question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ส่วนหนึ่งของกราฟของ $y = G(x)$ แสดงไว้ในสีแดงด้านล่าง ระยะห่างระหว่างเส้นตารางคือ $1$ หน่วย
คำนวณ $G(G(G(G(G(1)))))$.
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real wholetickdown=tickdown;
void rr_cartesian_axes(real xleft, real xright, real ybottom, real ytop, real xstep=1, real ystep=1, bool useticks=false, bool complexplane=false, bool usegrid=true) {
import graph;
real i;
if(complexplane) {
label("$\textnormal{Re}$",(xright,0),SE);
label("$\textnormal{Im}$",(0,ytop),NW);
} else {
label("$x$",(xright+0.4,-0.5));
label("$y$",(-0.5,ytop+0.2));
}
ylimits(ybottom,ytop);
xlimits( xleft, xright);
real[] TicksArrx,TicksArry;
for(i=xleft+xstep; i<xright; i+=xstep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArrx.push(i);
}
}
for(i=ybottom+ystep; i<ytop; i+=ystep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArry.push(i);
}
}
if(usegrid) {
xaxis(BottomTop(extend=false), Ticks("%", TicksArrx ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
yaxis(LeftRight(extend=false),Ticks("%", TicksArry ,pTick=gray(0.22),extend=true), p=invisible);//,Arrows);
}
if(useticks) {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, Ticks("%",TicksArry , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, Ticks("%",TicksArrx , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
}
};
rr_cartesian_axes(-5,7,-4,10);
real f(real x) {return ((x-1)*(x-1)/2 - 3);}
draw(graph(f,1-sqrt(2*13),1+sqrt(2*13),operator ..), red);
[/asy] | เริ่มจากภายในออกไป เราเริ่มต้นด้วยการคำนวณ $G(1)$ เนื่องจาก $(1,-3)$ อยู่บนกราฟ เราจึงมี $G(1)=-3$
ดังนั้น $G(G(1)) = G(-3)$ เนื่องจาก $(-3,5)$ อยู่บนกราฟ เราจึงมี $G(G(1))=5$
ดังนั้น $G(G(G(1))) = G(5)$ เนื่องจาก $(5,5)$ อยู่บนกราฟ เราจึงมี $G(G(G(1)))=5$ และเราจะเห็นว่าการนำ $G$ ไปใช้ซ้ำอีกหลายครั้งจะทำให้เราอยู่ที่ $5$ ดังนั้น $G(G(G(G(G(1)))))=\boxed{5}$ | 5 | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $p$ และ $q$ เป็นปริมาณที่แปรผกผันกัน ถ้า $p=25$ เมื่อ $q=6$ จงหาค่าของ $p$ เมื่อ $q=15$ | ถ้า $p$ และ $q$ เป็นปริมาณที่แปรผกผันกัน แล้ว $p\cdot{q}=k$ (โดยที่ $k$ เป็นค่าคงตัว) เราทราบว่า $p=25$ เมื่อ $q=6$ ดังนั้น $(25)(6)=k$ หรือ $k=150$ ดังนั้น เมื่อ $q=15$ $(p)(15)=150$ และ $p=\boxed{10}$ | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายที่สุด: $(1)(2a)(3a^2)(4a^3)(5a^4)$ | การทำให้ง่ายที่สุด: \begin{align*}
(1)(2a)(3a^2)(4a^3)(5a^4) &= (1)(2)(3)(4)(5)(a)(a^2)(a^3)(a^4) \\
&= 120a^{1+2+3+4} = \boxed{120a^{10}}.
\end{align*} | 120a^{10} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในรูปของ $\pi$ พื้นที่ของวงกลมที่กำหนดโดยสมการ $2x^2+2y^2+10x-6y-18=0$ คือเท่าใด | หารด้วย 2 เราได้
\[x^2 + y^2 + 5x - 3y - 9 = 0.\]เติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[\left( x + \frac{5}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{35}{2},\]ดังนั้นพื้นที่ของวงกลมคือ $\boxed{\frac{35}{2} \pi}.$ | \frac{35}{2} \pi | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมการ $y=\frac{x-1}{x^2+6x-7}$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งกี่เส้น? | เมื่อแยกตัวประกอบของส่วนของสมการ จะได้ $\frac{x-1}{(x-1)(x+7)}$ ดังนั้นส่วนของสมการจะมีค่าเท่ากับ $0$ เมื่อ $x=1$ และ $x=-7$ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากพจน์ $x-1$ ยังมีอยู่ในตัวเศษ และมีดีกรีเท่ากับในตัวส่วน $x=1$ จึงไม่ใช่เส้นกำลุ่งแนวตั้ง ดังนั้นสมการนี้มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งเพียง $\boxed{1}$ เส้น ที่ $x=-7$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $a^2$ แปรผกผันกับ $b^3$ ถ้า $a=7$ เมื่อ $b=3$ จงหาค่าของ $a^2$ เมื่อ $b=6$ | เนื่องจาก $a^2$ แปรผกผันกับ $b^3$ ดังนั้น $(a^2)(b^3)=k$ สำหรับค่าคงตัว $k$ บางค่า ถ้า $a=7$ เมื่อ $b=3$ แล้ว $k=(7^2)(3^3)=(49)(27)=1323$ ดังนั้น ถ้า $b=6$ \begin{align*} (a^2)(6^3)&=1323
\\ 216a^2&=1323
\\\Rightarrow\qquad a^2&=\boxed{6.125}
\end{align*} | 6.125 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ที่ศูนย์ออกกำลังกาย Hardey Fitness Center ทางผู้จัดการได้ทำการสำรวจสมาชิกของพวกเขา อายุเฉลี่ยของสมาชิกหญิงคือ 40 ปี อายุเฉลี่ยของสมาชิกชายคือ 25 ปี อายุเฉลี่ยของสมาชิกทั้งหมดคือ 30 ปี อัตราส่วนของสมาชิกหญิงต่อสมาชิกชายเท่ากับเท่าใด แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ให้ $m$ แทนจำนวนสมาชิกชาย และ $f$ แทนจำนวนสมาชิกหญิง ผลรวมของอายุของสมาชิกหญิงคือ $40f$ และผลรวมของอายุของสมาชิกชายคือ $25m$ ผลรวมของอายุของสมาชิกทั้งหมดคือ $40f+25m$ และจำนวนสมาชิกทั้งหมดคือ $f+m$ เนื่องจากอายุเฉลี่ยของสมาชิกทั้งหมดคือ $30$ เราได้ \[
\frac{40f+25m}{f+m}=30.
\] คูณทั้งสองข้างด้วย $f+m$ เพื่อให้ได้ \[
40f+25m=30f+30m.
\] รวมพจน์ที่คล้ายกันเราพบว่า $10f=5m$ ดังนั้น $f/m=\boxed{\frac{1}{2}}$ | \frac{1}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ควรลงทุนเงินจำนวนเท่าใดที่อัตราดอกเบี้ยทบต้นรายปี $5\%$ เพื่อให้มีเงิน $\$500,\!000$ ในอีกสิบปีข้างหน้า? แสดงคำตอบเป็นมูลค่าเงินดอลลาร์ปัดเศษเป็นสองตำแหน่งทศนิยม | คำถามนี้เทียบเท่ากับการถามว่า "มูลค่าปัจจุบันของ $\$500,\!000$ ที่จ่ายในอีก 10 ปีข้างหน้า หากอัตราดอกเบี้ยทบต้นรายปีคือ $5\%$ คือเท่าใด?" มูลค่าปัจจุบันนี้คือ \[\frac{\$500,\!000}{(1+0.05)^{10}} \approx \boxed{\$306,\!956.63}.\] | \$306,\!956.63 | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของสี่ฟังก์ชันที่ติดป้ายกำกับ (2) ถึง (5) ดังแสดงด้านล่าง โปรดทราบว่าโดเมนของฟังก์ชัน (3) คือ $$\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\}.$$ จงหาผลคูณของป้ายกำกับของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผัน [asy]
size(8cm);
defaultpen(linewidth(.7pt)+fontsize(8pt));
import graph;
picture pic1,pic2,pic3,pic4;
draw(pic1,(-8,0)--(8,0),Arrows(4));
draw(pic1,(0,-8)--(0,8),Arrows(4));
draw(pic2,(-8,0)--(8,0),Arrows(4));
draw(pic2,(0,-8)--(0,8),Arrows(4));
draw(pic3,(-8,0)--(8,0),Arrows(4));
draw(pic3,(0,-8)--(0,8),Arrows(4));
draw(pic4,(-8,0)--(8,0),Arrows(4));
draw(pic4,(0,-8)--(0,8),Arrows(4));
real f(real x) {return x^2-2x;}
real h(real x) {return -atan(x);}
real k(real x) {return 4/x;}
real x;
draw(pic1,graph(f,-2,4),Arrows(4));
draw(pic3,graph(h,-8,8),Arrows(4));
draw(pic4,graph(k,-8,-0.125*4),Arrows(4));
draw(pic4,graph(k,0.125*4,8),Arrows(4));
dot(pic2,(-5,3)); dot(pic2,(-4,5)); dot(pic2,(-3,1)); dot(pic2,(-2,0));
dot(pic2,(-1,2)); dot(pic2,(0,-4)); dot(pic2,(1,-3)); dot(pic2,(2,-2));
label(pic1,"(2)",(0,-9));
label(pic2,"(3)",(0,-9));
label(pic3,"(4)",(0,-9));
label(pic4,"(5)",(0,-9));
add(pic1);
add(shift(20)*pic2);
add(shift(0,-20)*pic3);
add(shift(20,-20)*pic4);
