2 - 3(3)(9) + 8 = 81 - 81 + 8 = \boxed{8}$ | 8 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
พนักงานสวนต้องการปลูกต้นแอปเปิล Golden Delicious ที่เหมือนกัน 2 ต้น และต้นลูกแพร์ Bartlett ที่เหมือนกัน 5 ต้น ในแถวเดียวกัน มีวิธีจัดเรียงที่แตกต่างกันกี่วิธี? | เรามี 7 ที่ว่างสำหรับปลูกต้นไม้ในแถวของเรา เราสามารถเลือก 2 ที่ว่างจากนี้เพื่อปลูก Golden Delicious ได้ $\binom{7}{2}= \boxed{21}$ วิธี สำหรับแต่ละวิธีการเลือกนี้ เราจะปลูกต้นลูกแพร์ในที่ว่างที่เหลืออีก 5 ที่ | \binom{7}{2}= \boxed{21} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณพื้นที่ของวงกลมที่ผ่านจุดตัดทั้งหมดของ $4x^2 + 11y^2 = 29$ และ $x^2 - 6y^2 = 6.$ | นำสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้ $5x^2 + 5y^2 = 35,$ ดังนั้น $x^2 + y^2 = 7.$ (จุดใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการสองสมการที่กำหนดในโจทย์ จะต้องสอดคล้องกับสมการนี้ด้วย) ดังนั้น พื้นที่ของวงกลมคือ $\boxed{7 \pi}.$ | \boxed{7 \pi}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อแรเชลหารเลขชื่นชอบของเธอด้วย 7 เธอจะได้เศษ 5 เศษที่เหลือจะเป็นเท่าใดถ้าเธอคูณเลขชื่นชอบของเธอด้วย 5 แล้วหารด้วย 7 | ให้ $n$ เป็นเลขชื่นชอบของแรเชล แล้ว $n \equiv 5 \pmod{7}$ ดังนั้น $5n \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv \boxed{4} \pmod{7}$ | 5n \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv \boxed{4} \pmod{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อายุของพ่อฉันคือ $1222_{3}$ ในระบบเลขฐานสาม ซึ่งแสดงถึงอวัยวะทั้งสามของเขา -- สองขาและไม้เท้า พ่อฉันอายุเท่าไรในระบบเลขฐานสิบ? | $1222_{3} = 2\cdot3^{0}+2\cdot3^{1}+2\cdot3^{2}+1\cdot3^{3} = 2+6+18+27 = \boxed{53}$. | 1222_{3} = 2\cdot3^{0}+2\cdot3^{1}+2\cdot3^{2}+1\cdot3^{3} = 2+6+18+27 = \boxed{53} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $|5x - 1| = |3x + 2|$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | มีสองกรณี คือ เมื่อ $5x-1=3x+2$ และเมื่อ $5x-1=-(3x+2).$ สมการทั้งสองจะได้ $x=\frac{3}{2}$ และ $x=-\frac{1}{8}$ ตามลำดับ ซึ่ง $x=\boxed{-\frac{1}{8}}$ เป็นคำตอบที่น้อยกว่า | x=\boxed{-\frac{1}{8}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองจำนวนบวกที่ต่างกัน $a$ และ $b$ แต่ละจำนวนต่างจากส่วนกลับของมันเป็น 1 $a + b$ มีค่าเท่าใด | ถ้าจำนวนบวก $x$ ต่างจากส่วนกลับของมันเป็น 1 ดังนั้น $x - \frac{1}{x} = 1$ หรือ $\frac{1}{x} - 1 = 1.$
ถ้า $x - \frac{1}{x} = 1,$ แล้ว
\[x^2 - x - 1 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง
\[x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.\]เราต้องการ $x$ เป็นบวก ดังนั้น $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.$
ถ้า $\frac{1}{x} - x = 1,$ แล้ว
\[x^2 + x - 1 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง
\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.\]เราต้องการ $x$ เป็นบวก ดังนั้น $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}.$
ดังนั้น
\[a + b = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \boxed{\sqrt{5}}.\] | x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสัมบูรณ์ของ $\sqrt5+2i$ | เราคำนวณ $|\sqrt5+2i| = \sqrt{(\sqrt5)^2 + 2^2} = \sqrt{5+4} = \sqrt9 = \boxed{3}$ | $\sqrt5+2i| = \sqrt{(\sqrt5)^2 + 2^2} = \sqrt{5+4} = \sqrt9 = \boxed{3}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $817_9 - 145_9 - 266_9$ แสดงคำตอบในระบบเลขฐานเก้า | $817_9 - 145_9 - 266_9 = 817_9 - (145_9 + 266_9) = 817_9 - 422_9 = \boxed{385_9}$ | 817_9 - 145_9 - 266_9 = 817_9 - (145_9 + 266_9) = 817_9 - 422_9 = \boxed{385_9} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $2x + \frac{1}{2}x + 2(1+x) = 29$ | นำพจน์ที่คล้ายกันทางซ้ายมือมาบวกกันจะได้ $\frac{9}{2}x+2=29$ ลบ 2 จากทั้งสองข้างจะได้ $\frac{9}{2}x=27$ จากนั้นคูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{2}{9}$ จะได้ $x=\boxed{6}$ | x=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มาร์คอฟเล่นเกมเป็นเวลาสามตา. ในแต่ละตา เขาจะเลือกโยนลูกเต๋าหกหน้าที่เป็นธรรม หรือโยนเหรียญที่เป็นธรรม ถ้าเขาโยนลูกเต๋าได้ 1 หรือ 2 เขาจะเปลี่ยนไปโยนเหรียญในตาถัดไป และถ้าเขาโยนเหรียญได้ก้อย เขาจะเปลี่ยนไปโยนลูกเต๋าในตาถัดไป ถ้ามาร์คอฟเริ่มต้นด้วยการโยนลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่เขาจะโยนเหรียญในตาที่สามคือเท่าใด | เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยการแบ่งออกเป็นกรณี ถ้ามาร์คอฟโยนลูกเต๋าได้ 1 หรือ 2 ในตาแรก เขาจะโยนเหรียญในตาที่สอง เขาต้องโยนหน้าหัวเพื่อโยนเหรียญในตาที่สาม มีความน่าจะเป็น $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ ที่กรณีนี้จะเกิดขึ้น ถ้ามาร์คอฟไม่ได้โยนลูกเต๋าได้ 1 หรือ 2 ในตาแรก เขาจะโยนลูกเต๋าในตาที่สอง เขาต้องโยนลูกเต๋าได้ 1 หรือ 2 ในตาที่สองเพื่อโยนเหรียญในตาที่สาม มีความน่าจะเป็น $\frac{4}{6}\cdot \frac{2}{6}=\frac{2}{9}$ ที่กรณีนี้จะเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่มาร์คอฟจะโยนเหรียญในตาที่สามคือ $\frac{1}{6}+\frac{2}{9}=\boxed{\frac{7}{18}}$. | \frac{1}{6}+\frac{2}{9}=\boxed{\frac{7}{18}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีวิธีเขียนตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 เรียงกันได้กี่วิธี โดยที่สำหรับตัวเลขใดๆ ในแถว ล้วนมีตัวหาร (ไม่รวมตัวเลขนั้นเอง) อยู่ทางซ้ายของมัน | เราเริ่มต้นด้วยการหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ในการเรียง 1, 2, 3 และ 6 มีเพียงสองลำดับเท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหา นั่นคือ $(1, 2, 3, 6)$ และ $(1, 3, 2, 6)$ ตอนนี้เราใส่ 4 เข้าไปในแถว โดยต้องจำไว้ว่ามันต้องปรากฏทางด้านขวาของ 1 และ 2 มีตำแหน่งที่เป็นไปได้สามตำแหน่งในกรณีแรก และสองตำแหน่งในกรณีที่สอง ซึ่งรวมเป็นจำนวนลำดับทั้งหมดห้าลำดับ ในที่สุด เมื่อวาง 5 ลงในลำดับใดๆ ของลำดับเหล่านี้ เราต้องแน่ใจว่ามันปรากฏทางด้านขวาของ 1 ดังนั้นจึงมีห้าความเป็นไปได้สำหรับแต่ละลำดับของเรา ทำให้มี $\boxed{25}$ ลำดับทั้งหมด | \boxed{25} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\mathbf{a},$ $\mathbf{b},$ $\mathbf{c}$ เป็นเวกเตอร์สามเวกเตอร์ โดยที่
\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{a} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 18 \end{pmatrix}.\]จงคำนวณ $(2 \mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (3 \mathbf{c} + \mathbf{a}).$ | ขยายผล, เราได้
\begin{align*}
(2 \mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (3 \mathbf{c} + \mathbf{a}) &= 6 \mathbf{b} \times \mathbf{c} + 2 \mathbf{b} \times \mathbf{a} - 3 \mathbf{a} \times \mathbf{c} - \mathbf{a} \times \mathbf{a} \\
&= 6 \mathbf{b} \times \mathbf{c} - 2 \mathbf{a} \times \mathbf{b} - 3 \mathbf{a} \times \mathbf{c} - \mathbf{0} \\
&= 6 \begin{pmatrix} 1 \\ - 7 \\ 18 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 6 \\ - 7 \\ 3 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \\
