question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
แยกตัวประกอบ $t^2-49$ | เราได้ว่า $t^2 -49 = t^2 - 7^2 = \boxed{(t-7)(t+7)}$ | (t-7)(t+7) | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสามจำนวนที่เรียงกันต่อเนื่องเท่ากับ 7805 จงหาผลรวมของกำลังสามของจำนวนเต็มสามจำนวนเดิม | ถ้า $n$ เป็นจำนวนตรงกลางของจำนวนเต็มเหล่านี้ เราจะได้ $(n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 3n^2+2 = 7805$ หรือ $n^2 = 2601$ ซึ่งหมายความว่า $n=51$ ดังนั้นผลรวมของกำลังสามคือ $50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259}$ | 398259 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $y$ เท่ากันคือ 13 แต่มีพิกัด $x$ ต่างกัน ผลรวมของความชันและจุดตัดแกน $y$ ของเส้นตรงที่ผ่านทั้งสองจุดคือเท่าใด | ความชันของเส้นตรงคือ $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ในกรณีนี้ไม่มีความแตกต่างของพิกัด $y$ ระหว่างจุด $A$ และ $B$ ดังนั้นเส้นตรงเป็นเส้นตรงแนวนอนที่มีความชันเท่ากับ 0 เนื่องจากเส้นตรงเป็นเส้นตรงแนวนอน จุดตัดแกน $y$ ของเส้นตรงเท่ากับพิกัด $y$ ของจุดอื่นๆ บนเส้นตรงคือ 13 ดังนั้นผลรวมของความชันและจุดตัดแกน $y$ คือ $\boxed{13}$ | 13 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $x$ และ $y$ โดยที่ $x\neq y$ และ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x + y$ | จากการทำให้ง่ายขึ้น เราได้ $12(x+y)=xy$ ดังนั้น $xy - 12x - 12y = 0.$ โดยใช้ Simon's Favorite Factoring Trick โดยการบวก 144 เข้าไปในทั้งสองข้าง เราได้ $xy-12x-12y +144=144$ ดังนั้น \[(x-12)(y-12)=144.\]ตอนนี้เราต้องการ $x+y$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $x-12$ และ $y-12$ มีค่าใกล้เคียงกันมากที่สุด ผู้สมัครที่ดีที่สุดสองรายคือ $(x-12,y-12)=(18,8)$ หรือ $(16,9)$ ซึ่ง $(x,y)=(28,21)$ จะได้ผลรวมต่ำสุดของ $\boxed{49}$. | 49 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $t^3\cdot t^4$ | $t^3\cdot t^4 = t^{3+4} = \boxed{t^7}$. | t^7 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $f(x) = 3x^2-5$ จงหาค่าของ $f(f(1))$ | แทน 1 ด้วย $x$ ในนิพจน์ที่กำหนด $f$ เพื่อให้ได้ว่า $f(1)=3(1)^2-5=-2$ แทน $-2$ ด้วย $x$ เราจะได้ $f(f(1))=f(-2)=3(-2)^2-5=7$ | 7 | [
"ประยุกต์"
] |
พจน์ที่ห้าของลำดับเลขคณิตเท่ากับ 11 ถ้าผลต่างระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันเท่ากับ 1 แล้วผลคูณของพจน์สองพจน์แรกเท่ากับเท่าใด | ถอยหลังจาก 11 เนื่องจาก 11 เป็นพจน์ที่ห้า พจน์แรกจะเป็น $11 - 4 \cdot 1 = 7$ และพจน์ที่สองจะเป็น $11 - 3\cdot 1 = 8$ ดังนั้นคำตอบคือ $7 \cdot 8 = \boxed{56}$ | 56 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $37a^2 + 111a$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $37a^2$ และ $111a$ คือ $37a$ เราแยกตัวประกอบ $37a$ ออกจากพจน์ทั้งสอง เพื่อให้ได้\begin{align*}
37a^2 + 111a &= 37a \cdot a + 37a \cdot 3\\
&=\boxed{37a(a+3)}
\end{align*} | 37a(a+3) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x) = 2x - 7$ และ $q(x) = 3x - b$ ถ้า $p(q(4)) = 7$ จงหาค่า $b$ | เนื่องจาก $q(4) = 3\cdot 4 - b = 12-b$ เราสามารถเขียน $p(q(4)) = 7$ เป็น $p(12-b) = 7$ เนื่องจาก $p(x) = 2x-7$ เราได้ $p(12-b) = 2(12-b) - 7 = 17 - 2b$ แทนค่านี้ลงใน $p(12-b) = 7$ จะได้ $17-2b =7$ จากนั้นเราจะได้ $b = \boxed{5}$ | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดตัดของเส้นตรงที่กำหนดโดย $y=-4x$ และ $y-2=12x$ แสดงคำตอบในรูปของลำดับคู่ โดยให้พิกัดทั้งสองอยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เพื่อหาจุดตัด เราต้องหาจุดที่สอดคล้องกับทั้งสองสมการ ดังนั้นเราต้องแก้ระบบสมการ \begin{align*}
y&=-4x, \\
y-2&=12x.
\end{align*}แทนค่า $y$ จากสมการแรกเข้าไปในสมการที่สอง เราจะได้ $-4x-2=12x$ แก้สมการหา $x$ เราจะพบว่า $x=-\frac{1}{8}$ แทนค่า $x$ นี้ลงในสมการแรก เราจะได้ $y=-4\cdot -\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$ ดังนั้นจุดตัดคือ $\boxed{\left(-\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right)}$. | \left(-\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: \[(15x^3+80x-5)-(-4x^3+4x-5).\] | ก่อนอื่น เราจะรวมพจน์ที่คล้ายกันในนิพจน์: \begin{align*}
(15x^3+80x-5)&-(-4x^3+4x-5)\\
&=15x^3+80x-5+4x^3-4x+5\\
&=19x^3+76x.\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $19x$ ออกจากนิพจน์ได้ ซึ่งจะได้ $$19x^3+76x=\boxed{19x(x^2+4)}.$$ | 19x(x^2+4) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $x^2 + 13x + 30$ สามารถเขียนได้ในรูป $(x + a)(x + b)$ และนิพจน์ $x^2 + 5x - 50$ เขียนได้ในรูป $(x + b)(x - c)$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $a + b + c$ | การแยกตัวประกอบ เราพบว่า $x^2 + 13x + 30 = (x + 3)(x + 10)$ และ $x^2 + 5x - 50 = (x + 10)(x - 5)$ เราจะเห็นว่า $b = 10$ ดังนั้น $a = 3$ และ $c = 5$ และ $a + b + c = 18$ | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ สอดคล้องกับ $x^2 + 3x + \frac{3}x + \frac{1}{x^2} = 26$ และ $x$ สามารถเขียนในรูป $a + \sqrt{b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วจงหา $a + b$ | ให้ $k = x+\frac 1x$. สังเกตว่า $k^2 = x^2 + 2 + \frac 1{x^2}$ ดังนั้น $x^2 + \frac 1{x^2} = k^2-2$. แทนค่านี้ลงในสมการจะได้ $(k^2-2) + 3 \cdot (k) = 26$ หรือ $k^2 + 3k - 28 = (k+7)(k-4) = 0$. เนื่องจาก $x$ เป็นบวก ดังนั้น $k > 0$ ดังนั้น $k = 4$. แทนค่ากลับ $x + \frac 1x = 4 \Longrightarrow x^2 - 4x + 1 = 0 \Longrightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. เพื่อให้ตรงกับรูปแบบที่ต้องการ เราเลือกคำตอบ $x = 2+\sqrt{3}$ และคำตอบคือ $\boxed{5}$. | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รากที่สองของ $2x$ มากกว่า 3 และน้อยกว่า 4 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | เรามี: $$3 < \sqrt{2x} < 4 $$$$\Rightarrow 9 < 2x < 16 $$$$\Rightarrow 4.5 < x < 8$$จำนวนเต็มตั้งแต่ 5 ถึง 7 สอดคล้องกับอสมการนี้ ดังนั้นมีจำนวนเต็ม $\boxed{3}$ จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไข | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รากที่ไม่ใช่ศูนย์ของสมการ $x^2 + 6x + k = 0$ อยู่ในอัตราส่วน $2:1$ ค่าของ $k$ คือเท่าใด | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากคือ $-6.$ เนื่องจากรากอยู่ในอัตราส่วน $2:1$ รากของสมการคือ $-4$ และ $-2$ ดังนั้น $k$ คือผลคูณของราก ซึ่งก็คือ $(-4)(-2) = 8$ | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ปริมาณ $r$ และ $s$ แปรผกผันกัน เมื่อ $r$ เท่ากับ $1200$ แล้ว $s$ เท่ากับ $0.35$ จงหาค่าของ $s$ เมื่อ $r$ เท่ากับ $2400$ แสดงคำตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง | เนื่องจาก $r$ และ $s$ แปรผกผันกัน $r\cdot s$ ต้องเป็นค่าคงที่ ดังนั้น $1200\cdot .35 = s \cdot 2400 \Rightarrow s = \frac{.35}{2} = \boxed{.175}$. | .175 | [
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt{8} \times \sqrt{50}$ | เนื่องจากรากที่สองเป็นเลขชี้กำลัง $\frac{1}{2}$ และเลขชี้กำลังกระจายผ่านการคูณ เราสามารถรวมรากเข้าด้วยกันได้ \[
\sqrt{8}\cdot \sqrt{50}=\sqrt{8\cdot50}.
