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3,000 | 1173 | Empresa de Festas | Muito Difícil | Grafos |
Yankovich trabalha como Engenheiro de Software numa empresa, chamada **POI**, que promove festas online. Para testar os seus sistemas, os empregados organizaram festas e convidaram colegas, mas com algumas restrições.
A empresa tem uma estrutura hierárquica: Cada empregado, com exceção do dono da empresa, tem um gerente direto, e não há relações cíclicas de gerência. Devido ao processo de promoção da empresa, a idade de um empregado nunca é maior que a idade do seu gerente direto.
Serão organizadas $M$ festas. A $j$-ésima festa tem um anfitrião e um intervalo de idades $[L_j, R_j]$.
Para a $j$-ésima festa será convidado o maior conjunto de pessoas que satisfaça todas as restrições abaixo:
* O anfitrião participa da festa. Por isso, é garantido que a idade do anfitrião da $j$-ésima festa está no intervalo $[L_j, R_j]$.
* Todo convidado precisa ter idade no intervalo $[L_j, R_j]$.
* Todo convidado (que não o anfitrião) precisa trabalhar diretamente com (ou seja, ser gerente ou subordinado de) algum outro empregado que participa da festa.
Yankovich está responsável pelo programa que fornece informações sobre as festas das quais o usuário participou. Como uma tarefa inicial, ele tem que calcular de quantas festas cada empregado participou. Como ele está atrasado para entregar tal tarefa, ele pediu sua ajuda para escrever tal programa.
#### Entrada
A entrada consiste de várias linhas. A primeira linha contém dois inteiros $N$ e $M$ $(1 \leq N, M \leq 10^5)$ representando o número de empregados e o número de festas de teste, respectivamente.
As próximas $N$ linhas contêm a estrutura hierárquica da empresa. A $i$-ésima dessas linhas contém dois inteiros $A_i$ e $B_i$ $(1 \leq A_i \leq 10^5, 1 \leq B_i \leq N)$ representando a idade do $i$-ésimo empregado e seu gerente direto. Os empregados são numerados de 1 a $N$, com 1 representando o dono da empresa (ele é o único empregado com $B_i = i$ ). É garantido que $A_i \leq A_{B_i}$ para todo $1 \leq i \leq N$.
As próximas $M$ linhas contêm os dados das festas de teste. A $j$-ésima dessas linhas contém três inteiros $O_j$, $L_j$, $R_j$ $(1 \leq L_j \leq A_{O_j} \leq R_j \leq 10^5)$ representando o anfitrião da festa e os limites do intervalo de idades descrito no enunciado.
#### Saída
Imprima uma única linha contendo $N$ inteiros (separados por um único espaço). O $i$-ésimo desses números deve ser o número de festas de que o empregado $i$ participou.
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3,001 | 485 | Bairro | Muito Difícil | Grafos | Todo bom jogo deve ter cidades extensas. Para as cidades do Projeto Kingfisher, os desenvolvedores estão tentando fazer as maiores já vistas!
A capital do reino é dividida em $N$ regiões, numeradas de 1 a $N$, ligadas por transições bidirecionais. Para cada duas regiões distintas A e B, existe exatamente um caminho entre A e B. Para ajudar o jogador, a cidade será divida em vários bairros. Um conjunto de regiões pode ser agrupado em um bairro se não existem duas regiões A e B no conjunto cuja distância seja maior que $K$.
Dadas as informações sobre as regiões e transições entre elas, ache o tamanho do maior bairro que pode ser formado na cidade.
#### Entrada
A primeira linha contém inteiros $N$ e $K$, representando o número de regiões e a distância máxima de duas regiões em um bairro. As $N - 1$ linhas seguintes contém cada uma inteiros distintos $U$ e $V$, representando que existe uma transição entre as regiões $U$ e $V$.
#### Saída
Imprima uma única linha contendo um inteiro, o tamanho do maior bairro que pode ser formado na cidade.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^5$
* $0 \leq K \leq N$
* $1 \leq U, V \leq N$
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de testes somando 40 pontos, $N \leq 10^3$
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3,002 | 2311 | Mesa de formatura | Difícil | Grafos | Você recebe a tarefa de organizar o banquete da formatura de ciências da computação. Há $n$ pessoas participando do banquete e todas elas devem se sentar em torno de uma grande mesa circular. Acontece que alguns pares de participantes são amigos e desejam se sentar um ao lado do outro. Felizmente, como todos os participantes são graduados em ciências da computação, nenhum deles tem mais de dois amigos.
Embora não exista uma maneira oficial de solicitar a disposição dos assentos, essas duplas o procuraram em particular e ofereceram um suborno se você atendesse à solicitação delas. Você se preocupa com sua integridade, mas também se preocupa com dinheiro, portanto, só aceitará subornos se puder atender à solicitação da dupla. Você deseja maximizar a quantidade de dinheiro que pode ganhar aceitando o conjunto de subornos mais lucrativo.
#### Entrada
A primeira linha de entrada contém dois inteiros $N$ ($1 \leq N \leq 5000$) e $M$ ($0 \leq M \leq N$), indicando o número de participantes do banquete e o número de solicitações de assentos, respectivamente. Em seguida, seguem-se $M$ linhas, cada uma contendo três inteiros $u$, $v$ ($1 \leq u < v \leq n$) e $c$ ($1 \leq c \leq 10^8$), indicando que os participantes $u$ e $v$ estão dispostos a pagar $c$ dólares para se sentarem um ao lado do outro.
É garantido que qualquer par enviará no máximo uma solicitação para sentar um ao lado do outro, e cada participante individual aparecerá em no máximo duas solicitações.
#### Saída
Imprima o número máximo de dólares que você pode ganhar em todos os arranjos de assentos possíveis. |
3,003 | 1219 | Desativação das Estradas | Difícil | Grafos | O governo da Nlogonia está ansioso por reduzir a dívida pública. Uma das medidas prestes a ter lugar é a desativação de algumas estradas, uma vez que a maioria delas implica um elevado custo de manutenção. Cada estrada liga duas cidades diferentes e pode ser percorrida em ambas as direções. Usando as estradas existentes é possível chegar a qualquer cidade a partir de qualquer outra cidade.
O governo promete que o impacto da desativação será mínimo na vida dos nlogónios. Em particular, garantem que após a desativação, para cada cidade, a distância mínima necessária para viajar dessa cidade até à capital do país permanecerá a mesma que é agora, quando todas as estradas puderem ser utilizadas.
O Departamento de Estradas de Nlogonia acredita que os estagiários não estão lá apenas para obter cafés ou fazer recados, mas devem antes fazer um trabalho significativo e é por isso que lhe é atribuída a seguinte tarefa. Dada a extensão e o custo de manutenção de cada estrada, deve decidir que estradas serão mantidas ativas e quais serão desativadas. Como pode adivinhar, a soma dos custos de manutenção para as restantes estradas deve ser mínima.
#### Entrada
A primeira linha contém dois números inteiros $N \ (2 \ \leq \ N \ \leq \ 10^4)$ and $M \ (1 \ \leq \ M \ \leq \ 10^5)$, indicando respectivamente o número de cidades e o número de estradas. As cidades são identificadas por números inteiros distintos de $1$ a $N$, onde a cidade $1$ é a capital de Nlogonia. Cada uma das seguintes linhas $M$ descreve uma estrada com quatro inteiros $A, \ B, \ L$ and $C \ (1 \ \leq \ A, \ B \ \leq \ N, \ A \ne B$ and $1 \ \leq\ L, \ C \ \leq 10^9)$, indicando que existe uma estrada entre cidades $A$ e $B$ que tem comprimento $L$ e custo de manutenção $C$. Usando as estradas existentes é possível chegar a qualquer cidade a partir de qualquer outra cidade.
#### Saída
Produzir uma única linha com um número inteiro indicando a soma mínima possível dos custos de manutenção para um conjunto de estradas a serem mantidas ativas. Este conjunto de estradas deve assegurar que, para cada cidade, a distância mínima necessária para percorrer desde essa cidade até à capital de Nlogonia permanece a mesma, utilizando apenas essas estradas. |
3,004 | 2309 | Esquerdistas vs Direitistas | Difícil | Grafos | Começou a temporada de eleições! A rede de notícias para a qual você trabalha quer apresentar opiniões de especialistas sobre uma variedade de tópicos importantes. Para dar a impressão de imparcialidade, o chefe do noticiário insiste que os especialistas entrevistados abranjam uma ampla gama do espectro político.
Isso parece difícil de fazer, já que o espectro político é tão variado, então você decide adotar a prática testada e comprovada de chamar cada pessoa de direita ou de esquerda. Por fim, você deseja concluir esse trabalho o mais rápido possível, o que significa que deseja realizar o menor número possível de entrevistas.
Mais especificamente, há $T$ tópicos a serem abordados e $N$ especialistas. Cada especialista tem experiência em apenas um dos tópicos que você deve abordar, e cada especialista também é de direita ou de esquerda. Sua tarefa é entrevistar o menor número possível de especialistas, de modo que as seguintes condições se mantenham.
* Para cada tópico, você entrevistou pelo menos um especialista nesse tópico.
* Você entrevistou cada especialista no máximo uma vez (caso contrário, o público ficaria entediado).
* O número de especialistas de direita que você entrevistou é o mesmo que o número de especialistas de esquerda que você entrevistou.
#### Entrada
A primeira linha de entrada contém dois inteiros $T$ ($1 \leq T \leq 100$) e $N$ ($1 \leq N \leq 200$) que indicam o número de tópicos e especialistas, respectivamente. Em seguida, seguem-se $N$ linhas, cada uma contendo um inteiro $t_ i$ ($1 \leq t_ i \leq T$), indicando o tópico com o qual o i-ésimo especialista tem experiência, e um único caractere $c_ i$ ($c_ i \in \ ${$ \texttt{R}, \texttt{L}$} ) indicando se o i-ésimo especialista é "destro" ou "canhoto".
#### Saída
Imprima um único número inteiro $x$ em uma única linha, indicando o menor número de entrevistas que podem ser conduzidas para satisfazer essas restrições. Se não for possível atender a todas as restrições, simplesmente imprima $-1$. |
3,005 | 1661 | Panqueca | Difícil | Grafos | Vitaro trabalha em uma loja de panquecas.
O item mais popular no menu é a torre de panquecas, que consiste em $N$ panquecas empilhadas umas em cima das outras. Há três sabores de panquecas feitas na loja, e elas são chamadas de A, B e C, respectivamente.
Chamamos uma torre de panquecas de uma boa torre de panquecas se as panquecas estiverem dispostas de tal forma que satisfaçam as seguintes condições:
* Em todos os pares de panquecas de sabor A e panquecas de sabor B, a panqueca de sabor A está acima da panqueca de sabor B.
* Em todos os pares de panquecas de sabor A e panquecas de sabor C, a panqueca de sabor A está em cima da panqueca de sabor C.
* Em todos os pares de panquecas de sabor B e panquecas de sabor C, a panqueca de sabor B está em cima da panqueca de sabor C.
Por exemplo, uma torre de panquecas com os sabores de panquecas AABBBC, ACC ou BBBB, respectivamente, em ordem de cima para baixo, são todas torres de panquecas boas, mas uma torre de panquecas com os sabores AABABCC ou CA não é uma boa torre de panquecas.
Bitaro, que está encarregado de servi-las, pode realizar as seguintes operações na torre de panquecas.
* Operação $k (2 ≤ k ≤ N)$: Insira uma espátula no lado inferior da $k$-ésima panqueca a partir do topo, e vire a panqueca superior a partir daí. Em outras palavras, a ordem das $k$ panquecas superiores é invertida.
Por exemplo, se a operação 2, a operação 3 e a operação 4 forem realizadas em uma torre de panquecas cujos sabores são ABCB de cima para baixo, as panquecas serão organizadas como BACB, CBAB e BCBA, respectivamente.
Hoje, existem $Q$ torres de panquecas, e para a $i$-ésima $(1 ≤ i ≤ Q)$ torre de panquecas, os sabores das panquecas são $S_{i,1}, S_{i,2}, ..., S_{i,N}$ a partir do topo. Vitaro quer fazer uma boa torre de panquecas com o mínimo possível de operações para cada torre de panquecas.
Dada a informação sobre a ordem das torres de panquecas no prato, escreva um programa para encontrar o número mínimo de operações necessárias para fazer uma boa torre de panquecas para cada torre de panquecas.
#### Entrada
A entrada é dada pela entrada padrão na seguinte forma
$N$ $Q$
$S_1$
$S_2$
$:$
$S_Q$
Onde $S_i (1 ≤ i ≤ Q)$ é uma string de comprimento $N$, e seu $j$-ésimo $(1 ≤ j ≤ N)$ caractere é $S_{i,j}$.
#### Saída
Na linha $i (1 ≤ i ≤ Q)$, imprima o número mínimo de operações necessárias para fazer uma boa torre de panquecas para a $i$-ésima torre de panquecas.
#### Restrições
* $2 ≤ N ≤ 13$.
* $1 ≤ Q ≤ 100 000$.
* $S_{i,j}$ é um de A, B, ou C $(1 ≤ i ≤ Q, 1 ≤ j ≤ N)$.
#### Informações sobre a pontuação
Para um conjunto de casos de teste, $N ≤ 5, Q = 1$.
Para um conjunto de casos de teste, $N ≤ 5$.
Para um conjunto de casos de teste, $Q = 1$.
Para um conjunto de casos de teste, não há restrições adicionais. |
3,006 | 2157 | Reencontro | Difícil | Grafos | Há 29 anos, uma turma de $N$ pessoas se formou em Ciência da Computação na Universidade de Santa Maria. Ansiosos, eles estão começando a planejar o tão aclamado reencontro de 30 anos de formatura. A primeira dúvida levantada foi em qual cidade o reencontro deveria ser organizado de modo a maximizar a quantidade de graduados que podem participar do evento.
Atualmente, por diversos motivos, cada um dos $N$ graduados vive em uma cidade diferente do Brasil, cidades essas numeradas de 1 até $N$. Conectando essas cidades, existem $M$ estradas bidirecionadas, ou seja, se uma estrada conecta as cidades 2 e 7, por exemplo, é possível se locomover de 2 para 7 e de 7 para 2.
Além disso, há um projeto nacional que prevê a construção de $K$ novas estradas bidirecionadas conectando as $N$ cidades durante esse ano, porém, não se foi divulgado exatamente quais estradas serão construídas.
Os graduados estão bem otimistas quanto às $K$ estradas que serão construídas, portanto, no melhor caso possível, qual a máxima quantidade de graduados que podem participar do reencontro após a construção de $K$ estradas, considerando que o único jeito de se locomover de uma cidade para outra é através de estradas e que a cidade escolhida para o reencontro é a melhor possível.
#### Entrada
A primeira linha contém três inteiros $N$, $M$, $K$. O número de pessoas que se formou há 29 anos (e o número de cidades), a quantidade de estradas bidirecionadas conectando essas cidades e o número de estradas que serão criadas durante o ano. Cada uma das próximas $M$ linhas contém 2 inteiros $U_i$ e $V_i$ representando uma estrada entre as cidades $U_i$ e $V_i$.
#### Saída
Imprima um inteiro representando a maior quantidade de graduados que podem comparecer ao reencontro de 30 anos de formatura, supondo a melhor construção possível de K novas estradas.
#### Restrições
* $1 ≤ N ≤ 1 · 10^5$
* $0 ≤ M, K ≤ 2 · 10^5$
* $1 ≤ U_i, V_i ≤ N$
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste somando 10 pontos, $M = 0$.
* Em um conjunto de casos de teste somando mais 20 pontos, $K = 0$.
* Em um conjunto de casos de teste somando mais 20 pontos, $K = 1$.
* Em um conjunto de casos de teste somando mais 50 pontos, nenhuma restrição adicional.
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3,007 | 124 | De Volta para o Futuro | Difícil | Grafos | O Dr. Emmet está trabalhando em um dispositivo mais seguro para viajar no tempo. Ele reuniu $N$ peças diferentes e raras de metal. Cada peça pode ser compatível com algumas outras peças diferentes. Ele tem uma lista completa com $M$ pares distintos de metais compatíveis. Qualquer par de metais que não esteja na lista é incompatível.
Para que o dispositivo funcione, ele deve escolher um conjunto de metais de modo que cada um deles seja compatível com pelo menos $A$ outros nesse conjunto. No entanto, a fim de preservar algum equilíbrio, eles também devem ser incompatíveis com pelo menos $B$ outros nesse conjunto.
Mais metais significam mais energia e um dispositivo mais seguro. É por isso que o Dr. Emmet precisa de sua ajuda, ele quer saber o tamanho do maior conjunto que ele pode escolher que atenda a esses critérios.
#### Entrada
A primeira linha contém quatro números inteiros $N$, $M$, $A$ e $B$, representando respectivamente quantas peças de metal existem, quantas compatibilidades existem E as variáveis $A$ e $B$ descritas na declaração do problema. Os metais diferentes são convenientemente numerados de 1 a $N$. Cada uma das seguintes linhas $M$ contém dois números inteiros $X$ e $Y$ correspondentes a um par de metais compatíveis. Não há pares repetidos na entrada.
#### Saída
A saída contém uma linha com um inteiro representando o tamanho do maior conjunto de metais que satisfaçam os requisitos especificados na instrução do problema.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^5$
* $1 \leq M \leq 10^5$
* $0 \leq A, B < N$
* $1 \leq X, Y \leq N$ com $X \neq Y$ |
3,008 | 1954 | Contagem de objetos | Médio | Grafos | Reluew e Ovatsug estão agora engajados em processamento de imagens.
Recentemente eles ficaram sabendo que um grande desafio nessa área é saber quantos objetos existem em determinada imagem.
Diferenciar os objetos do plano de fundo e um objeto do outro são tarefas frequentemente árduas. Foi então que eles pensaram em uma forma de simplificar o problema:
* antes de fazer a contagem, eles passam a imagem colorida para uma imagem em escala de cinza, desta forma, um pixel que continha 3 valores de cor (um para vermelho, um para verde e um para azul) passa a ter apenas um valor que é o tom de cinza que ele possui;
* feito isso, eles consideram que todo pixel, cujo tom de cinza pertence ao intervalo [0, 128], é plano de fundo, **que não deve ser considerado um objeto**;
* se um pixel A está na 8-vizinhança* de um pixel B e o módulo da diferença de tons de cinza entre A e B é menor ou igual a 10, então considera-se que eles pertencem ao mesmo objeto.
Então basicamente uma imagem é uma matriz de pixels, em que cada posição possui um valor in- teiro $T (0 ≤ T ≤ 255)$ que representa a escala de cinza do pixel em questão.
O problema é que ambos estão com dificuldades na implementação dessa ideia. Você pode ajudá- los?
_*Observação: Um pixel A está na 8-vizinhança de um pixel B se, e somente se, A está exatamente na posição norte, sul, leste, oeste, sudeste, sudoeste, nordeste ou noroeste de B. Vale lembrar que nem sempre um pixel X tem os 8 vizinhos, uma vez que ele pode estar na borda da imagem._
#### Entrada
A entrada é composta de apenas um caso de teste. A primeira linha contém dois inteiros $N$ e $M (1 ≤ N, M ≤ 100)$ indicando a largura e comprimento da imagem.
Seguem $N$ linhas, cada uma contendo $M$ números inteiros $T (0 ≤ T ≤ 255)$, em que $T$ indica o tom de cinza do pixel.
#### Saída
A saída deve ser um inteiro $O$ representando o número de objetos contidos na imagem.
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3,009 | 1233 | Cores de Tinta | Difícil | Grafos | O Stick Man deixou a árvore genealógica e saiu para aventuras. Na sua viagem, encontrou uma árvore estranha com a raiz no ar e galhos dirigidas para o chão. Decidiu pintar alguns dos galhos da árvore para se lembrar de casa. Sendo assim, quer que os galhos pintados com a mesma cor estejam todos ligados e formem um homem graveto. Um homem graveto é um grupo de seis rgalhos $(p, q)\ (q, r) \ (q, s) \ (q, t) \ (s, u)$ e $(s, v)$, como mostra a figura (a) abaixo. A figura (b) mostra uma árvore com um homem graveto pintado e a figura ( c ) mostra a mesma árvore com dois homens gravetos pintados.
O Stick Man gostaria de pintar o maior número possível de homens graveto na árvore, de modo a que cada galho faça parte, no máximo, de um único homem graveto. Ajude-o a descobrir quantas cores de tinta ele precisa comprar.
#### Entrada
A primeira linha contém um número inteiro $N \ (1 \ \leq \ N \ \leq \ 10^5)$ indicando o número de nós na árvore. Os nós são identificados por números inteiros distintos de $1$ a $N$, onde o nó $1$ é a raiz da árvore. A segunda linha contém $N -1$ inteiros $P_2, \ P_3, . . . , \ P_N \ (1 \ \leq \ P_i \ \leq \ N$ for $i \ = \ 2, \ 3, . . . , \ N)$, onde o valor $P_i$ representa que existe um ramo $(P_i, \ i)$, ou seja, do nó $P_i$ ao nó $i$.
#### Saída
Produza uma única linha com um número inteiro indicando o número máximo de homens graveto que podem ser pintados simultaneamente na árvore.
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3,010 | 1796 | Monitor | Difícil | Grafos | A sua universidade está implantando um novo sistema de monitoria para ajudar alunos com dificuldade em algumas disciplinas. Como você sabe, toda turma de monitoria precisa de um monitor.
Esse novo sistema tem uma forma bem particular de determinar se um aluno pode ser monitor de outro se atender ambas as seguintes condições:
* 1. Um aluno $A$ pode ser monitor de um aluno $B$, se a nota de $A$ for maior que a de $B$. $(r_A > r_B)$
* 2. $A$ só pode ser monitor de $B$, se $A$ é amigo (diretamente ou indiretamente) de $B$.
Como você sabe, a universidade que você estuda é muito grande e fica difícil saber quantas pessoas um aluno pode ser monitor, pois além das notas sempre mudarem a sua universidade contém muitos alunos.
Seu desafio é: quantos alunos um outro aluno qualquer pode ser monitor.
#### Entrada
A primeira linha é composta por um único inteiro $N \ (2 \leq N \leq 1 \times 10^5)$ que indica a quantidade de alunos.
A próxima linha é composta por $N$ inteiros, $X_1, \ X_2, \ X_3, .., \ X_N \ (1 \leq X_i \leq 100)$ que indica a nota no $i$-ésimo aluno.
A próxima linha é composta por único inteiro $M \ (0 \leq M \leq$ min$(1 \times 10^5, \ N(N-1)/2))$ que indica a quantidade de relações de amizade.
As próximas $M$ linhas são compostas por dois inteiros $U, \ V \ (1 \leq U, V \leq N)$ que indica que $U$ é amigo de $V$ e $V$ é amigo de $U$ e $(U ≠ V)$.
A próxima linha contém um inteiro $Q \ (1 \leq Q \leq 1 \times 10^5)$ que indica a quantidade de consultas.
As próximas $Q$ linhas podem ser de dois tipos:
* 1 $W$, consultar quantos alunos o aluno $W \ (1 \leq W \leq N)$ pode ser monitor, seguindo a restrição do problema.
* 2 $W \ K$, alterar a nota do aluno $W \ (1 \leq W \leq N)$ para $K \ (1 \leq K \leq 100)$.
#### Saída
Para cada consulta do tipo 1, você deve imprimir a quantidade de alunos que o aluno em questão pode ser monitor. |
3,011 | 1228 | Melhorar SPAM | Difícil | Grafos | Depois do incrível trabalho que você fez limpando usuários duplicados do banco de dados do cliente, seu chefe está ansioso para ser impressionado pelas suas melhorias ao SPAM (Sistema para Publicar Adorável Marketing) da empresa.
Apesar das campanhas de marketing serem extremamente úteis para clientes, algumas reclamações foram recebidas pelo atendimento ao cliente indicando que muitas mensagens foram enviadas, e alguns clientes até mesmo recebem a mesma mensagem múltiplas vezes.
SPAM é baseado em listas de contatos. Cada lista de contatos é composta pelos e-mails dos clientes e/ou outras listas de contatos. E-mails de clientes podem ser adicionados a listas de contatos existentes a qualquer momento, enquanto apenas quando uma lista de contatos é criada ela pode ser adicionada a qualquer número existente de listas de contatos. Percebe que não é possível criar várias listas de contatos ao mesmo tempo.
Quando uma mensagem é enviada a uma lista de contatos, o sistema envia a mensagem para cada endereço na lista. Se o endereço na lista é um e-mail de cliente, então a mensagem é enviada para o -email do cliente; se ao invés disso o endereço é uma lista de contatos, então o processo é iniciado para aquela lista de contatos.
Para manter a privacidade, no exemplo a seguir as listas de contatos e e-mails de clientes são representados por inteiros. Suponha que 1, 2 e 3 são listas de contatos, enquanto 4 e 5 são e-mails de clientes. Além disso, a lista de contatos 1 contém as listas 2 e 3, a lista 2 contém os e-mails de cliente 4 e 5, enquanto a lista de contatos 3 contém os e-mails de cliente 4 e a lista de contatos 2. Agora suponha que a mensagem é enviada para a lista de contatos 1. Isso significa que a lista é processada como descrita acima, e então as listas 2 e 3 também são processadas. Quando a lista 2 é processada, a mensagem é enviada para os clientes 4 e 5. Quando a lista 3 é processada, segunda mensagem é enviada para o e-mail de cliente 4, enquanto a lista de contatos 2 é processada novamente, que envia uma terceira mensagem para o e-mail 4 e uma segunda mensagem para o e-mail 5. Portanto, um total de cinco mensagens são enviadas para e-mails de clientes.
