question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาค่าของ $x$ ถ้า $x$ เป็นจำนวนบวกและ $x\cdot\lfloor x\rfloor=70$ แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เราทราบว่า $\lfloor x\rfloor \leq x < \lfloor x\rfloor + 1$ นั่นหมายความว่า $\lfloor x\rfloor^2 \leq x\cdot\lfloor x\rfloor < \left(\lfloor x\rfloor + 1\right)^2$ สำหรับค่าของ $x$ ทุกค่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจาก $x\cdot\lfloor x\rfloor=70$ และ $8^2<70<9^2$ เราสามารถสรุปได้ว่า $8<x<9\Longrightarrow\lfloor x\rfloor=8$ จากนั้นเราเพียงแค่หารเพื่อให้ได้ว่า $x=\frac{70}{8}=\boxed{8.75}$ | 8.75 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A = (\sqrt{2008}+\sqrt{2009}),$ $B = (-\sqrt{2008}-\sqrt{2009}),$ $C = (\sqrt{2008}-\sqrt{2009}),$ และ $D = (\sqrt{2009}-\sqrt{2008}),$ จงหาค่าของ $ABCD.$ | เราสามารถใช้ผลต่างของกำลังสอง เพื่อดูว่า $$(\sqrt{2009}+\sqrt{2008})(\sqrt{2009}-\sqrt{2008})=2009-2008=1$$ และ $$( -\sqrt{2009}+\sqrt{2008})(-\sqrt{2009}-\sqrt{2008})=2009-2008=1$$ ดังนั้นผลคูณคือ $\boxed{1}$. | 1 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x^2+y^2=1$ แล้วค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $|x|+|y|$ คือเท่าใด | ถ้า $(x,y)$ อยู่บนวงกลม ดังนั้น $(x,-y),$ $(-x,-y),$ และ $(-x,-y)$ ก็เช่นกัน (ซึ่งให้ค่า $|x| + |y|$ เท่ากัน) ดังนั้นเราสามารถสมมติได้ว่า $x \ge 0$ และ $y \ge 0.$
จากนั้น $|x| + |y| = x + y.$ ยกกำลังสองได้
\[(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 1 + 2xy.\]สังเกตว่า $(x - y)^2 \ge 0.$ ขยายได้ $x^2 - 2xy + y^2 \ge 0,$ ดังนั้น $2xy \le x^2 + y^2 = 1.$ ดังนั้น,
\[1 + 2xy \le 2,\]ซึ่งหมายความว่า $x + y \le \sqrt{2}.$ ค่าเท่ากันเมื่อ $x = y = \frac{1}{\sqrt{2}},$ ดังนั้นค่าสูงสุดของ $|x| + |y|$ คือ $\boxed{\sqrt{2}}.$ | \sqrt{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ค่าของ $\log_{10}{17}$ อยู่ระหว่างจำนวนเต็มติดต่อกัน $a$ และ $b$ จงหา $a+b$ | เราทราบว่า $\log_{10}10=1$ และ $\log_{10}100=2$ เนื่องจาก $\log_{10}x$ เพิ่มขึ้นเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น เราทราบว่า $\log_{10}10<\log_{10}17<\log_{10}100$ ซึ่งหมายความว่า $1<\log_{10}17<2$ ดังนั้นผลบวกที่ต้องการคือ $1+2=\boxed{3}$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\sqrt{\frac{2}{x} + 2} = \frac{3}{2}$ จงหาค่าของ $x$ | ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการจะได้ $\frac 2x + 2 = \frac 94$ ลบ $2$ จากทั้งสองข้างจะได้ $\frac 2x = \frac 14$ ดังนั้น $x = \boxed{8}$ | 8 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าเส้นตรง $2y - 2a = 6x$ และ $y + 1 = (a + 6)x$ ขนานกัน จงหาค่าของ $a$ | จัดสมการเส้นตรงแรกให้อยู่ในรูป $y = mx + c$ จะได้ $y = 3x + a$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ 3 ทำนองเดียวกัน สมการเส้นตรงที่สองจะอยู่ในรูป $y = (a + 6)x - 1$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ $a + 6$ เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองขนานกัน ค่าความชันจะเท่ากัน: $3 = a + 6 \Rightarrow a = \boxed{-3}$ | -3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: \[(9x^5+25x^3-4)-(x^5-3x^3-4).\] | ก่อนอื่น ให้รวมพจน์ที่คล้ายกันในนิพจน์: \begin{align*}
(9x^5&+25x^3-4)-(x^5-3x^3-4)\\
&=9x^5+25x^3-4-x^5+3x^3+4\\
&=8x^5+28x^3.
\end{align*} เราสามารถแยกตัวประกอบ $4x^3$ ออกจากนิพจน์ได้ ซึ่งจะได้ \[8x^5+28x^3=\boxed{4x^3(2x^2+7)}.\] | 4x^3(2x^2+7) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $\frac{x-3}{4x}$ มีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับค่าของ $x$ ใด | เศษส่วนจะมีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $x-3=0$ ดังนั้น $x=\boxed{3}$ (โปรดทราบว่าที่ค่า $x$ นี้ ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์) | 3 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ในปี ค.ศ. 1960 มีรายงานผู้ป่วยโรคหัด 450,000 รายในสหรัฐอเมริกา ในปี ค.ศ. 1996 มีรายงานผู้ป่วย 500 ราย ถ้าจำนวนผู้ป่วยที่รายงานตั้งแต่ปี ค.ศ. 1960 ถึงปี ค.ศ. 1996 ลดลงตามเส้นตรง จะมีรายงานผู้ป่วยโรคหัดกี่รายในปี ค.ศ. 1987 | ในช่วง $1996-1960=36$ ปี จำนวนผู้ป่วยโรคหัดลดลง $450,\!000-500=449,\!500$ ราย ดังนั้น ในช่วง $1987-1960=27$ ปี จำนวนผู้ป่วยจะลดลง $\frac{27}{36}\cdot(449,\!500)=337,\!125$ ราย ดังนั้น จำนวนผู้ป่วยในปี ค.ศ. 1987 จะเป็น $450,\!000-337,\!125=\boxed{112,\!875}$ ราย ถ้าจำนวนผู้ป่วยลดลงตามเส้นตรง | 112,\!875 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด และสมมติว่า $f$ มีอินเวอร์ส (นั่นคือ $f^{-1}(x)$ มีอยู่สำหรับ $x$ ทั้งหมดในช่วงของ $f$)
ถ้ากราฟของ $y=f(x^2)$ และ $y=f(x^4)$ ถูกวาดขึ้น จุดตัดกันที่กี่จุด? | มีจุดตัดกันสำหรับแต่ละ $x$ ซึ่ง $f(x^2)=f(x^4)$ เนื่องจาก $f$ มีอินเวอร์ส สมการนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x^2=x^4$ เท่านั้น ดังนั้นเราจึงนับคำตอบของสมการนั้น เราสามารถจัดเรียงสมการ $x^2=x^4$ ใหม่ดังนี้: \begin{align*}
0 &= x^4-x^2 \\
0 &= x^2(x^2-1) \\
0 &= x^2(x+1)(x-1)
\end{align*}การแยกตัวประกอบครั้งสุดท้ายแสดงให้เห็นว่าคำตอบคือ $x=-1,0,1$ ดังนั้นกราฟของ $y=f(x^2)$ และ $y=f(x^4)$ ต้องตัดกันที่จุด $oxed{3}$ จุด | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของคำตอบของ: $|y|=2(|y|-1)$. | จัดรูปใหม่, $|y|=2.$ ดังนั้น $y=\pm 2$ และผลคูณของคำตอบคือ $\boxed{-4}.$ | -4 | [
"แก้ปัญหา"
] |
