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3,100 | 1726 | Poligrama | Difícil | Matematica | Duas palavras A e B são anagramas entre si se podemos transformar a palavra A na palavra B apenas trocando de posição as letras da palavra A. Por exemplo, “duetos” e “estudo” são anagramas entre si. Um outro exemplo é “bba” e “bab”.
Vamos chamar de poligrama uma palavra que consiste na concatenação de duas ou mais palavras que são anagramas entre si. A primeira dessas palavras é chamada de raiz do poligrama. Por exemplo, a palavra “bbabab” é um poligrama com raiz “bba”, pois ela é a concatenação dos anagramas “bba” e “bab”.
Dada uma palavra, escreva um programa que determine se ela é um poligrama e encontre a sua raiz.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N$, indicando o número de letras da palavra. A segunda linha contém a palavra $P$.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha. Se a palavra dada é um poligrama, a linha deve conter a raiz do poligrama. Caso contrário, a linha deve conter o caractere asterisco (’*’). Se houver mais de uma raiz possível, seu programa deve imprimir a de menor comprimento.
#### Restrições
* $1 ≤ N ≤ 100000$
* O número de caracteres de $P$ é igual a $N$.
* Os únicos caracteres em $P$ são letras minúsculas não acentuadas.
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de casos de testes valendo 40 pontos, $N ≤ 1000$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros 70 pontos, nenhuma restrição adicional.
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3,101 | 1774 | Cubo e quadrado | Médio | Matematica | O número $729$ tem uma particularidade interessante: é ao mesmo tempo o cubo e o quadrado de um número inteiro ($729 = 27^2$ e $729 = 9^3$). Outro número com essa particularidade é $4096$ ($4096 = 64^2$ e $4096 = 16^3$).
Sua tarefa é, dados dois números inteiros $A$ e $B$, determinar quantos números no intervalo entre $A$ e $B$ são ao mesmo tempo cubo e quadrado de um número inteiro.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $A$, o limite inferior do intervalo de interesse, a segunda linha contém um inteiro $B$, o limite superior do intervalo de interesse ($A$ e $B$ fazem parte do intervalo de interesse).
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha na saída, contendo um único inteiro, a quantidade de números que são ao mesmo tempo cubo e quadrado de um número inteiro, para todos os números do intervalo de interesse.
#### Restrições
* $1 ≤ A < B ≤ 100 000 000$
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de casos de testes valendo 30 pontos, $B ≤ 100 000$.
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros 70 pontos, nenhuma restrição adicional.
_Explicação do exemplo 1:_ os números que são cubo e quadrado de um outro número no intervalo entre 64 e 729 são somente 64 e 729, portanto a resposta é 2.
_Explicação do exemplo 2:_ 4096 é o único número no intervalo entre 3000 e 5000 que é cubo e quadrado de um outro número, portanto a resposta é 1. |
3,102 | 1369 | Distância entre pontos | Nível Desconhecido | Matematica |
Nesse exercício, você deverá calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano.
#### Entrada
A entrada é composta por apenas uma linha contendo as coordenadas dos dois pontos x¹, y¹, x² e y².
#### Saída
Deverá ser a distância entre os pontos, com somente duas casas decimais.
#### Restrições
* $-10^{2} \leq x \leq 10^{2}$
* $-10^2 \leq y \leq 10^2$
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3,103 | 594 | Mini Calculadora | Médio | Matematica | Arthur é um menino pobre, e por isso tudo o que ele tem é de qualidade inferior. Mas Arthur é uma pessoa muito inteligente e dedicada, e portanto está na escola, para poder ter uma boa educação e conseguir mudar essa situação. Atualmente, Arthur está estudando divisão, na matéria de matemática. Na hora fazer exercícios, os alunos fazem uso de uma calculadora para verificar se o que fizeram está correto. Como sabemos, Arthur não tem muito dinheiro, logo a calculadora que ele tem não é muito boa – ela reconhece apenas números pequenos.
Arthur, por ser inteligente, consegue, na maioria das vezes, contornar esse problema de uma maneira muito perspicaz. Por exemplo, suponha que Arthur precise fazer o calculo da divisão 200/90 (duzentos dividido por noventa). Ele sabe que se dividir o dividendo e o divisor por 10, o resultado continuará o mesmo. Então, ele faz o cálculo de 20/9, e consegue o resultado desejado (você pode supor que, mesmo que o resultado não seja um número inteiro, ele será mostrado pela calculadora).
Arthur, porém, começou a estudar outras matérias mais avançadas, como multiplicação e geometria, e já não tem tanto tempo livre para descobrir maneiras de fazer divisões em sua calculadora. Ele pede a sua ajuda para fazer um programa que, dados o valor máximo que sua calculadora consegue representar, o dividendo e o divisor, determina a melhor maneira de se calcular a divisão em sua calculadora. Note que a melhor maneira é aquela em que o dividendo e o divisor são os menores possíveis, podem ser representados na calculadora e o resultado é exatamente o mesmo que o da divisão desejada.
#### Entrada
A entrada contém um único teste, a ser lido da entrada padrão. O teste contém uma linha com três inteiros $C$, $D$, $Q$ indicando, respectivamente, o valor máximo que pode ser representado na calculadora, o dividendo e o divisor da conta que Arthur precisa fazer.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, uma única linha, mostrando a melhor maneira possível de se efetuar a divisão na calculadora de Arthur. A linha deve conter dois números inteiros $R$ e $P$, separados por um espaço em branco, onde $R$ é o novo dividendo e $P$ é o novo divisor. Se for impossível realizar essa divisão na calculadora dada, imprima a palavra IMPOSSIVEL (maiúsculas, sem acento).
#### Restrições
* $1 \leq C \leq 1000$
* $1 \leq D \leq 1000$
* $2 \leq Q \leq 1000$
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 30 pontos, $C \leq 10$, $D \leq 10$ e $Q \leq 10$.
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 55 pontos, $D \leq 100$, $D \leq 100$ e $Q \leq 100$.
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3,104 | 294 | Órbitas | Fácil | Matematica |
Gauss é um muito interessado em astronomia, e um belo dia notou que Júpiter estava alinhado com Vênus, porém não tinha um bom telescópio e não pôde apreciar essa vista, o que o deixou muito triste. Ele então construiu um telescópio potente para quando eventos como esse ocorressem novamente.
Mas Gauss ficou muito cansado com a construção do telescópio e pediu a sua ajuda para outro parte muito importante de seu plano, ele quer saber, dado os períodos de rotação de dois astros, de quantos em quantos anos tais astros se alinham, ajude Gauss fazendo um programa que calcula isso para ele.
#### Entrada
A entrada contém uma única linha com dois inteiros $A$ e $B$, os períodos dos astros.
#### Saída
A saída deve conter uma linha com um único número, o tempo entre dois alinhamentos consecutivos destes astros.
#### Restrições
* $1 \leq A \leq 10^{18}$
* $1 \leq B \leq 10^{18}$
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3,105 | 1646 | Número Tio | Fácil | Matematica | Um número Tio é um número que possui exatamente dois divisores. Nem mais, nem menos. Faça um programa que defina se um número é Tio ou Não.
#### Entrada
A entrada é composta uma linha contendo um número $N (1≤N≤10^4)$.
#### Saída
A saída é composta de uma linha contendo a palavra “Tio” caso o número seja um número Tio, ou contendo a palavra “Normal”, caso contrário.
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3,106 | 1549 | A Multiplicação Rápida | Fácil | Matematica | Dados $3$ inteiros $x$, $y$ e $m$, sua função é calcular o valor de $x*y\ mod\ m$, onde $t\ mod\ m$ representa o resto da divisão euclidiana de $t$ por $m$.
#### Entrada
A entrada irá conter três inteiros representando $x$, $y$ e $m$ respectivamente.
#### Saída
A saída deve conter um único número: o valor de $x*y\ mod\ m$.
#### Restrições
* $0 \leqslant x,y \leqslant 10^{18}$
* $1 \leqslant m \leqslant 10^{18}$ |
3,107 | 1658 | Passatempo | Difícil | Matematica | Desafios de lógica e matemática são um ótimo passatempo, atraindo um grande número de praticantes, e um mercado que envolve aplicativos para celular, atividades on-line, revistas especializadas e até mesmo cursos na internet para melhorar o desempenho!
Neste problema sua tarefa é escrever um programa que resolva um novo passatempo, mostrado na figura abaixo. O passatempo é composto por um quadriculado com letras dentro de cada célula e números ao lado de cada linha ou coluna do quadriculado. As letras dentro de cada célula representam variáveis, e os números representam as somas dos valores das variáveis em cada linha ou coluna.
O objetivo desse passatempo é determinar o valor de cada variável de modo a satisfazer as somas das linhas e colunas mostradas. Para permitir que um número maior de pessoas consiga resolver o passatempo, ele tem uma propriedade que facilita a sua solução: sempre é possível encontrar uma linha ou coluna em que há apenas uma variável cujo valor ainda é desconhecido. Assim, uma possível maneira de resolver o problema é, a cada passo da solução, encontrar o valor de uma variável.
Sua tarefa é, dado um passatempo, determinar os valores das variáveis que o solucionam.
#### Entrada
A primeira linha contém dois inteiros $L$ e $C$ indicando o número de linhas e o número de colunas do passatempo. Cada uma das $L$ linhas seguintes contém $C$ nomes de variáveis, seguidos de um inteiro $S$, a soma resultante das variáveis dessa linha. A última linha contém $C$ inteiros $X_i$, indicando respectivamente a soma das variáveis na coluna $i$. Nomes de variáveis são formados por precisamente duas letras minúsculas, de ’a’ a ’z’. Todos os passatempos têm solução única, em que todas as variáveis são números inteiros.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma linha para cada variável do passatempo, contendo o nome da variável e o seu valor inteiro. As variáveis devem ser escritas em ordem alfabética crescente, ou seja, respeitando a ordem
**_aa, ab, . . . , az, ba, bb, . . . , za, zb, . . . , zz._**
#### Restrições
* $1 ≤ L ≤ 100$
* $2 ≤ C ≤ 100$
* $−10^8 ≤ S ≤ 10^8$
* $−10^8 ≤ Xi ≤ 10^8$
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3,108 | 559 | Competição de Chocolate (PJ) | Fácil | Matematica | Carlos e Paula acabaram de ganhar um saco com bolinhas de chocolate. Como sabem que vão comer tudo muito rápido inventaram uma brincadeira:
* Eles vão comer de forma alternada, um depois o outro, sendo que sempre a Paula começa.
* Quem comer a última bolinha ganha a bricadeira.
* A cada vez, só se pode comer de 1 a $M$ bolinhas, sendo o $M$ decidido pela mãe de Paula, de forma que não engasguem com o chocolate.
Um exemplo de partida para $M = 5$, onde Paula ganhou:
Ambos são muito espertos e jogam de maneira ótima, de forma que se existe para um deles uma sequência de jogadas que garante a vitória independente da jogada do outro, essa pessoa jogará dessa forma.
Sua tarefa é determinar quem vai ganhar a brincadeira, se ambos jogam de forma ótima.
#### Entrada
A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado).
A entrada consiste de uma linha contendo dois inteiros $N$ ($1 \leq N \leq 10^6$) e $M$ ($1 \leq M \leq 10^3$), sendo $N$ o número de bolinhas de chocolate e $M$ o número de bolinhas permitidas por vez.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, uma linha, contendo o nome do vencedor, como exemplificado abaixo.
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 30 pontos, $N \leq 50$ e $M \leq 5$.
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 60 pontos, $N \leq 10^4$ e $M \leq 100$. |
3,109 | 523 | Álbum de Fotos | Médio | Matematica | Clara está organizando as fotos da sua última viagem num álbum de fotos. Como ela tem muitas fotos, para economizar páginas do álbum ela quer colar duas fotos por página do álbum. Como as fotos são retangulares, as fotos podem ser coladas giradas (mas sempre com lados paralelos aos da página do álbum, para preservar o equilíbrio estético do álbum), mas elas devem sempre ficar inteiramente contidas no interior da página, e não devem se sobrepor.
Em geral, das muitas formas de posicionar as fotos do álbum só algumas (ou nenhuma) satisfazem estas restrições, então pode ser difícil decidir se é possível colar as duas fotos em uma mesma página do álbum, e por isso Clara pediu a sua ajuda para escrever um programa que, dadas as dimensões da página e das fotos, decide se é possível colar as fotos na página.
Por exemplo, cada página pode ser $5 \times 7$, e duas fotos são $3 \times 4$. Nesse caso, é possível colar as duas fotos:
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros $X$ e $Y$, indicando a largura e a altura da página do álbum. Cada uma das duas linhas seguintes contém dois inteiros $L$ e $H$, indicando a largura e a altura das fotos.
#### Saída
Imprima uma única linha, contendo um único caractere: ‘S’, se é possível colar as duas fotos na página do
álbum, e ‘N’, caso contrário.
#### Restrições
* $1 \leq X, Y \leq 1000$
* $1 \leq L, H \leq 1000$ |
3,110 | 1555 | A Exponenciação Rápida | Médio | Matematica | Dados $3$ inteiros $b$, $e$ e $m$, sua função é calcular o valor de $b^e\ mod\ m$, onde $x\ mod\ m$ representa o resto da divisão euclidiana de $x$ por $m$.
#### Entrada
A entrada irá conter três inteiros representando $b$, $e$ e $m$ respectivamente.
#### Saída
A saída deve conter um único número: o valor de $b^e\ mod\ m$.
#### Restrições
* $0 \leqslant b, e \leqslant 10^9$
* $1 \leqslant m \leqslant 10^9$ |
3,111 | 528 | Progressões Aritméticas | Médio | Matematica | Bob é um aluno do ensino médio que gosta muito de matemática. Na última aula ele aprendeu o que são Progressões Aritméticas (PAs) e ficou fascinado por elas. Pelo que Bob entendeu, Progressões Aritméticas são sequências de números nas quais a diferença entre dois elementos consecutivos é sempre igual a uma constante $r$, chamada de razão da PA.
Um exemplo de Progressão Aritmética de razão 2 é -1, 1, 3, 5. Além disso, toda sequência com um ou dois elementos é sempre uma Progressão Aritmética. Por outro lado, 5, 6, 8, 9, 10 não é uma PA porque a diferença entre elementos consecutivos não é constante: a diferença entre os dois primeiros elementos é $6-5 = 1$, enquanto a diferença entre o terceiro e o segundo elementos é $8 - 6 = 2$.
Bob percebeu que qualquer sequência, mesmo que a mesma não seja uma Progressão Aritmética, pode ser quebrada em sequências menores que são PAs. Por exemplo, vimos que a sequência 5, 6, 8, 9, 10 não é uma PA, mas podemos quebrar ela entre o 6 e o 8 para obtermos as sequências 5, 6 e 8, 9, 10, que são PAs. Note que não existe como quebrar a sequência em menos partes se quisermos ter apenas PAs no fim do procedimento.
Bob é fascinado por programação mas ainda não sabe programar muito bem, e por isso pediu sua ajuda: ele não está conseguindo descobrir como quebrar sequências muito grandes de um jeito eficiente; por isso, pediu que você escrevesse um programa para, dada uma sequência qualquer, imprimir o número mínimo de partes em que precisamos quebrar a sequência para termos apenas Progressões Aritméticas no término do processo. Caso a sequência original já seja uma PA, podemos terminar o processo com uma única parte, e portanto a resposta para esse caso é 1.
#### Entrada
A primeira linha da entrada é composta por um inteiro $N$, o número de elementos da sequência. Na segunda linha existem $N$ inteiros $a_i$, os elementos da sequência.
#### Saída
A saída deve conter uma única linha, indicando o número mínimo de partes em que Bob precisa quebrar a sequência original para que ele termine apenas com PAs.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^5$
* $-10^5 \leq a_i \leq 10^5$
#### Explicação dos Exemplos
**No segundo exemplo** é fácil verificar que a sequência -2, 0, 2, 3, 3, 4, 6 não é uma PA, pois $2-0 \neq 3-2$. Verificando manualmente, você pode constatar que não é possível particionar a sequência em duas de tal forma que ambas as partes sejam PAs. Entretanto, existe uma maneira de particionar a sequência em 3 PAs: [-2, 0, 2] [3, 3] [4, 6] . Portanto, temos que a resposta para este exemplo é 3.
**No terceiro exemplo** a sequência -2, 0, 3, 6 pode ser particionada de várias formas. As únicas maneiras que resultam em PAs são as seguintes:
* Com 4 partes temos 1 possibilidade: [-2] [0] [3] [6]
* Com 3 partes temos 3 possibilidades:
[-2, 0] [3] [6]
[-2] [0, 3] [6]
[-2] [0] [3, 6]
* Com 2 partes temos 2 possibilidades:
[-2, 0] [3, 6]
[-2] [0, 3, 6] |
3,112 | 552 | Telescópio | Fácil | Matematica | Telescópios são instrumentos que auxiliam a observação do céu, melhorando e aumentando o aspecto das estrelas, planetas e outros objetos brilhantes. Existem diversos tipos de telescópios, sendo os tipos mais comuns os de lentes objetivas (refratores) e os de espelhos (refletores).
A maneira como os telescópios melhoram a nossa percepção dos astros no céu é aumentando a quantidade de luz captada que chega aos nossos olhos. Toda luz que entra pelos nossos olhos entra por um orifício chamado pupila. Tal controla a quantidade de luz que entra nos olhos, aumentando o diâmetro quando o ambiente está escuro (e portanto precisamos obter mais luz para identificar os objetos) e diminuindo quando o ambiente está claro. Num ambiente muito escuro, a pupila pode atingir um diâmetro de 8 mm.
Cada objeto celeste (estrela, planeta, nebulosa, etc) emite uma quantidade de luz (fótons) que é homogeneamente distribuída quando chega na Terra. Por exemplo, a estrela A emite luz que pode ser captada a um fluxo de 40.000 fótons por segundo por milímetro quadrado. Isso é, a cada segundo, é possível captar 40.000 ótons provenientes da estrela $A$ numa área de 1 $mm^2$ . Ou seja, uma pupila de 10 $mm^2$ de área captaria 400.000 fótons provenientes da estrela $A$ por segundo.
Para que nosso cérebro consiga interpretar que existe um objeto ali, porém, ele precisa receber 40.000.000 fótons por segundo. Assim, podemos utilizar um telescópio com lente (ou espelho) de 100 $mm^2$ de área, que vai captar a quantidade necessária de fótons provenientes da estrela $A$ e encaminhá-los até nossa pupila, fazendo assim com que nosso cérebro perceba a presença da estrela ali.
Dada uma lista com estrelas no céu,o fluxo de fótons que cada uma delas emite, e área de abertura de um telescópio, dizer quantas estrelas serão perceptíveis usando tal telescópio.
#### Entrada
A primeira linha da entrada terá um inteiro $A$ ($1 \leq A \leq 10000$) representando a área de abertura do telescópio (em milímetros quadrados) a ser considerado. A segunda linha possui um inteiro $N$ ($1 \leq N \leq 10000$) representando o número de estrelas a serem estudadas. As $N$ linhas seguintes terão, cada uma, um inteiro $F$ ($1 \leq F \leq 20000$) representando o fluxo de fótons que cada uma das $N$ estrelas emitem (em fótons por segundo por milímetro quadrado).
#### Saída
Imprima um inteiro representando a quantidade de estrelas que serão percebidas ao se utilizar o telescópio em questão.
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 10 pontos, $N \leq 10$.
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 30 pontos, $N \leq 100$. |
3,113 | 615 | Escada Perfeita | Difícil | Matematica | Uma construtora, durante a criação de um parque temático, encontrou no terreno um conjunto de vários pilhas de cubos de pedra. Ao invés de pagar pela remoção dos cubos de pedras, um dos arquitetos da empresa achou interessante utilizar as pedras para decoração do parque, determinando que as pedras fossem rearranjadas no formato de “escada”. Para isso, os funcionários deveriam mover alguns cubos para formar os degraus das escadas. Só que o arquiteto decidiu que, entre uma pilha e outra de pedras deveria haver exatamente uma pedra de diferença, formando o que ele chamou de escada perfeita. O exemplo abaixo mostra um conjunto de cinco pilhas de pedras encontradas e as cinco pilhas como ficaram após a arrumação em escada perfeita.
Dada uma sequência de pilhas de cubos de pedras com suas respectivas alturas, você deve determinar o número minimo de pedras que precisam ser movidas para formar uma escada perfeita com exatamente o mesmo número de pilhas de pedras encontrado inicialmente (ou seja, não devem ser criadas ou eliminadas pilhas de pedras). O degrau mais baixo da escada deve sempre estar do lado esquerdo.
