question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
สองเส้นตรง $y = 4x - 19$ และ $2x+y = 95$ ตัดกัน จงหาค่าของ $x$ ที่จุดตัด | ที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น ค่า $x$ จะเท่ากัน และค่า $y$ จะเท่ากัน เราสามารถตั้งสมการ $4x - 19 = 95 - 2x$ เพื่อหาค่า $x$ ที่ค่า $y$ เท่ากัน
\begin{align*}
4x - 19 &= 95 - 2x \\
6x &= 114 \\
x &= \boxed{19}.
\end{align*} | 19 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการ $3^{2x} = \sqrt{27}$ แล้วแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจาก $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}} = (3^3)^\frac{1}{2} = 3^{\frac{3}{2}}$ เราได้ว่า $3^{2x}=3^{\frac{3}{2}}$ ดังนั้น $2x=\frac{3}{2}$ และ $x=\boxed{\frac{3}{4}}$ | \frac{3}{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=3x-2$ และ $g(x)=f(f(f(f(x))))$ ถ้าโดเมนของ $g$ คือ $0\leq x\leq 2$ จงคำนวณช่วงของ $g$ | เราทำซ้ำฟังก์ชันเพื่อหา $g$:
\begin{align*}
f(f(x))&=3(3x-2)-2=9x-8\\
f(f(f(x)))&=3(9x-8)-2=27x-26\\
f(f(f(f(x))))&=3(27x-26)-2=81x-80
\end{align*}
นี่เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ค่าต่ำสุดในโดเมนอยู่ที่ $0$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ $-80$ และค่าสูงสุดอยู่ที่ $2$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ $-80+2(81)=82$ มันครอบคลุมค่าทั้งหมดระหว่างค่าเหล่านี้ ดังนั้นช่วงคือ $\boxed{-80\leq g(x)\leq 82}$ | -80\leq g(x)\leq 82 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทำให้ง่ายที่สุด: $$\sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}$$. | ก่อนอื่นสังเกตว่าจำนวนเต็มทั้งสามมีตัวประกอบร่วมกันคือ 10 เราสามารถลบตัวประกอบนี้จากรากที่สามได้ดังนี้: \begin{align*}
\sqrt[3]{10^3\cdot3^3+10^3\cdot4^3+10^3\cdot5^3}&=\sqrt[3]{10^3(3^3+4^3+5^3)}\\
&=10\sqrt[3]{3^3+4^3+5^3}.
\end{align*} ตอนนี้ให้ประเมินนิพจน์ใต้รากที่สาม: $$10\sqrt[3]{3^3+4^3+5^3}=10\sqrt[3]{27+64+125}=10\sqrt[3]{216}.$$ เนื่องจาก $216=6^3$ นิพจน์นี้จึงง่ายขึ้นเป็น: $$10\sqrt[3]{6^3}=\boxed{60}.$$ | 60 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของสมการ $x^2-14x+3y+70=21+11y-y^2$ ที่อยู่ต่ำกว่าเส้น $y=x-3$ | สมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น \begin{align*}
x^2-14x+y^2-8y & =-49\\
x^2-14x+49+y^2-8y+16& =16\\
(x-7)^2+(y-4)^2 & =16
\end{align*}ดังนั้น บริเวณนี้เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(7,4)$ และรัศมี 4 เนื่องจาก $(7,4)$ อยู่บนเส้น $y=x-3$ เส้นจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น ครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของวงกลมอยู่ต่ำกว่าเส้น $y=x-3$ รัศมีของวงกลมคือ 4 ดังนั้น วงกลมมีพื้นที่ $16\pi$ ดังนั้น ครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของวงกลมคือ $\boxed{8 \pi}$ | 8 \pi | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของจำนวนต่างกันสามจำนวนเท่ากับ 67 จำนวนที่ใหญ่กว่าสองจำนวนต่างกัน 7 และจำนวนที่เล็กกว่าสองจำนวนต่างกัน 3 จงหาค่าของจำนวนที่ใหญ่ที่สุด | $\textbf{วิธีที่ 1}$: กำหนดให้จำนวนทั้งสามคือ $a$, $b$, และ $c$ และสมมติว่า $a\le b \le c$ โดยไม่มีการสูญเสียความทั่วไป เราได้สมการสามสมการ \begin{align*}
a+b+c&=67\\
c-b&=7\\
b-a&=3
\end{align*} จากสมการที่สอง เราได้ $c=b+7$ แทนค่านี้ลงในสมการแรกเพื่อกำจัด $c$ เราได้ $a+b+(b+7)=67\Rightarrow a+2b=60$ บวกสมการสุดท้ายนี้กับสมการที่สาม เราได้ $a+2b+b-a=60+3\Rightarrow b=21$ แทนค่านี้ลงในสมการที่สองเพื่อหา $c$ เราได้ $c=b+7=28$ ดังนั้นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดคือ $\boxed{28}$.
$\textbf{วิธีที่ 2}$: กำหนดให้จำนวนตรงกลางคือ $x$ แล้วจำนวนที่ใหญ่ที่สุดคือ $x+7$ และจำนวนที่เล็กที่สุดคือ $x-3$ จำนวนเหล่านี้มีผลรวมเท่ากับ 67 ดังนั้นเราได้สมการ $$(x-3) + (x) + (x+7) = 67.$$ ทำให้เป็นอย่างง่าย เรามี $$3x + 4 = 67$$ $$\implies x = 21.$$ ดังนั้นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดคือ $x+7 = 21+7 = \boxed{28}.$ | 28 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-10x +y^2-4y-7=0$ และ $x^2+14x +y^2+6y+49=0$ | เราเติมกำลังสองในสมการแรกโดยสังเกตว่าสมการแรกเทียบเท่ากับ \[
(x^2-10x +25) +(y^2-4y +4)=36,
\] ซึ่งเทียบเท่ากับ \[
(x-5)^2 +(y-2)^2 =6^2.
\] เช่นเดียวกัน สมการของวงกลมที่สองคือ \[
(x+7)^2 +(y+3)^2 =3^2.
\] ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(5,2)$ และ $(-7,-3)$ และรัศมีของวงกลมเท่ากับ 6 และ 3 ตามลำดับ ระยะทางระหว่างจุด $(5,2)$ และ $(-7,-3)$ โดยสูตรระยะทางคือ $\sqrt{(5-(-7))^2+(2-(-3))^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$. ดังนั้น เพื่อหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างวงกลมทั้งสอง เราต้องลบผลรวมของรัศมีของวงกลมทั้งสองออกจาก 13. ดังนั้น ความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างวงกลมคือ $13-3-6 = \boxed{4}$. | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $2^8=16^x$ จงหาค่าของ $x$ | เราสามารถเขียน $16$ เป็น $2^4$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการของเราใหม่เป็น $2^8 = 2^{4 \cdot x}$ แก้สมการจะได้ว่า $x = \boxed{2}$ | 2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $\sqrt{5+2z} = 11$。 | เรา squaring ทั้งสองข้างเพื่อกำจัดเครื่องหมายรากที่สอง ซึ่งจะได้ $5+2z = 121$ แก้หา $z$ จะได้ $z = \boxed{58}$ เรา squaring สมการ ดังนั้นเราต้องทดสอบคำตอบของเราเพื่อให้แน่ใจว่ามันไม่ใช่คำตอบที่ไม่ต้องการ เราได้
\[\sqrt{5 +2 \cdot 58} =\sqrt{121} = 11\]ดังนั้นคำตอบของเราจึงถูกต้อง | 58 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $m+\frac{1}{m}=8$, แล้วค่าของ $m^{2}+\frac{1}{m^{2}}+4$ มีค่าเท่าใด? | ยกกำลังสองสมการที่กำหนดให้ เราจะได้ $m^2+2(m)\left(\frac{1}{m}\right) +\frac{1}{m^2}=64,$ ดังนั้น $m^2+\frac{1}{m^2}+4=\boxed{66}$. | 66 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของ $y = (x-5)(x^2+5x+6)$ มีจุดตัดแกน $x$ ที่แตกต่างกันกี่จุด | จุดตัดแกน $x$ เกิดขึ้นเมื่อ $y=0$ ดังนั้น จุดตัดแกน $x$ คือคำตอบของสมการ $0 = (x-5)(x^2+5x+6)$ จากสมการนี้ เราเห็นว่าคำตอบเกิดขึ้นเมื่อ $x-5=0$ และเมื่อ $x^2+5x+6=0$ ตอนนี้ $x^2+5x+6$ หาค่าได้ $(x+3)(x+2)$ ดังนั้น คำตอบคือ $5, -2, -3$ ซึ่งมีจำนวน $\boxed{3}$ จุดตัด | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x) = x^k$ โดยที่ $k < 0$ จงหาช่วงของ $f(x)$ บนช่วง $[1, \infty)$ | เราต้องการหาช่วงของ $f(x)$ เมื่อ $x$ อยู่ในช่วง $[1,\infty)$ เนื่องจาก $k < 0$ ดังนั้น $f(x)$ จะลดลงบนช่วง $[1, \infty)$ เราเห็นว่า $f(1) = 1^k = 1$ และเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $f(x) = x^k$ จะเข้าใกล้ 0 แต่จะไม่ถึง 0 ดังนั้นบนช่วง $[1,\infty)$ $f(x)$ จะมีค่าระหว่าง 0 (ไม่รวม) ถึง 1 (รวม) ซึ่งหมายความว่าช่วงของ $f(x)$ คือ $\boxed{(0,1]}$ | (0,1] | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในวันที่อากาศร้อน เมแกนชอบกินไอศกรีมไม้ทุกๆ 15 นาที ถ้าเธอยังคงกินด้วยอัตราเดียวกัน เธอจะกินไอศกรีมไม้ได้กี่แท่งในเวลา 4 ชั่วโมง 30 นาที | ให้ $p$ แทนจำนวนไอศกรีมไม้ที่เมแกนกินได้ในเวลา 4 ชั่วโมง 30 นาที ถ้าเราแปลงช่วงเวลานั้นเป็นนาที เราจะพบว่า 4 ชั่วโมง 30 นาที เท่ากับ $(4)(60)+30=270$ นาที จากที่นี่ เราสามารถตั้งสัดส่วนได้ \begin{align*} \frac{x}{270}& =\frac{1}{15}
\\\Rightarrow \qquad x& =\left(\frac{1}{15}\right)(270)
\\\Rightarrow \qquad x& =\boxed{18}
\end{align*} | 18 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของพจน์แรกในลำดับเรขาคณิต $a,b,c,32,64$ | อัตราส่วนร่วมคือ $\frac{64}{32} = 2$ ดังนั้นพจน์แรกคือ $\frac{32}{2^3} = \frac{32}{8} = \boxed{4}$ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$ เป็นค่าคงตัวซึ่งทำให้ $9x^2 + 24x + a$ เป็นกำลังสองของทวินาม แล้ว $a$ มีค่าเท่าใด? | ถ้า $9x^2 +24x + a$ เป็นกำลังสองของทวินาม แล้วทวินามจะมีรูป $3x +b$ สำหรับจำนวนบางตัว $b$ เพราะว่า $(3x)^2 = 9x^2$ ดังนั้น เราเปรียบเทียบ $(3x+b)^2$ กับ $9x^2 + 24x + a$ การขยาย $(3x+b)^2$ จะได้ \[(3x+b)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(b) + b^2 = 9x^2 + 6bx + b^2.\]การเทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x$ ของนิพจน์นี้กับพจน์ $x$ ของ $9x^2+24x+a$ เราได้ $6bx=24x$ ดังนั้น $b=4$ การเทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์คงตัวของ $9x^2 + 6bx + b^2$ กับพจน์คงตัวของ $9x^2 + 24x+a$ จะได้ $a=b^2 = \boxed{16}$ | 16 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบอลเคลื่อนที่บนเส้นทางพาราโบลา โดยความสูง (หน่วยเป็นฟุต) ถูกกำหนดโดยนิพจน์ $-16t^2+64t+31$ โดยที่ $t$ คือเวลาหลังจากการยิง ความสูงสูงสุดของลูกบอลเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นฟุต) | เพื่อหาความสูงสูงสุดของลูกบอลคือการทำให้นิพจน์ $-16t^2+64t+31$ มีค่ามากที่สุด เราจะทำได้โดยการเติมกำลังสอง การแยกตัวประกอบ $-16$ จากสองพจน์แรก เราได้ \[-16t^2+64t+31=-16(t^2-4t)+31.\]เพื่อเติมกำลังสอง เราบวกและลบ $(-4/2)^2=4$ ภายในวงเล็บเพื่อให้ได้ \begin{align*}
-16(t^2-4t)+31&=-16(t^2-4t+4-4)+31\\
&=-16([t-2]^2-4)+31\\
&=-16(t-2)^2+95.