&= \boxed{\begin{pmatrix} -18 \\ -49 \\ 96 \end{pmatrix}}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
คอร์ดของวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดกึ่งกลางของรัศมี อัตราส่วนของพื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่าซึ่งคอร์ดแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนต่อบริเวณที่เล็กกว่าสามารถแสดงในรูป $\displaystyle
{{a\pi+b\sqrt{c}}\over{d\pi-e\sqrt{f}}}$, โดยที่ $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, และ $f$ เป็นจำนวนเต็มบวก, $a$ และ $e$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และ $c$ หรือ $f$ ไม่หารด้วยกำลังสองของจำนวนเฉพาะใดๆ จงหาเศษที่เหลือเมื่อผลคูณ $a\cdot
b\cdot c\cdot d\cdot e\cdot f$ หารด้วย 1000 | โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้รัศมีของวงกลมเป็น 2 รัศมีไปยังจุดปลายของคอร์ดพร้อมกับคอร์ดจะสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอด $120^{\circ}$ พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่าคือ $2/3$ ของวงกลมบวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และพื้นที่ของบริเวณที่เล็กกว่าคือ $1/3$ ของวงกลมลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว อัตราส่วนที่ต้องการคือ $\displaystyle
\frac{\frac{2}{3}\cdot4\pi+\sqrt{3}}{{\frac{1}{3}\cdot4\pi-\sqrt{3}}}
=\frac{8\pi+3\sqrt{3}}{4\pi-3\sqrt{3}}$, ดังนั้น $abcde\!f=8\cdot3\cdot3\cdot4\cdot3\cdot3=2592$ และเศษที่เหลือที่ต้องการคือ $\boxed{592}$ | \boxed{592} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor 14.6 \rfloor-\lceil-14.6\rceil$. | จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $14.6$ คือ $14$ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $-14.6$ คือ $-14$ ดังนั้นสมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $14-(-14)$ หรือ $\boxed{28}$ | \boxed{28} | [
"ประยุกต์"
] |
สิบมากกว่าห้าเท่าของจำนวนหนึ่งเท่ากับห้ามากกว่าสิบเท่าของจำนวนนั้น จำนวนนั้นคือจำนวนใด | ถ้าจำนวนนั้นคือ $x$ เราจะได้ $5x+10=10x+5$ ลบ 5 และ $5x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $5=5x$ ดังนั้น $x=\boxed{1}$ | x=\boxed{1} | [
"จำแนก",
"แก้ปัญหา"
] |
ในงานเลี้ยงมีการจับมือกันทั้งหมด 78 ครั้ง ถ้าแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ จะมีกี่คนในงานเลี้ยง | เนื่องจากแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ จำนวนคู่ของผู้คนที่จะจับมือกันครั้งละ 1 ครั้ง จะเท่ากับ 78 ซึ่งเราสามารถนับได้เป็น ${n \choose 2}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนผู้คนที่งานเลี้ยง ดังนั้น $n(n-1) = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 6 \cdot 13 = 12 \cdot 13$ ดังนั้น $n=13$ จะทำให้มี $\boxed{13}$ คนในงานเลี้ยง | \boxed{13} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
รูปหกเหลี่ยมปกติขนาดใหญ่ถูกวาดบนพื้นดิน และมีชายคนหนึ่งยืนอยู่ที่จุดยอดหนึ่ง ชายคนนั้นโยนเหรียญ หากเหรียญออกหัว เขาจะเดินทวนเข็มนาฬิกาตามขอบของรูปหกเหลี่ยมจนถึงจุดยอดที่ใกล้ที่สุด หากเหรียญออกก้อย เขาจะเดินตามเข็มนาฬิกาไปรอบ ๆ รูปหกเหลี่ยมจนถึงจุดยอดอื่น เมื่อถึงที่นั่น เขาก็จะทำซ้ำกระบวนการ ชายคนนั้นโยนเหรียญทั้งหมด 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ชายคนนั้นจะยืนอยู่ที่เดิมเมื่อเขาเสร็จสิ้นคือเท่าใด | มีลำดับการโยนเหรียญหัวก้อยทั้งหมด $2^6=64$ ลำดับที่เป็นไปได้เท่ากัน แต่ละครั้งของการโยนเหรียญสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นแต่ละลำดับการโยนเหรียญสอดคล้องกับลำดับของการเคลื่อนที่ 6 ครั้ง $L$ หรือ $R$ หากชายคนนั้นได้หัวหรือก้อยติดต่อกัน 6 ครั้ง สอดคล้องกับ $RRRRRR$ หรือ $LLLLLL$ เขาจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น แต่ชายคนนั้นก็สามารถโยนหัว 3 ครั้งและก้อย 3 ครั้งในลำดับใดก็ได้ สอดคล้องกับลำดับ เช่น $RRLRLL$ มีลำดับการเคลื่อนที่ทั้งหมด $\binom{6}{3}=20$ ลำดับที่รวมถึงการเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา 3 ครั้ง และตามเข็มนาฬิกา 3 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ชายคนนั้นจะจบลงที่จุดเริ่มต้นคือ: $$\frac{20+1+1}{64}=\boxed{\frac{11}{32}}$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
ถ้า $h(y)=\dfrac{1+y}{2-y}$ แล้วค่าของ $h^{-1}(5)$ คือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | $h^{-1}(5)$ ถูกนิยามว่าเป็นจำนวน $y$ ที่ทำให้ $h(y)=5$ ดังนั้นเราจึงแก้สมการ $$\frac{1+y}{2-y} = 5.$$คูณทั้งสองข้างด้วย $2-y$ เราได้ $$1+y = 5(2-y).$$กระจายออกมาได้ $$1+y = 10-5y,$$จากนั้นบวก $5y-1$ ทั้งสองข้างได้ $$6y = 9.$$สุดท้ายหารทั้งสองข้างด้วย $6$ และทำให้ सर 単 $y=\boxed{\dfrac{3}{2}}$.
สังเกตว่าเราสามารถตรวจสอบการทำงานของเราได้โดยการแทน $\dfrac{3}{2}$ ลงในสูตรสำหรับ $h$: $$\dfrac{1+\frac32}{2-\frac32} = \dfrac{\left(\frac52\right)}{\left(\frac12\right)} = 5,$$ซึ่งเป็นสิ่งที่เราคาดไว้ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ในรูปภาพด้านล่าง สามเหลี่ยม $ABC$ ถูกจารึกไว้ในวงกลม และ $AC = AB$ มุม $BAC$ มีขนาด 42 องศา และส่วนของเส้นตรง $ED$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $C$ มุม $ACD$ มีขนาดเท่าไร? [asy]
import olympiad; import geometry; size(150); defaultpen(linewidth(0.8));
draw(Circle((0,0),1));
draw((dir(-30).x -1,dir(-30).y-2)--(dir(-30).x+1,dir(-30).y+2));
pair C = dir(-30), B = dir(-114), A = dir(-114-138), D = (dir(-30).x+1,dir(-30).y+2), E = (dir(-30).x -1,dir(-30).y-2);
draw(A--B--C--cycle);
label("$A$",A,N); label("$B$",B,SW); label("$C$",C,dir(0)); label("$D$",D,dir(0)); label("$E$",E,dir(-90));
[/asy] | เนื่องจากมุม $BAC$ มีขนาด 42 องศา มุมที่เท่ากันอีกสองมุมของสามเหลี่ยม $ABC$ ต้องมีขนาด $(180 - 42)/2 = 138/2 = 69$ องศา เราจะนำจุด $F$ มาใช้ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และวาดส่วนของเส้นตรงจากแต่ละจุดยอดไปยัง $F$ เนื่องจากส่วนของเส้นตรง $ED$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $C$ มันต้องตั้งฉากกับรัศมี $CF$ มุม $BAC$ ถูกแบ่งครึ่งโดยส่วนของเส้นตรง $AF$ ดังนั้นมุม $FAC$ มีขนาด 21 องศา มุม $FCA$ ก็มีขนาด 21 องศาเช่นกัน เนื่องจากสามเหลี่ยม $AFC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้นมุม $ACD$ มีขนาด $90 - 21 = \boxed{69\text{ องศา}}$ ซึ่งเท่ากับมุมฐานของสามเหลี่ยม ABC. [asy] import olympiad; import geometry; size(150); defaultpen(linewidth(0.8)); draw(Circle((0,0),1)); draw((dir(-30).x -1,dir(-30).y-2)--(dir(-30).x+1,dir(-30).y+2)); pair C = dir(-30), B = dir(-114), A = dir(-114-138), D = (dir(-30).x+1,dir(-30).y+2), E = (dir(-30).x -1,dir(-30).y-2); draw(A--B--C--cycle); label("$A$",A,N); label("$B$",B,W); label("$C$",C,dir(0)); label("$D$",D,dir(0)); label("$E$",E,dir(-90)); draw((0,0)--A^^(0,0)--B^^(0,0)--C); label("$F$",(0,0),S);[/asy] | 69 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \dotsm \times \frac{8}{9}$ แล้วแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ตัวส่วนของแต่ละเศษส่วนจะตัดกันกับเศษของเศษส่วนถัดไป เหลือเพียงเศษตัวแรกและตัวส่วนตัวสุดท้าย ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{\frac{2}{9}}$ | \boxed{\frac{2}{9}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงขยายและลดรูป $(x^2-5x+7)-(x-3)(x-2)$ | เราเห็นว่า $(x^2-5x+7)-(x-3)(x-2) = x^2-5x+7 -x^2 +5x - 6 = \boxed{1},$ ซึ่งเป็นคำตอบของเรา | (x^2-5x+7)-(x-3)(x-2) = x^2-5x+7 -x^2 +5x - 6 = \boxed{1}, | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $ABC,$