[/asy] | กราฟที่ติดป้ายกำกับ (3), (4) และ (5) เป็นฟังก์ชันผกผัน เพราะว่าเส้นตรงแนวนอนไม่ตัดกราฟที่จุดใดๆ มากกว่าหนึ่งจุด กล่าวคือ สำหรับจำนวนจริง $y$ แต่ละตัว จะมีจำนวนจริง $x$ ที่มากที่สุดตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ $f(x)=y$ กราฟแรกไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้ ดังนั้น ผลคูณของป้ายกำกับที่สอดคล้องกับฟังก์ชันผกผันคือ $3\times 4\times 5=\boxed{60}$ | 60 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณกำลังสองของ 1017 โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข | \[1017^2=(10^3+17)^2=10^6+2\cdot17\cdot10^3+289=\boxed{1034289}.\] | 1034289 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $2x^2 - 5x + k = 0$ เป็นสมการกำลังสองที่มีคำตอบสำหรับ $x$ คำตอบเดียว จงแสดง $k$ ในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ถ้าสมการกำลังสองมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ดังนั้น จุดตัด, $5^2 - 4 \cdot 2 \cdot k = 25 - 8k$ จะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $25 - 8k = 0 \Longrightarrow k = \boxed{\frac{25}{8}}$ | \frac{25}{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อ $\sqrt[4]{2^7\cdot3^3}$ ถูกทำให้เรียบง่ายที่สุด ผลลัพธ์จะเป็น $a\sqrt[4]{b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา $a+b$ | เรามี \[\sqrt[4]{2^7\cdot3^3} = \sqrt[4]{2^4}\sqrt[4]{2^3\cdot3^3} = 2\sqrt[4]{8\cdot27} = 2\sqrt[4]{216}.\] ดังนั้น $a+b = \boxed{218}$. | 218 | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 3x^2 - 7$ และ $g(f(4)) = 9$ จงหาค่าของ $g(f(-4))$ | เรามี $f(-4) = 3(-4)^2 -7 =41$ ดังนั้นเราต้องการหา $g(f(-4)) = g(41)$ แต่ $g(41)$ มีค่าเท่าใด? ดังนั้นเราจึงหันไปดูข้อมูลอื่นที่เรามี $g(f(4)) = 9$ เนื่องจาก $f(4) = 3(4)^2 - 7=41$ สมการนี้จึงให้ค่า $g(41) = \boxed{9}$ | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนเต็ม 4 หลัก $N$ กี่จำนวนที่มีสมบัติว่าจำนวน 3 หลักที่ได้จากการลบหลักซ้ายสุดออกไปมีค่าเป็น $ rac{1}{9}$ ของ $N$ ? | ให้ $a$ แทนหลักซ้ายสุดของ $N$ และให้ $x$ แทนจำนวน 3 หลักที่ได้จากการลบ $a$ ออกไป แล้ว $N=1000a+x=9x$ และจะได้ว่า $1000a=8x$ หารทั้งสองข้างด้วย 8 จะได้ $125a=x$ ค่าของ $a$ ในช่วง 1 ถึง 7 จะทำให้ได้จำนวน 3 หลัก ดังนั้นมี $\boxed{7}$ ค่าของ $N$ | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แต่ละกิ่งบลูเบอร์รีของนาตาเลียจะให้บลูเบอร์รี 8 ถัง ถ้าเธอสามารถแลกบลูเบอร์รี 5 ถังได้ 2 ฟักทอง เธอต้องเก็บกิ่งบลูเบอร์รีกี่กิ่งจึงจะมีฟักทอง 48 ฟักทอง | เรารู้สมการสองสมการต่อไปนี้: \begin{align*}
1\text{ กิ่ง} &= 8\text{ ถัง}\\
5\text{ ถัง} &= 2\text{ ฟักทอง}.
\end{align*} เพื่อหาค่า 48 ฟักทอง ในรูปของกิ่ง เราคูณด้วยเศษส่วนเท่ากับ 1 ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนอยู่ในหน่วยที่ต่างกัน ยกเลิกหน่วยตามที่เราไป ดังนั้นเราตั้งสมการต่อไปนี้เพื่อหาคำตอบของเรา: $48\text{ ฟักทอง} = 48\text{ ฟักทอง}\times \frac{5\text{ ถัง}}{2\text{ ฟักทอง}}\times\frac{1 \text{ กิ่ง}}{8\text{ ถัง}}=\boxed{15} \text{ กิ่ง}$. | 15 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\left\lceil\sqrt{2}\,\right\rceil+\left\lceil\sqrt{22}\,\right\rceil+\left\lceil\sqrt{222}\,\right\rceil$. | เนื่องจากอสมการต่อไปนี้เป็นจริง \[\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4} \Rightarrow 1<\sqrt{2}<2\]\[\sqrt{16}<\sqrt{22}<\sqrt{25} \Rightarrow 4<\sqrt{22}<5\]\[\sqrt{196}<\sqrt{222}<\sqrt{225} \Rightarrow 14<\sqrt{222}<15\]จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\sqrt{2}$ คือ $2$ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\sqrt{22}$ คือ $5$ และจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\sqrt{222}$ คือ $15$ ดังนั้น $2+5+15=\boxed{22}$ | 22 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ทั้งสองรากของสมการกำลังสอง $x^2 - 63 x + k = 0$ เป็นจำนวนเฉพาะ มีค่า $k$ ที่เป็นไปได้กี่ค่า? | ให้ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะสองจำนวนซึ่งเป็นรากของ $x^2 - 63 x + k = 0$ ดังนั้น $$
x^2 - 63 x + k = (x - p)(x - q) = x^2 - (p+q)x + p \cdot q,
$$ ดังนั้น $p + q = 63$ และ $p\cdot q=k$. เนื่องจาก $63$ เป็นจำนวนคี่ หนึ่งในจำนวนเฉพาะต้องเป็น $2$ และอีกจำนวนหนึ่งต้องเป็น $61$ ดังนั้น มีค่า $k$ ที่เป็นไปได้เพียง $\boxed{1}$ ค่า นั่นคือ $k = p\cdot q = 2\cdot 61=122$. | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เพื่อคำนวณ $41^2$ เดวิดคิดค่า $40^2$ ในใจแล้วบวก 81 เดวิดลบจำนวนหนึ่งจาก $40^2$ เพื่อคำนวณ $39^2$ จำนวนที่เขาลบคือเท่าไร? | เราเห็นว่า $39^2 = (40 - 1)^2 = 40^2 - 2\cdot 40 \cdot 1 +1 = 40^2 - 79$ ดังนั้น เดวิดลบ $\boxed{79}$ | 79 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่า: $(723)(723)-(722)(724)$ | สังเกตว่าเราได้ผลต่างของกำลังสอง: $(722)(724) = (723 - 1)(723 + 1) = 723^2 - 1^2$ ดังนั้น นิพจน์นี้มีค่าเท่ากับ $(723)(723) - (722)(724) = 723^2 - (723^2 - 1^2) = 1^2 = \boxed{1}$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนศูนย์ในตัวเลขที่ได้จากการขยาย $999,\!999,\!999,\!998^2$ | เราสังเกตว่า $999,999,999,998=10^{12}-2$ ดังนั้น $999,999,999,998^2=(10^{12}-2)^2=10^{24}-4\cdot10^{12}+4$ พิจารณาแต่ละพจน์ของนิพจน์นี้ พจน์แรก $10^{24}$ สร้างจำนวนที่มี 24 ศูนย์และ 1 อยู่หน้า พจน์ที่สอง $4\cdot10^{12}$ เป็นจำนวนที่มี 12 ศูนย์และ 4 อยู่หน้า ลบจำนวนหลังจากจำนวนหน้าจะเหลือสตริงของ 11 เก้า, จากนั้น 6, จากนั้น 12 ศูนย์ สุดท้ายพจน์สุดท้ายเปลี่ยนศูนย์สุดท้ายของจำนวนเป็น 4 ดังนั้นเราจึงเหลือ $\boxed{11}$ ศูนย์ | 11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองเส้นตรงมีจุดตัดแกน $y$ เท่ากันและไม่เท่ากับศูนย์ เส้นตรงแรกมีค่าความชัน 10 และจุดตัดแกน $x$ คือ $(s, 0)$ เส้นตรงที่สองมีค่าความชัน 6 และจุดตัดแกน $x$ คือ $(t, 0)$ จงหาอัตราส่วนของ $s$ ต่อ $t$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สมการของเส้นตรงแรกคือ $y = 10x + b$ โดยที่ $b$ คือจุดตัดแกน $y$ ของเส้นตรงทั้งสอง เนื่องจาก $(s, 0)$ อยู่บนเส้นตรงนี้ เราสามารถแทนค่านี้ลงในสมการของเส้นตรงเพื่อให้ได้ $0 = 10s + b \Rightarrow s = -\frac b{10}$ ในทำนองเดียวกัน เส้นตรงที่สองมีสมการ $y = 6x + b$ แทนค่า $(t, 0)$ ลงในสมการนี้จะได้ $0 = 6t + b \Rightarrow t = - \frac b6$ ดังนั้น $\frac st = -\frac b{10} \cdot - \frac 6b = \boxed{\frac 35}$ | \frac 35 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของบริเวณสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยแกนพิกัดทั้งสองและเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ $2x + y = 6$ หน่วยพื้นที่ | เริ่มต้นด้วยการใช้สมการเพื่อแก้หาจุดตัดแกน $x$ และ $y$ ของเส้นตรง ให้ $x$ เท่ากับ 0 จุดตัดแกน $y$ คือ 6 ให้ $y$ เท่ากับ 0 เราพบว่า $2x=6$ ดังนั้นจุดตัดแกน $x$ คือ 3 โดยใช้จุดตัดเหล่านี้ เราสามารถพล็อตเส้นตรงดังนี้: [asy]size(100,0);
fill((0,0)--(0,6)--(3,0)--cycle,gray(.7));
add(grid(5,8));
draw((0,0)--(5,0),linewidth(2));
draw((0,0)--(0,8),linewidth(2));
label("",(5,0),E);
label("",(0,8),N);
draw((0,6)--(3,0),blue,Arrows);[/asy] เราต้องการหาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงา นี่คือสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีฐานยาว 3 หน่วย และความสูง 6 หน่วย ดังนั้นพื้นที่เท่ากับ $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=\boxed{9}$ หน่วยพื้นที่ | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดสมการกำลังสอง $-6x^2+36x+216$ สามารถเขียนในรูป $a(x+b)^2+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นค่าคงที่ จงหาค่าของ $a+b+c$ | เราทำการเติมกำลังสอง
การแยกตัวประกอบ $-6$ ออกจากพจน์กำลังสองและพจน์เชิงเส้นจะได้ $-6x^2 + 36x = -6(x^2-6x)$.