#### Entrada
A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado). A primeira linha contém um inteiro $N$ que indica o número de pilhas de pedras. A segunda linha contém $N$ números inteiros que indicam a quantidade de cubos de pedras em cada uma das pilhas, da esquerda para a direita.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saida padrão, uma única linha, contendo um inteiro: o número minimo de cubos de pedras que devem ser movidos para transformar o conjunto de pilhas em uma escada perfeita, conforme calculado pelo seu programa. Caso não seja possivel efetuar a transformação em escada perfeita, imprima como resultado o valor -1. |
3,114 | 557 | O Fugitivo | Médio | Matematica | Demasi é um terrorista e mafioso italiano que tentou escapar vindo para o Brasil. Mas Demasi não contava com a astúcia de nossa polícia, e acabou sendo preso aqui também.
Por ser mafioso, Demasi conseguiu contratar advogados muito bons, que através de muitos recursos na justiça, acabaram conseguindo uma liberdade condicional para ele.
Nessa liberdade condicional, Demasi deve permanecer a uma certa distância da delegacia de polícia responsável por ele. Para monitorá-lo melhor, eles instalaram nele uma coleira eletrônica inquebrável que, minuto a minuto, envia para uma central as movimentações de Demasi naquele momento.
A informação da coleira é enviada indicando uma direção e uma distância. Por exemplo, em quatro minutos chegam as quatro linhas de informação abaixo:
N 30
O 44
S 22
L 10
Isso significa que no primeiro minuto Demasi se deslocou 30 metros para o norte (letra N), no minuto seguinte andou 44 metros para o oeste (letra O), no outro minuto andou 22 metros para o sul (letra S) e no quarto minuto se deslocou 10 metros para o leste (letra L). Para poder dar um castigo ao terrorista, o juiz decidiu que
Demasi só poderia andar nas quatro direções citadas acima. Ou seja, Demasi nunca se movimenta na direção noroeste, por exemplo. Neste problema, você pode supor que todos os movimentos de Demasi ocorrem sobre um plano cartesiano.
A polícia precisa estar sempre atenta `a movimentação dele, e pede a sua ajuda para verificar se em algum momento o italiano se desloca a uma distância da delegacia maior do que a permitida. A distância considerada para esta medida é a distância euclidiana.
Sua missão é criar um programa que receba as informações da coleira de Demasi e diga se em algum momento Demasi esteve a uma distância maior do que a permitida.
Você deve assumir que no instante 0 (zero) Demasi está dentro da delegacia (ou seja, a uma distância zero)
#### Entrada
A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado). A primeira linha da entrada contém dois inteiros $N$ e $M$ ($2 \leq N \leq 500000$, $1 \leq M \leq 1000000$) representando o número de registros enviados pela coleira de Demasi e a distância máxima que ele pode ficar da delegacia, respectivamente. As $N$ linhas seguintes contêm os registros da coleira, em ordem de envio. Cada linha contém um caractere $C$ (’N’, ’S’, ’L’ ou ’O’, como especificados acima) e um inteiro $D$ ($1 \leq D \leq 1000$) representando a distância percorrida no minuto.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, o valor 1 se em algum momento Demasi se afastou da delegacia além da distância permitida, ou o valor 0 caso contrário.
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 30 pontos, $N \leq 1000$, $M \leq 10000$ e $D \leq 30$.
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 70 pontos, $N \leq 200000$ e $M \leq 400000$.
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3,115 | 777 | Árvore Colorida | Muito Difícil | Matematica | Dabriel possui uma árvore colorida com $N$ nós. ele deseja processar dois tipos de operações sobre ela. Como essa é uma tarefa muito trivial ele não quer perder tempo com isso e solicitou sua ajuda.
Dabriel irá te entregar uma árvore com $N$ vértices, onde cada um deles tem um cor $X$ e vai realizar $Q$ consultas, sendo elas:
* $1$ $u$ $x$: Alterar a cor do vértice $u$ para a cor $x$;
* $2$ $u$ $v$: Consultar quantas cores distintas existem entre os vértices $u$ e $v$.
#### Entrada
A primeira linha contém um inteiro $N$ representando o número de vértices da árvore. Na próxima linha contém $N$ inteiros $X_i$ representando a cor inicial do vértice $i$. Nas próximas $N-1$ contém dois inteiros $u$ e $v$, que indica que existe uma aresta entre os vértices $u$ e $v$. Em seguida, contém um inteiro $Q$ que mostra quantas consultas Dabriel irá realizar. Por fim, nas próximas $Q$ linhas contém três inteiros $tipo$ $u$ $v$, que é uma consulta.
#### Saída
Para cada consulta do tipo 2, imprima quantas cores distintas existem entre os vértices $u$ e $v$.
#### Restrições
* $1 \leq N, Q \leq 10^{5}$
* $1 \leq u, v \leq N$
* $1 \leq X \leq 50$
* $1 \leq tipo \leq 2$
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3,116 | 2318 | VAR | Muito Fácil | Matematica | Com a crescente popularidade dos campeonatos de “Beach Tenis”, uma empresa está desenvolvendo um aplicativo para celular para ser usado por juízes. O objetivo é que, depois de configurar o aplicativo, um “juiz de vídeo” possa usar a câmera do celular para determinar se o impacto da bola com o piso foi dentro ou fora do campo de jogo.
O campo de jogo é um retângulo de dimensões 16m x 8m. A coordenada (0,0) é a posição do juiz, como mostrado na figura (a) abaixo. A figura (a) também mostra duas marcações de bolas dentro do campo de jogo (círculos pretos), nas coordenadas (−6, 6) e (8, 2). Note que uma bola em cima da linha é considerada dentro do campo de jogo.
A figura (b) mostra duas marcações de bolas fora do campo de jogo estrelas pretas), nas coordenadas (−4, 10) e (6, −2).
Você foi contratado para testar o novo aplicativo. Como é ainda um protótipo, apenas coordenadas de valores inteiros serão testadas.
Escreva um programa que, dada a coordenada de uma marcação identificada pelo aplicativo, determine se a marcação está dentro ou fora do campo de jogo.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro X, a coordenada x da marcação. A segunda linha contém um inteiro Y , a coordenada y da marcação.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um único caractere, que deve ser a letra maiúscula ‘S’ se a marcação está dentro do campo; se a marcação está fora do campo de jogo a linha deve conter a letra maiúscula ‘N’.
#### Restrições
* $−100 ≤ X ≤ 100$
* $−100 ≤ Y ≤ 100$
#### Informações sobre a pontuação
* A tarefa vale 100 pontos. |
3,117 | 596 | Viagem Espacial | Difícil | Matematica | A empresa de jogos Sonyc está desenvolvendo um novo jogo de naves espaciais, chamado Space Traveller (Viajante Espacial). O objetivo do jogo é viajar entre dois pontos sem colidir com nenhum asteroide no caminho. Para o protótipo, você foi contratado para implementar o programa responsável por verificar se um tiro disparado pela nave atingiu um determinado asteroide. Nessa primeira versão, os tiros disparados pela nave são projeções num plano 2D, formando uma linha reta infinita, e asteroides são circunferências perfeitas. Para que um tiro efetivamente destrua qualquer asteroide, ele deve tangenciar a circunferência que define o asteroide.
Dada uma sequências de tiros realizados pela nave e a localização de um asteroide, você deve dizer quantos tiros acertaram o asteroide.
#### Entrada
A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado). A primeira linha da entrada contém quatro números inteiros $N$, $X_c$ , $Y_c$ e $R$ indicando, respectivamente, o número de tiros, as duas coordenadas no plano do centro do asteroide $(X_c, Y_c)$, e o raio do asteroide.
Em seguida haverá $N$ linhas, uma para cada tiro. Cada linha terá 4 inteiros $X_1$, $Y_1$, $X_2$, $Y_2$, representando duas coordenadas de pontos distintos da reta formada pela projeção do tiro.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, uma ´unica linha, contendo um inteiro, indicando quantos tiros atingiram o asteroide.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 1000$
* $0 \leq X_C \leq 1000$
* $0 \leq Y_C \leq 1000$
* $1 \leq R \leq 1000$
* $0 \leq X_1, X_2, Y_1, Y_2 \leq 1000$
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 30 pontos, $N \leq 10$ e $X_1, Y_1, X_2, Y_2, X_c, Y_c, R \leq 20$.
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 55 pontos, $N \leq 100$ e $X_1, Y_1, X_2, Y_2, X_c, Y_c, R \leq 100$. |
3,118 | 551 | Multiplicação de Matrizes | Difícil | Matematica | O conglomerado indiano Tutu é um conjunto de empresas que atua nos mais diversos ramos da indústria, produzindo desde sapatos até aviões e foguetes. Por ser tão diversificada, precisa de grandes e rápidos sistemas para cálculos de contabilidade. Um dos módulos mais importantes desse sistema é o de fornecimento de produtos, onde fica a base de dados de produtos e fornecedores. Um mesmo produto pode ser fornecido por vários fornecedores diferentes.
O sistema possui duas grandes matrizes: a matriz $A$, onde cada linha representa um produto e cada coluna representa um fornecedor. O valor da matriz na linha $m$ e coluna $n$ representa o preço do produto m se for comprado do fornecedor n.
A outra grande matriz é a $B$, onde cada linha representa um dia do mês e cada coluna é um produto. O valor da matriz na linha $m$ e coluna $n$ representa a quantidade do produto $n$ a ser adquirido no dia $m$. Tal empresa tem uma política de fidelidade com seus fornecedores, e uma das práticas efetuadas pela empresa é, em um determinado dia, comprar todos os produtos necessários de um único fornecedor. Isto é, em um dia todos os produtos adquiridos serão comprados do fornecedor $x$, no outro dia do fornecedor $y$, e assim por diante.
Para auxiliar a escolha de qual fornecedor será o escolhido no dia, foi gerada outra matriz $C$, que é o resultado da multiplicação das matrizes $A \times B$. Essa matriz diz o quanto será gasto pela empresa se adquirir todos os produtos de um determinado fornecedor em um determinado dia.
As matrizes $A$ e $B$ são quadradas (o número de linhas é igual ao número de colunas) e têm valores definidos pelas fórmulas.
$$A_{ij} = (P \times i + Q \times j) \ \ \ \ \ (mod\ X)$$
$$B_{ij} = (R \times i + S \times j) \ \ \ \ \ (mod\ Y )$$
onde $i$ é o índice da linha da matriz e $j$ é o índice da coluna da matriz (todos os índices vão de 1 até $N$). Os inteiros $P$, $Q$, $R$, $S$, $X$ e $Y$ são parâmetros constantes, que definem as duas matrizes $A$ e $B$.
Escreva um programa que, dados os parâmetros das matrizes $A$ e $B$, e a posição de uma das entradas as matriz $C$, calcula o valor daquela entrada.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N$, indicando as dimensões das matrizes $A$, $B$ e $C$ ($2 \leq N \leq 10^5$). A linha seguinte contém seis inteiros $P$, $Q$, $R$, $S$, $X$ e $Y$, indicando os parâmetros das matrizes $A$ e $B$ ($2 \leq X, Y \leq 10^4$ ; $0 \leq P, Q < X$ ; $0 \leq R, S < Y$). Finalmente, a última linha da entrada contém dois inteiros $I$ e $J$, indicando a linha e a coluna da matriz $C$ a serem consultados ($1 \leq I, J \leq N$).
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma única linha contendo o valor da matriz $C$ na linha e coluna especificadas.
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 40 pontos, $N \leq 100$. |
3,119 | 610 | Conversa não tão Secreta | Fácil | Matematica | A policia desconfia que dois homens que passeiam todos os dias pelo parque são na verdade criminosos. O parque é plano, de formato retangular, e estreitas faixas de grama o dividem em quadrados de mesmo tamanho, formando uma grade de $N$ por $M$ quadrados.
Os dois homens têm um comportamento curioso e suspeito em seu passeio: após encontrarem-se, conversam durante um minuto, andam mudando rapidamente de lugar, passando a ocupar um novo quadrado do parque, conversam mais um minuto, andam novamente (mudando de quadrado), conversam mais um minuto, e assim sucessivamente. A cada minuto escolhem uma direção (Norte, Sul, Leste ou Oeste) e andam até o quadrado imediatamente vizinho na direção escolhida.
Tentando escutar trechos das conversas dos homens, a policia instalou um pequeno microfone multi-direcional em um dos quadrados do parque. O microfone é capaz de captar conversas realizadas no quadrado onde está instalado e em todos os quadrados imediatamente vizinhos. Os dois homens sempre iniciam o passeio no quadrado de coordenadas (0,0).
Dadas as coordenadas do microfone e a sequência de movimentos que os dois homens realizaram durante seu passeio no parque, seu programa deve determinar quantos minutos de conversa foram captados pelo microfone.
#### Entrada
A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado). A primeira linha contém dois inteiros $N$ e $M$ que indicam respectivamente o número de linhas e o número de colunas do parque. A segunda linha contém dois inteiros $X$ e $Y$ que indicam a coordenada do microfone em termos de linhas e colunas. A terceira linha contém um inteiro $K$, indicando o número de quadrados pelos quais os dois homens passearam. A quarta linha contém $K$ inteiros, entre 1, 2, 3, 4, que indicam a rota tomada pelos dois homens durante o passeio; cada inteiro indica a direção tomada ao final de um minuto de conversa, com 1 representando o Norte, 2 representando o Sul, 3 representando o Leste e 4 representando o Oeste.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, uma única linha contendo um inteiro: o número de minutos de conversação captados pelo microfone.
#### Restrições
* $0 \leq N \leq 1000000$
* $0 \leq M \leq 1000000$
* $0 \leq X \leq N$
* $0 \leq Y \leq M$ |
3,120 | 1550 | Achando a Fatoração Prima | Médio | Matematica | Dado um inteiro $n$, sua tarefa é descobrir a fatoração prima de $n$.
_**Relembrando**: fatoração prima de um número é a sua decomposição em produtos de números primos_
#### Entrada
A entrada conterá um único inteiro $n$.
#### Saída
A primeira linha da saída deve conter um inteiro $k$ representando a quantidade de fatores primos na fatoração de $n$. A segunda linha deve conter os $k$ fatores primos de $n$ em ordem não-decrescente.
#### Restrições
* $2 \leqslant n \leqslant 10^9$
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3,121 | 632 | TV da Vovó | Médio | Matematica | A vovó tem um televisor muito antigo, que ultimamente está exibindo um defeito incômodo: a imagem aparece ‘deslocada’ (para cima ou para baixo, para o lado direito ou para o lado esquerdo). Quando a imagem está deslocada para cima, a parte da imagem que deixa de ser vista na parte superior reaparece na parte de baixo da tela. Da mesma forma, quando a imagem está deslocada a direita, a parte da imagem que deixa de ser vista à direita reaparece na tela do lado esquerdo.
A imagem do televisor pode ser vista como uma matriz de pontos organizados em linhas e colunas. Para consertar o televisor da vovó, você pode ajustar a imagem introduzindo uma série de ‘comandos de correção’ em um painel de ajuste. Cada comando de correção desloca a imagem de um certo número de linhas (para cima ou para baixo) e um certo número de colunas (para a direita ou para a esquerda).
Dada uma matriz que representa uma imagem defeituosa e uma série de comandos de correção, seu programa deve calcular a matriz que representa a imagem resultante após todos os comandos terem sido aplicados sequencialmente.
#### Entrada
A entrada possui vários conjuntos de teste. Cada conjunto de teste inicia com a descrição da matriz que representa a imagem do televisor. A primeira linha contém dois inteiros $M$ e $N$ representando o número de linhas e o número de colunas da matriz. As $M$ linhas seguintes da entrada contém cada uma $N$ inteiros, descrevendo o valor de cada ponto da imagem. Após a descrição da imagem, segue-se a descrição dos comandos de correção. Cada comando de correção é descrito em uma linha contendo dois inteiros $X$ e $Y$. O valor de $X$ representa o deslocamento na direção horizontal (valor positivo representa deslocamento para a direita, valor negativo para a esquerda), e o valor de $Y$ representa o deslocamento da direção vertical (valor positivo para cima, valor negativo para baixo). O final da lista de comandos é indicado por $X = Y = 0$, e o final da entrada é indicado por $M = N = 0$.
#### Saída
Para cada conjunto de teste, o seu programa deve produzir uma imagem na saída. A primeira linha da saída deve conter um identificador do conjunto de teste, no formato “Teste n”, onde $n$ é numerado sequencialmente a partir de 1. A seguir deve aparecer a matriz que representa a imagem resultante, no mesmo formato da imagem de entrada. Ou seja, as $N$ linhas seguintes devem conter cada uma $M$ inteiros que representam os pixels da imagem. Após a imagem deixe uma linha em branco. A grafia mostrada no Exemplo de Saída, abaixo, deve ser seguida rigorosamente.
#### Restrições
* $0 \leq N \leq 1000$ ($N = 0$ apenas para indicar o final da entrada)
* $0 \leq M \leq 1000$ ($M = 0$ apenas para indicar o final da entrada)
* $0 \leq X \leq 1000$
* $0 \leq Y \leq 1000$
* $0 \leq$ número de comandos de correção em cada conjunto de teste $\leq 1000$
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3,122 | 511 | Cachecol da Vovó Vitória | Difícil | Matematica | Vovó Vitória possui muitos netinhos; como toda boa avó, ela se preocupa constantemente com a saúde de seus netos, e quer garantir que eles estejam sempre bem agasalhados o tempo todo.
Vovó Vitória dispõe de um saco com vários retalhos quadrados de mesmo tamanho, em três cores diferentes, e quer usá-los para costurar cachecóis para seus netos. Ela quer que cada cachecol tenha três retalhos de largura por N de comprimento e, além disso, retalhos adjacentes devem ter cores diferentes. Por exemplo, a figura abaixo mostra três cachecóis que Vovó Vitória pode costurar.
Vovó Vitória tem muitos netos, e quer fazer um cachecol diferente para cada um deles, mas ela não sabe de quantas formas ela pode arrumar os retalhos para formar cachecóis diferentes. Por isso, ela pediu para você escrever um programa que determina quantos cachecóis diferentes ela pode costurar.
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha contendo um único inteiro $N$, indicando o número de retalhos no comprimento do cachecol.
#### Saída
Imprima uma única linha contendo um único número inteiro, indicando o número de cachecóis distintos que a Vovó Vitória pode costurar. Como este número pode ser muito grande, imprima o resto que este número deixa quando dividido por 1.000.000.007 ($10^9 + 7$).
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^{18}$ |
3,123 | 548 | Floresta | Difícil | Matematica | O desmatamento é um dos maiores problemas enfrentados pelo Brasil hoje; estima-se que mais de 10 mil $km^2$ de vegetação sejam desflorestados todo ano. Além de destruir os habitats de várias espécies em risco de extinção, o desmatamento promove a emissão de gás carbônico, principal responsável pelo efeito estufa e pelo aquecimento global.
A Fundação de Conservação dos Carvalhos (FCC) tenta combater esta tendência, promovendo o reflorestamento das regiões desmatadas. Para isso, eles pretendem plantar carvalhos formando um quadriculado (um carvalho em cada vértice); no centro de cada quadrado formado por eles, a FCC também plantará um eucalipto. Para preservar a biodiversidade da área plantada, pelo menos uma árvore de cada espécie deve ser plantada durante o reflorestamento.
Por exemplo, se a FCC quiser plantar 23 árvores, ela poderá fazê-lo de duas maneiras: ou formando um retângulo 3 × 5 com os carvalhos, como na figura (a), ou formando um retângulo 2 × 8, como na figura (b). Considere que, para os propósitos deste problema, um retângulo $x \times y$ é equivalente a um retângulo $y \times x$.
Escreva um programa que, dado o número total de árvores que devem ser plantadas, de quantas maneiras diferentes elas podem ser dispostas.
#### Entrada
A única linha da entrada contém um único inteiro $N$, que indica o número total de árvores que devem ser plantadas ($1 \leq N \leq 10^9$).
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma única linha, contendo um único inteiro, indicando o número de arranjos distintos que podem ser feitos para o reflorestamento.
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 40 pontos, $N \leq 10000$. |
3,124 | 1608 | Produto de Vetores | Fácil | Matematica | Dado dois vetores $\vec{A} = (A_x, A_y)$ e $\vec{B} = (B_x, B_y)$, imprima o produto escalar ($\vec{A} \cdot \vec{B}$) e o produto vetorial ($\vec{A} \times \vec{B}$) entre eles.
#### Entrada
A entrada contém 4 inteiros : $A_x$, $A_y$, $B_x$ and $B_y$, respectivamente.