\[a^4 + b^4 + c^4 = 2c^2 (a^2 + b^2).\]จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $\angle C,$ ให้นำค่ามาแสดงในหน่วยองศาและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | จากกฎของโคไซน์,
\[a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C.\]ยกกำลังสองของสมการนี้ เราจะได้
\[a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2 b^2 - 2a^2 c^2 - 2b^2 c^2 = 4a^2 b^2 \cos^2 C.\]จากสมการที่กำหนด $a^4 + b^4 + c^4 = 2a^2 c^2 + 2b^2 c^2,$ ดังนั้น
\[2a^2 b^2 = 4a^2 b^2 \cos^2 C.\]แล้ว
\[\cos^2 C = \frac{1}{2}.\]ดังนั้น $\cos C = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$ ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $\angle C$ คือ $\boxed{45^\circ, 135^\circ}.$
ถ้าเราให้ $a = \sqrt{2}$ และ $b = c = 1,$ แล้ว $\angle C = 45^\circ.$ ถ้าเราให้ $a = \sqrt{2},$ และ $b = 1,$ และ $c = \sqrt{5},$ แล้ว $\angle C = 135^\circ.$ ดังนั้น มุมทั้งสองมุมสามารถทำได้ | \angle C = 135^\circ. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ $x^2 - 2x + 2 \le P(x) \le 2x^2 - 4x + 3$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด และสมมติว่า $P(11) = 181$ จงหา $P(16)$ | เขียนพหุนามกำลังสองที่กำหนดให้ในรูปจุดยอด เราได้ \[1 + (x-1)^2 \le P(x) \le 1 + 2(x-1)^2.\]ทั้งสองพหุนามนี้มีจุดยอดที่ $(1, 1)$ ; เมื่อพิจารณาจากรูปร่างของกราฟของพหุนามกำลังสอง เราจะเห็นว่า $P$ ต้องมีจุดยอดที่ $(1,1)$ ด้วย ดังนั้น \[P(x) = 1 + k(x-1)^2\]สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า แทน $x = 11$ เราได้ $181 = 1 +100k$ ดังนั้น $k = \tfrac{9}{5}$ จากนั้น \[P(16) = 1 + \tfrac{9}{5} \cdot 15^2 = \boxed{406}.\] | k = \tfrac{9}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เซตของคำตอบทั้งหมดของระบบสมการ \[ \begin{cases}& 2x+y \le 4 \\& x+y \ge 1 \\& x \ge 0 \\& y \ge 0 \end{cases} \] เป็นรูปสี่เหลี่ยม. ถ้าจำนวนหน่วยของความยาวด้านที่ยาวที่สุดคือ $a\sqrt{b}$ (อยู่ในรูปรากที่ง่ายที่สุด) จงหา $a+b$. | [asy]
Label f;
f.p=fontsize(6);
xaxis(0,3,Ticks(f, 1.0));
yaxis(0,5,Ticks(f, 1.0));
fill((0,1)--(0,4)--(2,0)--(1,0)--cycle, grey);
draw((-.5,5)--(2.5,-1), dashed, Arrows);
draw((-1,2)--(2,-1), dashed, Arrows);
[/asy]
เส้นทแยงมุมด้านบนเป็นกราฟของ $2x+y=4$. เส้นทแยงมุมด้านล่างเป็นกราฟของ $x+y=1$. แกน y เป็นกราฟของ $x=0$ และแกน x เป็นกราฟของ $y=0$. บริเวณที่ถูกแรเงาประกอบด้วยคำตอบของระบบ. ด้านที่ยาวที่สุดคือด้านทแยงมุมด้านบน. ความยาวของด้านนี้คือ $\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}.$ ดังนั้น $a+b=2+5=\boxed{7}$. | a+b=2+5=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 8}{x + 9} = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x + 7}{x + 8}.\] | ลบ 1 จากแต่ละเศษส่วน เราจะได้
\[-\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 9} = -\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 8}.\]แล้ว
\[\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 8},\]ดังนั้น
\[\frac{2x + 11}{(x + 2)(x + 9)} = \frac{2x + 11}{(x + 3)(x + 8)}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $(x + 2)(x + 9)(x + 3)(x + 8),$ เราจะได้
\[(2x + 11)(x + 3)(x + 8) = (2x + 11)(x + 2)(x + 9).\]แล้ว
\[(2x + 11)[(x + 3)(x + 8) - (x + 2)(x + 9)] = (2x + 11)(6) = 0.\]ดังนั้น $x = \boxed{-\frac{11}{2}}.$ | x = \boxed{-\frac{11}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถัง $A$ มีลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีดำ 4 ลูก ถัง $B$ มีลูกบอล 3 ลูกที่ติดป้ายหมายเลข $\$1$ และลูกบอล 1 ลูกที่ติดป้ายหมายเลข $\$7$. ถัง $W$ มีลูกบอล 5 ลูกที่ติดป้ายหมายเลข $\$8$ และลูกบอล 1 ลูกที่ติดป้ายหมายเลข $\$500$. มีการเล่นเกมดังนี้: เลือกลูกบอลสุ่มจากถัง $A$ ถ้าเป็นสีดำ ให้เลือกลูกบอลสุ่มจากถัง $B$ มิฉะนั้น ถ้าลูกบอลดั้งเดิมเป็นสีขาว ให้เลือกลูกบอลสุ่มจากถัง $W$ คุณจะชนะเงินจำนวนที่พิมพ์บนลูกบอลที่สองที่เลือก มูลค่าที่คาดหวังของการชนะของคุณคือเท่าไร? | เนื่องจากถัง $A$ มีลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีดำ 4 ลูก ลูกบอลเงินรางวัลมีโอกาส $\dfrac{1}{5}$ ที่จะมาจากถัง $W$ และมีโอกาส $\dfrac{4}{5}$ ที่จะมาจากถัง $B$ ดังนั้นมูลค่าที่คาดหวังทั้งหมดจึงเป็น $E = \dfrac{1}{5}E_W + \dfrac{4}{5}E_B$ โดยที่ $E_W$ และ $E_B$ คือมูลค่าที่คาดหวังของลูกบอลที่สุ่มมาจากถัง $W$ และ $B$ ตามลำดับ เนื่องจากถัง $W$ มีลูกบอล 5 ลูกที่ติดป้ายหมายเลข 8 ดอลลาร์ และลูกบอล 1 ลูกที่ติดป้ายหมายเลข 500 ดอลลาร์ มูลค่าที่คาดหวังของมันคือ \[ E_W = \frac{5}{6}\times\$8 + \frac{1}{6}\times\$500 = \$90. \]เนื่องจากถัง $B$ มีลูกบอล 3 ลูกที่ติดป้ายหมายเลข 1 ดอลลาร์ และลูกบอล 1 ลูกที่ติดป้ายหมายเลข 7 ดอลลาร์ มูลค่าที่คาดหวังของมันคือ \[ E_B = \frac{3}{4} \times \$1 + \frac{1}{4} \times \$7 = \$2.5. \]ดังนั้น \[ E = \frac{1}{5}E_W + \frac{4}{5}E_B = \frac{1}{5}(\$90) + \frac{4}{5}(\$2.5) = \boxed{\$20}. \] | 90) + \frac{4}{5}(\ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนจริง $x^{}_{}$ กี่จำนวนที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{5}\log_2 x = \sin (5\pi x)$? | แสดงกราฟของ $y = \frac{1}{5} \log_2 x$ และ $y = \sin (5 \pi x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(2.5 cm);
real x;
real logfunction(real x) {
return(1/5*log(x)/log(2));
}
real sinefunction(real x) {
return(sin(5*pi*x));
}
path foo = (-0.1,sinefunction(-0.1));
for (x = -0.1; x <= 4; x = x + 0.01) {
foo = foo--(x,sinefunction(x));
}
draw(graph(logfunction,0.05,4),red);
draw(foo,blue);
draw((-0.1,0)--(4,0));
draw((0,-1)--(0,1));
label("$y = \frac{1}{5} \log_2 x$", (4,logfunction(4)), E, red);
label("$y = \sin (5 \pi x)$", (4,-0.1), E, blue);
label("$1$", (1,0), S, UnFill);
label("$2$", (2,0), S, UnFill);
label("$3$", (3,0), S, UnFill);
label("$4$", (4,0), S, UnFill);
[/asy]
ถ้า $\frac{1}{5} \log_2 x = \sin (5 \pi x),$ แล้ว
\[-1 \le \frac{1}{5} \log_2 x \le 1.\]ดังนั้น $-5 \le \log_2 x \le 5,$ ดังนั้น $\frac{1}{32} \le x \le 32.$
สำหรับ $x \le 1,$ เราจะนับได้ 5 จุดตัด
สำหรับ $x > 1,$ ในแต่ละช่วงของรูปแบบ
\[\frac{2n}{5} \le x \le \frac{2n + 1}{5},\]โดยที่ $n \ge 3,$ ฟังก์ชัน $\sin (5 \pi x)$ จะเพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง 1 และจากนั้นก็ลดลงจาก 1 ถึง 0 ส่วนนี้ของกราฟของ $\sin (5 \pi x)$ จะตัดกับกราฟของ $\frac{1}{5} \log_2 x$ ตราบใดที่ $\frac{2n + 1}{5} \le 32.$ ค่า $n$ ที่ใหญ่ที่สุดคือ 79.