เนื่องจาก $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
-6(x-3)^2 &= -6x^2 + 36x - 54.
\end{align*}พหุนามนี้ตรงกับพหุนามที่กำหนด $-6x^2 + 36x + 216$ ในทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงที่ เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
-6x^2 + 36x + 216 &= (-6x^2 + 36x - 54) + 270 \\
&= -6(x-3)^2 + 270.
\end{align*}ดังนั้น $a=-6$, $b=-3$, $c=270$ และ $a+b+c = -6-3+270 = 261$ | 261 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันมีรูปภาพที่มีขนาด $x$ และ $y$ (หน่วยเป็นนิ้ว) โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ฉันต้องการวางรูปภาพนี้ในกรอบรูปที่ยืดยาวที่มีขนาด $(2x + 3)$ และ $(y+2)$ ถ้าฉันวัดพื้นที่ของกรอบรูปได้ 34 ตารางนิ้ว พื้นที่ของรูปภาพเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นตารางนิ้ว) (หมายเหตุว่า "พื้นที่ของกรอบรูป" หมายถึงบริเวณที่แรเงาในรูปด้านล่าง) [asy]
size(5cm);
defaultpen(linewidth(0.7));
real eps=0.2;
filldraw((0,0)--(2,0)--(2,1)--(0,1)--cycle,gray);
filldraw((0,0)+(eps,eps)--(2,0)+(-eps,eps)--(2,1)+(-eps,-eps)--(0,1)+(eps,-eps)--cycle,white);
label("picture",(1,0.5));
label("frame",(1,1-eps/2));
[/asy] | พื้นที่ของกรอบรูปเท่ากับ \begin{align*}
(2x + 3) \cdot (y+2) - x \cdot y &= 2xy + 4x + 3y + 6 - xy \\
&= xy + 4x + 3y + 6 \\
&= 34.
\end{align*}เพื่อใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอน เราบวก 6 เข้ากับทั้งสองข้างของสมการ: $$xy + 4x + 3y + 12 = 40,$$ดังนั้น $$(x + 3)(y+4) = 40.$$พิจารณาคู่ตัวประกอบของ 40 เราจะเห็นว่าคู่ลำดับ $(x+3, y+4)$ ต้องอยู่ใน $$(1,40),(2,20),(4,10),(5,8),(8,5),(10,4),(20,2),(40,1).$$แก้หา $x$ และ $y$ สำหรับแต่ละคู่ของตัวประกอบ เราพบว่า $(x,y)$ ต้องอยู่ในคู่ $$( -2,36), (-1,16), (1,6), (2,4), (5,1), (7,0), (17,-2), (37,-3).$$จากคู่เหล่านี้มีเพียง $(x,y) = (2,4)$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 พื้นที่ของรูปภาพคือ $x \times y = \boxed{8}$ ตารางนิ้ว | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในแผนที่ 12 เซนติเมตร แทน 72 กิโลเมตร ความยาว 17 เซนติเมตร แทนกี่กิโลเมตร | ถ้า 12 เซนติเมตร แทน 72 กิโลเมตร แสดงว่า 1 เซนติเมตร แทน 6 กิโลเมตร ดังนั้น 17 เซนติเมตร แทน $17 \times 6 = \boxed{102}$ กิโลเมตร | 102 | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $(8-x)^2=x^2$ | กระจายพจน์ทางซ้ายมือ เราได้ $64- 16x + x^2 = x^2$ พจน์ $x^2$ ยกเลิกซึ่งกันและกัน เหลือ $64-16x = 0$ ดังนั้น $x = \boxed{4}$ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x (x+y) = 27$ และ $y (x+y) = 54$ จงหาค่าของ $(x+y)^2$ | สังเกตว่าถ้าเราบวก $x(x+y)$ และ $y(x+y)$ เราสามารถแยกตัวประกอบของ $(x+y)$ ออกมาได้ ดังนั้น $(x+y)^2 = x(x+y) + y(x+y)$ ดังนั้น $(x+y)^2 = 27 + 54 = 81$ | 81 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เรามีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาด $x - 2$ และ $2x + 5$ โดยที่พื้นที่ของมันคือ $8x - 6$ จงหาค่าของ $x$ | ทำดังนี้: \begin{align*}
(x - 2)(2x + 5) &= 8x - 6\\
2x^2 + x - 10 &= 8x - 6\\
2x^2 - 7x - 4 &= 0\\
(x - 4)(2x + 1) &= 0.
\end{align*}เราได้ $x = 4$ หรือ $x = -\frac{1}{2}.$ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากค่าหลังจะทำให้ $x - 2$ เป็นลบ เราจึงเห็นว่า $x = \boxed{4}.$ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ เป็นจำนวนบวก ซึ่ง \[\sqrt{8x}\cdot\sqrt{10x}\cdot\sqrt{3x}\cdot\sqrt{15x}=15,\]จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | รวมนิพจน์ทางซ้ายมือเข้าด้วยกัน เราได้ \[\begin{aligned} \sqrt{8x}\cdot\sqrt{10x}\cdot\sqrt{3x}\cdot\sqrt{15x}&=15 \\
\sqrt{3600x^4} &= 15 \\
60x^2 &= 15 \\
x^2 &= \frac{15}{60} = \frac{1}{4}.\end{aligned} \]เนื่องจาก $x$ ต้องเป็นจำนวนบวก ดังนั้นคำตอบเดียวคือ $x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \boxed{\frac{1}{2}}$. | \frac{1}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของสามจำนวน $a$, $b$ และ $c$ เท่ากับ 99. ถ้าเราเพิ่ม $a$ ขึ้น 6, ลด $b$ ลง 6 และคูณ $c$ ด้วย 5, สามจำนวนที่ได้จะมีค่าเท่ากัน. จงหาค่าของ $b$ | กำหนดสมการ $a+b+c=99$ และ $a+6=b-6=5c$. แก้สมการ $b-6=5c$ เพื่อหา $b$ จะได้ $b=5c+6$ และแก้สมการ $5c=a+6$ เพื่อหา $a$ จะได้ $a=5c-6$. แทนสมการทั้งสองนี้ลงใน $a+b+c=99$ จะได้ $(5c-6)+(5c+6)+c=99$. เมื่อทำให้ง่ายขึ้นทางด้านซ้ายมือ เราได้ $11c=99$ ซึ่งหมายความว่า $c=9$. แทนค่าลงใน $b=5c+6$ จะได้ $b=5(9)+6=51$ | 51 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้เส้นตรง $p$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งระยะห่างของ $A = (24, 7)$ และ $B = (3, 4)$ กำหนดว่า $AB$ ตัด $p$ ที่ $C = (x, y)$ จงหาค่าของ $2x - 4y$ | เส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งระยะห่างของ $AB$ ต้องตัด $AB$ ที่จุดกึ่งกลาง ดังนั้น $C$ คือจุดกึ่งกลางของ $AB$ เราใช้สูตรจุดกึ่งกลางเพื่อหาว่า $C = \left(\frac{24 + 3}{2}, \frac{7 + 4}{2} \right) = \left(\frac{27}{2}, \frac{11}{2} \right).$ ดังนั้น $2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}.$ | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนเท่ากับ 25 และผลคูณของสองจำนวนนั้นเท่ากับ 126 จงหาค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของสองจำนวนนั้น | กำหนดให้ $x + y = 25$ และ $xy = 126$ สำหรับจำนวนบางจำนวน $x$ และ $y$ เราสังเกตว่า \begin{align*}
(x-y)^2&= x^2 - 2xy + y^2\\
&= x^2 + 2xy + y^2 - 4xy\\
&= (x + y)^2 - 4xy\\
&= (25)^2 - 4\cdot 126\\
&= 121.
\end{align*}
ดังนั้น $(x - y)^2 = 121$ หาค่ารากที่สองของทั้งสองข้าง ได้ $\sqrt{(x- y)^2} = |x - y| = \boxed{11}$ | 11 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับของจำนวนเต็มบวก แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเท่ากับ $ rac{1}{3}$ ของผลรวมของพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าและพจน์ที่อยู่ถัดจากมันในลำดับ จงหาพจน์ที่ 5 ของลำดับนี้ ถ้าพจน์ที่ 1 มีค่าเท่ากับ 2 และพจน์ที่ 4 มีค่าเท่ากับ 34 | ให้ $a,b,c$ แทนพจน์ที่ 2, 3 และ 5 ตามลำดับ ลำดับของเราจึงเป็น $2,a,b,34,c,\dots$ จากข้อมูลที่กำหนด เราได้ \begin{align*}
a &= \frac13(2+b)\\
b &= \frac13(a+34)\\
34 &= \frac13(b+c).
\end{align*} ก่อนที่เราจะหา $c$ เราใช้สมการสองสมการแรกในการแก้หา $b$ โดยการแทน $a = \frac13(2+b)$ เราได้ \begin{align*}
b &= \frac13(\frac13(2+b)+34)\\
\Rightarrow 3b &= \frac13(2+b)+34\\
\Rightarrow 9b &= 2+b+102\\
\Rightarrow 8b &= 104\\
\Rightarrow b &= 13.