\end{align*}เนื่องจาก $-16(t-2)^2$ มีค่าไม่เป็นบวกเสมอ ค่าสูงสุดของนิพจน์จะเกิดขึ้นเมื่อ $-16(t-2)^2=0$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $0+95=\boxed{95}$ ฟุต | 95 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $\frac{3+x(3+x)-3^2}{x-3+x^2}$ เมื่อ $x=-2$. | $\frac{3+x(3+x)-3^2}{x-3+x^2}=\frac{3+(-2)(3+(-2))-3^2}{-2-3+(-2)^2}=\frac{-8}{-1}=\boxed{8}$ | 8 | [
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ $45$ ผลต่างของสองจำนวนคือ $3$ จำนวนที่น้อยกว่าคือเท่าใด | ให้ $x,y$ เป็นจำนวนที่ใหญ่กว่าและน้อยกว่าตามลำดับ เรามี $x+y=45$ และ $x-y=3$ ดังนั้น: $y=\frac{1}{2}((x+y)-(x-y))=\frac{1}{2}(45-3)=\boxed{21}$ | 21 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 193 ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนนี้เท่ากับ 84 ผลบวกของจำนวนเต็มสองจำนวนนี้เท่ากับเท่าใด | กำหนดให้จำนวนเต็มสองจำนวนนี้เป็น $x$ และ $y$ เราทราบว่า $x^2 + y^2 = 193$ และ $xy = 84$ เราต้องการหา $x + y$ สังเกตว่า $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 193 + 2\cdot 84 = 361$ การหารากที่สองของ 361 เราจะได้ $x + y = \boxed{19}$ | 19 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้นจากกระดาษ) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังนั้น $a+b=-3+3=\boxed{0}$ | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติฟังก์ชัน $f(x)$ ถูกนิยามบนโดเมน $\{x_1,x_2,x_3\}$ โดยกราฟของ $y=f(x)$ ประกอบด้วยจุดเพียง 3 จุด สมมติว่าจุดทั้ง 3 จุดนั้นสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 32
กราฟของ $y = 2f(2x)$ ก็ประกอบด้วยจุดเพียง 3 จุดเช่นกัน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่สร้างโดยจุดทั้ง 3 จุดนั้นมีค่าเท่าไร | กราฟเดิมประกอบด้วยจุด $(x_1,f(x_1)),$ $(x_2,f(x_2)),$ และ $(x_3,f(x_3))$
กราฟของ $y=2f(2x)$ ประกอบด้วยจุด $\left(\frac{x_1}2,2f(x_1)\right),$ $\left(\frac{x_2}2,2f(x_2)\right),$ และ $\left(\frac{x_3}2,2f(x_3)\right)$ สัมพันธ์กับกราฟเดิม มันถูกยืดออกในแนวตั้งด้วยปัจจัย 2 แต่ก็ถูกบีบอัดในแนวนอนด้วยปัจจัยเดียวกัน การแปลงในแนวตั้งจะทำให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่สร้างโดยจุดทั้ง 3 จุดเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า แต่การแปลงในแนวนอนจะทำให้มันลดลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นพื้นที่สุดท้ายจึงเท่ากับพื้นที่เดิม $\boxed{32}$ | 32 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก และกำหนดให้ $n=x^2+2x+17$ และ $d=2x+5$ เมื่อหาร $n$ ด้วย $d$ แล้วผลหารคือ $x$ และเศษคือ $7$ จงหาค่าของ $x$ | เนื่องจากเราทราบว่าผลหารเมื่อหาร $n$ ด้วย $d$ คือ $x$ และมีเศษเป็น $7$ เราสามารถเขียนได้ว่า $n/d = x + 7/d$ แทนค่า $n$ และ $d$ ลงไปจะได้ $$\frac{x^2+2x+17}{2x+5}=x+\frac{7}{2x+5}.$$คูณด้วย $2x+5$ ตลอดจะได้
\begin{align*}
x^2+2x+17&=x(2x+5)+7\\
x^2+2x+17&=2x^2+5x+7\\
0&=x^2+3x-10\\
0&=(x-2)(x+5).
\end{align*}ดังนั้น $x=2$ หรือ $x=-5$ เนื่องจากกำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $x=\boxed{2}$
เพื่อตรวจสอบ เราเห็นว่า $x^2+2x+17=(2)^2+2(2)+17=25$ และ $2x+5=2(2)+5=9$ และผลหารเมื่อ $25$ หารด้วย $9$ คือ $x=2$ และมีเศษเป็น $7$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $\cfrac{\left\lceil\cfrac{17}{7}-\left\lceil\cfrac{27}{17}\right\rceil\right\rceil}{\left\lceil\cfrac{27}{7}+\left\lceil\cfrac{7\cdot17}{27}\right\rceil\right\rceil}$ | สิ่งแรกที่ต้องทำคือการหาค่าของเศษส่วนที่อยู่ใต้ฟังก์ชันเพดานชั้นใน จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{27}{17}$ คือ $2$ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{7\cdot17}{27}$ ซึ่งเท่ากับ $\frac{119}{27}$ คือ $5$ ดังนั้น ปัญหาเดิมสามารถเขียนใหม่ได้เป็น: \[\frac{\left\lceil\frac{17}{7}-2\right\rceil}{\left\lceil\frac{27}{7}+5\right\rceil}=\frac{\left\lceil\frac{3}{7}\right\rceil}{\left\lceil\frac{62}{7}\right\rceil}\] จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{3}{7}$ คือ $1$ และจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{62}{7}$ คือ $9$ ดังนั้น ค่าเศษส่วนที่เรียบง่ายสุดท้ายคือ $\boxed{\frac{1}{9}}$ | \frac{1}{9} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการ $2^x+6=3\cdot2^x-26$ เพื่อหาค่า $x$ | จัดรูปสมการใหม่จะได้ $32=2\cdot2^x$ หรือ $16=2^x$ ดังนั้น $x=\boxed{4}$ | 4 | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $$u(x) = \frac{1}{\sqrt x}~?$$ จงหาโดเมนของฟังก์ชันนี้ และแสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | เพื่อให้ $u(x)$ ถูกนิยาม $\sqrt x$ ต้องถูกนิยามและไม่เท่ากับศูนย์ สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับ $x$ ในโดเมน $\boxed{(0,\infty)}$. | (0,\infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $27 = 3(9)^{x-1}$ เพื่อหาค่า $x$. | หารทั้งสองข้างด้วย 3 เราจะได้ $9 = 9^{x-1} \rightarrow 1 = x-1 \rightarrow x = \boxed{2}$. | 2 | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
เส้นตรง $a$ ขนานกับเส้นตรง $y=2x+4$ และผ่านจุด $(2,5)$ จุดตัดแกน y ของเส้นตรง $a$ คือเท่าใด | เส้นตรงที่ขนานกันจะมีความชันเท่ากัน ดังนั้นความชันของเส้นตรง $a$ คือ $2$ โดยใช้สูตรจุด-ความชัน เราจะได้สมการของเส้นตรง $a$ คือ $y-5=2(x-2)=2x-4$ ในรูปสมการความชัน-จุดตัดแกน y สมการคือ $y=2x+1$ ดังนั้น จุดตัดแกน y คือ $\boxed{1}$ | 1 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาคำตอบที่มากกว่าของสมการ $$x^2 - 11x - 42 = 0$$ ที่แตกต่างกันสองคำตอบ | จากการแยกตัวประกอบ เราพบว่า $x^2 - 11x - 42 = (x - 14)(x + 3) = 0.$ ดังนั้น คำตอบของเราคือ $-3$ และ $14$ คำตอบที่มากกว่าในสองค่านี้คือ $\boxed{14}.$ | 14 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชัน $y=h(x)$ ดังนี้:
[asy]
import graph; size(8cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-4.25,xmax=4.25,ymin=-7.25,ymax=6.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return 4.125-(x+0.5)^2/2;}
draw(graph(f1,-4.25,4.25),linewidth(1));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
label("$y=h(x)$",(4.5,-6),E);
[/asy]
ถ้ากราฟของ $y=h(x-3)$ ถูกวาดบนแกนเดียวกันกับกราฟข้างต้น กราฟทั้งสองจะตัดกันที่จุดเดียว จงหาผลบวกของพิกัดของจุดนั้น | ถ้ากราฟตัดกันที่ $(a,b)$ เราจะได้ $$h(a) = h(a-3) \qquad(= b).$$ดังนั้น $(a,b)$ และ $(a-3,b)$ อยู่บนกราฟเดิมของ $y=h(x)$ หาจุดสองจุดบนกราฟเดิมที่ห่างกันในแนวนอน $3$ หน่วย เราจะพบ $(-2,3)$ และ $(1,3)$ ดังนั้น $a-3=-2,$ $a=1,$ และ $b=3;$ กราฟของ $y=h(x)$ และ $y=h(x-3)$ ตัดกันที่ $(1,3)$ ผลบวกของพิกัดของจุดนี้คือ $\boxed{4}$. | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $a$ ที่มากที่สุด ที่ทำให้ $\frac{7\sqrt{(2a)^2+(1)^2}-4a^2-1}{\sqrt{1+4a^2}+3}=2$. | สังเกตว่าปริมาณ $4a^2+1$ ปรากฏในรูปแบบต่างๆ ตลอดนิพจน์ทางด้านซ้ายมือ ดังนั้นให้ $4a^2+1=x$ เพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเป็น $\frac{7\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+3}$. นี่ก็ยังดูยุ่งยากอยู่ ดังนั้นให้ $\sqrt{x}=y$ สมการของเราจะกลายเป็น \begin{align*}
\frac{7y-y^2}{y+3}&=2.