ดังนั้น สำหรับแต่ละ $n,$ $3 \le n \le 79,$ จะมีจุดตัดเพิ่มขึ้นอีก 2 จุด ซึ่งจะให้ผลรวมทั้งหมด $5 + 2 \cdot (79 - 3 + 1) = \boxed{159}$ จุดตัด | 5 + 2 \cdot (79 - 3 + 1) = \boxed{159} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลินดา, เชอร์รี่, จูน และคอนนี่เดินขายคุกกี้เกิร์ลスカ우ต์ในละแวกบ้านของพวกเธอ ลินดาได้เงิน $\$27.47$, เชอร์รี่ได้เงิน $\$35.23$, จูนได้เงิน $\$37.37$ และคอนนี่ได้เงิน $\$26.52$ หลังจากการขาย พวกเธอรวมเงินของพวกเธอเข้าด้วยกันและไปธนาคารเพื่อแลกเหรียญเป็นดอลลาร์ มีเงินเหลือเท่าไรเป็นเซ็นต์หลังจากที่พวกเธอแลกเหรียญเป็นธนบัตรได้มากที่สุด? | แทนที่จะบวกตัวเลขที่มากเข้าด้วยกัน เราสามารถหาเศษเหลือสำหรับแต่ละคนเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เราแปลงจำนวนเงินที่พวกเขาได้เป็นเซ็นต์และหา modulo $100$ สำหรับแต่ละคน \begin{align*}
2747 &\equiv 47 \pmod{100},\\
3523 &\equiv 23 \pmod{100},\\
3737 &\equiv 37 \pmod{100},\\
2652 &\equiv 52 \pmod{100}
\end{align*}เราต้องการหา modulo $100$ ของจำนวนเซ็นต์ทั้งหมด เราสามารถบวกเศษเหลือแยกต่างหากเพื่อให้ได้ $$47+23+37+52 \equiv 159 \equiv 59 \pmod{100}$$ดังนั้นพวกเขามี $\boxed{59}$ เซ็นต์เหลือหลังจากแลกเงินเป็นธนบัตรมากที่สุดเท่าที่จะทำได้ | \boxed{59} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
การหมุน $60^\circ$ รอบจุดกำเนิดในทิศทวนเข็มนาฬิกา ถูกนำไปใช้กับ $3 \sqrt{3} - 5i.$ จำนวนเชิงซ้อนที่ได้คืออะไร? | การหมุน $60^\circ$ รอบจุดกำเนิดในทิศทวนเข็มนาฬิกา สอดคล้องกับการคูณด้วย $\operatorname{cis} 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i.$
[asy]
unitsize(0.5 cm);
pair A = (3*sqrt(3),-5), B = rotate(60)*(A);
draw((-2,0)--(8,0));
draw((0,-6)--(0,3));
draw((0,0)--A,dashed);
draw((0,0)--B,dashed);
dot("$3 \sqrt{3} - 5i$", A, S);
dot("$4 \sqrt{3} + 2i$", (4*sqrt(3),2), NE);
[/asy]
ดังนั้น ภาพของ $3 \sqrt{3} - 5i$ คือ
\[(3 \sqrt{3} - 5i) \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = \boxed{4 \sqrt{3} + 2i}.\] | 4 \sqrt{3} + 2i | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปภาพ $x$ มีค่าเท่าใด? [asy]
draw((0,0)--(3,0)--(1,2.5)--cycle);
label("$60^\circ$",(2.9,0),NW);
label("$50^\circ$",(1.1,2.2),S);
label("$x^\circ$",(0,0),SW);
draw((-1,0)--(0,0));
draw((0,0)--(-.5,-1.25));
[/asy] | เนื่องจากมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180^\circ$ มุมที่หายไปในรูปสามเหลี่ยมจึงมีค่า $180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$ ดังนั้น: [asy]
draw((0,0)--(3,0)--(1,2.5)--cycle);
label("$60^\circ$",(2.9,0),NW);
label("$50^\circ$",(1.1,2.2),S);
label("$x^\circ$",(0,0),SW);
draw((-1,0)--(0,0));
draw((0,0)--(-.5,-1.25));
label("$A$",(-1,0),W);
label("$B$",(3,0),E);
label("$C$",(1,2.5),N);
label("$D$",(-.5,-1.25),S);
label("$X$",(0,0),NW);
[/asy] เนื่องจาก $\angle BXC=70^\circ$ ดังนั้น $\angle AXC = 180^\circ - \angle BXC = 110^\circ.$
เนื่องจาก $\angle AXC = 110^\circ$ ดังนั้น $\angle DXA = 180^\circ - \angle AXC = 70^\circ.$
ดังนั้น $x=\boxed{70}.$
(หรือเราอาจจะสังเกตว่าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามกันเป็นมุมเท่ากัน ดังนั้น $\angle DXA=\angle BXC =70^\circ.$) | $x=70$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนคำตอบของ $x$ ในความสัมพันธ์ $64x\equiv 2\pmod {66}$ โดยที่ $0< x\le 100$ | เราสามารถทำให้ความสัมพันธ์ง่ายขึ้นดังนี้: \begin{align*}
64x&\equiv 2\pmod {66}\\
32x&\equiv 1\pmod {33}\\
-x&\equiv 1\pmod {33}\\
x&\equiv -1\pmod{33}\\
x&\equiv 32\pmod{33}.
\end{align*} คำตอบบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของความสัมพันธ์นี้คือ $32$, $32+33=65$, $32+2\cdot 33=98$ หลังจากนั้น คำตอบจะมากกว่า $100$ และไม่ใช่คำตอบที่ต้องการ ดังนั้นมี $\boxed{3}$ คำตอบในช่วงที่กำหนด | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $(a_1,b_1),$ $(a_2,b_2),$ $\dots,$ $(a_n,b_n)$ เป็นลำดับคู่ $(a,b)$ ของจำนวนจริง โดยที่พหุนาม
\[p(x) = (x^2 + ax + b)^2 +a(x^2 + ax + b) - b\]มีรากจริงเพียงรากเดียวและไม่มีรากเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนจริง จงหา $a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + \dots + a_n + b_n.$ | กำหนด $P(x) = x^2 + ax + b$ และ $Q(x) = x^2 + ax - b.$ เราต้องการหา $a$ และ $b$ เพื่อให้ $Q(P(x))$ มีรากจริงซ้ำเพียงรากเดียว
กำหนดให้ $r_1$ และ $r_2$ เป็นรากของ $Q(x).$ ดังนั้นรากของ $Q(P(x))$ คือรากของสมการ $P(x) = r_1$ และ $P(x) = r_2.$ ดังนั้น $Q(x)$ ต้องมีรากซ้ำ ซึ่งหมายความว่า เงื่อนไขของมันต้องเท่ากับ 0. สิ่งนี้จะให้ $a^2 + 4b = 0.$ รากซ้ำของ $Q(x) = x^2 + ax - b$ คือ $-\frac{a}{2}.$
จากนั้น สมการ $P(x) = -\frac{a}{2}$ ต้องมีรากซ้ำเช่นกัน เขียนสมการออกมา เราได้ $x^2 + ax + b = -\frac{a}{2},$ หรือ
\[x^2 + ax + \frac{a}{2} + b = 0.\]อีกครั้ง เงื่อนไขของมันต้องเท่ากับ 0 ดังนั้น $a^2 - 2a - 4b = 0.$ เราทราบว่า $4b = -a^2,$ ดังนั้น
\[2a^2 - 2a = 2a(a - 1) = 0.\]ดังนั้น $a = 0$ หรือ $a = 1.$ ถ้า $a = 0,$ แล้ว $b = 0.$ ถ้า $a = 1,$ แล้ว $b = -\frac{1}{4}.$ ดังนั้นคำตอบ $(a,b)$ คือ $(0,0)$ และ $\left( 1, -\frac{1}{4} \right),$ และคำตอบสุดท้ายคือ $0 + 0 + 1 - \frac{1}{4} = \boxed{\frac{3}{4}}.$ | 0 + 0 + 1 - \frac{1}{4} = \boxed{\frac{3}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีค่าความชัน $\frac{2}{5}.$ เวกเตอร์ใดต่อไปนี้เป็นเวกเตอร์ทิศทางที่เป็นไปได้ของเส้นตรง?