\end{align*} โดยการแทน $b = 13$ ลงใน $34 = \frac13(b+c)$ เราได้ \begin{align*}
34 &= \frac13(13+c)\\
\Rightarrow 102 &= 13+c\\
\Rightarrow c &= \boxed{89}.
\end{align*} | 89 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรกเท่ากับ $6$ และพจน์ที่สองเท่ากับ $-6$ พจน์ที่ $205$ มีค่าเท่าใด | อัตราส่วนร่วมของลำดับนี้คือ $-1$ พจน์สองสามพจน์แรกจะเป็น: $$6,-6,6,-6,...$$พจน์ที่มีเลขคู่จะมีค่า $-6$ และพจน์ที่มีเลขคี่จะมีค่า $6$ เนื่องจาก $205$ เป็นเลขคี่ ค่าของมันจะเป็น $\boxed{6}$ | 6 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลคูณของพจน์ที่ห้าและพจน์ที่แปดของลำดับเรขาคณิตของจำนวนจริงคือ $7!$ และ $8!$ ตามลำดับ จงหาพจน์แรก | เนื่องจาก $ar^7=8!$ และ $ar^4= 7!,$ หารสองพจน์นี้จะได้ $r^3= \frac{ar^7}{ar^4}=8.$ ดังนั้น $r=2$ และพจน์แรกเท่ากับ \[a=\frac{7!}{16}= \boxed{315}.\] | 315 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุดของนิพจน์ต่อไปนี้ใน $x$: \[3x+7x^2+5-(2-3x-7x^2).\] เขียนคำตอบของคุณในรูป $ax^2 +bx+c$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นตัวเลข | นิพจน์ที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $3x+7x^2+5-2+3x+7x^2$. เมื่อรวมพจน์ที่คล้ายกัน นิพจน์สุดท้ายนี้เท่ากับ $(3x+3x)+(7x^2+7x^2)+(5-2)=\boxed{14x^2+6x+3}$. | 14x^2+6x+3 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงคำนวณ $16\left (\frac{125}{2}+\frac{25}{4}+\frac{9}{16}+1\right)$. | โดยสมบัติการ distributive เราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: $$16\left (\frac{125}{2}+\frac{25}{4}+\frac{9}{16}+1\right) =16\left (\frac{125}{2}\right)+16\left (\frac{25}{4}\right )+16\left (\frac{9}{16} \right) +16$$$$=8\cdot 125+4\cdot 25+9+16=1000+100+9+16=\boxed{1125}.$$ | 1125 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าที่มากที่สุดของจำนวนเต็ม $b$ ที่ทำให้ $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $y=x^2+bx+12$ | เราจะเห็นว่า $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + bx + 12$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2 + bx + 12 = -4$ ไม่มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + bx + 16 = 0$ ตัวเลือกของสมการกำลังสองนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 16 = b^2 - 64$ สมการกำลังสองไม่มีรากจริงก็ต่อเมื่อตัวเลือกเป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 64 < 0$ หรือ $b^2 < 64$ จำนวนเต็ม $b$ ที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการนี้คือ $b = 7$ | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
นิพจน์ $y^2+10y+33$ สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองของทวินามและจำนวนเต็ม จงหาจำนวนเต็มนั้น | เราจะเติมกำลังสองให้กับ $y^2 + 10y + 33$.
ทวินามที่จะยกกำลังสองจะเป็นรูป $y+a$ เพราะสัมประสิทธิ์ของ $y^2$ คือ 1 เมื่อยกกำลังสองทวินาม เราจะได้ $y^2+2ay+a^2$ เราต้องการให้ $2ay$ เท่ากับ $10y$ ดังนั้น $a=5$. $(y+5)^2=y^2+10y+25$.
$y^2+10y+33=(y^2+10y+25)+8=(y+5)^2+8$. ดังนั้น ทวินามคือ $y+5$ และจำนวนเต็มคือ $\boxed{8}$. | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ฟังก์ชัน $f(x)$ นิยามบนโดเมน $[-8,4]$. ถ้าเราให้ฟังก์ชันใหม่ $g(x)$ โดย $$g(x) = f(-2x),$$ แล้วโดเมนของ $g(x)$ คืออะไร? แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | เรามี $g(x) = f(-2x)$ ซึ่งนิยามก็ต่อเมื่อ $-2x$ อยู่ในโดเมนของ $f$ นั่นคือ $$-8 \le -2x \le 4.$$ หารทุกนิพจน์ใน שרשרณีอสมการนี้ด้วย $-2$ บังคับให้เราต้องกลับทิศทางของอสมการ: $$4\ge x\ge -2.$$ ดังนั้น $g(x)$ นิยามก็ต่อเมื่อ $-2\le x\le 4$ หรืออีกนัยหนึ่ง โดเมนของ $g(x)$ คือ $\boxed{[-2,4]}$. | [-2,4] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีค่าของ $k$ เพียงค่าเดียวเท่านั้นที่ทำให้เส้นตรง $x=k$ ตัดกราฟของ $y=x^2+6x+5$ และ $y=mx+b$ ที่จุดสองจุดซึ่งห่างกัน $5$ หน่วยพอดี ถ้าเส้นตรง $y=mx+b$ ผ่านจุด $(1,6)$ และ $b\neq 0$ จงหาสมการของเส้นตรงนี้ เขียนคำตอบของคุณในรูป "$y = mx + b$". | เส้นตรง $x=k$ ตัด $y=x^2+6x+5$ ที่จุด $(k, k^2+6k+5)$ และเส้นตรง $y=mx+b$ ที่จุด $(k,mk+b)$ เนื่องจากจุดทั้งสองนี้มีพิกัด $x$ เท่ากัน ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองนี้คือผลต่างของพิกัด $y$ ดังนั้นเราจึงมี $$|(k^2+6k+5)-(mk+b)|=5.$$ เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราจะได้สมการกำลังสองสองสมการ: $k^2+(6-m)k+5-b=5$ และ $k^2+(6-m)k+5-b=-5$ เราสามารถเขียนได้เป็น \begin{align*}
k^2+(6-m)k-b=0&\quad(1)\\
k^2+(6-m)k+10-b=0.&\quad(2)
\end{align*} เราทราบว่าคำตอบทั้งหมดของสมการทั้งสองนี้จะเป็นตำแหน่งที่เส้นตรง $y=mx+b$ ห่างจากพาราโบลาในแนวตั้ง $5$ หน่วย แต่เรารู้ว่ามีคำตอบเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น! ดังนั้นสมการหนึ่งต้องมีคำตอบที่แน่นอน $1$ คำตอบ และสมการอีกสมการหนึ่งไม่มีคำตอบ เราหาตัวจำแนก ($b^2-4ac$) ของสมการ ดังนั้นสำหรับสมการ $(1)$ ตัวจำแนกคือ $(6-m)^2-4(1)(-b)=(6-m)^2+4b$ สำหรับสมการ $(2)$ ตัวจำแนกคือ $(6-m)^2-4(1)(10-b)=(6-m)^2+4b-40$ สมการหนึ่งต้องเท่ากับศูนย์ และอีกสมการหนึ่งต้องน้อยกว่าศูนย์ เนื่องจาก $-40<0$ การบวก $(6-m)^2+4b$ เข้ากับทั้งสองข้างของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลงอสมการ และ $(6-m)^2+4b-40<(6-m)^2+4b$ ดังนั้นค่าที่มากกว่าต้องเท่ากับศูนย์ เพื่อให้ค่าที่น้อยกว่านั้นน้อยกว่าศูนย์เสมอ ดังนั้นเราจึงมี $(6-m)^2+4b=0$.
เรายังทราบอีกด้วยว่าเส้นตรง $y=mx+b$ ผ่านจุด $(1,6)$ ดังนั้นการแทนค่า $x=1$ และ $y=6$ จะได้ $6=(1)m+b$ หรือ $m+b=6$ นั่นหมายความว่า $6-m=b$ ดังนั้นเราสามารถแทนค่าในสมการข้างต้นได้: \begin{align*}
(6-m)^2+4b&=0\quad\Rightarrow\\
(b)^2+4b&=0\quad\Rightarrow\\
b(b+4)&=0.
\end{align*} เราทราบว่า $b\neq 0$ ดังนั้นคำตอบเดียวคือ $b=-4$ เมื่อเราแทนค่านี้ลงในสมการ $m+b=6$ เราจะได้ $m-4=6$ ดังนั้น $m=10$ ดังนั้นสมการของเส้นตรงคือ $y=mx+b$ หรือ $\boxed{y=10x-4}$. | y=10x-4 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x^2+ 5x-6$ เมื่อ $x =-1$ | \[
x^2+5x-6=(-1)^2+5(-1)-6=1-5-6=\boxed{-10}.
\] | -10 | [
"ประยุกต์"
] |
11 เปอร์เซ็นต์ของจำนวนใดเท่ากับ 77 | ถ้าจำนวนนั้นคือ $x$ เราจะได้ $\frac{11}{100}x=77\qquad\Rightarrow x=77\cdot\frac{100}{11}=7\cdot100=700$ จำนวนนั้นคือ $\boxed{700}$. | 700 | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\&$ นิยามโดย $a \& b = (a+b)(a-b)$ จงหาค่าของ $6 \& 3$ | แทนค่าลงในนิยาม $6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27}$ | 27 | [
"นำไปใช้"
] |
ขยายนิพจน์ต่อไปนี้: $(9x+4)\cdot 2x^2$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราบวกผลคูณของ $9x$ และ $2x^2$ กับผลคูณของ 4 และ $2x^2$: \begin{align*}
(9x+4)\cdot 2x^2 &= 9x\cdot 2x^2+4\cdot 2x^2\\
&= \boxed{18x^3+8x^2}.