#### Saída
A saída deve conter o produto escalar ($\vec{A} \cdot \vec{B}$) e o produto vetorial ($\vec{A} \times \vec{B}$) entre os dois vetores.
#### Restrições
- $0 \leq A_x, A_y, B_x, B_y \leq 10^{9}$ |
3,125 | 503 | Lençol | Médio | Matematica |
João dispõe de dois pedaços retangulares de tecido, e quer usá-los para fazer um lençol, também retangular, de dimensões $A \times B$. Se necessário, os dois pedaços retangulares podem ser unidos por uma costura, mas João quer que a costura seja paralela aos lados dos retângulos. Os cortes, se necessários, também devem ser paralelos aos lados dos retângulos.
Dadas as dimensões dos pedaços de tecido e do lençol, escreva um programa que determina se é possível João fazer o lençol com as dimensões desejadas.
#### Entrada
A entrada contém uma única linha, com seis inteiros $A_1, B_1, A_2, B_2$, $A$ e $B$, representando, respectivamente, as dimensões dos dois retângulos disponíveis, e as dimensões do retângulo desejado.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma única linha contendo um caractere 'S' se é possível fazer o lençol, e 'N' caso contrário.
#### Restrições
* $1 \leq A_, B_1, A_2, B_2, A, B \leq 10^6$ |
3,126 | 1435 | Cerca Louca | Médio | Matematica | Você precisa pintar uma cerca de madeira entre sua casa e a casa de seu vizinho. Você deseja determinar a área da cerca, a fim de determinar a quantidade de tinta que usará.
No entanto, a cerca é feita de $N$ pedaços de madeira não uniformes e seu vizinho acredita que eles têm um talento artístico. Em particular, as peças de madeira podem ter várias larguras. A parte inferior de cada pedaço de madeira será horizontal, ambos os lados serão verticais, mas seu topo pode ser cortado em ângulo. Duas dessas peças de madeira são mostradas abaixo:
Felizmente, a cerca foi construída de forma que pedaços de madeira adjacentes tenham a mesma altura nas laterais onde se tocam, o que torna a cerca mais atraente visualmente.
#### Entrada
A primeira linha da entrada será um número inteiro positivo $N$, onde $N \ \leq \ 10 000$.
A segunda linha de entrada conterá $N + 1$ inteiros separados por espaço $h_1, ... , h_{N+1} (1 \ \leq \ h_i \ \leq \ 100, \ 1 \ \leq \ i \ \leq \ N + 1)$ descrevendo as alturas esquerda e direita de cada pedaço de madeira. Especificamente, a altura esquerda do i-ésimo pedaço de madeira é $h_i$ e a altura direita do i-ésimo pedaço de madeira é $h_i + 1$.
A terceira linha de entrada conterá $N$ inteiros separados por espaço $w_i \ (1 \ \leq \ w_i \ \leq \ 100, \ 1 \ \leq \ i \ \leq \ N)$ descrevendo a largura da i-ésima peça de madeira.
#### Saída
Imprima a área total da cerca. (Com uma casa decimal de precisão) |
3,127 | 1636 | Empilhando Corpos | Médio | Matematica | 
Paulo Alberto é um jovem estudante de engenharia civil e passa muito tempo nos laboratórios estudando estruturas. Principalmente fazendo corpos de prova. Corpos de prova são amostras de concreto endurecidas, geralmente em forma de cilindros não muito grandes, utilizados para testar propriedades do material como resistência à compressão e módulo de elasticidade.
Às vezes quando está entediado, e isso acontece muito, ele empilha os pesados cilindros de concreto o mais alto que pode para passar o tempo. E como gosta de brincar de construir, eles os empilham sempre de uma maneira especial. Ele enfileira alguns corpos de prova, um bem ao lado do outro, depois faz outra fileira em cima dessas, porém, com um cilindro a menos e assim por diante até que na fileira mais ao topo, contenha somente um único corpo de prova.
Depois de um tempo, Paulo Alberto reparou que ficavam muitos cilindros sobrando. Ele pensou que, mesmo que construísse o mais alto possível, ainda poderiam sobrar alguns blocos, mas não tantos, logo, começou a se perguntar: “Com o total de corpos de prova que eu tenho, qual é maior altura que minha ‘pilha triangular’ pode ter?”. Como Paulo não é muito bom em programação, ele pediu sua ajuda. Dado o número de corpos de prova, faça um programa que diga qual é a maior altura (medida em número de fileiras) que sua pirâmide pode ter. No exemplo acima, com 15 blocos, só é possível construir 5 fileiras. Com 19 blocos ainda só seria possível construir 5 fileiras completas e sobrariam 4 blocos.
#### Entrada
A entrada de um único número inteiro $N (1≤N≤500500)$ que corresponde ao número de corpos de prova que Paulo Alberto tem à disposição.
#### Saída
Você deve imprimir uma única linha com um inteiro que corresponde à altura máxima em fileiras do construto formado pela brincadeira de Paulo. Veja os exemplos a seguir para o formato exato de entrada/saída.
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3,128 | 642 | Dobradura | Fácil | Matematica | Zezinho tem aulas de Iniciação Artística em sua escola, e recentemente aprendeu a fazer dobraduras em papel. Ele ficou fascinado com as inúmeras possibilidades de se dobrar uma simples folha de papel. Como Zezinho gosta muito de matemática, resolveu inventar um quebra-cabeça envolvendo dobraduras. Zezinho definiu uma operação de dobradura D que consiste em dobrar duas vezes uma folha de papel quadrada de forma a conseguir um quadrado com 1/4 do tamanho original, conforme ilustrado na figura.
Depois de repetir N vezes esta operação de dobradura D sobre o papel, Zezinho cortou o quadrado resultante com um corte vertical e um corte horizontal, conforme a figura abaixo.
Zezinho lançou então um desafio aos seus colegas: quem adivinha quantos pedaços de papel foram produzidos?
#### Entrada
A entrada é composta de vários conjuntos de teste. Cada conjunto de teste é composto de uma única linha, contendo um número inteiro $N$ que indica o número de vezes que a operação de dobradura $D$ foi aplicada. O final da entrada é indicado por $N = -1$.
#### Saída
Para cada conjunto de teste da entrada seu programa deve produzir três linhas na saída. A primeira linha deve conter um identificador do conjunto de teste, no formato “Teste n”, onde $n$ é numerado a partir de 1. A segunda linha deve conter o número de pedaços de papel obtidos depois de cortar a dobradura, calculado pelo seu programa. A terceira linha deve ser deixada em branco. A grafia mostrada no Exemplo de Saída, abaixo, deve ser seguida rigorosamente.
#### Restrições
* $-1 \leq N \leq 15$ ($N = -1$ apenas para indicar o fim da entrada)
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3,129 | 1609 | Paralelo, perpendicular ou nenhum dos dois? | Médio | Matematica | Dado dois vetores $\vec{A} = (A_x, A_y)$ e $\vec{B} = (B_x, B_y)$, imprima se os vetores são paralelos, perpendiculares ou nem paralelos e nem perpendiculares.
#### Entrada
A entrada contém 4 inteiros : $A_x$, $A_y$, $B_x$ e $B_y$, respectivamente.
#### Saída
A saída deve conter o número "1" se os vetores são paralelos, "-1" se os vetores são perpendiculares ou "0" se eles não são nem paralelos e nem perpendiculares.
#### Restrições
* $\vec{A}, \vec{B} \neq (0,0)$
* $-10^{9} \leq A_x, A_y, B_x, B_y \leq 10^{9}$ |
3,130 | 1214 | Construindo um Campo | Difícil | Matematica | John é uma pessoa meticulosa. Na sua fazenda, ele construiu um campo circular com algumas árvores plantadas na circunferência do campo. A figura (a) abaixo mostra o campo com as árvores.
Agora John quer usar uma corda longa e quatro das árvores do campo para demarcar um retângulo usando as árvores como vértices e as cordas como arestas. A figura (b) abaixo mostra dois retângulos que podem ser demarcados usando as árvores do campo na figura (a).
Dada a descrição das posições das árvores no campo circular de João, é necessário determinar se é possível demarcar um retângulo usando quatro das árvores como vértices e as cordas como arestas.
#### Entrada
A primeira linha contém um número inteiro $N$ ($4 \leq N \leq 10^5$) indicando o número de árvores no campo. As árvores são representadas como pontos sobre uma circunferência. A segunda linha contém $N$ números inteiros $L_1, \ L_2, . . . , \ L_N \ (1 \ \leq \ L_i \ \leq \ 10^6$ for $i \ = \ 1, \ 2, . . . , \ N)$ indicando os comprimentos do arco entre cada par de árvores consecutivas. Os arcos são dados em ordem inversa à dos ponteiros do relógio. O comprimento total da circunferência não excede $10^9$.
#### Saída
Produzir uma única linha com a letra maiúscula $Y$ se for possível demarcar um retângulo utilizando as árvores dadas, e a letra maiúscula $N$ caso contrário. |
3,131 | 31 | Cigarras Periódicas | Difícil | Matematica | As "cigarras periódicas" americanas têm o ciclo de vida mais longo de todos os insetos conhecidos. A cada 17 anos, estas cigarras periódicas amadurecem, se acasalam, depositam ovos e morrem. Suas crias se refugiam debaixo da terra, a 20 centímetros de profundidade, onde elas se alimentarão da seiva de raízes por 17 anos, até que chegue seu dia de buscar um lugar ao sol.
Acredita-se que esse número não aconteceu por acaso, outras espécies de cigarras da região tem ciclos de 13 anos, assim essas duas espécies emergem ao mesmo tempo apenas a cada 221 anos. Isso é desejável pois dessa forma a chance de que as duas espécies se misturem diminui consideravelmente e características indesejáveis de uma população não são introduzidas na outra.
Inspirado por esse fenômeno, uma nova variação de algoritmo evolutivo foi criada. Na última etapa desse algoritmo as melhores possíveis soluções são divididas em populações de modo que cada população $i$ tem um ciclo de vida $C_i$. Além disso uma população extra também é adicionada, de modo que a quantidade de iterações até que o ciclo de vida de todas as populações coincida seja a maior possível. Essas populações são então avaliadas até que o ciclo de vida de todas coincida e a melhor solução ao final do processo é escolhida. Como não é interessante esperar demais até que o algoritmo gere uma resposta, um limite superior $L$ no número de iterações também deve ser respeitado. Dados os ciclos de vida das populações criadas e o limite na quantidade de iterações $L$, sua tarefa é computar qual o período ótimo para a população extra que será adicionada.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros $N$ e $L$, respectivamente, a quantidade de populações geradas pelas etapas anteriores do algoritmo e o limite da quantidade de iterações, $2 \leq N \leq 10^4$, $1 \leq L \leq 10^6$. A linha seguinte contém os $N$ valores $C_i$ representando a quantidade de iterações no ciclo de vida de cada população, onde $1 \leq C_i$. Você pode assumir que os ciclos de vida das populações atuais coincidem em menos de $L$ iterações.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha com um inteiro representando o perodo da população extra que maximiza a quantidade $T$ de iterações até que os ciclos de vida de todas as populações coincidam, respeitando a restrição de que $T \leq L$. Caso exista mais de um valor possvel imprima o menor deles.
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3,132 | 1553 | Calculando Inverso Modular | Médio | Matematica | Dados dois números $a$ e $m$ ($m$ é primo), ache o inverso modular de $a$ módulo $m$ ou diga que ele não existe.
_**Relembrando**: o inverso modular de $a$ módulo $m$ é um número $x$ tal que $0 \leqslant x < m$ e $ax \equiv 1 \pmod{m}$_
#### Entrada
A entrada é composta por dois inteiros representando $a$ e $m$.
#### Saída
A saída deve conter apenas o inverso modular de $a$ módulo $m$. Caso ele não exista, imprima $-1$.
#### Restrições
* $1 \leqslant a, m \leqslant 10^9$
* $m$ é primo |
3,133 | 1553 | Calculando Inverso Modular | Médio | Matematica | Dados dois números $a$ e $m$ ($m$ é primo), ache o inverso modular de $a$ módulo $m$ ou diga que ele não existe.
_**Relembrando**: o inverso modular de $a$ módulo $m$ é um número $x$ tal que $0 \leqslant x < m$ e $ax \equiv 1 \pmod{m}$_
#### Entrada
A entrada é composta por dois inteiros representando $a$ e $m$.
#### Saída
A saída deve conter apenas o inverso modular de $a$ módulo $m$. Caso ele não exista, imprima $-1$.
#### Restrições
* $1 \leqslant a, m \leqslant 10^9$
* $m$ é primo |
3,134 | 1612 | Calculando áreas | Médio | Matematica | Dado um polígono simples $P$ com $n$ vértices, a sua tarefa é calcular a área de $P$.
#### Entrada
A primeira linha da entrada irá conter um inteiro representando $n$. As próximas $n$ linhas irão descrever os pontos de $P$ (no sentido horário ou anti-horário) com dois inteiros $x$ e $y$ cada uma representando o ponto $(x,y)$.
#### Saída
A saída deve conter apenas um número real indicando a área de $P$ (pelas restrições, é possível provar que a área de $P$ será inteira) .
#### Restrições
* $3 \leqslant n \leqslant 10^5$
* As coordenadas dos pontos são inteiros **pares**
* O valor absoluto das coordenadas dos pontos é menor ou igual a $2*10^6$ |
3,135 | 2169 | Restaurante de pizza | Fácil | Matematica | Um amigo seu acabou de se mudar para Linearlandia. Apesar de recém chegado, ele decidiu montar um negócio, um restaurante de Pizza.
Seu amigo está muito feliz na nova empreitada, contudo, com muito medo de errar. Além do preparo da pizza, o restaurante deve se preocupar com a caixa para entrega (que são retangulares), que deverá ser a mesma para todas as pizzas, e com o corte das fatias, que será automatizado e igual para todas as pizzas produzidas.
No momento seu amigo está planejando qual será o tamanho das pizzas (que serão todas círculos perfeitos de um único tamanho), e também qual será o ângulo interno de cada fatia (em graus). Além disso, ele encontrou uma loja de caixas de pizza com ótimos preços, mas não sabe se as caixas são adequadas para as pizzas que ele vai produzir.
A restrição para a caixa de pizza é que a pizza caiba dentro da caixa (mesmo que com alguma folga); a restrição para o ângulo de corte é que todas as fatias sejam de mesmo tamanho (mesmo que seja uma só fatia).
Dados as dimensões da caixa de pizza, o raio da pizza e o ângulo interno da fatia em graus, você deve escrever um programa para determinar se a caixa e o ângulo escolhidos satisfazem às restrições.
#### Entrada
A entrada é composta por quatro linhas, contendo respectivamente os números inteiros $A$, $B$, $R$ e $G$. Os inteiros $A$ e $B$ são as dimensões da caixa de pizza, o inteiro $R$ é o raio da pizza e o inteiro $G$ é o ângulo interno das fatias de pizza.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha na saída, contendo um único caractere, que deve ser
`S` se os dados satisfazem às restrições ou `N` caso contrário.
#### Restrições
* 1$ ≤ A, B, R ≤ 10^9$;
* $1 ≤ G ≤ 360$.
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de testes valendo $13$ pontos, $A = B$;
* Para um conjunto de testes valendo $26$ pontos, $G = 60$;
* Para um conjunto de casos de testes valendo outros $61$ pontos, nenhuma restrição adicional.
_Explicação do exemplo 1:_ A pizza cabe na caixa e a escolha de ângulo divide a mesma igual- mente.
_Explicação do exemplo 2:_ O raio da pizza é $3$, logo, não cabe em uma caixa de lados de tamanho $4$.
_Explicação do exemplo 3:_ O ângulo da fatia é $25$, logo, não resulta em fatias iguais.
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3,136 | 1373 | Kátia e a Decoração de Interiores | Médio | Matematica | Kátia é um exímia decoradora de interiores, que atingiu fama e sucesso devido seu modo peculiar de trabalho: uma vez identificados os $N$ itens que comporão a decoração e as $N$ localizações para estes itens, ela avalia todas as $N!$ possibilidades de posicionamento destes objetos, uma a uma!
Após perder uma série de funcionários, que não aguentavam a estressante rotina do "tira daqui, coloca ali", Kátia encomendou um software que simulava o interior, os itens e as localizações em modelos tridimensionais, e apresentavam todas estas possibilidades em sequência. Como Kátia tem pouca familiaridade com computadores, ela fez a exigência que o programa deveria ter apenas um único botão: para frente!
Neste software, cada objeto e cada localização recebe um identificador inteiro entre 1 e $N$, e uma possibilidade (configuração) do ambiente é armazenada em uma lista de $N$ inteiros, onde o $i$-ésimo número $n_i$ significa que o objeto $n_i$ ocupa a localização $i$. Por exemplo, a configuração $\lbrace 4, 2, 1, 3\rbrace$ significa: objeto 4 na localização 1, objeto 2 na localização 2, objeto 1 na localização 3 e objeto 3 na localização 4. As configuração são geradas e apresentadas na ordem lexicográfica, isto é, ordenadas de forma ascendente.
Kátia logo se adaptou à nova tecnologia, e conseguiu ampliar seu sucesso e renome, pois conseguia resultados mais rapidamente do que nunca. Porém, acabou por sentir falta de um recurso bastante simples: retornar à configuração anterior pois, de vez em quando, ela apertava inadvertidamente o botão avançar!
Auxilie Kátia adicionando esta funcionalidade no software de simulação.
#### Entrada
A entrada é composta por duas linhas: a primeira contém o número de objetos e localizações $N$ e a segunda contém $N$ inteiros $n_i$, separados por espaços em branco, indicando a configuração atual do ambiente.
#### Saída
Imprima, em uma linha, os números $\lbrace m_1, m_2, \ldots, m_N\rbrace$, separados por um espaço em branco, que representam a configuração que antecedia a configuração dada.
Caso a configuração dada seja a configuração inicial do software, imprima o valor $-1$.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^5$
* $1 \leq n_i \leq N$
* $n_i\neq n_j$ se $i\neq j$
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3,137 | 1359 | Azar | Médio | Matematica | Astolfo é um dos mais competentes funcionários da empresa, e sempre é elogiado pelo trabalho preciso e rápido que desenvolve no departamento de recursos humanos. Para os amigos, Astolfo diz que o seu perfeccionismo, na verdade, é fruto de uma cisma: ele se considera a pessoa mais azarada do mundo. Nas palavras dele: "Tenho que tomar cuidado e verificar tudo muitas vezes, pois se algo for dar errado, vai dar muito errado mesmo...".
Cisma ou não, Astolfo deveria enviar os convites do casamento do presidente da empresa para os $N$ membros do conselho diretor mas, por um descuido na hora de colocar os convites nominais nos respectivos envelopes, todos os destinatários receberam um convite errado. Tal fato só reforçou a cisma de Astolfo, conforme ele mesmo relatou num desabafo para um amigo: "Está vendo só? Não bastou errar um dos convites: todos, sem exceção, foram errados! Qual é a chance disso acontecer?"
Tente convencer (ou não) Astolfo que tal fato não é (ou seria?) fruto de seu azar escrevendo um programa que determine a probabilidade do evento que ocorreu. Em termos mais precisos, dados $N$ convites e $N$ envelopes nominais, onde cada convite será colocado, aleatoriamente, em um dos envelopes (um convite apenas por envelope), calcule a probabilidade de que nenhum convite seja colocado no envelope correto (isto é, que o nome preenchido no convite seja sempre diferente do nome escrito no envelope).
#### Entrada
A entrada é composta por uma única linha, contendo o número $N$ de convites e envelopes.
#### Saída
Imprima, em uma linha, a mensagem "$p$/$q$", onde $p$/$q$ é uma fração irredutível que representa a probabilidade de todos os convites serem colocados nos envelopes errados.
#### Restrições
* $2\leq N\leq 20$ |
3,138 | 1377 | O Loteamento | Médio | Matematica | Um fazendeiro resolveu lotear parte da sua fazenda para receber temporariamente uma série de desabrigados de uma enchente. Sendo uma pessoa sistemática e metódica, começou inicialmente definindo uma unidade de medida $u$, e usou esta unidade para medir $A$ unidades, em linha reta, acompanhando a margem do riacho que cruza a fazenda, e delimitou esta reta $r$ com uma cerca.
O objetivo do fazendeiro é medir $B$ unidades de medida, na perpendicular da cerca, de modo que ele possa dividir lotes quadrados de, no mínimo, 2$u$ de lado, que modo que todos os lotes do retângulo $AB$ resultante sejam idênticos em medidas e que não sobre nenhum espaço do interior do retângulo que não faça parte de um lote.