Sua tarefa é otimizar o SPAM de forma que nenhum cliente receba a mesma mensagem múltiplas vezes. Como primeiro passo, seu chefe quer saber o número de mensagem enviadas antes de suas melhorias. No exemplo acima, apenas duas mensagem devem ser enviadas para os e-mails dos clientes depois que você fizer seu trabalho.
#### Entrada
A primeira linha contém dois inteiros $N$ e $L (2 \leq N \leq 2000, 1 \leq L \leq min(N-1, 1000))$, representando respectivamente o número de endereços no sistema, e o número de endereços que são listas de contatos. Endereços são identificados por inteiros de 1 a $N$. Endereços de 1 a $L$ são listas de contatos, enquanto o resto são e-mails de clientes. Para $i = 1, 2, ... , L$, a $i$-ésima das próximas $L$ linhas descreve a listas de contatos $i$ com um inteiro $K (1 \leq K < N)$ seguidos por $K$ diferentes inteiros $M_1, M_2, ... , M_K (1 \leq M_i \leq N$ oara $i = 1, 2, ... , K)$, indicando que a listas de contatos contém $K$ endereços $M_1, M_2, ... , M_K$. Cada endereço de cliente aparece em pelo menos uma lista de contatos.
#### Saída
Imprima uma única linha com dois inteiros $B$ e $A$ indicando respectivamente o número de mensagens enviadas para e-mails de clientes e depois de suas melhorias, se uma mensagem for enviada para listas de contatos 1. Porque esses números podem ser muito longos, imprima o resto da divisão deles por $10^9 + 7$.
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3,012 | 2115 | Empresa de Telecom | Difícil | Grafos | Cesário é um analista da Algar Telecom, e está trabalhando em um projeto de análise da rede de telefonia móvel. Ele terá que desenvolver um sistema que analise o alcance de cada uma das antenas dessa rede, e que defina os custos operacionais para o envio de dados de de dispositivo para outro, baseando-se na distancia entre as antenas. O objetivo minimizar esses custos, encontrando a melhor rota disponível. Os cálculos também visam descobrir se é possível estabelecer um caminho entre dois dispositivos, de forma a detectar graves problemas na rede.
Mesmo com todos os dados disponíveis para processamento, Cesário tem enfrentado problemas na implementação devido a alta complexidade desse algoritmo, por isso você foi contratado para ajudá-lo. O seu objetivo é analisar todas as antenas da rede da Algar Telecom, observando as suas coordenadas e raios de alcance; verificar quais as antenas possíveis de serem acessadas (dentro do raio de alcance); e calcular o menor caminho entre duas antenas determinadas.
#### Entrada
A entrada é composta de vários casos de testes. Sendo que, a primeira linha contém um inteiro não negativo, $N (2 ≤ N ≤ 100)$, que indica o número de antenas disponíveis para interconexão na rede. Seguem- se $N$ linhas, cada uma contendo três números inteiros $X (0 ≤ X ≤ 1000)$, $Y (0 ≤ Y ≤ 1000)$ e $R (1 ≤ R ≤ 1000)$, que descrevem a posição da antena, coordenadas $X$ e $Y$, e o seu raio de alcance $R$ (separados por espaço em branco). A linha seguinte contém outro inteiro não negativo, $C (1 ≤ C ≤ 100)$, que descreve a quantidade de cálculos à serem realizados nessa rede. As C linhas seguintes contém 2 inteiros cada, $A_1 (1 ≤ A_1 ≤ N)$ e $A_2 (1 ≤ A_2 ≤ N)$, que descrevem o índice das antenas a serem utilizadas e também separadas por espaço em branco.
O fim das entradas é sinalizado por um número $0$.
#### Saída
Para cada caso de teste, deve-se imprimir $C$ linhas, sendo que cada uma representa a distância do menor caminho entre as duas antenas. Os valores devem ser INTEIROS, ou seja, a parte real deve ser truncada (não arredondada), e sempre com uma quebra de linha. Caso não seja identificada uma rota entre as antenas, deve ser impresso o valor $-1$.
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3,013 | 1499 | Vamos Queimar e Roubar Manhootan | Muito Difícil | Grafos | Existem dois tipos de pessoas raivosas neste mundo, aquelas que queimam e aquelas que roubam. Mas nós, programadores, sabemos que existe um terceiro tipo; aqueles que combatem sua raiva, queimando e roubando.
Bob mora em Manhootan. A cidade de Manhootan é como uma grade de $N$ linhas e $M$ colunas, contendo blocos de $N \ * \ M$. As linhas são numeradas de 0 a $N - 1$ de norte a sul e as colunas são numeradas de 0 a $M - 1$ de oeste a leste. O j-ésimo bloco na i-ésima linha vale $A_{ij}$. Antes da primeira linha, entre cada duas linhas consecutivas, e após a última linha, há uma rua oeste-leste. As $N + 1$ ruas oeste-leste são numeradas de 0 a $N$ de norte a sul. Da mesma forma, antes da primeira coluna, entre cada duas colunas consecutivas, e após a última coluna, há uma rua norte-sul. As ruas $M + 1$ norte-sul são numeradas de 0 a $M$ de oeste a leste. A parte de uma rua que fica entre dois quarteirões adjacentes é chamada de *segmento de rua*. Cada rua oeste-leste contém $M$ segmentos de rua, numerados de 0 a $M - 1$ de oeste a leste. Da mesma forma, cada rua norte-sul contém $N$ segmentos de rua, numerados de 0 a $N - 1$ de norte a sul. Como Manhootan é uma cidade cara, passar por segmentos de rua custa dinheiro. Passar pelo j-ésimo segmento da i-ésima rua oeste-leste custa $H_{ij}$ e passar pelo j-ésimo segmento da i-ésima rua norte-sul custa $V_{ij}$.
Depois de uma crise recente em Manhootan, Bob ficou com raiva. Ele perfurou o tanque de combustível de seu carro para fazê-lo vazar nas ruas por onde passou. Vamos chamar a intersecção da i-ésima rua oeste-leste e j-ésima rua norte-sul, de $T (i, j)$. A princípio, Bob está em $T \ (0, 0)$. Ele está planejando dirigir para $T \ (n, m)$ apenas indo para o leste e sul, então retornando para $T \ (0, 0)$ apenas indo para o oeste e norte. Depois, ele vai acender os combustíveis vazados e colocar fogo nas ruas. Depois disso, Bob vai roubar todos os blocos que estiverem pegos no fogo, ou seja, qualquer bloco que não conseguir sair de Manhootan sem ter uma rua em chamas, será roubado por Bob. A figura 1 mostra um plano possível para Rob na amostra.
Agora, você não pode ser como Bob, mas pode ajudá-lo a encontrar o plano de queima e roubo mais lucrativo. Em outras palavras, maximize o valor total dos blocos roubados menos o custo total dos segmentos de rua passados. Um segmento de rua pode ser passado duas vezes, que deve ser pago para cada uma separadamente.
#### Entrada
A primeira linha de entrada contém dois inteiros $N$ e $M \ (1 \leq N, \ M \leq 200)$, o número de linhas e colunas, respectivamente. As próximas $N$ linhas descrevem o valor dos blocos; cada um contendo $M$ números, onde o j-ésimo número da i-ésima linha denota $A_{ij} \ (1 \leq A_{ij} \leq 100)$. As próximas $N + 1$ linhas descrevem o custo dos segmentos de rua oeste-leste. Cada linha contém $M$ números, onde o j-ésimo número da i-ésima linha denota $H_{ij} \ (1 \leq H_{ij} \leq 1000)$. Finalmente, as próximas linhas $M + 1$ descrevem o custo dos segmentos de rua norte-sul. Cada linha contém $N$ números, onde o j-ésimo número da i-ésima linha denota $V_{ij} \ (1 \leq V_{ij} \leq 1000)$.
#### Saída
Imprima o lucro do plano mais lucrativo. Observe que a resposta pode ser negativa, zero ou positiva. |
3,014 | 1344 | Letras | Difícil | Grafos |
Os parques na Cidade da Lógica são reticulados de $N \ * \ N$ quadrados $(2 \ \leq \ N \ \leq \ 100)$, onde cada quadrado contém uma das 10 primeiras letras ASCII, abcdefghijABCDEFGHIJ, em caixa minúscula ou maiúscula. As pessoas na Cidade da Lógica têm orgulho de seguir apenas caminhos consistentes quando cruzam os parques. Por exemplo, se eles passam por um c minúsculo, eles não vão se permitir, mais adiante, passar por um C maiúsculo. Para definir isso mais precisamente, um caminho consistente é uma sequência de quadrados satisfazendo: quadrados consecutivos na sequência são adjacentes ortogonalmente; nenhuma letra ocorre na sequência tanto minúscula quanto maiúscula. Quer dizer, ou a letra não está na sequência, ou ela ocorre apenas em caixa minúscula, ou somente em caixa maiúscula.
```txt
DdaAaA D.....
CBAcca $C$....
eEaeeE e.....
bBbabB b.bab.
DbDdDc DbD.D.
fFaAaC ....aC
```
Você deve escrever um programa para ajudar as pessoas da Cidade da Lógica a computar o comprimento do menor caminho consistente entre o quadrado de coordenadas $(1, 1)$, no canto superior esquerdo, e o quadrado de coordenadas $(N, \ N )$, no canto inferior direito. Por exemplo, para o parque acima, o menor caminho consistente tem comprimento 13.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N \ (2 \ \leq \ N \ \leq \ 100)$, o tamanho do parque. As $N$ linhas seguintes contêm, cada uma, uma sequência de $N$ letras, definindo o parque.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma linha contendo um inteiro, o comprimento de um caminho consistente mínimo. Se não houver um caminho consistente, imprima -1.
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3,015 | 1201 | Jornada Arriscada | Muito Difícil | Grafos | A cabana da Vovózinha da Chapéuzinho Vermelho[^1] já é bastante antiga. Ela precisa ser derrubada e será substituída por uma nova cabana. Naturalmente, ela quer que a cabana seja tão segura quanto possível - nada poderia ser pior do que a Chapéuzinho Vermelho ser devorada pelo grande lobo mau.
Vovózinha quer construir a sua cabana numa das clareiras da floresta[^2]. A casa da Chapéuzinho Vermelho - bem, a dos seus pais - também está numa clareira. Além disso, o lobo também está sempre à espreita numa das clareiras. Se a Chapéuzinho Vermelho caminha da sua casa para a cabana da avó e passa junto ao lobo, certamente será comida. O lobo só muda de clareira durante a noite, por isso, sempre que o Chapéuzinho Vermelho estiver caminhando pela floresta, ele estará localizado numa clareira desconhecida mas fixa. Ele nunca estará na clareira da cabana da avó nem na clareira da casa da Chapéuzinho Vermelho.
A Chapéuzinho Vermelho caminha sempre de uma clareira para outra. Para evitar ser devorada pelo lobo, ela tem de verificar se o lobo está na planície para onde quer caminhar atualmente. Por sorte, ela tem um par de binóculos. Assim, sempre que está numa das clareiras e quer ir para outra, primeiro usa os seus binóculos para verificar se o lobo está nessa outra clareira. Se ele estiver, ela não irá para aquela clareira. O problema, no entanto, é o seguinte: A floresta não é plana. Por toda a floresta há colinas, e se uma colina estiver entre a atual clareira da Chapéuzinho Vermelho e a próxima clareira para onde ela quer ir, ela não pode usar os seus binóculos para verificar se o lobo se encontra nessa próxima clareira. Ela nunca irá da sua atual clareira para outra clareira se não puder verificar essa outra clareira com os seus binóculos. Isto inclui tanto a clareira da sua própria casa como a da cabana da avó (o lobo nunca estará lá, mas ainda assim é importante para ela verificar para se sentir confortável). Cada uma das colinas é um círculo perfeito e assumimos que as clareiras são suficientemente pequenas em comparação com as colinas para que as consideremos como pontos. Mesmo que a linha de visão entre dois planaltos seja apenas tangente a uma colina, a vista da Chapéuzinho Vermelho está bloqueada. Não há duas colinas que se cruzem e nenhuma clareira está dentro ou sobre o limite de uma colina.
Vovózinha considera uma clareira segura para ela construir ali a sua nova cabana se não importa em que clareira o lobo esteja sentado, Chapéuzinho Vermelho pode sempre encontrar um caminho de ida e de volta de sua casa até à Vovózinha. Vovózinha te pediu para determinar qual das clareiras é segura para ela construir a sua casa.
[^1]: Em alemão: Rotkäppchen
[^2]: Em alemão: Lichtung
#### Entrada
A entrada consiste em:
* Uma linha com dois inteiros $g$ e $h$, o número de clareiras e o número de colinas. Os planaltos são numerados de $1$ a $g$. A casa do Capuchinho Vermelho está sempre localizada no planalto de $g$.
* As linhas $g$, onde a linha $i$-th contém os dois números inteiros $x_i$ e $y_i$ dando as coordenadas do planalto $i$-th.
* linhas $h$, cada uma com três inteiros $x$, $y$, e $r$, dando o centro e o raio de uma das colinas.
Não há duas clareiras com as mesmas coordenadas, não há duas colinas que partilham um ponto comum, e nenhuma clareira está dentro ou no limite de uma colina.
#### Saída
Imprima os índices de todas as clareiras onde é seguro para a Vovózinha construir a sua cabana. Estes índices devem ser emitidos em ordem ascendente.
#### Restrições
* $2 \leq g \leq 2\,000$, $0 \leq h \leq 2\,000$
* $-10^7 \leq x_i,y_i \leq 10^7$
* $-10^7 \leq x,y \leq 10^7$, $0 < r \leq 10^7$
#### Explicação do caso de teste
#### Créditos
* Fonte: [German Collegiate Programming Contest 2020 (GCPC 2020)](https://gcpc.nwerc.eu/german-collegiate-programming-contest-2020)
* Autor: Gregor Behnke
* Licença: [cc by-sa](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/deed.en)
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3,016 | 1504 | Plano B | Muito Difícil | Grafos | Em CrisisLand, de vez em quando há uma crise que ameaça seriamente a segurança do país. Na crise recente, uma série de protestos civis ocorreram em várias cidades do país. O protesto começou em uma cidade e rapidamente se espalhou para outras cidades. Para evitar que isso aconteça novamente, o governo como Plano B - após o fechamento da Internet em todo o país - decidiu enviar rapidamente suas forças para cercar a cidade onde o protesto começa. Uma cidade é cercada se houver forças em cada uma de suas cidades vizinhas. O governo tem bases militares em $B$ cidades diferentes, cada uma com muitas forças a serem enviadas para todas as cidades. O governo sabe que suas forças não podem passar pela cidade de onde começa o protesto, pois podem ser mortos. Sabendo disso, pode ser que algumas cidades não possam ser cercadas por forças. Essas cidades são chamadas de críticas. Presume-se que, se houver uma base militar em uma cidade, essa cidade não é crítica. Agora, o governo está ansioso para saber se existem cidades críticas no país ou não. Como um geek legionário, ajude o governo a encontrar sua resposta.
Ah, esquecemos de explicar a estrutura do CrisisLand! Para resolver esta crise, devemos mencionar que CrisisLand consiste em $N$ cidades numeradas de $1$ a $N$. As cidades são conectadas por $M$ estradas que podem ser usadas em ambas as direções. Duas cidades são vizinhas se houver uma estrada entre elas. É garantido que a rede rodoviária da CrisisLand está conectada.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém três inteiros positivos $N$, $M$ e $B$ denotando o número de cidades, estradas e bases militares, respectivamente $(1 \ \leq \ B \ \leq \ N \ \leq \ 100000, \ 1 \ \leq \ M \ \leq \ 200000)$. Cada uma das próximas $M$ linhas contém dois números $v_i$ e $u_i$ denotando uma estrada entre as cidades $v_i$ e $u_i$. A última linha consiste em $B$ inteiros, as cidades tendo uma base militar.
#### Resultado
A saída consiste em duas linhas. A primeira linha contém o número de cidades críticas. A segunda linha contém as cidades críticas em ordem crescente. |
3,017 | 1684 | Ferrovias | Difícil | Grafos | O Norte é a maior região do país em área. Com tamanha extensão territorial e seus 450 municípios era de se esperar que houvessem mais Ferrovias, porém essa não é a realidade. Grande parte do transporte ainda é feito por rodovias ou vias fluviais.
Para resolver esse problema, Farcos projetou uma malha ferroviária capaz de conectar $N$ municípios do Norte que ele acredita serem estratégicos para o comércio e o turismo da região. Nessa malha uma ferrovia sempre liga dois municípios diferentes e possui duas linhas de trilho que tornam a ferrovia capaz de ser percorrida nos dois sentidos. Além de sempre ser possível chegar em todos os outros $N-1$ municípios a partir de qualquer município da malha, seja por uma ferrovia direta ou passando por outros municípios intermediários.
Ao terminar o desenho da sua malha ferroviária e sabendo a extensão em km de cada ferrovia, Farcos calculou qual seria o menor caminho entre todos os pares de municípios através da malha e gerou uma matriz de distâncias a qual foi anexada ao seu desenho e enviada para autoridades estimarem o custo de produção de tal projeto.
Como o desenho da malha e a matriz não foram enviados digitalmente, o desenho da malha foi perdido e apenas a matriz de distâncias chegou às autoridades responsáveis.
Sua tarefa é, usando apenas a matriz de distâncias e o preço médio informado para se contruir uma ferrovia (independente do seu tamanho), estimar o menor custo para o projeto.
Contudo, é necessário cuidado. Há várias pessoas que tem interesse que o projeto de Farcos nem ao menos chegue à análise e podem ter alterado posições da matriz de distâncias fazendo com que ela não corresponda mais a uma possível malha desenhada por Farcos.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros $N \ (1 \ \leq \ N \ \leq \ 450)$ e $K \ (1 \ \leq \ K \ \leq \ 10^2)$, representando respectivamente a quantidade de cidades estratégicas e o preço médio, em dezenas de milhares de reais, de se contruir uma ferrovia. As próximas $N$ linhas contém $N$ inteiros $D_{i,j} \ (0 \ \leq \ D_{i,j} \ \leq \ 10^6)$ cada um representando a distância em km da cidade $i$ à cidade $j$ através da malha ferroviária. $D_{i,j} ≠ 0$ para $i ≠ j$.
#### Saída
A saída consiste de um único valor inteiro representando a estimativa do custo mínimo, em dezenas de milhares de reais, de se construir o projeto da malha ferroviária. Ou da mensagem "*" caso a matriz de distâncias tenha sido alterada.
Obs: É garantido que as ferrovias possuem tamanho inteiro em km. |
3,018 | 657 | As Joias do Infinito | Difícil | Grafos | As joias do infinito são um conjunto de seis gemas que dão ao portador o domínio sobre algum aspecto do universo. São eles: Poder, Tempo, Mente, Espaço, Realidade e Alma.
Thanos precisa obter todas as joias para reconquistar a sua amada, a senhora Morte.
A fim de evitar que o terrível tirano consiga todas as joias, Stephen Strange, o Doutor Estranho, construiu um labirinto mágico e escondeu dentro do seu interior todas as 5 joias que ainda não estão sob o controle do Thanos e desafiou o titã a caminhar pelo labirinto e tentar obter as joias.
Para tornar o desafio ainda mais interessante, algumas portas e chaves foram colocadas dentro do labirinto. Por exemplo a chave $a$ abre qualquer porta $A$ e a chave $b$ abre qualquer porta $B$ assim por diante.
Thanos como um bom jogador, não usará os poderes das joias enquanto não tiver todas elas, se desloca uma casa por segundo e não anda na diagonal.
Dado o labirinto, determine, se possível, o menor tempo gasto por Thanos para obter todas as joias.
#### Entrada
A primeira linha contém dois inteiros $N$ e $M$ que representam as dimensões do labirinto. As próximas $N$ linhas contém $M$ caracteres que descrevem o labirinto. Os caracteres são do tipo:
* $#$ - parede;
* $a$, $b$, $c$, $d$ - os tipos de chaves que podem existir no labirinto;
* $A$, $B$, $C$, $D$ - os tipos de portas que podem existir no labirinto;
* $T$ - a posição inicial do Thanos;
* $p$, $t$, $m$, $e$, $r$– as joias do poder, tempo, mente, espaço e realidade;
* $.$ – espaço livre.
#### Saída
Você deve imprimir o tempo mínimo, caso o Thanos consiga obter todas as joias, ou a mensagem “Gamora” sem aspas caso ele não consiga obter todas as joias.
#### Restrições
* $N \leq 50$
* $M \leq 50$
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3,019 | 349 | Doença | Muito Difícil | Grafos | Super Big Candy (SBC) é um daqueles joguinhos de celular que fazem sucesso e ganham popularidade rapidamente. O jogo se tornou uma verdadeira epidemia, uma vez que quem começa a jogar o SBC, passa a jogá-lo todos os dias. O sucesso do jogo é tão grande que a Oranges and Bananas Incorporation (OBI) está preocupada com a produtividade de seus funcionários. Em particular, há uma suspeita de que uma de suas concorrentes está incentivando os funcionários da OBI a jogarem o SBC. A suspeita é de que esta concorrente misteriosa esteja buscando o menor conjunto de funcionários necessários da OBI de forma que, após introduzi-los ao jogo, todos os demais funcionários também acabarão jogando.
Os $N$ funcionários da OBI são representados por números inteiros, de 1 a $N$. A estrutura da empresa é de forma que cada funcionário pode ter zero ou mais subordinados imediatos e possui exatamente um único chefe, exceto o presidente, que não possui chefe e é hierarquicamente superior a todos os funcionários. Além disso, os funcionários apenas se relacionam com seu chefe imediato ou com seus subordinados imediatos, e com mais ninguém. Após uma análise, descobriu-se que o i-ésimo funcionário, se interessa pelo SBC após perceber que $S_i$ de seus colegas de trabalho estão jogando. Especificamente, um funcionário identificado por $i$ instalará o jogo começará a jogá-lo na manhã de um determinado dia se, no dia anterior, pelo menos $S_i$ de seus colegas de trabalho estiverem jogando o SBC.
De forma a tentar evitar esta sabotagem de sua concorrente, a OBI desenvolveu um software "vacina" que impede seus funcionários de instalar o SBC em seus celulares, mas que não remove o jogo de celulares que já o tiverem instalado. Ela já definiu o calendário de vacinação dos celulares de seus funcionários: o i-ésimo funcionário terá o software instalado ao meio dia do dia $V_i$. Agora, a concorrente tem um desafio ainda maior: quer fazer com que todos joguem o jogo antes de seus celulares serem vacinados.
Nesta tarefa, você deve determinar qual o menor número de funcionários que precisam ser coagidos a jogar no dia 0, de forma que todos os funcionários da OBI acabem jogando o jogo.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N$, o número de funcionários da OBI. As $N$ linhas seguintes conterão dois inteiros cada, $S_i$ e $V_i$, o número de pessoas necessárias para que o funcionário $i$ comece a jogar o SBC e a data em que o software será instalado em seu celular, respectivamente.
Em seguida, $N-1$ linhas conterão pares $C$, $S$, representando que o funcionário $C$ é chefe do funcionário $S$, ou, simetricamente, que $C$ é subordinado direto de $S$.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma linha, contendo um inteiro, com o menor número de funcionários que devem estar jogando o SBC no dia 0, de forma que todos os funcionários passem a jogar o jogo em algum momento.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^5$
* $1 \leq S_i \leq N$
* $0 \leq V_i \leq N$
* $1 \leq C, S \leq N$
#### Informações de Pontuação
* Em um conjunto de casos de teste cuja soma é 10 pontos, $S_i = 1$ e $V_i = 1$, para todo $i$.
* Em um outro conjunto de casos de teste cuja soma é 20 pontos, para cada vértice $i$, $S_i$ corresponde ao número de vizinhos de $i$ e $V_i = n$.
* Em um outro conjunto de casos de teste cuja soma é 30 pontos, $V_i \leq 100$, para todo $i$.
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3,020 | 1964 | Perdido na Noite | Difícil | Grafos | Numa cidade da Nlogônia, o sistema viário é composto de $N$ rotatórias e $N-1$ ruas, sendo que cada rua liga duas rotatórias distintas. Utilizando o sistema viário, é possível ir de qualquer rotatória para qualquer outra rotatória da cidade.
A cidade possui apenas dois hotéis: um barato, localizado na rotatória $B$, e um caro, localizado na rotatória $C$. Um turista veio à cidade para celebrar o aniversário de um amigo, cuja festa está sendo realizada em um clube localizado na rotatória $A$. Como o turista não fez reserva em nenhum dos hotéis e a noite está agradável, após a festa ele decidiu passear a pé pelas ruas e rotatórias até encontrar um dos hotéis (ele também decidiu hospedar-se no primeiro hotel que encontrar).
Seu plano foi dificultado porque como ele não conhece a cidade e bebeu um pouco além da conta, todas as ruas lhe parecem iguais. Assim, ele decidiu usar a seguinte estratégia: a cada rotatória ele escolhe, com probabilidade uniforme, uma das ruas que saem da rotatória, e usa essa rua para ir a uma outra rotatória, até chegar à rotatória onde um dos hotéis está localizado. Note que como o turista não consegue distinguir as ruas, pode ocorrer de ele escolher a mesma rua pela qual chegou à rotatória.
Você deve escrever um programa que, dadas a descrição do sistema viário, a localização $A$ da festa de aniversário, a localização $B$ do hotel barato e a localização $C$ do hotel caro, determine a probabilidade de o turista chegar ao hotel barato antes de chegar ao hotel caro.