\end{align*} | 18x^3+8x^2 | [
"นำไปใช้"
] |
พื้นที่ของพื้นห้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีขนาด 225 ตารางฟุต เจ้าของบ้านวางแผนที่จะปูพื้นด้วยกระเบื้องขนาด 6 นิ้ว x 6 นิ้ว เรียงเป็นแถวๆ จะมีกระเบื้องกี่แผ่นในแต่ละแถว? | ความยาวของแต่ละด้านของห้องคือ $\sqrt{225}=15$ ฟุต หรือ $15\cdot12=180$ นิ้ว เนื่องจากแต่ละกระเบื้องมีความยาว 6 นิ้ว ดังนั้นแต่ละแถวจะต้องใช้ $180/6=\boxed{30}$ กระเบื้อง | 30 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $2^{3x} = 7$ จงหาค่าของ $8^{x+1}$ | เขียน $2^{3x}$ ใหม่เป็น $(2^3)^x=8^x$ คูณทั้งสองข้างของ $8^x=7$ ด้วย 8 เพื่อหาว่า $8^{x+1}=7\cdot 8=\boxed{56}$ | 56 | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=ax+b$ และ $f^{-1}(x)=bx+a$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าของ $a+b$ | เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ ดังนั้น $a(bx+a)+b=x$ ซึ่งหมายถึง $abx + a^2 +b = x$ สมการนี้เป็นจริงสำหรับค่าของ $x$ ทั้งหมดก็ต่อเมื่อ $ab=1$ และ $a^2+b=0$.
จากนั้น $b = -a^2$ แทนค่าลงในสมการ $ab = 1$ จะได้ $-a^3 = 1$ ดังนั้น $a = -1$ ดังนั้น $b = -1$ และ \[f(x)=-x-1.\]เช่นเดียวกัน \[f^{-1}(x)=-x-1.\]ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันเนื่องจาก \[f(f^{-1}(x))=-(-x-1)-1=x+1-1=x.\]\[f^{-1}(f(x))=-(-x-1)-1=x+1-1=x.\]ดังนั้น $a+b=\boxed{-2}$. | -2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $x+y$, $x-y$, $xy$, และ $x/y$ ตามลำดับ พจน์ที่ห้าคืออะไร จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจากผลต่างของพจน์สองพจน์แรกคือ $-2y$ พจน์ที่สามและพจน์ที่สี่ของลำดับต้องเป็น $x-3y$ และ $x-5y$ ดังนั้น \[
x-3y = xy \quad\text{และ}\quad x-5y = \frac{x}{y},
\]ดังนั้น $xy - 5y^{2} = x.$ เมื่อนำสมการทั้งสองมาบวกกันจะได้ \[
(x - 3y) - 5y^{2}= x\quad\text{และ, therefore, }\quad -3y - 5y^{2} = 0.
\]เนื่องจาก $y$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ เราได้ $y = -\frac{3}{5}$ และตามมาว่า $x = -\frac{9}{8}$ พจน์ที่ห้าของลำดับคือ $x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}}$. | \frac{123}{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
นิพจน์ $\dfrac{\sqrt[4]{7}}{\sqrt[3]{7}}$ เท่ากับ 7 ยกกำลังเท่าใด? | เรามี \[\dfrac{\sqrt[4]{7}}{\sqrt[3]{7}} = \dfrac{7^{\frac14}}{7^{\frac13}} = 7^{\frac14-\frac13} = 7^{-\frac{1}{12}}.\]ดังนั้น นิพจน์นี้เท่ากับ 7 ยกกำลัง $\boxed{-\frac{1}{12}}$ | -\frac{1}{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของคำตอบของสมการ $-35=-x^2-2x?$ | จากการกระจาย $(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta,$ เราทราบว่าผลคูณของสูตรกำลังสองที่มีพจน์นำเป็น $x^2$ คือพจน์คงที่
ในกรณีนี้ เราจัดรูปสมการที่กำหนดให้ให้มีลักษณะคล้ายกับสมการที่ได้มาข้างต้น--นั่นคือ $x^2 + 2x - 35 = 0.$ ตอนนี้เราเห็นว่าผลคูณของรากคือ $-35$. | -35 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การปีนบันไดขั้นแรกใช้เวลาของจิมมี่ 20 วินาที และบันไดขั้นต่อๆ ไปใช้เวลามากกว่าขั้นก่อนหน้า 5 วินาที ใช้เวลาทั้งหมดกี่วินาทีในการปีนบันได 5 ขั้นแรก? | จำนวนวินาทีที่จิมมี่ใช้ในการปีนบันได 5 ขั้นแรกคือ 20, 25, 30, 35 และ 40
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $(20 + 40)/2 \cdot 5 = \boxed{150}$ | 150 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าสูงสุดของนิพจน์ $-5r^2 + 40r - 12$ สำหรับจำนวนจริง $r$ คือเท่าใด | เราทำการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
-5r^2 + 40r - 12 & = (-5r^2 + 40r) - 12\\
&= -5(r^2 - 8r + 16) -12 + 5 \cdot 16\\
&= -5(r - 4)^2 + 68
\end{align*} ค่าสูงสุดของ $-5(r-4)^2$ คือ $0$ เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงไม่มีค่าเป็นลบ ดังนั้น ค่าสูงสุดของนิพจน์คือ $\boxed{68}$ | 68 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับกราฟของสมการกำลังสอง $y = ax^2 + bx + c$ จุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,7)$ และจุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดคือ $(-2,0)$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดตัดแกน $x$ อีกจุดหนึ่ง | เนื่องจากจุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,7)$ พาราโบลาสมมาตรรอบเส้น $x = 3$ นอกจากนี้ จุดตัดแกน $x$ ของพาราโบลาทั้งสองจุดก็สมมาตรรอบเส้นนี้ด้วย จุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดคือ $(-2,0)$ ซึ่งมีระยะห่างจากเส้น $x = 3$ เป็น $3 - (-2) = 5$ ดังนั้น จุดตัดแกน $x$ อีกจุดหนึ่งอยู่ที่ $(3 + 5,0) = (8,0)$ พิกัด $x$ ของจุดตัดแกน $x$ นี้คือ $\boxed{8}$ | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แอนโทเนตต์ได้คะแนน $70\%$ จากข้อสอบ 10 ข้อ, $80\%$ จากข้อสอบ 20 ข้อ และ $90\%$ จากข้อสอบ 30 ข้อ ถ้ารวมข้อสอบทั้งสามเป็นข้อสอบ 60 ข้อ แอนโทเนตต์ได้คะแนนร้อยละเท่าไร (ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มใกล้เคียงที่สุด) | สังเกตว่า $70\%$ ของ 10 คือ 7, $80\%$ ของ 20 คือ 16 และ $90\%$ ของ 30 คือ 27 แอนโทเนตต์ตอบถูก $7+16+27=50$ ข้อ จากทั้งหมด 60 ข้อ คะแนนรวมของแอนโทเนตต์คือ $\frac{50}{60}$ หรือ $83.\overline{3}\%$. ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มใกล้เคียงที่สุด คำตอบคือ $\boxed{83\%}$. | 83\% | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ $5x^2-20x+1357$ | กำหนดให้ $y=5x^2 -20x + 1357$. ก่อนอื่น จบกำลังสองดังนี้: $y=5x^2-20x+1357=5(x^2-4x)+1357$. เพื่อจบกำลังสอง เราต้องบวก $\left(\dfrac{4}{2}\right)^2=4$ หลังจาก $-4x$ ดังนั้นเราได้ $y+20=5\left(x^2-4x+4\right)+1357$. นี้จะให้ $y=5\left(x-2\right)^2+1337$.