\end{align*} ทำให้ตัวส่วนเป็น 0, จัดใหม่ และแยกตัวประกอบ เราพบว่า \begin{align*}
7y-y^2&=2(y+3)\quad \Rightarrow\\
7y-y^2&=2y+6\quad \Rightarrow\\
0&=y^2-5y+6\quad \Rightarrow\\
0&=(y-2)(y-3).
\end{align*} ดังนั้น $y=2$ หรือ $y=3$ ดังนั้น $\sqrt{x}=2,3$ และ $x=4$ หรือ $x=9$. แทนค่ากลับเข้าไป เราได้ $4a^2+1=4$ ซึ่งหมายความว่า $4a^2=3$, $a^2=\frac{3}{4}$, และ $a=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. ในทางกลับกัน เราอาจมี $4a^2+1=9$ ซึ่งทำให้ $4a^2=8$, $a^2=2$, และ $a=\pm\sqrt{2}$. ค่า $a$ ที่เป็นไปได้มากที่สุดคือ $\boxed{\sqrt{2}}$. | \sqrt{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\#$ นิยามโดย $a \# b = a + \frac{a}{b}$ จงหาค่าของ $6 \# 2$ | เราได้ว่า $6 \# 2 = 6+\frac{6}{2} = 6+3 = \boxed{9}$ | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $9^4+9^4+9^4=3^x$ | เขียนใหม่ฝั่งซ้ายของสมการเป็น $3\cdot 9^4=3\cdot (3^2)^4=3\cdot 3^8=3^9$. แก้สมการ $3^9=3^x$ เราได้ $x=\boxed{9}$. | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดการดำเนินการ $a\nabla b = 2 + b^a$ จงหาค่าของ $(1\nabla 2) \nabla 3$? | เราเห็นว่า
$$1\nabla 2=2+2^1=4$$
จากนั้น,
$$4\nabla 3=2+3^4=83$$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{83}$. | 83 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $7^{4x}=343$ จงหาค่าของ $7^{4x-3}$ | $7^{4x-3}$ สามารถเขียนได้ในรูป $7^{4x}\cdot 7^{-3}$ เนื่องจากเราทราบว่า $7^{4x}=343$ ดังนั้น $7^{4x-3}=343\cdot 7^{-3}=343\cdot \frac{1}{343}=\boxed{1}$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้ทำให้ง่ายขึ้น $(3p^3 - 5p + 6) + (4 - 6p^2 + 2p)$. เขียนคำตอบของคุณในรูป $Ap^3 + Bp^2 + Cp +D$ โดยที่ $A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นจำนวน (อาจเป็นลบ) | โดยใช้สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มและการรวมพจน์ที่คล้ายกัน $(3p^3 - 5p + 6) + (4 - 6p^2 + 2p) = 3p^3 - 6p^2 - 5p + 2p + 6 + 4 = \boxed{3p^3 - 6p^2 - 3p + 10}$. | 3p^3 - 6p^2 - 3p + 10 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่า $f(z)$ และ $g(z)$ เป็นพหุนามใน $z$ และดีกรีของ $g(z)$ น้อยกว่าดีกรีของ $f(z)$ ถ้าดีกรีของ $f(z)$ เท่ากับสอง ดีกรีของ $f(z)+g(z)$ จะเท่ากับเท่าใด | เรามี $f(z)=a_2 \cdot z^2+a_1 \cdot z+a_0$ และ $g(z)=b_1 \cdot z+b_0$ โดยที่ $a_2$ ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว $f(z)+g(z)=a_2 \cdot z^2+(a_1+b_1) \cdot z+(a_0+b_0)$ ดีกรีของพหุนามนี้คือ $\boxed{2}$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\left\lceil\sqrt{\frac{9}{4}}\right\rceil+\left\lceil\frac{9}{4}\right\rceil+\left\lceil\left(\frac{9}{4}\right)^2\right\rceil$. | สมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $\left\lceil\frac{3}{2}\right\rceil+\left\lceil\frac{9}{4}\right\rceil+\left\lceil\frac{81}{16}\right\rceil$. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{3}{2}$ คือ $2$. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{9}{4}$ คือ $3$. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{81}{16}$ คือ $6$. ดังนั้น $2+3+6=\boxed{11}$. | 11 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์ (monic polynomial) ซึ่ง $f(0)=4$ และ $f(1)=10$ ถ้า $f(x)$ มีดีกรี 2 จงหา $f(x)$ แสดงคำตอบในรูป $ax^2+bx+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนจริง | เนื่องจาก $f(x)$ มีดีกรี 2 เราทราบว่ามันอยู่ในรูป $ax^2+bx+c$ พหุนามเอกซ์ (monic polynomial) คือพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 ดังนั้น $a=1$ เนื่องจาก $f(0)=4$ เราทราบว่า $1(0)^2+b(0)+c=4$ ดังนั้น $c=4$ เนื่องจาก $f(1)=10$ เราทราบว่า $1(1)^2+b(1)+4=10$ ดังนั้น $b+5=10$ และ $b=5$ ดังนั้น $f(x)=\boxed{x^2+5x+4}$ | x^2+5x+4 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}}$ และทำให้ส่วนของเศษส่วนที่ได้เป็นจำนวนตรรกยะ | ปัญหาคือการทำให้ง่ายขึ้น $\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{4}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{7}}$. เขียน $\sqrt{6}$ เป็น $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$ แสดงว่าสามารถยกเลิก $\sqrt{2}$ และ $\sqrt{3}$ บนและล่างได้ นอกจากนี้ ยังสามารถทำให้ $\sqrt{4}$ ง่ายขึ้นเป็น $2$ ได้ นี่จะได้ $\frac{2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{35}}$. สุดท้าย เพื่อทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ ให้คูณด้านบนและด้านล่างด้วย $\sqrt{35}$ เพื่อให้ได้ $\boxed{\frac{2\sqrt{35}}{35}}$. | \frac{2\sqrt{35}}{35} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการ $|y-6| + 2y = 9$ สำหรับ $y$ | เราพิจารณาสองกรณี $y\ge 6$ และ $y < 6$.