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีจุด $(6,8)$, $(-2, k)$ และ $(-10, 4)$ จงหาค่าของ $k$ | ความชันระหว่างจุดสองจุดแรกต้องเท่ากับความชันระหว่างจุดสองจุดหลัง เพราะทั้งสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นเราได้สมการ $\dfrac{k-8}{-2-6}=\dfrac{4-k}{-10-(-2)}.$ เมื่อแก้สมการหา $k$ จะได้ $k=\boxed{6}$. | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a=-3$ และ $b=2$ จงหาค่าของ $-a-b^3+ab$ | แทนค่าที่กำหนดให้ จะได้ $-a-b^3+ab=-(-3)-2^3+(-3)(2)=3-8-6=oxed{-11}$ | -11 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า 5 lunks สามารถแลกได้ 3 kunks และ 2 kunks จะซื้อได้ 4 แอปเปิล ต้องใช้ lunks กี่ตัวในการซื้อแอปเปิล 1 โหล? | 1 โหลแอปเปิลมี 12 แอปเปิล ซึ่งมีราคา 6 kunks (เนื่องจาก 4 แอปเปิลมีราคา 2 kunks) ซึ่งมีราคา 10 lunks (เนื่องจาก 3 kunks มีราคา 5 lunks). | 10 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อรถยนต์ใช้เบรก ระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ในแต่ละวินาทีจะน้อยลง 7 ฟุต จากวินาทีที่แล้ว จนกระทั่งหยุดนิ่ง รถยนต์วิ่งได้ 28 ฟุต ในวินาทีแรกหลังจากที่ใช้เบรก รถยนต์จะวิ่งได้ระยะทางเท่าไรตั้งแต่ใช้เบรกจนหยุดนิ่ง | จำนวนฟุตที่รถยนต์วิ่งในแต่ละวินาทีเป็นลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรก 28 และผลต่างร่วม $-7$ เราจะรวมพจน์บวกทั้งหมดในลำดับนี้ (พจน์เหล่านี้แทนจำนวนฟุตที่รถยนต์วิ่งในแต่ละวินาที) ดังนั้นเราต้องการหาผลรวม $28 + 21 + 14 + 7 = 70$ | 70 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่จำนวนเต็มบวก $A$, $B$, $C$ และ $D$ มีผลรวมเท่ากับ 36 ถ้า $A+2 = B-2 = C \times 2 = D \div 2$ จงหาค่าของผลคูณ $A \times B \times C \times D$ | เรามีว่า $A + B + C + D = 36$ แทนทุกอย่างในรูปของ $C$ เราพบว่า $(2C - 2) + (2C + 2) + C + (4C) = 36$ ซึ่งหมายความว่า $C = 4$ ดังนั้น $A = 6$, $B = 10$ และ $D = 16$ ดังนั้นคำตอบที่ต้องการคือ $6\cdot 10\cdot 16\cdot 4 = \boxed{3840}$ | 3840 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะถูกเรียกว่าเท่ห์ถ้าจำนวนหน่วยตารางในพื้นที่ของมันเท่ากับสองเท่าของจำนวนหน่วยในเส้นรอบรูปของมัน สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ห์ยังต้องมีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็มด้วย ผลรวมของพื้นที่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ห์คือเท่าไร | ให้ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $a$ และ $b.$ จะได้ว่า $ab=4(a+b).$ ขยายและย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้ายมือ $ab-4a-4b=0.$ บวก 16 เข้าไปในทั้งสองข้างเพื่อให้สามารถแยกตัวประกอบได้:
\[a(b-4)-4(b-4)=(a-4)(b-4)=16. \]จากจุดนี้ คู่ $(a,b)$ ที่ให้พื้นที่ต่างกันคือ $(5,20),$ $(6,12),$ และ $(8,8),$ และผลรวมของพื้นที่ที่เป็นไปได้คือ $\boxed{236}.$ | 236 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถังน้ำทรงกระบอกมีน้ำอยู่ $ rac{1}{5}$ ของความจุ ถ้าเติมน้ำ 3 ลิตร ถังน้ำจะเต็ม $ rac{1}{4}$ ถังน้ำมีปริมาตรกี่ลิตรเมื่อเต็ม? | ให้จำนวนลิตรของน้ำในถังเดิมเป็น $w$ และให้จำนวนลิตรของน้ำที่ถังสามารถจุได้เมื่อเต็มเป็น $c$ เดิมทีเรามีสมการ $ rac{w}{c}= rac{1}{5}$ คูณไขว้กันได้ $c = 5w$ หรือ $w= rac{c}{5}$ หลังจากเติมน้ำ 3 ลิตร เรามีสมการ $ rac{w+3}{c} = rac{1}{4}$ คูณไขว้กันได้ $c=4w+12$ แทนนิพจน์ก่อนหน้าของ $w$ ลงในสมการสุดท้ายนี้เพื่อกำจัด $w$ เราได้ $c=4( rac{c}{5})+12$ หรือ $c=60$ ดังนั้นจำนวนลิตรของน้ำที่ถังสามารถจุได้คือ $60$ | 60 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หน้าของหนังสือเล่มหนึ่งถูกหมายเลข $1_{}^{}$ ถึง $n_{}^{}$. เมื่อนำเลขหน้าของหนังสือเล่มนี้มาบวกกัน หนึ่งในเลขหน้าถูกบวกซ้ำสองครั้ง ทำให้ผลบวกผิดพลาดเป็น $1986_{}^{}$. เลขหน้าที่ถูกบวกซ้ำสองครั้งคือเลขหน้าใด | ถ้าเลขหน้าทั้งหมดถูกบวกเพียงครั้งเดียว ผลบวกจะเป็น \[1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.\]แต่เลขหน้าหนึ่งถูกบวกซ้ำสองครั้ง ดังนั้นช่วงของค่าที่เป็นไปได้สำหรับผลบวกที่ไม่ถูกต้องคือ $\left[\tfrac{n(n+1)}{2} + 1, \tfrac{n(n+1)}{2} + n\right].$ เราทราบว่าผลบวกที่ไม่ถูกต้องคือ $1986,$ ดังนั้นเราต้องมี \[\frac{n(n+1)}{2} + 1 \le 1986 \le \frac{n(n+1)}{2} + n.\]เราค้นหาค่าของ $n$ ที่สอดคล้องกับ שרשרีอสมการนี้ เราได้ $\tfrac{n(n+1)}{2} \approx 1986 \approx 2000,$ ดังนั้น $n(n+1) \approx n^2 \approx 4000,$ และ $n \approx \sqrt{4000} \approx 63.$ สำหรับ $n = 63,$ เราได้ $\tfrac{n(n+1)}{2} = 2016,$ ซึ่งมีค่ามากเกินไป สำหรับ $n=62,$ เราได้ $\tfrac{n(n+1)}{2} = 1953,$ ซึ่งใช้ได้ เพราะ \[1953 + 1 \le 1986 \le 1953 + 62.\]ดังนั้น เลขหน้าที่ถูกบวกซ้ำสองครั้งต้องเป็น \[1986 - 1953 = \boxed{33}.\] | 33 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $\lfloor\sqrt{80}\rfloor$. | เนื่องจาก $\sqrt{64}<\sqrt{80}<\sqrt{81}$, $\sqrt{80}$ ต้องเป็นจำนวนระหว่าง $8$ และ $9$ ดังนั้น จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $\sqrt{80}$ คือ $\boxed{8}$. | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x + 2y= 4$ และ $xy = -8$ จงหาค่าของ $x^2 + 4y^2$ | เราเห็นว่า $(x + 2y)^2 = (x^2 + 4y^2) + 4xy = 4^2 = 16$ เราต้องการหา $x^2 + 4y^2$ และกำหนดให้ $xy = -8$ ดังนั้น $x^2 + 4y^2 + 4xy = x^2 + 4y^2 + 4(-8) = 16$ ดังนั้น $x^2 + 4y^2 = \boxed{48}$ | 48 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มจำนวนใดมีกำลังสองน้อยกว่าสองเท่าของมัน | จำนวนเต็มคือ $\boxed{1}$ เนื่องจาก $1^2=1<2$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $b$ ใดบ้างที่ $-2$ ไม่อยู่ในช่วงของฟังก์ชัน $f(x)=x^2+bx+2$? แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | เราเห็นว่า $-2$ ไม่อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + bx + 2$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2 + bx + 2 = -2$ ไม่มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + bx + 4 = 0$ ตัวเลือกของสมการกำลังสองนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 4 = b^2 - 16$ สมการกำลังสองไม่มีรากจริงก็ต่อเมื่อตัวเลือกเป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 16 < 0$ หรือ $b^2 < 16$ เซตของค่าของ $b$ ที่สอดคล้องกับอสมการนี้คือ $b \in \boxed{(-4,4)}$ | (-4,4) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันและ $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f$ ถ้า $f(3)=4$, $f(5)=1$, และ $f(2)=5$ จงหาค่าของ $f^{-1}\left(f^{-1}(5)+f^{-1}(4)\right)$ | ถ้า $f(2)=5$ และ $f(3)=4$ ดังนั้น $f^{-1}(5)=2$ และ $f^{-1}(4)=3$ ตามลำดับ ดังนั้น $f^{-1}\left(f^{-1}(5)+f^{-1}(4)\right)=f^{-1}\left(2+3\right)=f^{-1}(5) = \boxed{2}$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ขณะที่กำลังดูการแสดงละครสัตว์ ฉันนับจำนวนนักกายกรรมและช้าง ฉันนับได้ 40 ขา และ 15 หัว มีนักกายกรรมกี่ตัวในโชว์? | ให้จำนวนนักกายกรรมในโชว์เป็น $a$ และจำนวนช้างเป็น $e$ เราต้องการหาค่าของ $a$ สมมติว่านักกายกรรมแต่ละตัวมี 2 ขา และ 1 หัว และช้างแต่ละตัวมี 4 ขา และ 1 หัว เราสามารถตั้งระบบสมการดังต่อไปนี้:
\begin{align*}
2a+4e &= 40 \\
a + e &= 15 \\
\end{align*}เพื่อหาค่า $a$ เราต้องกำจัด $e$ จากสมการข้างต้น เราสามารถเขียนสมการที่สองใหม่เป็น $e=15-a$ และแทนค่านี้ลงในสมการแรกเพื่อกำจัด $e$ จะได้ $2a+4(15-a) = 40$ หรือ $a=10$ ดังนั้นมีนักกายกรรม $\boxed{10}$ ตัวในโชว์ละครสัตว์ | 10 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ลูกบอลชนิดพิเศษถูกปล่อยจากหน้าต่างสูง 16 เมตรจากพื้นดิน ในแต่ละครั้งที่เด้งมันจะกระดอนขึ้น $\frac34$ ของระยะทางจากจุดสูงสุดก่อนหน้า ลูกบอลถูกจับเมื่อมันถึงจุดสูงสุดหลังจากกระแทกพื้นเป็นครั้งที่สาม ถึงเมตรที่ใกล้เคียงที่สุด ลูกบอลเดินทางไปไกลเท่าใด | ลูกบอลเดินทาง $16+16\cdot\frac34+16\cdot\left(\frac34\right)^2 = 16+ 12+9 = 37$ เมตร ในสามครั้งที่ตกลงมา ลูกบอลยังเดินทาง $16\cdot\frac34+16\cdot\left(\frac34\right)^2+16\cdot\left(\frac34\right)^3 = 12+9+\frac{27}4 = 27.75$ เมตร ในสามครั้งที่กระดอนขึ้น ดังนั้น ลูกบอลเดินทาง $37+27.75 = 64.75 \approx \boxed{65}$ เมตร ทั้งหมด | 65 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวน 1, 3, 6, 10, $\ldots$, เรียกว่าจำนวนสามเหลี่ยม ดังแสดงทางเรขาคณิตที่นี่ จำนวนสามเหลี่ยมตัวที่ 20 คือจำนวนใด
[asy]
dot((0,0));
label("1",(0,-1.5));
dot((3,0));
dot((4,0));
dot((3,1));
label("3",(3.5,-1.5));
dot((7,0));
dot((8,0));
dot((9,0));
dot((7,1));
dot((7,2));
dot((8,1));
label("6",(8,-1.5));
dot((12,0));
dot((13,0));
dot((14,0));
dot((15,0));
dot((12,1));
dot((13,1));
dot((14,1));
dot((12,2));
dot((13,2));
dot((12,3));
label("10",(13.5,-1.5));
[/asy] | จำนวนสามเหลี่ยมตัวที่ 20 คือ $1 + 2 + 3 + \cdots + 20 = \frac{(20)(21)}{2} = \boxed{210}$ | 210 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ตัวอักษรแต่ละตัวในตัวอักษรได้รับมอบหมายค่าจำนวนเต็มแบบสุ่ม และ $H=10$ ค่าของคำมาจากผลรวมของค่าของตัวอักษรของมัน หาก $MATH$ มี 35 คะแนน $TEAM$ มี 42 คะแนน และ $MEET$ มี 38 คะแนน ค่าของ $A$ คือเท่าไร | $MATH$ มี 35 คะแนน และ $H$ มี 10 คะแนน ดังนั้น $MAT$ มี 25 คะแนน $TEAM = E + MAT$ ดังนั้น $E = 42 - 25 = 17$ คะแนน $MEET$ มี 38 คะแนน และ $E$ มี 17 คะแนน ดังนั้น $MT = 38 - 2 \cdot 17 = 4$ คะแนน สุดท้าย เนื่องจาก $TEAM = E + MT + A$ เราสามารถแก้หา $A$ ได้: $17 + 4 + A = 42$ ดังนั้น $A= 42 - 17 - 4 = \boxed{21}$ คะแนน | 21 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $k$ ใดที่เส้นตรงที่แทนด้วยสมการ $1-kx = -3y$ ผ่านจุด $(4,-3)$? | เนื่องจาก $(4, -3)$ อยู่บนเส้นตรง เราแทนค่า $x = 4$ และ $y = -3$ ลงในสมการเพื่อให้ได้ $1 - 4k = -3\cdot -3 \Rightarrow k = \boxed{-2}$ | -2 | [
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ $58x^5-203x^{11}$ | เนื่องจาก $58=2\cdot29$ และ $203=7\cdot29$ เราสามารถแยกตัวประกอบ $29x^5$ ออกจากนิพจน์ได้ ดังนี้ $$58x^5-203x^{11}=\boxed{-29x^5(7x^6-2)}.$$ | -29x^5(7x^6-2) | [
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = x^2-2x + m$ และ $g(x) = x^2-2x + 4m$ เมื่อ $x = 4$ จงหาค่าของ $m$ ถ้า $2f(4) = g(4)$ | $2f(4)=g(4)$ ดังนั้น $2\left(16-8+m\right)=16-8+4m$ ขยายข้างซ้ายจะได้ $16+2m=8+4m$ หรือ $8=2m$ และ $m=\boxed{4}$ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าจริงของ $a$ ค่าใดบ้างที่นิพจน์ $\frac{a+3}{a^2-4}$ ไม่นิยาม? จงแสดงคำตอบของคุณตามลำดับที่เพิ่มขึ้นโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เมื่อส่วนเป็น 0 นิพจน์จะไม่นิยาม ดังนั้นเราจึงกำหนดส่วนให้เท่ากับ 0 และแก้สมการ: $$a^2-4=(a-2)(a+2)=0.$$ ดังนั้นนิพจน์จะไม่นิยามเมื่อ $a=\boxed{-2, 2}.$ | -2, 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แบคทีเรียในโหลเพิ่มขึ้นเป็นสามเท่าทุกๆ 20 วินาที หลังจากสามนาที มีแบคทีเรีย 275,562 ตัวอยู่ในโหล มีแบคทีเรียกี่ตัวในโหลที่เริ่มต้นของการทดลอง? | หลังจากสามนาที จำนวนแบคทีเรีย $n$ เพิ่มขึ้นเป็นสามเท่า $9$ ครั้ง นี่จะให้สมการ $n \cdot 3^9 = 275,\!562$ หรือ $19,\!683n=275,\!562$ ดังนั้น $n = \boxed{14}$ | 14 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $f(x)=x^2-2x$ จงหาค่าของ $f(f(f(f(f(f(-1))))))$ | เราเริ่มจากข้างในและคำนวณออกมา: $$f(-1)=(-1)^2-2(-1)=3.$$ ดังนั้น $$f(f(f(f(f(f(-1))))))=f(f(f(f(f(3)))).$$ ตอนนี้ $f(3)=3^2-2\cdot3=3$ เราสามารถใช้ข้อเท็จจริงนี้ซ้ำๆ เพื่อสรุปว่า \begin{align*}
f(f(f(f(f(f(-1))))))&=f(f(f(f(f(3))))\\
&=f(f(f(f(3)))\\
& \vdots\\ &= f(3)=\boxed{3}.\end{align*} | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงคำนวณ $i^{-100}+i^{-99}+i^{-98}+\cdots+i^{-1}+i^0+i^1+\cdots+i^{99}+i^{100}$ | แต่ละกลุ่มของ 4 พจน์ติดต่อกันของ $i$ มีผลรวมเป็น 0: $i + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i +1 = 0$, $i^5+i^6+i^7+i^8 = i^4(i+i^2+i^3+i^4) = 1(0) = 0$, และเป็นเช่นนี้สำหรับเลขชี้กำลังบวกของ $i$. ในทำนองเดียวกัน เราสังเกตว่า $i^{-4} = \frac1{i^4} = \frac11 = 1$. ดังนั้น $i^{-4}+i^{-3}+i^{-2}+i^{-1} = 1+1\cdot i+1\cdot{-1} + 1\cdot{-i} = 0$, $i^{-8}+i^{-7}+i^{-6}+i^{-5}=i^{-4}(i^{-4}+i^{-3}+i^{-2}+i^{-1}) = 0$, และเป็นเช่นนี้สำหรับเลขชี้กำลังลบของ $i$. เนื่องจาก 100 หารด้วย 4 ลงตัว เราจัดกลุ่มเลขชี้กำลังบวกของ $i$ เป็น 25 กลุ่มที่มีผลรวมเป็นศูนย์. ในทำนองเดียวกัน เราจัดกลุ่มเลขชี้กำลังลบของ $i$ เป็น 25 กลุ่มที่มีผลรวมเป็นศูนย์. ดังนั้น $$i^{-100}+i^{-99}+\cdots+i^{99}+i^{100} = 25\cdot0+i^0+25\cdot0 = \boxed{1}$$. | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก ๆ ที่มีพื้นที่เท่ากันเก้าช่อง สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรงกลางถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก ๆ ที่มีพื้นที่เท่ากันเก้าช่อง และรูปแบบนี้ดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ส่วนของรูปร่างที่ถูกแรเงาเป็นเศษส่วนเท่าใด? [asy]
import olympiad; size(150); defaultpen(linewidth(0.8)); dotfactor=4;
void drawSquares(int n){
draw((n,n)--(n,-n)--(-n,-n)--(-n,n)--cycle);
fill((-n,n)--(-1/3*n,n)--(-1/3*n,1/3*n)--(-n,1/3*n)--cycle);