\] ตอนนี้แยกตัวประกอบของ radicand: $8\cdot50=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5^2=(2\cdot2)^2\cdot5^2$. เราพบว่า $\sqrt{8\cdot50}=\sqrt{(2\cdot2)^2\cdot5^2}=2\cdot2\cdot5=\boxed{20}$. | 20 | [
"ความจำ",
"ความเข้าใจ"
] |
จำนวนเต็มบวก $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $x^2 + 6x + 9$ มีค่าอยู่ระหว่าง 20 ถึง 40 | เราเห็นว่า $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. ถ้า $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก เราจะเห็นว่านิพจน์นี้สามารถมีค่าเท่ากับกำลังสองสมบูรณ์ใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 16 ดังนั้น ปัญหาจึงถามว่ามีกำลังสองสมบูรณ์กี่จำนวนที่อยู่ระหว่าง 20 ถึง 40 มีเพียง $\boxed{2}$ จำนวน คือ 25 และ 36 | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า 15 bahs เท่ากับ 24 rahs และ 9 rahs เท่ากับ 15 yahs จงหาว่า bahs กี่ bahs เท่ากับ 1000 yahs | 5 yahs เท่ากับ 3 rahs ดังนั้น $5\cdot 200=1000$ yahs เท่ากับ $3\cdot 200=600$ rahs. 8 rahs เท่ากับ 5 bahs ดังนั้น $8\cdot 75=600$ rahs เท่ากับ $5\cdot75=\boxed{375}$ bahs. | 375 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $j$ ใดบ้าง สมการ $(2x+7)(x-5) = -43 + jx$ มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียว? แสดงคำตอบของคุณเป็นรายการของตัวเลขที่คั่นด้วยจุลภาค | เราเริ่มต้นด้วยการทำให้ด้านซ้ายของสมการง่ายขึ้น และลบ $-43+jx$ ออกจากทั้งสองข้าง เราได้ $2x^2+(-3-j)x+8=0$ สำหรับสมการกำลังสองนี้จะมีรากจริงเพียงรากเดียว ดังนั้น จึงต้องมีค่าของ $b^2-4ac$ เท่ากับ $0$ ดังนั้น เราต้องกำหนดให้ $(-3-j)^2-4(2)(8) = 0$ แก้สมการนี้แล้วจะได้ $j=\boxed{5,\,-11}$ | 5,\,-11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของสมการกำลังสอง $y = ax^2 + bx + c$ เป็นรูปโค้งพาราโบลาที่ผ่านจุด $(-1,7)$, $(5,7)$, และ $(6,10)$ พิกัด $x$ ของจุดยอดของพาราโบลาคือเท่าใด? | เราสามารถแทนค่าจุดเหล่านี้ลงในสมการ $y = ax^2 + bx + c$ คำนวณหาค่า $a$, $b$ และ $c$ และทำการเติมกำลังสองเพื่อหาพิกัดของจุดยอด
อย่างไรก็ตาม วิธีที่รวดเร็วกว่ามากคือการสังเกตว่าจุดสองจุด คือ $(-1,7)$ และ $(5,7)$ มีพิกัด $y$ เท่ากัน ดังนั้น จุดทั้งสองนี้สมมาตรกันเกี่ยวกับแกนสมมาตรของพาราโบลา แกนต้องผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสมมาตรทั้งสองจุด ดังนั้น แกนต้องผ่าน $\left(\frac{-1+5}{2},\frac{7+7}{2}\right)$ ซึ่งคือ $(2,7)$ ดังนั้น แกนสมมาตรเป็นเส้นตรงแนวตั้งผ่าน $(2,7)$ เส้นตรงนี้เป็นกราฟของสมการ $x=2$ แกนสมมาตรยังผ่านจุดยอดของพาราโบลาด้วย ดังนั้น พิกัด $x$ ของจุดยอดคือ $\boxed{2}$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของ $y=f(x)$ ซึ่งประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงห้าส่วน แสดงไว้ในสีแดงด้านล่าง (ระยะห่างระหว่างเส้นตารางคือ $1$)
ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดทั้งหมดที่ $f(x) = x+1$ คือเท่าใด? | เราซ้อนกราฟของ $y=x+1$ บนแกนเดียวกันกับกราฟเดิม:
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real wholetickdown=tickdown;
void rr_cartesian_axes(real xleft, real xright, real ybottom, real ytop, real xstep=1, real ystep=1, bool useticks=false, bool complexplane=false, bool usegrid=true) {
import graph;
real i;
if(complexplane) {
label("$\textnormal{Re}$",(xright,0),SE);
label("$\textnormal{Im}$",(0,ytop),NW);
} else {
label("$x$",(xright+0.4,-0.5));
label("$y$",(-0.5,ytop+0.2));
}
ylimits(ybottom,ytop);
xlimits( xleft, xright);
real[] TicksArrx,TicksArry;
for(i=xleft+xstep; i<xright; i+=xstep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArrx.push(i);
}
}
for(i=ybottom+ystep; i<ytop; i+=ystep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArry.push(i);
}
}
if(usegrid) {
xaxis(BottomTop(extend=false), Ticks("%", TicksArrx ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
yaxis(LeftRight(extend=false),Ticks("%", TicksArry ,pTick=gray(0.22),extend=true), p=invisible);//,Arrows);
}
if(useticks) {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, Ticks("%",TicksArry , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, Ticks("%",TicksArrx , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
} else {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
}
};
rr_cartesian_axes(-5,5,-5,5);
draw((-4,-5)--(-2,-1)--(-1,-2)--(1,2)--(2,1)--(4,5),red);
draw((-5,-4)--(4,5),green);
[/asy]
มีจุดตัดสามจุด ที่ $(-2,-1),$ $(1,2),$ และ $(4,5)$ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $(-2)+1+4=\boxed{3}$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนหนึ่งของกราฟของ $y = f(x)$ แสดงไว้ในสีแดงด้านล่าง โดยที่ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง ระยะห่างระหว่างเส้นตารางคือ $1$ หน่วย
ผลรวมของจำนวน $x$ ที่แตกต่างกันทั้งหมดที่ทำให้ $f(f(f(x)))=-3$ เท่ากับเท่าใด?
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real wholetickdown=tickdown;
void rr_cartesian_axes(real xleft, real xright, real ybottom, real ytop, real xstep=1, real ystep=1, bool useticks=false, bool complexplane=false, bool usegrid=true) {
import graph;
real i;
if(complexplane) {
label("$\textnormal{Re}$",(xright,0),SE);
label("$\textnormal{Im}$",(0,ytop),NW);
} else {
label("$x$",(xright+0.4,-0.5));
label("$y$",(-0.5,ytop+0.2));
}
ylimits(ybottom,ytop);
xlimits( xleft, xright);
real[] TicksArrx,TicksArry;
for(i=xleft+xstep; i<xright; i+=xstep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArrx.push(i);
}
}
for(i=ybottom+ystep; i<ytop; i+=ystep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArry.push(i);
}
}
};
rr_cartesian_axes(-8,4,-6,6);
real f(real x) {return x^2/4+x-3;}
draw(graph(f,-8,4,operator ..), red);
[/asy] | ก่อนอื่นเราสังเกตว่ามีจุดสองจุดบนกราฟที่มีพิกัด $y$ เท่ากับ $-3$ จุดเหล่านี้คือ $(-4,-3)$ และ $(0,-3)$ ดังนั้นถ้า $f(f(f(x)))=-3$ แล้ว $f(f(x))$ จะเท่ากับ $-4$ หรือ $0$
มีจุดสามจุดบนกราฟที่มีพิกัด $y$ เท่ากับ $-4$ หรือ $0$ จุดเหล่านี้คือ $(-2,-4),$ $(-6,0),$ และ $(2,0)$ ดังนั้นถ้า $f(f(x))$ เท่ากับ $-4$ หรือ $0$ แล้ว $f(x)$ จะเท่ากับ $-2,$ $-6,$ หรือ $2$
มีจุดสี่จุดบนกราฟที่มีพิกัด $y$ เท่ากับ $-2$ หรือ $2$ (และไม่มีจุดที่มีพิกัด $y$ เท่ากับ $-6$) พิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่เราสามารถใช้ความสมมาตรของกราฟ (เทียบกับเส้นแนวตั้ง $x=-2$) เพื่ออนุมานว่าถ้าจุดเหล่านี้คือ $(x_1,-2),$ $(x_2,-2),$ $(x_3,2),$ และ $(x_4,2)$ แล้ว $x_1+x_2=-4$ และ $x_3+x_4=-4$ ดังนั้นผลรวมของพิกัด $x$ ทั้งหมดสี่ตัวคือ $\boxed{-8}$ | -8 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ประเมินค่าของ $\log_5625$. | เรามี $5^4=625$ ดังนั้น $\log_5 625 = \boxed{4}$. | 4 | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนเท่ากับ 6 ผลต่างของกำลังสองของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 12 จำนวนบวกที่เป็นผลต่างของจำนวนทั้งสองเท่ากับเท่าใด | กำหนดให้จำนวนทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ เราทราบว่า $x+y = 6$ และ $x^2 - y^2 = 12$ เนื่องจาก $x^2 - y^2$ สามารถแยกตัวประกอบเป็น $(x+y)(x-y)$ เราสามารถแทนค่า $x+y$ ลงไปได้ ให้ $6(x-y) = 12$ หรือ $x-y = 2$ | 2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับสมการ $8x^2 - 38x + 35 = 0$ แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เราเห็นว่าเราสามารถเขียนใหม่ด้านซ้ายของสมการ $8x^2 - 38x + 35$ เป็น $(2x - 7)(4x - 5)$ ดังนั้นเรามี $(2x - 7)(4x - 5) = 0$ ดังนั้นการแก้สมการ $2x - 7 = 0$ และ $4x - 5 = 0$ จะให้เรา $x = 3.5$ และ $x = 1.25$ เป็นคำตอบของเรา เนื่องจาก $1.25 < 3.5$ คำตอบสุดท้ายของเราคือ $x = \boxed{1.25}$ | 1.25 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเงินที่อัลมีในตอนเริ่มต้น | กำหนดให้จำนวนเงินที่อัล เบ็ตตี้ และเคลร์มีในตอนเริ่มต้นเป็น $a$, $b$ และ $c$ ตามลำดับ จากนั้น \[
a + b + c = 1000\quad\text{และ}\quad a-100 + 2(b+c) = 1500.
\] แทน $b+c=1000-a$ ในสมการที่สอง เราจะได้ \[
a -100 + 2(1000-a)=1500.