กรณีที่ 1: $y \ge 6:$ ถ้า $y \ge 6$ แล้ว $|y-6| = y-6$ และสมการของเราคือ $y-6+2y=9$. ดังนั้น เรามี $3y = 15$ หรือ $y=5$. อย่างไรก็ตาม $y=5$ ไม่สอดคล้องกับ $y\ge 6$. การทดสอบ $y=5$ เราได้ $|5-6| + 2\cdot 5 =11$ ไม่ใช่ 9 และเราเห็นว่า $y=5$ ไม่ใช่คำตอบ
กรณีที่ 2: $y < 6:$ ถ้า $y<6$ แล้ว $|y-6| = -(y-6) = -y+6$ ดังนั้น สมการของเราคือ $-y+6+2y = 9$ ซึ่งเราได้ $y=\boxed{3}$. นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้อง เพราะ $y=3$ สอดคล้องกับข้อจำกัด $y<6$. | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สัญกรณ์ $[x]$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$ จงคำนวณ $[-1.2]$. | จากนิยาม เราเห็นว่า $[-1.2] \leq -1.2$ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ตรงตามเงื่อนไขคือ $\boxed{-2}$. | -2 | [
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของสองจำนวนคือ 30 ส่วนต่างของสองจำนวนนั้นคือ 4 จงหาจำนวนที่ใหญ่กว่า | ให้ $x,y$ เป็นจำนวนที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่า ตามลำดับ เรามี $x+y=30$ และ $x-y=4$ ดังนั้น: $x=\frac{1}{2}((x+y)+(x-y))=\frac{1}{2}(30+4)=\boxed{17}$. | 17 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาช่วงของฟังก์ชัน $$r(x) = \frac{1}{(1-x)^2}~?$$ แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูป $1-x$ สำหรับจำนวนจริงบางจำนวน ดังนั้น เมื่อ $x$ วิ่งผ่านจำนวนจริง $(1-x)^2$ จะวิ่งผ่านค่าที่ไม่เป็นลบทั้งหมด และส่วนกลับของมัน (ซึ่งคือ $r(x)$) จะวิ่งผ่านค่าที่เป็นบวกทั้งหมด ช่วงของ $r(x)$ คือ $\boxed{(0,\infty)}$. | (0,\infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $501^2 - 499^2$ | สังเกตว่า $501^2 - 499^2$ สามารถเขียนในรูป $(501+499)(501-499)$ ได้ ซึ่งเท่ากับ $1000 \cdot 2$ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{2000}$ | 2000 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(1,1)$ และ $(4,7)$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ระยะห่างในแนวนอนระหว่าง $(1,1)$ และ $(4,7)$ คือ $4-1=3$ หน่วย ระยะห่างในแนวตั้งระหว่างจุดทั้งสองคือ $7-1=6$ หน่วย ดังนั้น เส้นตรงที่มีจุดปลายเป็น $(1,1)$ และ $(4,7)$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 หน่วยและ 6 หน่วย ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้คือ $\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{3\sqrt{5}}$ | 3\sqrt{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ปากกา 4 ด้าม และดินสอ 3 แท่ง มีราคา $2.24$ ดินสอ 2 ด้าม และดินสอ 5 แท่ง มีราคา $1.54$ ราคาไม่รวมภาษี ในเซนต์ ดินสอแท่งละเท่าไร? | ให้ราคาปากกา 1 ด้าม เป็น $x$ เซนต์ และราคาดินสอ 1 แท่ง เป็น $y$ เซนต์ เราสามารถใช้ระบบสมการต่อไปนี้แทนข้อมูลที่กำหนด: \begin{align*}
4x + 3y &= 224, \\
2x + 5y &= 154. \\
\end{align*}เราสามารถลบสมการแรกจากสองเท่าของสมการที่สองเพื่อให้ได้ $7y = 84$ ดังนั้น $y = 12$ ดังนั้น ราคาของดินสอคือ $\boxed{12}$ เซนต์ | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{5x+1}{2x^2+5x-3}=\frac{2x}{2x-1}\] สำหรับ $x$ | เราสังเกตว่าส่วนทางซ้ายตัวประกอบได้, ซึ่งจะให้เรา \[\frac{5x+1}{(2x-1)(x+3)}=\frac{2x}{2x-1}.\]ตราบใดที่ $x\neq\frac12$ เราอนุญาตให้ยกเลิก $2x-1$ จากส่วนได้, ซึ่งจะให้ \[\frac{5x+1}{x+3}=2x.\]ตอนนี้เราสามารถคูณไขว้เพื่อหา \[5x+1=2x(x+3)=2x^2+6x.\]เราทำให้ง่ายขึ้นเป็น \[2x^2+x-1=0\]และจากนั้นตัวประกอบเป็น \[(x+1)(2x-1)=0.\]โปรดทราบว่าเนื่องจาก $2x-1$ อยู่ในส่วนของสมการเดิม $x=\frac12$ เป็นคำตอบที่ไม่ต้องการ อย่างไรก็ตาม $x=\boxed{-1}$ เป็นคำตอบของสมการเดิม | -1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อทำให้ง่ายสุด ค่าของ $\sqrt{3} \times 3^{\frac{1}{2}} + 12 \div 3 \times 2 - 4^{\frac{3}{2}}$ คือเท่าใด | เราสังเกตว่า $\sqrt{3}\times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 3^1 = 3$ และ $4^{3/2} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2\cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$ ดังนั้น \begin{align*}
\sqrt{3} \times 3^{\frac{1}{2}} + 12 \div 3 \times 2 - 4^{\frac{3}{2}} &= 3 + 12\div 3 \times 2 - 8\\
&=3 + 4\times 2 - 8\\
&=3+8-8 = \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทิมต้องการลงทุนเงินจำนวนหนึ่งในธนาคารซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกไตรมาสด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปี $7\%$. โดยประมาณถึงบาท terdekat ทิมควรลงทุนเงินเท่าไรถ้าเขาต้องการยอดเงินทั้งหมด $\$60,\!000$ ที่สิ้นสุด $5$ ปี? | นึกถึงสูตร $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ โดยที่ $A$ คือยอดคงเหลือสุดท้าย $P$ คือเงินต้น $r$ คืออัตราดอกเบี้ย $t$ คือจำนวนปี และ $n$ คือจำนวนครั้งที่ดอกเบี้ยถูกทบต้นในหนึ่งปี สูตรนี้แสดงถึงแนวคิดที่ว่าดอกเบี้ยถูกทบต้นทุก ๆ $1/n$ ปี ด้วยอัตรา $r/n$.
แทนค่าข้อมูลที่กำหนดให้ เราได้ \[60,\!000=P\left(1+\frac{0.07}{4}\right)^{4 \cdot 5}.\]แก้สมการเพื่อหา $P$ จะได้ $P=42409.474...$ ซึ่งปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดคือ $\boxed{\$42409}$. | \$42409 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ทำให้ง่ายขึ้น: $x(3x^2-2)-5(x^2-2x+7)$. แสดงคำตอบของคุณในรูป $Ax^3+Bx^2+Cx+D.$ | ใช้สมบัติการ distributive และรวมพจน์เหมือนกัน: \begin{align*}
x(3x^2-2)-5(x^2-2x+7) &= 3x^3-2x-5x^2+10x-35\\
& = \boxed{3x^3-5x^2+8x-35}.
\end{align*} | 3x^3-5x^2+8x-35 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เส้นตรงที่ผ่านจุด $(-3,5)$ และ $(0,-4)$ สามารถเขียนในรูป $y=mx+b$ ได้ จงหาค่าของ $m+b$ | เนื่องจากจุดทั้งสองอยู่บนเส้นตรง การแทนค่าจุดเหล่านี้ลงในสมการของเส้นตรงจะทำให้ได้สมการที่เป็นจริง ดังนั้น จุด $(-3, 5)$ จะให้สมการ $5 = -3m + b$ และจุด $(0, -4)$ จะให้สมการ $-4 = b$ ดังนั้นเราทราบค่าของ $b$ แล้ว และสามารถแทนค่ากลับลงในสมการแรกเพื่อให้ได้ $5 = -3m - 4$ ดังนั้น $m = -3$ และ $m + b = \boxed{-7}$ | -7 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $$f(x)=\sqrt{3-\sqrt{5-\sqrt{x}}}.$$ ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง | เพื่อให้ค่าภายในรากที่สองชั้นในไม่เป็นลบ เราต้องมี $x\geq 0$ เพื่อให้รากที่สองชั้นกลางไม่เป็นลบ เราต้องมี $$5-\sqrt{x}\geq 0$$ $$\Rightarrow 25\geq x.$$ สุดท้าย รากที่สองชั้นนอกสุดต้องการ $$3-\sqrt{5-\sqrt{x}}\geq 0$$ หรือ $$9\geq 5-\sqrt{x}$$ $$\Rightarrow \sqrt{x}\geq -4,$$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ รวมอสมการของเรา เราได้ $$0\leq x\leq 25,$$ หรือ $x \in \boxed{[0, 25]}$ ในสัญกรณ์ช่วง | [0, 25] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มบวก $n$ กี่จำนวนที่ทำให้ $1 + 2 + \cdots + n$ หาร $6n$ ลงตัว | เนื่องจาก \[
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2},
\]$1 + 2 + \cdots + n$ หารจำนวนเต็มบวก $6n$ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ \[
\frac{6n}{n(n+1)/2} = \frac{12}{n+1}\ \text{เป็นจำนวนเต็ม.}
\]มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว $\boxed{5}$ จำนวน คือ 1, 2, 3, 5 และ 11 | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x = 10$ และ $y = 15$ แล้ว $(x - y)(x + y)$ มีค่าเท่าไร | $(x-y)(x+y)=(10-15)(10+15) = (-5)(25) = \boxed{-125}$. | -125 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $a \bowtie b = a+\sqrt{b+\sqrt{b+\sqrt{b+...}}}$. ถ้า $7\bowtie g = 9$ จงหาค่าของ $g$ | เราทราบว่า $7\bowtie g = 7+\sqrt{g+\sqrt{g+\sqrt{g+...}}}=9$. ดังนั้น $$\sqrt{g+\sqrt{g+\sqrt{g+...}}}=2.$$ เนื่องจากอนุกรมของ $\sqrt{g+\sqrt{g+\sqrt{g+...}}}$ เป็นอนุกรมอนันต์ เราสามารถแทน $2$ ลงในอนุกรมสำหรับ $\sqrt{g+\sqrt{g+\sqrt{g+...}}}$ ใดๆ ก็ได้ ดังนั้น $$\sqrt{g+\sqrt{g+\sqrt{g+...}}}=2$$ หมายความว่า $$\sqrt{g+\sqrt{g+\sqrt{g+...}}}=\sqrt{g+2}=2.$$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการใหม่นี้ เราได้ $g+2=4$ หรือ $g=\boxed{2}$. | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt{53+20\sqrt{7}}$ ในรูป $a+b\sqrt{c}$ เมื่อ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มและ $c$ ไม่มีตัวประกอบซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกอื่นใดนอกจาก 1. จงหา $a+b+c$. | เราให้ $a+\sqrt{d}=\sqrt{53+20\sqrt{7}}$. ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้: \begin{align*}
a^2+2a\sqrt{d}+d=(a^2+d)+\sqrt{4a^2 \cdot d}=53+20\sqrt{7}=53+\sqrt{2800}\\
\end{align*}เราเทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีรากและพจน์ที่ไม่มีรากเท่ากัน จากนั้นเราจะได้ว่า $a^2+d=53$ และ $\sqrt{4a^2 \cdot d}=\sqrt{2800}$ ดังนั้น $4a^2 \cdot d =2800$. แก้สมการ เราได้ว่า $a=5$, และ $d=28$.