fill((-n,-n)--(-1/3*n,-n)--(-1/3*n,-1/3*n)--(-n,-1/3*n)--cycle);
fill((n,-n)--(1/3*n,-n)--(1/3*n,-1/3*n)--(n,-1/3*n)--cycle);
fill((n,n)--(1/3*n,n)--(1/3*n,1/3*n)--(n,1/3*n)--cycle);
}
drawSquares(81); drawSquares(27); drawSquares(9); drawSquares(3); drawSquares(1);
[/asy] | พื้นที่ที่ต้องการคืออนุกรมอนันต์ $\frac{4}{9}\left(1+\frac{1}{9} + \frac{1}{9^2}+\cdots\right).$
การทำให้เข้าใจง่ายขึ้น เราได้ $\frac{4}{9}\left( \frac{1}{1-\frac{1}{9}}\right)=\boxed{\frac{1}{2}}.$ | \frac{1}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เครื่องบินมี 3 โซน ได้แก่ ชั้นประワード (24 ที่นั่ง), ชั้นธุรกิจ (25% ของจำนวนที่นั่งทั้งหมด) และชั้นประหยัด (2/3 ของจำนวนที่นั่งทั้งหมด) เครื่องบินมีจำนวนที่นั่งทั้งหมดกี่ที่นั่ง? | สมมติว่าเครื่องบินมี $s$ ที่นั่ง แล้วเราจะได้ว่า $24 + 0.25 s + \frac{2}{3} s = s$ แก้สมการจะได้ $s = \boxed{288}$ | 288 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\log_5 (x+4)=3$, จงหา $\log_{11} x$. | เพื่อที่จะหา $\log_{11} x$ เราต้องหาค่าของ $x$ ก่อน เราเริ่มต้นด้วยการเขียน $\log_5 (x+4)=3$ ในรูปเลขยกกำลัง ซึ่งจะได้ $5^3=x+4$ เมื่อแก้สมการหา $x$ เราจะได้ $x=5^3-4=125-4=121$ หลังจากแทนค่า $x$ ลงในนิพจน์ที่สองแล้ว เราต้องหา $\log_{11} 121$ เนื่องจาก $11^2=121$ ดังนั้น $\log_{11} 121=\boxed{2}$ | 2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามโดยที่ $f(x) + g(x) = -2 + x$ แล้ว $g(x)$ มีค่าเท่าใด ถ้า $f(x) = x^3 - 2x - 2$? | เราแทน $f(x) = x^3 - 2x - 2$ ลงใน $f(x) + g(x) = -2 + x$ เพื่อให้ได้ $(x^3 - 2x - 2) + g(x) = -2 + x$ ดังนั้น $g(x) = -2 + x - (x^3 - 2x - 2)$ กระจายพจน์จะได้ $g(x) = -2 + x - x^3 + 2x + 2 = \boxed{-x^3 + 3x}$. | -x^3 + 3x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $3 \cdot f(x) + 4 \cdot g(x) = h(x)$ โดยที่ $f(x),$ $g(x),$ และ $h(x)$ เป็นพหุนามใน $x$ ถ้าดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ $8$ และดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ แล้วดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $g(x)$ คือเท่าไร | ถ้าดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ นั่นหมายความว่ามีพจน์ $x^9$ ใน $h(x)$ พจน์นั้นไม่สามารถมาจาก $f(x)$ ได้ เพราะดีกรีของมันเท่ากับ $8$ ดังนั้นพจน์นั้นต้องมาจาก $g(x)$ นั่นหมายความว่าดีกรีของ $g(x)$ ต้องเป็นอย่างน้อย $\boxed{9}$ และในความเป็นจริงแล้วมันสามารถเป็นได้แค่ $9$ เท่านั้น | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $(x^2 - k)(x + k) = x^3 + k(x^2 - x - 5)$ และ $k\neq 0$ จงหาค่าของ $k$ | ถ้าเราคูณ $(x^2 - k)$ ด้วย $(x + k)$ เราจะได้ $x^3 + kx^2 - kx - k^2$ เราสามารถแยกตัวประกอบ $k$ จากพจน์สุดท้ายสามพจน์ของนิพจน์นี้ ซึ่งจะได้ $x^3 + k(x^2 - x - k)$ เมื่อเราตั้งค่านี้เท่ากับด้านขวาของสมการเดิม $x^3 + k(x^2 -x - 5)$ เราจะได้ $x^3 + k(x^2 - x - k) = x^3 + k(x^2 - x - 5)$ การเปรียบเทียบอย่างระมัดระวังระหว่างสองด้านของสมการนี้แสดงให้เห็นว่า $k$ ต้องเท่ากับ 5 (พิจารณาพจน์คงที่) หรืออีกทางหนึ่งเราสามารถคูณทั้งสองด้านของสมการและได้ $x^3 + kx^2 - kx - k^2 = x^3 + kx^2 - kx - 5k$ ด้านซ้ายและด้านขวาจะเหมือนกันเมื่อ $k^2 = 5k$ ดังนั้น $k = \boxed{5}$ | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $45x+30$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $45x$ และ 30 คือ 15 เราแยกตัวประกอบ 15 ออกจากทั้งสองพจน์เพื่อให้ได้\begin{align*}
45x+30 &= 15\cdot 3x + 15 \cdot 2\\
&= \boxed{15(3x+2)}.
\end{align*} | 15(3x+2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยกราฟของ $|3x|+|4y|=12$? | กราฟสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนพิกัดทั้งสอง และในควอดรันที่หนึ่ง มันจะตรงกับกราฟของเส้นตรง $3x + 4y = 12$ ดังนั้นบริเวณนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และพื้นที่คือ \[
\text{พื้นที่} = 4\left(\frac{1}{2}(4\cdot 3)\right) = \boxed{24}.
\][asy]
draw((-5,0)--(5,0),Arrow);
draw((0,-4)--(0,4),Arrow);
label("$x$",(5,0),S);
label("$y$",(0,4),E);
label("4",(4,0),S);
label("-4",(-4,0),S);
label("3",(0,3),NW);
label("-3",(0,-3),SW);
draw((4,0)--(0,3)--(-4,0)--(0,-3)--cycle,linewidth(0.7));
[/asy] | 24 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อิวานเช่ารถยนต์คันหนึ่งในราคา $25 ต่อวัน และ $0.20 ต่อไมล์ ถ้าเขาเช่ารถยนต์เป็นเวลา 4 วัน และขับรถไป 400 ไมล์ เขาต้องจ่ายเงินเท่าไร | ค่าเช่ารถยนต์เป็นเวลา 4 วันคือ $25\times4=100$ และ ค่าใช้จ่ายในการขับรถ 400 ไมล์คือ $.20\times400=\frac{400}{5}=80$ เขาต้องจ่ายเงิน $100+80=\boxed{\$180}$ | \$180 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ประเมินอนุกรมเรขาอนันต์: $$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\dots$$ | อนุกรมนี้มีพจน์แรก $\frac{1}{3}$ และอัตราส่วนร่วม $\frac{1}{2}$ ดังนั้นสูตรจะให้ผล: $\cfrac{\frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)}=\boxed{\frac{2}{3}}$. | \frac{2}{3} | [
"ประยุกต์"
] |
มีค่าของ $a$ สองค่าที่ทำให้สมการ $4x^2+ax+8x+9=0$ มีคำตอบสำหรับ $x$ เพียงคำตอบเดียว ค่าของผลบวกของค่า $a$ ทั้งสองนั้นเท่ากับเท่าใด | จากสูตรกำลังสอง เราได้ \[x=\frac{-(a+8)\pm \sqrt{(a+8)^2-4\cdot 4\cdot 9}}{2\cdot 4}. \]สมการมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ก็ต่อเมื่อค่าของตัวเลือก (discriminant), $(a+8)^2-144$ เท่ากับ 0 นั่นคือ $a=-20$ หรือ $a=4$ และผลบวกเท่ากับ $\boxed{-16}$ | -16 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แม็กซ์ซื้อมอเตอร์ไซค์คันใหม่และจ่ายเงินมัดจำ 10% ของราคา ซึ่งเป็น 150 ดอลลาร์ มอเตอร์ไซค์คันนั้นมีราคาเท่าไร | ถ้า 10% ของราคาของมอเตอร์ไซค์คันนั้นคือ 150 ดอลลาร์ ดังนั้น 100% ของราคาต้องเป็นสิบเท่าของจำนวนเงินที่แม็กซ์จ่ายมัดจำ ดังนั้น ราคาของมอเตอร์ไซค์ต้องเป็น 10 × 150 ดอลลาร์ = 1500 ดอลลาร์ | 1500 ดอลลาร์ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: \[(6a^3+92a^2-7)-(-7a^3+a^2-7)\] | ก่อนอื่น จัดรูปนิพจน์โดยการรวมพจน์ที่คล้ายกัน: \begin{align*}
&(6a^3+92a^2-7)-(-7a^3+a^2-7)\\
& \qquad=6a^3+92a^2-7+7a^3-a^2+7\\
&\qquad=13a^3+91a^2.