[asy]
usepackage("amsmath");
unitsize(1 cm);
pair x = (3,0), y = (0,2);
label("(A) $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$", y);
label("(B) $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$", x + y);
label("(C) $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$", 2*x + y);
label("(D) $\begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}$", 3*x + y);
label("(E) $\begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix}$", (0,0));
label("(F) $\begin{pmatrix} 2/5 \\ 1 \end{pmatrix}$", x);
label("(G) $\begin{pmatrix} 40 \\ 16 \end{pmatrix}$", 2*x);
label("(H) $\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix}$", 3*x);
[/asy]
Enter the letters of the correct options, separated by commas. | เนื่องจากเส้นตรงมีค่าความชัน $\frac{2}{5},$ เส้นตรงจะเพิ่มขึ้น 2 หน่วยในแนวตั้งสำหรับทุกๆ 5 หน่วยในแนวนอน ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางที่เป็นไปได้คือ $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}.$
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, C;
A = (0,0);
B = (5,0);
C = (5,2);
draw(A--B--C);
draw(A--C,red,Arrow(6));
label("$5$", (A + B)/2, S);
label("$2$", (B + C)/2, E);
[/asy]
สิ่งนี้หมายความว่าผลคูณสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ของ $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ เป็นเวกเตอร์ทิศทางที่เป็นไปได้ ตัวเลือกที่เป็นไปได้คือ $\boxed{\text{B, E, G}}.$ | \boxed{\text{B, E, G}}. | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าถูกปิดล้อมด้วยสนามกีฬา ดังแสดงในรูปด้านล่าง สนามกีฬาประกอบด้วยสองด้านของสนาม และสองครึ่งวงกลม ความยาวของสนามกีฬาคือ 400 เมตร พื้นที่สูงสุดของสนามเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นตารางเมตร)
[asy]
unitsize(1 cm);
filldraw((0,0)--(3,0)--(3,2)--(0,2)--cycle,lightgreen);
draw((0,0)--(3,0),linewidth(2*bp));
draw((0,2)--(3,2),linewidth(2*bp));
draw(arc((3,1),1,-90,90),linewidth(2*bp));
draw(arc((0,1),1,90,270),linewidth(2*bp));
[/asy] | ให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $w,$ และให้รัศมีของแต่ละครึ่งวงกลมเป็น $r.$
[asy]
unitsize(1 cm);
filldraw((0,0)--(3,0)--(3,2)--(0,2)--cycle,lightgreen);
draw((0,0)--(3,0),linewidth(2*bp));
draw((0,2)--(3,2),linewidth(2*bp));
draw(arc((3,1),1,-90,90),linewidth(2*bp));
draw(arc((0,1),1,90,270),linewidth(2*bp));
label("$w$", (1.5,0), S);
label("$r$", (3,1/2), E);
dot((3,1));
[/asy]
จากนั้นความยาวของสนามกีฬาคือ $2w + 2 \pi r = 400,$ ดังนั้น $w + \pi r = 200.$ โดย AM-GM,
\[200 = w + \pi r \ge 2 \sqrt{w \pi r},\]ดังนั้น $\sqrt{w \pi r} \le 100.$ แล้ว $w \pi r \le 10000,$ ดังนั้น
\[wr \le \frac{10000}{\pi}.\]พื้นที่ของสนาม $2wr$ ต้องเป็นไปตาม
\[2wr \le \frac{20000}{\pi}.\]ความเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $w = 100$ และ $r = \frac{100}{\pi},$ ดังนั้นพื้นที่สูงสุดคือ $\boxed{\frac{20000}{\pi}}.$ | \boxed{\frac{20000}{\pi}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คำนวณ $\dbinom{7}{2}$ | $\dbinom{7}{2}=\dfrac{7\times 6}{2}=\boxed{21}.$ | $\dbinom{7}{2}=\dfrac{7\times 6}{2}=\boxed{21}.$ | [
"จำ"
] |
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ 180 และ 450 | $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ และ $450=2\cdot3^2\cdot5^2$ ดังนั้น ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ 180 และ 450 คือ $2\cdot3^2\cdot5=\boxed{90}$ | $2\cdot3^2\cdot5=\boxed{90}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณ $\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -11 \\ 10 \end{pmatrix}$. | เราจะได้ว่า
\[\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -11 \\ 10 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \end{pmatrix}}.\] | [
"นำไปใช้"
] | |
ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 ถูกเรียงลำดับเพื่อสร้างจำนวนหกหลักซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว ความน่าจะเป็นที่จำนวนนั้นมากกว่า 500,000 คือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | จากตัวเลข 1 ถึง 6 ตัวเลข 5 ต้องเป็นหลักหน่วย เนื่องจากจำนวนของเราหารด้วย 5 ลงตัว เรามีตัวเลขที่เหลืออยู่ 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4 และ 6 สำหรับหลักห้าหลัก จำนวนนั้นจะมากกว่า 500,000 ก็ต่อเมื่อหลักแสนเป็น 6 ความน่าจะเป็นที่หลักแสน (ซึ่งสามารถเป็น 1, 2, 3, 4 หรือ 6) เป็น 6 คือ $\boxed{\frac{1}{5}}$ | \boxed{\frac{1}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ $1$ ถึง $800$ (รวม) จำนวนเท่าใดที่มีเลขหลัก $6$ อย่างน้อยสองหลัก (จำนวน $266$ และ $663$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีเลขหลัก $6$ อย่างน้อยสองหลัก แต่ $430$ หรือ $16$ ไม่ใช่) | มี $10$ จำนวนที่มีเลขหลัก $6$ อยู่หลักร้อยและหลักหน่วย
มี $10$ จำนวนที่มีเลขหลัก $6$ อยู่หลักร้อยและหลักสิบ
มี $8$ จำนวนที่มีเลขหลัก $6$ อยู่หลักสิบและหลักหน่วย (จำไว้ว่าเรามีจำนวนตั้งแต่ $1$ ถึง $800$ )
บวกกันได้ $10+10+8 = 28$ อย่างไรก็ตาม เรานับ $666$ สามครั้ง ดังนั้นลบ $2$ จาก $28$ เพื่อให้ได้ $\boxed{26}$ จำนวนที่มีเลขหลัก $6$ อย่างน้อยสองหลัก | 26 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดศูนย์กลางของวงรีซึ่งมีสมการ $9x^2 + 72x + 4y^2 - 8y - 176 = 0.$ | จัดรูปสมการโดยการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[9(x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 = 324.\]ดังนั้น
\[\frac{(x + 4)^2}{36} + \frac{(y - 1)^2}{81} = 1.\]ด้วยเหตุนี้ จุดศูนย์กลางของวงรีคือ $\boxed{(-4,1)}.$ | \boxed{(-4,1)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับสมภาค $30x \equiv 42 \pmod{47}$ | สังเกตว่า 6 หาร $30x$ และ $42$ ลงตัว และเนื่องจาก 6 ค่อนข้างสมภาคกับ 47 เราสามารถเขียนได้ว่า $5x \equiv 7 \pmod{47}$. สังเกตว่า $5 \cdot 19 = 95 = 2(47) + 1$ ดังนั้น 19 คือส่วนผกผันแบบโมดูลาร์ของ 5 โมดูล 47 เราคูณทั้งสองข้างของสมภาคที่กำหนดด้วย 19 เพื่อให้ได้ $95x \equiv 19(7) \pmod{47}\implies x \equiv \boxed{39} \pmod{47}$. | 95x \equiv 19(7) \pmod{47}\implies x \equiv \boxed{39} \pmod{47} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7,\]จงหาค่าของ
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix}.\] | เราทราบว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7.\]ถ้าเราคูณแถวที่สองด้วย 2 จะได้
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d & 2e & 2f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]การบวกห้าเท่าของแถวที่สามเข้ากับแถวที่สองจะไม่เปลี่ยนค่าของดีเทอร์มิแนนต์:
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]จากนั้นการคูณแถวที่สามด้วย $-1$ จะให้เรา
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix} = \boxed{14}.\] | 14 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ \[ x = \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} ?\] | สังเกตว่า \[ \frac{1}{x} = 2 - \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} = 2 - x, \] เราเพียงแค่ต้องแก้สมการกำลังสอง $x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = 0$ ดังนั้นเราจะได้ $x = \boxed{1}$ | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $101010_5$ ในระบบเลขฐานสิบ | $101010_5 = 0\cdot5^{0}+1\cdot5^{1}+0\cdot5^{2}+1\cdot5^{3}+0\cdot5^{4}+1\cdot5^{5} = 5+125+3125 = \boxed{3255}$ | 3255 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ $y=\frac{x+1}{x^2-2x+1}$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้ง | เราเริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบของส่วน: $y=\frac{x+1}{(x-1)^2}$. จะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=a$ สำหรับฟังก์ชันตรรกยะ ถ้าส่วนเป็นศูนย์เมื่อ $x=a$ (ยกเว้นเมื่อ $x-a$ เป็นตัวประกอบของเศษส่วนด้วย และมี multiplicity เท่ากันในส่วน) ค่าของ $x$ ที่ทำให้เกิดขึ้นได้คือ $x=\boxed{1}$ เท่านั้น | x=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หนังสือที่มี 50 หน้าถูกกำหนดหมายเลขหน้าจาก 1 ถึง 50 จากนั้นหน้าของมันถูกกำหนดหมายเลขใหม่ในแนวกลับกัน จาก 50 ถึง 1 มีกี่หน้าที่ตัวเลขหลักหน่วยของหมายเลขหน้าทั้งสองชุดเหมือนกัน? | สำหรับหน้าใดๆ ผลรวมของหมายเลขหน้าเดิมและหมายเลขหน้าใหม่คือ 51 ซึ่งเป็นจำนวนคี่ ดังนั้นไม่มีหน้าใดที่หมายเลขหน้าทั้งสองชุดมีหลักหน่วยเหมือนกัน และคำตอบคือ $\boxed{0}$ | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สร้างครึ่งวงกลมตามด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 นิ้วและ 8 นิ้ว ครึ่งวงกลมที่วางอยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉากถูกแรเงา ดังแสดงในรูป พื้นที่รวมของบริเวณรูปพระจันทร์เสี้ยวที่ไม่แรเงา 2 บริเวณมีค่าเท่าใด แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด
[asy]
unitsize(0.4cm);
size(101);
pair A = (0,3), B = (0,0), C = (4,0);
filldraw(A..B..C--cycle,gray(0.6),black);
draw(A--B--C);
draw(Arc(A/2,3/2,90,270)^^Arc(C/2,2,0,-180)); draw(rightanglemark(A,B,C));
[/asy] | ให้ $A,B$ เป็นพื้นที่ของครึ่งวงกลมบนด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก และให้ $C$ เป็นพื้นที่ของครึ่งวงกลมบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส $A + B = C$.