ดังนั้น $\sqrt{53+20\sqrt{7}}=5+\sqrt{28}=5+2\sqrt{7}$. $a=5$, $b=2$, และ $c=7$. $a+b+c=5+2+7=\boxed{14}$. | 14 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบอลเคลื่อนที่บนเส้นทางพาราโบลา ซึ่งความสูง (หน่วยเป็นฟุต) กำหนดโดยนิพจน์ $-16t^2+80t+21$ โดยที่ $t$ คือเวลาหลังจากการปล่อย ความสูงสูงสุดของลูกบอลเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นฟุต) | เพื่อหาความสูงสูงสุดของลูกบอลคือการเพิ่มนิพจน์ $-16t^2+80t+21$ ให้มากที่สุด เราจะทำได้โดยการเติมกำลังสอง การแยกตัวประกอบ $-16$ จากสองพจน์แรก เราได้ \[-16t^2+80t+21=-16(t^2-5t)+21\]เพื่อเติมกำลังสอง เราบวกและลบ $(-5/2)^2=6.25$ ภายในวงเล็บเพื่อให้ได้ \begin{align*}
-16(t^2-5t)+21&=-16(t^2-5t+6.25-6.25)+21\\
&=-16([t-2.5]^2-6.25)+21\\
&=-16(t-2.5)^2+121
\end{align*}เนื่องจาก $-16(t-2.5)^2$ เป็นค่าลบเสมอ ค่าสูงสุดของนิพจน์จะได้เมื่อ $-16(t-2.5)^2=0$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $0+121=\boxed{121}$ ฟุต | 121 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
9x+4 &\text{ถ้า }x\text{ เป็นจำนวนเต็ม}, \\
\lfloor{x}\rfloor+5 &\text{ถ้า }x\text{ ไม่เป็นจำนวนเต็ม}.
\end{cases}
\]จงหา $f(\sqrt{29})$. | เนื่องจาก 29 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เราจึงทราบว่า $\sqrt{29}$ ไม่สามารถเท่ากับจำนวนเต็มได้ ดังนั้น $f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10}$. | 10 | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า $20$ ซึ่ง $x + y + xy = 76$ จงหาค่าของ $x + y$ | ถ้าเราบวก $1$ เข้าไปในทั้งสองข้างของสมการ ด้านซ้ายมืออาจถูกแยกตัวประกอบโดยใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของไซมอน ดังนั้น $$xy + x + y + 1 = (x+1)(y+1) = 77.$$ เนื่องจาก $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $x+1, y+1$ ต้องเป็นคู่ของตัวประกอบของ $77$ ซึ่งกำหนดโดย $\{x+1,y+1\} = \{1,77\},\{7,11\}$. ดังนั้น $\{x,y\} = \{0,76\},\{6,10\}$ แต่มีเพียงคู่หลังเท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด ดังนั้น $x+y = 6 + 10 = \boxed{16}$. | 16 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของทุกค่า $x$ ที่ทำให้นิพจน์ $\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-3}$ ไม่นิยาม | นิพจน์จะไม่นิยามก็ต่อเมื่อส่วนเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเป้าหมายคือการหาผลคูณของค่า $x$ ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+2x-3=0$ เนื่องจากตัวเลือกของสมการกำลังสองนี้คือ $2^2 - 4(1)(-3) = 16$ ซึ่งเป็นบวก เราทราบว่ารากของ $x^2 +2x-3$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน ผลคูณของรากของสมการกำลังสองในรูป $ax^2+bx+c$ เท่ากับ $\frac{c}{a}$ ดังนั้นผลคูณของค่า $x$ ที่ทำให้ $x^2 + 2x - 3=0$ คือ $\frac{-3}{1}$ หรือ $\boxed{-3}$ | -3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ากราฟของเส้นตรง $y = ax + b$ ผ่านจุด $(4,5)$ และ $(8,17)$ แล้ว $a - b$ มีค่าเท่าใด | ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(x_1,y_1)$ และ $(x_2,y_2)$ คือ \[\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\]กำหนดให้ $(x_1,y_1) = (4,5)$ และ $(x_2,y_2) = (8,17)$ ดังนั้นความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองคือ \[\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{17 - 5}{8 - 4} = \frac{12}{4} = 3.\]ดังนั้น $a = 3$.
$b$ สอดคล้องกับ $y = 3x + b$ สำหรับทุกจุดบนกราฟของมัน เนื่องจาก $(4,5)$ อยู่บนกราฟของ $y = 3x + 5$ เราสามารถแทน $x = 4$ และ $y = 5$ เพื่อแก้หา $b$ ได้ $5 = 3(4) + b$ และการลบ 12 จากทั้งสองข้างจะได้ $b = -7$ ดังนั้น $a - b = 3 - (-7) = \boxed{10}$. | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปสิบเหลี่ยม $P_1$ ถูกวาดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดยอด 100 จุด เท่ากับ 2009 จุดกึ่งกลางของด้านของ $P_1$ จะสร้างรูปสิบเหลี่ยมรูปที่สอง $P_2$ และจุดกึ่งกลางของด้านของ $P_2$ จะสร้างรูปสิบเหลี่ยมรูปที่สาม $P_3$ จงหาผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_3$ | ให้พิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_1$ คือ $x_1,x_2,\ldots,x_{100}$ จากสูตรของจุดกึ่งกลาง พิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_2$ คือ $\frac{x_1+x_2}2,\frac{x_2+x_3}2,\ldots,\frac{x_{100}+x_1}2 $ ผลรวมของพิกัดเหล่านี้เท่ากับ $\frac{2x_1+2x_2+\cdots +2x_{100}}2=x_1+x_2+\cdots+x_{100}$ เช่นเดียวกัน ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_3$ เท่ากับผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดยอดของ $P_2$ ดังนั้น คำตอบที่ต้องการคือ $\boxed{2009}$ | 2009 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $a^2=\frac{16}{44}$ และ $b^2=\frac{(2+\sqrt{5})^2}{11}$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริงลบ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า $(a+b)^3$ สามารถเขียนในรูปอย่างง่าย $\frac{x\sqrt{y}}{z}$ โดยที่ $x$, $y$, และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าของผลบวก $x+y+z$ | ก่อนอื่นเราหาค่า $a$ และ $b$ $$a=-\sqrt{\frac{16}{44}}=-\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{44}}=-\frac{4}{2\sqrt{11}}=-\frac2{\sqrt{11}}$$$$b=\sqrt{\frac{(2+\sqrt{5})^2}{11}}=\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$$ต่อไปเราหาค่า $(a+b)^3$ \begin{align*}(a+b)^3&=\left(-\frac2{\sqrt{11}}+\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{11}}\right)^3=\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}\right)^3=\frac{\sqrt{5^3}}{\sqrt{11^3}}\\
&=\frac{5\sqrt{5}}{11\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{5}}{11\sqrt{11}}\cdot\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{55}}{121}
\end{align*}ดังนั้น $x+y+z=5+55+121=\boxed{181}$ | 181 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า q เป็นกำลังสองของจำนวนเต็มบวก ข้อใดต่อไปนี้ต้องเท่ากับกำลังสองของจำนวนเต็มบวกถัดไป A)√n + 1 B)n + 1 C)n^2 + 1 D)q + 2√q + 1 E)n^2 + 2n + 1 | ถ้า q เป็นกำลังสองของจำนวนเต็มบวก ข้อใดต่อไปนี้ต้องเท่ากับกำลังสองของจำนวนเต็มบวกถัดไป
q = (x)^2 โดยที่ x เป็นจำนวนเต็มบวก
เพื่อคำนวณ -
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
root(q) = x
Ans - q + 2 root(q) + 1
สิ่งนี้ควรจะเป็น D | D | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนน้อยที่สุดที่มีห้าหลักที่หารด้วย 22, 33, 66 และ 44 ลงตัว A)10101 B)11000 C)10110 D)10111 E)10100 | จำนวนน้อยที่สุดที่มีห้าหลักคือ 10000
จำนวนที่ต้องการต้องหารด้วย ค.ร.น. ของ 22, 33, 66, 44 ซึ่งเท่ากับ 132
เมื่อหาร 10000 ด้วย 132 จะได้เศษ 32
ดังนั้น จำนวนที่ต้องการ = 10000 + (132 - 32) = 10100