\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $13a^2$ ออกจากนิพจน์ได้ ซึ่งจะได้ \[13a^3+91a^2=\boxed{13a^2(a+7)}.\] | 13a^2(a+7) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นายอ้วนใช้เวลา 20 นาทีในการกินซีเรียล 1 ปอนด์ ในขณะที่นายผอมใช้เวลา 30 นาที ถ้าทั้งสองคนกินด้วยกัน จะใช้เวลานานเท่าไรในการกินซีเรียล 3 ปอนด์? แสดงคำตอบเป็นนาที | นายอ้วนกินซีเรียลได้อัตรา $\frac{1}{20}$ ปอนด์ต่อนาที และนายผอมกินซีเรียลได้อัตรา $\frac{1}{30}$ ปอนด์ต่อนาที รวมกันแล้ว พวกเขาจะกินซีเรียลได้อัตรา $\frac1{20}+\frac1{30} = \frac{1}{12}$ ปอนด์ต่อนาที ด้วยอัตราเร็วนี้ จะใช้เวลา $\frac{3}{\frac{1}{12}} = \boxed{36}$ นาทีในการกินซีเรียล 3 ปอนด์ | 36 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $h(x)$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมน $[-8,8]$ และ $g(x)=h\left(\frac x2\right)$ แล้ว โดเมนของ $g(x)$ มีความกว้างเท่าใด | เนื่องจากเราได้นิยาม $g(x) = h\left(\frac{x}{2}\right)$ จึงเป็นจำนวนจริง $x$ อยู่ในโดเมนของ $g$ ก็ต่อเมื่อ $\frac{x}{2}$ อยู่ในโดเมนของ $h$ ดังนั้น โดเมนของ $g$ ประกอบด้วย $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $$-8\le \frac x2\le 8.$$คำตอบของอสมการนี้ถูกกำหนดโดย $-16\le x\le 16$ ดังนั้น โดเมนของ $g$ คือช่วงที่มีความกว้าง $16 - (-16) = \boxed{32}$ | 32 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของเจ็ดจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นพหุคูณของ 9 | เราถูกขอให้คำนวณ $9+18+27+\cdots+63$. แยก 9 ออกมาและใช้เอกลักษณ์ $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ เพื่อหาว่า $9+18+\cdots+63=9(1+2+\dots+7)= 9 \cdot \frac{7 \cdot 8}{2} = \boxed{252}$ | 252 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
อเล็กซ์ต้องการยืมเงิน $\$10,\!000$ จากธนาคาร ธนาคารเสนอตัวเลือกสองแบบให้เขา
1. สัญญาสินเชื่อ 10 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปี $10\%$ คิดเป็นไตรมาส โดยมีเงื่อนไขว่าสิ้นปีที่ 5 อเล็กซ์ต้องชำระเงินจำนวนเท่ากับครึ่งหนึ่งของหนี้ที่เขาเป็นอยู่ ครึ่งที่เหลือจะยังคงคิดดอกเบี้ย และสิ้นปีที่ 10 อเล็กซ์จะชำระยอดคงเหลือทั้งหมด
2. สัญญาสินเชื่อ 10 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ย 단순 รายปี $12\%$, โดยชำระเป็นก้อนเดียวเมื่อสิ้นสุด 10 ปี
จงหาผลต่างบวกระหว่างจำนวนเงินทั้งหมดที่อเล็กซ์ต้องชำระคืนภายใต้ทั้งสองรูปแบบ ปัดเศษคำตอบของคุณเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | สำหรับดอกเบี้ยทบต้น เราใช้สูตร $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ โดยที่ $A$ คือยอดคงเหลือสุดท้าย $P$ คือเงินต้น $r$ คืออัตราดอกเบี้ย $t$ คือจำนวนปี และ $n$ คือจำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ยในหนึ่งปี
ก่อนอื่นเราคำนวณว่าเขาจะต้องเป็นหนี้ใน $5$ ปีเท่าไร ซึ่งก็คือ $$\$10,\!000\left(1+\frac{0.1}{4}\right)^{4 \cdot 5} \approx \$16,\!386.16$$
เขาชำระครึ่งหนึ่งใน $5$ ปี ซึ่งก็คือ $\frac{\$16,\!386.16}{2}=\$8193.08$ เขามี $\$8193.08$ ที่เหลือให้คิดดอกเบี้ยในอีก $5$ ปีข้างหน้า ซึ่งจะกลายเป็น $$\$8193.08\left(1+\frac{0.1}{4}\right)^{4 \cdot 5} \approx \$13,\!425.32$$
เขาต้องชำระเงินคืนทั้งหมด $\$8193.08+\$13,\!425.32=\$21,\!618.40$ ในสิบปีถ้าเขาเลือกดอกเบี้ยทบต้น
สำหรับดอกเบี้ย 단순 เขาต้องชำระ $0.12 \cdot 10000=1200$ ดอลลาร์ต่อปี ซึ่งหมายความว่าเขาต้องชำระเงินทั้งหมด $10000+10 \cdot 1200=22000$ ดอลลาร์ในสิบปี
ดังนั้นเขาควรเลือกดอกเบี้ยทบต้นและประหยัด $\$22000-\$21618.40=\$381.6 \approx \boxed{382 \text{ ดอลลาร์}}$ | 382 \text{ ดอลลาร์} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $a+b = 6$ และ $a - b = 2$ จงหาค่าของ $a^2 - b^2$ | สังเกตว่า $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 + ab - ab - b^2$ ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น $a^2 - b^2$ แทนค่า $6$ ให้กับ $a+b$ และ $2$ ให้กับ $a-b$ จะได้ว่า $a^2 - b^2 = 6 \cdot 2 = \boxed{12}$ | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กระรอกตัวหนึ่งเดินทางด้วยความเร็วคงที่ 4 ไมล์ต่อชั่วโมง ใช้เวลานานเท่าไรสำหรับกระรอกตัวนี้ที่จะเดินทาง 1 ไมล์ แสดงคำตอบของคุณเป็นนาที | โดยใช้สูตร $time = \frac{distance}{rate}$ เราจะเห็นว่าใช้เวลา $\frac{1}{4}$ ชั่วโมงสำหรับกระรอกที่จะเดินทาง 1 ไมล์ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{15}$ นาที | 15 | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=2\sqrt{x} + \frac{12}{\sqrt{x}}$ และ $g(x)=2x^2-2x-3$ จงหาค่าของ $f(g(3))$ | เราคำนวณ $g(3) = 2\cdot3^2 - 2\cdot3-3=9$ ดังนั้น $f(g(3))=f(9)=2\sqrt{9} + \frac{12}{\sqrt{9}}= 2\cdot3 + \frac{12}{3}=10$ | 10 | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $a \Delta b = a^2 -b $. จงหาค่าของ $ (2^{4 \Delta13})\Delta(3^{3\Delta5})$ | เราได้ว่า $4 \Delta 13 = 4^2-13=16-13=3$ และ $3 \Delta 5 = 3^2-5 = 9-5=4$. ดังนั้นเราต้องการหาค่า $(2^3) \Delta (3^4) = 2^6-3^4 = 64-81 = -17$ | -17 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คริสทอฟแก้สมการกำลังสอง $11x^2-44x-99=0$ โดยวิธีการเติมกำลังสอง ในกระบวนการนี้ เขาได้สมการที่สมมูลกัน $$(x+r)^2 = s,$$โดยที่ $r$ และ $s$ เป็นค่าคงที่
จงหา $r+s$? | หารทั้งสองข้างของสมการ $11x^2-44x-99$ ด้วย $11$ เราได้ $$x^2-4x-9 = 0.$$กำลังสองที่สอดคล้องกับ $x^2-4x-9$ ยกเว้นพจน์คงที่คือ $(x-2)^2$ ซึ่งเท่ากับ $x^2-4x+4$ และดังนั้นเท่ากับ $(x^2-4x-9)+13$.
ดังนั้น โดยการบวก $13$ เข้ากับแต่ละข้าง คริสทอฟจึงเขียนสมการใหม่ $x^2-4x-9 = 0$ เป็น $$(x-2)^2 = 13$$เราได้ $r=-2$, $s=13$ และดังนั้น $r+s=\boxed{11}$. | 11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับของจำนวนจริงสามจำนวนสร้างลำดับเลขคณิต โดยมีพจน์แรกเท่ากับ 9 ถ้าเพิ่ม 2 ลงในพจน์ที่สอง และเพิ่ม 20 ลงในพจน์ที่สาม จำนวนที่ได้ทั้งสามจะสร้างลำดับเรขาคณิต จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับพจน์ที่สามของลำดับเรขาคณิต | พจน์ของลำดับเลขคณิตคือ 9, $9+d$, และ $9+2d$ สำหรับจำนวนจริง $d$ ใดๆ พจน์ของลำดับเรขาคณิตคือ 9, $11+d$, และ $29+2d$ ดังนั้น \[
(11+d)^{2} = 9(29+2d) \quad\text{so}\quad d^{2}+4d-140 = 0.