#### Entrada
A primeira linha de um caso de teste contém quatro inteiros $N$, $A$, $B$ e $C$, indicando respectivamente o número de rotatórias do sistema viário, a rotatória onde a festa de aniversário foi realizada, a rotatória onde o hotel barato está localizado, e a rotatória onde o hotel caro está localizado. Cada uma das $N-1$ linhas seguintes contém dois inteiros $X$ e $Y$, indicando que existe uma rua que liga as rotatórias $X$ e $Y$. O final da entrada é determinado pelo final de arquivo (EOF).
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma única linha, contendo a probabilidade de o turista chegar ao hotel barato antes de chegar ao hotel caro, com 6 casas decimais.
#### Restrições
* $3 ≤ N ≤ 100$
* $B \neq C, A \neq B, A \neq C$.
* $1 ≤ A, B, C ≤ N$
* $1 ≤ X, Y ≤ N$.
* $X \neq Y$.
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3,021 | 1966 | Combate ao câncer | Difícil | Grafos | Pesquisadores da Fundação Contra o Câncer (FCC) anunciaram uma descoberta revolucionária na Química: eles descobriram como fazer átomos de carbono ligarem-se a qualquer quantidade de outros átomos de carbono, possibilitando a criação de moléculas muito mais complexas do que as formadas pelo carbono tetravalente. Segundo a FCC, isso permitirá o desenvolvimento de novas drogas que poderão ser cruciais no combate ao câncer.
Atualmente, a FCC só consegue sintetizar moléculas com ligações simples entre os átomos de carbono e que não contêm ciclos em suas estruturas: por exemplo, a FCC consegue sintetizar as moléculas (a), (b) e (c) abaixo, mas não a molécula (d).
Devido à agitação térmica, uma mesma molécula pode assumir vários formatos. Duas moléculas são _equivalentes_ se for possível mover os átomos de uma das moléculas, sem romper nenhuma das ligações existentes nem criar novas ligações químicas, de forma que ela fique exatamente igual à outra molécula. Por exemplo, na figura acima, a molécula (a) não é equivalente à molécula (b), mas é equivalente à molécula (c).
Você deve escrever um programa que, dadas as estruturas de duas moléculas, determina se elas são equivalentes.
#### Entrada
A primeira linha de um caso de teste contém um inteiro $N$ indicando o número de átomos nas duas moléculas. Os átomos são identificados por números inteiros de $1$ a $N$. Cada uma das $2*N-2$ linhas seguintes descreve uma ligação química entre dois átomos: as primeiras $N-1$ linhas descrevem as ligações da primeira molécula; as $N-1$ últimas descrevem as ligações químicas da segunda molécula. Cada linha contém dois inteiros $A$ e $B$ indicando que existe uma ligação química entre os átomos $A$ e $B$. O final da entrada é determinado pelo final de arquivo (EOF).
#### Saída
Para cada caso de teste seu programa deve imprimir uma única linha, contendo um único caractere: `S` se as moléculas são equivalentes ou `N` caso contrário.
#### Restrições
* $2 ≤ N ≤ 10^4$
* $1 ≤ A, B ≤ N$
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3,022 | 1686 | Ingredientes Típicos | Médio | Grafos | A região Norte do Brasil é berço de uma culinária muito rica e criativa. Com ingredientes típicos, temperos únicos, combinações e modos de preparo peculiares, os pratos da região sempre encantam os moradores e turistas.
Nesta culinária são usados dois tipos de ingrediente: ingredientes típicos do Norte, e ingredientes comuns ao resto do país. Uma porção é uma mistura de ingredientes (típicos e/ou comuns) e/ou outras porções, e só é considerada típica se mais da metade de seus componenetes forem típicos.
Rafael está visitando o Norte pela primeira vez, e após algumas refeições ficou muito satisfeito com a gastronomia do local. Ele percebeu que quanto mais componentes típicos a sua porção tivesse, mais ele era surpreendido pelo gosto.
Após fazer algumas anotações Rafael pediu sua ajuda: Dada a lista de ingredientes típicos, e em seguida a descrição de várias porções, diga quais destas porções são típicas.
#### Entrada
A entrada inicia com um inteiro $N$, indicando quantos são os ingredientes típicos da região $(1 \leq N \leq 50)$. Em seguida haverá $N$ nomes, representando os $N$ ingredientes típicos da região.
Em seguida haverá um inteiro $M$, indicando quantas porções deverão ser analisadas $(1 \leq M \leq 100)$.
Em seguida haverá $M$ conjuntos de entrada, cada um representando uma porção.
Cada um destes conjuntos iniciará com um nome $S_i$ e um número $K_i$, representando o nome da porção e a quantidade de componentes (típicos, comuns ou porções) que compõem esta porção $(1 \leq K_i \leq 50)$.
Em seguida haverá $K_i$ nomes, cada um representando um dos componentes desta porção $S_i$.
Os nomes de todos os ingredientes e porções contém apenas letras do alfabeto (maiúsculas ou minúsculas) e hífen, e terão no máximo 50 caracteres.
#### Saída
Para cada porção imprima uma linha contendo a frase "porcao tipica" caso a porção seja típica, ou "porcao comum" caso a porção não seja típica. |
3,023 | 1217 | Bestas Fantásticas | Difícil | Grafos | O excêntrico magizoólogo Newt Scamander veio recentemente a Nlogonia para estudar as fantásticas criaturas que habitam este próspero reino. Mas antes que ele pudesse começar explorar a área, um acidente interrompeu os seus planos: a sua mala abriu-se e a sua coleção de bestas fantásticas escapou do objeto mágico.
Os habitantes de Nlogonia adoram os zoológicos, e por isso há muitos deles no reino. Acontece que as bestas partilham a paixão dos Nlogonians pelos zoológicos e desde o acidente têm visitado os vários jardins zoológicos.
As bestas se libertarem e causarem problemas não é novidade para Newt, então ele mandou colocar localizadores nas feras desde o incidente anterior. Assim, a qualquer momento, ele sabe a posição exata de cada uma das bestas. Depois de observar os movimentos das bestas durante algum tempo, notou que elas seguem um padrão peculiar: se uma besta está atualmente num determinado jardim zoológico, após algum tempo, ou fica nesse jardim zoológico ou se desloca para outro jardim zoológico que depende do jardim zoológico atual. Todas as bestas que se deslocam para outro jardim zoológico fazem-no instantânea e simultaneamente.
Com esta informação, Newt conjecturou que talvez não seja tão difícil recuperar as criaturas. Ele acredita que eventualmente todas elas poderão encontrar-se no mesmo jardim zoológico ao mesmo tempo, então ele só precisa esperar no local certo e capturar todas as bestas fantásticas de uma só vez. Dada a informação que o Newt tem até agora, ajude-o a determinar onde e quando esperar pelas bestas. Se houver várias possibilidades, ele quer capturar as bestas o mais cedo possível.
#### Entrada
A primeira linha contém dois inteiros $B \ (1 \ \leq \ B \ \leq \ 10)$ and $Z \ (1 \ \leq \ Z \ \leq \ 100)$, indicando respectivamente o número de bestas fantásticas e o número de zoológicos. Os jardins zoológicos são identificados por números inteiros distintos de $1$ a $Z$. Cada uma das próximas linhas de $B$ descreve as descobertas de Newt sobre uma besta diferente com $Z + 1$ inteiros $P_0, \ P_1, . . . , \ P_Z \ (1 \ \leq \ P_i \ \leq \ Z$ for $i \ = \ 0, \ 1, . . . , \ Z)$; o valor $P_0$ é o zoológico onde a besta se encontra inicialmente, enquanto para $i \ = \ 1, \ 2, . . . ,\ Z$ o valor $P_i$ é o zoológico onde a besta estaria após uma unidade de tempo, se estiver atualmente no zoológico $i$.
#### Saída
Produza uma única linha com dois inteiros, $P$ e $T$, indicando que todas as bestas se encontrarão pela primeira vez no jardim zoológico $P$ após $T$ unidades de tempo, ou o caractere $*$ (asterisco) se as bestas nunca estarão todas no mesmo jardim zoológico. |
3,024 | 106 | Mantenha Coberto | Difícil | Grafos | Eva ama quebra-cabeça. Ela recentemente comprou um quebra-cabeça que se provou ligeiramente difícil. O quebra-cabeça é feito de um retângulo com uma grade com $R$ linhas e $C$ colunas. Algumas células podem estar marcadas com um ponto, enquanto as outras estão vazias. Quatro tipos de peças vem com este quebra-cabeças, e existem $R$ x $C$ unidades de cada tipo.
O objetivo do quebra-cabeça é usar algum tipo de peça que preencha a grade; isto é, que cada célula deve estar coberta com uma peça. Fazendo isso, cada peça pode ser rotacionada em 90, 180 ou 270 graus. Mas claro, para deixar mais interessante, existem algumas restrições que devem ser respeitadas:
Peças do tipo 1 podem apenas serem usadas em células marcadas com um ponto, enquanto as demais peças podem apenas ser usadas nas células brancas. Dado qualquer par de células compartilhando uma borda, a linha desenhada deve combinar. As linhas desenhadas pelas peças não podem encostar nas paredes externas da grade.
Como Eva está tendo dificuldades para resolver o quebra-cabeça, ela começou a questionar-se se ele não teria sido feito de forma descuidada e nenhuma solução existe. Você pode dizer a ela se o quebra-cabeça pode ser resolvido?
#### Entrada
A primeira linha contem dois inteiros $R$ e $C$ ($1 \leq R, C \leq 20$), indicando respectivamente o número de linhas e colunas do quebra-cabeça. As próximas $R$ linhas contem uma string $S$ de caracteres $C$ cada, representando a grade do quebra-cabeça; nessas strings, a letra minúscula “o” indica que a célula marcada com um ponto, enquanto um “-” (hífen) representa uma célula vazia. Existem no máximo 15 células marcadas com um ponto.
#### Saída
Imprima uma linha com a letra maiúscula “Y” caso seja possível resolver o quebra-cabeça como descrito, e a letra “N” caso contrário. |
3,025 | 2035 | Férias | Difícil | Grafos | Vitinho vive há alguns anos em Porto, Portugal. Sempre que consegue férias do seu trabalho, ele resolve visitar a família no Brasil. No passado, Vitinho era jovem e não se importava em esperar muitas horas em aeroportos de conexão. Porém, com o passar do tempo, ele quer ficar a menor quantidade de horas esperando por voos.
Além disso, como não está fácil para ninguém com a economia atual, Vitinho não está podendo gastar muitos euros. Sempre que vai viajar, Vitinho lista as possíveis rotas entre Porto e Uberlândia. Além das rotas, ele lista as horas de espera (tempo de voo + tempo de aeroporto) entre cada aeroporto e também o valor que ele paga por cada voo. Agora, Vitinho precisa de um programa para facilitar sua vida, imprimindo a melhor rota possível de acordo com a regra: a melhor rota é aquela com menor preço, exceto quando a rota com menor horas de espera possui preço de no máximo 20% a mais que o preço da rota de menor preço.
#### Entrada
Para cada caso, há uma linha com um inteiro $R (1 < R < 100)$ indicando o número de possíveis rotas, seguido de $R$ linhas com uma rota indicada em cada linha (a rota é o nome das cidades separadas por espaço). Logo após, há uma linha com um inteiro $C (1 < C < 2000)$ indicando a quantidade de voos avaliados, seguido de $C$ linhas com um voo por linha (cada voo possui cidade de origem, cidade de destino, horas de espera em formato inteiro e preço em formato decimal).
#### Saída
Para cada caso de teste, imprimir a rota que Vitinho deve escolher. |
3,026 | 1854 | Viagem de Carro | Difícil | Grafos | Você está viajando de carro pelas estradas do país. O carro tem pneus com $K$ centimetros de espessura. O país tem $N$ cidades, numeradas de 1 a $N$. Há $M$ estradas entre elas, onde a $i$-ésima estrada passa diretamente entre duas cidades diferentes $u_i$ e $v_i (1\leq u_i, v_i \leq N )$, leva $t_i$ minutos para viajar em qualquer direção, e tem condições que desgastam os pneus do carro em $c_i$ centímetros. Pode haver múltiplas estradas entre um par de cidades.
Você gostaria de viajar da cidade $O$ para uma cidade diferente $D (1 \leq O, D \leq N )$ ao longo de uma seqüência de estradas, de modo que o pneu do carro permaneça intacto, em outras palavras, de modo que a soma dos valores $c_i$ das estradas seja estritamente inferior a $K$.
Além disso, você está com pressa, portanto gostaria de minimizar a quantidade de tempo necessária para chegar à cidade $D$ da cidade $O$. No entanto, pode não ser possível chegar à cidade $D$ a partir da cidade $O$, ou devido a estradas insuficientes ou devido ao desgaste do pneu do carro.
#### Entrada
A primeira linha de entrada contém três números inteiros $K$, $N$ e $M$, cada um separado por um espaço.
As próximas linhas de $M$ contêm 4 inteiros $u_i$ $v_i$ $t_i$ e $c_i $, cada um separada por um espaço. A $i$-ésima linha neste conjunto de $M$ linhas descreve a $i$-ésima estrada (que vai da cidade $u_i$ à cidade $v_i$, leva $t_i$ minutos e desgasta o pneu em $c_i$ centímetros). Note que $u_i \neq v_i$ (isto é, as extremidades de uma estrada são cidades distintas).
A última estrada de entrada contém dois inteiros $O$ e $D $, as ilhas entre as quais queremos viajar.
#### Saída
Produzir um único inteiro: o inteiro representando o tempo mínimo necessário para viajar de $O$ a $D$ sem desgastar o pneu do carro, ou -1 para indicar que não há como viajar de $O$ a $D$ sem desgastar o casco do navio.
#### Restrições
* $1 ≤ K ≤ 200$
* $2 ≤ N ≤ 2000$
* $1 ≤ M ≤ 10000$
* $1 \leq u_i$, $v_i \leq N$,
* $1 \leq t_i \leq 10^5$,
* $0 \leq c_i \leq 200$
* $1\leq O, D \leq N ; O = D$
#### Explicação do Caso de Teste 1
A trajetória de comprimento 1 de 1 a 4 desgastaria o pneu do carro. Os três caminhos de comprimento 2 ([1, 2, 4] e [1, 3, 4] dois caminhos diferentes) levam pelo menos 8 minutos. O trajeto [1, 2, 3, 4] leva 7 minutos e só desgasta o pneu em 7 centímetros, enquanto o trajeto [1, 3, 2, 4] leva 13 minutos e desgasta o pneu em 5 centímetros.
#### Explicação do Caso de Teste 2
O caminho direto [1, 3] desgasta o pneu até 0, assim como o caminho [1, 2, 3].
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3,027 | 1664 | Espião 2 | Difícil | Grafos | O senado do país JOI tem $N$ membros, numerados de 1 a $N$. Como ministro de JOI, você está tentando encontrar um espião entre os membros.
* Quando $T_i = 1$, o senador $i$ é um espião.
* Quando $T_i = 2$, o senador $i$ não é um espião.
* Quando $T_i = 3$, não se sabe se o senador $i$ é um espião ou não.
Como resultado de outras entrevistas, obtivemos $M$ de novas informações. A $j$-ésima $(1 ≤ j ≤ M)$ informação é que o Senador $A_j (1 ≤ Aj ≤ N)$ testemunhou que o Senador $B_j (1 ≤ B_j ≤ N)$ é um espião e o Senador $C_j (1 ≤ C_j ≤ N)$ não é um espião.
Entretanto, se o Senador $A_j$ é um espião, o testemunho das informações da $j$-ésima entrevista não é verdadeiro. Em outras palavras, se o Senador $A_j$ é um espião, pelo menos uma das declarações "Senador $B_j$ é um espião" e "Senador $C_j$ não é um espião" não é verdadeira. Por outro lado, se o Senador $A_j$ não é um espião, o testemunho nas informações da $j$-ésima entrevista pode ou não ser verdade.
Dadas as informações de cada membro e os resultados das entrevistas, escreva um programa que determine se as informações $N + M$ são inconsistentes e, se não forem, se cada membro é ou não um espião. Se houver respostas múltiplas que correspondam às $N + M$ informações, qualquer uma delas pode ser emitida.
#### Entrada
A entrada é dada da seguinte forma
$N$ $M$
$T_1$ $T_2$ $... T_N$
$A_1$ $B_1$ $C_1$
$A_2$ $B_2$ $C_2$
$:$
$A_M$ $B_M$ $C_M$
#### Saída
Se a informação fornecida for inconsistente, imprima -1 em uma única linha. Caso contrário, a saída consistirá em $N$ linhas, onde a linha $i (1 ≤ i ≤ N)$ deverá ser 1 se o Senador $i$ for um espião, e 2 se o Senador $i$ não for.
#### Restrições
* $1 ≤ N ≤ 300 000$.
* $1 ≤ M ≤ 300 000$.
* $1 ≤ Ti ≤ 3 (1 ≤ i ≤ N)$.
* $1 ≤ Aj ≤ N (1 ≤ j ≤ M)$.
* $1 ≤ Bj ≤ N (1 ≤ j ≤ M)$.
* $1 ≤ Cj ≤ N (1 ≤ j ≤ M)$.
* $Aj ≠ Bj (1 ≤ j ≤ M)$.
* $Aj ≠ Cj (1 ≤ j ≤ M)$.
* $Bj ≠ Cj (1 ≤ j ≤ M)$.
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de casos de teste, $N ≤ 16 , M ≤ 100$.
* Para um conjunto de casos de teste, $N ≤ 3 000 , M ≤ 3 000$.
* Para um conjunto de casos de teste, não há restrições adicionais. |
3,028 | 1177 | Interatividade | Muito Difícil | Grafos | Um dia, Alice desafiou Beto com o problema interativo de programação descrito a seguir.
Você tem uma árvore (um grafo acíclico conexo). Cada nó da árvore tem exatamente um pai, com exceção do nó raiz, que não tem pai. Um nó que não é pai de nenhum outro nó é uma folha. Você conhece a estrutura da árvore, porque sabe qual é o pai de cada nó que não é a raiz.
Cada nó contém um valor inteiro. Um nó que não é folha contém a soma dos valores dos seus filhos diretos. Portanto, todos os valores da árvore são determinados pelos valores contidos nas folhas.
A figura abaixo mostra um exemplo. As folhas estão marcadas como cinza, enquanto os outros nós são brancos. Cada nó mostra o valor contido nele.
Inicialmente, você não sabe o valor de nenhum nó da árvore, mas pode consultá-los um por um.
Sua tarefa é determinar o valor de cada nó da árvore, usando o mínimo de consultas possível.
Beto resolveu este problema facilmente. Então, para dificultar as coisas, Alice perguntou para ele: “dada a estrutura da árvore, quantas formas diferentes de solucionar este problema existem?” Isto é, quantos conjuntos mínimos de consultas existem que lhe permitam determinar os valores armazenados em cada nó da árvore? (Dois conjuntos de consultas são considerados diferentes se e somente se existe um nó consultado em apenas um dos dois conjuntos.)
#### Entrada
A árvore tem $N$ nós no total. Cada nó é identificado por um inteiro entre 1 e $N$, onde o nó 1 é a raiz.
A entrada consiste de duas linhas. A primeira linha contém apenas o inteiro $N$.
A segunda linha contém $N - 1$ inteiros $P_1, P_2, . . .,P_{N-1}$, separados por um espaço, onde $P_i$ é o pai do nó $i + 1$, para $i = 1, 2, . . . , N - 1$.
* $2 \leq N \leq 10^5$.
* $1 \leq P_i \leq N$, para $i = 1, 2, . . . , N - 1$.
#### Saída
A saída consiste de uma única linha, que deve conter o número de soluções mínimas diferentes para o problema enfrentado por Beto. Como esse número pode ser muito grande, sua resposta deverá ser calculada módulo $1000000007$ $(10^9 + 7)$.
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3,029 | 413 | Juntando Capitais | Difícil | Grafos | Um reino longínquo possui $N$ cidades, dentre as quais $K$ são capitais. O rei Richard quer construir linhas de transmissão, cada uma delas ligando duas cidades. E preciso haver um caminho, ou seja, uma sequência de linhas de transmissão, entre qualquer par de capitais.
Cada linha de transmissão possui um custo associado, que é a distância euclidiana entre as cidades que a linha de transmissão conecta. Como o rei é avarento, ele deseja que as linhas de transmissão sejam criadas de modo que o custo total (soma dos custos das linhas) seja o menor possível.
A figura, na parte $A$, mostra um exemplo de reino com $N = 10$ cidades, sendo $K = 4$ capitais. O engenheiro chefe apresentou ao rei a solução mostrada na parte $B$, que minimiza de fato o custo total. Mas o rei não gostou de ver uma capital possuindo mais de uma linha de transmissão. Ele, então, determinou uma nova restrição: uma capital só pode estar ligada a uma outra cidade. Desse jeito, depois de trabalhar muito, o engenheiro chefe apresentou a nova solução, ilustrada na parte $C$ da figura. Só que ele não tem certeza se essa solução é ótima e precisa da sua ajuda!
Dadas as coordenadas das cidades, seu programa deve computar o custo total mínimo possível para construir linhas de transmissão de modo que todo par de capitais esteja ligado por um caminho e toda capital esteja ligada a apenas uma cidade.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros, $N$ e $K$, $4 \leq N \leq 100$ e $3 \leq K <$ min($10$, $N$), indicando respectivamente o número de cidades e o número de capitais. As $N$ linhas seguintes contêm, cada uma, dois inteiros $X$ e $Y$ , $-1000 \leq X, Y \leq 1000$, representando as coordenadas de uma cidade. As $K$ primeiras cidades são as capitais. Não há duas cidades com as mesmas coordenadas.
#### Saída
Imprima uma linha contendo um número real, com 5 casas decimais, indicando o custo total mínimo para construir as linhas de transmissão, de acordo com as restrições acima.
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3,030 | 1343 | Teletransporte | Difícil | Grafos |
A Confederação Galática instalou um novo sistema de teletransporte em suas naves espaciais. Cada nave recebeu uma cabine de teletransporte, na qual há um painel com quatro botões. Cada botão é rotulado com uma letra diferente $A, \ B, \ C$ ou $D$ e com um número que indica a nave destino para a qual o usuário será transportado, instantaneamente, se o respectivo botão for pressionado (como todos sabem, as naves da Confederação são identificadas por inteiros de 1 a $N$).
Para usar o sistema, o usuário deve adquirir um bilhete para cada viagem que deseja realizar (uma viagem corresponde a pressionar um botão). Note que como o número botões no painel é pequeno comparado com o número de naves da Confederação, pode ser necessário que o usuário tenha que comprar um bilhete múltiplo de $L$ viagens para ir de uma dada nave $S$ para uma outra nave $T$.
Por exemplo, para as naves da figura abaixo, se o usuário está na cabine de teletransporte da nave 3 e pressiona o botão $B$ ele é transportado para a nave 2. Se ele tem um bilhete múltiplo e pressiona novamente o botão $B$ ele é então transportado para a nave 1.
Sua tarefa neste problema é, dados a nave de partida $S$, a nave de chegada $T$ e o número de viagens $L$ do bilhete, determinar quantas sequências distintas de $L$ botôes levam o usuário da nave $S$ para a nave $T$ . Por exemplo, para as naves da figura acima, existem quatro sequências distintas de $L = 2$ botões que levam um usuário da nave $S = 3$ para a nave $T = 1$: CD, DA, AB, e BB.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros $N \ (1 \ \leq \ N \ \leq \ 100)$ e $L \ (0 \ \leq \ L < 2^{30})$, indicando respectivamente o número de naves e o número de viagens do bilhete. A segunda linha da entrada contém dois inteiros $S$ e $T \ (1 \ \leq \ S, \ T \ \leq \ N )$, indicando respectivamente a nave de partida e a nave de chegada. Cada uma das $N$ linhas seguintes descreve o painel da cabine de teletransporte de uma nave. A i-ésima dessas linhas, $1 \ \leq \ i \ \leq \ N$ , contém quatro inteiros $A, \ B, \ C$ e $D \ (1 \ \leq \ A, \ B, \ C, \ D \ \leq \ N )$, que representam os números escritos nos quatro bot ̃oes da cabine de teletransporte da nave de número i.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um único inteiro, que deve ser igual a $r$ módulo $10^4$, onde $r$ é o número de sequências distintas de $L$ botões que levam o usuário da nave $S$ para a nave $T$.
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3,031 | 1754 | Configurando Redes | Médio | Grafos | Ben Ary é aluno de graduação de Engenharia de computação e recentemente foi aprovado no processo seletivo para monitor de laboratório em sua universidade. Como primeira atividade ele terá que configurar uma rede de computadores em um dos laboratórios de informática. Essa rede usa cabos para ligar dois computadores diferentes e não mais de um cabo para o mesmo par de computadores.
Será dado para Ben uma planilha que diz quais conexões diretas são permitidas, ou seja, quais pares de computadores podem ser ligados diretamente por um cabo. Com essa planilha, ele tem a liberdade para montar a rede do modo que quiser desde que respeite a restrição de que essa rede permita a comunicação entre todos os computadores especificados. Tal comunicação entre dois computadores não precisa ser direta, ou seja, com um cabo entre ambos, ela também pode ser indireta, através da conexão entre dois ou mais computadores. Ele também sempre tem a possibilidade de usar todas as conexões sugeridas na planilha porque é garantido que essa rede sempre atende à restrição.