คำตอบคือ E | E | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
5600 รูปีถูกแบ่งออกเป็นสามส่วน A, B และ C A มากกว่า C เท่าไร ถ้าอัตราส่วนของพวกเขาคือ 1/7:1/7:1/14? A)300 B)992 C)1120 D)552 E)312 | 1/7:1/7:1/14 = 2:2:1
1/5*5600 = 1120
2240-1120 = 1120
Answer: C | C | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า X และ Y เป็นเลขโดด และ 8XY เป็นเลขสามหลักที่หารด้วย 2 ลงตัว ผลคูณของ X และ Y ที่เป็นไปได้คือข้อใด A)15 B)31 C)12 D)27 E)91 | เคล็ดลับของข้อนี้คือต้องจำไว้ว่าเลขที่หารด้วย 2 ลงตัวต้องลงท้ายด้วยเลขคู่หรือ 0 (นั่นคือ Y)
ถ้า Y ต้องเป็น 0 ผลคูณควรเป็น 0 ไม่ว่า X จะเป็นอะไร
มิฉะนั้น ผลคูณจะเป็นเลขคู่ ตัวเลือกคำตอบเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ตรงตามข้อกำหนด
Ans C | C | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้าทิมทานอาหารกลางวันมูลค่า $50 และเขาให้ทิป 20% เขาใช้จ่ายไปทั้งหมดเท่าไร A) $60.00 B) $35.42 C) $60.60 D) $21.56 E) $78.45 | ทิปเป็น 20% ของมูลค่าอาหารกลางวันของเขา
ทิป = 20% ของ 50.00 = (20/100)*50.00 = $10.00
รวมที่ใช้จ่าย
50.00 + 10.00 = $60.00
คำตอบที่ถูกต้องคือ A) $60.00 | A | [
"นำไปใช้"
] |
วงดนตรีวงหนึ่งมี k-2 สมาชิก รวมทั้ง จิม และเอลเลน จะเลือกสมาชิก 2 คนเพื่อไปงานประกาศรางวัลแกรมมี่ หากมี 6 คู่ผสมที่จิมและเอลเลนไม่ได้รับเลือก ค่าของ k คือเท่าใด? A)8 B)9 C)10 D)11 E)12 | วงดนตรีมี k-2 สมาชิก และมี k-4 สมาชิกที่ไม่ใช่จิมและเอลเลน
(k-4)C2 = 6
(k-4)(k-5)/2 = 6
(k-4)(k-5) = 12 = 4*3
k = 8
คำตอบคือ A | A | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
825 รูปีกลายเป็น 956 รูปีใน 3 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยคงที่บางอัตรา หากอัตราดอกเบี้ยเพิ่มขึ้น 4% จำนวนเงิน 825 รูปีจะกลายเป็นเท่าใดใน 3 ปี? A) 1020.80 รูปี B) 1025 รูปี C) 1055 รูปี D) ข้อมูลไม่เพียงพอ E) ไม่มีข้อใดถูกต้อง | วิธีทำ
ดอกเบี้ย = 956-825 = 131 รูปี
อัตรา = (100x131/825x3) = 524/99%
อัตราใหม่ = (524/99 +4)% = 920/99%
ดอกเบี้ยใหม่ = 825 x 920/99 x 3/100 = 230 รูปี
∴ จำนวนเงินใหม่ = 825+230 = 1055 รูปี
คำตอบ C | C | [
"ประยุกต์"
] |
ค่าเข้าชมงานวัดสำหรับผู้ที่มีอายุต่ำกว่า 18 ปีอยู่ที่ 5 ดอลลาร์ และสำหรับผู้ที่มีอายุมากกว่านั้นจะคิดเพิ่ม 20% ค่าโดยสารแต่ละครั้งในงานวัดอยู่ที่ 0.50 ดอลลาร์ ถ้าโจไปกับน้องชายฝาแฝดอายุ 6 ขวบของเธอ และพวกเขาทั้งหมดได้ขึ้นขี่ 3 ครั้ง โจจะต้องใช้เงินเท่าไรที่งานวัด A)16 B)20.5 C)17.5 D)20 E)4.5 | ค่าเข้าชมทั้งหมดคือ (2 * $5) + (1.20 * $5) = $16
ค่าโดยสารทั้งหมดคือ ($0.50 * 3) * 3 = $4.50
เงินที่ใช้ทั้งหมดคือ $20.50
คำตอบคือ B | B | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
q เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นพหุคูณของ 2; p = 4^q, เศษที่เหลือเมื่อ p หารด้วย 10 คือเท่าไร? A)10 B)6 C)4 D)0 E)ไม่สามารถหาได้ | สิ่งสำคัญที่ต้องรับรู้คือ เศษที่เหลือเมื่อจำนวนเต็มหารด้วย 10 คือหลักหน่วยของจำนวนเต็มนั้น เพื่อช่วยให้เห็นภาพพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:
4/10 คือ 0 เศษ 4
14/10 คือ 1 เศษ 4
5/10 คือ 0 เศษ 5
105/10 คือ 10 เศษ 5
สิ่งที่ต้องจำไว้คือ q เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นพหุคูณของ 2 จำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นพหุคูณของ 2 คือจำนวนคู่ ดังนั้น q ต้องเป็นจำนวนเต็มคู่บวก
ด้วยการสังเกตทั้งสองข้อข้างต้น ข้อคำถามสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้:หลักหน่วยของ 4 ยกกำลังจำนวนเต็มคู่บวกคืออะไร?
หลักหน่วยของ 4 ยกกำลังจำนวนเต็ม 따르ตามรูปแบบที่ซ้ำกัน:
4^1 = 4
4^2 = 16
4^3 = 64
4^4 = 256
4^(จำนวนคี่) --> หลักหน่วยคือ 4
4^(จำนวนคู่) --> หลักหน่วยคือ 6
มีรูปแบบที่ชัดเจนเกี่ยวกับหลักหน่วย 4 ยกกำลังจำนวนเต็มคี่จะมีหลักหน่วยเป็น 4 ในขณะที่ 4 ยกกำลังจำนวนเต็มคู่จะมีหลักหน่วยเป็น 6
เนื่องจาก q ต้องเป็นจำนวนเต็มคู่ หลักหน่วยของ p=4^q จะเป็น 6 เสมอ ดังนั้น เศษที่เหลือเมื่อ p=4^q หารด้วย 10 จะเป็น 6 เสมอ
ในกรณีที่เป็นเชิงทฤษฎีมากเกินไป พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:
q=2 --> p=4^q=16 --> p/10 = 1 เศษ 6
q=4 --> p=4^q=256 --> p/10 = 25 เศษ 6
q=6 --> p=4^q=4096 --> p/10 = 409 เศษ 6
q=8 --> p=4^q=65536 --> p/10 = 6553 เศษ 6
Answer: B | B | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ความยาวเส้นเอียงของกรวยรูปหนึ่งยาว 35 ซม. และรัศมีของฐานยาว 14 ซม. จงหาพื้นที่ผิวโค้งของกรวย A)4150 B)1780 C)1540 D)1500 E)6100 | π * 14 * 35= 1540
Answer:C | C | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เงิน 2000 บาท จะมีผลต่างระหว่างดอกเบี้ย साधारणและดอกเบี้ยทบต้นเท่าไร หลังจาก 3 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 10 ต่อปี A)160 B)42 C)62 D)20 E)ไม่มีข้อใดถูกต้อง | สำหรับ 3 ปี:
Diff.=Sum×(rate)2(300+rate)/(100)3
= 2000×10×10×310/100×100×100 = 62
Answer C | C | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนเต็มบวกมีตัวประกอบของ 3 และ 5 จำนวนนี้จะต้องหารด้วย: I. 15 II. 30 III. 60 A) I & II B) III C) I & III D) II & III E) II | 15 , 30 ไม่หารด้วย 60 ได้ แต่ 60 หารด้วย 3,5,15,30 ลงตัว
ดังนั้น คำตอบคือ III
Answer : B | B | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าคงที่ k เพื่อให้ : -x² - (k + 11)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) A)11 B)12 C)17 D)14 E)15 | -x² - (k + 11)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) : กำหนด
-x² - (k + 11)x - 8 = -x² + 6x - 8
-(k + 11) = 6 : พหุนามสองพหุนามเท่ากันถ้าสัมประสิทธิ์ที่สมนัยกันเท่ากัน
k = -17 : แก้สมการข้างต้นเพื่อหา k
คำตอบที่ถูกต้อง C | C | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การสำรวจพบว่ารายได้เฉลี่ยของลูกค้าของบริษัทอยู่ที่ 45,000 ดอลลาร์ต่อปี หากมีลูกค้า 50 คนตอบแบบสำรวจและรายได้เฉลี่ยของลูกค้าที่ร่ำรวยที่สุด 10 คนอยู่ที่ 95,000 ดอลลาร์ รายได้เฉลี่ยของลูกค้าอีก 40 คนคือเท่าไร?
มีวิธีแก้ปัญหานี้โดยใช้แนวคิดของค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแทนการคำนวณที่ยุ่งยากหรือไม่? A) 32,500 ดอลลาร์ B) 35,000 ดอลลาร์ C) 37,500 ดอลลาร์ D) 42,500 ดอลลาร์ E) 50,000 ดอลลาร์ | ให้ x เป็นค่าเฉลี่ยของลูกค้า 40 คน
40*x + 10* 95000 = 50*45000
แก้สมการนี้เราได้ x= 32500
คำตอบคือ A. | A | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การลงทุน 500 ดอลลาร์และการลงทุน 1,500 ดอลลาร์มีผลตอบแทนรวมต่อปี 19 เปอร์เซ็นต์ของผลรวมของทั้งสองการลงทุน ถ้าการลงทุน 500 ดอลลาร์มีผลตอบแทนต่อปี 7 เปอร์เซ็นต์ การลงทุน 1,500 ดอลลาร์มีผลตอบแทนต่อปีเท่าไร A)9% B)10% C)23% D)21% E)22% | สมการที่เราสามารถสร้างจากคำถาม:
ผลตอบแทนจากการลงทุนทั้งหมด = ผลรวมของการลงทุนแต่ละรายการ
(500+1500)(19)=(500×7)+(1500x), โดย x คือผลตอบแทนจากการลงทุน 1500.