\] นี่จะให้ $a=\boxed{400}$ ซึ่งเป็นจำนวนเงินที่อัลมีในตอนเริ่มต้น
หมายเหตุ แม้ว่าเราจะทราบว่า $b+c = 600$ แต่เราก็ไม่สามารถหาค่า $b$ หรือ $c$ ได้ | 400 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $n$ เมื่อ $9^n\cdot9^n\cdot9^n\cdot9^n=81^4$ | สมการ $9^n\cdot9^n\cdot9^n\cdot9^n=81^4$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $9^{4n}=81^4$ เนื่องจาก $81=9^2$ เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น $9^{4n}=9^{2(4)}$ เมื่อแก้สมการหา $n$ จะได้ $n=\boxed{2}$ | 2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $2^{x^2-3x-2} = 4^{x - 4}$ | เขียนข้างขวาของสมการในรูปของเลข 2 เป็นฐาน จะได้ $4^{x-4} = (2^2)^{x-4} = 2^{2(x-4)} = 2^{2x-8}$ ดังนั้นสมการของเราคือ $$2^{x^2-3x-2} = 2^{2x - 8}.$$จากนั้น โดยการ equate ค่าของเลขชี้กำลัง เราจะได้ $$x^2 - 3x - 2 = 2x - 8.$$ นำไปสู่สมการกำลังสอง $$x^2 - 5x + 6 = 0.$$การแยกตัวประกอบจะได้ $(x-2)(x-3)=0$ ซึ่งมีคำตอบ $x = 2,3$ ผลรวมของคำตอบเหล่านี้คือ $\boxed{5}$ | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+\frac{1}{3^{6}}$ เมื่อแสดงในรูปเศษส่วนอย่างง่ายคือเท่าใด | อนุกรมเรขาอนันต์นี้มีพจน์แรก $\frac{1}{3}$ อัตราส่วนร่วม $\frac{1}{3}$ และมี 6 พจน์ ดังนั้นผลบวกของอนุกรมคือ: $$\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{6}}\right)}{1-\frac{1}{3}}
=\frac{\frac{3^{6}-1}{3^{7}}}{\frac{2}{3}}
= \frac{3^{6}-1}{2\cdot3^{6}}=\frac{729-1}{2\cdot 729} = \boxed{\frac{364}{729}}.$$ | \frac{364}{729} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าของ $f$, $g$, $h$ และ $j$ มีค่าเป็น 5, 6, 7 และ 8 แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนั้น จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลรวมของสี่ผลคูณ $fg$, $gh$, $hj$ และ $fj$? | พิจารณาผลคูณเป็นคู่ๆ เราได้ \[
(f+g+h+j)^2=f^2+g^2+h^2+j^2+2(fg+fh+fj+gh+gj+hj),
\] ดังนั้น \[
fg+gh+hj+fj=\frac{(f+g+h+j)^2-f^2-g^2-h^2-j^2}{2}-(fh+gj).
\] เนื่องจากเศษส่วนทางด้านขวามือไม่ขึ้นอยู่กับว่าค่าของ $f$, $g$, $h$ และ $j$ ถูกกำหนดอย่างไร เราจึงเพิ่มค่า $fg+gh+hj+fj$ โดยการลดค่า $fh+gj$ ลง ตรวจสอบค่าสามค่าที่แตกต่างกันสำหรับ $fh+gj$ เราพบว่า $5\cdot8+6\cdot7=82$ เป็นค่าต่ำสุด ดังนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $fg+gh+hj+fj$ คือ $\frac{(5+6+7+8)^2-5^2-6^2-7^2-8^2}{2}-82=\boxed{169}$ | 169 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แอบบี้, บาร์ท, ซินดี้ และ เดมอน ชั่งน้ำหนักกันเป็นคู่ๆ แอบบี้กับบาร์ทหนักรวมกัน 260 ปอนด์, บาร์ทกับซินดี้หนักรวมกัน 245 ปอนด์ และ ซินดี้กับเดมอนหนักรวมกัน 270 ปอนด์ แอบบี้กับเดมอนหนักรวมกันกี่ปอนด์? | ให้ $a$, $b$, $c$, และ $d$ แทนน้ำหนักของแอบบี้, บาร์ท, ซินดี้ และ เดมอน ตามลำดับ เรามีสมการดังนี้ \begin{align*}
a+b&=260\\
b+c&=245\\
c+d&=270
\end{align*} ลบสมการที่สองจากสมการแรก เราจะได้ $(a+b)-(b+c)=260-245 \Rightarrow a-c=15$. บวกสมการนี้กับสมการที่สามที่กำหนดให้ เราจะได้ $(a-c)+(c+d)=15+270 \Rightarrow a+d=285$. ดังนั้น แอบบี้กับเดมอนหนักรวมกัน $\boxed{285}$ ปอนด์. | 285 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
การแข่งขัน AMC 10 ประจำปี 2007 จะมีการให้คะแนนโดยมอบคะแนน 6 คะแนนสำหรับคำตอบที่ถูกต้อง 0 คะแนนสำหรับคำตอบที่ผิด และ 1.5 คะแนนสำหรับข้อที่ปล่อยว่างไว้ หลังจากพิจารณา 25 ข้อแล้ว ซาร่าตัดสินใจที่จะพยายามทำ 22 ข้อแรกและปล่อยให้ 3 ข้อสุดท้ายว่างไว้
ซาร่าต้องตอบถูกอย่างน้อยกี่ข้อใน 22 ข้อแรกเพื่อให้ได้คะแนนอย่างน้อย 100 คะแนน? | ซาร่าจะได้รับ 4.5 คะแนนสำหรับ 3 ข้อที่เธอปล่อยว่างไว้ ดังนั้นเธอต้องได้อย่างน้อย 100 - 4.5 = 95.5 คะแนนจาก 22 ข้อแรก เพราะ \[
15 < \frac{95.5}{6} < 16,
\]เธอต้องแก้ถูกอย่างน้อย $\boxed{16}$ ข้อใน 22 ข้อแรก นี่จะทำให้เธอได้คะแนน 100.5 คะแนน | 16 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ $2x(x-3) + 3(x-3)$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x-3$ ออกจากแต่ละพจน์: \[2x(x-3) + 3(x-3) = 2x\cdot (x-3) + 3\cdot (x-3) = \boxed{(2x+3)(x-3)}.\] ถ้าคุณไม่เข้าใจว่ามันทำงานอย่างไร ลองแทน $A$ แทน $x-3$ ทุกที่ในนิพจน์เดิม แล้วเราจะเห็นการแยกตัวประกอบได้ชัดเจนขึ้น: \[2xA +3A = 2x\cdot A + 3\cdot A = (2x+3)A.\] แทน $x-3$ กลับเข้าไปใน $A$ เราจะได้การแยกตัวประกอบ: $(2x+3)(x-3)$ | (2x+3)(x-3) | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $x$ กี่จำนวนที่สอดคล้องกับ $100 \leq x^2 \leq 200$? | เรามี $10^2=100$ ดังนั้น $10$ คือจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการเหล่านี้ จากที่นี่เราสามารถคำนวณกำลังสองที่สมบูรณ์ถัดไปได้: \begin{align*}
11^2 &= 121, \\
12^2 &= 144, \\
13^2 &= 169, \\
14^2 &= 196, \\
15^2 &= 225.
\end{align*} $x$ สุดท้ายที่ทำให้ $x^2\le 200$ คือ $x=14$ โดยรวมแล้วคำตอบของเราในจำนวนเต็มบวกคือ $$x=10,11,12,13,14,$$ ดังนั้นมี $\boxed{5}$ จำนวน $x$ ที่สอดคล้อง | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทุ่งเลี้ยงวัวรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าถูกปิดล้อมด้วยรั้ว 3 ด้าน และด้านที่สี่เป็นส่วนหนึ่งของด้านข้างของยุ้งฉางที่มีความยาว 400 ฟุต รั้วมีราคา 5 ดอลลาร์ต่อฟุต และ 1,200 ดอลลาร์ทั้งหมด จงหาความยาวของด้านที่ขนานกับยุ้งฉางที่ทำให้พื้นที่ของทุ่งเลี้ยงวัวมากที่สุดโดยประมาณถึงฟุตที่ใกล้ที่สุด | ให้ด้านที่ตั้งฉากกับยุ้งฉางมีความยาว x โปรดสังเกตว่ามีรั้วทั้งหมด 1200/5 = 240 ฟุต ดังนั้นด้านที่ขนานกับยุ้งฉางจะมีความยาว 240-2x ดังนั้นพื้นที่ที่จะทำให้มากที่สุดคือ 240x-2x² การเติมกำลังสองจะได้ -2(x-60)²+7200 ซึ่งจะสูงสุดเมื่อ x=60 ดังนั้นด้านที่ขนานกับยุ้งฉางจะมีความยาว 240-2(60) = 120 ฟุต | 120 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
ax+3 & \text{ if }x>0, \\
ab & \text{ if }x=0, \\
bx+c & \text{ if }x<0.
