prompt stringlengths 15 1.82k | solution stringlengths 1 272 | source stringclasses 10
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|---|---|---|---|
Si la courbe $y=e^x+a$ est tangente à la droite $y=x$, trouver la valeur de $a$. | a = -1 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives"
] |
Soit $f(x)$ une fonction impaire sur $\mathbb{R}$ qui est croissante sur $(0,+\infty)$, et $f(-3)=0$. Déterminez l'ensemble des solutions de l'inéquation $x \cdot f(x) < 0$. | (-3, 0) \cup (0, 3) | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Other"
] |
Étant donné l'équation 1013 + PQPQ = 2023, où P et Q sont chacun égaux à un chiffre, calculez la valeur de P + Q. Exprimez votre réponse sous la forme d'un seul entier. | 1 | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Other"
] |
Le parc national d'Utopia accueillait 30 000 éléphants vendredi soir. Le lendemain matin, il y a eu un exode d'éléphants du parc pendant 4 heures, à un rythme constant. Au cours des 7 heures suivantes, de nouveaux éléphants sont entrés dans le parc à un rythme constant de 1 500 éléphants/heure. Le nombre final d'élépha... | 2,880 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Dans une grille de 6x6, où chaque ligne contient exactement un carré non ombragé, combien de carrés de 1x1 sont ombragés ? Exprimez votre réponse sous forme d'un nombre entier. | 30 | big_math | [
"Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics"
] |
Cinq élèves se tiennent en rang pour prendre une photo. Si deux élèves, A et B, doivent se tenir côte à côte, calculez le nombre total d'arrangements possibles différents. Exprimez votre réponse sous forme d'un nombre entier. | 48 | big_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Permutations"
] |
Paul a posé six dominos en ligne comme indiqué sur le schéma. On dit que les dominos sont correctement arrangés si, pour chaque paire de dominos adjacents, le nombre de points sur les extrémités adjacentes est égal. Il peut effectuer un mouvement soit en échangeant la position de deux dominos quelconques (sans faire pi... | 3 | big_math | [
"Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics -> Other"
] |
Étant donné le système d'équations linéaires $\left\{\begin{array}{l}3a+2b=5\\ 2a+3b=4\end{array}\right.$, trouver $a-b$. | 1 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Equations and Inequalities -> Other"
] |
Le nombre $2.5252525\ldots$ peut être écrit sous forme d'une fraction irréductible. Calculez la somme du numérateur et du dénominateur de cette fraction. | 349 | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Other"
] |
Si l'étendue q des 6 nombres 4, 314, 710, et x est 12, quelle est la différence entre la plus grande valeur possible de x et la plus petite valeur possible de x ? | 682 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Other"
] |
Étant donné la fonction $f(x)=x^{2}+(4a-2)x+1 (x\in[a,a+1])$, sa valeur minimale est $g(a)$. Déterminer l'expression analytique de la fonction $y=g(a)$. | g(a) = \begin{cases} 5a^{2} + 4a & (a \leq 0) \\ -4a^{2} + 4a & (0 < a < \frac{1}{3}) \\ 5a^{2} - 2a + 1 & (a \geq \frac{1}{3}) \end{cases} | cn_k12 | [
"Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives"
] |
La courbe paramétrique $(x,y) = (t^2 + t, 2t - 1)$, pour les nombres réels $t$, décrit une parabole. Déterminez le sommet de la parabole. | \left( -\frac{1}{4}, -2 \right) | math | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Other"
] |
Alana fabrique une balle avec des élastiques. Lorsque la balle a 54 élastiques, elle a un diamètre de 3 cm. Combien d'élastiques Alana doit-elle ajouter à la balle pour augmenter son diamètre de 1 cm ? On suppose que tous les élastiques d'Alana ont le même volume. | 74 | math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Étant donnée l'ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, satisfaisant $a^2 + b^2 - 3c^2 = 0$ où $c$ est la demi-longueur focale, calculez la valeur de $\frac{a+c}{a-c}$. Exprimez votre réponse sous forme d'une expression mathématique simplifiée. | 3 + 2\sqrt{2} | big_math | [
"Mathematics -> Geometry -> Other"
] |