Sua tarefa é, dado a planilha de conexões permitidas, dizer de quantas formas distintas Ben pode montar a rede. Como isso pode ser um número muito grande diga apenas se o valor é um número par ou ímpar.
_Duas formas de montar a rede são consideradas distintas se diferem em ao menos uma conexão direta._
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois números inteiros $N$ $(2 \leq N \leq 2600)$ e $M$ $(N-1 \leq M \leq N(N-1)/2)$ que representam respectivamente o número de computadores com a qual ele tem de montar a rede, e o número de conexões diretas especificadas na planilha.
Seguem-se então $M$ linhas cada uma contendo dois inteiros $U$ e $V$ $(1 \leq U,V \leq N)$ que especifica que há um cabo fazendo uma conexão direta do computador $U$ ao computador $V$.
#### Saída
A saída consiste de uma única linha com a string "`IMPAR`" caso o valor seja ímpar, ou com a string "`PAR`", caso contrário.
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3,032 | 1907 | Distanciamento Social | Difícil | Grafos | Leila é uma cirurgiã em um hospital de alta qualidade. Para chegar à sala de cirurgia, ela tem que passar por uma sala de espera, onde alguns pacientes com sintomas de Coronavírus estão esperando para serem testados. Para evitar a infecção, Leila quer passar pela sala de tal forma que ela mantenha a distância máxima dos pacientes. Sua tarefa é ajudá-la a encontrar a máxima distância possível de qualquer paciente enquanto passa pela sala de espera. Você recebe o mapa do salão como uma matriz, na qual são marcados os locais dos pacientes e os assentos livres (por onde ela não pode passar!). A distância de duas células $(x_1, \ y_1)$ e $(x_2, y_2)$ na matriz é definida como max$(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|)$. Os assentos não bloqueiam a propagação da coroa. Assim, na definição da distância entre duas células, não consideramos os lugares dos assentos. Em cada passo, Leila pode ir de uma célula da matriz para uma de suas quatro vizinhas: para cima, para baixo, à direita e à esquerda na sala, se não houver assentos e pacientes.
#### Entrada
A primeira linha da entrada consiste em dois números inteiros $m \ (1 \ \leq \ m \ \leq \ 500)$ e $n \ (1 \ \leq \ n \ \leq \ 500)$ separados por um espaço, que é o número de filas e o número de colunas, respectivamente. Então, o mapa da sala de espera é dado em $m$ linhas seguintes; cada linha representa uma linha da matriz e contém $n$ caracteres, "*" é para um paciente, "#" para um assento vazio, e "." para um espaço livre por onde Leila pode andar. O ponto de partida de Leila é representado por um caractere "S", e o ponto final de seu caminho é representado por um caractere "E" na matriz. Note que Leila não pode sair do salão (que é representado como a matriz) em seu caminho.
#### Saída
Imprima a máxima distância possível que Leila pode manter dos pacientes em seu caminho. Se não for possível para Leila chegar à sala de cirurgia, imprima um "-1" na saída. Caso contrário, se nenhum paciente estiver presente no salão, imprima um "safe" na saída. |
3,033 | 1317 | Mapa de altura | Difícil | Grafos | Um mapa de altura é uma matriz bidimensional de inteiros positivos que representa um poliedro. Cada célula da matriz com valor $V$ representa uma coluna em forma de paralelepípedo de 1 * 1 * $V$ que é colocada em uma de suas faces 1 * 1 na célula. Isso cria um poliedro com uma única face na parte inferior composta de todas as faces 1 * 1 voltadas para baixo combinadas e, possivelmente, várias faces na parte superior e nas laterais.
Por exemplo, uma matriz 2 * 2 com todos os valores iguais a 2 representa um cubo do lado 2. No entanto, se um dos valores for 1, o poliedro representado é o mesmo cubo com um canto cortado. A imagem a seguir representa as duas alternativas.
Embora nem todo poliedro possa ser representado dessa maneira, há vários que podem. Aqui estão alguns outros exemplos.
Dado um mapa de altura, você é solicitado a contar o número de faces do poliedro representado. Observe que uma face é definida como um polígono simples que descreve um limite contíguo e máximo do poliedro. Como você pode ver nos dois últimos exemplos, é possível que duas faces coplanares diferentes compartilhem um vértice comum, ou mesmo um lado, ou partes de um lado.
#### Entrada
A primeira linha contém dois inteiros $R$ e $C$, representando respectivamente o número de linhas e colunas do mapa de altura $(1 \ \leq \ R, C \ \leq \ 100)$. Cada uma das próximas $R$ linhas contém $C$ inteiros; o j-ésimo inteiro na i-ésima linha é o valor $V_i$,$j$ localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz $(1 \ \leq \ V_i, \ j \ \leq \ 10^9$ para $i \ = \ 1, 2,... , R$ e $j = 1, 2,..., C)$.
#### Resultado
Produza uma linha com um inteiro representando o número de faces do poliedro representado pelo mapa de altura de entrada. |
3,034 | 1438 | Viagem diária | Difícil | Grafos | Toronto tem $N$ estações de metrô, numeradas de 1 a $N$. Você começa na estação 1 e, todos os dias, precisa chegar à estação $N$ para chegar à escola.
Existem $W$ passarelas *de sentido único* entre as estações, a i-ésima permite que você caminhe da estação $A_i$ para uma estação diferente $B_i (1 \ \leq \ A_i, \ B_i \ \leq \ N, \ A_i ≠ B_i)$ em 1 minuto. Pode haver várias passarelas conectando qualquer par de estações.
A linha do metrô segue uma determinada rota através das $N$ estações, começando na estação 1 e visitando cada estação uma vez. Inicialmente, esta rota é composta pelas estações $S_1, \ S_2, ..., \ S_N$, nesta ordem. $S_1 = 1$ e $S_2, ... , S_N$ é uma permutação dos inteiros $2,... , N$. Apenas um trem do metrô percorre essa rota por dia, saindo da estação 1 às 6h da manhã e levando 1 minuto para chegar a cada estação subsequente. Isso significa que, $m$ minutos após as 6h, o trem estará na estação $S_m + 1$ (ou na estação $S_N$ se $m \ \ge \ N - 1$).
Por um período de $D$ dias, no entanto, a rota da linha do metrô continuará mudando. No início do i-ésimo dia, a estação $X_i$-ésima e a estação $Y_i$-ésima $(2 \ \leq \ X_i, Y_i \ \leq \ N, X_i ≠ Y_i)$ na rota serão trocadas. Observe que, após cada mudança, a rota ainda começará na estação 1 e visitará todas as $N$ estações uma vez cada. As alterações serão transportadas para os dias subsequentes - a rota não será redefinida automaticamente para $S_1,... , S_N$.
Em cada um desses $D$ dias, você gostaria de determinar com que rapidez pode chegar à escola para começar a aprender coisas. No quinto dia, começando às 6h da manhã (após a enésima atualização da rota da linha do metrô), você começará sua viagem diária para a estação $N$. A cada minuto, você pode pegar o metrô até a próxima parada (se você está na mesma estação que o trem e ainda não completou seu percurso), faça uma caminhada da estação atual para outra ou espere na estação atual. Observe que sua viagem começa ao mesmo tempo que a rota do trem, o que significa que você pode escolher viajar imediatamente se desejar, e que você pode escolher sair e depois voltar no trem durante a viagem.
#### Entrada
A primeira linha contém três inteiros separados por espaço, $N$, $W$ e $D$.
Cada uma das próximas $W$ linhas contém dois inteiros separados por espaço, $A_i$ e $B_i \ (1 \ \leq \ i \ \leq \ W)$.
A próxima linha contém os $N$ inteiros separados por espaço, $S_1,... , \ S_N$, que formam a permutação inicial de estações.
Cada uma das próximas $D$ linhas contém dois inteiros separados por espaço, o $X_i$ e $Y_i \ (1 \ \leq \ i \ \leq \ D)$.
#### Saída
A saída são $D$ linhas, com um inteiro por linha. A i-ésima linha é o número mínimo de minutos necessários para chegar à estação $N$ no i-ésimo dia $(1 \ \leq \ i \ \leq \ D)$.
#### Restrições
* $3 \leq N \leq 200 000$
* $0 \leq W \leq 200 000$
* $1 \leq D \leq 200 000$ |
3,035 | 2055 | Excursão | Difícil | Grafos | Como um presente especial para sua turma do jardim de infância, você os levará em uma viagem de campo a um lugar mágico e maravilhoso.
Sua turma tem $N$ alunos, numerados de 1 a $N$ por conveniência. Existem $M$ amizades diretas e bidirecionais que existem entre os alunos. Cada aluno é amigo de, no máximo, dois outros alunos.
Além das $M$ amizades diretas, os estudantes também podem ser conhecidos. Dois estudantes $i$ e $j$ são conhecidos se forem amigos, ou se existir um terceiro estudante $k$ que seja conhecido de ambos os estudantes $i$ e $j$. Por exemplo, se (1, 2), (2, 3), (3, 4) e (4, 5) forem pares de estudantes com uma amizade direta, então a pessoa 1 e a pessoa 5 são conhecidos.
Você está se preparando para pedir ônibus para a viagem, mas há dois problemas. Em primeiro lugar, a empresa de transporte insiste que cada ônibus que você encomende deve ser preenchido exatamente até a sua capacidade de $K$ estudantes. Eles não permitirão que você encomende um ônibus se você pretende colocar menos de $K$ estudantes nele! Em segundo lugar, os estudantes são exigentes quanto às suas condições de viagem. Cada estudante $i$ se recusará a entrar em um ônibus, a menos que ambas as condições a seguir sejam cumpridas:
* Todos os outros estudantes que entrarem nesse ônibus são conhecidos do estudante $i$;
* Todos os conhecidos do estudante $i$ estão entrando naquele ônibus.
Infelizmente, parece que você talvez não consiga trazer sua classe inteira nesta viagem. No entanto, você fará o que for preciso para conseguir o maior número possível de estudantes nos ônibus. Acontece que "o que for preciso" pode envolver o fim de uma ou duas amizades, para o bem maior. Você pode optar por cortar 0 ou mais amizades das $M$ amizades entre os estudantes, o que, naturalmente, também terá um efeito em como os estudantes se familiarizam uns com os outros.
Determine o número máximo de estudantes que podem ser trazidos na viagem, de modo que eles sejam carregados em ônibus com exatamente $K$ estudantes cada um, e cada estudante fique satisfeito com sua alocação de ônibus. Além disso, já que você se sente generoso, determine o número mínimo de amizades que você pode cortar para poder trazer esse número de estudantes.
#### Entrada
A primeira linha contém três números inteiros separados por espaço: $N, \ M$ and $K \ (1 \leq N \leq 10^6; \ 0 \leq M \leq 10^6; \ 1 \leq K \leq N)$.
As próximas $M$ linhas contêm informações sobre as amizades. Ou seja, cada uma destas $M$ linhas contém dois inteiros separados por espaço $A_i$ e $B_i \ (1 \leq i \leq M)$ descrevendo que os estudantes $A_i$ e $B_i$ são amigos $(1 \ \leq \ A_i, B_i \leq N, A_i ≠ B_i)$. Note que nenhuma amizade é especificada duas vezes (ou seja, nenhum par de amigos sem ordem é igual a um ao outro).
#### Saída
A saída consiste em dois inteiros separados por espaço impressos em uma linha. O primeiro inteiro é o número máximo de estudantes que podem ser trazidos na viagem. O segundo inteiro é o número mínimo de amizades que devem ser cortadas para trazer esse número de estudantes.
##### Explicação do exemplo de entrada/saída 1:
Se as amizades entre os pares de estudantes (8,2) e (4,5) forem cortadas, então 3 ônibus podem ser preenchidos da seguinte forma:
* Ônibus 1: Alunos 1 e 4
* Ônibus 2: Estudantes 2 e 6
* Ônibus 3: Alunos 3 e 5 |
3,036 | 1341 | Dona Minhoca | Médio | Grafos |
Dona Minhoca fica furiosa quando ouve as pessoas dizerem que minhocas são bichos palíndromes, nos quais não é possível distinguir a cabeça do rabo. Que infâmia!
Dona Minhoca vive em uma linda caverna, composta de salões e túneis. Cada túnel liga dois salões distintos e pode ser usado nas duas direções. Um “ciclo” na caverna é uma sequência de salões $s_1,\ s_2, ... , s_n, \ s_n+1 = s_1$ , tais que $s_i \ne s_i \ + \ 1$ e $(s_i, \ s_i+1 )$ é um túnel, para $1 \ \leq \ i \ \leq \ n$. A caverna de Dona Minhoca pode conter ciclos, mas cada salão faz parte de no máximo um ciclo da caverna. Os túneis e salões são estreitos, de forma que se uma parte do corpo de Dona Minhoca ocupa um túnel ou salão, não há espaço para Dona Minhoca entrar novamente por esse túnel ou salão.
Alguns salões da caverna têm acesso a partir da superfície. Dona Minhoca tem um mapa que descreve a caverna, informando para cada túnel o seu comprimento e quais dois salões o túnel liga. Dona Minhoca também é vaidosa e conhece o seu próprio comprimento.
Dona Minhoca quer saber, para os salões que têm acesso à superfície, se é possível entrar na caverna pelo salão, percorrer a menor distância possível dentro da caverna, e sair novamente pelo mesmo salão que entrou, sempre andando para a frente, sem nunca dar marcha-a-ré. Você pode ajudá-la?
#### Entrada
A primeira linha contém dois inteiros $S \ (2 \ \leq \ S \ \leq \ 10^4 )$ e $T \ (1 \ \leq \ T \ \leq \ 2S)$ representando respectivamente o número de salões e o número de túneis da caverna. Os salões são identificados por inteiros de 1 a $S$. Cada uma das $T$ linhas seguintes descreve um túnel e contém três inteiros $A, \ B$ e $C \ (1 \ \leq \ A < B \ \leq \ S; \ 1 \ \leq \ C \ \leq \ 100)$, onde $A$ e $B$ representam os salões ligados pelo túnel, e $C$ representa o comprimento do túnel. Um salão é ligado por túneis a no máximo outros 100 salões e cada dois salões são ligados por no máximo um túnel. A próxima linha contém um inteiro $Q \ (1 \ \leq \ Q \ \leq \ 100)$, que indica o número de consultas. Cada uma das $Q$ linhas seguintes descreve uma consulta, e contém dois inteiros $X \ (1 \ \leq \ X \ \leq \ S)$ e $M \ (1 \ \leq \ M \ \leq \ 10^5 )$, que indicam respectivamente o salão pelo qual Dona Minhoca quer entrar e o comprimento de Dona Minhoca.
#### Saída
Para cada consulta da entrada seu programa deve produzir apenas uma linha, contendo apenas um número inteiro, o comprimento do percurso mínimo que Dona Minhoca deve percorrer dentro da caverna para entrar e sair pelo salão indicado na consulta, sem dar marcha-a-ré. Se não for possível para Dona Minhoca entrar e sair sem dar marcha-a-ré, a linha deve conter o valor -1.
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3,037 | 1590 | Robô | Muito Difícil | Grafos | Há $N$ travessias na cidade POI, numeradas de 1 a $N$. Há $M$ estradas, numeradas de 1 a $M$. Cada estrada liga duas travessias diferentes em ambas as direções. A estrada $i \ (1 \ \leq \ i \ \leq \ M)$ conecta o cruzamento $A_i$ e o cruzamento $B_i$. Não há duas estradas diferentes que conectam o mesmo par de travessias. Cada uma das estradas tem uma cor, que é descrita como um número inteiro entre 1 e $M$, inclusivo. Atualmente, a cor da estrada $i$ é $C_i$. Mais de uma estrada pode ter a mesma cor.
A CEOI Co., Ltd. desenvolveu um robô que se movimenta nas travessias da cidade POI. Sempre que você disser uma cor ao robô, ele encontrará a estrada com essa cor, e então o robô passará por ela e se moverá para a travessia adjacente. Entretanto, se houver mais de uma estrada com a cor indicada conectada à travessia atual do robô, ele não poderá decidir por qual estrada deve passar, e irá parar.
O robô está atualmente na travessia 1. Sua tarefa é mover o robô para a travessia $N$, dizendo-lhe as cores. No entanto, nem sempre é verdade que o robô pode ser movido para a travessia $N$. Você pode mudar as cores de algumas das estradas com antecedência para que o robô possa ser movido para a travessia $N$. Custa $P_i$ dinheiros mudar a cor da estrada $i \ (1 \ \leq \ i \ \leq \ M)$ para qualquer cor entre 1 e $M$, inclusivo.
Escreva um programa que, dadas as informações das travessias e das estradas, calcule o custo total mínimo. Entretanto, se for impossível mover o robô para a travessia $N$, mesmo que se mude a cor das estradas, imprima a saída -1 em seu lugar.
#### Entrada
Leia os seguintes dados a partir da entrada padrão. Os valores dados são todos inteiros e são dados da seguinte maneira.
$N$ $M$
$A_1 \ B_1 \ C_1 \ P_1$
.
.
.
$A_M \ B_M \ C_M \ P_M$
#### Saída
Escreva uma linha para a saída padrão. A saída deve conter o custo total mínimo. Entretanto, se for impossível mover o robô para a travessia $N$ mesmo que você mude as cores das estradas, imprima saída -1 em seu lugar.
#### Restrições
$2 \ \leq \ N \ \leq \ 100 000$.
$1 \ \leq \ M \ \leq \ 200 000$.
$1 \ \leq \ A_i < B_i \ \leq \ N$ $(1 \ \leq \ i \ \leq \ M)$.
$(A_i, B_i)$ ≠ $(A_j, B_j)$ $(1 \ \leq \ i < j \ \leq \ M)$.
$1 \ \leq \ C_i \ \leq \ M$ $(1 \ \leq \ i \ \leq \ M)$.
$1 \ \leq \ P_i \ \leq \ 1.000.000.000$ $(1 \ \leq \ i \ \leq \ M)$. |
3,038 | 414 | Kepler | Difícil | Grafos | Neste estranho sistema planetário, $N$ planetas seguem órbitas circulares ao redor de uma estrela que está nas coordenadas (0, 0) do sistema. A estrela está estritamente contida no interior de todos os círculos que definem as órbitas, mas o centro dessas órbitas não está necessariamente nas coordenadas (0, 0).
As órbitas circulares estão em posição geral: se duas órbitas se interceptam, então elas se interceptam em dois pontos distintos; além disso, três órbitas não se interceptam em um ponto comum.
O cientista João Kepler está interessado em testar uma nova teoria e, para isso, pediu sua ajuda para computar o número de pontos de interseção entre as órbitas, caso esse número seja menor que ou igual a $2N$. Caso contrário, precisamos apenas saber que o número é maior do que $2N$.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N$ ($2 \leq N \leq 150000$), representando o número de órbitas. Cada uma das $N$ linhas seguintes contém três números reais, com exatamente 3 dígitos decimais, $X$, $Y$ ($-25.0 \leq X, Y \leq 25.0$) e $R$ ($1.0 \leq R \leq 200000.0$), definindo as coordenadas do centro e o raio das órbitas.
#### Saída
Imprima uma linha contendo um inteiro, representando o número de pontos de interseção entre as órbitas, se esse número for menor ou igual a $2N$. Caso contrário, imprima “greater”. |
3,039 | 1758 | Nós da árvore | Difícil | Grafos | Dabriel acaba de ganhar uma bela árvore de aniversário, porém ele não tem lugar para guardá-la, portanto decidiu fazer um jogo com seus amigos e quem ganhasse poderia ficar com ela.
O jogo funcionará da seguinte forma. Cada um dos $N$ nós da árvore terá um valor inteiro associado (possivelmente negativo) e será identificado por um número entre $1$ e $N$. A raiz da árvore será identificada pelo número $1$. Dabriel irá informar um número $X$, e o desafio aos seus amigos será dizer qual a maior soma possível dos valores de um subconjunto de exatamente $X$ nós da árvore, mas há uma restrição: Ao escolher um nó $a$, nenhum outro nó da sub-árvore de $a$ poderá ser escolhido.
Como a árvore poderá ser muito grande, Dabriel solicitou sua ajuda para informar qual é a resposta do problema, para que ele consiga validar qual foi o amigo vencedor.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros $N$, $X$ $(1\leq N \leq 10000, 1 \leq X \leq 100)$, representando aquantidade de nós da árvore e a quantidade de nós do jogo, respectivamente.
A segunda linha tem $N$ inteiros $V_i$ $(-1000 \leq V_i \leq 1000)$, onde cada $V_i$ representa o valor do $i$-ésimo nó.
As $N-1$ linhas seguintes, contém dois inteiros $A$ e $B$ $(1 \leq A, B \leq N)$ representando uma ligação entre o nó $A$ e $B$.
#### Saída
Para cada caso de teste imprima o maior valor possível, caso não seja possível imprima "impossivel" (sem aspas e sem acento).
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3,040 | 1498 | A grande surpresa | Muito Difícil | Grafos | “Uma grande surpresa vem na próxima quinta-feira!”, Anunciou o jovem prefeito de TetrisCity nas redes sociais. TetrisCity é a cidade mais populosa e moderna de Neverland, construída em uma área plana com grupos infinitos de prédios tão próximos uns dos outros que parecem um jogo de Tetris. Os edifícios parecem caixas paralelas construídas no solo e são disjuntas (nem mesmo se tocam).
A grande surpresa anunciada pelo prefeito será um serviço de entrega especial com drones. Os drones usados neste serviço são uma geração de quadricópteros que podem se mover fisicamente apenas em uma das direções $x, \ y$ e $z$. Portanto, a distância percorrida por um drone é a soma das distâncias percorridas por ele em cada eixo. O jovem prefeito agora ordenou tornar os drones inteligentes, equipando-os com um software que calcula o caminho mais curto de qualquer ponto inicial para qualquer destino, evitando os prédios. Seu trabalho é desenvolver este software.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N \ (0 \leq N \leq 100)$, especificando o número de edifícios na TetrisCity. Cada uma das próximas $N$ linhas contém 5 inteiros separados por espaço $x, \ y, \ x′, \ y′$ e $h$ especificando uma construção: as coordenadas $(x, y)$ e $(x ′, y ′)$ especificam respectivamente o canto oeste-sul e o canto leste-norte do edifício, e $h$ determina sua altura. É garantido que o volume do edifício não é zero. A origem e o destino aparecem no final da entrada em duas linhas separadas; cada um contendo coordenadas $x, \ y$ e $z$. Todos os números na entrada são inteiros não negativos, sendo no máximo $100 000$. É garantido que a origem e o destino estão fora dos edifícios (podem estar na fronteira dos edifícios). O caminho mais curto pode tocar edifícios e presume-se que um drone se pareça com um ponto.
#### Saída
Na saída, imprima o comprimento do caminho mais curto da origem ao destino evitando os edifícios. |
3,041 | 1761 | Caverna de Gelo | Muito Difícil | Grafos | Um grupo de $K$ amigos está preso em uma caverna de gelo frágil. A caverna possui um conjunto de $L$ lugares, e um conjunto de $C$ caminhos unidirecionais entre os lugares. Como o gelo é frágil, apenas uma pessoa pode atravessar um caminho por vez, e após uma pessoa atravessar um caminho, o gelo quebra, impossibilitando de outra pessoa utilizar o mesmo caminho.
Bino conseguiu o mapa da caverna e as posições iniciais de cada pessoa. Bino está posicionado na saída, e ficará dando ordem para as pessoas se moverem entre os lugares. Ajude Bino a libertar todas as pessoas da caverna fazendo o grupo andar o mínimo possível (a soma das distâncias que cada pessoa andou deve ser mínima).
#### Entrada
A primeira linha da entrada consiste em um inteiro $N$, indicando a quantidade de casos de teste.
A primeira linha de cada caso de teste contém $3$ inteiros, $K$ ($1 \leq K \leq 100$), $L$ ($1 \leq L \leq 100$) e $C$ ($1 \leq C \leq 10000$), representando, respectivamente, a quantidade de pessoas, a quantidade de lugares e a quantidade de caminhos.
Seguirão $C$ linhas, cada uma contendo $3$ inteiros, $X$ ($1 \leq X \leq L$), $Y$ ($1 \leq Y \leq L$), $W$ ($0 \leq W \leq 1000000$), indicando que existe um caminho do lugar $X$ para o lugar $Y$ (unidirecional) de comprimento $W$.
Seguirão $K$ linhas, indicando os lugares iniciais de cada pessoa.
_A saída, onde Bino está, é o lugar identificado pelo número $L$._
#### Saída
Caso seja impossível Bino salvar as $K$ pessoas, imprima ``Eh uma cilada Bino.'', caso contrário, imprima a menor soma possível das distâncias que cada pessoa deve percorrer para sair. |
3,042 | 1179 | Ká entre Nós | Difícil | Grafos |
Empates são sempre um problema em eleições ou em jogos. Recentemente, um novo jogo, chamado *Ká entre Nós*, foi inventado. O jogo é disputado por jogadores conectados numa rede social. Cada jogador tem um conjunto de amigos. A cada rodada há várias votações, mas um competidor somente pode receber votos de seus amigos. Ganha o jogador que receber o maior número de votos.
O jogo ainda está na fase de projeto, mas os desenvolvedores se depararam com um problema muito comum. Dado que o número de amigos de cada jogador é em geral pequeno, empates são muito comuns, o que tira a graça do jogo. Para resolver esse problema, os desenvolvedores decidiram adicionar um novo módulo ao jogo. Esse módulo define os amigos de cada jogador, e sempre que possível dará a cada jogador um número ímpar de amigos.