\end{array}
\right.\]ถ้า $f(2)=5$, $f(0)=5$, และ $f(-2)=-10$ และ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $2>0$ เราทราบว่า $f(2)=a(2)+3=5$. แก้สมการเพื่อหาค่า $a$ เราได้ว่า $a=1$. เมื่อ $x=0$ เราได้ว่า $f(0)=ab=5$. เราทราบแล้วว่า $a=1$ ดังนั้น $b=5$. เนื่องจาก -2 เป็นจำนวนลบ เราทราบว่า $f(-2)=b(-2)+c=(5)(-2)+c=-10$. นี่บอกเราว่า $c=0$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $a+b+c=1+5+0=\boxed{6}$. | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบอลลูกหนึ่งเด้งกลับขึ้นมา $\frac{2}{3}$ ของความสูงที่ตกลงมา ถ้าลูกบอลถูกปล่อยจากความสูง $243$ เซนติเมตร ลูกบอลจะเด้งขึ้นน้อยกว่า $30$ เซนติเมตร หลังจากเด้งกี่ครั้ง? | ถ้าคุณเรียกจำนวนครั้งที่เด้งว่า $b$ ปัญหานี้สามารถเขียนได้ดังนี้: $b$ น้อยสุดเท่าไรที่ทำให้ $243\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^b < 30 \rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^b < \frac{30}{243}$ ในตอนนี้คุณสามารถใช้ลอการิทึมเพื่อแก้สมการนี้ได้ แต่เนื่องจากคุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขได้ การคูณ $\frac{2}{3}$ ด้วยตัวเองซ้ำๆ จนกว่าผลคูณจะน้อยกว่า $\frac{30}{243}$ จะง่ายกว่า คุณจะได้ $b = \boxed{6}$ ไม่ว่าจะใช้วิธีใด | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$ และ $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -7$ จงหาค่าของ $x + y$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ก่อนอื่น เราหาค่า \[\frac1{x} = \frac12\left(\left(\frac1{x}+\frac1{y}\right)+\left(\frac1{x}-\frac1{y}\right)\right) = \frac12(3+(-7)) = -2.\] ดังนั้น $x = -\frac12$ เช่นเดียวกัน เราหาค่า \[\frac1{y} = \frac12\left(\left(\frac1{x}+\frac1{y}\right)-\left(\frac1{x}-\frac1{y}\right)\right) = \frac12(3-(-7)) = 5.\] ดังนั้น $y = \frac15$ ผลรวมที่ต้องการคือ \[x+y = -\frac12 + \frac15 = \boxed{-\frac{3}{10}}.\] | -\frac{3}{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $a$ และ $b$ สอดคล้องกับสมการ $3^a=81^{b+2}$ และ $125^b=5^{a-3}$ ค่าของ $ab$ เท่ากับเท่าใด | สมการที่กำหนดเทียบเท่ากับ \[
3^a=3^{4(b+2)}\quad\text{และ}\quad 5^{3b}=5^{a-3}.
\] ดังนั้น $a=4(b+2)$ และ $3b=a-3$ คำตอบของระบบสมการนี้คือ $a=-12$ และ $b=-5$ ดังนั้น $ab=\boxed{60}$ | 60 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ราคาของดินสอ 5 แท่งและปากกา 1 แท่งคือ $2.50 และราคาของดินสอ 1 แท่งและปากกา 2 แท่งคือ $1.85 จงหาราคาของดินสอ 2 แท่งและปากกา 1 แท่ง | ให้ราคาของดินสอ 1 แท่งเป็น $a$ และราคาของปากกา 1 แท่งเป็น $b$ เราสามารถตั้งระบบสมการ 2 สมการเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนด สมการคือ:
\begin{align*}
5a + b &= 2.5 \\
a + 2b &= 1.85 \\
\end{align*}
เราพยายามหาค่าของ $2a + b$ สังเกตว่าเมื่อเราบวกทั้งสองสมการเข้าด้วยกัน เราจะได้ $6a+3b=4.35$ นี่คือสามเท่าของสิ่งที่เราต้องการหา ดังนั้น หารทั้งสองข้างของสมการสุดท้ายด้วยสาม เราจะได้ $2a+b=1.45$ ดังนั้น ราคาของดินสอ 2 แท่งและปากกา 1 แท่งคือ $\boxed{1.45}$ ดอลลาร์
หรือเราสามารถแก้ระบบสมการของเราสำหรับ $a$ และ $b$ และจากนั้นหาค่าของ $2a+b$ ในกรณีนี้ เราจะได้ $a=.35$ และ $b=.75$ ดังนั้น $2a+b=1.45$ ตามที่คาดไว้ | 1.45 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $2(3-i)+i(2+i)$ | $2(3-i) + i(2+i) = 6-2i +2i + i^2 = 6 -2i+2i -1 = (6-1) + (-2i+2i) = \boxed{5}$ | 5 | [
"นำไปใช้"
] |
กราฟของสมการ $x + 2y + 3 = 0$ ตั้งฉากกับกราฟของสมการ $ax + 2y + 3 = 0$ ค่าของ $a$ เท่ากับเท่าใด | เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกัน สัมประสิทธิ์ของเส้นตรงทั้งสองต้องคูณกันได้ -1 เส้นตรงแรกมีค่าความชัน $-\frac12$ และเส้นตรงที่สองมีค่าความชัน $-\frac{a}{2}$ ดังนั้น $\frac{a}{4}=-1$ และ $a=\boxed{-4}$ | -4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาช่วงของฟังก์ชัน $y = \frac{x^2 + 3x + 2}{x+1}$ (แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง) | เราสามารถแยกตัวประกอบตัวเศษได้เป็น $y = \frac{(x+1)(x+2)}{x+1}$ ถ้าเราไม่นับกรณีที่ $x = -1$ ฟังก์ชันจะเทียบเท่ากับ $y = x+2$ อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก $x$ ไม่สามารถเท่ากับ $-1$ ได้ $y$ จึงไม่สามารถเท่ากับ 1 ดังนั้นช่วงคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น 1 ซึ่งเราสามารถเขียนเป็น $y \in \boxed{(-\infty, 1)\cup(1, \infty)}.$ | (-\infty, 1)\cup(1, \infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดตัดแกน $x$ ของเส้นตรง $3x+5y=20$ แสดงคำตอบในรูปของลำดับคู่ และแสดงพิกัด $x$ และ $y$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำเท่าที่ต้องการ | ให้ $y=0$ ใน $3x+5y=20$ จะได้ $3x=20$ ดังนั้นพิกัด $x$ ของจุดตัดแกน $x$ คือ $20/3$ ดังนั้นจุดตัดแกน $x$ คือ $\boxed{\left(\frac{20}{3},0\right)}$ | \left(\frac{20}{3},0\right) | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
ชาวนาคนหนึ่งมีแปลงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาด $2m+7$ และ $m-2$ ถ้าแปลงมีพื้นที่ 51 ตารางหน่วย ค่าของ $m$ คือเท่าไร? | เราใช้ข้อมูลที่กำหนดให้เพื่อตั้งสมการกำลังสองที่สัมพันธ์พื้นที่ของแปลงกับ $m$: \begin{align*}
(2m+7)(m-2)&=51\\
2m^2+3m-14 &= 51\\
2m^2+3m-65 &= 0\\
(2m+13)(m-5)&=0
\end{align*}วิธีแก้สมการที่เป็นไปได้สองวิธีคือ $m=-\frac{13}{2}$ และ $m=5$ ของวิธีแก้สมการเหล่านี้มีเพียง $m = \boxed{5}$ เท่านั้นที่ถูกต้อง | 5 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
โจแอนี took a $\$6,\!000$ loan to pay for her car. The annual interest rate on the loan is $12\%$. She makes no payments for 4 years, but has to pay back all the money she owes at the end of 4 years. How much more money will she owe if the interest compounds quarterly than if the interest compounds annually? Express your answer as a dollar value to the nearest cent. | ถ้าดอกเบี้ยทบต้นไตรมาสละครั้ง เธอจะต้องจ่าย \[\left(1 + \frac{0.12}{4}\right)^{4\cdot 4}(\$6,\!000)\approx \$9,\!628.24.\] ถ้าดอกเบี้ยทบต้นปีละครั้ง เธอจะต้องจ่าย \[(1+0.12)^4(\$6,\!000)\approx \$9,\!441.12.\] ดังนั้น ถ้าดอกเบี้ยทบต้นไตรมาสละครั้ง เธอจะต้องจ่าย \[\$9,\!628.24 - \$9,\!441.12 = \boxed{\$187.12}\text{ มากกว่า.}\] | \$187.12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนจริง $x$ สามจำนวนที่ไม่อยู่ในโดเมนของ $$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac 1x}}.$$ ผลรวมของจำนวนจริงทั้งสามนั้นเท่ากับเท่าใด? | มีตัวส่วนสามตัวในสูตรของ $f(x)$: $$x, \quad 1+\frac 1x, \quad 1+\frac{1}{1+\frac 1x}.$$ เพื่อให้ $f(x)$ ไม่นิยาม ตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่งต้องเท่ากับ $0$ เราพิจารณาตัวส่วนทีละตัว
ตัวส่วนที่ง่ายที่สุด $x$ จะเท่ากับ $0$ ถ้า $x=0$.
ตัวส่วนที่สอง $1+\frac 1x$ จะเท่ากับ $0$ ถ้า $x=-1$.