ตอนนี้ เนื่องจาก $\left(x-2\right)^2\ge0$ ค่าต่ำสุดคือเมื่อพจน์กำลังสองเท่ากับ $0$. ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $y=5\left(x-2\right)^2+1337=5\cdot0+1337=\boxed{1337}$. | 1337 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 4x + 5$ จงหาค่าของ $f( -2)$ | เราได้ \begin{align*}f(-2) &= 8(-2)^3 - 6(-2)^2 -4(-2) + 5\\
& = 8(-8) -6(4) +8 + 5 = -64 -24 +8+5 = \boxed{-75}.\end{align*} | -75 | [
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $a>0$ และ $b>0,$ นิยามการดำเนินการใหม่ $\nabla$ ดังนี้: $$a \nabla b = \frac{a + b}{1 + ab}.$$ตัวอย่างเช่น, $$3 \nabla 6 = \frac{3 + 6}{1 + 3 \times 6} = \frac{9}{19}.$$จงคำนวณ $(1 \nabla 2) \nabla 3.$ | คำนวณค่าในวงเล็บก่อน,$$(1 \nabla 2) \nabla 3 =\left( \frac{1 + 2}{1 + 1 \times 2}\right) \nabla 3 = \left(\frac{3}{3}\right) \nabla 3 = 1 \nabla 3 = \frac{1 + 3}{1 + 1 \times 3} = \boxed{1}.$$สังเกตว่าสำหรับ $b>0$ ใดๆ, $$1\nabla b =\frac{1+b}{1+1\times b}=\frac{1+b}{1+b}=1.$$ | 1 | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
สมการของเส้นตรงที่แสดงไว้สามารถเขียนได้ในรูป $y=mx+b$ จงหา $mb$。
[asy]
size(100,0);
add(shift(-5,-5)*grid(10,10));
draw((-5,0)--(5,0),linewidth(2));
draw((0,-5)--(0,5),linewidth(2));
label("",(5,0),E);
label("",(0,5),N);
draw((-3,-5) -- (2,5),blue,Arrows);
[/asy]
แต่ละช่องตารางในแผนภาพที่แสดงมีขนาด 1 หน่วย x 1 หน่วย | จากกราฟ เราจะเห็นว่าเส้นตรงตัดแกน y ที่ y=1 นี่คือจุดตัดแกน y ซึ่งเท่ากับค่าของ $b$ ตอนนี้เราต้องหาความชันของเส้นตรง ดูให้ดีจะเห็นว่าสำหรับทุก ๆ หนึ่งหน่วยที่เส้นตรงเคลื่อนไปทางขวา มันจะเลื่อนขึ้น 2 หน่วย ตัวอย่างเช่น เริ่มจากจุดตัดแกน y ที่ $(0,1)$ เส้นตรงจะผ่านจุดตาข่ายที่อยู่ห่างจากจุดนั้นไปทางขวาหนึ่งหน่วยและขึ้นไปสองหน่วย ที่ $(1,3)$ อัตราส่วนการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นคือ $\frac{2}{1}$ ดังนั้นความชันคือ 2 สมการของเส้นตรงนี้คือ $y=2x+1$ ดังนั้น $mb=2(1)=\boxed{2}$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อกำลังสองของสามเท่าของจำนวนเต็มบวก ลดลงด้วยจำนวนเต็มนั้น ผลลัพธ์คือ 2010 จำนวนเต็มนั้นคือจำนวนใด | ให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก ข้อปัญหาหมายความว่า $(3x)^2 - x = 2010$ หรือจัดเรียงใหม่ว่า $9x^2 - x - 2010 = 0$ สมมติว่าสิ่งนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $9x^2 - x - 2010 = (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (bc + ad)x + bd$ เราสามารถแยกตัวประกอบ 2010 ได้เป็น $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67$ ถ้า $a$ และ $c$ ทั้งคู่หารด้วย 3 ลงตัว $bc + ad$ ก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน ซึ่งไม่เป็นเช่นนั้น ดังนั้น $a$ หรือ $c$ หนึ่งในนั้นเท่ากับ 9 และอีกตัวหนึ่งเท่ากับ 1; เราจะเลือก $a = 9$ แล้ว $b + 9d = -1$ และ $bd = 2010$ หลังจากทดลองเล็กน้อย เราพบว่า $b= 2 \cdot 67, d = 3 \cdot 5$ ทำงาน ดังนั้น $$9x^2 - x - 2010 = (9x + 134)(x - 15) = 0,$$ และเนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $x = \boxed{15}$. | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในเครื่องจักรฟังก์ชันที่แสดงให้ดู ข้อมูลนำเข้าคือ 10 ค่าเอาต์พุตคือเท่าไร?
[asy]
size(200); currentpen = fontsize(10pt); picture a,b,c,d,e,f;
real height = 3, width1 = 10, width2 = 11, width3 = 10, width4 = 10;
real widthC = 20,heightC = 6;
real widthE = 10, lengthE = 4.5,angleE = 60;
draw(a,(0,0)--(width1,0)--(width1,height)--(0,height)--cycle); label(a,"$\mbox{ข้อมูลนำเข้า}\mbox{ } = 10",(width1/2,height/2));
draw(b,(0,0)--(width2,0)--(width2,height)--(0,height)--cycle); label(b,"คูณด้วย 2",(width2/2,height/2));
draw(c, (widthC/2,0)--(0,heightC/2)--(-widthC/2,0)--(0,-heightC/2)--cycle);
label(c,"เปรียบเทียบกับ 18",(0,0));
draw(d,(0,0)--(width3,0)--(width3,height)--(0,height)--cycle); label(d,"บวก 8",(width1/2,height/2));
draw(e,(0,0)--(width4,0)--(width4,height)--(0,height)--cycle); label(e,"ลบ 5",(width1/2,height/2));
draw(f,(0,0)--(widthE,0)--(widthE,0)+lengthE*dir(angleE)--lengthE*dir(angleE)--cycle);
label(f,"$\mbox{ข้อมูลเอาต์พุต}\mbox{ } = ?",lengthE/2*dir(angleE) + (widthE/2,0));
add(shift(width1/2*left)*a); draw((0,0)--(0,-2),EndArrow(4));
add(shift(5*down + width2/2*left)*b);
add(shift((7+heightC/2)*down)*c); draw((0,-5)--(0,-7),EndArrow(4));
pair leftpt = (-widthC/2,-7-heightC/2), rightpt = (widthC/2,-7-heightC/2);
draw("$\le 18$?",leftpt--(leftpt + 2.5W)); draw((leftpt + 2.5W)--(leftpt + 2.5W+2S),EndArrow(4));
draw("$> 18?$",rightpt--(rightpt + 2.5E),N); draw((rightpt + 2.5E)--(rightpt + 2.5E+2S),EndArrow(4));
rightpt = rightpt + 2.5E+2S;
leftpt = leftpt + 2.5W+2S;
add(shift(leftpt+height*down+.3*width3*left)*d);
add(shift(rightpt+height*down+.7*width4*left)*e);
rightpt = rightpt+.75height*down+.7*width4*left;
leftpt = leftpt+.75height*down+.7*width3*right;
draw(leftpt--rightpt);
pair midpt = (leftpt+rightpt)/2;
draw(midpt--(midpt+2down),EndArrow(4));
add(shift(midpt+.65widthE*left+(2+lengthE*Sin(angleE))*down)*f);[/asy] | เราเพียงแค่ทำตามแผนภูมิการไหล. ก่อนอื่น เราคูณ 10 ด้วย 2 เพื่อให้ได้ 20 เนื่องจาก 20 มากกว่า 18 เราจึงทำตามแผนภูมิไปทางขวาและลบ 5 ซึ่งให้ค่าเอาต์พุตสุดท้ายคือ $\boxed{15}$. | 15 | [
"จำ",
"ทำความเข้าใจ",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น $(r^2 + 3r - 2) - (r^2 + 7r - 5)$ | $(r^2 + 3r - 2) - (r^2 + 7r - 5) = r^2 + 3r -2 -r^2 -7r +5 = r^2 - r^2 +3r-7r -2+5 = \boxed{-4r+3}$. | -4r+3 | [
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: $2x^2-8$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $2$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้ ซึ่งจะได้ $(2)(x^2-4)$ จากนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์ที่สองได้เนื่องจากเป็นผลต่างของกำลังสอง ซึ่งจะได้ $\boxed{(2) (x+2) (x-2)}$ | (2) (x+2) (x-2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าไฮดีสามารถทาสีผนังได้ใน 45 นาที เธอสามารถทาสีผนังได้กี่ส่วนของผนังใน 9 นาที | เนื่องจาก 9 นาทีเป็น $1/5$ ของ 45 นาที เราสามารถหาส่วนของผนังที่ไฮดีสามารถทาสีได้ใน 9 นาที โดยการหารปริมาณผนังที่ไฮดีสามารถทาสีได้ใน 45 นาทีด้วย 5 เนื่องจากไฮดีสามารถทาสีผนังทั้งหมดได้ใน 45 นาที ดังนั้นเธอสามารถทาสี $\boxed{\frac{1}{5}}$ ของผนังใน 9 นาที | \frac{1}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินอนุกรมเรขาอนันต์: $$\frac{3}{2}-\frac{2}{3}+\frac{8}{27}-\frac{32}{243}+\dots$$ | อนุกรมนี้มีพจน์แรก $\frac{3}{2}$ และอัตราส่วนร่วม $\frac{-4}{9}$ ดังนั้นสูตรจะให้: $\cfrac{\frac{3}{2}}{1-\left(\frac{-4}{9}\right)}=\boxed{\frac{27}{26}}$. | \frac{27}{26} | [
"ประยุกต์"
] |
กราฟของเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(1,3)$ ถึง $(5,7)$ ค่าของ $b$ คือเท่าใด | ถ้าเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(1,3)$ ถึง $(5,7)$ เส้นตรงนี้จะต้องผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงนี้ จุดกึ่งกลางคือ: $$\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(3,5)$$จุดนี้ nằmบนเส้นตรง $x+y=b$ ดังนั้นเราต้องมี $3+5=b\Rightarrow b=\boxed{8}$. | 8 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ส่วนหนึ่งของกราฟของ $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ แสดงไว้ด้านล่าง
ค่าของ $8a-4b+2c-d$ มีค่าเท่าใด?