พื้นที่ของสามเหลี่ยมบวกกับพื้นที่ของครึ่งวงกลม 2 วง คือ
\[A + B + \frac{6 \cdot 8}{2} = A + B + 24.\]แต่สิ่งนี้ก็คือพื้นที่ที่เราสนใจ บวกกับ $C$ ด้วย ดังนั้น คำตอบคือ $A + B + 24 - C = \boxed{24}$. | A + B + 24 - C = \boxed{24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนจริงสองจำนวนที่เลือกสุ่มระหว่าง $0$ และ $2$ ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของกำลังสองของมันจะไม่เกิน $4$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนร่วมที่เรียบง่ายในรูปของ $\pi$. | ให้จำนวนทั้งสองเป็น $x$ และ $y$. เซตของคู่ $(x,y)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะต้องสอดคล้องกับอสมการ $0<x<2$ และ $0<y<2$; เราสามารถวาดกราฟจุดเหล่านี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมบนระนาบ $x-y$ โดยมีจุดยอด $(0,0),(2,0),(2,2)$ และ $(0,2)$. รูปสี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่ $4$.
[asy]
unitsize(1.5 cm);
filldraw(arc((0,0),2,0,90)--(0,0)--cycle,gray(0.7));
draw((0,0)--(2,0)--(2,2)--(0,2)--cycle);
label("$0$", (0,0), S);
label("$2$", (2,0), S);
label("$x$", (2,0), E);
label("$0$", (0,0), W);
label("$2$", (0,2), W);
label("$y$", (0,2), N);
[/asy]
เราต้องการหาพื้นที่ของเซตของจุดที่ยังสอดคล้องกับ $x^2+y^2\le 4$. เซตของคู่ลำดับที่สอดคล้องกับอสมการนี้คือวงกลมที่มีรัศมี $2$ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด
ส่วนที่ทับซ้อนกันระหว่างวงกลมและรูปสี่เหลี่ยมคือส่วนของวงกลมในควอดรันที่หนึ่งที่มีรัศมี $2$. บริเวณนี้มีพื้นที่ $\frac{1}{4}(2)^2 \pi = \pi$.
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $\boxed{\frac{\pi}{4}}$. | \boxed{\frac{\pi}{4}} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $\frac{a}{b}$ คือความน่าจะเป็นที่ส่วนกลับของจำนวนเต็มบวกคี่ที่เลือกสุ่มน้อยกว่า 2010 จะให้ทศนิยมสิ้นสุด โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน จงหา $a+b$ | มีจำนวนเต็มบวก 2009 ตัวน้อยกว่า 2010 โดยมี 1005 ตัวเป็นจำนวนคี่ ถ้า $\frac{1}{n}$ เท่ากับทศนิยมสิ้นสุด $n$ จะหารด้วย 2 และ 5 เท่านั้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเรามีข้อจำกัดเพิ่มเติมที่ $n$ เป็นจำนวนคี่ $n$ ต้องเป็นกำลังของ 5 มีห้ากำลังของ 5 น้อยกว่า 2010 \begin{align*}
5^0 &= 1 \\
5^1 &= 5 \\
5^2 &= 25 \\
5^3 &= 125 \\
5^4 &= 625
\end{align*} โปรดทราบว่า $5^5 = 3125$ เนื่องจากมีจำนวนเต็มคี่ห้าตัวที่ตรงตามเงื่อนไขที่เราต้องการ ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $\frac{5}{1005} = \frac{1}{201}$ นี่คือพจน์ที่ง่ายที่สุด ดังนั้นคำตอบของเราคือ $1+201 = \boxed{202}$ | 1+201 = \boxed{202} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่มีหลักเป็นสองเท่าเมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 เทียบกับเมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 3 แสดงคำตอบในระบบเลขฐาน 10 | เราพิจารณาจำนวนเต็มที่มี 2 หลักในระบบเลขฐาน 2 และ 1 หลักในระบบเลขฐาน 3 จำนวนเต็มดังกล่าวต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $10_2 = 2$ แต่มีค่าน้อยกว่า $10_3 = 3$ จำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขคือ 2
ต่อไปเราพิจารณาจำนวนเต็มที่มี 4 หลักในระบบเลขฐาน 2 และ 2 หลักในระบบเลขฐาน 3 จำนวนเต็มดังกล่าวต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $1000_2 = 2^3$ แต่มีค่าน้อยกว่า $100_3 = 3^2$ จำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขคือ 8
ต่อไปเราพิจารณาจำนวนเต็มที่มี 6 หลักในระบบเลขฐาน 2 และ 3 หลักในระบบเลขฐาน 3 จำนวนเต็มดังกล่าวต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $100000_2 = 2^5$ แต่มีค่าน้อยกว่า $1000_3 = 3^3$ ไม่มีจำนวนเต็มดังกล่าวที่ตรงตามเงื่อนไข เพราะ $2^5 > 3^3$
ถ้าเราดำเนินการในลักษณะนี้ต่อไป เราอาจสงสัยว่าไม่มีคำตอบอื่นๆ อีก มาพิสูจน์กัน ถ้าจำนวนเต็ม $N$ มี $2d$ หลักในระบบเลขฐาน 2 แล้ว $N\ge 2^{2d-1}$ แต่ถ้า $N$ มีเพียง $d$ หลักในระบบเลขฐาน 3 แล้ว $N<3^d$ คำตอบร่วมกันเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ $$2^{2d-1}<3^d.$$เราสามารถจัดเรียงอสมการนี้ใหม่เป็น $$\left(\frac 43\right)^d < 2.$$โดยการตรวจสอบ เราพบว่าอสมการนี้เป็นจริงสำหรับ $d=1,2$ แต่ไม่เป็นจริงสำหรับ $d=3$ และไม่เป็นจริงสำหรับ $d$ ที่มีค่ามากกว่า เพราะด้านซ้ายมือจะเพิ่มขึ้นเมื่อ $d$ เพิ่มขึ้น สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าไม่มีคำตอบ $N$ ที่อยู่เหนือคำตอบที่เราพบแล้ว: 2 และ 8 ผลรวมของ 2 และ 8 คือ $\boxed{10}$. | \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด
\[\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} \quad \text{และ} \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -11 \\ 1 \\ 28 \end{pmatrix}.\]มีเวกเตอร์ $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{d}$ ที่ทำให้เส้นตรงที่ผ่าน $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ สามารถเขียนอยู่ในรูป
\[\mathbf{v} = \mathbf{p} + \mathbf{d} t.\]นอกจากนี้ สำหรับ $\mathbf{d}$ ที่เลือกมาอย่างหนึ่ง จะเป็นจริงว่า สำหรับทุกจุด $\mathbf{v}$ ที่อยู่บนด้านเดียวกันของ $\mathbf{a}$ ที่ $\mathbf{b}$ อยู่ ระยะห่างระหว่าง $\mathbf{v}$ และ $\mathbf{a}$ คือ $t$ จงหา $\mathbf{d}$. | จากสมบัติที่กำหนด ระยะห่างระหว่าง $\bold{v}$ และ $\bold{a}$ เป็น 0 เมื่อ $t = 0$ ดังนั้น $\bold{v} = \bold{a}$ แต่สมการ $\bold{v} = \bold{p} + \bold{d} t$ จะกลายเป็น
\[\bold{v} = \bold{p}\]เมื่อ $t = 0$ ดังนั้น $\bold{p} = \bold{a}$ ดังนั้นสมการของเส้นตรงคือ