ตัวส่วนที่สาม $1+\frac{1}{1+\frac 1x}$ จะเท่ากับ $0$ ถ้า $$\frac{1}{1+\frac 1x} = -1.$$ เราสามารถแก้สมการได้ดังนี้: \begin{align*}
-1 &= 1+\frac 1x \\
-2 &= \frac 1x \\
x &= -\frac 12
\end{align*}
ดังนั้น ผลรวมของจุดทั้งสามที่ไม่อยู่ในโดเมนของ $f(x)$ คือ $0+(-1)+\left(-\frac 12\right) = \boxed{-\frac 32}$. | -\frac 32 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดตาข่ายคือจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มทั้งคู่ จงหาจำนวนจุดตาข่ายที่อยู่บนเส้นขอบหรือภายในบริเวณที่ล้อมรอบด้วย $y=|x|$ และ $y=-x^2+6$ | กราฟของสมการทั้งสองแสดงไว้ด้านล่าง:
[asy]
Label f;
f.p=fontsize(4);
xaxis(-3,3,Ticks(f, 2.0));
yaxis(-1,7,Ticks(f, 2.0));
real f(real x)
{
return abs(x);
}
draw(graph(f,-3,3), linewidth(1));
real g(real x)
{
return -x^2+6;
}
draw(graph(g,-2.5,2.5), linewidth(1));
[/asy]
เราจะหาค่า $x$ ที่สมการทั้งสองตัดกันก่อน เมื่อ $x\ge 0$, $y=|x|=x$. แทนค่านี้ลงในสมการที่สองเพื่อกำจัด $y$ เราจะได้ $x=-x^2+6\Rightarrow x^2+x-6=0$. การแยกตัวประกอบทางซ้ายมือจะได้ $(x+3)(x-2)=0$ ดังนั้น $x=2$ (เนื่องจากเราได้ระบุว่า $x$ เป็นค่าบวก) โดยสมมาตร ค่า $x$ ของจุดตัดทางซ้ายคือ $x=-2$ ดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาค่า $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มระหว่างขอบเขตเหล่านี้ และหาค่า $y$ ที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดที่ทำให้จุด $(x,y)$ ตกอยู่ภายในบริเวณ
สำหรับ $x=-2$ มี 1 จุดที่ใช้ได้: $(-2,2)$. สำหรับ $x=-1$ ค่าของ $y=|x|$ คือ $y=1$ และค่าของ $y=-x^2+6$ คือ $y=5$ ดังนั้นค่า $y$ ทั้งหมดระหว่าง 1 ถึง 5 รวมกันจะได้ 5 จุด สำหรับ $x=0$ ค่าของ $y=|x|$ คือ $y=0$ และค่าของ $y=-x^2+6$ คือ $y=6$ ดังนั้นค่า $y$ ทั้งหมดระหว่าง 0 ถึง 6 รวมกันจะได้ 7 จุด โดยสมมาตร เมื่อ $x=1$ จะมี 5 จุดที่ใช้ได้ และเมื่อ $x=2$ จะมี 1 จุดที่ใช้ได้
โดยรวมแล้ว มี $1+5+7+5+1=\boxed{19}$ จุดตาข่ายในบริเวณหรือบนเส้นขอบ | 19 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความชันของเส้นตรง $2y = -3x + 6$ | หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 จะได้ $y = -\frac{3}{2}x + 3$ ซึ่งอยู่ในรูปสมการเส้นตรงตัดแกน y สัมประสิทธิ์ของ $x$ คือความชันที่ต้องการ $ \boxed{-\frac32}$ | -\frac32 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{1-\sqrt{2}}$. | การคูณตัวเศษจะได้ $1$. การคูณตัวส่วนจะได้ $1+\sqrt{2} - \sqrt{2} -2 = 1 - 2 = -1$. ดังนั้น คำตอบคือ $\frac{1}{-1} = \boxed{-1}$. | -1 | [
"นำไปใช้"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ $19$ และผลต่างของสองจำนวนนั้นคือ $5$ จงหาผลคูณของสองจำนวนนั้น | ให้จำนวนทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ ปัญหาจะแปลเป็นระบบสมการดังนี้: \begin{align*}
x+y &= 19\\
x-y &= 5.
\end{align*} บวกสมการทั้งสองสมการ จะได้ $x+y+x-y = 24$ ซึ่งหมายความว่า $2x = 24$ ดังนั้น $x = 12$ ลบสมการทั้งสองสมการ จะได้ $(x+y)-(x-y) = 14$ ซึ่งหมายความว่า $2y = 14$ ดังนั้น $y = 7$ ผลคูณที่ต้องการคือ $xy = 12\cdot7 =\boxed{84}$ | 84 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=3x+4$ และ $g(x)=2x-3$ ถ้า $h(x)=f(g(x))$ แล้ว ผกผันของ $h(x)$ คืออะไร? | \[h(x)=f(g(x))=3(2x-3)+4=6x-5.\]ให้แทน $h(x)$ ด้วย $y$ เพื่อความง่าย ดังนั้น \[y=6x-5.\]เพื่อหาผกผันของ $h(x)$ เราสามารถแก้สมการนี้เพื่อหา $x$ ได้ ซึ่งจะได้ \[y+5=6x\]หรือ \[x=\frac{y+5}{6}.\]เขียนในรูปของ $x$ จะได้ฟังก์ชันผกผันของ $h$ คือ \[h^{-1}(x)=\boxed{\frac{x+5}{6}}.\] | \frac{x+5}{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลต่างของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 6 และผลคูณของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 112 จงหาผลบวกของจำนวนทั้งสอง | กำหนดให้จำนวนทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ โดยที่ $x>y$ เราจะได้สมการ \begin{align*}
x-y&=6\\
xy&=112
\end{align*}ยกกำลังสองสมการแรก เราจะได้ \[(x-y)^2=6^2\Rightarrow x^2-2xy+y^2=36\]คูณสมการที่สองด้วยสี่ เราจะได้ $4xy = 4\cdot112=448$ บวกสมการสองสมการสุดท้ายเข้าด้วยกัน เราจะได้ \[x^2-2xy+y^2+4xy=36+448 \Rightarrow (x+y)^2=484 \Rightarrow x+y = 22\]ในขั้นตอนสุดท้าย เราใช้รากที่สองที่เป็นบวก เพราะว่า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนบวก ผลบวกของจำนวนทั้งสองคือ $\boxed{22}$ | 22 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
รยูซูเกะกำลังไปรับเพื่อนที่ทำงาน อ่านเลขไมล์ได้ 74,568 เมื่อเขาไปรับเพื่อน และอ่านเลขไมล์ได้ 74,592 เมื่อเขาส่งเพื่อนที่บ้านของเขา รถยนต์ของรยูซูเกะได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน และราคาของน้ำมัน 1 แกลลอนคือ $4.05. ค่าใช้จ่ายในการใช้แก๊สที่รยูซูเกะใช้ในการขับรถพาเพื่อนกลับบ้านจากที่ทำงานคือเท่าไร? (แสดงคำตอบเป็นดอลลาร์และปัดเศษเป็นเซ็นต์ที่ใกล้ที่สุด) | รยูซูเกะเดินทางไประยะทาง $74,592 - 74,568 = 24$ ไมล์ ระหว่างเวลาที่เขาไปรับเพื่อนและเวลาที่เขาส่งเขาลง. เนื่องจากรถยนต์ของเขาได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน เขาใช้ 24/28 หรือ 12/14 ของแกลลอน. ด้วยราคา $4.05 ต่อแกลลอน ค่าใช้จ่ายในการเดินทางโดยประมาณคือ $12/14 \times 4.05 \approx \boxed{\$3.47}$. | \$3.47 | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่าฟังก์ชัน $g$ และ $f$ มีสมบัติที่ $g(x)=3f^{-1}(x)$ และ $f(x)=\frac{24}{x+3}$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $g(x)=15$ | เนื่องจาก $g(x)=3f^{-1}(x)$ เราได้ว่า $3f^{-1}(x)=15$ ซึ่งหมายความว่า $f^{-1}(x)=\frac{15}{3}=5$ เนื่องจาก $f$ และ $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันกัน ถ้า $f^{-1}(x)=5$ เราจะได้ว่า $f(5)=x$ แทนค่านี้กลับลงในสมการ $f(x)=\frac{24}{x+3}$ เราจะได้ว่า $$x=f(5)=\frac{24}{5+3}=\boxed{3}.$$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าเฉลี่ยของคำตอบทั้งหมดสำหรับ $x$ เมื่อ $x^3 + 3x^2 - 10x = 0$。 | ראשית, เราแยกตัวประกอบสมการเป็น $x(x^2 +3x - 10) = 0$。 ดังนั้น คำตอบหนึ่งคือ $x=0$ และอีกสองคำตอบคือคำตอบของ $x^2 + 3x-10=0$。 เราสามารถแยกตัวประกอบสมการกำลังสองได้ หรือสังเกตว่าผลรวมของคำตอบของสมการกำลังสองนี้คือ $-(3/1)=-3$ ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของคำตอบทั้งสามของสมการเดิมคือ $-3/3=\boxed{-1}$。 | -1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $r(\theta) = \frac{1}{1-\theta}$ จงหาค่าของ $r(r(r(r(r(r(30))))))$ (โดยที่ $r$ ถูกนำไปใช้ 6 ครั้ง) | เราประเมินค่า $r$ หลายครั้งเพื่อดูว่ามีรูปแบบหรือไม่ จริงอยู่ $r(\theta) = \frac{1}{1-\theta}$ ดังนั้น \begin{align*}
r(r(\theta)) &= r\left(\frac{1}{1- \theta}\right) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1-\theta}} \cdot \frac{1 - \theta}{1 - \theta} \\ &= \frac{1 - \theta}{1 - \theta - 1} = \frac{1 - \theta}{- \theta} = 1 - \frac{1}{\theta}.