เมื่อแก้สมการแล้ว เราจะได้ x = 23% (ตัวเลือก C) ตอบ:C | C | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในเขตที่อยู่อาศัยแห่งใหม่ ต้นไม้จะถูกปลูกตามทางเท้าของถนนสายหนึ่ง ต้นไม้แต่ละต้นจะใช้พื้นที่ทางเท้า 1 ตารางฟุต และจะมีระยะห่างระหว่างต้นไม้ 20 ฟุต ถ้าถนนยาว 148 ฟุต จะปลูกต้นไม้ได้กี่ต้น? A)8 B)9 C)10 D)11 E)16 | ให้ T เป็นจำนวนต้นไม้ แล้วความยาวที่ต้องการสำหรับต้นไม้บนทางเท้าจะเป็น 1*T= T
เพื่อเพิ่มจำนวนต้นไม้ให้มากที่สุด ระยะห่าง 20 ฟุตระหว่างต้นไม้ควรน้อยกว่าจำนวนต้นไม้ 1 ตัว
ตัวอย่างเช่น หากมีต้นไม้ 3 ต้น จะต้องมีช่องว่างระหว่างต้นไม้ 2 ช่อง
ดังนั้นจำนวนช่องว่าง 20 ฟุตจะเป็น T-1 แล้วความยาวของทางเท้าที่ต้องการสำหรับช่องว่าง 20 ฟุตจะเป็น 20*(T-1)
กำหนดให้ความยาวของทางเท้าทั้งหมดคือ 148 ฟุต
หรือ 20(T-1)+T = 148
หรือ 20T-20+T = 148
หรือ 21T = 168
หรือ T=8
Answer:-A | A | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
โรงงานผลิตชีสขายชีสในบล็อกสี่เหลี่ยมผืนผ้า บล็อกปกติมีปริมาตร 8 ลูกบาศก์ฟุต ถ้าบล็อกเล็กมีกว้าง ลึก และยาวครึ่งหนึ่งของบล็อกปกติ ปริมาตรของชีสในบล็อกเล็กมีกี่ลูกบาศก์ฟุต A)1 B)5 C)4 D)6 E)2 | ปริมาตรของลูกบาศก์ = กว้าง x ลึก x สูง = 8
ลูกบาศก์ใหม่ กว้าง ลึก สูง ลดลง .5 กว้าง .5 ลึก .5 สูง
ปริมาตรใหม่ของลูกบาศก์ = .5 กว้าง * .5 ลึก * .5 สูง = .125 * กว้าง * ลึก * สูง
= .125 * 8
= 1
คำตอบ: A | A | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
โรงเรียนแห่งหนึ่งมีจำนวนนักเรียนต่อชั้นเรียนคงที่ หากอัตราส่วนของนักเรียนต่อชั้นเรียนเพิ่มขึ้น 1 อัตราส่วน จะมีจำนวนชั้นเรียนที่เปิดสอนลดลง 10 ชั้นเรียน โดยมีนักเรียนทั้งหมด 120 คน อัตราส่วนปัจจุบัน Q ของนักเรียนต่อชั้นเรียนคือเท่าใด A)Q=3 B)Q=4 C)6 D)8 E)12 | อีกวิธีหนึ่งในการมองปัญหา...
เนื่องจากจำนวนนักเรียนทั้งหมด 120 คน อัตราส่วน * จำนวนชั้นเรียน = R*C = 120.....(i)
เราต้องการหาอัตราส่วนที่อัตราส่วนเพิ่มขึ้น 1 และจำนวนชั้นเรียนลดลง 10 = (R+1)(C-10) = RC+C-10R-10=120....(ii)
(ii)-(i)....
C=10R+10 = 10(R+1).......
ดังนั้นจำนวนชั้นเรียนต้องเป็นพหุคูณของ 10
เนื่องจาก RC=120.... 10(R+1)*R = 120...................R(R+1) = 12..
ดังนั้น 12 เป็นพหุคูณของจำนวนที่เรียงต่อกัน เท่านั้น 3 *4 เท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไข และ R=3
A | A | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เจมส์เป็นพนักงานขายจักรยาน เขาได้เงินเดือนประจำสัปดาห์ละ 30 ดอลลาร์บวกกับ 6 ดอลลาร์ต่อคันสำหรับจักรยาน 6 คันแรกที่เขาขาย 12 ดอลลาร์ต่อคันสำหรับจักรยาน 6 คันถัดไปที่เขาขาย และ 18 ดอลลาร์ต่อคันสำหรับทุกคันที่ขายหลังจาก 12 คันแรก ในสัปดาห์นี้เขาได้เงินมากกว่าสองเท่าของสัปดาห์ที่แล้ว หากเขาขายจักรยาน x คันในสัปดาห์ที่แล้วและ y คันในสัปดาห์นี้ ข้อความต่อไปนี้ข้อใดเป็นจริง?
I. y<2x
II. y>x
III. y>3
A) I,II only B)I only C)II,III only D)II only E)III only | II. y>x --> เนื่องจากในสัปดาห์นี้ เจมส์ได้เงินมากกว่าสัปดาห์ที่แล้ว และเงินเดือนรวมมีความสัมพันธ์โดยตรงกับจำนวนจักรยานที่ขาย ดังนั้น y (จำนวนจักรยานที่ขายในสัปดาห์นี้) ต้องมากกว่า x (จำนวนจักรยานที่ขายในสัปดาห์ที่แล้ว);
III. y>3 --> หากเจมส์ขายจักรยาน 3 คันในสัปดาห์นี้ เขาจะได้ 30+3*6=$48 ซึ่งไม่สามารถมากกว่าสองเท่าของเงินที่เขาได้ในสัปดาห์ที่แล้ว เนื่องจากเงินเดือนขั้นต่ำคงที่ที่ 30 ดอลลาร์ ดังนั้น y ต้องมากกว่า 3;
I. y<2x --> ไม่เป็นจริงเสมอไป
คำตอบ: C | C | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จำนวนที่น้อยที่สุดเมื่อเพิ่ม " 1 " จะหารด้วย 6,9,15,35,45 ลงตัวคือ: A)631 B)630 C)359 D)629 E)600 | LCM = 630
630 - 1 = 629
ANSWER:D | D | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $|x+3| – |4-x| = |8+x|$ มีคำตอบกี่คำตอบ? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 | |x| = x เมื่อ x >= 0 (x เป็นบวกหรือ 0)
|x| = -x เมื่อ x < 0 (สังเกตว่าที่นี่คุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับได้เช่นกัน x <= 0 เพราะถ้า x = 0,
|0| = 0 = -0 (ทั้งหมดเหมือนกัน)
ดังนั้นเครื่องหมาย '=' สามารถใส่ได้ทั้ง x > 0 หรือ x < 0 เราโดยทั่วไปจะใส่เครื่องหมาย '=' กับ x > 0 เพื่อความสอดคล้อง | A | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ค่าใช้จ่ายในการทาสีพื้นที่ผิวทั้งหมดของลูกบาศก์ที่อัตรา 13 पैซาต่อตารางเซนติเมตรคือ 343.98 รูปี แล้วปริมาตรของลูกบาศก์คือ A)8500 cm3 B)9000 cm3 C)9250 cm3 D)9261 cm3 E)None | วิธีทำ
พื้นที่ผิว = (34398 / 13)
= 2646cm3
= 6a2= 2646
= a2= 441
= a = 21.
ดังนั้น ปริมาตร =(21x21x21)cm3= 9261cm3.
คำตอบ D | D | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ชายคนหนึ่งลงทุนเงินบางส่วนในหุ้นร้อยละ 9 ที่ราคา 96 และบางส่วนในหุ้นร้อยละ 12 ที่ราคา 120 เพื่อที่จะได้รับปันผลเท่ากันจากทั้งสองชนิด เขาต้องลงทุนเงินในอัตราส่วนเท่าใด: A) 3:5 B) 2:1 C) 16:15 D) 4:5 E) ไม่มีข้อใดถูกต้อง | คำอธิบาย:
เพื่อที่จะได้รายได้ 1 रुपี จากหุ้นร้อยละ 9 ที่ราคา 96 การลงทุน = 96/9 = 32/3 रुपี
เพื่อที่จะได้รายได้ 1 रुपี จากหุ้นร้อยละ 12 ที่ราคา 120 การลงทุน = 120/12 = 10 रुपี
อัตราส่วนของการลงทุน = (32/3) : 10 = 32 : 30 = 16 : 15
คำตอบ: C | C | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ชายคนหนึ่งขายสินค้า 20 ชิ้นในราคา 60 ดอลลาร์ และได้กำไร 20% เขาควรจะขายสินค้ากี่ชิ้นในราคา 50 ดอลลาร์ เพื่อให้ขาดทุน 20% A) 25 B) 36 C) 40 D) 50 E) 48 | ต้นทุนการผลิตต่อชิ้น: $60 * (100% - 20%) / 20 = $2.40
ต้นทุนการผลิตที่ต้องการสำหรับการขาดทุน 20%: $50 * (100% + 20%) = $60
จำนวนสินค้าที่ต้องขายในราคา $60 เพื่อให้ขาดทุน 20%: $60 / $2.40 = 25
ดังนั้น คำตอบ A ถูกต้อง | A | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลผลิตของโรงงานเพิ่มขึ้น 10% เพื่อรองรับความต้องการที่เพิ่มขึ้น เพื่อรับมือกับความต้องการในช่วงเทศกาล ผลผลิตใหม่นี้เพิ่มขึ้นอีก 20% โดยประมาณ ร้อยละเท่าใดที่ต้องลดผลผลิตลงเพื่อคืนค่าผลผลิตเดิม A)20% B)24% C)30% D)32% E)79% | ให้ผลผลิตเริ่มต้นคือ O แล้วหลังจากเพิ่มขึ้น 10% จะเป็น 1.1O และหลังจากเพิ่มขึ้น 20% บนผลผลิตใหม่นี้ ผลผลิตล่าสุดจะเป็น 1.1O * 1.20 = 1.32O
ตอนนี้เราต้องลดผลผลิตลงร้อยละหนึ่งเพื่อให้ผลผลิตใหม่เท่ากับผลผลิตเริ่มต้น (O)
ดังนั้น 1.32O * (1-x/100) = O
=> x = 24.24%
ดังนั้น คำตอบจะเป็น B | B | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
A, B, C ร่วมกันเช่าทุ่งหญ้า A ปล่อยวัว 10 ตัว เป็นเวลา 7 เดือน B ปล่อยวัว 12 ตัว เป็นเวลา 5 เดือน และ C ปล่อยวัว 15 ตัว เป็นเวลา 3 เดือน ถ้าค่าเช่าทุ่งหญ้าคือ Rs. 175 C ต้องจ่ายค่าเช่าส่วนของตนเท่าไร A)Rs. 45 B)Rs. 50 C)Rs. 55 D)Rs. 60 E)Rs. 65 | คำอธิบาย:
A : B : C = (10 x 7) : (12 x 5) : (15 x 3) = 70 : 60 : 45 = 14 : 12 : 9.