\[\bold{v} = \bold{a} + \bold{d} t.\]นอกจากนี้ เวกเตอร์ $\bold{b}$ อยู่บนเส้นตรง และระยะห่างระหว่าง $\bold{a}$ และ $\bold{b}$ คือ
\[\|\bold{a} - \bold{b}\| = \left\| \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -11 \\ 1 \\ 28 \end{pmatrix} \right\| = \left\| \begin{pmatrix} 16 \\ -4 \\ -32 \end{pmatrix} \right\| = \sqrt{16^2 + (-4)^2 + (-32)^2} = 36.\]ดังนั้น ค่าของ $t$ ที่ทำให้ $\bold{b} = \bold{a} + \bold{d} t$ คือ $t = 36$ ซึ่งหมายความว่า
\[\begin{pmatrix} -11 \\ 1 \\ 28 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} + 36 \bold{d}.\]แยก $\bold{d}$ เราจะได้
\[\bold{d} = \boxed{\begin{pmatrix} -4/9 \\ 1/9 \\ 8/9 \end{pmatrix}}.\] | \bold{d} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\displaystyle{(2^3)}^{\frac{4}{3}}$ | เราได้ว่า $(2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^{3\cdot \frac{4}{3}} = 2^4 = \boxed{16}$ | 16 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $|1-4i|$ | เราได้ว่า $|1-4i| = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \boxed{\sqrt{17}}$ | |1-4i| = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \boxed{\sqrt{17}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $d$ และ $e$ เป็นคำตอบของสมการ $2x^2 + 3x - 5=0$ จงหาค่าของ $(d-1)(e-1)$ | เนื่องจาก $0 = 2x^2 + 3x -5 = (2x+5)(x-1)$ เราได้ $d = -\frac{5}{2}$ และ $e = 1.$
ดังนั้น $(d-1)(e-1) =\boxed{0}$. | (d-1)(e-1) =\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มฐานสิบกี่จำนวนที่อยู่ในรูป 4 หลักในระบบเลขฐานสาม และอยู่ในรูป 2 หลักในระบบเลขฐานหก | จำนวนเต็มฐานสิบที่อยู่ในรูป 4 หลักในระบบเลขฐานสาม มีค่าตั้งแต่ $1000_3=3^3=27$ ถึงน้อยกว่า $10000_3=3^4=81$ จำนวนเต็มฐานสิบที่อยู่ในรูป 2 หลักในระบบเลขฐานหก มีค่าตั้งแต่ $10_6=6^1=6$ ถึงน้อยกว่า $100_6=6^2=36$ ดังนั้น สำหรับจำนวน $n$ ใดๆ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข จะต้องเป็นไปตาม $27\le n <36$ $n$ อาจเป็นจำนวนตั้งแต่ 27 ถึง 35 รวมทั้งหมด ซึ่งหมายความว่ามีจำนวนเต็ม $oxed{9}$ จำนวนที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
35 นักเรียนเข้าร่วมการประชุมชมรมคณิตศาสตร์ จำนวนนักเรียนหญิงที่ประชุมเป็นทวีคูณของ 13 และมีนักเรียนหญิงมากกว่านักเรียนชายที่เข้าร่วมการประชุม มีกี่คนเป็นนักเรียนชายที่ประชุม | เราสมมติว่าจำนวนนักเรียนหญิงเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและไม่เกิน 35 ทวีคูณของ 13 ที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า 35 คือ 0, 13 และ 26 เนื่องจากจำนวนนักเรียนหญิงมากกว่าจำนวนนักเรียนชาย ตัวเลือกที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวคือมี 26 นักเรียนหญิง นั่นหมายถึงมี $35-26 = \boxed{9}$ นักเรียนชายที่ประชุม | 35-26 = \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $5a=-4b+5$ และ $3a=-2b+3$ แล้ว $6b$ มีค่าเท่าใด | เริ่มต้นด้วยการแก้ระบบสมการ egin{align*}
5a&=-4b+5, \\
3a&=-2b+3.
\end{align*} ลบสองเท่าของสมการที่สองจากสมการแรก เราจะได้ $5a-2(3a)=-4b+5-2(-2b+3)$ ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น $-a=-1$ ดังนั้น $a=1$ และแทนค่านี้ลงในสมการแรก เราจะได้ $5=-4b+5$ แก้สมการเพื่อหาค่า $b$ เราพบว่า $b=0$ ดังนั้น $6b=6\cdot 0=\boxed{0}$ | 6b=6\cdot 0=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $\log_8a+\log_4b^2=5$ และ $\log_8b+\log_4a^2=7$ จงหาค่าของ $ab$ | ให้ $p = ab$ เราบวกสมการที่กำหนดให้ทั้งสองสมการเข้าด้วยกัน ได้ \[\begin{aligned} (\log_8 a + \log_4 b^2) + (\log_8 b + \log_4 a^2) &= 12 \\ \log_8 (ab) + \log_4 (a^2b^2)& = 12 \\ \log_8 p + \log_4 p^2 &= 12 \\ \log_8 p + 2 \log_4 p &= 12. \end{aligned} \]โดยใช้สูตรการแปลงฐาน เราได้ \[\log_8 p = \frac{\log_4 p}{\log_4 8} = \frac{\log_4 p}{3/2} = \frac{2}{3} \log_4 p,\]ดังนั้นเราสามารถเขียนลอการิทึมทั้งสองในรูปฐาน $4$ ได้: \[ \tfrac{2}{3} \log_4 p + 2 \log_4 p = 12, \]หรือ $\tfrac{8}{3} \log_4 p =12$ ดังนั้น $\log_4 p = 12 \cdot \tfrac{3}{8} = \tfrac{9}{2}$ ดังนั้น \[p = 4^{9/2} = 2^9 = \boxed{512}.\] | 512 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $c$ เป็นค่าคงที่ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งทำให้ $x^2+cx+9c$ เท่ากับกำลังสองของทวินาม แล้ว $c$ มีค่าเท่าใด | ถ้า $x^2+cx+9c$ เป็นกำลังสองของทวินาม ดังนั้น เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เป็น 1 ทวินามต้องอยู่ในรูป $x+a$ สำหรับค่า $a$ ใดๆ ดังนั้น เราได้ $$(x+a)^2 = x^2+cx+9c.$$เมื่อขยายด้านซ้ายมือ เราได้ $$x^2 + 2ax + a^2 = x^2 + cx + 9c.$$สัมประสิทธิ์ของ $x$ ต้องเท่ากัน ดังนั้น $2a=c$ นอกจากนี้ พจน์คงตัวต้องเท่ากัน ดังนั้น $a^2=9c$ ซึ่งให้ $c=\frac{a^2}{9}$ เรามีสองนิพจน์ของ $c$ ในรูปของ $a$ ดังนั้นเราตั้งให้เท่ากัน: $$2a = \frac{a^2}{9}.$$เพื่อแก้หา $a$ เราลบ $2a$ จากทั้งสองข้าง: $$0 = \frac{a^2}{9} - 2a$$แล้วแยกตัวประกอบ: $$0 = a\left(\frac{a}{9}-2\right),$$ซึ่งมีคำตอบ $a=0$ และ $a=18$.
สุดท้าย เราได้ $c=2a$ ดังนั้น $c=0$ หรือ $c=36$ แต่เราต้องการคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นเราจึงปฏิเสธ $c=0$ เราได้ $c=\boxed{36}$.
(ตรวจสอบ เราพบว่า $x^2+36x+9\cdot 36$ เท่ากับ $(x+18)^2$.) | 36 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเส้นตรง $AB$ มีความยาว 4 เซนติเมตร และเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $P$ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ จุด $C$ อยู่บนวงกลม $P$ และ $BC = 2$ เซนติเมตร พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาคือเท่าไร?