\end{align*} แล้ว, $$r(r(r(\theta ))) = r\left(1 - \frac 1{\theta}\right) = \frac{1}{1 - \left(1 - \frac 1{\theta}\right)} = \frac{1}{\frac {1}{\theta}} = \theta.$$ ดังนั้นสำหรับทุกค่าของ $\theta$ เราได้ว่า $r(r(r(\theta))) = \theta$ เป็นเอกลักษณ์ ดังนั้น $$r(r(r(r(r(r(30)))))) = r(r(r(30))) = \boxed{30}.$$ | 30 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า 8 แอปเปิลมีราคาเท่ากับ 4 กล้วย และ 2 กล้วยมีราคาเท่ากับ 3 แตงกวา ไทเลอร์สามารถซื้อแตงกวาได้กี่อัน ด้วยราคาของแอปเปิล 16 ผล | เนื่องจาก 8 แอปเปิลมีราคาเท่ากับ 4 กล้วย ดังนั้น 16 แอปเปิลจะมีราคาเท่ากับ 8 กล้วย ในทำนองเดียวกัน 2 กล้วยมีราคาเท่ากับ 3 แตงกวา ดังนั้น 8 กล้วยจะมีราคาเท่ากับ 12 แตงกวา ดังนั้น 16 แอปเปิลจะมีราคาเท่ากับ $\boxed{12}$ แตงกวา | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลหารของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนคือ $\frac{5}{2}$ และผลคูณของจำนวนทั้งสองคือ 160. จำนวนเต็มบวกที่ใหญ่กว่ามีค่าเท่าใด? | ให้ $2x$ แทนจำนวนเต็มบวกที่เล็กกว่า แล้วจำนวนเต็มบวกที่ใหญ่กว่าคือ $5x$. ผลคูณของจำนวนทั้งสองคือ 160 ดังนั้น $(2x)(5x)=160\implies 10x^2=160 \implies x^2=16$. เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนบวก ดังนั้น $x=4$ ซึ่งหมายความว่าจำนวนเต็มบวกที่ใหญ่กว่ามีค่าเท่ากับ $5\cdot4=\boxed{20}$. | 20 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาอนันต์: $$\frac{-3}{5}-\frac{5}{3}-\frac{125}{27}-\dots$$ | เราหาราติอของพจน์ติดต่อกัน: $\cfrac{\cfrac{-5}{3}}{\cfrac{-3}{5}}=\frac{-5}{3}\cdot \frac{-5}{3}=\boxed{\frac{25}{9}}$. | \frac{25}{9} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
หาจำนวนค่าของ $x$ ที่ทำให้ นิพจน์ $\frac{x^2-9}{(x^2+2x-3)(x-3)}$ ไม่นิยาม | นิพจน์ไม่นิยามเมื่อส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงกำลังมองหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับ $(x^2+2x-3)(x-3)=0$ พหุนามนี้แยกตัวประกอบได้อีกเป็น $(x-1)(x+3)(x-3)=0$ ซึ่งให้คำตอบ $x=1$, $x=-3$ และ $x=3$ ดังนั้นมี $\boxed{3}$ ค่าของ $x$ ที่ทำให้ นิพจน์ไม่นิยาม | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในตาชั่ง, ลูกบอลสีเขียว 3 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 5 ลูก, และลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีขาว 4 ลูก. ต้องใช้ลูกบอลสีน้ำเงินกี่ลูกจึงจะสมดุลกับลูกบอลสีเขียว 4 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 2 ลูก? | เราจะกำหนดตัวแปรให้กับน้ำหนักของลูกบอลแต่ละสีโดยใช้ตัวอักษรตัวแรกของสีนั้น. เราได้ว่า $3G=6B\implies 1G=2B$, $2Y=5B\implies 1Y=2.5B$, และ $6B=4W\implies 1W=1.5B$. ดังนั้น $4G+2Y+2W=4(2B)+2(2.5B)+2(1.5B)=8B+5B+3B=16B$, และคำตอบของเราคือ $\boxed{16}$. | 16 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าอัตราส่วนของ $b$ ต่อ $a$ เท่ากับ 3 แล้วค่าของ $a$ เท่ากับเท่าใด เมื่อ $b=12-5a$? | อัตราส่วนที่กำหนดบอกเราว่า $\frac{b}{a}=3$ หรือว่า $b=3a$ เราแทนค่านี้ของ $b$ เพื่อให้ได้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียวเท่านั้น เราพบว่า \begin{align*}
3a&=12-5a \\
\Rightarrow \quad 8a&=12 \\
\Rightarrow \quad a &= 12/8 \\
\Rightarrow \quad a &= \boxed{\frac{3}{2}}.
\end{align*} | \frac{3}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $3y^2-y-24$ สามารถเขียนในรูป $(3y + a)(y + b)$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่า $a - b$ | เราเห็นว่า $3y^2-y-24 = (3y + 8)(y - 3)$ ดังนั้น $a = 8$ และ $b = -3$ ดังนั้น $a - b = \boxed{11}$. | 11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x>0$ ในลำดับเลขคณิตต่อไปนี้: $1^2, x^2, 3^2, \ldots$. | พจน์ $x^2$ คือค่าเฉลี่ยของ $1^2 = 1$ และ $3^2 = 9$ ดังนั้น $x^2 = (1 + 9)/2 = 5$ เนื่องจาก $x > 0$ จึงได้ $x = \boxed{\sqrt{5}}$ | \sqrt{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหา $h(x)$ โดยให้พจน์เรียงตามลำดับของดีกรีที่ลดลง ถ้า \[3x^4+2x-1+h(x)=5x^2-6x-1.\] | แก้สมการนี้ได้ดังนี้ \[h(x)=(5x^2-6x-1)-(3x^4+2x-1)=\boxed{-3x^4+5x^2-8x}\] | -3x^4+5x^2-8x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\sqrt{30p} \cdot \sqrt{5p} \cdot \sqrt{6p}$ . เขียนคำตอบในรูปของรากที่ง่ายที่สุดในรูปของ $p$. | เขียนทุกอย่างในรูปของการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ, นิพจน์ที่กำหนดคือ $\sqrt{2 \cdot 3\cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot p^3} = \sqrt{(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot p^2) \cdot (p)} = \boxed{30p \sqrt{p}}$. | 30p \sqrt{p} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามเฉพาะสำหรับ $0 \le x \le 1$ และ $f(x) = ax+b$ สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ โดยที่ $a < 0$ แล้วช่วงของ $f$ ในรูปของ $a$ และ $b$ คืออะไร จงแสดงคำตอบในสัญกรณ์ช่วง | ฟังก์ชัน $f(x) = ax + b$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ดังนั้นเมื่อ $x$ เปลี่ยนแปลงในช่วง $0 \le x \le 1$ $f(x) = ax + b$ จะมีค่าทั้งหมดระหว่าง $b$ และ $a + b$ (รวม) นอกจากนี้ $a < 0$ ดังนั้น $a + b < b$ ดังนั้นช่วงของ $f(x)$ คือ $\boxed{[a +b, b]}$ | [a +b, b] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับ $\lfloor x \rfloor + x = \dfrac{13}{3}$ แสดง $x$ ในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราสังเกตว่า $x$ ต้องเป็นจำนวนบวก เนื่องจากถ้าไม่เช่นนั้น $\lfloor x \rfloor + x$ จะเป็นจำนวนไม่เป็นบวก ต่อไปเราทราบว่าส่วนทศนิยมของ $x$ ต้องเป็น $\dfrac{1}{3}$ เราเขียน $x$ เป็น $n+\dfrac{1}{3}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $x$ ดังนั้นเราสามารถเขียน $\lfloor x \rfloor + x$ เป็น $n+n+\dfrac{1}{3}=\dfrac{13}{3}$ แก้สมการได้ $n=2$ ดังนั้นค่า $x$ ที่สอดคล้องสมการคือ $2+\dfrac{1}{3}=\boxed{\dfrac{7}{3}}$ | \dfrac{7}{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในหน่วยตาราง โดยมีจุดยอดทั้งสี่อยู่ที่ $A\ (0, 0)$, $B\ (-5, -1)$, $C\ (-4, -6)$ และ $D\ (1, -5)$ | วาดจุดทั้งสี่เพื่อหาคู่ของจุดยอดที่อยู่ติดกัน เส้นตรง $AB$ เป็นด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $AB^2$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส $AB^2=(-5-0)^2+(-1-0)^2=\boxed{26}$ หน่วยตาราง
[asy]
unitsize(2mm);
defaultpen(linewidth(.7pt)+fontsize(8pt));
dotfactor=3;
pair A = (0,0), B = (-5,-1), C = (-4,-6), D = (1,-5);
pair[] dots = {A,B,C,D};
dot(dots);
draw((-8,0)--(8,0),Arrows(4));
draw((0,-8)--(0,8),Arrows(4));
draw(A--B--C--D--cycle,linetype("4 4"));
label("$A$",A,NE);
label("$B$",B,W);
label("$C$",C,SW);
label("$D$",D,SE);[/asy] | 26 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $y = \displaystyle\frac{1}{3x+1}$ จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $y = 1$ | เนื่องจาก $y=1$ เราได้ $1 =\displaystyle\frac{1}{3x+1}$ คูณทั้งสองข้างด้วย $3x+1$ เราได้ $$3x+1=1$$ $$\Rightarrow \qquad 3x=0$$ $$\Rightarrow \qquad x=\boxed{0}$$ | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด $(-15, 8)$ มีค่าเท่าใด | เราใช้สูตรระยะทาง: \begin{align*}
\sqrt{(-15-0)^2 + (8-0)^2} &= \sqrt{225 + 64} \\
&= \sqrt{289} = \boxed{17}.
\end{align*} - OR -
สังเกตว่าจุดกำเนิด จุด $(-15, 8)$ และจุด $(-15, 0)$ ประกอบเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว $8$ และ $15$ ซึ่งเป็นสามเท่าพีทาโกรัส ดังนั้น ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $\boxed{17}$. | 17 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าของ $x$ และ $y$ เป็นค่าบวกเสมอ และ $x^2$ และ $y$ แปรผกผันกัน ถ้า $y$ เท่ากับ 10 เมื่อ $x$ เท่ากับ 2 จงหา $x$ เมื่อ $y$ เท่ากับ 4000 | เนื่องจาก $x^2$ และ $y$ แปรผกผันกัน ผลคูณของมันจึงคงที่ ดังนั้น $$2^2 \cdot 10 = x^2 \cdot 4000 \qquad \Rightarrow \qquad x = \boxed{\frac{1}{10}}.$$ | \frac{1}{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $3+a=4-b$ และ $4+b=7+a$ แล้ว $3-a$ มีค่าเท่าใด | เริ่มต้นด้วยการแก้ระบบสมการ \begin{align*}
3+a&=4-b, \\
4+b&=7+a.