O problema se mostrou mais complicado do que eles esperavam e agora estão tentando uma variação mais simples: dado um conjunto de jogadores, o módulo deverá obter uma *partição* dos jogadores em no máximo dois grupos, satisfazendo a restrição que cada jogador deve ter um número ímpar de amigos no seu grupo. Acontece que nem sempre isso é possível. Sua tarefa é decidir se é ou não possível obter a partição.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros, $P$ e $F$, respectivamente o número de jogadores e o número de amizades, onde $2 \leq P \leq 100$ e $1 \leq F \leq P \times (P - 1)/2$. Cada uma das próximas $F$ linhas contém dois inteiros, $A$ e $B$, indicando que $A$ e $B$ são amigos, onde $1 \leq A, B \leq P$ e $A \ne B$. Cada relação de amizade é dada no máximo uma vez, isto é, se uma linha contém os inteiros $A$ e $B$, nenhuma outra linha contém tais inteiros.
#### Saída
A saída contém uma única linha, contendo um único caractere. Se for possível fazer a partição em dois grupos, escreva a letra maiúscula ‘Y’; caso contrário, escreva a letra maiúscula ‘N’.
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3,043 | 1234 | Eleição Comprometida | Muito Difícil | Grafos | As eleições nlogónicas estão se aproximando e há muitos candidatos a presidente de uma das maiores nações da Terra.
O sistema de votação utilizado na Nlogónia é bastante fora do comum. Cada pessoa vota fazendo uma lista de todos os candidatos, por ordem de preferência do votante. Isto significa que o primeiro candidato da lista é aquele cujas propostas agradam mais ao eleitor, e o último candidato da lista é aquele cujas propostas agradam menos ao eleitor.
Suponha que existem exatamente cinco eleitores **1, 2, 3, 4** e **5** e exatamente cinco candidatos **A, B, C, D** e **E**, e os eleitores votaram como mostra a tabela seguinte:
| Votantes | Lista de preferidos |
|-------|----------------------|
| 1 |C D A B E |
| 2 | B C E D A |
| 3 | C E B A D |
| 4 | A C B D E |
| 5 | D A C E B |
Para determinar o vencedor, a Comissão Eleitoral começa por fazer um sorteio, chamado "Ordenção Eleitoral", que contém todos os candidatos numa determinada ordem. Depois, cada candidato é avaliado de acordo com a ordem na eleição, até que um deles seja eleito Presidente. Para que isto aconteça, o atual candidato avaliado deve ser o candidato preferido por mais da metade dos eleitores.
Para tornar o sistema eleitoral mais claro, continuando o exemplo acima, suponha que o resultado da Ordenação Eleitoral seja **C, D, A, E** e **B**. Para determinar o vencedor, a Comissão Eleitoral executaria os seguintes passos:
* O primeiro candidato avaliado é **C**. Como este candidato é o candidato preferido por apenas dois dos cinco eleitores (1 e 3), então **C** é eliminado.
* O próximo candidato avaliado é **D**, que é o candidato preferido no momento por apenas dois eleitores (1 e 5). Assim, o candidato **D** é também eliminado.
* O candidato **A** é avaliado a seguir. Uma vez que este candidato é o candidato preferido no momento por três dos cinco eleitores (1, 4 e 5), o candidato **A** é eleito como Presidente e a votação termina.
Um dos candidatos conseguiu corromper alguns membros da Comissão Eleitoral, e pode agora decidir qual será o resultado da Ordenação Eleitoral. Além disso, graças à análise de várias redes sociais, o candidato conhece a lista que cada eleitor irá votar. A única coisa de que o candidato precisa agora para ganhar as eleições é de descobrir um ordem eleitoral adequada. Como esta não é uma tarefa fácil, alguém do pessoal do candidato contratou-o anonimamente para encontrar uma ordem que faça o candidato ganhar. Apresse-se, porque o sorteio irá ocorrer dentro das próximas horas.
#### Entrada
A primeira linha contém dois números inteiros $C$ e $V$ $(1 \ \leq \ C, \ V \ \leq \ 100$, com $V$ ímpar), representando respectivamente o número de candidatos e o número de eleitores. Os candidatos são identificados por cadeias distintas não vazias de, no máximo, 10 letras maiúsculas. Cada uma das próximas linhas de $V$ descreve o voto de um eleitor, ou seja, a linha contém a lista de candidatos por ordem de preferência do eleitor. Todas as listas contêm os mesmos candidatos, embora os candidatos possam aparecer em ordem diferente. Após os votos, há uma última linha que contém uma linha de $W$, indicando o candidato que deve ganhar.
#### Saída
Produza uma única linha com o ordem eleitoral que faça o candidato $W$ ganhar a eleição, ou o personagem $*$ (asterisco) se não for possível ganhar $W$. Se existir mais do que uma possível Ordenação Eleitoral, produzir a mais pequena lexicograficamente. |
3,044 | 1313 | Grupos sanguíneos | Muito Difícil | Grafos | Existem quatro grupos sanguíneos possíveis para humanos: AB, A, B e O, o que significa que os glóbulos vermelhos têm antígenos dos tipos, respectivamente, A e B, apenas A, apenas B e nenhum antígeno. Nosso grupo sanguíneo é determinado por dois alelos em nosso DNA. Cada alelo é do tipo A, B ou O. A tabela a seguir lista as possíveis combinações de alelos que alguém pode ter para cada grupo sanguíneo:
| Blood group | AB | A | B | O |
|------------------|----|-------|-------|----|
| Possible alleles | AB | OA,AA | OB,BB | OO |
Herdamos exatamente um alelo de cada um de nossos pais. Então, dados os grupos sanguíneos dos dois pais, podemos dizer com certeza se algum tipo de sangue é possível, ou não, em seus descendentes. Por exemplo, se os grupos sanguíneos dos dois pais são AB e B, então as combinações possíveis de alelos para eles são, respectivamente, {AB} e {OB, BB}. Como a ordem dos alelos não importa, as combinações possíveis de alelos para a prole são {OA, AB, OB, BB}. Isso significa que os grupos sanguíneos AB, A e B são possíveis em sua prole, mas o grupo sanguíneo O não é. Muito bom mesmo! Mas e se a vida na Terra tivesse evoluído de forma que uma pessoa tivesse três pais, três alelos e três tipos de antígenos diferentes? As combinações de alelos seriam assim:
| Grupos sanguíneos | ABC | AB | AC | BC | A | B | C | O | |
|------------------|-----|-------------|--------------|-------------|-------------|-------------|-------------|-----|---|
| Possíveis Alelos | ABC | OAB,AAB,ABB | OAC,AAC,ACC | OBC,BBC,BCC | OOA,OAA,AAA | OOB,OBB,BBB | OOC,OCC,CCC | OOO | |
Se os grupos sanguíneos de três pais são A, BC e O, então todos os grupos sanguíneos são possíveis em sua prole, exceto os grupos BC e ABC.
O universo é vasto! Pode haver, lá fora, no espaço, alguma forma de vida cujos indivíduos tenham $N$ pais, $N$ alelos e $N$ diferentes tipos de antígenos. Dados os grupos sanguíneos dos pais $N$ e uma lista de grupos sanguíneos $Q$ a serem testados, seu programa deve determinar quais são possíveis e quais não são na prole dos pais fornecidos.
#### Entrada
A primeira linha contém dois inteiros $N$ e $Q$, representando respectivamente o número de pais (e alelos e tipos de antígenos) e o número de consultas $(1 \ \leq \ N \ \leq \ 100$ e $1 \ \leq \ Q \ \leq \ 40)$. Cada uma das próximas $N$ linhas descreve o grupo sanguíneo de um pai. Depois disso, cada uma das próximas linhas $Q$ descreve um grupo sanguíneo a ser testado. Os tipos de antígenos são identificados com números inteiros distintos de 1 a $N$, não letras. Cada linha que descreve um grupo sanguíneo contém um inteiro $B$ indicando o número de tipos de antígeno no grupo sanguíneo $(0 \ \leq \ B \ \leq \ N)$, seguido por $B$ inteiros diferentes $C_1, C_2,... , C_B$ representando os tipos de antígenos presentes no grupo sanguíneo $(1 \ \leq \ C_i \ \leq \ N$ para $i = 1, 2,..., B)$.
#### Saída
Para cada uma das perguntas $Q$, imprima uma linha com a letra maiúscula “Y” se o grupo sanguíneo correspondente for possível na descendência dos pais fornecidos; caso contrário, imprima a letra maiúscula “N”. Escreva os resultados na mesma ordem em que as consultas aparecem na entrada. |
3,045 | 1575 | Hesitante Lobo | Muito Difícil | Grafos | Senoof adora linguagens de programação, e a única coisa que ele adora mais do que usá-las é criar novas linguagens. Sua mais recente invenção é a Wolf Programming Language, uma linguagem muito simples que consiste em apenas dois tipos de instruções. Elas são numeradas consecutivamente e escritas uma sob a outra para fazer um programa. A execução começa com a instrução $1$ e continua até que o programa fique preso.
Os dois tipos de instruções são:
* "$K L_1 L_2 · · · L_K$" é um salto finito. Cada valor $L_i$ é um número de instrução no programa, enquanto $K$ indica quantos deles são especificados. Quando um salto finito é executado, um dos valores $L_i$ é escolhido, e a execução continua com a instrução $L_i$. Mas isso não é tudo! O programa muda a instrução de salto finito de modo a consumir o valor escolhido. Se um programa executa um salto finito sem valores disponíveis, ele fica preso e para.
* "$* L $" é um salto infinito. Quando é executado, o programa continua com a instrução $L$, deixando a instrução de salto infinito não modificada.
Eu sei, Senoof é maluco, mas não é tão difícil assim. A figura abaixo mostra um exemplo, onde a instrução atual é indicada com um sinal de ► (setinha), e um valor consumido é indicado com um sinal de ⊔ (quadrado). O programa em (a) começa a execução na instrução $1$, que é um salto finito. Suponha que o segundo valor seja escolhido, ou seja, a execução continua com a instrução $2$ e este valor é consumido na instrução $1$, o que rende a situação mostrada em (b). Como a instrução $2$ é um salto infinito para a instrução $3$, a execução continua com esta instrução, sem consumir nenhum valor da instrução $2$. Agora imagine que da instrução $3$ a execução pula para a instrução $4$, depois para a instrução $1$, e depois novamente para a instrução $1$, consumindo os valores correspondentes. A situação neste ponto é mostrada em (c). Como você pode ver, o programa fica preso e para, porque não há valores disponíveis para pular.
Depois de algumas brincadeiras, Senoof notou que programas escritos em Wolf podem ser executados para sempre, o que não implica que uma determinada instrução possa ser executada infinitamente muitas vezes. Ele gentilmente nos enviou o seguinte exemplo de um programa que pode ser executado para sempre, embora a instrução $1$ possa ser executada no máximo duas vezes.
Dado um programa escrito em Wolf, você deve determinar o número máximo de vezes que a instrução $1$ pode ser executada.
#### Entrada
A primeira linha contém um número inteiro de $N (1 ≤ N ≤ 100)$, o número de instruções que o programa tem. Cada uma das próximas linhas de $N$ descreve uma instrução. Um salto finito é representado com um inteiro não-negativo $K$ seguido por K inteiros $L_1, L_2, . L_K (1 ≤ L_i ≤ N$ por $i = 1, 2, . . . . , K)$. Por outro lado, um salto infinito é descrito com o caractere "*" (asterisco) seguido por um número inteiro $L (1 ≤ L ≤ N)$. É garantido que a quantidade total de instruções mencionadas nos saltos finitos é de, no máximo, $10^4$.
#### Saída
Produza uma única linha com um número inteiro indicando o número máximo de vezes que a instrução $1$ pode ser executada, ou o caractere "*" (asterisco) se a instrução $1$ pode ser executada infinitamente muitas vezes. |
3,046 | 2348 | Lagarta Viajante | Difícil | Grafos | Lilith é uma lagarta faminta! Do seu ponto de vista na raiz de uma árvore, ela identificou algumas folhas que deseja devorar antes de retornar à raiz. Ela quer terminar de comer todas elas o mais rápido possível para que ela se transforme em uma borboleta rechonchuda e suave.
A árvore que Lilith ocupa é um pouco incomum. Podemos vê-la como uma coleção de nós, onde alguns nós contêm folhas que Lilith deseja devorar. Cada galho conecta exatamente dois nós juntos. É garantido que entre cada par de nós, há precisamente um caminho para viajar de um para o outro.
Dada uma descrição da árvore e quais nós têm folhas que Lilith deseja devorar, você pode ajudar Lilith a rotear sua alimentação, minimizando o tempo que ela deve viajar?
Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros $N$ ($1 \leq N \leq 1000$), que é o número de nós da árvore, e $K$ ($1 \leq K \leq N$), que é o número de folhas a serem devoradas.
As próximas $N-1$ linhas de entrada descrevem os galhos (arestas) da árvore. A $i$-ésima linha contém três inteiros $s_ i$, $t_ i$ ($0 \le s_ i, t_ i < N, s_ i \neq t_ i$) e $d_ i$ ($0 \le d_ i \le 10^6$). Isso indica que há um galho entre o nó $s_ i$ e o nó $t_ i$, que leva $d_ i$ unidades de tempo para atravessar. Além disso, se virmos a árvore como tendo a raiz no nó $0$, temos que $s_ i$ é o pai de $t_ i$ (ou seja, $s_ i$ está no caminho único de $0$ para $t_ i$). Lilith sempre começa no nó raiz $0$.
A última linha de entrada contém $K$ inteiros distintos $a_1, \ldots , a_ K$ ($0 \leq a_ i < N$), indicando os nós que contêm as folhas que Lilith deseja devorar.
Saída
Exiba o comprimento do caminho mais curto ao longo dos galhos da árvore, começando e terminando na raiz, que permite que Lilith coma todas as folhas. |
3,047 | 2332 | Pintando | Difícil | Grafos | JOI está brincando com um software de desenho.
No software de desenho, é possível desenhar em uma grade retangular com $H$ linhas e $W$ colunas. Cada célula da grade possui uma cor determinada, representada por um número inteiro entre 1 e $10^9$.
A célula localizada na linha $i \ (1 ≤ i ≤ H)$ e coluna $j \ (1 ≤ j ≤ W)$ é chamada de célula $(i, j)$. Atualmente, a cor da célula $(i, j)$ é representada por $A_{i,j}$.
Uma região de uma célula $(i, j)$ é definida como um conjunto de células em que é possível se mover repetidamente de uma célula para outra através de lados adjacentes, sem entrar em uma célula com cor diferente da célula $(i, j)$.
O software de desenho possui uma função chamada de preenchimento. Essa função permite especificar uma célula $(x, y) (1 ≤ x ≤ H, \ 1 ≤ y ≤ W)$ e uma cor $c \ (1 ≤ c ≤ 10^9)$. Quando essa função é executada, todas as células contidas na região da célula $(x, y)$ têm sua cor alterada para $c$.
JOI precisa escolher uma célula $(x, y)$ e uma cor $c$, e usar a função de preenchimento exatamente uma vez. A pontuação de JOI é o número de células contidas na região da célula $(x, y)$ após a aplicação do preenchimento.
Crie um programa que determine a pontuação máxima alcançável por JOI.
#### Entrada
A entrada é fornecida no seguinte formato:
$H \ W$
$A_{1,1} \ A_{1,2} \ ... \ A_{1,W}$
$A_{2,1} \ A_{2,2} \ ... \ A_{2,W}$
:
$A_{H,1} \ A_{H,2} \ ... \ A_{H,W}$
#### Saída
Imprima em uma única linha a pontuação máxima alcançável por JOI.
#### Sub-tarefa
(9 pontos) $H = 1$.
(32 pontos) $H ≤ 30, \ W ≤ 30, \ A_{i,j} ≤ 5 \ (1 ≤ i ≤ H, \ 1 ≤ j ≤ W)$.
(18 pontos) $H ≤ 30, \ W ≤ 30$.
(10 pontos) $A_{i,j} ≤ 2 \ (1 ≤ i ≤ H, \ 1 ≤ j ≤ W)$.
(31 pontos) Sem restrições adicionais.
#### Restrições
$1 ≤ H ≤ 500$.
$1≤ W ≤ 500.$
$1 ≤ A_{i,j} ≤ 10^9 (1 ≤ i ≤ H, \ 1 ≤ j ≤ W)$.
Todos os valores de entrada são inteiros.
##### Explicação do exemplo de entrada/saída 1:
No início, a região da célula (2, 2) contém as células (1, 2), (2, 1), (2, 2) e (3, 2), um total de 4 células. Portanto, se JOI selecionar a célula (2, 2) e a cor 3 para a função de preenchimento, as 4 células mencionadas serão alteradas para a cor 3.
Após a aplicação do preenchimento, a região da célula (2, 2) conterá as células (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 1) e (4, 2), um total de 9 células. Portanto, a pontuação de JOI será 9.
Não é possível obter uma pontuação maior que 9, portanto, a saída será 9.
Este exemplo satisfaz as restrições dos subproblemas 2, 3 e 5. |
3,048 | 1911 | Árvore Genealógica Preta | Difícil | Grafos | Um Time-Turner é um dispositivo mágico usado para viajar no tempo, passar algum tempo lá, e depois voltar ao tempo atual.
Rose Granger encontrou um Time-Turner nas bibliotecas de Hogwarts e se encarregou de voltar no tempo e tirar alguns membros da família Black, a fim de salvar a vida dos muggles (humanos sem qualquer habilidade mágica).
A família Black tem $n$ membros, numerados de 1 a $n$ por ordem de nascimento. O membro 1 é o primeiro membro da família Black com uma história registrada. Para cada $i \ (2 \ \leq \ i \ \leq \ n)$, membro $i$ é um descendente direto do membro $p_i \ (1 \ \leq \ p_i < i)$, ou seja, membro $p_i$ e todos os seus antepassados são um antepassado do membro $i$. Também está escrito nos livros que o i-ésimo membro da família Black é responsável pela morte de $c_i$ muggles.
Agora Rose tem $q$ opções. A j-ésima opção é usar o Time-Turner para voltar no tempo e retirar todos os membros $a_j$ a $b_j \ (a_j \ \leq \ b_j)$ e depois voltar ao tempo atual. Como consequência desta ação, qualquer membro da família Black que tenha um ancestral entre os membros de $a_j$ a $b_j$ nunca nascerá. Para qualquer membro $i$ que esteja entre os membros $a_j$ a $b_j$ (isto é, $a_j \ \leq \ i \ \leq \ b_j)$), ou que tenha um antepassado entre os membros $a_j$ a $b_j$, Rose salvará $c_i$ vidas.
Para cada opção, ajude Rose a descobrir quantas vidas ela salvará se ela tomar essa opção.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois números inteiros $n$ e $q \ (2 \ \leq \ n \ \leq \ 10^5, 1 \ \leq \ q \ \leq \ 10^5)$. A segunda linha contém $n$ inteiros separados por espaço $c_1$ a $c_n \ (0 \ \leq \ c_i \ \leq \ 10^4)$. A terceira linha contém $n$ inteiros separados por espaço $p_2$ a $p_n \ (1 \ \leq \ p_i < i)$. Cada uma das próximas $q$ linhas contém uma opção; a j-ésima linha contém dois inteiros $a_j$ e $b_j \ (1 \ \leq \ a_j \ \leq \ b_j \ \leq \ n)$.
#### Saída
Para cada $j \ (1 \ \leq \ j \ \leq \ q)$, imprima o número de vidas que Rose salvará se ela tomar a j-ésima opção. |
3,049 | 1935 | Colisão de Galáxias | Difícil | Grafos | Espera-se que a galáxia Andrômeda colida com nossa Via Láctea em cerca de 3,8 bilhões de anos. A colisão será provavelmente uma fusão das duas galáxias, sem que duas estrelas realmente colidam. Isto porque a distância entre as estrelas em ambas as galáxias é tão grande. O professor Andrew está construindo um modelo computacional para prever os possíveis resultados da colisão e precisa de sua ajuda! Um conjunto de pontos no plano bidimensional é dado, representando estrelas em uma determinada região das galáxias já fundidas. Ele não sabe quais estrelas vieram originalmente de qual galáxia; mas ele sabe que, para esta região, se duas estrelas vieram da mesma galáxia, então a distância entre elas é maior do que 5 anos-luz. Como cada estrela desta região vem de Andrómeda ou da Via Láctea, o professor também sabe que o conjunto de pontos dado pode ser separado em dois subconjuntos, um compreendendo estrelas de Andrômeda e outro estrelas da Via Láctea, ambos subconjuntos com a propriedade de que a distância mínima entre dois pontos no subconjunto é maior que 5 anos-luz. Ele chama isto de uma _boa_ separação, mas a má notícia é que pode haver muitas boas separações diferentes. Entretanto, entre todas as boas separações possíveis há um número mínimo de estrelas que um subconjunto deve conter, e este é o número que seu programa tem que computar.
Por exemplo, a figura ilustra um determinado conjunto de seis pontos. O professor Andrew não consegue dizer quais estrelas vieram de Andrômeda, mas observe que existem quatro possíveis separações boas: {1, 2, 4, 5}, {3, 6}; {1, 2, 3, 4}, {5, 6}; {1, 4, 5}, {2, 3, 6}; {1, 3, 4}, {2, 5, 6}. Portanto, pelo menos duas estrelas devem ter vindo de Andrômeda, já que este é o número mínimo de pontos que um subconjunto pode ter em uma boa separação.
#### Entrada
A primeira linha contém um número inteiro de $N (1\leq N \leq 5 \leq 10^4)$ representando o número de pontos no conjunto. Cada uma das próximas linhas de $N$ descreve um ponto diferente com dois inteiros $X$ e $Y (1 \leq X, Y \leq 5 \times 10^5)$, indicando suas coordenadas, em anos-luz. Não há pontos coincidentes, e o conjunto admite pelo menos uma boa separação.
#### Saída
Produzir uma linha com um número inteiro representando o número mínimo de pontos que um subconjunto pode ter em uma boa separação.
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3,050 | 1946 | Bons Influencers | Muito Difícil | Grafos | Há $N (N ≥ 2)$ estudantes em uma aula de ciências da computação, com IDs de estudante distintas que variam de $1$ a $N$. Há $N - 1$ amizades entre os estudantes, com a $i$-ésima entre os estudantes sendo $A_i$ e $B_i (A_i = B_i, 1\leq A_i \leq N$ e $1\leq B_i \leq N)$. Cada par de alunos da classe são ou amigos ou socialmente ligados. Um par de alunos $a$ e $b$ são socialmente conectados se houver um conjunto de alunos $m_1, m_2, . . ., m_k$ tal que
* $a$ e $m_1$ são amigos,
* $m_i$ e $m_{i+1}$ são amigos $($ por $1 ≤ i ≤ k - 1)$, e
* $m_k$ e $b$ são amigos.
Inicialmente, cada estudante $i$ ou pretende escrever para o CCC (se $P_i$ for `Y`) ou não pretende escrever para o CCC (se $P_i$ for `N`). Inicialmente, pelo menos um estudante pretende escrever para o CCC, e pelo menos um estudante não pretende escrever para o CCC.
O CCC alocou alguns fundos para pagar a alguns estudantes para serem influenciadores do CCC. O CCC escolherá repetidamente um estudante $i$ que pretende escrever para o CCC, pagará a eles $C_i$ dólares, e lhes pedirá para ministrar um seminário a todos os seus amigos, e então todos os seus amigos terão a intenção de escrever para o CCC.
Ajude o CCC a determinar o custo mínimo necessário para que todos os estudantes pretendam escrever para o CCC.
#### Entrada
A primeira linha contém o número inteiro $N$.
As próximas $N - 1$ linhas cada uma contém dois inteiros separados por um espaço, $A_i$ e $B_i (1 ≤ i ≤ N − 1)$. A próxima linha contém os caracteres $P_1. . . P_N$, cada um dos quais é `Y` ou `N`.
A próxima linha contém $N$ inteiros separados por espaço, $C_1 . . C_N$.
Para 33% da pontuação para esta pergunta, $2 ≤ N ≤ 2$ $000$, $1 ≤ C_i ≤ 1$ $000$ e $A_i = i$ e $B_i = i + 1$ para cada $i$.
Para 46% da pontuação para esta pergunta, $2 ≤ N ≤ 2$ $000$ e $1 ≤ C_i ≤ 1$ $000$.
Para a pontuação restante, $2 ≤ N ≤ 200$ $000$ e $1 ≤ C_i ≤ 1$ $000$.
#### Saída
Imprima o número inteiro mínimo de dólares necessários para que todos os estudantes tenham a intenção de escrever o CCC.
#### Explicação da Saída para o Caso de Teste 1
O CCC deve pagar $6 ao 3 estudante para apresentar um seminário a seus amigos (estudantes 2 e 4), após o qual todos os 4 estudantes terão a intenção de escrever o CCC.
#### Explicação da Saída para o Caso de Teste 2
Uma estratégia ideal é que o CCC peça aos alunos 5, 1, 6, 11, 7 e 2 para realizarem seminários, nessa ordem, pagando-lhes $1 cada um.
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3,051 | 2412 | Berilij | Muito Difícil | Grafos | 
O pequeno carneiro Be (abreviação de Berilij) foi sequestrado pelos alienígenas, e eles têm um pedido bastante incomum para ela. Eles querem contratá-la.
Precisamente no sábado, dia $5$ de novembro, os alienígenas planejam visitar a Terra com $n$ naves espaciais e recompensar os melhores competidores da COCI (e talvez contratá-los também). Suas naves espaciais são círculos perfeitos.