ค่าเช่าของ C = Rs.(175 x 9/35)= Rs. 45.
คำตอบคือ A | A | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในหลักสูตรฟิสิกส์ระดับบัณฑิตศึกษา มี 70% ของนักศึกษาเป็นเพศชาย และ 30% ของนักศึกษาสมรสแล้ว ถ้าสองในเจ็ดของนักศึกษาชายสมรสแล้ว สัดส่วนของนักศึกษาชายที่โสดคือเท่าใด? A) 2/7 B) 1/3 C) 1/2 D) 2/3 E) 5/7 | สมมุติว่ามีนักศึกษา 100 คน โดยมี 70 คนเป็นเพศชายและ 30 คนเป็นเพศหญิง
ถ้ามี 30 คนที่สมรสแล้ว จะมี 70 คนที่โสด
ตอนนี้กำหนดให้สองในเจ็ดของนักศึกษาชายสมรส ซึ่งหมายความว่า 2/7 ของ 70 = 20 คนเป็นชายที่สมรสแล้ว
ถ้า 30 คนเป็นจำนวนนักศึกษาที่สมรสแล้ว และมี 20 คนเป็นชายที่สมรสแล้ว จะมี 10 คนที่เหลือเป็นหญิงที่สมรสแล้ว
จำนวนนักศึกษาหญิงทั้งหมด = 70
nักศึกษาชายที่สมรสแล้ว = 20
ดังนั้น นักศึกษาชายที่โสด = 70 - 20 = 50
เราต้องการหาสัดส่วนของนักศึกษาชายที่โสด นั่นคือ นักศึกษาชายโสดหารด้วยจำนวนนักศึกษาชายทั้งหมด
= 50/70 = 5/7 [E] | E | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในการสำรวจเมื่อเร็วๆ นี้ที่ร้านขายอาหารเบาๆ แห่งหนึ่ง พบว่า 3 ใน 5 ลูกค้าซื้อเบเกิลและ 5 ใน 7 ลูกค้าซื้อกาแฟ บางคนซื้อทั้งสองอย่าง หากเลือก 8 ลูกค้า โอกาสที่อย่างน้อย 1 ลูกค้าจะซื้อกาแฟและเบเกิลคือเท่าใด? A) 27/343 B) 3/7 C) 27/125 D) 199/245 E) 9/125 | ให้เราใช้ 7 * 5 = 35 เป็นจำนวนลูกค้าทั้งหมด ดังนั้น 7 * 3 = 21 ลูกค้าซื้อเบเกิลและ 5 * 5 = 25 ลูกค้าซื้อกาแฟ
โอกาสที่อย่างน้อย 1 ลูกค้าซื้อกาแฟและเบเกิล = 1 - โอกาสที่ไม่มีลูกค้าซื้อกาแฟและเบเกิล
โอกาสที่ไม่มีลูกค้าซื้อกาแฟและเบเกิล = 24/35 * 23/34 * 22/33 * 21/32 * 20/31 * 19/30 * 18/29 * 17/28 = 46/245
โอกาสที่อย่างน้อย 1 ลูกค้าซื้อกาแฟและเบเกิล = 1 - 46/245 = 199/245
คำตอบ D | D | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ขบวนรถไฟยาว 500 เมตร ข้ามเสาไฟฟ้าในเวลา 20 วินาที แล้วความเร็วของขบวนรถไฟคือเท่าไร? A)95 กม./ชม. B)90 กม./ชม. C)92 กม./ชม. D)95 กม./ชม. E)98 กม./ชม. | ความยาว = ความเร็ว * เวลา
ความเร็ว = ความยาว / เวลา
S = 500/20
S = 25 เมตร/วินาที
ความเร็ว = 25 * 18/5 (เพื่อแปลงจาก เมตร/วินาที เป็น กม./ชม. คูณด้วย 18/5)
ความเร็ว = 90 กม./ชม.
คำตอบ: B | B | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในที่ประชุมทางธุรกิจสิ้นสุดลงมีผู้เข้าร่วม 9 คน ทุกคนจับมือกันคนละครั้ง จะมีการจับมือทั้งหมดกี่ครั้ง A)20 B)45 C)36 D)90 E)95 | จำนวนการจับมือ = 9C2= 9*8/2 = 36
ตอบ:C | C | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของกำลังสองของจำนวนสามจำนวนเท่ากับ 351 และผลรวมของผลคูณของจำนวนเหล่านั้นที่ละสองจำนวนเท่ากับ 245 จงหาผลรวมของจำนวนทั้งสาม A)20 B)22 C)25 D)26 E)29 | (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab +bc + ca) = 351 + 2* 245
a + b + c = √841 = 29
E | E | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าประชากรของประเทศหนึ่งเพิ่มขึ้นคนละ 1 คนทุกๆ 40 วินาที ประชากรจะเพิ่มขึ้นกี่คนใน 1 ชั่วโมง? A)90 B)120 C)150 D)180 E)160 | คำตอบ = 1.5 * 60 = 90
คำตอบคือ A | A | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
10 หญิงทำงานเสร็จใน 9 วัน และ 10 เด็กใช้เวลา 12 วันในการทำงานเสร็จ หากมี 6 หญิงและ 7 เด็ก จะใช้เวลากี่วันในการทำงานเสร็จ? A)4 B)5 C)7 D)8 E)2 | งาน 1 วันของหญิง 1 คน = 1/90
งาน 1 วันของเด็ก 1 คน = 1/120
งาน 1 วันของ (6 หญิง + 7 เด็ก) = (6/90 + 7/120) = 1/8
6 หญิงและ 7 เด็กจะทำงานเสร็จใน 8 วัน
D | D | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามจำนวนอยู่ในอัตราส่วน 5 : 6 : 7 ผลรวมของจำนวนที่ใหญ่ที่สุดและจำนวนที่เล็กที่สุดเท่ากับผลรวมของจำนวนที่สามและ 54 จงหาจำนวนที่สาม A) 37 B) 85 C) 48 D) 43 E) 54 | ให้จำนวนทั้งสามเป็น 5x, 6x, 7x
จำนวนที่ใหญ่ที่สุด = 7x
จำนวนที่เล็กที่สุด = 5x
จำนวนที่สาม = 6x
7x + 5x = 6x + 54
6x = 54 => จำนวนที่สามคือ 54
คำตอบ: ตัวเลือก E | E | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งมีด้านยาว 16 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้น A)64√6 ตารางเซนติเมตร B)64√3 ตารางเซนติเมตร C)64√9 ตารางเซนติเมตร D)34√3 ตารางเซนติเมตร E)24√3 ตารางเซนติเมตร | พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = √3/4 * S²
ถ้า S = 16, พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = √3/4 * 16 * 16
= 64√3 ตารางเซนติเมตร;
คำตอบ: D | D | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าเช่ารถยนต์คันหนึ่งคือ 34 เซนต์สำหรับระยะทาง 1/4 ไมล์แรก และ 6 เซนต์สำหรับทุกๆ 1/5 ไมล์ที่ขับเกินระยะทาง 1/4 ไมล์แรก ถ้าชายคนหนึ่งจ่ายค่าเช่า 1.24 ดอลลาร์ เขาขับรถไปกี่ไมล์ A)2.5 B)3.0 C)3.25 D)3.75 E)4.0 | ค่าเช่าทั้งหมด = ค่าเช่าสำหรับ 0.25 ไมล์แรก + ค่าเช่าหลังจาก 0.25 ไมล์
ค่าเช่าสำหรับ 0.25 ไมล์แรก = 34 เซนต์
ค่าเช่าหลังจาก 0.25 ไมล์ = [6 เซนต์/(1/5 ไมล์)]*(x - 0.25) = 30(x-0.25)
ดังนั้น ค่าเช่าทั้งหมด = 34 + 30(x - 0.25)
124 = 34 + 30(x - 0.25)
90 = 30(x - 0.25)
3 = x - 0.25
x = 3 + 0.25 = 3.25 C | C | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ข้อสอบมี 3 ตอน โดยมี 4, 5 และ 6 ข้อในแต่ละตอนตามลำดับ การทำข้อสอบอย่างน้อย 1 ข้อจากแต่ละตอนเป็นสิ่งที่บังคับ แต่ผู้เข้าสอบไม่จำเป็นต้องทำข้อสอบทั้งหมด ในวิธีการใดผู้เข้าสอบสามารถทำข้อสอบได้ A)209 B)(4!-1)*(5!-1)*(6!-1) C)119 D)29295 E)None | วิธีทำ:
การทำข้อสอบอย่างน้อย 1 ข้อจากแต่ละตอนเป็นสิ่งที่บังคับ ดังนั้นจากตอนที่ 1 ผู้เข้าสอบสามารถทำได้ 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 ข้อ
ในแต่ละตอนแต่ละข้อสามารถทำได้ใน 2 วิธี คือ ทำหรือไม่ทำ
ดังนั้นสำหรับ 4 ข้อ มี 2 *2 *2 *2 วิธีในการทำ
เนื่องจากเขาต้องทำอย่างน้อย 1 ข้อ จำนวนวิธีทั้งหมดที่เขาสามารถทำข้อสอบจากตอนที่ 1 คือ 24−1
ในทำนองเดียวกันสำหรับตอนที่ 2 มี 25−1 วิธีในการทำ และสำหรับตอนที่ 3 มี 26−1 วิธี
จำนวนวิธีในการทำข้อสอบอย่างน้อย 1 ข้อในตอนใดตอนหนึ่งเป็นอิสระจากจำนวนวิธีในการทำข้อสอบอย่างน้อย 1 ข้อในตอนอื่น
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ
คำตอบ: ตัวเลือก D | D | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.