Por exemplo, para $A$ = 12, ele teria 8 possibilidades:
1. Escolher $B$ = 2, delimitando 6 lotes de medidas 2 x 2;
1. Escolher $B$ = 3, delimitando 4 lotes de medidas 3 x 3;
1. Escolher $B$ = 4, delimitando 3 lotes de medidas 4 x 4 ou 12 lotes 2 x 2;
1. Escolher $B$ = 6, delimitando 18 lotes de medidas 2 x 2 ou 2 lotes 6 x 6;
1. Escolher $B$ = 8, 9, 10 ou 12, cada um com suas possibilidades.
Auxilie o fazendeiro escrevendo um programa que determine o número máximo de inteiros positivos distintos que podem ser valores de $B$, conforme os critérios do fazendeiro.
#### Entrada
A entrada consiste em uma linha contendo o inteiro $A$.
#### Saída
Imprima, em uma linha, o número máximo de valores inteiros positivos $m$ que a medida $B$ pode assumir, de acordo com o valor de $A$ e os critérios do fazendeiro.
#### Restrições
* $2 \leq A \leq 10^5$
* $2 \leq B \leq A$
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3,139 | 1606 | Área de um triângulo | Médio | Matematica | Dados $3$ pontos $A$, $B$ e $C$, sua tarefa é achar a área do triângulo $ABC$.
#### Entrada
A entrada irá conter três linhas. Cada uma irá descrever um vértice do triângulo indicando suas coordenadas.
#### Saída
A saída deve conter um número inteiro indicando a área do triângulo (pelas restrições, é possível provar que a área do triângulo será inteira).
#### Restrições
* As coordenadas dos pontos são inteiros **pares**
* O valor absoluto das coordenadas é menor igual a $2*10^6$
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3,140 | 1626 | Sentido horário e anti-horário | Médio | Matematica | Dado 3 pontos não colineares $A$, $B$ e $C$, imprima se o vetor $\overrightarrow{AC}$ está orientado no sentido horário ou anti-horário (lado direito ou esquerdo) do vetor $\overrightarrow{AB}$.
#### Entrada
A entrada contém 3 linhas representando os pontos $A$, $B$ e $C$, respectivamente. Cada linha contém dois inteiros, representando as coordenadas de cada ponto.
#### Saída
A saída deve conter o número "1" se $\overrightarrow{AC}$ está orientado no sentido anti-horário de $\overrightarrow{AB}$, ou "-1" caso contrário.
#### Restrições
- O valor absoluto das coordenadas é menor ou igual a $10^{9}$ |
3,141 | 1399 | Strings p-árias | Difícil | Matematica | O $i$-ésimo caractere da $N$-ésima string $p$-ária $S_N^p$ é definido como
$$S_N^p[i] = \left\lbrace \begin{array}{ll} 1, & \mathrm{se}\ p\ \mathrm{divide}\ {N\choose i}\\\\ 0, & \mathrm{caso\ contrario}\end{array}\right.$$
com $i = 0, 1, \ldots, N$.
Por exemplo, $S_2^2$ = "`010`", pois
$${2\choose 0} = 1, {2\choose 1} = 2, {2\choose 2} = 1$$
Dados os valores de $N$ e $p$, determine $S_N^p$.
#### Entrada
A entrada consiste em uma única linha, contendo os valores $N$ e $p$, separados por um espaço em branco, onde $p$ é um número primo.
#### Saída
Imprima, em uma linha, a string $S_N^p$.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^{5}$
* $2 < p \leq 101$
* $p$ é primo
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3,142 | 1615 | Distância entre um ponto e uma reta | Médio | Matematica | Dado um ponto $P$ e uma reta $r$, a sua tarefa é achar a distância entre $P$ e $r$.
_**Relembrando**: a distância entre um ponto $P$ e uma linha $r$ é a menor distância entre $P$ e algum ponto $X$ na linha $r$_
#### Entrada
A entrada irá conter três linhas com cada uma descrevendo as coordenadas dos pontos $A$, $B$ e $P$. A reta $r$ é a reta que passa pelos pontos $A$ e $B$.
#### Saída
A saída deve conter somente um número real representando a distância entre $P$ e $r$.
Sua resposta é considerada correta se o erro absoluto ou relativo não exceder $10^{-3}$. Formalmente, seja $a$ sua resposta e $b$ a resposta do juiz. Sua resposta será aceita se e somente se $\frac{|a−b|}{max(1,|b|)} \leqslant 10^{-3}$.
#### Restrições
* $A \neq B$
* As coordenadas dos pontos são inteiras
* O valor absoluto das coordenadas dos pontos é menor ou igual a $10^6$ |
3,143 | 637 | Supermercado | Médio | Matematica | A rede de supermercados BemBom, da cidade de Planalto, decidiu reformular o armazenamento de seus estoques. No sistema atual, cada uma das lojas da rede possui espaço para armazenar um pequeno estoque, sendo freqüentemente necessário transportar mercadorias de uma loja para outra. Para racionalizar o transporte e aumentar a capacidade de estoque, a direção da rede BemBom decidiu instalar um depósito central. De forma a diminuir os custos com transporte, ficou definido que o novo depósito deve ser localizado em um quarteirão que minimize a soma das distâncias dele até todas as lojas da rede.
Por ser uma cidade planejada, Planalto possui uma característica muito peculiar. Todas as suas ruas são orientadas na direção leste-oeste ou norte-sul, e todos os quarteirões são do mesmo tamanho.
Veja uma parte do mapa de Planalto na figura abaixo. Os quarteirões em Planalto são identificados pelo número de quadras, em cada direção, que os separam da localização da prefeitura (0,0). Localizações a leste e a norte da prefeitura são identificadas por coordenadas positivas, e localizações a oeste e a sul por coordenadas negativas.
A sua tarefa é, dadas as coordenadas dos quarteirões onde estão localizados todos os supermercados da rede, determinar o quarteirão onde deve ser instalado o novo depósito. A localização deste
depósito deve ser tal que a soma das distâncias entre o depósito e as lojas, em número de quarteirões em ambas as direções, seja a menor possível. A distância entre dois quarteirões é dada pela
distância entre eles na direção leste-oeste mais a distância na direção norte-sul. Por exemplo, a
distância entre os quarteirões (2,-1) e (4, 3) é 2 + 4 = 6.
#### Entrada
A entrada é composta de vários conjuntos de teste. A primeira linha de cada conjunto de teste contém um número inteiro $S$ que é o número de supermercados da rede. A seguir, são dadas $S$ linhas, cada uma contendo dois números inteiros $X$ e $Y$, representando as coordenadas do quarteirão onde se situa um dos supermercados. $X$ representa a coordenada na direção leste-oeste e $Y$ representa a coordenada na direção norte-sul. O final da entrada é dado por um conjunto de teste com $S = 0$.
#### Saída
Para cada conjunto de teste, o seu programa deve escrever três linhas na saída. A primeira linha deve conter um identificador do conjunto de teste, no formato “Teste n”, onde $n$ é numerado sequencialmente a partir de 1. A segunda linha deve conter as coordenadas $X$ e $Y$ do quarteirão onde deve ser instalado o novo depósito, separadas por um espaço em branco. Se mais de um quarteirão puder ser escolhido como localização do depósito, seu programa pode imprimir qualquer um deles. A terceira linha deve ser deixada em branco. O formato do exemplo de saída abaixo deve ser seguido rigorosamente.
#### Restrições
* $0 \leq S \leq 1000$ ($S = 0$ apenas para indicar o final da entrada)
* $-1000 \leq X \leq 1000$
* $-1000 \leq Y \leq 1000$
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3,144 | 1353 | Exponenciação Super Rápida | Médio | Matematica | Sua tarefa é simples: Calcule $B^E$ $mod$ $M$.
Em outras palavras, calcule o resto da divisão de $B^E$ quando dividido por $M$.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém o número inteiro $B$.
A segunda linha da entrada contém o número inteiro $E$.
A terceira linha da entrada contém o número inteiro $M$.
#### Saída
A saída é composta por um único inteiro representando o valor da expressão.
#### Restrições
* $0 \leq B \leq 10^{10^5}$
* $0 \leq E \leq 10^{10^5}$
* $1 \leq M \leq 10^9$
* Se $B=0$ então $E \neq 0$
* Se $E=0$ então $B \neq 0$
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3,145 | 428 | Camadas de Cebola | Difícil | Matematica | Dr. Kabal, um reconhecido biólogo, recentemente descobriu um líquido que é capaz de curar as mais avançadas doenças. O líquido é extraído de uma cebola muito rara que pode ser encontrada em um país chamado Cebolândia. Mas nem todas cebolas de Cebolândia são apropriadas para se levar ao laboratório para processamento. Somente cebolas com um numero ímpar de camadas contém o líquido milagroso. Isto é uma descoberta ímpar!
<div class="row text-center justify-content-center">Figura 1: Cebola de Cebolândia</div>
<br>
Dr. Kabal contratou muitos assistentes de pesquisa para coletar e analisar cebolas para ele. Como ele não quer compartilhar sua descoberta com o mundo ainda, ele não disse para os assistentes procurarem por cebolas com um numero ímpar de camadas. Ao invés disso, a cada assistente foi dada a tarefa de coletar cebolas, e selecionar pontos de cada uma das beiradas da camada mais externa, isso dá uma aproximação da estrutura de camadas da cebola que pode ser reconstruída depois. Dr. Kabal disse aos assistentes que o próximo passo seria a "análise complicada" desses pontos. De fato, tudo que eles farão é usar os pontos para contar o número de camadas em cada uma das cebolas, e selecionar aquelas com um número ímpar de camadas.
<div class="row text-center justify-content-center">Figura 2: Pontos coletados por um assistente</div>
<br>
É claro que a aproximação obtida por Dr. Kabal, dos pontos coletados, pode ter uma aparência diferente da cebola original. Por exemplo, somente alguns pontos da cebola mostrada na figura 1 podem ser extraídos no processo, dando origem a um conjunto de pontos como mostrado na figura 2. Com estes pontos Dr. Kabal tentará aproximar as camadas originais da cebola, obtendo algo como mostrado na figura 3. O procedimento de aproximação seguido pelo Dr. Kabal (cujo resultado é mostrado na figura 3) é simplesmente recursivamente encontrar polígonos convexos aninhados tais que no fim todo ponto pertencerá a um dos polígonos. Os assistentes foram informados para selecionar pontos de tal forma que o número de camadas na aproximação, se feita desta forma recursiva, seja o mesmo que na cebola original, o que é bom para o Dr. Kabal. Os assistentes também estão cientes de que eles precisam de pelo menos três pontos para aproximar uma camada, mesmo as internas.
<div class="row text-center justify-content-center">Figura 3: Aproximação do Dr. Kabal</div>
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Sua tarefa é escrever um programa que, dado o conjunto de pontos coletado pelo assistente (como mostrado na figura 2), determine se a respectiva cebola pode ser levada para o laboratório.
#### Entrada
A entrada contém vários casos de teste. Cada caso de teste consiste de um inteiro $3 \leq N \leq 2000$ em uma linha simples, indicando o número de pontos coletados pelo assistente. A seguir, haverão $N$ linhas, cada uma contendo dois inteiros $-2000 \leq X, Y \leq 2000$ correspondendo às coordenadas de cada ponto. A entrada terminará com $N = 0$, que não deve ser processado.
#### Saída
Deverá haver uma linha de saída para cada caso de teste na entrada. Para cada caso de teste imprima a string
<b>Take this onion to the lab!</b>
se a cebola deve ser levada para o laboratório ou
<b>Do not take this onion to the lab!</b>
se a cebola não deve ser levada para o laboratório. |
3,146 | 812 | Proibido Passar Reto | Muito Difícil | Matematica | No país 2d de Cartesilândia todos os cidadãos, os quais são seres adimensionais, vivem em paz seguindo suas vidas se movendo em suas trajetórias retilíneas. Eles seguem apenas uma única lei: é proibido passar reto!
É isso mesmo. Os cartesianos, como são chamados os seres que vivem em Cartesilândia (e não por acaso), não podem traçar uma trajetória que em algum ponto no futuro ou passado cruze a trajetória de outro cartesiano em um ângulo de $90$ graus. É permitido a eles seguirem trajetórias concorrentes, até paralelas, mas perpendicularismo jamais!
Alguns cartesianos ousados descumpriram a lei e foi incumbido a você a tarefa de restabelecer a ordem e a paz em cartesilândia, aplicando a pena máxima aos infratores: o ostracismo. Você terá que banir para outro plano de existência vários infratores, de modo que reste o máximo de cidadãos em Cartesilândia os quais não estarão passando reto na trajetória de ninguém.
Sua tarefa será difícil, ainda mais porque você não pode afirmar com certeza quando começou a trajetória de um cartesiano. Só foi fornecido a você duas localizações distintas em que cada um deles esteve e nem ao menos a ordem cronológica. Logo, você irá assumir a trajetória de cada ser como a reta infinita que passa nos dois pontos fornecidos.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro $N$, a quantidade de cidadãos em Cartesilândia.
Seguem-se $N$ linhas, onde a $i$-ésima dessas linhas contém $4$ inteiros $X_A$, $Y_A$, $X_B$, $Y_B$, representando as coordenadas dos dois pontos da trajetória do $i$-ésimo cidadão. $(X_A, Y_A)$ são as coordenadas do primeiro ponto, e $(X_B, Y_B),$ as do segundo.
#### Saída
A saída consiste de uma única linha contendo um número inteiro com a quantidade máxima de Cartesianos restantes dentro da lei.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^5$
* $-10^9 \leq X_A, Y_A, X_B, Y_B \leq 10^9$
Para um conjunto de testes valendo 25 pontos:
* $1 \leq N \leq 10^2$
* $1 \leq X_A, Y_A, X_B, Y_B \leq 10^3$
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3,147 | 1627 | Intersecção de segmentos | Médio | Matematica | Dado quatro pontos $P_1$, $Q_1$, $P_2$ and $Q_2$, imprima se os segmentos $\overline{P_1Q_1}$ e $\overline{P_2Q_2}$ se interceptam. Nesse problema não haverá nenhum caso com três pontos colineares.
### Entrada
A entrada contém 4 linhas, representando os pontos $P_1$, $Q_1$, $P_2$ and $Q_2$, respectivamente. Cada linha contém dois inteiros, representando as coordenadas de cada ponto.
### Saída
A saída deve conter o número "1" se os dois segmentos se interceptam, ou "0" se eles não se interceptam.
### Restrições
- O valor absoluto das coordenadas é menor ou igual a $10^{9}$. |
3,148 | 381 | Jogo | Difícil | Matematica | Alice e Roberta são duas irmãs que inventaram seu próprio jogo. Elas possuem um conjunto de pequenas moedas, tão pequenas que podem ser vistas como pontos no plano. O jogo funciona da seguinte forma. Primeiro, elas dispõe as moedas no chão viradas para baixo, ou seja, sem ver seus valores. Depois, as moedas são viradas para cima, e seus valores são então revelados. Por fim, cada irmã escolhe necessariamente uma moeda, e as duas moedas escolhidas são ligadas com um fino barbante esticado. A pontuação das duas será, então, a soma dos valores de todas as moedas tocadas pelo barbante.
As moedas foram colelecionadas pelas irmãs em viagens a diferentes edições da IOI, inclusive a países bem peculiares onde há moedas para representar dívidas, com valores negativos, o que torna o jogo ainda mais divertido. Querendo ajudar nossos futuros representantes na competição a praticarem, elas propuseram o seguinte problema: dadas as disposições das moedas no chão e seus valores, qual é a maior pontuação que se pode obter ligando duas moedas por um barbante esticado e somando os valores das moedas tocadas pelo barbante, incluindo em suas extremidades?
#### Entrada
A primeira linha da entrada possui um inteiro, o número de moedas $N$. As $N$ linhas seguintes possuem 3 inteiros cada uma. A i-ésima dessas linhas possui três inteiros $x_i$, $y_i$ e $v_i$, separados por espaço, representando respectivamente as coordenadas do ponto da i-ésima moeda no plano do chão e seu valor $v_i$.
#### Saída
Imprima uma linha contendo um número: a maior pontuação que se pode obter no jogo criado por Alice e Roberta, dada a disposição das moedas no chão.
#### Restrições
* $2 \leq N \leq 3000$.
* $-10^9 \leq xi, yi, vi \leq 10^9$.
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de testes somando 10 pontos, todos os pontos da entrada serão colineares.
* Em um conjunto de casos de testes somando 25 pontos, $N \leq 300$.
* Em um conjunto de casos de testes somando 65 pontos, não há restrições adicionais. |
3,149 | 1370 | Produto Vetorial | Nível Desconhecido | Matematica |
Carlos Ravick é um estudante de programação e amante das disciplinas de exatas. Muito famoso por desenvolver algoritmos que resolvem problemas de matemática e física.
Seus colegas o procuraram para que ele fizesse um programa em que dados as posições de x¹, y¹, x² e y² imprima se o produto vetorial destes pontos são: paralelos (ou seja, tem ângulo igual a 180º), são maiores (tem ângulo maior que 180º), ou se são menores (tem ângulo menor que 180º).
#### Entrada
A entrada é composta pelas coordenadas dos pontos: x¹, y¹, x² e y².
#### Saída
A saída deverá ter mensagens indicando se o produto é igual, maior ou menor, conforme o exemplo abaixo.
#### Restrições
* $-10^{2} \leq x \leq 10^{2}$
* $-10^2 < y \leq 10^2$
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3,150 | 1329 | Fatorial | Fácil | Matematica |
O fatorial de um número inteiro positivo $N$, denotado por N!, é definido como o produto dos inteiros positivos menores do que ou iguais a $N$. Por exemplo 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.
Dado um inteiro positivo $N$, você deve escrever um programa para determinar o menor número k tal que $N = a_1! + a_2! + ... + a_k!$, onde cada ai, para $1 \ \leq \ i \ \leq \ k$, é um número inteiro positivo.
Por exemplo, para $N$ = 10 a resposta é 3, pois é possível escrever $N$ como a soma de três números fatoriais: 10 = 3! + 2! + 2!. Para $N$ = 25 a resposta é 2, pois é possível escrever $N$ como a soma de dois números fatoriais: 25 = 4! + 1!.
#### Input
A entrada consiste de uma única linha que contém um inteiro $N \ (1 \ \leq \ N \ \leq \ 10^5)$.
#### Output
Seu programa deve produzir uma única linha com um inteiro representando a menor quantidade de números fatoriais cuja soma é igual ao valor de $N$.
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3,151 | 618 | Quadrado Mágico (OBI 2006) | Médio | Matematica | Senhor Coelho é conhecido mundialmente pela fabricação de quadrados mágicos de dimensões $3 \times 3$. Um quadrado é chamado mágico quando a soma dos elementos de uma determinada linha, coluna ou diagonal é sempre igual.
Infelizmente, assaltantes invadiram recentemente a oficina do Sr. Coelho e roubaram alguns dos números de seus quadrados mágicos. Felizmente os meliantes não conseguiram roubar mais do que 3 números de cada quadrado. Desesperado, pois devia entregar os quadrados naquele dia, o Sr. Coelho veio procurar a sua ajuda para tentar completar os quadrados com os números faltantes.
Escreva um programa que, dado um quadrado mágico com alguns números faltando, determine qual era o quadrado mágico original.
#### Entrada
A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado). A entrada contém três linhas, cada uma contendo três inteiros $N$. O número zero representa os dígitos que foram roubados. Existem no máximo três números zero na entrada.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, três linhas, cada uma contendo três inteiros, descrevendo a configuração original do quadrado mágico.
#### Restrições
* $0 \leq N \leq 20000$ |
3,152 | 1948 | Quantas páginas? | Fácil | Matematica | Ovatsug é um programador muito interessado em livros.
Mês passado ele foi contratado para trabalhar numa editora, cujos livros tem uma característica especial: todos são no formato de perguntas e respostas.
Cada livro possui um número $Q$ de perguntas e, evidentemente, cada pergunta possui sua resposta. Em média cada pergunta possui $L_q$ linhas e cada resposta possui $L_r$ linhas. Além disso, sabe-se que cada página do livro pode conter até $L_p$ linhas.
Nesta editora, tem se tornado comum estimar o número de páginas que cada livro conterá, para que se possa decidir se vale a pena ou não editar tal livro. Dizem as más línguas que se o livro passar de 400 páginas as pessoas tendem a não comprá-lo. Mas esse não é o foco aqui.
Como não há ninguém disponível na editora para ficar fazendo essa conta, pediram para que o Ovatsug construísse um programa que fizesse esse cálculo.