Une candidate a obtenu 35% des votes et a perdu face à son adversaire par un certain nombre de votes. Il y a eu 8000 votes exprimés au total. De combien de votes la candidate a-t-elle perdu ? | 2400 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Un bâtiment scolaire possède deux entrées principales et deux entrées latérales. Dans des circonstances normales, le nombre de personnes passant par chacune des deux entrées principales par unité de temps est le même, et le nombre de personnes passant par chacune des deux entrées latérales par unité de temps est égalem... | 5.4 \text{ minutes} | cn_k12 | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Restaurez l'équation :
```
KPOCC
+ KPOCC
-------
СПОРТ
```
où chaque lettre représente un chiffre, les lettres identiques représentant les mêmes chiffres et les lettres différentes représentant des chiffres différents. Trouvez toutes les solutions possibles. Ceci est un exemple de casse-tête numérique. | 35977 + 35977 = 71954 | olympiads | [
"Mathematics -> Algebra -> Other"
] |
Étant donné que $S_{n}$ est la somme des $n$ premiers termes de la suite $\{a_{n}\}$ et que $S_{n}=2a_{n}$ pour $n\geqslant 2$, si $S_{5}=8$, alors $a_{6}=\_\_\_\_\_\_$. | 8 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Sequences and Series"
] |
Le côté d'un losange a une certaine longueur, et la longueur d'une de ses diagonales est de 18 m. L'aire du losange est de 400,47 m². Quelle est la longueur de chaque côté du losange ? | 24 | orca_math | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Other"
] |
Trouvez la somme de tous les angles $x \in [0^\circ, 360^\circ]$ qui satisfont
\[\sin^5 x - \cos^5 x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x}.\] | 270^\circ | math | [
"Mathematics -> Precalculus -> Trigonometric Functions"
] |
Simplifiez d'abord, puis évaluez : $2xy+(3xy-2y^{2})-2(xy-y^{2})$, où $x=-1$, $y=2$. | -6 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Algebraic Expressions"
] |
Calculer : $2 \times (-3)^{3} - 4 \times (-3) + 15$. | -27 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Algebraic Expressions -> Other"
] |
Un cône circulaire droit de rayon de base \( R \) et de hauteur \( H = 3R \sqrt{7} \) est posé sur le côté sur un plan et roulé de manière à ce que son sommet reste immobile. Combien de rotations sa base effectuera-t-elle jusqu'à ce que le cône revienne à sa position initiale ? | 8 | olympiads | [
"Mathematics -> Geometry -> Solid Geometry -> 3D Shapes"
] |
John a acheté une chemise en solde avec une réduction de 25% sur le prix initial et une autre réduction de 25% sur le prix réduit. Le prix final était de $15. Quel était le prix avant la première réduction ? | $26.67 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Reese a rejoint un groupe Pinterest où les membres contribuaient en moyenne 10 épingles par jour. Le propriétaire du groupe a supprimé les anciennes épingles à un rythme de 5 épingles par semaine et par personne. Le groupe compte 20 personnes. Après qu'Reese a été membre pendant un mois, il y avait 6 600 épingles. Quel... | 1000 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Freddy a 2,5 ans de moins que Stephanie. Stephanie a 4 fois l’âge de Job. Job a la moitié de l’âge de Tim. Tim a deux fois l’âge de Tina, qui a 2 ans de moins que Freddy. Si Job a 5 ans, quel est l’âge de Freddy ? | 7 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Si le PPCM et le PGCD d'un nombre et d'un autre nombre sont 36 et 2 respectivement, et que l'autre nombre est 18. Quel est le premier nombre ? | 4 | orca_math | [
"Mathematics -> Number Theory -> Least Common Multiples (LCM)"
] |
Ray a 175 cents en pièces de cinq cents. Il donne 30 cents à Peter, et il donne quelques cents à Randi. Randi a 6 pièces de cinq cents de plus que Peter. Quel est le rapport du nombre de cents que Ray a donnés à Randi au nombre de cents qu'il a donnés à Peter ? | 2 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Étant donné la fonction $f(x)=m\ln x+x^{2}-5x$, la tangente au point $(1,f(1))$ a un angle d'inclinaison de $\frac {3\pi}{4}$. Déterminer la valeur du nombre réel $m$. | 2 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives"
] |
Peter a investi une certaine somme d'argent dans une obligation à intérêt simple dont la valeur est passée à $300 à la fin de 3 ans et à $400 à la fin de 5 années supplémentaires. Quel était le taux d'intérêt auquel il a investi sa somme ? | 8.33\% | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
À partir d'un sommet d'un pentagone, vous pouvez tracer ______ diagonales. | 2 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Polygons"