\]ดังนั้น $d=10$ หรือ $d=-14$ ลำดับเรขาคณิตที่สอดคล้องกันคือ $9, 21, 49$ และ $9, -3, 1$ ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับพจน์ที่สามของลำดับเรขาคณิตคือ $\boxed{1}$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $ab+c = bc+a = ac+b = 41$ จงหาค่าของ $a+b+c$ | สมการข้อแรกบอกเป็นนัยว่า $ab+c-bc-a = b(a-c)-(a-c) = 0 \Rightarrow (b-1)(a-c) = 0$. โดยสมมาตร เราได้: \begin{align*}
(b-1)(a-c) &= 0 \\
(c-1)(b-a) &= 0 \\
(a-1)(c-b) &= 0
\end{align*} โดยการตรวจสอบ เราจะเห็นว่าอย่างน้อยหนึ่งในข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: $a=b$, $b=c$, หรือ $c=a$. โดยไม่เส loss of generality, สมมติว่า $a=b$. แทนค่านี้ลงในสมการข้อแรกของเรา เราจะได้ $a^2+c = ac+a \Rightarrow a^2+c = a(c+1)=41$. เนื่องจาก $41$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $a$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a=1$ หรือ $a=41$. โปรดทราบว่าถ้า $a=41$ แล้ว $c+1 = 1 \Rightarrow c=0$ ซึ่งขัดแย้งกับความจริงที่ว่า $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a=b=1 \Rightarrow c+1=41 \Rightarrow c=40$. ดังนั้น $a+b+c = \boxed{42}$ | 42 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $x^2 - 5x + 6 = 0$ | เราสามารถแยกตัวประกอบสมการนี้ได้เป็น $(x-2)(x-3) = 0$ ดังนั้น $x = 2$ หรือ $x = 3$ | x = 2, x = 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลบวกของกำลังสองของคำตอบของสมการ $x^2-13x+4=0$ | ให้ $r_1$ และ $r_2$ เป็นรากของพหุนามนี้ ดังนั้น $r_1+r_2=13$ และ $r_1r_2=4$ สังเกตว่า $r_1^2+2r_1r_2+r_2^2=169$ นั่นหมายความว่าผลบวกของกำลังสองของรากสามารถหาได้โดยการลบเทอมที่ประกอบด้วยผลคูณของ $r_1$ และ $r_2$ ดังนั้น $r_1^2+r_2^2=169-2(4)=oxed{161}$ | 161 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วันอังคารที่ผ่านมา ฉันทำงาน $t+1$ ชั่วโมง และได้ค่าจ้าง $3t-3$ ดอลลาร์ต่อชั่วโมง เพื่อนของฉัน แอนดรูว์ ทำงาน $3t-5$ ชั่วโมง แต่ได้ค่าจ้างเพียง $t+2$ ดอลลาร์ต่อชั่วโมง ในตอนท้ายของวัน ฉันได้เงินมากกว่าเขา 2 ดอลลาร์ ค่าของ $t$ คือเท่าไร? | เนื่องจากฉันได้เงินมากกว่าแอนดรูว์ 2 ดอลลาร์ เราทราบว่า $$(t+1) (3t-3) = (3t-5)(t+2) + 2 \qquad\Rightarrow\qquad 3t^2-3 = 3t^2 + t -8 .$$การทำให้สมการง่ายขึ้นจะได้ $t = \boxed{5}$. | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ให้ $p$ และ $q$ สอดคล้องกับ $pq=9$ และ $p+q=6$ จงหาค่าของ $p^2 + q^2$ | เรามีสมการสองสมการและตัวแปรสองตัว ดังนั้นเป็นไปได้ที่จะแก้หา $p$ และ $q$ โดยตรง จากนั้นคำนวณ $p^2$ และ $q^2$ แยกกันเพื่อหาคำตอบของเรา อย่างไรก็ตาม การทำเช่นนั้นเกี่ยวข้องกับการคำนวณจำนวนมากกับจำนวนเชิงซ้อนและรากที่สอง ดังนั้นเราจึงมองหาแนวทางอื่น เรา squaring สมการที่สองเพื่อให้ได้ $$(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2 = 36,$$ซึ่งใกล้เคียงกับสิ่งที่เราต้องการ แต่มีพจน์ $2pq$ เพิ่มเติม เนื่องจากเราทราบว่า $pq=9$ เราสามารถแทนที่ได้ $$p^2 + 2(9) +q^2 = 36 \implies p^2+q^2 = \boxed{18}.$$โปรดทราบว่างานของเราทำได้ง่ายขึ้นโดยการแก้หาเฉพาะสิ่งที่ปัญหากำหนดไว้เท่านั้น แทนที่จะพยายามแก้หา $p$ และ $q$ เป็นรายบุคคล | 18 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่ง $f(6)-f(2)=12$ จงหาค่าของ $f(12)-f(2)$ | เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน (slope) จะคงที่ ดังนั้น
\[\frac{f(6) - f(2)}{6-2} = \frac{f(12) - f(2)}{12 - 2},\]ดังนั้น \[\frac{12}{4} =\frac{f(12) - f(2)}{10},\]และ $f(12) - f(2) = \boxed{30}$. | 30 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ในผลคูณของ $$(x+4)(2x^2+3x+9)-3(x^3-2x^2+7x)?$$ | ก่อนอื่น เราคูณพจน์ดีกรี 1 กับพจน์ดีกรี 2 ดังนั้นเราได้พหุนามดีกรี 3 เราลบพหุนามดีกรี 3 คูณด้วยค่าคงที่ ดังนั้นเราจะมีพหุนามดีกรี 3 มากที่สุด ดังนั้นมีพจน์มากที่สุด 4 พจน์ อย่างไรก็ตาม เราไม่แน่ใจว่าพจน์ใดจะลบกันเป็นศูนย์ ดังนั้นเราต้องคูณพหุนามออก: \begin{align*}
&(x+4)(2x^2+3x+9)-3(x^3-2x^2+7x)\\
&\qquad=x(2x^2+3x+9)+4(2x^2+3x+9)-(3x^3-6x^2+21x)\\
&\qquad=2x^3+3x^2+9x+8x^2+12x+36-(3x^3-6x^2+21x)\\
&\qquad=2x^3+11x^2+21x+36-(3x^3-6x^2+21x)\\
&\qquad=2x^3-3x^3+11x^2+6x^2+21x-21x+36\\
&\qquad=-x^3+17x^2+36.
\end{align*}ดังที่เราเห็น พจน์เส้นตรงหายไป และเราเหลืออยู่ $oxed{3}$ พจน์ | 3 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $81^{3/4}$ | เราได้ว่า \[81^{3/4} = (3^4)^{3/4} = 3^{4\cdot (3/4)} = 3^3 = \boxed{27}.\] | 27 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ $x^2 = 7x - 12$ | เราเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 - 7x + 12 = 0$ ผลรวมของคำตอบของสมการนี้คือ $-\frac{-7}{1} = 7$ | 7 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบ $9y^2-30y+25$ | พหุนามกำลังสองนี้เป็นกำลังสองของ $3y$ , 항คงตัวเป็นกำลังสองของ $-5$ และ 항เชิงเส้นเท่ากับ $2(3y)(-5)$ ดังนั้น $9y^2 -30y + 25 = \boxed{(3y - 5)^2}$ | (3y - 5)^2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงทำให้ $\dfrac{3+4i}{1+2i}$ ง่ายขึ้น คำตอบของคุณควรอยู่ในรูป $a+bi$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงและเขียนเป็นเศษส่วนไม่แท้ (ถ้าจำเป็น) | คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน เราได้ \begin{align*}
\dfrac{3+4i}{1+2i} \cdot \frac{1-2i}{1-2i} &= \frac{3(1) + 3(-2i) + 4i(1) + 4i(-2i)}{1(1) + 1(-2i) + 2i(1) -2i(2i)} \\
&= \dfrac{11-2i}{5} = \boxed{\dfrac{11}{5} - \dfrac{2}{5}i}.
\end{align*} | \dfrac{11}{5} - \dfrac{2}{5}i | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สี่คนสามารถตัดหญ้าได้ใน 6 ชั่วโมง ต้องเพิ่มคนอีกกี่คนเพื่อตัดหญ้าให้เสร็จใน 4 ชั่วโมง โดยสมมติว่าแต่ละคนตัดหญ้าด้วยอัตราเดียวกัน | จำนวนคนตัดหญ้าและเวลาที่ต้องใช้ในการตัดหญ้ามีความสัมพันธ์ผกผัน สมมติว่า $n$ คือจำนวนคน และ $t$ คือเวลาที่ใช้ เราได้ $nt = (4)(6)= 24$ เพราะว่า 4 คนสามารถตัดหญ้าได้ใน 6 ชั่วโมง ถ้า $m$ คนสามารถตัดหญ้าได้ใน 4 ชั่วโมง ดังนั้นเราต้องมี $m(4) = 24$ ดังนั้น $m=6$ ดังนั้นเราต้องการ $6-4 = 2$ คนเพิ่มเพื่อให้เสร็จใน 4 ชั่วโมง | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $X,$ $Y,$ และ $Z$ เป็นจุดที่ $\frac{XZ}{XY} = \frac{ZY}{XY} = \frac{1}{2}.$ ถ้า $Y = (1, 7)$, $Z = (-1, -7)$, แล้วผลรวมของพิกัดของ $X$ เท่ากับเท่าใด | จากโจทย์ เราจะเห็นว่า $XZ = ZY$ และ $XZ + ZY = XY$ ซึ่งหมายความว่า $X,$ $Y,$ และ $Z$ สร้างรูปสามเหลี่ยมเสื่อม ในทางกลับกัน $Z$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $XY$. เนื่องจากจาก $Y$ ไป $Z$ เราไป 2 ช่องทางซ้ายและ 14 ช่องทางลง เราทำเช่นเดียวกันเพื่อไปถึง $X = (-1 - 2, -7 -14) = (-3, -21).$ ดังนั้น ผลรวมของพิกัดของ $X$ คือ $\boxed{-24}.$ | -24 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $k$ เมื่อค่าของนิพจน์ \[(3^{1001}+4^{1002})^2-(3^{1001}-4^{1002})^2\]เท่ากับ $k\cdot12^{1001}$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก | ขยายกำลังสอง เราได้ \begin{align*}
&(3^{1001}+4^{1002})^2-(3^{1001}-4^{1002})^2\\
&\qquad=3^{2002}+2\cdot3^{1001}\cdot4^{1002}+4^{2004}\\
&\qquad\qquad-3^{2002}+2\cdot3^{1001}\cdot4^{1002}-4^{2004}\\
&\qquad=4\cdot3^{1001}\cdot4^{1002}.