O problema é que ele está muitíssimo interessado em ler um livro conhecido por ser a base para todo maratonista de programação chamado **Competitive Programming 3** e não está tendo tempo de implementar tal programa.
Você pode ajudá-lo?
_Não se esqueça de que mesmo que uma página não seja completamente utilizada ela é contabili- zada inteiramente, logo a quantidade de páginas utilizadas é sempre um número inteiro._
#### Entrada
A entrada inicia com um número $T (1 ≤ T ≤ 10^5)$ que indica o número de casos de teste.
Seguem $T$ linhas, cada uma contendo 4 números inteiros $Q$, $L_q$, $L_r$ e $L_p (1 ≤ Q, L_q, L_r, L_p ≤ 10^5)$ indicando o número de questões, a quantidade de linhas por questão, a quantidade de linhas por resposta e a quantidade máxima de linhas que uma página pode ter, respectivamente.
#### Saída
Sendo $P$ o número de páginas do livro, a saída deve ser no formato “O livro contera P paginas.”, se $P > 1$ e “O livro contera 1 pagina.”, se $P = 1$.
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3,153 | 2316 | Epidemia | Médio | Matematica | Uma nova pandemia é sempre possível (e temida), mas a experiência recente mostrou que atualmente a ciência é capaz de desenvolver vacinas eficazes em muito pouco tempo. Outra consequência da pandemia recente é que muito se estudou sobre epidemias em geral, e vários modelos matemáticos foram desenvolvidos.
Neste problema vamos usar um modelo simples de epidemia:
* Quando uma pessoa é infectada, ela infecta outras R pessoas, mas apenas no dia seguinte à sua infecção (R é chamado de fator reprodutivo da infecção).
* Ninguém é infectado mais do que uma vez.
Por exemplo, se no dia 0 da epidemia 3 pessoas são infectadas e o fator reprodutivo R é igual a 2, então no dia 1 outras 6 pessoas são infectadas (3 + 6 = 9 pessoas no total), no dia 2 outras 12 pessoas são infectadas (3 + 6 + 12 = 21 pessoas no total), no dia 3 outras 24 pessoas infectadas (3 + 6 + 12 + 24 = 45 pessoas no total), e assim por diante.
Dados o número inicial de pessoas infectadas no dia 0 e o fator reprodutivo R da epidemia, escreva um programa para determinar qual o número de dias necessários para a epidemia infectar P ou mais pessoas no total.
#### Entrada
A primeira linha contém um inteiro N, o número de pessoas infectadas no dia 0. A segunda linha contém o fator reprodutivo R da infecção. A terceira e última linha contém um inteiro P, o número alvo de pessoas infectadas.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um único inteiro, o número de dias para P ou mais pessoas serem infectadas.
#### Restrições
* $1 ≤ N ≤ 1 000$
* $1 ≤ R ≤ 10$
* $1 ≤ P ≤ 1 000 000$
#### Informações sobre a pontuação
* A tarefa vale 100 pontos.
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3,154 | 679 | Fibonacci? | Difícil | Matematica |
A sequência de Fibonacci é uma das mais conhecidas do mundo. Nela, cada termo é soma dos dois termos anteriores, ou seja:
$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Onde $F_1 = F_2 = 1$.
Sabendo disso, sua tarefa é simples. Dado um número $N$ na entrada, determine se ele pertence à sequencia de Fibonacci ou não.
#### Entrada
A entrada é composta por uma única linha contendo o número inteiro $N$.
#### Saída
A saída consiste de uma linha contendo a mensagem "SIM" caso o número informado pertença à sequência de Fibonacci, ou "NAO", caso contrário.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^{10^6}$
#### Restrições adicionais
* $1 \leq N \leq 10^{10^2}$, em 25% dos casos de teste. |
3,155 | 651 | Macaco-prego | Médio | Matematica | O macaco-prego é um animal irrequieto e barulhento, merecedor também dos adjetivos desordeiro e despudorado. A sua cabeça, encimada por uma densa pelagem negra ou marrom-escura, semelhante a um gorro, torna seu aspecto inconfundível. Apesar de ser o macaco mais comum nas matas do país, uma de suas sub-espécies encontra-se seriamente ameaçada de extinção: o macaco-prego-do-peito-amarelo, que se distingue das demais pela coloração amarelada do peito e da parte anterior dos braços.
Um grande esforço foi feito pelos primatologistas para aumentar a população dos macacos-pregodo peito-amarelo. Sabe-se que eles se alimentam de plantas, das quais consomem preferencialmente frutos e brotos. Alimentam-se também de muitos animais, preferencialmente lesmas, lagartas e rãs, e preferem as florestas mais densas. Para determinar o melhor local do país para criar uma nova reserva ambiental para os macacos-prego-do-peito-amarelo, o governo fez um levantamento das regiões no país onde as condições preferidas desses animais ocorrem: regiões de floresta densa, regiões com frutos, regiões com muitos brotos, etc. Ajude a salvar os macacos-pregodo-peito-amarelo.
As regiões propícias para o macaco-prego-do-peito-amarelo foram determinadas como retângulos cujos lados são todos verticais ou horizontais. Sua tarefa é encontrar o local ideal para a reserva ambiental, definida como a interseção de todas as regiões dadas.
As regiões foram divididas de tal forma que uma região não tangencia qualquer outra região. Assim, a interseção entre quaisquer duas regiões ou é um retângulo ou é vazia.
#### Entrada
Seu programa deve ler vários conjuntos de teste. A primeira linha de um conjunto de teste contém um inteiro não negativo, $N$, que indica o número de regiões (o valor $N = 0$ indica o final da entrada). Seguem-se $N$ linhas, cada uma contendo quatro números inteiros $X$, $Y$, $U$ e $V$ que descrevem uma região: o par $X$, $Y$ representa a coordenada do canto superior esquerdo e o par $U$, $V$ representa a coordenada do canto inferior direito de um retângulo.
#### Saída
Para cada conjunto de teste da entrada seu programa deve produzir três linhas na saída. A primeira linha deve conter um identificador do conjunto de teste, no formato “Teste n”, onde $n$ é numerado a partir de 1. A segunda linha deve conter as coordenadas do retângulo de interseção encontrado pelo seu programa, no mesmo formato utilizado na entrada. Caso a interseção seja vazia, a segunda linha deve conter a expressão “nenhum”. A terceira linha deve ser deixada em branco. A grafia mostrada no Exemplo de Saída, abaixo, deve ser seguida rigorosamente.
#### Restrições
* $0 \leq N \leq 10000$ ($N = 0$ apenas para indicar o fim da entrada)
* $-10000 \leq X \leq 10000$
* $-10000 \leq Y \leq 10000$
* $-10000 \leq U \leq 10000$
* $-10000 \leq V \leq 10000$ |
3,156 | 2434 | Pizza da OBI | Fácil | Matematica | O prof. Carlos comprou pizzas para servir um lanche para os estudantes que compareceram à prova da OBI na escola. Infelizmente ele não conseguiu comprar todas as pizzas de mesmo tamanho: comprou pizzas de 8 pedaços e pizzas de 6 pedaços. Mas felizmente cada pedaço, de qualquer pizza, tem exatamente a mesma quantidade de pizza. O prof. Carlos vai distribuir para os participantes o maior número de pedaços possíveis, mas no máximo um pedaço de pizza para cada participante. Os pedaços de pizza serão distribuídos somente para participantes da prova.
Dados o número de participantes da prova da OBI e o número de pizzas de cada tamanho, escreva um programa para determinar o número de pedaços de pizza que sobram. Note que é possível que não sobre nenhum pedaço, e é possível também que alguns alunos não recebam um pedaço de pizza.
#### Entrada
A primeira linha contém um inteiro $N$, o número de participantes na prova da OBI. A segunda linha contém um inteiro $G$, o número de pizzas de 8 pedaços. A terceira e última linha contém um inteiro $M$, o número de pizzas de 6 pedaços.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um único inteiro, o número de pedaços de pizza que sobram.
#### Restrições
- $1 \leq N \leq 500000$
- $1 \leq G \leq 100$
- $1 \leq M \leq 100$ |
3,157 | 2409 | Novembro | Fácil | Matematica | Dados dois números inteiros $A$ e $B$.
Imprima '1' se o dia $B$ semanas após novembro de $A$, $2022$ estiver em novembro de $2022$ e '0' se não estiver em novembro de $2022$.
Observe que November $2022$ é o período de $30$ dias entre $1$ de novembro de $2022$ e $30$ de novembro de $2022$, e o dia $x$ semanas depois é o dia ($7 × x$) dias depois.
#### Entrada
A entrada é fornecida no seguinte formato.
$A$
$B$
#### Saída
Imprima '1' se o dia $B$ semanas após $A$, $2022$ de novembro estiver em $2022$ de novembro, ou '0' se não estiver em $2022$ de novembro.
#### Restrições
* $1 \leq A \leq 30$.
* $1 \leq B \leq 5$.
* Todos os valores de entrada são inteiros.
##### Explicação do exemplo de entrada/saída 1:
O dia uma semana depois de November $19$, $2022$ é November $26$, $2022$. Como essa data é em novembro de $2022$, o output é '1'.
##### Explicação do exemplo de Entrada/saída 2:
O dia quatro semanas depois de novembro $3$, $2022$ é dezembro $1$, $2022$. Como essa data não está em novembro de $2022$, a saída é '0'. |
3,158 | 190 | Manolo na Fazenda da Vovó | Difícil | Matematica | Manolo resolveu passar férias na fazendo da vovó. Caminhando pela fazenda ele encontrou um lago. No meio do lago havia um sapo repousando sobre uma pedra. Olhando mais atentamente, ele percebeu que além da pedra que o sapo estava repousando havia várias outras pedras formando um círculo perfeito.
O círculo é formado por $N$ pedras e a distância entre pedras adjacentes é igual a um metro. Manolo ficou observando o sapo pular de uma pedra para outra.
O sapo faz um circuito de pulos de $K \leq N$ metros de distância, até que ele volta para o começo ou até executar $N - 1$ pulos. Como o sapo é preguiçoso ele prefere não saltar $N-1$ vezes sem voltar pra sua pedra inicial.
Manolo então se perguntou para quais valores de $K$ o sapo volta para a pedra inicial em no máximo $N-1$ pulos. Não contente em resolver apenas esse problema, ele também pensou: e se o círculo de pedras tivesse uma quantidade diferente de pedras?
#### Entrada
Um único inteiro $M$. Cada uma das próximas $M$ linhas possuem um o número $N_i$ correspondendo a quantidade de pedras no circuito.
#### Saída
Para cada linha da entrada imprima o número de tamanhos de salto que permitem o sapo voltar para a pedra inicial em no máximo $N_i-1$ saltos.
#### Restrições
* $1 \leq M \leq 10^5$
* $1 \leq N_i \leq 10^6$
#### Informações de Pontuação
* $1 \leq M \leq 100$ e $1 \leq N_i \leq 1000$, Para um conjunto de casos valendo 25 pontos.
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3,159 | 90 | Hipercampo | Difícil | Matematica | São dadas duas âncoras, dois pontos $A = ( X_A , 0)$ e $B = ( X_B , 0)$, formando um segmento horizontal, tal que $0 < X_A < X_B$ , e um conjunto $P$ de $N$ pontos da forma $( X, Y )$, tal que $X > 0$ e $Y > 0$. A figura mais à esquerda exemplifica uma possível entrada.
Para “ligar” um ponto $v \in P$ precisamos desenhar os dois segmentos de reta $( v, A )$ e $( v, B )$. Queremos ligar vários pontos, mas de modo que os segmentos se interceptem apenas nas âncoras. Por exemplo, a figura do meio mostra dois pontos, 1 e 4, que não podem estar ligados ao mesmo tempo, pois haveria interseção dos segmentos fora das âncoras. A figura mais à direita mostra que é possível ligar pelo menos 3 pontos, 8, 5 e 3, com interseção apenas nas âncoras.
Seu programa deve computar o número máximo de pontos que é possível ligar com interseção de segmentos apenas nas âncoras.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém três inteiros, $N$ ($1 \leq N \leq 100$), $X_A$ e $X_B$ ($0 < X_A < X_B \leq 10^4$ ), representando, respectivamente, o número de pontos no conjunto $P$ e as abscissas das âncoras $A$ e $B$ . As $N$ linhas seguintes contêm, cada uma, dois inteiros $X_i$ e $Y_i$ ($0 < X_i , Y_i \leq 10^4$ ), representando as coordenadas dos pontos, para $1 \leq i \leq N$ . Não há pontos coincidentes e não há dois pontos $u$ e $v$ distintos tais que { $A, u, v$ } ou { $B, u, v$ } sejam colineares.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma linha contendo um inteiro, representando o número máximo de pontos de $P$ que podem ser ligados com interseção de segmentos apenas nas âncoras.
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3,160 | 1745 | Figurinhas | Difícil | Matematica | Ana adora colecionar álbuns de figurinhas. Recentemente, ela comprou um álbum novo e faltam apenas $20$ figurinhas para completá-lo. Para conseguir as figurinhas faltantes, ela anda a pé pela cidade e vai parando nas bancas de jornal que encontra no caminho. De tanto caminhar, ela percebeu que existem exatamente $N$ bancas pela cidade, conectadas por ruas, e que só existe um único caminho entre duas bancas diferentes, ou seja, para cada par de bancas $U$ e $V$ onde $1 \leq U \leq V \leq N$, só há uma maneira de partir de $U$ e chegar em $V$ e vice-versa.
Por comprar muitas figurinhas, Ana se tornou cliente VIP de todas as bancas, então ela sabe exatamente quais figurinhas cada banca vende. Como ela quer montar seu álbum o mais rápido possível, ela sempre quer comprar o maior número de figurinhas distintas umas das outras quando estiver andando por um caminho, e ela gostaria de poder saber esse número facilmente.
Você é uma grande amiga de Ana e se propôs a ajudá-la nessa missão, construindo um programa que a permita consultar o número máximo de figurinhas distintas que ela consegue comprar no caminho entre uma banca de origem $S$ até uma banca $D$.
#### Entrada
Na primeira linha da entrada, serão dados dois inteiros $N$ e $S$ que correspondem, respectivamente, à quantidade de bancas de jornal e à banca de origem.
As próximas $N$ linhas terão cada uma um inteiro $K_i$, a quantidade de figurinhas distintas que Ana precisa para seu álbum vendidas na $i$-ésima banca, seguida de $K_i$ inteiros, onde cada inteiro $F_k$ representa o identificador de uma dessas figurinhas.
As próximas $N−1$ linhas conterão dois inteiros $U$ e $V$, representando que existe uma rua conectando as bancas $U$ e $V$.
Na próxima linha haverá um inteiro $Q$, a quantidade de consultas.
Por fim, cada uma das próximas $Q$ linhas terão um inteiro $D_q$, representando a banca de destino da $q$-ésima consulta feita por Ana.
#### Saída
Para cada uma das $Q$ consultas, imprima a quantidade máxima de figurinhas distintas que Ana consegue comprar saindo da banca de jornal de origem e chegando na banca de jornal $D_q$.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^5$
* $1 \leq Q \leq N$
* $1 \leq U, V, S, D_q \leq N$, onde $1 \leq q \leq Q$
* $1 \leq K_i, F_k \leq 20$, onde $1 \leq i \leq N$ e $1 \leq k \leq K_i$
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste somando $10$ pontos, é garantido que $1 \leq N, Q \leq 1000$ e $K_i= 1$, para todos as bancas, ou seja, $K_i= 1$, $1 \leq i \leq N$.
* Em um conjunto de casos de teste somando $10$ pontos, é garantido que $1 \leq N, Q \leq 1000$.
* Em um conjunto de casos de teste somando $20$ pontos, é garantido que $1 \leq N \leq 10^5$ e $Q= 1$.
* Em um conjunto de casos de teste somando $20$ pontos, é garantido que $K_i= 1$, para todos as bancas, ou seja, $K_i= 1$, $1 \leq i \leq N$ e $1 \leq N, Q \leq 10^5$.
* Em um conjunto de casos de teste somando $40$ pontos, nenhuma restrição adicional. |
3,161 | 2174 | Quadrado | Médio | Matematica | Um _quadrado fantástico_ é um conjunto de números inteiros positivos dispostos em $N$ linhas por $N$ colunas tal que:
* Não há números repetidos no quadrado.
* A média dos números em cada linha é um número inteiro que está presente na linha.
* A média dos números em cada coluna é um número inteiro que está presente na coluna.
#### Entrada
A primeira e única linha da entrada contém um número inteiro $N$, indicando a dimensão do quadrado.
#### Saída
Seu programa deve produzir $N$ linhas, cada uma contendo $N$ números inteiros $X_i$, representando um quadrado fantástico.
#### Restrições
* $1 ≤ N ≤ 40$
* $1 ≤ X_i ≤ 1$ $000$ $000$
#### Informações sobre a pontuação
* Para um conjunto de casos de testes valendo $44$ pontos, $1 ≤ N$ é ímpar.
* Para outro conjunto de casos de testes valendo $56$ pontos, nenhuma restrição adicional.
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3,162 | 1616 | Distância entre um ponto e um segmento | Médio | Matematica | Dado um ponto $P$ e um segmento $\overline{AB}$, a sua tarefa é achar a distância entre $P$ e $\overline{AB}$.
_**Relembrando**: a distância entre um ponto $P$ e um segmento $\overline{AB}$ é a menor distância entre $P$ e algum ponto $X$ no segmento $\overline{AB}$_
#### Entrada
A entrada irá conter três linhas com cada uma descrevendo as coordenadas dos pontos $A$, $B$ e $P$.
#### Saída
A saída deve conter somente um número real representando a distância entre $P$ e $\overline{AB}$.
Sua resposta é considerada correta se o erro absoluto ou relativo não exceder $10^{-3}$. Formalmente, seja $a$ sua resposta e $b$ a resposta do juiz. Sua resposta será aceita se e somente se $\frac{|a−b|}{max(1,|b|)} \leqslant 10^{-3}$.
#### Restrições
* $A \neq B$
* As coordenadas dos pontos são inteiras
* O valor absoluto das coordenadas dos pontos é menor ou igual a $10^6$ |
3,163 | 486 | Ovelhas | Difícil | Matematica | Um fazendeiro tem um grande rebanho de ovelhas. No início de cada dia ele as leva para um grande campo aberto da região, onde vários fazendeiros também levam suas ovelhas. Normalmente, suas ovelhas ficam próximas umas das outras, mas dessa vez ele não está tão certo de quais ovelhas são dele. Ele tem certeza que $N$ ovelhas são dele e está em dúvida sobre outras $Q$ ovelhas. Cada ovelha é identificada unicamente pelas suas coordenadas (X, Y) no plano.
Está na hora de voltar e o fazendeiro precisa juntar suas ovelhas para voltar para casa. Para tentar minimizar as chances de pegar uma ovelha de outra pessoa, ele pediu que você considerasse que uma ovelha O é dele se e somente se:
* existirem outras três ovelhas dele A, B, C tais que O está contida no triângulo que tem como vértices A, B, C, ou
* existirem outras duas ovelhas dele A, B tais que O pertence ao segmento de reta que tem como vértices A e B.
Dadas essas condições, responda quantas das $Q$ ovelhas pertencem ao fazendeiro.
#### Entrada
A primeira linha contém inteiros $N$ e $Q$, representando respectivamente o número de ovelhas do fazendeiro e o número de ovelhas que ele não sabe se são dele. As $N$ linhas seguintes contém cada uma dois inteiros X e Y , representando as coordenadas no plano de uma ovelha do fazendeiro. As $Q$ linhas seguintes contém cada uma dois inteiros X e Y, representando as coordenadas no plano de uma ovelha que você deve classificar.
#### Saída
O seu programa deve imprimir um único inteiro, representando quantas das $Q$ ovelhas foram classificadas como sendo do fazendeiro.
#### Restrições
* $2 \leq N \leq 10^5$
* $1 \leq Q \leq 10^5$
* $-10^9 \leq X, Y \leq 10^9$
* Todos os pares (X, Y) na entrada são distintos.
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de testes somando 35 pontos, $N, Q \leq 3000$.
* Em um conjunto de testes somando 15 pontos, todas as $N$ ovelhas estão sobre uma mesma reta (isso não vale para as $Q$ ovelhas).
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3,164 | 1642 | Diagonais de Pascal | Fácil | Matematica | 
O famoso triângulo de Pascal é um velho companheiro de matemáticos e programadores. Suas inúmeras propriedades têm muitas aplicações na área de exatas. Uma de suas principais é a de que cada número no triângulo é soma dos termos imediatamente acima e à direita e imediatamente acima e à esquerda (na falta de um destes é somado zero). Porém, a fim de testar mais uma nova propriedade do triângulo de pascal, é pedido a você, um programador e entusiasta da beleza dos padrões matemáticos, que calcule a soma da $N$-ésima diagonal de Pascal. Na figura, é possível ver que a soma da primeira diagonal é 1, assim como a da segunda. A soma da sexta diagonal é 8.