Por motivos de segurança, eles escolheram $m$ pares de naves espaciais que devem tocar-se externamente quando pousarem. Eles já determinaram as coordenadas de pouso do ponto central de cada uma das naves, e a tarefa da Be é determinar o raio de cada uma das naves, de modo que as condições sejam satisfeitas.
_Na imagem, os pares de naves à esquerda e à direita não satisfazem a condição de tocar-se externamente. O par de naves no meio cumpre a condição de tocar-se externamente._
As naves espaciais são muito caras, e seu custo é igual à sua área, então os alienígenas estão pedindo para a Be determinar os raios com o custo mínimo das naves.
Sua tecnologia avançada permite que as naves espaciais se sobreponham e, ainda mais interessante, eles sabem como fazer uma nave espacial com raio igual a $0$.
Se não houver um conjunto de raios que satisfaça as condições, os alienígenas esperam que a Be os informe sobre isso. Se a Be não conseguir determinar os raios, eles a contratarão para o almoço.
#### Entrada
A primeira linha contém dois inteiros $n$ e $m \ (1 \leq n, \ m \leq 10^5)$, o número de naves espaciais e o número de condições.
As próximas $n$ linhas contêm números reais $x_i$ e $y_i$ $(−10.000 \leq x_i , \ y_i \leq 10.000)$, as coordenadas do ponto central da i-ésima nave. Cada um dos números será dado com $10$ casas decimais.
As próximas $m$ linhas contêm dois inteiros $a_i$ e $b_i \ (1 \leq a_i , \ b_i \leq n, \ a_i \neq \ b_i )$, representando a condição de que a $a_i$-ésima e a $b_i$-ésima nave devem tocar-se externamente após o pouso. Para cada par não ordenado ($a_i, \ b_i$), haverá no máximo uma condição desse tipo.
#### Saída
Se não houver solução, na primeira e única linha, imprima "NE" (Não Existe). Caso contrário, na primeira linha, imprima "DA" (Existe), e na i-ésima das próximas $n$ linhas, imprima o raio da $i$-ésima nave.
Sua resposta será considerada correta se, para cada raio das $n$ naves espaciais, o erro absoluto ou relativo não exceder $10^{-4}$. Em outras palavras, se sua resposta para a i-ésima nave for $r_{si}$ e a resposta correta for $r_{ci}$, sua resposta será considerada correta se $|r_{si} - r_{ci}| \leq 10^{-4}$ ou $\left|\frac{r_{si} - r_{ci}}{r_{ci}}\right| \leq 10^{-4}$.
##### Explicação do exemplo de entrada/saída 1:
Esta é a única solução que satisfaz todas as condições de toque. Observe que a solução $(0.585700, \ 1.414357, \ 1.414357)$ também é considerada correta, mesmo que as naves $2$ e $3$ não estejam se tocando, pois o erro absoluto não excede $10^{-4}$.
##### Explicação do exemplo de entrada/saída 3:
Não existe uma disposição dos raios que satisfaça todas as condições. |
3,052 | 1330 | Guardiões Curiosos | Médio | Grafos |
Oa é um dos mundos mais antigos do universo DC, é lá que habitam os guardiões do universo. Eles administram a tropa dos lanternas verdes, uma das maiores forças do universo! Todos sabem que os lanternas verdes sabem voar devido ao poder do anel, porém nem todos os habitantes de Oa fazem parte da tropa. Para esses habitantes está difícil se locomover entre as cidades, pois não há estradas!
Os guardiões desejam conectar as cidades de Oa construindo algumas estradas. Existem $N$ cidades em Oa, e eles desejam construir $N$-1 estradas de duas mãos, de tal forma que seja possível chegar de uma cidade até qualquer outra, direta ou indiretamente. Os guardiões também não desejam privilegiar demais nenhuma cidade, por isso eles estabeleceram que nenhuma cidade pode ter mais de $K$ estradas. Por exemplo, se temos três cidades e $K$ vale 2, temos as três opções:
Os guardiões, porém, são muito curiosos, e perguntaram aos lanternas verdes se eles eram capazes de dizer de quantas formas é possível construir $N$-1 estradas obedecendo estas restrições. Sua tarefa, como membro da tropa dos lanternas verdes é, dados $N$ e $K$, satisfazer a curiosidade dos guardiões.
#### Input
A entrada consiste de uma única linha que contém dois números inteiros $N \ (1 \ \leq \ N \ \leq \ 10^2)$ e $K \ (1 \ \leq \ K \ \leq \ N)$.
#### Output
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um único número inteiro, a resposta do problema. Como essa resposta pode ser muito grande, imprima-a módulo $10^9$ + 7.
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3,053 | 280 | É primo? | Fácil | Matematica | Escreva um programa que testa se um número é primo.
#### Entrada
A única linha dos casos de teste contém um número $N$.
#### Saída
Imprima 1 linha, caso o número seja primo escreva 'S', caso contrário escreva 'N'.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^{12}$
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3,054 | 335 | Distância de Manhattan | Fácil | Matematica | Maria é uma moradora de Nlogópolis, uma cidade na Nlogônia que tem uma característica muito interessante: todas as ruas da cidade ou são orientadas no sentido norte-sul ou são orientadas no sentido leste-oeste. Isso significa que, dadas duas ruas, ou elas são paralelas ou elas são perpendiculares entre si.
Todas as ruas da cidade são de mão dupla e é possível seguir em qualquer direção em um cruzamento.
Agora Maria está atrasada para uma reunião e precisa de sua ajuda. Dadas as coordenadas iniciais de Maria e da reunião, determine o número mínimo de cruzamentos que Maria deve atravessar para chegar ao seu destino. Esse número inclui o cruzamento onde ocorrerá a reunião mas não inclui a posição inicial de Maria.
#### Entrada
A única linha da entrada contém quatro inteiros, $X_m$, $Y_m$, $X_r$, $Y_r$, indicando as coordenadas de Maria $(X_m, Y_m)$ e da reunião $(X_r, Y_r)$. O ponto de partida de Maria nunca será igual ao local da reunião, ou seja, pelo menos uma das coordenadas será diferente.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma única linha contendo um único inteiro: o número mínimo de cruzamentos que Maria precisa atravessar para chegar até o local da reunião.
#### Restrições
* $0 \leq X_m, Y_m \leq 1000$
* $0 \leq X_r, Y_r \leq 1000$
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3,055 | 3 | Gincana (OBI 2016) | Médio | Matematica | As duas turmas do terceiro ano de sua escola realizam anualmente uma gincana. Nessa gincana, a delegação de cada turma é dividida em grupos de $K$ pessoas, de forma que $K$ seja o maior número possível que divida as duas delegações sem que sobre alguém. Depois, os grupos competem uns com os outros, ganhando pontos para determinar a turma vencedora. Sua turma pode levar qualquer número $X$ de pessoas entre 1 e $M$, a quantidade de alunos na turma, e você sabe que a turma rival levará exatamente $N$ pessoas para a gincana. Os integrantes da sua turma são muito bons em competições individuais, mas não trabalham bem em equipe. Portanto, é sua tarefa encontrar a maior delegação possível que sua turma pode levar à competição para que a gincana aconteça com grupos de $K$ = 1 pessoa.
Por exemplo, se $N = 9$ e $M = 6$ a sua turma deve levar uma delegação de $X = 5$ pessoas, já que, para esse valor, a única divisão possível é em grupos de $K = 1$ pessoa e, para $X = 6$, os grupos seriam de 3 pessoas.
#### Entrada
A primeira e única linha contém dois inteiros $N$ e $M$, representando respectivamente o tamanho da delegação rival e o tamanho da sua turma.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um inteiro $X$, o maior tamanho possível da delegação da sua turma para o qual a gincana aconteça com grupos de uma pessoa.
#### Restrições
* $1 \leq N$, $M \leq 10^{18}$
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3,056 | 274 | MDC Sequenciado | Médio | Matematica | Um amigo seu aprendeu sobre algoritmo de Euclides na escola e te desafiou a fazer um programa que dados $N$ números
retorna o mdc desses $N$.
#### Entrada
Os casos de teste tem duas linhas, a primeira linha dos casos de teste contém um número $N$, a segunda contém $N$ números $a_i$.
#### Saída
Imprima o mdc de todos os $a_i$.
#### Restrições
* $2 \leq N \leq 10^{5}$
* $1 \leq a_i \leq 10^{6}$
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3,057 | 310 | Detectando Colisões | Fácil | Matematica | Detecção de colisão é uma das operações mais comuns (e importantes) em jogos eletrônicos. O objetivo, basicamente, é verificar se dois objetos quaisquer colidiram, ou seja, se a interseção entre eles é diferente de vazio. Isso pode ser usado para saber se duas naves colidiram, se um monstro bateu numa parede, se um personagem pegou um item, etc.
Para facilitar as coisas, muitas vezes os objetos são aproximados por figuras geométricas simples (esferas, paralelepípedos, triângulos etc). Neste problema, os objetos são aproximados por retângulos num plano 2D.
Escreva um programa que, dados dois retângulos, determine se eles se interceptam ou não.
#### Entrada
A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado). Cada caso de teste contém duas linhas. Cada linha contém quatro inteiros ($x_0, y_0, x_1, y_1$), separados por um espaço em branco representando um retângulo. Os lados do retângulo são sempre paralelos aos eixos x e y.
<b>Os casos de teste utilizados nesse problema são os casos de teste oficiais da OBI, alguns casos podem apresentar espaços (" ") no final das linhas da entrada. Essa informação pode ser importante para quem está resolvendo esse problema em Python.</b>
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, uma única linha para cada caso de teste, contendo o número 0 (zero) caso não haja interseção ou o número 1 (um) caso haja.
#### Restrições
* $0 \leq x_0 < x_1 \leq 10^{6}$
* $0 \leq y_0 < y_1 \leq 10^{6}$
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3,058 | 269 | Primos Menores Que Uma Dada Magnitude | Médio | Matematica | Bernhard Riemann gosta de estudar números primos, sua última ideia foi pesquisar sobre a quantidade de primos menores que um dado número. Ele é um matemático brilhante e provavelmente vai conseguir algum resultado profundo, porém primeiro ele precisa dos dados relevantes, e por isso pediu a sua ajuda.
#### Entrada
A única linha dos casos de teste contém um número $N$.
#### Saída
Imprima em uma única linha todos os números entre 1 e $N$ que são primos.
#### Restrições
* $0 \leq N \leq 10^{5}$ |
3,059 | 316 | Insensibilidade | Fácil | Matematica | O planeta Bizz fica a 133 upals de distância do planeta Terra (onde "upals" é uma unidade de medida dada por "um monte de anos-luz"), e parece ser o único planeta com vida além do nosso. Este planeta é muito interessante, pois, em cada país, seus habitantes têm uma característica diferente.
Um desses países é a Cegônia, que tem como característica o fato de que todos os seus habitantes são cegos. Em compensação, todos possuem um "sexto sentido" acentuado, podendo perceber o que está à sua volta mesmo sem enxergar.
Este ano, o governo da Cegônia fará um censo, e dentre os dados de seus habitantes, quer saber o quanto de insensibilidade cada pessoa possui. A insensibilidade indica quão ruim é a capacidade das pessoas de perceber os objetos à sua volta sem precisar enxergar.
Tal teste é feito da seguinte maneira: a pessoa é colocada em uma sala onde encontram-se vários objetos em posições pré-determinadas. A pessoa deve, então, dizer quais são as coordenadas de cada objeto dentro da sala.
Para cada objeto, calcula-se o quadrado da distância entre a posição adivinhada pela pessoa e a posição real do objeto; esse valor é chamado de $D$. O nível de insensibilidade da pessoa é dado pela soma de todos os $D$.
Por exemplo, suponha que na sala existam 4 objetos, nas coordenadas (1, 1), (3, 4), (5, 7) e (10, 10). Se a pessoa então disser que os objetos estão, respectivamente, nas posições (1, 2), (5, 4), (5, 7) e (19, 10), o valor de $D$ para cada objeto será 1, 4, 0 e 81 e portanto o nível de insensibilidade da pessoa é 1 + 4 + 0 + 81 = 86.
Você precisa fazer um programa que, dadas as coordenadas verdadeiras dos objetos e as coordenadas indicadas por uma pessoa, diga qual é o nível de insensibilidade dessa pessoa.
#### Entrada
A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado).
A primeira linha da entrada contém um único inteiro $N$, indicando quantos objetos estão no quarto. As $N$ linhas seguintes contêm cada uma quatro inteiros $X_1$, $Y_1$, $X_2$, $Y_2$. Cada linha representa um objeto: a posição real do objeto é $(X_1, Y_1)$, e a posição onde a pessoa disse estar tal objeto é $(X_2, Y_2)$.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, uma única linha, contendo um único inteiro, indicando o nível de insensibilidade da pessoa estudada.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 1000$
* $0 \leq X_i \leq 1000$
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3,060 | 311 | Contar bits | Fácil | Matematica | Dado um número $N$, diga o número de bits iguais a 1 nesse número.
#### Entrada
A entrada consiste em um inteiro positivo $N$, a escrito na base 10.
#### Saída
Imprima o número de bits iguais a 1 no número.
#### Restrições
* $0 \leq N \leq 10^{18}$ |
3,061 | 295 | Primos Menores Que Uma Dada Magnitude: O Retorno | Médio | Matematica | No problema passado você ajudou seu amigo Bernhard Riemann a conseguir muitos dados sobre os primos menores que uma dada magnitude, isso o permitiu conjecturar uma série de hipóteses interessantes, porém antes de tentar publicar suas conjectura ele deseja checar se ela vale para números bem maiores do que os testados anteriormente, por isso ele pediu sua ajuda.
#### Entrada
A única linha dos casos de teste contém um número $N$.
#### Saída
Imprima em uma única linha todos os números entre 1 e $N$ que são primos.
#### Restrições
* $0 \leq N \leq 10^7$ |
3,062 | 304 | Segmento de Maior Or | Fácil | Matematica | Dado um vetor com $N$ inteiros positivos, diga qual o maior valor do $or$ de todos os elementos de um segmento do vetor. Por exemplo se nosso vetor tiver os seguintes 4 elementos, [6, 9, 1, 2], então os $or$s de todos os elementos de cada segmento serão:
[6] = 6
[6, 9] = 15
[6, 9, 1] = 15
[6, 9, 1, 2] = 15
[9] = 9
[9, 1] = 9
[9, 1, 2] = 11
[1] = 1
[1, 2] = 3
[2] = 2
Portanto o maior valor nesse caso é 15
#### Entrada
A entrada consiste em duas linhas, a primeira linha contem um inteiro $N$, a segunda contem $N$ inteiros positivos.
#### Saída
Imprima $A$, o valor do maior $or$ de todos os elementos de um segmento do vetor.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^5$
* A resposta cabe em um inteiro de 32 bits.
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3,063 | 288 | Ajude Riemann | Médio | Matematica | Seu trabalho conjunto com Riemann anda bastante produtivo, na verdade ele já se tornou um matemático bastante famoso graças a sua colaboração, agora porém ele está com uma nova ideia, dado um valor $N$, ele criou uma função que retorna quem é o N-ésimo primo, porém ele não tem certeza se sua função está certa, então cabe a você, o único amigo dele que sabe programar, fazer uma função que funcione para que ele possa comparar com a dele.
#### Entrada
A única linha dos casos de teste contém um número $N$.
#### Saída
Imprima quem é o N-ésimo primo.
A maior resposta é menor que 12 milhões.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^{6}$
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3,064 | 1022 | Estrada | Médio | Matematica |
Para melhorar a integração com os países vizinhos, o Rei da Nlogônia decidiu que uma nova estrada será construída cruzando o país, da fronteira oeste à fronteira leste. O formato da estrada é uma única reta, que passará pelo centro de algumas cidades.
O Rei também decidiu que a construção será paga pelo Tesouro Real, mas cada cidade pela qual a estrada passar será responsável pela manutenção do trecho da estrada que constitui a *vizinhança da estrada* para aquela cidade. A *vizinhança da estrada* de uma cidade $A$ é definida como todos os pontos da estrada que são mais próximos do centro da cidade $A$ do que do centro de qualquer outra cidade.
Dados o comprimento total da estrada, de fronteira a fronteira, e as distâncias da fronteira oeste até os centros de cada cidade ao longo da nova estrada, escreva um programa para determinar qual a menor vizinhança de estrada entre as cidades pelas quais a estrada vai passar.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $T$, o comprimento total da estrada. A segunda linha contém um inteiro $N$, o número de cidades pelas quais a estrada vai passar. Cada uma das $N$ linhas seguintes contém um inteiro $X_i$, indicando a distância da fronteira oeste até o centro da cidade $i$. Não há cidades nas fronteiras e cada centro de cidade tem uma localização distinta.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um número real com duas casas após o ponto decimal, a menor vizinhança de estrada entre as cidades pelas quais a estrada vai passar.
#### Restrições
* $3\ \leq\ T\ \leq\ 10^6$
* $2\ \leq\ N\ \leq\ 10^4$
* $0\ <\ X_i\ <\ T$, para $1\ \leq\ i\ \leq\ N$
* $X_i \neq X_j$ , para todo par $1\ \leq\ i,\ j\ \leq\ N$.
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de casos de testes valendo 10 pontos, $N\ =\ 2$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo 90 pontos adicionais, nenhuma outra restrição |
3,065 | 55 | Clube dos Cinco | Médio | Matematica | No Clube dos Cinco são oferecidos três esportes aos associados: tiro com arco, badminton e canoagem. Cada associado pode participar de no máximo dois esportes, mas a administração do clube suspeita que algumas pessoas estejam ultrapassando esse limite. A fim de descobrir a verdade, perguntaram aos treinadores quantas pessoas estavam frequentando suas aulas, resultando nos seguintes dados:
* O número $A$ de pessoas que praticam tiro com arco;
* O número $B$ de pessoas que praticam badminton;
* O número $C$ de pessoas que praticam canoagem.
Além disso, perguntaram aos membros quais esportes eles praticam. Obviamente, os associados que praticam três esportes mentiram, mas considere que outros falaram a verdade. Os dados dos associados foram resumidos nas seguintes informações:
* O número $D$ de pessoas que praticam tiro com arco e badminton;
* O número $E$ de pessoas que praticam tiro com arco e canoagem;
* O número $F$ de pessoas que praticam badminton e canoagem;
* O número $G$ de pessoas que não praticam nenhum esporte.
Você ficou encarregado da a tarefa de descobrir se a suspeita é verdadeira. Dados o número $N$ de associados do clube e os números $A, B, C, D, E, F$ e $G$ descritos acima, descubra se existe alguma pessoa que faz três esportes.
#### Entrada
A primeira linha contém um inteiros $N$, representando o número de associados. A segunda linha contém sete inteiros $A, B, C, D, E, F$ e $G$ como descritos no enunciado.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo uma única letra, "S" se algum associado participa de três esportes e "N", caso contrário.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^4$
* $0 \leq A, B, C, D, E, F, G \leq N$
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3,066 | 203 | Copa | Médio | Matematica | O sorteio das posições dos jogadores na chave decisiva da copa do mundo de ping-pong está deixando a todos nervosos. É que ninguém quer pegar o jogador mais bem ranqueado, o Mestre Kung, logo nas oitavas de final, ou nas quartas de final. Melhor que só seja possível enfrentar Mestre Kung na semifinal ou na final!
A chave possui 16 posições numeradas de 1 a 16, como na figura abaixo. A organização da copa vai fazer um sorteio para definir em qual posição cada jogador vai iniciar a chave decisiva. Nas oitavas de final, o jogador na posição 1 enfrenta o jogador na posição 2; o da posição 3 enfrenta o da posição 4; e assim por diante, como na figura.
O objetivo deste problema é, dadas as posições de Mestre Kung e Mestre Lu na chave, decidir em que fase da competição Mestre Kung e Mestre Lu vão se enfrentar, caso vençam todas as suas respectivas partidas antes de se enfrentarem. Por exemplo, se o sorteio da chave determinar que Mestre Kung ocupará a posição 1 e Mestre Lu a posição 2 da chave, eles se encontrarão nas oitavas de final; se Mestre Kung ocupar a posição 6 e Mestre Kung ocupar a posição 9 da chave, eles se encontrarão somente na final.
#### Entrada
A entrada consiste de duas linhas. A primeira linha da entrada contém um inteiro $K$ que indica a posição de Mestre Kung na chave. A segunda linha da entrada contém um inteiro $L$ que indica a posição de Mestre Lu na chave.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma linha contendo uma das palavras seguintes, decidindo a fase em que vão se enfrentar os jogadores Mestre Kung e Mestre Lu, se eles chegarem a se enfrentar: oitavas, quartas, semifinal ou final.
#### Restrições
* $1 \leq K \leq 16$
* $1 \leq L \leq 16$
* $K \neq L$ |
3,067 | 2067 | Hotel | Médio | Matematica | O hotel da Colônia de Férias dos Professores está com uma promoção para as férias de julho. A promoção é válida para quem chegar a partir do dia 1 de julho e sair no dia 1 de agosto.
O preço da diária do hotel é menor para quem chegar mais cedo, e vai aumentando a cada dia. Mais precisamente, a promoção funciona assim:
* A diária do hotel para cada quem chegar no dia $1$ é $D$ Reais. Assim, quem chegar no dia 1 vai pagar um total de $31 × D$ Reais.
* A diária do hotel aumenta A reais por dia. Ou seja, a diária é $D + A$ Reais para quem chegar no dia $2$; $D + 2 × A$ Reais no dia $3$; $D + 3 × A$ Reais no dia $4$ e assim por diante.
* A partir do dia $16$ a diária não aumenta mais.
Note que quem chegar no dia $2$ vai pagar um total de $30 × (D + A)$ reais; quem chegar no dia $3$ vai pagar um total de $29 × (D + 2 × A)$ reais, e assim por diante.
Bruno gosta muito da professora Vilma, e para agradá-la quer ajudá-la a planejar suas férias, escrevendo um programa para calcular o total (em Reais) que a professora Vilma vai gastar, dependendo do dia em que chegar no hotel.
#### Entrada
A primeira linha contém um inteiro $D$, o valor da diária no dia $1$. A segunda linha contém um inteiro $A$, o aumento da diária a cada dia a partir do dia $2$ até o dia $15$ (inclusive). A terceira linha contém um inteiro $N$, o dia de chegada no hotel.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um único inteiro, que deve ser o valor total a ser pago ao hotel pela estadia.
#### Restrições
* $1 ≤ D ≤ 1000$
* $1 ≤ A ≤ 1000$
* $1 ≤ N ≤ 31$
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de casos de testes valendo $10$ pontos, $N = 1$.
_Explicação do exemplo 1:_ Como a chegada é no dia $1$, o valor da diária com a promoção é $100$. Do dia $1$ ao dia $31$ são $31$ diárias. Assim, o total a pagar é $31 × 100$.
_Explicação do exemplo 2:_ Como a chegada é no dia $15$, o valor da diária com a promoção é $100 + 14 × 20 = 380$. Do dia $15$ ao dia $31$ são $17$ diárias. Assim, o total a pagar é $17 × 380 = 6460$.
_Explicação do exemplo 3:_ Como a chegada é no dia $16$, o valor da diária com a promoção é $100 + 14 × 5 = 170$. Do dia $16$ ao dia $31$ são $16$ diárias. Assim, o total a pagar é $16 × 170 = 2720$. |
3,068 | 293 | Riemann Ataca Novamente | Médio | Matematica | Bernhard está muito agradecido pela ajuda que você está prestando a ele. Em sua busca para entender os primos perfeitamente, porém, ele resolveu inverter a função da última questão. Agora ele quer que dado um primo, sua função retorne qual a posição desse primo na ordem dos primos. Ajude seu amigo a quebrar esse mistério.
#### Entrada
A primeira linha de entrada contém um inteiro $Q$, o número de perguntas que Riemann vai fazer. Depois se seguem $Q$ linhas, cada uma contendo um primo $p_i$.
#### Saída
A saída contém $Q$ linhas, cada linha tem a posição do primo pedido na sequência dos primos.
#### Restrições
* $1 \leq Q \leq 10^{5}$
* $2 \leq p_i \leq 1,3 \cdot 10^{6}$ |
3,069 | 566 | Parcelamento sem Juros | Fácil | Matematica | Pedrinho está implementando o sistema de controle de pagamentos parcelados de uma grande empresa de cartão de crédito digital. Os clientes podem parcelar as compras sem juros no cartão, em até 18 vezes. Quando o valor $V$ da compra é divisível pelo número $P$ de parcelas que o cliente escolhe, todas as parcelas terão o mesmo valor.
Por exemplo, se o cliente comprar um livro de $V = 30$ reais em $P = 6$ vezes, então as parcelas terão valores: 5, 5, 5, 5, 5 e 5. Mas se o valor da compra não for divisível pelo número de parcelas será preciso fazer um ajuste, pois a empresa quer que todas as parcelas tenham sempre um valor inteiro e somem no total, claro, o valor exato da compra. O que Pedrinho decidiu foi distribuir o resto da divisão de $V$ por $P$ igualmente entre as parcelas iniciais. Por exemplo, se a compra for de $V = 45$ e o número de parcelas for $P = 7$, então as parcelas terão valores: 7, 7, 7, 6, 6, 6 e 6. Quer dizer, como o resto da divisão de 45 por 7 é 3, então as 3 parcelas iniciais devem ter valor um real maior do que as 4 parcelas finais.
Você precisa ajudar Pedrinho e escrever um programa que, dado o valor da compra e o número de parcelas, imprima os valores de cada parcela.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $V$, representando o valor da compra. A segunda linha da entrada contém um inteiro $P$, indicando o número de parcelas.