\end{align*}เนื่องจาก $4^{1002}=4\cdot4^{1001}$ เราสามารถเขียนนิพจน์ใหม่ได้เป็น \[16\cdot3^{1001}\cdot4^{1001}=16\cdot12^{1001}.\]ดังนั้น $k=\boxed{16}$. | 16 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทำให้ง่ายขึ้นและทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ: $$\frac{1}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}+1}}.$$ | เริ่มต้นด้วยพิจารณาเทอม $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ เราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วนได้ $$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$จากนั้นเราสามารถแทนค่านี้กลับเข้าไปในนิพจน์เดิมของเราและคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย $2$ เพื่อให้ได้ \begin{align*}
\frac{1}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}+1}} & = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{3} - 1}{2}} \\
& = \frac{2}{2 + \sqrt{3} - 1} \\
& = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}.
\end{align*}ถ้าเราคูณตัวเศษและตัวส่วนของนิพจน์นี้ด้วย $\sqrt{3}-1$ และทำให้ง่ายขึ้น เราจะได้ \begin{align*}\frac{2}{\sqrt{3} + 1} &= \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\&= \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \boxed{\sqrt{3}-1}.\end{align*} | \sqrt{3}-1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $a$ กี่ค่าที่ทำให้สมการ $$x^2 + ax + 8a = 0$$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มสำหรับ $x$? | สมมติว่ารากของสมการกำลังสองคือ $m$ และ $n$ โดยที่ $m\leq n$. สังเกตว่า $$(x-m)(x-n) = x^2 - (m+n)x + mn = x^2 + ax + 8a,$$ และเมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า \begin{align*}
m + n &= -a \\
mn &= 8a
\end{align*} (สิ่งนี้ยังตามมาจากสูตรของ Vieta.) เมื่อนำ 8 คูณสมการแรกบวกกับสมการที่สอง จะได้ $$8(m+n)+mn=0$$ เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ Simon ชอบ สามารถนำมาใช้ได้โดยการบวก 64 เข้าไปในทั้งสองข้าง: $$mn + 8m + 8n + 64 = (m+8)(n+8) = 64.$$ ดังนั้น $m+8$ และ $n+8$ คือตัวหารของ 64 ซึ่งคู่ของตัวหารของ 64 คือ $\pm \{(1,64),(2,32),(4,16)$ and $(8,8)\}$. เมื่อแก้สมการ จะเห็นว่า $(m,n)$ ต้องอยู่ในกลุ่มคู่ \begin{align*}
&(-7,56),(-6,24),(-4,8),(0,0),\\
&(-72,-9),(-40,-10),(-24,-12),(-16,-16).
\end{align*} เนื่องจาก $a=-(m+n)$ และแต่ละคู่ของค่านี้ให้ค่า $m+n$ ที่แตกต่างกัน ดังนั้นแต่ละคู่ 8 คู่นี้จะให้ค่า $a$ ที่แตกต่างกัน ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{8}$. | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\dagger$ นิยามโดย $\frac{m}{n}\dagger\frac{p}{q} = (m)(p)(\frac{q}{n}).$ จงหาค่าที่เรียบง่ายของ $\frac{7}{12}\dagger\frac{8}{3}$ | เราได้ว่า $\frac{7}{12}\dagger\frac{8}{3}=(7)(8)\left(\frac{3}{12}\right)=(7)(2)=\boxed{14}$. | 14 | [
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มใดที่ใกล้เคียงกับรากที่สามของ 100 มากที่สุด | ทั้ง 4 หรือ 5 ใกล้เคียงกับ $\sqrt[3]{100}$ เนื่องจาก $4^3=64$ และ $5^3=125$ เนื่องจาก $4.5^3=91.125<100$ $\sqrt[3]{100}$ ใกล้เคียงกับ $\boxed{5}$ มากกว่า 4 | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดยอดของสามเหลี่ยมบนระนาบデカร์ตเท่ากับ 10 จงหาผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดกึ่งกลางด้านของสามเหลี่ยม | ให้พิกัด $x$ ของจุดยอดเป็น $a,b,c$ แล้วพิกัด $x$ ของจุดกึ่งกลางด้านของสามเหลี่ยมคือ $\frac{a+b}2,\frac{a+c}2,\frac{b+c}2$ ผลรวมของพิกัดเหล่านี้เท่ากับ $\frac{2a+2b+2c}2=a+b+c$ ดังนั้น คำตอบที่ต้องการคือ $\boxed{10}$ | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $x$ : $$5^{x + 4} = 125^x.$$ | เขียนข้างขวาด้วยฐาน $5$ เราได้ $125^x = (5^3)^x = 5^{3x}$ ดังนั้นสมการของเราคือ: $$5^{x + 4} = 5^{3x}.$$จากนั้นตั้งเลขยกกำลังให้เท่ากัน เราได้ $$x + 4 = 3x.$$ให้ผล $2x = 4 \implies \boxed{x = 2}$ | x = 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(n) = n^2 + n + 17$ จงหาค่าของ $f(11)$ | แทนค่า $n = 11$ ได้ $f(11) = 11^2 + 11 + 17 = 121 + 28 = 149$ | 149 | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนดสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว $3x$ นิ้ว และความกว้าง $x + 5$ นิ้ว มีสมบัติที่พื้นที่และเส้นรอบรูปมีค่าเท่ากัน จงหาค่าของ $x$ | ให้ $l$ แทนความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และ $w$ แทนความกว้าง ดังนั้น $l = 3x$ และ $w = x + 5$ เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับเส้นรอบรูป เราได้ว่า $l \times w = 2l + 2w$ จากนั้นแทน $3x$ ลงใน $l$ และ $x + 5$ ลงใน $w$ จะได้ \begin{align*}
& (3x)(x+5) = 2(3x) + 2(x + 5) \\
\Rightarrow\qquad & 3x^2 + 15x = 6x + 2x + 10 \\
\Rightarrow\qquad & 3x^2 + 7x - 10 = 0 \\
\Rightarrow\qquad & (x - 1)(3x + 10) = 0.
\end{align*}แก้สมการนี้จะได้ค่าของ $x$ ที่เป็นไปได้สองค่า คือ $x = 1$ และ $x = - \frac{10}{3}$ อย่างไรก็ตาม ความยาว $3x$ และความกว้าง $x + 5$ ต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น คำตอบเพียงค่าเดียวคือ $x = \boxed{1}$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แผนผังสวนสาธารณะขนาด 1 นิ้ว แทน 800 ฟุต เส้นส่วนในแผนผังยาว 4.75 นิ้ว แทนระยะทางจริงกี่ฟุต | เนื่องจากแต่ละนิ้วของเส้นส่วน 4.75 นิ้ว แทน 800 ฟุต ดังนั้นเส้นส่วนทั้งหมดแทน $4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800}$ ฟุต | 3800 | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $\displaystyle\sqrt[3]{2 - \frac{x}{2}} = -3$. | เราสามารถกำจัดรากที่สามโดยการยกกำลังสามทั้งสองข้างของสมการ ซึ่งจะได้ $2-\frac{x}{2} = -27$ การแก้สมการนี้จะได้ $x =\boxed{58}$ | 58 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{x+4}{x-2}=3\] สำหรับ $x$. | การคูณไขว้จะได้ \[x+4=3x-6.\] การทำให้ 식ง่ายขึ้นบอกเราว่า $2x=10$ หรือ \[x=\boxed{5}.\] | 5 | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x+\frac{1}{x}=6$ แล้วค่าของ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ เท่ากับเท่าใด | ยกกำลังสองสมการที่กำหนดให้ เราจะได้ $x^2+2(x)\left(\frac{1}{x}\right) +\frac{1}{x^2}=36,$ ดังนั้น $x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{34}.$ | 34 | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์นำหน้าในพหุนาม $-3(x^4 - x^3 + x) + 7(x^4 + 2) - 4(2x^4 + 2x^2 + 1)$ เมื่อพหุนามนี้ถูกทำให้เรียบง่ายแล้ว | สัมประสิทธิ์นำหน้าคือสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังของ $x$ สูงสุด ซึ่งในกรณีนี้คือ $x^4$ สัมประสิทธิ์ของ $x^4$ ใน $-3(x^4 - x^3 + x) + 7(x^4 + 2) - 4(2x^4 + 2x^2 + 1)$ คือ $-3 + 7 - 4 \cdot 2 = \boxed{-4}$ | -4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x, y, z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ \begin{align*}
y+z & = 13, \\
z+x & = 14, \\
x+y & = 15.