Como essa soma pode ser um valor muito alto, imprima apenas o resto dessa soma por $10^9+7$.
#### Entrada
A entrada consiste uma única linha com um único número inteiro $N (1≤N≤10^6)$ que indica a $N$-ésima diagonal.
#### Saída
A saída consiste em uma única linha, que indica a soma da $N$-ésima diagonal módulo $10^9+7$. Veja os exemplos a seguir para o formato exato de entrada/saída.
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3,165 | 406 | Cortador de Pizza | Difícil | Matematica | Vô Giuseppe ganhou de presente um cortador profissional de pizza, daqueles do tipo carretilha e, para comemorar, assou uma pizza retangular gigante para seus netos!
Ele sempre dividiu suas pizzas em pedaços fazendo cortes ao longo de linhas contínuas, não necessariamente retilíneas, de dois tipos: algumas começam na borda esquerda da pizza, seguem monotonicamente para a direita e terminam na borda direita; outras começam na borda inferior, seguem monotonicamente para cima e terminam na borda superior. Mas Vô Giuseppe sempre seguia uma propriedade: dois cortes do mesmo tipo nunca podiam se interceptar. Veja um exemplo com 4 cortes, dois de cada tipo, na parte esquerda da figura, que dividem a pizza em 9 pedaços.
Acontece que Vô Giuseppe simplesmente ama geometria, topologia, combinatória e coisas assim; por isso, resolveu mostrar para as crianças que poderia obter mais pedaços, com o mesmo número de cortes, se cruzamentos de cortes de mesmo tipo fossem permitidos. A parte direita da figura mostra, por exemplo, que se os dois cortes do tipo dos que vão da esquerda para a direita puderem se interceptar, a pizza será dividida em 10 pedaços.
Vô Giuseppe descartou a propriedade, mas não vai fazer cortes aleatórios. Além de serem de um dos dois tipos, eles vão obedecer às seguintes restrições:
* Dois cortes têm no máximo um ponto de interseção e, se tiverem, é porque os cortes se cruzam naquele ponto;
* Três cortes não se interceptam num mesmo ponto;
* Dois cortes não se interceptam na borda da pizza;
* Um corte não intercepta um canto da pizza.
Dados os pontos de começo e término de cada corte, seu programa deve computar o número de pedaços resultantes dos cortes do Vô Giuseppe.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém dois inteiros $X$ e $Y$ , ($1 \leq X$, $Y \leq 10^9$), representando as coordenadas ($X$, $Y$) do canto superior direito da pizza. O canto inferior esquerdo tem sempre coordenadas (0, 0). A segunda linha contém dois inteiros $H$ e $V$ , ($1 \leq H$, $V \leq 10^5$), indicando, respectivamente, o número de cortes que vão da esquerda para a direita, e o número de cortes que vão de baixo para cima.
Cada uma das $H$ linhas seguintes contém dois inteiros $Y_1$ e $Y_2$ definindo as ordenadas de encontro dos lados verticais da pizza com um corte que vai do lado esquerdo, na ordenada $Y_1$, para o lado direito, na ordenada $Y_2$. Cada uma das $V$ linhas seguintes contém dois inteiros $X_1$ e $X_2$ definindo as abscissas de encontro dos lados horizontais da pizza com um corte que vai do lado inferior, na abscissa $X_1$, para o lado superior, na abscissa $X_2$.
#### Saída
Imprima uma linha contendo um inteiro representando o número de pedaços resultantes. |
3,166 | 775 | Redução Bitwise | Muito Difícil | Matematica | Farcos adora operações bitwise, por isso, toda vez que recebe um array de números inteiros positivos ele escolhe algum segmento desse array, realiza uma das suas três operações bitwises favoritas (XOR, OR ou AND) com todos os elementos desse segmento e insere o resultado ao lado de alguma posição do segmento. Aumentando assim o tamanho do segmento e, por consequência, o do array. Claro que Farcos raramente faz somente uma inserção desse tipo.
Um elemento de um segmento que é igual ao resultado de uma operação bitwise sobre todos *os outros* elementos desse mesmo segmento é chamado de redutor bitwise sobre aquela operação naquele segmento. Por essa definição, todos os números inseridos por Farcos já seriam redutores bitwise, porém, se algum número do segmento for modificado após uma inserção, por exemplo, o número inserido pode perder sua propriedade de redutor e outro número pode passar a receber, ou também pode acontecer de o segmento não possuir mais um redutor bitwise sobre aquela operação.
Sua tarefa é processar 4 tipos de ações sobre um array:
* *x* $L$ $R$ : Deve retornar um redutor bitwise sobre a operação XOR nos elementos do array de índice $L$ ao $R$, inclusive. Caso haja mais de um, retorne o maior deles. Caso haja nenhum, retorne -1.
* *a* $L$ $R$ : Deve retornar um redutor bitwise sobre a operação AND nos elementos do array de índice $L$ ao $R$, inclusive. Caso haja mais de um, retorne o maior deles. Caso haja nenhum, retorne -1.
* *o* $L$ $R$ : Deve retornar um redutor bitwise sobre a operação OR nos elementos do array de índice $L$ ao $R$, inclusive. Caso haja mais de um, retorne o menor deles. Caso haja nenhum, retorne -1.
* *u* $K$ $V$ : Deve alterar o valor do número de índice $K$ para $V$.
#### Entrada
A primeira linha da entrada possui dois inteiros $N$ e $Q$ sendo, respectivamente, a quantidade de elementos do array e número de ações a ser processada.
A segunda linha da entrada possui $N$ números inteiros $A_i$ separados por um único espaço em branco e representando os números do array.
Após essas duas primeiras linhas, se seguem $Q$ linhas, uma para cada ação. Cada uma com um caractere $C$ seguido de dois inteiros separados por um único espaço em branco. As ações são de acordo com o especificado no texto.
Há ao menos uma operação onde $C \ne$ 'u'.
#### Saída
A saída consiste em uma linha para cada ação que retorna um redutor bitwise. Na ordem em que são fornecidas.
#### Restrições
* $2 \leq N \leq 10^5$
* $1 \leq Q \leq 10^5$
* $0 \leq V$, $A_i \lt 2^{31}$
* $1 \leq K \leq N$
* $1 \leq L < R \leq N$
* $C \in$ {$‘x’, ‘a’, ‘o’, ‘u’$} |
3,167 | 1610 | Achando o Fecho Convexo | Difícil | Matematica | Dado um conjunto $S$ de $n$ pontos, ache o fecho estritamente convexo de $S$.
_**Relembrando**: O fecho convexo de um conjunto de pontos é o polígono convexo de menor área que cobre todos os pontos desse conjunto_
#### Entrada
A primeira linha da entrada irá conter um inteiro representando $n$. As próximas $n$ linhas irão descrever os pontos de $S$ com dois inteiros $x$ e $y$ cada uma representando o ponto $(x,y)$.
#### Saída
A primeira linha da saída deve conter o número de pontos do fecho convexo de $S$. Cada uma das linhas seguintes deve descrever os pontos do fecho convexo no sentido anti-horário.
Se existir mais de uma resposta correta, você pode imprimir qualquer uma delas.
#### Restrições
* $3 \leqslant n \leqslant 10^5$
* Todos os pontos são diferentes
* As coordenadas dos pontos são inteiras
* O valor absoluto das coordenadas dos pontos é menor ou igual a $10^9$ |
3,168 | 1552 | Calculando Binomiais | Difícil | Matematica | Dados $3$ inteiros $n$, $k$ e $m$ ($m$ é primo), calcule $\binom{n}{k}\ mod\ m$.
_**Relembrando**: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ se $n \geqslant k$ e $\binom{n}{k} = 0$ caso contrário._
#### Entrada
A entrada terá apenas uma linha contendo $3$ inteiros representando $n$, $k$ e $m$.
#### Saída
A saída deve conter o valor de $\binom{n}{k}\ mod\ m$
#### Restrições
* $1 \leqslant n, k \leqslant 10^6$
* $1 \leqslant m \leqslant 10^9$
* $m$ é primo |
3,169 | 1338 | Volta | Fácil | Matematica |
No automobilismo é bastante comum que o líder de uma prova, em determinado momento, ultrapasse o último colocado. O líder, neste momento, está uma volta à frente do último colocado, que se torna, assim, um retardatário. Neste problema, dados os tempos que o piloto mais rápido e o piloto mais lento levam para completar uma volta, você deve determinar em que volta o último colocado se tornará um retardatário, ou seja, será ultrapassado pelo líder. Você deve considerar que, inicialmente, eles estão lado a lado, na linha de partida do circuito, ambos no início da volta de número 1 (a primeira volta da corrida); e que uma nova volta se inicia sempre depois que o líder cruza a linha de partida.
#### Entrada
A única linha da entrada contém dois números inteiros $X$ e $Y \ (1 \ \leq \ X < Y \ \leq \ 10000)$, os tempos, em segundos, que o piloto mais rápido e o piloto mais lento levam para completar uma volta, respectivamente.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo um único inteiro: a volta em que o piloto mais lento se tornará um retardatário.
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3,170 | 132 | Bem na Hora | Médio | Matematica | Olá competidor, quero jogar um jogo. Seu treinador está na sala de competição com uma bomba prestes a explodir em suas mãos. Esta bomba será definida para detonar em $T$ segundos, e se detonar na sala de competição, vai explodir apenas os balões da sua equipe.
Posso dizer-lhe que a sala de concurso está dentro de um edifício que contém $N$ quartos no total. De cada quarto há exatamente um túnel direto para outra sala, que só pode ser usado em uma direção. Por exemplo, se o quarto $A$ liga ao quarto $B$, então você pode caminhar do quarto $A$ ao quarto $B$, mas não do quarto $B$ ao quarto $A$, a menos que o quarto $B$ tem um túnel direto para o quarto $A$.
A bomba tem um mecanismo especial que detecta se o seu treinador pára de se mover, e se assim ele imediatamente aciona a detonação levando todos os balões da sua equipe para baixo. Por essa razão, o seu treinador vai constantemente a pé entre os quartos, tendo exatamente um segundo para mover-se através de cada túnel. A única maneira para que sua equipe salve seus balões é para que seu treinador não esteja na sala da competição quando a bomba detonar.
Você não tem o mapa de construção na mão, tudo o que posso dizer é que os túneis são escolhidos uniformemente ao acaso. No entanto, vou dar-lhe a possibilidade de definir $T$, que deve ser um número inteiro entre 2 e $N$ inclusive. Seu trabalho é escolher $T$ de tal maneira que ele maximize a chance de seus balões de sobreviver a este enigma.
Que comece o jogo.
#### Entrada
A entrada consiste em uma única linha que contém um inteiro $N$, representando quantos quartos há no edifício.
#### Saída
A saída contém uma linha com um inteiro representando o valor de $T$ que maximiza a chance de seus balões sobreviverem ao enigma.
#### Restrições
* $2 \leq N \leq 10^9$ |
3,171 | 2118 | Lendo Livros | Médio | Matematica | Você começou a competir com seu amigo para ver quem consegue ler mais livros em menos tempo. Seu amigo lia muito mais que você, até o dia que você percebeu que ele lia somente livros muito finos.
Então você resolveu contar as páginas dos livros, aumentando também a quantidade de páginas lidas por dia. Agora você lê 5 páginas por dia e termina 16 dias antes do que se estivesse lendo 3 páginas por dia. Neste cenário, quantas páginas tem o livro?.
#### Entrada
A entrada é composta de vários casos de testes. Cada caso de teste é composto de três números $Q (0 < Q < 20)$, $D (0 < D < 20)$ e $P (0 < P < 20)$ separados por um espaço. Sendo que $Q$ é a quantidade de páginas lidas por dia. $D$ é o número de dias que você adiantaria a leitura caso estivesse lendo a quantidade de páginas informada pelo número $P$. Um único valor zero indica o fim da entrada.
#### Saída
Para cada caso de teste deverá ser impresso a quantidade de páginas do livro. (utilize o plural corretamente e não use acentos). Este número deverá ser um inteiro, o qual representa a quantidade de página. Este valor deverá ser truncado caso necessário.
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3,172 | 1763 | Soma de Três Quadrados | Médio | Matematica | Quais números podem ser representados como soma de três inteiros ao quadrado? É essa pergunta que seu programa deve responder!
O número $14$,por exemplo, pode ser representado como $(-1)^2+2^2+(-3)^2=14$ já o número $7$ não pode ser representado de maneira análoga.
#### Entrada
A entrada é composta por uma linha com um número inteiro $N$ ($-10^6 \le N \le 10^6$).
#### Saída
Para cada linha, imprima "`YES`" se o número pode ser representado por uma soma de três inteiros ao quadrado, caso contrário imprima "`NO`". |
3,173 | 382 | Chuva (Seletiva IOI 2017) | Muito Difícil | Matematica | A água da chuva contém muitas informações importantes sobre a composição química da atmosfera de uma determinada região. Por isto, anualmente a organização da IOI encomenda um estudo de amostras de chuva da cidade que se propõe a sedear a próxima edição da competição, antes de expor os competidores a perigos como chuvas ácidas ou concentrações muito grandes de CO2. Neste ano, a organização pediu a sua ajuda para avaliar uma das cidades candidatas a sede da IOI no próximo ano.
A cidade pode ser representada por uma matriz onde cada posição possui uma altura inteira. A organização distribuiu coletores pela cidade, em posições informadas a você, de forma a obter amostras de água de chuva. Um estudo anterior mostrou que, nessa cidade, todas as chuvas caem exatamente em retângulos dentro da matriz. Quando chove em uma posição da matriz, a água escorre dessa posição para posições adjacentes acima, abaixo, à direita e à esquerda que possuam altura menor ou igual à da posição onde choveu. O fluxo de água da chuva segue, e a água continua escorrendo até chegar a um sumidouro, ou seja, uma posição desde a qual não é possível que a água chegue a nenhuma outra posição de altura menor ou igual, direta ou indiretamente. Os sumidouros são posições no solo, que absorve a água em vez de deixar que ela acumule. Também é possível que a água escorra para fora da cidade.
A organização posicionou estrategicamente vários coletores de água em pontos espalhados pela cidade. Agora, ela pediu sua ajuda em avaliar a escolha de posições feitas com base no histórico de chuvas no último ano. Dada a matriz de alturas que representa a cidade, as posições onde foram colocados os coletores de água e as áreas retangulares onde ocorreram todas as chuvas dos últimos anos na cidade, diga para cada chuva quantos coletores distintos irão receber água daquela chuva. Mesmo que a água encontre um coletor, ela continua escorrendo pois apenas uma pequena amostra de água é coletada.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém três inteiros $N$, $M$ e $K$. Os dois primeiros representam o número de linhas e de colunas da matriz de alturas, enquanto o terceiro representa o número de coletores espalhados pela cidade. As próximas $N$ linhas contem $M$ inteiros cada, de forma que o j-ésimo inteiro da i-ésima linha representa a altura $H_{ij}$ da posição $(i, j)$. As próximas $K$ linhas contém as posições dos coletores. A i-ésima delas contém dois inteiros $A_i$ e $B_i$ indicando que a posição $(A_i,B_i)$ contém um coletor. Uma posição pode ter no máximo um coletor. A linha seguinte contém um inteiro $Q$ indicando o número de consultas. Cada uma das $Q$ linhas seguintes descreve uma consulta. A i-ésima delas contém quatro inteiros $P_i$, $T_i$, $R_i$, $S_i$, representando o retângulo cujo o ponto superior esquerdo é $(P_i, T_i)$ e o ponto inferior direito é $(R_i, S_i)$.
#### Saída
Para cada uma das consultas, imprima uma linha contendo um único inteiro representando o número de coletores que receberão água caso chova no retângulo da consulta.
#### Restrições
* $1 \leq N \leq 10^3$
* $1 \leq M \leq 10^3$
* $0 \leq K \leq 250$
* $1 \leq Q \leq 10^6$
* $1 \leq P_i \leq R_i \leq N$
* $1 \leq T_i \leq S_i \leq M$
* $1 \leq H_{ij} \leq 10^6$
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste somando 20 pontos, $1 \leq N \leq 100$, $1 \leq M \leq 100$, $1 \leq Q \leq 10^4$.
* Em um conjunto de casos de teste somando 20 pontos, $0 \leq K \leq 20$
* Em um conjunto de casos de teste somando 20 pontos, $1 \leq N \leq 300$, $1 \leq M \leq 300$, $1 \leq Q \leq 10^5$.
* Em um conjunto de casos de teste somando 40 pontos, não há restrições adicionais.
#### Importante
Não é garantido que este problema possa ser resolvido em uma linguagem diferente do C++.
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3,174 | 2125 | Fechem as Portas! | Médio | Matematica | Madame Beauvoir possui uma mansão onde ela recebe todos os seus descendentes (netos e bisnetos) durante as férias. Sua mansão possui exatamente $N$ quartos (cada quarto é numerado de 1 a $N$ ), onde $N$ é também a quantidade de netos e bisnetos (cada descendente é também numerado de 1 a $N$ ).
Como toda criança, os descendentes de Mme. Beauvoir são bastante travessos. Todo dia é a mesma confusão: eles acordam de manhã cedo antes dela e se encontram no grande jardim. Cada descendente, um de cada vez, entra na mansão e troca o estado das portas dos quartos cujos números são múltiplos do seu identificador. Trocar o estado de uma porta significa fechar uma porta que estava aberta ou abrir uma porta que estava fechada. Por exemplo, o descendente cujo identificador é igual a 15 vai trocar o estado das portas 15, 30, 45, etc.
Considerando que todas as portas estão inicialmente fechadas (todos os descendentes fecham as portas antes de descer para o jardim) e que cada descendente entra exatamente uma vez na mansão (a confusão é tão grande que não sabemos em que ordem), quais portas estarão abertas após a entrada de todos os descendentes na mansão?
#### Entrada
A única linha da entrada contém apenas um inteiro $N \ (1 \ \leq \ N \ \leq \ 25 × 10^6)$, indicando o número de portas e descendentes.
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha, contendo uma sequência crescente de números correspondente aos identificadores dos quartos cujas portas estarão abertas após a entrada de todos os descendentes na mansão. |
3,175 | 1682 | Dividindo Círculos | Difícil | Matematica | Dado um conjunto de $N$ pontos sobre uma circunferência de um círculo, todo par de pontos está ligado por um segmento e três desses segmentos nunca se encontram em um ponto interno à circunferência.
Sua tarefa é determinar em quantas partes esses segmentos dividem o interior do círculo.
#### Entrada
A primeira e única linha da entrada contém um inteiro $N \ (1 \ \leq \ N \ \leq \ 1000)$ representando a quantidade de pontos sobre a circunferência.
#### Saída
A saída consiste de uma única linha contendo um inteiro representando a quantidade de partes do círculo. |
3,176 | 1801 | Dabriel e a divisibilidade | Médio | Matematica | Dabriel adora brincar com números e dessa vez está com um jogo bem interessante. Ele tem um número em binário $N$ e uma lista com $M$ números e pretende saber para quais números $M_i$ dessa lista $N$ é divisível.
Esta tarefa é muito fácil para ele, portanto não irá perder tempo fazendo isso, você pode o ajudar?
#### Entrada
A primeira linha contém um número em binário $N \ (1 \leq |N| \leq 10^5)$. Na segunda linha contém um inteiro $M \ (1 \leq M \leq 10)$, que representa quantos números se deseja saber a divisibilidade. Nas próximas $M$ linhas, terá um inteiro $M_i \ (1 \leq M_i \leq 10^5)$, onde $M_i$ é o número que Dabriel quer saber se divide $N$.
#### Saída
Imprima todos os números que dividem $N$ da lista dada por Dabriel (como ele é um pouco desatento pode existir duplicatas na lista dele, então imprima todos), separados por um espaço, ordenados de forma crescente. Caso não exista nenhum número, imprima: "Nenhum", sem aspas. |
3,177 | 1791 | Casais | Difícil | Matematica | Um grupo formado inteiramente de casais saiu para jantar. Chegando ao restaurante eles escolheram uma mesa retangular com a quantidade de lugares exatamente igual quantidade de pessoas do seu grupo. Todos sentaram, um casal por vez, de modo a ocupar apenas o par de lados opostos maior.
Dado o número de casais e sabendo que cada pessoa sentou em frente ou ao lado do seu par, calcule o número de formas diferentes que esse grupo pode ter ocupado a mesa.