] |
Étant donné que $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{3}$, et que l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ est de $120^{\circ}$, calculez le produit scalaire $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$. Fournissez votre réponse sous la forme d'un seul nombre. | -3 | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Other"
] |
De combien de manières peut-on distribuer 3 livres identiques parmi douze élèves si aucun élève ne peut recevoir plus d'un livre ? | 220 | olympiads | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Probability -> Combinations"
] |
Étant donné un nombre complexe $z=\\frac{{5-i}}{{1+i}}$ (où $i$ est l'unité imaginaire), calculez le conjugué de $z$, noté $\\overline{z}$. Exprimez votre réponse sous la forme $\\boxed{a+bi}$. | 2+3i | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers"
] |
Sur le graphique est représentée une fonction trinôme du second degré (l'axe des ordonnées est effacé, la distance entre les points marqués voisins est de 1). Quel est le discriminant de ce trinôme ?
(Remarque : Inclure l'image fournie uniquement si applicable.) | 4 | olympiads | [
"Mathematics -> Algebra -> Equations and Inequalities -> Quadratic Functions"
] |
Étant donné un orthocentre \( I(-1,7) \) d'un triangle rectangle \( \triangle OAB \) où les trois sommets sont des points du réseau et l'origine \( O \) est un sommet de l'angle droit, déterminer le nombre de tels triangles rectangles \( \triangle OAB \). | 2 | olympiads | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Other"
] |
Un homme a contracté un prêt à un taux de 12% par an en intérêt simple. Après quelques années, il a dû payer 5400 $ d'intérêts. Le montant principal emprunté était de 15000 $. Combien d'années a-t-il emprunté l'argent ? | 3 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Legoland a 9 kangourous pour chaque koala et 7 koalas pour chaque panda. Si Legoland a 567 kangourous, combien y a-t-il de koalas, de kangourous et de pandas au total ? | 639 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Une baleine se lance dans une frénésie alimentaire qui dure 9 heures. Pendant la première heure, elle capture et mange quelques kilos de plancton. À chaque heure après la première, elle consomme 3 kilos de plancton de plus que la quantité consommée l'heure précédente. À la fin de la frénésie, la baleine aura consommé u... | 38 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Donovan a passé un test de mathématiques et a obtenu 35 réponses correctes et quelques réponses incorrectes. Le pourcentage de réponses correctes était de 72,92 % (arrondi au centième près). Combien de réponses incorrectes Donovan a-t-il obtenues ? | 13 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Si la fonction $f(x) = (k^2 - 3k + 2)x + b$ est décroissante sur $\mathbb{R}$, trouver l'ensemble des valeurs possibles pour $k$. | 1 < k < 2 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Equations and Inequalities -> Other"
] |
À partir de cinq cartes marquées avec les nombres 0, 1, 2, 3 et 4, on tire une carte et on note son numéro. La carte est ensuite remise et une autre carte est tirée et son numéro est également noté. Compter le nombre de façons différentes dont la somme des nombres sur les deux cartes tirées peut être exactement égale à... | 5 | big_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations"
] |
Disposez les lettres a, a, b, b, c, c en trois rangées et deux colonnes, de sorte que dans chaque rangée et chaque colonne, les lettres soient différentes. Combien y a-t-il d'arrangements différents ? | 12 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations"
] |
Quelle est l'aire d'un dodécagone régulier inscrit dans un cercle de rayon $r$ ? | 3r^2 | olympiads | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Polygons"
] |
Dans une ville renommée, le taux de natalité moyen est de 7 personnes toutes les deux secondes et le taux de mortalité est de personnes toutes les deux secondes. La taille estimée de l'augmentation nette de la population qui se produit en une journée est de 259200. Combien de personnes meurent toutes les deux secondes ... | 1 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Pour un stage industriel, 30 étudiants se voient attribuer 15 places à Moscou, 8 places à Toula et 7 places à Voronej. Quelle est la probabilité que deux étudiants spécifiques soient affectés à la même ville pour leur stage ? | \frac{154}{435} | olympiads | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Probability -> Counting Methods"