\end{align*} จงหาค่าของ $\sqrt{xyz(x+y+z)}$. | นำสมการทั้งสามมาบวกกัน แล้วหารด้วย 2 จะได้ $x+y+z = 21$ ดังนั้น $x = 8, y = 7, z = 6$ และ $\sqrt{xyz(x+y+z)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{2^4\cdot 3^2 \cdot 7^2} = \boxed{84}$ | 84 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $y$ แปรผกผันกับ $\sqrt x$ และเมื่อ $x=2$ แล้ว $y=4$ จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $y=1$ | เนื่องจาก $y$ และ $\sqrt{x}$ มีค่าแปรผกผันกัน หมายความว่า $y\sqrt{x}=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า เมื่อแทนค่า $x=2$ และ $y=4$ จะได้ $4\sqrt{2}=k$ ดังนั้น เมื่อ $y=1$ เราสามารถแก้หาค่า $x$ ได้ดังนี้: \begin{align*}
1\cdot\sqrt{x}&=4\sqrt{2}\\
\Rightarrow\qquad (\sqrt{x})^2&=(4\sqrt{2})^2\\
\Rightarrow\qquad x&=16\cdot2=\boxed{32}
\end{align*} | 32 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $C = (3, 5)$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB,$ โดยที่ $A = (1, 8)$ และ $B = (x, y).$ จงหาค่าของ $xy$. | เห็นได้ชัดว่า $C$ ต้องเป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ หาก $C$ เป็นจุดที่อยู่ใกล้กับ $A$ และ $B$ มากที่สุด โดยใช้สูตรของจุดกึ่งกลาง เราได้ว่า: $$\left(\frac{1 + x}{2}, \frac{8 + y}{2}\right) = \left(3, 5\right).$$ดังนั้น $\frac{1 + x}{2} = 3$, ดังนั้น $x = 5.$ ในขณะเดียวกัน $\frac{8 + y}{2} = 5$, ดังนั้น $y = 2$. คำตอบของเราคือ $xy = \boxed{10}.$ | 10 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $f(x) = 3x+2$ และ $g(x) = (x-1)^2$ แล้ว $f(g(-2))$ มีค่าเท่าใด | เราได้ว่า $g(-2) = (-2-1)^2 = 9$ ดังนั้น $f(g(-2)) = f(9) = 3(9) +2 = 29$ | 29 | [
"ประยุกต์"
] |
ขยาย $(x+10)(2y+10)$ | เราใช้สมบัติการ distributive property ซ้ำๆ:
\begin{align*}
(x+10)(2y+10) &= x(2y+10) + 10(2y+10)\\
&= x\cdot 2y + x\cdot 10 + 10\cdot 2y + 10\cdot 10\\
&= \boxed{2xy + 10x + 20y + 100}.
\end{align*} | 2xy + 10x + 20y + 100 | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนดสมการ
\begin{align*}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}&=3,\\
xy+x+y&=4,
\end{align*}
จงคำนวณค่าของ $x^2y+xy^2$. | สมการแรกสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
$$\frac{x+y}{xy}=3\Rightarrow x+y=3xy$$
แทนค่าลงในสมการที่สอง
$$4xy=4\Rightarrow xy=1$$
ดังนั้น $x+y=3$.
ค่าที่เราต้องการคำนวณสามารถแยกตัวประกอบเป็น $xy(x+y)$ ดังนั้นค่าของมันเท่ากับ $1(3)=\boxed{3}$. | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พจน์ที่สองและพจน์ที่สี่ของลำดับเรขาคณิตคือ 2 และ 6 ตามลำดับ ข้อใดต่อไปนี้เป็นพจน์แรกที่เป็นไปได้ พิมพ์ตัวอักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง
A. $-\sqrt{3}$
B. $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\sqrt{3}$
E. $3$ | ให้ลำดับแสดงโดย \[a, ar, ar^2, ar^3,\dots\]โดยที่ $ar = 2$ และ $ar^3 = 6$ ดังนั้น $r^2 = 3$ และ $r = \sqrt{3}$ หรือ $r = -\sqrt{3}$ ดังนั้น $a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ หรือ $a =
-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ซึ่งเป็นตัวเลือก $\boxed{B}$ | B | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการ $x$ : $\frac{6x^2 + 111x +1}{2x+37} = 3x + 1$. | คูณทั้งสองข้างด้วย $2x+37$ จะได้ \begin{align*}
6x^2 + 111x + 1 &= (2x+37)(3x+1)\\
&=2x(3x+1) + 37(3x+1)\\
&= 6x^2 + 2x + 111x + 37\\
&= 6x^2 +113x + 37
\end{align*}ดังนั้น เราได้ \[6x^2 + 111x + 1 = 6x^2+ 113x + 37.\]ลบ $6x^2$ จากทั้งสองข้างจะได้ $111x+1 = 113x + 37$. จัดรูปสมการใหม่จะได้ $2x = -36$ ซึ่งจะได้ $x = \boxed{-18}$. | -18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีสองคู่ $(x,y)$ ของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $x+y = 3xy = 4$ โดยที่คำตอบ $x$ อยู่ในรูป $x = \frac{a \pm b\sqrt{c}}{d}$ โดยที่ $a$, $b$, $c$, และ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวกและนิพจน์นี้ถูกทำให้เรียบง่ายแล้ว ค่าของ $a + b + c + d$ มีค่าเท่าใด? | เราเริ่มต้นด้วยการพิจารณาสมการ $x + y = 4$ จากนี้เราทราบว่า $y = 4-x$ เราสามารถแทนค่านี้ลงในสมการ $3xy = 4$ เพื่อให้ได้ $3x(4-x) = 12x - 3x^2 = 4$ ซึ่งจะกลายเป็น $3x^2 - 12x + 4 = 0$ โดยใช้สูตรกำลังสอง เราพบว่า \begin{align*}
x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \Rightarrow \\
x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-48}}{6} \quad \Rightarrow \\
x &= \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{3}.
\end{align*}ดังนั้น $a + b + c + d = 6 + 2 + 6 + 3 = \boxed{17}$ | 17 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x = \frac34$ และ $y = \frac43$ , จงหาค่าของ $\frac12x^6y^7$. | เรามี \[\frac{1}{2} x^6 y^7 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^6\left(\frac43\right)^7 = \frac{1}{2}\cdot \frac{3^6}{4^6} \cdot \frac{4^7}{3^7}
=\frac{1}{2} \cdot\frac{3^6}{3^7} \cdot \frac{4^7}{4^6} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} \cdot 4 = \boxed{\frac{2}{3}}.\]
เราอาจจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างรวดเร็วโดยสังเกตว่าถ้า $x=\frac34$ และ $y=\frac43$ แล้ว $xy=1$ ดังนั้น $\frac{1}{2}x^6y^7 = \frac{1}{2} (xy)^6y=\frac{1}{2}\cdot 1^6y = \frac{1}{2}y = \frac{2}{3}$ | \frac{2}{3} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
2x + 9 &\text{if }x<-2, \\
5-2x&\text{if }x\ge -2.
\end{cases}
\]จงหา $f(3).$ | เนื่องจาก $3\ge -2$ เราใช้กรณีที่สองเพื่อกำหนดว่า $f(3) = 5-2(3) = \boxed{-1}.$ | -1 | [
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ \begin{align*} (5a^2 - 13a + 4)(2a - 3) \end{align*} เมื่อ $a = 1\frac12$. | เราทราบว่า $a = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ เมื่อ $a=\frac{3}{2}$ เราได้ $2a-3=2\cdot\frac{3}{2} - 3 = 3-3=0$ ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดให้เท่ากับ $5a^2 -13a+4$ คูณ 0 ซึ่งเท่ากับ $\boxed{0}$ | 0 | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a>0$ และ $b>0,$ นิยามการดำเนินการใหม่ $\nabla$ ดังนี้: $$a \nabla b = \dfrac{a + b}{1 + ab}.$$ตัวอย่างเช่น, $$3 \nabla 6 = \frac{3 + 6}{1 + 3 \times 6} = \frac{9}{19}.$$จงคำนวณ $2 \nabla 5.$ | การคำนวณ, $$2 \nabla 5 = \dfrac{2 + 5}{1 + 2 \times 5} = \boxed{\frac{7}{11}}.$$ | \frac{7}{11} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการ $n$: $5^{2n + 1} = \frac{1}{25}$. แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | $\frac{1}{25}$ เท่ากับ $5^{-2}$ ดังนั้นเราได้ $5^{2n+1}=5^{-2}$. เราจะได้ $2n+1=-2$. แก้สมการสำหรับ $n$ จะได้ $n=\boxed{-\frac{3}{2}}$. | -\frac{3}{2} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
เส้นตรง $m$ มีสมการ $y = 3x + 5$ เส้นตรง $n$ มีสมการ $y = kx - 7$ เส้นตรง $m$ และ $n$ ตัดกันที่จุด $(-4, -7)$ จงหาค่าของ $k$ | เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองตัดกันที่จุด $(-4,-7)$ เส้นตรง $n$ ต้องผ่านจุดนี้ เราสามารถแทนพิกัดนี้ลงในสมการ $y=kx-7$ และแก้หา $k$ ดังนี้ \begin{align*}
-7&=k(-4)-7\\
\Rightarrow\qquad -7&=-4k-7\\
\Rightarrow\qquad 0&=-4k\\
\Rightarrow\qquad \boxed{0}&=k
\end{align*} | 0 | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.