#### Saída
Seu programa deve imprimir $P$ linhas, cada uma contendo um inteiro representando o valor de uma parcela. A i-ésima linha deve conter o valor da i-ésima parcela, para $1 \leq i \leq P$, de acordo com o que Pedrinho decidiu.
#### Restrições
* $10 \leq V \leq 1000$
* $2 \leq P \leq 18$ |
3,070 | 2397 | Gohan, Feijão e Média | Fácil | Matematica | Hassui e Pedra estavam discutindo se comer arroz japonês (gohan) com feijão era moralmente aceitável ou não. Hassui defendia que era aceitável. Pedra defendia que não era aceitável. Para decidir esse impasse, vão comparar a média das $N$ notas que tiraram na escola. Quem tiver uma média maior ganha a discussão. Se as duas médias forem iguais, o impasse continua. Nesse problema, estamos usando a média aritmética: $\frac{a_1 + a_2 + ... +a_n}{n}$.
#### Entrada
A primeira linha contém um inteiro $N$, a quantidade de notas.
As próximas $N$ linhas contém 2 inteiros: $P_i$ e $H_i$, a $i$-ésima nota da Pedra e do Hassui, respectivamente.
#### Saída
Imprima exatamente 1 linha: ":0 <- Gohan e Feijao", se a média do Hassui for maior, ":0 <-X- Gohan e Feijao", se a média da Pedra for maior e "Impasse" se as duas médias forem iguais. Imprima a resposta sem as aspas.
#### Restrições
$1\leq N\leq100$
$0\leq P_i,H_i\leq10¹⁵$
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3,071 | 1656 | Média e mediana | Fácil | Matematica | A média de três números inteiros $A$, $B$ e $C$ é $(A + B + C)/3$. A mediana de três números inteiros é o número que ficaria no meio se os três números fossem ordenados em ordem não-decrescente.
Sua tarefa é escrever um programa que, dados dois números inteiros distintos $A$ e $B$, calcule o menor inteiro possível $C$ tal que a média e a mediana de $A$, $B$ e $C$ sejam iguais.
#### Entrada
A entrada é composta de uma única linha contendo dois números inteiros $A$ e $B$.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um único número, o menor inteiro possível $C$ tal que a média e a mediana de $A$, $B$ e $C$ são iguais.
#### Restrições
* $1 ≤ A ≤ B ≤ 10^9$ |
3,072 | 312 | Triângulos | Fácil | Matematica | Caio estava brincando de construir triângulos com palitos de diferentes tamanhos. Ele fazia isso juntando as pontas de três palitos sobre uma mesa. Ele notou que podia agrupar os triângulos formados em três grupos:
* Triângulos <i>acutângulos</i>, que são aqueles em que todos os ângulos internos medem menos de 90°;
* Triângulos <i>retângulos</i>, que são aqueles que possuem um ângulo interno que mede exatamente 90°;
* Triângulos <i>obtusângulos</i>, que são aqueles que possuem um ângulo interno que mede mais de 90°.
Ele também percebeu que nem sempre é possível formar um triângulo com três palitos.
Sua tarefa é, dados os comprimentos $A$, $B$ e $C$ de três palitos, dizer se é possível formar um triângulo com esses palitos e, em caso afirmativo, dizer a qual grupo o triângulo formado pertence.
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha, contendo três inteiros $A$, $B$ e $C$ separados por espaço.
#### Saída
Imprima uma linha contendo apenas uma letra minúscula:
* 'n' se não for possível formar um triângulo;
* 'a' se o triângulo formado for <i>acutângulo</i>;
* 'r' se o triângulo formado for <i>retângulo</i>;
* 'o' se o triângulo formado for <i>obtusângulo</i>.
#### Restrições
* $1 \leq A \leq 10000$
* $1 \leq B \leq 10000$
* $1 \leq C \leq 10000$
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3,073 | 385 | Triângulo | Fácil | Matematica | Ana e suas amigas estão fazendo um trabalho de geometria para o colégio, em que precisam formar vários triângulos, numa cartolina, com algumas varetas de comprimentos diferentes. Logo elas perceberam que não dá para formar triângulos com três varetas de comprimentos quaisquer. Se uma das varetas for muito grande em relação às outras duas, não dá para formar o triângulo.
Ana fez uma pesquisa na internet e aprendeu que com três varetas é possível formar um triângulo quando, para todas as varetas, vale a seguinte relação: o comprimento da vareta é menor do que a soma dos comprimentos das outras duas varetas. Por exemplo, se os comprimentos forem $6$, $9$ e $5$, vai dar para formar o triângulo, pois a relação vale para as três varetas: $6 < 9 + 5$, $9 < 6 + 5$ e $5 < 6 + 9$. Mas, se os comprimentos forem, por exemplo, $4$, $10$ e $3$, não vai dar para formar um triângulo, porque a relação não vale para uma das varetas (pois $10$ não é menor do que $3 + 4$). Neste problema, você precisa ajudar Ana e suas amigas a descobrir se, dados os comprimentos de quatro varetas, é ou não é possível selecionar três varetas, dentre as quatro, e formar um triângulo!
#### Entrada
A entrada é composta por apenas uma linha contendo quatro números inteiros.
#### Saída
Seu programa deve produzir apenas uma linha contendo o caractere ‘S’, caso seja possível formar o triângulo; ou o caractere ‘N’, caso não seja possível formar o triângulo.
#### Restrições
* O valor dos quatro números está entre 1 e 100. |
3,074 | 521 | Chocolate (OBI 2012) | Fácil | Matematica | Por lei, na Nlogônia todas as barras de chocolate são quadradas. Anamaria tem uma barra quadrada de chocolate de lado $L$, que ela quer compartilhar com alguns colegas da obi. Mas ela é uma boa cidadã e cumpre a lei.
Então, ela divide a barra em quatro pedaços quadrados, de lado $L/2$. Depois, ela repete esse procedimento com cada pedaço gerado, sucessivamente, enquanto o lado for maior do que, ou igual a 2cm. Você deve escrever um programa que, dado o lado $L$ da barra inicial, em centímetros, determina quantos pedaços haverá ao final do processo.
#### Entrada
A entrada consiste de uma linha, com um único inteiro, $L$, o número de centímetros do lado do quadrado.
#### Saída
Se programa deve imprimir uma única linha, contendo um único inteiro, igual ao número total de pedaços obtidos pela Anamaria.
#### Restrições
* $2 \leq L \leq 10^4$
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste totalizando 30 pontos, $L < 64$. |
3,075 | 681 | Construindo Triângulos | Médio | Matematica | Ricardo muito no tédio resolveu brincar de construir triângulos, mas ele não se contenta com um triângulo qualquer. Ele quer o maior de todos, sim, o triângulo com a maior área possível!
Como uma pessoa normal, ele possui recursos limitados. Sendo assim, terá que construir o seu grandioso triângulo utilizando apenas palitos de tamanhos variados.
Como a quantidade de palitos à sua disposição é muito grande, Ricardo pediu ajuda a você, um programador que entende a grandiosidade da mais perfeita figura geométrica. Dada a quantidade de palitos e o tamanho de cada um, ajude Ricardo a descobrir como montar o triângulo de maior área possível.
Observação: Ricardo separou os palitos de tal forma que sempre será possível construir no mínimo um triângulo. O triângulo deve ser formado por exatos 3 palitos.
#### Entrada
A entrada contém uma linha com um inteiro $N$, indicando a quantidade de palitos.
Em seguida haverá uma linha com $N$ inteiros $Ai$, indicando o tamanho dos palitos.
#### Saída
A saída deve conter três inteiros, indicando os lados do triângulo de maior área possível. Os inteiros devem ser impressos em ordem não-decrescente.
#### Restrições
- $3 \leq N \leq10^5$
- $1 \leq Ai \leq 10^9$
#### Restrições adicionais
* $1 \leq N \leq 100$, em 25% dos casos de teste. |
3,076 | 334 | Polígono | Médio | Matematica | Renato gosta muito de geometria e acaba de achar alguns palitos em seu quarto. Ele está tentando utilizar esses palitos de forma a fazer um polígono com o maior número de lados possíveis.
Para montar o polígono, Renato não quer cruzar os palitos; ou seja, os palitos devem se tocar apenas nas pontas. Ele também não quer quebrar nenhum palito, de forma que todos os palitos que forem usados devem manter sua medida original.
Se, por exemplo, os palitos têm medidas 3, 4 e 5, é possível utilizar todos os três palitos para formar um triângulo. Mas se as medidas são 1, 1, 1 e 5, é possível formar um triângulo com três lados iguais a 1 mas não é possivel formar um polígono com todos os 4 palitos.
Você consegue ajudar Renato a descobrir qual é o maior número de palitos que ele consegue usar?
#### Entrada
A primeira linha contém apenas um inteiro $N$ que indica o número de palitos. A segunda linha possui $N$ inteiros indicando as medidas dos palitos.
#### Saída
Se programa deve imprimir uma única linha, contendo um único inteiro, o maior número de lados que o polígono pode ter seguindo as restrições do enunciado. Se não for possível formar nenhum polígono usando os palitos, imprima 0.
#### Restrições
* $3 \leq N \leq 100000$
* As medidas dos palitos são inteiros positivos menores ou iguais a 10000
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3,077 | 9 | Jardim de Infância | Difícil | Matematica | Vívian é uma professora do jardim de infância. Todos os dias, ao final da aula, ela tem que olhar os desenhos que seus alunos
fizeram naquele dia e fazer algum comentário. Esta é uma tarefa muito repetitiva, já que as crianças costumam desenhar coisas
semelhantes, portanto Vívian decidiu automatizar o processo. Ela fez um programa capaz de processar a imagem e procurar padrões
conhecidos para fazer comentários predeterminados. Em particular, ela percebeu que na maioria dos desenhos as crianças incluem um
pinheiro. Porém, ela está tendo dificuldades para reconhecê-los e pediu sua ajuda. O programa dela já é capaz de reconhecer uma
figura que pode ser um pinheiro e transformá-la em sete pontos X. O candidato a pinheiro seria a região interna do polígono X, como
mostra a figura a seguir de um pinheiro válido.
Logo, dados os sete pontos que formam a imagem, você deve decidir se ela é ou não um pinheiro. Ao analisar os desenhos das
crianças, você decidiu que as condições para que os pontos formem um pinheiro são as seguintes:
* O ângulo $\angle P_2P_1P_3$ é agudo (vértice em $P_1$);
* Os segmentos $\overline{P_1P_2}$ e $\overline{P_1P_3}$ tê o mesmo comprimento;
* Os pontos $P_2$, $P_3$, $P_4$ e $P_5$ são colineares;
* Os pontos médios dos segmentos $\overline{P_2P_3}$ e $\overline{P_4P_5}$ são coincidentes;
* O segmento $\overline{P_2P_3}$ tem comprimento maior que o segmento $\overline{P_4P_5}$;
* Os segmentos $\overline{P_4P_6}$ e $\overline{P_5P_7}$ são perpendiculares ao segmento $\overline{P_2P_3}$;
* Os segmentos $\overline{P_4P_6}$ e $\overline{P_5P_7}$ têm o mesmo comprimento
* Os pontos $P_1$ e $P_6$ devem estar separados pela reta que contém o segmento $\overline{P_2P_3}$. Formalmente, o segmento
$\overline{P_1P_6}$ deve interceptar a reta que contém o segmento $\overline{P_2P_3}$ em um único ponto.</li>
A imagem a seguir mostra os polígonos formados pelos exemplos de entrada.
#### Entrada
A entrada contém sete linhas. A $i$-ésima da entrada contém dois inteiros $X_i$ e $Y_i$, indicando as coordenadas cartesianas
do ponto $P_i$.
#### Saida
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo uma única letra, "S" se os pontos formam um pinheiro pelas condições descritas e "N", caso contrário.
#### Restrições
* $-2 \times 10^4 \leq X_i,Y_i \leq 2 \times 10^4$
* Todos os pontos são diferentes
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3,078 | 340 | Oráculo de Alexandria | Médio | Matematica | Todo computólogo que se preza conhece o livro “O guia do mochileiro das galáxias” (The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy) e sabe qual é a resposta para a pergunta fundamental sobre a vida, o universo e tudo mais. Mas, o que poucos sabem, é que a história de Douglas Adams é baseada em uma lenda egípcia, de um oráculo situado na cidade de Eskendereyya (Alexandria). Alexandria hoje é a maior cidade do Egito, com mais de 4 milhões de habitantes. Fica no delta do Nilo, e extende-se por 32km na costa do Mediterrâneo.
Na Antiguidade, a cidade fundada em 331 a.C. por Alexandre, o Grande, foi umas das principais cidades do mundo e lá ficava o Farol de Alexandria (uma das 7 maravilhas do mundo antigo), a Biblioteca de Alexandria (a maior do mundo antigo) além de outras obras fantásticas. A lenda diz também que lá ficava o grande oráculo de Alexandria. Os habitantes da cidade entregavam ao oráculo pequenos bilhetes com números anotados, e recebia de volta um número, que seria a resposta a uma pergunta fundamental do universo relacionada aos dois números dados.
No seu tratado de 227 d.C. Cleómenes de Naucratis (que se tornou administrador de Alexandria quando Alexandre partiu para suas conquistas) relata alguns resultados obtidos do oráculo:
* Dados 8 e 1 o oráculo devolvia 40320;
* Dados 10 e 3, devolvia 280;
* Dados 4 e 2, devolvia 8;
* Dados 21 e 19, devolvia 42.
Estudos modernos dão conta que o que o oráculo devolvia nada mais era que uma generalização do fatorial de um número inteiro. Como sabemos,
$$N! = N * (N - 1) * \ldots * 1$$
O oráculo devolvia para os dados $N$ e $K$ o $K$-fatorial de $N$, ou seja,
$$N * (N - K) * (N - 2K) * (N - 3K) * \ldots$$
em que o produto era feito enquanto a diferença é maior ou igual a 1. Podemos representar o $K$-fatorial de um número por ele seguido por K exclamações:
* 8! = 40320;
* 10!!! = 280;
* 4!! = 8;
* 21\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! = 42
Dizem que ao ler sobre a lenda do oráculo de Eskendereyya, Douglas Adams teve sua inspiração para sua obra. Também, no Egito está a inspiração do Restaurante do fim do universo, mas isso é outra história...
Sua tarefa é dado inteiros $N$ e $K$ determinar $K$-fatorial de $N$.
#### Entrada
A entrada é composta por diversas instâncias. A primeira linha da entrada contém um inteiro $T$ indicando o número de instâncias. A primeira (e única) linha de cada instância contém um inteiro $N$ seguido de $K$ pontos de exclamação
#### Saída
Para cada instância imprima uma linha contendo o $K$-fatorial de $N$. _É garantido que nenhuma instância na entrada possui resultado maior que $10^{18}$_.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 100$ e $1 \leq K \leq 20$
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3,079 | 1085 | Atlanta | Médio | Matematica |
Documentos recentemente encontrados por pesquisadores mostram que na Sala de Audiências do palácio Real na cidade perdida de Atlanta o piso era formado por ladrilhos 20 cm x 20 cm. Ladrilhos de duas cores foram usados: o centro da Sala era formado por ladrilhos brancos e exatamente uma fileira de ladrilhos azuis foram colocados em cada lateral da Sala, como nas figuras abaixo.
Os pesquisadores não encontraram vestígios da Sala de Audiências (nem da cidade de Atlanta!), mas os documentos recentes, se forem autênticos, indicam também a quantidade de ladrilhos que foram utilizados no piso da Sala.
Sua tarefa é, dadas as quantidades de azulejos azuis e brancos, determinar as dimensões da Sala de Audiências.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $A$, o número de azulejos azuis. A segunda linha contém um número inteiro $B$, o número de azulejos brancos.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo dois números inteiros, representando as dimensões da Sala (largura e comprimento). Se a largura for diferente do comprimento, seu programa deve imprimir primeiro a menor dimensão, seguida da maior dimensão. Se as quantidades de azulejos não forem corretas para construir o piso da Sala no formato descrito acima, seu programa deve imprimir "-1 -1".
#### Restrições
* $1\leq\ A\ \leq 10^6$
* $1 \leq\ B\ \leq 10^6$
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3,080 | 407 | Desvendando Monty Hall | Fácil | Matematica | No palco de um programa de auditório há três portas fechadas: porta 1, porta 2 e porta 3. Atrás de uma dessas portas há um carro, atrás de cada uma das outras duas portas há um bode. A produção do programa sorteia aleatoriamente a porta onde vai estar o carro, sem trapaça. Somente o apresentador do programa sabe onde está o carro. Ele pede para o jogador escolher uma das portas. Veja que agora, como só há um carro, atrás de pelo menos uma entre as duas portas que o jogador não escolheu, tem que haver um bode!
Portanto, o apresentador sempre pode fazer o seguinte: entre as duas portas que o jogador não escolheu, ele abre uma que tenha um bode, de modo que o jogador e os espectadores possam ver o bode. O apresentador, agora, pergunta ao jogador: “você quer trocar sua porta pela outra porta que ainda está fechada?”. E vantajoso trocar ou não? O jogador quer ficar com a porta que tem o carro, claro!
Paulinho viu uma demonstração rigorosa de que a probabilidade de o carro estar atrás da porta que o jogador escolheu inicialmente é 1/3 e a probabilidade de o carro estar atrás da outra porta, que ainda está fechada e que o jogador não escolheu inicialmente, é 2/3 e, portanto, a troca é vantajosa.
Paulinho não se conforma, sua intuição lhe diz que tanto faz, que a probabilidade é 1/2 para ambas as portas ainda fechadas...
Neste problema, para acabar com a dúvida do Paulinho, vamos simular esse jogo milhares de vezes e contar quantas vezes o jogador ganhou o carro. Vamos supor que:
* O jogador sempre escolhe inicialmente a porta 1;
* O jogador sempre troca de porta, depois que o apresentador revela um bode abrindo uma das duas portas que não foram escolhidas inicialmente.
Nessas condições, em um jogo, dado o número da porta que contém o carro, veja que podemos saber exatamente se o jogador vai ganhar ou não o carro.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N$ ($1 \leq N \leq 10^4$ ), indicando o número de jogos na simulação. Cada uma das $N$ linhas seguintes contém um inteiro: 1, 2 ou 3; representando o número da porta que contém o carro naquele jogo.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um inteiro representando o número de vezes que o jogador ganhou o carro nessa simulação, supondo que ele sempre escolhe inicialmente a porta 1 e sempre troca de porta depois que o apresentador revela um bode abrindo uma das duas portas que não foram escolhidas inicialmente. |
3,081 | 2128 | Pirâmide | Médio | Matematica | O rei da Nlogônia decidiu construir uma pirâmide no jardim do Palácio Real, usando cubos de pedra de mesmo tamanho. A dimensão de uma pirâmide é o número de cubos de pedra num dos lados da base (primeira camada) da pirâmide. A base da pirâmide é quadrada, ou seja, cada lado tem o mesmo número de cubos de pedra.
Na pirâmide, a partir da segunda camada, cada cubo de pedra deve ser empilhado exatamente em cima de outro cubo de pedra que não esteja na borda da camada abaixo. Além disso, o número de camadas deve ser o maior possível para uma dada dimensão, e em cada camada deve ser usado o maior número de cubos de pedra possível.
A figura abaixo à esquerda mostra uma pirâmide de dimensão 3; a figura à direita mostra o plano de construção para essa pirâmide, indicando quantos cubos de pedra devem ser empilhados em cada posição.
O rei ainda não decidiu qual a dimensão da pirâmide que vai construir, mas como é muito detalhista já avisou os Arquitetos Reais que antes de iniciar a construção eles devem produzir um plano de construção para a dimensão escolhida.
Ajude os Arquitetos Reais, escrevendo um programa que, dada a dimensão da pirâmide, produza o seu plano de construção.
#### Entrada
A primeira e única linha da entrada contém um número inteiro $N$, a dimensão da pirâmide.
#### Saída
Seu programa deve produzir o plano de construção da pirâmide, constituído por $N$ linhas, cada linha contendo $N$ números inteiros.
#### Restrições
• $1 ≤ N ≤ 100$
#### Informações sobre a pontuação
• Para um conjunto de casos de testes valendo 10 pontos, $1 ≤ N ≤ 3$.
_Explicação do exemplo 1:_ Para uma pirâmide de dimensão 3, o maior número de camadas possível é 2.
_Explicação do exemplo 2:_ Para uma pirâmide de dimensão 8, o maior número de camadas possível é 4. |
3,082 | 239 | Feira de Bactérias | Médio | Matematica | Bruno é um biólogo apaixonado por sua profissão. Sua especialidade é estudar o comportamento de bactérias. Por isso, ele possui em seu laboratório centenas de colônias de diferentes tipos desses microorganismos.
Nesta semana ele viu o anúncio de um evento inusitado: uma feira de bactérias. Nessa feira, vários fornecedores estarão vendendo diferentes tipos de bactérias. Cada tipo de bactéria é vendido em uma placa de vidro, já preparada para a formação de uma colônia de bactérias. Cada placa de vidro é vendida com apenas uma bactéria inicialmente.
Bruno deu uma olhada no catálogo com os tipos de bactérias que estarão à venda na feira, e notou algumas coisas interessantes:
Todos os tipos de bactérias à venda terão o mesmo preço.
Todas as bactérias (de todos os tipos) se subdividem todas as noites para gerar outras bactérias. Por exemplo, a bactéria da colônia de tipo X se subdivide em 2 outras bactérias todas as noites. Assim, no primeiro dia teremos só uma bactéria na colônia. No dia seguinte, teremos 2, e no próximo, 4. A quantidade de divisões de uma bactéria depende do seu tipo.
O crescimento da colônia cessa após um determinado número de dias, por causa da escassez de alimento. A quantidade de dias em que uma colônia cresce depende do tipo de bactéria.
É final de mês e Bruno já gastou quase todo o seu dinheiro. Assim, resolveu que irá comprar apenas uma colônia de bactérias. No entanto, ele pretende comprar a colônia que forneça a maior quantidade de bactérias ao final do período de crescimento da mesma.
Ele tem um catálogo mostrando os tipos de bactérias à venda. Para cada tipo de bactéria, o catálogo informa a quantidade de bactérias geradas por uma bactéria desse tipo a cada divisão e por quantos dias a população da colônia crescerá. Porém, a calculadora que ele tem em casa não é suficiente para que ele faça os cálculos necessários para decidir qual é a melhor colônia a comprar.
Bruno pediu sua ajuda para decidir qual é o melhor tipo de bactéria para a compra. Lembre que para Bruno o melhor tipo de bactéria é aquele cuja colônia, ao final do período de crescimento, terá a maior quantidade de bactérias.
Você deve supor que não haverá duas colônias com a mesma população final de bactérias.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N$ representando a quantidade tipos de bactérias no catálogo.
Cada uma das $N$ linhas seguintes contém informações sobre um tipo de bactéria: a primeira dessas linhas contém a informação da bactéria de tipo 0, a segunda dessas linhas contém a informação sobre a bactéria de tipo 1, e assim por diante. A última dessas linhas contém a informação da bactéria de tipo $N$ - 1.
A informação para cada tipo de bactéria é composta por dois números inteiros $D$ e $C$, onde $D$ é quantidade de bactérias que cada bactéria deste tipo gera ao se dividir numa noite, e $C$ é a quantidade de dias que a população de bactérias crescerá.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, um número inteiro entre 0 e $N$ - 1 representando o tipo da bactéria que Bruno deverá comprar.
#### Restrições
* 0 $\leq$ $N$ $\leq$ 50000
* 0 $\leq$ $D$ $\leq$ 2000
* 0 $\leq$ $C$ $\leq$ 5000 |
3,083 | 493 | Decifra | Fácil | Matematica |
Dimas é um renomado investigador de roubos a antiguidades e obras de arte, que sempre é chamado para casos intrigantes que necessitam de bastante trabalho mental. Desta vez, o quadro que sumiu de um conhecido museu na França foi a Donalisa, do pintor Leonardo da Silva. Este é um caso bastante especial, visto que o ladrão deixou uma frase escrita na parede, aparentemente criptografada. Que desafio para Dimas! É que ele não tem muito conhecimento nessa área de criptografia. Porém, ele usou de suas excelentes observações e conseguiu perceber que a frase foi escrita através de alguma permutação inversível do alfabeto.
Uma permutação inversível do alfabeto é apenas uma troca entre suas letras, duas a duas. Por exemplo, todo “a” será trocado por “m” e, portanto, todo “m” será trocado por “a”. Dessa forma, veja que dado um texto original, se aplicarmos a permutação, teremos uma frase criptografada; e se aplicarmos a mesma permutação novamente, teremos o texto original recuperado!
Apesar de parecer fácil, a tradução se tornou uma tarefa difícil, já que a frase é bastante longa. É por isso que Dimas resolveu pedir sua ajuda, um exímio programador, para traduzir a frase criptografada, recuperando o texto original, e resolver o mistério!
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém uma sequência de 26 letras minúsculas distintas, representando a permutação inversível usada na frase criptografada. A permutação é a seguinte: a letra “a” é trocada pela primeira letra dessa sequência; a letra “b” é trocada pela segunda letra dessa sequência; a letra “c” pela terceira; e assim por diante, seguindo a sequência padrão do alfabeto: **abcdefghijklmnopqrstuvwxyz**. A segunda linha da entrada consiste de uma frase criptografada, contendo apenas letras minúsculas.
#### Saída
Seu programa deve imprimir o texto original, de acordo com a permutação fornecida.