Uma forma de ocupar a mesa é considerada diferente da outra se ao menos uma pessoa está em uma posição diferente da sua anterior.
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha contendo um número inteiro $N \ (1 \leq N \leq 10^6)$ representando a quantidade de casais.
#### Saída
A saída consiste em um única linha contendo o número de formas de os casais se posicionarem na mesa seguindo as restrições. Como esse número pode ser muito grande imprima apenas seu módulo $10^9+7$. |
3,178 | 105 | Sapo Saltador | Difícil | Matematica | Pog o sapo quer competir no Mundial de Saltos Sapicos, que ira ocorrer em Nlogonia. Na competição cada sapo deve realizar uma série de saltos acrobáticos em uma arena especialmente construída. A arena é composta de $N$ posições igualmente espaçadas ao redor de uma circunferência (ao arco entre as posições adjacentes sempre tem mesmo comprimento) onde cada posição pode ser tanto uma rocha quanto uma poça. As posições são numeradas sequencialmente de 0 a $N-1$ no sentido horário de direção, de forma que os juízes possam facilmente tomarem notas sobre em que posição cada salto foi realizado. Assim, a posição 0 é adjacente as posições 1 e $N-1$ na arena.
O regulamento da competição estipula que a sequência de saltos que cada sapo deve realizar deve começar em uma rocha, sempre indo de rocha em rocha, e deve terminar na mesma posição que começou. As regras não requerem que o sapo use todas as rochas na arena para sua sequência de saltos.
Pog esta atualmente praticando para a competição. Ele deve desenvolver duas habilidades. Primeiro ele deve melhorar sua habilidade de pular de uma rocha a outra, já que aterrissar em uma poça ou fora de uma posição marcada significa desqualificação. Além disso, ele deve aprender os movimentos acrobáticos. Com isso em mente, ele decidiu uma estratégia de prática. No começo de cada sessão de prática, Pog vai escolher uma rocha inicial e um inteiro distancia de salto $K$ entre 1 e $N-1$. Após isso, sempre que estiver em uma rocha numerada $i$, ele ira mirar seu próximo salto acrobático na rocha cujo número é obtido pelo resto da divisão $i + K$ por $N$. Ele ira parar quando ele aterrissar na rocha inicial. Por exemplo, se a arena tiver 3 posições, todas elas rochas e Pog começar na posição 0 e escolher $K=2$, ele ira pular inicialmente para a rocha 2, e após isso para a rocha 1 e finalmente voltará a rocha 0. Neste momento a seção de prática encerra-se.
Dada uma descrição de $N$ posições na arena, ajude Pod respondendo a seguinte questão: quantos valores distintos de $K$ ele pode escolher para sua seção de prática, dado que ele possa escolher qualque rocha como ponto inicial para sua sequência de pulos?
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha contendo uma string $S$ com $N$ caracteres ($3 \leq N \leq 10^5$), representando as posições da arena. O i-ésimo caractere de $S$ ($i=0,1,\ldots,N-1$) indica que a posição $i$ da arena é ou uma Rocha ( “R” maiúsculo) ou uma poça ( “P” maiúsculo).
#### Saída
Imprima uma única linha com um inteiro representando o número de distâncias de pulo distintas que Pog pode escolher para sua seção de prática, dado que ele pode usar qualquer pedra como posição inicial para sua sequência de pulos.
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3,179 | 93 | K-ésimo | Difícil | Matematica | Dado um número real $X$ da forma $A + \sqrt{B}$ , com $A$ e $B$ inteiros positivos $e-1 < A - \sqrt{B} < 1$, e dois números inteiros $N$ e $K$ , sua tarefa é determinar o K-ésimo dígito menos significativo da parte inteira de $X_N$. Por exemplo, se $K = 1$, você precisa determinar o algarismo das unidades de $[X^N]$.
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha, que contém quatro números inteiros, $A$, $B$, $N$ e $K$, com $1 \leq A, B \leq 10^4$ , $1 \leq N \leq 10^9$ e $1 \leq K \leq 4$.
#### Saída
Seu programa deve imprimir uma única linha, contendo o K-ésimo dígito menos significativo da parte inteira de $X_N$. |
3,180 | 1618 | Ordenação Radial | Difícil | Matematica | Considere $n$ vetores no plano $\overrightarrow{v_1} = (x_1,y_1)$, $\overrightarrow{v_2} = (x_2,y_2)$, $\cdots$, $\overrightarrow{v_n} = (x_n,y_n)$. Seja $\alpha_i$ ($0º \leqslant \alpha_i < 360º$) o ângulo **direcionado** do vetor $\overrightarrow{V} = (1,0)$ para $\overrightarrow{v_i}$ no sentido anti-horário. Sua tarefa é ordenar por $\alpha_i$ esses vetores de forma crescente. Em caso de empate, você deve ordená-los por ordem crescente de tamanho.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um inteiro indicando o valor de $n$. Cada uma das próximas $n$ linhas contém dois inteiros $x$ e $y$ representando as coordenadas do vetor $\overrightarrow{v_i}$.
#### Saída
A saída deve conter $n$ linhas descrevendo os vetores de forma ordenada.
#### Restrições
* $1 \leqslant n \leqslant 10^5$
* $-10^9 \leqslant x_i,y_i \leqslant 10^9$
* $(x_i,y_i) \neq (x_j,y_j)$ para todo $i \neq j$ |
3,181 | 2358 | Horários favoritos | Difícil | Matematica | Wendy possui um rádio-relógio com LED, que é um relógio de $12$ horas, exibindo horários de 12:00 a 11:59. As horas não possuem zeros à esquerda, mas os minutos podem ter zeros à esquerda, como 2:07 ou 11:03.
Ao olhar para o rádio-relógio de LED, Wendy gosta de identificar sequências aritméticas nos dígitos. Por exemplo, os horários 12:34 e 2:46 são alguns de seus horários favoritos, já que os dígitos formam uma sequência aritmética.
Uma sequência de dígitos é uma sequência aritmética se cada dígito após o primeiro é obtido ao adicionar uma diferença constante comum. Por exemplo, $1, \ 2, \ 3, \ 4$ é uma sequência aritmética com uma diferença comum de $1$, e $2, \ 4, \ 6$ é uma sequência aritmética com uma diferença comum de $2$.
Suponha que começamos a olhar para o relógio ao meio-dia (ou seja, quando ele marca 12:00) e observamos o relógio por um certo número de minutos. Quantas instâncias existem em que o horário exibido no relógio possui a propriedade de que os dígitos formam uma sequência aritmética?
#### Entrada
A entrada contém um número inteiro $D \ (0 \leq D \leq 1 \ 000 \ 000 \ 000)$, que representa a duração da observação do relógio.
#### Saída
Imprima o número de vezes que o relógio exibe um horário em que os dígitos formam uma sequência aritmética, começando ao meio-dia (12:00) e terminando após terem passado $D$ minutos, possivelmente incluindo o horário final.
##### Explicação Exemplo de Entrada/Saída 1:
Entre 12:00 e 12:34, há apenas o horário 12:34 para o qual os dígitos formam uma sequência aritmética.
##### Explicação Exemplo de Entrada/Saída 2:
Entre 12:00 e 3:00, os seguintes horários formam sequências aritméticas em seus dígitos (com a diferença mostrada):
* 12:34 (diferença de $1$),
* 1:11 (diferença de $0$),
* 1:23 (diferença de $1$),
* 1:35 (diferença de $2$),
* 1:47 (diferença de $3$),
* 1:59 (diferença de $4$),
* 2:10 (diferença de $-1$),
* 2:22 (diferença de $0$),
* 2:34 (diferença de $1$),
* 2:46 (diferença de $2$),
* 2:58 (diferença de $3$). |
3,182 | 1611 | Pontos mais Próximos | Difícil | Matematica | Dado um conjunto $S$ de $n$ pontos, ache a menor distância euclidiana entre dois desses pontos.
#### Entrada
A primeira linha da entrada irá conter um inteiro representando $n$. As próximas $n$ linhas irão descrever os pontos de $S$ com dois inteiros $x$ e $y$ cada uma representando o ponto $(x,y)$.
#### Saída
A saída deve conter apenas um inteiro representado a menor distância entre dois pontos de $S$ ao quadrado. É possível provar que o quadrado da menor distância é um inteiro.
Sua resposta é considerada correta se o erro absoluto ou relativo não exceder $10^{-3}$. Formalmente, seja $a$ sua resposta e $b$ a resposta do juiz. Sua resposta será aceita se e somente se $\frac{|a−b|}{max(1,|b|)} \leqslant 10^{-3}$.
#### Restrições
* $2 \leqslant n \leqslant 10^5$
* Todos os pontos são diferentes
* As coordenadas dos pontos são inteiras
* O valor absoluto das coordenadas dos pontos é menor ou igual a $10^9$ |
3,183 | 1607 | Rotacionando Pontos | Fácil | Matematica | Dado um ponto $P$ e um ângulo $\theta$ (em radianos), sua tarefa é achar as coordenadas do ponto $P$ rotacionado por $\theta$ graus no sentido anti-horário em relação a origem.
#### Entrada
A entrada contém uma linha com três números indicando as coordenadas de $P$ e o ângulo $\theta$ respectivamente.
#### Saída
A saída deve conter dois números reais indicando as coordenadas do ponto desejado.
Sua resposta é considerada correta se o erro absoluto ou relativo não exceder $10^{-3}$. Formalmente, seja $a$ sua resposta e $b$ a resposta do juiz. Sua resposta será aceita se e somente se $\frac{|a−b|}{max(1,|b|)} \leqslant 10^{-3}$.
#### Restrições/
* As coordenadas de $P$ são inteiras
* O valor absoluto das coordenadas de $P$ é menor ou igual a $10^6$
* $0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$ |
3,184 | 1406 | Damorida | Muito Difícil | Matematica |
A culinária do norte é riquíssima em ingredientes e pratos, que possuem uma diversidade impressionante. Diversas iguarias podem ser citadas devido ao seu sabor presente e exótico, tais como:
- Tacacá: prato quente à base do tucupi (subproduto da mandioca), goma de tapioca, camarão e folhas de jambu.
- Pirarucu: maior peixe de água doce do mundo, conhecido como gigante da amazônia, Possui carne macia com gosto suave. Pode ser servido com bananas e outros acompanhamentos, como no prato ``Pirarucu de Casaca''.
- Maniçoba: envolve um preparo cuidadoso das folhas de mandioca e pode substituir o feijão e pode ser inclusive utilizada para preparar uma espécie de feijoada, uma vez que seu sabor combina muito com a carne suína.
Francisco, que aprecia muito esta culinária, adora ir em um restaurante chamado *Damorida*. Ele sempre opta por pedir o prato do dia, pois ele dá direito a uma deliciosa sobremesa de sorvete de camu-camu. Este prato do dia não é fixo e pode mudar de dia para dia.
Apesar do seu apreço pela comida, Francisco está tentando guardar dinheiro para visitar o Parque do Jalapão e precisa escolher os dias corretos para ir no restaurante Damorida. O seu critério é o seguinte: Francisco quer visitar o restaurante o menor número de dias possível para conseguir guardar mais dinheiro, mas de forma que para qualquer sequência de pratos do dia, Francisco vá ao restaurante em pelo menos em um dia desta sequência ou em pelo menos em um dia que esteja incluído em uma outra ocorrência desta mesma sequência de pratos do dia. Formalmente: Francisco está interessado no menor conjunto $\Gamma = \{k_1,\ldots,k_r \}$, tal que qualquer sequência $S[i,j]$ possui uma ocorrência $S[i',j']=S[i,j]$ com $k_l \in [i',j']$, para algum $k_l \in \Gamma$. Será que você conseguirá ajudar Francisco a decidir quais os dias que ele deverá escolher para atender este critério?
#### Entrada
A entrada consiste de duas linhas. A primeira linha possui um inteiro $N$ ($1\leq N \leq 16$), indicando a quantidade de dias que devem ser considerados por Francisco. A segunda linha possui uma palavra $S$ com $N$ caracteres em letras maiúsculas (de A a Z), em que o $i$-ésimo símbolo desta sequência caractere indica o $i$-ésimo prato do dia.
#### Saída
Seu programa deverá imprimir duas linhas.
A primeira linha deve indicar o número mínimo de dias $X$ que Francisco irá visitar o restaurante. A segunda linha possui $X$ inteiros, separados por espaço, que indicam os dias que Francisco escolheu para visitar o restaurante. No caso em que haja mais de uma resposta válida, a com menor ordem lexicográfica deverá ser impressa.
#### Restrições
- $1\leq N \leq 16$
- $1\leq |S| \leq N$ e $S[i] \in \{A,\ldots,Z \}, 1 \leq i \leq N$. |
3,185 | 2117 | Construindo Casas | Médio | Matematica | Sr Pi é um construtor famoso na cidade de Programolândia. Ele precisa de sua ajuda para encontrar, os melhores terrenos da cidade, para os vários projetos que ele possui, para a construção de casas.
Por exemplo, ele tem um projeto para construir uma casa de 8 metros por 10 metros mas, a legislação do município só permite construir, neste bairro, em no máximo 20% do terreno. Todos os terrenos nesta cidade são perfeitamente quadrados. Sabendo que o valor dos lados da casa são apenas uma referência para a área total a ser construída. (Ex: Uma casa de 1 metro por 10 metros com construção de 100% permitida, o sr PI precisaria de um terro de 10m². O valor do lado do terreno nesta caso, teria 3 metros, pois é truncado) Ajude o sr PI a determinar o tamanho mínimo do terreno.
#### Entrada
A entrada é composta de vários casos de testes. Cada caso de teste é composto de três números inteiros $A$ e $B ( > 0$ e $≤ 1000)$ e $C$ separados por um espaço. Estes números representam as medidas da casa ($A$ e $B$) e o percentual máximo liberado para construir nesse bairro ($C$ Inteiro). Um único valor igual a 0 indica o fim das entradas.
#### Saída
Você deverá informar um número inteiro, o qual representa a medida do lado do terreno. Este valor deverá ser truncado caso necessário.
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3,186 | 1643 | Brincando de Dividir | Difícil | Matematica | Francisco e Rodrigo são o que se chama de muito bons com números, por isso, para se divertirem, eles inventaram um jogo que funciona da seguinte forma: Dados dois números $A$ e $B (A≤B)$, Chico (apelido de Francisco) e Didigo (apelido de Rodrigo) multiplicam todos os números de $A$ até $B$ e chamam a este número de $N$. Por exemplo, se $A=3$ e $B=6$, então $N=3×4×5×6=360$. Após calcularem $N$, eles começam o jogo que consiste em ambos se alternando, dividindo o número $N$ por algum de seus divisores inteiros, exceto por 1. Perde o jogo aquele que, na sua vez, não puder mais dividir, ou seja, aquele que na sua vez tenha $N=1$. E por pura ordem alfabética, Chico sempre faz a primeira divisão.
Depois de algum tempo jogando, eles decidiram acrescentar uma regra pra deixar as coisas mais interessantes: Agora só seria permitido dividir o número $N$ por potências de números primos $(2^1,2^2,2^3,…,3^1,3^2,3^3,…,5^1,5^2,5^3,...)$, mais formalmente: Na sua vez, um jogador só pode dividir $N$ por um número $X$ da forma $X=P^i$ , sendo $P$ um número primo, $i>0$ e $X$ um divisor de $N$.
Exemplo de jogo: $A=3$ e $B=6$, logo $N=360$;
Francisco divide por 8, agora $N=45$;
Rodrigo divide por 3, agora $N=15$;
Francisco divide por 3, agora $N=5$;
Rodrigo divide por 5, agora $N=1$;
Desta forma, Rodrigo vence o jogo.
Observe que Rodrigo, na sua primeira jogada, tinha as opções de dividir somente por 3$(3^1)$, por 5$(5^1)$ e por 9$(3^2)$. Se tivesse dividido por 9 ou por 5, Francisco poderia facilmente ter ganho, a menos, é claro, que ele fizesse besteira. Mas ele jamais faria isso, afinal, ambos são ótimos com números.
Sua tarefa, sabendo $A$ e $B$, e que ambos jogam de forma ótima, é determinar o vencedor.
#### Entrada
A entrada contém dois números inteiros, $A$ e $B (1≤A≤B≤10^6)$, que representam respectivamente o começo e o fim do intervalo como descrito acima.
#### Saída
A saída consiste em uma única linha com o nome do vencedor “Chico”, caso Francisco ganhe, ou “Didigo”, caso contrário.
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3,187 | 1182 | Números Multiplicados | Muito Difícil | Matematica |
Eugênio é um brilhante matemático que se diverte multiplicando números.
Certa vez, ele encontrou $M$ pedaços de papel, numerados de 1 a $M$, cada um com um vértice desenhado. Chamaremos tais vértices de $M$*-vértices*. Cada um desses vértices estava rotulado com um primo distinto. Além disso, os primos estavam ordenados: Se chamarmos o rótulo do vértice no $i$-ésimo pedaço de papel de $p_i$, então $p_i < p_j$ para todo par $i < j$.
Após encontrar os pedaços de papel, Eugênio decidiu desenhar $N$ outros vértices, que chamaremos de $N$*-vértices*, e adicionar arestas entre os $M$-vértices e os $N$-vértices. Ele tomou o cuidado de nunca ligar um $M$-vértice com um $M$-vértice, nem um $N$-vértice com um $N$-vértice, mas não se preocupou com o número de arestas desenhadas entre dois vértices. Assim, ele obteve um multigrafo bipartido.
Como o principal interesse de Eugênio é multiplicar números, ele decidiu rotular cada $N$-vértice com a multiplicação de todos os $M$-vértices conectados a ele. Se um $M$-vértice estiver conectado a um $N$-vértice por várias arestas, o rótulo dele será multiplicado várias vezes (igual ao número de arestas que os conecta) no processo de formar o rótulo do $N$-vértice.
Cada $N$-vértice $i$ acabou rotulado com um número $c_i$. Formalmente, podemos escrever a seguinte fórmula para $c_i$:
$$ c_i = \prod_{(j,i) \in E} p_j,$$
onde $E$ é o multiconjunto de arestas (cada elemento de $E$ é um par da forma $(m, n)$ com $1 \leq m \leq M$ e $1 \leq n \leq N$). Depois de construir os rótulos dos $N$-vértices, Eugênio foi comprar um lanche, que consistiu de um toro e um café. Ao saborear o toro, Eugênio acidentalmente derramou o seu café, tornando os rótulos $p_1, . . . , p_M$ dos $M$-vértices ilegíveis.
Você pode ajudá-lo a recuperar os nímeros primos ordenados destruídos pelo café?
#### Entrada
A primeira linha contém três inteiros $M$, $N$ e $K$, o número de $M$-vértices, o número de $N$-vértices e o número de arestas distintas. Tais valores satisfazem $1 \leq M, N < 10^3$ e $1 \leq K < 10^4$.
A próxima linha contém $N$ números $c_i$, os rótulos dos $N$-vértices. Tais valores satisfazem $1 < c_i < 10^{15}$ .
Finalmente, há $K$ linhas, cada uma contendo três números $m$, $n$ e $d$, representando que há $d$ arestas entre o $M$-vértice $m$ e o $N$-vértice $n$. Tais números satisfazem $1 \leq m \leq M$, $1 \leq n \leq N$ e $1 \leq d \leq 50$.
É garantido que todos os vértices (tanto $M$-vértices quanto $N$-vértices) têm grau pelo menos um.
Em outras palavras, todo vértice tem pelo menos uma aresta conectada a ele.
#### Saída
Imprima uma única linha com $M$ números ordenados, os primos rótulos dos $M$-vértices de índices $1, . . . , M$ que fizeram Eugênio perder o sono. |
3,188 | 1614 | Pontos Inteiros | Difícil | Matematica | Dado um polígono simples $P$ com $n$ vértices, a sua tarefa é achar o número de pontos com coordenadas inteiras que estão **estritamente** dentro de $P$.
#### Entrada
A primeira linha da entrada irá conter um inteiro representando $n$. As próximas $n$ linhas irão descrever os pontos de $P$ (no sentido horário ou anti-horário) com dois inteiros $x$ e $y$ cada uma representando o ponto $(x,y)$.
#### Saída
A saída deve conter apenas um número indicando o número de pontos com coordenadas inteiras que estão estritamente dentro de $P$.