\end{align*}บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้ $3+a+4+b=4-b+7+a$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $7+a+b=11+a-b$ ยกเลิก $a$ จากทั้งสองข้าง จะได้ $7+b=11-b$ แก้สมการเพื่อหาค่า $b$ จะพบว่า $b=2$ แทนค่า $b$ ลงในสมการแรก จะได้ $3+a=4-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $3-a=\boxed{4}$ | 4 | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ประเมินค่าของนิพจน์ $\left\lceil{\frac54}\right\rceil+\left\lfloor{-\frac54}\right\rfloor$. | $1<\frac54<2$, ดังนั้นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ $\frac54$ คือ $2$. ในทำนองเดียวกัน $-2<-\frac54<-1$, ดังนั้นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $-\frac54$ คือ $-2$. นิพจน์เดิม $\left\lceil{\frac54}\right\rceil+\left\lfloor{-\frac54}\right\rfloor$ เท่ากับผลรวมของทั้งสอง ซึ่งก็คือ $2+(-2)=\boxed{0}$. | 0 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x$ สำหรับสมการ $$\left(\frac{4x-16}{3x-4}\right)^2+\left(\frac{4x-16}{3x-4}\right)=12?$$ | ให้ $y=\frac{4x-16}{3x-4}$ ก่อน จากนั้นเราจะได้สมการ \[
y^2+y=12,
\] ซึ่งจะได้ $y=3,-4$. เมื่อ $\frac{4x-16}{3x-4}$ เท่ากับ 3 เราจะได้ $4x-16=9x-12$ ซึ่งหมายถึง $x=-4/5$. เมื่อ $\frac{4x-16}{3x-4}$ เท่ากับ $-4$ เราจะได้ $4x-16=16-12x$ ซึ่งหมายถึง $x=2$ ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $x$ คือ $oxed{2}$. | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $y = -16t^2 + 80t$ อธิบายความสูง (เป็นฟุต) ของวัตถุที่ถูกยิงขึ้นจากพื้นดินด้วยความเร็ว 80 ฟุตต่อวินาที ที่ $t$ เท่าไร วัตถุจะถึงความสูง 36 ฟุตเป็นครั้งแรก? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษเป็นหลักที่สิบ | กำหนดให้ $y$ เท่ากับ 36 เราจะได้ดังนี้: \begin{align*}
36& = -16t^2 + 80t\\
0 & = -16t^2 + 80t - 36\\
& = 4t^2 - 20t + 9\\
& = (2t - 1)(2t - 9)
\end{align*}ค่า $t$ ที่เป็นไปได้คือ $\frac{1}{2} = 0.5$ หรือ $\frac{9}{2} = 4.5.$ จากค่าเหล่านี้ เราเลือกค่า $t$ ที่น้อยกว่า หรือ $\boxed{0.5}.$ | 0.5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อทำให้ง่ายขึ้น ค่าของ $$(10^{0.5})(10^{0.3})(10^{0.2})(10^{0.1})(10^{0.9})?$$ คือเท่าไร | เราได้ \begin{align*}
(10^{0.5})(10^{0.3})(10^{0.2})(10^{0.1})(10^{0.9})&= 10^{0.5+0.3+0.2+0.1+0.9}\\
&=10^2\\
&=\boxed{100}.
\end{align*} | 100 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมการกำลังสอง $x^2-4x-14=3x+16$ มีคำตอบสองคำตอบ จงหาผลรวมของคำตอบเหล่านี้ | ก่อนอื่นๆ นำ $3x$ มาทางซ้ายมือ จะได้ \[x^2-7x-14=16.\]นำ 14 ไปทางขวามือ จะได้ \[x^2-7x=30.\]เราสังเกตว่าด้านซ้ายมือเกือบจะเป็นกำลังสอง $\left(x-\frac72\right)^2=x^2-7x+\frac{49}4$. บวก $\frac{49}4$ เข้าทั้งสองข้างเพื่อให้สามารถเติมกำลังสองที่ด้านซ้ายมือได้ \[x^2-7x+\frac{49}4=30+\frac{49}4=\frac{169}4,\]ดังนั้น \[\left(x-\frac72\right)^2=\left(\frac{13}2\right)^2.\]ดังนั้น $x=\frac72\pm\frac{13}2$. ผลรวมของคำตอบเหล่านี้คือ \[\frac{7+13}2+\frac{7-13}2=\frac{14}2=\boxed{7}.\] | 7 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
วิศวกรคนหนึ่งลงทุนเงิน $\$10,\!000$ ในใบรับรองการออมระยะสั้น 6 เดือน ซึ่งจ่ายอัตราดอกเบี้ยแบบทบต้นรายปี $12\%$. หลังจาก 6 เดือน เธอลงทุนมูลค่ารวมของการลงทุนในใบรับรองการออมระยะสั้นอีก 6 เดือน หลังจาก 6 เดือน มูลค่าการลงทุนอยู่ที่ $\$11,\!130$. ถ้าอัตราดอกเบี้ยรายปีของใบรับรองการออมระยะสั้นใบที่สองคือ $r\%$, แล้ว $r$ มีค่าเท่าใด? | ใน 6 เดือนแรก อัตราดอกเบี้ย (แบบง่าย) คือ $12/2 = 6$ เปอร์เซ็นต์ ดังนั้น การลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot 1.06 = 10600$.
ให้อัตราดอกเบี้ยรายปีของใบรับรองการออมระยะสั้นใบที่สองเป็น $r$ เปอร์เซ็นต์ ดังนั้น อัตราดอกเบี้ยสำหรับ 6 เดือนคือ $r/2$ ดังนั้น การลงทุนจะเติบโตเป็น $10600 \cdot \left( 1 + \frac{r/2}{100} \right)$. ดังนั้น, \[10600 \cdot \left( 1 + \frac{r/2}{100} \right) = 11130.\] แล้ว \[1 + \frac{r/2}{100} = \frac{11130}{10600} = 1.05,\] ดังนั้น $r/200 = 0.05$ ซึ่งหมายความว่า $r = \boxed{10}$. | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $\left\lceil3\left(6-\frac12\right)\right\rceil$. | ก่อนอื่น $3\left(6-\frac12\right)=18-1-\frac12=17-\frac12$. เนื่องจาก $0\le\frac12<1$ เราได้ $\left\lceil17-\frac12\right\rceil=\boxed{17}$. | 17 | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
สมมติว่า $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$. ถ้า $\alpha = 4$ เมื่อ $\beta = 9$ จงหา $\alpha$ เมื่อ $\beta = -72$ | เนื่องจาก $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$ ตามนิยาม $\alpha\beta = k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า แทนค่าลงไป เราจะได้ว่า $4\cdot 9 = k$ ดังนั้น $k = 36$ ดังนั้น เมื่อ $\beta = -72$ เราได้ว่า $-72\alpha = 36$ หรือ $\alpha = \boxed{-\frac{1}{2}}$ | -\frac{1}{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $g(2x - 5) = 3x + 9$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด แล้ว $g(1)$ มีค่าเท่าใด | เพื่อที่จะใช้ $g(2x-5) = 3x + 9$ เพื่อหาค่า $g(1)$ เราต้องหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $2x-5 =1$ การแก้สมการนี้จะได้ $x=3$ ดังนั้นการแทน $x=3$ ใน $g(2x-5) = 3x+9$ จะได้ $g(1) = \boxed{18}$ | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของเส้นตรง $x+y=b$ ตัดกับส่วนของเส้นตรงจาก $(2,5)$ ถึง $(4,9)$ ที่จุดกึ่งกลาง จงหาค่าของ $b$ | ถ้าเส้นตรง $x+y=b$ ตัดที่จุดกึ่งกลาง ซึ่งก็คือ: $$\left(\frac{2+4}{2},\frac{5+9}{2}\right)=(3,7)$$จุดนี้จะอยู่บนเส้นตรง $x+y=b$ ดังนั้นเราต้องมี $3+7=b$ ดังนั้น $b=\boxed{10}$ | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้นของนิพจน์ต่อไปนี้ใน $x$: \[2x+8x^2+9-(4-2x-8x^2).\] เขียนคำตอบของคุณในรูป $ax^2 +bx+c$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นตัวเลข | นิพจน์ที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $2x+8x^2+9-4+2x+8x^2$ การรวมพจน์ที่คล้ายกัน นิพจน์สุดท้ายนี้เท่ากับ $(2x+2x)+(8x^2+8x^2)+(9-4)=\boxed{16x^2+4x+5}$ | 16x^2+4x+5 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คิมเบอร์ลียืมเงินลูซี่ 1000 ดอลลาร์ โดยลูซี่คิดดอกเบี้ยร้อยละ 5 ต่อเดือน (คิดดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน) จงหาจำนวนเดือนที่น้อยที่สุดที่คิมเบอร์ลีจะต้องหนี้มากกว่าสองเท่าของเงินที่ยืมมา | เนื่องจากจำนวนเงินที่คิมเบอร์ลีต้องชำระจะถูกคูณด้วย 1.05 ทุกเดือน เราต้องการจำนวนเต็ม $t$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $1.05^t>2$ ลองแทนค่าจำนวนเต็มบางค่าให้กับ $t$ เราพบว่า $oxed{15}$ คือค่าที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลรวมของคำตอบของสมการ $(3x+5)(2x-9) = 0$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เมื่อขยายด้านซ้ายมือของสมการที่กำหนดให้ เราได้ $6x^2-17x-45=0$ เนื่องจากสำหรับสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของคำตอบคือ $-b/a$ ผลรวมของคำตอบของสมการที่กำหนดคือ $-\frac{-17}{6}=\boxed{\frac{17}{6}}$ (เราอาจจะสังเกตว่ารากคือ $-5/3$ และ $9/2$ และบวกเข้าด้วยกันก็ได้ แต่ใครอยากบวกเศษส่วนกันล่ะ?) | \frac{17}{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมการ $x^2+ ax = -14$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มสำหรับ $x$ ถ้า $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $a$ คือเท่าใด | ด้านซ้ายของสมการแยกตัวประกอบได้เป็น $x(x+a)=-14$ ดังนั้น $x$ และ $x+a$ จึงเป็นตัวหารของ $-14$ ตัวประกอบหนึ่งเป็นลบและอีกตัวประกอบหนึ่งเป็นบวก เนื่องจากผลคูณของมันเป็นลบ $x+a>x$ ดังนั้น $x+a>0$ และ $x<0$ นี่เหลือ 4 ความเป็นไปได้สำหรับ $x$ เนื่องจากมันเป็นลบและหาร $-14$ ลงตัว: $-1$, $-2$, $-7$ และ $-14$ $x=-1$ จะได้ $x+a=14$ และด้วยเหตุนี้ $a=15$ เช่นเดียวกัน $x=-2$, $x=-7$ และ $x=-14$ จะได้ $a=9$, $a=9$ และ $a=15$ ตามลำดับ ค่าที่ใหญ่ที่สุดสำหรับ $a$ คือ $\boxed{15}$ | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้พจน์แรกของลำดับเรขาคณิตเป็น $ rac{3}{4}$ และพจน์ที่สองเป็น 15 จงหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พจน์ที่ $n$ ของลำดับนี้หารด้วยหนึ่งล้านลงตัว | อัตราส่วนร่วมคือ $$\frac{15}{\frac{3}{4}} = 20$$ดังนั้น พจน์ที่ $n$ คือ $(20^{n-1}) \left(\frac{3}{4}\right)$.