[asy]
import graph; size(7cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.25,xmax=4.25,ymin=-9.25,ymax=4.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return x*(x-1)*(x-2)/8;} draw(graph(f1,-3.25,4.25),linewidth(0.75));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy] | สังเกตว่า $f(-2) = a(-8)+b(4)+c(-2)+d$ ดังนั้น $$8a-4b+2c-d = -f(-2).$$เนื่องจากจุด $(-2,-3)$ อยู่บนกราฟของ $f(x)$ เราอนุมานได้ว่า $$-f(-2) = -(-3) = \boxed{3}.$$ | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $4^{\log_7x}=16$. | เนื่องจาก $4^2=16$, ดังนั้น $\log_7x$ ต้องเท่ากับ $2$ เขียนสมการ $\log_7x=2$ ในรูปเลขชี้กำลังจะได้ $7^2=x$ ดังนั้น $x=\boxed{49}$ | 49 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $d\not=0$. เราสามารถเขียน $\left(12d+13+14d^2\right)+\left(2d+1\right)$ ในรูป $ad+b+cd^2$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหา $a+b+c$. | การบวกพจน์ของ $d$ จะได้ $14d$ การบวกพจน์คงที่ จะได้ $14$ การบวกพจน์ของ $d^2$ จะได้ $14d^2$ การบวกพจน์ทั้งหมดจะได้ ${14d+14+14d^2}$ ดังนั้น $a+b+c = \boxed{42}$ | 42 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 80 ถึง 90 รวมทั้งตัวเลข 80 และ 90 ด้วย | ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ จำนวนจำนวนเต็มตั้งแต่ 80 ถึง 90 มี $90 - 80 + 1 = 11$ พจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $(80 + 90)/2 \cdot 11 = \boxed{935}$ | 935 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบจำนวนเต็มทั้งหมดของอสมการ $1<(x-2)^2<25$ | ให้ $y = x - 2,$ ดังนั้น $1 < y^2 < 25.$ คำตอบจำนวนเต็มของ $y$ คือ $-4,$ $-3,$ $-2, 2, 3, 4,$ ดังนั้นคำตอบของ $x$ คือ $-4 + 2 = -2,$ $-3 + 2 = -1,$ $-2 + 2 = 0,$ $2 + 2 = 4,$ $3 + 2 = 5,$ และ $4 + 2 = 6.$ ผลรวมของคำตอบเหล่านี้คือ $(-2) + (-1) + 0 + 4 + 5 + 6 = 12$. | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายสุด $\frac{3^4+3^2}{3^3-3}$ . แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ตัวประกอบร่วมของ 3 ในตัวเศษและตัวประกอบร่วมของ 3 ในตัวส่วนจะตัดกัน: \[
\frac{3^4+3^2}{3^3-3}=\frac{3(3^3+3^1)}{3(3^2-1)}=\frac{3^3+3^1}{3^2-1}
\] ตอนนี้ ตัวเศษคือ $3^3+3=27+3=30$ และตัวส่วนคือ $3^2-1=9-1=8$ ดังนั้น เศษส่วนจึงง่ายขึ้นเป็น $\dfrac{30}{8}=\boxed{\dfrac{15}{4}}$ | \dfrac{15}{4} | [
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของน้ำหนักของจิมและบ็อบเท่ากับ 180 ปอนด์ ถ้าคุณลบน้ำหนักของจิมออกจากน้ำหนักของบ็อบ คุณจะได้ครึ่งหนึ่งของน้ำหนักของบ็อบ บ็อบหนักเท่าไร? | ให้ $j$ แทนน้ำหนักของจิม และ $b$ แทนน้ำหนักของบ็อบ เราสามารถใช้ระบบสมการต่อไปนี้เพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนด: \begin{align*}
j + b &= 180 \\
b - j &= \frac{b}{2} \\
\end{align*} การบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ $2b = 180 + \frac{b}{2}$ แก้สมการเพื่อหา $b$ จะได้ $3b = 360$ หรือ $b = 120$ ดังนั้น บ็อบหนัก $\boxed{120}$ ปอนด์ | 120 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=4x+5$ แล้ว $f^{-1}(f^{-1}(9))$ มีค่าเท่าใด | แทน $f^{-1}(x)$ ลงใน $f$ เราได้ $f(f^{-1}(x)) =4f^{-1}(x) + 5$ ดังนั้น $x = 4f^{-1}(x) + 5$ แก้สมการนี้หา $f^{-1}(x)$ เราได้ $f^{-1}(x) = \frac{x-5}{4}$ ดังนั้น \begin{align*}
f^{-1}(f^{-1}(9)) & = f^{-1}\left(\frac{9-5}{4}\right) \\
& = f^{-1}(1) \\
& = \frac{1-5}{4} \\
& = \boxed{-1}.
\end{align*} | -1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
รากของสมการ $2x^2 - 5x - 4 = 0$ สามารถเขียนได้ในรูป $x = \frac{m \pm \sqrt{n}}{p}$ โดยที่ $m$, $n$ และ $p$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1 ค่าของ $n$ คือเท่าใด | ปัญหานี้เป็นการประยุกต์ใช้สูตรกำลังสอง $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ โดยใช้สูตรกำลังสอง เราพบว่า $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 +32}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{4}$ เนื่องจาก $4$ และ $57$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน $n = \boxed{57}$ | 57 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ลำดับ $A$ เป็นลำดับเรขาคณิต ลำดับ $B$ เป็นลำดับเลขคณิต แต่ละลำดับจะหยุดเมื่อจำนวนใดจำนวนหนึ่งในลำดับนั้นมีค่ามากกว่า $300$ หาผลต่างบวกที่น้อยที่สุดระหว่างจำนวนที่เลือกจากลำดับ $A$ และจำนวนที่เลือกจากลำดับ $B$?
$\bullet$ ลำดับ $A:$ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ $32,$ $\ldots$
$\bullet$ ลำดับ $B:$ $20,$ $40,$ $60,$ $80,$ $100,$ $\ldots$ | จำนวนในลำดับ $A$ คือ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ $32,$ $64,$ $128,$ $256,$ $512.$ จำนวนในลำดับ $B$ เริ่มจาก $20$ และเพิ่มขึ้น $20$ ทุกครั้ง ดังนั้นลำดับ $B$ คือทวีคูณของ $20$ ตั้งแต่ $20$ ถึง $320$ เราจึงต้องดูว่าจำนวนใดในลำดับ $A$ ใกล้เคียงกับทวีคูณของ $20$ มากที่สุด $16,$ $64,$ และ $256$ ใกล้เคียงกันมากที่สุด โดยแต่ละจำนวนห่างจากทวีคูณของ $20$ เป็น $4$ ดังนั้นผลต่างบวกที่น้อยที่สุดระหว่างจำนวนในลำดับ $A$ และจำนวนในลำดับ $B$ คือ $\boxed{4}.$ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามจำนวนเต็มบวกมีผลรวมเท่ากับ 72 และมีอัตราส่วนเป็น 1:3:4 จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดในสามจำนวนนี้คือเท่าไร | ให้จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดเป็น $x$ แล้วจำนวนอื่นๆ คือ $3x$ และ $4x$ และผลรวมของทั้งสามจำนวนคือ $8x$ ดังนั้น $x=\frac{72}{8}=\boxed{9}$ | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความชันของเส้นตรงที่ขนานกับ $2x+4y=-17$ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่เป็น $y = -\frac{1}{2}x - \frac{17}{4}$ เนื่องจากเส้นตรงที่ขนานกันจะมีความชันเท่ากัน ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{-\frac{1}{2}}$ | -\frac{1}{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อผลรวมของ 102 จำนวนนับแรกหารด้วย 5250 จะเหลือเศษเท่าใด (จำนวนนับแรกคือ 1) | สำหรับทุกจำนวน $n$, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 102 = 102 \cdot 103/2 = 5253$ เศษที่เหลือเมื่อ 5253 หารด้วย 5250 คือ $\boxed{3}$ | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าของ $(x+1)^2+2(x+1)(3-x)+(3-x)^2$ | ให้ $a = x + 1$ และ $b = 3 - x$ แล้ว \begin{align*}
(x+1)^2+2(x+1)(3-x)+(3-x)^2 &= a^2 + 2ab + b^2\\
&= (a + b)^2 \\
&= (x + 1 + 3 - x)^2 \\
&= 4^2 =\boxed{16}.
\end{align*} | 16 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
BoatsRUs สร้างเรือแคนู 7 ลำในเดือนมกราคมของปีนี้ และในแต่ละเดือนถัดไป พวกเขาสร้างเรือแคนูเป็นสองเท่าของจำนวนเรือแคนูที่สร้างในเดือนก่อนหน้า จงหาจำนวนเรือแคนูทั้งหมดที่ BoatsRUs สร้างได้จนถึงสิ้นเดือนพฤษภาคมของปีนี้ | จำนวนเรือแคนูที่ BoatsRUs สร้างในแต่ละเดือนสร้างเป็นลำดับเรขาคณิต: 7, 14, 28, 56, 112 พจน์แรกคือ 7 และอัตราส่วนร่วมคือ 2 ดังนั้นผลรวมของพจน์เหล่านี้คือ $\frac{7(2^5-1)}{2-1} = \boxed{217}$ | 217 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $\log_{10}{28471}$ อยู่ระหว่างจำนวนเต็มติดต่อกัน $a$ และ $b$ จงหา $a+b$ | เราทราบว่า $\log_{10}10000=4$ และ $\log_{10}100000=5$ เนื่องจาก $\log_{10}x$ เพิ่มขึ้นเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น เราทราบว่า $\log_{10}10000<\log_{10}28471<\log_{10}100000$ ซึ่งหมายความว่า $4<\log_{10}28471<5$ ดังนั้นผลรวมที่ต้องการคือ $4+5=9$ | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาช่วงของฟังก์ชัน $$G(x) = |x+1|-|x-1|~?$$แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | เราได้ $$G(x) = \begin{cases}
-(x+1)+(x-1) &\text{if }x<-1 \\
(x+1)+(x-1) &\text{if }-1\le x<1 \\
(x+1)-(x-1) &\text{if }x\ge 1
\end{cases}.$$เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราได้ $$G(x) = \begin{cases}
-2 &\text{if }x<-1 \\