] |
Dans le triangle isocèle \(ABC\), les points \(K\) et \(L\) sont marqués sur les côtés égaux \(AB\) et \(BC\) respectivement de sorte que \(AK = KL = LB\) et \(KB = AC\). Déterminer la mesure de l'angle \(ABC\). Exprimer votre réponse en degrés comme un nombre entier. | 36^\circ | big_math | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangles"
] |
Étant donné $\cos \alpha - \sin \alpha = \frac{1}{2}$, trouver la valeur de $\sin \alpha \cos \alpha$. Exprimer votre réponse sous forme de fraction. | \frac{3}{8} | big_math | [
"Mathematics -> Precalculus -> Trigonometric Functions"
] |
Étant donné les vecteurs $\overrightarrow{a}=(1,2)$, $\overrightarrow{b}=(-3,2)$, si $(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\parallel(\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})$, trouver la valeur du nombre réel $k$. Exprimez votre réponse sous la forme d'un seul nombre réel, incluant le signe négatif le cas échéant. | -\frac{1}{3} | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Vectors"
] |
À partir des chiffres de 1 à 9, on forme trois nombres à un chiffre et trois nombres à deux chiffres, sans répétition de chiffres. Déterminer la moyenne la plus petite possible de l'ensemble des nombres résultants. | 16.5 | olympiads | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Dans un atelier, le salaire moyen par personne de tous les employés est de 700 Rs. Les employés peuvent être divisés en trois catégories : techniciens, apprentis et managers. Si le salaire moyen par personne de 5 techniciens est de 800 Rs, le salaire moyen par personne de 3 managers est de 1 200 Rs, et le salaire moyen... | 48 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Un entier positif, qui lorsqu'il est ajouté à 1000, donne une somme qui est plus grande que lorsqu'il est multiplié par 1000, est : | 1 | orca_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Equations and Inequalities"
] |
Si $x+2y=1$, alors la valeur minimale de $2^{x}+4^{y}$ est ______. | 2 \sqrt{2} | cn_k12 | [
"Mathematics -> Calculus -> Other"
] |
Danai décore sa maison pour Halloween. Elle place 12 crânes en plastique partout dans la maison. Elle a 4 balais, 1 pour chaque côté des portes d'entrée et de derrière de la maison. Elle accroche 12 toiles d'araignées dans différentes zones de la maison. Danai place deux fois plus de citrouilles autour de la maison que... | 83 | gsm8k | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Étant donné l'équation du mouvement d'un objet est $s= \frac {t^{3}}{9}+t$, trouver la vitesse instantanée lorsque $t=3s$. Exprimer votre réponse en m/s. | 4 | big_math | [
"Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Derivatives"
] |
Trouver l'aire de la région fermée délimitée par les courbes $y=x^{\frac{1}{2}}$ et $y=x^{2}$. Exprimer votre réponse sous forme de fraction ou de nombre décimal. | \frac{1}{3} | big_math | [
"Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals"
] |
Étant donné l'équation (1-2i)z = 2i, calculez le conjugué complexe de z. Exprimez votre réponse sous la forme a + bi, où a et b sont les parties réelle et imaginaire du conjugué complexe. | -\frac{4}{5}-\frac{2}{5}i | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers"
] |
Si $x$ et $y$ sont deux racines carrées de 2011, alors la valeur de $x+y$ est. | 0 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other"
] |
Déterminez la valeur du terme constant dans le développement de \((x^{3}- \dfrac {1}{x})^{8}\). | 28 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Algebraic Expressions -> Other"
] |
Soit \( T = \left\{ |9^k| \mid k \in \mathbf{Z}, 0 \leqslant k \leqslant 4000 \right\} \). On sait que \( 9^{4000} \) est un nombre à 3817 chiffres, et que son premier chiffre est 9. Combien de nombres dans \( T \) ont 9 comme premier chiffre ? | 184 | olympiads | [
"Mathematics -> Number Theory -> Other"
] |
Étant donné \( k \in \mathbf{Z}_{+} \), exprimer la fraction \(\frac{7}{51}\) en base \(k\) sous la forme \(\overline{0.23}_{k} = (0.2323)_{k}\) et résoudre pour \(k\). Exprimer votre réponse sous la forme d'un seul entier. | 16 | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Other"