ถ้าหนึ่งล้าน (คือ $10^6$) หารพจน์ที่ $n$ ลงตัว ก็ต้องหาร $5^6$ ลงตัวด้วย นี่จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $n-1$ มีค่าอย่างน้อย 6 หรือ $n \ge 7$.
พจน์ที่ 7 คือ $$\left(20^6\right) \left(\frac{3}{4}\right) = \left(4\right)^6\left(5\right)^6\left(\frac{3}{4}\right) = (2)^{10}(5)^6(3),$$ซึ่งหารด้วย $(2)^6(5)^6=10^6$ ลงตัว ดังนั้น คำตอบคือ $oxed{7}$. | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน $-1\le x\le 1$ โดยสูตร $$f(x)=1-\sqrt{1-x^2}.$$นี่คือกราฟของ $y=f(x)$: [asy]
import graph; size(4cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-1.5,xmax=1.5,ymin=-1.5,ymax=1.5;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return 1-sqrt(1-x^2);} draw(graph(f1,-1,1),linewidth(1.2));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] ถ้ากราฟของ $x=f(y)$ ถูกทับลงบนกราฟข้างต้น กำลังของกราฟทั้งสองจะสร้างบริเวณที่ล้อมรอบอย่างสมบูรณ์ 1 บริเวณ จงหาพื้นที่ของบริเวณนั้น ปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด | กราฟของ $x=f(y)$ สามารถวาดได้โดยสะท้อนกราฟของ $y=f(x)$ ข้ามเส้น $y=x$: [asy]
import graph; size(4cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-1.5,xmax=1.5,ymin=-1.5,ymax=1.5;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
fill(((0,0)..(sqrt(1/2),1-sqrt(1/2))..(1,1)--cycle),gray);
fill(((0,0)..(1-sqrt(1/2),sqrt(1/2))..(1,1)--cycle),gray);
draw(((-1.5,-1.5)--(1.5,1.5)),red+dashed);
real f1(real x){return 1-sqrt(1-x^2);} draw(graph(f1,-1,1),linewidth(1.2));
real f2(real x){return sqrt(1-(x-1)^2);} draw(graph(f2,0,1),linewidth(1.2));
real f3(real x){return -f2(x);} draw(graph(f3,0,1),linewidth(1.2));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] บริเวณที่ล้อมรอบซึ่งแสดงไว้ในสีเทา มีขอบเขตโดยส่วนโค้งของวงกลม 4 ส่วน บริเวณที่อยู่เหนือและทางซ้ายของเส้นทแยงมุมสีแดงมีพื้นที่ $\frac\pi 4-\frac 12$ เนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของดิสก์หน่วยลบด้วยสามเหลี่ยมด้านขวาที่มีฐานและความสูงเท่ากับ 1 บริเวณที่อยู่ด้านล่างและทางขวาของเส้นทแยงมุมสีแดงเหมือนกัน ดังนั้นบริเวณที่ล้อมรอบทั้งหมดมีพื้นที่ $\frac \pi 2-1$; ปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุดคือ $\boxed{0.57}$. | 0.57 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบที่มากกว่าของสมการ $x^2 + 15x -54=0$ | เราสามารถหาคำตอบของสมการนี้ได้โดยการแยกตัวประกอบสมการกำลังสองเป็น $(x + 18)(x - 3) = 0$ ซึ่งจะได้คำตอบ $x = -18$ หรือ $x = 3$ เราต้องการคำตอบที่มากกว่า ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{3}$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดว่า $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 0.$ แล้ว $\lceil x \rceil - x$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 0,$ เราจะเห็นว่า $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม มิฉะนั้น ส่วนประกอบบนของ $x$ จะมากกว่าส่วนประกอบล่างของ $x.$ ดังนั้น $\lceil x \rceil = x$ และ $\lceil x \rceil - x = \boxed{0}.$ | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A\star B$ เป็น $A\star B = \frac{(A+B)}{3}$ ค่าของ $(2\star 10) \star 5$ เท่ากับเท่าใด | เราได้ว่า $2 \star 10 = \frac{2+10}{3} = \frac{12}{3} = 4$ จากนั้น $4 \star 5 = \frac{4+5}{3} = \frac{9}{3} = \boxed{3}$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับ $y=\frac{1-x}{2x+3}$ และ $x\neq-\frac{3}{2}$ จงหาค่าของ $y$ ที่ไม่สามารถหาได้ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | ถ้า $y = \frac{1 - x}{2x + 3}$ แล้ว $1-x=(2x+3)y=2xy+3y$ เราสามารถจัดรูปใหม่เป็น $1-3y=x(2y+1)$ เมื่อ $2y+1=0$ หรือ $y=-\frac12$ ด้านซ้ายมือมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ ในขณะที่ด้านขวามือมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นค่า $y = \boxed{-\frac12}$ ไม่สามารถหาได้ | -\frac12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กระจายผลคูณของ $(x+2)(x+5)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เป็นครั้งแรก เราบวกผลคูณของ $x+2$ และ $x$ กับ ผลคูณของ $x+2$ และ 5:
\begin{align*}
(x+2)(x+5) &= (x+2) \cdot x + (x+2) \cdot 5\\
&= x(x+2) + 5(x+2)
\end{align*}เราใช้สมบัติการ distributive อีกครั้งและรวมพจน์ที่คล้ายกัน:
\begin{align*}
x(x+2) + 5(x+2) &= x^2 + 2x + 5x+ 10\\
&= \boxed{x^2 + 7x + 10}
\end{align*} | x^2 + 7x + 10 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อ展开ผลคูณ $(3x+2y+1)(x+4y+5)$ ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังของ $y$ ไม่เท่ากับศูนย์ คือเท่าใด | เราคูณกระจายโดยใช้สมบัติการกระจาย:
\begin{align*}
&\phantom{==}(3x+2y+1)(x+4y+5)\\
&=3x(x+4y+5)+2y(x+4y+5)+1(x+4y+5)\\
&=3x^2+12xy+15x+2xy+8y^2+10y+x+4y+5\\
&=3x^2+14xy+16x+8y^2+14y+5.
\end{align*}พจน์ที่มีกำลังของ $y$ ไม่เท่ากับศูนย์ คือ $14xy$, $8y^2$, และ $14y$ และผลรวมของสัมประสิทธิ์คือ $14+8+14=\boxed{36}$ | 36 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมการ $y=-4.9t^2+3.5t+5$ อธิบายความสูง (เป็นเมตร) ของลูกบอลที่ถูกโยนขึ้นไปด้วยความเร็ว $3.5$ เมตรต่อวินาที จากความสูง $5$ เมตรเหนือพื้นดิน โดย $t$ คือเวลาเป็นวินาที ลูกบอลจะใช้เวลานานเท่าไร จึงจะตกลงถึงพื้นดิน? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | กำหนดให้ $y$ เท่ากับศูนย์ เราจะได้สมการกำลังสอง
\[-4.9t^2 + 3.5t + 5 = 0.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $-10$ เราจะได้
\[49t^2 - 35t - 50 = 0.\]สมการกำลังสองนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(7t - 10)(7t + 5) = 0.$ เนื่องจาก $t$ ต้องเป็นบวก เราจะเห็นว่า $t = \boxed{\frac{10}{7}}.$ | \frac{10}{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ซาราห์กำลังพยายามรั้วบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่อย่างน้อย 100 ตารางฟุต ในขณะที่ใช้ปริมาณวัสดุในการสร้างรั้วให้น้อยที่สุด ความยาวของบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าควรยาวกว่าความกว้าง 15 ฟุต ความกว้างควรเป็นเท่าใดเป็นฟุต | เราสามารถเขียนปัญหาเป็นอสมการ $w(w+15)\ge100$ กระจายทางด้านซ้ายมือ ลบ 100 จากทั้งสองข้าง และแยกตัวประกอบ เราได้ \begin{align*}
w(w+15)&\ge100 \quad \Rightarrow \\
w^2+15w-100&\ge 0 \quad \Rightarrow \\
(w-5)(w+20)&\ge 0.
\end{align*} รากคือ $w=5$ และ $w=-20$ เราไม่สามารถมีความกว้าง -20 ฟุตได้ ดังนั้นความกว้างที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ในขณะที่ยังคงมีพื้นที่อย่างน้อย 100 ตารางฟุตคือ $\boxed{5}$ ฟุต | 5 | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 3x^2-2$ และ $g(f(x)) = x^2 + x +1$. จงหาผลรวมของค่า $g(25)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | เราไม่ทราบ $g(x)$ ดังนั้นเราไม่มีนิพจน์ที่สามารถแทนค่า $25$ เข้าไปเพื่อหาคำตอบได้ อย่างไรก็ตาม เราทราบว่า $g(f(x)) =x^2 + x + 1$ ดังนั้น หากเราสามารถหาค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x) = 25$ เราสามารถใช้ นิพจน์ของ $g(f(x))$ เพื่อหา $g(25)$ ได้
ถ้า $f(x) = 25$ เราจะได้ $3x^2 - 2 = 25$ ดังนั้น $x^2 = 9$ ซึ่งหมายความว่า $x=3$ หรือ $x=-3$ เนื่องจาก $x$ อาจเป็น $3$ หรือ $-3$ เราจึงอาจมี $g(25) = g(f(3))$ หรือ $g(25) = g(f(-3))$ โดยใช้ นิพจน์ที่กำหนดให้ของ $g(f(x))$ ค่า $g(25)$ ที่เป็นไปได้ทั้งสองค่าคือ $g(f(3)) = 3^2 + 3 + 1 = 13$ และ $g(f(-3)) = (-3)^2 + (-3) + 1 = 7$ ผลรวมของค่าเหล่านี้คือ $13+7=\boxed{20}$ | 20 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.