2x &\text{if }-1\le x<1 \\
2 &\text{if }x\ge 1
\end{cases}.$$ดังนั้น ช่วงของ $G(x)$ คือ $\boxed{[-2,2]}.$ | [-2,2] | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จุด $(0,4)$ และ $(1,3)$ อยู่บนวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน $x$ รัศมีของวงกลมยาวเท่าไร | ให้จุดศูนย์กลางของวงกลมเป็น $(x,0)$ ดังนั้นระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยัง $(0,4)$ และจากจุดศูนย์กลางไปยัง $(1,3)$ จะเท่ากัน ใช้สูตรระยะทาง เราได้ \begin{align*}
\sqrt{(x-0)^2+(0-4)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+(0-3)^2}\\
\Rightarrow\qquad \sqrt{x^2+16}&=\sqrt{(x-1)^2+9}\\
\Rightarrow\qquad x^2+16&=(x-1)^2+9\\
\Rightarrow\qquad x^2+16&=x^2-2x+1+9\\
\Rightarrow\qquad 16&=-2x+10\\
\Rightarrow\qquad 6&=-2x\\
\Rightarrow\qquad x&=-3
\end{align*} ตอนนี้เรารู้แล้วว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(-3,0)$ และเราต้องหาความยาวรัศมี ใช้สูตรระยะทางอีกครั้ง: \begin{align*} \sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}&=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}\\&=\sqrt{9+16}\\&=\sqrt{25}=\boxed{5}.\end{align*} | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\left( \frac{1}{2k} \right)^{-2} \cdot (-k)^3$. | $\left( \frac{1}{2k} \right)^{-2} \cdot (-k)^3 = (2k)^2 \cdot (-k)^3 = 4k^2 \cdot (-k^3) = \boxed{-4k^5}$. | -4k^5 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของรากของสมการ $18t^2 + 45t -500 =0$. | ผลคูณของรากเท่ากับพจน์คงที่หารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสอง หรือ $(-500)/18 = \boxed{-\frac{250}{9}}$. | -\frac{250}{9} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
นิพจน์ $x^2 + 15x + 54$ สามารถเขียนได้ในรูป $(x + a)(x + b)$ และนิพจน์ $x^2 - 17x + 72$ เขียนได้ในรูป $(x - b)(x - c)$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $a + b + c$ | การแยกตัวประกอบ เราพบว่า $x^2 + 15x + 54 = (x + 9)(x + 6)$ และ $x^2 - 17x + 72 = (x - 9)(x - 8)$ เราจะเห็นว่า $b = 9$ ดังนั้น $a = 6$ และ $c = 8$ และ $a + b + c = 23$ | 23 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $g(x) = 2x^2 - 3$ และ $h(x) = 4x^3 +1$ จงหาค่าของ $g(h(-1))$ | ก่อนอื่น จงหาค่า $h(-1) = 4(-1)^3 + 1 = -3$ จากนั้น จงหาค่า $g(-3) = 2(-3)^2 - 3 = 15$ | 15 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชันสองฟังก์ชันดังนี้: $$\begin{array}{ccc}
f(x) & = & 3x^2-2x+ 4\\
g(x) & = & x^2-kx-6
\end{array}$$ ถ้า $f(10) - g(10) = 10,$ จงหาค่าของ $k?$ | เราได้ว่า \begin{align*} f(x) - g(x) &= (3x^2-2x+ 4) - (x^2-kx-6) \\ &= 2x^2 + (k-2)\cdot x +10. \end{align*}ดังนั้น $f(10) - g(10) = 2\cdot 10^2 + (k - 2)\cdot 10 +10 = 10.$ ดังนั้น $-2\cdot 10^2 = (k-2)\cdot 10,$ และ $k = \boxed{-18}.$ | -18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(0,3)$ ถึง $(6,9)$ ค่าของ $b$ คือเท่าใด | ถ้าเส้นตรง $x+y=b$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงจาก $(0,3)$ ถึง $(6,9)$ เส้นตรงนี้จะต้องผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงนี้ จุดกึ่งกลางคือ: $$\left(\frac{0+6}{2},\frac{3+9}{2}\right)=(3,6)$$จุดนี้ nằmบนเส้นตรง $x+y=b$ ดังนั้นเราจะต้องมี $3+6=b\Rightarrow b=\boxed{9}$. | 9 | [
"ประยุกต์"
] |
ข้าวโพดราคา 99 เซนต์ต่อปอนด์ และถั่วราคา 45 เซนต์ต่อปอนด์ ถ้าเชอาซื้อข้าวโพดและถั่วรวม 24 ปอนด์ และเสียเงิน $18.09 เขาซื้อข้าวโพดกี่ปอนด์? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษเป็นหลักที่ใกล้เคียงที่สุด | ให้ $c$ และ $b$ เป็นจำนวนปอนด์ของข้าวโพดและถั่วที่เชอาซื้อตามลำดับ เราสามารถแปลงข้อมูลที่กำหนดให้เป็นระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร: \begin{align*}
b+c&=24\\
45b+99c&=1809
\end{align*} เราสามารถคูณสมการแรกด้วย 45 และลบออกจากสมการที่สองเพื่อให้ได้ $(99-45)c=1809-45(24)$ ซึ่งจะลดรูปเป็น $54c=729$ หรือ $c=13.5$ ดังนั้นเชอาซื้อข้าวโพด $\boxed{13.5\text{ ปอนด์}}$ | 13.5\text{ ปอนด์} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x=\frac{2009^2-2009}{2009}$ แล้วค่าของ $x$ เท่ากับเท่าใด | แยกตัวประกอบ 2009 ออกจากตัวเศษ: \[
\frac{2009^2-2009}{2009}=\frac{2009(2009-1)}{2009}=\boxed{2008}.
\] | 2008 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\displaystyle\frac{m}{n} = 15$, $\displaystyle\frac{p}{n} = 3$, และ $\displaystyle \frac{p}{q} = \frac{1}{10}$, แล้ว $\displaystyle\frac{m}{q}$ มีค่าเท่าใด? | ถ้าเราคูณสมการแรก สมการที่สาม และส่วนกลับของสมการที่สอง เราจะได้ \[\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}\cdot \frac{n}{p} = 15\cdot \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{m}{q}= \boxed{\frac{1}{2}}.\] | \frac{1}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ซานเทียอ่านหนังสือได้ 100 หน้าต่อชั่วโมง และมอลลี่อ่านหนังสือได้ 50 หน้าต่อชั่วโมง ถ้าทั้งสองคนอ่านหนังสือเล่มเดียวกัน และหนังสือเล่มนั้นมี 225 หน้า จะใช้เวลานานกว่าซานเทียกี่นาทีกว่ามอลลี่จะอ่านหนังสือจบ | การอ่านหนังสือใช้เวลาของซานเทีย
$\frac{225}{100}=2.25$ ชั่วโมง
ใช้เวลาของมอลลี่
$\frac{225}{50}=4.5$ ชั่วโมง
ความแตกต่างคือ $2.25$ ชั่วโมง หรือ $2.25(60)=\boxed{135}$ นาที | 135 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
โจกำลังศึกษาดูจำนวนแบคทีเรีย มีแบคทีเรียอยู่ 20 ตัวที่เวลา 3:00 น. และจำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทุกๆ 3 นาที โดยสมมติว่าแบคทีเรียไม่มีการตายเลย มีจำนวนแบคทีเรียกี่ตัวที่เวลา 3:15 น. ในวันเดียวกัน? | มีช่วงเวลา 3 นาที 5 ช่วงระหว่างเวลา 3:00 น. ถึง 3:15 น. ดังนั้นจำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า 5 ครั้ง ดังนั้นจำนวนประชากรสุดท้ายคือ $2^5 = 32$ เท่าของจำนวนประชากรเริ่มต้น ดังนั้นเวลา 3:15 น. จะมีแบคทีเรีย $20 \cdot 32 = \boxed{640}$ ตัว | 640 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับค่าของ $z$ ใด $z^2-40z+340\le 4$ จงแสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | เราสามารถทำให้สมการง่ายขึ้นเป็น $z^2-40z+336\le 0$ เราสามารถแก้หาค่ารากได้โดยใช้สูตรกำลังสอง แต่มีวิธีที่ง่ายกว่าโดยการแยกตัวประกอบ: $z^2-40z+336=(z-12)(z-28)$ ดังนั้นพาราโบลา $z^2-40z+336$ จะเปลี่ยนเครื่องหมายที่ $z=12$ และ $z=28$ คำตอบคือช่วง $(-\infty,12]\cup[28,\infty)$ หรือ $[12,28]$ เราทดสอบค่าเพื่อให้ได้ว่ากำลังสองไม่เป็นบวกในช่วง $\boxed{[12,28]}$ | [12,28] | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แมรี่สามารถตัดหญ้าได้ในเวลา 4 ชั่วโมง และทอมสามารถตัดหญ้าได้ในเวลา 5 ชั่วโมง ถ้าทอมทำงานคนเดียวเป็นเวลา 2 ชั่วโมง แล้วส่วนที่เหลือของหญ้าที่ยังไม่ได้ตัดคือเท่าไร? | ถ้าทอมสามารถตัดหญ้าได้ในเวลา 5 ชั่วโมง ดังนั้นใน 1 ชั่วโมง เขาสามารถตัดหญ้าได้ $ rac{1}{5}$ เนื่องจากเขาตัดหญ้าเป็นเวลา 2 ชั่วโมง เขาจึงตัดหญ้าเสร็จ $ rac{2}{5}$ ส่วนนี้ ส่วนที่เหลือของหญ้าที่ยังไม่ได้ตัดคือ $1 - rac{2}{5} = oxed{ rac{3}{5}}$ | \frac{3}{5} | [
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของจำนวน $M$ และหกน้อยกว่า $M$ เท่ากับ $-5$ ผลบวกของค่า $M$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด | แปลงข้อมูลที่กำหนดให้เป็นรูปแบบสมการ เราพบว่า $M(M-6) = -5$ จัดเรียงใหม่ $M^2 - 6M + 5 = 0$ โดยใช้สมการ Vieta สำหรับผลบวกและผลคูณของราก เราพบว่าผลบวกของคำตอบของสมการนี้คือ $-(-6) = 6$ | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f (x) = x + 3$ และ $g(x) = x^2 -6$ จงหาค่าของ $f (g(2))$ | $f(g(2))=f(2^2-6)=f(-2)=-2+3=\boxed{1}$. | 1 | [
"ประยุกต์"
] |
จงเขียน \[2-4x-6x^2+8+10x-12x^2-14+16x+18x^2\] ในรูปของ $x$ | การรวมพจน์ที่คล้ายกัน นิพจน์ที่กำหนดจะเท่ากับ $(2+8-14)+(-4x+10x+16x)+(-6x^2-12x^2+18x^2)=\boxed{22x-4}$ | 22x-4 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.