] |
L'aire de cette région formée par six carrés congruents est de 294 centimètres carrés. Quelle est la longueur du périmètre de la région, en centimètres ? | 98 | math | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Area"
] |
Étant donné la matrice $M= \begin{bmatrix} 1 & a \\ -1 & b \end{bmatrix}$ a une valeur propre $\lambda=2$ avec un vecteur propre correspondant $\alpha= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, trouver la valeur de $a+b$. | 6 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Eigenvalues and Eigenvectors"
] |
Écrivez les cinq premiers termes de la série donnée par le terme général $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$. | \left\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30} \right\} | olympiads | [
"Mathematics -> Precalculus -> Sequences and Series"
] |
La somme des trois côtés d'un triangle rectangle est de 156 mètres. L'aire est de 1014 mètres carrés. Déterminer les côtés. | x = 39, y = 52, z = 65 | olympiads | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangles"
] |
La vitesse d'un bateau en eau calme est de 36 km/h. Quelle est la vitesse du courant si le bateau peut parcourir 80 km en descendant le courant ou 40 km en remontant le courant dans le même temps ? | 12 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Soixante-quatre cubes blancs de 1x1x1 sont utilisés pour former un cube de 4x4x4, qui est ensuite peint en rouge sur chacune de ses six faces. Ce grand cube est ensuite décomposé en ses 64 petits cubes unitaires. Chaque petit cube unitaire reçoit un score comme suit :
| Nombre exact de faces peintes en rouge | Score |... | 40 | big_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Une droite passant par le point P(1, 1) a des ordonnées à l'origine et des abscisses à l'origine positives. Si la somme des ordonnées à l'origine et des abscisses à l'origine est minimisée, alors l'équation de la droite est \_\_\_\_\_\_. | x+y-2=0 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Other"
] |
Trouver l'aire d'un losange ayant chaque côté égal à 13 cm et dont l'une des diagonales mesure 24 cm. | 120 | orca_math | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Other"
] |
Écrire l'équation du plan passant par le point $A$ et perpendiculaire au vecteur $\overrightarrow{B C}$.
$A(-7 ; 0 ; 3)$
$B(1 ;-5 ;-4)$
$C(2 ;-3 ; 0)$ | x + 2y + 4z - 5 = 0 | olympiads | [
"Mathematics -> Geometry -> Solid Geometry -> Other"
] |
Trouvez la valeur minimale de la fonction $y=\frac{6}{2^{x}+3^{x}}$ dans le domaine $-1 \leqslant x \leqslant 1$. Exprimez votre réponse sous la forme d'une seule valeur. | \frac{6}{5} | big_math | [
"Mathematics -> Calculus -> Other"
] |
Andrew travaille dans une entreprise qui offre une allocation de congés généreuse : pour 10 jours travaillés, vous obtenez 1 jour de congé. L'année dernière, Andrew a travaillé 300 jours et a pris des jours de congé en mars et deux fois plus en septembre. Andrew peut encore prendre 15 jours de congé supplémentaires. Co... | 5 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Dans un groupe de voitures, 49 voitures n'ont pas la climatisation. Si au moins 51 voitures ont des bandes de course, le nombre maximal de voitures qui pourraient avoir la climatisation mais pas de bandes de course est de 49. Combien de voitures y a-t-il dans le groupe ? | 100 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Dans un tableau carré de dimensions \(999 \times 999\), certaines cellules sont blanches et les autres sont rouges. Soit \(T\) le nombre de triplets \(\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right)\) de cellules, les deux premières étant dans la même ligne et les deux dernières dans la même colonne, avec \(C_{1}\) et \(C_{3}\) blanc... | \frac{4 \cdot 999^4}{27} | olympiads | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems",
"Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics -> Other"
] |
Sélectionnez aléatoirement un nombre x dans l'intervalle [0,π]. Déterminez la probabilité que -√3/2 < cos(x) < √3/2. Exprimez votre réponse sous forme de fraction ou de nombre décimal. | \frac{2}{3} | big_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Probability -> Other"
] |
Les cinq symboles $@, *, \#, \&$, et $\wedge$ utilisés dans les équations ci-dessous représentent des chiffres différents.