#### Restrições
* $3 \leqslant n \leqslant 10^5$
* As coordenadas dos pontos são inteiras
* O valor absoluto das coordenadas dos pontos é menor ou igual a $10^9$ |
3,189 | 1200 | Inteiros Impressionantes | Difícil | Matematica | Recentemente, Alice e a sua irmã Clara tomaram conhecimento de números *adoráveis*: Um inteiro positivo $n$ é chamado adorável se existirem alguns inteiros $a, b,$ e $c$ para que um triângulo equilátero com lado de comprimento $c$ possa ser ladrilhado com $n$ triângulos equiláteros menores, cada um tendo um lado de comprimento $a$ ou $b$. Por exemplo, $6$ é um número adorável, como mostra a Figura 1 (a) abaixo.
Eles resolveram ver quem consegue encontrar mais números adoráveis, mas acontece que a verificação manual de todos os números é muito complicada. Por esse motivo, Alice te pediu ajuda para verificar se os números que a Clara listou são ou não adoráveis. Como ela quer ter a certeza de que cada número que se diz adorável é realmente adorável, ela te pediu para escrever um programa que, dado um inteiro $n$, determina se é adorável e, em caso afirmativo, produz um mosaico válido, como mostrado na Figura 1 (a).
#### Entrada
A entrada consiste em:
* Um único número inteiro positivo $n$.
#### Saída
Se o número inteiro $n$ dado for adorável, produza um mosaico válido utilizando o seguinte formato:
* Três inteiros $a, b, c$, de modo a que um triângulo equilátero com comprimento de lado $c$ possa ser ladrilhado com triângulos equiláteros $n$ com comprimento de lado $a$ e $b$.
* $n$ linhas, cada uma descrevendo um dos triângulos e consistindo em:
* $A$ ou $B$, especificando se o comprimento do lado do triângulo é $a$ ou $b$;
* dois números inteiros $x, y$, indicando o canto mais à esquerda do triângulo;
* um de $U$ e $D$, especificando se o triângulo está a apontando para cima ou para baixo.
Estes triângulos devem formar um azulejo válido do triângulo equilátero com vértices $(0, 0), (0, c),$ e $(c, 0)$, onde todas as coordenadas são dadas utilizando o sistema de coordenadas da Figura 1 (b).
Caso $n$ não for adorável, imprima `impossible`.
Se o seu ladrilho consiste em triângulos que têm todos o mesmo tamanho, pode-se usar $A$ ou $B$ exclusivamente para todos os seus triângulos, ou definir $a = b$ e rotular arbitrariamente cada triângulo com $A$ ou $B$.
Pode ser demonstrado que para cada número adorável na faixa da entrada é possível construir um mosaico de acordo com o conjunto de regras acima mencionado. Você pode produzir qualquer mosaico válido.
#### Restrições
* $1 \leq n \leq 1\,000$
* $1 \leq a, b \leq c \leq 10^9$
#### Créditos
* Fonte: [German Collegiate Programming Contest 2020 (GCPC 2020)](https://gcpc.nwerc.eu/german-collegiate-programming-contest-2020)
* Autor: Nathan Maier
* Licença: [cc by-sa](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/deed.en)
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3,190 | 1339 | Baralho Embaralhado | Médio | Matematica |
Um baralho contém um número par 2n de cartas $a_1 , \ a_2, ... , \ a_{2n}$, todas distintas $(a_1 < a_2 < ... < a_{2n})$. O baralho encontra-se perfeitamente ordenado, ou seja, a primeira carta é $a_1$, a segunda carta é $a_2$, e assim por diante, até a última carta, que é $a_{2n}$.
Um croupier então executa repetidamente um procedimento de embaralhar, que consiste de dois passos:
2. O baralho é divido ao meio;
4. As cartas das duas metades são então intercaladas, de maneira que se a sequência de cartas do baralho no início do passo 1 é $x_1, \ x_2,... , \ x_{2n}$, então ao final do passo 2 a sequência de cartas se torna $x_{n+1}, \ x_1, \ x_{n+2}, \ x_2, ... , x_{2n}, \ x_n$.
Dado o número de cartas do baralho, escreva um programa que determine quantas vezes o procedimento de embaralhar descrito acima deve ser re petido de forma que o baralho volte a ficar ordenado.
#### Entrada
A única linha da entrada contém um inteiro par $P \ (2 \ \leq \ P \ \leq \ 2 * 10^5 )$, indicando o número de cartas do baralho (note que o valor $P$ corresponde ao valor 2n na descrição acima).
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha contendo um único inteiro, o número mínimo de vezes que o processo de embaralhamento deve ser repetido para que o baralho fique novamente ordenado.
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3,191 | 597 | Cavalos | Médio | Matematica | O jogo de xadrez como conhecido hoje foi inventado por volta do século XV, na Europa Medieval. Uma das suas peças mais interessantes é o cavalo, que se movimenta e ataca outras peças conforme a figura abaixo:
Na figura, o símbolo ‘•’ representa as posições que o cavalo na casa central ataca.
Existem vários quebra-cabeças interessantes envolvendo os movimentos do cavalo; um deles pergunta quantos cavalos podem ser colocados em um tabuleiro $M \times N$ de forma que nenhum par de cavalos se ataque:
<div class="row justify-content-center">
Soluções do quebra-cabeça para (a) um tabuleiro (a) 5 × 3 (b) um tabuleiro 2 × 6.
</div>
A sua tarefa é escrever um programa que, dados $M$ e $N$, determina quantos cavalos podem ser colocados em um tabuleiro $M \times N$ de forma que nenhum par de cavalos ataque-se simultaneamente.
#### Entrada
A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado). A primeira (e única) linha da entrada contém dois inteiros, $M$ e $N$, indicando, respectivamente, o número de linhas e o número de colunas do tabuleiro.
#### Saída
Seu programa deve imprimir, na saída padrão, uma única linha, contendo um inteiro indicando o maior número
de cavalos que podem ser colocados no tabuleiro sem que dois deles se ataquem.
#### Restrições
* $1 \leq M \leq 1000$
* $1 \leq N \leq 1000$
#### Informações sobre a pontuação
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 30 pontos, $1 \leq M \leq 6$.
* Em um conjunto de casos de teste que totaliza 55 pontos, $1 \leq M \leq 100$. |
3,192 | 126 | Namoro Online | Médio | Matematica | Alex se registrou em um sistema de namoro on-line para procurar a parceira perfeito. O sistema exige que cada um de seus membros preencha um formulário especificando o quanto eles gostam de $N$ atividades diferentes, classificando-os em uma escala de 0 a 100. Para apresentar essas informações para potenciais <i>matchs</i>, o sistema cria um perfil com um tipo especial de polígono chamado "Diagrama radial".
Um diagrama radial para $N$ atividades é desenhado marcando $N$ pontos no plano. Partindo da direção vertical, o i-ésimo ponto no sentido horário representa a i-ésima atividade especificada pelo membro, e é uma distância $S_i$ afastada do centro do diagrama, onde $S_i$ é a pontuação dada pelo membro para o correspondente atividade. O ângulo mantido no centro do diagrama de cada par de pontos consecutivos é sempre o mesmo, e o polígono é formado por desenho dos segmentos cujos pontos finais são pontos consecutivos. Note-se que para os fins do diagrama radial, o primeiro e o último ponto são considerados consecutivos.
Por exemplo, se $N$ = 6 Alex pode especificar as seguintes atividades: cantar com pontuação $S_1 = 10$, correr com pontuação $S2 = 60$, ouvir música com pontuação $S_3 = 70$, viajar com pontuação $S_4 = 70$, comer fora com pontuação $S_5 = 80$ e visitar museus com pontuação $S_6 = 80$. Então o diagrama radial correspondente seria como mostrado na figura abaixo.
A área de um diagrama radial depende da ordem em que as diferentes atividades são especificadas, e Alex suspeita que um perfil representando um diagrama radial com maior área pode ser mais bem sucedido.
Por exemplo, o diagrama radial na figura a seguir apresenta as mesmas atividades e pontuações do exemplo acima, mas tem uma área maior.
Alex pediu que você escrevesse um programa para encontrar a área máxima possível de um diagrama radial dado Uma lista de atividades classificadas com escores entre 0 e 100.
#### Entrada
A primeira linha contém um inteiro $N$ representando o número de atividades. A segunda linha contém $N$ inteiros $S_1, S_2,\ldots , S_N$ representando as pontuações dadas por Alex a cada actividade.
#### Saída
A saída contém uma única linha com um número racional representando a área máxima possível de um diagrama radial com as pontuações dadas na entrada. O resultado deve ser emitido como um número racional com exatamente 3 dígitos após o ponto decimal, arredondado se necessário.
#### Restrições
* $3 \leq N \leq 10^5$
* $0 \leq S_i \leq 100$ para $i = 1, 2, ...,N$
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3,193 | 2349 | É mesmo? | Médio | Matematica | Você é um programador líder na $\text {Empresa}^\text {TM}$ e recebeu a seguinte tarefa. Dada uma lista de $N$ inteiros $x_1,\ldots , x_ N$, o produto deles $x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_ N$ é par? Você trabalha duro no problema usando todas as técnicas possíveis e chega a uma solução muito elegante. Eis que seu supervisor então informa que a tarefa mudou! Acontece que os superiores querem que você descubra se o produto $x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_ N$ é divisível por $2^ K$ para algum inteiro $K \geq 0$.
Você simplesmente não tem um momento de paz
#### Entrada
A entrada consiste em dois inteiros $N, \ K$ $(1 \leq N \leq 100 \ 000$ e $0 \leq K \leq 1000$). Em seguida, são fornecidas $N$ linhas, cada uma com um valor único $x_1,\ldots , x_ N$ respectivamente ($1 \leq x_ i \leq 10^9$ para cada $1 \leq i \leq N$) que formam o produto.
#### Saída
Imprima '1' se $2^ K$ divide $x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_ N$, caso contrário, imprima '0'. |
3,194 | 2116 | Planejando a Energia | Fácil | Matematica | Você está participando de um comitê que irá ajudar a planejar o crescimento da energia elétrica no Brasil, garantindo assim que as usinas consigam fornecer a energia necessária no futuro.
Para isso você tem as seguintes informações:
a) durante o ano de 2010 o consumo médio do brasileiro foi de 104.326 GWh.
b) em 2013 o consumo foi de 127.755 GWh.
Você deve determinar a taxa de crescimento anual para diferentes situações e previsões futuras, considerando o fato deste crescimento ser linear. Nesse caso, a taxa foi de 7.809,66 GWh/ano.
#### Entrada
A primeira linha da entrada contém um número inteiro $N (1 ≤ N ≤ 1000)$ representando o total de casos de testes.
As $N$ linhas seguintes são compostas de 4 números inteiros $A$, $B ( B > 0)$, $C$, $D (D > 0)$ separados por espaço. O número $A$ representa o ano, o número $B$ representa o consumo do ano $A$. O número $C$ representa um outro ano e o número $D$ representa o consumo de $C$.
#### Saída
Para cada caso de teste deverá ser impresso a taxa de crescimento anual com apenas duas casas decimais, separadas por vírgula e truncadas, ou seja, sem arredondamentos.
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3,195 | 2113 | Fila de Banco | Médio | Matematica | André, Bruno e Carlos são amigos a um bom tempo, e se tem uma coisa que eles sabem um sobre o outro é o quanto eles são pontuais. André é conhecido por ser sempre o último a chegar em um compromisso entre o três, e Carlos é sempre o primeiro. Bruno sempre chega antes de André, mas nunca antes de Carlos.
Chegou o fim do mês e os três precisam ir ao banco para pagar algumas contas. Contando com eles, há $N$ pessoas na fila para usar o caixa. Sabendo o quanto eles são pontuais entre si, de quantas maneiras possíveis a fila do banco pode estar ordenada?
Lembre-se que as regras acima só se aplicam entre eles, por exemplo, Carlos sempre chega antes que Bruno e André, mas pode chegar depois de outras pessoas na fila. Duas ordenações de fila são consideradas diferentes se ao menos uma pessoa está em um lugar diferente nas duas ordenações.
#### Entrada
Cada caso de teste inicia com um inteiro $N (3 ≤ N ≤ 10^5)$, indicando o número de pessoas na fila, incluindo André, Bruno e Carlos.
O último caso de teste é indicado quando $N = 0$.
#### Saída
Para cada caso de teste imprima uma linha contendo um inteiro, representando o número de maneiras que a fila do banco pode estar ordenada. Como o resultado pode ser um valor muito alto, imprima o resultado com resto de divisão em $10^9+9$.
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3,196 | 2110 | Arremesso de Bolas | Difícil | Matematica |
Seus amigos inventaram uma nova competição: Arremesso de bolas. O objetivo é simples, basta arremessar uma bola de forma que ela caia dentro de um buraco $N$ metros a sua frente.
Quando a bola é arremessada, digamos que à uma velocidade inteira $V$, ela permanece no ar por $V$ metros e então quica. Ela repete esse processo $V$ vezes. Após ela quicar $V$ vezes, ela muda sua velocidade para $V- 1$, e o processo anterior se repete, até que a velocidade seja igual a $0$.
Por exemplo, se a bola for arremessada a uma velocidade igual a $3$, ela quicará nos seguintes pontos: $3$, $6$, $9$, $11$, $13$, $14$; conforme pode ser visto na imagem.
Você consegue arremessar a bola a uma velocidade inteira menor ou igual a $V$. Dada a distância do buraco, diga se é possível que você arremesse a bola e que ela quique exatamente no buraco, acertando-o.
#### Entrada
Cada caso de teste contém dois inteiros, $N$ e $V (1 ≤ N ≤ 1000, 1 ≤ V ≤ 30)$, representando a distância do buraco e a velocidade máxima com a qual você consegue arremessar a bola.
O último caso de teste é indicado quando $N = V = 0$, o qual não deverá ser processado.
#### Saída
Para cada caso de teste, imprima uma linha contendo a palavra “possivel” (sem aspas), caso seja possível arremessar a bola a uma velocidade menor ou igual a $V$ de forma que ela quique no buraco, ou “impossivel”, caso contrário.
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3,197 | 1960 | Tobogan de bolinhas | Difícil | Matematica | Uma fábrica quer produzir um tobogan de brinquedo como o da figura abaixo, composto de duas hastes de madeira sustentando aletas que se alternam nas duas hastes. Uma bolinha de aço é solta na aleta mais alta do tobogan; sob efeito da gravidade, a bolinha desliza pelas aletas, terminando por sair do brinquedo.
O projeto do brinquedo, contendo as especificações do tamanho, posição e inclinação das hastes e de cada aleta, foi feito pelo dono da fábrica, e milhares de unidades já estão sendo confeccionadas na China. O gerente da fábrica foi incumbido de comprar as bolinhas de aço, mas antes de fazer o pedido das milhares de bolinhas quer saber o diâmetro máximo da bolinha, para que esta não pare no meio do brinquedo.
O gerente da fábrica quer que você escreva um programa que, dadas as especificações do brinquedo, determine o diâmetro máximo da bolinha para que esta não pare no meio do brinquedo.
#### Entrada
A primeira linha de um caso de teste contém um inteiro $N$ indicando o número de aletas do brinquedo. A segunda linha contém dois inteiros $L$ e $H$, indicando respectivamente a distância entre as hastes e a altura das hastes do brinquedo. A haste esquerda do brinquedo está na posição $0$ do eixo de coordenadas $X$, de forma que a haste direita está na posição $L$ do eixo $X$.
Cada uma das $N$ linhas seguintes descreve uma aleta. As aletas são descritas da mais alta para a mais baixa, de forma alternada em relação à haste na qual a aleta está conectada. A aleta mais alta do brinquedo (a primeira a ser descrita) tem a extremidade ligada à haste esquerda; a segunda aleta mais alta (a segunda a ser descrita) tem a extremidade ligada à haste direita, assim alternadamente. As aletas ímpares têm a extremidade ligada à haste esquerda, as aletas pares têm a extremidade ligada à haste direita.
Cada aleta é descrita em uma linha contendo três números inteiros $Y_i$, $X_f$ e $Y_f$ , separados por um espaço em branco. $(X_f , Y_f )$ indica a coordenada do final da aleta; para aletas ímpares a coordenada do início da aleta é $(0, Y_i)$, e para aletas pares a coordenada do início da aleta é $(L, Y_i)$.
Para todas as aletas $Y_i > Y_f$ (ou seja, há um declive entre o início e o final da aleta), e o comprimento da aleta é menor do que a largura do brinquedo. Além disso, para duas aletas consecutivas $A$ e $B$, $Y_{fA} >= Y_{iB}$ (ou seja, o final da aleta $A$ tem altura maior do que ou igual ao início da aleta $B$).
Considere que as aletas são muito finas, de forma que a sua espessura pode ser desconsiderada, e que a sua largura é sempre maior do que o diâmetro da bolinha (ou seja, a bolinha sempre tem espaço lateral para deslizar pela aleta).
#### Saída
Para cada caso de teste imprima uma linha contendo um único número, com exatamente duas casas decimais, indicando o maior diâmetro de bolinha tal que esta consiga percorrer todo o brinquedo.
#### Restrições
* $1 ≤ N ≤ 10^3$
* $1 ≤ L ≤ 10^3$
* $1 ≤ H ≤ 10^3$
* $0 < X_f < L$
* $0 ≤ Y_i ≤ H, 0 ≤ Y_f ≤ H$ e $Y_i > Y_f$
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3,198 | 817 | CD | Médio | Matematica | Você tem uma longa viagem de carro pela frente. Você tem um gravador, mas infelizmente sua melhor música está nos CDs. Você precisa colocá-lo em fitas para que o problema seja resolvido: você tem uma fita de $N$ minutos. Como escolher faixas do CD para aproveitar ao máximo o espaço da fita e ter o menor espaço não utilizado possível.
Assuma que:
* O número de faixas no CD não excede 20
* Nenhuma faixa ultrapassa $N$ minutos
* As faixas não se repetem
* O comprimento de cada faixa é expresso como um número inteiro
* $N$ também é um número inteiro
Seu programa deve encontrar o conjunto de faixas que preenche melhor a fita e imprimi-la na mesma sequência em que as faixas são armazenadas no CD.
#### Entrada
Várias linhas (Máximo 100 linhas). Cada uma contendo o valor de $N$, (após o espaço) número de faixas e durações das faixas. Por exemplo, na primeira linha do exemplo de entrada: N = 5, número de faixas = 3, a primeira faixa dura 1 minuto, a segunda 3 minutos, a próxima 4 minutos.
#### Saída
Conjunto de faixas (e durações) que são as soluções corretas e a sequência de caracteres 'sum:' e a soma dos tempos de duração.
#### Restrições
* $0 \leq N \leq 100$
#### Observações
* Esse problema foi adaptado do orignal e inserido casos de testes e testes de borda. |
3,199 | 446 | Keep Calm e Venda Balões | Muito Difícil | Matematica | Walter vende balões de porta em porta. Todo dia ele escolhe uma rua da sua cidade e visita todas as casas nela, oferecendo seus coloridos balões.
Cada rua da cidade de Walter tem a mesma quantidade de casas dos dois lados, e todas as casas da cidade são do mesmo tamanho. Dessa forma, cada rua pode ser vista como uma matriz $2 \times N$, onde cada célula é uma casa, e $N$ é a quantidade de casas ao longo de cada lado da rua.
Depois de escolher a rua do dia, Walter visita cada casa dessa rua exatamente uma vez. Ele pode começar seu caminho em qualquer casa, mas só pode se mover entre casas adjacentes horizontalmente, verticalmente ou diagonalmente.
A tabela acima ilustra um exemplo para $N = 6$. Após visitar a casa de número 1, Walter só poderia seguir imediatamente para as casas de número 2, 7 e 8 (isto é, se ele já não tiver visitado elas antes). E após visitar a casa de número 11, a próxima casa do caminho só poderia ser uma das seguintes: 4, 5, 6, 10 ou 12.
Hoje, antes de sair de casa, Walter olhou o mapa da cidade para contar a quantidade $N$ de casas de cada lado da rua escolhida. Agora ele quer saber de quantas maneiras distintas ele pode visitar todas as $2N$ casas da rua, seguindo as regras descritas. Duas maneiras de visitar as casas são diferentes se e somente se a ordem das casas varia: isto é, se existem duas casas $A$ e $B$ tais que $A$ é visitada antes de $B$ em uma ordem e $B$ é visitada antes de $A$ na outra.
#### Entrada
A entrada consiste de uma única linha que contém um inteiro $N$ ($1 \leq N \leq 10^9$).
#### Saída
Seu programa deve produzir uma única linha com um inteiro representando o número de maneiras possíveis de visitar todas as casas da rua. Dado que este número pode ser muito grande, você deve fornecer o resto da divisão deste número por $10^9 + 7$. |
Subsets and Splits
Random Sample Across Categories
Selects a random sample of up to 4 questions from each category and difficulty level, providing a basic overview without deep insight.