#### Restrições
* A frase criptografada não excede $10^4$ caracteres.
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3,084 | 496 | Tapetes | Fácil | Matematica | Nlogonia é conhecida por sua indústria de tradicionais tapetes quadrados, que são produzidos apenas com dimensões inteiras, para todos os números inteiros positivos. Quer dizer, os tapetes são de dimensão $1 \times 1$, $2 \times 2$, $3 \times 3$, e assim por diante. João Tapetão, grande empresário do setor, está planejando o próximo carregamento para exportação, que deve ser de exatamente $N$ tapetes. Os tapetes são sempre enrolados e colocados em um tubo, um após o outro. Por exemplo, para um carregamento de $N = 4$ tapetes de dimensões $2 \times 2$, $4 \times 4$, $6 \times 6$ e $3 \times 3$, será necessário um tubo de comprimento $2 + 4 + 6 + 3 = 15$. A questão é que o preço do tapete é proporcional à sua área, de modo que quanto maior a soma das áreas dos tapetes, maior o lucro do Tapetão. No exemplo anterior, a soma das áreas é $2^2 + 4^2 + 6^2 + 3^2 = 65$. Só que daria para lucrar mais, com o mesmo tubo de comprimento 15, se o carregamento fosse com quatro tapetes de dimensões $1 \times 1$, $4 \times 4$, $7 \times 7$ e $3 \times 3$, cuja soma das áreas dá 75. Será que daria para lucrar ainda mais?
O navio chegou e Tapetão precisa embarcar o carregamento. Há apenas um tubo de comprimento $L$ e o carregamento deve conter exatamente $N$ tapetes. Qual é a maior soma possível das áreas dos $N$ tapetes que poderá ser transportada?
#### Entrada
A primeira e única linha da entrada contém dois inteiros, $L$ e $N$, o comprimento do tubo e a quantidade de tapetes que deve transportada, respectivamente.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo apenas um inteiro, a maior soma possível das áreas dos tapetes.
#### Restrições
* $N \leq L$
* $1 \leq L \leq 10^6$
* $1 \leq N \leq 10^5$
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste equivalente a 30 pontos, $L \leq 50$.
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3,085 | 526 | Transporte de Contêineres | Fácil | Matematica | A Betalândia é um país que apenas recentemente se abriu para o comércio exterior e está preparando agora sua primeira grande exportação. A Sociedade Betalandesa de Comércio (SBC) ficou encarregada de conduzir a exportação e determinou que, seguindo os padrões internacionais, a carga será transportada em contêineres, que são, por sua vez, colocados em grandes navios para o transporte internacional.
Todos os contêineres betalandeses são idênticos, medindo $A$ metros de largura, $B$ metros de comprimento e $C$ metros de altura. Um navio porta-contêineres pode ser visto como um retângulo horizontal de $X$ metros de largura e $Y$ metros de comprimento, sobre o qual os contêineres são colocados. Nenhuma parte de contêiner pode ficar para fora do navio. Além disso, para possibilitar a travessia de pontes, a altura máxima da carga no navio não pode ultrapassar $Z$ metros.
Devido a limitações do guindaste utilizado, os contêineres só podem ser carregados alinhados com o navio. Ou seja, os contêineres só podem ser colocados sobre o navio de tal forma que a largura e o comprimento do contêiner estejam paralelos à largura e ao comprimento do navio, respectivamente.
A SBC está com problemas para saber qual a quantidade máxima de contêineres que podem ser colocados no navio e pede sua ajuda. Sua tarefa, neste problema, é determinar quantos contêineres podem ser carregados no navio respeitando as restrições acima.
#### Entrada
A entrada consiste de duas linhas. A primeira linha contém três inteiros $A$, $B$ e $C$ que representam as dimensões dos contêineres, enquanto a segunda linha contém outros três inteiros $X$, $Y$ e $Z$ que representam as dimensões do navio.
#### Saída
Seu programa deve imprimir apenas uma linha contendo um inteiro que indica a quantidade máxima de contêineres que o navio consegue transportar.
#### Restrições
* $1 \leq A, B, C, X, Y, Z \leq 10^6$
* É garantido que a maior resposta será menor ou igual a $10^6$ |
3,086 | 575 | Xadrez Aleatório | Difícil | Matematica | Xadrez Aleatório de Fischer, ou Xadrez 960, é uma variante do jogo de Xadrez que usa exatamente as mesmas regras com uma única exceção, a posição inicial das peças é sorteada antes do jogo. As peças da primeira linha do tabuleiro podem estar em qualquer posição desde que respeitem duas restrições: o rei deve estar entre as duas torres; e os dois bispos devem estar em casas de cores opostas. Como você já deve ter desconfiado, o número de posições iniciais válidas nessa variante do Xadrez é 960.
Neste problema queremos contar o número de posições iniciais válidas numa outra variante, bem mais simples. A dimensão do tabuleiro não é mais fixa. Para qualquer dimensão, a primeira linha do tabuleiro vai conter apenas três tipos de peças: rei, torre e peão. Haverá sempre exatamente um rei e no máximo duas torres. O número de peões será a dimensão menos a soma do número das demais peças. Se o número de torres for dois, então o rei deve estar entre as duas torres. A figura abaixo mostra uma posição inicial válida para $N = 8$.
#### Entrada
A entrada consiste de apenas uma linha contendo dois inteiros, $N$ e $T$, representando, respectivamente, a dimensão do tabuleiro e o número de torres.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma linha contendo um inteiro indicando o número de posições iniciais válidas.
#### Restrições
* $2 \leq N \leq 1000$
* $0 \leq T \leq 2$
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de casos de testes valendo 10 pontos, $T = 0$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros 20 pontos, $T = 1$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros 20 pontos, $N = 4$. |
3,087 | 1659 | Sanduíche | Difícil | Matematica | Uma nova lanchonete abriu na cidade, prometendo um menu com a maior variedade de sanduíches da região. A cada dia o Chef de cozinha compra $N$ ingredientes distintos e prepara o menu usando esses $N$ ingredientes. Infelizmente não é possível ter sanduíches com qualquer combinação de ingredientes: a cada dia o Chef determina que $M$ pares de ingredientes não podem ser utilizados no mesmo sanduíche, porque ele considera que esses ingredientes “não combinam”.
Por exemplo, suponha que num determinado dia $N$ é igual a quatro e os ingrediantes são queijo, presunto, goiabada e azeitona, e $M$ é igual a dois: os pares (goiabada, presunto) e (azeitona, goiabada) não podem ser utilizados no mesmo sanduíche. Nesse dia, alguns dos sanduíches que podem ser feitos são:
* presunto, queijo
* azeitona
* presunto, azeitona, queijo
* goiabada, queijo
Alguns dos sanduíches que não podem ser feitos são:
* presunto, queijo, goiabada
* azeitona, goiabada
* goiabada, presunto, azeitona
Dados os $N$ ingredientes e os $M$ pares de ingredientes que não combinam, sua tarefa é determinar qual o máximo número de sanduíches diferentes que podem ser feitos. Dois sanduíches $A$ e $B$ são considerados diferentes se $A$ contém um ingrediente $X$ que não está presente em $B$ ou se $B$ contém um ingrediente $Y$ que não está presente em $A$. Um sanduíche deve conter ao menos um ingrediente.
#### Entrada
A primeira linha contém dois números inteiros $N$ e $M$, indicando respectivamente o número de ingredientes e o número de pares de ingredientes que não combinam. Os ingredientes são identificados por números de 1 a $N$. Cada uma das $M$ linhas seguintes contém dois números inteiros $X$ e $Y$ que representam um par de ingredientes que não combinam.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, o número de sanduíches diferentes que podem ser feitos.
#### Restrições
* $1 ≤ N ≤ 20$
* $0 ≤ M ≤ 400$
* $1 ≤ X ≤ N$
* $1 ≤ X < Y$
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de casos de testes valendo 10 pontos, $N ≤ 5$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros 40 pontos, $N ≤ 10$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros 50 pontos, nenhuma restrição adicional.
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3,088 | 1190 | Daniel, the programmer. | Nível Desconhecido | Matematica | Daniel está aprendendo programação e foi desafiado pelos seus colegas a criar um algoritmo que calcula a soma do número atual com seus antecessores até 0.
Como exemplo $5 → 5 + 4 +3 + 2 +1 = 15$
#### Entrada
A entrada é representada através da variável $N$.
#### Saída
A saída deverá ser a soma de todos os antecessores de $N$ até 0.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^{4}$ |
3,089 | 537 | Quadrado Mágico (OBI 2011) | Médio | Matematica | Arnaldo e Bernardo são dois garotos que compartilham um peculiar gosto por curiosidades matemáticas.
Nos últimos tempos, sua principal diversão tem sido investigar propriedades matemágicas de tabuleiros quadrados preenchidos com inteiros. Recentemente, durante uma aula de matemática, os dois desafiaram os outros alunos da classe a criar quadrados mágicos, que são quadrados preenchidos com números de 1 a $N^2$, de tal forma que a soma dos $N$ números em uma linha, coluna ou diagonal principal do quadrado tenham sempre o mesmo valor.
A ordem de um quadrado mágico é o seu número de linhas, e o valor do quadrado mágico é o resultado da soma de uma linha. Um exemplo de quadrado mágico de ordem 3 e valor 15 é mostrado na figura abaixo:
Para surpresa de Arnaldo e Bernardo, os outros alunos criaram um grande número de quadrados, alguns enormes, e alegaram que todos eram quadrados mágicos. Arnaldo e Bernardo agora precisam de sua ajuda, para verificar se os quadrados criados são realmente mágicos.
Você deve escrever um programa que, dado um quadrado, verifique se ele é realmente mágico.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um único número inteiro $N$, indicando a ordem do quadrado (seu número de linhas). As $N$ linhas seguintes descrevem o quadrado. Cada uma dessas linhas contém $N$ números inteiros separados por um espaço em branco.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma única linha. Caso o quadrado seja mágico, a linha deve conter o valor do quadrado (ou seja, a soma de uma de suas linhas). Caso contrário, a linha deve conter o número 0.
#### Restrições
* $3 \leq N \leq 1000$.
* $1 \leq$ valor de cada célula $\leq 10^9$.
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 30 pontos, $N \leq 3$.
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 70 pontos, $N \leq 100$.
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3,090 | 1657 | Retângulo | Difícil | Matematica | Vô Pedro é um fazendeiro meticuloso. Em sua fazenda ele tem uma plantação no formato circular, com algumas árvores plantadas exatamente na circunferência da plantação. A figura (a) abaixo mostra a plantação com as árvores.
Agora vô Pedro quer usar uma longa corda e quatro das árvores para demarcar um retângulo na plantação, usando as árvores como vértices, com a corda marcando os lados. A figura (b) abaixo mostra dois retângulos que podem ser demarcados usando as árvores na plantação figura (a).
Dada a descrição das posições das árvores na plantação circular de vô Pedro, sua tarefa é determinar se é possível demarcar um retângulo conforme descrito acima.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N$ indicando o número de árvores na circunferência da plantação. As árvores são representadas como pontos na circunferência. A segunda linha contém $N$ inteiros $L_1, L_2, . . . L_N$, indicando o comprimento do arco entre cada par de árvores consecutivas. Os arcos são dados no sentido anti-horário.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um único caractere, que deve ser `S` se é possível demarcar um retângulo usando as árvores como vértices, ou `N` caso contrário.
#### Restrições
* $4 ≤ N ≤ 10^5$
* $1 ≤ Li ≤ 10^6$ para $i = 1, 2, . . . , N$
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de casos de testes valendo 20 pontos, $N ≤ 100$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros 20 pontos, $N ≤ 300$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros 20 pontos, $N ≤ 1000$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros 40 pontos, nenhuma restrição adicional. |
3,091 | 508 | Quadradinho de 8 | Difícil | Matematica | Fernando ficou sabendo de um novo jogo chamado quadradinho de 8. Nesse jogo, é apresentado ao jogador uma fileira de quadrados, um do lado do outro. Em cada quadrado há um número escrito. Veja abaixo um exemplo de fileira de quadrados:
Para ganhar, o jogador deve escolher alguns quadrados de forma que eles juntos formem apenas um retângulo contíguo e que a soma de seus números seja divisível por 8. Na fileira de quadrados acima, o jogador ganha se escolher os quadrados com os números 6, 0 e 2. O jogador perde se escolher os quadrados com 3, 4 e 9, apesar da soma ser divisível por 8, os quadrados não estão juntos, eles acabam formando dois retângulos separados.
Você deve estar pensando agora que Fernando quer sua ajuda para que você mostre a ele como ganhar o jogo, mas Fernando é um garoto muito esperto e sabe resolver o jogo rapidamente. Ele quer na verdade que você o ajude a descobrir de quantas formas é possível ganhar esse jogo.
#### Entrada
A entrada possui duas linhas. A primeira linha contém apenas um inteiro $N$ que indica o número de
quadrados na fileira de um jogo. A segunda linha contém $N$ inteiros indicando na ordem os números
presentes nos quadrados da fileira de um jogo.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma única linha, contendo apenas um inteiro, o número de maneiras de ganhar o jogo apresentado na entrada. Se não for possível que o jogador ganhe o jogo, imprima 0.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 1000000$
* Os números nos quadrados são inteiros não negativos menores ou iguais a 1000.
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de entradas totalizando 50 pontos, $N \leq 200$.
* Para um conjunto de entradas totalizando 70 pontos, $N \leq 5000$.
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3,092 | 32 | Despojados | Difícil | Matematica | Todo inteiro positivo pode ser escrito como um produto de potências de primos. Por exemplo, $252 = 2^2 * 3^2 * 7$. Um inteiro é despojado se pode ser escrito como um produto de dois ou mais primos distintos, sem repetição. Por exemplo, $6 = 2 * 3$ e $14 = 2 * 7$ são despojados, mas $28 = 2^2 * 7$, $1$, $17$ não são despojados.
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha que contém um inteiro $N$ ($1 \leq N \leq 10^{12}$).
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha com um inteiro representando o número de divisores despojados de $N$.
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3,093 | 968 | OPEI 2020 - Primos | Fácil | Matematica | Joãozinho está no ensino fundamental, na última aula sua professora de matemática apresentou aos alunos o conceito de número primo, um número é classificado como primo se ele é maior do que um e é divisível apenas por um e por ele mesmo. Joãozinho está iniciando na programação e como tarefa de casa precisa escrever um programa que retorne os números primos no intervalo de $1$ à $N$ (incluso).
#### Entrada
A entrada é composta por uma única linha:
* $N$
Sendo $N$ um número inteiro.
#### Saída
A saída será composta por $P$ linhas, sendo cada uma um número primo contido no intervalo de 1 à $N$.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^{4}$ |
3,094 | 92 | Jogo de Boca | Médio | Matematica | Um jogo infantil, muito popular, é o 21 de boca . O jogo é jogado da seguinte forma: o primeiro jogador diz um número, $n_0$ , que pode ser 1 ou 2. O segundo jogador pode então dizer um número $n_1$ tal que $n_1 \in$ { $n_0 + 1 , n_0 + 2$ } . E assim por diante, os jogadores se alternam, dizendo sempre um número que é um ou dois maior do que o anterior. O jogador que disser 21 ganha o jogo. Por exemplo, a sequência de números poderia ser: 1 , 3 , 5 , 6 , 7 , 9 , 11 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 19 , 21. Neste jogo, o primeiro jogador sempre perde, se o segundo souber jogar bem.
A cada nova geração as crianças ficam mais espertas. Atualmente, apesar de acharem o 21 de boca um jogo interessante, muitas crianças não se sentem desafiadas o bastante e por isso resolveram generalizar o jogo, criando assim o $N$ de boca. Dado um inteiro $N$, no lugar do 21, o primeiro jogador pode escolher 1 ou 2. A partir daí os jogadores se alternam, adicionando 1 ou 2 ao número anterior, até que um deles diga o número $N$ e ganhe o jogo. Sabendo que ambos os jogadores são excelentes e sabem jogar muito bem, seu problema é determinar qual o inteiro inicial que o primeiro jogador deve escolher para ganhar o jogo.
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha que contém o inteiro $N$ ($3 \leq N \leq 10^{100}$ ) escolhido para a partida atual do $N$ de boca.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha com um inteiro representando o número, em { $1 , 2$ } , que o primeiro jogador deve escolher, para ganhar o jogo. Se não for possível, então o inteiro deve ser zero.
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3,095 | 499 | Capital | Médio | Matematica | O governo do estado de Queensland está com problemas sérios de trânsito na capital Brisbane, onde estão os prédios administrativos. Para desafogar o trânsito, o prefeito de Brisbane e o governador de Queensland decidiram que uma nova capital administrativa deve ser construída em uma área fora de Brisbane. Para projetar a nova capital, o renomado arquiteto minimalista Joe Bloggs foi contratado.
Bloggs foi informado de que o terreno destinado à nova capital ainda não foi demarcado, mas será retangular. Além disso, a cidade deverá ser dividida em quatro zonas, uma delas destinada a uma reserva ambiental e cada uma das outras três receberá os novos prédios de cada um dos três poderes (Executivo, Legislativo e Judiciário). Em um arroubo de criatividade, Bloggs decidiu que duas avenidas, perpendiculares entre si, cada uma paralela a dois dos lados do terreno retangular, dividirão a capital nas quatro zonas.
Bloggs recebeu do governo as áreas de cada uma das zonas e, após muito esforço, encontrou um retângulo que pode ser dividido conforme seus planos e de forma a respeitar as áreas delimitadas. No entanto, a Fundação de Conservação dos Cangurus determinou que a área destinada à reserva ambiental era muito pequena, o que obrigou o governo a alterar as áreas das quatro zonas. Após receber as novas medidas, Bloggs tentou encontrar um novo retângulo que viabilizasse seu projeto, porém sem sucesso. Cansado de fazer testes, ele pensou que talvez tenha que abandonar sua brilhante ideia. Por isso, ele pediu para você escrever um programa que, dadas as áreas das quatro zonas, determine se ele poderá ou não manter seu projeto (ou seja, se existe um retângulo que possa ser dividido por duas retas perpendiculares, cada uma paralela a dois dos lados do retângulo, tal que as quatro áreas formadas obedeçam às exigências do governo).
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha contendo quatro inteiros $A_1, A_2, A_3, A_4$, indicando a área de casa uma das zonas.
#### Saída
Imprima uma única linha contendo um único caractere: ‘S’ se Bloggs pode preservar seu projeto e ‘N’ caso contrário.
#### Restrições
* $1 \leq A_i \leq 10^4$
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3,096 | 504 | Tiro ao Alvo | Médio | Matematica |
Recentemente Juquinha ganhou de aniversário um joguinho bem clássico: Tiro ao Alvo. Ele arrumou um ótimo lugar em seu quarto para se divertir com o jogo, porém após ler todas as regras do jogo ele percebeu que precisa da sua ajuda para calcular a pontuação obtida.
Segundo as regras, o alvo do jogo é composto por C círculos, todos centrados na origem (0,0). Juquinha atira T vezes e após cada tiro informa suas coordenadas. A pontuação de cada tiro é feita da seguinte forma: para cada círculo em que o tiro estiver contido Juquinha recebe um ponto.
Considere por exemplo a figura abaixo. O tiro marcado com a letra A recebe zero pontos, pois não está contido por nenhum círculo. O tiro marcado com a letra B recebe um ponto, pois está contido por um círculo (o mais externo). O tiro marcado com a letra C recebe dois pontos, pois está contido por dois círculos (note que este caso mostra que tiros exatamente na borda de um círculo são considerados como contidos pelo círculo). Já o tiro marcado com a letra D recebe três pontos, pois está contido pelos três círculos. Considerando todos os pontos, a pontuação total de Juquinha é de 13 pontos.
Dados os raios de $C$ círculos centrados na origem e as coordenadas dos $T$ tiros realizados por Juquinha, escreva um programa que calcula o total de pontos que Juquinha obteve
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros positivos, $C$ e $T$, que representam, respectivamente, o número de círculos do alvo e o número de tiros.
Cada uma das $C$ linhas seguintes contém um inteiro positivo. O $i$-ésimo inteiro $R_i$ representa o raio do $i$-ésimo círculo. Os raios $R_i$ são fornecidos em ordem crescente.
Cada uma das $T$ linhas seguintes contém um par $X$, $Y$ de inteiros, que representam as coordenadas de cada tiro.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma única linha, contendo apenas um inteiro, o total de pontos obtidos por Juquinha.
#### Restrições
* $1 \leq C \leq 10^5$
* $1 \leq R_i \leq 10^6$ para $1 \leq i \leq C$
* $R_i > R_{i-1}$ para $2 \leq i \leq C$
* $1 \leq T \leq 10^5$
* $-10^5 \leq X, Y \leq 10^5$
#### Informações sobre a pontuação
Em um conjunto de casos de teste que totaliza 30 pontos:
* $1 \leq C \leq 10^3$
* $1 \leq R_i \leq 10^4$ para $1 \leq i \leq N$
* $1 \leq T \leq 10^3$
* $-100 \leq X, Y \leq 100$ |
3,097 | 2367 | Óculos de Enzo | Fácil | Matematica | Na última aula de matemática, Enzo não conseguiu fazer nenhum problema, e seus amigos foram confrontá-lo, pois ele é conhecido por ser muito bom em matemática, então, Enzo falou que foi porque sua visão estava ruim, e ele ia trocar de óculos.
Para manter sua mentira, ele foi no oftamologista, e viu que seu grau realmente tinha aumentado! Então, ele foi comprar um novo óculos.
Na loja de óculos, tem $N$ óculos enfileirados, e eles são numerados de 1 a $N$. O óculos $i$ tem grau do olho esquerdo $e_i$ e grau do olho direito $d_i$, e o grau que Enzo está precisando é $E$ no olho esquerdo e $D$ no olho direito. Dizemos que a pontuação do óculos $i$ é $|e_i - E| + |d_i-D|$, e quanto menor a pontuação do óculos, melhor.
Dados os $N$ óculos e sabendo que o melhor óculos é aquele com a menor pontuação, qual é a pontuação do melhor óculos que o Enzo pode pegar?
* $|x|$, ou "módulo de $x$", é o valor absoluto de $x$. Ou seja, $|-3| = 3$ e $|5| = 5$
#### Entrada
A primeira linha terá 3 inteiros $N, E, D$, que representam a quantidade de óculos, o grau de Enzo no olho esquerdo e direito, respectivamente. Nas próximas $N$ linhas, vamos ter o grau dos óculos. Na linha $i+1$, temos dois valores $e_i, d_i$, os graus das lentes esquerdas e direitas respectivamente do óculos $i$.
#### Saída
Imprima qual a pontuação do melhor óculos que Enzo pode pegar.
#### Restrições
* $1 \le N \le 10^5$
* $0 \le E,D \le 10^5$
* $0 \le e_i,d_i \le 10^5$, para todo $1 \le i \le N$
#### Informações sobre Pontuação
* Para um conjunto de casos de teste valendo 20 pontos, $E = 0$ e $D = 0$.
* Para um conjunto de casos de teste valendo 20 pontos, $D = 0$ e $d_i = 0$ para todo $1 \le i \le N$.
* Para um conjunto de casos de teste valendo 60 pontos, sem restrições adicionais. |
3,098 | 114 | Divisores | Difícil | Matematica | Pense um número positivo $N$. Agora me diga um divisor $A$ de $N$. Agora me dê um outro número $B$ que não seja divisor de $N$.
Agora um múltiplo $C$. E um não múltiplo $D$. O número que você pensou é...
Parece um truque de mágica, mas é matemática! Será que, conhecendo os números $A$, $B$, $C$ e $D$, você consegue descobrir qual era o número original $N$? Note que pode existir mais de uma solução!
Neste problema, dados os valores de $A$, $B$, $C$ e $D$, você deve escrever um programa que determine qual o menor número $N$ que pode ter sido pensado ou concluir que não existe um valor possível.
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha que contém quatro números inteiros $A$, $B$, $C$, e $D$, como descrito acima.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha. Caso exista pelo menos um número $N$ para os quais $A$, $B$, $C$ e $D$ façam sentido, a linha deve conter o menor $N$ possível. Caso contrário, a linha deve conter -1.
#### Restrições
* $1 \leq A, B,C, D \leq 10^9$ |
3,099 | 790 | Sequência de Sisterolli | Difícil | Matematica | Sisterolli é um estudante de ensino médio que estava estudando recorrências. Muito intrigado, resolveu criar a sua própria sequência recorrente.
E assim o fez, nascendo a Sequência de Sisterolli, onde:
$f(1) = 1$
$f(2) = 5$
$f(3) = 50$
$f(n) = f(n-1) + f(n-2) - f(n-3)$
Preocupado com o tamanho da sua sequência, Sisterolli pediu para você, seu melhor amigo, calcular quantos elementos pertencentes a essa sequência estão presentes em um intervalo de $[1, X]$, (inclusive).
Por exemplo, seja $X = 60$, os números pertencentes à sequência no intervalo $[1, 60]$ são: 1, 5, 50, 54. Portanto, a resposta é 4.
#### Entrada
A entrada consiste de um número inteiro, contendo o valor de $X$.
#### Saída
A saída deve conter um número inteiro, representando a quantidade de elementos no intervalo [$1, X$].
#### Restrições
$1 \leq X \leq 10^{16}$
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto valendo 25 pontos, $1\leq X \leq 10^9$.
* Nos demais casos, sem restrições adicionais. |
Subsets and Splits
Random Sample Across Categories
Selects a random sample of up to 4 questions from each category and difficulty level, providing a basic overview without deep insight.