\[ @ + @ + @ = * \]
\[ \# + \# + \# = \wedge \]
\[ * + \wedge = \& \]
Calculez la valeur de $\&$. Exprimez votre réponse sous la forme d'un seul chiffre. | 9 | big_math | [
"Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic"
] |
Dans la suite géométrique ${a_n}$, on donne $a_8 = 1$ et la raison commune $q = \frac{1}{2}$. Déterminer la somme des 8 premiers termes, $S_8$. Exprimer votre réponse sous forme d'un nombre entier. | 255 | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Sequences and Series"
] |
Le point P(m-1, m+3) se trouve sur l'axe des y du système de coordonnées cartésiennes. Déterminez les coordonnées du point P. Exprimez votre réponse sous forme de paire de coordonnées (x, y). | (0, 4) | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Prealgebra -> Other"
] |
Une salade de fruits peut être préparée avec n'importe lesquels $3$ de ces $5$ fruits : pommes, bananes, raisins, fraises et ananas. Si les fraises et l'ananas ne se marient pas bien au goût et que les raisins et les bananes ne sont pas appétissants ensemble, combien de salades possibles sont à la fois bonnes au goût e... | 4 | math | [
"Applied Mathematics -> Probability -> Combinations"
] |
L'ensemble $A = \{(x, y) | x^2 + y^2 = 4\}$, et l'ensemble $B = \{(x, y) | (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2\}$, où $r > 0$. Si il y a exactement un élément dans $A \cap B$, alors la valeur de $r$ est ___. | r = 3 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Circles"
] |
Il y a un problème : "Calculer la valeur de $\frac{{x}^{2}-2x+1}{{x}^{2}-1}\div \frac{x-1}{{x}^{2}+x}-x$, où $x=2004$." L'élève A a mal recopié "$x=2004$" comme "$x=2040$", mais son résultat de calcul était quand même correct. Que pensez-vous qu'il se soit passé ? | 0 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Algebraic Expressions -> Other"
] |
x peut terminer un travail en un certain nombre de jours. y peut terminer le même travail en 15 jours. y a travaillé pendant 5 jours et a quitté le travail. x a eu besoin de 12 jours pour terminer le travail restant seul. Combien de jours x a-t-il besoin pour terminer le travail seul ? | 18 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
510 athlètes participent à un tournoi de bras de fer. Pour une victoire, 1 point est attribué, pour une défaite - 0 point. Si un vainqueur avait initialement moins de points que son adversaire, il reçoit en plus un point du perdant. À chaque tour, les participants s'affrontent dont le nombre de points diffère d'au plus... | 9 | olympiads | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Trouver les deux derniers chiffres de la somme :
$$
2005 + 2005^{2} + 2005^{3} + \cdots + 2005^{2005}
$$
Exprimez votre réponse sous la forme d'un nombre à deux chiffres, en incluant des zéros non significatifs si nécessaire. | 05 | big_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Other"
] |
Un triangle dont les sommets sont $A=(1,3)$, $B=(5,1)$, et $C=(4,4)$ est tracé sur une grille de $6\times5$. Calculez la fraction de la grille qui est couverte par le triangle. Exprimez votre réponse sous forme d'une fraction simplifiée sous la forme $\boxed{\frac{a}{b}}$. | \frac{1}{6} | big_math | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Area"
] |
Étant donné que $x$ et $y$ sont des nombres rationnels, et $y = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x} - 4$, trouver la valeur de $x+y$. | -2 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Equations and Inequalities -> Other"
] |
Si x, y et z sont des entiers positifs et 3x = 4y = 7z, quelle est la plus petite valeur possible de x - y + z ? | 19 | orca_math | [
"Mathematics -> Algebra -> Equations and Inequalities"
] |
Trouver tous les entiers positifs $n$ tels que $6^n+1$ possède tous les mêmes chiffres lorsqu'il est écrit en représentation décimale. | n = 1 \text{ and } n = 5 | aops_forum | [
"Mathematics -> Number Theory -> Other"
] |
Dans le système de coordonnées cartésiennes $xOy$, trouver l'équation d'une hyperbole ayant pour asymptotes $y=±2x$ et passant par le sommet droit de l'ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{4}=1$. | x^{2} - \frac{y^{2}}{4}=1 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Geometry -> Non-Euclidean Geometry -> Other"