[asy]
import graph;
fill(Circle((0,0),20),gray(0.7));
draw(Circle((0,0),20));
draw((-16,12)--(16,-12)--(0,-20)--cycle);
fill((-16,12)--(16,-12)--(0,-20)--cycle,white);
label("$A$",(-16,12),NW);
label("$B$",(16,-12),SE);
label("$C$",(0,-20),S);
label("$P$",(0,0),N);
dot((-16,12));
dot((16,-12));
dot((0,0));
dot((0,-20));
[/asy] | พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาเท่ากับพื้นที่ของวงกลมลบด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของวงกลมคือ $2^2\pi=4\pi$ เพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เราจะมองหาข้อมูลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากมุม $ACB$ ตัด $180^\circ$ ของวงกลม เราทราบว่า $m\angle ACB=\frac{180^\circ}2=90^\circ$ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม $ACB$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจาก $AB=4$ และ $BC=2$ ดังนั้น $AC=2\sqrt{3}$ และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $ACB$ เท่ากับ $\frac{2\cdot2\sqrt{3}}2=2\sqrt{3}$ ดังนั้น พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาคือ $\boxed{4\pi - 2\sqrt{3}}$ | \boxed{4\pi - 2\sqrt{3}} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่า $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 + 8x + y^2 + 4y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 3 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เรา $(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 20 - c$ เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 3 หน่วย เราต้องมี $20 - c = 3^2$ ดังนั้น $c = \boxed{11}$ | c = \boxed{11} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(8-4)!\div(8-3)!$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | $(8-4)!\div(8-3)!=4!\div5!=4!\div(4!\cdot5)=\boxed{\frac{1}{5}}$. | $\boxed{\frac{1}{5}}$ | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดว่า $591{,}3d8$ หารด้วย 12 ลงตัว จงหาผลรวมของเลขโดดทั้งหมดที่สามารถแทนที่ $d$ ได้ | เพื่อให้จำนวนใดหารด้วย 12 ลงตัว จำนวนนั้นต้องหารด้วย 4 และ 3 ลงตัว เพื่อให้จำนวนใดหารด้วย 4 ลงตัว สองหลักสุดท้ายของจำนวนนั้นต้องหารด้วย 4 ลงตัว ในปัญหานี้ จำนวน $d8$ ต้องหารด้วย 4 ลงตัว ซึ่งจำกัดค่าที่เป็นไปได้ของ $d$ ไว้ที่ $0$, $2$, $4$, $6$ และ $8$ เพื่อให้จำนวนใดหารด้วย 3 ลงตัว ผลรวมของเลขโดดของจำนวนนั้นต้องหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจาก $5+9+1+3+8=26$ ตัวเลขที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้คือ $1$, $4$ และ $7$ เลขโดดเพียงตัวเดียวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสองคือ $d=4$ ดังนั้น ผลรวมของเลขโดดทั้งหมดที่สามารถแทนที่ $d$ ได้คือ $\boxed{4}$ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อาณานิคมของแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง ในเวลา 1:00 น. มีแบคทีเรีย 10 ตัวอยู่ในจานเพาะเชื้อ ในเวลา 21:00 น. ในวันเดียวกัน ประชากรแบคทีเรียมีจำนวนเท่าไร | ทุกชั่วโมง ประชากรแบคทีเรียจะถูกคูณด้วย 2 ในเวลา 14:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าครั้งหนึ่ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2$ ตัว ในเวลา 15:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าสองครั้ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2\cdot2$ ตัว เป็นต้น ในเวลา 21:00 น. อาณานิคมแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า 8 ครั้ง ดังนั้นจึงมีแบคทีเรีย $10\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$ หรือ $10\cdot2^8$ ตัว ดังนั้นเราจะได้ $$10\cdot2^8=10\cdot256=\boxed{2560}\mbox{ แบคทีเรีย.}$$ | 2560 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดยอดทั้งสี่อยู่บนตารางจุด 5 x 5 ดังภาพ [asy]
size(50);
for(int i = 0; i < 5; ++i){
for(int j = 0; j < 5; ++j){
dot((i,j));
}
}
draw((0,4)--(1,4)--(1,3)--(0,3)--cycle,linewidth(0.7));
draw((2,0)--(4,1)--(3,3)--(1,2)--cycle,linewidth(0.7));
[/asy] | ระบุขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นไปได้ทั้งหมด และนับจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละขนาดแยกกัน
\[
\begin{array}{cc}
\text{ขนาด} & \text{จำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัส} \\ \hline
\rule{0pt}{12pt}1\times 1 & 16 \\
2 \times 2 & 9 \\
3 \times 3 & 4 \\
4 \times 4 & 1 \\
\sqrt{2}\times\sqrt{2} & 9 \\
\sqrt{5}\times\sqrt{5} & 8 \\
\sqrt{8}\times\sqrt{8} & 1 \\
\sqrt{10}\times\sqrt{10} & 2
\end{array}
\] ผลรวมของตัวเลขในคอลัมน์ที่สองคือ $\boxed{50}$.
หมายเหตุ: ความยาวด้านที่เป็นไปได้ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วาดบนตารางจุดสี่เหลี่ยมที่มีจุด $n^2$ จุด คือจำนวนจริงในรูป $\sqrt{x^2+y^2}$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบที่สอดคล้องกับ $x+y\leq n-1$. | x+y\leq n-1 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, และ $\alpha_4$ เป็นรากที่แตกต่างกันสี่รากของสมการ $x^4+2x^3+2=0$ จงหาเซตที่ไม่เรียงลำดับ \[
\{\alpha_1\alpha_2 + \alpha_3\alpha_4, \alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_4, \alpha_1\alpha_4 + \alpha_2\alpha_3\}.
\] | ใช้พหุนามสมมาตร ($s_1 = \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4 = -2$, $s_2 = \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_1\alpha_4 + \alpha_2\alpha_3 + \alpha_2\alpha_4 + \alpha_3\alpha_4 = 0$, $s_3 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3\alpha_4 + \alpha_3\alpha_4\alpha_1 + \alpha_4\alpha_1\alpha_2 = 0$, and $s_4 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4 = 2$) เราพิจารณาพหุนาม \[
P(x) = (x-(\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4))(x-(\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_4))(x-(\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3))
\]เนื่องจาก $P$ สมมาตรกับ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ เราสามารถแสดงสัมประสิทธิ์ของรูปที่ขยายของมันในรูปของพหุนามสมมาตร เราคำนวณ \begin{eqnarray*}
P(x) & = & x^3 - s_2x^2 + (s_3s_1-4s_4)x + (-s_3^2-s_4s_1^2+s_4s_2) \\
& = & x^3 - 8x - 8 \\
& = & (x+2)(x^2-2x-4)
\end{eqnarray*}รากของ $P(x)$ คือ $-2$ และ $1 \pm \sqrt{5}$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{\{1\pm\sqrt{5},-2\}}.$
$\textbf{หมายเหตุ:}$ ง่ายต่อการหาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $x$ โดยการขยาย และสัมประสิทธิ์คงที่สามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องขยายและแยกตัวประกอบ $(\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4)(\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_4)(\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3)$ โดยสังเกตว่านิพจน์ดีกรีที่หกที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวใน $s_1, s_2, s_3,$ และ $s_4$ คือ $s_1^6$ และ $s_4s_1^2$ พหุนาม $P$ ทั่วไปที่สร้างขึ้นที่นี่เรียกว่า resolvent ลูกบาศก์และเกิดขึ้นในทฤษฎี Galois. | P | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สิบมากกว่าห้าเท่าของจำนวนหนึ่งเท่ากับห้ามากกว่าสิบเท่าของจำนวนนั้น จำนวนนั้นคือเท่าไร? | ถ้าจำนวนนั้นคือ $x$ เราจะได้ $5x+10=10x+5$ ลบ 5 และ $5x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $5=5x$ ดังนั้น $x=\boxed{1}$ | x=\boxed{1} | [
"จำแนก",
"แก้ปัญหา"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น $7a^3(3a^2 - a) - 8a(2a - 4)$ | ทำให้ง่ายขึ้น, เราได้: \begin{align*}
&\ \ \ \ 7a^3(3a^2 - a) - 8a(2a - 4) \\&= 7a^3(3a^2) + 7a^3(-a) - 8a(2a) - 8a(-4) \\
&= \boxed{21a^5 - 7a^4 - 16a^2 + 32a}.\end{align*} | [
"ประยุกต์"
] | |
แก้สมการหาค่า $x$: $$\log_2 \frac{2x+8}{x+2} +\log_2\frac{x+2}{x-5}=3$$ | เริ่มต้นด้วยการรวมลอการิทึม: $$\log_2\left (\frac{2x+8}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x-5}\right. )=3$$สังเกตว่า $x+2$ ยกเลิกกัน เราจะเหลือ: $$\log_2\left(\frac{2x+8}{x-5}\right)=3$$ต่อไป นำลอการิทึมออกและแก้สมการ: \begin{align*}
\frac{2x+8}{x-5}&=2^3\\
\Rightarrow\qquad 2x+8&=8(x-5)\\
\Rightarrow\qquad 2x+8&=8x-40\\
\Rightarrow\qquad 48&=6x\\
\Rightarrow\qquad \boxed{8}&=x.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
วงรีวงหนึ่งกำหนดโดย
\[PF_1 + PF_2 = d.\]สมการของวงรีคือ $4x^2 - 8x + y^2 + 4y - 8 = 0.$ จงหาค่า $d.$ | จัดรูปสมการโดยวิธีการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[4(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16.\]ดังนั้น
\[\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{16} = 1.\]เพราะฉะนั้น $d = 2 \cdot 4 = \boxed{8}.$ | d = 2 \cdot 4 = \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.