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Dorothy gagne 60000 $ par an grâce à son travail. Elle doit payer un certain pourcentage de ce montant en impôts. Après avoir payé les impôts, il lui reste 49200 $. Quel pourcentage de son revenu doit-elle payer en impôts ? | 18\% | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
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Matthew a donné des crackers et des gâteaux à ses 6 amis dans un rapport de 3:5, respectivement. S'il avait initialement 72 crackers et 180 gâteaux, combien de crackers chaque personne a-t-elle mangé ? | 12 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
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Jefferson a quelques bananes, tandis que Walter, son ami, en a 1/4 de moins. Ils ont décidé de combiner leurs bananes et de les partager équitablement entre eux. Walter reçoit 49 bananes. Combien de bananes Jefferson a-t-il ? | 56 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
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Étant donné que l'équation $$\frac {x^{2}}{2+\lambda }- \frac {y^{2}}{1+\lambda }=1$$ représente une hyperbole, l'ensemble des valeurs possibles pour $\lambda$ est ______. | (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty) | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Other"
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Calculez la valeur de la fonction $f(x)=2x^{5}+3x^{4}+2x^{3}-4x+5$ lorsque $x=2$ en utilisant la méthode de Horner. | 125 | cn_k12 | [
"Mathematics -> Algebra -> Polynomial Operations"
] |
Soient \( A \) et \( B \) deux points sur la parabole \( y = x^2 \) de part et d'autre de l'axe des y, à l'exclusion de l'origine \( O \), tels que la distance \( AB = 4 \). Notons \( S \) l'aire du triangle \( \triangle AOB \), où \( O \) est l'origine. Quelle est la valeur maximale de \( S \)? | 8 | olympiads | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangles"
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L'un des angles d'un triangle est \(\alpha\). Déterminer l'angle entre les droites contenant les hauteurs issues des sommets des deux autres angles. | \alpha \text{ if } \alpha \leq 90^\circ \text{ or } 180^\circ - \alpha \text{ if } \alpha > 90^\circ | olympiads | [
"Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Angles"
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Il y a 2 sections, A et B, dans une classe, composées respectivement de 40 et 30 élèves. Le poids moyen de la section A est de 50 kg et celui de la section B est de \text{some} kg. Le poids moyen de toute la classe est de 54.285714285714285 kg. Quel est le poids moyen de la section B ? | 60 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Other"
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Lara a acheté 52 tiges de fleurs chez le fleuriste. Elle a donné 15 fleurs à sa mère et a donné 6 fleurs de plus à sa grand-mère que celles qu'elle a données à sa mère. Ensuite, elle a donné 1/3 des fleurs restantes à sa sœur et a donné 25% de plus de fleurs à sa meilleure amie que celles qu'elle a données à sa sœur. A... | 5 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Jaylen a 5 carottes et 2 concombres. Jaylen a des poivrons, et Kristin a 2 poivrons. Jaylen a 3 de moins que la moitié du nombre de haricots verts que Kristin possède, qui en a 20. Si Jaylen a 18 légumes en tout, quel est le rapport entre le nombre de poivrons que Jaylen a et le nombre de poivrons que Kristin a ? | 2:1 | orca_math | [
"Mathematics -> Applied Mathematics -> Math Word Problems"
] |
Étant donnée la suite u_n = n^3 + n, définissez Δ^k(u_n) comme la k-ième différence de la suite. Trouvez la plus petite valeur de k pour laquelle Δ^k(u_n) = 0 pour tout n. Exprimez votre réponse sous la forme d'un seul entier. | 4 | big_math | [
"Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics"
] |
Subsets and Splits
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